PROBLEMAS RAZONADOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 1.- Hallar dos números cuyo producto sea 288 y la suma del doble del primero mas el segundo sea mínima. (12,24) 2.- Hallar dos números positivos que sumados den 10 y el cuadrado de uno por el cubo del otro nos dé un producto máximo. (6,4) 3.- Hallar dos dos números números positivos cuya suma sea 220 y su producto sea máximo. (110,110) 4.- El producto de dos números positivos es 192 ¿Qué números se habrán de elegir para que la suma del primero con tres veces el segundo sea mínima? (24,8) 5.- Hallar dos números positivos tales que la suma del primero con el doble del segundo sea 200 y su producto sea máximo. (50,100) 6.- Encuentre dos números cuyo producto sea –12 y la suma de sus cuadrados sea mínima. (2 3, − 2 3 ) 7.-Encontrar dos números positivos cuya suma sea 30 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo. (12,18) 8.- Hallar dos números que sumados den 135 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. (45,90) 9.- Hallar dos números cuyo producto sea 16 y: a) Su suma sea mínima. (4,4) b) La suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mínima. (8,2) 10.- Encontrar dos números positivos que cumplan los requisitos: r equisitos: a) Su suma sea S y su producto máximo. (x=y=S/2) b) Su producto sea 192 y su suma sea mínima. (x=y= 192 ) c) Su producto sea 192 y la suma del primero primero mas el triple del segundo sea mínima. (y=8, x=24) d) El segundo número es el inverso del primero primero y su suma suma sea mínima. (x=1, y=1) e) La suma del primero mas el doble del segundo es 100 y el producto máximo. (x=50,y=25) 11.- Calcular la longitud y anchura de un rectángulo con el perímetro dado y área máxima: a) Perímetro= 100m (x=y=25 metros) b) Perímetro= P unidades (x=y=P/4, un cuadrado) 12.- Calcular la longitud y anchura de un rectángulo con área dada y perímetro mínimo: a) Area= 64 ft2 (x=y=8 pies) b) Area= A cm2 (x=y= A , un cuadrado) 13.- Un granjero dispone de 200 m de valla para cerrar dos corrales rectangulares adyacentes. ¿Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máximo? (x=25 m, y=100/3 m) 14.- Una página rectangular ha de contener 24 in 2 de texto, con márgenes superior e inferior de 1.5in y laterales de 1in ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel? (largo=9in, ancho=6in) 15.- “El Girasol” tiene 100m de tela de alambre con el cual se piensa construir dos corrales adyacentes idénticos. ¿Cuáles son las dimensiones del cercado total para las cuales el área es máxima? (16.66m, 25m) 16.- Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y 64 cm 3 de volumen. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínimo en caso de que:
a) El recipiente sea abierto por arriba.
(r =
b)El recipiente sea cerrado.
4 3
,h =
π
(r = 23
4 π
4 3
)
π
, h = 43
4
)
π
17.- De una pieza cuadrada de hojalata de 25 cm de lado se desea construir una caja abierta por arriba del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud de los cuadrados cortados? (4.16cm) 18.- Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular, y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área del campo es de 5 m 2, hallar la medida de los lados para que la longitud total de la valla sea mínima. (2.74,1.83) 19.- Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener un área de 10,800 m 2. Si el vecino paga la mitad del área medianera ¿cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea el mínimo para el dueño de la huerta? (120,90) 20.- Se desea cercar un terreno rectangular de 800 m 2 de área, uno de cuyos lados ya tiene una barda. Si no necesita cercarse el lado de la barda, demuestre que necesitará la mínima cantidad de materiales cuando el largo del terreno sea dos veces el ancho. 21.-Un cierto día, el flujo (número de automóviles por hora) de una carretera congestionada es:
F
v =
22 + 0.02v 2 Donde v es la velocidad del tráfico en millas/hora.¿Qué velocidad hace máximo el flujo?
( v = 1100 mph) 22.- Se desea construir una caja abierta de volumen máximo a partir de una pieza cuadrada de material de 24 cm de lado cortando cuadrados iguales en las esquinas. Encontrar la medida de los cuadrados que deben cortarse. (x=4 cm) 23.- Juan tiene 200 pies de tela de alambre con la que piensa cercar un patio rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima ¿Cuáles deben ser las dimensiones? (50piesX50 pies) 24.- La granja Victoria tiene 80 pies de alambre con la que se piensa cercar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo. Si el lado que colinda con el granero no requiere cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área? (20 piesX40 pies) 25.- Una ventana de Norman tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que admita la cantidad más grande posible de luz. (60/(4+ π), 30/(4+π)) 26.- Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible? (a 9 pies del poste de 12 pies de alto) 27.- Un fabricante desea diseñar una caja abierta rectangular con base cuadrada y un área de 108 pulgadas cuadradas de superficie ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? (6X6X3pulg) 2 28.- Un cartel rectangular debe medir 180 in con márgenes de 1 in. abajo y a los lados y 2 in., arriba ¿qué dimensiones resultarán en el área impresa mínima? (2 30in,90 / 30in)
