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CPEL _ CARRERAS UNIVERSITARIAS

PARA

PERSONAS CON EXPERIENCIA LABORAL

PROBLEMAS PROPUESTOS DE FORMULACIÓN Problema 1 La compañía DYNAMIX fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso pro ceso de forjado y refinación. refina ción. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de hacer colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene 1/2 onza onz a de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la compañía le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 2 Los supervisores de la producción de una refinería deben programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso 1 genera 4000 galones de gasolina y 1750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso 2 genera 3500 galones de gasolina y 2250 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1200 barriles de petróleo nacional y 1800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28000 galones de gasolina y 12000 galones de petróleo para consumo doméstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1000 y $1100 para los procesos 1 y 2, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 3 La compañía DYNAMIX opera un avión que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto de Lima, Perú y Quito, Ecuador. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas: inferior, media y superior. Debido a las limitaciones en el espacio de las bodegas, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo, no deben llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior

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PARA


combinadas. Las utilidades por el transporte son de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior, $10 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos necesarios. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 4 La compañía DYNAMIX acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto Jorge Chávez y la ciudad de Lima. Antes del servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 camionetas, sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para la adquisición de la licencia, la compañía está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se está considerando tres tipos de vehículos: camionetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestran en la siguiente tabla. El Directorio de DYNAMIX ha autorizado $500000 para la adquisición de vehículos. La compañía ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar; sin embargo las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 camionetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir inc luir autobuses autobus es pequeños peq ueños y grandes, el departamento depar tamento de mantenimiento debe estar es tar en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1 1/2 camionetas y cada autobús grande equivale a 3 camionetas. Tipo de vehículos Camioneta Autobús pequeño Autobús grande

Precio de compra $6500 $10500 $29000

Utilidad anual neta $2000 $2800 $6500

Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 5 La compañía DYNAMIX está desarrollando una nueva barra de mantequilla de leche y maní. El producto debe tener por lo menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos y no más de 3 gramos de grasas saturadas. En la siguiente tabla se muestran algunos datos adicionales.

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PARA


Costo por onza Proteínas (gramos por onza) Carbohidratos (gramos por onza) Grasas saturadas (gramos por onza)

Mantequilla de leche $0.10 4.00 2.50 2.00

Maní $0.18 0.80 1.00 0.50


Problema 6 La compañía DYNAMIX fabrica y comercializa aparatos de vídeo. La compañía está organizada con base en centros de utilidad, es decir, se determina el desempeño de cada centro operativo (unidad) de la compañía a través de las utilidades semanales que genera. El centro de utilidades de tableros de circuitos los fabrica de dos clases, que se utilizan en diversos productos finales que manufactura la compañía. Se requieren 15 minutos para fabricar el tablero de circuito No. 1; 24 minutos para fabricar el No. 2. Las horas normales de operación para el centro son 240 horas semanales. Las utilidades para los tableros son $4 para el tablero No. 1 y $5 para el tablero No. 2. El gerente de producción ha decidido limitar la operación de tiempo extra del centro a un máximo de 24 horas, pero a su vez desea que se utilice todas las horas-hombre disponibles en horario normal. El gerente de logística indica que se debe cumplir con los pedidos comprometidos de 10 unidades del tablero No.1 y 15 unidades del tablero No.2. El gerente de mercadeo ha establecido que la demanda máxima es de 500 unidades del tablero No. 1 y de 400 unidades para el tablero No. 2. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 7 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos: Ingrediente nutricional

Kilogram Kilogram Kilogram Requerimiento o de maíz o de o de mínimo diario grasas alfalfa Carbohidratos 90 20 40 200 Proteínas 30 80 60 180 Vitaminas 10 20 60 150 Costo $42 $36 $30 3


PARA



Problema 8 La señora Cárdenas, dietista del Hospital Estatal de la ciudad de Lima, es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La señora Cárdenas examina en estos momentos un caso de un paciente que se le ha dado una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día: 1000 unidades del nutriente A, 2000 unidades del nutriente B y 1500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia No. 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C; cada onza de la fuente alimenticia No 2 contiene 200 unidades del nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes alimenticias son algo costosas, la fuente No.1 cuesta $6 por libra y la fuente No. 2 cuesta $8 por libra. La señora Cárdenas desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 9 El señor Acuña tiene $200000 que desea invertir para maximizar su rendimiento anual sobre la inversión. El señor Acuña ha identificado las alternativas de inversión y los dólares que está dispuesto a invertir en cada una de ellas. Tipo de inversión Bonos Cuenta bancaria de ahorros Fondos mutualistas Capital de riesgo

Rendimiento sobre la inversión 6% 5% 8% 7%

Dólares que habrá de invertirse Al menos $40000 $10000 - $30000 No más de $20000 Al menos $60000


Problema 10 La Compañía DYNAMIX enfrenta el problema de determinar que proyectos de desarrollo debe emprender en los próximos 4 años. La compañía tiene una cantidad limitada de fondos para inversiones de capital; no puede financiar todos los proyectos. Para cada uno de estos se ha determinando su valor presente y el requerimiento asociado de capital. Cada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los próximos 4 años. En la siguiente tabla se muestran el valor presente estimado, los requerimientos de capital y el capital disponible proyectado para cada uno de ellos.

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PARA


Proyecto 1) Expansión de la planta 2) Nueva maquinaria 3) Investigación sobre productos 4) Ampliación de almacén Fondos de capital disponibles

Valor presente neto estimado 180000 20000 nuevos 72000 80000

Requerimiento de capital Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 30000 40000 40000 30000 12000 8000 0 4000 30000 20000 20000 20000 20000 65000

30000 80000

40000 80000

10000 50000

A la gerencia de DYNAMIX le gustaría un plan de capital que muestre las erogaciones que debe hacer para cada uno de los 4 años y que proyectos se deben financiar. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 11 Una compañía manufacturera discontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible (horas-máquina por semana) 500 350 150

El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Rectificadora 3 0 2 El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

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PARA


Problema 12 La compañía DYNAMIX fabrica tanques auxiliares de gasolina para automóviles subcompactos. La compañía fabrica un tipo de tanque que sirve para diversos automóviles. En la actualidad la compañía tiene una gran demanda y una capacidad fija de producción. Con la intención de satisfacer la demanda, la compañía está considerando: (1) operar sobre la base de diversos turnos en tiempo extra, (2) subcontratar algunos pedidos con otras compañías y/o (3) contratar empleados temporales. Al gerente de producción le preocupa acudir a subcontratistas externos o contratar empleados temporales debido a que esto podría reducir la calidad del trabajo. Inclusive, en algunos casos, los costos serían mayores. Los datos de la tabla siguiente describen los requerimientos de mano de obra, los costos y los niveles promedio de calidad asociados con las diferentes alternativas. Con la actual fuerza de trabajo, la compañía puede montar un total de 200 horas de operaciones (180 horas en tiempo normal y 20 horas en tiempo extra) por semana.

Horas requeridas Costo por hora Nivel de calidad

Tiempo normal 4 $12 99%

Operaciones Tiempo Subcontratación extra 4 5 $18 $10 98% 94%

Empleo temporal 6 $10 98%

La demanda actual del tanque de gasolina es de 100 unidades por semana. y el nivel de calidad promedio mínimo debe ser del 98%. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 13 La compañía DYNAMIX fabrica tres tipos diferentes de baleros que se utilizan en equipo textil. Todos los baleros se fabrican en una operación de prensado. El tiempo de fabricación que se requiere para elaborar un balero básico es de 5 horas, en tanto que uno de alta precisión requiere 12 horas de tiempo de producción. El balero de aplicación general requiere 8 horas de tiempo de producción. La compañía dispone de 500 horas semanales de capacidad de producción. Las utilidades unitarias que se obtienen de la venta de baleros son: $1000 por balero básico; $1450 por balero de aplicación general y $2500 por los de alta precisión. El departamento de mercadeo ha señalado que el comportamiento de la demanda de los baleros implica que la compañía puede vender todos los que fabrica. El gerente de producción quiere que se utilice toda la capacidad de producción, y además ha limitado el tiempo extra a un máximo de 40 horas por semana. El gerente de mercadeo quiere alcanzar las siguientes metas semanales de ventas para cada tipo de balero: 20 básicos, 24 de aplicación general y 15 de alta precisión. 6


PARA



Problema 14 Una cooperativa agraria de la Ciudad de Chiclayo opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la siguiente tabla describen las granjas. Granja 1 2 3 4

Disponibilidad de agua (pies cúbicos) 480000 1320000 370000 890000

Disponibilidad de tierra (acres) 450 650 350 500

Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la siguiente tabla reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en miles de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos es: 6, 5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200, respectivamente. Cultivo Granja 1 A 200 B 150 C 200

Granja 2 300 200 350

Granja 3 100 150 200

Granja 4 250 100 300

Para mantener una carga de trabajo entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 15 Una compañía DYNAMIX vende 5 tipos de triplay cuya producción requiere de la utilización de cada una de las tres maquinas. Al respecto, en la siguiente tabla se muestra el tiempo requerido (en minutos), para la fabricación de cada una de las planchas de triplay.

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PARA


Tipo de triplay A B C D E

maquina 1 12 7 8 10 7

maquina 2 8 9 4 0 11

maquina 3 5 10 7 3 2

Cada maquina se puede utilizar durante 128 horas cada semana. Los triplays del tipo A, B y C tienen una gran demanda que hasta la fecha no es cubierta por la oferta nacional; estas planchas se venden a un precio de $150, $120 y $150 por unidad respectivamente. La demanda de los triplays D y E enfrenta una oferta bastante competitiva, de tal manera que las primeras 20 planchas producidas semanalmente pueden venderse al precio de $120 por unidad, mientras que cualquier cantidad por encima de las 20 unidades tendría que venderse a un precio de $90 por unidad, para que la empresa no pierda su participación en el mercado. El costo por hora de la mano de obra utilizada en el trabajo de las maquinas es: $120 en la maquina 1, $120 en la maquina 2 y $90 en la maquina 3. El costo de los insumos utilizados en la producción de los triplays es: $60 para el triplay A, $30 para el triplay B, $60 para el triplay C, $30 para el triplay D, y $30 para el triplay E. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 16 La compañía DYNAMIX fabrica dos tipos de productos (A y B). La fabricación de ambos productos requiere dos operaciones. La primera operación se lleva a cabo en el departamento No. 1. La fabricación del producto A requiere 3 horas en la primera operación en tanto que el producto B requiere 4 horas en esta misma operación. La segunda operación puede llevarse a cabo ya sea en el departamento 2 o en el 3. El tiempo necesario de producción en el departamento 2 para cada unidad de A es de 3 horas; para cada unidad de B es de 6 horas. Si se emplea el departamento 3, el tiempo de producción para cada unidad de A es 8 horas y para B es de 10 horas. Existen 3000, 3600 y 5000 horas disponibles de tiempo de producción en los respectivos departamentos. Los costos de mano de obra asociados con los tres departamentos son: $6.50 por hora para el departamento 1, $8.00 por hora para el departamento 2 y $5.00 por hora para el departamento 3. La Compañía tiene una demanda de 400 unidades para el producto A y 300 unidades para el producto B. El gerente de producción se propone satisfacer la demanda de los clientes, y a su vez limitar el tiempo extra en el departamento 2 a un máximo de 1000 horas, y minimizar el tiempo 8


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extra en los departamentos 1 y 3. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 17 La compañía DYNAMIX tiene una máquina que procesa dos productos maní y cacao. Al procesar el maní, se obtiene 30 libras de crema de maní por hora. Al procesar el cacao se obtiene 60 libras de cocoa por hora. El tiempo necesario de preparación de la máquina para cambiar el procesado de un producto al otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de mantenimiento de inventarios de cada producto se muestran en la siguiente tabla. Demanda Abril Mayo Junio

Crema de maní 400 450 500

Cocoa 600 700 650

Costos de almacenamiento por libra-mes Crema de maní Cocoa $0.10 $0.05 $0.10 $0.05 $0.12 $0.05

El inventario inicial para cada producto a principios de abril es 400 libras y también debe ser cero a inicios de julio. En ningún momento el inventario de crema de maní puede exceder de 1000 libras ni el de cocoa las 500 libras. Asimismo, cada mes hay 20 horas de tiempo de máquina disponible. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 18 La compañía DYNAMIX tiene una máquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la máquina es utilizada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1.5 atascamientos por hora y cuando produce tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos para el restablecimiento del proceso durante los cuales la máquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posible. Se desea saber cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuánto a la de tubos pequeños. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 19 La compañía DYNAMIX pronostica una demanda de 5000 unidades para su modelo de lujo de engrapadoras, para el siguiente trimestre. Este artículo se ensambla utilizando tres componentes principales: base, cartucho para grapas y manija. Hasta ahora, la compañía ha 9


PARA


fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo pico en el volumen de ventas y se duda que la empresa tenga suficiente capacidad de producción para fabricar todos los componentes. La empresa está considerando contratar a una empresa local para que fabrique cuando menos parte de los componentes. Los requerimientos de tiempo de producción por unidad son los siguientes: Tiempo de producción (horas) Departamento

Base

Cartucho

Manija

A B C

0.03 0.04 0.02

0.02 0.02 0.03

0.05 0.04 0.01

Total del tiempo disponible en el departamento (horas) 400 400 400

Después de considerar los gastos globales de la empresa y los costos de materiales y de mano de obra, el departamento de contabilidad ha determinado el costo unitario de fabricación para cada componente. Estos datos, junto con las cotizaciones de precio de compra para la empresa contratista, son los siguientes:

Componente Base Cartucho Manija

Costo de fabricación $0.75 $0.40 $1.10

Costo de compra $0.95 $0.55 $1.40


Problema 20 La compañía DYNAMIX fabrica dos tipos de transistores electrónicos para un importante fabricante de electrodomésticos. Cada trimestre el fabricante informa a la compañía acerca de sus requerimientos de transistores. Las demandas mensuales de los transistores pueden variar considerablemente dependiendo del tipo de electrodomésticos que produce el fabricante. El siguiente pedido acaba de ser recibido para los próximos tres meses: Transistor TR-A TR-B

Febrero 2800 2700

Marzo 1500 1800

Abril 3100 3200

Cuesta $20 producir cada unidad del transistor TR-A y $10 cada unidad del transistor TRB, asimismo se ha determinado que el costo mensual de mantener en inventario un transistor es de 1.5% de su costo de producción.

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PARA


Se sabe además que los inventarios al principio del periodo del programa de tres meses son de 500 unidades del transistor TR-A y 1000 unidades del transistor TR-B, la empresa establece un nivel de inventario al final del periodo de tres meses de cuando menos 500 unidades del transistor TR-A y no más de 1000 unidades del transistor TR-B. Acerca de la capacidad de producción, la disponibilidad de mano de obra y la capacidad de almacenamiento se dispone de la siguiente información: Mes Febrero Marzo Abril

Máquina Mano de obra Almacenamient (horas) (horas) o (pies2) 400 300 10000 500 300 10000 600 300 1000

Los requerimientos de cada unidad de transistor son los siguientes: Transistor

Máquina (horas)

TR-A TR-B

0.10 0.08

Mano de obra (horas) 0.05 0.02

Almacenamient o (pies2) 2 3

Todos los pedidos se deben entregar oportunamente. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 21 La compañía DYNAMIX tiene $2000000 disponibles para inversiones. Existen cinco posibles tipos de inversión: acciones, bonos, préstamos, bienes raíces y ahorros mediante libretas. Al principio de cada año pueden hacerse inversiones, ya sea en acciones, en bonos, o en ambos. Los dólares que se invierten en acciones al principio de cualquier año producen utilidades de 15% al final de dos años. Cada dólar que se invierte en bonos al principio de un año da como resultado 40% de utilidades al final de tres años. Las inversiones en préstamos pueden hacerse sólo al inicio del segundo año; sin embargo, cada dólar que se invierte produce 90% de utilidades después de cinco años. Las inversiones en bienes raíces dan como resultado 75% de utilidades al final de dos años; pero esta opción de inversiones está disponible sólo al comienzo del quinto año. Todo el dinero que no se invierte al comienzo de cualquier año dado se coloca en una cuenta de ahorros de libreta. La tasa de intereses de esta cuenta es de 7.5% anual. El gerente financiero quiere que la compañía diversifique sus inversiones, por ello no desea invertir más de $700000 en cualquier categoría de inversión durante cualquier año. También quiere invertir cuando menos $400000 en bienes raíces, dado que esta categoría 11


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de inversión tiene un elevado rendimiento. Por otro lado ha establecido una cuenta flotante con propósitos de operación. El dinero de esta cuenta se coloca en ahorros mediante libreta. Deben tenerse cuando menos $100000 en esa cuenta en todo momento. Finalmente, la compañía tiene una obligación financiera de $400000 que debe cubrir al final del tercer año. Tipo de inversión Año 1 acciones bonos ahorros Año 2 acciones bonos préstamos ahorros Año 3 acciones bonos ahorros Año 4 acciones bonos ahorros Año 5 acciones bienes raíces ahorros Año 6 ahorros

Diagrama de inversiones en varios años Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

Año 5

Año 6

15% ======= ======> 40% ======= ======= ======> 7.5% ======> 15% 40% 90% 7.5%

======= ======> ======= ======= ======> ======= ======= ======= ======= ======> ======>

15% 40% 7.5%

======= ======> ======= ======= ======> ======>

15% 40% 7.5%

======= ======> ======= ======= ======> ======>

15% 75% 7.5%

======= ======> ======= ======> ======>

7.5%

======>


Problema 22 La compañía DYNAMIX tiene 14000 galones de gas doméstico en su instalación de Chancay y 16000 galones almacenados en su instalación de Huaura. De estas instalaciones, la compañía debe proveer a la empresa Comida Fresca 10000 galones y a la empresa Ensaladas Dietéticas 20000 galones. El costo de embarcar 1 galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es:

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PARA


De \ A Chancay Huaura

Comida Fresca Ensaladas Dietéticas $ 0.04 $ 0.06 $ 0.05 $ 0.03


Problema 23 La compañía DYNAMIX fabrica y vende un fertilizante de aplicación general. La compañía fabrica el fertilizante en tres plantas distintas y envía el producto final a cuatro almacenes diferentes, ubicados en diversos puntos del Departamento de Arequipa. Puesto que algunas operaciones fabriles han existido durante más tiempo que otras, hay diferentes costos de producción en las distintas plantas. (Las plantas más recientes utilizan procesos más modernos y actualizados que dan como resultado menores costos de producción). En la siguiente tabla se presentan los costos de producción en dólares por tonelada y la capacidad en toneladas para las plantas. Planta 1 2 3

Costos $38 $45 $30

Capacidad 650 600 600

Los requerimientos en toneladas de los cuatro almacenes son 300, 450, 500 y 600 respectivamente. Debido a que cada almacén opera en forma separada, los precios por tonelada en los respectivos almacenes difieren un poco. Los precios de venta son $62, $63, $64 y $64. El objetivo de los administradores es maximizar las utilidades totales para la compañía. Por ello, deben considerar los costos de transporte asociados con el envío del producto de una planta determinada a un almacén específico. Los costos de transporte (expresados en dólares por tonelada) para las diferentes rutas de transporte se muestran en la siguiente tabla. Almacén Planta 1 2 3

1 $23 $21 $18

2 $18 $24 $21

3 $21 $23 $27

4 $25 $18 $23


Problema 24 La compañía DYNAMIX, se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domésticas. La compañía da servicio a clientes en el distrito de Miraflores. Tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el objeto de ahorrar tiempo de manejo y costos al inicio de cada día, el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La siguiente 13


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tabla presenta las distancias (en cuadras) asociadas con los primeros cinco trabajos que deben llevarse a cabo. A cada empleado de servicio se le paga por conducir; por ello, la compañía desea minimizar la distancia extra de traslado. Empleado 1 2 3 4 5

1 20 16 8 20 4

Trabajo 3 6 22 24 2 22

2 14 8 6 22 16

4 10 20 14 8 6

5 22 10 12 6 24


Problema 25 La compañía DYNAMIX tiene cuatro territorios de ventas a los cuales se asignan sus vendedores. La compañía ha determinado que las ventas están en función de los días/vendedor por mes. Los datos muestran que las ventas diarias por día/vendedor son $2000, $1600, $900 y $800, respectivamente, para los cuatro territorios. La compañía tiene un equipo de ventas de cuatro personas; todos los vendedores trabajan 20 días al mes. Dado que todos los territorios de ventas son cercanos entre sí, a los vendedores no se les restringe a un solo territorio sino que, más bien, la compañía exige que cada vendedor trabaje cuando menos en dos territorios. Como incentivo para las ventas la compañía trata de satisfacer la preferencia que cada uno de los vendedores tiene por determinados territorios. El índice de preferencia que aparece en la tabla siguiente (en donde el número 5 refleja la mayor preferencia) señala la preferencia que cada vendedor tiene por los territorios. Vendedor 1 2 3 4

1 5 4 3 5

Territorio 2 3 4 2 3 5 5 0 4 1

4 4 4 2 3

El gerente de mercadeo desea maximizar el índice ponderado de preferencia para cada vendedor, en donde el índice ponderado es el índice del vendedor, con respecto a su territorio, multiplicados por el porcentaje de tiempo que invierte en ese territorio y sumado para todos los territorios que visita. El gerente de personal establece que deben invertirse cuando menos 10 días de vendedor en cada territorio.

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Problema 26 La compañía DYNAMIX, fabricante de rasuradoras eléctricas, han decidido invertir hasta $38000 en publicidad para las rasuradoras eléctricas para caballeros que fabrica. Algunos estudios de investigación de mercados realizados por la Compañía han mostrado que el mercado que desea para las rasuradoras está compuesto en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 años de edad, que tienen ingresos anuales de $15000 o más y han cursado cinco o más años de educación universitaria. A partir de estos descubrimientos, el grupo de investigación de mercados ha decidido que las características de los clientes tienen una importancia relativa de acuerdo con los siguientes pesos: Características Edad (20-45) Ingresos anuales ($15 000 o más) Educación universitaria (5 o más años)

Peso 0.40 0.35 0.25

El gerente de mercadotecnia de la compañía ha decidido utilizar los servicios de una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un plan de publicidad que les permita alcanzar al cliente potencial en forma más efectiva. Después de estudiar los datos de características de los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la Compañía considere colocar publicidad en tres revistas de consumo popular. Por brevedad simplemente denominaremos a las revistas A, B y C. La tabla siguiente señala cuáles son las características de los consumidores de las tres revistas. Porcentaje de consumidores Características Revista A Revista B Revista C Edad (20-45) 40 70 60 Ingresos anuales ($15000 o más) 60 50 40 Educación universitaria (5 o más 30 20 60 años) Público lector 780000 940000 1250000 La agencia de publicidad ha indicado al gerente de mercadotecnia que una meta apropiada sería maximizar el número de exposiciones efectivas, dado el presupuesto de publicidad que se tiene. El objetivo no debe ser maximizar el número de exposiciones para todos los lectores de la publicidad, sino más bien, maximizar el número de clientes potenciales que se exponen a la publicidad. Para desarrollar un factor efectivo de exposición, debe calcularse un índice de lectura para cada revista. El índice de lectura se calcula sumando los productos del porcentaje de lectores que tienen una característica determinada por el peso que la compañía ha asignado a esa característica. La agencia de publicidad ha señalado que debe elaborarse un coeficiente de efectividad para los lectores, multiplicando el índice de lectura de cada revista por su respectiva 15


PARA


audiencia. Por último, la exposición efectiva, E, por anuncio se determina dividiendo el coeficiente de efectividad entre el costo por anuncio. La agencia indica que el costo por anuncio en las tres revistas es de $500, $750 y $800, respectivamente. De análisis y estudios conjuntos de la compañía y la agencia de publicidad, se ha decidido que el número máximo de anuncios que deben colocarse en cada revista es 36, 40 y 45, respectivamente. Además se ha decidido que deben colocarse cuando menos nueve anuncios en la revista A y cuando menos cinco en la C. Es necesario determinar la cantidad de dólares de publicidad que deben invertirse en cada revista para maximizar la exposición efectiva, y determinar también el número de anuncios que deben colocarse en cada revista. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 27 La compañía DYNAMIX, es un expendio exclusivo al menudeo, en el que se venden trajes y sacos para caballero. La compañía vende tres líneas de ropa: deportiva, para ejecutivos y de lujo. En general, estas líneas pueden caracterizarse como de precio moderado, ligeramente costosas. Las líneas más costosas exigen exhibiciones más complicadas y una mayor cantidad de tiempo del personal de ventas; sin embargo, con éstas se obtienen mayores utilidades. Para propósitos de planeación, la compañía ha determinado que la utilidad promedio por artículo en la línea deportiva es $6.50, en tanto que la utilidad unitaria para las líneas de ejecutivos y de lujo son $13.70 y $23.25, respectivamente. Las utilidades de cada una de estas líneas no difieren entre los trajes y los sacos. De experiencias pasadas, la compañía ha determinado que se requieren 200 pies2 para exhibir 1000 unidades de la línea deportiva, en tanto que se requieren 450 pies2 para 1000 artículos de la línea de ejecutivos jóvenes y 690 pies2 para 1000 artículos que se exhiben de la línea de lujo. Experiencias previas señalan que las horas-hombre de personal de ventas que se requieren por 1000 artículos que se venden para las líneas respectivas son 250, 650 y 1800. Para mantener una variedad razonable de trajes y sacos, la compañía ordena cuando menos 1000 artículos de cada línea. Para reflejar el hecho de que se venden más trajes que sacos, la compañía mantiene una proporción de 80 a 20 en cada una de las líneas cuando hace sus pedidos. La compañía tiene 65000 pies2 de espacio en la sala de exhibición. Los administradores han determinado que la estación en la que los artículos son comercializables dura aproximadamente 16 semanas. En estos momentos la compañía tiene una fuerza de venta de 8 personas. La semana normal de trabajo para todo el personal de ventas es de 48 horas. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

16


PARA


Problema 28 La compañía DYNAMIX fabrica dos productos, los datos correspondientes se muestran a continuación: Precio de Venta por unidad Trabajo requerido (horas) Tiempo de máquina (horas) Materia prima (unidades)

Producto 1 $15 0.75 1.50 2

Producto 2 $8 0.50 0.80 1

Cada semana se pueden comprar hasta 400 unidades de materia prima, a un costo de $1.50 por unidad. La compañía tiene 4 trabajadores que laboran 40 horas semanales cada uno, adicionalmente pueden trabajar horas extras pagándoles $6 por hora extra. Semanalmente se dispone de 320 horas de máquina. En ausencia de publicidad la demanda máxima del producto 1 es de 50 unidades y la demanda máxima del producto 2 es de 60 unidades. Se puede utilizar publicidad para incrementar la demanda, es así que por cada dólar de publicidad para el producto 1 la demanda aumenta en 2 unidades y por cada dólar de publicidad para el producto 2 la demanda aumenta en 1 unidad. Se pueden gastar hasta $100 de publicidad a la semana (presupuesto). Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 29 La compañía DYNAMIX fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son $0.90 por libra de maní, $1.60 por libra de pasas y $1.50 por libra de algarrobo. Los requerimientos de las mezclas son: Normal, cuando menos 5% de cada ingrediente Especial, cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos. Extra, cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

17


PARA


Problema 30 La compañía DYNAMIX es un fabricante importante de equipos estereofónicos. En la actualidad, los administradores de la compañía están considerando añadir una nueva línea de productos a su grupo existente de sistemas estereofónicos. La nueva línea incluirá cuatro nuevos productos. La compañía tiene dos plantas en las que puede fabricar la nueva línea de productos. El proceso de manufactura en la planta 1 tiene una estructura algo diferente al de la planta 2. En la planta 1 se requieren tres procesos de fabricación, en la planta 2 sólo se requieren dos procesos. Debido a que las operaciones de manufactura de las dos plantas difieren, sus costos variables son también diferentes. Por tanto, tal vez reditúe más fabricar un artículo de la línea en una de las plantas y uno o más de los restantes en la otra. El precio de venta y los costos variables, así como también la demanda máxima para los nuevos productos, se muestran en la siguiente tabla. Producto Precio de venta y demanda Precio de venta Costos variables: planta No. 1 Costos variables: planta No. 2 Demanda (unidades)

1 $200 $160 $220 1000

2 $300 $270 $300 3000

3 $250 $240 $200 4000

4 $280 $270 $220 6000

En la siguiente tabla se describen las operaciones de manufactura para las dos plantas (los números de la tabla expresan horas de tiempo de fabricación). El gerente de la planta 1 ha señalado que pueden dedicarse las siguientes horas de capacidad mensual de producción para la nueva línea de productos: operación A 30000 horas, operación B 100000 horas, operación C 16000 horas. En cada una de las dos operaciones de la planta 2 existen disponibles 20000 horas de tiempo de producción. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada uno de los 4 tipos de productos que deben fabricarse cada mes en las dos plantas, de manera que se maximice la contribución de las utilidades de la compañía. Producto Planta 1: Operación A Operación B Operación C Planta 2: Operación X Operación Y

1

2

3

4

6.0 18.0 2.0

7.2 20.0 2.0

4.0 16.0 1.0

7.0 18.0 1.0

8.0 10.0

8.0 16.0

4.0 8.0

8.0 6.0


Problema 31 La compañía DYNAMIX es una cooperativa agrícola grande. La compañía tiene 130 acres en los que produce tres artículos principales: frijol de soya, trigo y maíz. Los productos de 18


PARA


la cooperativa son para consumo de sus miembros y para ventas a terceros. La cooperativa está organizada de tal manera que deben satisfacerse primero las demandas de sus miembros antes de vender a terceros los artículos. Todos los excedentes de producción se venden al precio de mercado. La siguiente tabla resume para cada producto, durante la temporada de cultivo, el rendimiento proyectado (en bushels por acre), la demanda (en bushels) que los miembros solicitan, la demanda del mercado (en bushels), y la utilidad estimada (dólares por bushel). Cultivo Frijol soya Trigo Maíz

Rendimiento Demanda de los Demanda del miembros mercado de 420 2000 10000 200 70

5000 1000

8000 3000

Utilidad $1.50 $1.80 $2.50


Problema 32 El cono Norte de la ciudad de Lima tiene dos escuelas públicas que atienden las necesidades de la población. La escuela 1 tiene una capacidad de 6500 estudiantes y la escuela 2 tiene una capacidad para 4500 estudiantes. El cono norte está subdividido en 6 áreas. Cada una de ellas tiene tamaño diferente y una combinación distinta de alumnos de nivel socio-económico bajo. En la siguiente tabla se describen las seis áreas. Área A B C D E F

Población total de Estudiantes con nivel estudiantes socio-económico bajo 1900 200 2475 1600 1000 490 2150 450 1800 870 1400 590

Un plan en contra de la discriminación, ordenado por el Ministerio de Educación, especifica que cada escuela debe tener inscritos por lo menos 32% de alumnos del nivel socio-económico bajo. Ninguna escuela puede tener inscritos más del 45% de alumnos del nivel socio-económico bajo. Para tratar de cumplir con la ley se desea minimizar el número de millas que deben viajar en autobús escolar los estudiantes. En la siguiente tabla se muestran datos que indican las distancias en kilómetros, entre las diversas áreas y las escuelas correspondientes. Si es posible, se desearía evitar que los estudiantes viajaran más de 2.8 kilómetros.

19


PARA


Área A B C D E F

Escuela 1 Escuela 2 1.5 2.5 1.8 1.9 2.2 2.6 2.5 2.3 2.9 1.8 2.8 1.1


Problema 33 La compañía DYNAMIX es un fabricante de zapatos, ubicado en la ciudad de Trujillo. La compañía se especializa en la fabricación de zapatos de vestir y no vende en forma directa al público sino que vende a través de expendios al menudeo. Según las fluctuaciones en los costos de los diversos componentes, la compañía ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a estas variaciones en los costos (y al bajo costo de manejo y almacenamiento que es de $1.00 por mes por par de zapatos), la compañía considera que resulta conveniente fabricar pares de zapatos en exceso en algunos meses para venderlos en meses posteriores. Los administradores de la compañía han pronosticado la demanda y los costos para siete meses como se muestra en la siguiente tabla. La compañía desea programar la producción para minimizar los costos totales de producción y manejo. Mes 1 2 3 4 5 6 7

Demanda Costo proyectado pronosticada (por par) 150000 $36 110000 $42 180000 $38 100000 $40 200000 $35 180000 $39 110000 $37


Problema 34 La Compañía DYNAMIX se especializa en la fabricación de partes para la industria automotriz. En la actualidad, la compañía tiene un problema de capacidad y se ve obligada a comprar partes a una compañía competidora para poder satisfacer las demandas que tiene comprometidas. El problema que la empresa enfrenta es que fabrica cuatro productos, y los procesos de fabricación se realizan en seis máquinas. Los tiempos de producción, en horas, necesarios para fabricar los productos se muestran en la siguiente tabla.

20


PARA


Product o 1 2 3 4

1

2

3

0.08 0.00 0.04 0.12

0.04 0.02 0.12 0.08

0.04 0.10 0.00 0.35

Máquina 4 0.00 0.30 0.15 0.00

5

6

0.06 0.18 0.50 0.00

0.12 0.12 0.45 0.10

Existen 60 horas de tiempo disponible en cada una de las máquinas. La compañía tiene un pedido de 250 unidades por semana para cada producto. Los costos de manufactura para los cuatro productos son $2.60, $2.25, $4,40 y $2.10. Si la compañía compra las partes con el competidor externo los precios de compra son $3.15, $2.75, $4,70 y $2.30, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 35 La compañía DYNAMIX, está considerando ampliar la capacidad de su planta para los próximos ocho trimestres. El objetivo de la compañía es hacer que su capacidad fabril sea tan amplia como sea posible al final de dos años. La compañía fabrica un solo producto. Los costos de materias primas y otros costos variables son de $120 por unidad. Cada unidad que se fabrica requiere 1.2 unidades de capacidad de producción. Todos los costos y requerimientos de producción ocurren en un solo periodo; las ventas ocurren en el periodo inmediatamente posterior. Cada unidad se vende en $175. Para propósitos de expansión (en cualquier periodo) la compañía tiene dos políticas; pueden utilizarse una o ambas de ellas. Bajo la política 1, cada unidad de capacidad adicional requiere $24000 al principio del periodo; la capacidad nueva está disponible al principio del siguiente periodo. Cada unidad de capacidad adicional bajo la política 2 requiere $18000 al principio del periodo en el que se comienza la ampliación; pero esa capacidad nueva no está disponible sino hasta el principio del periodo subsiguiente al primero. La compañía tiene $320000 al principio del periodo 1. Ese dinero debe utilizarse para financiar la producción y la expansión de la planta. Después del periodo 1 no existen fondos externos disponibles. Tanto la producción como la expansión de la planta, después del periodo 1, deben financiarse del fondo para materiales o de fondos generados con ventas. A principios del periodo 1, resultan funcionales un total de 960 unidades de capacidad. Todas las ampliaciones deben estar en condiciones de operarse hacia finales del periodo 8. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 36 La compañía DYNAMIX, vende al menudeo productos novedosos. Se está considerando 21


PARA


añadir dos nuevos productos a la línea que ya tiene. La compañía ha decidido trabajar los productos, a prueba, durante dos años. Adquirirá ambos productos con un mayorista. El costo por unidad para cada producto para el horizonte de tiempo de dos años se muestra en la siguiente tabla. El producto 1 se venderá en $1.20 y el producto 2 en $1.05. El precio de venta será fijo para el periodo de dos años. Producto 1 2

Costo Año 1 Año 2 $0.75 $0.80 $0.70 $0.85

Ventas (unidades) Año 1 Año 2 6 7 9 12

La compañía reconoce que las ventas de los nuevos productos dependerán en gran medida de la publicidad. El departamento de publicidad ha proyectado las ventas para los próximos dos años. Estas proyecciones, expresadas en unidades vendidas por dólar de publicidad, se muestran también en la tabla. El departamento de publicidad ha pronosticado también que en ambos años cuando menos el 30%, pero no más del 60% del total de unidades vendidas (de ambos productos), serán del producto tipo 2. A principios del año 1, la compañía tenía $12000 disponibles para publicidad y compras. Los productos pueden comprarse un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en costos de mantenimiento. La publicidad en cualquier año tiene efecto sólo sobre las ventas de ese año. Los gastos de compras y publicidad en el año 2 pueden financiarse con las utilidades del año 1. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 37 Un contratista de una compañía localizada en la ciudad de Huaraz realiza trabajos en techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuándo las haya adquirido. La siguiente tabla refleja lo que la compañía ha proyectado como costo unitario, precio unitario y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Temporada Verano Otoño Invierno Primavera

Precio de compra Precio de mercado $21.00 $22.00 $22.00 $23.25 $26.00 $28.50 $24.00 $25.50

Ventas 100000 140000 200000 160000

Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por cada mil piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por cada mil piezas por cada temporada en la que se almacenan. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220000 piezas; esto incluye el material 22


PARA


que se compra para utilizarlo en el mismo periodo. La compañía ha fijado una política que señala que no se conservan materiales más de cuatro temporadas. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 38 La compañía DYNAMIX, fabrica tres clases de abrigos para caballero: deportivo (A), formal (B) y ejecutivo (C). Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de obra de la industria es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. El Jefe de Producción de la empresa considera que una forma de satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles empleo de tiempo completo, aun cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas pérdidas. Por fortuna, el Jefe de Producción espera que la demanda de sus productos siga siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podría ser necesario trabajar tiempo extra. Las tres líneas de abrigos de la empresa se fabrican en dos departamentos. La tabla adjunta es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres líneas son $100, $150 y $250, respectivamente. El Jefe de Producción ha determinado que a un ritmo normal de producción los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo, respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima del salario normal para el departamento 1 y $3 para el departamento 2. Los materiales para el tiempo extra pueden adquirirse a un costo de $2 por metro por encima del costo normal. El Jefe de mercadeo ha pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1000 unidades por semana, y la demanda de las otras dos líneas es de 500 y 200 unidades, respectivamente. El nivel de equilibrio de producción es de 100 unidades del producto A, y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos. Requerimientos de productos (por unidad) Deportivo Formal Ejecutivo Recursos Dpto. 1 4 horas 12 horas 10 horas 8000 horas Dpto. 2 6 horas 6 horas 16 horas 4000 horas Material 8 metros 6 metros 12 metros 8000 metros El jefe de producción quiere utilizar toda la capacidad de producción disponible, es decir, no debe existir tiempo ocioso en ningún departamento; además de alcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada una de las líneas de productos. Dado que es probable que exista escasez de mano de obra en el departamento 2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra, a ese departamento, el tiempo extra aquí puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo, el tiempo extra del departamento 2 no debe exceder de 600 horas. El tiempo extra del departamento 1 no debe exceder de 200 horas. El jefe de mercadeo quiere satisfacer todas las demandas del mercado. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación. 23


PARA


Problema 39 La Compañía DYNAMIX destila y distribuye vino fino. La compañía fabrica tres vinos distintos. rose, semiseco y seco. Las mezclas se producen combinando diferentes grados de vino base. Los requerimientos de las mezclas, y la disponibilidad y precio (costo) por quinto de galón de vino base (disponibilidades dadas en quintos de galón por día) aparecen en la siguiente tabla. El gerente de producción ha establecido que se fabrique cuando menos 2000 quintos de galón de vino rose y 1000 quintos de vino semiseco por día. Acciones Grado I Grado II Grado III

Costo por quinto de galón $6.50 $5.00 $3.50

Disponibilidad 1800 2000 1200

Tipo Rose

Requerimientos No más del 12% de grado III Cuando menos 50% de grado I

Precio de venta $6.00

Tipo Semiseco

Requerimientos No más del 40% de grado III Cuando menos 25% de grado I Requerimientos No más del 50% de grado III Cuando menos 10% de grado II


Tipo Seco



Problema 40 La Compañía DYNAMIX se dedica al comercio mayorista (es decir, la compañía le compra al fabricante y vende a expendios al menudeo). La compañía maneja un solo producto y el capital con que opera es limitado. Debido a que el precio de venta del producto es un tanto estacional y, por ello, puede variar de mes a mes, a la compañía le conviene comprar en determinados meses para vender en ciertos meses posteriores. La empresa tiene información definida con respecto al costo al que puede comprar y el precio al que puede vender en los siguientes cuatro meses. Los datos son:

24


PARA


Mes Costo Precio

1 8 12

2 8 10

3 10 7

4 12 9

Las ventas se realizan al principio del mes y después se efectúan las compras. La cantidad que se adquiere se basa por completo en los ingresos que se generan por las ventas. Las compras están restringidas por la capacidad de almacenamiento de la empresa; en la actualidad, pueden almacenarse 3000 unidades de los productos (puede almacenarse una cantidad adicional de 1000 unidades, pero esto se considera indeseable). En estos momentos (a principios del mes 1) existen 2000 unidades en el almacén que tuvieron un costo de $6 por unidad. El gerente de producción indica que en el mes 1 se debe utilizar sólo la capacidad normal del almacén. La compañía debe tener cuando menos $2000 en reserva, cada mes, para contingencias operativas; y cuando menos $4000 disponibles al principio del mes 4, después de las compras. Este dinero se utilizará para cumplir con un compromiso financiero externo. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 41 Una universidad importante de Lima tiene un considerable fondo de donaciones: se ha asignado al Director de Economía la responsabilidad de determinar la mejor cartera de inversiones. El Director ha decidido que pueden invertirse todos los fondos en acciones, suponiendo que se emplean ciertas políticas de riesgo. El Director ha identificado seis alternativas aceptables de acciones. En la tabla siguiente se describen los datos de estas alternativas.

Precio actual por acción Tasa promedio anual de crecimiento Dividendo promedio anual x acción Factor de riesgo

1 $90 0.09

Número de acción 2 3 4 5 $25 $70 $125 $35 0.08 0.06 0.04 0.03

6 $140 0.01

$1.15 $0.20 $1.90 $2.15 $0.80 $3.40 0.07 0.09 0.10 0.04 0.03 0.04

El rendimiento sobre cada una de estas alternativas de inversión se determina de la siguiente manera: Rendimiento =

(precio actual por acción x tasa de crecimiento + dividendos) / precio actual por acción

En la actualidad, existen $1500000 en el fondo. El gerente financiero quiere alcanzar un 25


PARA


rendimiento sobre la inversión de cuando menos 8%, y lograr dividendos de cuando menos $18000 por año. Por otro lado, decide invertir cuando menos 35% del total del dinero en las tres acciones que tengan los menores factores de riesgo, limitar el factor ponderado de riesgo de la cartera a 6% ó menos y limitar los dólares totales que se invierten en las tres alternativas de bajo riesgo a un máximo de $700000. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 42 El gerente de administración de la Compañía DYNAMIX, un fabricante grande de rasuradoras eléctricas, han decidido invertir hasta $38000 en publicidad para las rasuradoras eléctricas para caballeros que fabrica. Algunos estudios de investigación de mercados realizados por la Compañía han mostrado que el mercado que desea para las rasuradoras está compuesto en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 años de edad, que tienen ingresos de $15000 o más y han cursado dos o más años de educación universitaria. A partir de estos descubrimientos, el grupo de investigación de mercados ha decidido que las características de los clientes tienen una importancia relativa de acuerdo con los siguientes pesos: Características Edad (20-45) Ingresos anuales ($15000 o más) Educación universitaria (5 o más años)

Peso 0.40 0.35 0.25

El gerente de Mercadotecnia de la DYNAMIX han decidido utilizar los servicios de una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un plan de publicidad que les permita alcanzar al cliente potencial en forma más efectiva. Después de estudiar los datos de características de los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la Compañía considere colocar publicidad en tres revistas de consumo popular. Por brevedad simplemente denominaremos a las revistas A, B y C. La tabla siguiente señala cuáles son las características de los consumidores de las tres revistas. Porcentaje de consumidores Características Revista A Revista B Revista C Edad (20-45) 40 70 60 Ingresos anuales ($15000 o más) 60 50 40 Educación universitaria (5 o más 30 20 60 años) Público lector 780000 940000 1250000 La agencia de publicidad ha indicado a la DYNAMIX que una meta apropiada sería maximizar el número de exposiciones efectivas, dado el presupuesto de publicidad que se tiene. El objetivo no debe ser maximizar el número de exposiciones para todos los lectores e la publicidad, sino más bien, maximizar el número de clientes potenciales que se exponen 26


PARA


a la publicidad. Para desarrollar un factor efectivo de exposición, debe calcularse un índice de lectura para cada revista. El índice de lectura se calcula sumando los productos del porcentaje de lectores que tienen una característica determinada por el peso que la compañía ha asignado a esa característica. La agencia de publicidad ha señalado que debe elaborarse un coeficiente de efectividad para los lectores, multiplicando el índice de lectura de cada revista por su respectiva audiencia. Por último, la exposición efectiva, E, por anuncio se determina dividiendo el coeficiente de efectividad entre el costo por anuncio. La agencia indica que el costo por anuncio en las tres revistas es de $500, $750 y $800, respectivamente. De análisis y estudios conjuntos de la DGA y la agencia de publicidad, se ha decidido que el número máximo de anuncios que deben colocarse en cada revista es 36, 40 y 45, respectivamente. Es necesario determinar la cantidad de dólares de publicidad que deben invertirse en cada revista para maximizar la exposición efectiva, y determinar también el número de anuncios que deben colocarse en cada revista. El gerente de mercadeo debe alcanzar una exposición mínima efectiva de 7500000, limitar el costo de publicidad a $38000 y colocar cuando menos 9 anuncios en la revista A y cuando menos 5 en la revista C. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

Problema 43 La compañía DYNAMIX distribuye un producto empacado, de temporada, en una cierta región que incluye una gran área metropolitana. El producto es especialmente atractivo para personas que tengan niños. El fabricante del producto ha ofrecido participar en una promoción de descuento antes de temporada, y la compañía está planeando lanzar una campaña publicitaria. Se planea presentar anuncios en color, de toda una página, en los suplementos de las ediciones dominicales de los dos diarios más importantes. Se han preparado el mensaje publicitario y las copias. El único punto por determinar es la programación cronológica de los medios de comunicación; es decir, el número de publicaciones consecutivas en cada diario. Desde un punto de vista ideal, se desearía relacionar esto con el beneficio que pueda obtenerse por cada publicación. Sin embargo, resulta difícil medir los beneficios de una programación cronológica en medios de comunicación. Por lo tanto, en la práctica se utilizan medidas sustitutas, las cuales se han mostrado correlacionadas en forma positiva con los beneficios. Ejemplos de tales medidas incluyen el alcance de la programación cronológica de los medios de comunicación (definido como la fracción de personas, en una

27


PARA


población de clientes dada, expuestas, por lo menos, una vez al anuncio) y la frecuencia de la programación cronológica (definida como el número promedio de exposiciones entre los miembros de la población quienes se han enterado del anuncio, al menos una vez). También sería conveniente llegar en diversos grados a distintos sectores de la población. Considérese que para este problema el alcance es el criterio más adecuado y que se desea diferenciar entre un grupo primario de todas las personas que tengan al menos un hijo en edad de asistir a la escuela, y un grupo secundario que abarque a todas las familias con un ingreso anual de más de $8000. De los diarios pueden obtenerse datos acerca de los alcances de los suplementos dominicales, correspondientes a los diferentes grupos de población. Por ejemplo, para el diario Alfa y el grupo primario, indican la siguiente fracción promedio de personas alcanzadas en el grupo como una función de número de publicaciones: Número de publicaciones 1 x Fracción acumulada y 0.54

2

3

4

5

6

0.66

0.75

0.83

0.87

0.89

Por desgracia, esta es una relación no lineal con un descenso significativo de alcance acumulado después de cuatro publicaciones. Lo mismo se cumple para el alcance al grupo secundario en el diario Alfa. Por tanto, parece antieconómico exceder cuatro publicaciones en el diario Alfa. Durante las primeras cuatro publicaciones, es posible aproximar la relación anterior con bastante cercanía mediante la ecuación: y = 0.49 + 0.08x

para 1 x 4

Si se aplica este procedimiento a datos semejantes en cuanto al alcance para otras combinaciones de grupos y medios de comunicación, se obtienen las siguientes ecuaciones: Diario Alfa Beta Alfa Beta

Grupo primario primario secundario secundario

Ecuación y = 0.49 + 0.08x y = 0.47 + 0.12x y = 0.44 + 0.12x y = 0.37 + 0.09x

Para el diario Beta el descenso ocurre después de cinco publicaciones. Las estimaciones indican que los diarios comparten en forma equitativa al grupo primario, pero el diario Alfa tiene 60% del grupo secundario. El diario Alfa cobra $3000 por publicación; el diario Beta, que utiliza papel de menor calidad, cobra sólo $2000 por publicación. La gerencia ha asignado para la campaña publicitaria un presupuesto de $16000. Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación.

28

Problemas_propuestos_de_formulacion_de_modelos_de_PL.pdf

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