y y (c) la probabilidad de que el 3 electrón tenga su momento en un elemento d p en torno al valor p .
26. Considerar la función de ondas tridimensional
x y z 2a 2b 2c ( x, y, z) N e
con
a,b,c > 0. a) Calcular la constante de normalización N. b) Calcular la probabilidad de que una medida de X de un resultado entre 0 y a. c) Calcular la probabilidad de que medidas simultáneas de Y y Z den resultados entre –b y +b y entre –c y +c respectivamente. d) Calcular la probabilidad de que una medida del momento de un resultado en el elemento dpxdpydpz centrado en px=py=0, pz=ħ/c.
Problemas de Física Cuántica 11 _____________________________________________________________________________________
EJERCICIO COMPLEMENTARIO 2 Una partícula de masa m está situada en un pozo monodimensional de potencial de anchura 2a y altura infinita, V(x) = 0 entre – a < x < a.
(1) Si en t = 0 la partícula se encuentra situada en el centro del pozo, escriba la función de ondas en cualquier instante posterior, (x, t). ¿Cuáles son los resultados de medir la energía y sus probabilidades de aparición?
(2) Construya dos estados (x) y (x) en t = 0 tal que (i) el resultado de medir la energía tanto en uno como en otro da como resultado unas veces la correspondiente al nivel fundamental y otras al primer estado excitado, (ii) son ortogonales entre sí, (iii) son funciones reales y (iv) el valor medio de la energía es el mismo para ambos. Calcule las probabilidades de aparición de cada uno de los resultados de medir la energía en cada uno de los estados en t = 0. Calcule (x, t) y (x, t) y el valor medio de la energía en el instante t para cada estado.
Problemas de Física Cuántica 12 _____________________________________________________________________________________
EJERCICIO COMPLEMENTARIO 3 El Hamiltoniano de una molécula diatómica con un grado de libertad de rotación es 2
H
LZ
2
, con I > 0 y el operador L Z i
d d
(1) Calcular los autovalores y autofunciones de H con la condición de contorno para la función de ondas (0) ( 2 ) .
(2) Calcular los autovalores y autofunciones de LZ.
(3) En t=0, ( , 0) N (1 cos ) . Calcular la constante de normalización N . Calcular la probabilidad de encontrar la molécula entre = 0 y = . Calcular los posibles valores y sus probabilidades de medida de H y LZ en el estado .
(4) Calcular ( , t ) ,
Problemas de Física Cuántica 13 _____________________________________________________________________________________
FORMALISMO MATRICIAL. OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES 27. Considere un sistema físico cuyo espacio de los estados es tridimensional. En la base ortonormal
u1 ,
u 2 , u3
el operador Hamiltoniano H y los observables A y B
tienen la forma:
1 0 0 H 0 0 2 0 0 0 2
1 0 0 A a 0 0 1 0 1 0
0 1 0 B b 1 0 0 0 0 1
El sistema físico se encuentra en t=0 en el estado
( 0 )
con 0, a, b > 0. 1 1 1 u1 u2 u 2 2 3 2
a) En t=0 se mide la energía del sistema. ¿Qué valores y con qué probabilidades se encontrarán? Calcular
28. La probabilidad por unidad de tiempo de que se produzca una transición dipolar 2
eléctrica entre un estado inicial n y otro final m es proporcional a n x m . ¿Qué autoestados de un oscilador armónico estarán conectados por dichas transiciones?
29. Demostrar que para los estados ligados del oscilador armónico unidimensional se 2
1 verifica: (a) x p (n ) , (b) x 2 p2 (n2 n 1) y (c)
del virial)
Problemas de Física Cuántica 14 _____________________________________________________________________________________
30. Una partícula se encuentra en un pozo de potencial infinito en tres dimensiones entre –a
E 2 2 / 8 ma 2
(considere a=b=c), el número de estados con energías entre E y E+dE es: N ( E )dE
32 a3 h3
(2m3 )1 / 2 E 1 / 2dE
31. Un oscilador armónico bidimensional isótropo de frecuencia angular se encuentra en un estado de energía 2 . Se sabe que el valor esperado de x 2 es 5 / 6m . Calcular el valor esperado de y 2 y el de la energía potencial.
POTENCIALES CENTRALES. MOMENTO ANGULAR 32. Encontrar los 10 primeros niveles del pozo esférico infinito: V ( r )
0
r a r a
Dato: Tabla de los primeros ceros de las funciones esféricas de Bessel de 1ª clase jl () l =
0
1
2
3
4
5
6
4.4934
5.7635
6.9879
8.1826
9.3558
10.5128
2
7.7253
9.0950
10.4171
11.7049
12.9665
14.2074
3
10.9041
12.3229
13.6980
15.0397
16.3547
17.6480
4
14.0662
15.5146
16.9236
18.3013
19.6532
20.9835
Problemas de Física Cuántica 15 _____________________________________________________________________________________
33. Hallar las indeterminaciones Lx y Ly para un autoestado de L 2 y Lz. 34. Un sistema tiene en un instante t una función de onda ( x, y , z )
2
N x 2 e r
/ a2
donde N es la constante de normalización y a una constante conocida. Encontrar los resultados posibles de la medida de L 2 y Lz y sus probabilidades.
35. Sea un sistema físico con número cuántico azimutal l y tal que
L
l
2
sen
ÁTOMO DE HIDRÓGENO 36. Calcular para un electrón en el estado fundamental en el átomo de H: (a) La incertidumbre de la coordenada radial r, (b)
37. Un átomo de H se encuentra en un estado (r , t )
1 iE 1t / / e 100 ( r ) e iE 2 t 210 ( r ) 2
Calcular
38. Un átomo de H tiene su electrón en un estado de función de ondas
( r )
1 8 a 03 / 2
e
r / 2 a0
r 1 1 cos 2 a sen sen 2 0 2
Calcular los valores medios de L 2 y Lz. Si se mide L z, ¿qué resultados son posibles y con qué probabilidades?
Problemas de Física Cuántica 16 _____________________________________________________________________________________
39. Un átomo de H se encuentra en un estado de cuya función de ondas se sabe lo siguiente: (a) Al medir la energía sólo se obtienen los valores – 13.6/4 eV y – 13.6/9 eV, ambos con igual probabilidad. (b) Al medir L2 sólo se obtienen los valores 2 2 y 6 2 , ambos con igual probabilidad. (c) Al medir Lz siempre se obtiene cero. Se pide: (1) La forma general de la función de ondas y su dependencia temporal. (2) ¿Cómo varía con el tiempo la densidad de probabilidad? (3) La incertidumbre de la energía. (4) Calcúlese el valor esperado de L 2.
MATRICES DE MOMENTO ANGULAR 40. ¿Qué forma tienen los operadores L x, L y, L z y L 2 en la base de autoestados de L 2 y Lz para l = 1? Calcula los autoestados y autovalores de L x y Ly
41. ¿Qué forma tienen los operadores S x, Sy, Sz y S2 en la base de autoestados de S 2 y Sy para s = 1/2? Calcula los autoestados y autovalores de S x y Sz
42. El Hamiltoniano de una partícula de espín 1/2 está dado por H = 1/2 x (a) En t=0, al medir S y obtenemos el máximo autovalor posible ¿Cuál es el estado del sistema en t=0 justamente después de la medida? (b) Obtener el operador evolución temporal en forma matricial. (c) ¿Cuáles son los valores esperados ,
SOLUCIONES
FORMULAS ÚTILES DE RELATIVIDAD ver p.ej. Eisberg-Resnick (Física cuántica), Apéndice A (Teoría especial de la relatividad)
S
v
S'
Transformación de Lorentz:
1 1 2 v
E ' E cp ' cp
c
m m0 E mc2
p mv E 2
( pc ) 2 ( m 0 c 2 ) 2
Relación energía-momento
T E m 0 c 2
Energía cinética
pc T (T 2m0 c 2 )
Relación energía cinética-momento
v
p E 2 c
Si E 2
m0
0
E T pc
( pc ) 2 ( m 0 c 2 ) 2 INVARIANTE
Soluciones 20 _____________________________________________________________________________________
SOLUCIONES: FÍSICA CUÁNTICA ANTIGUA 2. No; < 4.0×109 T (Hz si T en K) 3. 4.1×109 Kg s-1; 6.5×10-12 % en 1 año 5. máx < 2.8214 kT / h; máx máx = 0.5682 c 6. 134.6 s 7. 6.60×10-34 Js; 2.27 eV; 5500 Å 8. 0.0243 Å; 295 eV / 372 KeV; 2.4 % / 56 % 11. 1.022 MeV/c; 2.7×10-6 MeV 12. c/3 13. 36 %; 51 % (Compton), 70 % (fotoeléctrico) 16. 777 m 17. 2.8×10-3 Å; -2529.6 eV; 6.54 Å EJERCICIO COMPLEMENTARIO 1 i) No
ii) 600 KeV; Sí pares e+e-
iv) 27.6 cm
v) 276 KeV
iii) 1.40×109 K (datos de ii)
Soluciones 21 _____________________________________________________________________________________
SOLUCIONES: RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
19. 3.25 eV; 8.25 eV 7 6
2+2 = 2mV0L2/h2
5
4 3 2
= – ctg
1 0
0
1
2
3
4
5
6
2 2 20. x p n 2 2 3 21. H 3 / 2 1
t=0 t=/6
0.8 )
0.6
0.4
2
t , x (
t=/3
0.2 0 0
/3
x
2/3
Soluciones 22 _____________________________________________________________________________________
23. T 0.8 (electrón); T 4×10-19 (protón)
x x 2 i p x exp 24. ( x) 2 2 1/ 4 x 4 2 x 1
1/ 4
2 25. a) A 2 a
b) p k 0 ; E
2
k 0
2m
2
2
2ma2
k 0t 2 1/ 4 x 2a 2 m e i ik x ( x, t ) e exp 1 / 4 2it 2 4 4 2 t 2 a c) a 2 m m 0
k 0
2
2m
t
; tan 2 1/ 2
2t ma 2
1 2 4 2 t 2 d) x(t ) a 2 2 ; p(t ) 2 a m a 26. a)
N
1 8 abc
1 1 1 2 e 2 1 c) 1 e 64abc dp x dp y dpz d) 3 25
b)
Soluciones 23 _____________________________________________________________________________________
EJERCICIO COMPLEMENTARIO 2 n 2 2 2
(1) E n
8ma
n impar
2
P ( E E n )
1 a
(2) 1 iE t / 1 ( x )e 1 2 1 2 ( x, t ) 1 ( x )e iE 1t / 2 2 2 5 H 16 ma 2
1 ( x, t )
1 iE t / 2 ( x )e 1 2 1 2 ( x )e iE 1t / 2
Nota: 1 y 2 son autoestados de H con autovalores E 1 y E 2 respectivamente
EJERCICIO COMPLEMENTARIO 3 (1) n ( ) 1
2
E n
e in
n
... 2, 1, 0, 1, 2, ...
n 2 2
2 I
(2) n ( ) son autoestados de LZ con autovalor n (3)
N
1 3
P ( 0 )
1/ 2
P ( E 0 ) 2 / 3 P ( E 1 ) 1/ 3 P ( L Z
0 ) 2 / 3 P ( L Z ) 1 / 6 P ( L Z ) 1 / 6
(4) ( , t ) H
1 2 0 ( ) 1 ( ) 1 ( )e it / 2 I 3 6
2
6 I
L Z
0 t
Soluciones 24 _____________________________________________________________________________________
SOLUCIONES: FORMALISMO MATRICIAL. OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES 3 1 27. a) 0 ; 2 0 con probabilidad ½; H 0 , H 0 2 2 b) a ; a con probs. 1 y 0 respectivamente; no cambia
c)
(t )
1 1 i t 2 i 0 t u1 e 0 u 2 u 3 e 2 2
1 1 d) A(t ) a; B(t ) b cos 0 t 2 4 e) Para
B
, autovalores b y b con probabilidades
1 5 2 cos 0t y 4 2
1 3 2 cos 0t respectivamente. 4 2 28. n x n 1 31. y 2
2
7 6m
n
n x n 1
2m V
2
( n 1)
2m
SOLUCIONES: POTENCIALES CENTRALES. MOMENTO ANGULAR 32. 2
E
2
xl
xl , 4.4934, 5.7635, 2 , 6.9879, 7.7253, 8.1826, 9.0950, 9.3558, 3 ,
2ma2
33. L x L y
l (l 1) m 2 2
1/ 2
2 2 2 34. P ( L 0) 5 / 9 P ( L 6 ) 4 / 9
P ( L Z
0 ) 2 / 3 P ( L Z 2 ) 1 / 6 P ( L Z 2 ) 1 / 6
SOLUCIONES: ÁTOMO DE HIDRÓGENO
3 a 36. (a) r 2 0
(b) p 0
(c)
(2a0 ) 3
d 3 k
2
(1 a02 k 2 ) 4
Soluciones 25 _____________________________________________________________________________________
37. z (t ) p z
m
256a0 ( E E )t cos 1 2 243 2 d dt
3 2 2 0) 3 / 4
39. (1) ( r , t ) 1
2
2
( E E 2 )t 32 sen 1 81a0 2
z
38. L2 P ( L Z
p z (t )
(2) (r , t )
L z P ( L Z
0
) 1 / 8 P ( L Z ) 1 / 8
210 ( r ) e
iE 2 t /
1 iE t / 320 ( r ) e i e 3 2
2 2 1 1 ( E E 3 )t 210 (r ) 320 ( r ) 210 ( r ) 320 ( r ) cos 2 2 2
1 (3) H ( E 2 E 3 ) 2 2 (4) L 4 2
SOLUCIONES: MATRICES DE MOMENTO ANGULAR 40. 0 x 1 11 1 1 1 2
0
y
2
1 1 1 11 10 11 x 2 2 2 1 1 11 11 2 2 1 1 i 11 10 11 y 2 2 2
x
1 1 1 11 10 1 1 2 2 2
y
1 1 i 11 10 1 1 2 2 2
41. 3 2 1 0 S 4 0 1 2
S 1 y
0 2 0 1
cos t isen t 2 2 42. (b) U (t ) isen t cos t 2 2
0 1 S z 2 1 0
0 i S x 2 i 0
PROBLEMAS DE EXAMENES
Problemas de exámenes de Física Cuántica 28 _____________________________________________________________________________________
1. Se dispone de una fuente de fotones con energía suficiente para poder crear pares e+e – en las proximidades de un electrón. (i) ¿Cuál es la energía mínima de estos fotones? (ii) ¿Qué temperatura absoluta tendría que tener la fuente, supuesta un cuerpo negro, para que los fotones (con energía mínima) correspondieran a la máxima radiancia del espectro? (iii) Se utiliza un blindaje con una longitud de atenuación para estos fotones de = 2 cm. ¿Qué espesor de blindaje tendríamos que colocar para que el flujo se redujese en un factor 10 6? Quizás necesite alguno de los siguientes datos: h = 6.62610 –34 Js, c = 2.998108 ms-1, 1 eV = 1.60210 –19 J, mec2 = 511.0 keV, cW (cte. Wien) = 2.897 10 –3 mK, (cte. Stefan-Boltzmann) = 5.671 10 –8 Wm –2K –4
2. Sea una partícula de masa m en un pozo infinito de potencial bidimensional entre – a < x < a y – a < y < a. Calcular: (i) El estado fundamental y el primer nivel excitado (y sus correspondientes energías). (ii) En t = 0 el estado del sistema es el más general posible con energía correspondiente al primer nivel excitado. Calcular la probabilidad de encontrar la partícula en la región – a < x < a, 0 < y < a.
3. En la base de autoestados de J 2 y J z con j = 1 (ordenados de mayor a menor autovalor) el Hamiltoniano de un sistema está dado por la matriz:
0 0 i H 0 1 0 i 0 0
( cte.)
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado propio de J x con el autovalor máximo posible. (i) Construya el estado del sistema en t = 0. (ii) Calcule las probabilidades de aparición de los posibles resultados de medir J z. (iii) Calcule < H >
Problemas de exámenes de Física Cuántica 29 _____________________________________________________________________________________
4. Un oscilador armónico bidimensional isótropo de frecuencia angular se encuentra en un estado de energía 2 . i) Si el valor esperado de x2 es 5 / 6m ¿cuál es dicho estado? ii) Calcular el valor esperado de y 2 y el de la energía potencial. Nota: Autoestados de un oscilador armónico unidimensional (u) 1/ 2
1 2u 2 n (u) n H n ( u) e 2 2 n! 2
m /
H n ( ) (1) e n
2
d n d n
2
e
5. En un sistema físico, el hamiltoniano H y los observables A y B están representados por las siguientes matrices: H 0
0 i i 0
A a 0
0 1 1 0
B
1 0 b0 0 1
( 0 , a 0 , b0 ctes.)
Sobre el estado del sistema se efectúa una medida del observable A y se obtiene como resultado el mayor valor propio posible. El estado resultante después de esta medida es el que tomamos como estado del sistema en el instante t=0. Calcular: i) El estado del sistema en t=0 ii) Resultados y probabilidades de medir la energía y B en ese estado. iii) Estado del sistema en el instante t. iv) Resultados y probabilidades de medir la energía y B en el instante t. v) Valores medios de H y B en t=0 y en t. Calcular H B en t=0.
Problemas de exámenes de Física Cuántica 30 _____________________________________________________________________________________
6. Desde forma:
se lanzan partículas de masa m y energía E 0 contra un potencial de la
0 x 0
V 0 0
x
V ( x)
con V 0 = 0.75 eV. Calcular el coeficiente de reflexión si E 0 = 0.5 eV y el coeficiente de transmisión si E 0 = 1 eV.
7. Calcular en el estado fundamental del átomo de Hidrógeno: i) r
ii) p
Supongamos que en t = 0 un átomo de H no se encuentra en el estado fundamental sino en 1 i R10 Y 00 2 R 21Y 1 1 R 21Y 10 3 3
iii) Normalizar la función de ondas anterior iv) Calcular los posibles valores y probabilidades de medir la energía. Sabiendo que la energía del nivel fundamental es – 13.6 eV, dar el valor medio de la energía en eV. v) Calcular < L2> y < Lz> vi) Se mide Lz, obteniéndose el valor 0. ¿Cuál es el estado después de esta medida? Calcular en el nuevo estado los apartados iv y v. Nota: Algunas autofunciones hidrogenoides 3/ 2
100
1 Z a 0
210
1 Z 4 2 a 0
211
1 Z 8 a 0
e
Zr / a0
3/ 2
3/ 2
200
Zr Zr / 2 a0 e a0
Zr Zr / 2 a0 e a0
1 Z 4 2 a 0
cos
sin e i
3/ 2
Zr Zr / 2 a 2 e a0
0
Problemas de exámenes de Física Cuántica 31 _____________________________________________________________________________________
8. Calcule la energía total, momento lineal y energía cinética de los muones “superficiales” ( +) producidos en la desintegración de piones ( +) en reposo:
+ + + Datos: m=106 MeV/c2, m=140 MeV/c2, m=0
9. Una partícula de masa m está sometida a un potencial en dos dimensiones 1 m 2 y 2 2 donde V ( x ) es un pozo monodimensional infinito entre 0 < x < a. V ( x, y ) V ( x)
a) ¿Qué relación debe existir entre y a para que el primer nivel excitado sea degenerado? b) En ese caso supongamos que el estado de la partícula es combinación lineal de todos los posibles estados correspondientes al primer nivel excitado con igual probabilidad y desfases relativos nulos. Calcule
10. Sea un sistema de momento angular j=1 cuyo Hamiltoniano es de la forma H = J y (= cte). En t=0 el sistema se encuentra en un estado propio del operador J x con autovalor 0. Calcular: i) Resultados de medir J z y sus probabilidades de aparición. ii) Estado del sistema en el instante t. iii) Resultados de medir J z y sus probabilidades de aparición en el instante t.
Nota: Autoestados de un oscilador armónico unidimensional 1/ 2
1 2 x 2 H n ( x) e 2 n ( x) n 2 n! 2
m /
H n ( ) (1) e n
2
d n d n
2
e
Problemas de exámenes de Física Cuántica 32 _____________________________________________________________________________________
11. Una partícula de masa m está sometida a un potencial en tres dimensiones V ( x, y, z )
1 m 2 x 2 y 2 z 2 2
Supongamos que el estado de la partícula es combinación lineal de todos los posibles 5 estados correspondientes al nivel de energía con igual probabilidad y desfases 2 relativos nulos a) Calcule
armónico unidimensional
1/ 2
1 2 x 2 H n ( xi ) e 2 n ( xi ) n 2 n! i
2
m /
H n ( ) (1) e n
2
d n d n
xi
x, y, z
2
e
12. Supongamos que un átomo de H se encuentra en el estado: 1 i 0 1 0 R10 Y 0 2 R 21Y 1 R 21Y 1 3 3
i) Normalizar la función de ondas anterior ii) Calcular los posibles valores y probabilidades de medir la energía. Sabiendo que la energía del nivel fundamental es – 13.6 eV, dar el valor medio de la energía en eV. iii) Calcular < L2> y < Lz> iv) Se mide Lz, obteniéndose el valor 0. ¿Cuál es el estado después de esta medida? Calcular en el nuevo estado los apartados ii y iii.
Problemas de exámenes de Física Cuántica 33 _____________________________________________________________________________________
13. Un átomo de H se encuentra en un estado de cuya función de ondas se sabe lo siguiente: (1) Al medir la energía sólo se obtienen los valores – 13.6/4 eV y – 13.6/9 eV, ambos con igual probabilidad; (2) al medir L 2 sólo se obtienen los valores 2 2 y 6 2 , ambos con igual probabilidad; (3) al medir L z siempre se obtiene cero. Se pide: a) La forma general de la función de ondas y su dependencia temporal. b) ¿Cómo varía con el tiempo la densidad de probabilidad? c) La incertidumbre de la energía. d) Calcúlese el valor esperado de L 2.
14. Considere un sistema físico cuyo espacio de los estados es tridimensional. En la base ortonormal
u1 ,
u2 , u3
el operador Hamiltoniano H y el observable C tienen
la forma:
1 0 0 H 0 0 2 0 0 0 2
0 1 0 C c 1 0 0 0 0 1
con 0, c > 0.
El sistema físico se encuentra en t=0 en el estado
( 0 )
1 1 1 u1 u2 u 2 2 3 2
a) En t=0 se mide la energía del sistema. ¿Qué valores y con qué probabilidades se encontrarán? Calcular
Problemas de exámenes de Física Cuántica 34 _____________________________________________________________________________________
15. Una partícula de masa m en un pozo monodimensional de paredes impenetrables entre x = -a y x = a viene descrita en t=0 por el estado: ( x,0)
2 a
cos
x a
cos
x
2a
Calcular: a) Autovalores y autoestados del hamiltoniano. b)
16. Sea
1,
2, 3
una base ortonormal de estados de un sistema físico. Sea H el
operador hamiltoniano dado por:
iE 0 3 H 2 E 0 2 H 3 iE 0 1 H 1
con E 0 > 0.
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado tal que son equiprobables los distintos valores posibles de la energía. a) Calcular la representación matricial de H en la base
1,
2 , 3 .
b) Calcular los resultados posibles de medir la energía y construya un estado que cumpla la condición impuesta para el sistema en t = 0. c) Calcular el estado en el instante t. d) Calcular el valor medio de H en función del tiempo. e) Si en t = 0 se mide la energía y se obtiene el menor valor posible, ¿en qué estado se encuentra el sistema después de la medida? ¿cuál será el estado en el instante t?
Problemas de exámenes de Física Cuántica 35 _____________________________________________________________________________________
17. La función de ondas normalizada de un estado de un átomo de H es 2
1 2 r r / 3a0 e sen cos cos (r ) 81a03 / 2 a0
i) ¿Es autoestado de H, L 2, Lz? Consideremos ahora que el átomo de H se encuentra en un estado del que se conoce lo siguiente: (a) es autoestado de L z con autovalor . (b) Al medir la energía sólo pueden obtenerse valores menores de – 1 eV. (c) La energía media es – (13/72)×13.6 eV. (d) | < | |2 = 1/4 ii) ¿Cuál es la forma general de la función y su dependencia temporal? iii) ¿Variará con el tiempo la densidad de probabilidad? ¿Cómo? Ayuda: 1 3 5 , Y 10 cos , Y 20 (3 cos 2 1) 4 16 4 3 15 15 Y 11 sen e i , Y 21 sen cos e i , Y 2 2 sen 2 e 2 i 8 8 32 Y 00
18. Sean H E 0
0 1 0 1 0 0 , 0 0 1
A a 0
1 0 0 0 0 1 0 1 0
y
0 1 ( E 0 , a0 cte.) 0
el hamiltoniano de un sistema físico, un observable y el estado del sistema en t = 0, respectivamente. Calcular: i) Autovalores y autoestados de H y A. ii) < H > y < A> para el estado en t = 0. iii) Evolución temporal de . iv) < H > y < A> para el estado (t).
Problemas de exámenes de Física Cuántica 36 _____________________________________________________________________________________
19. Una partícula de masa m se encuentra en un pozo monodimensional de paredes impenetrables entre x = 0 y x = a. En el instante t=0 el estado del sistema es tal que la medida de la energía da como resultados los valores del estado fundamental y del primer nivel excitado con probabilidad doble para el fundamental. Si el estado es real, calcule Vd.: a) Estado del sistema en el instante t. b) Resultados de medir la energía de la partícula y probabilidades de aparición en el instante t. c) Probabilidad de encontrar la partícula entre x = a/2 y x = a en t=0 y en t. ¿Cuándo dicha probabilidad es máxima y mínima?
20. Trabajaremos en la base de autoestados de J 2 y J z con j = 1/2 (ordenados de mayor a menor autovalor). El Hamiltoniano del sistema está dado por el operador: H J x
( cte.)
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado propio de J y con el autovalor máximo posible. (i) Construya el estado del sistema en t = 0. (ii) Calcule las probabilidades de aparición de los posibles resultados de medir J z. Calcule < J z> (iii) Calcule las probabilidades de aparición de los posibles resultados de medir H . Calcule < H >
Problemas de exámenes de Física Cuántica 37 _____________________________________________________________________________________
21. Sea una partícula de masa m en un pozo infinito de potencial unidimensional entre 0 < x < L. La partícula se encuentra inicialmente en un estado ( x,0) A x ( L x ) siendo A una constante de normalización real. (i) Calcule los autoestados y autovalores del Hamiltoniano del sistema. (ii) ¿Es ( x,0) un estado estacionario? Calcule la energía cinética media en este estado. ¿Cambiará con el tiempo la energía cinética media? (iii) Calcular x. ¿Cambiará con el tiempo? (iv) Calcular ( x , t ) . ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre en el instante t en el n-simo nivel? Nota: No hay que determinar < T > (t ) ni x (t ), sólo razonar si dependerán o no de t .
22. En la base de autoestados de L2 y Lz con l = 1 (ordenados de mayor a menor autovalor) el Hamiltoniano de un sistema está dado por la matriz:
0 i 0 H i 0 0 0 0 1
( cte.)
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado propio de Ly con el autovalor mínimo posible. (i) Construya el estado del sistema en t = 0. (ii) Calcule las probabilidades de aparición de los posibles resultados de medir Lz. (iii) Calcule < H > Nota:
Hay que construir explícitamente las matrices de los operadores de momento
angular que se precisen.
Problemas de exámenes de Física Cuántica 38 _____________________________________________________________________________________
23. Trabajaremos en la base de autoestados de L2 y Lz con l = 3/2 (ordenados de mayor a menor autovalor) el Hamiltoniano de un sistema está dado por el operador: H L z
( cte .)
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado propio de Lx con el autovalor máximo posible. (i) Construya el estado del sistema en t = 0. (ii) Calcule las probabilidades de aparición de los posibles resultados de medir Lz. (iii) Construya el estado del sistema en cualquier instante t.
24. Trabajaremos en la base de autoestados de J 2 y J z con j = 1 (ordenados de mayor a menor autovalor). El Hamiltoniano del sistema está dado por el operador: H =
α
2
J 2 + J 2 ( α = cte. ) +
En el instante t = 0 el sistema se encuentra en un estado propio de J X con autovalor cero. (i) Construya el estado del sistema en t = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que al medir J Z en este estado se obtenga el autovalor cero? (ii) Construya el estado del sistema para todo t. (iii) Calcule < H >, < J 2>, < J X>, < J Y>, y < J Z> para todo t. Nota:
Hay que construir explícitamente todas las matrices de los operadores de
momento angular que se precisen.
Problemas de exámenes de Física Cuántica 39 _____________________________________________________________________________________
25. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión bajo la influencia de un potencial V (x). Su función de ondas normalizada es: 1/ 4
γ 2 ψ (x)= π
exp γ x / 2 y su energía es E = 2 2
2
γ2
2m
a) ¿Es un estado ligado? Calcular V (x) b) Calcule la incertidumbre P en el estado c) Calcule la densidad de probabilidad de que la partícula tenga un momento lineal p. A partir de ese cálculo, evalúe de nuevo P.
26. Una partícula de masa m está sometida a un potencial en tres dimensiones V ( x, y , z )
1 m 2 x 2 V ( y , z ) 2
donde V ( y , z ) es un pozo bidimensional infinito entre 0 < y < a y 0 < z < a. a) Autoestados y autovalores del Hamiltoniano. ¿Qué relación debe existir entre y a para que el primer nivel excitado sea no degenerado (singlete)? b) En ese caso supongamos que al medir la energía sólo se pueden obtener los valores correspondientes al nivel fundamental y primer nivel excitado con igual probabilidad (considere nulo cualquier posible desfase relativo en la función de ondas). Calcule
Problemas de exámenes de Física Cuántica 40 _____________________________________________________________________________________
27. El Hamiltoniano de un sistema es el operador H A ( = cte.). En t=0 el sistema se encuentra en un estado |ψ(0)> propio del operador B correspondiente al menor autovalor posible.
0 i 0 1 A i i 0 2 0 i 0
1 B 2
0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 C 2
0 1 0 1 1 1 0 1 0
a) En t=0 se mide la energía del sistema. ¿Qué valores y con qué probabilidades se encontrarán? b) Calcule |ψ(t)>. Calcule el tiempo t 0 que debe transcurrir (en función de ) para que en dicho instante el estado coincida con el autoestado del operador B correspondiente al mayor autovalor. c) Si el operador V C ( = cte.). Calcular
PROBLEMAS AVANZADOS
Problemas avanzados de Física Cuántica 42 _____________________________________________________________________________________
1. En el Universo existe un fondo de radiación electromagnética isótropa de espectro anáologo al de un cuerpo negro de temperatura aproximadamente T 3 K. Calcular la densidad de fotones y su energía media. Solución: 548 fotones/cm3; 710-4 eV/fotón
2. Demostrar que si definimos la densidad de corriente de probabilidad y la densidad de probabilidad , entonces se verifica la ecuación:
, ∗∗ 0
, ∗
A partir de lo anterior demostrar que la constante de normalización de la función de ondas no depende del tiempo, es decir:
∗ 0 3. Demostrar el teorema de Ehrenfest:
>, Ayuda: Utilizar las
siguientes relaciones:
∗ ∗∗ ∗ 0 Demostrar el teorema de Ehrenfest como un caso particular de la siguiente relación para el observable A:
, 4. Demostrar que la ecuación de Schrödinger unidimensional en representación de momentos es:
, ′′,′ , √
,
donde y respectivamente.
son las transformadas de Fourier de
, y
,
Problemas avanzados de Física Cuántica 43 _____________________________________________________________________________________
5. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión (supuesto partículas de masa m que inciden desde x= – ) para el “potencial delta” V (x) = – (x), >0. Si la energía de las partículas es E < 0, ¿existe algún estado ligado? Demostrar previamente que las condiciones de contorno para la función de onda (x) son: (0+) = (0-); ′ (0+) – ′ (0-) = – (2m/ħ2) ′ (0)
Ayuda:
Solución: T =
6. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión (supuesto partículas de masa m que inciden desde x= – ) para el potencial V (x) = (x– a)+(x+a)], >0. ¿Existe resonancia? Solución:
,
Sí, hay resonancia si tan2ka =
siendo k 2 = 2mE /ħ
7. Se puede demostrar que para barreras de forma arbitraria en los que la “penetrabilidad” es pequeña, el coeficiente de transmisión viene dado por la expresión:
2 2 donde x1 y x2 son los puntos en los que V ( x) = E . Aplique esta expresión para calcular la emisión de electrones desde la superficie de un metal sometido a un campo eléctrico uniforme . Es decir, V ( x) = V 0 – e x si x ≥ 0 y V ( x) = 0 si x < 0. Este efecto se denomina “emisión de campo”. Considerar que V 0 – E = W , siendo W la función de trabajo del metal.
Calcular el campo eléctrico necesario para que T = e-50 siendo W = 4 eV. Solución: 109 V/m
Cons antes físicas undamentale 45 ____ __________ __________ __________ __________ __________ ____________________ _____