Problemas de Geometría y Cómo Resolverlos - RACSO

Geometría

roblemas de

y cómo resolverlos Por: Ernesto Quispe Rodríguez Luis Ubaldo Caballero

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Dirigido por: F e lix A

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Primera edición en español Copyright © 2000 por RACSO Editores

Prohibida la reproducción total o pare I de esta obra por cualquier método de publicau >n y/o almacenamiento de información, tanto del textn como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la 1NDECOPI de acuerdo a la Ley N° 13714 y al artículo N° 221 del Código Penal vigente.

Printed in Peru - Impreso en Heru Imprenta MAQUETI E.I.R.L. - Jr. Carlos A rretu 1319 - Lima 1

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SERIE DE LIBRO S Y C O M P E N D IO S C IE N T IFIC O S

COLECCION RACSO

PROBLEMAS DE GEOMETRIA Y COMO RESOÖ/ERLCS 1^ EDICION

COLABORADORES:

Lic. Lic. Lic. Ing. Ing. Ing. Lic.

RACSO EDITORES

Héctor Ortíz Becerra Javier Reynaga Alarcón. Juan C. Sandoval Peña James Monge Jurado Manuel Inga de la Cruz Carlos Carbonell Romero Roberto Choquehuayta M.

UNI UNI UNI UNCP UNPRG UNPRG UNSA

LIMA

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Título Original de la obra: Problemas de Geometría y cómo resolverlos © 2000, por RACSO EDITORES Primera edición Publicada por RACSO EDITORES - ABRIL 2000 Supervisión general: Ing. Martín Casado Márquez (UNI) Profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional de Ingeniería Revisión de estilo: Dr. Carlos Chávez Vega Revisión Técnica: Javier Reynaga Alarcón Luis Vallejos Velásquez Composición, Diagramación e Ilustraciones: Compañía Editorial. RACSO EDITORES Supervisión de la edición: Miguel Angel Díaz lorenzo Compañía Editorial: RACSO EDITORES Dirigida por: Félix Aucallanchi Velásquez Primera edición en español Copyright © 2000 por RACSO EDITORES Los derechos autorales de ésta obra son de propiedad de Racso Editores. Hecho el depósito legal en la Dirección de Derechos de Autor de INDECOPI, y amparado a la Ley N° 13714 y al Código Penal (Artículo 221). Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley N° 13714 y el artículo N° 221 del código penal vigente.

Pnnted in Perú - Impreso en Perú

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PRÓLOGO Resulta importante reconocer las veces en que nuestros trabajos tienen un enorme signi ficado en nuestra vida profesional, uno de ellos es, qué duda cat>e, e1 culminar un libro y más aún cuando nos corresponde presentarlo. Por tanto es esta una excelente oportunidad para dar testimonio de nuestra dedicación ofreciendo a quienes nos leen, un trabajo académico de mucha importancia para quienes forman parte de aquel inmenso número de estudiantes que confiesan tener un especial interés por aprender los secretos de una ciencia tan interesante y útil como la Geometría. Por centurias una de las dedicaciones favoritas de los matemáticos ha sido la Geometría, sus demostraciones y sus aplicaciones. A todo estudiante de secundaria en todos los tiempos, le ha sido imposible poder encontrar en una sola obra toda la información teórica > así mismo una enorme cantidad de ejercicios de fácil acceso para su solución. Al iniciar este trabajo la editorial nos propuso el reto de elaborar un texto con tales características, es decir, alcanzar el sueño dorado. En principio, debemos reconocer que la tarea de selección tanto de los fundamentos teóricos como de las aplicaciones prácticas, fue ardua y prolongada. Muchas cosas han queda do en el tintero, entre ellas algunas demostraciones y también problemas, que las postergamos con la ilusión de verlas publicadas en un trabajo posterior y más especializado. El presente texto ha sido elaborado pensando especialmente en los modelos de problemas que son en la actualidad los considerados en los exámenes de ingreso, por ello hemos estable cido una gran relación entre la parte teórica expuesta y los ejercicios resueltos. Esto servirá para que el lector p'ieJa recorrer un capítulo completo sin la engorrosa necesidad de memorizar o demostrar teoremas o algunas propiedades particulares. Publicar un texto de esta envergadura en las actuales circunstancias, de abundante infor mación y de contenidos cambiantes, provocó en nosotros una ambición tanto en el número de tenias a desarrollar como el de aplicaciones a mostrar. Tal vez por esta razón, inicialmente pensa mos que nuetro trabajo sería muy tedioso de leer, sin embargo al iniciar su lectura, el investiga dor se sentirá animado Je continuarla por que notará de nuestra parte un sutil “ablandamiento” de la parte axiomática del curso. Esto nos demuestra una vez más, que no existe una materia que pudiera considerarse imposible de aprender, pues todo depende de la voluntad que demuestren no solo el estudiante sino también la sencillez del material didáctico que se emplee. Hemos tratado de incluir en esta obra todos los artificios, métodos y procedimientos en general que hemos logrado conocer, aplicar y dominar durante nuestros años dedicados a la docencia pre universitaria. Se apreciará en muchos casos que nuestra voluntad ae pedagogos será insuficiente para los logros posteriores como es el dominar un tema para pasar al siguiente, si de parte del lector existe una notable deficiencia en el dominio de las materias básicas de un curso de Geometría Elemental. Esperamos que nuestro trabajo pueda contribuir a mejorar el nivel académico de los estu diantes de nuestro país, en especial de aquellos que aspiran a lograr un ingreso a las institucio nes educativas de prestigio, que son finalmente las más exigentes en sus exámenes de admisión. Los autores.

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PROLOGO DEL EDITOR Como en cada oportunidad en que me toca el inmenso honor de presentar un trabajo nuevo, producido con muchísimo profesionalismo, esta es una muy especial, tanto po> las características de la obra, como por el volumen que ella posee. Es que se trata de un trabajo que se inició con mucha anterioridad y se dejó de hacer por las divergencias en los enfoques de ios autores con el editor, las mismas que se superaron con el diálogo tan paciente con este servidor. Debo agradecer a los autores que tuvieron a bien ser persuadidos por la filosofía de nuestra casa editorial, la que tiene poi propósito elaborar una colección de textos con caracterís ticas especiales cuyo plato fuerte es la resolución de una variada y rica cantidad de ejercicios resueltos y propuestos. Nos es muy grato verlo culminado, y es un texto que estoy seguro marcará un hito entre la enonne producción nacional de textos de ciencias. Luego de revisar los más exigentes prospectos de admisión y apreciar los exámenes de ingreso , nos propusimos elaborar un libro que reuniese las características de los de la misma colección, pero esta vez había que hacerlo sin tener muchas referencias de otros con similares características, pues es cierto, la mayor abundancia de trabajos en relación a cuestiones de Geometría se da en fascículos o bibliografía incompleta, tal vez por que los autores nacionales reconocen que hacer un libro completo de esta materia es una tarea muy ardua y por que no decirlo muy ambiciosa, la que muchas veces choca con nuestras posibilidades de tiempo por la dedicación que ella demanda. Nosotros nos la propusimos, y estamos orgullosos de presentarla ya terminada. Nuestra misión de revisar el material antes de su publicación se volvió muchas veces impertinente, pues sin damos cuenta nos veíamos contagiados de seleccionar lo mejor p a n su publicación , sin embargo la tolerancia y el buen ánimo de los autores nos hicieron ver en muchos casos las bondades de su trabajo y los horizontes de su estrategia. Celebro que todas estas circunstancias se hallan superado para dar paso a una obra verdaderamente completa en su concepción y estoy plenamente convencido que calará entre los lectores más exigentes. Acerca de los autores debo decir que se trata de prestigiados profesionales que llevan muchos años de ejercicio docente y también como cuajados autores de libros y compendios de calidad probadas. Es una garantía que ellos elaboraran una obra como la que nos habíamos propuesto, nos entendieron y se pusieron a trabajar en este proyecto desde hace aproximada mente tres años, la tarea se ve culminada ahora y estamos segaros que formará parte de la bibliografía obligada de todos los estudiantes de esta materia. Es nuestro propósito poner en vuestras manos, libros de excelente calidad y de gran nivel, tanto por la didáctica que estas transmiten, así como por la amplitud de los contenidos, Nuestra colección se ve ahora incrementada con un trabajo que contribuirá en la formación de nuevas mentes científicas, ahora en un momento en que nuestro país reclama de sus hombres y mujeres sus mejores cualidades, debiendo recordar y/o hacer saber que los años noventa han sido declarados como la "década del cerebro", por ende la riqueza de un país será en este nuevo siglo la que provenga del conocimiento. Esperamos alcanzar el mismo éxito que tuvieron nuestras publicaciones anteriores y esta remos atentos a te Jas las observaciones y sugerencias que nos hagan llegar nuestros lectores. El Editor

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AL PROFESOH El texto Problemas de Geometría y cómo resolverlos, es un trabajo que el profesor podrá emplear como complemento de sus sesiones teóricas, pues en ella se encontrará un abundante material de aplicaciones como los ejercicios de aplicación directa y los de mayor nivel de dificultad en la sección denominada Miscelánea. Todos estos ejercicios han sido serenamente seleccionados, pues es fácil ser seducidos por aquellos problemas de gran dificultad y prolongadas resoluciones, sin embargo los que se encuentran aquí publicados son a nuestro juicio los mas adecuados por serformativos y por que responden a las actuales tendencias en los exámenes de ingreso . Usted podrá apreciar que las secciones teóricas se exponen de manera que cada tema ha quedado dividido en varias partes con la finalidad de insertar al fin a l de cada una de ellas , un determinado grupo de problemas denominados "Ejercicios ríe aplicación". Esto se ha hecho así por que consideramos que la prolongada exposición de la teoría resulta agotadora para un estudiante ávido de ver las aplicaciones correspondientes, quién al hacerlo sentirá que lo recientemente expuesto es de fá cil retención y uso. Estamos convencidos que la secuencia de los Ítems es el mismo que se emplea en la mayoría de institucioners educativas de nuestro país, muy especialmente en los centros de preparación preuniversitaria. Por ello creemos que este material puede ser utilizado independientemente del lugar de preparación así como de la especialidad a ¡a que se va a postular. En cuanto se refiere a los problemas resueltos de mayor nivel de dificultad, debemos indicar que éstos se encuentran expuestos en la sección denominada "Miscelánea ", allí los problemas se han ubicado tanto por el orden de la teoría como por su nivel de dificultad. Asimismo en cada resolución se hace referencia a los resúmenes teóricos , nombrándose la propiedad y/o el item al cual pertenece la propiedad a emplear. Es importante destacar que uno de los principales obstáculos a los que nos solemos enfrentar los docentes de Geometría es a la variada aplicación que se puede encontrar en cada tema, por ello con la finalidad de abarcar el mayor número de problemas tip o s, hemos creído conveniente resolver dichos ejercicios del modo mas breve posible sin omitir las rigurosidades que demanda una solución matemáticamente convincente y correcta posible. El grupo de problemas propuestos se ha dividido en tres niveles de dificultad, lo cual es un estilo propio de esta casa editorial, empezando con los de nivel 1 que son siempre los mas sencillos, pasando luego a los de nivel 2 que son de mayor dificultad y finalm ente los de nivel 3 que a nuestro juicio demandaran del estudiante una mayor dedicación y tiempo. Todos los esfuerzos que hagamos para que nuestros alumnos puedan encarar con éxito sus pruebas nos harán merecedores de sus halagos y gratitudes, es este el fin que nos mueve a superarnos cada día mas, para estar a la altura de las nuevas exigencias y mirar con esperanza los nuevos retos de la enseñanza actual. Atentamente: Los Autores

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AL ESTUDIANTE Resulta interesante observar que uno de los cursos de mayor aceptación por parte de la mayoría de los postulantes es Geometría, tal vez por que ustedes tienden a relacionar rápidamente lo visto en el colegio con lo que observan en tos Centros de Preparación Preuniversitaria, aunque también no es menos cierto afirmar que este inicial apego se va diluyendo a medida que van tocando temas nuncc antes vistos por ustedes. Debemos recomendarles que así como puede parecer f á c l la primera parte del curso, lo son también los últimos, todo consiste en no perder la ilación de los temas iniciales en los que se sugiere ser atentos y no dejarse llevar poi la opinión casi general ds que aquello es fácil, pues como en toda ciencia, lo difícil se presenta cuando empezamos a relacionar temas, es decir, cuando los ejercicios se resuelven empleando propiedades anteriormente vistas. El desarrollo de problemas en Geometría demanda del estudiante una visión especial de cada caso, pues en mas de una ocasión se comprobará que las resoluciones obedecen a un determinado patrón de procedimientos, los que solo con la práctica se vuelven rutinarios. Es menester de cada alumno estar siempre predispuestos a resolver primero cada ejercicio que aquí se presenta resuelto, pues debes saber que las resoluciones aquí mostradas son nuestras, es decir son la manera como nosotros hemos considerado resolverlas, sin embaí go , tú tienes tuforma de verlas cosas que no tiene porqué coincidir con la nuestra, por lo demás solo debemos estar de acuerdo en que tu solucion y la nuestra deben ser las mismas. El texto "Problemas de Geometría y cómo resolverlos" se pone a tu disposición, con la finalidad de satisfacer tus requerimientos con respecto al curso. El resumen teórico que se expone en el inicio de cada capítulo no debe ser necesariamente memorizado, debes dejar es n al ejercicio continuo, para lo cual se han presentado una gran variedad de problemas resueltos y propuestos que han sido cuidadosamente ordenados teniendo en cuenta el nivel de dificultad que presentan cada uno de ellos; esto te permitirá tener un amplio dominio del capítulo tratado. Recomendamos al estuaiant, para un mejor manejo del texto, seguir las siguientes normas: 1°) Repasar atentamente el resumen teórico del capitulo a tratar. 2°) Repasarlos ejercicios y problemas resueltos, observando en cada uno de ellos, la aplicación de su resumen teórico. 3°) Intentar por tu propia cuenta los ejercicios y problemas resueltos y luego comparar tus pasos con aciertos y/o desaciertos con la resolución que presentamos pare cada problema. 4°) Entrenarse con los ejercicios y problemas propuestos y consultar con tu profesor sobre tus dificultades y nuevos métodos. Finalmente esperando que "Problemas de Razonamiento Matemático y cómo resolverlos " logren en tí una mayor capacidad de raciocinio, no me queda mas que desearte éxitos en tu meta trazada. Atentamente : Las Autores

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ÍNDICE GENERAL Página CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP CAP CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP. CAP CAP. CAP. CAP. CAP.

1.- Número de Puntos de Intersección (N .P .I.)................................................................ 11 2.- Segmentos de R ecta.................................................................................................. 39 3.- Á ngulos........................................................................................................................ 67 4.- Triángulos I ................................................................................................................ 99 5 .- Triángulos I I ............................................................................................................ 139 — 6.- P olígono s..................................................................................................................... 181 7.- C uadriláteros.............................................................................................................. 213 8.- Circunferencia I ..................................................................................................... 259 9.- Circunferencia I I .................................................................................................... 301 10.- Puntos N o tab les......................................................................................................... 343 11.- Proporcionalidad....................................................................................................... 375 12.- Semejanza de T rián g u lo s..........................................................................................409 13.- Relaciones M étricas en Triángulos R ectángulos.......................................... 443 14.- Relaciones M étricas en Triángulos O blicuángulos...................................... 477 15.- Relaciones M étricas en la Circunferencia I ................................................... 507 16.- Relaciones M étricas en la Circunferencia I I .................................................. 537 17.- Polígonos Regulares: Potencia y Eje R ad ica l..................................................... 571 18.- Áreas de Regiones T riangulares............................................................................ 607 19.- Relación entre las Áreas de dos T rián gulos........................................................ 655 20.- Áreas de Regiones C uadrangulares.................................................................... 691 21.- Áreas de Regiones P oligonales........................................................................... 731 22.- Áreas de Regiones C irculares............................................................................... 767 23.- Geometría del Espacio: Rectas y P lanos.............................................................. 807 ‘ 24.- Ángulos P o lied ro s..................................................................................................... 843 25.- Poliedros R egulares................................................................................................... 877 2 6 .-Sólidos Poliédricos....................................................................................................... 911 27.- Cilindro y C o n o ........................................................................................................... 947 28.- Sólidos Truncados..................................................................................................... 983 29.- La Esfera y sus P artes................................................................................................. 1017 30.- Superficies y Sólidos de R evolución....................................................................... 1051

Claves de R espuestas................................................................................................................... 1087 Bibliografía........................................................................................................................................1090

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SÍMBOLOS |1 : 2 ; 3 (

conj. con elementos 1, 2 y 3

tal que

conj. de los números naturales sin cero: 1; 2; 3 ;...

/ =

conj. de los números enteros:...; -2: - I ; 0; 1;

3í

desigual, distinto

conj. de los números enteros positivos

3

idéntico aproxi madamente número par

N

conj. de los números naturales: 0; 1; 2; 3; ...

N* Z z+

si y solo si

Z-

conj. de los números enteros negativos

=

Q

conj. de los números racionales

2n

0'

conj de los números irracionales

&

conj. de los números reales

tf+

conj. de los números reales positivos conj. de los números reales negativos

c

2n + 1 2xi - 1

igual

(n * 0)

número impar (n 6 Z) número impar (n e N)

OC

proporcional a

w

valor absoluto de a

a> b

a es mayor que b

a
a es menor que b

a^b

a es mayor o igual que b

conj. de los números complejos

i

símbolo que representa a -J-l conjunto nulo o vacío

()O0

a
a es menor o igual que b

6

pertenece a ...

a»b

a es mucho m ayor que b

e

no pertenece a ...

a «b

a es mucho m enor que b

A intersección B

~

semejante

A uB

A unión B

=

congruente

<>

equivalente

<

A nB

O

A es subconjunto de B

<

A cB

complemento del conj. A

a < c
c es mayor que a y menor que b

3

existe

A

y

í

no existe

V

o

3!

existe un único

*

no existe un único

V

para todo

Z (*;?)

/(*> /-' M n!

función de x función inversa de x factorial de n = n .(n

no para todo

sen x

seno del número x

suma, o, sumatoria

eos x

coseno del número x

un par ordenado de números

tg *

l).(n

tangente del número x

d (A B)

distancia entre los puntos A y B

C tg A

cotangente del número x

—> O ..

implica, luego, por lo tanto

sec x

secante del número x

es equivalente a, implica en ambos sentidos

CSC Jt

cosecante del número x

=>

entonces

Km

límite

2 ).

Intersectar es producir uno o m ás puntos com unes entre dos figuras geométricas, sin embargo cuando éstas son rectas, curvas cerradas o figuras poligonales, se generan un deter minado núm eio de puntos com unes llamados puntos de intersección. Una adecuada disposición de figuras geom étricas puede producir un máximo núm ero de puntos de intersección . Será nuestra tarea atender todas aquellas situaciones en las que se presenten dichos casos. Los problemas que se desarrollaran en este capítulo son aquellos en los que general mente se buscará encontrar un Número de Puntos de Intersección Máximo (N.P.I.máx), para un conjunto definido de figuras geométricas. Para el estudio del presente capítulo, utilizaremos las siguientes fórmulas :

1.1 F Ó R M U L A S PKINCLEA LI^S A) PARA "n" RECTAS SECANTES.-

Contabilizando los puntos de intersección entre dos rectas, se tendrá que para V rectas el máximo número de puntos de intersección estará dado p o r : N.P.I.

=

n (n -1)

... ( 1. 1)

Ejemplo : Hallar el N.P.I.máx de cuatro rectas secantes.

Resolución : En el gráfico m ostrado se ilustra el caso de n = 4 rectas secantes, las chales se han dispuesto de m odo que el núm ero de puntos de corte sea máximo, contabilizándose 6 : N.P.I.máx . =6 Si aplicamos la relación (1.1) tendrem os para n = 4 rectas secantes : _ 4^4-1} N.P.I.m áx . =

_

Este resultado nos permite com probar la veracidad de la relación daaa

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Problemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Qulspe R.

B) PARA "n" CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-

En este caso los puntos se obtienen inteisectando las circunferencias de dos en dos, de este modo para "n" de ellas el máximo número de puntos de inter sección estará dado p o r: N .P .I. m ax . = n (n -1 )' F ig. 1.2

Ejemplo: Hallar el N.PI max . de 3 circunferencias secantes J r Resolución.-

puede observar que el N.P.I. máx =6 .

En el gráfico

A continuación, aplicamos la relación ( 1 2 ) , para n — 3 circunferencias secantes, en donde tendremos que : N.RI máx . =6

N.P.I „ * = 3 (3 -1 )

Resultado que nos permite confirmar la veracidad de la ralación d a d a . C) PARA "n" TRIÁNGULOS SECANTES.-

Dos triángulos tienen com o máximo 6 puntos de intersección, y "n" triángulos tiene un máximo núm ero de puntos de intersección que está dado por N .F .I .n f a = 3 n ( n . l )

...( 1 .3 )

Ejemplo: Hallar el N.P.I max . de 3 triángulos secantes . * r 3

Resoiución.En el °cráfico mostrado se rpuede observar que el N.RI. max . =18 ^ Ahora si aplicamos la relación (1.3) para n = 3 triángulos secantes, tendrem os N.RI

= 3.3 (3 -1 )

N.P.I max . = 18

Numero de Puntos de ¡nteisección (N.P.I.)

Luis Ubaldo C

fc)6 K c i a o s

o t

13

u r L k í H ' i o n ' ( i ; P A i . r t 'i

1.- Hallar el máximo número de puntos de intersección de 16 rectas secantes.

Resolución.Para calcular el máximo número de puntos de intersección de "n" rectas secantes se utiliza la relación ( 1 .1 ): n ( n - l) NPI . = ---- ~— puntos Luego para nuestro problema se trata de : n = 16 rectas secan tes, de este m odo el máximo núm ero de puntos de intersec ción, se obtendrá a s í: NPU , = 16 ° 96 ' U =

120 puntos

2.- Si se retira una recta de n rectas secantes, el máximo número de puntos de intersec ción disminuirá en 14. Hallar “n". _ , * _ p_l r , í- l ' T ' Resoiución.-

P araW rectas, el máximo núm ero de puntos de intersección estará dado por la relación (1.1): P P -M í -Y ) — r . J rl. = n (n - l )/2 Nprr Pero si se retira una (1) de estas rectas, entonces em pleando la misma relación diremos que el ___ ^ „ máximo núm ero de intersecciones, está dado a s í: NPImáx = (n - 1) (n - 2)/2

e*.

Q PP-2& =

-? 0 4 X

De acuerdo con la condición del problem a se debe verificar que : 2 ,n p NPImáx ” NPImáx = 1 4 n ( n - 1) 2

( n - 1) ( n - 2) _ '

2

Efectuando las operaciones indicadas : De do n d e:

fj

(n -1 ) (n - n + 2) = 28

2 (n -1 ) = 28

=>

n -1 = 14

n = 15

n —

430

("I

^

J

14

Problema.r de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

3.- Hallar el número de rectas secantes, tal que al aumentar una de ellas, el máximo número de puntos de intersección se duplica. y .n p -1 ~ x'T

Resolución.Según el dato del problema, al aum entar una recta el máximo núm ero de puntos de intersec ción se duplica, esto quiere decirque si n es el núm ero de rectas, tendrem os : (n- 1) (n + 1 - 1) _ 0 n ( n - 1) 2

Efectuando :

2

n (n + 1) = 2 n (n -1)

Luego:

n + 1 = 2n - 2

=>

n= 3

4.- Hallar el número de rectas que se intersectan entre si, sabiendo que si se quitara una, el número de puntos de intersección disminuirá en 4.

Resolución.Sea "n" el número de rectas que se intersectan entre si, luego de la relación (1.1) tendremos : ( n - 1) ( n - 1- 1) _ n ( n - 1) 2 2 Efectuando : De donde :

(n

.

1) (n - 2) = n (n -1 ) - 8 n -1 = 4

=>

n= 5

5.- El máximo número de puntos de intersección más el número de vértices de “n" trián gulos que se intersectan entre si es 588. Hallar n.

Resolucion.E1 máximo núm ero de puntos de intersección en que se intersectan "n" triángulos se obtiene utilizando la relación (1.3) : NP1m ax = 3n (n -1 )J Puesto que el núm ero de vértices de "n" triángulos es 3n, según el dato del problem a plantea mos la siguiente ecuación : 3 n ( n - l ) + 3 n = 588 Efectuando: Luego :

n2 - n + n

= 196 n2 = 142 n = 14

........(196 = 142)

Número de Puntos de Intersección (N.P.I.)

Luis Ubaldo C.

J

15

fc& PJÇ C J AJ

D) PARA "n" POLIGONOS CONVEXOS DE "L" LADOS

Al observar la relación (1.3) encontramus que en ésta se presenta el coeficiente 3 que representa al número de lados del po.iyono. Por lo tanto cuando dicho número sea L, tendrem os: N.P.I. m ax . = L n (n -1 ) Donde :

... (1.4)

n = número de polígonos secantes L = núm ero de lados

Ejemplo :

Hallar el N.P.I maxde 2 polígonos de 6 lados.

Resolución.Er. el gráfico m ostrado observamos que hay 12 puntos de interseción. Si a continuación em pleamos la relación (1.4), tendrem os : N R 1 -máx

N.P.I max . = 12

= 6 - 2 t2 - n

E) PARA "n" ELIPSES SECANTES

Si observamos la intersección de dos elipses com probarem os que el núm ero de puntos de intersección es el doble del que se presenta entre dos circunferencias, por lo tanto y en base a la relación ( 1.2), tendrem os que : N .P .L roíj[= 2 n ( n - l )

...(1.5)

Donde :

n = núm ero de elipses secantes.

Ejemplo:

Hallar el N.P.I mij de 3 elipses secantes

Resolución.E1 gráfico muestra que hay 12 puntos, luego en la relación (1.5) N.P.I.mav . = 2 .3 (3 -1 )'

=>

N.P.I . = 1 2

F) PARA "n” CUADRILATEROS NO CONVEXOS SECANTES

Al observar la interseccción de dos cuadriláteros no convexos, comprobamos que estos lo hacen hasta en 8 puntos com o m áxim o, luego paran figuras como éstas se tendrá que : N. P. 1 .^ = 8 n ( n - 1)

I

...( 1 .6 )

16


Ernesto Quispe R.

Ejemplo : Hallar el N.RImáxde 2 cuadriláteros convexos no secantes

Resolución.Como se puede observar, en el gráfico dado hay 16 puntos. Si em pleam os la relación (16) para n = 4 , tendremos que :

N.PI

. = 8 - 2 (v2 - 1 )

=>

m ax

N.P.I itm: = 16

SUGERENCIAS. Es frecuente encontrar problemas en los que los puntos de intersección lo producen varios conjuntos distintos de figuras geométricas. Rectas + C ircunferencias + Triángulos En estos casos se recom ienda proceder a encontrar los puntos de intersección por pare jas y por separado, para luego proceder a una adición entre todas las obtenidas

6.- Hallar el máximo número de puntos de intersección de 8 cuadriláteros. Resolución.-

Sabemos que con "n" polígonos convexos de "L" lados cada uno, se intersectan com o máximo, en un núm ero de puntos que viene dada por la relación (1.4): N P. r max = L n (n - 1) puntos Por tratarse de cuadriláteros, entonces : L = 4 , y por ser ocho las figuras que se intersectan, se tiene que : n = 8. Luego el número máximo de puntos de intersección de 8 cua driláteros s e rá : N. P. I.máx =4 (8) (8 1) = 224 puntos 7.- El máximo número de puntos de intersección de un grupo de circunferencias secantes es igual al décuplo del número de circunferencias. Calcular el máximo número de puntos de intersección entre igual número de icoságonos convexos secantes. Resolución.-

Empleando la fórmula 1.2 se tiene : NPI

= n (n -1) , donde n = Nc de circunferencias

Numero de Puncos de Intersección (N.P.I.)

Luis Ubaldo C.

Igualando:

17

1On = n (n -1) =>

n = 11

Nos rpiden el NPImax . entre 11 incógnitas secantes para ello recurrimos a la fórmula 1.4 ° Donde :

L = 20 (número de lados del icoságono) y n = 11

Luego: 3

NPI max . = 2 0 .1 1 (1 1 -1 ) NPIm ax . = 2 200

8.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas secantes, 15 paralelas y 20 circunferencias secantes.

Resolución.En primer lugar, hallaremos el máximo número de puntos de intersección de cada conjunto de figuras iguales o sem ejantes A continuación calcularemos el máximo núm ero de puntos de intersección de la combinación de cada dos de estos conjuntos y finalmente sum aremos estos resultados, obteniéndose así el máximo número de puntos de intersección de todas las figuras d ad a s. V eam os: a) Entre las 10 rectas secantes se encontrará el máximo núm ero de puntos de intersección aplicando la relación ( 1 .1), es d e c ir: NPI——i*—— = 45 puntos max

=>

NPI . = 45m ax puntos

b) Entre las 15 rectas paralelas no existe intersección alguna , luego el núm ero de puntos de intersección se considera igual a Ceio (0). c) Entre las 20 circunferencias se sabe que el máximo núm ero de puntos de intersección viene dada por la relación ( 1 2 ), donde n = 20, es d e c ir: NPImáx = (20 -1) = 380 puntos

=>

NPImax = 380 puntos

A continuación nos corresponde efectuar las combinaciones entre estos grupos, tomados de dos en dos. Veamos : 1ro.- Entre (a) y (£>) , el número máximo de interseciones viene dado por el siguiente producto: 1 • 10 ■15 = 150 puntos

A A

/j|__ Número de rectas oaralelas. Número de rectas secantes Número de puntos entre una recta y una paralela.

NPIm ax . = 1 5 0 pr u n to s

Problema„ de Geometría y cómo resolverlos

18

Ernesto Qulspe R.

2d". Entre (£>) y (c) el núm ero de intersecciones está dado por el siguiente producto : 2 15 • 20 = 600 puntos. A A i I________ Número de circunferencias ---------------Número de rectas paralelas Número de puntos entre una paralela y una circunferencia =>

NPImax . = 600 rpuntos

3ro.- Entre (a) y (c)el núm ero de intersecciones lo da el siguiente producto : 2 • 10 ■20 = 400 puntos. A A Número de circunferencias

t

Número de rectas secantes Número de puntos entre una recta secante y una circunferencia =>

NPlmáx = 400 puntos

Finalmente, para obtener el máximo núm ero de puntos de intersección de todas ellas, debe mos efectuar la sum a de los resultados obtenidos en los pasos anteriores : N = 45 + 0 + 380 + 150 + 600 + 400 N = 1 575 9.- Si a un grupo de cuadriláteros se le quitan 4 entonces el N.P.I. máximo disminuye en 288 puntos, pero si se le agregan 4, el N.P.I. máximo aumentará e n :

Resolución.Sea "n" el número de cuadriláteros no convexos, luogo en base a la relación 1.6 tendrem os que: NHmAx = 8n (n - 1) (l.l.f) al quitar 4 cuadriláteros no convexos quedarán (n - 4) los cuales producirán : 8 (n - 4) (n - 5) puntos Luego :

8n (n - 1) - 8 (n - 4) (n - 5) = 288 n2 - n - (n2 - 9 n + 20) = 36

8n - 20 = 36

=>

n= 7

El N.P.l.máx para los 7 cuadriláteros no convexos es :

8 ■7 (7 -1 ) = 336

Y el N.P.I.max. rpara 11 cuadriláteros no convexos es :

8 11(11.1) = 880

El aumento de puntos de puntos de intersección será :

880 - 336 =

544

Luis ubaldo C.

Numero de Putuos de Intersección (N.P.I.)

19

10.- Hallar el máximo número de puntos de intersección entre 5 octógonos y 6 decágonos convexos.

Resolución.a) Para los 5 octogonos secantes aplicaremos la relación 1.6 la cual permite determinar: 8 ■5 (5 - 1) = 1G0 puntos b) Para los 6 decágonos secantes aplicaremos la relación 1.6 la cual permite determinar: 10 ■6 (6 - 1) = 300 puntos Luego intersectando los octogonos con los decágonos, tendrem os : 2 ■8 • 5 ■6 = 480 puntos. La suma total nos dará el máximo núm ero de puntos de intersección de todas ellas, es decir: N = 160 + 300 + 480 N = 940 11.- Se tienen "n " dodecágonos secantes con la característica de tener el mismo número de puntos de intersección máximo que 8 nonágonos. Hallar el valor de “n".

Resoluclón.Del enunciado podem os extrar los siguientes datos : D odecágonos: L = 12 , n = ? Nonágonos :

L= 9 , n = 8

A partir de la relación (1.4) se puede establecer que : 12 . n ( n -1) = 9 - 8 (8-1) n2-n = 4 2 n2- n - 42 = 0

"y 7 n/^ + 6 Resulviendo encontram os que :

n = 7

20


1 3 PROPD5D

Ernesto Quispe R.

CO M Pl^M ENT^R^S

1” ) El mínimo número de puntos de intersección (N.P.I.min. ) entre "n" rectas secantes es 1 yJ esto ocurre cuando las rectas son concurrentes tal com o se m uestra en el gráfico adjunto. N.P.I.vnin . = 1

(1.7)

2d*) El mínimo número de puntos de intersección (N.P. I min ) entre "n" circunferencias secantes es 2,* tal como se m uestra en el gráfico adjunto. N.P.I.mín t = 2

...( 1 .8 )

tig. 1.8

3r*) El N.P. I. que se produce al intersectar un polí gono convexo de "m" lados, con otro polígono con vexo de "n" lados (m < n), es 2m. Esto se explica porque en cada uno de losm lados existen dos (2) puntos de intersección, luego : N.P.I. = 2m

...(1.9)

4U) El N.P.I.máx entre un polígono convexo de "n" lados y una circunferencia o elipse, es 2n. Esto es así dado que en cada uno de los n lados existen dos (2) puntos de intersección.

n lados

N.P.Lm4x = 2 n

...(1.10)

Numero de Puntos de Intersección (N.P.I.)

Luis í ibaldo C.

21

5ta) Si se agregan "m"rectas secantes a un grupo de "n ted as secantes.se puede probar que el N.P.I.max aumentará e n : ¿N P .I. = y ( m - l ) + m n

...(1.11)

6,a) Si se quitan "m" rectas secantes a un grupo de "n" rectas secantes, entonces el N.P.I. disminuirá, de tal forma que el nuevo N.P.I.má¡¡, estará dado p o r : A N.P.I. =m n - ~ (m + 1)

...(1.12)

y 1111) El máximo núm ero de rectas que cJpLjrminan "rt" puntos en los que no hay tres (3) colineales, de forma tal que cada ftcta pase solo por 2 puntos, esta aado p o r: # rectas =

^

...(1.13)

8™) El máximo número de triángulos que se pueden determ inar con "n" puntos o rectas, en los que jio hay 3 puntos colineales, ni rectas concurrentes, está dado por : # triángulos =

O

~

... (1.14)

9™) El número de partes en que queda dividido el plano por "n” rectas secantes en los que no hay 3 rectas concurrentes, está dado por : #

partes = ^ ( n + l ) + l

. (1.15)


22

cjeRuciós oe Aplicación

Ernesto Qulspe R.

rare)

12.- Si se retiran 3 elipses de un grupo que se están intersectando, el N.P.Í. máximo disminuirá en 96. Determinar cual sería la disminución de puntos si se trataran de rectas secantes.

Resolución.Para hallar el NPImáj( entre lasn elipses secantes em plearem os la fórmula 1.5 . Luego:

NPlmáx = 2n (n -1)

:

Al retirarse 3 elipses, quedarán (n - 3) ; las que producen : Nplmáx = 2t n - * é t n - 4 ) La disminución de puntos se obtiene por la diferencia :2/7 (n De donde :

1) - 2 (n - 3) (n - 4) = 96

2n2 - 2n - 2n2 + 14n - 24 = 96

Resolviendo :

n = 10

Para hallar la disminución de puntos al tratarse de rectas secantes em pleam os la fórmula : m (m + 1) m n ------- g----- O -12)

Donde : m = 3 yn = 10 , reem plazando : Disminución de puntos =

. 3(3 + n) 3(10) ------- ----- = 3 0 - 6

24

13.-Hallar el máximo número de puntos de intersección entre 4 circunferencias secantes y 6 cuadriláteros no convexos secantes.

Resolución.a) 4 circunferencias secantes se intersectan en : 4 (4 - 1) = 12 puntos,

(relación 1.2)

b) 6 cuadriláteros no convexos secantes se intersectan en : 8 • 6 (6 - 1) = 240 puntos (relaciór 1.6) Luego (a) y (b) :

8 - 4 • 6 = 192 puntos

Finalmente la sum a nos dará el máximo número de puntos de intersección entre todas ellas, es d ecir: N = 12 + 240 + 192 N = 444


Luis Uhu'do C.

23

Observación : La fórmula general, para calcular el máximo núm ero de puntos de intersección entre "n" cuadriláteros no convexos seca.ites s e r á :

N = 8n ( n - 1) 14.-El número de puntos de intersección máximo que producen un grupo de pentadecágonos secantes (incluyendo sus vértices) es 6 000. ¿Cuántos peni ¡decágonos hay en dicho grupo?

Resolueión.Recorriendo a la fórmula l .4 Se tiene

NPI max . = L n (n -l)

Luego

NPImáx = 15n(n -1)

;1 L = 15

Como hay que incluii sus vértices y teniendo en cuenta que cada pentadecágono posee 15 vértices, se tiene : # de vértices = 15n 15n (n -1) + 15n = 6 000

Luego :

15n (n - 1 + 1) = 6 000

Factorizando:

15n 2 = 6 000

Por consiguiente :

n = 20 15.-

Se tienen "n" triángulos secantes. Si se quitan 3 triángulos, el numero máximo de puntos de intersección, disminuye en 54. Hallar el valor de "n".

Resolución.Si a "n” triángulos secantes se quitan 3 triángulos, entonces queoarían (n - 3) triángulos. De acuerdo con la relación (l .3), el máximo núm ero de puntos de intersección de estos será3

(n - 3) (n - 3 - 1) puntos

Sf-gún las condiciones del problem a se tiene que : De donde :

3n2 - 21 n + 36 = 3n2 - 3n - 54

Simplificando:

n= 5

3 (n - 3) (n - 4) = 3n (n -1 ) - 54

=> 18 n = 90

Problemas de Geometría v cómo resolverlos

24

Ernesto Quispe R

. 'A

1.- Hallar el mínimo número de puntos de intersección entre 3 rectas y 1 circunferencia (las rectas deben ser secantes a la circunferencia).

Resolución.Tres rectas secantes determ inan tres puntos de intersección y si por ellas hacem os pasar una sola circunferencia lograremos que el núm ero de puntos de intersecciones sea mínimo, tal com o lo m uestra el gráfico: En consecuencia, el mínimo núm ero de puntos de intersección entre 3 rectas secantes y una circunferencia es de 3 puntos.

^

NPIm ax = 3 2.- Calcular el máximo número de puntos de intersección entre 3 circunferencias, 4 para lelas y 6 rectas secantes. Resol uci ón.-

a) 3 circunferencias se intersectan en :

3 (3 - 1) = 6 puntos = 0 puntos.

b) 4 rectas paralelas en : c) 6 rectas secantes se intersectan en :

6 (6 - 1 )/2 = 15 puntos.

Intersectando las circunferencias con las paralelas:

2 ■3 - 4 = 24 puntos

Intersectando las paralelas con las secantes :

1 4 ■6 = 24 puntos

Intersectando las circunferencias con las secantes :

2 ■3 - 6 = 36 puntos

Luedo el máximo núm ero de puntos de intersección estará dado p o r : N = 6 + 0 + 15 + 24 + 24 + 36 En consecuencia:

N = 105 puntos

3 - Se tiene dos circunferencias concéntricas y 12 rectas paralelas. Hallar el máximo número de puntos de intersección.

Resolucion.En el gráfico observam os que una recta y dos circunferencias concéntricas determ inan 4 puntos de intersección :

.-.

1 recta y 2 circunferencias concéntricas < > 4 puntos de intersección


Luis Ubntío C.

25

Esto significa que con dos rectas paralelas tendremos: 2 x 4 puntos; con tres (3) rectas paralelas: 3 x 4 p u n tos,. . . . etc. Este breve análisis nos permite concluir que 12 rectas paralelas y dos circunferencias concéntricas, determ inarán: 12x4=

48 p u n to s d e intersección

4.-¿Cuál es el máximo numero de rectas que pasan por 50 puntos sabiendo que no hay 3 de ellos alineados y que cada recta debe pasar por dos de estos puntos?

Resolución Con fines didácticos te m uestro a continuación sucesivos conjuntos de puntos y rectas para poder deducir una reglade formación entre ellas :

hará 4 puntos , 6 rectas

Para 3 puntos, 3 rectas

Para 5 puntos , 10 rectas

Luego, para 50 puntos no alineados, el máximo núm ero de rectas que pasan por ellas será obtenido respetando la condición de que éstas no pasen por 3 puntos alineados, lo que equi vale a decir que debem os hacer combinaciones de 50 puntos tomados de 2 en 2. No cabe duda que esto am erita la utilización del núm ero combinatorio, es decir: „50 2

_

50! 2! (50-2)!

50

=»

2

_ 50 ■49 • 48! — 2(48)!

*¡0

C 2 = 1 225 rectas 5.- Hallar el máximo número de puntos de intersección entre 30 triángulos secantes y 18 rectas secantes.

Resolución.a) Los 30 triángulos secantes generan:

3 • 30 • (30 - 1) = 2 610 puntos

b) Las 18 rectas secantes producen :

18(18-1 )/2 = 153 puntos

Intersectando los triángulos con las re c ta s:

2 - 30 -1 8 = 1 080

De este modo el máximo núm ero de puntos de intersección viene dado a s í : N = 2610 + 153 + 1 080 N = 3 843

26


Ernesto Quispe R.

6.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de 3 circunferencias secantes y 1 triángulo equilátero.

Resolución.a) 3 circunferencias secantes se intersectan en:

3 (3 - l) = 6 puntos.

b) I triángulo equilátero por ser único genera :

0 puntos 6 • 3 ■1 = 18 puntos

Intersectindo las circunferencias con el triángulo :

Finalmente el máximo núm ero de puntos de intersección entre ellas s e r á : N = 6 + 0 + 18

=»

N = 24 puntos

7.- En un plano se dibujan "n " rectas, si de este grupo de rectas 5 fuesen paralelas y el resto rectas secantes entre si, el máximo número de puntos de intersección sería 45. Hallar n.

Resolución.a) De acuerdo con la relación (1.1), se sabe que (n - 5) rectas secantes 3e intersectan en: (n - 5) (n - 6)/2 puntos.

b) 5 rectas paralelas de intersección en :

0 puntos.

Intersectando las paralelas con las secantes : 1 ■(n - 5) ■(5) puntos Finalmente tendrem os :———

—— + 0 + 5 (n - 5) = 45

Efectuando las operaciones indicadas:

n 2 -n -1 1 0 = 0 n n

"U ' +10

( n - 1 l)(n + 10) = 0

n = 11 8.- Hallar el número de puntos de intersección entre 10 circunferencias concéntricas y 20 rectas que pasan por el centro común. Resolución.-

En el gráfico observamos que el máximo núm ero de puntos de intersec ción de 10 circunferencias concéntricas y 20 rectas concurrentes en el centro común, estará dada por la siguiente expresión : 2 -1 0 -2 0 + 1 = 401 ^------ Las rectas concurrentes determ inan este único punto ---------- Número de rectas concurrentes -----------Número de circunferencias concéntricas. ---------- Número de puntos de intersección de una circunferenca y una secante

N P I= 401 9.- 7 rectas secantes, 8 circunferencias y 9 triángulos se intersectan como máximo, en:

Resolución.a) Por la relación (1.1)7 rectas secantes se intersectan en :

7 (7 -1 )/2 =21 puntos

b) Por la relación (1.2) 8 circunferencias secantes se intersectan en : 8 (8 - 1) = 56 puntos c) Por la relación (1.3) 9 triángulos secantes se intersectan en :

3 (9) (9 - 1) = 216 puntos

Intersectando rectas con circunferencias se o b tien en :

2 ■7 • 8 = 112 puntos

Intersectando circunferencias con triángulos se obtienen :

6 ■8 ■9 = 432 puntos

Intersectando rectas con triángulos se obtienen :

2 ■7 ■9 = 126 puntos

La suma nos dará el máximo núm ero de puntos de intersección entre todas ellas, es d e c ir: N = 21 + 56 + 216 + 112 + 432 + 126 N = 963 puntos 10.- Si al máximo número de puntos de intersección entre "m" rectas secantes se le aumenta 16 puntos, el resultado equivale al número de rectas elevado al cuadrado y aumentado en uno. Determinar el máximo número de puntos de intersección de "m " hexágonos secantes: Resolución.-

.......................... ..... . Según la relación (1.1) sabem os que m rectas se intersectan en —— + 16 = m 2 + 1

Por condición del pro blem a:

m

Resolviendo :

m (m -1 ) + 30 = 0

De donde :

m ( m - 1) ------ — puntos

m2 + m - 30 = 0 m

+6

m

-5

=* (m -5 )(m + 6) = 0

Luego el NPImáx de m hexágonos estará dado por la relación (1.4) : 6/7, (m -1 ) = 6 -5 (5 -1 ) = 120


Ernesto Qulspe R.

11.- Calcular el mínimo número de puntos de intersección entre 3 rectas paralelas y 5 rectas secantes.

Rei olucion.Si ubicamos convenientem ente las rectas secantes sobre las rectas paralelas com o el que m uestra el gráfico adjunto, obtendremos el m enor núm ero de puntos de corte, luego : NPIm ín . im . o = 10 12.- En un plano se tienen n rectas secantes; al duplicar el número de ellas el máximo número de puntos de intersección aumenta en 145. Calcular el número de rectas.

Resolución. Sabemos que si se duplica el núm ero de rectas se obtendrán 2n rectas.Luego aplicando la relación ( l.l) se tendrá 2n (2 n -l) N.RI.m áx . = = n (2n - 1) Entonces :

N.P.l.mav . = n '(2n -1 )/

A continuación el aum ento de puntos se obtiene m ediante la siguiente diferencia : n (2n - 1) -n

Efectuando o peraciones:

= 145

2n (2n -1 ) - n (n -1 ) = 290

Transponiendo térm inos:

3n2 - n - 290 = 0 3

n 29

(3n + 29)(n-10) = 0

10

n = 10 13.- Si a un conjunto de "n " rectas secantes se le quitan 4 rectas. su NPI máx. disminuye en 90, pero si se agregan 4 rectas al conjunto, el número de puntos de intersección máximo aumentaría e n :

Resolución."n" rectas rectas secantes determ inan un :

NPI máx , =

(n - 4) rectas secantes determinan un :

NPI max . =

n ( n - 1) ( n - 4) ( n - 5)

La disminución de puntos se obtiene por la diferencia entre (1) y (2) : n (n -1 )

( n - 4) ( n - 5 ) =

( 1) (2)

Luis Ubaldo C.


Efectuando laas operaciones indicadas:

29

n - n - n' t- 9n - 20 = 180

De donde al resolver la ecuación, se obtiene :

n = 25

Dt este modo encontram os que : ^

25 (25-1) NP1 m.ax = -------2~------ = 300

Al agregar 4 rectas se tenarán 29, lu
29 (29-1) NFIrr|áx = -------^------ = 406

Luego el NPImáx aum entará en :

406 - 300 = 106

14.- Si a un número de elipses secantes se le aumenta cuatro, el número de puntos de intersección se incrementa en 184. Calcular cuántas elipses conforman dicho gripo.

Resolueión.Según la relación (1.5) n elipses secantes determ inan u n :

NPImáx = 2n(n -1)

Por la misma razón (n + 4) elipses secantes determ inan :

NPImáx = 2 (n + 4) (n + 3)

El incremento del NPIm4x se obtiene por la diferencia: 2(n + 4) (n + 3) - 2n (n -1 ) = 184 Resolviendo :

n2 + 7n + 12 - n2 + n = 92

n = 10 15.- Si a un conjunto de k rectas secantes se le agrega una recta, el máximo número de puntos de intersección aumenta en un quinto del total. Calcular el máximo número de puntos de intersección.

Resolución.fc+1 rectas

Por condición del problema se tiene que :

h rectas

k rectas

NPImax = NPImax + A NPImaj¡ fc+1 rectas ntC fe+1

Sustituyendo cada término por la relación (1.1):

k rectas

= f npC

rectas

k rectas

+ Okft + 0 ~ i] = ^ H k - 1) 2 =>

k

s

(* +

1) =

2

k

|

(* -1 )

6(ft -1 ) = 5 (/? + 1)

Simplificando "k" y efectuando o peraciones: Finalmente al despejar obtenem os :

k = 11

Luego hallamos el NP1max . a rpartir de la relación v(1.1): ° '

11( 12)

NPIm ax . = — -— 9 NPIm áx . = 66

V

30


Ernesto Quispe R

16.- En la figura se tienen "n " rectas concurrentes y 2n elipses. Si el número total de puntos de in tersección es21n+ 12 ; calcular el valor de "n

Resolución.' De acuerdo con lo expuesto en el item 1.3 sabem os que n rectas concurrentes se ¡ntersectan en 1 p u n to . Asimismo podem os reconocer .según el gráfico ad junto, que n elipses secantes dispuestas en forma de eslabones determ inan: 2 (n - 1) puntos Además cada recta al interceptar a cada elipse en 2 puntos, nos permite deducir que cada recta determine : 2 (2n) = 4n puntos sobre todas las elipses De este m odo es fácil predecir que con n rectas se obtendrán : ín . n = 4 n2 puntos. Luego el NPI máx será :

1 + 2 (n + 1) + 2(n - 1) + 4n2 = 21 n + 12

Efectuando operaciones : Transponiendo términos : Factorizando :

4n2 + 4 n - 3 = 21n + 12 4n2 - 17n -15 = 0 4n

n

+3

X

(4i? + 3)(n - 5) = 0

-5

De donde :

n = 5

17.- Si 3 un grupo de triángulos secantes se le agregan 4, entonces el máximo número de puntos de intersección se le triplica. ¿ Cuántos triángulos conforman dicho grupo?

Resolución.Según la relación (1.3) los "n” tr ingulos , producirán: NPImáx = 3n (n -1 ) Si se agregan 4 triángulos:

....(*)

3 (n + 4) (n + 4 -1 ) = 3 (n + 4) (n + 3) puntos

Según el problema esta última cantidad resulta ser el triple de (*). Luego por condición del problema : Efectuando operaciones obtenemos:

3 (n + 4) (n + 3) = 3 [3n (n - 1)1 n2 - 5n - 6 = 0

V ’3 n / ^ + 2

Resolviendo:

n = 6

(4n + 3 )(n -5 ) = 0


Luis Ubaldo C.

31

18.- Calcular el numero de puntos de intersección máximo entre 8 rectas secantes, 8 circunferencias secantes y 8 triángulos secantes.

Resolución.En el esquem a adjunto se m uestra la forma com o se están intersectando las figuras . Primeramente calculamos los puntos que deter minan solo las figuras de la misma especie, luego los puntos produci dos por las figuras tomados de 2 en 2. I ° Por la relación 1.1 las 8 rectas tienen un máximo de puntos de inter sección d e : NPI™, = — o ° = 28 puntos 2o Por la relación 1.2 las 8 circunferencias se intersectan en : NPI, 3o Por la relación 1.3 los 8 Triángulos:

= 8 (8 - 1 ) = 5 6 puntos

NPlmáx = 3 - 8 ( 8 - 1 ) = 168 puntos

4o Intersectando las rectas con las circunferencias:

(2) • 8 • 8 = 128 puntos

5o

(2) • 8 • 8 = 128 puntos

Intersectando las rectas con los triángulos :

6o Intersectando las circunferencias con los triángulos; (6) • 8 • 8 = 384 puntos Los números ubicados entre paréntesis er. los pasos 4o, 5o y 6o, representan el NP1 máj¡ entre una figura de cada clase ,para lo cual hemos recurrido al item 1.10. De este modo se tendrá q u e : N = 28 + 56 + 168 + 128 + 128 + 384 Finalmente sumamos las cantidades parciales :

NPIm ax . = 892

19.- Calcular la N.P.I. máximo entre 10 cuadriláteros convexos secantes, 12 hexágonos secantes y 6 circunferencias secantes.

Resolución.I ° Por la relación 1.4 para los cuadriláteros :

NPI = 4.10(10-1) =360

2o Por la relación 1.3 para los hexágonos :

NPI = 6.12 (12-1) = 792

3o Por la relación 1.2 para las circunferencias :

NPI = G (6 -1) = 3 0

4o Intersectando los cuadrados y los hexágonos: 5o

(8)-1 0 -1 2 = 960

Intersectando los cuadrados y las circunferencias: (8) 10-6 = 480

6o Intersectando los hexágonos y las circunferencias Finalmente :

(12)- 1 2 -6 = 864 NPI m ax , = 3486

32


Ernesto Quispe R.

20.- Calcular la N.P.I. máximo entre 5 cuadriláteros no convexos secantes, 6 elipses se cantes y 7 rectas secantes.

Resolución.Io Intersectando los 5 cuadriláteros :

NPI = 8 - 5(5 - 1 ) = 160

2o Intersectando las 6 elipses :

NPI = 2 6(6 - 1) = 60

3o Intersectando las 7 rectas secantes :

NPI = 7 (7 - ,) = 21 1 2

4o Intersectando los cuadriláteros con las elipses :

NPI = (8) ■5 ■6 ==240

5o Intersectando los cuadriláteros con las rectas :

NPI = (4) ■5• 7 == 140

6o Intersectando las elipses con las re c ta s:

NPI = (2) - 6 7 ==84 NPImáx . = 705

21.- En un mismo plano, un número igual de rectas secantes y circunferencias secantes se intersectan determinando un N.P.I. máximo igual a 117. Calcular el número de figuras geométricas que se intersectan.

Resolución.Sea x el número de rectas, entonces x también será núm ero de circunferencias. Para obtener el NPIn4j,entre ellas se deberán hacer 3 tipos de intesecciones : Io Entre las x re ctas:

N P l= X ^* ^

2o Entre las jr circunferencias :

NPI = x ( x - 1)

3o Entre las x rectas yx circunferencias :

NPI = (2) (jr) (x) = 2x2

Luego por condición :

-----^---- + x (x - 1) + 2x* =117 O

Efectuando operaciones :

x(x -1 ) + 2X2 = 117

Despejando se obtiene :

7x2 - 3x - 234 = 0 7x n.

*f+3S

1

xX-6 j =*(7*+39)(*"6)=° x= 6

Finalmente el número de figuras geométricas será :

2 ( 6) =

12


Luis Ubaldo C.

33

22.- Se dan "m" rectas coplanares de las cuales "n" son paralelas. Calcular NP¡máx que pueden producir al intersectarse estas rectas.

Resoluclón.Si n rectas son paralelas, entonces (m - n) serán secantes luego nuestro problem a se reduce a calcular el NPImáji que producen n rectas paralelas y k n -n) rectas secantes. Io La intersección de las paralelas p ro d u ce:

NPI = 0

2o La intersección de las rectas sec a n te s:

NPI =

3o La intersección ae las rectas paralelas y las secantes :

^ —n ^

NPI = (1) (n) (m - rí)

(m - n ) (m -n -Y ) , . NPI max . = ---------- »-----------+ n ( m -n ) 2

Finalmente :

Npi

=

m áx

'

nlSJL

_±

2

J2

23.- Calculare! N.P.I. máximo entre "n" circunferencias concéntricas y "n" rectas secan tes de las cuales “m" pasan por el centro de las circunferencias.

Rpsolucion.Es fácil reconocer que sim iecta¿> son concurrentes entonces de las n rectas secantes dadas .existen (n-m) rectas que son secantes pero

no concurrentes. Para ello el gráfico adjunto nos da una idea de las intersecciones establecidas A continuación establecerem os 6 tipos de intersecciones entre estas figuras : 1° Entre las n circunferencias:

NPI = 0

2o Entre las m rectas concurrentes (R.C) :

NPI = 1 ( n - m - 1)

3o Entre las (n - m) rectas no concurrentes:

NPI = ———^

4CEntre las n circunferencias y m R.C:

NPI = (2)si.m

5° Entre las n circunferencias y (n -m } re c ta s: 6o Entre la s m P C y ( n - m ) rectas : Luego :

NPI = (2 ).n (n - rri) NPI = (1 ).m (n - rri)

NPImáj¡ = 1 + ——— — ———— + 2mn + 2n(_n - m ) + m ( n - m ) NPI

f r i-l)-m (m -l) m áx

2

24.- Si a un conjunto de rectas secantes se le agregase una cantidad igual de rectas, su número máximo de puntos de intersec ción aumentará en 330. Calcular el número de rectas del conjunto.

34


Ernesto Quispe R.

Resolución.Sea "n" el número de rectas dado; si a éste le agregamos la misma cantidad, es decir "n", entonces por condición del problem a se tendrá que : n rectas

2n rectas

+ 330

M fjZ o = Efectuando operaciones :3n2 - n - 660 = 0

V

15 1 => (n- 15)(3n +44) = 0

3 n /X + 4 4

J

En consecuencia el número de rectas s e r á :

n = 15

25.- Determinar el NPImit¡ entre m rectas secantes si k de ellas son concurrentes.

Resolución.Se trata de calcular el NPImax . entre v(m - k)J rectas secantes Jy k rectas concurrentes. Io Entre las k rectas concurrentes (R.C.):

NPI

= 1

2o Entre las (m - k) rectas secantes :

NPI

=

3o Entre las 'k" R.C. y (m -k ) rectas secantes :

NPI

= (1) k (m - k) = k (m - k)

Luego :

NPI ^

^

^

^ —- ——

^ —- —— + k (m -k )

(m .k )(n l+ k -l ) max

2

26.- Calcular el mínimo número de puntos de intersección entre "n" rectas secantes y “n" circunferencias secantes.

ReíQlycion.Para obtener el NPImln, debem os hacer que las "n" circunferencias se intersecten en los mismos puntos, los que com o sabem os serán como mínimo dos. Sean estos puntos A y B,ahora dichos puntos serán a su vez pertenecientes a una de lasn rectas dadas y si la condicion es que el número de puntos de intersección sea el mínimo posible , entonces las (n - 1) rectas restantes las hare mos pasar por uno de dichos puntos, por ejemplo A , tal com o se indica en el gráfico adjunto. Luego los puntos de intersección estarían distribuidos a s í: Io n circunferencia :

NPI = 2 t


Luis Ubaldo C.

2o

n re c ta s:

NPI

3o

n circunferencias y n re c ta s:

NPI N PU

35

= 1 (A) = (1) (n -1 ) n

. = "

(n - 1) +

2

27.- Hallar el máximo número de puntos de corte en la figura mostrada. Si hay "n " circuí ;■ ferencias concéntricas y otras "n" circunferencias menores formando una argolla.

Resoluclón.-

1° El número de puntos de corte entre las “n" circunferencias que forman la argolla se obtie ne a s í:

2o Una circunferencia de la argolla corta en dos puntos en a una de las concéntricas. Entonces “n ” circunferencias de la argolla cortan a las “n ” concéntricas en : NPI Luego :

= 2Ji .n = 2 n2

NPImáx = 2 n + 2 n2

36


Ernesto Gkiispe R

P«OBL€MAS PR0PU 6ST0S 1.- Hallar el máximo númeiu de puntos de inter sección para 2 triángulos, 6 circunferencias y 10 rectas si conocemos que todas las figuras tienen 1 pi.nto común. A) 139

B) 143

C) 156

D)161

B) 1940

D) 1 830

E) 1770

C) 1950

3.- Se tiene "n" triángulos y n cuadriláteros convexos Si al máximo número de puntos de intersección de los triángulos se aumenta el número total de los lados de los triángulos, más el máximo numero de puntos de intersec ción de los cuadriláteros, más el número total de los ángulos de los cuadriláteros se obtiene 1008. Hallar "n". A) 12

B) 18

Q 24

D)36

E)48

4.- ¿Con cuántos triángulos deben intersectarse 8 circunferencias para que el máximo núme ro de intersección tea 806? A) 10

B)20

C)30

D)40

E)50

5.- Calcular el máximo número de puntos de. ínterseccióii de 10 triángulos con 6 circunfe rencias secantes. A) 900

B)930

C)940

A) 370

B)371

C)372

D)373

E)374

E)179

2.- Hallar el máximo número de puntos de inter sección de 10 cuadriláteros convexos secan tes y 20 circunferencias que no se intersectan entre si. A) 1960

7.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de .8 rectas secantes con 11 para lelas y con 6 circunferencias secantes.

D)96d

E)980

6.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de 100 circunferencias con 100 cuadriláteros como se muestra en la figura.

8.- Si el máximo número de puntos de intersec ción de "N" polígonos de 5 lado:; más el nú mero de vértices es 500. Calcular N. A) 5

B) 10

Q 12

D) 18

E)30

9.- Calcular el número total de puntos de inter sección de 100 circunferencias con 100 cua driláteros tal como los mostramos.

A) 746

B)750

C)784

D)794

E)840

10.- Cuántas rectas se intersectan sabiendo que si se quitan 4. el número de puntos dismi nuye en 54. A) 15

B) 20

C)25

D) 30

F

11.- Hallar el máximo número de puntos de in tersección entre 5 elipses y 11 cuadriláteros no convexos. A) 1360

B )1260

D )1560

E)960

C)1460

12.- Si a un conjunto de rectas secantes, se le agreda una cantidad igual de rectas, su núme ro máximo de puntos de intersección aumen taría en 330 Calcular cuántas rectas tiene el conjunto. A) 10

B)25

C) 15

D) 12

E)18

13.- Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas paralelas, 12 rectas secantes y 16 circunferencias. A) 80198

B) 80140

D) 90170

E)8030

C) 70130

A ) 1130

B)3006

D) 1314

E) 10 17

C ) 1240

14.- Se tienen "n" circunferencias secantes. Si se quitan 2 circunferencias, el número máxi mo de puntos de intersección disminuye en 30. Hallar«. A) 9

B) 8

C)6

D) 10

E)12

15.- Calcular el máximo número de puntos de intersección que producen 2 polígonos con vexos: Uno de 2 y otro de 2 lados (n > 1) A) 2n+1

B )2n"‘ C )2 n"

D )2n+2

E,22+n

16.- En un plano se dibujan ¡f" elipser. secan tes y 2 k cuadniáteros cóncavos secantes. Si el máximo número de puntos de intersección es 182í Hallar A'. A) 4

B)6

C )9

D)5

B) 14

C) 16

D) 18

E)26

18.- Si a un conjunto de "n" rectas secantes se le quita 4 rectas, su máximo número de pun to? de intersección disminuirá en 90, pero si se agregan 4 rectas al conjunto el máximo nú mero de puntos de intersección aumentaría en: A) 90

B)96

Q 100

21.- Calcular el N.P.I. máx entre 10 rectas se cantes, 10 circunferencias secantes y lOelipces secantes. A )100

B )1005

D )1115

E) 1111

D)106

E)108

22.- El N PI. entre 8 triángulos secantes y n cuadriláteros no convexos secantes, incluyen do los vértices es 560. Hallar n. A )4

B) 1960

D;3660

E) 1140

03960

20 - Hallar el máximo número de puntos de in tersección entre "n" circunferencias,"2n" rec tas secantes, y "n" triángulos al intersectarse todas esta figuras entre si. A)5n (4n- 1)

B )4n (5/2- l )

D) 4/2 (5/2+ 1)

E) n (6/2 + 2)

B)6

C)8

D) 10

E)12

23 - Detemr'nese el máximo número de circun ferencias que se pueden forman con 10 pun tos coplanares, donde no hay 3 alineados. A) 90

B) 100

Q 110

D; 120

E)130

24.- Calcular cuántos pentágonos convexos se pueden determinar con 10 puntos, donde no hay 3 alineados. A) 152

C)5n(4n + 1)

B) 176

C)202

D)222

E)211

25.- ¿En cuántas partes queda dividido el pla no por 20 rectas secantes donde no hay 3 rec tas concurrentes? A) 200

B)201 C)209

D)210

E)211

26.- Calcular el N.P.I. máx entre 12 rectas coplanares de las cuales son paralelas. A) 50

19.- En un plano se dibujan "n" rectas secan tes, si el máximo número de puntos de inter sección que determinaron (n - 4) rectas secan tes es 6«. Hallar el máximo número de puntos de intersección entre n triángulos secantes. A) 2 960

C )1015

E)8

17.- En un plano el máximo número de puntos de intersección entre n elipces secantes, n triángulos secantes, y n cuadriláteros secar tes es 339/2. Hallar«. A) 12

37


Luis Ubaldo C

B)51

C)52

D)53

E)54

27.- Calcular el N.P.I.Ináx entre 20 circunferen cias concéntricas y 20 rectas secantes de las cuales 10 pasan por el centro de la circunfe rencia. A) 946

B)947

C)948

D)949

E)950

28.- Hallar el N.P.I. máx entre 15 rectas secan tes si 8 de ellas son concurrentes. A) 74

B)75

C)76

D)77

E)78

29.- Calcular el N.P.I. mín de 7 rectas secantes y 8 circunferencias secantes. A) 43

B)44

C)45

D)46

E)47

38


30.- Del gráfico adjunto calcular el número de puntos de intersección si hay 30 triángulos y 15 cuadrados.

A) 146

B) 147

C) 148

D)149

E)150

31.- Calcular el máximo número de circunfe rencias que pueden determinar 20 reatas se cantes, donde no hay 3 concurrentes A) 1140

B) 1260

D) 410

E) 1520

C) 1310

32.- Si a un grupo de rectas secantes se le agregan "k" entonces el N.P.I. máx aumentara en "A" si a este mismo grupo se le disminuye "k" rectas secantes, entonces el N.P.I. dismi nuye en "D". C alcular: A - D A)k+1

B)k(k-l)

D j*2-1

E)*2

C) — 2+ -1 *

Ernesto Qu!spe R.

36.- Se toman "ni" puntos sobre una circunfe rencia y "k” puntos sobre otra circunferencia, interior a la primera. Si el máximo número de rectas determinadas al unir todos los puntos tomados es 4(m + k). Calcular el número total de triángulos que se podrán forman con di chos puntos. A; 92

B)84

C)80

D)70

E)64

37.- En un mismo plano circunferencias y trián gulos se están intersectando, se sabe que el NPI máx disminuye en 96 s«i se retiran a la vez 5 de éstas figuras de las cu ales 3 no son polígonos y se sabe además que si se ajm entan igual cantidad de figuras retiradas de las cuales 3 no son circunferencias entonces el N.P.I. máx aumenta en 234, calcular el N.P.I. mi¡x. A) 99

B) 102

C)122

D)130

E)136

38.- Hallar el N.P.I. que existen en la figura adjunta asumiendo que hay n pentágonos y n circunferencias concéntricas. A) 2n(n - 1) B)n(n + 1)

33.- Hallar el N.P.I. máx entre "n" rectas secan tes, ^ rectas concurrentes y y recias pai alelas.

C)

2u(n + 1 )

D) 3n(n+ 1)

A ) |( 3 /i- I ) + l

D )^ (5 /i- l)+ l

E)4n(n +1)

B )¿ ( 2 n + 1 )+ 1

E)

39 - Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas secantes, 15 parale las y 20 circunferencias secantes.

C )f

(5n + 1) + 1

(n+ l) + 2

34.- Calcular el N .P .I.^ entre 3 rectas secan tes, 3 circunferencias secantes, 3 triángulos secantes, 3 elipces secantes y 3 cuadriláteros no convexos secantes. A) 527 B)537

C)547

D)557

Ep67

A) 1675

B )1775

D) 1975

E )1575

40,- En la siguiente figura se tienen "n" cua driláteros, "n" circunferencias y rectas paralelas, si el numero total de puntos de in tersección es (61/2 + 9). Hallar n

35.-SÍ elN PI. máx entre k polígonos de (k + 2) lados y (k + 2) polígonos de k lados cada uno es 8064 puntos Calcular k A) 6

B) 8

0 10

D) 12

E)14

C )1875

/V W W T V ^ io n o ■ r > i |o M A) 40

B)30

Q 20

D) 15

E)10

2.1 UNEARECT¿* B

2.1 A) NOTACION :

AB ; se lee "rerta AB ", ó , L que se lee "recta L" 2.1B) CARACTERISTICAS :

- Dos puntos determ inan una recta . - Toda recta contiene infinitos puntos . - Una recta es ilimitada en extensión . - Todos los puntos de una recta siguen una misma dirección.

2.1 RATO Porción de línea recta limitada en un extremo e ilimitada por el otro. O o

Ao

^

2.2A) NOTACIÓN : —>

OA; se lee "rayo OA” 2.2B) CARACTERÍSTICAS :

- Se origina a partir de un punto (O) llamado origen. - Es limitada en extensión - Todos sus puntos siguen una misma dirección. OBSERVACIÓN :

La figura formada por todos los puntos del rayo OA sin el punto "O" se llama sem irecta OA y se —>

denota así OA.


40

Ernesto Qulspe R

2.3 SEGMENTO DE RECTA Porción de línea recta limitada por am bos extremos. A O—....

B

-

■. - —r

2.3A) NOTACIÓN :

AB, se lee "segmento de recta AB ”. 2.3B) CARACTERÍSTICAS :

- Es una porción limitada de una recta. - Los extremos de AB son los puntos A y B . - La medida de AB es un núm ero real y positivo representado a s í : m AB ó AB .

2 .4 U I'LíK A t’J 1 »JVt S» CXJJVSL CjMETVTUS C O L JN ^ M jEL

Ubiquemos en una recta 3 puntos A, B y C en forma consecutiva . determ inándose entonces 2 segmentos consecutivos AB y BC, con lo cual quedan establecidos tres segm en tos : AB, BC y AC, tal com o se m uestra en la Figura. Si a continuación utilizamos las m edidas de cada uno de estos segmentos , se podrán establecer las siguientes relaciones : a) ADICIÓN : D)

AC =* AB = BC

SUSTRACCIÓN: A B = A C -B C => BC = AC - AB

Donde :

=>

AC = x , AB = a

a

=»

x =a +b

... (*)

a=x-b b = x-a

BC = b

Observaciones:

a] Si en una recta se consideran "n" puntos consecutivos, el núm ero de segmentos (N) que quedan determ inados por dichos puntos, est á dado por la siguiente relación : N=

(2 . 1)

b) La relación de Adición se puede generalizar a s í: Tomemos "n" puntos consecutivos A ,, A2, A j...... Ap en una misma recta, entonces se verificará la siguiente relación :

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C

41

A este resaltado se conoce com o la "recia de la cadena" ó el Teorema de Charles . Debemos notar que los segmentos considerados son consecutivos c) Se establece que B es el punto medio de AC, Si y solo si :

AC AB = BC = - y

. (2.3)

Cu a t E kjvaakjvíÓISiiCA 4o2o A

B

3o C

D

Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D forman una cuaterna armónica si y solo si se cu m p le: AB BC

/-o 4-»

AD CD

Observación:

Si consideramos los segmentos determ inados (en el gráfico mostrado) de izquierda a derecha, entonces AB es el 1ro ; BC el 2do, CD el 3ro y AD el 4*° , luego la relación anterior se podrá expresar también c o m o : 2° ~ 30

... (2.5)

Z S PROPIEDADES jOE LA CUATERNA ARMÓNICA Sabiendo aue A, B, C y D forman una cuaterna armónica se cumplen las siguientes propie dades :

B a) AB > BC b) Relación d e D escartes :

2

1

1

c) Relación do Newton . Si "O" es el punto m edio de AC entonces : (OC)2 = O B . OD d) Silos segmento determ inados por la cuaterna armónica verifica la siguiente relación : gQ

n

AD

. . ydonde n ^ u

n+ 1

n + 1

AC ~ AB ' AD

42

Problemas de Geometría y como resolverlos

Ernesto Quispe R.

z ' i m ic c ió n A u r e a d e u n s e g m e n t o El segm ento AP del gráfico adjunto se dice que es la sección áurea del segm ento AB, si y sólo sí se verifican las siguientes relaciones: B

- A F > PB - (AP)2 = AB . PB

2A PROPIEDADES DE LA SECCIÓN ÁUREA Siendo AP la sección áurea de AB, se cumplen las siguientes propiedades :

«n > AB a)'I AP b) AB = AP c) AP = AB

(J 5 + 1) 2

(V 5-1)

d) PB , es la sección áurea de AP e) AP = PB

(>/5+l)

0 Número Áureo :

V5+1

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C.

43

1.-Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, yD ; tal que AC = 1 9 y BD = 23. Hallar la lotigitud del segmento que une los puntos medios de A B yC D. P

Resolución.Primero ubicamos los puntos dados sobre la línea rec¡ 19 ta, luego los datos en el mismo gráfico y lo que nos A M B piden para tener mayor visualidad. m — i— »— Así, en el gráfico, s r pide hallar: MN = a + b + c ... (a) Datos:

2a + c = 19

... (1)

También:

2b + c = 23

... (2J

Sumando (1) y ( 2 j :

2a + 2b + 2c = 42

Luepo reemplazando en ( a ) :

i

O

i

O

N —(-

;

|

23

a + b + c = 21

=>

MN = 21 u

2 - Sobre una línea recte se consideran los pantos colineales y consecutivos A, B C y D;

y AD = 12. Hallar CD.

siendo C punto medio de BD ;

Resolución CB 2 Por condición ^ = — esto se puede descom poner a s í :

CB = 2x y CA =

Entonces AB = x, todo esto colocam os en el gráfico luego observamos que : 2x

x + 2x + 2 x = 12

A hora:

5x = 12

=»

C om o:

CD = 2x

3x

C —

D -t— 2x

12

x = 2,4

CD = 4,8

3.- Sobre una línea recta se toman los puntos colineales M ,N ,P y Q ; 1uege los puntos A y B puntos medios de MP y NQ respectivamente, s i : MN = 5 y PQ =11. Hallar AB.

Resolucion.Del gráfico:

x=o a ++ l 11 jf l - í-b »

...(1)

x = 5 + b -a

. ..

Sumando (1) y (2) :

2 x = 5 + 11

Ahora :

2 x = 16

x = 8

11

(2) M

A —T-

B N

P

-x —


44

Ernesto Quispe R.

4.- Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal q u e : AC + 2 DC + BD = 28 y AB = DC. Hallar AD.

Resolución.Por dato : AC + 2 DC . + BD = 28, nos piden hallar AD Según la condición del problem a colocam os en el gráfico letras minúsculas, luego reem plaza mos en el dato: (a + n ) + 2 (q) + (n + a) —28

^ - < — •—

Sum ando:

4a + 2n = 28

Simplificando:

2a + n = 14

Luego :

-J— o

AD = 2a + n = 14 AD = 14

5.-Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B y C, tal que:

^ § = f

y 2 AB + 3 BC = AC + 96. Hallar AB.

Resolución.Si ^

^ = a este puede ser : AB = 2a y BC = 3a

^

Colocamos estos valores en el gráfico.

'

® 2a

^

¡

3a

Luego en el dato reemplazamos : 2 (2a) + 3 (3a) = (2a + 3a) + 96 Efectuando :

13a = 5a + 96

Donde :

8a = 96 => a = 12

En consecuencia:

Alt = 24

6.- Sjbre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Hallar AF, s i : DE = AB; AD = | A F y AC + BD + CE + D F = 35.

Resolución.Dato:

AC + BD + CE + DF

35

oac

Condición:

A

AB = DE y AD ■=

B ~

C *

D *

E *

F *

Se pide hallar AF, el dato agrupam os convenientem ente : (AC + CE) = (BD + DF) También :

AE

=

= 35 ; AC + CE = AE y BD + CE = AE y BD + DF = BF

AD + DE(Ver gráfico)

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C

Entonces :

45

(AD + DE) + BF = 35 i

P ero:

DE = AB

Luego :

AD

+ AB + BF = 35

J.

R eem plazando:

^ AF +

Efectuando

AF

=35

ÂF

= 35

AF = 25 7.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que F sea punto medio de ÁB y H punto medio de D E. S i: AB = BC, CD = D E yA B + DE = 40. Hallar FH.

Resolución.' q j a i 2a 1 2b i b ! ¿>J_ ”l I i I ! „ F H ^ -*— -I— * ------- 1 -------* H— * A B C D E

D ato: AB + DE = 40, nos piden hallar FH Del gráfico en el d a to : 2a + 25 =>

= 40

a + b = 20

Luego :

FH = a + 2a + 2b + b

Entonces :

FH= 3 ( a + 5) ^~2u FH = 60

8.- A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos. SI M es el punto medio de AD, y se verifica que : AB + CD = 10 m y BM - MC = 2m; calcular CD.

Res alucion. B M C -o--------o-----------í---------------D U----JC---Por dato del p ro b lem a: Por dato, podem os deducir que :

AM = MD

=>

AB + BM = M C + x

... (1)

AB = 10 - CD

=*

AB = 10 - x

... (2)

Reemplazando (2) en (1) y transponiendo MC al primer m iem bro: Sustituyendo lo indicado por el dato, tendrem os : Efectuando, obtenem os :

x = 6m

10 - x + BM- MC = x 10 + 2 = 2x


46

Ernesto Qulspe R.

9.- Sobre un recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, luego se toman los puntos medios M y N de AB y MC respectivamente. Hallar MB + NC en función de AN.

Resolución.k = AB + NC - AM

Sea: Del gráfico:

AB = 2a ; NC = b

y AM = a

Luego :

k = 2a + b - a = a + b

Donde :

k=a +b

Pero:

A

AN = a + b

—V— !>*■

B M -v -v a -^r-a -

N

k = AN 1 0 .-A ,B y C son puntos colineales y consecutivos. Sobre AB se ubican los puntos P y Q y sobre BC se ubica el punto medio M de modo que :AP=BM , QB = - ■ , AB = 7 y PC = 8. Hallar: OP.

ResoluHv/n.-

2a

2a

B

H acem os:

QB = a

Además :

PQ =jr

Del gráfico:

AC = 2a + 8 = 7 + 4a

De otro lado:

AB = AP h PQ + QB

Reem plazando: Luego

2a

M

BM = MC = AP = 2a

a =

7 = 2a + x + a x = 5 5

11.- Dado los puntos colineales y consecutivos P, A, B, C y D tal q u e : 7PD = 5PC + 2PB, y, 5AC + 2AB = 14; calcular: AD.

Resolución.-

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C Inculcaremos nuestra resolución con la expresión: Y del gráfico:

47

7PD = 5PC + 2PB

7 (PA + AD) = 5 (PA + AC) + 2 (PA + ABj

Efectuando las operaciones indicadas: 7AD = 5 AC + 2AB Pero por condición se sabe que :

...(*)

5AC + 2AB = 14

Reemplazando en (*) :

7AD = 14 AD = 2

12.- Sobre una semirecta O X , se toman los puntos A, B y C consecutivamente•, de modo que los puntos A y B disten del origen 0 : a y b metros respectivamente. Hallar la longitud de OC, s i: 2 (AC + BC) = 3 AB.

Resolución.Hagamos: OC = x En el d ato : 2 (5 - a + x - b + x - ti) = 3 (b - a) Luego :

-=H

ix -2 a -2 b —3b -3a

En consecuencia:

O A B C j— o >j< b -a -*? *-x -b ^ i !■*------- b -------- »i

Ax = 5b - a

5b-a

x = — .— 13.- En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo que P es el punto medio se BC. Si (A B f + ( A c f = 40. Hallar (A P f + ( B P f .

Resoluclón.H acem os:

AB = 2b y AC = 2a

Luego:

BP = PC = a - b

I—26-4 - — a - b — -+-— a - b — H A __ B______P ______ 2a

Por dato del problem a:

AB2 + AC2 = 40

Reemplazando:

4b? + 4a 2 = 40

Nos p id en :

AP2 + BP2 = (a + ti)2 + (a - ti)2

=»

a2 + b2 = 10

AP2 + BP2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 - 2ab Finalmente :

AP2 + BP2 = 2 ( a 2 + b 2 ) 10

AP2 + BP2 = 20

48


Ernesto Quispe R.

14.-En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, Dde modo que AB + CD=20. Calcular la medida del segmento cuyos extremos son los puntos medios de AC y BD

Resolución.Sean P y Q los puntos medios de AC y BD. Luego:

AP = PC = o

Del d a to :

AB + CD = 20

Pero :

h 5----- b -------------- b — H

BQ = QD = b

a

... (a)

A

B

h _X _ 1

C

D

Q

AB = a - BP = a - (b -x )

- c i-

CD = Sustituyendo en ( a ) :

o - QC = b - ( a -x) a b + x + b - a + x = 20

Donde :

2x = 20 x = 10

15.- Sobre una línea recta se ubican los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Si AC + BD + CE + DF = 9 1 y BE = 5/8 AF. Hallar AF.

Resolución.Del dato :

AC + BD + CE + DF = 91

Pero:

DF = DE + EF

Entonces : Luego:

AC + BD

+ CE + DE + EF

(AC + CE + EF) + (BD + DE) = 91 AF

B

C

D

BE

AF + BE = 91 Y aque: Se tiene : En consecuencia:

BE = |

8

aF

AF + ^ AF = 91 lÂF

g g - =91

=»

13AF = 91(8) AF= 56

1 6 A, B, C, D y E son puntos cólmeles y consecutivos. Si AE = 5 BD, AD = 5 CD y DE = 5. Hallar: BC. Resolución.-

Hacemos :

BD = o y CD = b

=>

AE = 5a

a

AD = 5b

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C.

49

k s ------------------------ 5a -

Del gráfico obtenem os : x = a -b

K

( 1)

También :

5 = 5 a -5 b ... (2)

De (2) :

1 = a -b

De (1) y (3) :

x = 1

A

---------- a —

B

- (3)

D

C

E

H— JC— + « - —b — H -K

-------- 5b ----------------S H

17.- Sobre una línea ~cta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si M es punto medio de AD ; si AB + CD = 10 y BM - MC = 2. Hallar C D . Resolución.S i: Por d a to :

AB = o , MC = b y C D = x

q+b + 2

a + x = 10

Despejando:

¡

a = 10-x

M

...(1 )

BM = 2 + MC

=> BM =

2+ b

L uego:

AM = MD

=> a + b

+ 2= b + x

De (1) y (2):

a = x- 2

* -2 = 1 0 -*

=>

x

|

B

También : Siniplificando:

b

a

b + 2

b

... (2) 2* =12

x=6u 18.- Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A ,B ,C y D tal que : A B . CD = A D . BC Si adem ás: AB + AD = 2 A B . AD Hallar ■ AC

Resolución.B

Dado el siguiente esquem a : Nos dicen q u e :

AB CD = AD . BC

Asimismo se sabe que :

AR -y AD = 2 . AB . AD

no fo'i ( ) ' Del gráfico:

AB AB.AD

AD AB.AD

... (1) ., 12) _ „_ L . 1 AB AD

BC = AC - AB CD = AD- AC

Reemplazando en (1) : Efectuando :

AB (AD - AC) = AD (AC - AB) AB . AD - AB . AC = AD . AC - AB . AD

_ 9

50


Luego :

Ernesto Quispe R.

2 . AB . AD = AC (AB + AD) 2

En consecuencia :

1

—— = —— + —— AC AB 2

C om parando:

AC

1

AD

= 2

AC = 1 19.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F ; BE sabiendo q u e : AB = E F = — . Hallar BE, si además : AC + BC + CE + D F =24.

Resolución.A

B

C

D

E

F

----0---------- o-------------o------------o------------o----------o--Dalo:

AC + BD + CE + DF = 24 BE AB = EF = —

Condición : Del dato :

AC + CE + BD + DF = 24

Se escribe com o :

AB + BE + BE + EF = 2 4

Agrupando:

AB + 2 . BE + EF = 24

R eem plazando: Efectuando : Luego :

^

O

+ 2 . BE +

ó

= 24

2 BE + 6 BE = 3 . 24 8 . BE = 3 . 8.3 BE = 9

20.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D ; siendo "M“ punto medio de B D ; A B . CD = A D . BC y 9 (AD - BM) = 2 . A D . AB. Hallar AC.

Resolución.Dato: Condición:

9 (AD - BM) = 2 . AD . AB AB . CD = AD . BC

BD/2 BD/2 !----------------- !------------M

Segmentos de Recta

Luis U tolde C.

En el paréntesis : Reem plazando: n

a

9 (2 . AD - BD) = 4 . AD . AB ; BD = AD - AB 9 (2 . AD - AD + AB) AB AD.AB

.

G:

51

= 4 . AD . AB

AB _ 4 AD.AB “ 9

Simplificando:

^

^

Pero si los puntos A, B, C y D son armónicos entonces resulta la proporción armónica los cual se obtiene la relación siguiente :

1 + _L

AB

AB

AD

de

_

AD

" AC

A esto se le llama Relación de Descartes, en honor al geóm etra Francés René Descartes. 4 2 —=

En consecuencia obtenem os por comparación

AC = 4,5 21.- Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, M y C tal que M es punto medio de BC. Siendo: AM2 + BM2 =17. Hallar AB2 + AC2.

Resolución.Dato:

AM2 + BM2 = 17

•<- ----------- ? ---------- ----------- - ---------- ? >-

Nos piden hallar.

AB2 + AC2 = ?

' AC-AB ' AC-AB

M

D onde:

2

AM = AB + BM

Del gráfico reemplazamos en el d a tu : £AB + ^ Resolviendo (AB + AC) + (AC— AB) 4 Luego :

-\-j

g ^ B]

+

2 2

= 17

sabem os q ue : (AC-AB)2 = (AB- AC)2

(AB + AC)2 + (AB - AC)2 = 68

Efectuando:

2AB2 + 2AC2

= 68

AB2 + AC2 = 34 22.- Sobre una I ea recta se consideran los puntos consecutivos P, A, B ,C y D; tal q u e: 7 PC = 2 PD + 5 PB Hallar AC.

y

2 AD + 5 AB = 7


52

Ernesto Quispe P.

Resolución.Datos:

7 . PC = 2 . PD + 5 . PB

...(1)

2 . AD + 5 . AB = 7

... (2)

Nos piden hallar AC. Del gráfico:

AD = PD - PA

También :

AB = PB - PA

Reemplazando en (2): Multiplicando:

<

A

B

C

2 . PD + 5 . PB = 7 + 7 . PA

... (3)

D

>-

2 (PD - PA) + 5 (PB - PA) = 7 2 . PD - 2 . PA + 5 . PB - 5 . PA = 7

Luego : Reemplazando (1) en (3) : Simplificando:

7 . PC = 7 + 7 . PA

PC = PA + 1

=>

PC - PA = 1

Pero :

AC = PC - PA AC = 1

23.- Sobre una línea recta ¿>e consideran los puntos colineales y consecutivos A, B ,C y D; tal que A B .C D = BC. AD. Hallar A C , S i : § § ~ r^

= 4-

Resolución.Dato:

BC. CD = 4 (CD - BC)

Condición:

AB . CD = B C . AD A

Nos piden hallar AC. Del gráfico:

... (1) B

AB = AC - BC AD = AC + CD

Reemplazando en la condición: Multiplicando: Donde :

C

D

•------------------- • ---------- •— -------------- •

CD (AC - BC) = BC (AC + CD) CD . AC - CD . BC = BC . AC + BC . CD AC (CD - BC) = 2 . BC . CD

> -

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C.

53

24.- Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos: A, B, C, D, E yF , tal qu e: A C + BD + CE + DF = 40 y 5 BE = 3 A F . Hallar AF.

Resolución.Dato!

AC + BD + (LE + DF = 40

Condición:

5 .B E = 3.A F

Se escribe c o m o :

A

B

C

D

E

F _

BE = | . AF

Del dato :(AC + CE) + (BD + DF) = 40 ; AC + CE = AE y BD + DF = BF También :

AE = AB + BE (Ver gráfico)

Entonces :

AB + BE + BF = 40

Agrupando :

+ (AB + BF) = 40 iA

Reemplazando :

5

Efectuando :

+ AF = 40 —

= 40 AF = 25

25.- Dado el segmento AB y un punto M, interior a el. Demostrar que si el producto AM. MB, es máximo entonces M es el punto medio de AB.

Resolución.Dato: AB = a y AM = x, luego bastará demostrar q u e : M

B

Sea : k = AM . MB ; pero : AM = x y MB = a - x Luego

k = x (a - x) = - (x2 - ax)

Observamos que com o máximo en to n ce s:

Q¿

=>

k = ~

es constante el valor de k depende de x -

x - f =0 l.q q.d

Q

y para que éste sea


54

Ernesto Quispe R.

26.- Sobre una línea recta se consideran los puntos corneales y consecutivos A, B ,C ,D y E; tal que :A C = BD; B C = i DE y j, AB + L E = 36. Hallar AE.

Resolución.Luego de hacer el gráfico, según las condiciones del problema, reem plazamos sus valores según en el dato : | (a - b) + 3b = 36 -+------ a ------ f-

3a - 3b + 66 = 72

Efectuando:

A B C D H———j- -f-¡—I-r —i — o*r

3 (a + 6) = 72

Donde : En consecuencia:

a -o

a + b = 24

Luego :

AE = a + a - b + 3b

;b

a -b -♦------a ------ ^

E 3o

■l-

=» AE = 2 (a + b)

AE = 48 27. Sobre una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B , C y D tal que A B . CD = n . B C . AD ; además se cum ple:

^

~

Resolución.Condición: Nos piden "n" e n :

AB . CD = n . BC . AD ^

^

Del gráfico:

Factorizando: Lueeo • es° ‘

¿

...(2)

CD = AD - AC y

Reemplazando en (1) : Multiplicando:

...(1) A

BC = AC - AB

AB (AD - AC) = n (AC - AB) . AD

AB . AD - AB . AC = n . AC . AD - n . AB . AD AB . AD (1 + n) = AC (n . AD + AB) -1 - + - n

=

n . AD . +

AC

AB AB . AD AB . AD

Y simplificando de esto resulta :

De (2) y (3): En consecuencia:

B

... (3)

7 AC

1+ n AC

1+n = 7 n = 6

Hallar n.

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C.

55

28.- Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B y C cuyos puntos medios de AB y BC son M y N respectivamente. Si AC = 32, hallar el valor del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AN y MC.

Resolución.--------n ------- i\-------- n —

x + n-b = m

Del gráfico :

x = m + b -n ... ( 1 )

=»

a

n = x + m -a

También : =»

Peio por d a to :

,r

x b

P

ii i

m

4-

b C — •—>

m

...(3)

AC = 32 = 2a + 2b

Reemplazando (4) en (3) :

o

M B —A♦---------1 --------1-.----------1 N

x = n + a -m ... (2)

Sum ando(1 )y (2) : 2x = a + b

i

a + b = 16

... (4)

2x = 16 x = 8

29.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B ,C y D. Se sabe que AB = 30 y CD = 10, además se toman los puntos medios de AB y CD que son P y O respectivamente. Hallar la longitud del segmento que tiene poi extremos los puntos medios de p e y BQ

Resolución.Del gráfico:

Pero.

x = / 77+CN

...(1)

x = n + MB

... (2)

CN = b - n + MB = a - m

Reemplazando y sum ando (1) y (2): 2x = m + n + b -n +a - m Donde :

2x = a + b

También sabem os q u e :

2a = 30

=>

a = 15

26 = 10

=»

6=5

Luego:

2x = 15 + 5

En consecuencia :

2x = 20

=»

jc = 10

56


Ernesto Qulspe R.

30.- Dados los puntos A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos de modo que AB > BC y BD > DE. Se sabe que AB y BD son secciones áureas de AC y BE respecO _ fe Vivamente. Si BC = 2 C D y AE = — — ; calcular AC.

Resolución.2a

A Hagamos CD = a

B

=>

C

D

E

BC = 2a

Ya que AB es la sección áurea de AC .entonces BC será también la sección áurea de BE, de (i/5 + l) ello se tendrá que : BD = D E----^ — Es decir:

AB = a ( i/5 + l)

Análogamente com o BD es la sección áurea de BE, tendrem os : 3 a = DE

=> Del gráfico:

,

BD = DE

^

de d o n d e : DE

= -— (1/5 -

AE = AB + BD + DE 3 ^

= 0 ( y 5 + l) + 3a + ^ ( i / 5 - l )

J J De donde :

a =

Como:

x = a(i/5 + l) + 2o = a (3 + 1/5 )

Lms°

*= | ^ i (3+'ra) x =

3 -V 5 5(i/5 + 1)

i/ 5 -l

31.-A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos tal que: AB.CD = AD .B C ; A B . BC = x; AD. CD = y . Calcular BD.

Resolución.-

,

1

De la 1ra expresión :

S etien e:

BC

^ CD

---- o— A

-

ó. B

oC

D

a^C D = íT-BC TT

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C Efectuando :

AB . a - AB

Reem plazando: De donde :

57

. BC = AD . a - AD . CD

AB .a - x = AD.a - y y - x = (AD - AB)

Pero:

a

AU - AB = a

Luego :

y - x = a2 a = Jy-x

32.- En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que: AB = 2C D ; BC2 = A B . CD y ^

~~¡3D = 5 ' (' a,cu,ar AC-

Resolución.-

Por d a to : A dem ás: C om o: De donde: Y de (*) :

_L J I CD ‘ BD “ 5 BC CD.BD ^

C om o:

^ 1

BC 1 CD ’ BD

5

■ BÍ) = 5

=>

5AB =

1 5 BC BD

5AB = BC (BC + CD)

, ya que : CD =

Reem plazando: 5AB = AB •

, Simplificando :

5AB =

BD = BC + CD =>

Luego : 5AB = BC2 + BC ■

Factorizando:

BD-CD _ i CD.BD “ 5

AR

AR

+ ^C * ~2~

(AB + BC)

r AB+ BC AC 5 = ---- ^— = AC = 10

33.- Los puntos A , B , C y D forman una cuaterna armónica. S i: a + b + c.

a

b

e

; hallar:


58

Ernesto Quispe R.

Resolución.A__________ B_______ C_______ D Si A, B, C y D forman una cuaterna armónica entonces : Pero:

AR

AD

Xt>-AB = Ap _ Á C

Agrupando y factorizando: .

=

AD

qj

BC = AC - AB y CD = AD - AC

Reem plazando:

„

AB

.

AC ~

C om probando:

AB . AD - AB . AC = AD . AC - AD . AB

2 AB AD = AC (AD + AB)

J 2 _________ 1 _

De donde .

^

AB

1 j í ______ a AD ’ pero 'AC " AB

b AD

c= 2 ; a = 1 y 6=1

a + b +c= 4

34.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B , C y D. Si A C . CD = A B . BD, indicar la relación correcta.

Resolución.Por condición del problem a

AC . CD = AB . BD

Pero:

AC = AB + BC

Tam bién:

BD = BC + CD

Luego :

^

g

D

q

(AB + BC) CD = AB (BC + CD) AB. CD + B C . CD = A B . BC + AB. CD BC . CD = AB . BC

Simplificando:

CD = AB

35.- En una línea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, M, O y R; tal que : A M . AR = 3 M O . O R , y :

= ~^q . Calcular: ^

.

Resolución.A

M

O

R

- o ------------------------- o-----------o-----------o -

Del dato :

AM . AR = 3 MO . OR

Reemplazamos: Luego :

AR = AO + OR y MO = AO - AM

AM (AO + OR) = 3 (AO - AM) OR AM . AO + AM . OR = 3 AO . OR - 3AM . OR AM . AO = 3 AO . OR - 4 AM . OR

=>

4 AM . OR - AM . AO

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C

Dividiendo por :

59

AM . AO . OR AM.AO _ 3 AO.OR 4AM.OR AM.AO.OR AM.AO.OR * AM.AO.OR" 1 3 OR AM

Simplificando :

a

Por dato :

OR 0

Comprobando (1) y (2) :

4 AO

. ( 1)

_ _b c AM ' AO =

2

... ( )

1

b= 3 c=4 a _ 1 b+c 7

36.- P, O, R y S son puntos colineales ubicados en forma consecutiva. Si PR es media proporcional entre PS y OS. Hallar M s i : M=

7(RS) (PR)+ (PQ) (PR )-(O S) (RS) (RS) (PR)

Resolución.hP h CPR) = PS . QS o lo que es lo mismo :

Pero PR es media proporcional entre PS y QS b2 = a.c

7(RS) (PR) + (PQ) (PR )-(Q S) (RS) PQ.PR-QS.RS f(RS)(PR) D C Ì = 7+ RS.PR

Nos p id en :

M=

Reem plazando:

M= 7 +

Luego :

M= 7 +

Entonces:

M = 7 + (a-b) b = 7 + 1

( o - c ) (fr)-(c ) ( a - b ) (a-b)b

(a - b ) b

= 7 + a b -b c -a c + b c (a-b)b

= 7 + ab ~ b

(a-b)b

; ya que : b2 = ac

b (a-b)

M= 8 37.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A , B , C y D d e modo que: A B . C D = B C . AD y 5 ( 2 . AB + BD) = A B . AD. Hallar AC.


60

Ernesto Quispe R.

Resolución.Condición :

AB . CD = BC AD

Dato:

5 (2 . AB + BD) = AB . AD

Nos piden hallar:

AC

... (Cuaterna armónica)

A_________________________ BCD

Del gránco:

BD = AD - AB

Reemplazamos en el dato : 5 (2 . AB + AD - AB) = AB . AD 5(AB + AD) = AB. AD Del gránco también :

BC = AC - AB

y

CD = AD - AC

Reemplazamos estas dos últimas en la condición : Multiplicando:AB . AD - AB . AC = AD . AC Donde :

...(1)

. AB (AD - AC) = AD (AC - AB)

AD . AB

2 . AB . AD = AC (AB + AD) 2 Jé

LueS ° :

D = (l)yC 2):

=

(AB+AD) AB -AD

• " í2)

| = ¿ AC = 10

38.- En una linea recta se consideran los puntos consecutivos A, B , C y D que forman una cuaterna armónica. Si se cumple que : _2k± 1___ 1 1 AD.BC ~ BC + AD

J2 k+2

Hallar AC, sabiendo que la medida A C y k son números primos.

Resolución.A

B

Por condición del p ro b lem a: Del gráfico se observa que : Entonces al reemplazar en (*) : =>

AB

C AD

D

(Cuaterna armónica)

AB = AC - BC y CD = AD - AC = ÁÍ>-A(J

AD . AC - AC2 - AD . BC + BC . AC = AD . BC

... (*)

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C.

61

Ubicamos los sum andos convenientem ente y factorizamos AC: (AC)2 = AC (AD + BC) - 2AD . BC Dividiendo am bos miembros p o r: c

.

^

*

AC. B C . AD A

Se tendrá.

C

_______ L

AD.BC “ BC

,

AD ' AC

_L_

Comparando esta expresión con el d a to : Se tiene :

AC = 2k + \ = k + 2

2

-

=>

^2

k = 1

AC = 3

1

3

39.- En una recta se consideran los puntos A , A¿ , A ,.... en forma consecutiva de modo que se determinan (3n - 201) segmentos consecutivos los cuales tienen sus medidas relacionadas p o r:

2

2

A, A = — (A A J = — (Ag A J = .... =

(An f A J

S i: A2„3 A6„7 = 9 790 m *; calcular A,1 An R esolu ción .-

Hagamos : A, A^ = a => A^ A3 = 2a ; Ag A4 = 3a ; ...........An , An = (n -1) a V(n-l)a*i

A, Nos p id en : Por d a to :

Aa

Aj

A^.............. A ^ ................A67

A{ An = a + 2a + 3a + .... + {n -1 ) a

A„_,----- A„

=>Aj An =

^ n (n - 1)

A ^ Afi7 = 9 790

^1 ^67 " ^1 ^23 = ® Para hallar: A! Ag? y A, A23 em pleam os la fórmula

... (1)

Luego :

a =5

... (2)

n = 100

... (3)

Por d a to :

~ (67) (66) - f (23) (22) = 9 790

3n - 201 = n -1

Reemplazando (2) y (3) en (1) :

=> =>

Aj An = ^ . 100 (100 -1 ) A,I An = 24750

=> Aj An = 250 (99)

... (1)

62


Ernesto Quispe R.

40.- En una linea recta se consideran en forma consecutiva los puntos A, B, C, D, E , F . . . y así indefinidamente de modo que AB = 1CT ; BC = 2. T£T2 ; CD = 3.1(T ; DE = 4 . T ; EF = 5.1 Ors y así sucesivamente. Hallar el límite de la suma de medidas de estos segmentos.

1

3

104

Resol ución.-

10' 2.10’2 A

B

3.10J C

4.10 D

5 = 7^ + 10 10 '

Sea "S" la sum a de pedida, lu eg o : Multiplicamos por 10 a a /m :

5.10' E

F

103

+ -%■ + 104

1 0 S = l + 1|10 + ^102 + A +■ jo3

Descomponemos convenientem ente : 105= 1 + U o2 Agrupando:

l ° s = ( l +1L

El primer sum ando es : — L - = 1 - —

1 10

+

102

+^5- + . . .

y el segundo sum ando es "S". y

ijo 3

ío-5;

Segmentos de Recta

Luis Ubaido C

63

PROBL€MaS PROPUESTOS 1.- Sobre una línea recta se consideran ios puntos consecutivos M ,N, P, Q tal que : PQ = 3 NP y 3 MN + MQ = 4. Hallar la longitud del segmento M P . A) 1

B) 1,5

C )2

D )2,5

E)0,5

2.- Sobre una línea recta se consideran los punios consec utivos A B y C y luego se ubi can los puntos meJios M y F de AB y MC respectivamente Hallar la longitud de AF. Si AB + FC - AM = 2\/5 A) 5

B)V5

C)2yf5

D) 10

E)5

3.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y luego se toman M y F puntos medios de A3 y CD res pectivamente. Hallar ME s i: AC = 18 y BD = 34 A) 21

B)23

C)2 6

D)28

E)32

4.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que : CD = 4 AC y BD - 4 AB = 20. Hallar BC. A) 1

B)2

C)3

D)4

7.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecutivos A, B, C ; de forma que Q es el punto medio de AC. Hallar BQ. si:B C -A B = 6 A) 1

E)2,5

A) 50

B )60

A) 4

C)70

B )6

D)75

E)80

C )7

D )8

E) 12

10.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que : DC = 2.AB ; AB=¿z y BD = b. hallar AC.

A) a - b

B >a + b

D) -Job

E) (a + b)/2

C)b-a

E)5 11.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F tal que:

A) 1

A) 56

D)4

E)6

9.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecutivos A, B, C y D tal que se cum ple. AB .B D = A C . CD y AB = 8 Hallar CD.

Hallar AF

C)3

3

8.- Sobre una línea recta se consideran los pun tos consecutivos A, B, C y D tal q u e: BC = CD y A C . BC = 20. H allar: ÁD¿ - AB2

5.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, F, C tal que B es el punto meaio de AC Calcular el valoi numéri co de la siguiente expresión: (AF - FC)/BF. B)2

D)

C) 2

E)5

AC + BD + C E +D F = 91 y BE = |

B)54

C)52

D)48

a

F.

E)36

6.- Sobre una línea recta se consideran lo» pun tos consecutivos A, B, D y luego se toman M y N ountos medios de AB y BD respectiva mente. Hallar FN, siendo F el punto medio de MD y AB = 12

12.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que : AB + CD =12, luego se ubican M y N que son los puntos medios de AC y BD respectiva mente. Hallar MN.

A) 1

A) 2

B)2

C)3

D)4

E)5

B)4

C)ó

D)8

E) 10


64

13.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E; calcular la longitud del segmento que une los puntos me dios de AB y DE, si: CE= 8; BD= 12yAC= 10 A) 5

B)10

C)12

D) 15

E) 18

Ernesto Quispe R.

19.- Sobre una línea recta se consideian los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que : CD = 2.BC Hallar AC, siendo: AB + AD - BC = 16 A) 6

B)7

C)8

D)9

E)12

14.- Sobre una ln.ea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si M es un punto medio de AD y AB + CD - 10 y BM -M C = 2. Hallar CD.

20.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que: BC = 2.AB ; CE = 4.BC y "C" es punto medio de A D . Hallar AD. siendo: AE = 33

A) 3

A) 14

B)6

C)8

D)9

E)12

15.- Sobre una linea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que : AC + BD = 5 (AB + CD) y AD - 12. Hallar BC. A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E)16

16.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A. B , C y luego se to man los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente, tal que : 3.MN = 2.MC. Ha llar AC, si: A B -B N = 8. A) 24

B)26

C)28

D)30

B) 16

C)18

D)20

E)26

21.- Dados los puntos colineales y consecuti vos A, B, C y D; se sabe que AB + CD = A; hallar la n.edida del segmento cuyos extremos son los puntos medios de AC y B D . A) k

B )|

C )|

D )|

E j|

22.- Los puntos A, B, C y D son colineales y consecutivos de modo que : AB.CD = k , AD.BC y : ^

^

(k es primo)

E)32 CalcLlar: k.

17.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que : AC + BD = 1 : AB =a y CD =í>- Hallar B C A )a + b

B)2 -Jab

D )J a b

E) N.A.

C ) ( a + b )/2

A) 1

B)2

C)3

D)5

E,7

23 - Los puntos A, B, C y D son colineales y consecutivos forman una cuaterna armónica a _ b _ d SI • AC _ BC DC C alcular : a + b + d .

18.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D.

A) 2

S i: wi.AB.BD = n . C D . AC.

24.- A, B, C y D sun puntos colineales y con secutivos. Si AC es la media proporcional en tre AD y BD.

Hallar 'V , en la siguiente expresión : n

m _ x

BD ' AC _ BC A)n-m

B)m-n

D) Jm n

E )2j«i,i

B)3

C ;4

D)5

Calcular el valor de C, s i : C = 2

E)6

|

- ij

C)m+n

A) 0,5

B) 1

C)y¡2

D)yÍ3

E)2

Segmentos de Recta

Luis Ubaldo C. 25.- En una recta se consideran los puntos con secutivos P, Q, R y S los cuales forman una cuaterna armónica. Si • QR = H RS

y PS - — PQ

Calcular : PR. A) 5

B )6

C) 7

D) 8

E)

26.- En una recta se ubican en forma conse cutiva los puntos A, B, C y D de modo que : K2 - ! AC Calcular K B) 1,55

D) 2,5

E) 1,66

C) 2

27.- Sobre una línea recta se consideran los puntos A, B, C y D en forma consecutiva de modo que formen una cuaterna armónica; so bre AB, BC y AD, se ubican sus puntos me dios P, Q y R respectivamente. Calcular: A) 1

- ££

B) 2/5

30.- Sobre una recta XX' se ubican en forma consecutiva los puntos: A ,, A2, A3, A4..... An de modo que : A( An= 1 800 y A, A3+ A2A4+ A3.A 5. + .... An - 2, An = 3 000. Calcular la medida del segmento que tiene por extremos los pun tos medios de los segmentos A, An , y A2 An A) 200 9 D )500

C) 2

D) 3/2

E) 3

B)300 E)600

C)400

31.- Sobre una recta se ubican los puntos conAB BC secutivos A, B, C y D de modo que = y 36 CD = 5AB ; si BC = 8 . Hallar A D A) 120

A) 1,5

65

B)85

C) 100

D)90

E)110

32.- Los puntos P, Q, R, S y T están sobre una recta en forma consecutiva; PR = 20 y PQ = ^ A )34

= RS = ^ B)32

. Hallar PT

C)35

D)38

E) 40

33.- Dados los puntos colineales y consecuti vos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. S i:B I = ^ p7 - - C H = ^4p . Y:A D +BE+CF+D G + DG+EH+FI+GJ=63. Hallar AJ.

28.- Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB = 2CD ; BC2 = AB.CD 1 + -L CD BD

B )6

¿

C) 5

D) 4

E)32

B)7

C) 8

D)9

E)10

35.- Dados los puntos colineales y consecuti vos A, B, C y D se sabe q u e : AC = 8 y BD = 4. Calcular BC, si adem ás: 2 (AC) (CD) + (AB) (BD) = 4 (BC) (BC).

Calcular: MB.

I

D)30

+ ^ = } S ' Ha" a r : a + í i + 1 '

A) 6

B) 2

C) 28

E) 3

29.- A, C, M y B son puntos colineales y consecutivos Si AC = CB , AM.AB = 8 y _ 1 ______2 1 2MB AM ' AC '

A) 4

B)25

34.- En una recta se tienen los puntos conse cutivos A, B, C y D ; si AB . AD = 3 B C . CD y

1 V2

Calcular : AB. A) 7

A) 20

C) J2

D) 6

E)2yÍ2

A) 1,75

B)2

O 2,5

D)3

E)3,25


66

36.- Dados los puntos colineales y consecuti vos A, B, C y D se sabe que : „ AB _ BC 2 2 A D = 3 CD y BC

AC

=1

Hallar CD.

41.- Sobre una recta se toman los puntos con secutivos A, B. C, D y E. Además “M” esjrnnto medio de AD y “N” punto medio de BE Se sabe además que : MC = NC. Hallar MC, s i : AB + DE = 24. A) 2

A) 5

B)4

C)3

D )2

E)1

37.- En una línea recta se consideran los pun tos colineales y consecutivos A, B, C y D de modo que : (2x - 3) AB . CD = A D . BC 3.V+ 2 _ 3 x - 14 y AC AB Hallar jc , v , z . A) 1; 2; 3

B )4 ;3 ;2

D) 3; 4; 5

E )4 ;6 ;8

5 z - 13 AD

Ernesto Quispe R.

B)4

C)6

D)8

E) 12

42.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una recta, de modo que : AC2= A D .B D AB BD CD ' AC

Calcular: A) 4

Bj 3

C)2

D) 1

E)0,5

43.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C,

C )5 ;2 ;4

D, E , ......... , de modo que : A B = ¿ ,B C = |, C D = ^ , D E = |, E F = | . . . Calcular la suma límite de x donde :

38.- Sobre una linea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que forman una cuaterna armónica Si.

b

a

c

A) 0,5

B) 1

C) 1,5

D) 2

E)2.5

d

BD + AB

AC + CD

x - AB + BC + CD + DE + .........

44.- Sobre una recta se toman los puntos con

secutivos O, A, B, M de modo que :

Hallar: a + b + c + d

MA + MB = 1,5 AB. A) 6

B)3

C)2

D)5

E)8

39.- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C; de manera que AB - BC = 1 2 . Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos el punto B y el punto medio del segmento que se forma al unir los puntos medios de AB y BC. A) 3

B)2

C)4

D)7

Ej8

40.- Sobre una recta se toman los puntos conse cutivos S, I, O. N siendo O, punto medio de IN . Sim plificar: K = A) 1

B) 2

Hallar OM en función de OA y OB A)

B) C)

4 OB + 2 OA 3 OB - 2 OA

E= E )5

5 OB + OA

45.- Sobre una recta se ubican los puntos con secutivos A. B, C, D, E y F, si “D” es punto medio de C E , AC = CE y BD = DF. Calcular:

(SO)2 +(IO )2 D) 4

E)

3 OB - OA

5 OB - OA

(SI)2 +(SN )2

C) 3

D)

A) 1

B)2

nB 2 + BE" AC2 + EF2 C)3

D)4

E)5

>

.*

^

7

■V

✓i;«* -

-» .

^

» «J É I ¿ ^ gl

a ¡ Angulo es la reunión de d o j rayos de origen co mún y no colineales. En la figura adjunta se observa la representación gráfica de un ángulo y sus elementos. NOTACIONES: 4- AOB , ó , 4 - AÓ B se lee : "ángulo AOB" m 4- AOB se lee : Medida del ángulo AOB. CARACTERÍSTICAS :

— > —> - Simbólicamente se representa p o r : 4. AOB = OA uO B - Su medida es un núm ero real y positivo com prendido entre 0 y 180° es decir : 0 < m 4- AOB < 180

3

2 J E Q U T U 4 L B F C IA S I o < > n0’

... ( 3 .1 )

,

V < > 60”

... (3 .2 )

a

I o < > 36 00 "

... ( 3 .3 )

3 .3 t ’L ^SLtllJACíCXN A) SEGUN SU MEDIDA. A l) Á ngulo A gudo.- (Fig. 3.2a)

Es aquel ángulo cuya medida es m enor que 90; es d e c ir:

0 < a < 90

... (3.4 )

a = 90

... (3 .5 )

90 < a < 18 0

... (3.6 )

A2) Á ngulo Recto.- {Fig. 3.2a)

Es aquel ángulo cuya m edida es igual a 90; es d e c ir: A 3)Á n g u lo O btuso.- {Fig. 3.2a)

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90; es decir :

68


Ernesto Qu sp e R.

B) DE ACUERDO A SU POSICIÓN Y CARACTERÍSTICAS.

B l) Angulos Com plem entarios.Son dos ángulos cuyas medidas sumar . 90°. Si los ángulos mostrados son complementarios, entonces: a +

6= 90

... (3.7)

Observación: A la medida del com plem ento de un ángulo lo denotarem os p o r: C a ; verificándose que:

Ca = 90 - a

... (3.8 )

(0 < a < 90)

B2) Angulos Suplem entarios.Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Ya que los ángulos mostrados son suplementarios se cum ple que: & + 9 = 180

V

...(3 .9 )

Observación: A la m edida del suplementario de un ángulo lo denotaremos p o r \5 a ; cumpliéndose que: Sa = 180 - a

... (3.10)

(0 < a < 180)

B3) Angulos Adyacentes.Son dos ángulos de vértices común y lado común, adem as están situados a uno y otro semiplano d e terminados por el lado común. En la figura adjunta los ángulos AOB y BOC son ángulos adyacentes, ade más considerando las m edidas asum idas se verifi can las siguientes relaciones: C, = Adición : G= a + P C2 = Sustracción:P = 0 - cx y cx = 0 - P

/ G°

Fíg. í.5

B4) Angulos Consecutivos.Son tres o m ás ángulos de vértice conm n que de dos en dos son adyacentes tal com o los ángulos AOB, BOC, COD y DOE mostrados en la figura ad junta. Observaciones:

1) Los ángulos consecutivos que en conjunto com ple tan un semiplano tienen m edidas que verfican la relación a + P + Y+ 0 + 0 = 180

...(3.11)

fíg. 3.6,

Angulos

Luis Ubaldo C.

69

2) Los ángulos consecutivos situados alrededor de un punto (completando el plano) tienen sus medidas que cumplen la relación : a + 0 + P + y + 0 = 180

... (3.12)

3.4 COMPLEMWTO Y SUPLEMuNTU DE UN ANGULO DEFINICION:

Complemento de :

a = Ca = 90 - a ; (a <

Suplemento de a : SQ = 180 - a

90°)

; (ot < 180°)

A) Angulos A dyacentes: Son 2 ángulos tales com o : AOB y BOC. Se cumplen las siguientes relaciones: ADICIÓN :

0= a +P

SUSTRACCION :

P = 0-a

Fig. 3.9

B) 4 is Adyacentes Suplem entarios : Son 2 ángulos adyacentes cuyas medidas sum an 180°, tales como AOB y BOC.

B \ \

a + 0 = 180°

... (3.13)

0

O --------------------------í-------A;------i------------------------------C=*-

A

O

C Fig. 3.10

C) 4-s O puestos p o r el Vértice : Son ángulos deter minados al intersectarse 2 rectas. a = 0

... (3.14)

D) Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suple mentarios forman un ángulo de 90° m 4- POQ = 90°

...(3.15)

Fig. 3.12

Problemas de Geometria y cónto resolverlos

70

6J6RCIC10S

oe APLICACIÓN

(

Ernesto Quispe R.

l Ta PART6 J

1.- Hallar el CCC....C¡g ; si hay 50 veces complemento (C -» Complemento).

Resolvicipn-CCC...C

50

50

veces

Ya que 50 veces es par, entonces por propiedad :

CCC... C 5 0

= 50°

2.- Hallar el SSS....SW0; si hay 1001 veces suplemento (S -» Suplemento).

Resolución.555. ..S. 100 1 0 0 1 veces Ya que 1001 veces es impar, entonces por propiedad :

555... 5 ino = 180° -100°

S S S . . . S 100 = 8 0 °

3.~ En el gráfico calcular la m 4- AOB.

R e s o lu c ió n -

En el gráfico, por ángulos adyacentes suplementarios, tenem os : 2k + 3A> + 20 + 3k -2.0= 180

Donde: A hora: Nos piden :

8fc=I80 *

2 m 4- AOB = 6/?

m 4- AOB

-(f)

m 4- AOB = 135° 4.- En la figura, hallar "x".

Angulos

Luis Ubaldo C.

Resolución.Por ángulos adyacentes suplementarios, tenem os : a + 0 = 90

En consecuencia:

...(1)

A hora:

x=a + 0

De la expresión (1) y (2) :

* = 90°

- (2)

5.- En el gráfico, hallar la m 4 AOC, si : m 4 AOB + m 4- AOD = 56°


m 4- AOC = m 4- AOB + m 4 BOC

Entonces :

m 4 AOB = m 4 1 AOC - m 4 BOC

Reem plazando:

m 4 AOB = x - a

Por d a to :

m 4- AOB + m 4 AOD = 56

Reem plazando:

i

+ x+a

=56 <£) m II ¿5

Luego:

i x-a

* = 28°

2 a + 2 0 = 180

71

72

Problemas Je Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

3.6 ^ G U U > S IO l^ 1 L U K jiS B O R IX > S R E r T ^ m R A L E L A S r UNA TRA^'5VEK¿».4 L A) Angulos Alternos : Son de igual medida. A l. Altemos internos

Fig. 3 .14

Fig. 3 .Í 3

&= P

a = P

B) Angulos C o rrespondientes : Son de igual medida. Bl Correspondientes obtusos

B2. Correspondientes agudos

Ftg.3 .15 a = p

a = P

C) Angulos C onjugados : Son suplementarios

Ftg. 3 .17 a + (5 = 18 u

...( 3 .1 6 )

Fig. 3 .18 a + P = 18 0

.. .( 3 .1 7 )

Angulos

Luis Ubaldo C

73

3.7 AWGUI0S DE IADOS PAPA LELOS

3,8 ANGULOS DE LADOS PEKPE*1DJCUI ARES

Fig. 3.20

3.9 PROPIEDADESESPECLALEF A) Si el vértice del 4- AOB se sitúa entre las paralelas ayb, luego su m edida estará ex presada p o r: x = a + P

B) Teorem a d e Ss»*-rus : Para toda poligonal cuyos extremos pertenecen a las paralelas a y b se verifica la relación:

... (3.18)

a+0 + p = P+ e

T

... (3.19)

74


C) Del conjunto de ángulos m ostrados en la Fig. 3.23 se verifica la relación, s i : OA // PQ , en to n ce s: cc + P + 0 + e + co = 18 0 °

Ernesto Q u jp e P.

D) Si a y b son dos rectas tales que : a // b, entonces se dice que los ángulos que ellos determ inan m iden 0 y 180. (Fig. 3.24)

... (3.20 )

Ftg. 3.24

E) Siendo C el complemento de un ángulo, se cum plen las siguientes relaciones : - CCC . . . C a = a

a

# par

- CCC . . . C a = 90 - a # impar

F) Siendo S el suplemento de un ángulo; se cum plen las siguientes relaciones : - s s s s ...s e = e # par

I

a

- s s s s . .. se = is o -e # par

Luis Ubaldo C.

Angulos

€J€ftCICIOS D€ aP U C ACIÓ N

75

( 2 da PART6 J -v >

6.- Si : L1//L ¡¡ y a + p = 225, hallar "x".

Re-snkuciun.En el gráfico por propiedad :

x = 180 - a + 180 - P

Luego:

x = 360 - (a + P) ... (1)

Dato:

a + P = 225


... (2) x = 360 -225

x = 135°

1

7.- En la figura L //L ¡¡, hallar "p".

Resol uc.ón.Por el teorem a de Sarrus :

20 + p + 10 = 60 + 50

En consecuencia :

p + 30 = 110 P = 80

8.- Si : L1f/L2 , calcular '10

Resolnción.Por el vértice "C se trazu L3 // AB . Luego por ángulos correspondientes :

____

G- 50 = 80 0 = 130°

I

.Lj U

\

1-

76

Ernesto Qulspe R.


1

9 - S i: L //L ¡¡ y a / / b , calcular "(f

Resolución.En el gráfico : 60 + 70 + <]) = 180 Entonces :

... (4-s Suplementarios)

0 = 180 -130 <(>= 50°

10.- Se tienen los ángulos consecutivos AÓ B, BO C, C O D y D O A que son proporcionales a los números 2, 4 y respectivamente. Hallar el menor ángulo que forman las bisectrices del primer y último ángulo.

8

Resolucion.x = a + G

Del gráfico:

... (I)

A hora:

AÓB BÓC _ CÓD _ DÓA 2 = 3 5 8

Entonces :

AOB = 2k . BOC = 3A:, COD = 5/?,DÓA = 8fc

Luego

AÓB+BÓC+CÓD+DÓA = 18*

En consecuencia:

360 =

18A=>

¿ = 20

A hora.

AÜB = 2 (20) =»

AOB = 40

También :

DÓA = 8 (20) =»

DÓA = 160 ; pero DÓA = 26 x = 100°

I

; pero AOB = 2a

=» =>

a = 20 0 = 80

Angulos

Luis Ubaldo C.

77

1.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices O M y O N de ios ángulos AOB y COD respectivamente. Hallar la medida del ángulo AOC sabiendo q u e : m 4- MON = 90e y m 4 BOD = 82°.

Resolución. Del gráfico : * x = a + 8 2 ° -2 0 + 6 = 90°

=> a - 6 = 8°

... (1)

*■x = 2 a + 82° - 2 6

=> a - 0 = ^ - 4 1 °

...(2)

De (1) en (2), tenem os : Entonces : x = 98°

D

2.- El suplemento del complemento de la medida de un ángulo, es igual al doble del com plemento de la medida de dicho ángulo. Calcular el complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo.

Resolución.Seax la medida del ánguio, según los datos del problema planteamos la ecuación: SCx = 2Cx Entonces :

1tí0o - (90° - x) = 2 (y0 - x )

Resolviendo :

90° + x = 180° - 2x

Donde:

3 * = 90°

=>

x = 30°

Pero nos piden Luego : = 75° —)

■ —)

—)

■ —)

—)

3.- Los rayos OA, OE, OC. OD y OE se encuentran ubicados en un misi 'o plano, de modo que la bisectriz OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD ael ángulo BOE. Si m 4 X O E = 160s, calcular la medida del ángulo BOD.


78

Err,estúQulspeR

Rpsnlurión.Dd gráfico:

a + 20 = 160°

También se sabe que :

..(1)

a = 90° - 0

(2)

Reempl izando (2) en (1): 9 0 °-e + ? e = 160° Luego nos q u e d a :

e = 160°-90° e = 70°

4.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que m4-BOD - 3.m4LAOB = 60°

a

mJLCOD = 3.m4LAOC.

Hallar: m¿LtSOC.

Resolución.Sabemos por dato que : m^lCOD = 3./r?4lAOC = 3 a Tam bién:

m £ BOD -

Del gráfico:

3 /7 7

/jCAOR = 60°

(x + 3a) - 3 (a - x) = 60°

De d o n d e :

x + 3 a - 3 a + 3 x = 60°

En consecuencia:

4 x = 60° x = 15°

5.- La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un án

8

gulo excede en ° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo Hallar la medida de dicho ángulo.

Resolución.S eax la m edida del ángulo. Por dato ten e m o s: Resolviendo, nos q u e d a :

^

\ (90 - (180 -x)] - | [90“ - f ] = 8°

(x -9 0 )

(540 - 3x) 10

=

8°

x = 165°

6.- Hallar el complemento de la diferencia de las medidas de dos ángulos tales que la

medida del primero excede en 60gal complemento de la medida del segundo y la medida del segundo ángulo sea igual a la mitad del suplemento de la medida del primer ángulo.

Angulos

Luis Uboldo C.

79

R e so lu d ó n .-

Sean a y 6 las m edidas de los ángulos. Se pide :

x

Sabemos q u e: a - (90° - 6) =

= 90° - (a - 0) C0°

Tam bién:

6 = ^ (180° - a )

Restando (2) y (1) :

6 = 30°

En (1) :

a = 120°

Finalmente :

x

=>

a+

6 = 150°

=>

a + 2G=

180°

...(1) ... (2)

= 90° - (120° - 30°)

*

x = 0° 7 - La suma de las medidas de dos ángulos es 80ey e l complemento de la medida del pri mero es el doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos. R esolución.-

Sean "a" y "6" las m edidas de los ángulos; se pide h allar:

a -0

Por condición del problema ¿.abemos que :

a + G = 80°...(1)


90° - a = 20

Entonces :

a + 20 = 90°

Restando (2) y (1) :

0=10°

En (1) :

a =70°

En consecuencia:

... (2)

a - 0 = 60°

8.- Si a la medida de un ángulo le disminuimos su cuarta parte más que la mitad que su

complemento, resulta un tercio de la diferencia entre el complemento y el suplemento de la medida del mismo ángulo. Hallar dicho ángulo.

R esolu ción .-

S eax la medida del ángulo pedido. Por condición del problem a : De donde : Luego nos q u e d a :

x

- [ ^ + ^ ( 9 0 - jr)] = ^ [(90 - x ) - (180-*)] x

- ^ + y - 45 = - 30

5x

=15x4 x = 12°

80


Ernesto Quispe R.

9 .-Si m / / n ; calcular: x .

Resolución.En el gráfico observamos que a //b. Luego* se m ue ve a otro ángulo com o vemos en la figura : En ese ángulo:

* = 62° + 24° * =

10. - Si m / / n

86 °

; calcular: x .

Resolución.Recordem os la propiedad :

Si m il n se cumple :

a + 6 + c + tf = a + P + e

Según esta propiedad, para nuestro problema tenemos :

62- a + a + e + 6 0 ° + a - * = e 2 + a + e x = 60°

Angulos

Luis Ubaldo C.

81

11- Si m //n ; calcular x9.

~n

Resolucion.En el gráfico se cumple x + 180-2a = 180

D onde:

x = 2a

12.- Un tercio de la diferencia entre el suplemento y el suplemento de un ángulo es igual al doble de su complemento Calcular su medida.

Resolución.Sea "a" la m edida del ángulo entonces la diferencia entre el suplem ento y el com plem ento de a es : (180 - a ) - (90 - a ) = 180 - a - 90 + a = 90 Un tercio de esta diferencia será :

^ (90) = 30°

Según el problema, este último reultado es igual a :

2(90 - a)

Luego :

30 = 2(90 - a)

En consecuencia:

15 = 90 - a a = 75°

13.- La suma de las medidas del suplemento y complemento de un ángulo es igual a "n" veces la medida del complemento de dicho ángulo. Calcular su medida, si ésta es la menor de todas las posibles (ne Z*). R esolu ción .-

Sca "0" la medida del ángulo, entonces com plem ento de : 0 = 90 - 0 Suplemento de : 0 = 180 - 0 Según el p roblem a: (180 - 0) + ( 90 - 0) = n(90 - 0) Entonces :

270 - 20 = 90 n-nQ

Despejando©: De (*) :

0 = 90

n-2 > 0

=>

Si: n = 3

=>

0 = 0°

Si: n = 4

=>

G = 45°

( n - 3)

n -2

n >2

(no es posible ya que 0° < 0 < 90°)

...

(*)

82


14.- En la figura a - P = * ; calcular x .

Resolucimi.Del gráfico¿abemos que :

jf + P = 6 0 -^ + a

De donde :

2x - a + P = 60

Entonces :

2x - (a - 3) = 60

Reem plazando:

2x - ^ = 60 x = 36

15.- En la figura: a / / b ; calcular: x .

Resolución.Prolongamos CB y ED hasta intersectarse en O, luego : a = 9u x Empleando el teorem a de Sarrus para la poligonal ADOE 60 + a = 90 + 45 Reem plazando:

60 + 90 - x = 90 + 45 x = 15

16.- De gráfico mostrado determinar el valor entero ríe "x" cuando "y" tome su máximo valor entero.

T

Ernesto Quispe R

Angulos

Luis Ubaldo C

33

Resolución.Del gráfico {2y -x ) Pero:

+ (a + y) + (a y) = 180 => 2y + * = 180 ... (1)

x - y > 0 (definición de < )

=>

y
Donde reemplazando tenem os : Luego :

... (2)

y < 180 - 2y

3y < 180 => y < 60°

El mayor valor entero de "y" será : 59° Sustituyendo en (1) :

2(59) + x

= 180 x = 62

17.- Se consideran los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD de modo que la medida del ángulo COD es el doble de la medida del ángulo AOB. Calcular la medida del ángulo BOD si el ángulo AOE mide 1° siendo OE bisectriz del ángulo BOC.

Resolución.Del dalo

m 4 COD = 2m 4- AOB

En el gráfico :

m 4 CÒD = 2 (1 - a)

Entonces .

m

También :

4 COD = 2 - 2 a -

* = a + a + 2- 2 -a

2

x = °

—)

18.-En una línea recta XX' se ubica el punto O, por dicho punto se trazan los rayos OA , OB, OC y OD en un mismo semiplano de modo que m < AOC = m < BOD = 90° Además m < AOB + m < COD = 20° Calcular la m < BOC.

Resolución.Sea AÓ B = a => CÓ D = a, ya que : x + a = 90 ... (*)

Dato:

m 4 AO B + m 4 COD = 20°

R eem plazando: Entonces : En (*) :

x = 80°

w

84


Ernesto Quispe R.

1

19.- En el gráfico L / / L 2 . Calcular 6 .

Resolución.Del gráfico.

60° + 2 0 + 3 0 = 180°

Entonces:

5 0 + 6 0 = 180°

Luego sabem os que :

50=120° G = 24°

20.- La medida de un ángulo es 0° Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de 0 y el complemento de 6/2 excede en Q/15 el doble del complemento de 0. Hallar el suple mento del complemento de .

6

Resolución.-

j

Planteamos la ecuación : Luego : Homogenizando:

Jjj (180°-0)J - ^90° -

j

- 2 (90 - 0) =

— - 5-° - 90 + | -180 + 2 0 = ^ ¿

o

900-59 6

L uego: En consecuencia:

lo

, 30 ]26 6 + 6 15 900+100 JB = 270° 6 ‘ 15 4500 + 500-20 =8100 => 0 = 75

Nos piden SC?5:

= 180 -(9 0 -7 5 ) =

185^

21.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB. BOC, y COD. Se trazan las bisectrices; O M y O N de los ángulos AOC y BOD. Hallar m 4- M O N , si m 4- AOB + m 4 COD = 186'

Resolución.Por dato tenemos que :

4 COD = 186

... (1)

Pero en el gráfico:

m 4 AOB = a + x - 0 ... (2)

También :

m 4 COD = 0 + x - a ... (3)

Luego (2) y (3) en (1) ■ De d o n d e :

I

m 4 AOB + m

a + x - 0 + 0 + x - a = 186° 2x = 186°

.-.

jr = 93°

Angulos

Luis Ubaldo C.

85

22.-Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC (m 4 AOB < m 4 BOC) tal que: m 4- AOB + 2.m 4 BOC = 148B. Se traza el rayo OE bisectriz del ángulo AOB y OP bisectriz del ángulo EOC. Hallar la medida del ángulo EOP.

Resolución.Tenemcs como d a to : m 4 AOB + 2 .m 4 BOC - 148°

... (*)

Según el gráfico:

m

4 AOB = 2a

...(1)


m 4 BOC = 26 - a

... (2)


(2a) + 2(26 - a) = 148° 2 a + 46 - 2a = 148°

De d o n d e :

6 = 37°

_ _ _ _ _

—^

^

^

^

23.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que OP, OO, OR y OS son las bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y BOD respectivamente. Si m 4 POQ + m 4 ROS = 144° calcular m 4 AOD.

Resolución.Tenemos por d a to :

m ¿ P O Q + m 4 ROS = 144°

Del gráfico:

m 4 POQ = to - a + to + 6 ...(1)

También sabem os q u e .

m 4 ROS = 0 + 2 a - to

- (2)

De igual m a n e ra :

m 4 ROS =co + 2 6 - 0

.. (3)

Sumando (2) y (3) :

2 . m 4 ROS = 2 a + 29

De d o n d e :

m 4 ROS = a + 6

Reemplazando (1) y (4):

(to - a + to + 6) + (a + 6) = 144°

Sum ando:

-(4 )

2(6 + tü)= 144° m 4 AOD = 144°

24.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal q u e : m 4 AOB - m 4 BOC = 56B.

—>

—>

—)

Los rayos ON, ON, OP bisecan a los ángulos AOB, BOC y MON respectivamente. Hallar m 4 POB.

Problemas de Geometria y cómo resolverlos

86

Ernesto Quispe R.

Resolución.Delgráfico:

j r = c o - 0 ...(1)

Tam bién:

x = a - co ... (2)

Sumando (2) y (1) :

2x = a - 6 ...(3)

Pero por dato nos dan : m Reem plazando:

4 AOB - m 4 BOC = 56° -

2 a - 20 = 56° => a - G = 28° ... (4)

Reemplazando (4) en (3):

2x = 28° x = 14°

25.-Se tienen los angujas consecutivos POA. AOQ, QOB, BOR y ROS; tal que: m 4 POS = 1809, m 4 BOR - 48B, m 4 ROS = m 4 AOP y el ángulo POQ es menor que el ángulo QOS.

—^

^

Hallarla m 4 AOQ; sabiendo además que los rayos OA y OB son las bisectrices POQ y QOS respectivamente.

Resolución.Nos dicen q u e :

m 4 QOS > m

4 POQ = 180°

Entonces :

m 4 AOQ = m 4IROS = x

Dato :

m 4 BOR = 48°

Del gráfico:

* + 6 = 90° ...(1)

Tam bién:

6-jr = 48°

De (1) y (2) restando m .a.m .:

...(2)

2x = 90° - 4o° 2x = 42°

jc =

21‘

26.' Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que :m 4 AOC- m

—>

—^

4 BOD= 109

y m 4 MON = 100B; siendo los rayos OM y ON las bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente. Hallar la m . AOC,

4

Resolución.Por dalo tenemos :

m 4 AOC- m 4 BOD = 10°

... (1)

Del grafico :

m 4 AOC = 2 a + to ...(2)

También :

m 4 BOD = co + 20 ... (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) : 2a + co - (co + 20) = 10° De donde : Simplificando:

2 a - 2fl = 10° cc - 0 = 5°

... (4)

M

Angulos

Luis Ubaldo C.

También por d a to :

a + co +

87

6 = 100°...(5)

Sumando las dos últimas ecuaciones (4) y (5):2 a +

co = 105°

Pero del gráfico :

* = 2 a + co

En consecuencia:

x = 105°

27.-Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF; tal que: m 4 AOF= 180° m 4- BOD = 90By m 4 AOB = 3.m 4 DOE. Hallar la m 4- BOC, sabiendo además que

—>

—>

los rayos OE y OD son las bisectrices de los ángulos DOF y COF respectivamente.

Resolución.Luego de dibujar la figura según las condiciones del proble ma, pasamos a establecer las ecu acio n es: 3 6 + 90°+ 2 6 = 180° Luego :

56 = 90°

=> 6 = 18°

x + 26 = 90° Reemplazando:

x + 2 (18°) = 90°

=> x = 90°-36°

x = 54° 28.- Si m / / n ; calcular ae+ b B+ cB. Siendo 6 = 5ü-

Resolución.Por ángulos de lados paralelos movemos 26 al trazar la re c ta " I ” paralela a AB. Luego : 26 + 20 = 180° + co => Ahora por propiedad o+£>

co = 46-180°

... fl)

+ c + co=6 + 6

Reemplazando (1) en (2) : o + b + c + 46 - 180° = 26 Entonces :

o

+ b + c = 180° - 26

Pero: En consecuencia:

6 = 50° a + b + c = 80°

Problemas de Geometría y cómo revolverlos

88

Ernesto Quispe R.

— -) >

—)

29.- Alrededor de un punto "O" se trazan en forma consecutiva los rayos JA , OB, OC, —) —^ —y OD, OE y OF de modo que cualquiera de estos rayos es bisectriz del ángulo foi mado por los rayos anterior y posterior a esta bisectriz. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos EOD y BOC.

Resolución.Ya que cualquier rayo es bisectriz de los otros dos rayos más próximos entonces los 6 ángulos determ inados al rededor del punto O’ serán congruentes. Sea ”6" la m edida de estos ángulos. Luego :

60 = 360

Nos p id en :

x

=>

6 = 60

2 +0+ 2 -2

x = 120° {

y

^

y

30.-En la figura: L1 / / L2; a / / b y m / / n . Calcu lar : x + y.

Resolucion.-

3a

Por propiedad

=

m < A=

De donde :

m

<

A + a

a

a

Por ángulos alternos : m < T = m < A = -2

Por Sarrus para la poligonal MATLSK se tiene : .»r + =>

+ 6 = ^ + L ü + 180-y x + y = 180 + (w - 0)

...(1)

En ípleando i iuevarm nte Sarrus para la poligonal OBLS: 1 8 0 + Sustituyendo (2) en (1)

lv

= 180- a + 0

=j a

w- G = |

...(2)

Angulos

Luis I /baldo C

89

31.- En la figura, hallai el menor valor entero expresado en grados sexagesimales que puede tomar x.

Résolut ión.Del gráfico:

2x-y + y + x + y = 180

De donde :

=>

3 * + y = 180

y = 180 - 3jc

Pero sabem os que :

2x - y > 0

Luego :

?x> y

Reemplazando :

2x > 180 - 3x

Entonces :

5x > 180

=> jc =

x > 36

37°

32 - Se trazan los ángulos adyacentes AOB, BOC, COD. Si m e AOB = m < COD = bBy m < AOD = a-. Calcular la medida del ángulo formado pnr las bisectrices de los ányülos AOC y BOD.

Res< lucion Del gráfico : También :

QÔ C + b = BÔ P + b =

g -b 2 a -b

Luego :

BO Q — • + x

r. i j : Reemplazando

a -— b = — a --— 3 b +. x —

QOC = BÔ P =

a -'ib 2 a-3b

Ca - b ) ( a - 3 b) 2 " 2

Entonces : En consecuencia :

x =

a-b-a+3b

x =b

H3 - Se consideran los ángulos adyacentessuplementarios AOB y BOC se trazan las

—>

—>

bisectrices OP y O Y de los ángulos AOB y BOC, luego se traza OZ, bisectriz del < POY, si m < AOB - m < BOC = 60B. Hallar la medida del < BOZ.

Resolución.Del gráfico por propiedad : a + 6 = 90 Dato:

... (1)

m < AOB - rn < BOC = 60

Reem plazando: De donde :

2 a - 20 = 60 a - 0 = 30

... (2)

90


Sumando (.1) y (2) m.a.m. : =>

Emosto Quispe R

2a=\20

a = 60 ; 6 = 30

Del gráfico :

x + 0 = 45 x = 15°

34.- Seana. y(L I p s medidas de dos ángulos. Si los 7? del suplemento del complemento de

P los ^P de la diferencia entre el suplemento del suplemento de a y el complemento del complemento de p e s igual a los — del suplemento del complemento de los

de la

diferencia entre el complemento del complemento de a y el suplemento del suple mento de p, luego:

Resolucion.Exprescmos simbólicamente el enunciado del problem a :

^

Operando se tiene :

S S a -í 'Cp| ¡ = P

^ |l 8 0 - 9 0 + [^ ( .a -

S c | j (CCa - SSP)j

P)j| ^ =

|l 8 0 —90

2

Entonces : De donde : Finalmente :

a

90+P J L

Simplificando :

90 + - p - - a

a

90

P)J|

pC011—

+ a - P = 9 o [ |) + a - p

90( J ) - 90© a= p

35.- En la figura adjunta se muestran una linea poligonal for mada por n segmentos los cuales forman ángulos entre si y también con las paralelas L 1 y L Si los ángulos for mados tienen sus medidas que determinan una progre sión aritmética decreciente de razón “r". Calcular la me dida del mayor ángulo a.

Resoluclón.Del gráfico deducim os que com o hay "n" segm entos que conforman la línea poligonal, enton ces habrán ¡ ( « Ti ) ángulo donde :

Angulos

Luis 'Jhaldo C.

El penúltimo < : a - (n - 1) r Y el último <

: a -n r

PorSairus: a + a - 2 r + + a - n r = a - r + a - 3 r +... a - (n - l ) r ^

a + ^ - 2 r | 1 + 2 + ... +

- r ( 1 + 3 + 5 +...+ n -1)

De d o n d e :

a. K i I í H = . ry

Ahora:

a = f

Luego:

^ rn r , c\\ rn « = 4- (n + 2) - —

a =

Calcular: x + y.

R esolu ción .-

Entonces : Luego :

i 'cL-nr

(n + 2) = - i n _

36.-En la figura mostrada: m / / n ; a / / b y m ffn.

Del gráfico:

a -(n -l)r¡

2tp = 90 + 2 a 2$ - 2 a = 90 <]>- a = 45

También en ia poligonal ABC : j t + ( ] > + 9 0 - a = 1 8 0 O rdenando:

x +
Reemplazando

x+

135

=180 x = 45

rn


92

37.- En la figura L1 / / Calcular x.

y+ P=

y

Ernesto Quispe R.

260°

Resolución.Er. el gráfico por Sarrus:

x = 3a + 30

^ = a + tí

Luego : También:



P

= 360 - ( Y+ P)

Por consiguente en la poligonal PQBR : 

— >

4 -

— >

POQ + m

4 -

ROS = 140e,

— >

siendo los rayos OP, OQ, OR y OS las bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y BOD respectivamente. Hallar la : m 4- AOD.

Angulos

Luis Ubaldo C.

93

Resolución.Por dato tenem os : m 4. POQ +m4LROS = 140°

Del gráfico:

m

También :

m

4 POQ = a + 2w + 0 -

4 ROS = o + 0 - (a + o - 2 a) -

Reemplazando en el d a to : (a + 2w + 0) + [o = 0 - (a + o - 2a)] = 140° De donde :

2 a + 20 + 2w = 140°

Pero la m^lAOD :

2 a + 20 + 2o = 140°

O

4

m 1 AOD = 140°

—>

39.-Se tienen los ángulos adyacentes AOB,

—>

BOC y COD de modo que OA y OD son rayos

—> —>

—>

opuestos, además la m < BOC = 1209. Se trazan los rayos O X , O Y , OP y OR bisect,¡ces de los ángulos AOC, BOD, BOY y XOC respectivamente. Calcular la m < POR.

■tesoiucior..Sean m < AOB = 2 a Luego : Va que :

y m < COD = 20

2 a ■+■120 + 20= 180 =» a + 0 = 30° — > OX es bisectriz del < AOC =>

m < AOX = m < XOC = 60 + a —>

=>

OY es bisectriz del < BOD m < BOY = m < YOD = 60 + 0 —► OP es bisectriz, del < BOY

=>

m < BOP = m < POY = 30 + |

OR es bisectriz del < XOC =>

m < XOR = m < ROC = 30 + ^

Del gráfico observamos que : 2 a + 30 + ^ + 0 + 30 + ^ + 20 = 180 + 60 + | (a + 0) = 180

=>

$ = 120 - 1 (3 0 )

$ = 120 - 1 (30)

94


Ernesto Quispe R."

40.- En la figura Lj / / L2 , si a + $ + <¡>+ y = 140° calcular: x .

Resolución.A

a+p+ $

4

¿i

En la poligonal ABC : Dato: Reemplazando en (*)

j f + a + p + ( ¡ ) +Y = 180 a + P + ( ] ) + Y = 140 * + 140 = '.80 * = 40

... (*)

Angulos

Luis Ubaldo C

95

P ftO tíltM A S PROPUESTOS

1.- La diferencia entre las medidas de los án gulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Hallar —) la medi Ja del ángulo que forman el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC. A) 5o

B )l(f

C) 12°

D) 15°

E) 18°

2.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC (m AOB > BOCm). Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los án gulos AOB y AOC. Si m 4 BOC = 40°. A) 5o

B) 7,5°

C) 10°

D) 15°

E)20°

3.- Se tienen los ángulos consecutivos ABC, CBD y DBE, siendo BD la bisectriz del ángulo CBE Calcular la med.da del ángulo ABD si la suma de los ángulos ABC y ABE es 62°. A) 27°

B)40°

D)37°

E)53°

D)34° E)35° 10,- Si mlln y 0o es la medida de un ángulo agudo y mayor de 50°. Calcular el nvxim o va lor entero de Xa. A) 109° B) 112°

6.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se 'e disminuye 35° para agregarse al otro; da como resultado que el segundo es 8 veces lo que queda de) pr.mero. Hallar la diferencia de estos ángulos suplementanos.

C)116°

A) 7(f

B)65°

C) 3(f

C)60°

D)40°

D)55°

C)38° 30'

A) 3 Io

E)50°

B)20°

E)15°

E)70°

5.- La suma del complemento de la medida de un ángulo, con el suplemento de la medida de otro ángulo es 140°. Calcular el suplemento de la suma de las medidas de ambos ángulos. A) ÍCP

D) 12°

9.- Si mlln y allb ; calcular jt®.

Q 33°

D)50°

C).'0°

A) 4 Io 30'

4.- Se tienen los ángulos con'.scuu vos \OB,BOC y COD, tal que la ni4- AOC = m 4 BOD - 7(f. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD. C)45°

D)35°

B)9°

8.- Se tienen los ángjlos consecutivos AOB, —> —> —> BOC y COD, siendo OM , ON y OL las bisectrices de los ángulos AOB, COD > MON recpectivamente. Hallar la mea.aa ael ángulo COL. Si m 4IMOC - m <¡CNOD = 83°

B)32°

B)40°

C)31°

A) 7,5°

E)38°

A) 35°

B)29°

7.- í>i el complemento del suplemento del su plemento del complemento de un ángulo mide 15°. Hallar el suplemento del complemento, del complemento del suplemento de dicho ángulo.

E)5(f

D)

118°

E)12(f 11.- La diferencia de las mecada de dos ángu los consecutivos AOB y BOC es 60°.

96


Ernesto Quispe R.

Calcular la ni 4IDOB. Si OD es bisectriz del

18.- S i ml/n ; calcular r°

ángulo AOC.

A) 60°

A) ÍCP

B)20p

C )3(f

D)40°

E)50°

B^CP

12.- Dados los ángulos consecutivos DOA, AOb y BOC; de manera que el ángulo DOB

C )8(f

mide 8(f, se trazan las bisecti ices ON y OM de los ángulos DOA y BOC respecti vamente. Calculai la m 4IDOM. Si el ángulo BOC mide 60°. A) 100° D) 130°

B) 110° E) 140°

C)12QT

D)90° E )100° 19.- Si m lln ; calcular.«0

13.- De qué ángulo debe restarse los 2/3 de su complemento para obtener 52°. A) 25°

B) 38° C)72°

D)54°

E)67,2°

14.- De qué ángulo se debe restar la quinceava pane del tiiple de su complemento para ob tener 6o.

A )90°

B)60°

A) 15°

D )9 0 ° -a

E)72°

B,J2°

Q2CT

D )3(f

E)45°

15.- S¡ C —>complemento: calcular "n" e n : 2Cn +C2C n + C 2 C 2 C n=160° A) 5o

B )8°

C)10P

D) 12°

E) 15°

16.- El triple de la diferencia entre el suple mento de.x° y el complemento de jt° es igual al doble del suplemento del complemento del doble de jt”. A) 90° D)60°

B)45° E) 22° 30'

C) 3(f

C )45° h a

20.- La suma de las medidas de los ángulos es 140°; y el duplo del complemento del prir > es igual al triple del complemento del comple mento del suplemento de su ángulo doble êl segundo. Hallar la medida de dichos ángulos. A) J0CT y 40°

D )6 0 ° y 8 0 °

B) 90° y 50°

E) N.A

C) 70° y 70° 21.- Sea "a" la n ed .d a de un ángulo si la di ferencie entre los ^ del suplemento de a y el

17.- Si allb\ calcular el complemento de 0o.

complemento de la mitad de la medida oe di

A) 4(1°

cho ángulo excede en al doble del com plemento de a . Calcular el complemente del suplemento de a .

B i 5Ü°

C)7(f D)2ü°

A) 140°

B ) 145°

E)60P

D) 165°

E) 170°

C) 148°

Ángulos

LuisUbaldoC

22.- Se considera los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD. Calcular la medida del án gulo que ibrman las bisectrices de los ángulos AODy BOC,si: m< AOB -m< COB = 0.

ángulos AOB y B O C respectivamente; luego ->

-*

B )|

C )|

D )|

A

OR y OS bisectrices de los ángulos A O Q y CÓP. Calcular la medida del ángulo ROS. A) 60°

A )0

97

B)65°

C) 75°

D ,8 (f

E)105°

E ) |0

OM, OF y OH ,d e los ángulos AOB, BÓC, y M OF respectivamente. Calcular lan» < BOH, s i m < B O C -m AOB =40°

28.- Al rededor de un punto O se trazan los rayos O A, OB, OD y OE, de modo que las me didas de los ángulos AOB BOC. COD y DOE —) sean proporcionales a 1, 3 ,4 , y 5. Si OD es la prolongación de la bisectriz del
A) 5o

A) 12°

23.- Se consideran los ángulos adyacentes AOB y BOC, si se trazan las bisectrices O N ,

B) 7,5°

C ) l( f

D) 12° 3 0 '

E)20°

24.- Si a la med.aa de un ángulo le disminui mos su cuarta parto más que la mitad que su complemento, resulta un tercio de la diferencia entre el complemento y el suplemento del mis mo ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo. A) 12°

B) 14°

C)16°

D) 18°

E)2CT

25.- Calcular el complemento de la semidiferencia de las medidas de dos ángulos tales que la medida del primero excede en 60° al com plemento de la medida del segundo y la medi da del segundo sea igua1 a la mitad cel suple mento de la medida del primer ángulo. A) 30°

B)37°

C)45°

D)60°

B)60°

C)48°

D) 120°

E) 72°

29.- Hallar jc, si £ , / / £ 2 . A )137° Bj 138° 30' Q 140° D) 141° 30' E) 141° —> -— > 30.- En la figura OA // M N , calculara A) 15°

E)75°

BjlS° 26.- Se consideran los ángulos adyacentes AOB BOC y COD, se trazan las bisectrices OX, OY, OZ de los ángulos AOB, COD y X O Y respectivam ente.C alcularlas < AOB, si m < XOC +m < XOD - 4 m < BOZ = 80°.

C)20° D)24° E)27°

A )8(f

B)60°

C)40°

D) 5(f

E)2(f

27.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y B OC de tal manera que : m < AOB +m < BOC = 300°

31.- Calcular la medida del mayor de tres án gulos que están en la relación de 3, 5 y 7, sa biendo que el complemento de la suma de las medidas oe los ángulos es 15o.

Se trazan los rayos OP y OQ bisectrices de los

A >48°

—>

—>

B}25°

C )3(f

D)35°

E)45°

98


32.- Si a la medida de un ángulo se le aumenta se el cuadrado de la medida de su complemen to se obtendrá 180°. Hallar la medida de dicho ángulo.

Ernesto Qulspe R

3 7 .- Sean los ángulos adyacentes suplemen

tarios AOB y BOC; se trazan los rayos OM y

¿A O B .

ON bisectrices de los ángulos AOB y BOC; —> —> además se trazan los rayos OP y OQ con la condición : 2 ni 4 AOP =m 4 POM y 2 m 4 COQ =m 4- QOM Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos MON y POQ. S i : m 1AOB n ¡ 4 BOC = 72°

A) 12°

A) 8o

A) 100°

B',99°

C )8(f

D)60°

E) N. A.

33.- En la figura mostrada: hallar«/ 4 - COM si m 4- BOC -m 4- AOC = 24°. ÜM bisectriz del

4

B)10P

C) 12°

D) 14°

E)16°

38.- Hallar r ; si : £ , / / £ ,

B,18°

A) 60°

C)20°

B)75°

D)24°

C )105°

E)N.A 34.- Si al suplemenio de la medida de un ángu lo le disminuimos 30° menos que el doble de la medida de su complemento, esto es igual a 3/11 de la medida de su suplemento. Hallar la medi da de dicho ángulo.

D)

135°

E)N, A 39.- S i : ^

//

; hallar t.

A) 100“ A) 10°

B) 15°

C)30°

D)40°

E1N.A.

35.- Si el complemento del suplemento del su plemento del complemento de un ángulo mide 10o Hallar el suplemento del complemento del complemento del suplemento de dicho ángulo. A) 5o

B)2Cf

C)36“

3 6 .-S i : JSl| / / i l 2 y

I I

B) 120° C) 130° D) 140°

D )8(f E)10° ; hal l ar. jt.

E)15CP

4 0 .-Si : £ ,'//£ > . H allarx; si : a + b + c + d - 122°

A) 4 Io

B)51°

C)60f

D)61

E) N.A.

4.1 DEFINICIÓN Es la reunión de 3 segmentos determ inados por 3 puntos no colineales NOTACIÓN:

A ABC; se lee "triángulo ABC" CARACTERÍSTICAS :

- Posee tres lados, tres vértices , 3 4- interiores y 6 4-S exteriores. - Simbólicamente : A ABC = A B u BC u A C - Perímetro :

4 inteiicu

2p = AB + BC + AC

F¡8 4.1

La Región triangular es la reunión del triángulo con todos sus puntos interiores.

4 .2 TEOREMAS FUNDAMENXUJSS TEOREMA 1.

La sum a de las m edidas de sus 3 ángulos interio res es 180°. En el gráfico, podem os observar que :
...(4 .1 )

TEORFMA 2.

La m edida de un ángulo exterior (0) es igual a la sum a de 2 ángulos interiores (a ) y (P) no adya centes a él. Es decir (4.2) Fig. 4.3


100

En,esto Quispe A

TEOREMA 3

Un lado está com prendido entre la cum a y la di ferenció de los otros lados A este teorem a se le llama "Teorema de la Des igualdad tnangular" E ntonces:

a-c
(4.3)

TEOREMA 4

A mayor ángulo ce le opone mayor lado y viceversa. Quiere decir que : a > 0

<=> a > c

■(4.4)

Observación:

La suma de tres ángulos exteriores de un triángulo es 360°. Entonces: e , + e 2 + e3 = 36(T

... (4.5)

Fig. 4 .6

4 3 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS A) SEGUN SUS ANGULOS

a) AACUTÁNGULO: Es aquel que tiene tres ángulos agudos, o sea m eno res de 90°. a <90° Así:

P<90° 0< 90°

b)

A

OBTUSÁNGULO :

Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. 0>9O° —> obtuso Así tenem os :

a <90°

P<90°

agudos

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

101

c) A RECTÁNGULO: Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. Así: a + 0 = 90”

... (4.6)

Fig. 4.9 B. SEGÚN S U S LADOS.

d) A ESCALENO: Es aquel triángulo que tiene sus tres lado:, diferentes y sus tres ángulos interiores diferentes.

Fig.AAQ

e) A ISÓSCELES: Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentes y los ángulos que se oponen a dichos lados son tam bién congruentes. Del gráfico ¿a + 0 = 180° =>

a = 90° - |

=> .-.

180 —fi

a = -— ^—

a < 9 0° ... (4.7)

Fig. 4 .11

0 A EQUILATERO : Es aquel tnangulo que tiene sus tres lados congruen tes y sus tres ángulos interiores que miden 60° cada uno.

Fig. 4 .12

g) OBSERVACIÓN : Si en el A ABC m ostrado se cumple que : AB = BC y m 4LB = 60°

A ABC, es Equilátero


102

Ernesto Qulspe R.

€}€Rck *os o e a p u r a c ió n M r* PAR.t! 1.- En un triángulo ABC, se toman los puntos M, P y N sobre AB, AC y BC rsspentivamente, tal q u e : AM = MP y PN = NC. Hallar la m < M PN , si m a + P = 110° .... x + a + P = 180°

7 l0 ° " x = 70° 2.- Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los núme ros 2, 3 y 4 Calcular la medida del suplemento del complemento del ángulo interme dio del triángulo.

Resolución, Aplicando el Teorema 1 del item (4.2) 2 6 + 3 6 + 4 6 = 180° 9 6 = 180° 0

Nos pidekf

=

20 °

Sc3e = Sc^, = S3ü = 150° Sc6lr = 150°

3.- Calcular la medida del mayor ángulo de un triángulo, en el cual la medida del mayor ,ngu¡o es el duplo de la medida del menor y la medida del tercer ángulo excede a la del menor ángulo en 16°

Resolución.Aplicando el Teorema 1 del item (4.2) 0 + 20 + 0 + 16° = 180° 40 = 164° 0 = 41° Nos piden : < mayor = 20 = 82° < m ayor = 82° 4.- En un triangulo ABC, AC = BC, sobre AC se toma el punto “E", tai que: AB = BE = EC. Hallar la m < ACB.

Luis Ubaldo C.

Triángulos I

103

Resolución.A BEC por el Teorema 2 del ¡tem (4.2) m < BEA = x + x = 2x

A EBA isósceles : m < A = m < BEA = 2x A ACB isósceles : m < A = m m < EBA = x

Por el Teorema 1 del item (A 2) 2x + 2x + x = 180°

5* = 180° x = 36° 5.- En un triángulo PBR {PB = BR), se prolongan B P y P fí hasta los puntos C y A respectivamente, tal que AB = BC. Hallar m < PCA si m < RBC = 00°

Resolución.A

ABC isósceles : m < A = m < C = x + Q

A

APC por el Teorema 2 del item (4.2) m < BPC = * + 0 + * = 2jf + 0

También en el

A

BRC por el mismo Teorema

m < BFF = 30° + 0

Como

A

PBR isósceles : m < BPR = m < BRP 2x + 0 = 30 + 0

=>

2x = 30 x = 15°

6.- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se toman los puntos E y F, sobre A B y B C respectivamente, tal que el triángulo CEF es equilátero. Hallar la m < FEB, si m < ACE = 0

B

Resolución.Como A EFC es equilátero : m < EFC = m < FEC = m < FCE = 60°

Además A ABC, isósceles : m < A = m - r C = 60° + 0 Luego A AEC por el Teorema 2 del item (4.2): 60° + x = 60° + 0 + 0 x = 20

I


104

Ernesto Qulspe R.

7.- Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 7 m, calcular la suma de los valores enteros impares que puede tomar el tercer lado.

Resolución.Por el Teorema 3 del ítem (4.2) T enem os: Luego :

7-5<*<5 + 7 2 < * < 12

E ntonces:

* = 3.4,5,6,7,8,9,10,11

P or. lato A ABC es escaleno, entonces los valores que puede tom ar* será : * = 3,4,6,8,9,10,11

/.

X* = 51m

8.- En un triángulo ABC, se sabe que AC + BC = 11, exterior y relativo a AB se toma el punto “P" tal que : PA = 4 y PB = 5. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor valor entero que toma PC.

Resolución. Aplicando el Teorema 3 del item (4.2) A CAP :

a - 4 < * < a + 4... I

A OBP :

b - 5 < * < b + 5 ... II

Sumando I y II: (a + b) - 9 < 2x < (o + b) -1- 9 Por dato :

B

a + b = 11

Reemplazando : 11 - 9 < 2* < 11 + 9 2 < x <10

xmáx . = 9

* irun = 3

x mAx t - x mín . —6

S.- En un triángulo ABC, en la región exterior y relativa a AC se ubica el punto “P ”. Calcu lar til valor entero de AP. Sabiendo que la recta perpendicular a AC trazada por C interseca a A P ; además AC toma su máximo valor entero, AB = 3 m, BC = 6m y PC = 2m.

Rqsolur’on B

A ABC por el Teorema 3 del item (4.2): 6 - 3 < AC < 6 + 3 Por dato : AC es máximo

=> 3 < AC < 9 =>

AC = 8

Aíiora A ACP por el Teorema 3 del item (4.2) 8 -2 < x < 8 + 2

=> 6 < * < 1 0

...I

Del gráfico podem os dam os cuenta que x > 8 ... II De 1y II

x = 9m

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

105

uriS XOTAJBiJES a) Mediana : BM

Las piedianas t oncurren en eJbariceniro "G" Propieaaü ■ a G = 2GN

Fig. 4.15

c) Bisectriz: BD y BE.

Las bisectrices interiores concurren en el punto (I), llamado mcentro

Observación :

Para el triángulo ABC "E" es uno de sus 3 excentros y éste es relativo al lado BC. Entonces el excentro es el punto de intersección de Jo s bisectrices exteriores con una bisectriz in terior. -------- •'

Fig. 4.17

106

Problemas de Geometría v como resolverlos

Ernesto Qulspe R

e) C eviana: BP y BQ 3 ceviands culesquiera que se intersecten determ inan el cevencentro (TI

füj.4.20

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

107

10.- El segmento de recta que un vértice de un triángulo en el punto medio de su lado opuesto se llam a: A) Mediatriz

B) Bisectriz

C) Mediana

D) Altura

E) Ceviana

Resolución.Aplicamos el caso "a" del punto 4.4 y nos Jam os cuenta que dicho segmento se llama mediana. RPTA. C 11.- En la figura, BM es mediana, si "G" es el baricentro, hóllar oG ; BM = 24.

Resolución. Si : BM es m ediana => BG Luego sea : GM = a => BG Ahora : BM = 24 =>2a + a Por consiguiente : a Reemplazando (2) en (1) : BG

= 2 GM = 2o .. (1) = 24 =8 ... (2 ) = 2 (8 )

BG = 16 12.- Las tres alturas de un triángulo, concurren en un punto llamado : . A) Baricentro

B) Excentro

C) Ortocentro

D) Circuncentro

E) Incentro

R esolución ,-

El ortocentro, es el punto de intersección o punto de concurrencia de tres alturas dal triángulo. RPTA. C 13.- En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra en : A) Un punto interior del triángulo

D) Un vértice del triángulo

B) Un punto exterior del triangulo

EJ N.A.

C) El punto medio de un lado del triángulo

Resolución.En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra en un punto exterior del triángulo. RPTA. B

108


Ernesto Quispe R.

14.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) En un triángulo rectángulo, el ortocentro se halla en el vértice del ángulo recto. B) El punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo se llama incentro. C) Las mediatrices concurren en el punto llamado excentro. D) Una bisectriz interior con dos bisectrices exteriores concurren en el excentro. E) El punto de intersección de tres cevianas se llama cevencentro.

Resolución.El circuncentro es el punto de concurrencia de tres mediatrices.

RPTA. C

15.- De las siguientes afirmaciones, diga Ud. cuál es la verdadera : A) En un triángulo rectángulo, las mediatrices se encuentran en el punto medio de la hipotenusa. B) En un triángulo rectángulo, las mediatrices se encuentran en el punto medio de uno de sus catetos. C) En un triángulo acutangulo, las mediatrices se encuentran en un punto exterior al triángulo. D) En un triángulo obtusángulo, las mediatrices se encuentran en un punto interior al triángulo. E) Sólo B y Cson correctas.

Resolución.Las mediatrices en un triángulo rectángulo se encuentran en el punto medio de su hipotenusa. RPTA. A 16.- En un triangulo rectángulo de hipotenusa igual a 10cm, hallar la distancia del ortocentro al circuncentro.

Resolución.Según lo estudiado anteriorm ente el ortocentro se encuentra en "B" y el circuncentro en "M", ento n ces: Propiedad que estudiarem os más adelante Entonces:

— AC BM = ~

Ahora BM es la distancia pedida, entonces :

~ B Ortocentro -

Triángulos I

Luis Ubaido C.

109

17.- El punto de intersección de tres cevianas de un triángulo, también se le llama : A) Gravicentro

B) Centro de Gravedad

D) Punto de Menelao

C) Punto Aferente

E) Punto Cevlano.

Resolución.En honor al gran m atem ático Ceva, el punto de concurrencia de tres cevianas. tam bién se le llama punto ceviano. RPTA. E 18.- En la siguiente figura, hallar "x".

Resc' uc.on. ■ Dei gráfico : Tam bién: L uego: Reemplazando (2) en (1):

*= a +0

... (1)

2a + 20 = 180° a + 0 = 90°

... (2)

x = 90°

19.- En un triángulo los ángulos A, B y C miden 60°, 40° y 80° respectivamente, hallar el ángulo que forma las bisectrices de ¡os ángulos A y C.

Resolución.Fn el triángulo AIC : En consecuencia

B * + 30 + 40 = 180° * = 180-70 *=110

110


Ernesto Quispe R

4.5 PROPIEDADES a) En un triángulo, el ángulo formado por las bisectrices interiores de dos ángulos, se puede calcular con la siguien te relación (Fig. 4.21a):

x =

b) En todo triángulo, el ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior, está dado por la siguiente relación (Fig 4.21b):

jc

=

c) En todo triángulo, el ángulo formado por dos bisectrices exteriores, está dado por la siguiente relación (Fig. 4.21 c):

*

=

90° +

a

...

a

...

( 4 .8 )

( 4 .9 )

... ( 4 .1 0 )

90° - ^

Fig. 4.21

d) En un triángulo, el ángulo formado por una altura y una bisectriz trazadas desde un mismo vértice, está dado por la siguiente relación:

... ( 4 .1 1 )

e) En la siguiente figura si BD es bisectriz la m edida del ángulo "x" está dado por la siguiente relación :

■x =

f) En la siguiente figura (cuadrilátero cóncavo), el ángulo convexo exterior, está dado por la siguiente relación :

x = a + p + G

90° |

|

...(4.12) ... (4.13)

Fig. 4 . 2 2

g) En la siguiente figura, el ángulo V está dado por la siguiente relación . h) En la siguiente figura, el ángulo V está dado por la siguiente relación:

fa+el = b n

- (4-i4)

= ( ^

-(4 .1 5 )

)

Triángulos I

Luis Ubaldo C

i) En la siguiente figura, el ángulo "x" está dado por la siguiente relación:

*

= 45" - £

4

111

... ( 4 .1 6 )

Fig. 4.23

j) También : L uego:

Si m 4 - EBC = a Si/r, 4I ABF = a

AB = BE = EC BF = BC

AB = AF

k) Eii la siguiente figura, si BD es bisectriz y m -*»1A = 2 m 4IC, entonces el lado BC, está dado por la siguiente relación :

BC = A b + AD

... ( 4 .1 7 )

1) En la siguiente figura, ¿i BE es bisectriz ym 4- A = 2m 4IC, entonces el lado BC, está dado por la siguiente relación :

BC = AE

... ( 4 .1 8 )

- AB

m) En el triángulo rectángulo mostrado, BH es altura y BE bisectriz del 4- HBC , entonces se cumple lo siguiente: AB =

n) En el triángulo rectángulo

BH es altura, BD y BE son bisectrices de Iob ángulos ABH y HBC respectiva mente, entonces se cum ple lo siguiente: D E = AB +

BC - AC

... (4.20)

AL

( 4 .1 9 )

112


ei€RCIC!OS O f -VUCACIÓh (3ra Í'£\RT€) 20.- Según el gráfico dado calcular “x ”

Resolucicn.Por propiedad de ángulos de lados perpendiculares : m
A QPR por el Teorema “a ” del ¡tem (4.5) 2x = 9 0 ° + j

^

= 90° x = 60°

21.- En el triángulo ABC; m < B = 100°. Hallar x

Resolución.En el A ABC por el Teorema “a" del item (4.5) 100°

m < ADC = 90° + ~ m < APC = 140°

Poi propiedad de ángulos de lados perpen diculares : * + 140° = 180° * = 40°

Ernesto Qulspe R.

Triángulos /

Luis Ubaldo C. 22.- Hallar "x" de la figura

Resolución.Haciendo los trazos indicados y aplicando el Teorema “b” del item (4.5) A ABC tenem os

m < P = 20°

Luego A APC tenem os :

m e * =10° * = 10°

23.- Del gráfico calcular “x ”

Resoluclón.Haciendo los trazos indicados : A ABC por el Teorema “a” del item (4.5). m < BPC = 90 +

= 130°

Luego A BPC por e 1Teorema “c” del item (4.5) nn

130°

m < x = 90 — — x = 35°

24.- Del gráfico calcular “x"

113

114


Ernesto Qulspe R.

B Resolución.Por la propiedad “b” del item 4.5, tenem os : m < P =x

También : 4x + 4x + x = 180°

9x = 180°

\x ¡

x = 20°

25.- Del la figura calcular “x ”

Resolución.Haciendo los trazos indicados se forma el A RST, aplicando el Teorema “c” del item (4.5) 70° = 90 - f 5 = 40° Por propiedad de ángulos de lados perpendiculares : x = 40°

26.- De la figura mostrada calcular el valor de "x"

,S

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

Resolución.Aplicando el Teorema “b” del item (4.5), hacem os los trazos indicados en el A ABC. m< R=

m < B 2

40° 2

=

20 °

Ahora en el A TCR, aplicando el Teorema anterior : m

<

x

=

m < R

20°

2

m < x - 10o

27.- En la figura mostrada, hallar la medida del ángulo “x"

Resol ucion.Por la propiedad “b” del item 4.5 tenem os que : m < APB = 20°

Por ángulos de lados perpendiculares : x = 20°

115

11b

Problemas de Geometría i cómo resolverlos

Ernesto Qulspe R.

M is c e lá n e a

1.- En la figura, si AE = E F ; calcular x9

Resolución.En el A ABC, por el teorem a del ángulo exterior : (Ji = m 4 A + 40°

=■ *

m 4 A = 0 - 40°

=>

Pero dado que el A AEF es isósceles, tendrem os : m 4- A = m 4 AFE = 0 - 40°

ir o

Luego en el A FBC, también por el teorem a del ángulo exterior tenem os : - 40° + x = <¡>+ 40° * = 80c 2.- En la figura; calcular xe. ry t y +

2 0 4 -Z .b W -p a ja r o

,£>° lBO .o

Kesolución.Recordemos la propiedad :

y=

^ ^

Al aplicar esta propiedad en nuestro problema, observamos que: 24o = i2_±-£ Finalmente en el AABC : Reemplazando (1) en (2) : En consecuencia:

^

a +¿, = 48°

... ( I)

x + 2 (a 4- b) = 180° ... (2)

* + 2 (48°) = 180° x = 180° - 96

x = 84°

Triángulos /

Luis Ubaldo C.

117 V *

3.- Calcular: x + y + z , en el gráfico siguiente: y-

'

0 -í

^

Z = 130 IS Q

^

Resolución.-

Q *

'

\

Del gráfico, por el teorem a del ángulo exterior : x=a +0

+8+1 ' V

—(1)

También :

y= 2a + 20

... (2)

De igual m an era:

z = 180° - (3 a + 3 0) ... (3)

& f í\ j

Sumando (1), (2) y (3): x + y + z = 3a + 30 + 180° - 3a - 30 jc + y + z = 180° 4.- Calcular x s ; si : a + 0 = 124°

‘f . 10-

-

Resolución.En el AMBH :

x + n = 90°

Multiplicando por 2 miembro a m iem bro: 2x + 2n = 180° Transponiendo términos, tendrem os q u e : 2n = 180o - 2x

En el A ABC :

...(1)

2n + a + 0 = 180°

Despejando el término 2n, tendrem os : 2n = 180° - ( a + 0)

Igualando (1) y (2):

...(2)

180° - 2x = 180° - (a + 0)

Eliminando 180° y despejando encontram os que :

x = a j ^

Reemplazando el dato :

x=

124° -

* = 62°

I

118


Ernesto Qulspe R.

5.- Calcular x, en la siguiente figura.

D -V © +
R esoluclón.Del gráfico, en el triángulo CDE (4- exterior) x = + 170° - 0

...(1)

También en el triángulo ABC : x = 0 + 160° - 0

...(2)

Súm anlo miembro a miembro (1) y (2) : 2x = 330 x = 165° 6.- En la figura, calcular xc, s i : a + b = 220 ' , y, CN = N M .

Resolución.En el A ABC, sabemos por teoría que : o + 6 + 20 = 360° Por dato, tendremos : Ahora :

220° + 20 = 360°

20 = 360° - 220°

=» 20 = 140° 0 = 70°

Entonces en el vértice C, se tendrá que : a = 10° Finalmente en el A MCQ : Reemplazando :

x = a + a + 0 x = 40" + 40° + 70°

x = ISO0

Luís Uboldo C.

Triángulos l

119 f c Mf *"

7.- Calcular x, en el gráfico mostrado.

c a

Resolución.Recordemos la siguiente propiedad : x = 90°-^ Para nuestro problema : Donde : |

= 90° - 80°

80° = 90° - ^ =>

f=

,0 °

x = 20° 8.- En la figura, se sabe q u e : BC / / D E , además AD = DE, y: m - n = 36°; calcular a .

Resol ución.Si BC // DE, entonces la m 4 D = m 4 ACB = a En el A ABC:

m = 3jc + a ... (1)

En el A AED :

n = 2x + a ... (2)

Restando (1) y (2) miembro a miembro : Del dato se sabe que :

m - n = x

36°

=x a = 36°

9.- Del gráfico se pide calcular x.

- j fcO

120

Ernesto Quispe R.


Resolución.En el triángulo som breado : + 3* = 180° + o => w = 6* - 180°

(0

En el cuadrilátero no convexo ABCD, se tiene : (d = 3 (180° - 4x ) De (1) y (2) :

(2)

6* -180° = 3 (180°) - 12x

D onde:

18* = 720 x = 40° -i

s i : AM = MC

B F 3

\\3 5 °

lO O -

J i *

/*

1,

n

A

j

M

Resolución.-

i

El triángulo rectángulo PMC es isósceles : En el

C

PM = MC

B

AHC, trazamos la m ediana HM, entonces : HM = AM = MC

Tam bién:

m < HAC = 55°

Entonces:

m < AHM = 55°

En el A HMC (< exterior) :

m < AMH = 70°

=>

m < PMH = 20°

El triángulo PMH es isósceles :

HM = PM x = 80°

11.- Una recta perpendicular a la base AC de un triángulo isósceles ABC, intersecta en M a AB y en N a la prolongación de C B . Si AM = a y NC = b. H allar: BC.

Resolución.En el b. AHM:

6 + a = 90°

Triàrgulos 1

Luis Ubaldo C.

En el b. NHC :

121

m < HNC = 90 - 6 = a

Luego el triángulo NBM resulta ser isósceles. Entonces :

BN = BM

P ero:

BN = b - x y

BM = x - a

De donde : b -x = x - a a + b x = — 2— 12 - En la figura: L1/ / L 2. Calcular el menor valor entero de x, si el ángulo ABC es agudo.

Resoluclón.Prolongamos BA hasta cortar L,, en P, lu eg o : 17? < CBP = 177 < APQ (< alternos) En el A APQ; E es excentro, luego : x = 90 - ^ ^ - (Propiedad)

De donde : m 45°

El m enor valor en tero d e x es 46°

13.- En un triángulo ABC : m < A = 30gy m < B = 120e. Sobre la prolongación de AB se ubica el punto "P" y sobre AC se ubica el punto "p", tal q u e : AB = BP = QC. Hallarla m < PQC.

Resolución.En el A ABC :

AB = BC

y m < C = 30°

El A PBC es equilátero, entonces . PC = BP = BC y m < BCP = 60° En el A QCP, que es rectángulo isósceles : QC = PC x = 45°

122


Ernesto Qulspe R.

14.- Hallar "x" en el gráfico:

Resolución.En la figura ABCD, em pleamos la propiedad 3.5 g : a+0 . „ x= — => a + fa = x

2

Para el ú APD, E es excentro, luego: m < AED = m ~ ~ (3.5 b)

En el A APD : A hora: L uego:

=> 2x =177 < P z 2 a + 20 + 2x = 180 2(a + G)+ x = 180 2(2jc) + x = 180

2 2

x = 30° 15 ■En la figura, AB = BC, y el triángulo PQR es equilátero. Hallar x, si: a + $ = 142. R esolu ción .-

B

En el triángulo isósceles ABC :

m
... (1)

En el A PAQ :

i7 7 < A = a + 1 2 0 -x

(ángulo exterior)

EnelA Q C R :

m < C = 120 - p + x

(ángulo exterior)

Reem plazandoe.i (1)

a + 120 - x = 120 - P + x a + P= x

2

= a + P _ 142 X

2

2

G = 71 1 6 -En la figura DC = 12, hallar el valor entero de

I

Triángulos I

Luis Ubnldo C.

123

R esolu ción .B

En el A DBC trazamos la cev'.ana BE, de modo que la m 4- EBC = G. Entonces : BE = EC = AB x. Luego el A DBE es también isósceles : DE = DE = 12 -x. Ahora por el teorem a de la desigualdad tíiangular en el A DBE: 0 < x < 1 2 - x + 1 2 - jc

=>

x < 24 - 2x

3x < 24

=>

x <

L uego:

8

... (1)

En el AABD y de acuerdo con la magnitud de los ángulos opuestos, se tiene que : AB > BD, es d^cir: x > 12 -x D onde:

12 < 2x

De (1) y (2) tenem os :

6 < x <8

=>

6
(2)

En consecuencia, el único valor entero que adopta x es : 17.- En la figura ; nallar B C , s i : AB =

6y MC = 2.

R esolu clón .-

A partir del A ABC prolonguemos el lado BA y construya mos el triángulo isósceles NBC, en el cual : BN = BC = x. Ahora centrem os nuestra atención en el A NAM, donde :

4

m 4 - ANM =17? 4_ BCM = P , y , m 1 BAM = a + P

Entonces :

m 4 AMN = a

Luego este triángulo NAM es isósceles NA = NM = 2. En consecuencia

x= 6+ 2

*

I

= 8

x = 7

124


Ernesti >Qulspe R.

18.- Calcular x , en la figura mostrada.

Reso lu ción .-

En el iABD, se traza la ceviana BE, de m odo que : m 4IEBD = 15 Este trazo nos permite reconocer que el AEBD, es isósceles. Asimismo podem os reconocer que el 4 AEB es un ángulo exterior cuya m e dida viene daua p or: 1774Í AEB = 15 + 15 = 30 Este resultado permite ej«tabecer que el AABE es también isósceles, por ello atii marer.ios q u e : AB = BE = ED Esta última conclusión nos permite asegurar que, el AECD es equilátero EC = CD = ED Observando el vértice B, podem os descubrir que :

m 4 - BEC = 90

Luego el triángulo BEC es rectángulo isósceles (recto en E), en el c u a l: x + 15° = 45° x = 3ü° 19.- En el &ABC,se sabe que BE y DF son las bisec trices de los ángulos ABC y ADC respectivamente. Si además .¿AEB =¿DFC = 72n, calcular: x.

Resolución.-

Elaboremos un gráfico en el que se indiquen los ángulos iguales que se generan debido a las bisectrices BE y DF, asimismo prolongemos dichas bisectrices hasta que lo gren intersectarse en el punto H, con lo cual se habrá construido el AEFH.

fi

Por dato podem os establecer que :

4

m 4 FEH= rr¡ 1 EFH = 72u

A continuación podem os calcular la m edida del 4 EHF: 72° + 72° + m 4 EFH = 180° Luego :

m 4 EFH = 36°

H

Triángulos I

Luis líbatelo C.

125

x = ^2

Recordemos la siguiente propiedad : Rara nuestro problema en el triángulo ABD :

3 6 °= | * = 72°

20.- Dos lados de un triángulo miden relativa al tercer lado.

8y 14 m . Hallar el mínimo valor entero de la mediana

R esolu ción .-

A partir del A ABC, prolongamos las m ediana BM hasta D, tal que BM= MD. De este m odo y por una simple inspección, habremos provocado que el c u a drilátero ABCD sea un romboide.

B

En el A BCD por el teorem a de la desigualdad trian gular ten em o s: 14-8 < 2x < 14 + 8 Efectuando, tendrem os :

6 < 2x < 22

Dividiendo por 2 :

3 < x < 11

Los valores enteros de x serán :x = {4 ; 5 ;....;

10}

Luego el mínimo de estos valores enteros es : 21.- Si AD = DC = B C ; calcular x ,e n la figura :

Resolución.El triángulo DBC es equilátero : BC = CD = BD El triángulo ABD es isósceles AD = BD Luego en el vértice B, se tendrá que : * + 35° + 60° = 180° En consecuencia

x = 180° - 95° x = 85°

I

x mín = 4

126


Ernesto Qulspe R.

22.- El ángulo C de un triángulo ABC mide 36° Se traza la cevia,,a B F de modo A F= BC y BF = FC. Calcular la m < A.

Resolución.B Trazamos BL de m odo que :

m < BLC = 72°

Luego los ti ¡ángulos BLF y BLC resultan ser isósceles con lo cual se tiene : BL = BF = a

y BC = CL = b

Del gráfico deducim os que : AL = a En el triánrulo isósceles ALB : x + x = 72 x = 36° 23.- En la figura adjunta se tiene AE = Calcular: CD.

6y BC = 9.

Resolución.En el A ABD:

36 + a = 180

Trazamos BT de m odo que : m < BTA = G + a , lu eg o : BT = BA = 6 En el A BTD :

m < TBD = G

Con lo cual se tiene : BT = TD = 6 En el A TCB, los ángulos T y B son congruentes de donde : 6+x= 9

x =3

I

Triángulos I

Luis Ubaldo C. 24.- Calcular "x", si :A F = B F + BC.

127

B

Resolu ción . -

En el A FBD : m < F = 2 m < C = 48° Trazamos la ceviana BE, de modo que : m < BEF = 24° Luego : BE = BC = £>;BF = E F = a ;E A = E B = £ > En el triángulo isósceles AEB :

2x = 24 *

=

12

25.- Se tiene un triángulo A B C , tal que : AB = 5 ; m 4-BAC = 4 m 4-BCA . Calcular el máximo valor entero de BC.

Resoluclón.En el triángulo ABC, se traza la ceviana BF, de modo que la m 4- FBC = m 1 C = a

4

Entonces: BF = FC = a Luego trazamos BE, de m odo que : m 4 EBF = 2a => BE = EF = AB = 5

En el A EBF isósceles : a < 10

( 1)

En el A ABF :

5
( 2)

De (1 )y (2) :

5
Valores enteros de a = {6; 7; 8; 9} El máximo valor de a max , =9 Finalmente en el AFBC isósceles :

x < a máx . + a max .

Reem plazando:

x <9+ 9

Luego :

jc< 18
128


Ernesto Qulspe R.

26.- En un triángulo isósceles ABC(AB= BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D de modo que A C = AD; m 4 - ADC = 80°y m 4_ BCD =15". Calcular la m . BAD.

4

R esolu ción .B

En el triángulo isósceles ADC : 17? 4_ ACD = 80° Luego :

=>

m 4- ACB = 65°

m 4 DAC = 20°.

Finalmente en el triángulo isósceles ABC : x + 20° = 65° x = 45° 27.- Calculara; s i : AB = BC + CD

Resolución.Trazamos BT con la condición: 177 < BTA = 2a, Luego :

AB = BT = a + b

En el triángulo isósceles BTD : BT = TD = a + b => CT = a En el triángulo isósceles BCT: m < CBT = 2a Luego :

3a + 2 a = 90 - a

=»

6 a = 90 a = 15°

28.- En la figura : AD = BD = B C ; calcularQ

A

B

Triángulos I

Luis Lucido C

129

Resolución.En el A ABC, por < exterior : 17? < BAC = 40 En el A ADB:

m

ABD = 50

En el triángulo isósceles DBC: m

De donde :

DCB = 80

m < ACD = 0

El A ADC es isósceles entonces :

AD = DC

El triángulo DBC en realidad es equilátero con lo cual se tiene : 80 = 60

G = 7,5

29.- Sobre el cateto AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente el triángulo APB; de tal manera q u e : PB = AB = BC. Calcular: m 4 CPA.

Resolución.Si m 4- BPC = a, entonces la m 4- PCB = a En el A PBA isósceles : m 4 P = m 4 PAB = a +

x

B

Finalmente en el A APC : x + a + x + 45° + 45° - a = 180°

O perando: Donde :

2x + 901 = 180° 2x = 180° - 90°

=> *

2x = 90°

= 45°

3 0 .-En la figura; calcular "as", s i: AC = 2 BD

R esolu ción .-

Se traza la ceviana BM, de m odo que : De este modo el A MBC es isósceles con :

177 4IMBC = 2a BM = M C = BD = a

Aplicando el teorema del ángulo exterior en el vértice M :

m 4 ID M B = 2 a + 2a = 4a

Por la misma razón, podem os concluir que en el vértice D :

177 4IB D M = 4a

Pbdemos reconocer que el A DBM es isósceles, dado que :

177 4IB M D = 177 ¿ .B D M = 4 a


130

Ernesto Qulspe R,

Luego de la condicion I.aremos que : AC = 2a

=>

B

BD = BM = MC = a.

En consecuencia M es punto medio de AC, luego: AM = a . Esto nos indica que M equidista de A, B y C, por lo tanto podemos concluir que el A ABC es recto en B, de este m odo: 3 a + 2 a = 90° => 5a = 90c

A

M

D

2

— a—

a

C — 1-

a = 18° 31.- Calcular x, s i : AL = BL = LM = MC y BT = TL

B

Resolución.S e a : m < LCM = a, luego : m EnelA BLC: x = 2a + a

=>

LCM = a ; m < BML = 2a ; rr, < LBM = 2a jr = 3 a ...(1)

En el A BLC : m < TBL = m < TLB = 3 a (ángulo exterior)

En el A ALB; isósceles : m < ABL = m < BAL = 3a

En el A ABM : 3 a + 5a + 2a =180

=*

Reemplazando (2) en (1 ) :

a =18°

.. (2)

x = 54°

32.- Por el excentro E referente a BC, lado de un triángulo ABC. Se traza una recta paralela a AC Iá cual intersecta en O a BC, en P AB y en R a la bisectriz del ángulo A. S iA P = m y QC = n- Calcular RP.

Resolución.Por propiedad 2.4a del capítulo 2, se tiene : Tam bién: De igual m an era:

m < QEC = m < ECS = 0

m < EAC = m < PEA = a m < QRC = m < QCR = P

Triángulos I

Luis Ubaldo C

131

Resultando los triángulos isósceles: EQC, APE y RQC Donde :

QE = QC = n ; AP = PE = m ; RQ = QC = n

Del gráfico:

RE = 2n = m + x x = 2/i - m

33.- S i: BP = PC ; AB =

6y

QC = 2, hallar AC.

Resoluclón.Trazamos AS tal que : AS = AB = 6 y m < BCP = Luego :

=> PBC = 0

m < ASB = m < ABS = a

En el A SAB; por < exterior la m e SAB = P El A ASQ es isósceles, entonces : SA = SQ = 6 Finalmente el A SCA es isósceles ya que : a = 3 + 20

=*

AC = CS * = 8

34.- En un triángulo ABC se traza la ceviana BP. Si las medidas de los ángulos ACB, BAC y PBC son proporcionales a los números 1,2 y 3 y AB = 4. Calcular el valor de PC.

Resolución.Sea m < ACB = a =* m < BAC = 2a y m < PBC = 3a ■ m < MBC = a

Luego : Entonces : Además :

m < PBM = 2 a = m < BMP

AB = BM = MC = 4 BP = PM = x - 4

/

2a

- > ? a '\ 4 / yP X-4

2

A a

,

0.4 2a/\

4« / ' x-4

M

------ ©—


132

EnelABPM :

jr-4 + jr-4 > 4

=*

6< x

En el A ABP:

m< A< m < P

=*

x -4 < 4

De (1) y (2 ):

6< x <8

Ernesto Qulspe R

...(1) =*

x < 8...(2)

x = 7°

35.- En la figura se sabe q u e : AB = BC y m < ABC = 240 - 4a.

B

Calcular x.

Resolución.Aplicamos la propiedad 3.5] para el A ABD, trazando la ceviana interior BP con la condición: Luego : C om o:

m < PBD = a AB = BP = PD y m < ABP = 180 4ot m < ABC = 240 - 4a (dato) => m < PBC = 60°

El A PBC es equilátero, entonces : PB = BC = PC Y: m < BPC = m < m < BCP = 60° Por < exterior para el

PCD: 60 + 2 a = a + j r + a + j i r x = 30°

36.- Interiormente a un ¿i ABC se ubica el punto P tal que m < PAC = 48B; m < PCA = 18B y m < APB = 1209. Calcular la m < PBC si AC = BP.

Resoluciur Prolongamos AP hasta L, de modo que, m < PCL = 66u Luero m < PLC = 48° Resultando que : □

AC = CL = PL = BP

A BPL es equilátero, entonces BL = BP = PL

y m < PBL = m < BLP = 60° En el triangulo isósceles BLC : m < LBC = m < LCB = 36° x = 24° 37.- En un trapezoide m BCD: BC = C D ; AD = AB + BC y m < D = 6 0 B. Calcular . m < B.

r

V

Triángulos 1

Luis Ubaldo C.

Resoluclón.Trazamos CT de modo que :

DT = CD = a

Luego el A CDT resulta ser equilátero con lo cual ■m < DTC = 60° y CT = a Del gráfico observamos los triángulos isósceles BCT y BAT resultando las siguientes igualdades. 13 + b

m < CTB = a y m < BTA = 0

C om o:

x =a +

6y a + 0 =

120°

38.- Calcular x; si se sabe que AP = PC.

Resoluclón.El A APC es isósceles, entonces : m < PCA = 40

Luego :

m < QCA = 40 - 30 = 10°

Por < exterior :

m < BPC = 40 + 40 = 80°

□ A PCB es isósceles, en to n ce s:

CP = CB

El A QBC es isósceles, entonces :

BQ = BC

En el vértice P : m < RPC = 180 - (30 + 80) = 70°

El A PCRes isósceles, entonces :

PC = RC

El A BCR resultó ser equilátero en consecuencia: BR = BC = RC y m < RBC = m < BRC = 60° Finalmente en el A QBR isósceles : x + 10 = 80° x = 70°

x = 120°

B

133

134


Ernesto Qulspe R.

39.- En la figura: AB = FC. Hallare

Resolución.Trazamos la ceviana FE de m odo que : m < BFE = 0 a m < FEC = 8 Resultando q u e : B E = E F = FC = AB En el triángulo isósceles ABE m < ABE = 180 -120 de donde : m < BAE = m < BEA = 60 A AEF es isósceles (m < EAF = m < EFA) en tonces AE = EF. Entonces el A ABE es equilátero : 60 = 60

0

=

10°

40.- En la figura, s i : AB = DC = A D ; calcular x.

Resolución.Dado que AD = DC, concluim os que el AACD, es isósceles, por ello : m 4- ACD =3¿t Completando todos los ángulos del AABC, tendrem os que : m 4- BAC = 180° - 1lx ...(1) Al trazar BD .encontramos que el AABD es isósceles, con lo c u a l: m 4 ABD = m 4 ADB Completando todos sus ángulos, sabem os que se debe verificar q u e : m 4 ABD + m 4 ADB + (m 4 BAC + 3¿c) = 180° ...(2)

Reemplazando (1) en (2) : 2m 4 ABD + 180°-1 lx + 3x = 18l)° =* m 4 ABD = 4x

Luego, concluimos que : m 4 ABD = m 4 ADB = 4x De acuerdo con este resultado, podem os asegurar que en el A DBC : m 4 DBC = 5x y com o la m 4 BCD = 5x, entonces el triángulo DBC es isósceles, de m odo que : BD = DC. En consecuencia, el A ABD es equilátero, con lo c u a l: 4x = 60° x = 15°

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

135

PR0BL6MAS PR0PU6ST0S 1.- Calcular la medida del ángulo 0

5.- Calcular "m - n", en la figura.

A) 22° 30' B) 30° C) 15° D) 45°

A) 10°

E) 18°

6 .- B i un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en BC se ubica el punto "D" tal q u e: AD = AC. Calcular la m 4- ABC, si m 4- BAD =15°

2.- Calcular el

A) 50° 7.-

B) 20°

B) 30°

C) 30°

C )45°

D) 15°

D )40°

E) 18°

E) 20°

S i : m II n ; calcular x

A ) 100° X i

E) 120°

o*'' •*

J

t,

X

v *

3.- Calcularjc , s i : m i l n , y , a II b

'

B ) 110° s- C) 120°

\2D 4 D ) 130°

A 1OCP

E)

140°

8.- S i : m II n ; calcular x A) 23° D) 40°

B) 36°

m

C) 42° E) 50° 4.- En la figura, si la medida del ángulo ABC es obtuso, calcular el máximo valor entero de x. A) 105°

I

D) 48° E) 30° 9.- Calcular x, en la figura.

A) 40°

B) 145°

B) 50°

C) 132°

C) 70°

D ) 149°

D) 60°

E ) 138°

E) 45°

n

136


10.- Calcular a , en el gráfico. A ) 24° B)

15.-En el ti ¡ángulo ABC, sobre los lados AB y BC se ubican los puntos M y N respectiva mente; de tal manera que : AM = C N \m 4- M AN= 10° y m 4- NAC = 50° Calcular tn 4 MNA; s i : m 4 A = 40°

D) 20°

E)

C) i8°

A) 20° 11.- En el

g rá fic o ,

hallar

Ernesto Quispe R.

"jc”

16.-

B) 30° C) 40° D) 50°

E)60°

Del gráfico mostrado; calcular "0”

f\) JU

B) 45° C)60° D) 75° E) 90°

A) 80°

17.- El perímetro de un triángulo rectángulo es 30. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la medida de la hipotenusa?

B) 60°

A) 3

12.- Calcular*, en

C |40°

B) 5

C) 4

D) 2

18.- Calcular*,

D) 45°

A) 24°

E) 30°

B) 30°

13.- En la figura: / / £ z y el ángulo ABC es obtuso. Calcular el mayor valor entero de x

C) 32° D) 36 ' E) 45° 19.- C alcular*, en el gráfico A) 20° B) 25° C) 30° D) 35°

14.- En el gráfico; calcular de "6" A )6 0 -6 B)

45 - 0

C) 90 - 0 D) 45 + 0 /4 E) 45 + 0 12

"jc "

en función

E) 40" 20.- S i : AB + AD = 4 ; hallar BC

E) 6

Triángulos I

Luis Ubaldo C.

21.- En la figura; calcular x Si : 2 m 4 ABD + m 4 BCA = 130°

137

m < BPR; si m < RQA = 4 m < RPB.

A) 10°

B) 12°

C) 20°

D) 15°

E> 14°

A) 40° 27.- En un triangulo isósceles ABC (AB = BC) la bisectriz del ángulo exterior C intersecta en P a la prolongación de BA. Calcular el máximo valor entero del < APC

B) 50° C )30° D)

45°

E) 35°

A) 46°

22.- En la figura mostrada; calcular x + y A) 110°

28.- En un triángulo ABC: m 4 A = 2m 4 C; si AB = a ( a 6 Z +) . Hallar la suma del míni mo y máximo valor entero de BC.

B) 115°

A) 2a

C) 120°

B) 30°

C) 60°

B) 3a C) 4a

D )44° E)51°

D) 5a°

E) 6a

23.- Calcular x, en la figura.

29.- Sobre los lados AC y BC de un triángulo isósceles ABC, (AC = BC), se ubican los pun tos M y N respectivamente; de ta1 manera que: BM = MC , BN =AB y m 4 MBN = 20°. Calcular/« 4 BMN.

A; 8o

A) 60° B) 40°

D) 130° E) 140°

B) 10°

C )30°

D) 20°

E) 50°

C) 12°

30.- En la figura 'T ^ e s incentro y "E" es excentro relativo a BC . Calcular V .

D) 13°

Al 45

E) 15°

B) 60

24.- Se tiene un triángulo ABC; si : AB = 5 ;

C) 75

m 4- BAC = 4 (m 4 B C A ). Calcular el máxi

mo valor entero de ''BC'’ A) 11

B) 13

C) 15

D) 17

E) 19

25.- Las longitudes de los lados de un trián gulo forma una progresión aritmética de ra zón r (r e Z*). Hallar el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro. A )6 r-1 D) 6r + 1

B) 6 r

C )3 (r-1 )

E) I r - 1

26.- Sobre los lados ÀC y BC de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubican los puntos Q y P respectivamente y en el exterior relativo a AB se ubica en el punto R tal aue PQ // AB y el triárgulo QPR es equilàtere. Calcular la

D) 30 E) 50 31.- Las medidas de los ángulos in emos de un triángulo escaleno son números enteros meno res que 80°, la bisectriz de uno de sus ángulos interiores determina sobre el lado opuesto dos ángulos que son entre si como 7 a 13 es. Hallar la medida del menor ákigulo del triángulo. A) 25°

B) 28°

C) 24°

D) 26°

E) 27°

32.-JSn la figura las longitudes de los segmen tos A B , BD y BC están expresados por nú meros enteros. Si AP + BD = k. Hallar la suma del máximo y mínimo valor que toma BC.

138


A) 2k + 1

37.- Calcular jc (x e Z*) si : AC = AB = CD

B ) 2k - 1

B

A) 39°

C)2k+2 D)

Ernesto Qütspe R.

B) 41°

k+ 2

C) 43°

E)k

33.- En la figura E es excentro de A ABC. Hallar el máximo valor entero de x. A) 21°

D) 45° E) 46° 38.- Calcular*, en la figura.

B) 22° C) 23° D) 24°

.355 /Y35°

E) 25° 34 - Calcular*; si : AC = CB y MN = ML

A) 10°

A) 8°

39.- En la figura , Qué punto notable es "K” del A ABC, si los triángulos AKD Y BKE son equiláteros.

B) 10°

B) 15°

C) 20°

4 5 ° /\

D) 25° E) 30°

C) 12° D) 14° E) 16“ 35.- Calcular x ; si AT = TQ A) 20° B) 30°

A 72°

C)40°

\

D', 50°

x'

^36°

E) 60° 36.- Segun el gratico; AB - AD = D C , indicar que punto noiables es "D" del tnanguio ABC. A) Baricentro C) Incentro E) Cevacentro

A) Incentro

/l3 &

/

__ D ______20>

D) Ortocentro E) Excentro

B) Baricentro C) Circuncentro

40.- Calcular v dt ! gráfico. A) 105° 80° '

B) 100°

B) Ortocentro D) Circunêntro

D

20 2c - 1

C) 115°

eW

D) 125° E) 160°

A

“

-— Kg .

-

• -

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..

i*€j

5.1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 5.2 CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS (=) I o CASO.- (A.LA.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado adyacente a ambos respectivamente con gruentes. Xa A

AC = ML Si:

4LA =4LM

A ABC = A MNL

14.C =4LL

...

(5.1)

2o CASO.- (1~A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivam ente congruentes y el ángulo com prendido entre ellos respectiva mente congruentes. AB = MN

4

Si - < 4_K - LM

(1^

AABC = A MNI

AC = ML

(5.2)

3o CASO.- (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes. AB = MN

S i:

BC = NL

A ABC = A MNL

AC = ML ...

I

(5.3)

N

B

Xa

e \ C

M

e \ L Fig. 5.1

140


Ernesto Quispe R.

4o CASO.Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo que se opone al mayor de ellos respectivam ente congruentes. AB = MN AC= Si:

ML

4IB = 4IN

A ABC = AMNL

AC > AB ... (5.4)

ml >

Fig. 5.t

Recomendación.-

Inmediatamente después de haber encontrado dos triángulos congruentes del gráfico de un problema, te recomiendo aplicar el criterio que dice : "A lados congruentes se le opo nen ángulos congruentes y recíprocam ente a ángulos congruentes se le oponen lados con gruentes.

5.3 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANG1ILOS Io CASO.-

Si:

4-A = 4IM AC = ML

2o CASO.-

Si:

AB = MN XC =

4. L

3o CASO.-

Si:

AB =MN

ABC =

MNL

AC = ML ... (5.7) Fig. 5.7

Triángulos II

Luis Ubalde C

141

4o CASO.AB=M N

L >

BC = NL

^

ABC =

^

MNL

*

... (5.8)

Fig. 5.8

Observación -

Para la congruencia de los triángulos rectángulos nota que sólo es necesario que haiia, dos elementos (2 lados ó 1 ángulo y 1 lado) iguales ó congruentes. A diferencia de la congruencia entre triángulos oblicuángulos donde se necesitan 3 elem entos congruentes donde por lo menos un elem ento debe ser lado.

5.4 TEOREMA DE JLA BISECTRIZ DE UN ANGULC «Todo punto d e la bisectriz d e un ángulo, equidista de sus lados». _. Si:

. P € OF __ _ P Q I O A a p r X OB =*

PQ = PR y OR = GQ

... (5.9)

RECIPROCO : «Todo punto interior a un ángulo y que equidista de sus lados pertenece a su bisectriz ». S i:

PQ = DR

=>

OP es bisectriz del 4- AOB.

5.5 TEOREMA DE LAMETUATRIZ DE U N SE&ME* « Todo punto de la mediatríz de un segm ento equi dista de sus extrer. ios ». ) Sea £ la mediatríz del segm ento AB , entonces : Si:

I

P e í'

=>

P A =P B

... (5.10)

1

142


Ernesto Qulspe R.

RECIPROCO : Si ur. punto equidista de los extrem os de un segm en to entonces, éste pertenece a la mediatríz del segmento.

Si:

PA = PB QA = QB

=»

__ PQ es mediatríz de AB

Fig. 5.12

Consecuencias : a) En un tuángulo isósceles las líneas notables relativas a su base se confunden. Y " \ —t A l~- Baise H

Altura Bisectriz Mediana [ Mediatríz Fig. 5.13

b) Si en un triangulo una ceviana cumple con la función de 2 líneas notables, entonces el triángulo es isósceles.

híg. 5.14

Triángulos II

Luis Ubaldo C.

e je R c ic io s o e a p l i c a c i ó n

( j ra

partcj

1.- e n ¡a figura mostrada, si AB = BC ;B P = 4 y PQ = 3. Calcular PC.

B

Resolución.De la figura trasladando ángulos tenemos : ABQ = Bx BPC (caso A.L.A) x = 7

2.- En la figura los triángulos ABC y BDE son equiláteros. Calcular CD, si AE = 3

Resol uclón.Graficando los datos en la figura resulta que : A ABE = A DBC (caso L.A.L) x = 3

3.- De la figura si AB = BE, AD = EC y BD = BC. Calcular 6

B

143


144

Reyoluclón.-

B

Del gráfico : A BAD =*•

Ernesto Qulspe R.

e

A BEC (caso L.L L)

m 4L BAD = m 4 BEC = 76

Además : A ABE isósceles m 4. BAE = m 4 BEA = 30

Entonces :

30 + 70 = 1 80° 106 - 180° 0 = 18°

4.-En un triángulo ABC (B = 9 0 B) la bisectriz exterior de Á y la prolongación de la altura BH se intersectan en ' F" tal que : AB + AH = 4 y HF = 3. Calcular BH

Resolución.Por dato : AB +

= 4 => a + b = 4

Por propiedad de la bisectriz AH = AP = b HF = PF = 3 Luego

BPF es notable (37° y 53°) =>

BF = 5 = jc + 3 x = 2

5.-

En la figura AD = 2DB. Calcular m 4 DF.

Resolución.Aprovechando las bisectrices, por propiedad : DB = DP = DR = n En. Ah'15 es notable : 30° a 60° =>

m

4 C = 60°

En el A FCE por pro p iedad dada en el capítulo an terio r:

Luis Ubaldo C.

Triángulos II 60°

* = 90°

x = 60°

6.- De la figura si PM es mediatriz, PC = 2 BP, calcular 6

Resolución.Se une A y P, luego por propiedad de la mediatriz: AP = PC = 2o AAPC isósceles: m 4 PAC = m

41 PCA = 0

Ex ABP es notable de 30° a 60o Por 4- exterior:

0 + 0 = 60° 6 = 30°

7.~ De la figura adjunta BM = 2MC y AC = CR. Calcular

6

Resolu ción .-

Se une A y M, luego por propiedad de la m ediatriz: AM = MC A AMC isósceles:

m 4 A=m 4 R

Luego por propiedad de la bisectriz: EX BPM es notable de 30° a 60o Bx ACB :

26

+ 30 = 90° 20 = 60° e = 30°

145

146


Ernesto Quispe R.

5.6 TEORE31 \ DE L X BASE MEDIA En todo triángulo, el segmento que une los pun tos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de su correspondiente lon gitud . S i: MN es Base Media. =*

M Ñ //Á C

a

MN = AC

(5.11)

Observación:

BM = MA y Si:

MÑ//ÁC MN =

BN = NC

AC

... (5 12)

SM TEOREMA DE L A MEDIANA EN UNI TRIANGULO RECTANGULO En todo triángulo rectángulo la lorgitud de la m e diana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de su correspondiente longitud. S i: BM es m ed ian a, entonces : PM = Luego :

AC

... (5.13)

m 4_ AMB = 2m 4 C

... (5.14)

Observación: Si:

BM = MC

BM es m ediana

Luis Ubaldo C.

Triángulos II

147

5.6 PROPIEDADES EAKITCUjuARES EN LOS TRIANGULUS ISOSCELE» Dado el A ABC , donde

a)

AB = BC , se cum ple :

P e AC (base) P M lÁ B y

Si:

P Ñ 1B C

A H = P M + PIN

. ( 5 .1 5 )

Pe a la prolongación de AC (base),

b )S i:

PM ± AB

a

PÑ 1 dC

...( 5 .1 6 )

C H = PM - PN

P e AC(base) PM // ÀB y PM //BC

c)Si :

a b

=

BC =

PM +

PN

,( 5 .1 7 )

es un punto de la pro longación de AC (base) PM // BC a PÑ // AB

P d )

Si :

í>

I

AB = BC = PM - PN

. ( 5 .1 8 )


148

Ernesto Qulspe R

5.3 PROPIEDADES PARTICULARES EN LOS TRIANGULOS EQUILATEROS Donde : AB = BC - AC P es un punto en el interior del A ABC PQ X ÁB, PL X BC a PSXÁC

a) £l:

BH = PQ T PL + PS

(5.19)

P es un Dunto ex terior del A ABC PQ X ÁB; PL X BC a PS XÁC

b) S í:

❖

B H = P Q

+ PS - PL

( 5 .2 0 )

P es un punto in terior del A ABC P Q //B C .P L //Á C a PS X AB

c )S i:

AB = PQ + PL + PS

( 5 .2 1 )

P es un punto ex terior del A ABC PQ // BC; PL // ÁC a PS // ÁB

d ) S i:

O

AB = PO +

P S - PL

, ( 5 .2 2 )

Fig. 5.26

Triángulos I I

Luis Ubaldo C.

€ )€ R c ic io s ü € a p l i c a c i ó n [2 Ù& P ü R i t j

8.- En la figura BC = 2BM. Calcular 8

Se traza PR // TF, por base m edia en A PBR: F —> punto medio de BR Entonces:

BF = FR = 4

A AFC com o PR // AF entonces PR es base media, entonces R es punto m edio de FC. E ntonces:

FR = RC = 4 x =

12

10.- Del gráfico calcular BP, Si AP = 3 y PC = 15.

I

149


150

Ernesto Gu.spe R.

Resolución.Se traza la m ediana relativa a la hipotenusa BM en to n ce s: BM = ^ =

f

=9

Por la miafna propiedad : m 4 BMA = 2 m 4 - C = 20 A PBM resulta isósceles -15

K -3 -

x = 9 11.- De la figura mostrada si AC = 12. Calcular BH.

Resolución.Se Haza la m ediana relativa a la hipotenusa, por propiedad BM = ~ Luego

= 6

B

BHM es notable (30° a 60o) BM x

~

2

6 ~

2

:> K

x =3

8

12.- En un triángulo A B C : AB = 10 y B C = , desde si punto medio “M ” de AC se traza M H perpendicular a B C , Calcular MH, si BH = 1. Resolución.Se traza la base m edia MN. .... _ AB _ 10 _ c 2 “ 2 Además “N” es punto medio de BC Entonces:

=> BN = NC = 4 En consecuencia: MHN es notable (37°

HN = 3 a

53o) x = 4

I

h l-

Triángulos II

Luis Ubaldo C.

151

13.- En un triángulo ABC (m 4- A = 50sy m 4 - 709), calcularla longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas d e A y C , sabiendo que AC = .

8

Resolución.Éx ATC se traza la m ediana relativa a la hipotenusa, por propiedad :

TM =

Éx ARC se traza la m ediana relativa a la hipotenusa, por p ropiedad:

RM =

AC 2 AC

Luego A TMR es equilátero x = 4

8-

14.- En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura BH y la mediana CM. Si AB = 12, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de CM y HC.

Resolución.AHB se traza la m ediana relativa a la hipotenusa, por propiedad: hm- M . 1 |. 6

B

Luego en el A MCH por base media P 1 _ ME _ 6

ry -

2

- 2

x = 3 15.- En un triángulo ABC (m 4 A = 48By m 4 C = 12% sobre los lados AC y BC se ubican los puntos E y F (puntos medios ), luego se prolonga AB hasta el punto H, tal q u e : BH = BF Hallar m 4 EHF.

Resolución.A HBC es equilátero :

m 4 B = m 4 BHF = m 4 BFH = 60°

Al unir H con C el A HFC es isósceles => kx AHC es rectángulo :

m 4 FHC = m 4

HCF = 30°

m 4 AHC = 90°

Por propiedad de la m ediana relativa a la hipotenusa. AE = HE = EC Luego A HEC isósceles : m 4 EHC = m 4 HCE 30° + x = 30° + 12 x = 12

I

152


Ernesto Quispe R.

5.10 TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES

5.11 PROPIEDADES Etá LOS TRIANGUIA i R E C U N

BD : bisectriz

b) S i:

BM : m ediana

0

x =

a-0

... (5.24)

Luis Ubaldo C.

Triángulos II

BH : altura BD : bisectriz

c) Si :

BM : mediana

... (5.25)

x =y

m d) Si:

= 15° BH = Altura

BH =

AC

. (5.26)

e) Consecuencia : AC BH= 2 Si: m 4 -A = 75°

c^>

m 4 - C = 30°

... (5.27)

153

154


£J6RCICK)S l ) f 6 P L iC 0 C l6 h

Ernesto Quispe R.

PA kT€J

16.- Del gráfico, calcular el valor de x

Resolución.fc, DBC 45°

a

45° :

&x ABC 37°

a

53° : si BC = 3

Del gráfico:

BD = BC = 3 AB = 4

AD = AB - DB = 4 - 3 x = 1

17- D e l a figura mostrada, calcularx

Resolución.Se traza la altura BH luego: Ex BHC 30° a 60°:

BH = 4

Ex BHA 37° a 53° : si BH = 4 * = 5

A

H

21.- En la figura mostrada, calcular x, si AB = 10 a AC = 12 B

C

Triángulos II

Luis Ubaldo C.

Resolución.Se construye 30° sobre AC, luego se trazan las perpendiculares BD y CE. Ex ADB 37°

a

53°

=>

BD = 6

Ex ACE 30°

a

60°

=>

CE = 6

B

Del gráfico las distancias en tre BC y AE son iguales. Entonces:

BC//AE x = 30°

22.- De la figura mostrada, calcular AD. Si AC = 7 Jé

Resolución.-

B

Se prolonga CD y se traza la perpendicular AH Ex AHC 45°

a

45°: si AC = 7 V6

=> AH = HC = 7 /3 Ex AHD 30°

a

60° : si AH = 7V3 x = 14

I

155

]

Pro lemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

H lM -tó L A n tA

1.- En la figura se mestra una serie de triángulos e indican algunos datos del gráfico mostrado. Calcular 6 .

Resolnclón.E1 triángulo rectángulo AEC, es isósceles AE = CE Ahora observamos que el A ECD, tienen las mismas características, que el A ABE entonces son congruen tes. Es decir A ABE, s A EDC, esto afirmamos por el caso de congruencia (L.L.L.) Luego : Por lo tanto : Entonces :

m 4- ECD = m 4 AEB = 26

20 + 30 = 90° 56 = 90° 0 = 18°

2.- A partir del gráfico mostrado, se pide calcular NH, si BH = 36.

Resolución.Siempre que en los triángulos se m uestren varios puntos medios, te sugiero utilizar el teorem a de los puntos medios. En este caso trazamos MQ 1 ÁC, entonces : HQ = QC = m y MQ = 18. En el Cx AQM :

AH = HQ = rn

L uego:

NH = - ^ => NH = 9

NH = ^

B

Triángulos 11

Luis Ubaldo C.

157

3.- En la figura mostrada se sabe q u e : AM = MB y BC = 2 CM Con estros datos se pide calcular : 6

Resolución.Del dato h ac em o s:

BC = 2 C M = 2a

Prolongamos CM hasta "Q" tal q u t :

CM = MQ = a

Ahora observamos que : Entonces: m 4

Q

AAMC=ABMQ

(L.A.L.)

= m 4 QBC - m 4 ACM = 20

Finalmente en el A QBC :

0 + 26 + 20 = 180°

En consecuencia:

50 = 180° 0 = 36°

4.- En la figura mostrada se sabe q u e : DC = 2.AB Calcular la medida del ángulo ACB = x .

Resoluclón.Del dato h ac em o s: DC = 2 AB = 2 a . Luego en el Lx DBC, trazamos la m ediana BM relativa a la hipotenusa, en to n ce s: BM = a. B

Luego sabem os que :

m 4- A = m 4 BMD = 2x

Pero:

m 4 BDC = 2x + 2x = 4x

Finalmente en el fc*. DBC : Por consiguiente :

4x + x = 90°

5x = 90° x = 18°

158


Ernesto Qi'lspv P

5.- Calcular el valor de xg, s i : BE = 2.AE

Resolución.-

A

Del dato hacem os : BE = 2.AE = 2a .Luego construim os el

C

BFC = txBEC, entonces :

BE = FB = 2a y m 4 BCE = m 4 FCB = x Ahora observamos q u e : m 4- F = m 4- FCA = 90° ■x

Luego :

AF = AC = 5a

En consecuencia el t x ABC es notable aproxi mado , en el c u a l: 2x = 53° x = 26° 30’

6.- ángulos En la figura se sabe que AC = 10 , además de los mostrados. Se pide hallar la medida de DH.

Resolución.Trazamos CQ 1 AB Completando ángulos observamos que : :m 4 BtJQ = m

4. CDH = G

Pero como BC = CD, entonces se verifica que tX. BQC = tX. CHD Luego :

DH = QC

Pero en el t x AQC :

QC = 8

DH = 8

el rx

71- En la figura mostrada se sabe que :

Nt AC = 2 AD y BM = M D . Calcular: x .

B

1S°J'

Triángulos II

Luis Ubaldo C.

159

Resolución.H acem os: AD = 2a => AC = 4a . En el BH = ^

ABC de 15o y 75°; la altura BH es :

= a

Si ahora trazam os: DL ± AC , resulta que : Ex BHM s Ex MLD => Finalmente en el Ex ALD :

BH = DL = a AD = 2 DL x = 30°

8.- Calcular el valor de «x» oara la figura mos trada :

80°T *

20 sT s * ^

—----- O— Resolución.En el A ABD, trazamos la qeviana DE, de m anera que la m 4IBDE = 20°. Entonces : m 4 EDA = x ( 4- exterior), ya que : m 4IADB = 20° + x El A EBD, es isósceles dado que : BD = ED.

Luego se verifica que :

m 4 C = m 4 1 A = 20°

Finalmente en el A ABC : 20° + 80° + x + 20° = 180° Donde:

x = 180o - 120°

■En la figurase pide calcular la medida de A B , s i: BN = 3 y NC = 11

I

x = 60°


160

Ernesto Quispe R.

Resolución. En primer lugar trazamos QP perpendicular a la prolongación de AB, de m odo que por propie dad de bisectriz, se sabe que : BN = PB = 3 y PQ = QN = b Ahora utilizando la propiedad de la mediatíz trazamos AQ y QC, verificándose que : AQ = QC = a Ahora observamos que ti». APQ e ti». CNQ Luego :

AP = NC

=>

AB + 3 = 11 x =

8

10.- Sabiendo que los triángulos ABC y EFC son equiláteros, se pide calcular el valor de x .

B

Resolución.Sea

B

m 4 ACE = 0

=> m 4- BCE = 6 0 -0 Luego :

m 4 BCF = 0

Entonces : Luego :

A BFC = A AEC

(L. A. L)

x + 60 = 100

x = 40° 11.- En un triángulo ABC, se traza ¡a altura BH de tal manera que : m 4 HBA = 2 m 4 C , y , 3 A H = 2H C . Calcular la m 4 C .

Resolución.AH

2

D ato: j ^ r = g ; esto se puede desdoblar a s í :

AH = 2o y HC = 3o.

Luis Ubaldo C.

Triángulos II

161

Prolongamos AB y luego trazamos CQ per pendicular a dicha prolongación Ahora observamos que CxBHC ~ Ex BQC. Entonces :

90°-e

QC - HC —3a

Luego el Cx AQC es notable aproximado, en el c u a l: 20 = 53°

=>

6 = 5372

0 = 26° 30’ 12.- En un triángulo ABC se sabe q u e: m 4 A = 37- y AC = 5 AB .Con estos datos se pide calcular la m C.

4

Resolución.Del dato hacem os : AC = 5 AB = 5 o . A continuación prolongamos AB, luego trazamos CH perpendicular a dicha prolongación. El Cx. AHC es notóbie aproximado, entonces: HC = 3o y AH = 4o Pero:

AB = o

=»

BH = 3o

De esto resulta que el t v BHC es isósceles En consecuencia:

x + 37° = 45° ( 4 exterior)

13.- En la figura mostrada, se sabe que M es pun to, medio de AQ, y N e s punto medio de CP. Si además se sabe q u e: A P y QC - ; se pide calcular ¡a medida del segmento MN.

=6

Resolución.Dado que se conocen las longitudes de AP y QC, ubicaremos el punto medio "E" de AC , de m odo que : AE = EC =o Luego trazamos ME y EN, con la intención de utilizar el teorem a de los puntos m e dios en dos triángulos : A APC y A AQC. Veam os: A APC:

AP NE = ^ = 3

8

162


EnelAA QC:

ME = —

Ernesto Quispe R.

=4

Pe.o com o ME // BC y NE // AB, entonces la :

m 4 MEN = 90°

En consecuencia el A MEN , es rectángulo y Pitagórico :

MN = 5

14.- En un triángulo A B C , donde m 4 B = 90 g . se traza la ceviana interior A N , tal que NC = 2.AB y m 4- C = 15g. Hallar la m 4 BAN

Resolución. Del d a to , se sabe que : NC = 2.AB = 2 . A continuación trazamos NH -L AC, luego HQ ± NC, para lo cual mostramos e' gráfico adjunto en el que se indican dichos trazos. B

— ■■

-----

------

En el fc*. ABC, observamos que : QH // AB , donde se reconoce que : QH =

AD

... ( j

De acuerdo con el teorem a de los puntos medios , deducim os que la relación (*) solo será posible, si H es punto medio de AC. Esto significa que : AH = HC, es decir NH es la mediatriz de AC. Luego : AN = 2o A continuación, por ser ángulo exterior se reconoce que :

m 4 ANC = 30°.

Finalmente deducim os que el fc*. ABN , es notable :

x = 60°

15.- En un triángulo ABC, la mediatriz de AC intersecTa a BC en F; asimismo, la mediana BM y AF se Íntersectan en H, siendo BF = 2 y BH = HM. Hallar la medida de AH.

Resolución.En primer lugar trazamos MN // AF, entonces de acuerdo con el Teorema de los puntos medios , se tendrá que : FN = NC A continuación, reconocem os que : HF // MN, de m odo que en el A MBN, al conocerse que : BH = HM , deduci-

a

Triángulos II

Luis Ubaldo C. mos que : Pero:

Br = FN = 2

y

163

NC - 2

MN = FN = NC = 2

Entonces sabem os que : AF = FC

HF = 1. Luego en el A AFC isósceles :

=>*+1=2 +2

=>

x = 3

16.-A partir del gráfico mostrado, se pide calcular la medida de x,

B

si ABCD es un cuadrado.

Resolución.Del gráfico observamos que AC es una diagonal del cuadrado y se verfica una congruencia de triángulos:

®

A BAP = A PAD (L.A.L) =>

2x0 V

m 4 APD = m 4 BPA = 2x

En el punto P :

■Ìp

/& ¡

2*+ * + * + *=180

Donde:

5 * = 180 x = 36

45?/ /V45°

/ /

17.- Interiormente a un triángulo acutángulo ABC, se ubica el punto P. Calcular la m 4 BPC para que la suma PA + PB + PC sea mínima.

Resolución.Sean AP = o ; BP = 6 y C P = e , luego por condición del problem a, la sum a : a + b + c, debe ser lo mínimo posible. A contnuación construimos los triángulos equiláteros PBQ y ABT, luego: APBQ: PB = BQ = PQ = fc A ABT: =>

AB = BT = AT

m 4 TBA = m 4 PBQ = 60°

Y por (LAL) : A TBQ = A ABP

=> TQ = A P = o

Entonces para que : o + b + c sea m ínim o los puntos C, P, Q y T deb en ser colineales , con lo c u a l: * + 60 = 180

I

164


Ernesto Qulspe R

18.- En la figura mostrada se sabe que : BH = LE. Fntonces es pide calculara la medida de « a » , si ademas se sabe que : E es el excentro del triángulo A B C .

B

A

Resolución. -

H

Ya que E es excentro, entonces BE y CE son bisectrices de los ángulos exteriores B y C, del A ABC. Por propiedad :

m 4 BEC = 90 - m

=>

m 4- BEC = 90 - a

k.BHC = k.ELC(ALA>)

=>

BC = EC

El A BCE resulta ser isósceles en donde :

3a = 9 0 - a

a = 36°

19. Apartir del gráfico mostrado se pidt¡ calcular leí valor de «x» del gráfico, si AB = BD

Resolución.Ubiquemos un punto P simétrico de C respecto de BD, luego : m 4- PBD = m 4 DBC = a

y

m 4 PDB = m 4 BDC = 0

Además : BP = BC y PD = DC. Luego por el teorem a de la mediatriz PA = PD A dem as:

y

m 4 BAP = m 4 BDP = 0

m 4 PAC = 0

Dado que P es incentro del A ABQ : m 4 BQP = m 4 PQA = m 4 BQC = 60°

En el A BQA: =>

2a + 20 = 60° a + O = 30°

Triángulos I I

Luis Ubaldo C.

165

a + 6 + x = 180

Finalmente en el A BCD :

x

=

150

20.- E r un triángulo ABC : m 41 B = 90°. La mediatriz de AC se intersecta en P con la bisectriz del ángulo exterior B S i: BC - AB = k ; calcular BP.

Resolución.-Scan: AB = c y BC = a

=>

a -c = k

Por el teorem a de la mediatriz se debe cumplir que :

PA = PC

Trazamos PT yPL perpendiculares a la prolongación de AB y aB C respectir ámente, resultan do el cuadrado BTPL, donde : BT = BL = PL = PT ATP = Luego :

PLC

(4to caso)

AT = LC = c. + BT

Del gráfico : =» De donde :

BC = BL + LC a = BT + c + BT

BT = a - c

k 2

BT

En el ^ BTP de 45° : * = BTV2 X = |V 2 21.-En la figuramostrada se sabe que :QC=2HC. Entonces se pide determinar : a .

A Q

3a\ B

Resolución.Observamos que en los triángulos QBP y PHC, los ángulos BPQ y HPC son congruentes, luego pro'ongamos QP y d esae C trazamos CT ± Q P. Entonces por el teorem a de la bisectriz : CH = CT = a En el k.QTC : En el t^QBC:

m

4_TQC = 30°

3 a 4 30 + 2a = 90 a = 12°

1

\

/

áaTV


166

En,esto Quispe R.

22.- En el interior de untriángulo ABC, se ub.ca el punto P, de tal manera q u e : m 4 - pBA = m 4_ BAC; m 4 P B C - 2 m 4 PABy PB = 4. Hallar AC, si BC = 15.

Resolución.Prolongamos CB hasia Q" de manera que QB = BP = 4. El triángulo QBP es isósceles m 4 BOP

=

m 4 BPQ

Pero por d alo : m 4 BAP = 0, en tonces por teoría sabemos q u e . m 4 ABP = m 4 AQP = a .

Ahora observamos que: m 4 Q=a + 0

y

m 4 A= a + 0

En consecuencia el A AQC es isósceles: x = 4 + 15

x = 19

si A F = CE = 12.

Resolución.En el t x EBC, trazamos la mediana BN, en el cual se reconoce que : BN = 6 En el hv ABF, trazamos la m ediana BM, el que adem ás tiene com o m edida a : BM = 6 Pero :

m 4 MBN

=

60°

Luego el A MBN es equilátero, de donde : x = 6

=

0.

Luis Uboidc C.

Triángulos II

24.- A partir del gráfico mostrado, calcular «x» .

b

167

Si BM = M C .

C

A

Resolución.-

Creo oportuno recom endarte que cuando veas dos ángulos adyacentes cuyas meciidas estén en la relación de 2 a 1 (como el caso de los ángulos 4 BAM y 4- MAC), debes trazar la bisectriz del dobíe y a continuación aplicar el teorem a de la bisectriz.

4

Siguiendo este procedimiento, trazamos la bisectriz AI 1 del 4 BAM. Luego, trazamos MN _LAH y MP ± AC. Y puesto que AM es bisectriz del 4 HAC, deducim os que : MH = MP = ^ En el ANAM isósceles : MH = HN = o/2

^ 90-x

Por dato se sabe que : BM = MC = o. Asim.smo se observa que BM = MN = o , luego el A NMB es isósceles .En conse cuencia :

' \ q¡¿

-

m 4 NBM = m 4 BNM = 90 -x

Dado que el 4 NBM es ángulo exterior del A ABC, podem os establecer la relación . A

C

P

9 0 -x = 3x + 30 Q

25.- En la figura se sabe que AB = BP, BC =BQ y PQ = 12 Con estos datos, se pide calcular: BM

A

M

Resolución.-

C

T

Prolongamos AB hasta T de modo que : AB = BT, resultando que : A PBQ = A TBC (L.A.L) De donde : PQ = TC = 12

y

m 4 QPB = m 4 BTC = a

^

Por otro lado notar que m 4 HBT = a En el A ATC: B es el punto m edio de AT y BM // TC ; luego BM es base media. x =

r

6

A

M

C

168


Ernesto Quispe R.

26.- En la figura se sabe que :

B

AB = BC, PL = 2 , PF = 5 , MP=PN. Con estos datos, se pide calcular: C H .

Resolución.Trazamos : NT ± BC ; NE ± AB y PQ _L NE B Luego en el A MTN, PL es base m e d ia , tal que : NT = 4 Reconociendo que : Ex PQN = kx MPL (A.L.A.) =>

PL = QN = 2

Además , se aprecia que : PF = QE = 5 Yen el A ABC, isósceles aplicamos la Propiedad 5 .7 a: CH = NE + NT

=>

CH = 7 + 4 CH = 11

27.- En un A ABC recto en A , AB < AC . Por M , punto medio de BC , se levanta una perpendicular a este l ad o , la cual corta a AC en D . En la prolongación de CA se toma una longitud AE = A D . También, las prolongaciones de BE y MA se cortan en F ; s i : 4 BF = 3 E C ; calcular m 4 - ACb.

Resnlución.En el Ex ABC, AM es mediana, lu eg o : BM = AM = MC. Y puesto que MD es mediatríz de BC, se deduce que el ABDC es isósceles , por lo tanio : m 4 - MBC = m 4 - ACB = a . Y con respecto al segm ento ED :

BE = BD

Siendo el A FEA isósceles, hacem os :

y m 4 BED

EF = EA = o

Y si hacem os : BE = BD = b , entonces : DC = b. Por condición del problem a :

4 BF = 3 EC 4 (o + b) = 3 (2a + b)

=> De donde :

4a + 46 = 6o + 3b b = 2a

Por consiguiente el A EBD es equilátero, entonces : 2a = 60

a = 30°

'

= m 4 BDE = 2 a .

Triángulos I I

Luis JD tído C.

169

28.- El ángulo A de un triángulo ABC mide 75s sobre la altura BH se ubica el punto O de modo que AC = BO respectivamente. Siendo M y N puntos medios de AB y OC respectivamente. Calcular la m 4 A M N .

Resolución.Empleando el teorem a de la base m edia (item 5.5) en el AABC, trazamos MT, resultando: B MT = ° y m 4- BMT = 75° í.

Además: MT ± BH. En el A BOC, TN es base media luego : TN = |

y

m 4 MTN = 90°.

Observa que el ExMTN es isósceles; entonces ; m 4 TMN = 45°.

x + 45 + 75 = 180°

Finalmente en el punto M :

A H C i----------- (fl)----------- 1

x = 60° 29.-En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatríz de AC y la bisectriz del ángulo exterior B se intersectan en P; se traza PQ _L BC. Calcular la m 4 OQC; siendo "0"el circuncentro del triángulo ABC (AB < BC).

Resolución.Prolongamos AB y trazamos PT 1 AB , asim ism o PA y PC . L uego, em pleando el teorem a de la mediatríz , deducim os que : PA = PC . Por otro lado la figura BTPQ es un cuadrado , en consecuencia : PT = PQ = BQ = TB . Por tal ra zó n : Ex ATP s Ex PQC

=>

4 TAP = 4 PCQ

Esto último trae com o consecuencia que el 4 APC sea recto, resultando el triángulo APC de 45° donde : AO = PO = OC. En el Ex ABC, BO es mediana, luego se te n d rá : BO = OC = AO. Finalmente nótese que A BQO = A PQO (L.L.L.) |

=>

m 4 BQO = m 4 PQO = 90 + x

Luego : 90 + x + x = 180

=>

x - 45°

I -----------------------------------------------------------------------

170


Ernesto Quispe R

30.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la m 4 C = 1Se. Se traza la ceviana Átvi con la condición q u e : MC = 2 AB. Calcular la m _ MAC.

4

Resolución.-

B

S e a : AB = a

MC = 2a

En el h*. ABC, trazamos la altura BH. Lêgo por Propiedad : BH =

=O

4

A continuación ubicamos el punto medio «P» de MC y trazamos PQ 1 AC . De este m o d o : b, PQC = b, BHA

=>

BH = QC = TQ = b

Ahora, trazamos MT 1 AC, luego para el

MTC; PQ es base media, de donde : TQ = QC = b

Asi, b. AMC es isósceles, ya que MT es mediatriz de AC. x = 15° 31.- En la figura se muestra un triangulo isósceles, en donde: AB = BC

Además se s ibe q u e : AM = M P .

De acuerdo con estos datos se pide calcular x

Resolución.m 4 - PCA = 45° . Trazamos BH, m ediatriz de AC

Del gráfico:

En el A APC : MH es base m ed ia, luego : MH

//

PC y m 4 - MHA = m 4 PCA = 45°

Además M es incentro del h*. AHB, lo cual significa que : m 4 - ABM = m 4 - MBH = x =>

70 + 2x = 90 x = 10°

^ °4 5 ° \ T L 45°^

Triángulos I I

Luis Ubaldo C. 32.- En la figura dada se sabe q u e :

171

B

AB = BC ; AH = HC y HM = ML De acuerdo ocn estos datos, se pide calcular «x».

Resolución.En el triángulo isósceles ABC, B H es m ediana y tam bién a ltu ra , entonces : BH _L AC. En el HLC, trazamos la base m edia MP , donde P B es punto medio de LC. Luego : PK X BH En el A ALC, HP es base m edia , luego : PH

//

AL y m 4 - BSP

=

x

Finalmente reconocemos que en el A HLP, M es el ortocentro, por consiguiente : x = 90° 33.- A partir del gráfico mostrado, se sabe que : AM = M C , además de la relación que guardan entre s í los ángulos indicados. Se pide calcular el valor de x .

Resolución.En primer lugar trazamos MN , de m odo que lam 4I BMN = x, entonces el A BNM y el A MNC son isósceles. A continuación construimos el A EBM, de m odo que : A EBM = A NBM (A.L.A.): =>

BE = EM = BN = MN = a.

En el cuadrilátero no convexo ABEM, aplicamos la propiedad que establece que : =>

m 4 - A = 120° -x

Finalmente en el A ABM : 120° - x + 2x + 3x = 180° En consecuencia:

4x = 60°

*

= 15°

172


Ernest ) Quispe R

34.- En la figura aada se sabe que : AM = MC, además de los ángulos indicados. Con estos ditos es pide calcular x.

Resolución.En primer lugar construim os el A NBC equilátero, en el cual : MN = MC . Trazando AN, se observa que el A ANC, es recto en N , dado que : AM = MN = MC ; luego : m 4- ANC = 90°.

Luego : m 4 - BNC

-

60°

B

y m 4 ANB

=

30°

Es fácil deducir que . m 4 ABN = 75°, entonces : m 4 BAN = 75°

Establecido que el

y

AN = BN = a.

ANC es isósceles .diremos:

m 4 ACN = 45°

En consecuencia:

x + 45° = 60 ° *

=

15°

35.- En la figura, calcular x .

&

Resolución.-

n

M

y.

En primer lugar trazamos MN , de m odo que m 4 NMC = x, entonces : MN = NC = a . Luego el A BMN es isósceles, por lo tan to : BM = MN = a. A continuación construimos el A AEM de modo que : A AEM = A MNC (A.L.A.)

=>

AE = EM = MN = NC = a

B

En el cuadrilátero no convexo ABME; por propiedad se sabe que : Finalmente en el A ABM : De donde :

2x + 120° -x + 3x = 180"

x = 15°

rr 4 ABM = 120° - x

i riangmos i

LUIS UDOiaO o. 36.- En la figura se sabe que BD es bisectriz del ángulo B y BM es la mediana relativa a la hipotenusa. Calcular el valor de x .

A

D

M

Resolucion.Como BM es mediana, entonces

m 4 MBC = m 4 - ACB = a

Y al trazar la altura BH resulta también que :

m 4 - ABh = a

Empleando la propiedad : 5.10c, resulte que: m 4. HBD = m

41 DBM = 0

Por el teorem a de la bisectriz (5.5) : BH = BL Observcse que : Ex AHB s Bx BI £ =>

AB = BE

Finalmente en el Eix ABE isósceles : x = 45° 37.- En la figura mostrada se sabe q u e : AB = QC, BP = PQ, AM = MC Calcular: m 4L PMQ.

Resolución.Prolongamos CB hasta T ,tal que BT = AB, luego A ABT y A TAC son isósceles, donde : m 4 - BTA = m 4 - BAT = 40°

y AT = AC = 2a

Luego : A ATB = A AQC (L.A.L.)

=> AQ = AB.

4

En el A AQC isósc.: m 4- AQM = m 1 MQC = 50°. En el A TAC : PM es base m edia . Luego : PM // AT =* m

4. ATC = m 4

MPC = 40°

Y en el A MPQ : 50 = 40 + v

I

x = 10°

-i / o

i_ii iujiw 38.- Calcular -
Resolución.En primer lugar prolongamos CB, luego trazamos AE de m anera que : m 4 EAB = 30°. Entonces : A AEB = A ADB (A.L.A.), luego : AE = AD = a y EB = BD = n. El A AED es equilátero : AE = ED = AD = a. En el A DEC: m 4 DEC = 40° m 4. EDC = 70°

y

4

m 1 ECD = 70°

De esto se deduce que : AE = EC = a. En el A AEC : m 4 EAC = m En consecuencia:

41 ECA = 40°

x + 40° = 70° x = 30°

39.- En la figura se muestra un D ABC equilátero , en el que se verifica que AP = B M . Con estos datos, se pide calcular x-.

Resolución.Primero construimos el A BQC , de m odo que A BQC a A APC Entonces se cumplirá que : BQ = QC = AP = PC. Ahora observamos que A QBM = A PCQ

=> MQ = QP = ¿n

Pero QN = n, entonces el E\ PNQ es notable, con, m 4 NPQ = 30°

Finalmente en el A PQM isósceles :

i\.

Triángulos II

Luis Ubaldo C. m 4 PQM = 140°

En consecuencia :

=>

175

m 4- QPM = m 4 QMP = 20°

x = 30° + 20° x = 50°

40.- Dado un triángulo A B C , donde : m 4 B = 54g y m 4 C = 30s. Por B se traza una recta paralela a AC que intersecta a ¡a bisectriz interior del ángulo A en P. Calcular la m 4 PCB

Resolución.Construi.nos los triángulos equiláteros ABQ y BTC, de donde resulta : m 4 QBC = 6°

y AB = BQ = AQ

y

m 4 TBA = 6°

y

BC = CT = BT

Por otro lado en el A BCT, CA es bisectriz, mediatriz, etc ; luego AB = AT. Los triángulos ABT y BQC resultan ser con gruentes (L.A.L.) ae donde : QC = BQ

y

m 4 QCB = 6o

En el triángulo equilátero ABQ trazamos la me diatriz BI de AQ , de donde : LA = LQ

y

m 4 QLC = 72°.

El A QCL resulta ser isósceles, entonces : QC = LC Finalmente : A BCP = A BCL (L.A.L.) * = 24°

I

.A

176


Ernesto Quispe R

' kOei Mas fftopuesros 1.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la inediatriz de \C interfecta a BC en "P", de tal manera PB = 12 y m 4 A = 3 . m 4 PCA; calcular AB. A) 18

B) 16

C) 14

D) 12

E)10

5.- En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM : en el triangulo BMC se traza la mediana BN, de manera que BN = 18 ootuso. Sobre AC se ubica un punto "P" de modo que MP // B N ; calcular MP.

2.- En la figura, con respecto al triángulo ABC BD es bisectriz y BM es mediana Calcular*.

A) 18

A) 45°

6.- En la figura BP = AC.

B) 16

C) 14

D) 12

B

B)60°

Hallar a- , si AM = MB y PN = NC

030°

A) 60°

D)53° E)75°

B

B;45° A

D

M

C C)53°

3.- En un triángulo ABC, obtuso en A, las mediatrices de AB y AC se intersectan en "T", de manera que el ángulo exterior en A es el triple de la medida del ángulo TBC, hallar/?» 4 TBC. A) 37°

B)30°

D) 15°

E)45°/2

C) 3772

4.- Hallarx, si los triángulos ABC y BMN son equiláteros.

D)75°

7.- Los lados de un triángulo miden 13:14 y 15 unidades, se trazan dos bisectrices exteriores de ángulos diferentes y desde el tercer vértice se trazan perpendiculares a esta bisectrices. Calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares.

A) 30°

A) 15

B)37°

8.- En la figura se sabe que:

Q 45° D)53 E)60°

E)6

B) 16

C) 18

D)21

E)24

AP = PB , AN = NC y BC = 6 y ¡ 2 . Hallar M N .

Triángulos I I

Luis Ubaldo C. A) 7

B )8

13.- Calcular

C )9

D) 10

177

E)5

, en la figura.

9.- En un ti ¡ángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BM de tal mane ra que BM = 36 y m 4 MBA = 30°; hallar AC, si m 4- A = 50°

14.- En el interior del un triángulo ABC, se ubica el punto ”P" de tal manera que. PC = BC y m 4- PAB -m 4- PAC= 17°. Hallar«/ 4- PCB, si m 4 B - 107°.

A) 36

A) 13°

B)54

C)64

D)72

E)90

B) 17°

C)20°

D)21°

E)26°

15.- Calcular jc°

10.- Calcular a , si AB = 2. HM B

11.- En un triángulo ABC, se traza la mediana BM , de tal manera que m 4- MBA = 2 . m 4 MBC ; hallar m 4 MBC , si BC = 2 . BM A) 18°

B)24°

C)3(/'

D)36°

E)45°

12.- En la bisectriz exterior del ángulo A de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto "P" de manera que dista en 6 unidades de AC y en 8 unidades de BC. Hallar PB.

I

16.- En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BM ; de tal manera que AM = BC y ni 4 C = 2 . m 4 MBC. Hallar m 4 MBC, si m 4 A = 2. m 4 C A) 10°

B) 12°

C)15°

D) 16°

17.- En la figura: AF = BC. HallarO. B

E)20p

178


A) 15°

B) 18°

D)20°

E)30°

C)22°3U'

A) 10°

Ernesto Quispe R

B)20°

C)15°

D) 25°

E)30°

23.- Calcular x.

18.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana intei ior B P , de tal maneBP AP PC : 5- = - T = — Calcular m 4 BPC. A) 30°

B)37°

C)45°

D)53°

19.- En la figura: a , (3 y 0 foi man una progre sión aritmética. Calcular "P"

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 16°

E)18°

24.- En el interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se ubica el punto "P”. de tal manera q u e : A)1(T

B )2(f

C)15° D) 3(f

E)22°301

20.- En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior C M , de modo que CM = AB: además se conoce m 4 A = 30° y m 4- B —100°. Calcu lar m 4 MCB A)30p

B)40°

C,5(T D)25°

PC PB PA 1 2 ~ 3~ Hallar m 4 BPC A) 90°

B) 105°

D) 135°

E) 15(f

C)115°

E)35° 25.- Del gráfico mostrado; calculara si AP= BC.

21.- En el interior de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto "P", de tal manera que: PA PB PC „ „ , — - - y . Hallar m 4 PBC A) 90°

B)97° C)120° D) 135°

E)15(f

22.- En un triángulo ABC, se traza la cei íana in terior B M , de tal manera que: AM = BM + BC y m 4 MBC = 120°; calcular/n 4 ABM si m C = 20°.

4

Luis Ubalúo C.

Triángulos I I

26.- En un triángulo a BC, se traza la ceviana BF, de modo que AB = FC y las medidas de los ángulos ABF ; FBC y ACB son directa mente proporcionales a : 3, 7 y 4 respectiva mente. Hallar la rizón de proporcionalidad. A) 8°

B)9°

C) 15°

D) 10°

E)12°

27.- En un triángulo ABC se traza las alturas AM , CF y BG determinándose elortocentro H. Por H se traza una paralela a FM la cual intersecta en P, L, R y Q a AB, F G , MG y BC respectivamente. Si FL = 4 y MR = 7. Hallar PQ. A) 11

B) 15

C)19

D)22

E)27

28.- Interiormente a un triángulo acutángulo escaleno ABC se ubica el punto P.

179

30.- En un triángulo A BC, se traza la mediana B M , luego AH I B M . Si : BC = 2 AH , calcular m 41 MBC. A) 5CP

B) 20°

C) 15°

D)40°

E)3(f

31.- Sobre el lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto R de tal manera que : AB = CR = 10. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AR y BC. Si m < B = 60° A) 2,5

B)4 C)5

D) 3

E)6

32.- HallarO; si I es incentro del A ABC. Además BI = AC. B

Si: AB = 38 ; BC = 30 y AC = 23 La suma PA + PB + PC máxima es : A) 60

B)90

D) 120

E)150

C) 105

29.- En la figura: AC - HC = 12 V 3. Calcular BP. B A) 5°

A) 4

B) 6

D) 6 J3

E) 9

C) 3 &

B)8°

C)10>

D) 12°

E)15°

33.- Sobre la bisectriz del ángulo interior C de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubi ca exteriormente el punto T, de tal manera que: W4ICTA =m4- TAB = 30°. Calcular la rruf. TBA A) 8o

I

B) 109

C) 12°

D) 15°

E)20°

180

Ernesto Quispe i l


38.- Dado el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior BD intersecta en P a la prolongación de CA y en Q a la m ediatrízde BC.

34.- C alcular*, si AM = MC

Calcular la m 4- PBQ. A) 37°

B)45°

D)50°

E)60°

C)48,5°

35.- Dado el triángulo rectángulo ABC, recto en B. La mediatríz de AC se intersecta en P con la bisectriz del ángulo exterior B; luego se traza AF // BP (F e BC y, si FC =a. Calcular BP. A )|

B) a 4 l

D ) |V 3

E )a

A) 105°

B) 115°

D) 120-

E) 135°

C) 125°

39.- En la figura mosti ada se sabe que: AM = MC y PM - BC Calcular la m 4- BPM

C ) |v ?

36.- Del gráfico; calcular*. S i: AB = BC

D) 15°

E)22°30'

40 - Calcular* del gráfico.

A) 10°

B) 12°

Q 15°

D) 20°

Ej25°

37.- Dado el triángulo rectángulo ABC recto en B. Sobre AC se ubica el punto P de modo que: AB = PC la mediatnces de AP y BC se intersectan en Q. Hallar la m 4 BQT, si m 4- ACB = 20° y T es el punto medio de A) 10°

I

B) 5° C)15°

Dj20°

A) 7° 30'

B)9°

D) 18° 30'

E)26°30'

C) 12°

E)7,50

V

^ ' A .• a

j ■" ^ • ***■ „¿/* '-tfN *,*#■-

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y

c a p í

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• f . -* fc

e

• <* (
f* J

DEFINICION.-

Es aquella figura geométrica determ inada por una línea quebrada y cerrada.

a) Vértices :

A, B....... E

b) Lados :

AB , BC,..., AE

c) Angulos Interiores : 4 A, 4 B ,..., 4 - E d) Angulos Exteriores : 4 LAB, 4

TBC,..., 4 KEA

e) Diagonal:

BE

0 Diagonal Media :

MN

g 1Perímetro :

2p = AB + BC + ... + AE

6.2 CLASIFICACIÓN 6.2.1 DE ACUERDO A SU CONVEXIDAD

a) Polígono Convexo.Si toda recta que contiene a uno de sus lados lo ubica en un mismo semiplano. E jm : Hexágono convexo.

b) Polígono no Convexo.Si por lo m enos existe una recta que conte niendo a uno de sus lados lo ubica en uno y otro semiplano. Ejm : Pentágono no convexo. Fig. 6.2

182

Ernesto Quispe R


6.2.2 Atendiendo a la Regularidad de sus elementos.

Aquel que tiene sus ángulos congruentes.

a ) P o líg o n o E q u iá n g u lo .b ) P o líg o n o E q u ilá te r o .c ) P o líg o n o

R e g u la r .-

Aquel que tiene sus lados congruentes.

Aquel que es equiángulo y equilátero a la vez.

(a ) H e x á g o n o e q u iá n g u lo

( b ) P e n tá g o n o e q u ilá te ro

(c ) C u a d ra d o re g u la r

J

L’

1

r

Fig. 6.3

G.3 DE ACUiJRDO A t NÚMERO DE SUS LADOS 3 la d o s

—>

4

la d o s

—>

C u a d rilá te ro

5 la d o s

—»

P e n tá g o n o

6 la d o s

—>

E xágono

7 la d

s

—>

H e p tá g o n o

8 la d o s

—>

O c tó g o n o

9 la d o s

—»

N onágono

10 la d o s

—>

D ecág o n o

11

la c io s

—>

U n d ecág o n o

12 la d o s

—>

D o d ecág o n o

'5

la d o s

—>

P e n ta d e c à g o n o

2 0 la tio s

—>

Ito s á g o n o

T riá n g u lo

6.4 PROPIED ADES GENERALES DE UN POLÍGONO

CONVEXO DE "n" LADOS 6.4a) En todo polígono, el num ero de lados es igual al núm ero de vértices , e , igual al núm ero de ángulos interiores. N° la jo s

=

N ° v é r t i c e s == N °

4

in te rio re s =

n

... ( 6 .1 )

6.4b) En todo polígono, el núm ero de ángulos exteiiores es el doble del núm ero de lados. N° 4- exteriores = 2n

... (6.2)

Luis tibaldo C

Polígonos

183

6.4c) En todo polígono, el núm ero de diagonales trazadas desde un vértice, está dado por la siguiente relación : N ° d ,v = n - 3 ... ( 6 .3 ) 6.4d) En todo polígono, el núm ero de diagonales m edias trazadas desde un lado, está dado por la siguiente relación. : N° d . m =n - 1 ... ( 6 .4 ) 6.4e) En todo polígono, el núm ero de triángulos determ inados al trazar las diagonales desde un vértice, está dado por la siguiente relación : ( 6 .5 ) ...

N ° As =

n -2

;

N ° As

: N ú m e ro d e triá n g u lo s

6 40 En todo poiígono, el núm ero de cuadriláteros determ inados al trazar las diagonales m e dias desde un lado, está dado por la siguiente relación : ( 6 .6 ) ...

N ° D s = n - 2

;

N ° D s N ú m e ro d e c u a d rilá te ro s

6.4g) En todo polígono, la sum a de las m edidas de los ángulos interiores, está dada por la siguiente relación : S

4 .1 =

1 8 0 (/i - 2 )

... ( 6 .7 )

6.4h) En todo polígono, la sum a de las m edidas de los ángulos exteriores es 360° : S

4 e =

360”

... ( 6 .8 )

6.41) En todo polígono, el núm ero total de diagonales, está dado por la siguiente relación : N ° D =

n ( / 1 2~ 3 )

... ( 6 .9 )

6.4j) En todo polígono, el número total de diagonales medias, está dado por la siguiente relación : N ° D .M . =

^

... ( 6 .1 0 )

6.4k) En todo polígono, el núm ero de diagonales trazadas a partir de "m" vértices consecutivos, está dado por la siguiente relación : . (m + l)(m + 2) N ° r f = m n - - ----------- y ----------- L

...( 6 .1 1 )

6.41) En todo polígono, el número de diagonales m edias trazadas a partir de "m" lados consecu tivos, está dado por la siguiente relación : N °d m. = m /i-

1

...(6.12)

184

Ernesto Qulspe R.


e d u c i o s o e a p lic a c ió n

pa r tc )

1.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de

8lados.

R e s o l u c i ó n .-

Aplicando la propiedad "6.4g " , tendrem os :

Splint. = 180 (n - 2) ; donde n = 8

Reemplazando :

Splint. = 180

Luego :

S4lint. = S p lin t. =

(8 - 2)

180

(6)

1080

2.- Calcular el número total de diagonales de un polígono de 12 lados. R esolu ción.-

De acuerdo con la propiedad "6.4 f , tendrem os : Reemplazando :

n ( n - 3) N.D. = ---- 2—

N.D. =

Luego :

N.D. = N ° D. =

I donde n = 12

12(12-3) 2

12(9) 2 54

3.- En un endecágono, hallar el número total de diagonales medias. R e s o l u c l ó n .-

El nombre de Endecágono es sin mimo de undecágono y es el polígono que tiene 11 lados , luego, de acuerdo con el item 6.3 , podem os establecer que : N°D.M. = Reemplazando :

^ ; donde n

= 11

N°D.M. = ^ N ° D.M. = 55

4.- En un hexágono, calcular el número de diagonales trazadas desde un sólo vértice.

Resoluclón.Si aplicamos la propiedad "6.4c", tendrem os :

Polígonos

Luis Ubaldo C

185

N°D.M. = n - 3 ; donde n = 6 R eem plazando:

N°D.M. = 6 - 3 N ° D .M . = 3

5.- Dado un dodecágono, se pide calcular el número de diagonales trazadas a partir de cuatro vértices consecutivos. R eso lu ción .-

De acuerdo con la propiedad "6.4 k " , se logra establecer que : Tenemos que : Donde :

N°d = mn

-

2

(m + 1) (m + ) --------------------- ^-----------

n = 12 ; m = 4

Reemplazando :

N°d = (4) (12) -

E ntonces:

N°d = 48-15

^

++ ^

N° d = 33

6.- En un heptágono, calcular el número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice.

Resoluclón.Según la propiedad "6.4e", se puede establecer que : N° As = n - 2 D onde: Reem plazando:

n= 7

N° As = 7 - 2 N °A S = 5

(heptágono)

186


cu )esto Qulspe R.

6.5 PROPIEDADES EN UN POLÍGONO REGUL \ R DE "n " LADOS, 6.5a) La m edida de¿ ángulo interior, está dado por la siguiente relación:

i=

e w v / / \

1 8 0 (/i-2 ) ...( 6 .1 3 )

6.5b) La medida del ángulo exterior, está dado por la siguiente relación: e

=

360 n

/T \ c j

()i

\ 1( >

... ( 6 i 4 )

\_ i

6.5c) La medida del ángulo central, está dado por la siguiente relación: 360

— 0— r~A

l " / — O-----í—'

... ( 6 .1 5 )

Fig.

6.4

6.5d) La medida de la sum a de ánguios centrales es 36CH S 4I c e n t r a l e s

=

360°

... ( 6 .1 6 )

6.5e) Las propiedades a y b s e cum plen también para un polígono equiángulo.

6.6 PROPIEDADES ESPECIALES 6.6a) El máximo núm ero de ángulos interiores agudos de un polígono convexo es :

3

6.6b) El mínimo núm ero de ángulos interiores obtusos de un polígono convexo es : n - 3 6.6c) El número de ángulos rectos a que equivale la sum a de las m edidas de sus ángulos inte riores es : 2 (n - 2) 6.6d) Si el número de lados de un polígono disminuye en "m" (m < ni) , su núm ero de diagona les disminuye en "d" cum pliéndose : ( / i - 2 ) + ( n - 3 ) + ( /i- 4 ) + .„ + [ /i- ( m + l) ] = d "m" sum andos

...(6.17)

6.6e) Si el núm ero de lados de un polígono aum enta en "m" su núm ero de diagonales aum enta en "d\ cumpliéndose : ( í i - l ) + ( n ) f ( « 4 1) + ...+ |n + ( /7 i- 2 ) ]

"trt" s u m

=

a

...( 6 .1 8 )

an d o s

6.60 Si las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo están en progresión aritmética de razón V y el m enor ángulo interior es "a", entonces : 180 (n - 2) = u n +

m (n - 1)

(6.19)

Luis Ubaldo C.

Polígonos

187

6.6g) Si las m edidas de los ángulos externos de un polígono convexo forman una progresión aritmética de razón V y el m enor ángulo exterior mide "a", entonces : 360 = a n + rn(R7 V>

... (6.20)

2

6.6h) Para dos polígonos regulares óent yrt lados cuya diferencia de las medidas de susángulos internos, externos o centrales es "a", se cumple : n, - 17 360 = n ~ n t

K > " 2)

-(« O

e je R c ic io s o e & p u ca c ió n ( 2 * p a r tg ) 7.- Calcular el número de lados que tiene un polígono regular si se sabe que de la medida de uno de sus ángulos interiores es 1449.

Resol «clon.Según la propiedad 6 .5a, tendrem os que : Reemplazando: Luego : .Al efectuar operaciones , se tendrá que :

4lint. = 144 =

n

—

180(n-2) n

144 n = 180(n - 2) 4 n = 5n -10 n = 10

8.- Si la medida del ángulo exteriorde un polígono regular es 249, ¿ De qué polígono se trata ?

Resolución.Según la propiedad vista en el item 6.5b , tenem os que : Reemplazando d a to s:

¿jlext. = 24 =

360 360

n = 15

188

Problemas de Geon.etría y cómo resolverlos

Frnewo Qu'spe R.

9 .-En un poí.gono regular la medida de su ángulo central es 24° Determinar el número de lados de dicho polígono.

Resolución.4Icentral =

De acuerdo con la propiedad 6.5c, tenem os que Reemplazando el d a to :

24° =

Luego, al despejar ten d rem o s: 10.-

360

n = 15

Calcular el mínimo número de ángulos interiores obtusos que puede haber en un polígono convexo de veinte lados.

Resolución.Sea : Min N°4lo b t.: Mínimo núm ero de ángulos o b tu so s, entonces de acuerdo con la propie dad especial vista en el item 6.6a , tendrem os que : Min N°4lobl. = n - 3 Reemplazando:

;

donde . n = 20.

Min N°4lobt. = 2 0 - 3 Min N°4lo b l. = 17

11.-¿Cuál es el numero de lados de un polígono, si se sabe que la suma de las medde los ángulos interiores equivale a ángulos rectos ?

12

Resolución.Según la propiedad especial 6.6c , tenem os que :

N°4lrect. = 2 (n - 2)

Donde al sustituir datos tendrem os :

12 = 2 (n - 2) n = 8

12.-Del ejercicio anterior ¿Cuál es el numero de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores?.

Re6oluclón.La suma de los ángulos interiores es :

S^lint. = 180 ( n - 2)

Como un ángulo llano equivale a 180°, entonces la parte señalada coi 1 paréntesis representa el el número de ángulos llanos.Pero del resultado anterior se sabe que n = 8 , luego : S/Jlint. = 8 -2

=>

S 4lin t. = 6

Luis Ubaldo C.

Polígonos

189

M ís c e i& rie a

1 - En un octógono, ¿En cuánto excede el número de diagonales al número de vertices ? Resolución.El número de diagonales, lo hallamos utilizando la propiedad 6.4i :

N° D = ^

El octógono tiene 8 lados, luego el núm ero de sus diagonales es :

gC8 _ 3} — ^— = 20

Entonces al operar nos queda : Según condición del problema :

N° D = 20 N° diagonales

Donde x es el exceso, luego :

20

= N° vértices =

+x ;

8+x

x = 12 2.- En cierto polígono el número de diagonales medias y el número de diagonales se encuemrar. en la relación de 7 a 5. ¿De qué polígono se trata?

Resolución. ■ Si el polígono tiene "n" lados, entonces el número de sus diagonales medias y el de sus diagonales respectivamente viene dado por las siguientes relaciones : N° DM = n (n-l)/2

a

N ° D = n ^ ~ 3)

Según condición del problema se tiene que : Simplificando y efectuando operaciones se tendrá que : En consecuencia, el polígono es un :

n (n - l)/2 7 n ( n - 3 ) / 2 = 5^ 5n - 5 = 7 n - 21

=> n = 8

octógono

3.- ¿Cuál es el polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 al número de sus lados?

Resoluclón.Sea "n" el núm ero de sus lados, entonces por dato se tendrá que : Sustituyendo el piimer miembro por la relación 6.4i :

I

N° D = 133 + n n ln _ — = 133 + n


190

n2-5 n - 266 Factorizando :

=

Ernesto Quispe R.

0

(n - 19) (n + 14) = 0

n = 19

4.- La suma de las medidas de los ángulos internos, centrales y externos de un polígono regular es igual a 2520B; hallar la medida de su ángulo central.

Resoluclón.Sea "n" el número de lados del polígono regular convexo que buscam os , luego según la condición del problema tendrem os que : X m 4- i

+

180° (n - 2) +

Im ^ c 360°

Efectuando , se obtiene :

+ I m ^ e = 2520° +

360°

=2520°

180 in - 2) = loOu

De donde :

n = 12

Fn consecuencia su ángulo central "c" m edirá :

360 c

~

12

c = 30° 5.- En un polígono equiángulo desde 5 vértices consecutivos se han trazado 54 diagonales, hallar el valor del ángulo exterior.

Resolución.Calcularemos el número de lados "n" del polígono , para lo cual se utilizará la relación 6.4k : N ° d = m n - (m + 1)2(m + 2) ; donde : m = 5 N°d = Tiw»- (5 + l)(5 + 2 )l

=>

54 = [5n-21]

=>

Luego el ángulo interior medirá :

Pero.

e + G = 180°

n = 15

0 = 180 (15 - 2)/15 =>

G = 156

=>

e = 180-156 e = 24°

o.- El número de vértices y el número de diagonales totales de un polígono regular son iguales, cuál será la medida de su ángulo central.

Resolución.Sea "n" el número de lados del polígono regular. L uego, según las condiciones del problema

Luis Ubaldo C.

Polígonos

tendremos :

191

N° vé rtices = N° diagonales totales

Reemplazando :

n

n (n - 3) /2

=

Donde :

n = 5

Luego por la relación 6.5c, su ángulo central m edirá;

4-C

Reemplazando d a to s :

360 n

4-c — 360.5

=>

c = 72°

7.- En un polígono el número de diagonales medias es 15. ¿Cuantas diagonales se podrán trazar desde 3 vértices consecutivos en dicho polígono?

Resolución.En un polígono de "n" lados la expresión, que nos lleva a calcular su número de diagonales medias es : N° DM = — ^ Según las condiciones del problem a : De donde al efectuar operaciones :

^ = 15 n

2 - n - 30

x

nx n'

= 0

^ -6 5

(n - 6) (n + 5) = 0

=>

Luego de la propiedad 6.4k :

N° d = mn -

Reemplazando datos :

N° d = (3) (6) -

n= 6

.

m = 3

N°d=8

8.- La diferencia entre el numero de diagonales y el número de ángulos llanos a que equi vale la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 119. Calcular el número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice.

Resolución Sea "n" el número de lados del polígono. Luego según las condiciones del problem a, se tendrá: Efectuando:

2

n - 3n - 2n + 4 = 238

n2~-3) - {n- 2) = 119

192


Donde :

Ernesto Quispe R.

2

n - 5n - 234 = 0

- 18 13 (n -18) (n + 13) = 0

=>

n = 18

Luego el número N de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice es (n - 2) Reemplazando :

N=n-2=18-2 N = 16

9.- Ca cular el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo central equivale a 9 veces la medida de su ángulo interior.

Resolución Sea "n" su número de lados del polígono regular. Luego según las condiciones del problem a : \2

n 180(n-2)

w Al efectuar operaciones , se tendrá :

n

2 . 9 . 40 = 9 n (n - 2)

2

Simplificando:

80 = ni - 2n

2

Por aspa simple :

n - 2n - 80 = 0 -10

n 'V n y

44 *+8

Luego :

(n - 10) (n + 8) = 0

Entonces:

n = 10 (si)

Luego :

v

n = -8 (no)

N° D = 10(1° ~ 3) N° D = 35

10.- Si el número de lados de un polígono convexo se duplica, el número de sus diagonales aumenta en 234. ¿Cuantos lados tiene ?

Resolución.Sea "n" el número de lados del polígono convexo. , .. ., . . ,. Luego por condiciones del problema : Resolviendo : Ahora :

n ( n - 3)

2n(2n-3) — — 4 234 = — — -

2

n -3n + 468 = 4n 2 - 6n

2

0 = 3n - 3 n - 468

Luis Ubaldo C.

Polígonos

193

2

n - n - 156 = 0 n- 13

Factorizando , se tendrá que :

+12

n

(n -13) (n + 12) = 0

Luego :

n = -12 v

Ei .tonnes :

n = 13

n = 13 11.- En un polígono equiángulo se conoce que la suma entre el número de diagonales trazadas desde un vértice, el número de triángulos que se forman y el número de diagonales medias que se determinan al trazarlas desde un lado es igual a 48. ¿Cuán to mide un ángulo exterior de este polígono?

R esoludón.Por propiedad se sabe que : - N° de diagonales trazadas desde un vértice

= n-3

- N° de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice

= n-2

- Números de diagonales mpdias trazadas desde el punto m edio de un lado = n -1 Luego según el p ro b lem a:

(n - 3) + (n - 2) + (n -1 ) = 48

Resolviendo :

n = 18

360

Luego la m edida del ángulo exterior s e r á :

m ^ ex te rio r = —„ -

4

m - exterior = 20°

12.- Si a la medida del ángulo exterior de un polígono regular se le disminuye 60s, el resul tado es numéricamente igual al número de diagonales aumentado en 7. Calcular el número de sus lados.

R esoludón.Según el enunciado del problem a se tiene que : ^-6 0 ° = ^ ^ -^ + 7 De la expresión anterior : Resolviendo :

=>

720 - n 2 (n - 3) = 134n

3 2

n - 3n + 134 n - 720 = 0

(n2 + 2n + 144) (n - 5) = 0 n = 5

I

«

194


Ernesto Qulspe R.

13.- ¿ Cuántos lados tiene aquel polígono egular tal que la medida de su ángulo interior es (m +11) veces la medida de su ángulo central? Por otro lado se sabe que el número de sus diagonales es 110 m (m e Z).

Resolución.Sea "n" el número de ladus del polígono. 180(n-2) r . , , ^ 360 ----- ----- = (m + 11) —

Luego : Por otro lado:

n-

i-\ De (1) y (2) :

-

/? 24

= 110 m

m = -

=»

m = ^^20^

3 3 -2 4

m = — ^— =

=>

... (1)

2

n - 113n + 2 640 = 0

Resolviendo se logra encontrar dos valores para n :

Si : n = »0

,—

n{n 3)

De esta expresión se llega a la ecuación cuadrática :

Si : n = 33

n - 24

=>

n = 80

a

n = 33

(en este caso m e Z )

on _ 04

m = — ^— = 28

(si es posible ya que m e Z)

n = 80 14.- Si a la medida del ángulc interior de un polígono regular se le disminuye en 9S, el número de sus lados se reduce en 2. ¿Cuántas diagonales quedan?

xesolución ■ De acuerdo a la propiedad 6.6h, tendrem os:

Donde los datos son

0 = 9°

a

Resolviendo :

2

2

n = n -2

9 2 = 7—77--------^ 360 ( n ,) ( n ,- 2 )

Reemplazando datos se tendrá : De do n d e:

0 nl - n = ~¿ JOU //] -7T fi2

( n , ) ( n , - 2 ) = 80 *

n t = 10

a

¡2= 8

r

Luego el número de diagonales que quedan se obtendrá a partir de n = 8 , en la relación 6.4i: 8 (8 -3 )

x = ——=—

I

=>

jr = 20

Luis Ubaldo C

Polígonos

195

15.- La diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 119. Calcular el número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice. R e s o l u c i ó n .-

Sea "n"el núm ero de lados del polígono dado ; luego : N° D = - - - - -- -

a

N° de ángulos llanos = (n - 2)

Según condición del problema :

2 n 2- 5n - 234

Efectuando operaciones :

n - 3n - 2n + 4 = 238

Por aspa simple :

=0

Resolviendo .tendremos :

n = 18

Nos piden N° de triángulo!, desde un solo vértice :

x = n -2 *

=

16

16.- Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo están en progresión aritmética. Calcular el mayor valor entero de la razón. R e s o l u c i ó n .-

Sean r la razón de la progresión y a - 2r la medida del m enor ángulo interior del pentágono; luego el mayor ángulo será : a + 2r De acuerdo con la figura : ( a - 2r)+ (a - r) + (a )+ (a + r)+ (a + 2r) = 180(5 - 2) Simplificando:

5 a = 540

De donde :

a = 108°

... (1)

a + 2r < 180°

... (2)

A dem ás:

Sustituyendo (1) en (2) :

108 +2 r < 180 2r < 72

Ahora : Finalmente : r < 36°

=»

/- = 35 ; 34 ; 33 ;...

E li m á x i m o v a l o r e n t e r o d e

r

se rá 35°

196Problemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

17.-En un polígono equilátero se conoce que desde 3 vértices consecutivos se pueden trazar 50 diagonales. Calcular su perímetro, si uno de sus lados mide 5. R e s o lu c ió n

■

Se logrará determinar el núm ero n de lados del polígono , em plearem os la propiedad 6.4k: (m + l ) ( m + 2)

N° d = m n ---------- ^ a

-

Donde los datos s o n :

m = 3

N° d = 50

Reemplazando se tiene :

rn o (3 + 1X3 +2) 50 = 3n --------------------------^-----=> n = 20

Luego su perímetro (2p), será :

2p = 20 (5) 2p = 100

18.-

¿En que polígono convexo se cumple que el cuadrado del número de sus vértices es igual a la suma de su número de diagonales, número de diagonales medias y seis veces el máximo número de ángulos interiores agudos que puede tener?

*


Sea "n" el número de vértices, luego el polígono tendrá "n" lados . Ahora por condición del problema se tendrá que : [Número de vértices]2 =

,^ 2 (.n)

=

N°D

+ N°D.M

n ( n - ’S ) . ---- ^— ' +

n ( n - l )

Luego :

zn2 = n 2 - 3n + n 2- n + 36

Simplificando:

4/7 = 36

=>

+ 6[máxuno N°de ángulos interiores] -2—

™

n = 9 E s el N onágono

19- La suma de las medidas de los ángulos internos de cierto polígono regular excede a la suma de las medidas de los ángulos externos en 900g. ¿Cuánto sumarán las medidas de sus ángulos interiores? R e s o lu c ió n . -

Sea "n" el núm ero de lados del polígono regular dado Lurgo por condición del problem a : 'Lm 4 - i

=

180°(n-2)= Simplificando se o b tien e: Ahora :

n-2

= n = 9

"Lm 4 -£

360' 2+ 5

+ 900° + 900°

Polígonos

Luis Ubaldo C

Luego la sum a pedida s e r á :

197

L m j L i = 180° (9-2)

4

X m _ l = 1260° 20.-¿Cuál es el polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 a su número de vértices?

Resolución.Sea "n" el número de lados del polígono convexo. Entonces por condición del p roblem a: 77^

^ = # de vértices + 133

Pero:

# de vértices = # de lados = n

Entonces :

""^2 ^ = n + 133

2

Operando :

n - 5n - 266 = 0

Factorizando:

n = 19

El polígono es de 19 lados 21.- ¿ En qué polígono regular se cumple que al aumentar 30ga la medida de su ángulo externo, se obtiene otro polígono regular en el cual su ángulo externo es a su ángulo interior como 2 e s a 7 ?

Resolución.Sean "n" y "m” los núm eros que expresan la cantidad de lados de cada polígono regular buscado . Luego si consideram os al polígono original a aquel cuyo núm ero de lados es "n" , según los datos d a d o s, elaborarem os los gráficos adjuntos, los que según las codiciones del problem a, deberán verificar la siguiente relación: e + 30° a-3 0 ° De donde al efectuar las opeiacionescorrespondientes , tendremos : 2 a - 7e = 270°

...

(1)

Pero observando el primer e sq u e m a , se puede establecer que: a + e = 180°

...(2)

A continuación resolveremos (1) y (2), obteniéndose : e = 10°

Luego :

e = ^

a

a =170° n = 360 10 n =36

X

198


Ernesto Qulspe R

22.- Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular sabiendo que excede en ga la de otro que tiene tres lados menos.

20

Resolución.-

2

Sean y n los números de lados de los polígonos y a la diferencia de las m edidas de sus ángulos interiores (pudiendo ser tam bién las exteriores o centrales). Ct

Luego según la propiedad t.6h, se cum ple . De los datos del p ro blem a, se sabe que :

^1 —^2

a = 20°

..... (*) a

2

n = n ¡-3

20 _ 3 360 /?| (/?] - 3 )

Luego , al reemplazar en (*), se tiene : Entonces , al despejar y resolver, se obtiene :

n x= 9

Ahora, por la relación 6 .5a, el ángulo interior s e r á :

i = 1^S_2) / =

140°

23.- Los 5/2 de la medida del ángulo interior de un polígono regular es igual al cuadrado de la medida de un ángulo exterior. Hallar el número de sus lados.

Resolución.Sea "n" el número de lados de este polígono , luego según condición del problem a se dube establecer q u e :

4

m edida - interior = [m edida

4 exterior ]2

....(*)

Si ahora reemplazamos cada expresión de (*) por las relaciones 6.5a y 6.5b, tendrem os : 5 j~1 8 0 ( n - 2 ) j = ^ 3 6 0 j 2

De donde : Simplificando:

150ín - 2 ) _ 360 n

~

n

5 (n - 2) =

Ordenando se establece que : n (n - 2) = 288 = 18 (18 - 2) Finalmente por comparación :

n = 18

360 n

Luis Ubaido C.

Polígonos

199

24.- La cantidad de diagonales de dos polígonos regulares se diferencian en 36 j las medidas de sus ángulos centrales están en la relación de 4 a 5. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos interiores.

Resolución.Seann yn los núm eros de lados de dichos polígonos, tal que n x > n , luego por condición del problema se te n d rá : ni(ni ~ 3) 2

n ( n - 3) 2

■■■

Pues b ie n , si ahora deseam os establecer la relación que guardan entre si los núm eros n y n v emplearemos la segunda condición : 360 4 5

Mí

-

n, = £ n 1 4

...(2)

n

Sustituyendo (2) en (1) :— ^

^

- n ( n ~ 3) = 36

2

Efectuando :

3n -4n - 384 = 0

De donde al resolver:

n = 12

Al. , . J .J . Ahora la diferencia pedida s e r a :

a

nx = 15

180(15-2) 180(12-2) ----- ^ ^ ----- =

6

25.- Las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo están en progresión aritmética de razón S. Si el menor ángulo mide 1059; hallar el número de diagonales del polígono

6

Resolucion.Sea "n" el número de lados del polígono, luego por la propiedad 6.6f, tendrem os : 180 [n - 2) = Donde :

a = 105

a

an

+

r n { n - 1)

r= 6

6 n ( n - l)

Reemplazando :

180 ( n - 2) = 105n +

Ahora :

180 n - 360 = 105n + 3n -3n

Simplificando : También : h'actorizando :

2 n2- 26 n + 120 = 0

2

3n - 78 n + 360 = 0 n = 6 y n = 20

Donde el primer valoi es el que corresponde a "rí ya que el segundo no satisface las condiciones del problema.

200


Ahora , el número de diagonales será :

Ernesto Qulspe R

N°D =

^

=>

N°D =

—

N°D = 9 26.-¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyo ángulo Interno es (k + 15) veces el án gulo exterior, y además se sabe que el número de diagonales es 135k.

Resoluci. n Sea "n" el número de lado:, del polígono, luego por condición del problem a se sabe que el numero de diagonales está dado a s í: — Pero el ángulo exterior está dado p o r: Del gráfico:

= 135 A ....(1) .... (2)

e

e + e (fc + 15) = 180°

Factorizando:

e {k + 16) = 180°


.... (3)

, (k + 16) = 180°

Donde:

2 (A + 16) = n

Reemplazando (4) en (1) : Simplificando y acom odando :

--(4 )

2(fc+16)Í2(A+16)-3] ------------ ------------- = 135 k k 2 - 37k + 232 = 0 k

\

j>f - 29

k

/

^

- 8

(ft - 29) (* - 8) = 0

=>

k = 29

a

k= 8

Reemplazando estos valores en (4) : a) Con k

=

8

, se

tiene :n = 2 (29

b) Con k = 29,se tiene : n = 2 (8 + 16) 27.-

+1 6 ) =>

=*n

= 90

n = 48

En un exágono equiángulo ABCDEF, se sabe que : AB = 2, BC = 3, CD = 4, DE = 5 . Hallar AF.

Resolucion.Según los d a to s, elaboramos el gráfico correspondiente :

Polígonos

Luis Ubaldo C.

201

Calculamos su ángulo interior: (n = 6)

Entonces:

.

180(6-2)

1

6

3/ b

i = 120°

'60“ .\3

Á60°60°Á

c

Formamos el triángulo equilátero PQR, donde : PQ = A hora:

PQ

qr

=

=

pr

QR

i

i

x +2+3 = 3+4+5 x = 7 28.- En la figura los polígonos CARMEN y CPATQS son hexágonos regulares ; calcular la medida del ángulo TBE.

M

E s s o lu d ó n .-

Cada ángulo interior de un hexágono regular m id e:

En el Triángulo isósceles CPA: m 4- CAP = m 4- PCA = 30° ;

De donde : m -¡CCAT = 90° En el hexágono CARMEN : m 4 ERM = 30°

=> m 4 ARB = 90°

A dem ás: m 4 BAR = 120 - 90° = 30° En el punto B :

x = 180-60

jc = 120°

202


Ernesto Quispe R.

29.- Calcularla medida del ángulo interior de un polígono regular, en elcuai la suma entre el número de lados, el número de diagonales y el número de diagonales medias es igual a los números Je ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos internos, externos y centrales.

Resolución.Por la relación 6.4i, se sabe que : Y por la relación 6.4j :

N° D = N° D M =

n (/7 -3 ) 2

n ( n - 1)

Además la suma de los ángulos internos, externos y centrales = 180 (n - 2) + 720 y su equiva lencia en ángulos rectos s e rá : 180(n-2) + 720 „ -------- 00-------- —2 (n - 2) + 8 —2/7 + 4 Luego, según condición del p roblem a, se establece que : _ n ( n - 3) n(n-l) n + ---- g g ---- = 2/7 + A

2

Simplificando:

n - 3n - 4 = 0 . .

Resolviendo , encontram os que :

4

n= 4

Finalmente nos piden la m edida del ángulo interior, el cual viene dado por la relación 6.5a . 180(/7-2) ' “

n

~

180(4-2) 4

i = 90° 30.- A partir del gráfico mostrado, se pide calcu lar el número de diagonales del polígono equiángulo ABCDEF ___

-O -.

Polígonos

Luis Ubaldo C

203

Resolución.Rara el polígono equiángulo sus ángulos exterio res son congruentes. Sea "a” la m edida de estos ángulos, luego: 360 a = — ...(1) En el A BTC; por < exterior : 80 = 2 a

=>

a = 40°

... (2)

De (2) e n ( l ) : 4 0 = ^ Entonces :

n= 9

Entonces :

9 (9 -3 ) N° de Diagonales = ------^— N°D = 27

I

31.- AB C D . . . . es un polígono regular si a la medida del ángulo ACE es 1 5 0 Hallar su número de diagonales.

Resoluclón.-

En el gráfico : =>

A ABC = A CDE (LAL) m 4-BAC = m 4- BCA =

Ya que el polígono es regular :

m ^ .B

m 4 DCE = m 4- DEC = a

= m 4IC = 150 + 2a 4 a +150 = 180

Enel A ABC:

2 a = 15°

De donde : Como el < exterior del polígono mide :

360

= 15

n = 24

De donde : ,

I

2a =

NoD = 24(^ _-_3) =

252


204

Ernesto Quispe R.

32.- En un polígono regular ABCDEF ...... de "n" lados, la m 4L ACE = 135° Calcular su número de diagonales medias.

Resolución.Para calcular su núm ero de diagonales de este polígono, es necesario calcular su núm ero de lados En la figura , =>

<‘s un ángulo central :

2c -r 135“ = 180°

E' .tonce:; :

« = 45°/2

d c Pero por c6.5c

,

.

c = 360

:

45°

,

Igualando :

—ÿ- =

360

=>

1C

n = 16

Su número de diagonales m edias será : No DM = 1 ^ 1 N° DM=120 33.- Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular sabiendo que excede en 209a la de otro que tiene 3 lados menos. R e s o l u c i ó n .-

r> -r Deli gráfico:

e = 360°

P r im e r P o líg o n o

,, .... ,(!)


n

e + 20° =

+ 20 =

360

360

n- 3

n

n —i

n- 3

.... (2)

e / n

= 20

360 -3 = 20 /7 (17 - 3) Simplificando : Luego por propiedad 6.5a : Reemplazando :

n= 9

S e g u n d o P o líg o n o

, = 180(n-2) n

1~

180(9-2) 9

l =

140°

.

n -3

ya - 2 0 ° xa-20°

Polígonos

Luis Ubaldo C.

205

34.- En cierto polígono se cumple que el número de diagonales excede en 30 al número de diagonales de otro polígono cuyo número de lados es la mitad del primero. Calcularla suma de las medidas de los ángulos interiores del primer polígono.

Resolución.-

P r im e r P o líg o n o

Del p rim er polígono :

N°D =

íeo n o : Del seg u n d o polígono

N°D =

n ( n - 3)

f(f-3) —-

Según las condiciones del problem a , se tiene que :

f(H

n (n -3 ) 2

n (n - 6)

n(n - 3)

2

= 30 S e g u n d o P o líg o n o

8

2

Por consiguiente : 3n - ón - 240 = 0

22

n - n - 80 = 0

=>

Factorizando y resolviendo : n = 10 Luego la sum a de las m edidas de los ángulos interiores del 1er polígono. Será:

£ m 4I i = 180° (n - 2)

Reem plazando:

I m 4I i = 180° (10-2) JLm 4

1 =

1440°

35.- En un polígono regular, se desea saber en cuánto aumenta el número de diagonales, cuando el número de lados aumenta en , si se sabe que el ángulo interior aumenta en :

2

2

Resolución.-

;„ ,

Al aum entar el núm ero de lados de un polígono, tam bién aum enta su nú mero de diagonales. Si x representa a este aum ento, por condición del problema se deberá cumplir que : n ( n - 3)

N°D, + x = N°D2

2

(n + 2) (/? - 1) +x = -

Del mismo modo , los ángulos exteriores sufren un cambio , tal que : e, - 2° = e

2

360 n

Efectuando y despejando :

n+ n = 18

m

Luego reemplazamos (*)en (1) : Resolviendo :

J360^ '

2 ...(*)

18(18-3) (18 + 2)(18-1) ----- ------ + x = -------- --------x = 35

( 1)

^ {¿ )

2

206


Ernesto Quispe R.

36.- En un exágono regular ABCDEF, sobre AB se construye Interiormente el cuadrado ABCH, se ubica el punto medio "M" de HE ; hallar la medida del ángulo AMF.

Resolución.En principio elaboraremos dos gráficos, en el 1ro el exágono y cuadrado interior y el 2do. en el que ampliaremos el A FHE en el que podam os apreciar las características del ángulo 0 buscado

Se traza HN _b_ FE , luego trazamos NM, entonces el A HNM es equilátero y el A FNM es isósceles Luego. 0 + 15° = 60°

G = 45°

37.-Interiormente a un exágono regular ABCDEF se construye el pentágono regular APQRF. Hallarla medida del ángulo BFP.

Resolución.Delgráfico :

x = m 4 PFA-m

41 BFA

En el exágono:

m4- A

Además :

m 4- ABF = m 4 AFB = 30°

...

= 1 ^ 5 ^ —— = ] 20°

En el pentágono APQRF : m ^ P A F = 18° (55 -2)- = 108° A dem ás:

rr

Reemplazando

en

4 APF = m

4 AFP = 36°

(*) : x = 36° - 30° jc = 6 °

I

Folígonos

Luis ULotüo C

207

38.- La figura ABCDEFes un exágono equiángulo. HallareI perímetro del ATKG, si se sabe que : BC = a y EF = b (b > a ).

Resolución Ya que el exágono es equiángulo entonces la m edida de su ángulo interior estará dado a s í :

= 120o o

Si BCDG es un paralelogramo, entonces : BC = GD = a Además : m 4 TGK = m 4 GBC = 60° Como FTDE es un paralelogramo, entonces : TD = FE = b Y:

m 4- KTD = m

41 TFE = 60°

El A TKG es equilátero: TG = GK = KT = b - a 2P(ATKG) =

3(6 - á)

39.- En la figura adjunta : ABCDE es un pentágono regular y FGHIJ es un pentágono equilátero. Calcular A K , si KH = 12; adem ás: GD = GF

Resoluclón.Por ser "0" la m edida del ángulo exterior del pentágono regular ABCDE Se tiene : A dem ás :

0= ^

= 72°

m 4- ADE = 36°

En el pentágono equilátero FGHIJ : m 4- GJF = 36°

De donde : AD // KJ , luego en el triángulo AHD : KG es base media. x = 12

208


Ernesto Quispe R

40.-En la figura dada, el pentágono ABCDE es regular y además PD = A B .

B

Con estos datos se pide calcular el valor de " x", que expresa la medida del ángulo indicado.

E

Resolución.A partir del gráfico oeiginal, trazamos AD, luego en el triangulo isósceles AED : m

4 EAD = m 4L EDA = 36°

Además en el vértice A se tiene : 42 + m =5

4. PAD + 36 = 108° m 4. PAD = 30°

Construimos el triángulo equilátero AQD, luego : AQ = QC = AD y m 4 QAP = m

4. PAD = 30°

A QAP = A PAD (L.A.L) =>

PQ = PD (AP com ún a am bos triángulos) A AED = A QPD (L.L.L.)

De donde :

m 4 PQD = m 4 PDQ = 36°

En consecuencia: Entonces :

m 4 ADP = 60 - 36 = 24° x = 36 + 24 = 60° x = 60°

Polígonos

Luis Ubaldo C.

209

PROBLEMAS POPUeSTOS 1.- ¿Cuántos diagonales tiene aquel polígono regular que tiene 165° como medida de su án gulo interior. A) 125

B) 168

C)225

D)252

E)325

6.- Si la diferencia entre el número de lados de dos polígonos es 3 y la diferencia entre el nú mero de diagonales es 15; hallar el número de lados del polígono de menor número de lados. A) 8

2.- Calcular el número de diagonales totales de aquel polígono en el cual al duplicar su número de lados, la suma de las medidas de sus ángulos internos se cuadruplica. A )0

B)2

C)5

D)9

E)4

3.- ¿Cuál es el polígono en el que se puede trazar 21 diagonales desde 4 vértices conse cutivos? A) El pentágono B) El decágono

D) El icoságono E) El pentadecágono

C) El nonágono 4.- Se tiene un heptágono regular ABCDEFG; hallar la medida del ángulo que forma la diago nal EG con la bisectriz del ángulo DAG. A )W

B )8œ

D )(2 M f

E )(2 |0 )"

C )( W F

B)6

C)5

D) 10

E)4

7.- ¿Cuál es el polígono regular convexo en el que el número de diagonales es igual al núme ro de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos dividi do entre 2. A) El triángulo

D) El exágono

B) El cuadrado

E) N.A.

C) El pentágono 8.- Calcular el número de lados de aquel polí gono en el cual su número de lados más su número de diagonales es 28. A) 5

B)6

C)7

D)8

E)10

9.- Determinar el número de lados de aquel polígono en el cual al aumentar un lado, su número de diagonales aumenta en 6 A) 6

B)7

C)8

D) 12

E)14

5.- En la figura, hallar PF, si PD // EF ; PE // CD y ABCDEF es un exágono equiángulo AB = 1, BC = 5,CD = 2 y A F = 4.

10.- Las medidas de un ángulo interior y un ángulo exterior de un polígono regular, son entre si como 11 es a 2; hallar el número de diagonales medias

A) 3

A) 65

B)68

C)72

D)78

E)84

B)4 11.- Calcular el número de lados de aquel polí gono en el cual al disminuir dos lados su nú mero de diagonales disminuye en 19.

C)3y¡3

D)6 E)1

I

F

A) 6

—

B)8

Q 10

D) 12

E)14

210

12.- La suma de las perpendiculares bajadas por los vértices de un exágono regular a una recta exterior es 18; hallar la distancia del cen tro del polígono a dicha recta. A) 1

B)2

C)3

D)5

E)6

A) 4o

B)84°

Q 66°

D)54°

E)42°

14.- Se tiene el polígono regular ABCDE..., cal cular el número de diagonales sabiendo que AC y BE forman un ángulo cuya medida es 135°. A)55

B)54

C)45

D)56

E)108

15.- La suma de las medidas de los ángulos internos, externos y centrales de un polígono regular convexo, es 1260°. Calcular el número de lados del polígono.

B)5°

C)6°

D)8°

E)9°

19.- Calcular el número de lados de un polígo no equiángulo ABCDEF. . . si las mediatrices de AB y EF forman un ángulo de 36°. A) 15

13.- Interiormente a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero AMB; hallar lam 4- DME. A) 86°

Ernesto wu/spe R


B)20

C) 10

D)40

E) 10.40

20.- De 4 lados consecutivos de un polígono equiángulo se han trazado 50 diagonales me dias. ¿Cuánto mide un ángulo exterior del po lígono? A) 12

B) 15

020

D)24

E)30

21.- Dados dos polígonos regulares cuyos nú meros de lados son consecutivos. Calcular el número de lados del polígono de mayor ángu lo central, Si la diferencia entre las medidas de sus ángulos exteriores es 12. A) 4

B)5

C) 6

D''7

E)8

22.- En la figura, hallar : a + p + 0 + tu A) 5

B)6

Q8

D)9

E)12 A) 360°

16.- ¿Cuál es el polígono regular covexo tal que si su ángulo interno disminuye 10° resul taría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de lados del polígo no original?

B)463" C)óU7° D)630°

A) 18

B)20

C)22

D)15

E)24 E)720°

17.- Hallar el número de lados de un polígono, cuyo número de diagonales medias es el do ble del núm ero de diagonales de dicho poligono. A) 5

B)6

Q7

D)8

E)10

18.- Las medidas de los ángulos interiores de un endecágono convexo forman una progre sión aritmética de razón r. Hallar el máximo valor entero de r.

23.- Calcular la medida del ángulo interno de aquel polígono regular convexo cuyo número total de diagonales excede en siete al número tota] de diagonales de otro polígono convexo tiene un lado menos. A) 9o B)120P

090°

D) 140p

E)144°

24.- En la figura se muestra dos pentágonos regulares, calcular "x".

Luis Ubaldo C

Polígonos

A) 58°

211

30.- De 2 polígonos regulares, uno de ellos tiene 3 lados menos que el otro pero el ángulo exterior de uno de ellos mide 27° menos que la medida del ángulo exterior del otro. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de dichos polígonos.

B)27° Q 72° D)8œ

A) 1 500°

B) 1 520p

E)60°

D )1620°

E) 1 8u0°

25.- En un campeonato de fútbol participaron "n" equipos, sabiendo (n - 4) equipos jugaron 5n partidos. Hallar n.

31.- En un polígono de "n" lados la suma del número de diagonales medias y el triple del número de lados es 1650. Calcular la diferen cia entre el número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos y de un vértice.

A) 9

B) 10

Q 11

D) 12

E)15

26.- En la diagonal AE de un octógono regu lar ABCDEFGH se ubica el punto P talque el 4FPE mide 30°. Calcular la medida del ángulo HPE A) 30°

B)45°

C)60°

D)75°

E)90°

27.- Hallar el número de vértices de aquel polí gono donde el número de diagonales es el do ble de la suma del número de lados mas dos. A) 4

B)8

Q 10

D) 12

E) 14

28.- En un polígono regular ABCDE.... de n lados. Hallar el menor valor que puede tener el ángulo ACE. A) 360

B)

D*6CT

E)

n

7?PC n

C)36°

180° n

29.- Al disminuir en 6o la medida de cada án gulo interno de un polígono regular resulta otro polígono regular, resulta otro polígono regular cuyo número de diagonales es los 3/5 del número de lados de dicho polígono A) 14

B) 15

C)10

D)20

E)15

A) 198 B) 200

C) 205

C)1Ó00°

D) 203

E) 202

32.- Se tiene un polígono convexo de "n" la dos cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 34. Hallar«. A) 8

B)9

C)10

D) 11

E)12

33.- En cierto polígono al aumentar el número de lados en "K", el número de diagonales au menta en 6K. ¿Cuántos polígonos cumplen estas condiciones? : A) 2

B)6

C)5

D)15 E)14

34.- Dado un hexágono convexo ABCDEF tal que : m L B = 40° ; m L E = 150° y / n 4l C + / ? ? 4l D = 330°. Calcular la medida del ángulo que forman las rectas ,\B y FE al intersectarse.

4

A) 60°

B)70°

4

C)80°

D)20°

E)100°

35.- El perímetro de un octógono equiángulo ABCDFGH es 4( 1 + \Í2 ) dicho polígono tiene 2 tipos difcentes de lados de los cuales se presentan en form a alternada. C alcular : VÄF+BG

212

Ernesto Quispe R


A) -J2 -1

B) 3 + J2

D) 3 - V2

EjV3+I

C) J2 + 1

36.- El menor ángulo de un polígono convexo mide 139° y las medidas de los otros ángulos con la del pnmero una progresión aritmética de razón 2o. Calcular el numero de lados del polígono. A) 10

B) 15

C)9

D) 12

E)20

37.- Rn la figura: ABCDEF; AMNF y FTN son polígonos regulares. Hallar* A) V5

B)2V5

C)5

o

D)2,5

E) 2 ^

40.- En la figura ABCDE es un pentágono regulai AP = EC y PB = KD, hallar x. A) 15°

F A) 30°

B)45°

B)20p

E Q60P

D)75°

E)53°

38.- En la figura los polígonos mostrados son regulares; hallar x.

C)22,5° D)30P El 36° 41.- La diagonal de un polígono viene h acer: A) El segmento que une dos vértices conse cutivos. B) El segmento que une los puntos medios de dos de sus lados. C) El segmento que une un vértice con el pun to medio de otro lado del polígono.

39.- En la figura ABCDE, es un pentágono re gular BD = BK ;AB = BT ;T K = 2V 5. Calcular CH.

D) El segmento que une dos vértices no con secutivos. E) B y D son correctas

DEFINICIÓN :

Es aquel polígono que tiene cuatro lados.

A) CUADRILÁTERO CONVEXO

Cuando sus ángulos interiores son convexos, se cumple q u e : c t + P + 0 + p = 360

... (7.1)

B) CUADRILÁTERO NO CONVEXO

Cuando tiene por lo m enos un ángulo no con vexo (mayor de (90°), también se le llama cuadriláte ro cóncavo. x = a + P+ 0

... (7.2)

C) CUADRILÁTERO ALABEADO

Es aquel cuyos puntos se encuentran en dos o más planos.

Fig.7.3


214

Ernesto Qulspe /?.

ss 7.2.1

TRAPEZOIDE

No nene lados paralelos. Pueden s e r : A)

TYapezoide Asimétrico.Cuando todos sus lados tienen diferente longitud.

B) TYapezoide Simétrico.Llamado tam bién trapezoide îsósceles o contraparalelogramo.

Fig. 7.4 7.2.2 TRAPECIO.

Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados opues tos parálelos. Elementos : al Bases- BC y AD (BC//AD) b) Altura:

BH

e) Mediana • MN (MN//BC//AD)

Fig. 7.5 a

MN =

BC + AD

... (7.3)

d) El segmento que une los puntos m edios de las diagonales :

PQ = —

—

... (7.4)

CLASES DE TRAPECIOS :

1. TYapecio Escaleno.Es aquel cuyos lados no paralelos son diferentes

2. TYapecio Isósceles.-

3. TYapecio Rectángulo.-

Es aque 1 cuyos lados paralelos son congruentes.

Es aquel en el que uno de los lados no paralelos es la altura del trapecio.

/X\ / \ / \

J

n

\

\ Fig. 7.1,

Luis Uboldo C 7.2.3

Cuadriláteros

215

PARALELOGRAMO.-

Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opues tos paralelos y congruentes. C a ra c te rís tic a s * AB // CD

:

; AB = CD

* AO = OC ; BO =

OD

*¿A =4C;4LBb ¿ D

* B C / / Ä D ; B C = Ä D * Ä C * BD

* a + G = 180

CLASES DE PARALELOGkAMOS : 1. R e c tá n g u lo ( C u a d r i lo n g o )

T am bién llam ad o cu a d rilo n g o , es aquel paraleli igom o cuyos ángulos interiores miden 90°, sus diagonales son iguales y se bisecan (cortan en su punto medio). Sus lados opuestos son iguales.

jkia h

6

N

, .X

/><

e e

2. R o m b o (L o sa n g e )

También llamado Losange, es aquel paralelo-gramo cuyos lados tienen igual longitud, sus diagonales se cortan p erpendicularm ente, se bisecan y son bisectrices de sus ángulos interiores.

3. C u ad ra d o

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud, sus ángulos interiores miden 90°; sus diagonales son iguales. Se cortan perpendicularm en te, se bisecan y son bisectrices de sus ángulos inte riores. Fig. 7 . 1 0 4 . R o m b o id e

Es el paralelogramo propiam ente dicho.

I

216


Ernesto Quispe R.

7 3 PROPIEDAD SrENERAI Si ftBCD es un cuadrilátero cualquiera, entonces se cum ple que : - MNLF es un Paralelogramo. - El perímetro (2p) del cuadrilátero MNLF es : AC +BD Observación:

Si:

* AC = BD

=>

MNLF es un Rombo

*AC X BD

=>

MNLF es un Rectángulo

*AC = BD y AC X BD

=»

Fig. 7 .12

es un Cuadrado.

7 .4 PROPIEDADES EN TJtA PESOJDES 1ra P ro p ied ad . Si 2p = perímetro, entonces : 2p = «B + BC + CD + AD

Yad em ás: p
... (7.5)

2da P ro p.edad. Si 2p —perímetro, entonces : p < AC + BD < 2p

... (7.6)

3 ra P ropiedad. S i: AE y BE son bisectrices, entonces : X= - 1 3

... (7.7) Fig. 7.15

I

Cuadriláteros

Luis Uboldo C.

217

4“ Propiedad.

S i: BE y DE son bisectrices, en to n ce s: ... (7.8)

Fig. 7.16 5

Propiedad.

A

S i: BE y DE son bisectrices, entonces : cc-p

x = ---- — 2

... (7.9)

A

r —

\ 'E Fig. 7.17

Propiedad.

S i: BF, CF, AE y DE son bisectrices, entonces : a + p = 180

...(7.10)

/

!/

\

A ¿>1-------------

7ma Propiedad.

En la figura se cumple que : a + P + 0-0=36O

...(7.11)

8va Propiedad.

Si M, L, N, F son puntos medios, entonces : MO = ON

I

a

LO = OF

... (7.12)

Emesto Quispc R


218

9na Propiedad

S i: M, F, N L son puntos medios, entonces : MO = ON

LO = OF

a

Fig. 7.21 10ma Propiedad.

Si AC = BD = a ; M y N puntos medios. Y ad em ás:

=>

AC ± BD

MN = 1 72

... (7.13)

11ra Propiedad.

Si: G, : Baricentro del A ABC G2 : Baricentro del A BAD Se cumple que DGi y CG2 son m edianas del cuadrilá tero ABCD; "O" es baricentro del cuadrilátero ABCD. CO = 3 (OG2)

a

DO = 3 (OG,)

... (7.14)

12da Propiedad.

Si "O" es Baricentro del cuadrilátero \BCD, en tonces : a + b + c + d x = --------- ^----------

... (7.15)

13ra Propiedad.

... (7.16)

<í

fr^\

0+ d

J

x = —+ b +

'CV

En la figura se cumple que . s>

= L _ r-

Fig. 7.25

| ---------------------------------------------------------------------------r —

14

ti.iü

L / K u u r i i u í c i i/ j

L U lC i U U U / U U O .

P ro p ied ad .

En el triángulc ABC, si se cum ple que "G" es Caricnntro. a + b + c

... (7.17)

Fig. 7.26

1513 P ro p ied ad .

ba

En el triángulo ABC, si se cum ple que "G" es Baricentro. b —a + c

/

é h

... (7.18)

\

0 G

A

\

u V¡ ^ -C Fig. 7.27

€J€RCICIOS D € APLICACIÓN

l.i™ PART61

1.- En el cuadrilátero convexo, hallar larr>4- BAD.

Resoluciún.Por la relación 7.1, tenem os :

x + x + 10 + x + 20 + x + 30 —360

En consecuencia: Ahora:

4* + 60 = 360 4x = 360 m 4 . BAD = x = 75°

2.- En el cuadrilátero cóncavo, hallar "x".

Resolución.Por la relación 7.2, tenem os :

x = 40 + 80 + 20

jf = 140°

3.- Un trapecio asimétrico es : A) Cuando sus lados no paralelos son de diferente longitud B) Llamado también bisósceles C) Cuando uno de los lados no paralelos es la altura del trapecio. D) Cuando sus lados no paralelos son de longitudes congruentes E) Cuando todos sus lados tienen diferente nodida de longitud.

Resolución.Según el item 7.2.1 A, sabem os que un trapecio asimétrico es aquel cuyos lados tienen diferen te medida de longitud. RPTA. E 4.- En el trapecio AóCD (BC / / A D ) , calcular MN. M

Por la relación (7.3), tendrem os :

8

A

Resolución.8+6 MN = ■ ^

D

MN = 7

5.- En el trapecio ABCD (BC / / AU), calcular PQ. S i: A P= PC y BQ = QD.

Resolución.Según la relación (7.4), sabem os que :

12 — 8

PQ = —- —

6.- En el cuadrilátero BE y AE son bisectrices. Calcular "x", s i : m 4- A - 1/2 m 4- C = 50°

.-.PQ = 2

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C

Resoluclón.Del dato :

4

m L C = 2 (50°). 100°

100+70

Según la relación (7.7), se sabe que .

x =

De donde :

* = 85°

7.- En el gráfico mostrado, BE y DE son bisectrices, hallar "x", si además : x < 609

B

Resoluclón.De acuerdo con la relación (7.9), tenem os :

10° =

60- x

x = 40°

8.- En la figura, BE y DE son bisectrices, calcular el va lor de "x", siendo : x>709.

Resolución. Según la relación (7.8) se sabe que :

5° =

x -7 0

x = 80° 9.- Si B FyC Fson bisectrices, hallar "x", si además ; a = S0B y 6 = 45 s.

221

222


Ernesto Quispe R.

Resolución.Se puede reconocer que :

m 4- B = 85°

Luego por la relación (7.10), se tendrá :

x + 85 = 180

x = 95°

8+4+6+x

De la relación (7.15) sabem os que :

7=

De donde :

x = 10

11. - A partir del gráfico mostrado, se pide hallar "x

Resolución.Según la relación (7.16), se tiene : 11 =

x + 8 + 10+14

baricentro, entonces se pide hallar "x"

Resolución.Porla relación (7.17), tendrem os :

12

=

ll + x + 10

x = 15

x = 12

Cuadriláteros

Luis Uboldo C.

7.5 PROPIEDADES EN TK.VPECIG3 1ra p r o p ie d a d

S i: BC / / AD =>

A BAF : Isósceles y AB = AF

2DA PROPIEDAD

Si: BC // AD y BE , AE son bisectrices, en-tonces:

x = 90°

3 ra PROPIEDAD

Si: BC // AD =>

a

i7j 41 B = 2m 4- D

AD = AB + BC

4TA PROPIEDAD

Si: BC // AD ; CE y DE son bisectrices exteriores, entonces : x = 90°

223

224


Ernesto Quispe R.

5U Propiedad

Si :"M" es punto medio, entonces : BC-t AD MN = ---- -----

... (7.19)

Fig. 7.32

6U Propiedad

Si "P" es un punto medio de ÁC , entonces

PQ =

BC

... (7.20)

Fig. 7.33

7™ Propiedad

Si "M” es punto medio, entonces : BM = AM

Fig. 7.34

8V~ Propiedad

Si los segm entos trazados son bisectrices, en tonces : (6 + d ) - (a + c)

. (7.21)

Fig. 7.35

Cuadriláteros

Luis Uboldo C.

225

9"* Propiedad

S i: BE , AE, CF , DF son bisectrices y hacem os EF = x , entonces :

x=

±b±cA

...(7>22)

1 0 "» propiedad

Si: AO , BD , CD , DO son bisectrices, entonces se cumple q u e : a +c=b +d

... (7.23)

l l n Propiedad

S i: AB = BC = CD = a y BC // AD =>

AD =2 a Y adem ás : 0 = 60°

12d" Propiedad

Si: =>

BC/ / AD

2 2

x + y = (6 + d )2

... (7.24)

Fig. 7.39

I

226


Ernesto Qulspe R.

13ra P ro p ied ad S i: a + 0 = 90

=>

x -

d

b

... ( 7 . 2 5 )

14a Propiedad

Si • AF , BF , CE y DE son bisectrices y hacem os EF = x , entonces :

Fig. 7.41

15'* propiedad

S i: MP = QP = QN , adem ás My N puntos medios. AD = 2 BC

. ( 7 .2 7 )

16u Propiedad

S i : CE y DE son bisectrices, en to n ce s: x =

AD + BC - CD

... ( 7 .2 8 )

Fig: 7.43

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C

13.- En el trapecio ABCD, BC es paralelo a AD calcular AD.

B

1 0 ____ C

F

A

227

D

Resolución.De acuerdo con la Ira propiedad del ítem 7.5, tenem os que el triángulo BAF es isósceles, en to n ces: Luego :

AD = AF +FD

=>

AD = 8 + 6

=>

AD = 14

14.- S i: BC / / AD y además BE y AE son bisectrices. Calcular "x", si a = 32e

A

Resolución.De acuerdo con la 2da propiedad del item 7.5, tenem os que : P = 90° Luego :

x + 32° = 90°

=>

x = 58°

15.- En la figura se sabe q u e : BC / / AD ; AB = De acuerdo con estos datos calculara.

8, BC = 5

a A O = 13.

D

228


Ernesto Qu/spe R.

R e s o i - c l o n .-

Según la 3ra propiedad del item 7.5, se verifica que : AD Luego :

AB + BC

m ^ B = 2 m ^ D = 2(50°) #71 4- B = 100°

16.-Si BC //A D y además CE y DE son bisectrices, hallar "x"

B


Por la 4“ propiedad del item de 7.5, tenem os que : Asimismo: 17.-

2 a = 80°

=>

a = 40°

x

En la figura "M" es un punto medio de DC. Calcular x.

R e s o lu c ió n .-

Por la 513 propiedad del item 7.5, tenem os :

5= x =

18.- En el gráfico, hallar x s i : AP = PC

I

0

90° 50°

C

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

Resolución.9 -x 2 = —-—

Según la 613 propiedad del item 7.5 , tenem os :

x = 5 19.- En el trapecio rectángulo ABCD, se sabe q u e: CM = MD. Calcular B M , s i : AM = 5 a 0 = 90e

B

Resolución.Por la 7ma propiedad de 7.5, tenem os :

BM = AM

Luego del

AB = AM \Í2

AMB :

=

BM = 5

BM = 5^2 20.- En el trapecio ABCD, se tiene que: BC //A D ; si los segmentos trazados en su interior son bisectrices, calcular "x".

Resolución. Por la 8va propiedad del item 7.4, tenem os :

4=

Entonces:

4= jc =

(lO + l 2 ) - U + 2 + x) 2 0 -2 * 6

21.- En el trapecio ABCD, se sabe que : BC / / AD. Si los segmentos trazados son bisectrices, hallar PQ = x, si además : AB = a CD =

8

6

B x

-8 C

f roblemos de Geometría y cómo resolverlos Resolución.Por la 9na propiedad de 7.5 , tenem os :

x = 8+X

x = 18 22.- En el trapecio ABCD, se sabe q u e : BC / / AD. Si ademas: AB = BC = CD = , se pide calcular AC.

6

A

Résolue ión.Por la 11ra propiedad del item 7.5 , tenem os : Luego en el

ACD :

AC = Va D2-C D 2

AD = 2(6) =>

AC = 6 ^3

23.- Si se cumple que BC / / AD, M yN puntos medios de BC y AD respectivamente. Calcular BC; además a + 0 = 90s (MN = 3 y AD = 12)

Resolución.Según ia 13ra propieaad del item 7.5, tenem os : Reemplazando :

MN = 3=

AD-BC 2 12 - BC

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

231

7*6 PROPIEDADES EN B\HALELG(tRA1VÍOS 1ra Propiedad

Si :BF es bisectriz, entonces A BAF es isósceles, donde : AB = AF

2d* Propiedad

Si :

AB = CD

y

BC = AD £7

> B C D e s u n p a ra le lo g ra m o

3ra Propiedad

Si:

BC = AD B C / / AD £7

ABCD es u n

n a ra le lo g ra m o

Fig. 7 . 4 6 4U Propiedad

Si : AE y DE son bisectrices =>

I

AD =

a

x

= 90

2A B

■■

232


5U Propiedad

Si:

Ernesto Q uilpe R.

8 " 1Propiedad

AE y DE son bisectrices, entonces :

En la figura se cum ple que :

x = 90°

b =a + c

Fig. 7.48 6U Propiedad

9™ Propiedad

S i: AP y DP son bisectrices, entonces : BH = 2 PQ

En la figura se cum ple que : b -d = a + c

B

C

/

y'

\

H

r <2

LK

A

D Fig. 7.49

Propiedad

10m* Propiedad

En la figura se cum ple que :

En la figura se cum ple que : b -d = c

a +c =b +d

/ V

Fig. 7.52

/V

a\

Fig. 7.50

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C. 11ra Propiedad

14u Propiedad

En la figura: El □ MNLF : Rectángulo =>

M L =

BC - AB

S i: E y F son puntos medios, en to n ce s: BP =

PQ

=

Q D

Fig. 7 . 5 4

Fig. 7 . 5 7

12d* Propiedad

15u Propiedad

En la figura:

S i: E y F son puntos medios, entonces :

=>

□ MNLF : Rectángulo M L = AB +

BP =

BC

PQ

= Q D

Fig.7.5ó 16*3 Propiedad

13ra Propiedad

S i: M es punto m edio de PD =

233

B C

, entonces:

Si : □ ABCD : ROMBO

2 BP

Fig. 7.56

Fig. 7.59

234


1 7 ".. Propiedad

Ernesto Quispe R.

18v* propiedad

En el rectángulo se cumple que :

□ ABCD: Cuadrado

a = 6

x = 90°

24.- En el romboide ABCD ,A E y DE son bisectrices. Calcular AD.

Resolución.Por la 4la propiedad del item 7.6 , tenem os : Reemplazando:

AD = 2 AB => x

AD = 2(16) AD = 32

75.- En el romboide ABCD, hallar "x" s i : AE y DE son bisectr.ces. Adem ás; 0 = 65-

+\6= 2x

=> x = 1 6

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

Resolución.Por la 5*‘ propiedad del iterr 7 6, sabem os que :

P = 90°

=>

x = 25°

26.- En el gráfico. Hallar BH si P Q = 2 ; se sabe que ABCD es un romboide.

A

Resolución.Por la Gta propiedad de 7.6, tenem os que : Reem plazando:

Q

BH = 2 PQ ; PQ = 2

BH = 2(2) BH = 4

27.- Si ABCD es un romboide, hallar x

Resolución.Por la 7ma propiedad del item 7.6, tenem os : x =

2

28.- Si la figura es un romboide, hallar "x".

1

i

I

6 + 2x =

8+ x

D

235

236

Problemas dt Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R

Resolución.Por la 9na propiedad del item 7.6, tenem os :

11 - 3 = 2 + x x =

6 B__C

29.- Del romboide ABCD , MNLFes un rectángulo, hallar ML, si además : BC = 4 ML

aW7

/e

N

3/ F

AUy'

6 / e)

A

D

Resolución.Por la 1la propiedad del punto 7.6, tenem os :

ML = BC - AB

Reemplazando:

ML = 4 ML - 3 ML = 1

30.- Si ABCD es un romboide, BP = 3x, hallar PD.

B /\3

C

M

/R 1 \x

+20 /

A

D

Resolución.Por la 13ra propiedad del item 7.6, tenem os : De d o n d e :

PD = 2 BP => x + 20 = 2(3x) x = 4

PD = 24 31.- Si ABCD es un romboide, hallar la medida de BP.

I

«____©-

£ — ©-------- 9

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

Rcsolución.Por la 15la propiedad del item 7.6, tenem os : BP = PQ = QD

=>

2+x =

De donde : L uego:

6-x

x= 2

BP = 2 + 2

=>

BP = 4 B

32.- En el romboide ABCD, hallar BD.

,

E

Resolución.Porla 14ta propiedad del item 7.6, tenem os : De donde : Finalmente :

BP = PQ = QD => 2 x - 6 = x + 3

x= 9

BD = 3(9 + 3)

=>

BD = 36

33.- Si ABCD es un cuadrado, hallara + P = ?

a MB

D

Resolución.Por la propiedad núm ero 18 del punto 7.6 tenem os : x = 90° En el fci, CEM :

I

a + P = 90^

C

237

238


Ernesto Quispe R.

Miscetártea

Resolución.En primer lugar observamos que AD =2 . BQ y FD = 2 . BF (Propiedad 14(7.6)) =>

FD = 2 . 2

=>

FD = 4

Por otro lado los triángulos EBQ y RED son isósceles, si FE = a Entonces EQ = o + 2 y R E = E D = 4- ü Finalmente :

QR = 4 - o + o + 2 QR = 6

2.- Si ABCD es un romboide con BC = 36; hallar PQ

B

Resolución.-

En primer lugar prolongamos CM y DA hasta N. Ahora observamos que el A MBC

h

En el fcx NFD : 2x = 36 (Mediana)

I

A MAN (A.L.A.), entonces :

BC = NA = 36 jc =

18

Lur Uboldo C.

Cuadriláteros

239

3.-En un trapezoide ABCD, siAB = 2, BC= 10yCD = 4, m4L B = 1 4 3 y m 4 - C = 127;hallar AD

Resolución.-

H

A1 prolongar los lados AB y DC obtenem os el AHD, en el cual BH = 8 y HC = 6. En este triángulo rectángulo tenem os : x2 = 102 + 102 x=\Qj2 4.- En un trapecio ABCD, BC / / AD , se traza la altura CH que intersecta a la diagonal BD en P. Calcular CM, si "M" es punto medio de AP , AB = BD, BP = 1 0 y PD = 4.

Resolución.-

Q

Prolongamos AB y HC hasta "Q". El A BQP resulta ser isósceles BQ = BP = 10 En el A AQP, por el teorema de los puntos medios. mc

=

x

=

m

± iq

x = 12 5.-En un trapecio ABCD, BC / / A ü, AB = AC y CD - 4. Hallar AM, siendo “M" punto medio deBD.

R esolucior Prolongamos DA de modo que AD = AE = n. Pero BM = MD - m por dato, entonces EB = 2x. Por otro lado el A EBA = A DCA (L.A.L), entonces: EB = CD =4

=*

2* = 4 x =

2x / '____

2

6.- En la figura; ABCD es un rectángulo, FE = EC, BE = 13 DE = 5.

y


240

Ernesto Quispe R

Resolución.A1 trazar AC, resulta que AM = MC = a y

BM = MD = 9

=»

a = 9

ED = 5

=*

ME = 4

Pero:

Luego en el fcx ACF, por el Teorema de los puntos m edios : x = 2 (4)

x = 8

7.- En la figura mostrada, ABCD y MNPQ son cuadra dos "M" es centro del cuadrado ABCD. Hallar el ángulo "0"

Resolución.-

B

Trazamos las diagonales AC y BD las cuales se intersectan perpendicularmente.

A

m ¿ AQM = m £ MND = 34°

V

N "oaoVCj, / 6\

/

/ MVnj-----

Ahora observamos que los triángulos AMQ y DMN son congruentes, el caso de congruencia es : (L.A.L) =»

C \

\

D

\3 4 ° \ Luego :

34° + 0 = 90°

Q

e = 56°

AB 1 — ---8.- En un rectángulo ABCD, donde ^ = - j = , la diagonal AC y BM se intersectan en "F"

23

("M" punto medio de AD); hallar FD, si AB = J

Resolución.A1 trazar BD, observam os q u e el punto " F" es baricentro del triángulo rectángulo ABD. Entonces s i :

Finalmente en el x +

I

FE =

FD = x AED |J

=

(V 3

f +

(2 ^ 6 )2

-r

Cuadriláteros

Luis Uboldo C.

D onde:

4

= 3 + 24

=»

241

*2 = 3 . 4 X

= 2yÍ3

9.- En un trapecio ABCD BC / / AD se sabe que AD -B C = 2. A B y m 4 B = 4 . m 4 D . Calcular la m 4- C.

Resolución.D ato:

b -a = 2n

B

a

C

En primer lugar trazamos BE // CD, entonces EBCD es un romboide BC = ED = a. Luego trazamos BF con la condición que el A FBE sea isósceles. Pero el AABF también es isósceles AB = AF = n, pero como FE = n, entonces BF = n.

H=---------------------- b ----------------------

En consecuencia el A ABF es equilátero :

60

Luego :

2a

=>

a = 30°

4

m 4- BCD = m 1 BED = x x = 150°

6

10.- En un trapezoide ABCD, m 4 A = 45° m 4 B = 90° AB = 20 y BC = . Desde "N" punto medio de CD, se traza perpendicular a AB. Siendo MB = 5. Hallar MN.

Resoluciun.En primer lugar trazamos DQ _t_ AB Entonces :

AQ = QD = 10

En el trapecio rectángulo QBCD, MN es mediana. Luego por propiedad :

10+6 x = —y— x —H

11.-En un trapecio ABCD (BC//AD), se traza la altura BH, siendo AH = 2, HD = 9 y BC = 3 y m 4 - A = 2 . m 4 D < h allar: AB.

T

242


Ernesto Quispe R.

B

Resolución.-

3

C

Construimos el trapecio isósceles EBCD, en e! cual EH = QD = 6. Es d ec ir:

*+2

=

6

x =4

__

__

._

12.- En un trapecio ABCD ( B C // AD), se considera el punto F en BC, tal q u e: FC =

.

Se traza BM 1 AC, además "N" es punto medio de AD. Si BC = 4 ,A D = 1 2 ,m 4 - ACD = 90s; hallar la longitud del segmento que une el punto F con el punto medio de M N .

Resolución.-

i 2

i U 1-

Se traza NC y MQ, los cuales son paralelos Pero:

MQ = 2

y

Luego por Propiedad

NC =6 x =

2 + tí

x = 4 13.- En un cuadrilátero convexo ABCD, AB = BC = C D , m 4_ BCA = 31By m 4- ACD = 91s; hallar m 4- CAD.

Resolución.Se construye el triángulo AEC que es congruente al triángulo ABC , luego el triángulo ECD es equilátero. El triángulo AED es isó sceles. m 4 EAD = m 4 ADE = x - 31

Luego:

jc-31 + 182 + jc-31 = 180 =*

2x = 60° x = 30°

14.- En un trapecio escaleno ABCD ( BC H AD) , las bisectrices interiores de A y D se intersectan en un punto de BC; hallar el perímetro del trapecio si su mediana mide 14,5 y el segmento que une los puntos nted os de los lados AF y FD mide 6,5.

Cuadriláteros

Luis Uboldo C.

243

Resolución. En el A AFD, por el Teorema de los puntos m edios: AD = 2 (6,5) y AD = 13 Los triángulos ABF y FCD son isósceles : AB = BF = a

a

FC = CD = b

Por propiedad en el trapecio ABCD : a + b = 16

D onde:

En consecuencia el perímetro (2p) del trapecio ABCD será : 2p = 2 (o + b) + 13 Reemplazando:

2p = 2 (16) + 13 2p = 45

15.- En la figura mostrada ABCD es un rectángulo, "M" es punto medio de a ú ; además se sabe que: AP = 5 , MN = 2. Hallar PC.

Resolución.Trazamos BD, en to n ces:

AQ = QC = n + 5.

En el trapecio rectángulo APDH : 2

2n-5 = —j —

=> 4 + 5 = 2n

Luego :

PC = 2n + 5

Reem plazando:

PC = 9 + 5

2n = 9

PC = 14

16.- En un romboide ABCD se construye exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. H allar: m ¿ MDN

N

Resolución.En el gráfico observamos que los triángulos MAD, NCD y NBM son congruentes. Luego : En consecuencia:

MD = ND = MN x = 60°


244

Ernesto Qulspe R.

17.-En un romboide ABCD, por 3ibaricentro del triángulo ABD se traza una recta secante a AB y CD. Hallar la distancia de “A " a la recta, si la distancia de "C" a dicha recta es 12. Resolución.-

En el gráfico tenem os : E —> baricentro del A ABD F —» baricentro del A BCD En el

ECR, por el T.P.M. :• FQ = 6

Finalmente :

fc. APE =

FQE

x = 6 18.- En la figura se sabe que : BM = MC ; AO - o ; BP = 8 y "O" es centro del romboide ABCD. hallar OR.

Resolución.Se traza CE _Ll a la recta Miora observamos que el entonces PB = EC = 8

BPM =

CEM,

Finalmente en el trapecio rectángulo AQEC: x=

(Mediana del Trapecio)

x = 7 19.- ABCu es un rectángulo cuyas diagonales se cortan en "O", se construye el triángulo equilátero AOM. Si m < ADO = 25-. Ca'cular la m < AMB.

Resolución.En el □ ABCD tenem os : AO - OB = OC = OD y m < OAD = m < ADO = 25°

En el A AOD

m < AOB = 50° (< exterior.)

En el A equilátero AOM : AO = OM = AM y m < AMO = m < AOM = m < OAM = 60°

En el A BOM: m < OBM = m < BMO = 35° * = 25°

M

Cuadriláteros

Luis1maído C.

245

20.- Las distancnt de los vértice A, B, C y D de un trapezoide ABCD a una recta secante a los lados AB y AD son 1, 4, 7 y 5. Hallar la distancia del centro de gravedad del trapezoide a dicha recta.

Resolución E! punto medio "P" de EF es el centro de grave dad del trapezoide; trazamos ES y FT perpendi culares a la recta secante. Luego:

ES = ^

= |

y

C n ¿al En el trapecio SETF

x=

FT = ^

=6

f +6

C TC •v — — (mQediana)

_____________ f m o / l i o r

x = 4,25 21.- En la figura BC / / A D , AB = BP = PD.

B

C

Calcular CP, AD = a

D

A

Resolución.Prolongamos CP hasta cortar a AD en L Luego el cuadrilátero LBCD resulta ser un romboide donde : CP = PL = x y A BAL a A CPD (4*° caso)

BL = CD

=* AL = CP = x y m < PCD = m < ALB = a

Por ángulos correspondientes:

R

r

m < BLA = m < CDL =cc

A CLD es isósceles, entonces : CL = LD = 2x Finalmente:

3x = a

A

x

L a

2x

D

22.- El ángulo A de un romboide ABCD mide 80° Las mediatrices de AB y BC se cortan en "O", punto interior al romboide. Si la m < OAD = 20° Hallar la m < ODC

246


Ernesto Qulspe R.

Resolución.Por el teorem a de la mediatriz : OA = OB = OC El triángulo ABO es equilátero, donde : En el romboide ABCD :

y

rn

< BAO

— rn

< ABO =60°

AO = OB = AB

AB = CD

rn < BAD = m < BCD = 80° m < ABC = 100°

de donde:

rn < OBC = m < BCO = 40° m < OCD = 40°

En el A OCD, isósceles : x + x + 40° = 180° x = 70° 23.- Sobre el lado AD de un trapezoide ABCD se ubica el punto P de tal manera que AB = BP y PC = CDr Si BC = 8 ; calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD sabiendo que BD biseca a AC.

Resolución.Del gráfico: a + G + P = 180° y Prolongamos CN hasta Q tal que :

BN = ND CN = NQ

Luego el cuadrilátero BCDQ resulta ser un rom boide, d o n d e : CD = BQ y EnelAABT:

rn < ATB = m < PDC = P a + P + rn < ABT = 180°

De donde : A ABQ s A BPC (LAL)

m < ABT = G

=* BC = AQ = 8

En el A ACQ :

MN = ^

Q (Base Media)

MN = 4 24.- Externamente a un rombo ABCD se construye el triángulo equilátero BEC. Calcular la m c AED

I

T

ûuarnuiervs

LUISUUUIUUO

¿.‘ti

En el triángulo isósceles ABE : m < BAE = m < BEA = a Luego :

m < EFC = 60 + a

Por ángulos correspondientes: m <

EFC = rn < EAD = 60 + a

En el rombo ABCD :

m < BAD = rn < BCD = 60 + 2a

En el A ECD :

m<

DEC = m « EDC = 30 - a

Finalmente en el vértice E :

a + x + 3 0 - a = 60° x = 30°

2 5 - Sobre los lados AB, BC y CD de un romboide ABCD se construyen exteriormente los cuadrados de centros P, Q y R respectivamente; hallar m 4- OPR.

Resolución.-

„

En el gráfico observamos que el A PBQ s A RCQ (L.A.L) Entonces:

PQ = QR = a m 4 PQB = m 4- CQR = a

Luego :

m 4 - PQR = 90°

En consecuencia:

x = 45°

26.- En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B; M es un punto medio de CD y Ne BC, además AN n BM : P . Si AP = 6 , m 4L BAN = 3Q

y m 4-

CBM = 30s + 6 . Calcular BM

Resolución.-

B

N C

Trazamos AM ; luego : BM = AM = x Además : m 4 MBA = rn 4 MAB = 6 0 -0 m 4 BMA = 60 + 26

A BPA : m 4 MPA = 60 - 0 + 30 = 60 + 20 (4 exterior) A PAM es isósceles.

x =6

60 + 20 36

Problemas de (geometria v como resolverlos

Ernesto Quispe R

27.- Calcular "x"

/}30° V 50b


Se construye el triángulo AEC equilátero : AE = EC = AC = a Al construir el triángulo AFC isósceles, observa mos que éste es congruente al triángulo BEC CA.L.A) Entonces : BE = BC = AF = FC = b Luego el triángulo FBC es equilátero : FB= BC = FC = b Donde CD es mediatriz de BC, entonces el A DBF es isósceles, en donde la m 4 ADB = 40° Finalmente :

x + 40° + 50° = 180° x

= 90°

28.- En la figura mostrada, se sabe q u e: 2AD = 3BC ; BM = MA ; CP ± CD. Calcular x.

Resolución.H acem os: Del gráfico:

HC = 4a

=> AD = 6a

m < MCD = 90 - a

Trazamos la m ed ian a: MN Luego : MN = - a~ a = 5a El triángulo CMN es isósceles : En el k MBC :

2 a = 37°

y m < CMN = 2a

MC = MN = 5o a = ¥

D

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

249

Trazamos MH ± CN , luego : CH = HN = b y ND = 2b En el k. MHN de En el

37

MH = 36 x = 45°

MH = HD

MHD :

29.- En la figura AB < BC ; AM = MC y PM = 5. Calcular MQ

Resoluclón.En los triángulos rectángulos APB y BQC

B

Se trazan las m edianas PT y QK Luego :

PT = TB = AT

< exterior:

m < ATP = 2 a

También :

QK = BK = KC

< exterior:

m < QKC = 2a

TBKM es un romboide entonces : TB = MK ; BK = TM A PTM = A MKQ (LAL)

y

m < BTM = m < BKM = P

x = 5

30.- En la figura ABCD es un rombo. Hallar x, si AP = PD = DO.

Resolución.En el A ADC :a + a + 9 0 + m < QDC + a = 180 De donde :

m < QDC = 90 - 3a

En el A DQC, por < exterior : m < BQD = 90 - 3a + 2 a = 90 - a El A BDQ es isósceles

=>

Por el teorema de la mediatriz El A BPD es equilátero Luego :

a = 15

BD = DQB PB = PD

=»2a + 2 a = 60° jc = 60°


250

Ernesto Qulspe R

31.- En un trapezoide ABC D : m 4 B + m 4- C = 270g; AB = a y CD = b . Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales

Resolución.-

B

En el trapezoide ABCD : a + 6 = 360 - 270 = 90°

nemos : AABD : LQ =^

y

CD A ACD: LP = =.-2

m 4

QLD = a ( ¿ s correspondientes)

b

y m 4 1 PLA = 0 ( 4 S correspondientes)

En el A PLQ :

m 4

L = 90° .2 2 *2 = V4 + ^ r4

Por Pitágoras:

32.- En un romboide ABCD, M es el punto medio de CD; además se sabe q u e : BM _L AB y BH _L AD (H g AD). Calcular la m 4 ADC; si AD = 2 B H .

Kesoluci^n Por propiedad... m 4

ABC

=>

= m 4 m 4

ADC =

x

MBC =

x -

90

flN

Trazamos MN // AD (N en AB)

F a/2

Luego : MN = AD = 2a y BL = LH = |

1 k v i D A H H"---------------- ------2a --------- ---------- «n

En el 6^ NBM : BF ; luego : MN BF = j^ 1 = a y m 4 NFB = 2 (x - 90) En el fc» BLF : BF = 2 BL x = 105°

=>

m 4 LFB = 30 = 2 (x - 90)

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C. 33.- Calcular x, si A3CDE es un pentagono regular.

B

Resolución.Trazamos AD, luego er. el triángulo isósceles : AED m < EAD = m < EDA = 36° De donde :

m < PAD = 30°

Construimos el triángulo equilátero ATD, luego : m < TAP = 30° y

PT = PD

A AED = A < TPD (L. L. L.) => m V EAD = m < PTD = En el vértice D :

36° + 24° + x = 108° x = 48°

34.- En la figura, ABCD es un paralelogramo; se sabe q u e: BC = 20 ; además: AP = P D . Hallar MN

Resolticion.Por T, punto medio de BM y por el vértice D, tra zamos TK y DH perpendiculares a AB ; luego: En el fc, AHD : de 37° y 53° HD = 16 y en el fc, BNM : TK = x/2 En el A BMC trazamos la base media TL Luego :

TL = ^

= 10 A

10

P

10

A TML s A PMD (A.L.A.) => TM = MD = BT \ + 16

En el trapecio rectángulo HKTD :

I

x = — ^— (Mediana del trapecio)

251

252


Luego :

2x =

En consecuencia:

f - . e

Ernesto Qulsue /?.

+16 X =

32

35.- En un trapecio rectángulo ABCD (recto e n A y B ) se cumple: m 4- ABD = 2m 4 BDC; en la prolongación de DC se ubica el punto E, tal que AE _L BD en H. Calcular A B , si la distancia de E a BC es 4m y HD = 12m.

Resolución.En el fei. BAD : =>

m 4 BDA = 90-26

m 4 ADC = 90 - 20 + 0 = 90 - 6

En el A EAD :

m

41 E = 90 - 0

Luego el triángulo es isósceles y las alturas EG y DH son iguales es d ecir: 4+x=12 x = 8 36.- En la figura se muestran los cuadrados ABCD y CEFG; si BG + ED = a . Hallar A F.

Resolución.S ean:

BC = ú

y

CE = b

Luego

AC = d J 2

y

CF = byÍ2

A BCG = A CED (L.A.L.) => BG = ED Pero:

BG + ED = a

Luego : BG = ED = ^ Comparando los triángulos ACF y DCE

I

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

’¿53

37.- En la figura ABCD es un romboide; s iB T = a y TM = b. Hallar AT.

Resolución.Prolongamos BM hasta intersectar en E a la pro longación de AD Luego : A BMC = A DMC (A.L.A.) Entonces

BC = DE y

ME = BM = a + b +b

A ATE es isósceles : x =a+ 26 38.- Calcular la medida del menor ángulo que forman las diagonales de un trapecio isós celes en el cual su mediana es la mitad de una de sus diagonales.

Resolución.Sean las bases del trapecio ABCD Luego su m ediana será

BC = a y AD = b

B

a

C

y sus diagonales :

BD —AC —o + b Trazamos CT // CD (T en la prolongación de AD Luego :

BCTD es un romboide

Donde :

BC = DT = a

y

BD = CT = a + b

Además : m 4I ACT = m 41 AOD = 0 Como el A ACT tiene sus 3 lados que miden a + b ; luego este es equilátero. e = 60° 39.- Del gráfico, calcular x . Si ABCD es un rom boide; además : OP = PD = C O .

B


254

Ernesto Quispe R

Resolución.S¡ ABCD es un romboide, entonces AO = OC y BO = ÜD Trazamos : OH 1 ÁQ Luego; A AQC : OH es base media de donde :

OH-f En el

PHO:

OP = 20H

Entonces :

OPH = 30°

m 4

Finalmente en el A OPD 30° + x + x = 180° x = 75° 40.-En la figura mostrada, se sabe q u e : AC = 25 y MN = 11,5. Hallar 0

Resolución.Prolongamos BA y CD hasta que se intersecten en F ; luego el A CAF resulta ser isósceles va que AD es altura y bisectriz a la vez de donde : AC = AF = 25 En el fci. CBF trazamos la base media DL Luego . DL =

BF

25 + a 2

— , — y DL X BC 25 + a

a +-

En el trapecio ABLD : 11,5 = En el fes. ABC : Entonces : Luego :

m

de donde a = 7

4 BAC = 74° (notable)

0 + 74° + 0 = 1 8 0 ° 2 0 = 106° 0 = 53°

B

N

Cuadriláteros

Lun Ubaldo C.

1.- El cuadrilátero que se determina al unir los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles de diagonales perpendiculares es un: A) Cuadrado

B) Rectángulo

D) Romboide

E) Trapecio

C) Rombo

255

6.- Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza AP (P en BC) de tal manera que : m 4~ BAP = 2m PAD La altura BH intersecta a APen "Q "; hallar : AB, s i : PQ = 20

4

A) 5

B) 8

C) 10

D) 12

E) 116

2.- Las mediatrices de los lados AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersectan en un punto "M" que pertenece a BC. Hallar la m 4 M A D . S i : w 4I B = 110°

7.- En un rectángulo ABCD, del vértice B se traza la perpendicular BF a la diagonal AC, la bisectriz del ángulo DBF intersecta al lado DC en "E". Hallar la m < BEC.

A) 10°

A) 30°

B) 30°

C) 40°

D) 60°

E) 50°

3.- En un cuadrilátero no convexo ABCD^(no convexo en "C ") al prolongar los lados BC y DC intersectan perpendicularmente a los la dos AD y AB respectivamente. Calcular la medida del ángulo que forman las diagonales del cuadrado. A) 60°

B) 40°

C) 80°

D) 90°

E) 100°

4.- En un triángulo ABC de baricentro "G". se iraza una recta secante a AB y BC y perpendicular en "M" a BG. Si BM = 3 y las distancias de A y C a dicha recta son 2 y 16; calcular MG. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 2,5

5.- En el gráfico (,BC // AD) AD = 2 . CD y m 4- CBD =m 4 BDC; calcular x. B

C

B) 45°

C) 60°

D) 53°

E) 37°

8.- La suma de las longitudes de las perpendi culares bajadas por los vértices de un hexágo no regular a una recta exterior es 18. Hallar la distancia del centro del polígono a dicha recta. A) 1

B)2

C)3

D}5

E)6

9.- En un trapecio ABCD se tiene ( BC // A D ), m 4 ABC=2x/?i 4 lC D A ,si: AB + 2.B C = 18. Hallai la longitud de la mediana del trapecio. A) 18

B) 12

C)10

D)9

E)6

10.- Los lados de un rectángulo miden 6 y 8, hallar la longitud de la diagonal del cuadriláte ro que se forma al iintersectarse sus bisec trices exteriores.

A) 10

B, 14

C )1 2

D) 20

E)21

11.- En un cuadraciolABCEK M y N son puntos medios de BC y CD ¿Cuál es la medida del ángulo que forman al intersectar AM y BN ?

A) 90"

B) 70°

C) 60°

D) 50°

E) 75°

12.- En un cuadrilátero ABCD, P y Q son puntos medios de BC y AD, M y N son pun tos medios de AC y BD. Calcular MN. Si 771 4 PNQ = 90° y AB = CD —4-\/2 A) 60°

I

B) 80° C) 90°

D) 100°

E) 105°

A) 1

B) 2

C)V2

D) y¡3

E) 4

256


13.- Las proyecciones de las diagonales de un rombo sobre uno de sus lados miden 1 y 9. Calcular la medida del lado del rombo. A) 8

B)7

C)6

D)4

E)5

14.- En un romboide ABCD, se consideran los puntos medios M y N de los lados AD y BC; AC intersecta a BM y DN en P y Q respecti vamente. Hallar PQ, si AC = 18A) 4

B)6

C)9

D)5

B)6

C)5

D)3

E)1

16.- En un trapecio ABCD : AB // CD , m 4- A= 2. m 4- C, AD = 10. Hal lar la longitud

del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 5

B)6

C)4

D)8

20.- El lado del cuadrado ABCD mide 4. Calcular TC A) 2 B)2V2 C)4 D )4 ^ E)5

E)8

15.- Dado un triángulo ABC, cuyos puntos medios de AB y BC son M y N respectiva mente, se traza una recta exterior tal que las distancias de A, M y N a dicha recta miden 7; 9 y 6 respectivamente. Hallar la distancia del punto medio de AC a dicha recta. A) 4

Ernesto Qulspe R.

21.- Calcular* del gráfico, si ABCD es un cua drado : A) 2 B)3 C)4 D)5 D

E)2,5

22.- Siendo ABCD un romboide, donde OP - 2CD; calcular*. B

E) 10

P C

17.- En un trapecio^rectángulo ABCD, recto en A y B se traza CH _L BD (H en BD), si: m 4 BCH = 2.m 4 BDC y 3 . AD = 8 . CH; calcular la ni 4 BDC. A) 53°

B)37°

C)15°

D) 26° 30 E) 18° 30 A) 10° B) 12°

18.- La base menor AB de un trapecio ABCD mide 5, por A y B se trazan paralelas a los lados no paralelos. Hallar la medida de la base mayor sabiendo que dichas paralelas se intersectan en un punto de la mediana del trapecio.

A) 1

A) 10

B)2

B) 13

C)15

D) 18

E)20

19.- Sobre los lados de un romboide se cons truyen cuadrados. Al unir los centros de di chos cuadrados se obtiene un A) RomboB) Rectángulo D) Cuadrado

C) 15°

D) 18°

E)22°30'

23.- Si el lado del cuadrado ABCD mide v/To; hallar PQ.

C )V 5 D)

n/ÍO

C) Trapecio

E) No se sabe

E)30

D

Cuadriláteros

Luis Ubaldo C.

24.- En la figura. ABCD es un romboide y los triángulos APB, AQD y CRD son equiláteros. Hallar* A) 100° B )W Q 105° D) 120° E)150P A D 25.- En la figura ABCD es un rom boide y m 4 ABE = 100° ; AE = AD y FC = CD. Calcular*.

257

A) 60° B)45° C)75° D)

53°

E)30f

B )135°

30.- Sean los cuadrados ABCD y EFGC, tal q u e: G, E y D son colineales, GE = E D . Calcu lar la m 4 EAD (E es exterior al cuadrado ABCD).

Q 145°

A) 15°

B)30°

D) 155°

D)22,5°

E)26,5°

A) 120°

E) 175° 26.- Se tiene un trapezoide ABCD. tal que : AB = CD = 6 ;m 4 ABD = 75,m 4- BDC= 15. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 6

B)8

C)3

D)4,5

E)9

31.- Dado un rectángulo ABCD (AB > BC) por B se traza la perpendicular a AC la cual interseca en "P" a CD y en "M" a la perpen dicular a BD trazada por D. Las prolongacio nes de DM y BC se intersecan en ”Q". Calcu lar "PM"; si D Q = 17 y BP = 9. A )2

27.- En un trapecio ABCD. (C B //A D )w 4 lB = 4 « i4 :D y 11 AB + 5BC = 5 AD. Calcular la m 4 D A) 18,5

B)22,5

C)26,5

D)30

E)27,5

28.- Del gráfico, hallar PL, si: QL =12 A) 12

B)4

C)6

D)5

E)4V2

32.- En un trapecio ABCD, (AB / / CD); sien do BD su altura. Se traza AM , siendo "M” punto medio de BC, tal que AM = BC; ade más m 4 ADB =m 4 C. Calcular: m 4 MAD. A)45 B)37 C)53 D)30 E)60 33.- En la figura RM = 6 y MS = 1. Calcular BK.

B)6 Q9

C) 18,5°

A> 5

D) 15

B)4

E)13

C)3,5

29.- Calcular * del gráfico, si ABCD es un rombo, A BEC es equilátero y adem as: m < BCT = 2 m < B AE.

D)3 E)2,5

258


34.- En la figura mostrada, SD = 2 (AR).

Ernesto Quispe R.

37.- Si : ABCD es un cuadrado, EF = AB AG = GD; calcular "x"

C alcular:

A 35.- Calcular el valor de a , si AB = CD B

A) 30°

E B) 15°

G C) 45°

D D) 57°

E) 53°

38.- Si ABCD y GFED son cuadrados y AG = 10. Calcular la distancia entre los puntos medios de AE y CG. A) 5 B) 5-Jl

A) 7°30

B) 10°

C )12°

D) 15° E) 18° C) 4 V2

36.- Si ABCD es un trapezoide simétrico, (AB = BC), M, N, L, F y P son puntos medios de AB, BC, CD, AD y BD respectivamente. Calcular x.

D) l0y¡3/2 E) 10V2/3 39.- Si ABCD y EFGH son cuadrados, HG = 2 y GN = V5 ; calcular "EH".

1. C entro:

O

2. R adio:

OQ (OQ = R)

3. C uerda:

MÑ

4. D iám etro:

AB (AB = 2R)

5. A rco:

MN o MQN

6. Flecha o Sagita : PQ 7. Puntos * Exterior:

i

* A ferente: * Interior: 8. Rectas * Exterior: * Tangente:

ü?2

* S eca n te:

^3

(E : Punto de tangencia)

S.2 ÁNGULOS CON KJELAOONA UNA OKI A)ANGULO CEMTRAL

Es aquel ángulo formado por la abertura de dos radios de una circunferencia y viene a ser igual al arco que subtienden dichos radios. ot - m AB

I

... ( 8 . 1)

260

Problemas de Geometría y cónífi resol\erlo\

Ernesto Quizpe R

B, ANGULO INSCRITO Es aquel ángulo formado por dos secantes que parten desde un punto de la circunferencia. a =

m

AB

... ( 8.2)

fig . 8.3 C) ANGULO SEMI - INSCRITO

Es el ángulo formado por un.» tangente \ una cuer da que parte desde el punto de tangencia.

a

=

m

Punto de tangencia

AB ... ( 8 .3 )

D)ANGULO EX - INSCRITO

Es el ángulo formado por una secante y una cuerda

a

=

m A B P ... ( 8 .4 )

Fig. 8.5 E) ANGl'LO ÍN TERIOR

Es el ángulo formado por dos cuerdas secantes de una circunferencia

a

=

m A B + m C D --------------------------------

_ ... ( 8 .5 )

Fig 8.6 F) ANGULO EXTERIOR

Es el ángulo fom iado por las secantes desde un punto exterior a la circunferencia, tenem os:

Circunferencia I

Luis Ubaldo C

1) Angulo formado por dos rectas secantes.

a =-

2) Formado por una secante y una tangente.

a =

3) Formado por dos tangentes.

a =

m CD - m AB

m AB - m ÁC

m AMB-m ÁB

261

... ( 8.6)

... (8.7)

... ( 8.8)

O bservación : Solo para dos rectas tangentes, se cumple que :

a + m AB = 18 0 °

G E N E R A LE S 1£R TEOREMA

"Si en una circunferencia, trazamos dos cuerdas paralelas, estas forman dos arcos congruentes" Si:

ÁB // CD

=>

ÁJC = BD

2°° TEOREMA

"Si trazamos dos cuerdas de longitudes congruen tes, entonces los arcos que subtienden cada uno son congruentes"

----- ' xlE

... (8.9)

262


Ernesto Quispe R

3 er TEOREMA

"En una circunferencia se traza una tangente, al unir el centro de la circunferencia con el punto de tan gencia, ésta caerá perpendicularmente a ella" S i: "M" es un punto de tangencia =»

ÓM

J. £

4TOTEOREMA

____ iA "Si en una circunferencia se traza una cuerda perpendicular a su diámetro, entonces ésta se biseca" Si el diámetro AB es perpendicular a MN : =>

MH = HN

Ademas :

MB s BN

J

Ai

- r~ Hh

.D

i Ftg. 8.11

5T° TEOREMA

"Si por un punto exterior de una circunferencia, se trazan dos tangentes, entonces la bisectriz del án guio formado por éstas coincide con el centro de la circunferencia ” S i : A y B son puntos de tangencia . =*

PA = PB

Fig. 8.12

6T0 TEOREMA

"Si se intersectan dos circunferencias congruen tes, los arcos de intersección son congruentes” Si las circunferencias son congruentes. =>

APB = A©3

Fig. 8.13

1.- Dado el triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro "O", calcular la m j AOC

Resolución.En I.) circunferencia nos dam os cuenta que el : ABC es inscrito, entonces por la relación (8.2): Donde :

ni AC = 2 m X ABC

Ahora :

rn AC = 2 (40")

Luego .

rn AC = 80"

Aprovechando esle resultado diremos que la ni í AO( . por ser un ángulo central, estará dada por la relación (8 l ): m i AOC = tu AC = 80" m 4 AOC = 80" 2.- En la figura mostrada MA = MB, si la rr Y MAB = 75e Calcular la m a B

Resolu<~ion-Si AM = MB, entonces el triangulo MAB es isósceles. Luego :

ni 4 MAB = nt 4- MBA = 75”

En consecuencia

ni ,¡ AMB = 30"

Ahora por ser ángulo inscrito, de la relación (8.2) : AMB =

=* ni AB = 2m

Reemplazando

m AB = 60°

m

AMB

Li #It-OlU 3.- Si la recta "&" es tangentea la circunferencia en "M", calculara la medida de MN.

Resolución.Por ángulos suplementarios : 120° + m 4 NMQ = 180° m 4 - NMQ = 60°

Luego :

Ahora por ser ángulo semi-inserito, em plearem os la re lación (8.3) m 4 . NMQ

= -" iM

!

Entonces :

m MN= 2m 4 - NMQ

Reemplazando :

m MN = 2 (60°) m MN= 120°

4.- Dadas las circunferencias tangentes exteriores, calcular la m 1 p

4

Resolución.Trazamos la tangente “ £ " a las dos circunferencias. Así por la relación (8.2) :

m AT = 144°

Ahora por la relación (8.3) : , m AT 144° m 4- ATQ = -------- = —ir— 2 2

Entonces : m 4 ATQ = 72° Luego

:

m 41

TC

=

2p

a

m 41

Finalmente por opuesto por el vértice :

PTC

=

P

P = 72°

/\ .

Circunferencia 1

Luis Ubalclo C. 5.- En la siguiente figura BC h AD además si m BC = 100a y m AD = 160° calcular la m 4 - AEB

Resolución.Sea la m 4- AEB = a , ahora com o BC Primer Teorema del item 8.3 :

//

AD, entonces del

m AB = m CD = 50°

50° + 50° Luego por la relación (8.5) : a = ----- ^----a = 50° 6.- En el gráfico mostrado la m 4 ACD = 50 m 4 BDC = 20g, hallar "x".

IrO

m o '

§ )

Resoluclón.-

Por ser ángulo inscrito de la relación (8.2), tendremos : m 4■ AD = 2/t? 4 ACD Reemplazando d a to s: m AD =* Análogamente :

= 50 (2)

m AD

= 100°

m BC

= 40°

Por ser 4 APB un ángulo exterior, aplicaremos la relación (8.6) 100o - 40° x = 30°

I

265

266


7.- Si se sabe que A y B son puntos de tangencia, y m AMB = 300° calcular "x" (O—> centro)

# 0 -

y

Io r

-

GO

Resolución.En el gráfico \a m 4- AOB = 60 , luego por ser ángu lo central: m 4- AOB = m AE Entonces:

m AB = 60°

Ahora por ser 4- APB un ángulo exterior, aplicarem os la relación (8.9) T enem os:

60° + x = 180° x = 120°

8 - Si las circunferencias mostradas son de igual radio, donde la m 4. AMB = 30° calcu lar m APB

Resolución.Por ser 4- AMB un ángulo inscrito, tendrem os que : m AQB = 60°

Como las circunferencias son iguales, entonces según el 6'° teorem a expuesto en el item 8.3, se tendrá que : m APB = m AQB m APB = 60°

Ernesto Qulspe R

Circunferencia /

Luis Ubaldo C.

267

S A POSICIONES RELATIVAS EN T R E DOS CIRCUNFERENCIAL a) C ircunferencias Exteriores Si las circunferencias son exteriores el segmento que une sus centros, será mayor que la sum a de sus radios, es d ec ir: PQ > R + r Fig. 8.14

b) Circuí Herencias Interiores Si las circunferencias son interiores, el segmento que une sus centros, será m enor que la diferencia de sus radios, es d e c ir: PQ < R - r Fig. 8.15

c) C ircunferencias Tangentes Interiores Si las circunferencias son tangentes interiores el segmento que une sus centros es igual a la diferencia de sus radios, es d e c ir: PQ = R - r

d) C ircunferencias Tangentes Exteriores En dos circunferencias tangentes exteriormente el segmento que une sus centros, es igual a la suma de sus radios, es d ec ir: PQ =R + r

Fig. 8.17

268

Ernesto Quispe R


e) C ircunferencias Secantes En dos circunferencias secantes, si el segm ento que une sus centros es perpendicular a la cueida comUn, entonces divide a dicha cuerda en dos partes congruentes, es d e c ir: Si:AB : Cuerda Común y PQ 1 AB =>

AH =■ HB

También

R -r < PQ < R + r

f) C ircunferencias O rtogonales En dos circunferencias ortogonales, el cuadrado del segmento que une sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios, es d ec ir PQ2 = Rl + r2 Fig S.l£

g) Circunferencias C oncéntricas Son aquellas circunferencias que tienen el mis mo centro, es d e c ir:

Fig.

1 ra p r o p ie d a d

S i:

PA y PB son tangentes y ±s

PA = PB = R

2D* PROPIEDAD

S i: m

AB = R AB = 60

Luis tibaldo C

Circunferencia 1

269

3 ra PROPIEDAD

Si P y Q son centros com o en la Fig. 8.23 =>

m

A PB

=

m

AQB

=

=>

m

ATO =

m

AQB

= 420°

120°

4™ PROPIEDAD

Si las dos circunferencias idénticas son concén tricas (tienen el mismo centro). =>

AB = CD =

EF

c

5™ PROPIEDAD

Si AB y AC son diámetros se cumple que B, P y C son colineales, es decir, los puntos B, P y C están en una misma recta. ^

6™ PROPIEDAD

r

S i: A, P y B son puntos de tangencia : =>

m 4- a P B

= 90

7 ha PROPIEDAD

S i: "P" es punto de tangencia

m 4-A PB

=

m

A P + m P B

( 8 . 10) Fig. B.27

I

▼

270


Ernesto Quispe R.

8VA PROPIEDAD

S i: AM = MB, P y Q son centros : =>

m 4 PMQ = 90 >’iv. _>.28

9N* PROPIEDAD

Si "P" es punto de tangencia de dos circunferen cias tangentes exteriormente, se cumplirá que : =*

Á B //CD

Fig. 8.2? 10M* PROPIEDAD

Si A y B son puntos de tangencia =*

4 inBA ?r 4 . A B L

fig. 8.30 11 ra PROPIEDAD

Si P y C son puntos de tangencia : =>

4- BPC = 4- CPL

12DA PROPIEDAD

Si AB es diámetro y "Q punto de tangencia =*

4 HQB = 4 BQP

Fig. 8.32

Circunferencia l

Luis Ubaldo C 13 ra PROPIEDAD

Si : M, N, y L son puntos de tangencia y "p" el semiperímetro. >AM = p

BC

BN = p - AC CL = p - AB

9.- Dada la figura siguiente donde A y B son puntos de tangencic, calcular PA, si se curr,ple que: m TQ = 60° y OQ = 3.

Resolución.-

I

Por ángulo central la m 4- TOQ = 60°, luego poi propie dad de triángulos, anteriorm ente estudiados vemos que el A TOQ es equilátero, entonces : OT = OQ = TQ = R = 3 Luego, por la 1ra propiedad del item 8.5, tenem os PA = PB = R

I

I

PA = 3

‘¿71

272


Ernesto Qulspe R


Si unimos los centros de las circunferencias y adem ás estos puntos con A y B, observaremos que dichos seg mentos son iguales uno a uno e iguales al radio de las circunferencias, obteniéndose dos triángulos PAQ y PBQ equiláteros y equiángulos. Entonces : Tam bién:m

m 4 APB = 120°

4 APB = m AQB

(ángulo central)

in AQB = 120° 11.- Si A, P y B son puntos de tangencia, calcula la m 4- APB

Resolución • Al trazar la tangente i? por el punto "P", interceptando a AB en Q, resultando que los triángulos AQP y PQB son isósceles donde : Por consiguiente: m 4-

PAQ = m 4 APQ = a

También :

QPB = m

En el A APB:

m 4

a + a + 0 + 8 = 180°

De donde : Y puesto que :

4 PBQ = 0

a + 0 = 90° m 4 APB = a + 0

171

4 APB = 90°

12.- Dadas ias circunferencias tangentes exterio res y ¡a tangente común AB, sienao M punto medio de AB, calcular "x" (O y O t son cen tros)

Circunferencia I

Luis Ubaldo C.

Resolución.Sea "T" el punto de tangencia de las dos cir cunferencias, al trazar MT, nos dam os cuenta que MO es bisectriz del 4 ATM. m 4 - AMO = m 4 OMT = a

Entonces :

Esto debido al 5to teorem a del item 8.3 De igual manera :m 4 TMO,

=

m 4 Oj TB =

6

x =

Ahora, recordemos que :

2 a + 2G : 180°

También : De donde .

a +8

Finalmente de (1) y (2), concluimos q u e :

x ■

13.- En la figura mostrada, se tiene una semicircunferencia de centro "O"; si T es punto de tangencia, calcular "x".

Resolución. • Trazamos OT perpendicular a Sea:

m 4 OTH = a

=>

m 4 TOH = 90 - a

(propiedad)

Ahora : m 4 TOB = m 4L TB Entonces : m TB = 90 - a

...

(1)

Por ángulo semi-inscrito, tendrem os que : m TB m 4 PTB = 20° = -------

2

Luego :

m TB = 40°

De (1) y (2) : =>

40° = 9 0 - a a =

50°

... (2)

90°

... (2)

273

274


Ernesto Qulspe R.

Por consiguiente, en el triangulo rectángulo BTO, en el ángulo recto T, tendrem os que . a + x + 20° = 90° Reemplazando :

50 + x + 20° = 90° x = 20°

14.- Si P ,O y R son puntos de tangencia, donde AB = 8, BC= 6 y AC = 4, calcular AP.

&

\Q

\ -

«

)\ Resolucion.1er Método :

g

Sabemos que BC = 6, reem plazando i

/ '.

8-- xx f

8 -x + 4 -x = 6

4

P x ~ 3

2do Método :

' ----- ^ A

Aplicamos la 13ra propiedad del ítem 8.5 : AP = p - BC n . Donde

8 + 6 + 4

p = ------^---------------- =» p = 9

Y por dato del problema : BC = 6 Reem plazando:

) \ 4 *x

x /\

AP = 9 - 6 AP = 3

^

^

C

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C

1.- En el gráfico adjunto, ABCD es un cuadrado; hallar "x".

Resoluclón.Trazamos el radio O F, entonces el A FOE es isósceles, en donde los ángulos miden (45°/2) Finalmente en el A AEF :

45° +

45°

=x

x=

135°

x = 67° 30'

2.- En la figura mostrada, hallar "r"; si : BC + AD = 12 y AB + CD = 20

Resoluclón.o + 6=12

Por dato : También :

2r + (o + 6) = 20

Reemplazando (1) en (2) : De donde :

2r + 12 = 20 2r = 8 r = 4

I

... (1) ... (2)

27

¿.io

rrooiemas ae ueomeiria y como resolverlos

tr e s r o u ispei<.

3.- En la figura mostrada, se sabe q u e : A B + BC = A D . Además, si CD = 6, hallar: (R + r)

Resolución.Por el Teorema de Poncelet en el En el

ACD :

ABC : AB + BC = 2r + AC ... (1)

AC + CD = 2R + AD ... (2)

Sumando (1) y (2) :

A

(AB+BC) + En donde por dato :

AB + BC = AD

t

Entonces :

+ CD = 2 (R + r) +

+

6

a

+ AD

CD = 6

= 2 {R + r) + pÓ

R+r = 3 4.- En el triángulo ABC, calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita sabiendo que los segmen tos BQ y RS son congruentes. Además BM = 3

Resolución.Sea V la longitud del inradio del el Teorema de P oncelet:

ABC, entonces por

AB + BC = 2x +AC

4

Pero : AB —o + n ; BC = 3 + m y AC = n + cT+ m R eem plazando: De d o n d e :

a + n + 3 + m = 2x + n + a + m

3 = 2x x - 1,5

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C.

277

5.- En la figura dada, ABCD es un cuadrado tal que AO = OD. Calcular a.

Resolución.EI A AED es equilátero

=>

AD = AE = ED = 2o

El A ABE es isósceles

=>

AB = AE = 2o

El

BAO es notable aproximado (53°/2) : =>

m

41 ABO = 5372 CQO

a + ~

Luego en el A ABE :

= 75° ct = 75° - 26,5°

De donde :

a = 48° 30' 6.- En la figura PQRS es un cuadrado, "O" es centro de la semicircunferencia y PO = OS; calcular: m 4- QOE, siendo Fpunto de tangencia.

Resolución.E1 Üx OES

-» notable (30° y 60°); donde : PQ = OF = OE = 2o (radio de la circunferencia)

El fcs. OQP —» notable aproximado de : 53°/2 Luego :

=> m 4 PQO = 53°/2

127° 2 + x + 60° = 180°

Ahora :

x = 120° -

Donde :

x=

127

240-127

x = 56° 30' 7.- En un cuadrilátero convexo BCDF inscrito en una circunferencia, se prolongan los lados opuestos hasta intersectarse en A y E. ¿Qué ángulo formarán las bisectrices interiores de los ángulos A y E?

278


Resolución.En el cuadrilátero no convexo ABEH :

x=m +0+1

Por otro lado, reconocem os que la : m 4 FDE = 0 A hora:

m 4- BFA = 0 + 2n

En el A ABF : 2m Entonces :

( 4 exterior)

+ 2 0 + 2n = 180° m + 0 + n = 90°

... ( 2)

x = 90°

De (1) y (2) :

8.- En la figura mostrada, se sabe que : AM = 3 y NP = 8. Hallar E F .

Resolución.Por teoría ¿abemos que : NP = NE —> 8 = o + x ... (1) También :

PQ = AB —> 8 + o = 3 + 3 + x ... (2)

Sumando (1) y (2) :

16 = 6 + 2x

D onde:

1 0 = 2x x = 5

9.- En la figura, O y O, son centros, T es punto de tangencia, si PH = 2 ; hallar AQ

Resolución.Trazamos la tangente por "P" a la semicircunferencia de centro "O" Luego trazamos AE perpendicular a dicha tangente y prolongamos a continuación BQ hasta "F". Ahora por el Teorema de la bisectriz de un ángulo tenemos : EP = PH = 2 ; PF = PH = 2 Luego :

EF = AQ = 2 + 2 AQ = 4

Ernesto Qulspe R.

Circunferencia 1

Luis Ubaldn C

279

10.- A partir deI gráfico mostrado, se pide en contrar una relación entre a; b; c y d ( a ; b; c; d son las longitudes de los inradios de los triángulos rectángulos).

Resolución.Por el Teorema de Poncelet en el Ex ABP : PB + PA = 2o + AB También en el

...(1)

CPD

PC + PD = 2 c + CD

Sumando (1) y (2) :

PA + PC + PB + PD = 2o + 2c +AB +CD

Donde : También :

... (2)

AC PB + PC = 2b + BC

... (a)

+ a

Sumando (a) y (P) :

BD

= 2 (o +c) + AB + CD

PA + PD = 2d + AD

... (3)

... ((3)

AC + BD = 2 (£> + d) + BC + AD ... (4)

Observamos que (3) y (4) son iguales : 2(o + c) + AB + CD = 2 (£> + d) + BC + Luego la relación buscada e s:

a

AD

+ c =b +d

11.- En el gráfico, calcular lam 4- DEC, si DC = CB y m 4- DAB = 72-

B

Resolución.A1 trazar AC, resulta que el A ADB es isósceles, ya que es mediatriz. Entonces : m

4

DAC =

m 4

BAC = 36° y

m 4

ABC = 54°

Luego; como el cuadrilátero AECB es inscrito, se concluye que : * = 54°

B

12.- En un triángulo A B C , m 4 A = 2 m 4 C; se traza la bisectriz interior AD, la circunfe rencia circunscrita al triángulo ABD intersecta a AC en "E", calcular E C ; si AB = 7.

280


Ernesto Qulspe R.

Resolución.Se traza BE, entonces el A EBC es isósceles BE = EC = x Se observa que :

m 4 A = rr 4 AEB = 2 a

Entonce^ el A ABE también es isósceles, en donde : AB = BE

/.

x = 7

13.- Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide. Si sus alturas son entre si como 4 a 5, calcular la medida del arco que determina el cuarto lado al intersectar a dicha circunferencia.

Resolución.Sean las alturas:

TQ = 1 0 * y HK = 8 k

Luego* OT = OQ = 5 £ ; OK = 5 k Er el 6^ OHQ : También :

y OH = 3 *

m 4 HOQ = 53° m 4 POH = 53°

Finalmente, por ángulo central : *

= 106°

14.- En el gráfico calcular "x", si "O" es centro y además, OP = PQ. T es punto de tangencia y m 4 OQP = 26-

Resoluclón.Por s e r:

x = m T L ...o )

El A OPQ es isósceles Luego : m 4 POQ = m 4 PQO = 26° El A LOP es isósceles, entonces : 17? 4 OLP = m 4 OPL - 52° OT X i7? (propiedad) entonces OT // LP de d o n d e : 17? 4 TOL = S2°

I

Circunferencia 1

Luis Uboldo C.

Por

4 central :

m TL = 52°

En (1) :

x=

52

x = 26°

15.- En la figura, calcular "x" si "T" y "S" son puntos de tangencia. Además : m DC = 80gy m DS = 40s.

Resolución.Por dato lam DC = 80°, entonces la m 4 CSD = 40° ( 4 inscrito) Luego la m 4- BTS = 40°, entonces la m TS = 80°. El arco TC mide ahora 160°; entonces la m 4 TSC = 80°. Finalmente en el A ATS :

x + 40° = 80° { 4 exterior) x = 40°

16.- En la figura mostrada, calcular "x"

Resolución.Lam AB = 2 . (38) = 76° (4 semi-inscrito) Lam 41 AOB = 76° Pero OM es bisectriz del 4 AOB, entonces la : m 4 AOM

=

m 4 MOB = 38°

Entonces en el triángulo rectángulo ALB la : m 4 OAM = 52° Finalmente en el ALB : x + 52° = 90° x = 38°

I

gj

281

282


Ernesto Quispe R

17. Del gráfico mostrado, calcular "x"

Resolución.En el cuadrilátero inscrito EFCD

m 4 EDC = 80°

En el cuadrilátero inscrito ABCD :

m 4 - BCD = 60°

Luego :

*

x + 60° + 80° = 180°

Donde :

x = 180°-140°

* = 40° 18.- En la figura mostrada, las circunferencias son del mis mo radio, se pide calcular “x", si m AB = 90s.

Resolución.El triangulo EAF es equilátero. El triángulo AFC es rectángulo. Entonces la m 4. EFC = 30“ >la m 4 FEB = m 4 EBF = 15° Luego la m 4 AEB = m 4 AHB = 45° En consecuencia:

x = 45° + 15° x = 60°

19.- En la figura mostrada, se pide calcular xP

Circunferencia I

Luis Ubaldo C.

283

Resolución.T razam o s OT X BC . A hora co m o AB // OT, entonces por ángulos alternos in ternos: 17? 4 - BAT = i7? 4 ATO = 2x. En el A ATO isósceles:

m 4- TOC = 4x ( 4 exterior)

Finalmente en el E¡x OTC : 4x + x = 90°

x =

18°

20.- En la figura, se muestra dos ci cunferencias de distinto radio, se pide calcular xB; si m AB = 58B.

Resolución.Trazamos BC y CH. Ahora si lam 4 BDH = 0, =* m 4 BCH = 0 También la m 4 ACB = 29°

(4 inscrito)

En el cuadrilátero inscrito CEFH :

m 4 HFT = 29° + 0

Finalmente en el A DEF, por el Teorema del ángulo exterior: x + 0 = 29° + 0

x = 29°

21.- En una circunferencia de centro O se traza la cuerda AB. Calcular la medida del arco AB, si un diámetro que divide al arco AB en la razón de 3 a 1, divide a la cuerda AB en la razón de 2 a 1.

Resolución.S ea: Además s i :

m PB = a

=>

m AP —3 a

QB = 2a

=>

AQ = 4a

Trazamos OL X AB, de donde : m AL = m LB = 2a Luego AH = HB = 3a, con lo c u a l: HQ = a (OL n AB : H ) Trazamos QT X OB, luego por el teorem a de la bisectriz : QH = QT = a

I

284


En el triángulo rectángulo QTB :

m

Ernesto Quiste R

4. QBT = 30° 2 a = 60°

En el triángulo rectángulo OHB : Reem plazando:

a = 30° ; 17? AB = 4 a

m AB = 4(30) m AB = 120°

22.- En la figura dada se sabe q u e : m A P + m ñ c = 220°. Entonces se piae calcular la m AQB.

Resolución.En el A EFH, por propiedad en triángulos se sabe que :

Pero por dato : De (1) y (2) : En consecuencia:

a + 0 = 180° + to

... (1)

a + 0 = 220°

... (2)

220° = 180° + o) o) = 40°

Aplicando la relación (8.9), se puede establecer que : o + 17? AQB = 180° Reemplazando - 40° + 17? AQB = 180° m AQB = 140° 23.- En la figura AOB es un cuadrante en donde: MN = 5 y ML = 8. Bajo estas condiciones y las que muestra la misma figura, se pide calculare.

Resolución.Alcompletai la semicircunfeiencia se observa que L,M yCsoncolii íeales, lueg ~>m 4ICLB = 90° Por el teorem a de la meoiatriz :

MC = MB y AC = AB

Luis Ubaldo C

Luego :

A ACM s A ABM ( LLL) =»

m 4- ACM = m 4 ABM= a

Por 4 inscrito : m 4 ACL —m 4 ABL - a Por el Teorema de la bisectriz : \£ ¡t

NL = NT = 3 En el fix MTN, por sus lados es un Liángulo 3 - 4 - 5: Luego en M :

2G + 37 = 180° 6 = 71° 30'

24.- En el gráfico se muestra un rectángulo y en él una semicircunferencia tangente en tres de los lados, de aquel. Bajo éstas condiciones y otras que aparecen en el gráfico, se pide calcular la medida de "x".

B

Resolución.Duplicando la gráfica y com pletando la circunferencia, prolongamos CH, hasta llegar al punto de tangencia "F", de modo que : m 4 BDA = m 4 HCD = 5372.

Entonces la m 4 AEF =

90°

- 45°

En consecuencia, al observar el fex sombreado, se con cluye q u e : x = 45° 25.- En la figura dada, O es centro, la tan gente CP es congruente a CO. De acuerdo con estos datos se pide hallar la m 4 APB.

a

A


286

Resolución.Trazamos el radio OP, reconociendo que: OP _L PC (propiedad) Sea i7? 4- CPQ = a = m 4- CQP Luego en el triángulo tix OPC, m 4 POQ = 90 En el A OPB, isósceles : m 4 OPB —m

4 OBP = 45 + a

En el A OPQ : m Luego

4 ftPO = 90 - a

m 4 APB

:

m

=

90 - a

+

45

+

a

4 APB = 135°

26.- En la figura mostrada : A y B son puntos de tangencia, de dos circunferencias, una de las cuales es mostrada en for ma parcial. Hallar x, si dichas circunferencias son ortogonales.

Resolución.Por propiedad:

OA ± AB y 0]B ± AB

Los triángulos AOP y PO,B son isósceles, luego: m 4 APO - m 4 OAP = a, y, m 4 PBOj =nn 4 BPO,

Por 4 inscrito: m 4 APB = —J Por Propiedad: Pero: Luego :

=x x = a + 0

a + x + G = 90 2x = 90

x = 45°

27.- Hallar "x"; si A, B , C y D son puntos de tangen cia, para las tres circunferencias mostradas.

Erne ;to Quispe R.

Luis Uboldo C

Circunferencia 1

Resolución.Del gráfico observamos que :2x + 6 = 180°... (1) Por propiedad de tangentes :

PA = PC = PB

En el AAPB (isósceles) : m 4 BAP = m 4- ABP = a En el A CPB (isósceles) : m 4 BCP = m 4 CBP = G + a En la figura interior : a + x = ct + 0 + 0 Sustituyendo (2) en (1) : Donde:

=>

0= ^

2x + ^ = 180

|j f = 1 8 0 X = 7 2 °

287

288

Ernesto Qu/spe P.



* = a +0

... (1)

Hacemos : OA = OT = 5r Luego : En el

AB = CD = AH = HD = lOr BAO : m 4L ABO = ^

De donde :

=m 4

OBT

m 4 TBC = 37°

y

m

^

41 TOD = 5?°

Trazamos por T : KM -L BC Luego : En el

OMT de 37° y 53° : TM = 4r y BKT de 37° y 53° :

En el Ex TKC :

OM = 3r

TK = 6r I k = 4r

a = 26,5°

Enel& xTM D:

6 = 1 8 ,5 °

Sustituyendo en (1)

x = 45°

30.- Calcular "x" del gráfico, si A , B , C y D son puntos de tangencia.

Resolución.Por 4 - inscrito: Por Propiedad:

m BD = 4* y i7?

m AC = 6* 4 - BCD = 180-4*

4

17? . ABC = 180-6* En el A MBC : En consecuencia:

* + 1 8 0 -4 * + 180-6* = 180 180 = 9* x = 20°

Circunferencia J

Luis Ubaldo C. 31.- En la figura "O" es centro y MN es mediatriz OT ; hallar x.

Resolución.S ean: OA = OM = OB = R

^ Luego : OQ = QT =

__ y

__

MQ JL OT

En el kx MQO: m 4I QMO = 30° y : En el Ex QOB :

ni 4- AOM = 30° = m AM m 4 QBO = 26,5°

=

De donde resolviendo : x = 11,5° 32.- En la figura se muestra una circunferencia en la q u e . mÁB = 82gy 7 \8 / / CU. Con estos datos se pide calcular x

Resolución.Dado que AB // CD, se puede establecer que m

4. ABC = m 4

Por 4 inscrito

BCD = 0 (altemos internos) m EC = 2x

Ahora :

20 = 2x + m AE

Tam bién:

26 = m AE + 82°

Igualando:

2x + m Á l = rn AE + 82°

De donde :

2x = 82°

* = 41°

26

289

290


Ernesto Quispe R.

33.- Del gráfico mostrado calcular "x", si A y B son puntos de tangencia.

Resolución.-

4

4

Hacemos : m L T = a y m L Q = 6 Luego en el A TKQ : a + 0 + j f = 1 8 O

... (1)

Por 4 - semi-inscrito : m 4- BAS =

~ a

4

m L ABC =

= 6

En el A ABC, por 4- exteuor : x = a + 0 ... (2) Sustituyendo (2) en (1) : x + x = 180 Luego :

2x = 180

x =

34.- En la figura mostrada, m BÑ = 120°, m BP = 40° y BP = MN. Calcular : x

Resolución.Del gráfico deducimos que : m 4 BAC = 90° y m BMN = 60° con lo cual BM y BC son diámetros de las circunferencias.

4

Sean O y Q centros de la circunferencias Luego : MQ = MN = QN = BQ m 4 QBN = 30°

y

m 4 BOP = 40°

El A QBP es isósceles, luego : m 4 BQP = m 4 BPQ = 40°

El cuadrilátero QBPO es inscriptible lu eg o : m 4 QOB = m 4 BPQ = 40°

90°

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C

Para el A MBC, QO es oase media, luego QO // MC x = 40°

Resolución.-

E1A TDK es isósceles :

TD = DK = a

El A BAT es isósceles :

AB = AT = b ... (4L ABT = 4L TKD alternos internos)

Prolongamos OD hasta intersectar a la prolongación de BC en "L", luego : OD 1 TK y CD = CL = b Ya que ÒT 1 \ ü v BC // AD

=>

OS 1 BC

Para el A OBL "T" es ortocentro

=>

LN 1 OB

El cuadrilátero ACLT es un romboide luego : AC // LN x = 90°

291

292

Ernesto Quispe R.


36.- Del grafico; hallar x ( O y 0 1 son centros)

Resolución.En las circunferencias tangentes interiores O y Oj la línea de centros pasa por el punto de tan gencia T y adem ás OT X AB Luego :

OT = OA = 2r

y

m 4- A - m 4 -^ — 45°

En la circunferencia O ,: En el

4

m 1 OCT = 90°

^

ACO de 45°, al trazar CH X AO ; se tiene : AH = CH = HO = r

4 HBC = 18,5°

En el

CHB :

m

En el

Oj OB :

m 4- OBOj = 26,5°

=>

x = 26,5 - 18,5 x = 8°

37.- La circunferencia inscrita en el cuadrante AOB es tangente a OA, OB y AB en los puntos E , F y G respectivamente. BE intersecta a la circunferencia en H . Calcular la medida del ángulo FG H.

Rf-.olución.S ear el radio de la circunferencia m enor Oj Luego en el cuadiado OEOj F : EF = OO, = r j 2 y

m 4 EFO = 45°

En el cuadrante AOB : OG = OB De donde :

r j 2 + r = r + FB

O

I

r

F

r42

B

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C.

=>

FB = r j 2

A EFB es isósceles => m 4- FEB = 22° 30' Finalmente por 4 inscrito . a:

= 22° 30’

Resolución.-

M

Por Propiedad : AK // SL Luego : m 4 BAK = 6 y ML es mediatriz de AK Con lo cual se tiene

:

m 4 BAK = m 4 BKA = 0

Por 4 sem inscrito:

m 4 MKB =

En el feb, MHK :

0

+

0

+

0

0

= 90

e = 30° 39.- A partir del gráfico mostrado, se pide calcular el valor de a .

293

294


Resolución.Por 4 - inscrito

3 a = m CÒ

m CD = 6 a

También :

2a =

m AB 2

m AB = 4 a

2

Por 4 - interior : 90 = Donde :

4a + 6a

90 = 5a a = 18°

Por Propiedad de las tangentes: PA = PB Luego por el Teorema de la mediatriz : OA = OB De donde

:

m 4 - OBA

Y en el A PAB :

=

x y m 4 OAP

=

6

2a + 2 6 + 2* = 180 a +8 + x = 90

...(1)

En la circunferencia de centro "O", se verifica que m MN = 2 x , y , m 4- MQN = 180 - 2a

APQB:

2a + 26 + 180-2* = 180 =>

Sustituyendo (2) en

a + 6 = (1 )

x

: x + x = 90 x = 45°

...

(2 )

Ernesto Quispe R.

Circunferencia 1

295

Se dem uestra que los puntos P, S, y D son colineales, se une “C” con “D” => m 4 ADC

90°

Luis Ubaldo C. 41.- De la figura calcular x, si P, Q, R, Sy T s o n puntos de tangencia.

Reso lución.-

m 4 SCH = m 4 SDH = 30°

El cuadrilátero SHDO es inscriptible Además : m 4 ADP = m 4 ABP = 30° Ahora aplicaremos la relación (8.9) m Q R + 30° = 180° m Q R = 150° Por ángulo inscrito: x = —

^ = 75°

x = 75° 42.- Según el gráfico, calcular el valor de “x". Si m RC = 703, siendo A, B y C puntos de tangencia.

Resolución.-

4

m 1 RBS = 90° (PROP)

Se une “B” con “S" Por 4 sem i-inscrito: Por 4 inscrito: Del gráfico:

m B R = 2x m

4 RSB = x

m RC = m RC' = 70°

Luego por 4 semi-inscrito : m 4 C = 70° Además : En el A PAB :

m 4 A = 70° (PROP) x + x + 70 = 180° x = 55°

296


PRp&L€¡4aS 1.- Si dos circunferencias son exteriores, en tonces el segmento que une sus centros es : A) Menoi que la suma de sus radios. B) Igual a la diferencia de sus radios. C) Menor que el radio mayor.

P

Ernesto Quispe R.

Ipu> u *

5.- Se tiene un triángulo ABC, en el cual la circunierencia que pasa por los puntos me dios de sus tres lados pasa también por el vér tice B. Calcular la m < B. A) 60°

B)70°

C)80°

D)90°

E)120P

D; Mayor que la suma de sus radios.

6.- En la figura, si m AB = 40°. Calcular.*0.

E) Mayor que la diferencia de sus radios.

A) 70°

2.- ¿Cuál o cuáles de las atirmaciones son co rrectas? A) Circunferencias concéntricas son las que tienen el mismo centro. B) El segmento que une los centros de dos cir cunferencias interiores es mayor que la di ferencia de sus radios. C) Dos circunferencias son secantes cuando se cortan en un solo punto D) El segmento que une los centros de dos circunferencias tangentes interiores es igual a la diferencia de sus radios. E) Solo A y D son correctas 3.- En un triángulo rectángulo, los inradios de los triángulos AHB. BHC y ABC suman 12. Siendo BH la altura relativa a la hipotenusa, calcular BH. A) 8 B) 10 Q 12 D) 14 E)16 4.- Calcular*. A) 30° B)40" Q 60° D)70P E)75°

Bj 45°

C)40° Di 50° E)60° 7.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 28 y la suma Je las longitudes de su inradio y circunndio es de 20 Hallar la longitud del otro cateto. A) 12

B) 16

C) 18

D)20

E)24

8.- En la figura dada calcular*0, si AB = B C ; m < BPQ = 50° y m < BCQ = 20°. A) 100°

B

B )110° C)

140°

D) 150° E )120° 9.- Dado un triángulo de lados cuyas longitu des son 8; 15 y 17. Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita. A)1

B)2

C)2,5

D)3

E)4

10.- En la figura, hallar AP, si AB = 5 y BC = 3

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C.

16.- Hallar/?, si BM = 2 y BN = 6

A) 6

A)1

B)8

B)2 Q3

Q 10 D) 12

D)4 E)5

E) 15 11.- Se tiene un pentágono convexo ABCDE circunscrito a una circunferencia. S i: AB + CD + A E= 11 y BC + ED = 7, hallar la longitud de la tangente trazada desde A a di cha circunferencia. A) 2

297

B)3

C)4

D)2,5

17.- En la figura "O" es el centro de la circun ferencia y AM = FM, siendo M el punto de tangencia; calculara. A) 19° B) 15°

E)3,5

12.- En la Figura mostrada calcular.*0.

A) 25° B)2CP

Q 30°

D)50°

F)35°

13.- Las circunferencias ex-inscrítas a los cate tos de un triángulo tienen radios que miden 6 y 8. Hallar la longitud de la hipotenusa del triángulo. AHO

B) 12

C) 14

D) 18

E)25

t8.- En una semicircunferencia de diámetro AC, se inscribe el triangule) ABC; se une los puntos medios de AB y BC con los vértices C y A que se intersectan en los puntos E y F con los lados AB y BC respectivamente, jue go se traza EH y FG perpendicular a AC. Ha'lar la longuud del radio de la circunferen cia inscrita al triángulo ABC, s i : HG = 4 m. A) 1m

C)3 m

D)4m

E)8»i

19.- Calcular*, si BC = BD = AB.

14.- En la figura, calcular \a° +b° +c°.

A )^

A )180°

B)47°

B)225°

045°

C)60°

D)60°

D)50P

E)30°

E)75°

B12».

15.- En la figura, si m APC = 240°, calcular.*“

20.- Del gráfico, hallar *, si m MN = 80°, MO = QN y "O" es centro

A) 45°

A) 10°

p

B) 60° C) 75°

C)30°

D) 30p

D)40°

E) 36°

E)50°

298

Problemas de Geometria y como resolverlos

21.- Calcular 'Y'

Ernesto Quispe R.

26.- En la figura F, M, G y H son puntos de tan gencia. Hallar MC, s i: A F=4, FB = 6 y AM - 8.

A) 45°

A) 1

B;60°

B)2

C)30°

Q3

D)53°

D)4

E)75°

E)5 22.- En la figura es centro, T es un punto de tangencia y m TC = 80°. Calcular*0. A)lff>

B

27.- Del gráfico calcular 0, si T, Q, K y L son puntos de tangencia. A) 30°

B)20p

B)36°

Q3CP

Q 45°

D'40°

D) 53°

E)50° 23.- Calcular*, si O y Oj son centros. A) 22° 30'

28.- Calcular*. A) Io

B) 18° 30’

B)9° Q 15°

C)26°30'

D) 14°

D)30P E)

E)8° 15°

24.- Calcular PH, si AM - 8 J2

A) 4 B)2V2 C)4V2 D)8

29.- En una circunferencia de centro "O" se trazan las cuerdas AB y AC. Sean M^yN los puntos medios de los arcos AB y AC res pectivamente, MO prolongado intersecta en L a la circunferencia. Hallar la medida del án gulo formado por LN y AC, si m AB = 100° y m AC = 120° A) 20°

B)25°

C) 30°

D)35°

E)40°

E)3V2 25.- D el^ráfirc mostrado, calcular la m DEF, si m ABC = 100° A )200° B ) 150° C)90° D) E) 120°

100°

30.- Calcular "*"; si P, R, S, T y M son puntos de tangencia. A) 18° B)30° C)45° D)60° E)36°

TF

Circunferencia 1

Luis Ubaldo C.

31.- En la figura, calculara si m 4 MPF = 80 A)20

299

35.- Si P, Q, M y N son puntos de tangencia y a + 0 = 100. Calcular"*" A) 10

B)25 C)30

B)20

D)40 E)

50

32.- En la figura: A, B, C, D, Nly N son puntos de tangencia. Calcular*, si»? AB -m CD = 110.

C)30 D)40 E)

15

36.- En la figura : AOB es un cuadrante y los cuadriláteros OMNL y LTQK son cuadrados. Calcular*. A) 5o B) 10° C) 15° 33.- En la figura : M, N y L son puntos de tan gencia, calcular m 4- PBN

D) 18°

A) A re sen

E)20°

B)60° C)63° 30'

37.- En la figura : AM - MB y m CD - 80 . Calcular "*"

D)72°

A) 100

E)75° 34.- En la figura: M T= TN, LG = GP y SK = KQ. Calcular*. A)30P B)60° Q 75° D)45° E)53°

B)110 C)

115

D) 120 E) 150 38.- A partir de un punto P, exterior a una circun ferencia se trazan las tangentes perpendiculares PA y PB, luego se traza la secante PMN de modo que m AN = 2 ni AM . Calcular la ni 4 NPB.

300


A) 60° B) 75° C) 53°

D )45°

E) 63° 30'

Ernesto Qulspe R.

43.- En la figuia, AB = 2 MN. Calcular “jc”.

39.- Del gráfko a - 0 = 20°; hallar x. A) 10° B) 20° C)40° D)

30°

E) 36° 40.- Calcular a . si MN = 80°; NC = 120° (AB => diámetro)

E) 53° 44.- Hallar “ jc ” , si m BM = m MC. donde “O” y “N” son centros. A) 60°

A) 20 B) 10 C) 15 D) 12 E) 18 41.- En la figura mostrada, si P y Q son puntos de tangencia y m BC + m FE= 130°, hallar jc .

A

O

N

C

E) 53° 45.- Si ABCD es un cuadrado. Calcular “ jc ” . siendo “M” y “N” puntos medios de CD y AD respectivamente.

A) 20° B) 25° C) 30° D) 80° E) 50°

E) 60°

42.- En la figura mostrada P y Q son puntos de tange.rcia y m QC = 140°. Hallar jc .

46.- Calcular “ jc ” si m AC = 80°. Siendo A, B y C puntos de tangencia

A) 10°

A) 75°

B) 20°

n \ o ro

C) 30° D) 35° E) 25°

E) 105°

A

N

D

9.1 TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la sum a de las medidas de los catetos es igual a la m edida de la hipotenusa más la m edida del diám etro de la cir cunferencia inscrita es el triángulo rectángulo. S i: OF = r, es el Radio de la circunferencia inscrita (Inradio) Entonces se cumple que : AB + BC = AC + 2 r

... (9.1)

9,2 CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO Es aquel cuadrilátero cuyos lados son tangen tes a una misma circunferencia. ABCD: Es un cuadrilátero circunscrito com o el mos trado en la Fig. 9.2, e r el que se cumple : 1) Teorema de Pithot: AB + CD = AD + BC

... (9.2)

2) Las bisectrices de sus cuatro ángulos interiores son concurrentes en el centro de la circunferen cia inscrita.

Fig. 9.2

OBSERVACIÓN : Un cuadrilátero será llamado circunscriptible, si puede circunscribirse a una circunferencia; para que esto suceda, dicho cuadrilátero deberá cumplir con cualquiera de las dos propieda des anteriormente señaladas.

rrupiemus ae ueomerria y como resolverlos

t-rnestn tíuispe R

Se llama así al cuadrilátero cuyas prolongacio nes de sus cuatro lados son tangentes a una misma circunferencia. ABCD: Cuadrilátero ex-inscrito En todo cuadrilátero ex-inscrito se cum ple el teo rema de Steiner, el cual establece que : Osea.

AD - BC =

CD - AB

.. ( 9 . 3 )

OBSFRVACION: Un cuadrilátero se llama ex-inscriptible si se puede ex-inscribii a una circunfe rencia; para que esto ocurra dicho cuadrilátero deberá cumplir con el teorem a de Steiner.

Es aquella circunferencia tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados de un triángulo. La circunferencia de centro "O" es la circunfe rencia ex-inscrita al triángulo ABC y referente a AB. OF : Radio de la circunferencia ex-inscrita (ex-radio) Se cumple q u e : CQ

Donde :

=

CP

= PÁABC

» . ( 9 .4 )

"p" es el sem ipenm etro del A ABC

A ) T a n g e n te s C o m u n e s I n te r io r e s

Dos tangentes com unes interiores a dos cir cunferencias son congruentes: AB

= CD

Fig. 9 . 4

Luis Ubaldo C.

Circunferencia II

3U3

B) Tangentes Com unes Exteriores Dos tangentes com unes exteriores a dos cir cunferencias son congruentes: AB = CD

9.6 CUADRILATERO INSCRITO CÍCLICO Ls aquel cuadrilátero cuyos vértices pertene cen a una misma circunferencia. ABCD: Cuadrilátero inscrito o Cuadrilátero Cíclico AC y BD: Liagonales En todo cuadrilátero inscrito se cumplen las siguientes propiedades: Fig. 9.7

1 ra p r o p i e d a d Los ángulos opuestos son suplementarios. =>

a + 0 = 180

2DAPROPIEDAD Las diagonales forman

a = 0

Fig. 9.9

304


Ernesto Quist >sR

3 ra PROPIEDAD Un ángulo interior es congruente con el opuesto exterior. =>

a = 0

Fig. 9.10

9,7 CUADRILÁTERO HVSCRIPTIBLE Se lh m a así al cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia, para que esto suceda dicho cuadrilátero deberá cumplir con cualquiera de las tres propiedades anteriormen te mencionadas. Los siguientes cuadriláteros son inscriptibles importantes. AC

: Diámetro de la circunferencia que pasaría por sus vértices. Fig. 9.11 a

AD

: Diámetro de la circunferencia que pasaría por sus vértices. Fig. 9.11 b

ABCD: Es un trapecio isósceles y es inscriptible porque : a + 0 = 180

Fig. 9.1 le

3.8 ARCO CAEAZ Como el nom bre lo indica es el arco de la circunferencia que es capaz de inscribir ángulos con gruentes AMB: Arco capaz de todos los ángulos que miden "a"

M /® \

/

cN /

i/a l\

AB : Cuerda capaz A \

Cumpliéndose:

m AMB = 2 (180 - a )

B

... (9.5) Fig. 9.12

Luis Ubaldo C

Circunferencia II

305

1) Los puntos A, E, F, G y B son concíclicos, si pertenecen a una misma circunferencia Fig 3.13a. 2) S; la cuerda capaz Atí es diámetro, entonces se cumple que : a = 90 Fig. 9.13b

Fig. ^.13

9 *

TjbOREATA lili SIMSON

«si desde un punto situado en una circunfe rencia circunscrita a un triángulo se trazar perpen diculares a sus tres lados, entonces los pies de estas perpendiculares estarán contenidos en una misma línea recta llamada recta de Simson» "P" es un punto aferente. PM _L AB , PN -L B C ^ PT -L AC se cumple que M, N y T pertenecen a

(Recta de Simson).

Además si prolongamos PT hasta intersectar a la circunferencia en F, se cum ple que : BF//Í?

9 J . 0 TEA

MA U L VÁGE1

En todo triángulo se cumple que el segmento que une los pies de dos alturas es perpendicular al diámetro de la circunferencia circunscrita i/azada por el tercer vértice. BF:

Diámetro de la circunferencia circunscrita al A ABC

AN y CN . Alturas Se cum ple:

I

MN _L B F

306


Ernesto QuIspeR

3U1 TEOREMA «En todo triángulo se cum ple que la bisectriz de uno de sus ángulos se intersecta con la mediatriz del lado opuesto en la circunferencia circuns crita al triángulo» BF : Bisectriz del ángulo B J?: Mediatriz de AC La intersección de las dos lineas es el punto "F" que está en la circunferencia. Fig. 9.16

OBSERVACIONES: 1) Si m 4-k < 9 0 y m 4IC > 90 , entonces el cuadrilátero A6CD será inscriptible, tal como el mostrado en la Fig. 9.17a 2) Si los ángulos A y C son agudos u obtusos los dos, el cuadrilátero ABCD será un trapezoide simétrico tal com o se observa en la Fig. 9.17b 3) Si m 4 - A = m 4IC = 90, entonces el cuadrilátero ABCD será un trapezoide simétrico inscriptible tal como se observa en la Fig. 9.17c

Fig. 9.17

Circunferencia II

Luis Ubalde. C.

< è | € k c 1 C IO $

u t

u r u t ^ i iO It

307

{» '

1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4, calcular el valor del inradio. R e s o l u c i ó n .B

Sea V la longitud del inradio siendo: AE = 3 y BC = 4 Entonces la hipotenusa m edirá :

AC = 5

Finalmente em pleando el Teorema de P oncelet: 3 + 4 = 5 + 2r r = 1 2 .-Dada la siguiente figura, donde el perímetro dei cua drilátero ABCD es 100. Calcular AD, si BC = 15.

R esolu ción .-

Por Pithot en el cuadrilátero ABCD, tenem os : También por dato :

AB + CD = BC + AD... (1)

AB + BC + CD + AD = 100

... (2)

Reemplazando (1) en (2): BC + AD + BC + AD = 100 D onde: Ahora : Pero por dato : Entonces :

2 (BC + AD) = 100 BC + AD = 50 BC = 15 15 + AD = 50 AD = 35

3.- En la figura mostrada, calcular "r" si AB = 5, AD = 7 y CD = 14.

Ü

308

Probl ’mas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto QuispeR

Resolución.Por Pithot en el cuadrilátero ABCD :

5 + 14 = 7 + BC AC = 13

Lv ABC es notable : Luego por Poncelet en el t x ABC :

5 + 12= 13 + 2r

4.- En la figura mostrada AB = 8 y PC = 5, calcular PB si "P" es un punto exterior a ambas circun ferencias, además O y 0 1 son centros.

Resolución.De acuerdo con la propiedad 9.5A, se puede establecer que : CD = AB Donde: Luego : Entonces :

BC = 12

CD = 5 + J f 5+x = 8 x = 3

5.- En el cuadrilátero ABCD mostrado, se pide calcular "x". s i : m 4- CBD = 2m 4- ABD, además m AD = 100

Resolución.Por ángulo inscrito reconocem os q u e : m 4 ABD = 50°

Dato:

m 4 CBD = 2 m 4 ABD

Reem plazando:

m 4 CBD =

2 (50u)

Donde :

m 4 CBD =

100°

Ahora como el cuadrilátero ABCD es inscriptible por item 9.6.1, ten em o s: x + 10° + 50° + 100° = 180° x = 20°

r = 2

Circunferencia II

Luis UbCido C.

309

6.- Dado el cuadrilátero inscrito ABCD, donde fe m ABC = 140-, calcular 6

Resolución.Aprovecharemos este ejercicio para dem ostrar que : m 4 ABC = 0 Sabemos q u e : Reem plazando: Donde :

m ABC + m ADC = 360°

?40° + m ADC - 360° m ADC = 220° 220°

Ahora por ángulo inscrito:

m 4- ABC = —g—

En consecuencia:

m 4 ABC = 11 U°

Finalmente en el vértice D, se tiene : 70c + 0 = 180° 0=110° 7.- Dados los siguientes enunciados, dncir ¿cuál de ellos es incorrecto? A) Al cuadrilátero inscrito también se le llama cíclico. B) Cuadrilátero ex-inscrito, es aquel cuyas prolongaciones de sus cuatro laaos son tan gentes a una misma circunferencia. C) En un cuadrilátero inscriptible, los ángulos opuestos son complementarios. D) En un cuadrilátero inscriptible, los ángulos opuestos son suplementarios. E) Todas son correctas.

Rpsolución.Por propiedad, item 9.6.1, sabem os que en todo cuadrilátero inscriptible los ángulos opuestos son suplementarios. Entonces la incorrecta es la alternativa "C". 8.- Dados los siguientes enunciados, decir ¿cual de ellos es incorrecto? A) En un cuadrilátero inscriptible, las diagonales forman con los lados cpuestos ángulos congruentes. B) En un cuadrilátero inscriptible - un ángulo interiores congruente con el opuesto. C) Se llaman puntos coi ¡cíclicos, a aquellos que pertenecen a una misma circunferencia. D) El arco de la circunferencia que es capaz de inscribir ángulos congruentes se llama arco capaz E) Todas son correctas.

Resoluciói..Si analizamos los enunciados, nos damos cuenta que todas son correctas, la alternativa es la (E).

310

Proclemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R

&I2-REC LAifAJVXIiliKAiJbjLAi» Las rectas antiparalelas son aquellas rectas que forman con los lados de un ángulo dado un cuadri látero inscriptible. 4 MON: Angulo dado PQ y P F : Rectas antiparalelas. Se cumple que el cuadriláterc ABCD deter minado es inscriptible. Fig. 9.18

OBSERVACIONES

__

>

1) En el A ABC, BF es antiparalela a AB con respecto a los lados del 4 C , cum pliéndose : m 4- BAC = m 4- FBC = a, tal com o o b s e r v a m o s en la Fig. 9. 19a 2) En todo triángulo rectángulo la altura referente a la hipotenusa es antiparalela con âda uno de los catetos.

9.13

j^ROPUSiAPES ESPECLUJSS


Sip es el semiperimetro del triángulo AB(. ,r , rb, r , las medidas de los exradios y V la loi ígitud del inradio. Entonces :

r d=

r a+ r c + r

También :

AC = r a + r c

Y:

ro = P

F&79.2Ó

I

Luis Ubaldo C. 2

da

p r o p ie d a d

Si r3 v r C son las medidas de los ex-radios "M" 4 es el punto de tangencia. =>

AM = r a MC = r

3 ra PROPIEDAD

Si AABC es un triángulo rectángulo y BH es altura: BH = r + r j + r 2

4TA PROPIEDAD

Si BF y BQ son bisectrices de 4- ABHy 4- HBC respectivamente, se cum ple que : PQ = 2r

5TA PROPIEDAD

Si PB y DQ son tangentes com unes interio res y MN es la tangente com ún exterior. =>

MA = CN

Circunferencia II

311

i tu u itzn iL iA u t K jc u n ic tr

iu

y L-urriu r c ó u i v e r i u ¿

CU

K.

6T* PROPIEDAD

Si TB y EF son tangentes com unes exteriores y PQ es la tangente com ún interior: PA = QR

Fig. 9.25 7MA PROPIEDAD

Si P y Q son puntos de tangencia =>

PQ = BC AB

Fig. 9.26 8V* PROPIEDAD

Teorema de Besant : Si AE y BL son alturas y H es el ortocentro del A ABC, se cum ple que : =>

HL = LF

Fig. 9.27 9N* PROPIEDAD

Teorema de Miguel : Si ABC es un triángulo intersectado por dos circunferencias según com o m uestra la Fig. 9.28 D MBLF es irscriptible

Fig. 9.28

Circunferencia II

Luis Ubaldo C. 10MA PROPIEDAD

B

Teorema de Taylor: Si M y N son proyecciones de "H" sobre AB y BC -■>

313

N

EX AMNC es inscriptible

A

H

C Fig. 9.29


Si BC y AD son secantes para dos circunfe rencias com o las mostradas en la Fig. 9.30 =>

AB// CD

I 12DA PROPIEDAD

Si BM es m ediana, BH es altura y : 4 ABH = 4 MBCy m 4 A * m 4 C

=>

m 4L B = 90°

13 ra PROPIEDAD

Si BH es altura y BM es m ediana, tal que : 4 ABH = 4 MBC y el triángulo es oblicuángulo =*

4 A = 4 C

14TA PROPIEDAD

Si BH es altura y BM es m ed ian a tal que : m 4 C = 45 =>

rri 4 A = 45

314


6J€RC!CI0S D€ ¿iPUCACIÓM

( 2 M P o R IÎ

9.- En la figura nnjstrada PB y QD son ¡yentes co munes interiores y MN es tangente común interior, si MA = 2, hallar CN.

Resolución.Sea:

CN = x

=»

QC = x

y

MA = AP = z

En la circunferencia m enor por propiedad de tangentes : AP +PB = AC + CN Luego:

2 + b + c —AC + x ... (1)

En la circunferencia mayor por propiedad de tangentes: b + c + x = AC + c ... (2) Restando (1) - (2) :

2 -x = x -2 x = 2

10.- En la figura si TB y EF son tangentes comunes exteriores y h ü es la tan gente común interior. Si PA = 6, calcu lar QR.

Rfiaoüidón.S ea: QR = RB = x =»

RT = w

Ahora: Tam bién:

y

AP = AE = 6 6 +r = m w =r +x

... (1) ... (2)

Por tangentes com unes exteriores : 6 + m = w + x ... (3)

Ernesto Quìspe R.

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

Sumando (1), (2) y (3) :

\ 2 + w + r + m = 2x + w + r + m x = 6

11.- En la siguiente figura, calcular el valor de PQ, si BC - AB = 3.

Resolución.Por propiedad de tangentes : n + a + a + x = n + x + m + m Sustituyendo :

BE = BD

a=m

Simplificando: En la figura:

BC = n +

Luego :

BC - AB = (n + x + m) - (n + a)

De (1) en (2):

BC - AB =

De este modo :

a

x+m

... (I)

AB = n + a ... (2)

n + x + a-n -a = x

x = PQ = BC - AB = 3

PQ = 3 12.- En la figura mostrada, el cuadriláteroABCD está inscrito en la circunferencia. Calcular '10", s i : m AD = 1009 y m CD = 1209

Resolución.Sea la :

m 4- ABC = a

Ahora :

m ÁDC = 100°+ 120°

De donde :

m ÁDC = 220°

Por ángulo inscrito :

220 °

a = —y - = 110°

B

315


316

¿mes,o Quispe R

Finalmente por la 1ra propiedad del item 9.6, tenem os : =>

110o + G = 180°

a + 0 = 180°

/.

0 = 70"

13.- Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide cuyas alturas miden 8 y 10. Calcular la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado.

Resolución.Trazamos por el centro "O" las alturas MN y HL, donde MN = 10 y NL = 8 A hora:

MN = 2R

=>

2R = 10

Luego :

R= 5

=>

OH = 3

Donde elOhQ es notable de 37° y 53° Y como O H X PQ Ahora:

=>

PH = HQ = | y = 4 A x = 8

14.- En la figura mostrada, calcular "a" si AB = CD. B

Resolución.Trazamos la bisectriz AE y si unimos los puntos E y D, entonces :

B

El cu a d rilá te ro ABED re s u lta se r inscriptible según la 2da propiedad del item 9.6, dado que : m 4 - BAE = m 4 - DBE = a

A

D

De esto se deduce que : BE = ED , así el triángulo BED es isósceles En el triángulo ABD por ángulo exterior: m 4 BDC = 6 a

=* m 4 EDC = 5 a

1

C

Luis Ubaldo C.

Circunferencia II

317

A ABC = A EDC (L.A.L.) En el triángulo ABC : 2a + 5a + a = 180° De D onde:

8 a =180°

a = 22,5°

15.- En la siguiente figura, se sabe que la m BDE = 200° calcular 'B "

Resolución.Del gráfico a y 0 son complementarios, entonces : a + 6 = 90° ... (1) Por ángulo inscrito, tenem os : m AE= 2a Por consiguiente :

m AB = 2a 200°

En la circunferencia: 2a + 2 a + 200 = 360 De donde : Reemplazando (2) en (1) :

a = 40o— (2) 40 + 0 = 90° e = 50°

/ /

318


Ernesto Quispe R

M isce lá n e a

8

1.- En la figura AB = , BC = 11 y CD = 10, además "O" es centro de la circunferencia mostrada. Hallar el inradio del triángulo AMO, si además se sabe q u e: AO = 5


Por el Teorema de Pithot, en el □ ABCD : 8 + 1 0 = 1 1 + AD

=>

AD = 7

□ OSDM es un cuadrado, donde : OS = OM = MD = SD = R Además: En el

AM = 7 -R

...(1)

AMO, por Poncelet: AM + MO = AO + 2r ... (2)

Reemplazando (1) en (2) : 7 -R + R = 5 + 2r r = 1

Hallar el inradio "r".

60° Resolución.Enel

ABC:

m 4. A = 60° m §N = m NC = 60°

Del gráfico: Por inscrito:

m 4- BCN = m BN = 30°

En el

NMC de 30° y 60° : MC = 3^3 y BM = 3>/3

En el

ABC de 30°y 60°:

Luego por Poncelet:

AB = 6

y AC = 12

6 + 6>/3 = 12 + 2r

r = 3 (V 3 -1 )

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

319

3.- .~'or el incentro "f" de un triángulo rectángulo ABC se traza ED //A B ( E en AC y D en BC) y GF / / BU (G en AB y F en AC). Las circunferencias inscritas en los triángulos A G F y EDC tocan a AC en P y Q, si los radios de estas circunferencias miden 3 y 5.

Resoluclón.Por propiedad de las tangentes : AP = AT = o , CQ = CS = 6 Además : TG = 3 y

DS = 5

También : BG = BD = r (inradio del triángulo ABC). En el

ABC, por p o n ce le t: AP¡ + BC = AC + 2r

a + 3 + r + r + 5 + b = a + x + b + 2r

x =8 4.- A partir del gráfico adjunto calcular x , s i : AB = 2 B H .

Resolución.S ea:

BH = o

=>

AB = 2o

Prolongamos BH hasta M de modo que : BH = HM = o Luego los triángulos ABM y BCM resultan ser isósceles d o n d e : m 4-

BAM =

m £

AMB = S0°

y

m 4- CBM = m £ CMB = 25°

El cuadrilátero ABCM es inscriptible ya que : m

4. ABC + m £

AMC = 180 x = 50

5.- Sobre e l lado AD de un trapezoide ABCD. se considera el punto P , tal que : m 4 PBC = m 4- PDC y m L PAB = m L BCP, luego se trazan BE y CF perpen diculares a AD. Si E F = a , hallar AD.

4

4

320


Ernesto QuIspeR

Kesolucion.Trazamos CQ de modo que : m 4 CQD = m 4 CDQ = 6 Luego el A QCD es isósceles, por lo c u a l:

QF = FD

Reconocemos que el □ QBCP es inscriptiole, m 4- BCP = m 4 BQA = a De donde :

AE = EQ

Del gráfico:

AD = 2(EQ + QF) EQ + QF = a

Pero:

AD = 2a

6.- En la figura mostrada se sabe que : MN = 15 Calcular x

R esoludón.Por el Teorema de Foncelet:

ABC:

También :

ATB: AT + 3 + MB = AB + 6

... ( 2)

BKC: BN + 4 + KC = BC + 8

... (3)

Por consiguiente:

i

AB + BC = AC + 2x

-(I)

Sumando (1) + (2) + (3) convenientem ente : (AT + KC) + (MB + BN) + 7 = 6 + 8 + 2* + AC... Pero:

MB + BN = MN = 15

Y : OB = = AT^ KC ; ó AC = AT + KC... (2) De (1) en (2) : AC + 15 + 7 = 14 + 2x + /kC x = 4 7.- En un cuadrilátero inscrito ABCD las diagonales se intersectan perpendicularmente en H. Se trazan HP, HQ, HR y H f , perpendiculares a los lados ~AB, BC, CD y AD respectivamente. Si PQ = 7, QR = 11 y RT = 9; hallar PT.

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

321

Resolución.En el cuadrilátero inscrito ABCD : m 4 DBC = m 4- DAC = a Reconocemos que : □ PBQH y □ APHT, son inscriptibles; luego m 4 HPQ = m 4 HBQ = a y m 4 TAH = m 4 TPH = a t,

Para el cuadrilátero PQRT, PH es bisectriz del 4 P> análo gamente y por el mismo procedim iento anterior dem ostra remos que QH, RH y TH son bisectrices de Q, R y T respec tivamente, de donde el □ PQRT resulta ser circunscriptible por lo cual aplicamos el Teorema de Pithot. * + 11=7 + 9

x = 5

8.- En el gráfico mostrado; hallar "0 " Resolución-Trazamos labisectrizdel 4IBAC, de m odo que intersecte a la prolongación de DC en T, luego el □ ABTD es inscriptible de donde : m 4 ABD = m 4 ATD = 0 Para el BAC, AM es m ediana y bisectriz, luego también es altura, es decir AM X BC. Para el Eìx BTr , TM es mediana, luego : En el

TMC :

BM

MC

20 = 90 0 = 45°

9.- Se tiene el triángulo isósceles ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco ÁB, se ubica el punto P tal que P A = 2 y PB = 5. Calcular PC, si (AB - BC) y m A = 53g)

Resolución.Trazamos BQ (Q en PC) con la con dición : m4 BQP = 53” Luego PB = BQy4l PBAs 4 QBC. A APB s A BQC (L.A.L.) =>

I

AP = QC = 2

322


Ernesto Quispe R.

En el triángulo isósceles PBQ trazamos la altura BH , lu e g o :

PH = HQ = 3 y PQ = 6

Del gráfico:

PC = 8

PC = 6 + 2

10.- Un trapecio rectángulo ABCD es recto en A y B. Si los inradios de los triángulos ABC y ACD miden 3 y 5, hallar BC (AC ± CD)

Resolución.Por el teorem a de P oncelet: En el

ABC:

AB + * = AC + 6

...(1)

En el

ACD : AC + CD = AD + 10 ... (2)

Por el teorem a de Pithot, en el C\ ABCD : x + AD = AB + CD ... (3) A

Sumando las expresiones (1) , (2) y (3) : frÚ + Á<^ +

£0+ 2x + £ d ,=

En consecuencia:

+

16

2jc = 1 6 X= 8

11.- Calcular x del gráfico.

Resolución.Construimos el triángulo BPI? congruente al triángulo BCD. ReconocU ndo que : OC - OP = OB concluimos que BD es mediatriz de CP. Luego : m 4- BPD = m 4- BCD = x + 2a Además:

m 4 OPB - m 4 OBP = x

El E \ ABDP es inscriptible entonces : m 4 DAP —m 4 OBP = x En el □ ABOF¡ AO es bisectriz del 4 A y BO = OF¡ luego por propiedad dicho cuadrilátero es un cuadrilátero inscriptible tipo trapezoide si m étrico.

Circunferencia II

Luis Ubaldo C

Luego

aO

323

es mediatriz de BP, de donde BC = CP y el A BCP es equilátero :

2x = 60 x = 30° 12.- En la figura mostrada, se sabe que : BNr=

2J2 y

Al = IB .

Hallar la medida de MA.

Resolución.Trazamos PS // MN, luego el ZI\ SABP es un trapecio isósceles De donde : AS = PB y Además: m

4

m 4 SAM = m 1 PBN = [3.

SI = IP

4 1SP = m 4- IPS = a

y m 4- MIS = a

Por 4 inscrito: m 4- SQT ~m 4 SPT - a E \ MQIS es inscriptible dado que : 4IMQS = 4 MIS Por 4 inscrito: m 4 IMS =m 4 SQI = 0 Como MN // SP entonces se cumplirá que: m 4 lM N P = m 4 lS P L = e Luego :

A MAS = A BNP (ALA) jc =

2V2

13 - Calcular x, si m ÁD + m BC = 64B Además ÁB / / DC

A

T

O

P

B

324


Ernesto QulspeR.

Resoluclón.Por Propiedad: m 4 ADT = m 4- PCB = 45° Al completar la circunferencia, las prolongaciones de DT y CP se cortan en el punto E que pertenece a ella. Poi 4- inscrito: m 4 DEC =

... (*)

Pero : m AD + m BC + m DC = 360 - 180 => Y en (*) :

m AC = 116° m 4 DEC =

= 58n

E nelA T FP.

a + 6 = 122°

EnelA Q RL:

a + 0 -fjr= 1 8 O °

=>

h

1 2 2 + * = 180 x = 58°

14.- Un triángulo ABC, recto en B se inscribe en una circunferencia; PQ intersecta a AB e n M y a BC e n N . S i P y Q son puntos medios de los arcos A B y BC respectivamente, hallar la razón entre los inradios de los triángulos ABC y M BN.

Resolución.Observamos que los cuadriláteros INQC y APMI son inscriptibles, de d o n d e : m 4 AMI = 90° y m 4 INC = 90°

El cuadrilátero MBNI es un cuadrado cuyo lado es el inradio V del Luego :

MN = r j 2

En el Ehi MBN de 45° , por P oncelet: r + r = rJ

Ahora:

2+ 2x

r (2 - J í ) = 2x L = 2 x 2 - J

2

- = 2 + J2 x

2 + J2

2+ J 2

ABC

Luis Uboldo C.

Circunferencia II

325

1 2

15.- Del gráfico, calcular x , si 0 y 0 son centros de dos circunferencias y Tes punto de tangencia.

Resolución.En la circunferencia 0 2: m 4 TQL = m TL = 45° y com o m 4 AQL = 45°, por Propiedad se tiene que A, T y Q son colineales . Análogamente deducimos que los puntos P , Ty B son colineales pues m 4 APB = m 4- APT = 90° Diremos que el cuadrilátero APQB es un trapecio isósceles porque AQ = PB. Luego : m AP = m QB = 45° Por 4 inscrito m 4 PQA = =» x = 45° + 22° 30'

- = 22° 30' x = 67° 30'

16.- En la figura A, B y L son puntos de tangencia, O es centro y m AB = 148. Calcular x.

Resol» ción.-

m4Q

Por Propiedad : m 4 TOR = 90 + ---- -— = 106° Luego por suplem ento :

m 4- KOR = 74°

□ TASO y □ OKBR son inscriptibles, de donde : m 4 TSO = 90°

y

m 4 OKR = 90°

Además : m 4 SAO = m 4 STO = 1 6 °

y

m 4 KBO = m 4 KRO = 16°

□ TSOL y □ OKRL son inscnptibles : =»

m 4 STO = m 4 SLO = 16°

y

326

Problemas de Geometría y romo resolverlos m 4 OLK = m 4 ORK = 16°

Luego:

x= 16°+ 16°

/.

x = 32°

17.- Calcular x, si AM = MC en el triángulo mostrado.

Resolución.Trazamos la mediatriz MN de AC Luego en el triángulo isósceles ANC: m 4. NAC = r r ¡ 4 NCA = 35"1

y

m 4 ANM = m 4 MNC = 55°

El cuadrilátero MNBC es inscriplible (2° Prop.) x = 55° 18.- Del gráfico mostrado, si AB es diámetro se pide de terminar el valor de "x".

Resolución.El cuadrilátero inscrito APQB:

m 4 PAB = m 4 CQB = 6

(Propiedad de Cuadriláteros inscnptibles) A dem ás: m 4 AQB = 90° En el cuadrilátero inscrito AEMB : m 4 EAB = m 4 BMC = 0 (Propiedad de Cuadriláteros inscriptibles) El cuadrilátero QMCB es inscriptible ya que : 4 BQC = 4 BMC x = 90°

Ernesto Qulspe /?.

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

327

19.- En ¡a figura mostrada se sabe que : A E= TF y O es el centro de la circunferencia; con ios datos indicados, hallar x .

ReLclución.Y aque:

EA =TF

=*

PF// AT

Luego . m 4 FPA = m 4 TAR = 45°

m AT

=>

=

90° ( 4 - semi - inscrito)

Al trabar la bisectriz P O , se tiene : m 4 - SPO = m 4 OPA = 4 5 -0 m AS = 90 + 2 0

De donde :

Por 4 inscrito : m 4 STA = EnelASOT:

=45

+

0

m 4 OST = m 4 OTS = 0

De ello deducimos que el cuadrilátero PSHO es inscriptible x = 90 ° 20.- Hallar la niedida del ángulo que forman las diagonales de un cuadrilátero circunscriptible ABCD, si los inradios de los triángulo ABCyADCson congruentes. Además: m ABC = m 4 ADC = 90

4

Kesoluciun.Empleando el teorem a de Poncelet en el

ABC :

a + b = AC + 2 r ... (1)

Y en el

ADC :

D e ( l) y ( 2 ) : Por el teorem a de P .thot: Sumando (3) y (4) : En (3) deducimos que :

c

+ d = AC + 2r ... (2)

a+b = c+ d

...(3)

=b +d

... (4)

a +

c

2a = 2d

=> a = d b = c

De donde el cuadrilátero ABCD es un trapezoide simétrico :

x = 90

328


Ernesto Quiste R.

21.- En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH relativa a la hipotenusa; si los inradios referentes a los triángulos AHB, BHCyAB C miden a, b y c respectivamente, se pide calcular BH.

Resolución.Aplicando el Teorema de Poncelet en : fc, ABC: AHB .

AB + BC = AC + 2c ... (I) AH + BH = AB + 2a

... (2)

BHC: BH + HC = BC + 2b

... (3)

Sumando las expresiones ( l) (2) y (3) 2BH +

^

+ 2(a + b + c)

=>

2 BH = 2(a + b + c)

BH = a + b + c

1

22.- Dos circunferencias tangentes exteriores de centros 0 y 0 son tangentes a los lados de un triángulo rectángulo ABC. Los puntos de tangencia en la hipotenusa A C son P y Qe n AB, TenAB yK e n BC . Si BT=PO y BK=a, hallar el inradio del triángulo ABC (BK>BT)

R esoludón.Aplicando la propiedad de las tangentes tenem os : AT = AP = m

y

CK = CQ = n

Sea «r» el inradio del fex ABC Luego por Pon«_elet: AB + BC = AC + 2 r ... (*) Pero:

AB = p + m

;

BC = a + /?

y

AC = m + p + n L u eg o e n (* ): p + m + a + n = m + p + n + 2r a

23.- Hallarla longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos ex-radios referen tes a los catetos miden y

8 10

Resolución.Trazamos'PE , PT , QF j QK Luego □ PEBT y □ BFQK resultan ser cuadrados D onde: PE = PT = BE = r y BF = QK = QF = ro

I

Circunferencia 11

Luis Ubaldo C.

Aplicando la propiedad de la circunferencia ex - inscrita en el EK ABC:

329

CE = BC + rc = p ... (1) AF = AB + r a =p... (2)

Sumando (1) y (2 ): AB + BC + r , + rQ = 2p Sustituyendo 2p :

AB + BC + ra + rc = AB + BC + x

Para el p roblem a:

x = 8 + 10

=»

x = rQ+ r ... (Propiedad)

Jt = 18

24.- Demostrar que en todo triángulo rectángulo la longitud del ex - radio referente a la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de los ex-radios referentes a los catetos y del inradio.

Resolución.Sea
Luego PBQO es un cuadrado, donde : Pero por propiedad en el

ABC : h =

Por Poncelet : =>

BP = BQ = p

AB^BC+AC

...(1)

AB + BC = AC + 2r

AB + BC + AC = 2 (AC + r)

...

(*)

Luego en (*) : AB + BC + AC = 2 (ro + r. + r ) ... (2) Reemplazando (2) en (1) : r. =

+

+ ^

r b, —r a + r c + r

25.- En un triángulo ABC se ha trazado la altura BH, luego HN X AB y HM 1 BC. Si í p 4. AMN - 20, calcular la m 4_ NCA.

Resolución.En el Luego :

B

BHC , sea : m 4L BCH = 0 m 4- BHM = 0

En el cuadrilátero inscriptible NBMH , por 2da propiedad: m 4- BNM = m 4 BHM = 0 El cuadnlátero ANMC es inscriptible ya que : m 4 BNM = m 4 ACB = 6 x = 20

330

Problemas Je Geometría y cómo resolverlos

Ernesto QuIspeR.

26.- Un triángulo ABC se encuentra inscrito en una circunferencia: la prolongación de la altura AH corta en F a la circunferencia; luego se traza FP ± AC . Calcular la m 4 HPF, si m 4- ABC = 4m 4 HPF

Resoluclón.m 4 HPF = x

S ea:

=»

m 4 ABC = 4x

En la circunferencia, por 4 inscrito: m 4 BAF = m 4 BCF En el cuadrilátero HFCP inscriptible, tendrem os : m 4 HCF = m ^CHPF = x

=»

m 4 BAH = x x + 4x = 90°

En el fc, BHA: Donde :

5* = 90° x = 18°

27.- Del gráfico mostrado, calcular x, si además se sabe que : AM = MC

Resolución Trazamos la mediatriz de 5C la cual intersecta a BC en N. Luego :

m 4 ANM = m 4 MNC = 70

Por lo cual el cuadrilátero ABNM es inscriptible: C om o:

m 4 NAC = 20°

=»

x = 20°

28.- Calcular x, si O es centro de la circunferen cia mostrada.

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

331

60°

Resolución.Del gráfico observamos que : AE // PN => m AM = m MB = m AE - m EN= 60°

m B N = 120° De donde BE es diámetro : BE = 2R En el ^

EAB de 30° y 60° : AB = R j3

En el triángulo equilátero APB : PA = PB = AB = R J3 APBN: isósceles => PB = B N =/?V 3 BF = FN = ^ V 3

De donde :

PG = GB = ^ V 3

Sea "G" el punto medio de PB GBO =

FNE (L.A.L.)

m 4 GGB = m 4 FFN = G x + 120°= 180°

Por dicha razón el cuadrilátero PEFB es inscriptible

x = 60c 29.- Del gráfico mostrado, h jiia r x , si BM - MC

Resolución. Prolongamos PM hasta Q de m odo que : PM = MQ Luego PBQC es un romboide, donde : m 4- BCQ = a

y m 4- CBQ = x

Dado que :m 4 BAQ = m 4 BCQ, concluimos que el cuadrilátero ABQC es inscriptible x = 25°

I

B

332


Ernesto QuIspeR

1

30.- Calcular x, si O y 0 son centros.

Resolución.Trazamos CT y CB L uego: m 4 ABC = 90° En el □ inscriptible TBCH : m 4 TCB = x Trazamos ET, luego en la circunferencia m e n o r: m 4- ETC = 90

y

Por 4 inscrito:

m 4 ATE

=x

m 4 TCE

=x

x + 2x = 90°

En el fcx ABC :

x = 30° 31.- En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD de modo que : AB = C D , m 4 ABD = m 4 BAC = 4 m 4 DBC. Hallar la m 4. DBC

2

Resolueimi.Hacemos que : m 4 DBC = a Según d ato s:

m 4 BAC = 2 a y m 4 ABD = 4 a

Trazamos la bisectriz interior AE, lu eg o : m 4 BAE = m 4 EAC = a

El O \BED es inscriptible, de donde : m 4 BDE = a A ABE = A EDC (LAL) : En el A ABC : Donde:

AE = EC

=»

y

BE = ED

m 4 BCA = a

2 a + 5a + a = 180° 8 a -^180°

/.

a = 22,5°

3 2 En un triángulo rect inpujo ABC, recto en B se traza la altura BH. Sean M y N los puntos medios de BH y HC respectivamente. AM prolongado intersecta en l a üÑ; calcular la m 4 ATH, si m 4 ACB = a

Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

333

Resolución.En el

BHC, reconocemos que MN es base media

Luego MN es paralelo a BC y al prolongar NM. ésta intersecta perpendicularm ente en L a AB Asimismo :

m 4 LNA = m 4- BCA = a

En el A ABN se observa que M es su ortocentro Luego AT es altura, por lo tanto AT ± BN En el cuadrilátero inscriptible HMTN : x

=

a

33.- La figura ABCD es un cuadrado, ademas se sabe que : TM = M K . Hallar : x

Resolución.La diagonal AC forma 45° con AD y CD respectivamente Al trazar TF y KE se determ inan los cuadriláteros inscriptibles ABFT y EBCK (-£TBF s 41FAT) Luego .

m 4- BFT = 90°

y

m 4 BEK = 90°

En el A TBK : KE y TF son alturas y en consecuencia el cuadrilátero TEFK es inscriptible a una circunferencia de centro M. Luego x = m EF (4 central) Pero:

45 =

{4- inscrito)

* = 90°

w

334


34.- A partir de los datos del gráfico mostrado, se pide calcular 6

Resolución.Trazamos AP de m odo que BD sea su mediatriz Luego :

DP = DA ; BP = BA ; TA = TP y

m 4 PDT = m TDA = 30

A BPD = A BAD (LLL) => m 4 BPD = m 4 BAD = 130 El □ BPCD es inscriptible =>

=*

m 4- PCB = 30

y

m 4- CPD = 0

A TPC —ATCD

(4to caso)

m 4 PTC = m 4L

CTD = 60

A PTC:

60 + 40

+ 8 0 = 180

0

=

10°

35.- A partir del gráfico mostrado, calcular x.

Resol ución.En la prolongación de CB ubic am os el pun to M de modo que m 4 MAB = 30 , para formar asi el triángulo isósceles AMC Donde : AM = MC = o Trazamos MT _L AB (7 en AD) Se forma el triángulo equilátero AMT Donde : AM = MT = a m 4 AMT = m 4 ATM = 60°

Ernesto Qulsi e R.

Circunferencia 11

Luis Ubalco C.

335

Además com o AB es mediatriz de HT, se tiene que : BM = BT El A TMC es isó sceles:

m

4. BMT = m 4

BTM = 60° - 2a

m 4- MTC = m 4- MCT = 60° + a ;

m 4 BTC = 60° + a - (60° - 2a) = 3a

Eli cuadrilátero TBCD es inscriptible Finalmente en el A OBC :

y

y =>

m 4 ACT = 30 m 4 CTD = m 4 DBC = 60 - a

x = 60° - a + 30 + a

x = 90°

0

3 6 - En un trapezoide ABCD: m 4- B A C = 2 m 4 BDC=20S m 4 DBC- 309y m 4 BDA = S 9. Calcular la m ACD

Resolución.Trazamos DM de modo que ni 4 MDB = 10° Luego el cuadrilátero AMCD es inscriptible De acuerdo con la 3ra. propiedad : m 4 BMC = m 4 ADC = 60° y m 4 AMD = x

Trazamos Ch _L BD (H en DM) Luego, el triángulo HBC es equilátero Donde :

m 4 BHC = m 4 BCH = 60°

El cuadrilátero MBCH es inscriptible pues : m 4 BMC = m 4 BHC = 60°

=>

m 4 CMH = m 4 HBC = 60°

Finalmente en el punto M : 60° + 60° + x = 180° x = 60° 37.- En un cuadrilátero inscriptible ABCD, M es punto medio de AD, m 4 BAD = a y m 4 ADC = 0 . Calcular la m 4 BMC, si a > 0 y BM = M C .

Resolución.Ubicamos el cuadrilátero ABCD en la circunferencia corres pondiente . A continuación trazamos AT // BC , resultando el trapecio isósceles ABCT. Donde :

AB = CT , m 4 BAT = m 4 ATC = 0

Luego se verificará que :

AABM = AMCT


336

=>

EriiesfoQuIspeR

AM = MT = MD

Esto significa que «M» es el centro de la circunferencia , de donde : AM = BM= MC = MD En el &AMB isósceles se verifica que :

m .4 ABM = a

Además :

m 4- AMB = 20 - x

Luego :

m 4 AMC = 20

y

20 - x + a + a = 180

x = 2 (a + 0) -180°

38. En un triángulo ABC, se traza ¡a ceviana BD y a continuación CF perpendicular a la prolongación de BD. Si AB = 2BF, m 4- C = 2ct, m 4 ABD = 4 u y m 4 EBC = 4 5 - a ; calcular a

Resolución.Prolongamos BF hasta L, tal que :

BF = FL = o

Luego el A ABL es isósceles , donde : m 4- BAL = m 4 BLA = 90 - 2a

De este m odo el ABCL es isósceles . =>

m4

CBL = m 4 CLB = 45 - a

El cuadrilátero ABCL es inscriptible ya que : m 4 ABC + m 4 AiX = 180

4a = 90°

=»

2a = 90° - 2a

/.

a = 22,5°

39.- Calcular "x" del gráfico adjunto.

Resoli

c ío p

Por A trazamos una recta que forma 30° con AB y que se intersecta en P con la perpendicular trazada por D a la prolongación de AB , formando el triángulo equilátero PAD =>

AP = PD = AD y m 4 ADP = m 4

El triángulo PDC es isósceles =>

m 4 DPC = m 4 PDC = 40°

El cuadrilátero BPCD es inscriptible : x = 40°

w

Circunferencia l i

Luis Ubaldo C.

40.- En el gráfico mostrado, se sabe q u e: A, E, T y S son puntos de tangencia, adem ás: m AB = mTL Calcular x

Resolución.Con respecto a las circunferencias tangen tes interiores de centros O y Oj . BC es una cuerda de Oj tangente en E a O Luego por propiedad AT es bisectriz del 4L BAC Con relación a las circunferencias tangentes exteriores 0 y 0 2 ST es bisectriz del 4 ESC Por

inscrito :

m 4 A3E = m ^

_

= a

m TL

m 4- TSL = -------- = a

Luego:

3 a = 180

=>

Para el A AQS : T es excentro, luego QT es bisectriz

a = 60° x = ^ x - 30

(Propiedad)

337

338


Ernesto Quispe R.

Pfc08L€MAS PROPUESTOS 1. El ángulo B de un triángulo ABC mide 60°. Se trazan las medianas AN y C M . El radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero MBNG (G es baricentro del ABC) mide . Calcular AC. A)4a/3

B)8

C)6

D)6-J5

5.- Del gráfico mostrado O es centro; hallar*

E)3

2.- En la figura, los semiperímetros de las re giones triángulares sombreadas, suman 16. Calcular el semiperimetro del triángulo ABC. A) 12

A) 45°

B)60°

C)53°

D)75°

E)90°

6 .-En la figura AN = 8 y ND =2. Calcular «AB» A) 6

B) 14

B)7

Cj8

Q8

D)32 D)9 E)16 E) 10 3.- La circunferencia ex-inscrita a un triángu lo ABC determina los puntos de tangencia F y G sobre BC y la prolongación de AB res pectivamente la prolongación de GF intersecta a AO en el punto H, siendo O el centro de la circunferencia ex-inscrita.Calcular la me dida del 2CAHC. A) 60°

B) 75°

C) 45°

D) 90°

E) 53°

4.- ABCD es un romboide, O es centro MC = 8. Hallar el semiperimetro del cuadrilátero PQRS.

7.-

En la figura «H» es ortocentro del A \B C ,

BM = MC y BC = 8-^2 . Hallar: PQ A) 4 B)6 C)8V2 D)8V3 E)8 8.- Un cuadrilátero ABCD se encuentra cir cunscrito a una circunferencia de radio R . Se sabe que m A- ADB = 90 y la distancia entre los centros de las circunferencias inscritas en los triángulos ADB y BCD es 6. Calculará?.

A) 16

B) 12

C) 16

D) 8

E) 10

A )6V 2

B)6a/3

C)3y¡2

D)5y¡2

E )6

Circunferencia li

Luis Ubaldo C.

9.- En la figura ABCD es un cuadrado.

339

13.- Si : AB + CD = 21 ; P Q = I0,

Calcular :x B

A) 26,5

C

B)30

C)37

D)36

E)22,5

10.- Dado un triángulo ABC recto en A , la circunferencia inscrita es tangente a AB en M, a BC en N y a AC en P. La recta que pasa por M y N intersecta a C a en «E» y en «F» a la perpendicular a AC trazada por C. Calcular la m £ . FLP, si la»i EFP = 20 A) 15

B)30

C) 25

D)26,5

E)40

14.- A partir de un punto P, exterior a una cir cunferencia se tra 'an la tangente PA y la se cante PQL. Luego se une "L” con el punto me dio M de P A . LM intersecta en F a la circun ferencia, calcular la m 4 FPA, si m QF = 72°. A) 24°

B) 28°

C) 36° D )48°

E) 54°

15.- En la figura m MN = 34°; hallar*. A) 4?° B)44c

11.- Calcular MN, si BD = 8

C)46° D)48° E)38° 16,,- Se tiene un cuadrilátero ABCD circuns crito a una circunferencia, tal q u e : CD = 5, m X A = 37° ym Í. B = 90°.

2

S i: AD -r BC = 21, calcular la medida del radio de la circunferencia. A) 1 12.- El lado de un cuadrado ABCD mide "b Sobre AD y CD se ubican los puntos M y N respectivamente. El inradiodel triángulo MDN mide "a". Hallar M N , si»« ¿ MBN = 45° A )a + b

B) b - a

D )2 b - a

E )2 b + a

C)b-2a

B)2

C )3

D)4

D)5

17.- Del gráfico, calcular lam A B , si m B C = 9 T A) 30° B)45° C)53° D)o0° E)75°

C

340

Problemas de Geometría y co,no resolverlos

18.- El punto de tangencia de la circunferen cia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 y 9. Calcular la medida de la me diana del trapecio. A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

Ernesto QuIspeR.

23.- Del gráfico hallar el semiperimetro del pentágono ABCDE.

E) 10

19.- De la figura, calcular AM , si MQ = 5 y PQ = 3 (O y O, : centros) A) 16 B) 12

A) 2(3 R + r t + r2)

C) 10

B) R + r x + r

2

D) 3 R +

2

+r

2

E) 3R + 2 r. + r.

D)8V2

C) 2+ rt+r

E)8V3

24 ,- En la figura, A ABC es equilátero. Hallar »u altura.

20.- En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B, tomando como diámetro AB se cons truye una circunferencia que es tangente a CD en M. Calcular «CD» , si el radio de la circunferencia mide 6 y el perímetro del trape cio es 38. A) 8

B) 11

C) 13

D) 15

E) 19

21.- En un triángulo isósceles ABC, AB = BC ; se traza la altura AH y en el triángulo ABH se inscribe una circunferencia de centro «O». Si OC = 6, calcular «AC»

A) 2 r

A) 6

2 5 .-En la figura : BM + AP = NC + QD.

B )6V 3

C) 9

D )6V 2

E) 12

22.- Calcular x , si ABCD es un cuadrado y TM = MQ. B C A) 60°

B) 3 r

C) 4 r

D) 5 r

E) 6 r

Si : AB = 4 , hallar :CD

B)75° CW D) 105° E) 120°

A )8

B )2

C) 4

D) 3

E) 5

Luis Ubaldo C.

Circunferencia II

26.- En un cuadrilátero ABCD

341

A) 2

m j £ - A = m¿CB = m¿C ACD = 90°

Las medidas de los inradios de los triángulos ABC y ACD suman 8 con AD. Calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD.

B) 3 C) 4

E) 16

D) 5

27.- En la figura P, Q y T son puntos de tan gencia PM = 4. Hallar MQ

E) 6

A) 8

B^ 9

C) 10

D; 12

31.- En la figura, ABCD es un romboide. Ade más T y C son puntos de tangencia. Hallar x.

A) 2 B) 3

28.- En un trapezoide ABCD que es circunscriptible se sabe que : AB = 7

,

BC = 1

m A- CAD = 30 m A- ADC = 90

Calcular la medi Ja del radio del triángulo ACD A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5 29.- Se tiene un ti langulo rectángulo ABC rec to en B. Por el incentro I se trazan PQ // BC y MN // AB (P en AB, N en BC y M , Q en A C ). En los triángulos APQ y MNC se ins criben circunferencias que son tangentes a AC en “E” y “F respectivamente. Calcular “E F ’ (los radios de las circunferen cias miden 3 y 5) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 30.- En la figura “I” es incentro del triángulo ABC , AB = 5 y AC = 12. Calcular "AN”

39° Q 40°

A) 68°

Lx

B) 78°

____. _____ _

C )88°

- 1 1 ° ,-----

D) 80°

33.- Del gráfico adjunto, calcular x.

E)90°


342

34.- Si el cuadrilátero ABCD es circunscriptible, BN = 20. H allar \ K = rl + r + r +2R

1 3

Ernesto Quispe R.

A) Acutángulo

D) Isósceles

B) Rectángulo

E) Escaleno

C) Equilátero 38.- En un triángulo ABC : m A A = 60, el inradio mide «a» y el ex-radio relativo a 3C mide «¿>». Calcular «BC» A) b - a

D)(b-a)S

B )2 (o+fc)

E)

^

2( b - a )

C )(a-fc)7 3 A) 15

B)20

C) 18

D) 10

E)40 39.- Dada una semicircunferencia de diámetro

35.- En los lados BC y AD de un romboide ABCD se ubican los puntos P y Q respecti vamente, tal que el cuadrilátero ABPQ es circuns-criptible. Calcular el inradio del trián gulo QCD, si :

AB y centro «O» sean P y Q puntos de dicha curva, se traza QH ± OB (H e O B ). Calcular «PQ», s i : AP = 2; QH = 6

m A PCQ = 30

y

PC + PQ = 2(AQ)

m A PAQ = 3 (m A

A )3V 3

B)6V3

QAB)

C)3V2

QC = 4 + 2V3 D)4 A) 2 D) J

B)1

6

E) V ó/2

36.- En un triángulo rectángulo ABC íeciO en B. la m A C = 37. Si «E» es excentro relativo a BC, I es incentro y «P» es punto de tangencia de la circunferencia inscrita con AC . Calcular la m A IEP. A) 7,5°

B )8°

C) 10,5°

Vó

E)4,5

C)V3

D) 12°

40.- En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana BM y las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC son tangentes a dicha mediana en P y Q y la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a AC en N. Indique la relación correcta. A) PQ = 2MN

B)PQ = 3MN

C )P Q =M N

D )PQ = ^ p

E) 15°

37.- En un triángulo ABC se trazan las media nas AM y CN que se intersectan en «G» tal que, el cuadrilátero BMGN es circunscriptible. ¿Qué clase de triángulo es el triángulo ABC?

E)PQ >M N

E Z E SS5B 3 a) Es el puriio de <_ui i<_u i i ei icia de las 11 íediaj ias del AABC. b) Divide a la m ediana en la razón de 2 a 1. Es d e c ir:

BG = 2GL

... (10.1)

c) Es también baricentro del A MNL llamado triángulo mediano o com plem ento del A mBC. d) Su posición es interior al A ABC.

10,2 INCENTRO (I) a) Es el punto de concurrencia de las bisectrices inte riores del A ABC.

E /e \e \ JX N

b) Equidista de los lados del A ABC. Es decir :

ÍM

=

IN =

IL

= r (inradio)

... (10.2)

c) Es el circuncentro del A MNL llam ado triángulo tangencial. d) Su posición es interior al A ABC

A

e) Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

10.3 t^X-CENTRO (E) a) Es el punto donde concurren las bisectrices exte riores de B y C y la bisectriz interior de A del AABC. b) Equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros lados. Es decir : EH = EL = £T = ra (ex-radio)

... (10.3)

c) Su posición es exterior al A ABC. d) Es el centro de la circunferencia ex-inscrita al A ABC, relativa al lado BC

7 /

¡y\a.

L

^

X C Fig. 10.2

344


Ernesto Quispe R

10.4 ORTOCENTRO (H) a) Es el punto donde concurren las 3 alturas del AABC b) Su posición varía según el tipo de triángulo. Por ejem p lo : 1) En un triángulo acutángulo, se halla en un punto interior (vetFig . 10.4a) 2) En un triángulo obtusángulo, se halla en un punto exterior (ver Fig. 10.4b) 3) En un triángulo rectángulo, se halla en el vértice del ángulo recto, (ver Fig. 10.4c) c) El triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas (A EFL) se llam a triángulo pedal del A ABC (ver Fig. 10.4a y 10.4b).

Fig. 10.4

10.5 CIRCUNCENTRO (O) a) Es el punto donde concurren las mediatrices de los tres lados de un triángulo. b) Equidista de los vértices del A ABC. Es d e c ir: AO = OB = OC = R (circunradio)

... (10.4)

c) Es el centro de la circunferencia circunscrita. d) Su posición e s : d i) En un triángulo acutángulo, se halla en un punto interior (VerFig. 10.5a) d2) En un triángulo obtusángulo, se halla en un punto exterior (Ver Fig. 10.5b) d3) En un triángulo rectángulo, se halla en el punto m edio de la hipotenusa (Ver Fig. 10.5c)

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

345

A excepción del triángulo equilatero, todo trián gulo tien e su O rto cen tro (H), B aricentro (G) y Circuncentro (O) en una linea ( £ ) llamada recta de Euler, cumpliéndose que : a)

HG = 2 ÍGO)

... (10.5)

b)

BH = 2 (OM)

... (10.6) Fig. 10.6

10.7 CIRÇlrN 1 ERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Los puntos m edios de los lados, los pies de las alturas y los puntos m edios de los segm entos que unen el ortocentro con los vértices están en una cir cunferencia de radio/?, y centro "J" cum pliéndose lo siguiente : a) H, J, G y O forman una cuaterna armónica b) HJ = JO D c)\ /?] =

~2 /?

d) "J" punto de Feuerbach Fig. 10.7

346


Ernesto Quispe R

11).ó T tA /K JLM A U L j ¿»X ü JJY t-K Siendo : r el inradio y: R el circunradio Además : ra ’, r b. .’ r c ’, son los exradios del A ABC Se cum ple:

r a + r b + r c = 4R + r

...(10.7)

Observación:

El triángulo Ea Eh Ec se denom ina ex-incentral, el cual siempre es acutángulo. Fíg. 10.8

lü.¿> l JbU K JbM A U Jb l/A K JN U T Si desde el circuncentro "O" del A ABC se trazan OM ± AB , ON ± BC y OL ± AC ; se cumple que : OM + ON + OL = R + r

... (10.8)

NOTA: Si el A ABC es obtuso en B , se cumple : OM + ON - OL = R + r

... (10.9)

10.Í OiU*Him S PROPIEDADES ESPECIALES a) Si "O" es el circuncentro del A ABC =>

m 4 AOC = 2 m 4 B

... (10.10)

Fig. 10.10

I

b) Si OA = OC

y m 4 - AOC = 2 m 4 - B

"O" es circuncentro del A ABC

/T». 10.11

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

c) En el AABC, isósceles la recta de Euler ( 5 ), es la mediatriz relativa a la basn contenien do ademán del baricentro, ortocentro y circuncentro, al incentro y al ex-centro re lativos a la base.

d) En un triángulo rectángulo la recta de Euler ( £ ) contiene a la m ediana relativa a la h ip o te n u sa .

Fig. 10.12

e) En el A ABC acutánguio , para el A EFL, se cumple : * H es el incentro * A, B, C son ex-centros

347

0 En el A ABC obtusángulo para el A EFL se verifica que : * A es el incentro * H y C son ex-centros.

B

fíg. 10.14

r

348


Ernesto Quispe R

1.-1 n un triangulo rectángulo ae Hipotenusa igual a 24, calcular la distancia del ortocentro al baricentro.

Resolución.Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en B y de hipotenusa AC = 24 . Como se sabe el circuncentro en un triángulo rectángulo, se encuentra en el punto medio de la hipotenusa, enton ces en la figura M es el circuncentro. Esto significa que la distancia: BM = 24/2 = 12 . Asi m ism o, se reconoce que biVi es m ediana y G el baricentro del AABC , por tal motivo se verificará que dicho punto divide a BM en dos segmentos tales q u e : BG = 2x =>

2x + x = 12

a

GM - - x

=>

x=4

Finalmente la distancia entre el Ortocentro y el Baricentro s e r á :

2x = 8 2.-

En un cuadrilátero ABCD se sabe que nujLB = 120 , m 4-D = 110, m^LABD = 60 y m4-ADB = 40. Hallar la medida del ángulo que forman sus diagonales.

Resolucion.En el gráfico que se ha elaborado , se puede reconocer que : m 4- EBC = 60°

y

mJL CDT = 70°

Entonces BC y DC son bisectrices exteriores del triángulo ABC, los que concurren en "C". Asi mismo AC es bisectriz interior del ángulo A , por lo c u a l: m4- BAC = m 4- CAD = 40°

Puesto que "C" es el ex-centro del triángulo ABC relativo al lado BD (item 10.3a.), en el A ATD , por ángulo exterior tendrem os: x = 40° + 40° jc =

80°

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

349

3 - Si la suma de dos ángulos exteriores de un triángulo mide 270sy e l lado mayor mide 48m ; hallar la distancia del baricentro al circuncentro.

Resolución.Sean "a" y "6" los ángulos exteriores, entonces : a + 0 = 270°

...(1)

Reconocemos que el lado mayor es : BC = 48 m Si "G" es el baricentro del A ABC , entonces : AG = 2GD Por consiguiente :

BD = DC —24 m

En el triángulo ABC : m JjLA + m 4IB Reem plazando:

+ m 4IC

= 180°

m 4IA+ (180 - a ) + (180 - 0) = 180 m 4LA + 180 + 180 = 180 + a + 0

Luego : A hora:

m 4-A = ( a + 0 ) -180


m 4-A = 270 -

De donde :

m 4-A =

... (2) 180

90

Entonces el triángulo ABC es rectángulo y recto en A, en consecuencia "D" será su cirruncentro, de este m odo por propiedad se tendrá que : BC AD =

„ 4 8

~2

=>

^

x =

4.- En un cuadrilátero ABCD , AC y BD son bisectrices de los ángulos miden 120By 90g respectivamente. Hallar la medida del 4 BDC

4A y 4 &

Resolución.Del gráfico la m 4 EAD = 60 , entonces de acuerdo con el item 10.3a., D" es el ex-centro del tr.án¿ulo ABC. En el triángulo ABD Entonces :

120 + 45 + m 4 BDA = 180 m 4 CDA =

15

Como CD es bisectriz exterior, entonces : m 4 ACD = 75 En el triángulo ADC : Luego :

60 + 75 + x + 15 = 180 150 + x = 180 x = 30°

B

C

que

350


Ernesto Qufcpe R.

5.- En el triángulo ABC mostrado s t sabe que "O" es el circuncentro del triángulo ABC . Sabiendo además que la medida del ángulo B es la que se indica, se pide calcular el valor de "x" que expresa la medida del ángulo O A C.

Resolución.Si "O" es el circuncentro del triángulo ABC, entonces será tam bién centro de la ciicunferencia circunscrita al triángulo, tal com o se indica en la figura ad ju n ta. r J L uego: OA = OC Entonces l a :

m 4 OAC = m 4 OCA = x

Por ángulo inscrito:

m AC = 2 m

Reemplazando:

r>. AC = 2(58)

Entonces:

m AC = 116

Por ángulo central:

ABC

i

m ¿C- AOC = 116

En el triángulo AOC :x + 116 + x = 180 Donde :

2x = 64 x = 32

6.- Se tiene un triángulo rectángulo, donde la distancia del baricentro al circuncentro es 4. Calcular la longitud de la hipotenusa.

Resolución.Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en B, en el que AD y BM son medianas, entonces "G" es el baricentro de dicho triángulo. Como el circuncentro en un triángulo rectángulo, se encuentra ubicado en el punto medio de la hipotenusa, concluimos que "M" es el circuncentro de dicho trián gulo. Ahora, por dato se sabe que :

GM = 4

Por propiedad sabemos q u e :

BG = 2 GM

Entoncesla medida de BG s e r á :

BG = 2(4)

B

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

L uego:

BG = 8

En consecuencia:

BM = 12

Por propiedad:

B M -f

De d o n d e :

AC = 2 BM

Remplazando:

AC = 2(12)

351

AC = 24

4

7.- Se tiene un triángulo acutángulo ABC, BH , CQ y AR son alturas. S im -A = sn; hallar la m 4 QRH.

Resolucii n, En el gráfico:

QRH = QRA + ARH

B

El cuadrilátero AQRC es inscriptible; Entonces :

m 4- QRB = 50 = m 4 A

Luego:

m 4 QRA = 40

... (1)

El cuadrilátero BRHA es inscriptible Entonces :m 4 HRC = 50 = m 4 A m 4 ARN = 40

Luego : (1) y (2) en (a) :

m

/¡CQRH = 40 + 40

m 4 QRH = 80°

(a)

... (2)

352


Ernesto Quispe R.

MISC€LaNfA 1.- Hallar la distancia del circuncentro al baricentro en un triángulo si sus lados miden 5; 12 y 13.

Resolución.Según las longitudes de los lados, el triángulo es rectángulo.

Recta de Euler

Además sabemos que el baricentro divide a toda mediana de un triángulo en una relación m ate mática como 2 es a 1 . Luego si :

OG = x , entonces BG = 2x.

Finalmente : Zx =

13 2

jr = 1 3 /6

2.- Calcular el valor de x , sabiendo q u e: T, P y Q son puntos de tangencia de una misma circunferencia, tal como se indica en el grá fico adjunto.

Resoluclón.En el A ABC, se puede reconocer que CO es bisectriz interior del 4I C , luego : 2a + 26 + 52° = 180° De d o n d e : A hora: Luego :

2 (a + 0) = 180° - 52° 2 (a + 0) = 128° a + 0 = 64°

Finalmente en el A NTC por 4I exterior: x = a + 0 x = 64°

I

W

Luis Ubaldo C.

Puntos Notables

3 . - S i : ! -* Incentro del A ABH

B

/, -* Incentro del A HBC. Ademas : I E = 1 a lf F = 7 ; calcular el valor de "0 ", que expresa la medida del ánguo indicado.

Resolución.-

B

Al trazar IN perpendicular a IjF, entonces se po drá reconocer q u e : I,N = 6 y IN = 8. m 4 - I,IN = 37°

Luego l a : En consecuencia:

0 = 53°

4.- En el gráfico "H" es ortocentro y "O" es el circuncentro. Si : HA + HB = 12, hallar la suma de las distancias de "O" a AC y BC.

Resolución.Por condición del problem a se sabe q u e : 2o + 26 = 1 2 Pero por Propiedad :

=> OP =

o+6 = 6 BH

= o y OM =

AN

= b.

Luego la suma de las distancias de "O" a AC y BC s e r á : a+6=6

353

354


Ernesto QuispeR B

5.- En la figura, m 4 C = 30s , asi mismo I es el Incentro nel A ABC. Con estos datos se pide calcular x.

Resoluclón.B E1 cuadrilátero AEIF es ¡nscriptible ya que la: m 4 BEI = m 4 AFI = 75°.

Luego la :

m 4- AIE = m 4 AFE - 45° x = 45°

6.- Dado el A ABC mostrado, se pide calcular “x" si se sabe que m 4 & = 60 y además : H -*

B

Ortocentro del A ABC

O -* Circuncentro del A ABC

Resolución.Recordando la propiedad expuesta en el item 9.1 Oa, relativa al circuncentro, tendremos que :

B

m 4 AOC = 2m 4 ^ —m 4 QOC En nuestro problema resulta que : m 4 B = m 4 QOC = 60°

El OQC es n o tab le (30 y 60°), por ello dire mos que OC = 2 . OQ = 2o. Además sabem os que BH = 2 OQ = 2o. En consecuencia, el A HBO es isósceles, en el cual BM es mediatríz. jr - 6

I

Tr

Puntos Notables

Luis Ubaldo C

355

7.- En un triángulo auutángulo la distancia del circuncentro al ortocentro es 24 m. Calcular la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo mencionado.

Resolución.Del gráfico: H —> ortocentro G —» baricentro O -» circuncentro

B

Poi teoría sabem os q u e : riG = 2 . GO Luego s i :

OH = 24 (dato)

Entonces:

24 = HG

Ahora :

24 = 2 . GO + GO

Luego :

+ GO

GO = 8 HG = 16

8.- En la figura; MN l i OB, Calcular lam 4 C. Si : "O" -> Circuncentro del A ABC. "H" -> Ortocentro del A ABC.

Resolución.Si m 4- C = x, entonces en el cuadrilátero inscriptible AMQC : m 4 AMN = x y m 4 BMQ = x Pero por dato : MN // OB, entonces se deduce que : m 4 MBO = x. Además sabem os por propiedad que MQ _L OB. En consecuencia; D onde:

x + x = 90° 2x = 90°

x = 45°

B

356


Ernesto Qulspe R.

9.- En la figura mostrada se sabe que "E" es el excentro déla ABC. A l trazar BE y CE se determinan dos puntos de corte los que permiten definir el ángulo x cuya medida se pide determinar.

Reso lu i.o n .Por propiedad en triángulos, sabem os que : £00 m 4 E = 90° => m £ E = 56° Luego :

B

m + n = 124°

En el cuadrilátero inscrito ABMC: a + m = 68° ... (1) En el cuadrilátero inscrito ABNC: G + n = 68° ... (2) Sumando (1) y (2) : a + 6 + m + n =136° D onde:

*

+

124° = 136° jc =

12° B

10.- Dado el triángulo ABC se han trazado varias líneas que for man con los lados algunos ángulos característicos, según como se indican en el gráfico. Se pide calcular "x" ,en donde además se sabe que : AB = BC.

Resolución.En el AABC isósceles trazamos BM _L AC , entonces : m 4 NAM = m 4 NCM = 2x En el A ABN, observamos que AI y BI son bisectrices que permiten ubicar el incentro" I " de dicho triángulo, lu eg o : m 4 AN1 = m 4 INB = 4x

Ahora en el A NBC: Entonces :

4x = 2Q + 2x x =0

4

En consecuencia en el hvNMC: m i N+ 4x = 90° Por consiguiente :

4x + 4x = 90° jc =

15°

B

Puntos Notables

Luis Ubaldo C 11.- En el triángulo isósceles ABC, se han trazado varias lí neas , las mismas que forman algunos ángulos de medi das conocidas e indicadas. Con estos datos se pide cal cular "x"

B

Resolución.En el triángulo jsósceles ABC se traza BH _L AC, recono ciéndose que BH es mediatriz del lado AC. De este modo deducim os que AN = NC . Luego el es isósceles.

A ANC

De acuerdo con esto se pueden deducir las medidas de los ángulos : 41ANI y 4IBNI, los que a su vez son de igual m ed id a, tal com o se indica en el gráfico adjunto. En el A ABN observamos que BI y NI son bisectrices, en tonces T es incentro de dicho triángulo, luego Al tam bién es bisectriz. En consecuencia :

* + 20° 30° x = 50°

12.- En la figura se pide calcular "x ", sabiendo q u e: "H" —> Ortocentro del A ABC. Además se sabe que : B M = M H , AN = NH, BP = PC y AQ = OC.

B

357

358


Resolución.-

Ernesto Qulspe R

B

Resulta evidente que los puntos MNQ y P están en la circunferencia de los 9 puntos. Asi mismo observamos que MQ y NP son diámetros, entonces el OMP es isósceles, lu ego: m 4 MPO = 45°. Por ello : m 4 MFH = 45° m 4 MFB = m 4 MBF = 45°.

Finalmente en el

EBC:

x = 45°

13.- En un triángulo ABC, la diferencia entre las longitudes de los lados BC y AB que for man un ángulo cuya medida es 60e, es igual a 8m. Hallar la distancia del ortocentro al circuncentro de dicho triángulo.

Resolución.Por dato:

N

BC - AB = 8... (1)

En el gráfico tenem os : H : Ortocentro del A ARC y O : circuncentro del A ABC Por teoría sabemos q u e :

BH = 2 .OF = 2o

Pero com o "O" es baricentro del A ANC, entonces NO = 2o Además BE // NF, luego el cuadrilátero HBNO es un romboi de, entonces x = BN. Pero por propiedad : BN = BC - AB = 8. x = 8m 14.- En un cuadrilátero convexo ABCD, m ym CAD = 40° Hallar m ACD.

4

4

4 ABD = 45g, m 4

Resolución.—> Trozamos el rayo BK de modo que: m 4 CBK = 20°. Al prolongar AC hasta M y luego al trazar MD, el cuadrilátero ABMD es inscriptible. En este cuadrilátero: m 4 ABD = m

41AMD = 45°.

A continuación, construimos el triángulo isósceles DBN.en el que BH es mediatriz de DN .

4

Entonces : m 4 BDC =m 1BNC = 25° y DC = CN. Luego el triángulo DCN es rectángulo isósceles.

DBC = 20g, m

4 BDC = 2SS

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

359

Por lo cual el cuadrilátero DCMN es inscriptible, entonces : m 4 CDM = m 4- CNM= 25° Finalmente en el A DCM

x = 25 ° + 45°

x = 70° 15.- En la figura adjunta se sabe que MP = 8 y asi mismo H —> Ortocentro dt A ABC . Con estos datos se pide calcular la longitud de HM.

Resolución.En primer lugar reconocem os que AC es mediatriz de HL. Ahora hacem os q u e : m 4 HQN = m 4 QND = 2a

Esto provocará que la recta £ sea paralela a HQ. Por otro lado en el QDP : DN es m ediana relativa a la hipotenusa PQ, entonces : QN = NP = a. En consecuencia, por el Teorema de los puntos m edios en el A HPQ se tendrá que : HM = MP HM = 8 16.- Se tiene un triángulo ABC (AB = BC) inscrito en una circunferencia. ¿Qué punto notable del triángulo es el punto medio de la cuerda que une los puntos de tangencia sobre AB y BC por la circunferencia tangente también a la primera.

Resolución.A1 elaborar el gráfico correspondiente^, en el A ABC, en contramos que BT es mediatriz de PQ y AC. También reconocem os que :

P Q //A C .

Por ángulos altemos in tern o s: m 4 - CTL = m 4 ACT También :

m

4 QHC = m 4

=

a

HCA = o

En el c jadrilátero inscriptible THQC : m 4 QHC = m 4 QTC Pero:

=

o

m 4 QTL = m 4 TQL = a + o

360

Ernesto Quispn R.

Problemas de Geometría y come resolverlos

Luego en el 6^ TQC :

a + a + 6 = a + 2a

De donde :

a = b

Esto nos lleva a afi.mar que el punto H es el incentro del A ABC 17.- Exteriormente a un triángulo ABC se construye el rectángulo ACLK, asi mismo KS y L í son perpendiculares a las prolongaciones de BC y BA respectivamente. Si KS y LT se intersectan en "Q", se pide hallar la medida del ángulo entre BO y ÁC

Resolución.En primer lugar colocamos la m edida del ángulo TAK igual a "a" Luego en el cuadrilátero inscriptible TALK, m 4 TLK = a Por otro lado el cuadrilátero KCSL es inscriptible. En consecuencia el cuadrilátero KTSL es inscriptible. Luego :

m 4- TSK = m 4 TLK - a

Pero el cuadrilátero TBSQ es inscriptible, entonces l a : m 4 TBQ = m 4 TSQ = a

Finalmente :

x = 90° - a + a

jr = 90° 18.- En la figura dada calcular a , s i : m MN = 2a. Además : m 4 BCA + m 4 BDC = 70s y m 4 DBC = 85° ( B y T son puntos de tangencia).

Resolución.Por propiedad sabem os que : m 4 ABD = m 4 NBC = a Por d a to : a + b = 70 ° También : a + 0 + b + a = 85° En el A ABC:

a + b + a + a + 0 + 0 + a = 180°

^ Luego :

85^“

70° + a + 85° = 180° a = 25°

y m 4 DBT = m 4 TBC = a + 0

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

361

19.- Se tiene un triángulo isósceles ABC inscrito en una circunferencia de radio "R". Hallar el valor R , si :A B = B C , OG = j 2 y m 4- ABC = 45e; siendo "G" el baricentro y "O" el circuncentro.

Resolución.Resulta predecible que el arco AC = 90°, por lo tanto el A AOC es recto en O Luego : En el

OH = AC = 2 j2 OHC isósceles : OH = x = OH - OG =

R_

V2 R

~ - -J2

(l)

Luego aplicando la propiedad del baricentro, tendrem os : R+J2 x

2 ~ 1

De ( l ) e n (2 ):

R + J2 = 2x

^

R + J2 = 2

R

- J2 ]

(2)

R = 3(2+V2)

20.- Calcular el valor de x , si "E" es el excentro del triángulo A B C . Además se sabe que : AM = MB

B

R f s o .lu c ió p --

Trazamos CM , entonces el cuadrilátero MBEC es inscriptible por que : m 4- MEB = m 4- MCB = x

,en el

/

fx

AAMC: 2x = 90°- m ^ A

De donde :

2 (2x) = 180° - (90° - x)

En consecuencia :

4x = 90° + x

Ahora :

3x = 90°

x = 30°

r / Á 90-X

°-

c

r

362


Ernesto Quispe R.

21.- En un triángulo acutángulo ABC, H es el ortocentro y O es el circuncentro. Hallar la medida del ángulo B, para que el cuadrilátero AHOC sea inscriptible.

Resolución.-

B

Ya que el cuadrilátero AHOC es inscriptible, entonces : m 4 AHC = m 4- AOC ... (*)

En el □ EBFH :

m 4lAHC=180-x

Como "O” es circuncentro, entonces : m 4 AOC = 2x Sustituyendo en (*) :

180 -x = 2x x = 60°

22.- En la figura mostrada se tiene que: AB = BC. Asi mismo se sabe qu e:

B

m 4 BCE = 2 m 4 BAE Con estos datos se pide calcular el valor de x

R esolu ción.-

En el triángulo isósceles ABC que se m u estra, hem os trazamos la altura BH, luego : m 4 ABD = m 4 DBH = 25° AE = EC m 4 BAE = m 4 DCB = 2x Para el A AEB, D es el incentro. Luego se tendrá que : m 4 AED = m 4 DEB = 50 + 2x y 2*+ 5 0 + 100 + 4 * = 180 De donde :

6x = 30 a-

= 5°

L.UIÒ

V_v.

1 U t l l U Ò VVt/IWt/tCO

4

23.-En un triángulo isósceles ABC : m . B = 1209. Si "I" es el incentro, O es el circuncentro y E el excentro relativo a uno de los lados iguales, calcular la medida del ángulo IEO.

Resoluclón.De acuerdo con la relación (4.9), se tiene : m 4 BEA =

- = 15°

=>

AB = BE

Por propiedad del circuncentro OB = OA, luego eí AAOB resulta ser equilátero .donde: OA = OB = AB El fci» OBE es isósceles, luego :x + 15 + 45° x = 30°

52

24.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la altura BH mide J . Calcular la distan cia del vértice B a l a recta que contiene a los incentros de los triángulos AHB y BHC.

Resolución. En el A AFB a + 20 + a + m 4 l F = 180° , c o m o :

2a + 20 = 90

Por analogía en el A BEC .logramos deducir que m 4- E = 90° Con respecto al A PBQ, I es ortocentro, luego la altura BL pasa por 1. En el

BLK :

Ahora se tiene : => Luego :

m 4 F = 90°

B

m 4_ K = 45° y BK = BL>/2

A HQB = A BQK (ALA)

BH = BK = 5V2 5^2 = BL ^2

BL = 5

4

25.- En un triangulo A B C , m A = 32s, m 4 C = 88° Si O es el circuncentro, I es el incentro y H es el ortocentro de dicho triángulo, se pide calcular m OIH.

Resolución.En el A ABC : En el

AQC :

Por propiedad :

4

m 1 B = 60° m 4 QAC

= 2°

m 4 AOC = 120“

Luego A AOC es isósceles , donde :

Como I es incentro, entonces : m 4 AIC = 90 + *jP = 120°

4

ju

- i

trnesTO uuispe w.

i luviciiiuA u e K jcurneinu y ( urnu r e ìu iv e r iu s

m 4 AHC = 120°

Si H es ortocentro, entonces : £1 Pentagono AOIHC es inscriptible ya que : En el cuadrilátero inscriptible AOIH :

4- AOC = 4 AIC s 4 AHC

28 + rr¡4LOIH = 180 m 4- OIH = 152°

26.- En la figura O y L son el circuncentro y el ortocentro respectivamente del triángulo ABC. Si además se sabe que : BO = B L , y que existe una trisección del ángulo B , se pide calcular el valor de 6.

B

Resolución.Por Propiedad:

m 4- AOC = 2 m 4 B = 60 ... (1)

S ean:

B

BL = BO = R

Luego, por definición :

OA = OC = R

Al trazar OH 1 AC tendrem os: OH = y (Propiedad 10.6a) En el 6^ AHO :

m 4- AOH = 60°

Luego :

m 4- AOC = 120° ... (2)

De (1) y (2) :

60=120 6

=

20 °

27.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la mediana AM . si además se sabe que : m 4 BAC = 2 m 1 AMB y AC = 27, calcular AB.

4

Resolución.Trazamos la m ediana BN y encontram os que G es baricentro del ABC, lu eg o : BN= AC 2 Sea : A AMC :

“

212

B

Jy BG = |i BN = | ( y ) = 9

m 4 NBC = a

=> m 41 NCB = a

m 4 MAC = 0 - a -27-

Puntos Notables

Luis Uboldo C.

365

Y en el A BGM : m 4 BGA = 0 + a El A ABG es isósceles (4- BAG = 4 BGA) x = 9 28.- En un triángulo acutángulo ABC, H es ortocentro y O el circuncentro. Calcular HO, si AB = c , BC = a y m 4 B = 60B( a > c ).

Resolución.Si H es ortocentro y O circuncentro , hacem os : OL = m

=>

BH = 2/t?

(Propiedad 10.6a)

Prolongamos LO hasta intersectar a la circunferencia circunscrita en el punto P, luego PA = PC y ya que m 4 APC = 60°, entonces el A APC es equilátero. ’O" es baricentro del A APC, luego : PO = 2 OL = 2 m □ HBPO es un romboide, entonces : BP = HO = x Con respecto al triángulo equilátero APC aplicamos el Teorema de Chadu : BC = BA + BP Luego •

a =c + x x = a -c

29.- En la figura E es el excentro del triángulo ABC y O el circuncentro. Hallar P C , si PD = 2

A

Resolución.Ya que "E” es el excentro del 90°

m 4AEC = — 2

ABC , entonces , por propiedad :

= 45°

Para el A AEC : DO es base m edia, en consecuencia : AD = DE , con lo cual resulta que P es baricentro . Entonces :

x = 2(2) x = 4

I

366


Ernesto Obispe R.

30.- En un triángulo acutánguio ABC, O es el circuncentro; BO prolongado intersecta en D a AC. Calcular lam 4 B DC, si m 4 ABO = 10e y m 4 OBC = 30B R e s o l u c i ó n .-

Puesto que "O" es circuncentro del A ABC entonces será centro de la circunferencia circunscrita al A ABC. Prolongamos BD hasta intersectar en F a la circunferencia; luego en el tí^ BCF: m 4 BFC = 60°

Y

m 4 ACF = m 4 ABF

EnelA D CF:

* = 1 0 ° + 60° a:

4 inscrito ) (4 exterior) (

= 70°

31.-En la figura "H" es el ortocentro e "l"es el incentro del triángulo isósceles ABC. Con estos datos, se pide calcular el valor de 6.

Resolución.Como I es incentro, entonces se deberá cumplir que : m 4 ABI = m 4 IBM = 26

Como H es el ortocentro , entonces la pro longación de CH intersecta perpendicular m ente a AB en F . Asi mismo AM es mediatríz de BC. Luego por el Teorema de la Mediatríz : HB = HC => m 4 HBC = m 4 HCB = 6 En el fc, BFC :

4 6 + 6 = 90° 0 = 18°

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

367

32.- Dado el triángulo ABC, donde AB = BC, calcular "x"

Resolución. ■ En el triángulo isósceles ABC trazam os la altura Luego :

m 4 ABH = m 4- HBC - 26

4

m 4 BAP = m 1 TCB = 2a Si "P" es incentro del A TBC : =*

m 4 BTP = m 4 PTC

A TBC :

6 ( a + 6) = 180

A PBC :

a + 6 + x = 180

Reemplazando :

=

=>

2a

+

26

a + 6 = 30

30 + x = 180 a:

=

150°

33.- Desde un punto “P" exterior a una circunferencia de centro O se trazan las tangentes PA y PB . Sobre OP se ubica el punto E de modo que 4 EAB= 4 BAO. ¿Qué punto notable es E del A PAB ? R esolu ción .-

Del gráfico observamos que OP ± AB Además se verifica que : m 4 OAH = m 4 AHO = m 4 OPB = a AJ prolongar AL , éste intersecta perpendi cularmente a PB. Luego para el triángulo PAB, "E" e s el o rto cen tro .

368


Ernesto Oulspe R.

34.- Dado el triángulo ABC de incentro I y excentro relativo a AB : se cumple que : 16 (IE) = — (AC). Calcular m 4 BCA , si m 4- ABC = 30s

R esolu ción .-

Hacemos AC = 5a => IE = 16a .Asi mismo se pu ed e ap reciar que AI±AE p o r ser bisectrices interior y exterior respectivamente. Por Pri .piedad: m 4 AEC = y

= 15°

En el fc, IAE de 15° y 75°: ALI

IE

16a

.

AH = T = ~4~ = 4a

B

35.- En el triángulo mostrado se indican una serie de datos relativos a las medidas de algunos ángulos. Calcular "x" .

Resolu ción .-

En el triángulo isósceles BCD reconocem os que : BC = CD A continuación construimos el triángulo equilátero PED

I

T

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

Luego : EP = ED = PD y m 4 EPD = 60°

B

Además por ser EC mediatríz de PD : CP = CD y m 4 - PCD = 20° A PCB = A PCD (L.A.L.) => PB = PD P es circuncentro del A EBD => 60 = 2x x = 30° 36.- En la siguiente figura, calcular "x" si se sabe que el trián gulo ABC, es isósceles, en donde además se sabe que AB = BC

R esolu ción .-

En el triángulo isósceles ABC, trazamos la bisectriz BF Asi mismo : BF 1 AC y FA = FC Además :

m 4 CAF = m 4 ACF = 30°,

177 4 AFB = m 4 AFE = 60° Para el AABF : E es excentro E ntonces:

x

60 2

je = 30° 37.- Dado el cuadrilátero ABCD, y los valo res indicados para algunos ángulos , se pide calcular "x".

B

369


370

Ernesto Quilpe R.

Resoluclón.Prolongamos AB y DC , hasta intersectarse en F Luego para el triángulo AFD, 1es incentro, luego : m i- AFI = m 4 IFD = 60 - 2x

En el A AIF :m 4 FIC = 60 - 2x + x = 60 - x En el vértice B : m 4- FBC = 60 - x

^

De esto y en baje a la 2da Propiedad del item 9.6 reconocemos que el □ BFCI es inscriptible Luego, por la 1ra Propiedad de cuadriláteros inscriptibles , se cumplirá que : m 4 F + m 4 • = 180

=>

60 - 2x + 60 - 2x + 90 - x + 60 - x = 1£0

Donde

2 7 0 -6 x = ISO

Ahora :

6x = 90 * = 15°

38.- Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de centro "O ". A continua ciónse traza el diámetro AD. Si H es el ortocentro del triángulo, hallarla distancia de O a AB , si el perímetro del cuadilátero HBDC es 30 y la distancia de O a AC es 4.

Resolución.De acuerdo con la propiedad (10.6a) : BH = 2 (OT) = 8

B

CH = 2 (OM) = 2x Además , por ser base m edia : DC = 2(OT) = 8 Luego el □ HBDC es un Romboide, entonces : BD = HC = 2x

a

BH

Luego :

8 + 2jc + 8 + 2x = 30

Donde :

Ax = 1 4 x = 3,5

=

DC

=

8

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

PfcOßL€MAS 1.- En un triángulo ABC: AB = BC, se ua*a la altura BH y la mediana AM que se intersectan enP; calcular BH, si :PM = V2 ym 4 BPM =45°. A) 6

B)7

C)8

D )9

E) 10

2.- En un triángulo ABC :m 4- B = 120°; calcular la medida del ángulo formado por BC y la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro. A) 30°

B)45°

C)60°

D)15°

E)75°

3.- En un triángulo ABC se sabe que : m 4 E \C - m 4 \E C = 36°

Siendo "I" y "E" incentro y excentro relativo BC a respectivamente; calcular la m 4 ABC. A) 36°

B)54°

<7)72°

D)48°

E)45°

4.- En una triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro "O" tal que la m 4 OCA = 10°, m 4 OCB - 20° y OC - 12; calcular la distancia del punto "O hacia AB. A) 6

B)8

C)9

D)6yf3

E)4yf3

5.- En un triángulo ABC :

371

PHOPUtSTOS

A) 6

B)8

C)9

D) 12

E)6>/3

7.- En un trián g u lo ABC se co noce que ni 4 B = 124°, una bisectuz exterior es paralela a uno de los lados del triángulo. Calcular la m 4 IAO , si "I" y "O" son incentro y orto centro del A ABC. A) 34°

B)33°

C)42°

D)46°

E)48°

8.- Se tiene el cuadrilátero ABCD no convexo en "C"; se sabe que al prolongar DC y BC intersectan perpendicularmente a los lados AB y AD en los puntos "M" y "N" respecti vamente. Si AC = 2 CN ; calcular la m 4 ADB. A) 30°

B)45°

Q 53°

D)60°

E)75°

9.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD, D en AC, que intersecta a la circunferen cia circ u n scrita en "E". S AE = 4 y BE = 8,calcularBI.(I —» incentro del A ABC). A) 2

B) 1

Q3

Di 4

E)V3

10.- Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC) en el cual se traza la ceviana CF .Si "O" es el circuncentro del triángulo AFC. Calcular m 4 OCF. Además :m 4 ABC=36°

"H" => Ortocentro del A ABC. " I ” => Incentro del A ABC. "O" => Circuncentro del A ABC. Calcularm 4 AIC, si m 4 AHC =m 4 AOC.

A) 9o

A) 135°

11.- En un cuadrilátero ABCD, las diagona les se intersectan en ' Q". Si: m 4 B AD = 65° , ;« 4 lA B D = 630 , m 4 BDC = 76° y w ¿ B C D = 50°. C alcularla m 4 AQD.

B)75°

C)90°

D)105°

E)120°

6.- Se tiene un triángulo obtusángulo ABD obtuso en "D" tal que AB = 18; se traza la bisectriz AM, M en BD, y luego se traza

__

—^

___

BC -L AM , ("C" en la prolongación de AM ). Si : AM = 2. M C , calcular DC.

B) 18°

A) 96° B)99°

C;27°

C) 104°

D)36°

D) 101°

E)30°

E)109°


372

12.- En un triángulo ABC :m 4 A = 20°, m 4- B = 110°. Si además :

Ernesto Quispe R.

16.- En un triángulo ABC, se traza la altura AH luego HM ± ÀB y HÑ 1 ÀC .

Calcular MM sp el perímetro del triángulo pe I —» incentro del A ABC dal del triángulo ABC es 26. O —» circuncentro del A ABC. A) 10 B )13 C )14 Calcular la w 4 IAO. A) 20°

B)25°

C)30°

D)40°

E)35°

D) 15

E)6,5

17.- En un triángulo ABC : m 4 B = 120° m 4 C = 40°. Si O es el circuncentro e I el ince ntro del triángulo; hallar la medida del 4 IAO.

13.- En la figura calcular a*.

A) 40°

B)20°

C)30°

D) 10°

E)15°

18.- En un triángulo ABC, m 4 B = 120°. Ade más se sabe que : " I "=> Incentro del A ABC. "O" => Circuncentro del A ABC 14.- En un triángulo ABC : m 4 A = 2 m 4 C ; se traza la mediana BM talquelam ^l AMB=45°; calcular la m 4 CA) 10° B) 12°

C) 15°

D) 18°

"E" => ExcentrodelAABCielativoalladoBC. C alcu larlas 4 IEO. A) 15°

B)^2°30'

D)45°

E)60°

C)30°

E)22°30'

15.- En la figura, s i: 19.- En la figura mostrada, qué punto notable es "E” para el triángulo ABC.

H —> Ortucentro del A ABC Y además AM = MH y BN = NC ; se pide calcu lar la m 4 BNM.

A) 25° B)20° C)

15°

D) 12° 30' E) 10°

B) Baricentro A

C

C) Ortocentro

E) N.A.

Puntos Notables

Luis Ubaldo C.

20.- En un triángulo acutángulo ABC, H es el ortocentro y O el circuncentro. H allar la m 4 OBH, si m 4 A - ni 4- C = 24°. A) 18°

B)20P

C) 22°

D)24°

E)30°

21.-En la figura mostrada : H —> Ortocentro del A ABC; además : BH = 16 y AC = 30. Hallar : MN A) 15 B)8,5 C)7,5

373

25.- En un fc. ABC (m 4 B = 90°), AB < BC, se traza la altura BH, siendo M, N e I los incentros de ABH, HBC y ABC. Además m 4 BCA = 0. Calcular la m 4 IMN. A) 45 - |

B) 45 - |

D) |

E )6

C) 22° 30'

26.- Calcular la medida del ángulo H —» Ortocentro M —» Punto medio de AB N —> Punto medio de BC Q —> Punto medio de AH

S i:

A) 5o D)

9,5

B) 7,5°

E)18

C) 10°

22.- En un triángulo acutángulo ABC se tra D) 15° zan las alturas AM , BN y CL P or el E) 20° A ortocentro H. del triángulo se traza HD 1 MN 27.- En un cuadrilátero inscrito ABCD, P, Q y y por C se traza CE 1 MN. S son los incentros de los triángulos ABC , Si CE - HC = 7 y m 4 MLN = 90°. calcular MN. ABC y BCD respectivam ente. A) 14

B) 12

C)3,5

D)7

E )^ v 2

23.- C alcular*, si : AE = BC y AD = BE

Calcular la m 4 PQS. A) 45° B)60°

C)75°

D)90°

E)120°

28.- En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH , luego se trazan HM _l_ AB y HN ± B C . Hallar MN, si el perímetro del trián gulo pedal correspondiente al triángulo ABC es 24 m.

24.- En un triángulo rectángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, siendo I el incentio. m 4 B = 90° y 3(B1) = 4 (ID). Hallar la relación entre las longitudes del circunradio y el inradio del A ABC. A) 3

B)4

C) 1,5

D)2

E)4,5

A) 12 m

B) 18w

D) 24»i

E) 9m

C)20m

29.- En un triángulo ABC, el ángulo B mide

135°. Se traza la ceviana BF de modo que AF = 7 y FC = 18. H allar la m 4 BAC; si 4 B A C s 4 FBC. A) 30°

B)36°

C)37°

D)45°

El 53°

374


30.- En un triángulo acutángulo ABC, H es ortocentro y O es circuncentro . Si BH = 6 y BO = 5 ; calcular AC. A) 12

B) 10

C)7

D)8

E)9

—^ 31.- Sobre la bisectriz del BM 4 B de un trián gulo ABC, se toma interiormente el punto P. Sabiendo que : m 4- ABP = 20 , AB = BM m 4 A PC = 90 + 20 , y , m 4 PCB = 30 .

C alcular: 0 A) 5o

B) 7,5°

Ernesto Quiroe R.

35.- En un triángulo acutangulo ABC, la recta de Euler determina con sus lados un cuadrilá tero inscripiible. Calcular la medida del ángulo que fo rm a r d ich a re c ta de E u ler y el circunradio que pasa por B. A) 60°

B)53°

C)90°

D)75°

E)45°

36.- En un triangulo ABC "H"es el ortocentro, M y N son puntos medios de AC y BH res pectivamente. Hallar MN , si AH = 14 y BC = 48.

C) 10°

D) 12° E) 15°

32.- Del gráfico mostrado, hallar "0"

A) 24

E)25

Q 50

D)40

E)45

37.- En un triángulo acutángulo ABC se tra zan las alturas AN, BL y C M . Si m 4 C = 45°, CM = 6 ; hallar la distancia del vértice C a NL.

B

A) 3

B)6

D)3V2

C)2yf3

E)4

38.- En un trapezo.de A B C D : m 4 ABD = 80° m 4 CBD = 50py/?j 4 ADB=m 4 BDC = 60°. Calcular la ni 4 BAC. A) 10°

B) 12°

C)15°

D) 20°

E)25°

33 - En un triángulo rectángulo ABC recto en B; I es incentro y E es excentro referente a

B)30°

C)45°

Di 53°

E)ó0°

34. ■El 4 B de un triángulo ABC mide 16°. 1 es incentro y E es excentro relativo a BC. Si IE = 2 AC , calcular la m 4 ACB. A) 118°

B) 108°

D) 132°

E) 135°

B) 10°

C)30°

D)15°

E)25°

39.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B , se traza la mediana A M . Si m 4 AMB = 2m 4 A ; h allar: A M / BC

BC. Si AI = IE , calcular lani ¿L ACB A) 37°

A) 20°

C) 120°

A) 2/3

B)2

C)3/2

D)4/3

E)5/4

40.- En un triángulo acutángulo ABC se tra zan las alturas a H y bN .A H prolongado interfecta a la circunferencia circunscrita en P. Calcular lam 4 PBN, s i m 4 AON = 30°. (O es ortocentro del A ABC) A) 60° B)75°

C)90°

D) 105°

E )^

’T / c o u in á s recto* û/alelas determinan ¿obre dos o m ás secantes segm entos proporcionales", es decir si «-> <-> <-> en la figi'ra adjunta a II b II c ; y son rectas secan tes, e n to n c e s:

AB BC

DE EF

... ( 11.1)

l g TELVLES APLÍCALO A 'JN TRIANGULO Si en la figura adjunta MN II AC, entonces :

BM MA

uN NC

... ( 11 .2 )

113 TEOREMAS DE LA BISECTRIZ A) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR.

Si BD es bisectriz.

AB AD

BC CD

... ( 1 1 .3 )

Fig. 11.3


376

Ernesto Quispe R.

B) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

Si BD es bisectriz exterior : AB BC AD " CD

(11.4)

Fig. 11.4

11A TEOREMA DEL INCENTRO En la figura adjunta : "I” es incentro del AABC y BD es bisectriz interior. r rrr.

BI

Luegu ■n r

AB + BC

B

. (11-5)

AC

Fig. 11.5

11 ¿ TEOREMA DEL INCENTRO Y BARICENTRO Si para el A ABC se tiene que : "I" es incentro "G" es baricentro e IG // AC, entonces

AC =

AB + BC

...(11.6)

11.6 TEOREMA DE MENELAO Para el A ABC £ es una recta secante : Luego : AT- BK- CQ = TB-KC-AQ

I

...(11.7)

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C

377

J M TEOREMA DE CEVA Coi i al D ABC AK , BQ y CT aun êvianas concurrentes lu eg o :

AT • BK • QC = TB • KC • AQ

,(11.8)

OBSERVACIONES : a)

Las cevianas AN, BL y CM son concurrentes

=> M, N y Lson puntos de tangencia

b)

Las cevianas AN, BL y CM son concurrentes

=> M, N y Lson pu.itos de tangencia B

V Æ

)

------

^

A

L

C F¡s 11.19

1*8

í í

A Z A

k

M O N

i

CO

Si A, B, C y D forman una cuaterna armónica, en—> — > — > — > tonces OA, OB, OC y OD es un haz armónico. —>

—>

—>

—>

Donde OA, OB, OC y OD se aenom inan layos de haz.

Fig. 1' 2V

378


Ernesto Qulspe R.

¿11.S»PROPIEDADES ESPECIALES a) "Si los lodos de un triángulo forman uno progresión aritmética, entonces el segmento que

une el incentro con el baricentro es paralelo al lado de valor medio”. FigA 1.21 a Se cumple que :

IG // AC

b) " El único triángulo rectángulo donde se cumple que el segmento que une el incentro y

baricentro ejparalelo a un cateto, es el ae 37°y 53°. FigA 1.21b Si IG // BC , entonces :

m 4I A = 53°

a

m ^ C = 37°

c) En la FigA 1.21c , si m 4I B = 120° y BD es bisectriz interior, entonces :

1 Et)

-L + -L Au

BC

d) En general, si m 4- B = 20 y BD es bisectriz interior => e) En la FigA 1.22b , si MN / / AC , entonces :

...(11.9)

^ beT^ =

+ íc

“ 0 1*1*0

BLes mediana

f) Si A, B, C y D en la Fig. 11.21 b , forman una cuaterna armónica y í es una recta cualquiera que intersecta a todos los rayos del haz, entonces T, K, Q y H forman una cuaterna armónica

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C

379

e>€RCicios D€ a r u c a c i ó n

1.- En un triángulo ABC, se toman los puntos D y E e n AB y AC respectivamente de modo que: AD = x - 2 , AE = 6 , BD = x - 4 , EC = x - 3 ¿Para qué valores de "x" se verifica que DE / / BC?

Resolución.-

A

Para este ejercicio vamos a aplicar el teorem a de Thales, teniendo en cuenta el item 11.2, en to n ces: x -2 x - 4

=

6

x

-

3

Donde al multiplicar en aspa tendrem os x 2- 5jc + 6 = 6x - 24

B

C

Pasando todo a un solo m .em bro y aphcando aspa simple, obtendrem os: (x - 5) (x - 6) = 0 En consecuencia: jr - 5 = 0 A j r - 6 = 0 D onde:

x = 5

a

jc = 6

Los valores son 5 y 6 2.- Se cumple que : L1/ / Ls / /L 3 y S1y S2 sor. secantes, tal como se Índice en la figura. Calcular >a longitud del segmento AB

Resolm i jn-Por dato del problema, sabem os que L, // L2 // L3 , nos damos cuenta que podem os aplicar el teorem a de Thales, teniendo en cuenta el item. 11.1. Entonces:

4*=

Multiplicando en aspa, tendrem os :200 -8x = I2x Donde :

20x = 200 jc

= 10

3.- En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior y la exterior del ángulo B, cortando al lado AC en F y E respectivamente, calcular FE, si AB = 8, BC = 6 y AC = 7

380


Ernesto Quìspe R.

Resolución.En el triángulo ABC, aplicaremos el teorem a de la bisectriz interior, expuesto en el item 11.3a. Entonces :

_8_

_ 6_

AF

FC

4FC = 3AF ... (1)

También en el mismo triángulo ABC, aplicare mos el teorem a de la bisectriz interior, m encio nado en el item 11.3b. Luego .

8

ae

-

6

4 CE = 3AE... (2)

ce

La expresión (2), se puede escribir a s í: Reemplazando:

4 CE = 3 (7 + CE)

Efectuando:

4 CE = 21 + 3 CE

En (1) :

4 (AC - AF) = 3 AF

Ahora

4 CE = 3 ( AC + CE) 7 CE = 21 4 AC = 7 AF

\F

En consecuencia:

AF = 4

Luego :

FC = 3

Nos piden :

FE = FC + CE

Reemplazando :

FE = 3 + 21

FE = 24

4.- El perímetro de un triángulo ABC es 25, la bisectriz interior AD = 1 0 y BC = 5, calcular la distancia del incentro al vértice A.

Resolución.B

Apiicando el teorem a del incentro (item 11.4) : AI ID

AB + AC BC

Hagamos el siguiente artificio : Al. _ AB + AC ID 1 BC Donde :

Al ID

BC BC

, _ AB + BC + AC BC

AI + i = 25 ID 1 5

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

Ahora :

381

= 4

Luego:

x

=

Resolviendo:

4(10-jc) 5 x = 40

A l = 8

5.- Dada la siguiente figura, donde AP = 2PB, QC = 4, BQ = 6 = 2 C T , calcular AT.

Resolución.En el triángulo ABC, PT es una secante a sus tres lados, entonces aplicando el teorem a de Menelao, tendremos : AP • BQ - CT = PB -QC - AT... (1) Por dato, s e a : PB = a

=*

AP = 2o

y QC = 4

C om o:

=*

CT = 3

y BQ = 6

6 = 2CT

Reemplazando en (1) :

2o • 6 ■3 = a ■4 • AT

Simplificando :

36 = 4 AT AT = 9

6.- En un triángulo ABC, se trazan las cevianas AM , BL y CN concurrentes en el punto “O", si se cumple que : AN = MC, AL = 2 y BN = 2 CL = 8, hallar BM

Resolución.S ea:

AN = o

=>

MC = o

También BN = 8 , pero :2 CL = 8

=>

CL = 4

Para este problem a aplicaremos el teorem a de Ceva. Donde : Simplificando:

a ■jc • 4 = 8 ■a • 2 4 x = 16

x =4

382


Ernesto Quispe R.

7.- Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el cual m 4 A = m4-C = m 4 -2 B , además la mediatrizde AB corta a BC en E, siendo E C = 1 Hallar AC.

Resolución.De los datos es fácil deducir que :m 4 A = m 4 C = 72°, y, m 4 B = 36° Además del A AEC es isósceles :

AE = x

También el A AEB e s isósceles :

BE = x

En consecuencia:

BC = AB= x

B

+1

En el A ABC aplicaremos el teorem a de la bisectriz interior vista en el item 11.3 a : x + 1_ x x ~ 1

D onde:

x + l = x2

=>

x 2- x - l = 0

Aplicando la fórmula general de una ecuación cuadrática:

8.- Dado el triángulo ABC, donde AB = 3 , BC = 6 ; hallar el lado del rombo inscrito BMNP.

Resolución.Hallaremos el ladox del rombo, trazamos la diagonal BN del rombo que será bisectriz interior del 4 B. En el triángulo ABC, aplicaremos el teorem a de la bisectriz interior vista en el item 11.3a. E ntonces:

! = í

-■<»

el item 11.2 6 - x _ y_

(1) = (2):

x

z

6 -x

6

... ( 2)

6 - x = 2 x —2

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

la figura mostrada se saDe que AT = 9 y además BM = 4.

1.- En

Hallar MT.

Resolución. Por la teoría de ángulos en la circunferencia, tenem os que : m 4 MTQ = m 4- MNQ = 0 m 4 ATQ = m 4 QNT = a

Por ángulos altemos internos, se te n d rá : m 4 B = m 4 ATQ = a. Luego AANT —A TBM, entonces : 2

x_

x =36

4

x

= 6

2.- En la figura se tiene que TC / / AB, además TE = 5 y EA = 4. Hallar AB (T -> Punto de tangencia)

Resolución.En la figura , luego de instalar los ángulos corres pondientes observam os que el A TBA es sem ejante al A BEA, entonces : x

4 x

5 +4 x = 4 -9

x = 6

383


384

Ernesto Qulspe R.

3.- En la figura mostrada, se sabe que : AB FB

BM MN

3 pg 2 ’ y’

p fl

g

^ y

Hallar la medida de FC.

Resolución.el A ABF, se tendrá :

Puesto que : De (1) y (2):

AB FB

= EF

..(1)

AB FB

3 2

-(2)

_6 _

3 2

F.F

_ 6_

EF = 4

Además por d a to : En el gráfico:

= ^ = \

BM MN

3 2

BM MN

AE EF

Esto implica que : AB // EM // FN. Finalmente en el A ABC: Donde :

x x + 10

FN AB

FB AB

2

3

3x = 2 (x + 10) x = 20

4.- En la figura mostrada; PM = 2 y M T = 4. Además se sabe que PQ / / AB. Hallar AP. ( T - * Punto de tangencia)

B

I

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

Resolución.a b

Por dato sabemos que : PQ // AB De donde :

x

CD

4

MQ // PB

Además :

b

2

i - (2)

1 -4

De (1) y (2) :

x ~ 2 x = 3

5.- En la figura mostrada se sabe que : MN = 24 también ™

y

=J

Hallar "x".

Resolución.Por dato :

^ , esto podem os desdoblar así : AB = 3a y AN = 8a.

Por otro lado observamos que : A ANM —A

De donde : En el A ABM : De (1) y (2) :

8a

24

m

n

HL = a n 3

3a x

m n

a

3a

3

x

jc =

(i)

9

6.- En la figura "G" es baricentro del triángulo ABC. S i: PB = 12 y AC = 2 CR Hallar QC.

I

B

385

386


Resolución.-

B

Si "G" es baricentro del triángulo ABC Entonces :

Ernesto Quispe R.

BG = 2 GM = 2a

En el triángulo MBC (PR

—» secante)

Aplicamos el Teorema de Menelao : 2jí x .2n = j¿ - 12 n x = 3

8.- En la figura que se muestra, se pide hallar PQ, si además se sabe que PM = 4 y MN = 9

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

9.- Dada la siguiente figura, calcular la razón (

Resojuripn.Por proporcionalidad : Entonces :

= y ; pero AN = 1

AM = 8/15 y MN = 7/15

Además : A AMT —AANC , por ello : MI NC

_8_

MT = 8n y NC = 15n

15

También :

g + b _ _6_

Y: De ( l) y (2) : f

15n

_b_ _ 8n = ||

13

...

( 1)

- ( 2)

a b

49 52

10.- En la figura, se pide hallar M N , s i : BN = 12, NQ = 6 y PQ = 5

387

388


Resolución.Trazamos BF, verificándose entonces que : FB // PN El trapecio FQNB es isósceles FQ = NB = 12 Luego el A QMN es isósceles : QM = MN = x El ^ MEN ~

QE = EN = 3

FPQ

x_ _ ¿

12

y

5

36 5

11.- En la figura mostrada, BC = 2 y AB = 3 . Con estos datos se pide hallar CD.

Resolución.Bx OMA ~ Bx Q,NB

R r

Bx OAD ~ BxO, BD

K x +5 r ~ x+2

De (1) y (2) : D onde:

3

(1)

2

(2)

x +5 _ 3 x +2 2 2 x + 10 = 3x + 6 jc =

4

12.- En la figura, se sabe q u e : AB = 8 y BC = 3 Con los datos dados, hallar CD.

Ernesto Quispe R.

Proporcionalidad

Luis Ubalaü C.

Resolución.Por el Teorema de Menelao en el

ABN :

AM - NH - 3 = MN ■HR (8 + 3) ... (1) En el A ANC: AM ■NQ ■x = MN ■QC (11 + x)... (2) Dividiendo (1) y (2)

=* Pero;

f

g

^

■n." QC _ 11* NQ.HR ” 3(11+ x) NH.QC ii NQ.HR “ IT

Reemplazando (0) en (a) :

"

3(iV+x) =

■

5x = 33

Donde :

8x = 33 + 3x x = 6,6

13.- En la figura, si AB = 5 y B C = 3 , se pide deter minar la medida de CD.

Resolución * Eix 0,CD ~

OAD entonces :

* Por proporcionalidad

De (1) y (2) : Donde :

3 D

= | 2 x = 24

r = ~5

— (2)

=* 5* = 24 + 3x x = 12

14.- En la figura mostrada se dan dos circunferencias y la longitud de algunos segmentos. Hallar "x"

389

390


Resolución.En el gráfico observamos que : * A MCQ - A ECN

n (m + ni) = 4 . 6

Efectuando

n (m + rí) = 24

* A MCQ ~ A MCQ

n (m + n) = x (x + 5) ... (2)

De (1) y (2) :

... (1)

x (x + 5) = 24 2

D onde:

x + 5x - 24 = 0

(Aspa simple)

x = 3 15.- En la figura mostrada, hallar EC si AE = 6 y BE = 4 / 3 . (T y Q son puntos de tangencia)

Resolución.En el gráfico observamos que : m + n = 180°.

Entonces el cuadrilátero TBQE es inscriptible. Luego : A ABE —A BCE x _ 4 j3 4J3 ~ 6 x = 8

16.- En la figura mostrada se sabe que : 2 PE - 3 EFy QN = 3. Hallar PO.

Ernesto Qulspe R.

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C

Según el dato :

^

En el gráfico:

=»

PE = 3n y EF = 2n.

p/ /

PQ = x y QN = 3

/Y x

/3n\ EnelA FPQ (M N —> es secante de dicho triángulo) Aplicamos el Teorema de Menelao :3n . a . 3 = 2n . a . (x + 3) Simplificando:

9 = 2 (jf + 3)

De donde :

=>

2x + 6 = 9

2x = 3 x = 1,5

17.- En la figura mostrada, calcular el va lor de "x"

En el gráfico observamos que el triángulo ABC es semejante al triángulo DAC. Entonces :

4= — 4 x

=>

x 2 = 36 x = 6

18.- En la figura mostrada, MC = 6 y OA= AB. Hallar AM.

I

Q a

i E\ a 2n

..3

391

392


Ernesto Quispe R.

Resolución.E1

AOC ~

* + 6 = rt-j2 n j2 6

OMC

2 n = 6 (x + 6). El

OMA ~

-.0 ) x. — n n x +6

COA

n = x (x + 6) . . .

Dividiendo (1)

- ( 2)

2n _ 6U + 6) n2 x íx + 6)

(2) :

D onde:

2= — x

x = 3 19.- Con los datos señalados en la figura, calcular el valor de "x".

Resolución.En el gráfico: AB // NC , entonces : o _ 2 b

4

b

2

También AM // BN, entonces : o — x b 2+ 4

De (1) y (2):

a _ b

... ( 2)

x _ 6 x = 3

20.- En un triángulo ABC, donde BC = 2 AB, se traza la altura BH tal q u e: m 4- HBC = 3 m 4 ABH Si además AH =2, se pide calcular HC.

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

393

R esoludón.Al trazar la bisectriz interior BD del trián gulo ABC, resulta el triángulo isósceles ABD, d o n d e : AB = BD = c

a

AH = HD = 2

Por el teorem a de la bisectriz: c

2c x -2

x -2 = 8 x = 10

21.- En un triángulo ABC se verifica q u e : m 4 - B = 120ey además los lados a y e s e rela cionan así: — + ~ = 0 ,3 . Calcular la longitud de la bisectriz interior BD. C

d

Resolución.Por el Teorema de la bisectriz interior :

— n = -a

Trazamos DP // AB , luego el A BPD es equilátero donde : BP = PD = x En el A ABC, por Thales :

x ___ m a -c n

(1) en (2):

x o -c

( 2)

c_ o

x = 3

22.- En la figura mostrada se dan clrcunferencias tangentes de radios a y 3a . Con estos datos se pide calcular el va lor de "x".

Resolución.ElAATC ~ A ACQ -A A Q D 2

Entonces : 12J = (o + n) . (4a + n) Luego:

X2 = n ( a + n )

... ( o


394

Donde :

= 4q + ^ n

x?

; tam bién :

2

n+a

= — ... (2) x

l n + 4 a \ _ 4 a + n _ 122 \n + a ) n x2

De (2) elevando al c u ad rad o : n (n + 4a) = (n + a )

——

Ernesto QUspe R.

\

=>

2

o + 4 a

Este último reemplazamos en (2):

\

nC + 4an = tj

2

+ 2an + a

io

------~ x jT Ü

rt + 4a _ _¡_

_

(n + a)

2

=>

v

n= í „

= > t^ =

|

^ x = 4

23.- Los puntos A, B C y D colineales y consecutivos, forman una cuaterna armónica. S¡-

- 2 ________________ b __________ £ _

* '•

BC

CD ~ AC

Calcular: a + b + c

Resolucimi Si A, B, C y D forman una cuaterna arm ó n ica, entonces : AB ■CD = AD • BC Pero:

AB = AC - BC

y

AD = AC + CD

=>

(AC - BC) CD = (AC + CD) BC

AC - CD - BC • CD = AC - BC + BC - CD AC . CD - AC • BC = 2 BC ■CD

__A__________ B

Dividiendo a am bos miembros entre : AC • CD ■BC AC.CD AC.BC 2BC.CD AC.CD.BC ' AC.CD.BC ~ AC.CD.BC ~ . Del d a to : De (1) y (2):

a b BC ' CD ~ a = 1 , b= 1

c AC y

^ c= 2

a +b +c= 4 24.- Hallar el radio de la semicircunferencia.

^

1 BC

1 2 CD " AC " (1)

C

D

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

395

Resolución.Por 4- inscrito:

m 4 ASB = 90°

m 4- MSA =

= 45°

=>

rn 4- ASP = 45°

=>

m 4 PSB = 45°

Para el ^ ASB: SP y SQ son bisectrices inte rior y exterior respectivamente . Luego A, P, B y Q forman una cuaterna armónica cumpliéndose adem ás : (Descartes) Luego

Jr

2

1

1

R= 4

25.- En la figura se sabe que : AB = 2 B C , 2 CM = 5 B M . Hallar : x

Resolución.-

A

H acem os: CM = 5o

=¡>

MB = 2o

y

Ex ABC, por el Teorema de la bisectriz resulta :

AB = 14o AD = 2 DC = 2b

Prolongamos CO hasta L y aplicamos el Teorema de Ceva en el ^ ABC : (2fc>) (5o) (LB) = (fo) (2o) (14o De donde :

LB = ^

Esto significa que : m 4 LCB = 18,5° Y puesto que la . m 4 ACB = 63,5° Se tiene :

x = 63,5° - 18,5° x

= 45°

26.- En un triángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes A N , BL y CM ■Las prolon gaciones de MN y AC se cortan en P. Si : -jfo- +

^ . Finalmente calcular AC


396

Ernesto QuIspeR.

Resolución.Con respecto al A ABC : PorCeva:

AM. BN. CL = MB. NC. AL... (1)

Por Menelao : AM. BN. CP = MB. NC. AP... (2) ^ (U : (2) : c p - AP

^

AL _ AP LC “ CP

Con lo cual se deduce que los puntos A, L, C y P forman una cuaterna armónica Luego por Descartes :

2

1

1

1 =

tj

AC = 10 27.- En un triángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes AP , BQ y CL las cuales se cortan en O, si ^

+ p £ = 0,4. Hallar

Resoiuc.on.Por el Teorema de Menelao en el A ABQ : (LA) (BO) (QC) = (BL) (OQ) (AC)

A QBC :

($ )( & ) - ft-c o (PC) (BO) (AQ) = (BP) (OQ) (AC)

-

(«)($)-■ £-«

BO OQ

1 QC + AQ _ B L . B P “ LA + PC AC

Finalmente

Para el problema :

BO BL . BP OQ - L V + PC

Teorema de Van Aubel

BO = 0,4 OQ

28.- Por los puntos medios de las diagonales de un trapezoide ABCD se traza una recta la cual intersecta en P a AB y en O a CD. Si AP = a,- PB = b y CO = c ; hallar QD

Luis Ubaldo C.

Proporcionalidad

Resolución.Por B y C trazamos : BR // PQ y CT // PQ Luego PIW y NO resultan ser bases m edias de los triángulos ATC y BRD respectivamente. De donde : AP = PT = a

=»

BT - a - b

RQ = QD = jf

=>

CR = c - x

y

En el trapecio PTCQ, por Thales a -b _ c -x b x

Donde :

a x -x b = be-bx

x

= be

Hallar: OB

Resolución.Sea T : AR n CM Luego en el A ACP : Por 4 inscrito: Y

^ (Teorema de la bisectriz)

m 4 BAR = ^ m 4 CMS = y

= 0 =0

El □ AMQT es inscriptibie, donde : m 4 AMT = m 4 AQT = p

QT // BC , luego por Thales en el A ABP Donde x= 3

^

^

397

398


Ernesto Qulspe R

30.- A partir de los datos que se muestran en el gráfi co adjunto , se pide calcular el valoi de x .

Resolución.E>. el ÉX AEM : rr¡4 AOM = y

= 45°

En el Ex NFC : m 4 NOC = ^

= 45°

En el EX ABC : m 4 AOC = 90 + y - = 135°

4

De donde :

m 1 MON = 45°

Para el A AON : OM y OC son bisectrices interior y exterior, luego : A, M, N y C for m an una cuaterna armónica de donde

31.- En el hexágono regular mostrado se sabe q u e A P = 8 y PQ = 2 . Con estos datos se pide hallar OT.

Resolución. Cada arco que subtiende el lado del hexágono regular m ide : m AB = m B C =

360 = 6 0 o M

Por 4- inscrito: m 4- ADB = m 4 BDC = 30° m 4 CDT = m 4 TDH = 60°

A dem ás:

Con respecto al A AUQ, observamos que DP y DT son bisectrices .Luego los puntos A , P , Q y T forman una cuaterna armónica con lo cual se tiene : 8 2

10 + x x

4x = 10 + x x = 10/3

I

60° V

r

Proporcionalidad

Luis Ubaldo O.

399

32.- Las medidas de los lados de un triángulo son números enteros y consecutivos .Hallar su perímetro si la medida del mayor ángulo es el doble de la medida del m enor.

Resolución.Sea el triángulo ABC , donde : AB = o -1 , AC = a , BC = a + 1 y m ^ A = 2m ¿|C C = 0 A continuación trazamos la bisectriz interior BD . Luego por el Teorema de la bisectriz : a -1 _ a +1 AD — DC

f(¡1

En el A BDC, trazamos la cevia.ia DE de modo que : m 4 EDC = 0 Luego : A ABD = A BDE =* y

AB = BE = a - 1 AD = DE = EC = 2

Además :

DC = a - 2

Sustituyendo en (*): a -1 a+1 2 “ a-2

A 2 D a -2 C Hs------- ------- — — ----- a ------------------------------ H

Resolviendo : a = 5 2

p (A ABC) = 15

33.- "I" es el incentro de un triangulo rectángulo ABC (m 4- B = 90B) . Se traza la bisectriz interior BD estando D en AC , calcular ID si el inradio mide 1 y AC = 1 0 .

Resolución.Por el Teorema del Incentro : A B ^C 10

Por el Teorema de Poncelet : AB + BC = 10 + 2(1) = 12

... (2)

Trazamos IH 1 BC Luego en el Ex BHI de 45° : B1 = ^2

... (3)


400

Ernesto Qulspe R.

J2 12 x "10


34.- ABCD es un cuaurílatero inscrito donde AB = A D y AC es diámetro . También se sabe que P es un punto del arco BC y además PA y PD intersectan a BC en E y F respec tivamente . Si B E = 3 y EF = 2 , se pide determinar F C .

Resolución.Por 4- inscrito: m 4- BPA = m 4 APD =

a

m 4- DPC = 0

Adem ás:

Prra el A BPF : PE y PC son bisectrices interior y exterior Luego, aplicando la Relación de D escartes, tendrem os : 3

2~

5 +

jc

x

x = 10 35.- Calcular la medida de un ángulo inscrito ABC, para que sus trisectrices formen con sus lados un haz armónico.

Resolución.Sean BM y BN las trisectrices del ángulo ABC. L uego: m 4 ABM = m 4 MBN = m 4 NBC = a Trazamos AC siendo P : AC n BM y Q : AC n BN . Por condición del problem a, se debe cumplir que los puntos A, P,Q y C feirman una cuaterna armónica v que, para el AABQ, BP es bisectriz interior. Entonces BC será bisectriz exterior. m 4 QBC = m 4 CBL = a

Es d ecir: => Entonces :

4

a=

180

y a=

m 4 ABC =

45° 3 a

ni 4 ABC = 135°

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C. 36.- En la figura, TB = 7 , AT= 15 , AK = KC y GC = 4. Calcular TG

Resolución.Aplicando el leor. de Thale^ en el, i ABM tendrem os : ^ = ^ KM 7

=> AK= 15 o y KM = 7o

A dem ás:

MC = 15o - 7o = 8o

EnelATKC: x = 3,5 37.-En la figura "O" es el centro de la circunferencia y además se verifica la siguiente relación:

1

1

AH + A E ~ ° ’5' Calcular la medida de R .

Resolución.Hacemos : m ÍD = 2a Luego por 4- inscrito :

m 4- TAD

=a

Luego por 4 semi - inscrito : m 4 DTE

=a

En el fei. ATD : m 4 HTD = m 4 A = a

y m 4 ATH = m 1 D = 0

De donde observamos que los puntos A, H, D y E forman una cuaterna arm ónica, luego de la Relación de D escartes: 1 2 AD AH 2 1 2R “ 2 R = 2

1 AE

4

401


402

Ernesto Qulspe R.

38.- En la figura mostrada se sabe que MO = 3 AM . Con los datos adicionales que se muestran en el gráfico , se pide calcular el valor de x .

Resolución.R

Completamos la semicircunferencia AB Luego por Propiedad se sabe que : m 4L ATM = m

MTB = 45°

Además : m 4- TBA = x , AM = o, MO = 3a y : OB = 4a En el éx ATB, por el teorem a de la bisectriz interior tendremos : AT TB Es d ecir:

jc =

O ...........

a la 8°

39.- En la figura se da elAABC en el que se han indicado dos ángulos de igual medida "a ". Calcular m 4_ PQ L.

Resoluclón.En el A ABC , por Ceva : AP • BL - QC = PB - LC • AQ .. (1) En el A BQC , por el Teorema de la bisectriz . BQ QC BL - LC

=>

BL • QC = BQ • LC

Sustituyendo (2) en (1 ): AP • BQ -^ 6 = PB De d o n d e:

AQ AP

BQ PB

... (2) ■AQ

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C.

Esta expresión es el teorem a de la bisectriz interior para el A AQB Luego : QP es bisectriz interior m £ PQL = 90° B

40.- En la figura, el triángulo ABC es equilátero y Bm , BM , BN y CB forman un haz armónico. Hallar x.

Resolución.Para el A BAM : AP es bisectriz interior. Luego : M. = J - + í

AP

AM

2cos30° AP

AM + 7

0)

/

Los puntos A, M, N y C forman una cuaterna ar mónica . Luego por Descartes :

JL _

1

1

( 2)

AN _ Am + /

De ( 1) y (2) :

AP

=>AP = 3k

AN y AN = 2k

Trazamos PQ 1 AN, luego Eix AQP de 30° y 60°: PQ= |^ 3 De donde :

y AQ= | * 3,

*

QN = 2 k - ^ k = 2

En el Ex PQN que mostramos

x = 60° Qk/2 N

403


404

PROBLEMAS

Ernesto Quispe R.

PROPUESTOS

• <__________________

1.- En un triángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CN intersecándose en Q. Si AC = 3 B Q ; hallar la m 4- HCQ. A) 26^0

B) 18° 30

D) 14°

H 8o

C)26°30

6.- En un cuadrilátero AbCD circunscrito a una circunferencia y tangente en T y Q respectiva mente, TQ intersecta a AC en E. S i : CE = 10; QC = 8 y AT = 4; H allar: AE A) 1

2.- En un triángulo acutángulo ABC, la dis tancia entre los pies de las alturas relativas a los lados AB y BC es 24. Hallar la longitud del circunradio del triángulo ABC, si además m B = 37°.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

7.- En el gráfico, calcular V , s i : AP = 3 BQ.

4

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

3.- En la figura, AB = 12, PQ = 4 y AC = 18. Hallar PR. A) 8/3

B

D) 3772

E) 5372

8.- En un triángulo ABC de baricentro "G", se traza la mediana B M . Luego se traza la bisectriz interior AE en el triángulo_ABM. La prolongación de CG intersecta a AE en D. Si: AB = 5 y AC = 8 ; hallar: AD/DE

B)7/4 C)8/7 D)6/5 Ej3

A) 3

4.- Eli un cuadrilátero ABCD las diagonales se ií tersectan en Q. En la prolongación de BC se ubica el punto F. Si: m 4 BCA = m 4 FCD m 4- BAC =m CAD , A D= 12 , Q C=3 y C D =7

4

B )4

C )6

D) 8

E)12

9.- En un triángulo ABC (m 4 B = 90°) se traza la mediana B M . Por el punto medio N de dicha mediana se traza una recta perpendicular a AC que intersecta a BC en los puntos Q y P. S i : PQ = 5. QN = 4 , hallar AC A; 16

B) 18

C)20

D)22

E)24

Hallar AB. A) 3

B )4

C) 7

D) 9

E) 12

10.- Calcular x3.

5.- Por el baricentro de un triángulo ABC se traza 1PQ (P e AB y Q e ÁC), tal que: AP = 10 y 3 •AQ = 5 • QC. Hallar PB. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

10

E) 5 A; 30°

B) 37°

C )53°

D) 60°

E)75°

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C. 11.- En un triángulo ABC, en AC se conside ra el punto H, por H se traza la perpendicular PH a AC que intersecta a AB en Q. Además : m 4 PAB = 53°, m 4 ACB = 143°, AP = AB

y

AH = 1 2 .

Hallar HC A) 4

B) 6

C) 7

D) 8

E) 12

12.- Desde un punto exterior "P” a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PC, lue go la secante PDB. Si BC = 7 CD y DA = 3. Hallar BA A) 25

B) 23

C) 21

D )2 4

15.- En un cuadrilátero ABCD, AB = 1 2 , A D = 10, BC = 6 y BD = 8. Hallar CE, si "E" está en BD y EB = 5. Ade más m 4 - BAD - m 4 CBD. A) 1

B) 2

C) 3

A) 5

B) 8

C) 10

D) 37°

E ) 53°

D) 15

E) 20

17.- En la figura, s i : DC = 3 , EC = 1 ,

C) 60°

14.- En la figura; hallar MN. Si : AN = 6, AB =10 y r= 1

y A D = ^

Hallar EB. (B y D son puntos de tangencia).

A) J l

D

B) 45°

E) 5

16.- En una circunferencia de diámetro CE, las cuerdas BE y AC se intersectan en F, el diámetro BD intersecta en G a AC. Hallar GC. Si AF = 3 , FG = 2 y AC = BE.

m AD = m AB

A) 30°

D) 4

E )28

13.- Si ABCD y MCNQ son cuadrados , cal cular el ángulo 0.

A

405

d

) |V T

C ) 3V2

B)2y¡2 ü

E

) |7 I

o

18.- En un hexágono equiángulo ABCDEF en el c u a l: DE = 2 BC y EF = 2 CD. Hallar BF , si además se sabe que BD = V 3. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

19.- En un triángulo ABC de baricentro G, sobre AB y BC se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que BP = 4AP y BQ = 8. Calcular QC, si P, G y Q son colineales. ' A) 2

B) 4/3

C) 8/3

D) 4

E) 16/3

20.- En un triángulo ABC se trazan la mediana A M , la bisectriz interior CN y la ceviana BD, concurrentes. Se traza N I J_ AC. Hallar TS

406


si : CD = 6 ( S : AM n ND ) A) 3

B)2

Q4

Ernesto Quispe R.

H a lla r L R

D)6

E)2V3

21.- En un triángulo ABC en el cual se traza la altura BH, la mediana AM y la ceviana CN concurrentes en "P". Si BP = 3 . PH y NB = 16. Hallar AN. A) 8

B)6

C) 4

D) 12

E)16

22.- En la figura, O es centro. OP // AC ; ha llar: P M , si : AB = 9 , BC = 11 y AC = 16 A)

A) 3

B

B)4

B)

ab

E)

a -b

b (a + b ) a -b

C) 2 a 2b

D)1

C)

E) 1,5

26.- En el triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple q u e : i a c 2

23.- En un triángulo ABC (AB > B C ). Se trazan la bisectriz interior AL y la bisectriz exterior BE. Asi mismo la prolongación de BE intersecta a ABen D . Hallar la medida del ángulo B para que el mayor ángulo formado por AN y AN sea congruente al ángulo exterior B A) 45°

B)90°

C )60>

D)53°

Se pide calcular la longitud de la bisectriz ex terior BE A) -Jl

B)2

C)1

D) ^ -

E)4

E)72°

24.- En la figura mostrada, AB y AC son diá metros de las semicircunferencias. Hallar AE. Si FP = 2 y PB = 3.

27.- En la figura AB = BC, AM = MC. AB, AP, AQ y AC forman un haz armónico. Calcular*.

A )22°30' B)30° C)37° D)45° E)60° 25.- El gráfico mostrado es un trapecio isósce les, el lado QR mide b y el lado PQ mide a.

Proporcionalidad

Luis Ubaldo C. 28.- En la figura "O" es centro AB = 8 , OL = 3. Calcular OC, si el triángulo ABC es equilátero. B

407

32.-En la figura, MC HL = 54 , BL= 12 y BF = FC. Calcular BM A) 3 B)4 C)4,5 D)5 E)6

29.- El triángulo ABC esta inscrito en una cir cunferencia. La mediatríz de AC intersecta en E a AB y su prolongación intersecta a la cir cunferencia en G; siendo AB n GC : F . Además se sabe que AE= 12, EF= 10 y FB= 11. Hallar BC. A) 13

B)13,2

C)13,6

D) 13,8

E)14

30.- En la figura T y N son puntos de tangen cia , donde AB = 7 v BC = 3. Calcular CN.

33.- Dado el triángulo isósceles ABC (BC = AC) de incentro I . A continuación se traza la bisectriz interior BD Por I trazamos IT // AB (T en A D ). Si AT = 4 y DC = ó , hallar TD. A) 1

B)2

C)2,5

D)3

E)0,5

34.- Dadas dos circunferencias ortogonales; la recta que contiene a sus centros determina sobre la primera circunferencia los puntos A y C, y sobre la segunda los puntos B y D. SiBC = 3 CD = 6 , hallar AB (AD > AB) A) 4

B)5

C)7

DW

E)8

35.- En la figura : MN // AB y AB = a. Se pide hallar PQ

31.- El ángi-lo B Je un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mide 48°. Sobre la mediana AM se ubican los puntos P y Q. La prolongación de AQ intersecta en F a BC. Si B, P, Q y M for man una cuaterna armónica , se pide calcular lam 4IPFB. A) 66°

B)54°

A )J

B )|

C )|

D ) |a

E ) |a

36.- En una circunferencia de diámetro AB y un punto M sobre la prolongación de AB. Desde M se D)42° trazanE)36° las tangentes MN y M P . C)72° Ld cuerda NP intersecta en C al diámetro A B.


408

Si 3CA = 5CB y MB = 6. Hallar MA A) 16

B ) 12

C) 10

D) 8

E )6

37.- En la figura AB es diám etro, asi mismo T y M son puntos de tangencia. Determinar el valor de x.

A) 30°

B) 53°

C) 60° D )45°

E) 36°

38.- Hallar el menor ángulo agudo de un trián gulo rectángulo en el cual el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo a un cateto. A) 30° B) 36° C) 22° 30'

D) 37°

E) 15°

39.- El ángulo B de un triángulo ABC mide 16°, su perímetro es 56 y AB. BC = 600. Cal cular la distancia del incentro del triángulo al vértice B. A) 14

B) 21

D) 14V2

E) 28

C) 15^2

B) C)

41.- En un triángulo ABC, por B se traza una circunferencia que es tangente a AC en el pun to T, dicha circunferencia interseca a AB y BC en los puntos “R” y “S” respectivamente. / —n

^—v

AT

Si 4 RB = 3 BS y m RT = m T S , calcular

A>!

B )|

D )|

E)f

C) J

42.- Por el baricentro “G” de un triángulo ABC, se traza una recta que interseca AB y AC en “R” y “S” respectivamente; además a la prolongación de BC en “T”. Calcular RG, si GS = a y ST = b ab

A)

B)

3 ab a + b

D]

2 ab

C)

a - b ab

E) ab

En un hexágono regular ABCDEF se tra za en su región interior el cuadraddo AFGH, sobre EF se ubica el punto M; si CM interseca en N a GF, calcular CN, si MN = I y m 4- NGM = 30° 4 3 .-

A) 2

B) 2V3

C) 3

D) 3V3

E) 4

En la figura CQ es bisectriz, además PE = EC, AC = b y BC = a. Hallar PQ.

4 4 .-

40.- En un triángulo ABC de incentro "I": m 4 A = 73° , m 4L 39°. Si : AB = c ,BC = a y AC = b ; hallar IB. A)

Ernesto Qulspe /?.

(a + c)b a+b + c

D)

c(a + c) a+ b + c

E)

b(b+c) a + b+ c b(b + c) a + b +c

2 ab A) a + b ab

B) a - b ab

C) a + b D)

a + b ab

E)

a - b ab

be a+c

12.1 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

♦. V i

En la fiyurd adjunta, si u s medidas ue ios lados de los triángulos ABC y MNL son proporcio nales y sus ángulos son congruentes , entonces diremos que dichos triángulos son sem ejantes y escribirem os : A ABC ~ A MNL. AB

Cumpliéndose

_

b

C

AC

MN - NL - ML

BH NP

=k

donde : k = razón de semejanza. Observación : Los lados opuestos a los Angulos iguales se llaman "l ados homólogos" y estos

son proporcionales.

ÍZ& CASO& DE SEMEJANZA DE TRL\NGULOS 1 " CASO

Si:

»DO

¡4-A = 4LtA

A ABC - A MNL

4LCS4LL

CASO ¡4LA = 4LM

Si:

!A B M N

_

A ABC ~ A MNL

AC M L

3 er CASO

BC NL

AC ML

Fig. 12.4

I


410

Ernesto Quispe R.

CONSECUENCIAS:

a)

b) Fig. 12.6

Si : MN // AC

Si : AN y CM so n a l'u ra s

=> A MBN -A ABC

=> A MBN ~A ABC

12.3 SEMEJANZA DE POLÍGONOS Los polígonos ABCD y PQRS de la figura adjunta son sem ejantes ya que se pueden descom poner en un núm e ro igual de triángulos sem ejantes.

B

Q

Í^ / ^ \

Cumpliéndose que : \

[ cl/

AF _ BC _ CD AD AC PQ “ 1¿R “ “ PS “ PR

K e

A

p

le y

A

K e

D

P

\ P A

s Fig. 12.7

NOTA.- Todos los polígonos sem ejantes tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

12.4 PROPIEDADES £RfFOKXAX1TES B ____C

/V " \q

/

/M

\

\

A

D Fig. 12.8

Si : BC // PQ // AD, entonces : PM - MQ

y

2 PQ - -

- r

(BC) (AH)

Semejanza de Triángulos

Luis Ubaldo C

Fig.

411

1 2 .1 0

Si : ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD)

Si : 4 BAC = 4 DBC

2 ( B C ) (A D ) =>

(B C )2 = (A C ) (D C )

MN =

Si para el A ABC : 1 es Incentro y G es Baricentro; se cumple que :

IG

Del gráfico, se cum ple : A B . BC =

BH .

2R

+

AD

Si A y B son puntos de tangencia, entonces:

x 2 —ab

=

Fig.

BC

1 2 .1 4

Si □ TKQL es un cuadrado : x

I—+ _L BH

AC

Ernesto Quispe R


412

Fig. 12.17

Si MÑ // ÁC y 2p (A MBN) = 2p (£3 AMNC),

Si EJ MNLA es un rombo :

=>

1 x “ AB

_ 1 AC

,

1

luego: s

MN =

a+c

; p = Qj^ -±c H 2

ejeR C icios o e a p lic a c ió n

1.- Se tiene un triángulo ABC, en el cual se toman los puntos M y N ( M s BC y Ns A C ). Si BC = 3 BM y AC = 3 A N , se pide calcular MN si adem ás: AB = 1 0

Resolución.Al construir el gráfico trasladando en él todos los d ato s, apreciam os que los valores cum plen el Teorema de Thales, de modo q u e : MN // AB. Tam bién logramos reconocer que el A MNC es sem e jante con el triángulo ABC (item 12.2 —> 1er caso). E ntonces:

777 = “ 1U ia

2.- En la siguiente figura, hallar el valor de "x"


Luis Ubaloo C.

413


Del gráfico podem os observar q u e : A CDA - A ABE (item 12.2) E ntonces: Luego :

6 = 2x+ 5 5 X+ 6 6x + 36 = 10.x + 25

En co n secuencia:

4jv =11 x =

11

3.- Los lados de un rectángulo miden 20m y 30m respectivamente. ¿Cuáles son las di mensiones del rectángulo de 360m de perímetro semejante al dado

Resolución.-

L

□

J

a

30

L

20 r

n

1

r

Los rectángulos mostrados son sem ejantes , pues satisfacen el item 12.2 —> 3er caso .Asi mis mo esto está en concordancia con los datos del problema . A hora, se sabe que :

2a + 2b = 360

De donde :

a + b = 180

Si los rectángulos son sem ejantes, entonces :

-

(*)

a = 20* b = 3k

20k + 30k = 180


18

Donde al despejar se obtiene

k =

AI¿ora en (**) :

a = 2(

=> a = 72

Tam bién:

í> = 3 0 p ^ j

=> 6 = 1 0 8

L a ., d i m e n s i o n e s s o n 7 2 y 1 0 8

(•*)

414

Ernesto Qulspe R.


4.- Calcularla longitud del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, si la base AC y la altura relativa a dicho lado miden 6 y 2 respectivamente.

Resolución.Según el item 12.2, 1er caso , A ABC — AMBN : AC = BH f„, MN BL ■■■1 } Ahora:

MN = LH = x

Entonces:

BL = BH - LH

Luego:

BL = 2 - x

Reemplazando en (*) : Donde :

6

2

— = ^ ——

12-6* = 2* x = 1,5

5.- En la siguiente figura BC / / PQ / / AD y PM = P Q , calcular la longitud de P Q , si además se sabe que AD = 2 BC = 18.

Resoluclón.De los d ato s:

AD = 2BC = 1 8

Reconociendo que :

=>

PM = MQ y

BC = 9 BC // PQ // AD

Aplicaremos la propiedad 12.4a, la cual establece q u e : PQ =

2(9)(18) 9+18

Ahora:

PQ =

2x9x18 27

Simplificando:

PQ = 2 x 6 PQ = 12

B


Luis Ubaldo C. 6.- En la siguiente figura, calcular "R", si se sabe q u e: AB = 4 , BC = 6 y BH = 3

Resolución.Si graficamos un triángulo adicional al dado como el ABCP, comprobaremos que será recto en C , se verificará una semejanza de triángulos , por lo que se podrá aplicar el TEOREMA DE NAGEL (rectas isogonales), vista en el item 12.4g; veam os: Ex ABH -E x BCP -r = -2—

=> ab=hx2R h a En nuestro problem a : o = 4 , f c = 6 , / 7 = 3 Reem plazando:

4 x 6 = 3 x 2R R= 4

7.- Dado el siguiente gráfico. se pide calcular E F, si ade más se sabe que :AB = 6 y CD = 4

Resolución ■ Sea : AB = a , CD = b BDC :

£

m m +n

-(1 )

k ABD ~ Ex EFD :

-

n m +n

... (2)

BFE ~

b

( 0 + (2) : Entonces com o :

ab a+b

x = ---- r

« a=6

y

b =4

(Propiedad, item 12.4b)

415

Ernesto QuispeR


416

M is c e lá n e a

1.-Interiormente a un triángulo rectángulo ABC (m 4- B = 90) se ubica el punto P de modo qu e: m 4 PAC = m 4- PCB = a , m 4 PCA = 0 m 4 PBC = 2Q + a . Si además se sabe q u e : PC = 4 , se pide calcular BP.

y

Resolución.Trazamos la m ediana BM Luego : BM = AM = MC = a y m 4 MBC = a + 0 =>

m 4 PBM = 0

El cuadrilátero PBCM es inscriptible , dado que : m 4 PMB = m 4 PCB = a

Luego : A BPM —A APC =>

i = -54 2a x = 2

2.-

Sobre los lados no paralelos AB y CD de un trapecio ABCD se consideran los pun P y Q s i B C = a,A D = b y P Q / / B C . Hallar PQ. (PQ //P D )

Resolución.Por ángulos correspondientes se puede establecer que : m 4 C=m 4Q = S

También:

m 4 BQC = m 4 PDQ = a

Por consiguiente: rn 4 BPQ = m 4 A = 0 De este m odo los trapecios PBCQ y APQD son sem ejantes: x x ~ b

a

x = Jab


Lj Is Ubaldo C.

417

3.- En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AF y C E . Luego se traza la bisectriz interior BD. Por D se levanta una perpendicular a AC la cual corta a la prolon gación de AF e n P y a CE enQ. Si LP = 3 ,A D = 6 y DC = 9; calcular LQ (Les ortocentro)

Resolución.Por tener sus lados respectivamente perpen diculares , se tendrá que :

Además :

p

B

m 4 EAD = m 4- EQP = 0 m 4- LPD = m 4- BCA = a

Luego se tendrá que : A LPQ ~A ABC

eL

/ ' \

e> 7® = í ¡ :

a

* = 3 (

k

)

- < »

// /

Por el teorem a de la bisectriz : AB BC

AD DC

AB BC


6 9

i/

( 2)

/ v i''

t\Q

n

-(S ) x = 2

4.- En la figura los lados de los cuadrados de menor a mayor miden 4, x y 9. Calcular: x

C

D B

Resolución.Dado que :

B // CD

y BC // EC)

Ex ABC - Ex CDE L uego:

2 Efectuando: x - 4x = 36 - 4x A hora:

9-x

x -4 _ 4 9 —x x

x2 =36

x'=6

c^rct x -4 x

A

-l 4

X B 4

r D X

418


Ernesto Qulspe /?-

5.- El triángulo equilátero ABC se encuentra inscrito en una circunferencia. Sobre la pro longación de BC se ubica el punto D; AD intersecta a la circunferencia en M y AC n B M : {£} . Si AE = 42 y BD = 2 4 2 , se pide calcular AB.

Resolución.Ya que el triángulo ABC es equilátero, entonces : AB = BC = AC = x

y

m 4- BAC = m 4- ABC= m

S ea: m 4 ABE = 6 Por 4 inscrito: En el A MBD :

4- ACB = 60

=> m 4 EBC = 6 0 - 0 irt

4 AMB = 60

m 4 MDB + 60 - 6 = 60

Luego :

m

4 MDB = 0

Dado q u e : AABE ~ A ABD , entonces : x Jó 2 j 2 = ^~

x2 = 4 x =2

6.- En la figura mostrada se verifica la siguiente relación : A C . AF + B C . BE = 144 y «O» es centro. Hallar R.

8

Resolución.Trazamos AE ±BE , BF.LAF y CH J_ AB Luego :

m 4 AEB = m 4 AFB —90

Empleando la proporcionalidad entre las longitudes de los lados de los triángulos sem ejantes : Èx ACH ~ Ex ABF : AH AC = W=r AF 2R

=»

B

AC.AF AH = 2R

( 1)

BC.BE 2R

... (2)

Èx BCH ~ Ex ABE : HB BE

BC 2R

HB =


Luir Ubaldo C.

419

Sumando las expresiones (1) y (2) y teniendo en cuenta la condición del problema : AH + HB =

AC.AF+ BC.BE

72 2 R= ^

Entonces :

¿R

=>

144 2R

; puesto que : AH + HB = 2R

R2 = 36 R= 6

7.- En un triángulo ABC, se traza la mcdiatrizde AC que intei secta a BC en P , trazándose luego la mediana AM que intersecta a dicha mediatriz en «O» . Por O se traza una paralelaaBC que corta en E a AB y en F a AC .Si OM = 2 , OC = 6 y OF = 4 , calcular PM

Resolución.Por el teorem a de la mediatriz podem os asegurar que : Reconociendo que : A AOF —A AMC : 4 MC

e

MC =

8

16

Em pleando el teo rem a d e M enelao en el A AMC , tendremos : ,6 1 a .6 ..x p= a . 2 . | íj f + ~g-j

Donde :

6x = 2x +

Ahora :

4x = ^

32

x = 8.- Del gráfico mostrado se pide calcular la longitud de P Q , si se sabe q u e : PC = 42 y AB = BC.

ÜA = OC = 6

420

Problemas de Georne¡ría y cómo resolverlos

Ernesto QuispsR.

Resolución.En el Ex APB, PQ es bisectriz. . L uego.

a/ 2

x^

____1 _ __1_ + pB

Hacemos : AB = BC = a

=>

AC = a j2

Puesto que : A APC ~ A BPC :

Tam bién:

AP V2

av 2

PB

a

AP = 2 ...(2) PB = 1 ... (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) : 1

A

1

3

X

9.- Hallar el radio de las n circunferencias con gruentes, si el inradio del A ABC mide «r» y AC = a.

"rmcircunferencias

Resolución.Trazamos PQ y OH X AC .Luego consideran do los radios contenidos entre los puntos P y Q, tendrem os: PQ

=

2x

(n - 1 )

, OH

=

r

y OT = r - x , adem ás PQ // AC A A O C -A P O Q :

r r-x

a

2 x ( n - l) x —

I

+r

Luis Uboldi >C.


421

10.- Las bases de un trapecio miden 10 y 2 0 ; se traza una paralela a las bases que divide a los lados no paralelos en dos segmentos proporcionales a 2 y 3 . Calcular la longitud de dicha paralela.

Resolución.Sea el trapecio ABCD cuyas bases so n : BC = 10

y

AD = 20.

Además la paralela PQ a las bases (PQ = x), hace q u e : BP = 2k , PA = 3k , CQ = 2m y QD = 3m Por el vértice «C» trazamos CK // AB , la cual intersecta a PQ en T .Luego se puede reconocei que : BC = PT = AK = 10 y T Q = x - 1 0 Los triángulos TCQ y KCD son sem ejantes. x-10 1U

Luego ,

2/77 5/77

JC = 14 11.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan las bisectrices interiores AE y CD . Si se sabe que AD = 4 y CE = 6 , calcular el inradio del triángulo ABC.

Resolución.Al trazar las bisectrice«, interiores, estas se logran intersectar en el punto I . De este modo se puede reconocer que el inradio del Ex ABC es IH = r. A continuación por Ay C trazamos AT yCS p er pendiculares a AC, tal com o se m uestra en el gráfico adjunto . Luego : AD = AT = 4

y CE = CS = 6

En la figura: ATISC, aplicaremos la propiedad 12.4b : 4x6 r ~ 4+6 r = 2,4

T 4í A

BTY /

ri n H


422

Ernesto Quispe R.

12.- En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en B, O es el circuncentro y OM ± AC (Men AC), las rectas perpendiculares a OA y OC que pasan por M intersectan a la prolon gación de AB y a BC en O y N respectivamente. Si MN = 4 y MO = 9 , hallar A C .

Resolución. En el triángulo isósceles AOC (AO = OC) , h acem os: m 4 AOM = m 4- MOC = 0 =*

m 4- AMK = m 4 CMT = 0

Y m 4 aB(J = 180 - 0, donde : m 4 QBC = 0 En el cuadnlátero inscriptible ABNM 4 BAM = 4 MNC (3a Prop.)

En la f gura BQMC , se puede reconocer que : BQM = 4 BCM

4

Por esta razón diremos que : A AQM —A MNC x /2

9

4

x /2

jc =

B

12

13.-En jn triángulo A 3 C , I es incentro y E es el excentro relativo a BC . Calcular IE , si Al = 3, AB = 5 y A C = 6.

Resolución.Por ser l incentro : m 4 ABl = m 4 HC = 0 También :

m 4 BAI = m 4 IAC = a

Por ser E excentro : m 4 BCE = m 4 ECH Por Propiedad :

m 4 AEC =

- 0

5 3 Luego ; A AIB ~ A AEC : 3" ^ = g De donde : 3 0 = 9 + 3x

=>

3x = 21 jc =

7


Luis Ubaldo C

423

14.- En el triángulo ABC escaleno, donde BC = 4 y AB + AC = 20, se traza por E, excentro relativo a BC, una paralela a BC que interfecta las prolongaciones de AC y AB en P y O respectivamente. Calcular PQ.

Resolución.Empleando la propiedad de los ángulos alternos internos : m 4 CBE = m 4- PEB = a m 4- BCE = m 4 CLQ = 0

El A BPE y A EQC son isósceles : =*

PB = PE = a y

EQ = QC = b

Asi mismo : A ABC —A PBQ.... (BC // PQ) 4

AB+BC

a + b ~ AP+AQ

De donde : Efectuando :

20 20 + a + b

_4

20

x

20 + *

80 + 4* = 20*

Por consiguiente :

16*= 80

jc

=5

15.- Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio 10. Calcular la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde C A , si m 4 B = 53.

y

Resolución.Sea «O» el centro de la circunferencia Luego : OA = OP = 10 , m 4 APC = 53° Asi mismo : AL = LC

.... (L : punto medio de AC)

En el Éx ACP de 37° y 53° : AL = LC = 8 y PC = 12 También reconocem os que en el cuadrilátero inscriptible AMNC: m 4 MLN = 74°

y

ML = LN = 8

Ahora, por razones pedagógicas , aislamos el A MLN isósceles, en el que trazam os la altura LR, la que ad e m ás será m ediana, m ediatriz y bisectriz del triángulo dado.

424


Luego :

Ernesto Qu'spe

MR = RN = ^ ,

También : m 4 MLF = 37° Asi mismo se reconoce que :

MRL ~ Eíx APC

x

=> ±12 = ±20 x = 9,6 16.- Dos cuadrados diferentes ABCD y CEFG están dispuestos de modo que e l4- BCG es agudo (G dentro del cuadrado). Calcular la medida del menor ángulo que forman los segmentos AF y DG.

Resolución.Luego de elaborar el gráfico correspondiente , prolongamos AF y DG , y señalam os el ángulo x b u scad o . Además se identifica que : m 4- DCG = 0

y

m 4 GCA = a

Luego , se puede apreciar que : a + 0 = 45 En el cuadrado CEFG :

m 4 ACF = 0

Además s i : CD = o , CG = b =>

AC = a j 2

y FC = b j 2

También : A DGC ~ A ACF (2do CASO) =>

m 4 GDC = m 4 FAC = (3 jc

=90

17.- En un cuadrilátero ABCD se tiene que m 4 A = 6 0 , m 4 C = m 4 D = 90 y BC = CD. En AC se ubica el punto F y se traza FM X AD y FN X AB ; calcular F N , si FM = 4

Resolución.Obsen'amos que el cuadrilátero ABCD es un trapecio rectángulo donde : BC = CD = a. Además al trazar CH perpendicular a la prolongación de AB se tiene : m 4 HBC = 60


Luis Ubaldo C

H

En el Èx BHC de 30° y 60° : HC = §2 J3 AF

ANF —Ex AHC :

fJS AMF - EX. ADC :

... (1)

AC

1a = — AC

De (1) y (2) :

-

( 2)

fvs “ = 2-J3

18.- En la figura mostrada se sabe que : PQ = 5 y AP = 4 . Calcular OM («O» es centro)

Resolución.Se reconoce que en el t x THB : HM es m ed ian a; luego: TM = MB = HM. Además siendo «O» centro, se tiene que : OM X TB Trazamos AT , luego : AT X TB OM =

Y en el Ex ATB : =>

AT

AT = 2x

Por ángulo inscrito : m 4- TQA = a En el ÈX ATB :

m 4- ATH = a

AATQ- AATP:

2x _ _9_ 4 2x

Donde :

4x2 = 36

Jt = 3

(Base Media)

425

426


Ernesto Qulspo R

19.- En un triángulo ABC, se traza ¡a bisectriz interior AD (D en BC) . Por D se traza una circunferencia tangente a AB y a AC e n M y C respectivamente de modo que intersecta en P a AD. Asi mismo la prolongación CP corta a AB enN. S iM N =3, MB= 18, calcular AN.

Resolución.En el A ABC, por el teorem a de la bisectriz interior : -* + 21 =

x+3

a

(i)

En el trapezoide simétrico AMDC : DM = DC . A ACM :

x + 3x + 3 MC MC —— —= — ... (2) X 3

A MBC ~ A MDB :

MC _ 18 o 0 MC =

(3) en (2) :

x +3 X

18a b

(3)

18a 3b 6x

b

Reemplazando (4) en (1) : x + 21 x+3 jc =

6x

x+3 4,2

20.- En la figura mostrada se sabe q u e : «O» es centro de la semicircunferencia, D es punto de tangencia y : BC = 18, R = 5. Calcular la longitud de PD cuando OM tome su máximo valor entero.


Luis Ubaldo C.

427


E1 radio OD es perpendicular a la tangente CD En el □ ODCB inscriptible: m 4 DOA = m 4 DCB = (3

(3ra Prop.)

Los ángulos CAB y CBH son congruentes por ser com plem entos del 4 HBA. Luego : A PCB ~ A AMO : Del gráfico :

...

OM

(*)

OM < 5

OM < OD

El máximo valor entero de OM será : 4 1Q_ y Sustituyendo en (*) : —^—

18 5

* = 3,6 2 1 .-En el interior de un triángulo acutángulo ABC se ubica su punto P de «Brocard » (4- AB P= 4- PAC = 4 P C B ). Además BP prolongado intersecta en M a A C . Si AB = c y AC = b ; calcular AM.

Resolución.Reconocemos que :

A BAM — A PAM : *

c _ x AP “ PM

PM AP

c

...

B

(1)

Trazamos MN // AP, luego por ángulos alternos :

m 4 PMN = m 4 APM = a + 0 A PMN ~ A ABC : A APC ~ A MNC :

PM _ MN cc

AP MN

~

m -

b b D -x

... (3)

Dividiendo (2) entre (3) : PM MN AP ' c

M N(b-.y)

PM _ d b - x ) AP b2 c (b -x )

Igualando (1) y (4) : Finalmente resolviendo :

X —

c b b2 + c2

-. (4)

428

Problemas de Geometria y cumo resolverlos

Ernesto Quispe R.

22.- En una semicircunfencia de diámetro AB se traza la cuerda MN, 'ueyo se trazan M P 1 A B , NQ i. AB y BK perpendicular a la prolongación de M N . Si: PQ=-6yQB = 2 , calcular BK.

Resolución.En el cuadrilátero inscriptible PMKB : m 4- KMB = m 4- KPB = a

En la sem icircunferencia: m 4- NMB = m 4 NAB = a

En el

ANB : m 4 NAB = m 4 QNB = a

En el cuadrilátero inscriptible QNKB : m 4 QNB = m 4 QKB = a

A PKB ~ A QKB

*

_8

2

x

x = 4 23.- En la figura se tiene dos circunferencias secantes, tales que: BP = 4 , BQ = 5 y BD = 12. Con estos datos se pide hallar la longitud de B C .

Resolución.Haciendo BC = x , e indicando los valores de los lados conocidos , diremos que : Por 4 inscrito en la circunferencia m ayor, tendrem os : m 4 BCP = m 4 BDA = a

Además resulta: m 4 CBP = m 4 DBQ = P A BCP - A BQD :

x 12

4 5

x = 9,6

I

V


Luis Ubaldo C.

429

24.- En la figura se muestra un trapecio tal q u e : B C //A D , O P //A B , AP = 1 y PD = 3. Con estos datos se pide calcular la longitud de BC

Resolución.AI trazar MN // BC, se puede aplicar la propiedad :

g

. .. . _ 2BC. AD B C + ad El O AMOP es un romboide, luego : MO = AP = 1 = ÜN Reemplazando :

2 -

2 0 0 (4 )

x +4 2x + 8 = 8x

Donde :

x =

25.- En un triángulo ABC, recto en B se traza la altura BH, iueno se ubican los pumos medios M de BC y N de BH tal que AM = 2 AN. Calcular m 41 C.

Resolución.A1 hacer la construcción correspondiente , se tiene : fcx AHB ~ Ex ABC AN AM

AB AC

AB AC

Luego : AC = 2 Ab Esto significa que : Ex MBC es notable. x = 30° 26.- En una semicircunferencia de centro O y diámetro AC se traza -?/ radio OB perpendi cular a AC. Por B se traza una tangente sobre la cual se ubica el punto AE intersecta a OB en F y a la semicircunferencia en L. La prolongación de CL intersecta a BE en D . Si B F= 3 > FO - 2 , se pide calcular la longitud de D^.

I

Problenas de Geometría y cómo resolverlos

430

Ernesto Qulspe R

ResolucJón.Del gráfico, observamos que :

OB = OA = OC = 5

Además , por 4 - inscrito : m 4 BLA =

= 45°

En el cuadrilátero inscriptible FBDL : m 4 BDF = m 4 1 BLF = 45°

Luego Ex FBD es isósceles, entonces : BF = BD = 3 Asi mismo : Eíx AOF ~ Eíx FBE :

2

____ 5

3

3+ x

6 + 2x = 15

Donde :

* = 4,5 27.- Hallar la medida de un ángulo interior de un triángulo acutángulo, sabiendo que la bisectriz interior correspondiente a ese ángulo mide 5 . Además las alturas trazadas desde los otros dos vértices miden 4 y 12.

Resolución.Por el Teorema de la bisectriz se puede establecer que : DK = DS = m Ex A K D -F ^ A F C :

^

= ^

Ex DSC ~

^

= AC

AEC :

( 1) + (2) :

12 4m

Donde : En el

m . m

BKD :

=1

4 "

- (O - (2)

AD+DC = 1 AC

=>

m = 3

0 = 37° m 4 1 B = 74°

28.- f-or el incentro de un triángulo ABC se traza una paralela a AC. Calcular la longitud de dicha paralela, limitada por los otros dos lados ; si además se sabe que : AB = c, BC = a y AC = b.

Semejanza ae Tr.ángulos

Luis Ubaldo C.

Resoluclón.A EBF ~ A ABC :

^

... (I)

Por el Teorema de Thales en el A ABD : Por el Teorema del Incentro : Luego , al igualar se tiene : De donde :

BE

(c + a ) a+b+c

EF


BE c -B F BI ID BE c-B E

BI ID c+ a b c+a b

• ( 2)

(c + a ) a+b+c

EF =

b (c + a ) a +b+c B

29.- En ¡a figura mostrada se sabe que : BH = 2 y AC = 18 Con estos datos, se pide calcular MN

Resolución.Por propiedad : m 4- MFN = 90°, luego el cuadri látero MBNF es un rectángulo donde : MN = BF = tangente com ún Con lo cual se deduce que : BF X AC. Por e llo , se tiene que : MN 18

_2_ BF

MBN ~

ABC :

-.2

(MN) = 36 MN = 6

3 0 - En la figura se sabe que : 3 AB = 2 BC , AM = MC , PT = 9 De acuerdo con estos datos, re pide encontrar el valor deTO.

B

431

43?


Ernestc Quispe R.

Resolución.Trazamos AL // PQ , luego : AB = BL = 2a y LC = a A A B L -A P B Q :

f = ^

... (D

Por Menaleo en el A ALC : (6) (AS) (2o) = (b) (SL) (3o) SL AS

De donde :

... ( 2)

3

= 2


x = 6 31.- En el interior de un cuadndo ABCD se ubica el punto F y se construye el cuadrado AFGH de manera que FG intersecta a AB. Hallar la distancia entre los centros de los cuadrados, si BH = 8.

Resoh 'ñón.Por tener ángulos congruentes

4

m 4- PAQ = m 1 BAH = 4 5 + 0 a

m 4- AQP

=

m 4- AHB

Luego A PAQ ~ A BaH : x _

a

8 " oV2 x =

4J2

32.- Dada la gráfica adjunta, se pide determinar el va lor de x , en función de "a" y "b".

2

a~J

H


Luis Ubaldo C.

Resolución.En el cuadrilátero inscriptible DNPQ : m 4- PNQ = m 4 PDQ = a , y m 4 PDN = m 4 PQN = 0 Por 4 inscrito : m 4 PBC = m

= G

En el cuadrilátero inscrito ABCD : m 4 MBC — m 4 ADC = a + 0 De donde : m 4 MBP = 0 En el cuadrilátero inscriptible BMPL : m 4 MBP = m 4 MLP = 0 m 4 PBL = m 4 PML = a

y

Luego : A MPL~ A NPQ : x a

c ~ b

oc

=*

x ~ b

33.- Del gráfico mostrado se pide calcular la medida de TK ; si además se sabe que : MN = a y EF = b M

N

Resolución.Por 4 inscrito y semi-inscrito :

m 4 MET = m 4 MTN = a

Asi mismo se puede deducir que : m 4- ETF = m 4 EMT = 0 Luego se establece que : Ex MNT ~ Ex TKE fl _ MT ET - ( 1 ) También

MKT -

Igualando (1) y (2) :

EFT

=>

f = b

ET

_ x x X

b

= Job

... (2)

433

434

P roblem a de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

34. En un triángulo ABC, i es su incentro. Sea “D" un punto de AC, tal que la semicircun ferencia de diámetro AD contiene a I, si BC.CD = k. Hallar IC.

R esoludón.Por propiedad : m 4 AID = 90° ?f/ Ademas :m 4- AIC = 90 + - y = 90 + a =>

m 4 DIC = d x

A DIC ~ A BCI:

—

CD = —

x2 = k x = Jk 35.- En un trapezoide ABCD, se verifica que : 4 BAC= 4- CAD

A

(A C f = AB.AD.

Calcular B E , si ED = 9 y 3 BC = 2 C D . Además se sabe que E = AC n BD)

Resolución.Del d a to : (AC)2 = AB . AD AC = AD AB AC

(]) W

A dem ás: 4- BAC = 4 CAn Entonces : A BAC ~ A CAD (2do caso) De donde :

m 4 ABC = m 4 ACD = 8

También :

m 4 ACB = m 4 ADC = P

Luego:

^

j

=> AD = ^ AC

Ahora :

^

= |

=> AB = | AC

AQ

EnelAABD : ^ = £ AD 9

|A C => -2----- = S | AC 9 x = 4

I


Luis Ubaldo C

435

36.- En la figura O e r centro de la semicircunferencia y ade mas se sabe q u e : LF.OB = 8y¡2. Con estos datos se pide calcular el valor de R .

Resolución.Por 4 ex-inscrito : m 4- FLG = También :

2

m 4 GEQ =

Dado que : BL // EF A QGB : 45 = a + P

= 45° = 45°

LG = BE = a J 2 —(.4 exterior)

A GEB ; 45 = P + 4~ rn EGB => m 4 EGB = ot R j2 =

A QGB ~ A GEB =>2R2 = a b j

a jí

b R j2

2 . donde por dato : ab = 8 J2

R = 2yf2 37.- En un triángulo ABC (AB = BC) la mediatriz de BC corta en F a AC. Por F se traza FH //B C (H en A B ). Hallar A B , s i: F H = 1 y F C = j 6

Resolución.Por el teorem a de la mediatriz, FB = FC = Jé A AHF es isósceles =» AH = HF = 1 Además HB = x - 1 y m 4 HFB - a A ABF ~ A HBF Je

= JE

X -\

X

x (x - 13 = 6 JC = 3

436


38.- En la figura : AM = M C , 4 ABD= 4 D B C , DF / / bM y FE //A B . Hallar EF, si :

~

= |

Resolución.A ECF ~ A ABC :

FC BC

X

AB FC BC

CD => FC = 2BC CD AC AC 2 VB BC AB+BC Por el teorem a de la bisectriz : AD “ DC ^ AC

A FCD ~ A BCM :

~

De donde : AC

AB+BC

(3) en (2 ): FC - j g

(3)

j ....... 14)


^

AB

2 1 1 1 x ~ AB + BC — 6

BC(AB+ BC) ^

x -1 2

39.- En la figura : LN = a , RC = b . Hallar OL.

Resolución.Del gráfico observamos que PN es mediatriz de TC, luego RT = RC = b y RT // BÑ A NLR es isósceles

=»

NL = LR = a

Ya que m 41LBC = a => en el Eí^ ABC BL es m ediana => AL = BL = LC = a + b BL ATR -B L AQL : ¿ b i "

2a + b b(a+b) í+¿T

Ernesto Quispe R.


Luti Ubaldo C.

1.- En un tnángalo ABC se traza la mediana AM y las cevianas BP y B Q que trisecan al lado AC CalcularT K .s i AM = 1 0 (T : ÀM n K £ M n BQ).

BP y

A) 1

D) 3

B) 2

C) 4

D) 5

A ) 2 j5

C)7

B )6 j2

D )6

437

E)5

6.- En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AH y CE . Si m ¿L B = 60 y el circunradio del triángulo ABC mide 8 . se pide calcular EH. A) 2

B)2V3

2.- En un trapezoide ABCD se conoce que A B =4;B C = 9 ; AD = 36; AC= 12 y CD = 27. Si : m BAD = 0 , calcular la m A- BAC.

D)4V3

E)8

A) 0/2

B )^

7.- En un triángulo acutángulo ABC se tr^, un las bisectrices AQ y CP (Q en BC y P en AB) . Calcular Q C , si AP = 2 ,P B = 3 y B Q = 4.

D ) 6 - 15

E ) 0 -3 0

C )|

C)4

A) 4,25

B)4,57

3.- Porel incentro de un triángulo ABC se traza una paralela a AC que intersecta en P a AB y

D) 4.21

E)4,47

en Q a BC. Hallar PQ, si : ^ + ^ = 0,25; donde

8.- En la figura A, B, C y D son puntos de tangencia. H allar:*

A C = b y K es el perimetro del triángulo PBQ A )|

B)2

C)4

D)8

E) 5

4.- En la figura mostrada. Calcular FH, si BN = 1 y AM = 4. A) 2 B)3 C )l,5 D)2,75 E)

2,5

5.- En un cuadrilátero ABC de circuncentro O, la mediatri/ de AC intersecta a BC en P y a la prolongación de AB en Q . Calcular la longi tud delcircunradio,siO P - 4 y QP = 5

D )^ -

a+b

E) ^ -

a+b

C)4,75

438


9.- En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AH y CE ; si ni A = 60 y el circunradio del triángulo ABC mide 8 . Calcular EH. A) 2

B)2tÍ3

C)4

D)4^3

E;8

10.- Sobre el lado AB de un triángulo ABC se consideran los puntos P_y Q trazándose PR // QS // BC (R y S en AC), luego se traza una paralela por R a AB la cual encuentra en E a QS . Si PQ + RS = B C , AB = 8 , BC = 6 y AC = 7 .calcularES. A) 2/5

B)6/5

D) 12/5

A) 5

BM y AD se intersectan en E; calcular DE, si A BDC= A BEA A) 20

C) 4

D) 3

E) 4,5

C)24

D)26

E)28

A )a/5

B)

a j2

5

~)

a j2 10

D)

a j2 l

E) 14/5

B) 6

B)22

15.- En la figura : P y Q son puntos de tangen cia. Hallar P Q , si el lado del cuadrado ABCD mide "a".

C)9/5

11.- En una circunferencia de centro O y diá metro« perpendiculares AC y BD se traza la cuerda AE (E en BC) tal que AE intersecta a BD en M ; si BM = MO . Hallar ON, si OA = 12. (FD n AC : {N}).

Ernesto Quispe l¿

16,- En un triángulo ABC, donde;» A A=2m A C; se traza la bisectriz interior AM de modo que BM = 4 y MC = 5. Sea I el incentro del A ABC la bisectriz A B1 en P . Calcular PI.

12.- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubica el punto interior O cuyas distancias a los lados AB, BC y AC son 2, 3 y 5 respecti vamente, si la suma de las longitudes de las alturas del triángulo ABC es 30^ Calcular la longitud de la altura relativa a BC.

A) 1

B) yÍ2

D)0,5

E)V3

A) 12

17.- En la figura : EF//A C, DI//BC, GH//AB, ' i “ ^'r ~ ^ y r3 ~ 3- Calcular :R.

B) 15

C) 12,5

D) 7,5

E)6,75

13.- En un romboide ABCD, M es el punto me-dio de CD , BM y AC se intersectan en P. ¿A qué distancia esta P de A D ; si B esta a 12 de AD. A)4

B)6

C)8

D)9

E) 10

14.- En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B M es punto de CD de modo que MC = 4 y MD = 12 . Las prolongaciones de

2

C) 1,5

Luis 'Jbddo C

A)6yf2


B)V6

C)6

D)yf5

E)9

18.- En un triángulo ABC se traza la ceviana BD y la mediana C M ; la bisectriz del A BCM biseca en N a B D . Calcular la m A ABD, si AD = 2, D C = ly B C = V3 A) 15

B)22,5

C)30

D)37

E)60

22.- En un triángulo acutángulo ABC "O" es el circuncentro. La mediatriz de AC intersecta en P a BC y en Q a la prolongación de A B . Si OP = 4 y PQ = 5. Calcular: OC. A) 4

B)5

C)4,5

D)6

E)5,4

23.- En la figura: AB =a, CD =b. MN //AB//C1J ;

19.- En la figura AB = 11, BC = 5 y DE = 3. Hallar:*

AÑ//M C. H allar: MN.

A) 30

A)

B)37

439

ab a+b

B) yfaB

C)45 a+b

2

D)60

W

E)22,5

D ) \[ a I b

20.- El ángulo B de un triángulo acutángulo ABC mide 60, en su interior se ubica el punto P de modo que PA + PB + PC es mínimo; sean I, e 1, incentros de los triángulos ABP y BPC

E) 15

repecti vameiiLe. Por I, e I2 se trazan paralelas a BP las cuales intersectan en M y N a AB y BC respectivamente; si BM =a. H allar: BN. A )aV 3

B ,f V 3

D ) ü/2

E )a

C) ai4

24.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH. Sean P y Q los inrentros de los triángulos AHB y BHC, PQ inter---BE r~ secta en E a b H , siendo 7, . . = 5 V 2 , el inradio del triángulo ABC mide 10. Calcular el inradio del triángulo PHQ. A)

72

B) 1

C)2

D ) 2 j2

E)4

21.- En la figura : ABCD es un cuadrado de h do 3; hallar: CF, si AN = 3CM.

25.- En la figura AB = BC, PB = 1, PA = J6 y PC = 2 V2 . Calcular*.

A) 1

A )105°

B)V3

B) 120° C )135°

C)2

D) D)2/3 E )165° E)

V3/2

150°

44C


26.- En la figura, el A ABC es escaleno; hallar: BF/FQ. B A) 1

Ernesto Quispe R.

30.- En la figura AB es diámetro PM = MH y PN = NB. Si m £ÉB = 108°, hallar*.

B) 1/2 C)2/3 D)4/5 E)

1/3

27.- En un triángulo acutángulo ABC; M, N y P son puntos medios de AB, 6C y AC res pectivamente. Si H y O son el ortocentro y el circuncentro de dicho triángulo y además L es ----HP punto medio de MN , hallar : . A) 2

B)3

C)4

D)5

E)6

28.- En un triángulo acutángulo ABC de orto centro H, se traza la bisectriz interior B D . Por D se levanta un perpendicular a AC la cual intersecta en Q a HC y en P a la prolongación de AH. Si HP = 3, AD = 6 y DC = 9. Calcular : HQ. A) 1

B)|

C)2

D):

E )§

29.- En la fig u ra ABCD es un cu a d rad o AG = GF; hallar*

A) 36°

B) 54°

C)60°

D)72°

E)53°

31.- El ángulo C de un triángulo ABC mide 53°. Se trazan : BH ± AC, HL ± BC y LQ ± AB; si QL n BH : M. Calcular MH, si AC = 25. A) 6

B)9

C)12

D) 12,5

E) 15

32.- En la figura MN es diámetro AB = 8 y CD =10. Calcular : AD.

A) 9

B) 18

C) 16

D)8>/5

E)20

33.- Del gráfico adjunto; hallar R ; si AM.NC =12 yO N = 6

A1»30° B)36° C)45° D)54° E)60° A) 3

I

B)4

C)2,5

D)5

E)2

Luis Ubaldo C


441

34.- En el triángulo ABC: AB = BC = a, AC =b y m 4 B = 40° Luego la relación correcta es :

37.- En la figura M y N son puntos de targencia; TK = 3 y TN = 3A P . Calcular PQ.

A )3 ba2 = a 3 J3 + b3

A) 2/5

B)

B)4/7

ba2 = a3 S + b3

C) 3 b a2 = a 3 +b~ ¡3

C)5/6

D) 3ab2= a 3 j 3 + b 3

D)5/9 E)2/3

E) 3ab2 = a 3+b 3J 3 35.- El triángulo ABC se encuentra inscrito en una circunferencia; la m ediatriz de AB intersecta en M a BC y en N a la prolongación de AC. Hallar lum 4 OCB , si O es centro de la circunferencia; además OH = OM = MN (H es punto medio de A B ). A) 10°

B) 12°

D) 18,5°

E)26,5°

38.- El trapecio ABCD, (AB // C D ) está ins crito en una circunferencia . P es un punto del arco CD; si PD = 8; PB = 16 y PC = 12 .calcular PM. si AP n DC : M A) 4

B)5

C)6

D)7

E)8

39.- Hallar el lado del cuadrado ABCD, si AM =a y BL = b (M y T son puntos de tangencia).

C)15°

36.- En la figura, las rectasL^ L2 y ¿ 3 son rec tas de Simpson trazadas a partir de los puntos P, Q y T respectivamente. Si PQ = 6 , QT = 9 y MN = 4 , hallar: ML.

B) 'Jab r ,a + b ) 2

A

M

D

40.- T es un punto de BC, quien a su vez es el lado del romboide ABCD Sobre la prolonga ción de AT se ubica el punto K de tal manera que 4 KBT= 4 KDC. Si además se sabe que: AB . BK= 18m2 y KD = 2 B T ; hallar BT. A) 6

B)3

C)8/3

D)4

E)2V3

A) 2

B)3

C)3y¡2

D)4

E)4.5

442


41.- En la figura R y B son puntos de tangen cia PT = a y TR - b. Calcular PQ.

45 - Del gráfico m ostrado: P, R y S son puntos

de tangencia. Calcular ST, si QR = 9 y RS = 6.

A) 1

B) Jb(a + b)

E)

C) yja(a+b) 42.- Sean M y N puntos medios de los lados AB y AD de un rombo ABCD. Se pide hallar PD, si MP = 6 ( P = MD n CÑ) A; 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

43.- En la figura se muestra una semicircunfe rencia de centro “O”, si PQ = QB, PA = AO y PS = 10. Calcular QS. S

Ernesto Qulspe R.

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

E) 3

46.- En una circunferencia de diámetro ^ B , se traza la cuerda PQ perpendicular a AB en el punto “R”, sobre el arco AQ se toma el pun to “U” tal que PU intersecta a AB y AQ en S y T respectivamente, si PS.TU = 8 TS, cal cular UQ. A) 4

B) 6

C) 4,8

D) 7,8

E) 8

47.- En un triángulo ABC, la razón de los cua drados de los lados AC y AB es igual a la ra zón de las proyecciones de estos lados sobre el lado BC. Hallar la m 4 aB C , si/n B C A = 80° A) 5°

B) 7° 30'

C) 8°

D) 10°

E) 15°

48 - Del gráfico mostrado, calcular ER, si AR = 4 e IE = 3 JA A) 6 B) 8

A) 6

B) 4

C) 5

D) 7

E) 8

44.- En un triángulo ABC se traza la mediana A>r y la cevaiana B R , la cual intersecta a AM en su pi'nto medio N. Calcular NR, si AC = 24; luego se traza la bisectriz del ángulo BAN intersecandu a BN en P tal que : BP = 2 PN A) 3

B; 4

C) 4,5

D) 5

E) 6

C) 9 D) 10 E) 12 49 ■En un trapecioTONI (TI // ON \ si m 4- OEN es igual a la medida d tl ángulo exterior en “O”. Calcular IO, si TI = 9 y ON = 4. B) 6

D) 10

E ) 13

13.1 PROTECCIÓN ORTOGONAL En general la proyección es el proceso m ediante el cual los puntos que com ponen una Figura geométrica se lanzan sobre otra figura de un m odo determ inado. Un proyección será ortogonal si desde todos los puntos de la primera figura se trazan perpendiculares (proyectantes) a la segunda, siendo la proyección , el conjunto de puntos determinados por los pies de estas perpendiculares. 13.1A PROYECCIÓN SOBRE UNA RECTA EN UN MISMO PLANO

La proyección ortogonal sobre una recta es un ente geométrico bidimensional ubicado copianarm ente con la r e c ta . El resultado de esta proyección puede ser un punto (Fig. 13.1a), un segmento (f15. i 3.lb y 13.1c) o a lo m ás otra recta. (Fig. 13.Id).

Fig. 13.1 13.IB PROYECCIÓN SOBRE UN PLANO

En este caso la proyección de cualquier ente geom.a,nco sobre un plano P tiene conno taciones espaciales Puede ser un punto (Fig. 13.2a), una porción de línea (Fig. 13.2b), un contomo cerrado (Fig. 13.2c), o una superficie (Fig. 13.2d).

Fig. 13.2

444


Ernesk QdspeR.

13.1C PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA SOBRE UNA RECTA DADA

En todos los casos presentados, a continuación se ha proyectado el segm ento de recta AB sobre la recta JE, obteniendose la proyección A'B'. Veamos las siguientes variantes :

__

—)

__

—)

CASO 1 : El segmento AB es exterior a £ y no es paralelo a ella. (Fig. 13.3a) CASO 2 : El segmento AB es paralelo a £ (Fig. 13.3b)

__

—)

CASO 3 : El segmento AB es perpendicular a £ (Fig. 13.3c)

__

—)

__

—^

CASO 4 : El segmento AB intersectaa £ (Fig.13.3d) CASO 5 : El segmento AB intersecta a £ en el punto A (Fig. 13.3e)

13.ID PROYECCIÓN ORTOGONAL EN UN TRIÁNGULO

En el triangulo ABC (Fig. 13.4a) se ha ti azado la altura BH obteniéndose los segmentos AH y HC que representan las proyecciones de AB y BC sobre el tercer lado AC respectiva mente. El criterio anteriormente m encionado, tam bién es válido para el caso en el cual la altura BH es exterior al triángulo (Fig. 13.4b).

Fig. 13.4

relaciones Métricas en i rianguius neciunguias

L /S U D O /O O U

HHD

13.2 RELACIONES M ETRitAS EN EL Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B (f/g.13.5) tal que las medidas de sus catetos e hipotenusa son a, c y b ; de la altura relativa a la hipotenusa "h" y de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa m y n . Luego , se cumplen los siguientes teorem as : TEOREMA 1

c¿ = bm a

TEOREMA 2

h 2 = mn

TEOREMA 3

a ? + c2 = b2

TEOREMA 4

c .a = b . h

-L + J = JL

TEOREMA 5 :

13.3 13.3A ^

a z = bn

a2

c2

h2

CUTOS LADOS SON NÚMEROS ENTEROS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS SON DE LA FORMA :

m ,

m2 - 1

m2 +1

En la Fig. 13.6 se muestra la ubicación de estas m e didas siendo "m" un número impar mayor o igual que 3, obteniéndose las siguientes ternas : (3; 4; 5) , (5; 12; 13), (7; 24; 25) ,(9; 40; 41), ...etc.

Fig. 13.6

13.3B ÈX CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS SON DE LA FORMA m

m

2

4

-1

m

+1

Los valores de "m” que hacen enteros las medidas de los lados de estos triángulos (Fig. 13.7) son pares m a yores o iguales a 4, obteniéndose las ternas: (4; 3; 5) , (6; 8; 10), (8; 15; 17), (10; 24; 2 5 ),... etc..

446


Ernesto QuispeR.

13.3C fcv CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS SON DE LA FORMA

x 2 -y* , 2xy

,

x 2 + y2

En este caso (Fig. 13.8) se obtienen tem as de nú m eros que no son derivados de las anteriores ; para ello los valores de x e y (jt > y) no deben tener factores comunes ni ser los dos impares.

13.4 TF'OREALIS COMPLEMENTARIOS TEOREMA 1 : (Teorema de Dostor).

TEOREMA 3 :

Si "M" es punto medio de BC .

1

IAB)2 = (AH)2 - (HC)2

TEOREMA 2 : (Tangente com ún exterior) \B = 2 JR?

TEOREMA4 :

x

=

Fig. 13.12

Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos

Luis Ubaldo C

447

TEOREMA 5 :

TEOREMA 8 :

Independientem ente de conocer o no a R, se cumpie que :

Si "O" es el centro, M y T son puntos de tangencia, se cu m p le: A, M y T son colineales AK = AC = -ÂB^ AH

Ai' = r j 2

TEOREMA 6 : Independientem ente de la ubi cación de los puntos P y Q a lo largo de AB y BC respectivamente , se cum ple : MN = |

J'APZ + QC2

TEOREMA9 : CAN)2 + (MB)2 = 4 R2

TEOREMA 7 : TEOREMA 10 : V ? = V a* + W AB. BC = 2(BD)2

Fig. 13.15

Nota : h = Vabc


448

Ernesto QuispeR-

6J6RCICI0S 0 € «PLICACIÓM 1.- Los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión aritmética de razón igual a 4 . Hallar la altura relativa a la hipotenusa. R e s o l u c i ó n .-

Sean :AB = o ,B C = o + 4 y AC = a + 8 y sea la altura buscada : BH = x. Ahora, apl.cando el teorem a 4 del item 13.2 : o (a + 4) = x (o + 8)

... (*)

También por Pitágoras (item 13.2 - teorem a 3) :

a2 + (o + 4) = (a + 8)2 Donde :

a2 = (a + 8)2- (a + 4)2

Ahora :

o 2 = 8a + 48

Luego:

a2- 8 a -48 = 0

=>

Reemplazando en (*):

a =12

12(16) = x . 20 x = 9,6

2.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 1Sm y la altura 6m . Hallar la longitud del cateto menor. R e s o l u c i ó n .-

Sea ABC el triángulo rectángulo recto en B y el cateto m enor AB = x . Entonces; si hacem os : AH = a

=»

H C = 1 5 -a

Aplicando el teorem a 2 del item 13.2 tendrem os : 62 = a(15 - a) Es d ecir:

a 2 - 15a - 36 = 0

Donde :

a = 12

Ahora :

v

a

=3

a =3

Aplicando el teorem a 3 (Pitágoras) del item 13.2 en el 6^. AHB : jf2 = 62 + 32 Luego :

x2 = 45

x = 3^5

I------------------------15


Luis Ubaldo C.

449

3.- En un triángulo rectángulo ABC (B = 90), AB = 4 , BC = 6 . Calcular la longitud de la altura BH (H e AC).

Resolución.Aplicando el teorem a 5 del item 13.2, tenem os : 1

B

44 + -V 6 -L + -L 16 36

Luego :

9+4

Donde :

U4

13 144

En consecuencia : Invirtiendo am bos miembros .

x2 =

144 12

A hora:

X= 713

Racionalizando1

x

713 713 " 713

X =

127Í3 13

12

4.- En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza la altura BH . Si AH = 9 , HC = 16 ; calcular la longitud del cateto AB.

Resolución.Sea AB = x , com o : AH = 9 y HC = 16 Entonces :

AC = 25

Aplicando el teorem a 1 del item 13.2 Tendremos : Donde :

x2 = 25 . 9 x2 = 52 32 = (5 . 3)”

x 1 = 152

Ahora : x = 15


450

Ernesto QuIspeR.

5.- En la figura mostrada, calcular A B , s i : R = 12 y r=3

Resolución.AI unir los centros , tendrem os que : OO, = R + r Luego trazam os: C^L _k. OA => 0 ,B = LA = r Por consiguiente OL = R -r, adem as : 0 ,L = AB En el OLO, aplicamos el teorem a 3 (Pitágoras) del item 13.2:

La expresión (*), es la demostración del teorem a 2 del item 13.4. Ahora al reem plazar datos se tie n e :

n

0,L 2 = 4Rr => 0 ,L = 2 - / ^ ... (*)

y

Ahora :

,/

0 ,L 2 = (R + r)2 - (r - r)2

R L

1 r

\

ir P

AB = 2712x3

AB = 2 x 6 AB = 12

6.- En la figura mostrada, calcular la longitud "x" del radio de la circunferencia más pequeña.

Resolución. Para este ejercicio aplicaremos directam ente el teorema 3 del item 13.4: Entonces:

_ L

= _ L

+ _ L

77

79

74

Es d ec ir:

- L

Por consiguiente:

1 77

Jx

= I

+ 1

3 + 4 7 12

Inviniendo ambos m iem bros:

7x = y

x = 144 49

i


Luis Ubaldo C.

M tó c e L Á n e a 1 - Hallar x , si ABCD es un cuadrado, siendo EA = 4,5 y TD= 10. Ademas T y Q son puntos de tangencia.

Resolución.Por teoría :

102 = a ô +

Donde

0 = 2a2 + 9a - 200

Ahora :

0 = (2a + 25) (a - 8)

De donde resulta : a = 8 Luego :

AT = 6

y

Reemplazando :

x 2 = 2 (8)

BT =

2

=:

x

=4

2 - Dado el siguiente gráfico , se pide hallar x , sa biendo que AT = 4 \ 2 .Asimismo se sabe que A, B y T puntos de tangencia.

Resolución.Trazando CQ _k_ AB , se verificará que Q es punto medio de AB, por ello : QA = QB = y Aplicando el teorem a "1" en el

AQC :

También :

AT2 = AC . AH

Entonces :

AT2 = AC . 2AP

Y de ( l ) e n (2)

32 = 2.y2

En consecuencia :

x = 2y x

= 8

, donde

y=4

y2 = AP . AC ... (1)

AH = 2 . AP

451

452


Ernesto Quispx R.

3.- A partir del gráfico mostrado se pide hallar la medida del radio x , si ademas se sabe que T y Q son puntos de tangencia.

Resolución.A1 construir el Eí\ O' HP , descubrimos que : HP = y /2 x -l Asimismo en el Eh O' QO , sabem os que : a 2 = x 2 + (J 2 x ~ \ f Pero:

a = 9 -x

Luego en (*) :( 9 - x j2 = x 2 + =>

.... (*)

2x - 1

81 - 18* + x 2 = x 2 + 2x- 1

Ahora :

82 = 20x

Simplificando:

41 = 10a x = 4,1

4.- En la figura se muestran dos semicircunferencias de radios dife. entes Se f.ide hallar x , si además se sabe que: AB = 12, tíC = 16 y NC = 6

Resolución.Tmzando BN y BM ,se logran identificar varios ángulos congruentes y triángulos rectángulos en los que será posible aplicar las relaciones métricas co n o cid as. V eam os: EnelfcxAM B:

x2 = a .\2

...(1)

Además :

AHM ~ ^ CN3 => ^ Ib

D onde:

a = — O

De (1) y (2) :

3x

*2 = ^ x = 4,5

... (2) . 12

^ o

Luis Ubaldo C


453

5.- En la figura mostrada se indican dos semicircun ferencias de centros OyO^no concéntricas . Se pide calcular la medida del radio “x", si MN = 3 y AB = 4

Resolución.Lo que harem os es trazar dos segm entos perpendiculares com o BM y MC, tal que sea posible identificar un triángulo rectáns u lo . V eam os: En el Ex BMC aplicaremos el Teorema "2'1: U -3 )2 = (* -4 )0 ) Efectuando :

x 2 - 6x + 9 = x 2 - 4x

Simplificando:

9 = 6x - 4x

A hora:

9 = 2x

x = 4,5 6.-A partir de los datos mostrados en el gráfico adjunto, se pide determinar el valor correspondiente de "x

xÁ '

1

<

1

1

Resolución, En primer lugar trazamos A M, de m odo que se logre identificar al Eíx ATM, en el que aplicare mos el Teorema de Pitágoras : c2 = b2 + x 2

En el ÈX AQM : De (1) y (2)

c2 = a 2 + 2Z b2 + x 2 = o + 4

Ahora :

^

Enel ÈXQBM:

a 2 = b2 + 22

Donde :

a 2 - b2 =

Reemplazando (4) en (3) : x 2 = 4 + 4 Por consiguiente :

x2 = 8

=í

= 2V2

454


Ernesto QuIspeR.

7.- En la figura se muestra un cuadrante, sobre el que se ha trazado una tangente MN , de modo q u e : AM = 8 y BN = 9 . Con estos datos se pide hallar la medida de "R"

Resolución.En la Figura: Ex OHA s Ex BQO Entonces : AH = OQ = a Además s i : QT= 9 y HT = 8 , entonces QH = 1 Lueno:

R = a + 9 =>

En el

OAH :

a = R- 9

... (I)

R 2 = a 2 + (a + 1)2 ... (2)

Reemplazando (1) en (2) : R 2 = ( R - 9)2 + ( R - 8)2 Donde:

0 = R 2 - 34 R + 145

Y al resolver :

x = 29

8.- En la figura mostrada hallar (AE/AP)

Resolución.-

AE _ 72 AP “ 2

I

▼

Luis Uhaldo C.


455

9.- En la figura mostrada se pide hallar "6".

R isolucion.En el Cx D onde:

2

2

2

2 2

R + IRx + x = 4 R -4Rx + x + R 6R* = 4 R¿

Ahora:

Luego : □__ 53°) O R M En consecuencia :

0 = 37°/2

Resolución.En el Ex O’MN , por el teorem a de Pitágoras :

2= (3^2 )2 - MO2 Pero : MO = (6 - o) => x 2 = 18- ( 6 - a ) 2 ( 2) Igualando (1) y (2) : 9 - a 2= 18 - ( 6 - u ) En el &x OMO':

x

Simplificando: En (1) :

a = 9/4

* = V9.81/16 X -

3 v>7 4 7

x 2 = 9n - a 2 B

456


Ernesto QuIspeR

11.- En el gráfico adjunto se sabe que mMN = 90. Con los datos adicionales que allí se obser van, se pide determinar el valor de "x"

Resolución.Si m

= 90°, entonces la m 4- MAP = m 4 NBP = 45°

Completando ángulos se logra establecer que MT y NQ son mediatrices de AP y PB respectívanit- nte. Entonces : AT = TP = 3

y

PQ = QB = 4

Además lam 4 TPQ = 90° Finalmente en el Ex TPQ:

x 2 = 32 + 4 2 x

=5

12.- Dado el rectángulo, y con los datos señalados. Hallar "x"

12

Resolución.-

B

L

En la figura: AM= 5 y OM = 12 - x En el

AMO:

x 2 = 52 + 2

Resolviendo :

x

= 25 +

Simplificando:

94x = 169

( 1 2 -jc)2 144 - 24* + x

_ 169

x -

12

O

2

x

7\

\ \ 5

J

12- x

n

M

/

r

I

24

13.- En un círculo de radio 12 se trazan dos diámetros perpendiculares AC y BD ■Si M es el punto medio de la cuerda BC , hallar AM .

Relaciones Métricus en Triángulos Rectángulos

Luis Ubaldo C. R e s o l u c i ó n .-

Se traza MH perpendicular a AC, entonces : MH = También :

12

MH = 6

OH = HC = 6

Finalmente en el Ex AHM : x 2 = 182 + 62 x

= 6 v'iO

14.- Si P Q . PR = 9 m2 , se pide encontrar el valor de : A H .H B

R e s o lu c io P -

En la figura mostrada, observam os que : Èx MQP - Èx NHP =

-n = Th • • ( 1)

se sabe que : BC = 2 0 , BD = 25 y AB = 50 (O -» centro)

I

TT

457

458


Resolución.Por teoría :

20 = a . 50

Donde : Ahora :

x

= 1956

x

= 192 + 1764

x

= 2 7489

16.- En la figura mostrada, calcular “x"

Resolución.Sabemos q u e :

AQ = 2 V(l)(9)

D onde:

AQ = 6

Tam bién:

MB = 2 7 (4)(9)

Ahora:

MB = 12

Puesto q u e :

QH = 9 - 4

Entonces:

HM = 9 - 1 => HM = 8

=> QH = 5

Finalmente :

x 2 = (6 + 5)2 + (8 + 12)2

Resolviendo:

x 2 = 112 + 202

D onde:

x 2 = 521 x

= 7521

Ernesto QuispeR.

Luis Uba'do C.


459

17.- Hallar "x", si : AB = 1 y BC = 8

Resolución.En el

AEC, por teoría : h2 = 1 . 8

En el EX EBC :

_L J

_L

=> h2 = 8

J_

= T 2 + o2

Reemplazando : Factonzando :

J2 =U , +tí

Ahora :

^ = ï (f )

Donde :

--(II

x “ 3

18.-Se tiene un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, donde una de sus diagonales es el diámetro q'ie mide 14m. Si la distancia entre los puntos medios de dichas diagonales es 6m, entonces se pide calcular la longitud en m de la otra diagonal.

Resolución.El triángulo BOD es isósceles, entonces : BM = MU En el Ëx BMO :

BM2 + 62 = 72 BM = VÏ3 BD = 2VÏ3

19.- Si la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y forma un ángulo de 30- con el cateto mayor, se pide determinar la distancia en cm del baricentro al vértice opuesto al cateto m enor.


460

Ernesto Quispe R

Resolución.En el Ex MHC notable reconocem os que MC = 5 Entonces MH = 5/2 y HC = 5-^3 / 2 Finalmente en el fc. GHC :x2 = GH2 + HC2

Í 5V3Í í 25? 1 6J + \ 2/

Reemplazando :

x

= 5yfl3

20.- En un triángulo acutángulo A BC, se sabe que "H" es el ortocentro y AB2 + HC2 = 100. Calcular el circunradio.

Resolución.Sea O" el circuncentro del triángulo ABC, luego al trazar OM _L AB, se cum ple : AM = MB =

y

OM =

(Propiedad)

En el Ex BMO, por Pitágoras : \2

Donde

R2 =

HC

100

R =5 21.- Sobre una recta se toman los puntos A ,B ,C y D tales que AB = BC = C D . Haciendo centro en A y luego en B , se trazan dos circunferencias de radios AB cada una. Si la distancia de uno de los puntos de intersección de las 2 circunferencias a C e s J21 m, se pide hallarla distancia en metros del otro punto de intersección a D .

Resolución.* En el fc. PHC: (v/2í)2 = (aV 3)2 + (3ü)2 => a = V7/2 * Finalmente en el Ex QHD : x 2 = (a>/3)2 + (5a)2

461

Relaciones Mén icas en Triángulos Rectángulos

Luis Ubalde C Donde :

x = 2a J7

Reemplazando :

x = 2.

x = 7

22. - A partir de un punto P exterior a una circunferencia de centro O se *razan las tangen tes PA y PB. A continuación se traza AQ X PB. Si : OS. O P = 5 0 , hallar el radio de la circunferencia (O P n AQ : S) R e s o li i l ó n .-

E1 A OAS es isósceles ya que 4- AOS = 4- ASO = 0. Luego al trazar la altura AH se tiene : OH = HS = ~ En el Èx OAP : R2 = OP . OH OS

(Teorema)

50

R= 5

23.- Calcular el radio de una circunferencia: si dos cuerdas paralelas de 6 y 10 unidades de longitud distan 8 u.

Resolución.Por O, trazamos la perpendicular FH a las cuerdas paralelas x AB y CD , luego : AF = FB = 3 y CH = HD = 5. Por Pitágoras

OFB : R2

Éx OHD : De donde : Sustituyendo en (1) :

= a2 + 9 .... (1) = (8 -a)2 + 25 \

R2 a 2-t- 9 = (8 - a )2 + 25 R¿ = 52 + 9

/

=>

a

. R

0 R

H

\


462

Resolución.Trazamos TK ± MN , luego : T K = y = 8 ; MK = KN = 4 y OK = 8 -R En el

OKM :

R2 = (8 - R)2 + 42

Resolviendo :

R2 = 64 - 1 6R + R2 + 16

Donde :

16/? = 80 R = 5

25.- En la figura O y Of son centros d ejas cir cunferencias mostradas. Además MN //A B , calcular la m M N.

Resolución.»

Como MN // ÁB

rn A\? = m fjB = a

Por 4- inscrito:

rn 4 MBA = a/2

Por 4- central:

m 4 NOB = a

=>

rn 4 O OB = a

y

OO, = R r

A OO B es isósceles, entonces :

OH = HB =

R

OjH = r

En el Ex OHO,, por Pitágoras tenemos. \2

{R -ry

Luego :

a

=(f)‘

- = 37°

Como : 2a + x = 180°

+ r2

r=f R a = 74° 2(74) + x = 180° x = 32°

Ernesto Qulspe R.


Luis Ubaldo C. 26.- Hallar: R , si AH = 2 y BE = 9

Resolución.Trazamos : OT _L HE , AP _L OT y BQ 1 OP Luego : AH = PT = 2 , TQ = BE = 9 Además OP = R - 2 y OQ = R - 9 fc. APO =

. OQB (ALAJ => BQ = OP = R - 2

En el fc, OQB :

R2 = (R - 9)2 + (R - 2)¿

Resolviendo:

R = 17 y R = 5

C om o:

R> 9

=>

R — 17

27.- De la figura adjunta determinar la rela ción entre a ,b y c

Resolución.ExABC:AB2 = fc.AH=>

AB = Jb . AH .... (1)

Ex AHB : AH2 = AB . a => De (O y (2) :

a

.... (2)

JbA

AH

=> b mH = — j a

Análogamente : Entonces :

AB = ^

=>

„ r^r-

AH = *ja2b

HC = $lc2b ; puesto que b = ^¡a2b + yjc2b

i----------------t> = AH + HC íb 2

463

464


28.- Calcular O T, si AB = 4 y BC = 2

Resolución.Trazamos BD y el diámetro AD Luego :

AD -LCD

y

4

m 1 DBC = 90°

En el E¡x ^BD :OT es base media luego :

BD = 2 (OT) =

En el Ex ADC :

(BD)2 = AB . BC

Reemplazando:

4 x2 = 4 . 2

2r

x = J2 29.- Del gráfico adjunto, calcular A T, si PT = 6 y OP = PQ

Resolución. En el Ex OPQ :

si OP = PQ = a

=> OQ = a,Í2 = OA = OB

En el EX AOP : (a-J2 )2 = (6 + jc) x => Además :

a2 = (6 + x) 6 ... (2)

Dividiendo : (1) * (2): ^ Donde : x = 12

I

2o2 = (6 + jr)x ... (1)

Ernesto Qulspe R.

Luis Ubaldo C.


465

30.- En el gráfico dado se muestra un cuadrante y una circunfe rencia tangente a él en dos puntos. Además se sabe que : OP = 1 y AO = OB = 7 , calcular x

Resolución.Trazamos las líneas : OT = 7 - x ; TH _L PQ (TH = o) y TK 1 OA (TK = x) Además de OP = x Aplicando Pitágoras e n :

2

el fc, TKO : a - x2 = (7 - x)¿ .. (1) THP : (1) + (2) : => D onde:

x2 = a 2+ (x - l)2

...(2) l) 2

2x2 = (7 - x f + (x -

Ix 2 = 49 - 14* + x2 + x2- 2x + 1

16x = 50

x = 25/8

31.- Sea AOB un cuadrante de centro "O" y radio 2 u . Además "P" es un punto del arco AB equidistante de A y de OB. Con estos datos, calcular AP

Resolución.Tracemos : OP = 2

, PQ _L OA y PH X OB

Luego : OQ = PH = x y PQ = HO = a

Además : AQ = 2 - x

Por Pitágoras en : fc. OHP:

a 2 = 22 - x 2

...

fc, AQP:

a2 = x2 - (2 - x )2

... (2)

De (1) y (2) : De donde :

4 - x2 = x2 - 4 - x2 + 4x 0 = x2 - 4x - 8 x = 1,46 u

I

(1)

466


Ernesto Quispe R

32.- Hallar CD, si ODPQ es un cuadrado. En el gráfico O es centro de la circunferencia mayor y AE = 20

Resolución.C o m o O C lA E

=>

AC = CE = 10

Por otro la d o :

OA = OP = / J2

(T es lado del cuadrado ODPQ) E nelB Â O D : =>

/2 = A D .x

...(1)

(/V2)2 = AD. 10 ... (2)

Dividiendo (2)

9/2 10 (I) : —5- = —

r

x = 5

x

33.- En la figura se muestra un cuadrante y una circunfe rencia . Hallar A M , si el radio del cuadrante es -J~2

Resolución. Aplicando Pitágoras en : OHP :

(R + r f = r2 + a 2

=*

feb. PQA : (R - r)2 + a 2 = b2

... (2)

fc, AMP :

... (3)

b2 = X* + r2

R2 + 2Rr = o2

... (1)

Sumando las ecuaciones (1) (2) y (3) : R2 + 2Rr + R2 + r2 - 2Rr = x2 + r2

Donde :

2 R¿ = x2

Puesto que : R = J2

I

= R j2 x = 2

W


Luis U bjldo C

467

34.- El ángulo B de un triángulo ABC mide 135°. Se traza ¡a altura tíH , si AH = 2 y CH = 3 ; hallar B H .

Resolución.En el A ABC : a + 0 = 45°. Trazamos por A y C rectas que se cortan en Q , de modo que: m 4 QAB = a

y

m 4- QCB = 0

Luego : m 4 AQC = 90° y se reconoce que "B" es el incentro del AQC. Al trazar BT _L AQ y BS _L QC , se tiene : AT = 2 , TQ = QS = x En el Lx AQC : Luego .

y

SC = 3

(2 + x f + (3 + x )2 = 52

4 + 4 x + x2 + 9 + 6x + x2 = 25 =>

2X2 + 10* = 12 x = 1

jr2 + 5 jc -6 = 0

35.- Una circunferencia pasa por los vértices B y C de un cuadrado ABCD y es tangente en M al lado AD . Si AB = a , hallar el radio de la circunferencia.

Resolución.Por el centro O del cuadrado, trazamos OH 1 BC. Luego : BH = HC = a/2 ; OM = R y

OH = a - R \2

En el

OHC :

Resolviendo:

R2 = (o ■R)2 +

(!)

R2 = a2 + R2 - 2 aR +

Simplificando : 2aR =

5

a2

R=Ia

36.- En un rectángulo de dimensiones 16m y26m ; se inscriben tres circunferencias iguales tal como se muestra en la figura. Caicular el radio de las circunferencias.

468

Problemas de Geometría y ¡ cmo resolverlos

Resolución.Del gráfico observamos : AC = 26 - 2x =* AH = HC = 13 - x y B H = 1 6 -2 jc En el fc, AHB : (2x)2 = (16 - 2 x f + (13 - x)2 Resolviendo : Ax2 = 256 + 4X2 - 64* + 169 + x2 - 26x De donde : x2- 90x + 425 = 0(Aspa simple) x = 5 37.- En el gráfico se muestran ,un cuadrante, una semicircun ferencia hallar R ; si CA = OB = 1 6 y MO = MB

R e s o l u c l ó n .-

Por Pitagoras e n :

( 1)

fc* 0 2L O , : (R + 4)2 = h2 + (12 -/?)2

...

L 0 L 0 2 : h2 + R2 = (16 - R f

... ( 2)

Sumando las expresiones (1) y (2): (R + 4)2 + R2 = (12 - R f + (16 - R)2 R2+ 8R + 16 + R2 = 144 + R2 - 24R + 256 -32 R + R2

Simplificando.

64/? = 384 R = 6

38.- En la figura "O" es ei centro de la circunferen cia mayor . Calcular el radio de las circunferen cias menores y congruentes.

Ernesto Qulspe /?.


Luis Ubaldo C.

Resolución.Empleando

elteorem a de

Pitágcras en :

Èi LHO :

(LH)2 =

(R - x f - x2

tíi. LHP :

(LH)’ = (2>)2 - (R - 2 x f

De (1) y (2)

:(R - x)2 - x2= (2x)2 - (R - 2x)2

Donde :

Simplificando:

2R2 = 6Rx x =

39.- En la figura se muestran dos circunferen cias de radios 1 y 4 , tangentes a una semicircunferencia de radio R y a otras dos rectas. Con estos datos se pide hallar "R".

Resolución. Por Pitagoras en el

PEO:

OE = V (/?+ l)2 - l y :

OF = J (R + 4 )2 -16

Entonces

EF = AC = J ( R + 1)2 -1 +
Poi Propiedad : =» Donde:

AB = 2-J(\)R

y BC = 2 J4R

2j~R + 4 J R = J ( R + 1)2 -1 + V(tf + 4 )2 -16

6 J r = J R 2 +2R + J R 2 +8R R = 4,25

(Aplicando ecuaciones)

469

470


Ernesto Qulspe R.

40.- A partir del gráfico adjunto se pide calcular el valor del radio R conociendo los radios de las otras circunferencias.

Resolución.Por el teorem a de Pitágoias en : Ex PMO:

OM =

ExONQ:

ON = •J{R-2')2- 2 2 = JR2-4 R

Puesto que:

MN = OM + ON

=>

3)2 - 3 2 = JR 2 -6 R

5 = J p 2-6 R + 4R2-4 R

Resolviendo:

R = 6,25

41.- Se tiene una circunferencia de radio “r" inscrita en una semicircunferencia de diá metro A tí = 2 R = 4 r. Hallar el radio de la circunferencia tangente exteriormente a la circunferencia de radio “r ”, tangente interiormente a la semicircunferencia y tangen te al diámetro AB

Resolución.Por el Teorema de Pitágoras : Ex CFD : FD Además :

FD = OE =

LxOED:

■r

OD2 = OE2 + DE2 ÍR -r)'

Resolviendo:

-í* v n í

r =

42.- En la figura mostrada, encontrar la relación correcta entre L, a y b.

I


Luis Ubaldo C.

471

Resolución.Del gráfico : AC = a + b ; BC, = L - a - b ; AB = L - a y b ABC resulta ser isósceles (45° y 45°) => (L- a - b ) j 2 = a + b L j2 = a + b + a^2 + b j2 L j2 = (a + b ) (1 + J2) _ (fl + b) (2 + J2)

43.- En la figura, hallar el radio de la circur ferencia m enor. Si AB = 8 y CD = 2.

Resolución.En el gráfico trazamos OB, OC y OP. Por sem ejanza : E¡x BAO — BxCDO :

O

—> /? = 4 ¿

—> a = 53°/2

Bx BTO, : TO, = x , BT = 2x y BO, = x j5 BO, = J t 0 2 + BT2 (T. de Pitágoras) BO = -Jx2 + ( 2 x f = X & Además BO = ^82 + R2 = y¡82 + 42 = 4 &

-v/5 = X-J5 + x + R

4-J5 = x j5 + x + 4

Resolviendo :

x = 6 -2-J5 < > 1,5

x = 1,5

H

4

n—

En el Bx BAO: OB = BO, + 0 , 0

472


Ernesto QuispeR.

PR06L6MAS PRÖPU6ST0S t.- En un romDo la suma de las longitudes de sus diagonales es: 70 cm y el radio de la circun ferencia inscrita es 12 cm. Hallar la longitud del lado del rombo.

A) 20 cm

B) 22 cm

D) 25 cm

E) 26 cm

C) 24 cm

2.- Hallar la longitud del radio de la circunfe rencia inscrita a un trapecio rectángulo cuyas bases miden 2 y 3 .

A>f

B)f

C»1

D)|

E)

3.- En el gráfico mostrado "A" es punto de tan gencia, BD = 9, EF = GN = 5 y "O" es centro. Hallar:/?.

A)

3mi 25

B)

D)

Im n 24

E)

4mn 25

C)

5mn 24

Im n

:

7.- En un triángulo acutángulo A ^C , se traza la altura AN. Si A N =4, AB + AC2 - BC2 = 6; hallar B N . NC. A) 9

E) 10

C) 11

D) 12

E) 13

8.- En un triángulo ABC (m4 ~B = 90°) por el punte "N” exterior a dicho triángulo se traza NP perpendicular a BC ("P” es punto me dio de BC) . Hallar AN; si Atí = 3 729 y BC = 4-^29

A) 17 BJ20 C)22 D)24 E)

6.- En un triángulo rectángulo ABC (m 4 - B = 90^ por el vértice "C" se levanta una perpendicu lar a BC hasta un punto "D" tal que BD intersecte a AC en "P”. Hallar el circunradio del triángulo B PC , si AB = 4 ; BP = n ,P C = m y CD = 6.

A) 29

B) 28

C) 27

D) 25

E) 24

25

4.- En un trapecio isósceles ABCD ( AD// BC), m 4 ACD = 90°, BC = 7 y AC = 2 0 . Hallar AD. A) 24

B) 25

C) 22

D) 26

9.- En la figura r = 9 , r2 = 4. Hallar el radio de la circunferencia tangente a las semicircun ferencias y al lado BC.

E) 27

5.- En la figura : AB = 2 BC . Hallar —

E) 0,64 10.- En la figura, el triángulo ABC es isósce les (AC = BC) "H" es ortocentro de dicho triángulo. Calcular MF , .s i : AM . MC * 20 ; EH = 2 y HC = 6


Luis Ubaldo C.

A) 4

473

15.- Hallar el cateto mayor de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es (2 VÍO + 5) y la altura relativa a la hipotenusa la divide en la relación de 1 a 9.

B

B) 5 C) 3

A) 2-n/ ó

B )3 y fl

D) 15/4

D)4%/3

E) 3-^10/2

E)4V14/3

16.- En un triángulo acutángulo ABC, se han trazado las alturas BE y C D . Si A C . CE = 88 y A B . BD = 108, hallar BC.

11.- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altura AF, intersecta a la altura BH en "O". Si OB = 5, OH = 1, hallar OA. A) 2-J2

B) S

D) y¡7

E) ^

C )2

B) 9

C) 10

D) 10,75

B) 11

A) 15

B) 16

B)

D)

E)

10V2 3

C)

B) 3

10i/3

975

C) 25/9

D) 25/7

E) 28

E) 26/7

C) 17

D) 14

E) 19

Q ^ --------- -JN

E) 12

14.- En la figura hallar el valor de uno de los radios de las circunferencias congruentes ,si AB = 2 0 y B C = 15.

A) 2,5

D) 14

18.- Hallar PQ , s i : PM = 4 y MN = 9.

13.- En un triángulo ABC (m 4- B = 90°), se traza la ceviana interior B M ; si AM = 8 , MC = 10 y BM = AB . Hallar la distancia de "M" al lado BC. A) 3>/2

C) 12

17.- Una circunferencia es tangente a dos la dos adyacentes de un cuadrado y divide a cada uno de los otros dos lados en dos segmentos cuyas longitudes son 2 y 23. Hallar la longi tud del radio de la circunferencia.

&

12.- En una circunferencia de radio 15 y cen tro "O", los diámetros AC y BD son perpen diculares; la cuerda AM intersecta a AC en "N". Si OF= 3 , hallar ON. A) 8

A) 8

C) 3y¡3

/ /

1 A) 4

B) 6

m

"1 H

O

C )4 ^ 3

1

/ D )2 y fl3

19.- En un A ABC, la m ediatriz del lado AC in tersecta al lado BC en el punto "P" y a la prolongación del lado AB en el pun to "Q". Si "O" es el c«rcuncentro del trián gulo y OP. OQ = 200, hallar el circunradio del triángulo. A) 5V2

B )8 V 2

D )6

E) 10V2“

V2

C)9yf2

20.- En la figura mostrada, las circunferen cias son concéntricas y las medidas de sus radios son proporcionales a los números 1, 2 y 3 . Si AB = yflO, hallar la longitud de la cuerda C D .

474


Ernesto QuispeR.

A) 2

A) -J2m

B) 3

B )2 j2 m

C) 4

C)3j2m

D) 5

D)

E)2S

E) 1 m

21.- El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide 30°, las bisectrices interiores de "B" y "C" se intersectan en "O". Calcular la distancia del ortocentro al bar icentro del triángulo B O C , si la distancia de "O" al lado BC mide 10,5. A) 14

B) 12

C) 10

D) 9

E) 15

22.- Dos circunferencias cuyos radios miden R están situadas de tal forma que la distancia entre sus centros mide/?. En la región común a ambos círculos se inscribe un cuadrado. Ha llar la longitud del lado del cuadrado. A ) - |( V 5 - 1 )

D )y (> /7 -l)

B )y (^ -l)

E )y (V T T -l)

J3 m

25.- En la figura AB = 12, BC = 16 y EC = 6. Calcular: AP. 13

A)4,1

/ \ \

B )4,2

..A

C)4,3

X

D)4,4 E)

4,5

E

C

26.- En la figura a B C D es un cuadrado AB = y PQ = & . Hallar QD.

C )f(V 3 -l) 23.- En la figura: AF y CD son diámetros BD = 4 , BC = 16 y AB = 8. Calcular EF. A) 2

fc) yISfZ

B)3

27.- En la figura: AC = C D , DE = 2 ; AE =10. Hallar BE.

C)4 D)5 E) 6 24.- En la figura, s i : OM = 2 m. Hallar AN

I


I uis Ubaldo C.

28.- En la figura: BC // A D . Si:

475

31.- Hallar BD; si AD = a y BC = b.

AP = 4 , D L = a , CL =b y yÍ2 a + y[2a^~-t^ =6yÍ2 . Calcular : 3a + b 42 B

C

A) 4ab

B) yla2 + b 2 C) 2 yja2 + b 2

D ) U a 2 + b 2 E) 2 o. + b 32.- Del gráfico; hallar PQ. P 29.- En la figura A y B son centros : r = 3 y R = 6. Calcular AB. A) 3-^5 B) 6 C) 4,5

A ) - |V 2

B )^ 4 s

D )y V 5

E )^ 4 Í0

C )-|

D) ó4s E )3 43 30.- Hallar B C , si AP = a y PB = b

33.- Calcular el radio de la circunferencia ins crita en el triángulo ATB.

D) 0,75 A) a ,

B) 4ab

D) Jb( a + b)

E) -Ja2 +b'

a+b

C) Ja (a + b) v

E) 0,8

34.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B s e j -^za la altura B H , luego se trazan H M JLA B y H N 1 BC. Si AM = a , AC =b y NC = c. hallar BH.

476


A) -Ja2 +b2 + c2 B) Ifabc

D) yfeb2 —a 2 - c 2

Ernesto QuIspeR.

38.- Calcular el lado del cuadrado ABCD Si TP = a y PK = b.

E) y¡a2 + c2 - b 2

C ) J b 2- a 2- c 2 35.- Del gráfico adjunto calcular/?, si \B = 8. A) ^ (2 ^ 2 + 1 ) B ) |( J r + 2 ) A )-Jab C )^ (2 V 2 -1 )

D)

B) y f^ b | ( 7 2 + 1)

E) |(2 v /2 + l)

E) yla2 - b 2

C) '¡a 2 +b2 39.- En la figura, OD = 16 y OE = 4. Hallar/?.

36.- En la figura; AM = 1 y BL = 2 . H allar: R

B) 4 C) 5 D) 6

A) 6-^5

E) 7

40.- Interiorm ente a un hexágono regular ABCDEF se ubica el punto P de modo que AP = a , PC - b y L A P C s 4I AFD. Calcular e1 menor valor de EF.

37.- Hallar la longitud de la tangente AT,si OK = 2 A) 2>/2

C)8

D)2V5

4

ab a+b

A) -Job

D)

C) 2

B > ^

E) \ c 2 + b 2 —ab

D) 2 v3

C)

B)4

E) 3

I

y la 2

+02

E>4

B0BEE^SI^SB33SE^S33BBH TEOREMA 1.

TEOREMA 2.

Si a < 90 , se cumple que : a2 = b2 + c2 - 2 bm

Si 6 > 90 , se cumple que : a 2 = b2 + c2 + 2b m

... (14.1)

Donde : a es el lado opuesto al ángulo agudo

... (14.2)

Donde : a es el lado opuesto al ángulo obtuso

OBSERVACIÓN :

De la Fig. 14.1 y en el triángulo AHB, se tiene que m = c eos a, sustituyendo en la expresión anterior, se tie n e :

a2 = b2 + c2 - 2be cosa

... (14.3)

La cual es la llamada ley de cosenos; queda para el lector obtener también la ley de cosenos a partir de la Fig. 14.1b.

14.2 RECONOCiMIEVFO D£ TRIÁNGULO

\ATUnALEZ^ DE UN

Si en el A ABC de la Fig. 14.3 , se verifica que : a > b> c, entonces , será posible identificar el tipo de trián gulo a partir de sus lados, s i : a) a2 < b2 + c2 ,e 1A ABC es Acutángulo b) a2 = b2 + c2 , el A ABC es Rectángulo

c) a2 > b2 + c2 , el A ABC es Obtusángulo

_______ _ Fig. 14.3

478


Ernesto QuIspeR.

1 4 .3 T/vCJKJüli LA¿> T K V *C ± jJS U ÍjJ\T L f¿> 1 4 .3 a

TEOREMA DE STEWARD B

A Si BF es una Ceviana interior. =>

c2r¡ + a 2 m = x z b + bmn

... (14.4)

=>

n F Fig. 1 4 . 5

a2m - c2n = x 2b - bmn

... (14.5)

NOTA : Si a = c => a2 = x2 - mn

14.3B TEOREMA DE LA MEDIANA

14.3C

Si BM es una Mediara c + a2 = 2 (BM)2 + \ b2

C

Si BF es una Ceviana exterior

NOTA: Si a = c => a2 = x2 + mn

=>

b

TEOREMA DE HERÓN

Si BH es una Altura ...(14.6)

=>

BH = | J p ( p - a ) ( p - b)(¿> ~c) ...(14.7)

^ , a+b+c Donde : p = ---- -----14.3D TEOREMA DE EULER En todo cuadrilátero se cum ple : IABJ7 + (BC)2 + (CO)2 + (AD)¿ = (AC)2 + (BD)2 + 4(MN)2

... (14.8) Fig. 14.8

v

Relaciones Métricas en Triángulos Oblicuángulos

Luis Ubaldo C. 14.3E

479

TEOREMA DE ARQUIMEDES

Si en el cuadrilátero ABCD, AC 1 BD, se verifica que : (A B )2 +

(C D )2 =

(B C )2 +

( A D ) 21

... ( 1 4 .9 )

r'ig. 14.9

14.4 TEOREMAS COMPLEMENTARIOS TEOREMA I.

( TEOREMA DE PAPPUS)

TEO REM A 2.

Si "P" es un punto interior del rectán gulo (cuadrado) ABCD, e n to n c e s: (P A )2 + ( P C ) 2 = v P B )z + ( P D ) 2

... ( 1 4 .1 0 )

AH2 + HC2 + HB? + H D 2 = 4

TEOREMA 3.

% En todo cuadrilátero inscriptible , se verifica que :

(A B )2 +

I

(B C )2 +

(C D )2 +

(A D )2 =

8

R2

... ( 1 4 .1 2 )

R2

... ( 1 4 .1 1 )


480

Ernesto QuIspeR

e je r c i c i o s t>e ¿ p u c a c ió n

S e a " I " el lado del rombo

=>

BM = MC = 1/2

Ahora trazamos MN // aB

=>

AN - ND = 1/2

Entonces nos dam os cuenta que en el A AMD, MN es m ediana, por tanto aplicando el teorem a de la mediana (item 14.3B), tendrem os : 62 + 82 = 2MN2 + | / 2

...(1 )

También al ser MN // AB, tenem os que : AB = MN = / Reemplazando en (1) :

,2 36 + 64 = 2/2 + —

Donde :

100 =

A hora:

/2 =

5i 2

= 40

/ = 2 J Í0 2.- En el triángulo ABC, AB = 8, BC = 10, AC = 12 . Si se toma “P" en AC de modo que AP = 9 ; se pide calcular BP.

Resoluclón.Del gráfico, si AP = 9

=>

PC = 3

Aplicando el teorem a de Steward (item 14.3A): xt-U = 8z-3 + 102-9- 9-3-12

Donde : Entonces :

12-x2 = 19'Z + 900 - 324 x2 = 64

x =8

A

9

P

3

C

Luis Ubaldo C.

Relacioneò Métricas en Triángulos Oblicuángulos

481

3.- En un paralelogramo ABCD, AB = 6, la diagonal AC = 8 y BD = 12. Hallar AD.

Resolución.Como es un paralelogramu, y nos dicen que M3 = 6

=> CD = 6 . De igual m anera BC = x

Aplicando el teorem a de Euler (ítem 14.3D), tenem os : AB2 + BC2+ CD2 + AD2 = AC2 + BD2 + 4MN2 En este c a s o :

MN = 0

Reemplazando: 62 + x2 + 62 + x2 = 82 + 122 + 4 (O)2 De do n d e:

36 + 36 + 2X2 = 64 + 144 208-72

Luego :

x2 =

Entonces:

x 2 = 68

x =2jl7 4.- Se tiene un triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15. Hallar la longitud de la altura relativa al lado que mide 14.

Resolución.En el gráfico sea V la altura relativa al lado que mide 14. Aplicando el teorem a de Herón (item 14.C3) :

13 + 14 + 15

2

Reemplazando en el teorem a : x = ^ ^/21(21 —13) (21-14) (21-15) Luego :

1 * = 7 721 -8-7-6

Ahora :

* = 7 77-3-7-48

Donde .

* = y 772 -122

Entonces :

x

=

x

=12

1

j

----------

-712

5.- En e1triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BE y CD, de modo que: AC- EC =88 y A B ■BD= 108. Hallarla longitud de BC.

Problema* de Geometría y cómo resolverlos

482

Ernesto QuIspeR.

Resolución.Aplicando el primer teorema de Euclides para el triángulo acutángulo, dado en el item 14.1, tenemos: AB2 = BC2 + AC2 - 2 AC ■EC . . . (1) También :

AC2 = AB2 + BC2 2AB - BD . . . (2)

Sumando las expresiones (1) y (2) : AB2 + AC2 = 2BC2 + AB2 + AC2 - 2AC • EC - 2AB ■BD Donde :

2(AC ■EC + AB ■BD) =

Luego :

2BC2

BC2 = AC • EC + AB - BD

Reem plazando: BC2 = Ahora:

88+108

BC2 = 196 BC = 14

6.- En el cuadrilátero ABCD, donde sus diagonales AC y BD se cortan perpendicular mente, se cumple que: AB = 3, BC = 2 , CD = 5 .Calcular ia longitud del cuarto lado.

Resolución.En la figura sea "x" el valor del cuarto lado : Nos damos cuenta que en este cuadrilátero podem os aplicar directamente el teorema de Arquimedes dado en el item 14.3E. 32 + 52 = 22 + x2 Donde :

x2 = 9 -r 25

A hora:

x2 = 30

4

x 2 = J3Ó 7.- En un rectángulo ABCD, se ubica interiormente el punto ”P ” , el cual se une con los vemces üel rectángulo. S i: PA = 1, PB = 2, PC = 5 , hallar PD.

Resolución.Sea PD = x, ahora aplicando el teorem a de Pappus dado en el item 14.4.1, tenem os : l 2 + 52 = 22 + x2 Donde :

x2 = 26 - 4

Entonces :

x2 = 22 x = JZ2

A

I

D


Luis Ubaldo C.

483

o

1.~ t n un triangule AtiC se cumple q u e : c 2 = a z+to2- ^ ab y b2= a 2 + c? + ac .Con estos datos se pide calcular la m 4 A

Resolución.-

2 2 2 ab = a 2+ b2- 2nb

c = a + b

Por d a to : Puesto que en el A ABC . Igualando:

2nb =

8

ab

5 ^

a

=>

~

Luego \am 4- C = 37°

HS----------------------- b

También por dato :

b2 = a2 + c2 +

Puesto que en el A ABC :

b = a + c + 2me = ac

Igualando: Luego :

2 2 2

m4

En consecuencia:

ac 2me

=>

a = 2m

BCH = 30°

x + 37° = 60°

( 4 exterior)

x = 23°

I

2.- Desde un punto “P" exteriora una circunferencia se trazan las tai gentes PA y P B . En el arco menor AB se ubica el punto "T" tal que P T = AT. Calcular la distancia entre los puntos medios de AT y PB , s i: AB2 + TB2 = 16.

R esoludón.P ordato:

y2 + z 2 = 16

... (1)

En el cuadrilátero no convexo ABTP , por el teorem a de Euler, Simplificando tenem os : y2 + z 2 + 4 a 2 + 4n2 = 4x 2 + 4 a 2 + 4n2 Simphfi« a n d o : y2 + z Igualando ( l) y ( 2 ) :

= 4x Z

16=4x2 x =2

I

.(2 )


484

3.- Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar "x"

Ernesto Qulspe ? B

C

Resolución.En el A MBN, por el teorem a de Euclides : 82 = 52 + x 2 -2m x ...(1) Enel AMND:

122 = 52 + x 2 +

Sumando (1) y (2) : 122 + 82 = 2.52 + 2 jt2 Donde:

144 + 64 - 50 = 2 x 2

Ahora:

158 = 2 jt2

simplificando:

x 2 = 79

= yÍ79 4.- En la figura mostrada calcular "x", si ABCD es un cuadrado, Además se sabe que MC -> Diámetro .

g

J

*

1

Resolueión.En la Figura :

MC = CD = 2

Además :

MC = V5

=>

QC = V5 -1

En el Bx MMC, aplicando el teorem a de Stewart : x 2yÍ5 = (I)2 (V5 -1 ) + 22

Donde :jc2V 5 = V 5 + 3 - 5 + V 5 En consecuencia :

= f

CD

- (O (V5 - 1) (V 5)

=>

(5-75)

■ = J § (5 -7 * H

jc2 75 = 2 ^5 - 2

V

7 \

/■■■ i M

j


Luis Ubaldo C.

5.- En la figura mostrada se tiene un cuadrante en el que se han instalado dos semicircunferencias de radio 3 y una circunferencia cuyo radio "x", se pide hallar.

Resolución.En el triángulo OMQ, aplicamos el Teorema de Stewart : (3 + x )2 (9) = (12- x ) 2 (6) + (3 + x )2 (3) - (3) (6) (9) 81 + 54x + 9 x 2 = 864 - 144x + 6 x 2 + 27 + 18* + 3 x 2 - 162 Simplificando : 180* = 648 x = 3,6 6.- En la figura mostrada . se pide encontrar el valor de NQ.

Resolución.En la figura : TM = NQ = x ; adem ás TQ es bisectriz. Luego : AT = ak y TB = bk Por el teorem a de Pitágoras : *2(o 2 + b2) = 0a + b f 2

(a + b )

( 1)

2 .2

a +b

Tam bién:

J _____ l _ f j _ x2

k2


I

U2

J 2

l

Ca + bY

x . {a Ab2)

a+b2

(.ab)2

485

486


Extrayendo raíz cuadrada a am bos m iem bros:

Ernesto QuIspeR

ao\,a + dj

o

—■ ........ - - = x \ a +b

j

\ a 2+ b 2

_ a b ja + fe) a 2 + 62 7.- En un triángulo ABC, las longitudes de los ados están representados por tres números enteros consecutivos. Si el ángulo mayor es el doble del menor, calcular las longitu des de los lados del triángulo.

Resolución.En el A NBC, aplicamos el teorem a de Euclides: (a + 1)2 = ( a - 1 ) 2 + ( a - l ) 2 + 2 ^ j ( a - l ) En consecuencia: a 2 + 2o + 1 = 2 a 2 - 4a + 2 + a - 1 2 Simplificando : 0 = a - 5 a

=>a = 5

A ^ ----------------------- °

Luego las longitudes de los lados del triángulo serán :

AB = 5 - 1 = 4

L uego:

BC = 5 + 1 = 6

Tam bién:

AC = 5 L o s la d o s s e rá n 4 ; 5 y 6

8 - En un cuadrante AOB : AO = OB = 3. En el arco AB se ubica el punto O, el cual será centro de una circunferencia cuyo radio mide 2, tangente a BO en T. Dicha circunfe rencia intersecta al arco AB en M, luego se traza OrH i. MO (H e MO). Hallar MH.

Resolución.En el triángulo OMO,, por el teorem a de Euclides : 32 = 22 + 32 - 2x (3) Donde :

6* = 4 2

x —„

9.- En un triángulo ABC se traza BH perpendicular a la bisectriz interior trazada por "C". Hallar A H , si AB = 15; BC = 13 y AC = 14


Luis Ubaldo C.

487

Resolución.En el A ABC, por el teorem a de Herón : BQ = 12

=>

QC = 5

Puesto que:

BC = NC = 13

=>

NQ = 8

Luego :

AN = 14 -13

=>

AN = 1

En el

NQB : BN = 4 VÍ3

Finalmente en el A ABN, por el Teorema de la Mediana : 152 + l 2 = 2x2 +

2

En consecuencia:

226 = 2 x 2 + 104

Por consiguiente:

2x2 =122

10.- En un trapecio ABCD, las bases BC y AD miden 5 y 26 respectivamente, adamas AB = 1 3 y CD = 20. Hallar la altura del trapecio.

Resol ucion.Trazamos BN // CD, entonces : BN = CD = 20 En el triángulo ABN :

AN = 21

Luego en dicho triángulo por el Teorema de Herón : jc =

A hora:

Jy V27(27- 2°X 27- 21)(27- 13)

x = £ V27-7-6-14 n

A

H

N

-------- ---------21-------------------- 3H

x = 12

5

, 2 2 2 i— 11.-En un triangulo ABC se sabe que: a = b + c + x 3 be. Se pide calcular la m 4 -A , si dicho ángulo es obtuso.

Resolución.2

2

2

Aplicando el teorem a de Euclides :

a = b +c

+ 2 bm ...(1)

Por dato tenem os .

a 2 = b 2 + c2 + J 3 b e ... (2)

188


Ernesto QuispeR

L>e (1) y (2) :2 Dm = J3 be üonde: Entonces :

Yn f i m = —

r C

BH = ^ (notable de 30° y 60°)

En el Ex BHA notable :

a = 30° x = 150°

12.- En un triángulo ABC, AB = 4 , BC = 7 . Hallar A C , s i : m 4- BAC = 2 m4- BCA.

Resolución.Trazamos BD de m odo que la m 4- JBC = a, entonces el A ABD es isósceles : AB = BD = DC =4

Donde :

4 jc2 - 49jc + 132 = 0

Resolviendo :

(4v - 33) (jc-4) = 0

h«e=»

x =

x =

33

a

x

=4

33

13.- En la figura se muestra un cuadrante tangente en dos puntos a una circunferencia según como se indica. Ha llar x, sabiendo además que: R=9mya=1m

(No puede ser)


Luis Ut Dido C.

489

Resolución.-

Aplicando el teorem a de Euclides en el A OEN obtusángulo : ( R - x ) R educiendo:

=a

2

+x

2

+ 2 (x -a )(á )

R2 - 2Rx + x2 = a2 + x2 + 2.xa - 2a2

=> Entonces:

2

R2 + a2 = 2xa + 2Rx x --

a2 + R 2 2(a + R)

l2 + 9 2 2(1 + 9)

Ahora:

x = 4, 1 14.- Los lados de un triángulo ABC miden AB = 2 5 ; BC = 30 y A C = 3 5 . La circunferencia inscrita determina con BC el punto de tangencia "M". Si AM intersecta a la circunfe rencia en "P"; hallar BP. Resolución.-

Sabemos q u e : =>

MC = QC = 45-25 MC = QC = 20

Entonces : AQ = 15 y BM = 10 Aplicando el teorem a de Steward : AM • 30 = 25 - 20 + 35 •10 - (10)(20)(30) Simplificando:

AM = 25

En la circunferencia por teorem a de la tangente : De donde :

AP = 9

Entonces:

PM = 16

2

15 = 2 5 AP

Finalmente en el A ABM, aplicamos el teorem a de S tew art: x 2 ■25 = 252 ■16 + 102 ■9 - (9) (16) (25)

x = 2 ^73

490

Ernesto QuispeR.


15.- En el gráfico mostrado calcular "x"

Resolución.-

En el triángulo sombreado, por el teorem a de la m e d ian a: (6>/ÍÓ)2

2 (3 v l0 + x )2

= (6-%/To —jc)2 + 92

Donde: 180+ 12 4 Í0 x + 2 x 2 + 90 = 360- 12 4 \0 x + x 2 + 81 Simplificando: x 2 + 24 -J\0 x - 171 = 0 Resolviendo :

3VÍ0

x = 2,215

3VÍ0

16.- Con los datos dados en la siguiente figura, hallar "x".

Resolución.El Eíx ABH = Eíx CDQ (A.L.A.) , en to n ce s : AB = CD = 3 y BH = QD = 1 En el A ABC por el teorem a de Eudides : * 2 = 32 + 72 - 2 (1) (7) Efectuando :

x 2 = 9 + 49-14

En consecuencia:

x

2

n

^cc

^ y

/

= 44

x = 2 4ñ 17.- En la figura mostrada se sabe que: R = 4 2 m . Se pide calcular el valor de "x".

r

,x '

i

T / rvt ¿ --------- -wí

LuisUbaldoC.


491

Resolución.-

En el fcx ETF :

EF = J x 2 + r 2

En el A OEF; aplicamos el teorem a de Euclides : (y¡x2 +r2 )2

=

{ R - r f + R2 +

Resolviendo: x 2+ 2 = R 2 - 2rR +

2rR

2+

R 2 + 2 rR

Donde:

x 2 = 2R 2

=>

x = RJ2

Puesto que

R = 72 m

=>

* = 7 2 -7 2 x = 2m

18.- Con los datos dados en la figura mostrada, calcular

Resolución.En el triángulo sombreado, aplicando el teorem a de Steward : (2 - x ) 2- (3) = (3 + x )2- (1) + (x + 1)2- (2) - (1) (2) (3) Donde :

12 -1 2x + 3x 2 = 9 + 6 x + j f 2 + 2 jr + 4 x :+ 2 - 6

Simplificando: Ahora:

12 - 5 = 22x 7 = 22x

2

2

19.- A partir del cuadrado dado, se pide hallar m - n , si:

B

□

C

492

Ernesto Quince R.


Resolución.En el A APD, aplicando el teorem a de la m ediana : ...0 )

b 2 + k2 = 2 n 2 +

En el A OPC :

/¡2 + o 2 = 2 m 2 + M

Restando (2) - (1) :

a 2 - b2 = 2 ( m 2 - n 2)

Donde :

m - n = ---- o----

Puesto q u e :

o 2 - b.2 = 110 2

2

2

0

2

(2)

2

.2

-6

2 m

2

12

' n = T

20.- En un triángulo ABC se cumple que: a? = c* + be y m 4- B = 54B. Calcular la m4- C. Resoluclón.Trazamos la ceviana exterior BP tal q u e :

BP = BC = o

Luego en el A PBC, aplicando el teorem a de Steward : o2= c 2+ 6.AP

... (1)

Por d a to :

o2 = c2+ be

... (2)

De (1) y (2):

AP = c

En el triángulo isósceles PBA: m 4- PBA = x En el A PBC :

x + x + 5 4 + x = 180 x = 42°

21.- En la figura se muestran dos circunferencias pequeñas del mismo radio en contacto con una semicircunferencia. Calcular el valor de "x".

I


Luis Ubaldo C.

493

Resolución.Sabemos por teo ría, que los puntos A, B, C y A, E, F ; son colineales . En el A ACP; aplicamos el teorem a de la Secante AC • AB = AP - AN Puesto q u e :

AC-A3 = *2 AQ2 = A P • AN

También : De (1) y (2) :

...

( 1)

... ( 2)

x2 = AQ2

D onde:

* = AQ x = 8

22.- En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4 . En él se ha inscrito una circunferencia y un cuadrante. Se pide ha llar la medida de PQ

Resolución.La línea de centros AO , es mediatriz de la cuerda com ún PQ Luego :

PH - HQ = ^

En el A POA, por Herón : x 2

Y

V(3+V2Xy2+lXy2-1)(3-V2)

Resolviendo: ^ - -=• J 7 2 v2

X=

2J 7 42

V2 V2

x = v'f14

23.- En un trapezoide ABCD se sabe q u e : AB = 2 , BC = 12, CD = 9 , BD = 6 y además m 4I BDC = m 4- BAD + m 4- A D B . Calcular AD.


494

Ernesto QuispeR.

.resolución. Prolongamos DB hasta P de modo que BP = 3 , ro n lo cual se tiene : A ABP —A BDC (2do casu)

=:

12

=»

9

AP = 4 q

En el A PAD, aplicando el teorem a de Steward : 42 • 6 + x2 - 3 = 22 (9) + (9) (3) (6) Resolviendo : 96 + 3x2 = 36 + 162 * = V34 24.- En la figura ABCD es un cuadrado de lado "I".

B

Hallar :a* + b2 + c2 + d2

Resolución.Por el teorem a de la Mediana en A BPC : b2 + c2 = 2 (PQ)2 + Ç

... (1)

,2 También en el A APD :

a 2 + d2 = 2 (PT)2 + -y

... (2)

Sumando (1) + (2): a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (PQ2 + PT2) + I2 Êx QPT :

PQ2 + PT2 = /2

(Pitágoras)

a2 + b2 + c2 + d2 = 3/2

K25.- A partir de la figura mostrada , se pide calcular x , si AC es diámetro .

I

-H


Luis Ubaldo C.

495

Resolución.Aplicando el teorem a de la m ediana en el A APC : (2

+

x)2 + (4

+

x?

fi2

=

2 (3 - x ) 2 + yL.

Donde : 4 + 4x: + *2 + 1 6 + 8 x + * 2 = 1 8 + 2x 2- I2x + 18 Simplificando-

24* = 1 6 x =

2 „

26.- En un trapecio ABCD AB = 5 , BC = 6 , CD = 7 y AD =10. Hallar A ( f + BD2 ,s iB C //~ Á D .

Resolución.Aplicando el teorem a de Euler : 52 + 62 + 72 + 102 = AC2 + BD2 + 4MN2 in— MN = —^— = 2

Puesto que : =»

25 + 36 + 49 + 100 = AC2 + BD2 + 16 AC2 + BD2 = 194

27.- En un cuadrante AOB ,A O = OB = 4. Con centro en B y radio AB se traza un arco que intersecta a la prolongación de BO en "P" . Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilineo PAB.

Resolución.Aplicando el 1er teorem a de Euclides en el A OO.B (4 Í - x )2 = (4 - *)2 + 42 - 2 (4) (OK) En consecuencia: 32 + x2 - & j2x = 16 + x 2 - 8* + 16 - 8 (OK) Por consiguiente : 8 (OK) = 8* (V2 -1) =>

OK = x

(V 2

-1)

|

I

V

496


En el X OKO,; aplicamos el teorem a de Pwágons : Donde:

16 + x2 - 8x = x2 + x2 (3 - 2 ^ 2 )

Finalmente :

=*

Ernesto QuIspeR.

(4 - x)2 = x2+ [x(V2 - l ) ] 2 x2 (3 - 2 ^ 2 ) + 8* -16 = 0

x = 1,92

28.- En la figura se muestran dos cuadrantes de igual radio y una circunferencia en contacto con ellos: OA = OB = R y B M = M O . Hallar: r .

Resolución.Del gráfico : Ex PTM — Ex MOA En el Ex PTM:

^

MT

r

R

R 2

MT = 2r

PM = rV 5

En el Ex PMB (Pitágoras):[R - r )2 = ^ j

+ (rJE )2

R2 +r2 - 2 R r = ^ r +5r2

En consecuencia:

4

4i2 + 2 R r - ~ R 2 = 4 2r 2r Por aspa simple, ten em o s:

0

3IR 2 R

2 ^2r +^2r - y j = i

29.- Calcular x del gráfico; si OA = OB = 20 y OM = MB

r =

Luis Ubaido C.


Resolución.

Aplicando el teorem a de Steward, en el A O PL: (20 -x )2 • 10 + (x + 5)2 • 5 = (x + 5)2 • 15 + 15 • 5 • 10 Luego :

(2 0 -x )2 - 10 = (x + 5)2 - 10 + 75 -10

Simplificando: 400 - 40x + x2 = x2 + 10x + 25 + 75 A hora:

300 = 50x x = 6

30.- Según el gráfico; calcular x.

Resolución.Aplicando el teorem a de P&ppus en : □ ABCH: a 2 + c2 = b2+ y 2 ... ( 1) También en e l : □ DEFH :

x2 + fi = e2 + y2 ... (2)

R estando: (2) - (1) :

x1 + fi - a2 - c2 = e2 - b2

x = -Ja2 + c 2 + e 2 - b 2 - f 2

31.- En la figura se muestra una circunferencia de radio 3, tangente a una semicircunferencia de radio 2 . Se pide hallar AB.

497

498


Ernesto Quispe R.

Resolución.

Por la sem ejanza de ios triángulos PHQ y BLQ se tiene :

LO

2 ^

=>

LQ =

8

triángulo BQA: x2 = 22 + 22 + 2 (2)

32 Luego : x2 = 8 + ^

x = ljlO

32.- Dado un punto "P" exterior a una circunferencia ,se trazan las tangentes PT y PQ y la secante PB A . Si RT / / AB (R e A T ) , M = RQ n a B, hallar M T, s iA T = 8 ,T B = 5 , sabiendo además que AB toma su mínimo valor entero.

Resolución.Del gráfico, por 4- interior: m 4 BMQ = 6 = m

m BQ

Puesto que : m AR = m ÍB n _ m TB + m BQ

6 ------------2-----Al trazar OP, se tiene : m 41 LOQ = rnTB + m B Q

El cuadrilátero MOHQ es inscriptible

=>

OM XMP y AM = MB

En el A ATB :

=>

AB (mínimo) = 4

8 - 5 < AB

Luego aplicando el teorem a de la Mediana :

82 + 52 = 2X2 + | 42

3 3 .-En un triángulo ABC: m 4- B = 150° A continuación se traza laceviana BP, de modo que AP = 3 y PC = 4 y m 4- APB = 60g. Calcular BP.


Luis Ubalde C.

499

Resolución.Sea "O" el circuncentro dei A ABC Luego el triángulo AOC es equilátero , donde : OA = OC = OB = 7 Al prolongar BP, ¡ntersectamos a OC en Q, lu eg o : PC = PQ = CQ = 4 En el A BQO, por Ley de Cosenos : (7)2 = (4 + x)2 + 32 - 2 (* + 4) (3) eos 120° Resolviendo :

x = 1

34.- La figura ABCD es un cuadrado en el que se han instalado dos semicircunferencias del mismo radio. Se pide calcular PO, si AB = JlO

Resolución.En el triángulo isósceles BAP, AL es altura referida a la base Luego: BI = LP = o Ex BPC = Ex BLA (ALA)

=* PC = BL = a

Ex BPC : a2 + (2o)2 = (v/ÍÓ )2 =>

o = V2

En el A APC : OP = x , es m e d ian a. Luego: PA2 + PC2 = 2x2 + ^ ACZ(teorem a de la Mediana) Donde : Ahora :

(v/ÍO )2 + U ¿ )2 = 2x2 + ^ ( V20 )2 12 = 2X2 + 10 x= 1

35.- En un triángulo acutángulo sus lados forman una progresión aritmética de razón r. Hallar el máximo valor entero de r, si el perímetro del triángulo es 144.


500

Ernesto QuispeP


Como el triángulo es acutángulo debe cumplirse : (a + r)2 < a 2 + (a - r)2 Donde :

(a + r)2- (a - r)2 < a 2

Puesto que el perímetro = 3a = 144 Luego en (*):

r < 12

=»

flf

O

Por diferencia de cu adrados: 4a r < a 2 =¡

o = 48 a +r

r 'jn ü x ) = 11

36.- Los lados AB y CD de un trapezoide ABCD miden 18 y 20 y el segmento que une los puntos medios de los otros dos lados mide 17. Calcular la medida del ángulo que forman las rectas que contienen a los lados AB y CD R e s o l u c i ó n .-

Trazamos BD y aplicamos el teorem a de la base m edia en ABCD:

ML= ^

= 10 y M L//CD

AABD:

NL = -y = 9 y NL/ / AB

1O

----

----

Del gráfico : m 4 MLN = 180 -x En el A MLN, em pleamos la ley de Cosenos 172 = 102 + 92 - 2 (9) (10) eos (180 -x) Donde: 289 = 100 + 81 + 180cosx

3

=> cosx = — x = 53°

37.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la ceviana B F . Si BC = a , A C = b y : m 4- BAC = m 4 A B F + m 4 ACB. Hallar BF. R es o lu c ió n -

Del gráfico: m 4 FBC = 2a

/e

2« ^ "o.

Trazamos FE (E en BC ) de m odo que : m 4 EFC = a

=» BF = FE = EC = x

En el A BFE, aplicando el teorema de Steward: (FC)2 = jc2 +

qx

...(1)

/

/

/V + e \

/

x / i- \a

2 \

2o T

xcfr\/ C

Luis Ubaldo C


501

a+x

Ex FHC - E x ABC :


FC _

2

b

a

b^(a "t" ---- --------- = x(a + x)

^

b2( a + x ) ------- ó— = x

38.-El 4- C de un triángulo rectángulo ABC mide 16° (B =909) . Con centro en A y radio AB se traza un arco que intersecta a la circunferencia inscrita de centro O en los puntos P y Q. Hallar la m 4- POQ.

Reso.j< ión.B

C Trazamos la bisectriz AO, cuya prolongación intersecta en H a PQ Luego : m 4- MAO = 37° y m 4 POH = ^ En el Ex AMO de 37° y 53°, sea : OM = OP = 3k => AM = 4k y AO - 5k, adem ás AP = 7k En el A AOP, aplicando el segundo teorem a de Euclídes : (7/?)2 = (5/?)2 + (3A>)2 - 2 (Sk) .OH En el Ex OHP:

y = 60°

=>

3k

OH = y

x = 120°

39.- Interiormente a un triángulo isósceles ABC se ubica el punto P. Si AP = 25, PC = 39, AB = BC = 35 y AC = 5 6 ; calcular PB.

Resolución.Trazamos las lín eas: PH ± AC , BL X AC y PN X BL Luego :

AL = LC = 28 ; PH = NL y PN = HL

502


Ernesto Quispe R

Aplicando el teorem a de Herón en : AAPC:

pH =

7 60-35-21-4 => PH = 15 y NL = 15

Además : AH = 20 y HL = 8 = PN En el Ex ALB : BL = aÍ352 -2 8 2 = 21 De donde: En el Ex PNB

BN =21 - 15 = 6 x = ^62 +82 He----------------------- 56 x = 10

40.- Hallar r, si (a2 + b2) - (c2 + d2) = k2

Resolución.Del gráfico: A PNA= A PCN A dem ás:

=> AN = NC = o

NB = ND = C

En el A CPH: 2 a + 2 0 = 180°

=>

a + 6 = 90°

Como PC // QD => m 4 Q = 2 a y

m 4- QND = m 4 QDN = 6

El Z3 CHND es inscriptible y al prolongar CH y DN estos se intersectan en un punió T de la circunferencia. Luego, aplicando Euclides (2do te o re m a ): ACHN:

a2 = d2 + Ar2 + 2d (.HT)

...(1)

A HND.

b2 = c2 + 4r2 + 2c (TN)

... (2)

Sumando las expresiones (1) y C2): a 2-i- h2 = c2 + d2 + Sr2 + 2 [ ( d . (HT) + c . TN)]... (3) En el Ex CKT :

(KH)2 = (TN)2 = d (HT)

En el Ex TKD :

(KN)2 = (HT)2 = c (TN)

Sustituyendo estas últimas expresiones en (3) a2 + b2 = c2 + d2 + 8r* + 2 (TN2 + HT2)

De donde k2 = 16r2

=>

(o2 + ¿>2) - (c2 + d 2) = 8T2 + 2 (4r2) r = 44


Luis Ubaldo C.

503

fftO6L€n0S FROPIH 5TOS 1.- En un cuadrilátero ABCD . m £ B = m 4- D = 90°, AC = 10 y BD = 8 Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 2

B) 2,5

C) 3

D) 3,2

E) 3,5

2.- En un triángulo equilátero ABC, de lado 12 se ubica un punto P interior de modo que m 4 APC = 90° ; hallar la longitud del seg mento que une los puntos medios de BP y AC, si además BP = 4. A )? \Í3

B) 2-Jvf

D) VÏ7

E) 3 S

C) 1,5 m D )2 m

4.- En la figura : O y O, son centros, T Q - a y QL = b. Hallar : AC 2

,

D) 3

E )7

8 .-En un triángulo ABC, m 4 C = 120° , ab = 24 + b = 12 . Se traza la bisectriz CF (Fen A B ). Hallar CF.

A)

VÏÔ 2

B)

77 2

C)

VÏ4 4

D)

575 2

,2

C)2 'Ja+ab+b' ,2

D , 2 ^ +ab+b

B) 3

C) 1,5

D) 2

E) 1

Hallar TQ del gráfico, s i : AB = BC = 2

9 .-

B) -Ja-ab + b

,

C) 6

7.- En la figura, ABCD es un cuadrado BM = MC y r = 1. Hallar DE.

—ab + b

2

B )5

A) 4

3m

A)

A) 4

Q 3 V Ï7

3.- En la figura, calcular MD. Si : BM = 6m, D E = 1m A) 1 m B) 0,5 m

E)

6.- Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtu so en B, donde IG // BC, siendo I el incentro y G el baricentro de dicho triángulo; además el perímetro del triángulo es 144. Calcular el máximo valor entero de IG.

E) JE E) N.A

10.- Los lados de un triángulo A BC, miden AB = 5, AC = 6 . BC = 7 . Se traza BH _L AC y HM i BC . Hallar HM.

5.- Las medidas de los lados de un triángulo son 3, 5 y 7. Hallar la medida del mayor án gulo de aquel triángulo cuyos lados son las inversas de las alturas del primer triángulo.

A) 2 v 6 /3

B) 5V 3/4

A) 145°

D) 5yf6/7

E)l0yÍ6H

B) 135° C) 120° D)90° E) 105°

0 4 ^ 3 /7

504


11.- En un cuadrilátero convexo ABCD, se tra zan BM y DN perpendiculares a AC Hallar MN, si BC2 + AD2 = 140; AB2 + CD 2 = 120 y AC = 5. A) 1

B) 1,8

C)2,4

D) 2

E)3

12.- En la figura ABCD es un cuadrado; A y O son centros, AB = (3 + -J E ). Hallar el radio máximo V

Ernesto QuIspeR

A) 3 -Js

B)2-J$

D)5yÍ5/2

E) f ^

C )|i/5

17.- En la figura O, , Oz y 0 3 son centros; hallar CD. Además R = 4 y¡3 A) 3 B)4 Q5 D) VlO E)2y¡5

Q 1 D)2 E)3 13.- En un cuadriláiero ABCD, AB = 7 , AC = 8 y BC = 9 . En el lado BCse ubican los puntos E y Ftal que BE = E F = F C . Hallar AE2 + A F 2 A) 63

B)64

C)67

D )72

E)77

14.- En un triángulo ABC, AC = 4 j l 3 , se traza la mediana BM y la perpendicular AH a dicha mediana. Si AH = 16, hallar CH. A) 15

B) 16

C) 18

D)20

E)24

15.- En la figura, M, N y F son puntos medios de los lados AB , BC y AC respectivamente. H allarBE,si:-.^- + - L =1L

18.- En un triángulo ABC, se trazan las alturas AF , 6 H y C E, siendo "O” el ortocentro. H a llar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo A B C . S i : AB2 + BC2 - AC2 = 10, AO2 + CO 2 - OB2 = 15 A) 2

B)2,5

C)2,8

D)3t2

E)5

19.- En la figura AD = 10, A B . BC + A B . CD + BC\ CD = 150. Hallar AB + BC = CD. A) 25 B)20 Q 18 D) 16 E)24

B )3 &

20.- En un triángulo escaleno con AB > BC , se traza la bisectriz interior BD y exterior BF. Si A F . CF = 59 y AD. DC = 4 3 , hallar DF.

C) V2

A) 3

D) S

21.- En un triángulo ABC, BM es una mediana. Sobre BC se considera un punto "D" de modo quera 4I BM P =m4-BAC. Por "D” se traza una paralela a AC que intersecta a BM en F y a AB en E . Hallar: E D , si B F = 9 y FM - 4.

A) 3V2

E) 4 16.- Un A ABC, donde AB = 7 , BC = 8 y AC = 9, está inscrito en una circunferencia. Hallar la longitud de la flecha de la cuerda AC-

A) 12

B )4

B) 10,5

C)5

Q9

D)6

D)8

E)8

E)7,5


Luis Ubaldo C

22.- En la figura, AB =^13 ra ; BC = 14 m ; AC = 15 m y m tíM y m MC. Calcular PM A) 9 m B) 13,5 m

505

i:8.- Hallar r del grafico (O es centro) R = 4

A> ü B) 2

C) /ÍÜ7 m D )J íñ m

C ),l¡

E )J ñ 3 m

23.- Dado un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto "P" tal que : BP = 3 • PC y AP2 + 3 • DP2 = 38 . Hallar BC. A) 4

B) 4-J2

C )2 S

D) 2

E )3 ^ 2

8

D)

E)v f 29.- Del gráfico; hallar x , si r = y¡2

24.- Calcular x en función de R. A) R/6 B) R!2 C) 6/?/3 D) 5RI2 E) R/3 25.- En un triángulo ABC (m 4- B = 90°), se traza la mediana BM y se ubica el incentro "I" del triángulo BMC tal que : AB - MI = 2. Hallar AI ; si AB2 + BI2 + IM 2 = 10 A) 2

B )2 &

C )3^2

D)y¡6

E)2^/ó

26.- En un triángulo ABC; D AB2 + BC2 + AC2 = 9. Su circunradio mide VlO . Hallar la distancia del baricentro al circuncentro. A) 9

B) 10

C) 2 V i

D) -JlO

E)

30.- Dado el triángulo isósceles ABC de Incentro I. Sobre el arco IC de la circunferen cia circunscrita al triángulo AIC se ubica el punto P de modo que AP = 10 y PC = 6; hallar AB ( AC es la base del triángulo isósceles ABC y /w 4I B = 74°) A)

V52

B)

D ) |V 5 2

V52 H

C ) |V 5 2

E ) |V 5 2

3

27 - En la figura; E, Fy N son puntos de tangencir.. Además AH = 12, HB = 4 y BN = 6. Hallar ON

31.- Del gráfico, encontrai : -5^

A) 4 B) 5 C)5yÍ2

D) E)3yÍ2

4V¡2 A )|

B )±

C) — 6

D)1

506


32.- En la figura: T y K son puntos de tangen cia, O es centro (b2 + c2) - (m2 + n2) = x2 . Hallar :HK

36.- En un triángulo ABC se tiene : a2 = b2 + c2 + (1,2) be Hallar la medida de uno de los ángulos del triángulo. A) 105°

A

b

C

Ernesto QuispeR

B) 1209 C)127°

D)135°

E) 143°

37.- Del gráfico mostrado, calcular x , si las circ u n fe re n c ia s de ce n tro s P y Q son ortogonales.

E>4

A) 0,3

33.- Hallar jc , si a = 1, b

B)0,4

A) 4/21

C)0,5

B>5/21

D)0,65

Q 6/23

E)0,85

D)7/23

38.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana AF tal que AB = FC y m 4- ACB = 2 m 4- BAF. Hallar lawi 4 BAC.

E)

1/2

34.- En la figura mostrada, calcular BC. Si ade más : C D - a y A C - b. A) abl(a + b)

A) 30°

B )4 ^

C)37

D)53

E )^

39.- Del gráfico, calcular:

B) 2ab/(a+ b)

a7 -r b2 + c2 + d2 + e2 + f 2

C)ab/(2b + a)

Si ABCDEF es un hexágono regular de lado

D)ab/(2a+b)

A) 6 P

E)

2ab/(2b + a)

B )7 12

35.- C alculara; s i : AO = OB = R

C )8 12

A > ^ - r’ 2R +r

D ,f í

B ) 2R 2+r2 2 R+r

E) 11/2

2 R2 - r 2

C) 2(2 R + r )

D

40.- En la figura : AB - 6 , BC = 3 y AC = 7. Hallar PQ.

2 ( 2 /? - r)

A)3,16

B)3,5

C)3,26

D>4,3

E)VÍT

Si : AB n CD = {P} =>

AP . PB = C P . PD

( 1 5 .1 )

O B S E R V A C IO N E S :

a)

b) Si P e AB :

Si AB es Diámetro : (M H )2 =

\H

H B

... ( 1 5 .2 )

(O P )2 =

R2 - A P

• PB

... ( 1 5 .3 )

15.!¿ TEOREMA DE LAS SECANTES

Fig. 15.4

508


Ernesto QuIspeR.

O bservación : Si el O ABCD es inscriptible , entonces : PA • PB = PD • PC

...(15.5)

1 5*3 TEOREMA VE LA TAMJENTL, S i: PQ es tangente : (PQ)2 = PA-PB

, ( 1 5 .6 )

Fig. 15.6

I

Luis Ubaldo C

Relaciones Métricas en la Circunferencia I

509

1.- En una circunferencia de centro "O" y de radio 6m, dos cuerdas AB y CD se cortan en "i". Si Al = 5m y O I= 4m , hallar la longitud de IB

Resolución.Dato del pro b lem a: OE = 6 A ñora:

y

OI = 4

OE = OI + IE

Reemplazando

6 = 4 + IE

=:

IE = 2

Aplicando el teorem a de las cuerdas (relación 15.1) 5(x) = 10(2) X =

4/7?

2.- Se tiene una circunferencia de centro "O" cuyo radio mide 15. Se traza la cuerda AB y sobre ella se elige un punto “M" tal que AM x MB = 200; calcular OM.

Kesolucion Aplicando el teorem a de las cuerdas (item 15.1); (15 + x) (15 -x ) = AM - MB Reem olazando: D onde:

225 - x2 = AM ■MB = 200 x2 = 25 x = 5

Ahora si aplicamos la relación 15.3, tendrem os:

L

x2= 152 - AM MB = 225 - 200

jc = 5 3.- En la semicircunferencia de centro "O", se tiene q u e: OB = 2 AH = 1 0 . Calcular la longitud de MH.

M


510

Ernesto QuispeR.

■tesolucion. ■

En primer lugar construimos el triángulo rectángulo AMB . Entonces si aplicamos la relación 15.2, se tendrá q u e : MH2 = AH - HB ... (1) Dato: OB = 10ysi2AH = 10

AH = 5

Luego :

AH = HO = 5

D onde:

HB = 15

Reemplazando en (1):

MH2 = 5-15 MH = 5 ^ 3

4.- Según el gráfico BC = 2 DE . Calcular BD, si se sabe que: BM = 6 y DN = 2

Resolución- ■ Sea

DE = a

Por tangentes:

=>

BC = 2a

AB = AD = b

En la circunferencia mayor, aplicamos el Teorema de las C uerdas: ( x + 6 ) (2) = a - 6 ... (1) También:

(x + 2)6 = (2 ) a - b


(x + 2)6

= 2 (x + 6) (2)

Luego :

3(x + 2)

= 2(x + 6)

Donde :

... (2)

+ 6 = 2x + 12 * = 6

5.- En la figura calcular "r", s i : PQ = 1, QR = 4 y R = 6


Luis Ubaldo C.

Resolución.Aplicando la pi jpiedad de las secantes , dado en el item 15.2 , tenemos : (6 + r) (6 - r) = 5(4) Donde :

36 - i* = 20

Ahora :

r2 = 16 r =4

6.- Según el gráfico calcular C D , s i : m BD = 2m C B ,A C = 4 y BD = 6 (Bespunto de tangencia).

Resolución.Sea CD = x ,

m CB

= 2a

=>

Por ángulo inscrito:

m BD = 4a m 4- CDB = a

Ahora por ángulo sem i-inscrito:

m 4- LBD = 2a

En el triángulo ABD :

m 4- BAD = a

Y por ángulo exterior:

m 4 LBD = 2 a

Esto quiere decir que el triángulo ABD es isósceles

=* AB - BD = 6

Aplicando el teorem a de la tangente dado en el item 15.3, tenem os : Donde :

36 = 4{jc + 4) * = 5

7.- En la figura mostrada, calcular PT, si : BC = 2 y AB = 1

Resoluclón.Sea : PT = x , ahora por tangentes : Donde :

PT = PB = x

AP = x -1

Luego ¿n la circunferencia mayor, aplicamos el teorema de la tangente: x2 = ( * + 2 ) ( * - l ) Donde : x2 = x2 + x - 2

x = 2

62 = (x + 4)4

511

512


Ernesto QuispeR.

1.- En una circunferencia de radio 9, se trazan las cuerdas AB y CD que se intersectan en "P", de tal manera que: PC ■P D = 65. Hallar OP, si "O" es el centro de la circunferencia

Resolución.Apiicando el Teorema de las Cuerdas : a -b = (9 -x ) (9 + x )

=>

81 - x 2 = a b ... (1)

Por d a to :

ab = 65... (2)

Reemplazando (2 ) en (1): 81 - jc2 = 65

=*

x 2 = 8 1 -6 5

Luego :

jc2

= 16

i =4 2.- En la figura mostrada, hallar PT si AB = 1 0 y P B = 3

B

Resoluclón.En la figura, si OP 1 QT , entonces : QP = p t = x Ahora por el Teorema de las Cuerdas : x x = 3- 7

En consecuencia:

x

= 21

x = J2\ 3.- Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD. de tal manera q u e: PC = AB; PA = 4 y CD = 5. Hallar PC.

Relaciones Métricas en la Circunferencia 1

Luis Ubaldo C.

513

4.- Desde un punto "P" exterior a u m circunferencia se trazan la tangente PT y la secante PAB, de tal manet a q u e : PT - AB y AP =5. Hallar PT

Resolución.Aplicando el Teorema de la Tangente : x 2 = 5 (* + 5)

=> x 2 - 5x - 25 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo giado : x=

Ahora :

x=

Luego :

x=

5

+ J 2 5 -4 ( l) ( - 2 5 ) 2

5 + VI25 2

5 + 5V5

* = |( V 5 + 1 ) 5.- En la figura mostrada, calcular PB, si 3.AM = 5.PM; PN = B N ; AB = 10 y BC = 6.

P

514


Resolución.r. . AM 5 Dato: PM = 3 Podemos h a c e r: AM = 5n y PM = 3rt Aplicando el Teorema de la Secante para la circunferencia m ayor: 5/7 ■8n = 10-16 Pa la circunferencia m enor :3n ■8n = 2x ■x =s Luego :

x = 4-J3

PB = 8-J3 6.- En la figura un cuadrado ABCD, cuyos lados miden 4 . Se ha inscrito una circunferencia tangente a todos los lados y un cuadrante que lo intersecta en P y Q según como se muestra .Se pide hallar “EP".

Resolución.Aplicando el Teorema de la tangente : 22 = 4 (4 - jc) D onde:

1 = 4 -x

A hora:

x = 4 -1

i =3

7.- En la figura mostrada, si EM = 1 y PM = 7, se pide hallar EB.

I

Ernesto QuIspeR.


Luis Ubaldo C

515

Resolución.En el Bx EMB : x 2 = l 2 + (V Í5)2 (Pitágoras) Donde :

jc2 = 1-4- 15

Ahora :

x 2 = 16

8.- Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, de modo q u e: A B = A D = B D ; C D = 2 B C y A C = 12. HallarBC.

Resolución.Aplicando el Teorema de Ptolomeo : 12 • a = a • 2x + a • x Donde:

12 = 2x + x

=>

3 x = 12

jr= 4 9.- Calcular la longitud del circunradio del triángulo ABC; si cuyos lados AB , BC y AC miden 13; 15 y 14 unidades respectivamente.

Resolución.Aplicando el Teorema de Herón :

Reemplazando :

h = — ^ 21 (21 - 15)(21 -14 )(21 -1 3 )

L uego:

h = j V3.7.3.2.7.8

A hoia:

h = | / 3 2.72.42

h = 12

Además : Bx ABH ~ Bx DBC, entonces :

A _ _UL 15 ~ 2R

2R =

R=

13.15 12 65 8

516


Ernesto QuispeR.

10.- En la figura mostrada, hallar B M , siPB = BC y M C = P M + 8

Resolución.En el cuadrilátero BMPC aplicando el Teorema i a - (6 + 8) = a b + x- a-j2 Donde :

6 + 8 = 6 + xj2

Ahora:

8=xv2 jc = 4 j 2

11.- Hallar PC, si : AM = MC, AQ = 2y PQ = 4

Resolución.Aplicando el Teorema de Menelao en el A CAP (BQ : secante) : 4 n - a = 2 n - ( a +x) I ntonces : 2a = a + x

=>

x= a

Finalmente por el Teorema de la Secante : 62 = 2x-x Luego:

18 = x

12.-En la figura m ostrada, h a lla r AT, si AH = a y HB = b. \B

I


Luis Ubaldo C.

517


En primer lugar sabemos que los puntos A; My N son colineales. Por otro lado el cuadrilátero HMNB es inscriptible, entonces aplicando el Teorema de la Secante, tenem os : AN - AM = a (a + b)

-(I)

/

¥ .--'V_x

/

Aplicando el Teorema de la Tangente : 4 x 2 = A N- AM

DE (1) y (2) :

H

J

... ( 2 )

x = a(a + b ) + ab

13.- En el gráfico A y B son puntos de tangencia; EM = B F ; AQ = a y M Q = b. HallarPB.


Aplicando el Teorema de la Tangente : = AQ.MQ => = q¡j

0)

Aplicando el Teorema de las Cuerdas : x . y = n (m + n)

También :

b (a - b ) = n (m + n)

De

x . -Job = b { a - b )

(1 ),

(2) y ( 3 ) :

( 2) (3)

x = i § (a W 14.- Calcular la distancia entre el incentro y el circuncentro de un triángulo cuyos lados miden 5 ; 6 y 7 unidades. R e s o l u c i ó n .-

Aplicando el Teorema de las Cuerdas : (R -x ) (R + x) = mn

=>

Aplicando el Teorema de Ptolomeo :

6 (m + n ) = 5m + 7m

Donde :

6m + 6n 6m=+12 6m n = 12m

=>

Luego :

OÍ 1 AM.

6m = 6 n

=>

mn = R - x

m =n

... (1)

Problema» de Geometría >' cómo resolverlos

Aplicando el Teorema del Incentro : =

=

^ => AI = 2 - ID

Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:

x —

ErnesiuQuiSiêR.

CD = 7/2

y

=> ID = ^

DM =

BD = 5/2

V70

15.- En la figura mostrada, las circunferencias son concéntricas de radios proporcionales a 1; 2 y 3. Ha llar P Q , si AB = 2a.

Resolución.En el Ex AMO, por el Teorema de Pitágoras : (3 n)2 = (2ni)2 + a2 Luego :

9 n2 - 4 n 2 = a2

=>5r¡2= a 2

(3n)2 = n2 + x 1 => =>


x = 2 n j2 ... (2) x -2 j2

H I

""'/é n

3

En el Ex PON

. .(mI )

W 1 W II

^ n - a—

-af

2 V10 5 •"

1

r

\

3n...C<; i

r o |3

518


Luis Ubaldo C.

519

16.- En un triángulo ABC, se traza Iá bisectriz interior del ángulo B, de modo que intersecta al lado AC en M y a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC intersecta en P; de tal manera que MP = 3 y MI = 6; siendo el incentro de dicho triángulo. Hallar “IB"

Resolución.JT

Aplicando el Teorema del Incentro

a+c

6

-0 )

17.- En la figura mostrada : AB = 58 y B T = 40. Hallar AP. B

Resolución.En primer lugar se hace pasar una circunferencia por A, D y F, luego dem ostram os que el cuadrilátero FHBE es insciiptible. A continuación aplicando el Teorema de la Secante tenem os : n t m + n ) = BD • BF ... (1) m (m + n) = AE - AF ... (2)

Puesto que :BD • BF = b¿ y

AE • AF = a 2

Reemplazando en (1) y (2) : n ( m + n) = b2 m ( m + n) = a

Sumando : Donde : Ahora :

(m + n) (m + n) = a 2 + b2 [rr + ni)2 = a 2 + b 2

AB2 = a 2 + b 2

520


Reemplazando d a to s: Luego:

582 = o 2 + 402

Ernesto QuIspeR.

a 2 = (58 - 40) (58 +40)

a ¿ = 1 8 -9 8

a = 42

18.- En la figura mostrada, se sabe q u e : AB = b y BC = a. Hallar EA.

Resolución.* Aplicando el Teorema de las Cuerdas : ab —m .n

- (1)

Aplicando el Teorema de la Tangente : y2 = x (o + b + x)... (2) Aplicando el Teorema de Steward : (x + b )2 (m + n) = y 2 m + y 2 n - mn (m + n) Luego :

(x + b) = y z - m n

... (3 )

Reemplazando (1) y (2) en (3 ): (x + £>)2 = x (a + b + x) - ab Resolviendo:

x 2 + 2£>x + b2 = x (o + b) + x 2 - ab

Simplificando:

b2 + ab = x [a + b-2b ] x =

b{a + b ) a -b

19.- En la figura mostrada, hallar BC, sabiendo que se verifica q u e : AB = 3 y PC = 4

P

Relaciones Métricas en la Circunferencia l

Luis Ubaldo C.

521

Resolución.Ap'icando el Teor. de la Tangente :

(x + 4)2 = b (o + b ) ... (1)

Aplicamos el Teor. de la Secante :4(3

+ +x

De (1) y (2) :

(x + 4)2 = 4 (x + 7)

4

) = b (a + b) ... (2)

Luego :

x

+ 8x + 16 = 4x + 28

Dondt- : x 2 + 4x - 12 = 0

(x + 6) (x - 2) = 0 x = 2

20.- Se tienen dos circunferencias con tangentes interiores en P . En la circunferencia mayor se traza la cuerda AB , que es tangente a la menor en O. Si PQ = 6 , QB = 8 y m 4- PQB = 120s, hailarAQ.

Resolución.Trazam os la tan g en te co m ú n £ , la cual intersecta en S a la prolongación de BA, luego el A PSQ es equilátero, donde : SP = SQ = 6 = PQ Además

SA = 6 - x

Aplicando el Teorema de la Tangente 62 = (14) (6 -x) Donde :

18

= 6 -x

x =

24

21.- En un triángulo acutángulo ABC, O es circuncentro y M es punto medio de AB. Traza mos MN L AO (N en A C ) ; si AN = 4 y NC=14, calcular AB.

Resolucli in.En el triángulo isósceles AOB, sea =>

m 4- AOB = 20

m 4 AOM = m 4- MOB = 0

Además :

m 4 C = 0 (Propiedad)

El cuadrilátero MBCN es inscriptible, luego apli cando el teorem a de las Secantes :

522


Ernesto QuispeR.

22.- En el gráfico mostrado se tiene q u e: EL = 6 ; GH = 2 MG. Calcular 'JtG.

Resolución.S ea: MG = x

=>

GH = ‘¿x

Para el Ex EMK, MG es m ediana Además :

=

MG = EG =

KH = x

Por el teorem a de la Tangente : 62 = EA - EM ... (1) En el □ AMKH, inscriptible aplicam os el teorem a de las sec an tes: EA ■EM = 3x ■2x ... (2) Sustituyendo (2) en (1 ) :

36 = 6 r2 x = V¡6

23.- En la figura T y K son puntos de tangencia.

4

Hallar m . TMK.

A

Resolución.Respecto a la circunferencia "O", sean L y Q puntos de tangencia Luego: A, L y Q son colineales Por el teorem a de la Tangente : (AK)2 = AQ-AL En

...(1)

e l c u a d r ilá te r o in s c rip tib le

NLQB

m o s e l te o r e m a d e la s s e c a n te s :

AQ - AL = AB - AN

... (2)

a D lic a -

T

N

K

B


Luis '¡baldo C.

Puesto que en el Ex AMB :

(AM)2 = AB - AN

Luego de (1) , (2) y (3): En el A MAK, sea :

... (3)

AK = AM m 4 MAK = 2a

=>

m 4- KMB = a

Análogamente, se dem uestra que BM = BT y si m 4 TBM = 20 En el E^ AMB : Ahora :

2a -t ?0 = 90°

=>

a + 0 = 45°

0 + x + a = 90u

=>

45 + x = 90° x = 45°

24.- En la figura mostrada; 0 y 0 1son cen tros; MN = N S = 9. Calcular EF.

Resolución.En el Ex OEL : (OE)2 = OL OH

... (1)

En el cuadrilátero inscriptible HMSL OL • OH = OS • OM (Teorema de las Secantes) =í En el

OL • OH = (/? + 9) (R - 9) ... (2) OEF : (OE)2 = R2 - x 2 ... (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1): R2 - x 2 = R2 - 92 x = 9 25.-En la figura P y T s o n puntos de tangencia; R = 3r y AT = 2. Hallar AP.

=> m 4 AMT = 0

523

524


Resolución.Prolongamos AT hasta intersertar a la circunferencia mayor en D Luego :

x2 = AD ■AT (teorem a de la Tangente)

A DCT - A TBA

DT 3r 2 ~ r

De d o n d e :

DT = 6

Luego sustituyendo en la expresión inicial: x2 = 8 -2 x = 4 26.- En la figura: AB = a , G E = c , AG = b y ED = d . Se pide encontrar una relación entre estas longitudes.

Resolución.Empleando el teorem a de las Secantes : AC . o = AF . b CE. d = c . EF

AF —

EF

o =

—

d

( 1) ( 2)

En el A ACE por el Teorema de la Bisectriz:

ac = bd

\

Ernesto QuispeR.


Luis Ubaldo C.

27.- En la figura se muestran dos circunferencias de distinto radio por las que se han trazado varias secantes. Si se sabe q u e : RS / / PN , PK = 9 y KM = 7, hallar PB.

Resolución. En el cuadrilátero inscrito SRKM : m 4 SRK = m 4- KMN = 0 RS // PÑ

=>

m 4 NLT = 0

Asimismo reconocem os que el cuadrilátero MKLN es inscriptible Luego: PM • PK = PN - PL (teorem a de las Secantes) => Puesto que :

P N -P L = 1 6 -9 = 144

x2 = PN • PL (teorem a de la Tangente)

=>

x2 = 144 x = 12

28.- En la figura O es centro y C e s punto de tangen cia de EO con la circunferencia menor. Si ade más se sabe que : AB = 1 , BC = 2 y CE = - Jf; calcular CD.

Resolución En la circunferencia O; aplicando el Teorema de las Cuerdas AC - CD = EC - CL r3x 3x = V7 • (a + R) => a + R = ... (1) En la circunferencia m e n o r: (DK)2 = DB . DC

(Teorema de la Tangente )

=} (o + R)2 = (x + 2) x ... (2) Sustituyendo (1) en (2) : ( " ^ 1

= x 2 + 2x

525

526


D onde:

9X2 = 7x* + 14x

íh o r a :

2x2 = 14x

Ernesto kJuispeR.

x=7

29.- Se tiene un sector circular POB de centro O. Sobre OBse considera el punto A, trazándose luego una semicircunferencia de diámetro AB tangente en Q a OP. Calcular AB, si PQ = 2 y OA = 1

Resolución.Empleando el teorema de la Tangente : (x - 2)2 = x - 1 Por consiguiente:

•4x + 4 = x

L uego:

x2 - 5x + 4 = 0

Factorizando: 1 x =4 30.- En la figura BD = 9 , DC = 5 y CP = QT. Hallar A T ( T y D son puntos de tangencia)

E eioluríón.-

Respecto a la circunferencia m e n o r: (BT)2 = BD - BC (teorem a de la Tangente) =>

BT2 = 9 ■4

=*

BT = 6

En la circunferencia mayor em pleam os el Teorema de las C uerdas: AT • TB = QT • TP También : DC • CB = QC ■CP

I

A hora:

QC = TP

De (1) y (2)

6x=20

6x = a • TP ... (1) 5 • 4 = QC • a 20 = TP . o ...(2) 10

x = „


Luis Ubaldo C.

31.-En la hgura "T" es punto de tangencia yTA / / PQ, si AB = 2 , BC = 1 y CD = 7. Calcular AO.

Resolución.En la circunferencia menor, el trapecio CTAQ es isósceles AQ = CT = x

y AC = TQ = 3

En la circunferencia m ayor: PY = TQ = 3 Además : PC - CQ = 7-1 = 7 (teor. de Cuerdas) En el A PTQ, por Steward : 32 = x2 + PC - CQ =}

9 = x2 + 7

.-.

x = ^2

32.- En la figura AC es diámetro; si EF = 3, FG = 2. Hallar GH.

Reswlucii >n.Empleamos el teorem a de las Secantes en : La circunferencia, EA - ET = (7 + 2x) 3 ... (1) El cuadrilátero inscriptible ATGH : EA - ET = (5 + x) 5 De (1) y (2) :

... (2)

21 + 6x = 25 + 5* x = 4

33.- En la figura O y B son centros BC = 5. Hallar EF.

527

528

Problemas de Geometría y cómo resolve i los

Ernesto QuispeR.

Resolución.En el A EBC isósceles : EF = FC = x En el

ABC :

AC = \/s 2 +102 = 5^5

Aplicando el Teorema de las Secantes : AC-AE = AL.AO Reemplazando:

5 ^5 • AE = 15 . 5

Luego:

=>

3 ^5 + 2x = 5v5

AE = 3 J5 x = >/5

34.- En la figura T y N son puntos de tangencia. S i: ON = 8 y PT = 15, calcular PQ.

Resolución.Aplicando el Teorema de la Tangente : (P T )2 = P Q -P M

... (1)

(QN)2 = PQ ■QM

... (2)

Sumándolas expresiones(1 )y (2) Se tiene : 152 + 82 = PQ (PM+ QM) PQ 289 = PQ2 PQ

=

17

35.- En el gráfico mostrado; hallar A F , si O es centro, AB = 4 y FP = 4 -J5

I

529


Luis Ubaldo C.

Resolución.En el Ex ABL : 42 = AL - AT

De donde :

x ■AM = 16

..(1)

Aplicando el teorem a de la Tangente : (FP)2 = x ■MF

=>

x ■MF = 80

\

- (2)

v

/*

Ar - „ Sum ando(1) + (2) :x(A M + MF) = 9 6 x 2 = 96 x

= 4-^6

36.- En la figura : O, 0 1 y O son centros de tres semicircunferencias . Si además BT = a, se pide calcular la medida de TK.

Resolución.En el Ex AKQ :

x2 = AT ■TQ ... (1)

Observamos que OT X SB =>

ST = TB = a

Aplicando el Teorema de las Cuerdas : AT • TQ = o 2 Sustituyendo (2) en (1) :

T

... (2)

x2 = a2 x =a

37.- En la figura T / N son puntos de tangencia, LM = 4, QN = 20 y PL = 5. Calcular PQ.

\ "Vil

O 4^5 .

X

Entonces:

p -

r

/

530


Ernesto QuispeR.

Resolución.De acuerdo con la resolución del problem a 16, sabemos q u e : jr2 = QN2 + PT2

... (1)

QN = 20

... (2)

(MT)2 = MR • MS = 9 - 4 (Tangente)

De donde. PT = 6 + 4 + 5

=>

MT = 6

=>

P T = 1 5 ... (3)


x 2 = 202 + 152 jc

= 25

38.- En la figura dada se sabe q u e : AP = a y BQ = b. Hallar AB

B

Resolución.En el cuadrilátero inscrito MNLS:

m 4- NMS = m4- NLA = e m 4- NEA = e

Trazamos ÑÉ , tal que : Luego en el cuadrilátero inscriptible NLEA: BN ■BL = x . BE pero: =>

(secantes)

BN BL = b (teorem a de la tangente) x- BE = b 2

.

(1)

En el cuadrilátero inscriptible MNEB : AM ■AN = x ■AE

(Teor. de la Secantes)

Pero:

AM • AN = a2

(Teor. de la Tangente)

=>

jr-AE = a

Sumando (1) y (2):

...(2) x ( AE+BE) = a 2 + b 2

= V a2 + b2


Luis Ubaldo C.

531

OBSERVACIONES : Se cumple la siguiente propiedad :

(AB)2 = AM - AIN + BM ■BS

B

39.- Calcular AB del gráfico, si AP = a y BQ = b ; P y Q son puntos de tangencia.

B

Resolución.Trazamos : PQ y AS // PQ Luego : Además :

rr¡4 NPQ = m 4 NQB - a

AP = QS = a

y

m 4- BLS = a

En el cuadrilátero inscriptible QNLS, aplicamos la propiedad anterior: jr = AQ • AN + BQ • BS Pero : AQ - AN = y

2

(Teor. de la tangente)

BQ • BS = b {b - o)

Reemplazando en (*) : 2

(*)

2 . 2 .

x = a +b -a b

= V a2 +b2 -a b

532


1.- Si EF biseca a AB, EQ=4, QF=9, hallar AB.

2.- Si AB, BC y AQ son valores enteros con secutivos, hallar AQ.

Ernesto QuIspeR.

5.- Por un punto interior a una circunferencia de radio 10 , se trazan 2 cuerdas, cumplién dose que el producto de los 4 segmentos deter minados es 625. Hallar la distancia desde el punto mencionado hacia el centro de la cir cunferencia. A) 25

B)5j2

D) 10 J l

E) 10V3

C)5-j3

6.- Hallar DC, s i : AO = OB = BC =R

A) 8 B)6 C)7 D)5 E)4 3.- En la figura, hallar BN. Si :NB = 2 , ND = 4 , FN= 16, además w ABC = wED

Rj5

„,2

RS

B )— 5 ~

~5

^ 3

RS

C )~ ~ 5 ~

E)2R*J5 7.- Si QR = 1, RS = 2 y PQ = 3, hallar ST.

4.- Hallar PQ, si ABCD es un cuadrado. Ade más PC = 3BP y AB = 20

A )5

B)6

C)3

D)7

E)10

8.- En la figura T es el punto de tangencia, PA = 4 , A B = 2 y P C = 3. Hallar CD


Luis Ubaldo C

Al 8

A)4

B)3

B)6

C)4

533

C)5

D)5

D)2

E)6 E)3 9.- La figura ABC es un triángulo equilátero. Si FA = &y FB = 9, hallar FC.

13.- En la figura AB = 3 , BC = 2 y P es un punto de tangencia. Hallar CD.

A) 10 A) 15

B)12

B)5 C)

17 C)9

D)20 D) 10 E)18

E)6

10. Hallar CT, si OC = CB y AO = OB = 4 A) 7 6

14.- En la figura AB = 6 BC = 1. Si P, Q y R son puntos de tangencia, hallar CD.

B)2V5

A) 6/5 B)4/5

C )476

C)5/3

D)2V6

Dj5/6

E )375

E)7/5 11.- Si O y O, centros, PQ = 8 y QS = 18, se pide hallar AQ.

15.- En la figura : AD y CD son tangentes AP = a y B C = b . H allar; CD. A) -Jab B)2-Jab

A A) 14

O, B)10

O C) 12

B D) 13

E)15

12.- En la fig u ra BC / / AD, BD = 4-B A y AE = 8. Hallar ED, si P y Q son puntos de tangencia,

C)

V a2 +b2

D) ^

2+b2

E) ylb2 —a 2 16.- Se tiene una circunferencia de centro "O" y diámetro A B, la mediatriz de OB intersecta

534


en E y F a la circunferencia, hallar la longitud del segmento tangente trazado de "E" a de diámetro AO, si EF = 2 V3 A)2V3

B)3V2

C )V 6

D)V5

E) 4 l

17.- En la figura mostrada, se pide hallar PC siendo A y B puntos de tangencia y además PA = a j DC = A) yla2 + b 2

Ernesto QuispeR.

21.- Desde un punto P exterior a ^na circunferencia se trazan las tangentes PA j PB (A y B son puntos de tangencia); AM intersecta a la circunferencia en N, siendo M el punto medio de BP. Hallar NP, si MN = 2m. A)8m

B )6 m

C )4 m

D )3 m

E) 12 m

22.- En la figura "B" es punto de tangencia AB = 2 ,B C = 6 y AL = 1. Hallar EL. A) 2

B )V a2 —b2

B)2,5

C )4 ab

C )S

D )ab-Jab

D)3 E)aZ?-\/a2 + b 2

E)2V3

18.- Se tiene un cuadrado ABCD. Haciendo centro en "A" y radio A b se traza el cuadran te BAD y luego se prolonga DA hasta F tal q u e: AB = AF = 4. Hallar OM, siendo O, cen tro d éla circunferencia que paâ por B. G y P. (G = CF n AB, "P" la intersección de CF y el cuadrante) y "M" punto medio de AD.

23.- Se tiene un triángulo acutángulo ABC inscrito en una circunferencia de diámetro AD. Calcular HD siendo H ortocentro y además las distancias del circuncentro a los lados AB y AC son 2,5 y 1,5 respectivamente siendo ade más m4IB AC = 60°

A) TÍO B)

A) V2I

Q 2 -J I

D )3V 5

E)2V Í0

19.- En la figura AB = 4 , BF = 6 , BC = 3 y BE= CD. Calcular el mínimo valor entero de CG.

B )V Í9

C)3V2

D )4

E)5

24.- En la figura: P Q - a , QL = b. Hallar PT. P

A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5 20.- El diámetro de una circunferencia mide 8m. en dicho diámetro se ubican los puntos A y B equidistantes 1m del centro; por B se tra za una cuerda cualquiera P C . Hallar la suma de los cuadrados de las mediana' del triángu lo APC. A) 98

B)83

C)79

D)73,5

E)71,5

A )-Jab

B) yja(a+b)

D )2 -Job

E) J2 a (a + b)

C)Jb(a+b)

25.- En la figura mostrada E y C son puntos de EF tangencia, además AB = BC = 1 y AE = . Hallar BD.

Luis Ubaldo C.


A) l / J l

30.- En la figura : A b y PF son diámetros. Hallar MN.

B) 1/V9 O

535

í/ V T T

D) 1/VÍ3 E)l/2 26.- Sea el triángulo acutángulo ABC de altu ra BF, además "H" y "O" son ortocentro y circuncentro del triángulo; si HB2+ AC2 = 5 y HP • HB = 1/8. Calcular HO. D )| R A) 1

B)2

C)3

D )|

E )|

27.- En la figura T y S son puntos de tangencia. Hallar OT, si AM = 18 y MT = 6

E )fR

31.- Del gráfico; hallar PQ, si T es punto de tangencia.

A) 4 J2 B)2 J2 C) 475 D)3V5 E)2y¡5

28.- En una circunferencia se trazan las cuer das congruentes AB y BC, trazándose luego la cuerda BD de modo que AC r» BD : Q. Si BQ = a y Q D = b , calcular: AB. A) Jab

B) Ja (a —b)

D)2 Jáb

E) y¡a 2- b 2

ó2.- En la figura : FE es tangente AP - F Q = a y AF = b. Hallar AH.

C) J a (a + b)

29.- En la figura A, B y C son puntos de tan

gencia PA = 8 y PC = 6. Hallar : PB. A) 10 B)2j5

D) J a 2 + b 2

E) J b 2 - a 2

C)5 D)4 E)5V2

I

33.- En la figura : O y P son centros AB = 10 y MN = 12. Hallar OT.

Ernesto Quispe R


536

37.- En la figura: PM = a , MQ = b. Hallar r

A) 2 B) 2,4

A) —

a B) lab

C) 3 D) 3,6 E) 4 34.- En la figura : AT2 + BP2 = 98 y ade más 7 MD = 2BC. Hallar MN.

C) Job ,2 D) 2 a

E)!

A) V2

38.- En la figura: AT = a , BC = b . H allar: R.

B) 2

a (4 c ~ —b ) 4 be

C)2yÍ2

A)

D)

b(4 c2 - b 2 ) 4aac C) V abe

B)

E) I 35.- En la figura: O es centro, Q K = K HP = b. Hallar HL.

P

, OH = a,

a +b

D )f

E)

—

c

39.- En la figura : A, B, Q y L son puntos de tangencia; si PB2 + AT2 = b y PQ2 + TL2 = a. C alcular: AB.

36.- En la figura AB = x , BC = 2 CD = 2 luego es válida la relación :

A) -fab

B) ^ y fa b

D) J b ^

E)

40.- Hallar del gráfico PC; si AB = a 3

A )fl *° B)

A )4 * 2+ 7 * + 2 = 0 B ) 4 jc2 C)

D )8 jc2 + 28 x:+ 11 = 0

C) 4 b 2 - a 2

a-Jó

2

C)

a-JE 3

D)

a-JE 5

+ 16 x + 8 = 0 E) 8jc2+ 11 * + 28 = 0 a-JE E) 4 x2 + 16 x + 8 = 0

1

.*■ v* >- v#*1

*;

^ 2 S■ S ^ S A ■'<* i*

-—

| l f o . l T E U K J tiA iA d U tj ¿ 'T U L U M ljU

CRP. 16 k iÄ -yî* • . “ - , »

_— —------

-•■ '■ -Ä a» '*. ‘V *W'*^

1

1- —.—!_--- ——.* .-
M H H

t n todo cuadrilátero inscrito o ínscriptible se veritican las siguientes relaciones : 16 1A 1er Teorema de Ptolomeo

La suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos es igual al producto de las longitudes de sus diagonales. AB • CD

+

E

( /

A y' \

7

n

(16.1)

BC • AD = AC • BD

Fig.

1 6 .1

16.1B 2do Teorema de Ptolomeo

La relación entre las longitudes de sus diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitudes de los lados que concurren en los extremos de dichas diagonales.

E

í

A

AZ BD

=

A B - A D - f c .B C - C P

\

(16.2)

y

D

Fig.

A B -B C + C D -A D

1 6 .2

16+2 RECTAS ISOGONALES Son aquellas, rectas que pasando por el vértice, de un ángulo dado, forrear. c^>n la bisec triz, de éste ángulos congruentes. Para un ángulo dado AOB de bisectriz O F , O P , OQ son isogonales pudiéndose presentar dos casos : 16.2 B Isógonos Exteriores

Fig 16.3

I


538

16.3 COtfSECUENCMS DE

Ernesto Quispe R

RECTAS ISOGON a ES

TEOREMA

En todo triángulo se cumple que el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de las isogonales una limitada por el lado opuesto y la otra por la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Si BE y BF son isogonales respecto al 4 - ABC se cum ple: AB • BC =

BE • BF

... ( 1 6 .3 )

16.4 TEÜREAÍAS DE itA BISECTRIZ 16.4A Teorema de lo Bisectriz Interior

En todo triángulo se verifica que el cuadrado de la longitud de la bisectriz interior es igual al producto de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz m enos el producto de las longitudes de lós segmentos que determ inan dicha bisectriz sobre el lado opuesto. Según \aFig. 16.6, BD es Bisectriz Interior, luego se cu m p le: (B D )2 = A B • B C - A D • D C

... ( 1 6 .4 )

Para esto tenem os presente que la bisectriz in terior es isogonal con si misma. Por le tanto aplicando el teorem a 16.3 se tiene : AB • BC = BD - BE = BD (BD + DE)

=>

AB• BC = BD2 + BD • DE

Pero : BD • DE = AD • DC (teorem a ) de donde sustituyendo en la expresión anterior y despejando BD2 se tiene : BD2 = AB • BC - AD • DC

16.4B

9

Teorema de la Bisectriz Exterior

El cuadrado de la longitud de la bisectriz extenores igual al producto de las longitudes de los segmentos que determ ina sobre el íado opuesto m enos el producto de las longitudes de los lados que forman el vértice de donde parte dicha bisectriz.

Relaciones Métricas en la Circunferencia II

Luis Ubaldo C.

539

Según la Fig. 16.7, BE es Bisectriz Exterior, luego según lo dicho se cumple : (BE)2 = AE • CE - AB • BC

...(1 6 .5 )

Nota: Se deja al lector la dem ostración de éste teorema por el teorem a 16.3.

16.5 PROPIEDADES 1ra PROPIEDAD (Teorema de Chadú)

2o4' PROPIEDAD (Extensión del tecr. de Chadú)

Si el A ABC es equilátero y P es un pun to cualquiera de la circunferencia circunscri ta entonces se cu m p le:

Sea el polígono regular A,, . . . An d e n lados conn : impar, luego si P es un pun to cualquiera de la circunferencia circunscri ta se verifica la siguiente relación :

PC = PA + PB

... (16.6)

PA| + PA3+PA5+...PAn=PA2+PA4+...PAn ,

Fig. 16.9 3 ra PROPIEDAD

4 TA PROPIEDAD

Para todo triángulo ABC de altura BH cuyo circunradio mide/? se verifica la siguien te relación.

Para el triángulo isósceles ABC (AB = BC), inscrito en la circunferencia se cum ple :

AB • BC = BK • 2R

... (16.7)

(AB)2 = BE • BD

... (16.8)


540

Ernesto Q uisten.

€J€KCICIOS 0 6 flPyCACIÓM

1.- Sobre el arco BC de la circunferencia circunscrita a un cuadrado ABCD se ubica el punto P de modo que PB = -J2 y PC = 1. Calcular PA.

Resolución.H acem os: AB = BC = o Luego :

AC = a j 2

En el cuadrilátero inscrito ABPC, aplicam os el Primer teoremade Ptolomeo : (o)l + (oV2)V2 = xa 3

a —xa

x = 3 2.- Dado el triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la bisectriz interior BD. Por D se levanta la perpendicular AE la cual intersecta en E a BC

Resolución.En el cuadrilátero inscriptible ABED :

rn 4- EAD = m 4- AED = 45°

Luego, s i : AD = DE = m =>

AE = m-J

2

Por el teorema de Ptolomeo se tiene : (AB) m + (BE) m = m J 2 m (AB + BE) = xm J2 4 j2

= XJ2 x =4

3.- Sobre el arco ABdel a circunferencia circunscrita al triángulo equilátero ABC se ubica el punto P. Si AP = 2 y P B = 1. Calcular BC.


Luis Ubaldo C.

541


Aplicando el segundo teorem a de Ptolomeo en el cuadrilátero inscrito APBC se tiene : J _ PC

2 1 + 1-/ 21 + I I

3/

i

PC

I2 = 3PC - 2

...( 1 )

2+1

PC = PA + PB = 2 + 1

Por el teorem a de Chadú :

PC = 3 Sustituyendo (2) en (1) :

.. (2)

12 = 3(3) - 2

!= ,/7 4.- En una circunferencia cuyoradio mide 12,5 se traza el diámetro AB, luego por sus exteriores se trhzn cuerdas AP y BQ de 7 y 20 unidades de longitud respectivamente. Calcular PQ R e s o l u c i ó n .-

Al trazar las cuerdas PB y AQ se determ inan los triángulos rectángulos APB y AQB. Donde :PB = a/252 - 72 =-24

y AQ = ^252 - 202 = 15

En el cuadrilátero inscrito APQB, em pleam os el primer teo rema de Ptolomeo :

B

7 - 2C + 25jc = 15 -24 44

x = -

5 .-En un triángulo se trazan la bisectriz interior BD y la mediana J M . Si BD=DMyAB- BC=72. Calcular AC R e s o l u c i ó n .-

Aplicando el teorem a de la bisectriz interior :

B

o2 = AB • BC - AD - DC

Pero : AB • BC = 72 X AD = ^ - 0 Luego :

o2 = 72 - ^

=>

DC = o + ^

- aj ^

+ °]

-x /2

x/2

542


Ernesto Quispe R.

= 72

a2 = 7 2 - 4 “ + a2 4

x = 12V2 6.- En un triangulo A B C : AB = 12, BC = 6 y AC = 8.Calcular la longitud de la bisectriz exterior BE.

Resolución.Aplicando el Teorema de Proporcionalidad de la Bisectriz Exterior: 12

6

8 + CE 12 CE = 4 8 + 6 CE

=>

CE

CE = 8

Finalmente por el teorem a de 16.4B : x1 = AE • CE - AB • BC = 16 • 8 -12 • 6 x =6 7.- Las longitudes de los lados de un triángulo son 13, 14 y 15. Calcular la longitud del circunradio.

Resolución.Trazamos la altura BH y aplicamos 3ra propiedad : 13 ■15 = BH • 2R

. . . (1)

Aplicando el Teorema de Herón : 2

BH = y |V p CP - 13) (P - 14) (P - 15) Como : Entonces:

p = 13 + 14 + 15 =21

BH = y J2\(2\ - 13) (21 - 14) (21 - 15)

Resolviendo : BH = 12 . . . {2) Sustituyendo (2) en (1) :

13 1 5 = 1 2 -2/? r —

I

195 24


Luis Ubaldo C.

MtscetAfteA 1.- De la figuta mostrada, calcular DT.

Resolucion.Al completar las circunferencias, notamos q u e : AB = CB = 5 y

BD = BE = 4

Luego por el Teorema de la Tangente para la circunferencia O : x 2 = 4 (4 + 5) x2 =4.9 x =6 2.- De la figura mostrada. Calcular AT.

Resolución.Trazamos el radio OT en el cual resulta ser perpendicular a AC Luego :

OT =

o

9 15 ^ +3=

y

Sea BT = o, de donde em pleando el teorem a de Pingoras en el A OTC :

(¥H!J f

Resolviendo:

+ ( o + 4) o=2 • 3 = (x + 2 9=x + 6 jc

I

= 3

w

543

544

Ernesto Qulspe R.


3.- En la figura mostrada, 4 ■AB = 5■ BC = 2 0 y R = 6 Calcular la longitud de AM

Resolución.Hagamos:

AM = x

y

OB —o

BM = 6 -o

luego : Del dato : R esulta:

4 AB = 5 BC = 20 AB = 5

y

BC = 4

Prolongamos MO hasta N lu eg o : ON = 6 y BN = 6 + o Por el Teorema de las Cuerdas : 4 • 5 = (6 - o) (6 + 20 = 36 - o 2

o = 16

o)

0 = 4

En el A AMO, por el Teorema de Stewart : x 2 - 4 • 62 • 2 = 52 • 6 + 2 - 4 - 6=> 4x2 = 150 + 48 - 72 4 x 2 =126

r 2 = 63 2

3

4.- De la figura mostrada, se sabe que : AB = 4 y EC = 2. Calcular x

Resolución.Puesto que las circunferencias pasan m utua mente por sus centros serán congruentes y adem ás : m FOB = n FEfi ==120 (Prop.)

60°/

/

Trazamos OC ; ON ± EF y OM ± AB

*

0

Luego : m 4IFCO = m 4- OCA = 30 AM = MB = 2 ; OM = ON = n y FN = NE = o Aplicando el Teorema de la Secante : 2 (2o + 2) = o (4 + o)

y \ n

A V .. \

n \\ ' .

M

W

\a \ /

x.....


Luis ¿baldo C.

4o + 4 = 4o + o 2 En el

MOB :

Pero:

=>

o = 2

=>

x2 = '

x 2 = 4 + n2

n = 4 ,3 /3

Reem plazando:

x 2 = 4 + JÜ

2-*/21 *= — 5.- A partir del gráfico mostrado se pide calcular EO s i:

EB = BC.

Resolución.Consideremos los siguientes parám etros: EB = BC = n y AO = OC = R En la circunferencia m enor aplicamos el Teorema de la Tangente: (4,/2 )2 = EL EM ...(1) Para la semicircunferencia utilizamos el teorem a de las secan tes: 2n ■n = El • EM ... (2) De (1) y (2) :

2 n 2 = 32

=>

Además : fix ABC s fix EOC: => Esto significa que, en el fix EOC :

n= 4

^ = — de donde 2 R n a = 30 y

n= R

x = n j3

x = 4V3 6.-A partir del gráfico mostrado se pide calcular BQ, sabiendo que : AB = BH = 2

545

546


Ernesto Qulspe R.

Resolución.2 N\ B \

Prolongamos q b hasta intersectar a la circunferencia en el pun to P, luego com o OB ± PQ, entonces PB = BQ = x Aplicando el Teorema de las Cuerdas : PB . BQ = AB . BE X

0

x - j r = 2- (2 + 4) x 2 = 12

c 4 /

V

x = 2 j3 7.- Del gráfico adjunto se sabe q u e : AB = 1 ; BC = 3 Calcular CD

Resolución.En la semicircunferencia, al unir M y N con el punto C se obtiene el ángulo MCN de 90°, luego por Relaciones Métricas En el t i . MCN : 32 = ob

=>

ob = 9

...(1)

Empleando el Teorema de las Cuerdas en la circunferencia m ayor: AB.BD = MB.BN 1(3+J< r)=a6 De (1) y (2) :

9 = 3 +x x = 6

8.- De la figura, MNBO es un cuadrado. Calcular x

I

... (2)

Lj Is Libado C.

Relaciones Métricas rn la Circunferencia II

547

Resoiuclón.A1 prolongar NB hasta Q se tiene que : NB = QB = a (longitud del lado del cuadrado) luego empleando el Teorema de las Cuerdas : a 2 = (1) (x)

=>

a2 = x

... (1)

En el fc, BOC : x 2 = a 2 + =>

x 2 = 3 a2

2o 2 ... (2)

Reemplazando (1) en (2): x 2 = 3 .x x = 3 9.- Dada Ia siguiente figura, donde :A B = 5 ; BC = 3 y CE = 4. Calcular la longitud de CD

Resolución.Por el Teorema de la Tangente para la circunferencia m e n o r:

8 2 = m (m + ri) ... (1)

Por el Teorema de las Secantes en la circunferencia m ayor: m {m + n) = 5 (a + 8) De (1 )y (2):

5 ( a + 8 ) = 64 a + 8=

_ 64 a

T

o

Q—

64 5 24

Finalmente por el Teorema de las Cuerdas con la circunferencia m ayor:

... (2)

Ernesto Qu^pe R

Problemas de Geoiretría y cómo resolverlos

548

10.- De la figura mostrada, se sabe q u e : AT - BC = 8 Calcular AB.

Resolución.H acem os:

AT = o y

BC = b

Luego por la condición del problem a: a - b = 8 a = m(m +

Por el Teorema de la Tangente : Tam bién:

n)

... ( 1 )

{x + b )2 = m (m + n)

... (2)

a 2 = {x + 6 )2

De (1) y (2):

a =x +b x = a -b x = 8

Reemplazando:

11.- Calcular la longitud de la diagonal de un trapecio isósceles circunscrito a una circun ferencia si sus bases miden 1 y 2.

Resolución.Consideremos los siguientes parám etros : AB = CD = / y AC = BD = d Luego empleando el teoiem a de P ithot: / + /= 1 + 2

/=

3

Puesto que el trapecio es isósceles entonces es inscriptible a una circunferencia. Luego por 1er Teorema de Ptolomeo :

549


Luis Uboldo C.

12.- Del gráfico adjunto, T es punto de tangencia. Con los datos de la figura, Calcular BC.

R esolu ción .-

Consideremos los siguientes parám etros AB = c , BC = x , AT = a y TE = b. a2 = e (e + x + n)

Por Teorema de la Tangente :

=s

Por Teorema de la Secante :

o (o + b) = ( r + c) (e ■+ x + n)

Reemplazando íl) en (2) :

o (o + b) = (jt + c) a c (o + b) = a (jc + c) ac + be = ox + oc br

13.- En la figura (T -» Punto de Tangencia) Donde: AT = 3 y TB = 4 Calcular la medida de CT

R esolu clón .-

Empleamos el Teorema de la Bisectriz para el AC BC triángulo ABC: 3 " 4 De donde : AC = 3*

=> BC = 4k

Aplicando el Teorema de las Secantes en la circunfeiencia m ay o r: BA • BT = BC • BE 7 4 = 4k b

28 = 4k b... (1)

Por el Teorema de la Tangente en la circunferen cia m en o r: x 2 = 4k ■o ... (2)

C + X + ,1 = —

c

... (1 )

... ( 2)

550

Ernesto Quispv R.

Problemas de Geometría y cómo resolverlos 4k

2+ 28 = 4k (a+b) Por el Teorema de la Bisectriz en el A ABC : x 2= (36) (4*) - 3 - 4 Reemplazando (4) en (3) : x 2+ 28 = 16 • — - ^^ ^

Sumando (1) y (2), obtenem os (3) : x

x 2 +28=\6k'¿

2

k = ¿ ^ ...( 4 )

3jt2 + 84 = 4jt2 + 48

2 x = 6

84 - 48 = x

14.- A partir de la figura, calcular AB, si se sabe q u e : BC

=-6y

CD = 2

Resolución--

Trazamos AF, luego ya que BF es diámetro, entonces :

..( 3 )

m 4IFAB = 90

~W

Luis Uboldo C.

Relaciones Métricas sn la Circunferencia 11

Resolución.Trazamos ÓMXCÑ

=>

En el

OM = ^ 5 2 - 32 = 4

OMC :

Pero: OM = PD = 4

=>

CM = MN = 3

AP = 4

Por el Teorema de la Tangente:

y AD = 8 = AB

(AP)2 = AB ■AT 42 = 8 - AT AT = 2

16.- De la figura mostrada. Calcular AB

Resmticlon.Trazamos BE, luego por propiedad en circun ferencias se cumple que :

A

m 4 - ABE = m 4 - EBD = 0 Con respecto al A BDC, BE es bisectriz exte rior, luego em pleando el teorem a correspon diente : + a

a

Por el Teorema de la Tangente :

—

i—

5

(a + 6)2 = 8 (x + 8) \¿

R eem plazando:

( y + 6) = 8 (jr + 8) ( f J . 8 f e + 8)

6.8.48 = 8 (x + 8) 25 X-

88

25

x = 3,52

I

551


552

Ernesto Quispe R.

17.- Pe la figura mostrada, se sabe que : AB = 2

y BC = 1

Calcular MN

Resolución.En el cuadrante AON, el triángulo ex-inscrito LMN mide : m 41 LMN - " I M

4

= f

= 45

4

De donde :m 4- TMN = m 1 BMC = m 1 AMB = 45 En el

ExAM C: f = J

a

También: De (1) y (2) : (2£>)2 + 6 2 + 9

a = 2b ... (1)

=>

= 9

+b .

=>

...(2)

375

b = — a -

675

También sabemos que los puntos A, B, C y N forman una cuaterna arm ónica : 2 _ 3 + CN 1 CN

=> CN = 3

Por el teorem a de la bisectriz exterior :

x = 6 . 3 - ab

Reem plazando:

x

2= 18

18.- De la figura mostrada, calcular el radio de la circunferencia menor.

5

5


Luis Ubaldo C.

Resolución.-

N

Por propiedad, los puntos A, B y C son colineales: =>

a

m 4 MAC = 90

El cuadrilátero TO’BH es un cuadrado, lu eg o :

b

H = BH = O’B = x 0 '

En el gráfico observamos que :

/

OBN = Ex BHC

V

n= a +6

^

f

J

*:

h

(■■■

=>

553

^

r

B X

\ '"éi"-}

...(1)

El cuadrilátero MABH es inscriptible; entonces :

También :

n (m + n) = AC • BC

(Teorema de las Secantes)

)2= AC ■BC

(Teorema de la Tangente)

(x + ri

)2= n ( m

Igualando estos dos últimos :

(x + ri

+ n)

(x + n ) z = m n + n 2 x2 + 2 x n + n 2 = m n + n2 x 2 + 2xn = m n

)2 x2 + 2x (a + b) = (x + b)2 m n = (x + b

Pero : Reemplazando (1) y (3) en (2) :

... ( 2)

- (3)

2xa + 2xb = 2x6 + 62 x =

2a

19.- Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden x e y respectivamente. La mediatriz de AC se intersecta con la bisectriz del B en P. Hallar B P,sim 4 - B = 12(f-

Resolución.Por propiedad el cuadrilátero formado ABCP es inscriptible. Luego: m 4 ACP = m 4 . ABP = 60°

a

m 4 CAP= m 4 CBP = 60°

Como el A ACP es equilátero podem os em plear directam ente el Teorema de Chadú. BP = x + y

554


Ernesto Quispe R.

8

20.- En la figura :E D = 2 ; D C = 10 y BC = . Hallar AB.

Resolución.En el cuadrilátero inscrito AMNB, si : m 4- AMN = 0 => m 4- NBC = 0 En la circunferencia m e n o r:

m 4 NDC = m 4 NBC = 0

El cuadrilátero EMND es inscriptible, entonces por el Teorema de las Secantes : C M .C N = 10(10 + 2) CM . CN = 120

...(1)

También en la circunferencia mayor por el Teorema de la Secante : CM . CN = 8 (8 + x) De (1) y (2) :

... (2)

120 = 8 ( 8 + * ) x + 8 = 15 x = 7

21.- El lado de un triángulo equilátero ABC mide “I ". Sobre la circunferencia inscrita se ubica el punto P. H allar: PA2+ PB2+ PC?

Resolución.Los puntos M, N Y L son puntos m edios de AB, AC y BC respectivamente, por otro lado con sideremos los siguientes parám etros: PM = x , PN = z , PL = y , PA = a , PB = b , PC = c

2 2 2

De donde nos piden : a + b + c

Por el Teorema de la Mediana en e l : AAPB:

a 2 + b2 = 2x2 + ^

AAPC:

a 2 + c2 = 2z2 + ^ -

ABPC:

b + c = 2 f + £-

2 2

2

Sumando estas expresiones se tiene : 2 (a2 + b + c2) = 2(x2 + y2 + z 2) + ^ / Z


Luis ! Ibaldo C.

2 2 2

555

2 2

a + b + c = jf2 + y + z + ^ 7 Z ... (1)

Aplicando el Teorema de Chadú, en el cuadrilátero inscrito MPLN, ya que el A MNL es equilá tero se liene : z =x+ y

2 2 22

z = x + y + xy... (2)

Elevando al cuadrado : Empleando el 2d° Teorema de Ptolomeo : >2

xy+-r

2

zi = x y + i

2 2^x + y ^

xy = *2- L,

2 2 2


2 2 2

z = x + y + 2 | z2-

2 2 2


a +b
j => x + y + z = ^

l

... (3)

... (4)

2

22.- En un heptágono regular ABCDEFG :

. Hallar AB.

Resolución.Hagamos lo siguiente : AC = a , AD = b y m £ AB = 0 Luego : Del gráfico :

m CDÉ = m ÀBC = 26 m

=>

AFE =

m

y

ACD = 30

AC = CE = a y AD = AE = b

Por Ptolomeo en el □ ACDE : ax + bx = ab

1=1 + 1 x

a b

Sustituyendo el dato :

1 x

3C=5

23.- El ángulo B de un triángulo acutángulo ABC mide 60° Si "O" y “H" son el circuncentro y ortocentro de dicho triángulo, además si la diferencia de las distancias de "O " a AB y BC es 3. Hallar HO.

556


Ernesto Qulspe R.

R esoludón.S ean :

OM = a y

ON = b

Del gráfico:

a - b = '.

=>

m 4 AHC = 120

Por propiedad: m 4- AOC = 2m 4 B = 120 Además :

AH = 2 ON = 2b CH = 2 OM = 2a

OA = OC = R y en el A AOC :

AC = R j3

Empleando el 1er Teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero inscriptible AHOC: (2b) R + x ( R j 3 ) = (2a) R =>

x (R j3 ) = 2R(a-b)

De d o n d e :

x=

Como:

2( a - b )

J3

a-b = 3 x =

2J 3

24.- Las medidas de los lados de un triángulo ABC furman una progresión aritmética, don de BC es el lado de valor medio siendo "I" el incentro y "O" el circuncentro. Hallar m

4 AiO

R esoludón.S e a : BC = a yla razón de la progresión- r Luego :

AB = a - r y AC = a + r

En el triángulo IEB :

1E = BF = EC = b

b (2a) = AE ■a

C om o: Luego :

=> AE = 2b

AE = Al + b AI + b = 2b

=> AI = b

Esto significa que I es el punto medio de AE:

x = 90

25.- Los lados AB, BC, CD y AD de un cuadrilátero inscrito miden 1, 2, 3 y 4 respectiva mente. Hallar su diagonal menor.

Relaciones Métricas en lo Circunferencia 11

Luis Uboldo C.

Resolución.Por el 1er Teorema de Ptolomeo :

1 •3 + 2 - 4 = =>

xy

xy = 11 ... (1)

Por el 2do Teorema de Ptolomeo : — = ? ^ + » x 1-4+2-3

10

r= Sustituyendo (2) en (1) :

X= 26.- En la figura mostrada, T es punto de tangencia; además ; BN = a y NH = b. Calcular BM

Resolución.Por propiedad dada en la circunferencia se verifica que los puntos T, N y C son colineales. Luego:

m 4- ATC = 90

Hacemos AT = n ; BT = m y BM = x El cuadrilátero som breado es inscriptible, entonces por el Teorema de la Secante : m {m + ri) = a { a + b)

... (1)

Por el Teorema de la Tangente : x 2 = m (m + ri)

De (1) y (2) :

x

2= a ( a + b )

x = Ja (a + b )

... (2)

B

557

5L>8


27.- Del gráfico mostrado, Bl = a , ID = b y DE = c. Hallar la relación correcta (I es incentro del triángulo ABC).

Resolución.Observamos que el triángulo AEI es isósceles =>

AF = EC = IE = b + c

En el □ ABCE , por 1" Teorema de Ptolomeo : AB (b + c) + BC (b + c) = (a + b + c) AC AB + BC AC

a +b+c b+c

...

... (2)

Por el Teorema del Incentro :

-r =

AB+BC AC


a b

a +b+ c b +c

( 1)

2

b = c{a-b) 28.- A partir del gráfico mostrado se pide calcular la lon gitud del radio de la circunferencia, s i: C E = 2 j 5 AD y DE = 4

Resolución.Hagamos :

AD = a

CE = 2-Js a

Ya que EC es tangente a la circunferencia empleamos el teorem a correspondiente : (275 a )2 = 4 (a + 4)

2

4 ■5 ■a = 4 (a + 4) Factorizando por aspa sim ple: 5 a2 - a - 4 = 0 °

Y

' 1

*H-4

I

Ernesto Qulspe R.


Luis Ubaldo C.

(a - 1) (5a + 4'j = 0 Luego :

559

a= 1

(2 x f = a (a + 4)

4x

= 1 (1 +4) JC =

4

75

29.- En la figura : AD ■BD = a2 , CP = b . Hallar DC

Resolución.Empleando la propiedad 1Io ... de circunferencia, se cumple que DC es bisectriz exterior del A ADB Luego :

O )2 = AC ■BC - AD • BD ... (1)

2

Por Teorema de la Tangente : b = AC • BC ... (2) Por d a to :

AD - BD - a

... (3)

2 22 [72 2 x = xb -a

Sustituyendo (2) y (3) en (1) : x = b - a

1

30.- En la figura 0 y 0 son centros de las circunferen cias, AC = , BC = 4 y DE =7.

6

Con los datos dados hallar el lado CD.

Resolucion.En el

OED :

72 = OD • CD ... (1)

Por el Teorema de la Tangente : 72 = DA - DB ... (2) — ---

De (1) y (2), el cuadrilátero AOCB es inscripuble, en tonces : m 4 OAB = m 4- t¡CD = 6 Para el A ACB Luego :

CD es bisectriz exterior (CD)2 = AD • BD - AC • BC

=>

CD2 = 72 - 6 ■4

/

A ÁB

1 '

O,

C N0

\ J°,

\ /

J

560


Ernesto Quispe i l

31.- En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. La prolongación de BD corta a la circunferencia circunscrita al triángulo en E la circunferencia que pasa por E, D y C, intersecta en P a B C . Si AD = 4, DC = 5 y BP = . Hallar PE.

8

Resolución.AABD = A DBP (ALA)

=> AB = BP = 8 AD = DP = 4 BC

8

A ABC :

(Teorema Bisectriz)

4 =»

BC = 10

A PEC es isósceles, entonces : A ABD ~ A DCE :

8

_4_ DE

PC = 2

a

PE = CE = x

=>DE-f

En el □ DPCE, por el 2do Teorema de Ptolomeo : j¿

2

4-+ 4.2 x _ ____ 5 2x + 2x

2

4X =

4715

+ 40

32.- En la figura mostrada, AB = AD = CD = AC = 3a y CD = 2a. Hallar BC.

Resolución.Prolongamos DA hasta E de m odo que : Luego :

AE = AB = 3a

BE = 3a 73 y EC = v/(6a)2 - (2a)2 = 4 a 72

En el cuadrilátero inscriptible EBCD : EB ■CD + BC • ED = EC • BD (Io Teorema de Ptolomeo) 3 a 73 ■2a + x ■6a = 4a72 ■3a i x = a

(2 7 2

-

E 7 3 )

33.- En una circunferencia de radio 2,5 se *razd una cuerda de 3u de longitud que subtiende un arco de medida "6". Hallar la longitud de la cuerda que subtiende un arco "26"

Luis U tild o C.

Relaciones Métricas en la Circunferencia I I

Resolución.-

Sea la cuerda AB = 3 y el diámetro AD = 2 (2,5) = 5 Trazamos la cuerda BC = AB = 3 Luego en el cuadrilátero inscrito ABCD, por Ptolomeo 3(CD) + 3(5) = BDx

... (1)

2 2 BD = h 2- 3 2 = 4

En el Ex ACD :

CD = y¡5 - x

En el Ex ABD :

... (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) : 3y¡25-x2 + 15 = 4x Resolviendo :

x = 4,8

34.- En el gráfico mostrado, P y O son centros de las circunfe rencias. Calcular la longitud de PO

Resolución.-

En el A AQL, por Steward :

Por el Teorema de las Cuerdas : Pero:

2

R = x2 + AP • PL ... (1)

AF = PF

A P ■PL = B P ■PF => AP ■PL = BP • AF ... (2)

Ex BHP ~ Ex AFE =>

AF - BP = 2Rr

... (3)


AP • PL = 2Rr

... (4)


2 2

R = x + 2Rr x = jR (R -2 r )

35.- En el gráfico dado, P y Q son centros. Calcular PQ

561

562


Ernesto Quispe ¡1

Resolución.-

Del gráfico observamos que Ex AMQ ~ £x TCL: Ja_

TC

AQ 2R

> 2Rra = AQ ■TC ...(1)

Por propiedad en los triángulos m 4- AQC = 0 y como CQ es bisectriz exterior, entonces : m 4- BCQ = a +

De donde :

m

A CTQ es isósceles (2) en (1) :

6= m 4-QCM

4 TCQ = 0

=> TC = TQ ...

2Rra = AQ - TQ

(2) ... (3)

Por el Teorema de las Secantes : AQ -TQ = (x + R) ( x - R) ...(4) (4) en (3):

2 2

2Rr& = x -R

x = J R (R + 2ra) 36.- En la figura mostrada, T es punto de tangencia, BM B T = a y BP = b. Hallar PT

2

Resolución.Para el ángulo ABC : BM y BT son isogonales, luego: AB ■BC = BM • BT = a 2 ...(1) BP es bisectriz exterior del A ABC =>

2

b = AP ■PC - AB • BC ... (2)

Por el Teorema de la Tangente :

2 b 2= x 2- a 2

x = AP ■PC

De (3) y (1) en (2 ):

... (3)

37.- Demostrar que la distancia entre los centros de radios r y R de las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrilátero están relacionados p o r :


Luis Ubaldo C.

D em ostración.Observamos que al trazar las bisectriz AN y CM Se tiene que MN es diámetro de la circunferencia mayor ya q u e : 2 a + 20 = 180° En el A MIN, por el Teorema de la M ediana:

2

1M2 + IN2 = 2x + ^ (2R f Trazamos IP 1 AI ( P e AD)

2

=> IM2 + IN2 = 2x* + 2R Luego :

... (1)

Ex ISC = Ex ITP (ALA) =>

IC = IP

En el Ex AIP :

A dem ás:

r2

AI2

22

IC2

IM • IC = ft - x

=>

AI-IN = R l - x ¿

=>

...(2) IM2 O?2 - * 2)2

- (3)

IN2 I _ AI2 (/?2- x 2)2

- (4)

1

IC2

1 Sumando (3) + (4) y reem plazando en (2) ; ‘ r2 Sustituyendo (1) en (5):

1 r2 " 1 r2

38.- Del gráfico mostrado sabemos que , AB = B C = CD Calcular DF.

IM2+IN2

2 2)2 2x 2+2R 2 ( R 2- x 2?

(R - d x

... (5)

1 1 , (J?+d)2 l R - d )2

l.l.q.d

563

564


Ernesto Quispe R

Reaolucion.Deducimos que el pentágono ABCDE es inscriptible a una circunferencia de diámetro AE Al prolongar BH , CL y DF , se tiene : *E

BH = HP = a ; CL = LQ = b ; DF = FR = x Las cuerdas PR, PB y BD miden 2a cada una pues subtiende arcos congruentes de 4 0 cada uno; de igual m anera BR = PD = CQ —2b, pues : m BPR = m Í^BD = m CAQ = 80

En el cuadrilátero inscrito PBDR em pleam os el 1er Teorema de Ptolomeo :

2

2 2

2

(2o) ( x ) + (2o) (2o) = ( b) ( b)

4ax = 4b - 4o 2

.2 2 o -a

39.- Del gráfico adjunto, calcular BD

Resolución.Hacemos : AC = AD = CD = l y construimos otro triángulo equilátero AQC, simétrico al equilátero ADC Luego :

AQ - QC = I y

QD =1 J 3

Aplicando el Teorema de Chadú, en el □ AQBC; inscriptible: AB = BQ + BC

=> BQ = a - b

Aplicando el 2° Teorema de Ptolomeo tenem os : £ a

l(a-b) + lb l

+b(a-b)

... (1)

l¿= a r + b - ab

En el □ AQBD, por el Teorema de E uler:

2

2 2

l + (a - b'' + x + l = a¿ + 312 + b

I

2


Luis Ubaldo C.

2 ... (2) x 2= a 2+ b2+ ab

=>

x2 = I + 2ab


= Ja 2 +f>2 +ab 40.- En la figura mostrada, O y Of son centros de las circunferencias, 0 1H = 2 , ML = L Q . Hallar MN.

Resolución.En el triángulo TO,N tenemos: a + 0 = 90° En el trapecio rectángulo MOOjN : m

4-0= 180 - 20 = 2a

Además : m 4 OML —m 4 OLM = 0 Al prolongar NT este intersecta perpendicular mente en K a LQ. Luego : Además:

KQ = 0,H = 2 L K = ^ -2

y

M K = * -2

En el cuadrilátero ínscriptible MLTN :

KM - KL = KN - KT

Para la circunferencia O ,: Luego:

(KQ)2=K M -K L

(Teorema de las Secantes)

(KQ)2 = KN KT =>

(2)2 - (x - 2) ( f - 2) x =6

565

566


Ernesto Quispe R

PROBLEMAS PROPUC I i

1.- En la figura, hallar CD, s i : AB = 12 y BC - 8 A) 12 B) 14

2

2 B) yfb2 + d 2+ a 2 C) -Ja2+b2 + d 2

2 2+b2

A) J a +b2 + d

D) -Ja - d E)N A

C)15 D)

6.- En un cuadrado ABCD, exteriormente al lado AB se considera un punto «E» de modo que : m 4- AEC = 90 , EC + EA = 4V 2.

16

E)18

Hallar ED.

2.- Un arco de una circunferencia tiene una cuerda de 24 cm y una flecha de 4 cm. Hallar el radio de la circunferencia. A) 18

B)20

Q 22

D)16

E)15

3.- En un triángulo inscrito en una circunferen cia de radio 10 cm, el producto de medidas de dos lados es igual a 256. Hallar la altura relati va al tercer lado. A) 10,4

B) 10,8

C )ll,4

D) 12,8

E)16

A) 2

B)4

A) 7,5

B)7,2

B) |( V 3 + 1 )

C )U

D)2

C)7

D)5,5

E)4,5

s i : m AB = 120° , CM = 1 y MB = 2

Hallar la distancia del incentro al circuncentro. B)-\/2

E)3

8.- En el gráfico mostrado, hallar/?

A)

A) 1

D)2%/2

7.- Una recta tangente en “ B” a la circunfe rencia circunscrita al triángulo ABC, es para lela a la bisectriz interior C D (“ D” en AB). Hallar AC; si AD = 5 y BD = 4

4.- En un triángulo ABC (m 41 B = 90) de hi potenusa «b» cuyo inradio es r. S i : b - 4b —4.

2 1

C)y¡2

£

c ,/ í

-

i>

E)4 C)

5.- En la figura: AE y CD son tangentes. Si AB = a , AE = by CD = d, hallar BC. D ) | ( 7 3 + l) E ) |( 7 3 - l ) B

I

9.- En la figura las circunferencias son con céntricas de centro «O», AB es tangente, DE = 2 y EF = 3. Hallar AB.


Luis Ubaldo C.

13,- De un punto de la circunferencia se han trazado dos cueidas y un diámetro de modo que la suma de las proyecciones de las dos cuerdas sobre el diámetro, es igual a la longi tud del diámetro. La suma de las medidas de las cuerdas es 2,8 m y s u diferencia es 0,4 m. Hallar el radio de la circunlerencia.

A )S

q

|V I 5

D)3S

E)

567

2^5

10.- Hallar MN, si PQ = SN ; QS = 1 y SR = 3

A) 0,5 m

B) 0,8/n

D) 1,5/7!

E )2 /m

C) 1m

14.- Hallar la longitud de la bisectriz exler.or del ángulo «A» de un triángulo ABC. S i : £ - c = 2 0 y b - c ( p - b ) ( p - c ) = 10c (P —» semi perímetro). A) 1

B)V2

C) 1,2

D) 1,5

E)V3

--V ✓

A )y[2 +2

B) S + 1

D ) j 2 +1

E) S

15.- Sobre el arco AB de la circunferencia circunscnta a un triángulo equilátero ABC de altura «/i» se toma un punto P. Calcular: PA2 + PB2 + PC2

+1 B) 2h

C ) |í

11.- Dos circunferencias secantes se inter-

sectan en los puntos A y B; prolongando la cuerda BA intersecta a la tangente común CD en el punto «P» de modo que : CD = PB y PA = 1m. Hallar AB. A) 1 m

B)2 m

C )3 m D )4 m

E)2-j3m

D ) | / ! 2V3

E) \ h

2

16.- En la figura; BO = OC y AB = 6 a/2 . Hallar AF-FL. A) 72

12.- En la figura, «O» es centro si, AB = 4 y

CM = MD. Hallar DE.

B)45 C)49 D)36 E)38 17.- Dada una semicircunferencia de diámetro AB y un punto «F» exterior de A B; por «F» y «B» se trazan las tangentes que se intersectan en «P» tal q u e . PF = VÍ5 y AB = 6. Hallar AF.

568

Problemas de Geometria v cómo resolverlos

A) 76

B )2v6

D)|7T5

E)N.A.

Ernesto Qjlspe R

C) \ 76

18.- En un ti ianguloescaleno ABC, se traza la bisectriz exterior BF del ángulo B, cuya pro longación intersecta en M a la circunferencia circunscrita al triángulo. Si AB = 10 y BF = 5- BC, hallar BM. A)2V2

B)4

C)3

D)2

E)1

19.- En la figura T es punto de tangencia, M y N son puntos medios de ÜT y AB respecti vamente y AO2 + AT2 AB-' = 16.

22.- Hallar B M . Si : BC = 6 y BF = 8 M

A) 7

Hallar MN. B)4V3

A) 1

C)6

B)2

5

Q l4 l

D )I^

Id

D )7 2 E)4

E )2 Í

20.- En la figura mostrada calcular el ángulo*. 23.- En la figura mostrada se sabe que : AO • BO = 8 y R = 2r C on los datos dados hallar r

A) 30° B)37°

C)45°

D)53°

E)26°30

21.- Del gráfico se sabe que : CP = 3 : PB = 4 y F P = 1 Hallar PE.


Luis Ubaldo C.

24.- En la figura, hallar P Q , si R = 7 Ï0 + 1

569

29.- Sobre el arco AB de la circunferencia cir cunscrita a un cuadrado ABCD se ubica el punto P de modo q u e : AP = 1 y PB = 2 7 2 . Hallar: PC A) 3

B)4

C )5

D )6

E) 47 2

30.- En un cuadrilátero inscrito ABCD: BC = CD = 3 y AC = BD = 4. Hallar AD (AB > AD)

4

4

25.- En un triángulo ABC :m 1 A = 2rn C IG // AC, siendo I el incentro y G el baricentro. Si IG = a. Calcular la distancia ID si BD es bisectriz interior.

A) 2

A) 7 2

B )2û72

A) 15

D )3a72

E)4 a

C)3 a

AD = 3. Calcular BC, sabiendo que sus diago nales son números enteros. B ) | C )2

C )|

D )|

E)4

31.- En la figura, AB = AC = AD = 12,5 BC = 7 y CD = 15. Calcujar BD.

B) 18

26.- En un cuadrilátero ABCD: AB = CD = 1 y

A )|

B)3

D )j

E )|

27.- Del gráfico, calcular BD, si AB + BC = 4

C) 20 D)25 E)30 32.- En un nonágono regular ABCDEFGHI : AB = a y AH = b encontrar la relación correcta.

2 B) fc3 - a 3 = 3ba2

A) 9 - a 3 = 3ab

2 E) b3+ a3= 3ba2 D) 9 + a 3 = 3ab

C) bi + ai = 3ab 33.- En un triángulo A B C : AB = 7 , BC = 9 y m 4- B = 74. La bisectriz del ángulo B se intersecta con la mediatriz de AC en P. Calcular PD; si AC n BP : D.

C )272 D)8

A) 2

E)372 28.- El ángulo B de u triángulo ABC mide 120°. Sobre AB, BC y AC se ubican los pun tos M; N y L respectivamente. Las circunfe rencias circunscritas a los triángulos AML y LNC se intersectan en P. Si BM = 4, BN = 2 y m 4 MBP = 60. Hallar BP A) 6

B)2

C)5

D)9

E)12

B)3

C)3,7

D)4

E )4 ^

34.- En la figura: A P . QD - Q C . PB = 2 4 7 2 . Hallar :x

570


A) 1

B)j2

0 ,4

C )j

E)2

Ernesto Quispe R.

A) yfab B) J a 2 - b

35.- En la figura:

2

C) ^ b

m PQ = m AQ + m BC

2 E) y l b - a 2 D) y l a - b

AP = PC. S i : HC = a . hallar BM A) 2 a

39.- En la figura O es centro.

B)3

a

Si : OB + P<: = ^4 ’ hallar OD

Q aJ?.

A^2

D )W 2 E)aV3 36.- En la figura : BP = a, BM = b y BQ = c. Hallar: BN

A>?

B 40.- Del gráfico, OM = 2 y PQ = 4 .0 es centro, calcular MN

« 7 D) Vabc E) ~ r 37.- La bisectriz interior del ángulo B de un triángulo ABC corta a la circunferencia cir cunscrita en E y al lado AC en D. Calcular ID; si I es el incentro del triángulo, ademas BD = 5 yD E = 4. A) 1

B)V2

C)2

D )V 3

E)3

38.- En la siguiente figura T es punto de tan gencia, AQ • TB = a y PH - b . Hallar QH

A) 3 D) y/5

B)V ¡ ó E)2

C) Vio

17.1 DElIMiCIÓIV DE POLÍGONO REGULAR Es aquel polígono equiángulo y equilátero que puede ser inscrito y circunscrito a circun ferencias concéntricas. Elementos :

Respecto a la Fig. 17.1 en todo polígono regular se representan los siguientes elementos: a) C entro:

O

b) Lado :

(AB = In)

c) A potem a:

(OH = apn = r)

d) Angulo C entral: 4- AOB (m 4- AOB = a n) 360

-~

a = ----- = m AB

n

e) Inradio:

n

r

0 Circunradio: R g) Triángulo Elem ental: A AOB O b serv acio n e s: * El sub-índice : "n” indica el núm ero de lados del polígono regular. 360 * De la fórm ula: d ; m 4- AOB = -----, deducim os que la m edida del ángulo central es divisor n de 360 (ya que n e 7 + y r¡> 3) y obtiene su máximo valor (120) para n = 3

572


Ernesto Quispe R

17.2 FÓRMULA DEL -APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR Consideremos el triángulo elem ental AOB de un polígono regular de "n" lados y de apotem a OH ya que OH -LAB. / AH = HB = —

Se tiene :

Luego por el Teorema de Pítágoras en el (i

V*

4R - I

(opn)2 = R-

OHB:

2

2 2

4R -l

De donde

... (17.1)

A) Lado del polígono regular de doble número de lados (2n) en función del polígono

regular de "n“ lados y dei circunrodio (R)

SeaAB = /nyO A = OB = R,a\ trazarOP ± AB Fig. 17.3 se determinan las cu e rd as: AP = PB = /2n en el ' In ' 2 2

v

AHP, por el Teorema de Pitágoras:

+ (P H )2 = - = - + ( / ? - o p n) 2

2

^

2=

T

Como:

Se tiene :

+R2+ apl - 2Rapn 2

ap = R 2- 1 -^- yap = ± J 4 R 4

n

2 v

2- / n2

(/?n)2 = 2R2 - R ^ 4 R 2 - 12

'2n= J z r 2 -

r JI 4 R ¿ - l 2

... (17.2)

Polígonos Regulares: Potencia y Eje Radical

Luis Ubalde C.

573

B Lado del polígono regulor de "n” lados circunscrito a una circunferencia de radio R en función del lado del polígono regular inscrito de igual número de lodos.

Sean AB = /n y OA = OB = R , para obtener el lado del polígono regular circunscrito de igual número de lados (Fig. 17.4) . Trazamos una paralela a AB que sea tangente en T a la circunfe rencia determ inándose el segm ento buscado PQ (PQ = /¿ ). Luego por la sem ejanza de los triángu los POQ y AOB, se tiene : P<¿ AB

/

OT OH

PQ =

n

R

2 Rl Finalmente :

... (17.3)

17.3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA T EXTREM 1 RAZÓN Dado el segm ento AB (Fig 17.5) el punto P divide a dicho segm ento en m edia y extrema razón, si y sólo s i : (AP)2 = AB . PB (AP > PB) por otro lado com o : PB = AB - AP. Se tiene :

(AP)2 = AB(AB - AP) f

De donde : Donde :

AP = AB

B

A

r~

'

— — AP : Sección áurea de AB

Fig. 17.5 a

/5 -1 — -— : Número áureo

17.4 POLÍGONOS REGULARES NOTABLES a) Triángulo Equilátero:

Angulo Central (a 3) :

360 a 3 = ——

Lado (L3) :

L, = R v'3

Apotema (ap3) :

ap3 = —

574


Ernesto Quispe R.

b) Cuadrado : Angulo Central (a4) :

a4=

Lado (L4) :

L4 = f l / 2

Apotema (up.) :

ap.=

= 90

R j

2

c) Hexágono Regular :

36t 6

Lado (L6) : r4 3

ap6= ~ Y ~

Apotema (oPg) :

d) Pentágono Regulor :

Angulo Central (c^) :

Lado (Ls) :

a5=

360 — = 72

Lg = Y V lO -2 ^ 5 R

7s

4 Fig. 17.9

I


Luis Ubaldo C

575

e) O ctógono Regular :

Angulo Central (ag) :

360 ag = ~ = 45°

= R V 2-V 2

Lado (Lg) :

Apotema (opg) :

a p g = ^ -J2 + J2

... (17.16)

... (17.17)

...(17.18)

Fig.UAO f) Decágono Regular :

Angulo Central (a ,0) : a 10 =

Lado (L]0) :

Apotema (opI0) :

360 jq

=36

L10= y V 5 1

...(17.19)

...(17.20)

flP io = 4 ^10 + 2 ^ 5 ...(17.21)

g) Dodecágono Regular

Angulo Central (a ]2) : a

Lado (L]2) :

Apotema (op]2) :

1Z

= ^

= 30° ... (17.22)

L,z = R ^ 2 - j 3

- aP l2 = ^

-j2 + y [3

... (17.23)

...(17.24)

Fig. 17.12

576


€ )€ r c ic jo $ r>6 A m e a a o M

Ernesto Quispe R

í* v p a r t c )

1.- Calcular la longitud del apotema He un cuadrado cuyo lado mide 4

Resoluclón.Se sabe q u e :

£7P4 = | V 2

Por condición del problem a:

/4 = 4 = R j2

=>

R = 2 j2

...(1)

L

aPt

Ò

... (2)

222

_ J 15 °P 4 - ~ ~ ' v2


U

1

r

apA = 2

6

2.- En una circunferencia una cuerda que mide J subtiende un arco de 1209. Calcular la longitud de la cuerda que subtiende un arco de 60°

Resoluclón.Se conoce q u e :

AB = /3 = R j 3

V6 =Ryf3 C om o:

=>

m CD = 60

Es d ecir:

R = V2

=>

CD = /6 = x

x=R

x = V2

3.- En una circunferencia de diámetro AB , se traza la cuerda CD paralela a dicho diáme tro . Si CD = R j3 ; calcular la m 4- ABC (AB = 2R) 120°

Resolución.C om u:

CU = R ^3 => m CD = 120

Por propiedad; ya q u e : CD // AB Finalmente por 4- inscrito :

=> m AC = m BD = 30 * jc

30 2 = 15°

4.- El lado de un octogono regular inscrito en una circunferencia mide \¡P--J2 . Calcular la longitud del lado del poligoi regular de 16 lados inscrito en la misma circunferencia.

10


Luis Ubaldo C.

577

Resolución./8 = /?V2-V 2

SeaR la longitud del circunradio, luego: h - f i

Nos p id en :

= r V2- V 2

/? = 1

/)6 = R i ¡ 2 - ^ + j 2

/ 16=

5.- En la figura mostrada :

2 + ^

AB = ^ J l O - 2 j 5 CD = Rt¡ 2 - ,Í3

Calcular el ángulo x.

Resolución.Yaque : De donde :

AB = y -J\0-2-j5 m AB = 72

A nálogam ente: CD = R y ¡ 2 - j 3 De donde :

AB = L

CD = / 12

m CD = 30

Finalmente por

4-

72+30

inscrito :

2 jc =

51°

6.- Sobre un segmento AB de (4 s + 1) de longitud se ubica el punto P, de modo que éste divide el segmento AB en media y extrema razón, si A P > PB. Calcular PB.

Resolu".i a n.Si P divide en m edia v extrema razón a AB Entonces : AP = AB

Hsh

V 5+1

P

x

B

578


A P = (V5 + 1) ( J E - i )

Luego : Finalmente, como :

x = AP

Ernesto Quispe R.

AP = 2

G /5-1)

2(V5-1) = y¡5 - l 7.- El perímetro de un hexágono regular Inscrito en una circunferencia es 24. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios Je los lados del primero.

Resolución.Por dato del problema :

6/6 = 2 4 60°

=>

'e = 4

De donde :

/? = /6 = 4

Del gráfico :

m ABC = 120

=>

3

AC = I = R J 3 = 4^3

En el A ABC : MN es base m edida Entonces : De donde :

x = MN =

Ar

x = 2 J3

Finalmente el perímetro buscado será : 6 (2 ^ 3 ) = 1 2 J3


Luis Ubaldo C.

579

17.5 PB OPIEDADES a) Los lados del pentágono, hexágono y dodecágono regulares que tengan el mismo circunradio determinan un triángulo rectángulo. S e a : En el gráfico 17.13a :EF = L6 ; AB = LI0

a

CD = L,

(L.)2 = (L ,0) 2 + (L 6) 2

„ .( 1 7 . 2 5 )

b) El lado del pentágono regular es la sección aurea de su diagonal d

En el gráfico 17.13b: ABCDE: Pentágono Regular.

L? =

(V5 - 1 )

... (1 7 .2 b )

c) El lado del decágono regular es la sección aurea de su circunradio. L10 = f

Siendo:

( V 5 - 1)

... (1 7 .2 7 )

L,0 : Lado del decágono regular R : Circunradio del decágono regular

d) El lado del polígono regular, cuyo núm ero de lados se puede expresar com o 2n donde n es un número natural mayur o igual que 2; tiene por longitud :

L j/i = R J

2- J 2+ Ì/ 2+ ...+

2

(1 7 .2 8 )

(n - 1) radicales

R:

Circunradio

e) El lado del pentadecàgono regular, en función del circunradio/? se puede expresar com e : LI5 = - j (-JÌ0 + 2-/5 VÏ5 + -J3 )

... (17.29)

580


Ernesto Qulspe R.

17.6 POTENCIA DE UN PU N IO RESPECTO AL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA Se llama potencia de un punto respec to al centro de una circunferencia al produc to constante de las longitudes de los segm en tos determinados por dicho punto y dos pun tos cualesquiera de la circunferencia que sean colineales con él. La potencia de un punto será positiva, nula o negativa si el punto se encuentra exte rior, sobre o interior a la circunferencia res pectivamente.

/ig . 17.14

Pot (P/O) = PM . PN = PR . PS = P T . PU = P V . PW = CTE

... ( 17 .3 0 )

CÁLCU LO D E L A P O T E N C IA A) FÓRMULA GENERAL :

Donde

d R

Pot (P/O) = d 2 - R 2

... ( 1 7 . 3 1 )

-» distancia del punto "P" al centro "O" -» radio de- la circunferencia de centro "O"

B) POTENCIA DE UN PUNTO FXTERIOR

Por definición :

Pot (P/O) = PR . PS

Luego por el Teorema de las Tangentes : Pot (P/O) = PT2

En el Bx PTO :

... ( 17 .3 2 )

PT: + R2 = d2 Pot (P/O) = d 2 - R

2

(Fórmula General)

C) POTENCiA DE UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA

Por fórmula g en eral: Pot (P/O) = d l - R Pero :

2

d= R Pot (P/O) = O

.. .( 1 7 .3 3 )

D) POTENCIA DE UN PUNTO INTERIOR

22

Por fórmula general: Pot (P/O) = d -R = (d - R)(d + R) = - ( R - d)(d + fl) = -PE . PF

Luego por Teorema de las Cuerdas : Pot (P/O) = - R P. PS = - Q P . PU

... (17.34)

Ftg, 17.17


Luis Ubaldo C.

581

E) POTENCIA DEL CENTRO

2 2

Por fórmula g en e ral: Pot (P/O) = d - R Pero :

d= O Pot (P/O) = - R 2

... (17 .3 5 )

EJE RADICAL Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que tienen igual potencia respec to a dos circunferencias coplanares. POSICION DEL EJE RADICAL A) CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

El eje radical es una recta perpendicular al segmen to que une los centros. Si “ü?” es eje radical por definiciónPot (M/A) = Pot (M/B) Pot (N/A) = Pot (N/B) Pot (R/A) = Pot (R/B) B) CIRCUNFERENCIAS SECANTES

El eje radical es una recta que pasa por la cuerda común. Si es eje radical por definición : Pot (M/A) = P o t (M/B)

... (17 .36 )

C) CASOS PARTICULARES

A

V

e je radical

V eje radical

V

eje radical

Fig. 1721

CENTRO RADICAL Viene a ser la intersección de los ejes radicales de tres circunferencias, tom adas de dos en dos. Si JEj ,

y £3 son los ejes radicales, entonces :

Pot (O/E) = Pot (O/F) = Pot (O/G)

“O” es el centro radical

... (17 .3 7 )

582


ejercicios oe apiicuch&n u

Ernesto Qulspe R.

reí

8.- En una circunferencia el diámetro AB y la cuerda MN se intersectan en P . S í: MP = 9 PN = 4 . Calcular la longitud del radio, si AP = 3

R esolu ción.-

Con respecto al punto P se tiene : PotOP = MP ■PN = AP . PB De dond< Como :

9 . 4 = 3 - PB

PB = 12 R = 7,5

AB = 2R = AP + PB = 3 + 12

9.- Las longitudes de los lados de un triángulo ABC son : AB = 10, BC = 12 y AC = Calcular la potencia del vértice B respecto a la circunferencia inscrita al triángulo.

8.

R esolu ción .-

= (BP)2 Poto B

Se sabe que : Por Propiedad: n

10 + 12 + 8

. . . (1)

Bp = p (A ABC) - AC o

Bp = ----- g------- °


r» Bd = 7

^

. . . (2)

PotoB = 49

10.- Dos circunferencias ortogonales de centros A y B se intersectan en los puntos M y N. Si AB = 10 y AM = ; calcular la potencia de B a la circunferencia de centro A

6

R esolu ción .-

Ya que las circunferencias son ortogonales se, cum ple que : m 4- AMB = 90 y BM es tangente a la circunferencia de centro A

En el Gx AMB : Finalmente :

BM = VlO2 - 6 2 = 8 P°1ia) ® = (BM)2 = 82 = 64 <-s

11.- Dos circunferencias de radios 9 y 4 son tangentes^xteriores en P. AB es la tangente común exterior. El eje radical intersecta en M a AB ; calcular la potencia de M a la circunferencia menor. R esolución.-

Por definición de eje-radical:

P°t(o)M = Pot(c M

Polígonos Regulares: Potencia y Eje RadLal

Luis Ubaldo C.

MA = MB

(MA)2 = (MB)2 Como : AB = 2

583

MA = MB = 6

= 12

Pot,( o )

Finalm ente:

= 6Z = 36

12.- La potencia de un punto P respecto a una circunferencia de centro O y radio 12 es 119. Calcular PO.

Resolución.Puesto que la potencia es negativa Entonces el punto P es interior a la circunferencia Luego :

2 2

P o t^ P = d - R 144 -119 = d2

=>

2

- 119 = d - 122

/.

d = 5

6 8

13.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden y . Calcular la potencia del circuncentro del triángulo respecto a la circunferencia inscrita.

Resolución.Para el triángulo rectángulo ABC, El circuncentro es el punto m edio P de AC Luego :

ôtCo) ^ = (PM)2 ... (1)

Por propiedad :

AM = AM =

De d o n d e : Finalmente :

ABC) = BC 6 + 8 + 10

-8 = 4

PM = 5 - 4 = 1 Pot(<^ P = 1

14.- Tres circunferencias congruentes y tangentes exteriores dos a dos tienen sus radios que miden "R". Calcular la potencia del centro radical de estas circunferencias res pecto a cualquiera de ellas.

Resolución.Sean los centros A , B y C de las 3 circunferencias, el centro radical "O" será el punto de concurrencia de las tangentes com unes. Lj , L2 y L3 de dichas circunferen cias, adem ás será el centro del triángulo equilátero ABC. En el kx AMO de 30 y 60 : Nos p id e n :

OM = R V3 Pot(A)o = (OM)2 2


584

Ernesto Quispe R.

H is c e iá rt¿ A

1.- En un cuadrilátero convexo ABCD, se traza la diagonal BD. S i : m 4 BAD = 36°, m 4- DBC = 72°, ademas AB = AD = a y BD = B C ; hallar la distancia a e B a CD .

Resoluclón.Prolungamos BM y AD hasta que se intersecten en el punto "N" El triángulo ABN es isósceles, ya que l a :

p

/7?4lA = /7?4lN = 36 AB = BN

Lueô : Es decir :

x +x= a x = o /2

2.- En un triángulo ABC ,m

4 A = 5 4 ; el circunradio mide ( J 5 - 1 ) m.

hallar la longitud del lado BC

Resolución.En el triángulo isósceles BOC : x = y O'”’ + 0

Pero:

R = J 5 -1

Reemplazando :

x =

2 B

3.- En la figura mostrada: m 4 ABM = 18°. BC = Hallar M N .

8.


Luis Ubaldo C.

585

Resolución.-

Sea Q el punto m edio de BC, luego el triángulo MQN es isósceles MQ = NQ = 4, adem ás la MQN = 36°. B

m

4

Esto quiere d ecir que MN es el lado de un decágono regular de radio/? = 4 L uego:

* = I (V 5-1) A

X=2(y¡5-1)

C

N

4.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 4m y uno de sus ángulos mide 7°30‘ . Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

Resolución.— AC En el Ei^ BHM, trazamos la m ediana BM luego BM = = 2 y m 4- BMA = 15 B

7° 30'

AH

2

M

2

C

Recordemos éste Eìx notable, para nuestro problema : 2o = 2

=>

B

n= i

Entonces:

5.- Un hexágono regularse encuentra inscrito en una circunferencia de 12 m de radio; se trazan Ids diagonales que no son diámetros y que al intersectarse forman otro hexágo no regular. Hallar la longitud del lado de éste último hexágono.

Resolución.En el hexágono regular ABCDEF : AB = 12 Sea el hexágono regular MNPQTL cuyo lado se desea calcular. En el A FAB :

3a = 12^3 0 = 4^3

Luego :

MN = 4 / 3

(Teoría)

A

D


586

Ernesto Qulspe R.

6.- Hallar la longitud de la base mayor de un trapecio, si los otros tres lados miden ( 3 - 4 5 ) y que uno de sus ángulos mide 36c

Resolución.Para resolver este problema, es necesario recordar el triángulo rectángulo, luego : 4H = QD = | (^ 5 + 1) _ q ( J 5+1) + Q + a ( j 5 + 1)

S um ando:

x = f ( V 5 + 3) Pero :

A fl(V5+l)/4

H

Q

o(V5 + 0 /4 D

a = 3 - 4s

Reemplazando : x = (3-%/5) (3 + j 5 ) / 2 x = 2^5 x

2

x = 2

7.- Un cuadrado se encuentra inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4 4 2 . Calcu lar la longitud del lado del octógono inscrito en el cuadrado.

Resolución.Los cuadrados ABC'D y GFHP son congruentes. Dor dato :

AC = BD = 442

En BC : o + a j2 + a = 4

H

=> AB = BC = 4 a =

42+2

(1)

El octógono EFNQML'TS es regular, en el cual : NQ = a j 2 ... (2) Reemplazando (1) en (2) :

NQ = 42 - - A —

42+2

NQ = 4 ( > /2 - l)

luis


Ubnltío C

8. - En la figura :F M = ( ¿ 5 -1 )

, EB = (>Í5 + 1) y r = 2.

Calcular el ángulo a

Resolución.-

B Luego en nuestro problema : m 4. FOM = 36° y m 4 EOB = 108°

. Finalmente :

a

72°+180o+36° -------- ^--------

a = 144° 9.- En la figura EF / / A B , AP = 3 y BF=1. Hallar P M ; siendo A y B puntos de tan gencia y m 4- APB = 3( f

Resolucion.El cuadrilátero AEFB es un trapecio isósceles Luego : AE = BF = 1 => EP = 3 - 1 = 2 Pero en un

com o este de 15° y 75°:

Luego :

2o = 2 =>

Entonces :

o = 1 x = (1) v2 +V3

x = V2 + V3

crV2-V3

oV2 + V3

587

588


Ernesto Qulspe R

10.- En un nonágono regular ABCDEFGHI: A l + AC = 7 J 3 . Hallar AF

Resoluclón.Pordato:

a + b = 7^3

El triángulo ICF es equilátero, luego : IC = CF = IF = h En el cuadrilátero lACF por el Teorema de Ptolomeo : x ■n = a ■n + b - n x —a + b x = 7 J3 11.- En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica un punto "Ai" con la condición BM = MC, AM = BC y m 4- BCA = 3 6 ° Calcular la m 4- A .

Resolución.-

8

12.- En un hexágono regular ABCDEF de lado m. Hallarla distancia del punto de intersec ción de las diagonales AD y FB a la diagonal A C .

Resolución.El Ex ABQ es notable (30° y 60°) en el cual : AQ = ^

=>

AQ =>4

Finalmente en el Ex AHQ, notable tam bién : HQ= | HQ = 2


Luis Ubaldo C.

589

13.- En un triángulo ABC (m 4 B = 90°), con centro en "B " y radio igual a AB , se traza un arco de circunferencia que intersecta en "Ai" a AC y en "N" a BC. Además se sabe q u e : m 4.CNM = 117 y BN = 2. Hallar AM.

Resolución.-

Recordemos este triángulo :

C

M Para nuestro problem a:

« (V 5 -l)/2

x = 2 (>/5 - 1)/2 x = V5 -1

6

14.- En un triángulo ABC, m 4- C = 15°, mA = C° y "O" es el circuncentro del A ABC se traza OM perpendicular a BC (M en BC) e intersecta en "Q" al lado A C ; hallar OO, s i: OA = 2 + J3 .

Resolución.En un triángulo rectángulo com o este se cumple :

2+^3 = a V2 + 'fy De aquí :

( 2 + J 3 Ÿ = a 2 ( 2 + J3 Ÿ

,C

A

o \

L uego: * = J4-3

15.- En un polígono regular de 13 lados A 1A2 A3 ........ A 13 ; si A1A4 = a y A 1As = b. Hallar A w A4.

Ernesto Quispe R.


590

Resolución.En el gráfico: Aj A5 = A4 Ay = Ay AJ0 = a También :

A, A5 = A, A]0 = b y A, Ay = A4 A10 = x

En el cuadrilátero inscrito:

Ai A4 Ay A10

Por el Teorema de Ptolomeo :

x . x = a . a + b .a x

2= a 2+ ab — -Ja2+ab

16.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, el p erímetro del octógono regular inscrito es ^ 2 4 -1 2 4 2 , MN = AN J 2 . Hallar el valor de MN.

Resolución.Si: MN = AN V2

y m AP = m PB

Entonces: PN = NA = AM = ML = a y MN = x = a j2 (MN : un lado del octógono regular inscrito) Por d a to :

8a J 2 = 2 , ] 6 - 3 &

8 a j 2= J24-12J2 a/6-372 aJ2= X-

6 3J 2

J -

17.- Hallar la longitud del lado del hexágono regular inscrito en una circuriferencia, si la sección aurea del lado del decágono regular es m.

1

Resolución.-

2

x = a ■(a - x)

a -x

X

Por riefin.rión de sección áurea : A =>

x~ \ ^

^

B a

C


Luis Ubaldo C

591

Paira nuestro problema, si VR" t s el radio de la circunferencia circunscrita el hexágono y decágono regular, en to n ces:

* = f (> /5 -l)

Pero por dato también : x = 1

R=

■4E+\

fi

18.- En la figura mostrada, ABCDEF es un hexágono regular de perímetro 30 J3 m ; hallar MC.

Resolución.En el A QCH :

"G"

=>

baricentro.

En el A QCF, por el Teorema de Menelao : ( 2 a j 3 - x ) ■2n ■a = x ■n ■3a

B

4a V3 -2x = 3x 5x = 4 a j 3

Pero por dato : 6a = 30

=>

a = 5 ^3

Reemplazando : 5jtr = 4 J3 ■5 J3 x = 12 19.- Sobre el arco BC perteneciente a la circunferencia circunscrita a un octógono regular ABCDEFGH se ubica el punto P. Si PC = 1 y PE = 4-J2 ; calcular la longitud del radio de la circunferencia.

Resolución.Cada lado del octógono regular subtiende un arco de : 360 = 45 8 Por ser 4- inscrito:

m 4- CPE =

90

= 45

Dado que CE es lado del cuadrado inscrito, se tendrá que : CE = R J l

592


En el triángulo PCE :

HE —4-J2 -

Ernesto Qulspe R.

= Z&

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo CHE :

R = §V2 20.- En un polígono regular de "n" lados su lado es igual a su apotema más el circunradio. Hallar la longitud del lado si el circunradio mide 5.

Resolución.De acuerdo con los datos del problem a : /n = 5 + a En el fc, OHB :

2 1

5 = a +

a = In - 5

4

25 = (In - 5)2 +

2

25 = In + 25 - 10/n +

2

4 In = 10 In In = 8

B

del problema, pero si observamos el A AOB. n X. AOB = 106° = —n

n = 360 = 3,4 n

O

Le cual indica que el problema lo podem os catalogar com o absurdo.

21.- Hallar la longitud del lado de un heptágono regular ABCDEFG. S i:

Resolución.En el cuadrilátero inscrito ADEFG, por el teorem a de Ptolomeo : a b = a x + b x a .b = x (a + £>)

Polígonos Regulares: Potencia _yEje Radical

Luis Ubaldo C.

22.- En la figura mostrada, s i : AD = DC = BC = 4. Hallar el valor de BD.

Resolu

8a =120°

=>

a = 15°

Luego BD es el lado de un dodecágono regular. R ecordem os este triángulo a h o ra: Para nuestro p roblem a: x = 4^2-j3

Ry¡2^¡5

6

23.- Según el gráfico DM = 2(OC), AP = PO y R = . Calcular MN

I

I

w

B

593

594


Ernesto Qulspe R

Resolución.Prolongamos DP hasta intersectar a la pro longación de MO en F, luego por la sem e janza de los triángulos FOP y FMD se tiene : F M -to

-

FM = 4 (FO)

Ya que :

PO // DM

Pero:

FM = ID + 6a

L uego:

FO =-2a

Esto significa que la circunferencia de cen tro 'O" pasa por el punto F. Luego :

m 4 FQC = 90°

El cuadrilátero inscriptible CQDM: m 4 CQM = m

41 DQM = 45°

En el A MQN es triángulo elem ental del octógono regular. Entonces : Com o: R = 6

x = /g = R -J2--J2

.-.

x = 6-J2-J2

6

24.- Dados los puntos concíclicos A , B y C ; si m 4 BAC = 15e, m 4 ACB = 45gy A B = yÍ ; calcularla distancia d e C a AB.

Resolución.Por 4 inscrito: m AB = 90° y m BC = 30° Esto quiere decir, que AB es lado del cuadrado inscrito en la circunferencia y BC es lado del dodecágono regular inscrito luego: AB = J =>

6= RJ2 l2

R = V3 a BC = l = Ryl2 -V 3 = a/6-3>/3

En el ü , BHC de 30° y 60r X= ^

V3 = ^ 5 Z V 3

2 3

jc = | J - J

Polígonos Rsgulares: Potencia y Eje Radical

Luis Ubaldo C.

595

2 5 - En la figura A B = 2 r = 8 y m 4 OQP = 9g; calcular PN

Resolución.En la semicircunferencia m 4- MAN = m MN

( 4 inscrito)

En la semicircunferencia m 4 MPA = m

( 4 ex-inscrito)

Como las circunferencias son congruentes: =j> m MN = m MPN => m 4 MAN = m 4 MPA = 45 y mtoN = mMPN = 90 El cuadrilátero MQNO resulta ser un cuadrado donde: m 4 OQN = 45

=>

m 4 PQN = 36

El triángulo PQN es triángulo elementa] del decágono regular:

l0

PN = l = R C om o:

R= 4

A

PN = 2 (J E -1)

I--------

4 22

2 6 - En un trapecio isósceles ABCD en el cual, BC_//AD y AB = BC = J - J ; calcular la distancia entre los puntos medios de AC y BD si el ángulo que forman mide 22-30'.

Resolución.Como el ángulo interior P, de la circunferencia cir cunscrita al trapecio isósceles ABCD mide 22°30\ Se tiene:

22°30'=

=> a = 22°30'

Esto quiere decir que : AB = /J6 = W 2-V 2 + V Í = V4 - 2V2 =>

R=

/ 4 -2V2

AC = BD = /.

h -4 2 ^ 2

Además :

OM = ON = apc

596


Ernesto Qulspe R.

En el triángulo elemental MON, del polígono de 16 lados se tiene : MN = 0 M V 2 --^2 + >/2 Pero: OM = y =>

-J2+J¿

MN = - ^ 4 - 2^2 v 2 - V 2 + >/2

. V2 + V 2 . J 2 - J 2 + J 2 = ¿

&

J{2-J2){2+ J2)

MN = 1

4 ABC = 30° Se inscribe un cuadrado PQRS tal que PQ e AB ; OC y PC intersectan a RS en T y L respectivamente, s i : TL = J 2+ J 3 . Calcular AC.

27.- En un triángulo ABC (AB = BC), m

Resolución.E1A ABC, es triángulo elemental del dodecágono regular luego: x = i j2= R J 2 ^ M ...(1)

Trazamos la altura CH la cual intersectan en K a TL, luego :

CH = ^

Por la semejanza de los triángulos ABC y SRC, se tiene: K - ffi l CK

^

De d o n d e :

R -

/ ” R/2-1 R = 3/

Rl

2

... (2)

Por la semejanza de los triángulo PCQ y LTC: T L =2?

=*

/ = 3 TL

... (3)

Reemplazando (3) en (2) : fl = 9TL

=*


R = 9^2+yÍ3 ... (4)

H----- x

x = 9 (>/2 + ^3 JV2 —>/3 jc =

9

28.- Dada una semicircunferencia de diámetio AB, sea P un punto de su interior, tal que AB = (yÍ5 + 1) PQ. (Q e AB), mQB = 136 y m 4 ABP = 4 , calcularla m POB.

4

Polígonos Regulares: Potencia y t j e Radical

Luis Ubaldo C.

Resolución.-

597

136°

Prolongamos BP hasta intersectarâ la se micircunferencia en T, luego mAT = 8 y m TQ = 36, esto quiere decir que : TQ = /,„ = /? =»

TQ = ^

Por dato :

B

(V S-l) ... (1)

AB = PQ (1/5 + 1) ... (2)


TQ = PQ(^5 + 0(^5

En el A TQP :

^ m

En el A PQB :

=>

TQ = PQ

4. TPQ = 68 = m 4L QTP x = 50

68 = x + 18

29.- La relación entre los lados de 2 polígonos regulares de igual número de lados una ins

1

crita y el otro circunscrito es ^ V2 W 2 ; calcular el lado del menor si el radio mide .

Resolución.De acuerdo al item 17.2B, se sabe que : 2(1)

2__ __

Luego:

2 2

■J + J

J4 0 ? - In

/'

i

^

J4R - I n

2 2

2 2

2 , resolviendo :

In = ■J - J

30.- Dado un trapecio isósceles ABCD (BC / / AD) : m 4 BAD = 72s , AB = BC = CD : hallar A C . PB, s i : AC n BD : P , y el circunradio del triángulo ABC m ide: -Js+JB

Resolución.Ya que AB = BC = CD =>

m AB = m BC = m CD = 72

De donde :

AB = BC = CD = /5

Además

BP

:

Nos piden :

=

PC

= o

a

AP

=

AC • PB = (a + /5) a ...

A ACD - A PCD : ^

a

U

AB (1)

=

/5

598


U = (a + /s) o

De (1) y (2) : C om o:

Ernesto Quispe R.

...(2)

AC-PB=£

*5 = - f ^1 0-2^5 =

+^

• V lO-2^5 = VÍO

AC• PB = 10 31.- En la figura: P es punto de tangencia y HB es la sección aurea de a B ; calcular x

B

Resoluclón.Según condición del problema HB es la sección aurea de AB =>

(HB)2 = AB • AH

... (1)

Por el Teorema de la Tangente : (AP)2 = AB • AH De (1) y (2) :

... (2)

HB = AP = 2r

Trazamos el radio OP, lu eg o : m 4 APO = 90 y OP = r

En el fc, APO : C om o:

m 4 PAO = ^

= 26° 30'

26° 30'+ x = 90 x = 63° 30'

32.- En la figura : FB ■ BD = 4 2 i * , AB = 7; calcular la potencia de A respecto a la circunferencia O.

/

2r

í

V

r H (—

O 2r

Y

\ JB


Luis Ubaldo C.

599

Resolución.Empleando el Teorema Je las Cuerdas : FB - BD = AB - BC 42 = 7 • BC Luego :

=>

BC = 6

Pot(A/0) = AC • AB = 13 - 7 Pot(A/0) = 91 ji2

33.- Del gráfico adjunto, hallar la potencia de N a la cir cunferencia O, s i : R = 3 y r = 2 N

Resolución.Del gráfico observamos que : A AOT =>

yñ= f ° AT

2

ATO'N

AT = 2 K y T N = 3K

En el Èx OLO' : O L = 4

=>

AL = 2 + 4 = 6

Por Teorema de la Tangente : (AL)2 = (5K) (2K) 36 = 10K2 Nos piden :

K2 =

18

Pot (N/O) = (5K) (3K) = 15K2 Pot (N/O) = 54

34.- En el gráfico mostrado: Pot [P/O] = 2 Pot [P/E] Hallar R/r

N


600

Ernesto Qulspe R.

Re«oluc!un.Por dato del problema : Pot (P/O) = 2 [Pot (P/E)] (PL)2 = 2 (PC)2

PC

De (1) y (2) : 35.- Los lados de un triángulo ABC miden: AB = 13, BC = 15 y A C = 14; calcular la potencia del vértice A a la circunferencia de los 9 puntos correspondiente al triángulo.

Resolución.Sea la circunferencia O, la circunferen cia de los 9 puntos, luego : Pot (A/O) = AL ■AG ...(1) Por Euclides, en el A ABC : (15)2 = (13)2 + (14)2 - 2 (14) (AG) De donde : AG = 5 Además :

AL = LC = 7

Reemplazando en (1) : I------------------------- 14 Pot (A/O) = 7 • 5 = 35 u2 36.- El eje radical de dos circunferencias tangentes exteriores de radios 9 y 4 intersecta a la tangente común exterior en A; calcular la potencia de este punto con respecto a la circunferencia mayor.

Resolución.Por propiedad :

PQ = 2 j R r = 2 J9 ■4 = 12

Como A pertenece al eje radical J?, se tiene : Pot (A/O) = Pot (A/O1) (PA)2 = (AQ)2

=>

PA = AQ = 6 Pot (A/C) = 36 n2

Eje radical

Polígonos Régulaizs: Potencia y Eje Rad.cal

Luis 11baldo C.

601

37.- El eje radical de dos circunferencias exteriores cuyos radios miden 5 y 3 ntersecta a la línea de centros en H. Calcular la distancia de H al centro de la circunferencia menor, si la línea de centros mide .

12

R esoluci¿.i,Como H pertenece al eje radical, se tiene : Pot (H/O) = Pot (H/O') (HT) (HA) = (HS) (HB) (1 7 -x ) ( 7 - x ) = (x + 3) (x -3) 1 1 9 + x 2 - 2 4 v = x2- 9 24 x = 128

*= ^

= 5,3

38.- Dadas oos circunferencias secantes de centros O y O ', se traza una cuerda BC tangente a la circunferencia de centro O'en A. El eje radical corta en M a l a recta que contiene a la cuerda; calcular: AM, si B M . MC = 16

R esolución.Como M pertenece al eje radical de las 2 circunferencias. => Pot (M/O) = Pot (M/O')

rM B)(M C)=(M A )2

16 = (MA)2 MA = 4 39.- El ángulo B de un triángulo ABC mide 74. Hallar la longitud de la porción de eje radical (respecto a las circunferencia inscrita v la ex-inscrita referente a A C ) limita do por las rectas que contienen a los lados AB y BC , si los radios de estas circun ferencias miden 7 y 13.

Resolución.Como "Q" pertenece al eje radical "t” de las circunferencias O y O ', se tiene : Pot (Q/O) = Pot (P/O') (QM)2 = (QN)2

QM = QN

En el trapecio OMNO', trazamos la m ediana QL. L uego: A dem ás: En el k QHL de 37° y 53° : En el A PBQ , isósceles :

QL =

= 10

m 4- HLQ = 53

QH = 8 PH = HQ = 8 PQ = 16

602


1.- Calcular la longitud del lado del polígono regular de 32 lados inscrito en una circunfe rencia cuyo radio mide 1 m. A) ^ 2 - ^ 2 + y j 2 ^ 2 m

4.- Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una circunferencia de radio R = V2 - V 2 . Hallar la distancia del vértice A al punto me dio del arco CD. A) V2

B) y ¡ 2 - i ¡ 2 + ^ m

Ernesto Quispe R.

B) \Í3

C) 2

D) 75

E) Vó

5.- Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia de radio cuya longitud es R = (^ 2 -1) m. Si las bases son AB = lA y CD = l .

C) ^ 2 + ^ 2 + a/ 2 + ^ I m

3

Hallar la longitud de la altura del trapecio. D) ^ 2 - ^ 2 + y ¡ 2 ^

A) 0,1 m

B) 0,2 m

E) 2 \¡2 -y fz + ^fl m

D) 0,4 m

E) 0,5 m

2.- En la figura, AB = BC = CD - J l + yfe . Hallar AD.

6.- Sobre el arco AB de la circunferencia cir cunscrita a un pentágono regular ABCDE se toma un punto P; si AP + BP = 8 m ; PD = 12 m y PE = 11 m . Hallar PC.

B

A) 3 m

B) 6 m

D) 10 m

E) 13 m

C) 0,3m

C) 9 m

7.- En un octógono regular ABCDEFGH; ha llar la distancia entre el vértice A y el punto medio del lado D E . Si R = 2 m es la longitud del radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular. A) J l 0 + 2 j 2 3.- En un triángulo A B i! inscrito a una circun ferencia de radio R = (yÍ - V2 )m.

B) V5T 3V3

Se tiene que los lados son : AB = / A, AC = /4.

c ) V10 - 2V3

6

D) V 10+3>/2

1 55

E) ■J O+ J

Hallar BC. A) 1 m

B) 2 m

D) 4 m

E) 5 m

C) 3 m

8.- Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 2 7 m; si m AM = m MB ( M e AD); AN = N C (N e AC). La prolongación del segmento MN intersec-


Luis Ubaldo C.

ta a la circunferencia en •! punto L. Hallar la longitud del segmento NL. A) 1 m

B) 2 m

D) 4 m

E) 5m

C) 3 m

603

14.- En un cuadrilátero inscriptible ABCD, los ángulos BDA y ACD miden 17 y 19 respecti vamente; si la longitud de la diagonal BD es V1C+2V5 . Hallar ia longitud del radio de la circunferencia circunsc'ita al cuadrilátero.

9.- En un eneágono regular ABCDEFGHI se cumple que AB + BD = 1 4 m. Hallar BG. A) 3 m

B) 7 m

D) 14 m

E) 21 m

C) 11 m

10.- En un pentágono regular ABCDE, las dia gonales AC y BE se intersectan en P. Hallar PD; si : PC = 4 m.

1 2

B) 2-^5

A )S

D) S

+ 1

E)

C )^ -l

2J 5- J 3

15.- Si desde un punto H de la circunferencia circunscrita a un pentágono regular ABCDE se trazan segmentos a los cinco vértices A, B, C, D y E; s i : HE e AE ;H A + HE + H C = 19 m y HB = 9 m . Hallar HD.

A) J O+ S

D) 2 ^ 1 0 - 2 ^ 5

A) 9 m B) 10 m C) 11 m D) 12 m E) 15 m

B) y[5+}yß

E) - J l O + ñ S

16.- En la figura mostrada; s i : AB = BC =

J5 +

B

11.- Dado un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se considera un punto cualquiera "P"; si PC = 1 m y PE = 4 ^ 2 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia. A) yÍ2/2

B) 3-JÏ /2

D) S / 3

E)5y¡2/2

C)5yÍ3/4

12.- En un heptágono regular ABCDEFG ; 1 1 AC + AD Hallar su perímetro.

1 9

si :

A) 49

B) 56

A) 7°30’

B )8°

C) 10°

Hallar : x C) 63

D) 72

E) 81

A) 1 B) 1,5

regular ABCDEF.... es - J ó - 3-^3 . Hallar AE.

C )2

A) 1

D) 2,5

C) 3

D) 15° E) 18°

17.- En la figura dada; si ; AB = BC = 2 + v 2 .

13.- La longitud del lado de un dodecágono

B )2

1 y CD = 1. Hallar : x

D) 4

E )6

E) 3

B

Problemas

604

de

Geometría y cómo resolverlos

18.- En un pentágono regular ABCDE, se tra za la diagonal BE y un diámetro perpendicu lar a dicha diagonal, el diámetro intersecta al lado CD en el punto F.

Ernesto Qulspe R

21.- Según el gráfico, calcular A N , si AB = 6 y BC (-^5 —l) = 4 (BD)

Además : BE n AF = {M} S i:

1 1 AM + A F

Hallar:

l

.

A; V lO -2-^5

D) V5 + W 5

B) A/lO+2V5

E) VÍ0+2V3

B) |V lO + 2 V 5

O J

c>

10- J 5

19.- Se trazan AB y BC cuerdas en una cir cunferencia cuyo radio mide R, si la prolonga ción de la cuerda AB, intersecta a la tangente trazada por el punto C en el punto D. Calcular la medida del ángulo BDC. SiiA B = 4 V lO -2V 5 y BC = 4 2 A) 108°

B) 135°

C)75°

D )120°

F) 105°

20.- En la figura, se tienen dos hexágonos re gulares; si PM = a y PQ = b . Calcular MN. A) (a + ¿>)/2 a3+b3

B ) / 3(a+b) C)

lab a+b

H )§ V 5

10 - 2 V5

22.- Se tiene el octógono regular ABCDEFGH y el cuadrado BCPQ, tal que P y Q están en la región octogonal Calcular PE, si HE = (3+ 3^2) cm. A) 4 cm

B) 3 cm

D) 1 cm

E) 5 cm

C) 2 cm

23.- En una circunferencia de radio R se ins cribe el hexágono regular ABcDEF, en el cual se trazan AD , BE y CF ; calcular el perímetro de la región poligonal que resulta de unir los centros de la circunferencias inscritas en los triángulos determinados. A) 5RyÍ2 D)

8R-J3

B) 7RJ4

C) 2/?V3

E) 9R-J3

24.- En un pentágono regular ABCDE, EC = 4 cm, la mediatnz de AB intersecta a BE en el punto Q; calcular BQ. b Aj 7 - 2-^5

B) 3 - 2-»/3

D) 6 - 2 V5

E) 8 - 2 V5

E)y¡2ab

C) 4 - 2 ^ 4


/ uis Ubaldo C.

25.- Se tien e el octó g o n o re g u la r ABCDEFGH, tal que BE r . CF = {P} y BG n AF = {Q i . Calcular PQ si la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a di cho polígono es ( -Jl + 1) cm. A) 1 cm

B) 2 cm

D) 4 cm

E) 5 cm

C) 3 cm

605

Calcular el valor de R. A) 60 m B) 65 m C) 70 m D) 75 m

7,6.- En una circunferencia cuyo radio es 2 cm; calcular la longitud del radio de otras ocho circunferencia*; congruentes entre si y tangen tes exteriormente dos a dos y a su vez cada uno es tangente interiormente con la circunfe rencia dada. D)

E)

44 4

r J -J 1 L4 +V 3 - V 3 J i 61/ 3 - V5 U + V 3 -V 3 J

E) 80 m 29.- El pentágono ABCDE es regular, el ra dio de la circunferencia es R. Si : PE = PD = y

1/ 1O - 2V5

Calcular m 4- AQP. A) 54° B) 63° C) 72° D) 84° E) 87°

27.- En una circunferencia de radio R se inserí ■

be el hexágono regular ABCDEF, luego en el arco BC se ubica el punto N de modo que m BC =m NC, además I es el incentro del trián

30.- En un triángulo ABC, la m 4L ABC = 108° y su incentro es I; calcular la longitud del circunradio del triángulo AIC, si el circunradio del triángulo ABC es R.

gulo AND. El n AD = {Q } y I F n AD = {P}. Calcular PQ , si R = (2 + 1/3 + -s/ó) cm. A) 6 cm

B) 7 cm

D) 5 cm

E) 2 cm

C) 8 cm

28.- Según la figura A es punto de tangencia,

A) ( V6 + 2 ) j

D) ( V3 + l)-§

B)

E)(V3+2)f

(i/5 + l ) y

C) ( V 4 + l ) f

además: LE = 2 (TE) m AN =60°

(TE)2 R -r

= l

0m

31.- En una circunferencia cuyo radio mide 1/2 se ubican los puntos consecutivos : A, B, C y D. tal que AC = 'ó cm ; BD = 2 cm y m AB = m BC. Calcular la medida del

ángulo formado por AC y B D .


606 A) 50

B) 45

C) 30

D) 35

E) 20

32.- Según la figura, N es punto medio de arco BM y MH = 2 cm; calcular AB (B y M son puntos de tangencia)

36.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en el cual se tiene una circunferencia inscri ta, tal que "M" es punto de tangencia con BC, AB = 5 y AC = 13; calcular la potencia del pun to medio de MC respecto a la circunferencia.

A) 2 ^ 2

A) 25

B) 4

37.- En un triángulo equilátero ABC cuyo circunradio mide "R"; calcular la potencia de B con respecto a la circunferencia que contiene al punto C y a los puntos medios de AC y B C .

C) 4V2 D) 6

A)

E) 3v2

B) 26

J R2

D ) |tf

33.- Se tiene una circunferencia de centro O y radio V5 + 1, por un punto 1 xtenor P, se trazan la s^xante PBA y la tangente P E , si PE= AB = 2; calcular«! 4 1 POB. A) 18

B) 30

C) 36

D) 72

E) 45

34.- Dadas las circunferencias tangentes exteriores de centros 0 ( y 0 2, por O, se tra («-> zan las recta L j y L21L j -L L , I de rnodo que «-» Lj es tangente a la circunferencia de centro 0 2 en T y L2 intersecta la circunferencia de centro 0 [ en N y M, calcular Pot(M /02), si MN = 10« y además Pot ■M /02) < Pot (N /02).

2

A) 48 u

B)49ü

D )5 1 m2

E ^

2

C) 50 w2

k2

35.- En un cuadrante AOB circunferencia de centro O'. de ésta, si la potencia de O' cunferencia que contiene (2V2 + I )cm2.

I

Ernesto Qulspe R.

A) 5 cm

B) 4 cm

D) 2 cm

E) 1 cm

C) 3 cm

D) 28

2

B )| R

E) 29

C)^R~

E ) |f l 2

38.- En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H" y circuncentro "O", se traza la altura AB. Si la distancia de "O" a AC es 2 y PH = 1; calcular la potencia de "P" con respec to a la circunferencia de centro "O”. A ) -2

B) -3

C )-^

D) - 4

E) -5

39.- Los radios de dos circunferencias de cen tro "O" y "O"’ miden 5 y 3, además OO' =10. El eje radical de estas circunferencias intersecta a una tangente exterior común en "F"; calcu lar "OF". A) 5,3

B) 6,5

C) 7

D) 7,36

E) 8

40.- Calcular la potencia del centro radical de las tres circunferencias mostradas, con res pecto de una de ellas. R~

A )está inscrita una Calcular el radio respecto a la cir al cuadrante es

C) 27

B )-f

2

R J2

C )D)

El

E)

▼

4

2

2

R

Una región triangular es la reunión del triángulo con su interior. En la Fig.18.1 a la región triangular ABC esta .epresentada por toda la superficie rayada i incluyendo los lados del A ABC). Así pues la región triangular es una superficie cuya área se calcula com parándola con otra superfi cie que sirve como unidad de m edida (generalm ente el m , cm2 , etc) En adelante, para abreviar nos referimos al área de un triángulo, cuadrado polígono, etc. En cada caso entendem os desde luego, que se trata del área de la región correspondiente.

lif.2 FÓRMULAS PAR¿» tiALLAR EL ÁREA DE UA-t LEGIÓN TRIANGULAR A) Área de un Triángulo Cualquiera :

El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto, entre las longitudes de un lado y su al tura correspondiente. En la Fig. 18.2a, si A representa el area del A ABC, se cumple : A=

... ( 18. 1)

O bservación : El hecho que la altura sea exterior al triángulo, no impide que la fórmula se cum pla así también. A=

b h

... ( 18.2 ) Fig. 18.3


608

Ernesto Qu.spe R.

b) Área de un Triángulo Rectángulo :

"El área de un triángulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos". En la figura se cumple : AB BC

A — ----- o-----

... (18.3) Fig. 18.4

C) Área de un Triángulo Equilátero : C

"El área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud de su lado multiplicado por V3 . En la figura siendo T la longitud del lado y ”h" su altura, se cumple que :

-30° 3 0 ^

1/

h

\ /

,2

a = nS.

A

4

.. (18.4)

Á 60° A

También :

A = h?j3

i

60 P\ B

/

Fig. 18.5

...(18.5)

D) Área de un Triángulo en Función de sus lados :

(Fórmula de Herón)

El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada de un producto cuyos factores son el semiperimetro y el semiperimetro m enos cada lado. Sea "p" el sem iperim etro del A ABC, es decir a+b+c ,

P = ----- ^— , luego :

A=

p (p

á)(p -6 )(p -c )

...(18.6)

E) Área de un triángulo ei> función de dos lados y del ángulo comprendido (Fórmula Trigonométrica)

"El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos lado» multiplicado por el seno del ángulu que estos forman". En la figura :

A= 2

I

AB . AC sen 0

(18.7)

Luis ( ‘boldo C.

Áreas de Regiones Triangulares

609

F) Área de un Triángulo en Función del Inradio :

"El área de un triángulo es igual al producto de su semiperimetro y su inradio”. Sea V la longitud del inradio y p el semiperi metro. Luego : A=pr

...(18.8)

G) Área de un Triángulo en Función del Circunradio :

"El área de un triángulo es igual al producto de sus tres lados dividido por cuatro veces el cir-cunradio". En la figura, R es circunradio. Luego: A = a ikC

.( 1 8 .9 )

H) Área de un Triángulo en Función del Exradio :

"El área de un triángulo es igual al exradio refe rente a un lado multiplicado por la diferencia entre el semiperímetro y dicho lado". Sea r la longitud del ex-radio relativo a AB. L uego: A = r c( p - c )

. . .( 1 8 .1 0 )

I ) Área de un Triángulo en Función de los tres exradios y del inradio :

"El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de los tres ex - radios y el inradio". En la figura, ra , rb y r son las longitudes de los ex-radios y r del inradio. Luego: A = 7 r ra rb rc

— (18 -11)

Fig. 18.11

610


J) Area de un Triángulo R ectángulo : (Fórm ula Especial)

"El área de un triángulo rectángulo es igual al pro ducto de las longitudes de los segm entos determ ina dos por la circunferencia inscrita sobre la hipotenusa". De la figura, se cu m p le: A = AH . HC

.( 1 8 .1 2 )

18.3 PROPIEDADES a) Área de un triángulo equilátero en función del inradio y del circunradio. .. . ( 1 8 . 1 3 )

>W > = ¿(AABC) =

4

. ..( 1 8 .1 4 )

^

Donde : r : Inradio

;

R : Circunradio

Además se cumple que : tf = 2 r y B H = | f l

...(1 8 .1 5 )

b) El área de un triángulo conociendo dos lados, es rnaxima cuando el ángulo formado por estos lados es recto, en efecto se sabe que : W

) = 2 ab sen0

De donde será máxima si sen 0 es máximo, es d e c ir: sen 0 = 1 por lo tanto 0 = 90. c ) Particularmente para un triángulo rectángulo su área en función del inradio y la hipotenusa, esta dada por la fórm ula: =V> + r \ r

..(18.16)

Ernesto Quispe R.


Luis Ubaldo C.

611

d) El área de un triángulo rectángulo ABC en función de los exrad'os relativa a los catetos ra y r. esta dada p o r : ^(AABC)

r« ' r c

...(18.17)

A

C

e) Para un triángulo rectángulo ABC (m < B = 90°) d¿ inradio r y exradio relativa a la hipotenusarb, el área esta dada p o r: ■^(a) ~ r r b

■" (18.18)

Fig. 18.17

0 De la figura si .f es tangente a la circunferencia "A" es el área del A ABC a , b y c las longitudes de sus lados se cu m p le:

SIL á a '+ t b '+ c c 1

. .. (18. 19)

g) Area de un triángulo en función del circunradio y de sus alturas.

A = ] I Í R A V 'c

...(18.20)

tig. 18.19

h) El área de un triángulo acutángulo ABC es igual al circunradio multiplicado por el semiperimetro de su triángulo pedal. A = p (A M M ) x R

...(18.21)

b ___ \ (m /

n

\

t

ri A \j Fig. 18.20

612


Ernesto Quispe R.

i) Área de un triángulo en función de los lados y de las alturas.

A = 2 3J abchf hbhc

... (1 8 .2 2 )

j) Área de un triángulo en función de un lado, del inradio y del exradio referente a dicho lado. a r r

... (18.23)

A = ---------?-

ra - r

k) Área del triángulo tangencial

■^(A MNP) =

ABC)

2fp

...(1 8 .2 4 )

I) Relación entre las área de los cuatro triángulos tangenciales del A ABC

Fig. 18.24

Luis Ubaldc C

Areas de Regiones Triangulares

613

€J€RCiCIOS 0 € APLICACIÓN 7.-t n un triángulo AttC :A C = TUy la distancia del punto medio de BC a AL' es 4 . Calcular el área de la región triangular ABC.

Resolución Trazamos la altura BH del triángulo, luego: _ AC-BH _ 10BH (ABC) 2 2 ■îabcj = 5

bh

.-(* )

En el Ex BHC, MN es Base m edia de donde : BH = 2 MN = 2(4) = 8 Sustituyendo en (*) :

S (ABC) = 40

2.- Calcular el área de una región triangular regular sabiendo que esta es numéricamente iaual a la longitud de su altura.

Resolución.Sea “S" el área de la región triangular regular ABC. Luegn.

5 =^ ^

Por condición del p roblem a: S = h Sustituyendo (2) en (1) :

S=? ^

Resolviendo :

S = -/3

...(1) .

(2)

3.- En un triángulo rectángulo ABC: m 4- B = 90; se traza la altura BH . Si a H = 2 y HC - 8; calcular el área de la región ABC. iio - J R esoludón.-

Sea "S" el area pedida, lu eg o : 5= En el

AC-BH

5 = 5 BH ... (1)

ABC : (BH)2 = AH . HC

(BH)2 = 2 . 8 = 1 6

=*

Reemplaza! ido (2) en (1) :

BH = 4

... (2)

S = 20

/i

Probl 'tras de Geometría y cómo resolverlos

614

Ernesto Quispe I ’

4.- Del gráfico adjunto, calcular el área de la región ABC, si m AB = 120.

1? , P- i* Resolución.En la semicircunferencia se tiene : m 4 ABC = 90 y m 4 ACB = 60

En el

ABC:

AB = /?V3 y BC = /?

Luego el área S de la región ABC será : C_(/?V3)(/?)

¿

2

-•

c _ R 2j 3

*

2

5.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en ú , el radio de la circunferencia inscrita mide 4 y m 4 C = 37. Calcular el área de la región ABC.

Resolución.Ya que el triángula rectángulo ABC es de 37 y 53 , luego : AB = 3* ; BC = 4* y AC = 5* Luego por el Teorema de P oncelet: 3¿ + 4fe = 5A + 2(4)

=* k = 4

Sea "S" el área pedida, lu eg o :

5 = 96

3 6.- Las medidas de los lados de un triángulo son 13, 14 y 15. Calcular el área de la región triangular correspondiente.

Resolución.Empleando ¡a fórmula de Herón se tiene ; 5 = V p (p -a )(p -6 )(p -c ) to u 1A ir 13 + 14+15 n1 D onde: a = 13 ,D = 14 , c = 15 y p = ------^------ = 21 Luego :

S = ^21x(21-13)(21-14)(21-15)

5 = > /7 x 3 x 8 x 7 x 3 x 2 = V72 x 3 2 x 4 2 S = 84

15


Luis Ubaldo C.

615

7.- Las longitudes de los lados de un triángulo son 4 ,6 y 8. Calcular el radio de la circunfe rencia inscrita.

Resolución. Sean "r": m edida del inradio del A ABC S

Luego : S = p . r

a

S : área de la región triangular.

_

/s .

f e

Por fórmula de Herón: S = Jp ( p - a ) ( p - b)(p - c) ,

Reemplazando en Como :

Jp íp -aX p -b X p -c)

: r = ----------------—--------------

a = 4,¿> = 6 , c = 8 y p = 9 _ V9-5-3-1

Se tiene

r =

-/Í5

8.- En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y CN que forman un ángulo de 150e; calcular el área de la región AGC, si AM = 9, CN = 1 2 y AM n CN = {G}.

B

Resolución.Sea "S" el área de la región AGC. Luego :

S = \ (AG) (GC) sen 150 = j (AG) (GC) |

5=

(AG)CGC) ...

(*)

Ya que "G" es baricentro del A ABC, entonces : AG = | (AM) = | (9) = 6

y

GC = | (CN) = | (12) = 8 Sustituyendo en (*) :

S=

6x8

S = 12

9.- Las longitudes de los catetos AB y BC de un triángulo rectángulo ABC, son 6 y 8. Cal cular la longitud del radio de la circunferencia ex-inscrita al triángulo y referente a BC.

Resolución.Sean: ra

-> longitud del radio de la circunferencia es-inscrita

S

—» área de la región ABC

Luego :

S = ra (p -a ) ... (*)

^ Donde :

„ 6.8 6+8-*-10 S = —y - = 24 ; p — ----------------- ^---------- = 12 y a = 8

616



Ernesto Quispe R.

24 = r&(12 - 8) ra = 6

10.- Las medidas de los lados de un trjángulo son 13, 14 y 15; calcular la medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Resolución.-

«¡

—

Sea "S" el área de la región ABC y "R" la longitud del circunradio, luego ■ 13-14-15

¿

- U

El área S la calculamos, em pleando el teorem a de Herón : S = ^21 (21-13) (21-14) (21-15) = 84

Sustituyendo en (*) :

84 =

13x14x15

* 11.- En un triángulo A B C : AB = 5, BC = 6 y AC = 7; calcular la lonpitud del radio de la semicircunferencia inscrita en el triángulo de modo que su diámetro descansa so bre BC.

Resolución.Sea "A?" la longitud del radio de la semicircunferencia, luego : OT = R y OS = R. Al trazar AO la región ABC queda dividida en dos regiones triangulares ABO y AOC, cumpliéndose q u e : ' ’ABC

= js AOB ■+ s AOC

V9(9-5)(S-7)(9-6) =

I

f

+

Luis Ubaldo C.


617

M iS C €lA M €&

1.- En la figura, hallarla razón de las áreas de las regiones triangulares ABC y MTN. ]

Resolución.Hacemos :

AM = AT = a

y TC = CN = b

Luego por propiedad:

-

También : SMTN :

5,„., = a .b MTN

Dividiendo (1) entre (2) :

ABC 5MTN

( 1)

- (2)

a.b a.b = 1

’MTN

N

2.- Si ABCD es un cuadrado y los triángulos DPC y AQD son equiláteros. Si QC = 2 , calcular el área de la región triangular PBQ.

Resolución.-

B

En primer lugar observamos que PB = QB = 2 = PQ Además los triángulos DPQ, DQC, CPB y BAQ son con gruentes, entonces el A PBQ es equilátero. En consecuencia.

S= S = y /3

U2

618


Ernesto Quispe R.

3 - Hallar el área de la región triangular mostrada, O _ 4 y BL = 5 s ¡i .: AOL

Resolución.Es importante recordar este triángulo rectángulo : 5tr/2

fñ

En el cual sen 8 = - ~

En el gráfico del problema observam os el triángulo OEF, en donde el á r e a : S=

10-^2-12-sen8

S = \0J2 . 6 . — ■

S = 12 u 2 4.- Calcular "S " ; s i : A = 2 m2 y B = 10 m2 .

Resoluclón.□ cuadrilátero PMOQ es un cuadrado, e n to n c e s: E nlafigura: SMQN =

... (1)

Tam bién:

... (2)

SpoQ = a^ - =

M1

D e ^ y (2 ):fMON=fpOQ A + W + B =5y+ W Reem plazando: S = 2 + 10

OM = OQ = PQ = PM = a

5x = A + B

a

\0

^ B

a

-q

nH

1

a''"--.

S = 1 2 m2

N

I

T


Luis Ul >aldo C.

5.- Calcularei área de la región triangular AMO', si el área de la reyiu i triangular OO B e s ^2 /n2.

Resolución.-

x = aJ 2

Por propiedad :

xb

c

Como :

S = abJ2/2

Luego :

ab = 2^2

Pero : En consecuencia :S =2^2 . J2/2

S = 2 m2

6.- Si HB = C D y BC = 8m; hallar el área de la región ABC.


BH = CD = a

Por Teorema de la Tangente :

8 = a ( a + b ) ... (1)

Pero:

SABC = (1a +b)a ... ( 2)


5ABC =

7.- En la figura:

OA = OB = 6m y

AN = NB.

Hallar el área de la región OPM.

; OM = MB

619


620

Ernesto QuispeR

Resolución.-

Trazamos: En el A OPA: También en el

PH _L OA AH = 2a . HP = a OHP :

= OM-OH 2

OPM

Reemplazando d a to s :

a = 2

OH = HP = a s

L uego:

3a = 6

SopM = 2_2 g

8.- En una circunferencia se inscribe un cuadrilátero ABCD. Si AB = 2 m , BC = 4m , hallar el área de la región triangular ACD, sabiendo que ACD es equilátero.

Resolución.Prolongamos AB y luego trazamos CH perpendicular a dicha prolongación. Luego el E\ BHC es notable, en el cual BH = 2 y HC = 2 J3 . En el

AHC :

a 2 = (4)2 + (2 V3)2 a 2 = 16+ 12

Pero:

S = a 2 J3

Reem plazando:

S _ 28J3

=> a 2 = 28

S = 7V3 m2 9.- En un cuadrado ABCD, sobre BC se construye el triángulo BEC recto en E. Si B E = 6m; hallar el área de la región triangular ABE.

Resolución.-

p

Prolongamos EB y luego trazamos AH perpendicular a dicha prolongación. Luego : Entonces :

BEC =

AHB

BE = AH = 6 m

En consecuencia: SABE = ■SABE=18#n2

(A.L.A.)


Luis Ubaldo C.

621

10.- Hallar "S", s i : m . n = 18 m * .

¡ Resuiución.S abem osque:

SABC = •••

También :

AM = AN

=>

i

a -n + c = m a + c= m + n

=>

F,levando al cuadrado este últim o: (a + c)2 = (m + rij2 => a 2 + c2 + 2ac = m2 + n2 + 2mn

,

En el

a 2 + c2 = (m - n )2

a 2 + c2 = m 2 + n 2 - 2mn

¡

i i i i

ABC :

... (2)

<

2ac = 4 mn

De (2) y (3) :

=>%■ = mn z Reemplazando este último en (1) : SABC = m .n

En consecuencia:

SABC = 18 m2

I 11.- Los lados congruentes AB y BC de un triángulo isósceles ABC miden 497 . Se trazan la mediana AM ; calcular el área del triángulo ABC, si m 4- MAC = 37-.

Resolución.Trtzamos la altura - m e d ian a: BH , luego en el Eí\ AHG . G es baricentro, entonces : BG = 2 (GH] = 6 k. En el ^ BHC :

(9 k)2 + (4 k )2 = ( J s f f

=»

B h= l

Sea Ax el área de la región ABC, luego : A = (AC) (BH) = (8ft) (9ft) = 36ft2 x

A = 36

2

2

AH = HC = 4 k y GH = 3 k


622

Ernesto Quispe R.

12.- Dado el triángulo ABC, en el queAB = 5. Las medianas por A y por B son perpendicu lares y el área es 18; hallar: BC

Resolución.Ya que BM es mediana, entonces : Area (A AMB) = A Area (A ABC) 3 ^ 3 = 1 (18) => aft = 3 En el

AGB : 4 (a2 + b2) = 25

De (1) y (2) :

a = 2 y fc = |

En el

^ ) 2 = a 2 + (2b)2

NGB :

... (1) ... (2)

( f f = 2 ’ + 3’

x = 2-Jlü 13.- Según el gráfico; calcular el área de la región triangular CD3 . S i : A L / / B C , AC = 2 , O C y BD = 6m.

Resolución.En el

OCB

o - 37

~2~

El ^ DHB es isósceles : Pero: Enel&ÂNC: Por d a to : Entonces : L uego:

DH = HB = 3^2

NC = HB = 3^2 . AN = 72 yAC = 2V 5. AC = 2 . OC OC - -JE ; OB = 3^5 y CB = 5^2 . S = 5>/2 3^2 S = 15 m2

I


Luis Ubaldo C

14.- En la figura mostrada; hallar el área de la región trian gular APF, s i: P F = 4m

y

Q% = | F

Resolución.FO r. Por d a to : Qg = y ; luego, si FQ = 3a => QB = 7a En la figura observamos que el ¡i\ FQB — =>

FAM

AM = 7n y AF = 3/i

Pero ABNM es un cuadrado, entonces : FB = 4n

y AM = BN = 7n

Finalmente Ei^. APF ~ Ei^. NBF : En consecuencia :

SAPF =

=> 2

x = 7

SA pF=14m 2

15.- En la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada. S i: R = 5 m , C F= 3 m. Siendo E, F y Tpuntos de tangencia.

Resolución.Trazamos OE, OT y OC, luego OEBT es un cua drado donde : OE = OT = BT = BE = 5 El

CEO es congruente con el ¡i\ ABE, entonces: AB = CE = a = 3

Luego ■

(3) (3 + 5) SACB = ----- -----' acb

\

12 m

623


624

Ernesto Quispe R.

16.- Si ABCD es un cuadrado y APQ es un triángulo equilátero.

S/

Hallar ~c~ . *2

Resolución.Hagamos : AQ = 2a , luego : PH = a Del gráfico:

S, =

... ( ] )

c _ na 2 —

- (2)

2

Dividiendo (l) entre (2) :

5

_ 2an

So

an

-ir- = 2

17.- Calcular el área de la región sombreada. Si B M= 2 m y M N = 3 m . ( N : punto de tangen cia).

Resolu ciofi.En el Eí\ PBQ, por el 2do Teorema de la Bisectriz Interior: 22 = PB . BQ - PM . MQ Pero: PM . MQ = (2) (3) (Teorema de las Cuerdas) =>

p

PM . MQ = 6

Reemplazando: 4 + 6 = PB . BQ PB.BQ io _ _ 2 2 c También :

I

5 m2 =

= 5 m2 (PM+MQ) (2h)

h (PM + MQ) = 5 m 2

... (1)


Luis Ubaldo C.

Por otre lado :

SAPM =

Sumando:

y SMnr = MQC — =

625

MQ-3/i 2

2h (PM + MQ)

... (2)

Reemplazando (1) en (2) : SAPM + SMQC = y m 2 Finalmente el área pedida será :

S = SPBQ + SAPM + SMQC L5 2 S = 1 2 ,5 m 2

18.- Hallar el área de la región triangular 0 P 0 1. S i: OP = 4, P 0 1= 7 y m AB + m E F = 120

Resolución.Sean : m AB = a y m EF = 0 => a + 0 = 120 m 4L A = 9 0 - ^

En el A EO,F :

m 4 F = 90 - f

E nelA A PF:

90 - ^ + 90 -

=>

m 4 P=

®lesí

EnelAA OB:

f +™4

P = 180

= 60

Luego em pleando la fórmula trigonom étrica: S = 7 j3 19.- Si O es centro y además T y Q son puntos de tangencia; calcular el área de la región triangular TQB. S i T Q . B Q = 4 m 2.

626


Ernesto QuIspeR.

Resolución. -

Trazamos la semicircunferencia correspond.ente de diám etro BE, por propiedad los pur.tos E, T y Q son colineales. Luego la m 4- TQB = 90° oEn consecuencia:

cS = TQ.QB g

Poro por dato : TQ . QB = 4 m2 c - 4m

Reem plazando:

*

~

2

S = 2 m2 20.- Hallar el área de la región triangular OFC, si el lado del cuadrado ABCD mide 8m.

Resolucii >n. B

Trazamos por "O”, QH perpendicular a BC, luego en el Eü\ OHC de 45°. S i:

OH = a => HC = a y BH = 2a O

2a

En consecuencia :2a + a = 8 =» Q = 3 En el ^ EDM de ^

F — |— H

Como DM = 4

ED = 2

De donde :

AE = 6

A dem ás:

QO = QH - OH

QO = 8 - 1

Q O =^

De la semejanza de los triángulos EAO y OCF, se tiene :

Finalmente :

ba

S --y A -

^

S= 4

¿>8/ 3 -g =

b =3


Luis Ubaldo C.

627

21.- En la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si AOB es un cuadrante, OA = OB, m 4- DCO = 37/2 y AO = sJlO.

Resolución.En primer lugar trazamos DB y luego OD

En el

DHB , si : HB = a

En el

OHD de 37 y 53 :

Pero: De donde :

DH = 2a OH = ^

OB = 5VÍ0

=>

+ a = 5VÍ0

a = 2VÍ0

En consecuencia el área S será :

S=

DH-OH

(2 oí

(¥ )

S = 3a Sustituyendo el valor de "a" :

c _ 3(^yÍ0)2

Finalmente :

S = 60

22.- En un rectángulo ABCD, con diámetro AD se traza una semicircunferencia tangente a BC en "T". AC intersecta a la semicircunferencia en "M“ el cual dista del lado BC 1m; hallar el área de la región triangular ABM.

628


Ernesto Quispe R

Resolución.Por ángulo exterior:

53 _ ün rn MT 2 - yu - 2

m MT = 37

5

37 Por 4- semi inscrito :m 4- NTM = y En el

TNM :TN = 3

En el

MNC :NC = 2

Luego :

BT = TC = 5

Además :

AB = 5

Finalmente :

S - —

S = 20

23.- Calcular e l área de la región triangular QTM. Si R = 6m, además : Q , T y O son puntos de tangencia.

Resolución.Rf cordemos la propiedad : Reem plazando:

'-f -I 3

También :

2a = 2 Jr ■R/2 2 2

Además .

h =4 S = 3 / 2 m2

24.- En la figura, A F = 2 m . Siendo P , Q y F pun tos de tangencia; calcular el área de la re gión triangular AFB, si "O" es centro.


Luis Uhaìdo C.

629

Resolución.En primer lugar, los puntos A, P y Q son colineales. Por el Teorema de la Tangente en la circunferencia m en o r: 22 = A Q .A P

=> AQ . AP = 4

...(1)

Por el Teorema de la Secante en el cuadrilátero inscriptible HPQB : AQ . AP = AB . AH ... (2) Pero:

AM = EB = h

L uego:

h2 = AB . AH

De (1), (2) y (3) :

h2 = 4

En co n secuencia:

... (3)

=> h = 2

5 -= 2 i l B S = 2 m2

25.- Calcular el área de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2>Í5 m. Siendo "M" punto medio de AD.

Resolución.En el

BAM : AB = 2^5 y AM = -^5

Entonces:

m 4 ABM = y

37

y m 4L MBD = ~

Prolongamos BM hasta cortar en E a la prolongación de CD, luego al completar la semicircunferencia esta pasa por E y en consecuencia m 4_ ELC = 90 37 En el cuadrilátero inscriptible BLMC; m 4- LCM = - y En el

AHC :

( 2 ^ ) 2 = a2 + (3u)2

10a2 = 4 .1 0

a2 = 4

Luego :

25 = M

2S = (2)2

25 = 4

a =2 =

a 2 S = 2 m2

Probiemas de Geometría y cómo resolverlos

630

Ernesto Quispe R.

26.- Si AH = BC y BH = 4 m ; h allar: SB D C

Resolución. Por própíedad: BD : bisectriz del 4 HBC, entonces : Por el Teorema de la Bisectriz : En el ÉL ABD : Pero e l :

42 = ab _

m 4- HBD = m 4 DBC = G

HD = DQ = b

...(1)

ab

Sbdc= T

Rtem plazando (1) en (2) :

SBDC = 4>-

27.- Hallar el área de la región triangular mostrada, s i . R = J 2^3 + 2 .

Resolución.Trazamos EH _L BN , entonces los triángu los rectángulos EHB v CHN son notables, en el cual EH = HB = a y HN - a J3 . Luego :

S

NEB

_

(6voV 3)(o)

5 neb= % Í ^ + 1) Por d a to : Pero:

(1)

R = -J2\Í3+2 a + a-J3 = ^2^3 +2 a(J3+\) = J J 3 -


1

. J(J3+\f

a=

a[J 3 + l J ... ( 2)

=

-JJ3- 1 . (i/3+l)

Luis Uboldo C


s

NEB

= i-----2

631

• (J3 + 1)

_ (7 3 -0 (7 3 + 1 ) NEB

2

SNEB

2

1m

28.- Hallar el área de la región triangular PQT, si : fí = 6m.

Resolución.Por 4 inscrito :

90 m 4- QPB = y = 45

En el k MTB :

TB2 = 92 - 32

Por el Teorema de Thales :

=> = g

b=

2J2

En el A PQB : Por el Teorema de Euclides :

B

2)2- 2h (8>/2)

\2 rrx2 (6V2)2 = ( h J l f + (&J

0 = h z - & J ¿ h + 28 4 = h 2- S J 2 h + 32 4 = (h - 4 J

2)2

=>

2 = h - 472

h = 2 + 4 72

Luego :

c

= ¡Lh

PQT ‘

2

2J2-{2 + 4J2) PQT _

2

SpQT = 2 7 2 (1 -2 7 2 )

632


Ernesto Quispe R

29.- Hallai "S ", si f í= Je u .

Resolución. En primer lugar observamos que el E^ AEQ = E^ BFQ, entonces: SAEQ = '$ FQ = S Por otro lado los puntos E, Q, T, B y los puntos A, Q, F son colineales Además la perpendicular FH pasa por el punto de tangencia "T”. Por propiedad:OH = R/ 3 (Relaciones Métricas) Luego :

FH2 = h2 = (R +

h2 -_ Rp 2 h En consecuencia:

R2

- - g -

( / ?- &

R2

_ -

8 - g -

S = SA._ - S,Av¿b rb o

2R-2J2R 3-2

c _ 2-J2R2 3

2RR-J2 "

2 2

J2R2

R

2

_ R2J2

3

2R 3

S=

S = >/2 u ‘ 30.- Hallar el área de una región triangular rectangular, si el cateto menor tiene 7m menos que el otro cateto y éste 1m menos que la hipotenusa.

Resolución. Según las condiciones del problema, tenem os ya la gráfica, en el cual por el Teorema de Pitágoras:

(a + l)2 = (a - 7)2 + a2

®

a2 + 2 a + 1 = a2 -14 a + 49 + a2 0 = a2 - 16 a + 48 12

a -^ ^ -

I

4


Luis Ubaldo C.

Factorizando :

0 = ( a -12) ( o -4)

Luego :

S = 12 . (12 - 7)/2

a = 12

S = 30 m2 31.- En la figura M, T y N son puntos de tangen cia, AMLN es un paralelogramo y Àrea (A ABC) = 80m 2 ; hallar el área de la región trian gular NTC.

Resolución.Ya que AMLN es un paralelogramo, luego : AM // ÑL

=> ÑL ± BC

Áreo( A T N C ) = ^ a Área

...(1)

ABC) = ab (Prop.) => ab —80


... (2)

Área (A TNC) = 40 m 2

32.- Si "E" es excentro del triángulo ABC; hallar: MEN > S ¡ ■ S PBM + S ONC = 2 4

Resolución.Sabemos por teoría que :

Luego :

S A PF =

(P * O) • ^

SAQE= ^ - ° > Sumando : Entonces : Pero : Igualando :

APE + S a q e = ( P - o ) r K APEQ

= (p - a) ra

ABC

= (P - a) r

SAPEQ = SABC

633

634


Podemos h a c e r: v

+ SMEN

-Vpmnq + ^ pbm + ^ qnc

Ernesto Quispe R.

9MEN = 9 PBM + 9PBM + SQNC

5 MEn = 2 4 # n 2

33.- Calcular el área de la región triangular ABC, s i : MN = 6 ; MC = 2 y BH = 3 ("B" punto de tangencia).

Resolución.A1 t.azar NB, resulta: m 4 MBN = 90; adem ás por 4- inscrito: m MB = 2 0 y m 4 MBC = 0 El cuadrilátero ANBC es incriptible, en el cual la m 4 CNB —m 4 MBC = m 4 BAC = 0

Luego :

ANBC ~ A BMC

=> a2 — 16 => a En consecuencia:

c

4-3 2

ABC

S

abc

=

6uZ

34.- Hallar el área de la región triangular OP3, en función de r y R.

Resolución.La altura deí triángulo OPB es el diámetro PH = 2r , de la circunfe rencia menor. Luego el área de la región triangular OPB es : c O PB

_ R-2r 2


Luis Uboldo C.

635

35.- Hallar el área de la región triangular MNC, si MN = J2 .

Resolución.Trazamos MH _L BN , el MHN es no table y el BHM tam bién, en el cual : HN = 1 ; HM = 1 ; BH = 2 Luego :

BN = AB = NC = 3

Prolongamos AN y luego trazamos perpen dicular a dicha prolongación, en el c u a l: CQ = 3 ->/2/2 En co n secu en cia:

SMNC =

/o 22

Smnc=

1’5 u 2

36.- En un triángulo ABC, la distancia del incentro al baricentro es paralelo al lado AC, si el exradio relativo a AC mide 8m; hallar la longitud del inradio del triángulo ABC.

Resolucfón.En el A ABC, por el Teorema del Incentro jj=j = pero por dato : IG // AC . Entonces :

B1 BG 2 ID - GM ~ 1 = 1

L uego:

t>

Además :

SABC = p. r = ( p - b ) r b

R eem plazando:

(2&+ &)

^

o + c = 2b

= | 2¿>+ fr

2¡L r — h. 8 2 'r 2 8

r= &

g

636


Ernesto QuIspeR.

37.- Calcular el área de un triángulo cuyos ex radios miden 6 ; 12 y 28 m.

Resolución.Sabemos que si SABQ = S , entonces : S = r^(p - ó) \ S = rb{p - b) \ S = rc (p - c) y S = p . r Sum ando:

5 + S n, #k

Luego : Reemplazando valores : Pero tamoién :

38.-Si los radios de las circunferencias mi den 3 y 4; hallar el área de la región sombreada.

Resolución.Con 'os inradios 3 y 4 de los triángulos rectán gulos AHB y BHC, se llega a un triángulo rec tángulo ABC notable aproximado de (53° y 37°). Analizando: AP = AT = 6 ; QC = RC = 12; PB = 9 ; BQ = 8 y m 4- PEQ = 45° Luego analizanoo también llegamos a :

P E = 3^ 5

y q e = 2S M

t

En consecuencia: c L 33i/5 26-t/fo ¿ peq “ 2 " —5 ~ ' 5

^PEQ =

cpn 4^° n

C

Luis Ubaldo C.


39.- En la figura : AB = BM, O y L son centros área (A BOL) = 20m 2 ; hallar el área (A OMC)

R esoludón.En el

ABM, isósceles : BS ± AM , adem ás : AS = SM

Sea V el inradio del Del dato : Péro :

ABC => OB = r -J2

Área (A BOL) = 20 =

LT =

J2

De donde :

=> 20 = ^ /•. SL = 40

2 ... (1)

Nos piden : Área (A OMC) = i4x = MC.r Pero para el A AMC : SL es base media De donde :

i4x = *

z

MC = 2 (SL) = SL . r

... (2)

Finalmente de (1) y (2) : Ax = 40 m 2 40.- Calcular el área de la región sombreada, si A y M son puntos de tangencia y PB = K

Resolución.Por propiedad....

4

m 4 PAM = m 1 MAT = 45°

En el cuadrilátero inscriptible PAOM : m 4- OPM = m 4. POM = 45°

=> PM = OM = h

637

638

Del gráfico : En el

Ernesto Qulspe R


Área (A POT)

PBT :

=

Ax =

(PB)2 = b . h

Sustituyendo (2) en (1) : Ax =

... (1) =>

b . h = K2 ... (2)

i/2

41.- Siendo ABCD en cuadrado y PO = 1; hallar el área de la región triangular APL.

Resolución.Trazamos AT , CT y CH 1 TD Luego : m 4 ATP = m 4- PTD = 45° CT = CD y TH = HD = í p ^ CHD = k . ATD (A.L.A.) =>

En el

AT = HD = ^

ATD :

De donde : En el

m 4 BAT = 5 3 /2 y m 4 TAQ = 37/2

ATQ; por el Teorema de la Bisectriz :

Trazamos PS jL AL, luego en el EK ASP de 4 5 ° : E n e l^ P S L d e ^ : Luego el Área (A APL) :

= y

=>

AP = 3

AS = PS = $¡J2 SL = ^ (2 ^ ) =

AL • PS ^ — ^— = -------- 2---------Área (A APL) = 3 |i2

r

ir


Luis Ubaldo C

639

42.- Sobre los catetos AB y BC de un triángulo ABC se ubican ios puntos M y N respecti vamente de modo que el triángulo MBN y el trapezoide AMNC son equivalentes e isoperímetros. Si AB = 3 y BC = 4; caicular MN.

Resolución.Por ser equivalentes el triángulo MBN y el trapezoide AMNC, se tiene que : Area (Eí\ MBN) = ^ 1 2

Área

ABC)

(3-4) 2

ab = 6 ... (1)

Por ser isoperím etros:

a + b+ x = 3 -a lx

ab

2

a +b= 6

=>

Elevando al cu ad rad o : a 1 + b2 + 2ab = 36 Pero:

a2 + b2 = x2, luego : x2 + 2ab = 36 ... (2)


x2 + 2 (6) = 36 x = 2yÍ6

43.- En ia figura mostrada "O" es centro y BP = a; hallar el área de ¡a región triangular AOB.

F^ o lu c io n.Sea >4x , el área del A AOB entonces Área (A OBL) = Ax , de donde : Área (A ABL) = 2 ¿ x =

... (1)

Por la semejanza de los triángulos AMB y LBN, se tiene : =>

AB . BL = BM . BN

En la circunferencia O ': (PB)2 = MB . BN L uego:

A B . BL = a2 2

Reemplazandc i (2) en (1) : 2Ax =H¡A = aA»

4

... (2)


640

Ernesto Qulspe R

44.- Del gráfico mostrado; calcular la suma de las áreas de las regiones sombreada, si O es centro, P y Q son puntos de tangencia, AB = 2 (AO) y el área de la región triangular ABC es "A

ResoIuc8ó i Sean las áreas de las regiones APO y O Q C ,^ y A2 respectivamente; nos piden : A] + A2 Sobre BQ ubicamos el punto K de m odo que: OK = OA = o , luego OQK = APO De donde Área (¡i\ OQK) = A} y el área de la región OKC, lu eg o : —- —a)

a

(r’ropiedad)

A At + +A A2 = — 4 45.- Del grafico mostrado, hallar el área de la región triangular EFG.

Resolución.Con respecto al triángulo pedal EFG, I es el incentro, además A, B y C son sus excentros, luego^ => luego :

^

^

B

^ (Propiedad)

r= 1 Área (A EFG) = ■ N/0)(2)(3)(6) Área (A EFü) = 6

~w


Luis Ubaldo C.

641

46.- Las medidas de los lados de un triángulo forman una progresión aritmética de núme ros enteros; hallar su área si es numéricamente igual a su perímetro.

Resolución.Consideremos que sea V la razón de la progresión aritmética formada por los lados del triángu lo de área A, luego : Perímetro = (o - r) + (o) + (o + r) = A

A = 3o

=>

... (1)

Por fórmula de herón :

14* \í¥ ( ¥ - ( “- r)] í¥ - “)(¥-<,i+r)] - 12> De (1) y (2) : De donde :

3o - „ ) ( § - , ) + r)

= 12

Como las m edidas de los lados son núm eros enteros, tam bién la razón r. Luego : ( ^ + r) y [ ^ ~ r) son pares de donde : Com parando:

^ +r = 6

Resolviendo:

o =8

=>

-t- r) ( f —^) = 6 x 2

^ - r = 2 A = 24

47.- Dado el triángulo rectángulo ABC recto en B. La circunferencia inscrita toca a los catetos AB y BC en E y F ; hallar el área de la región triangular PEF, si el área de la región cuadranguiar AEFC es 40. (P es excentro relativo a AC).

Resolución.Sea Ax , el área del A EPF, lu eg o :

¿4x =

Pero EF = r J2 (r : inradio) y PH = PB - BH = rb J2 - ^ J2 B L uego:

W 2 )(rbJ 2 - f J 2 ) *x =

De donde : Ax = r . rb -

...(1)

Área ( □ AEFC) = Área ( ¡ i \ ABC) - Á rea

40= r.rb- Y De (1) y (2) :

= r . r b- ^

EBF)

... ( 2)

A = 40

w

642

Pr oblemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Qulspe R.

48.- En la figura: AB = 13, BC - 14y A C = 15; hallar el área de la regióii sombreada.

Resolución.Observamos que los triángulos TKQ y aBC son semejantes, lu eg o : ^

...(1)

Donde A es el área de la región ABC y R su circunradio. El área A se calcula m ediante la fórm ula: A=y¡p(p-á)(p-b)(p-c) (Fórmula de Herón) Donde, para el p roblem a: p = I3 + H + 15 = 21 y p - a = 7 , p - b = 6

Luego:

A = V21-7-6-8

Por otro lado se sabe que : A = p . r

y p -c = 8 =>

A = 84

... (2)

=> =>

r=4

d _ aba _ 13-1415 4A " 4-84

A dem ás:

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1) :

gf =

A x = 20,35 u 2

m 49.- El área de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, es 24 u2 Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BFC; hallar el área del triangulo EBF.

Resolucion.Por d a to : ab

Área (ü \ ABC) = 24 u2

= 24

ab = 48

Al prolongar EB éste intersecta perpendicularm ente en H a FC , luego : A_ =

I

Q 2 . ab

= 12 u


Luis Ubaldo C.

50.- Hallar el área de la región sombreada, s i : AP = 4 yM Ñ //A B .

R e s o lu d ó n .-

De la semejai.za de los triángulos AMQ y ATM. Se tiene :

AT

AM

=>

CAM)2 = AT. AQ

Por el Teorema de la Tangente : (AP)2 = AT. AQ De donde :

AM = AP = 4

F.n el trapecio isósceles AMNB : AM = NB = 4 Finalmente : Ax = -rp

.4 = 8 u2

51.- En la figura mostrada hallar el area de la región sombreada. Si PQ = 3 y PR = 4 .

Resolución.En el cuadrilátero inscriptible APSQ: 17? 4- QAS = 17? 4- QPS = 45°, 177 4 APQ =177 4 ASQ = Q y m 4 PAS = m 4 PQS = a En el cuadrilátero inscriptible SPBK: 177 4 BSR = m 4 RPB = a "S" es incentro del Eí\ QPR, ya que PS es bisectriz y m 4 QSR — 135°.

Area (A QSR) ABC, por Poncelet : Sustituyendo (2) en (1) :

5.r = ^ ... (1)

3 + 4 = 5 + 2r = 2 ,5

643


644

Resolución.Hagamos A3 el área de la región pentagonal AMNLE. Luego : í43 + Ax = 2 Área (A AEQ)

Pero:

AE = p - a

=f>A3 + Ax = ( p - a ) r & ...(1)

A

De otro lado se conoce que el área de la región ABC es ra (p - a) Luego : D e ( l) y ( 2 ) :

A} + A2 + A3 = r&(p - a)

... (2)

A3 + Ax = A, + A2 + A3

Finalmente :

Ax =

+ A2

AX = 1 4 m2

53.- En la figura M , N y T s o n los excentros del A ABC, A 1. A2 . A3 = 27; calcular el área de la región ABC.

Ernesto Quispe R.


Luis Ubaldo C.

645

R esoludón.Porpropiedad:

BT = p - b , QC = p - c y AL = p - a

Luego :

i

_ (p_-fr)rc 2

a

*2 ¿

M

2 ( p ^ 2

De d o n d e : A Í A 2A 3 =

8

(r a r b r c ^ Í P ' 0 Í Í P ' ^ Í P ‘ C^

Se sabe que el área A de la región ABC se puede expresar co m o : A2 = r ra rb. re Á* = p ( p - a ) ( p - b ) (p- c)

... ( 2)

A = p .r

... (4)

... (3)

Multiplicando (2) y (3) y reem plazando (4) en el producto, se tiene : Aa = A . (ra . rb . rc)(p - a)(p - b)(p - c ) = A 3 ... (5)

Reemplazando (5) en (1) : C om o:

A = 2 ^¡AÂj

í4j A2 Az = 2 7

A= 6

54.- ABC es un triángulo inscrito en una circunferencia. AD es una cuerda que biseca a BC en M. Si m 4- BAD = 60; MD = AB + AM; hallar el área de la región triangular ABC, si AB = 8

Resolución.Sobre MD ubicamos el punto P con la condición : MP = AM = o Luego : PD = 8 y los triángulos ABM y MPC son congruentes. De donde : PC = AB = 8 y m 4I MPC = 60° En el triángulo isósceles PDC :

4

m . PCD = m 4 PDC = 30°

En el Eí\ BMAde 30°y 60°:

0 = 4 y BM = 4 ^

646


Área (A AMB) = ^

Ernesto QuispeR

Área (A ABC) = 4-4^3 Área (A ABC) = 1 6 ^ 3

55.- Dado el triángulo ABC, donde ahb + bhc + cha = 6A , siendo ha, hb y hc las longitudes de sus alturas y A el área de la región triangular ABC; demostrar que el triángulo es equilátero.

Resolución ■ Sea "A" el área de la reg.ón triangular ABC, luego : De d o n d e :

2A = ah&= bhb = chc

ha

Por hipótesis: Sustituyendo en i

b

De d o n d e :

Por otro lado la desigualdad entre la m edia geom étrica y la m edia aritmética d ic e :

x+y+z „ Jxyz < ----- ^----- p a r a : * , y , z > 0

3 /-----

Y la igualdad se da si y solo s i : x = y = z ; si la aplicamos a los números

,

Tenemos : Por lo que se da la igualdad de donde :

^

^ , es d e c ir: a = b —c

El triángulo es equilátero

l.q.q.d


Luis Ubnldo C.

647

PR0UL6MAS PK0PU6ST0S I.7 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 4m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2,4m. Hallar ef área de dicho triángulo.

6.- Los lados de un triángulo acutángulo mi den 3 J l m , V26 m y 2 yfñm. Hallar el úrea del triángulo.

A)4/w2

B)4,8m2

A)2yf6m2

B)6 m2

D;6,4 m2

E)l,2rn

D )9 m2

E)9 J i m 2

C)6 m2

2.- Por el incentro "I" de un triángulo rectán gulo ABC (rn 4- B - 9 (f ) se trazan IM ± AI (M en AC ) , MN 1 BC y (N en BC ). Calcular el área de la región triangular INC; si AB = 3my BC=4m. A) 1m

B)2 m

D) l,5m2

E)2,5 m2

B) 12,75 rn

D)9,25 m2

E) 11,25 m2

C) 13,25 m2

B)60/7

Di 50/3

E)32/3

C)49/3

B) -J2 rr2

D)2 m2

E)2yÍ2/3 m2

B )r(K -r)

D ) r ( R + r)

E)R(R + 2r)

C )R( R- 2r )

8.- Los lados de un triángulo ABC miden : AB = 21 m , AC = 28 m y BC = 35 m se trazan las bisectrices AQ y C R , las cuales se intersectan en "I". Hallar el área del triángulo CIQ. A)60,5/n2

B)61,25 m2

D) 56,25m2

E)70m2

C)62,75/n2

A) ab B) a + b C) ab/2 B)ab/4 E)

5.- En un cuadrado ABCD, la diagonal AC intersecta en "E" y "F" a la circunferencia ins crita. Hallar el área de la región inanguiar EFD; si el lado dei cuadrado mide 2m. A )lm 2

A)r(r+2R)

9.- Hallar "S2 - S " en función de "a" y "b".

4.- El lado desigual AC de un triángulo isósce les ABC mide 8m y el radio del círculo inscrito es 2m. Calcular el área de dicho triángulo. A) 64/3

7.- Conociendo los radios r y R de las circun ferencias inscrita y circunscrita de un triángu lo rectángulo, calcular su área.

C)3m2

3.- Los catetos de un triángulo rectángulo mi den 7 y 24 m. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son el ortocentro, el circuncentro y el incentro del triángulo rectángulo. A) 10,5 m2

C)8 m2

C )S m 2

2ab

1-----------q -

10.- Los lados de un triángulo ABC = miden AB = 13m,BC= 14/n, AC= 15m. Hallar el área de la región triangular AIC siendo "I" el incentro del triángulo aB C . A) 15 m2

B)20/n2

D) 36 m2

E) 42 m2

C )30 m2

648


11.- En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" se construye el cuadrado ACDE. Si AB = 4 y BC = 6. Hallar el área del triángulo ABD. A) 20

B) 18

C) 30

Di 40

E) 24

Ernesto QuispeR

A) 36 m~

B) 54/rr

D) 81w

E) 108/m

C) 72m

A) 20 m2

16.- Sobre los lados AB y BC de un triángu lo ABC, exteriormente se construyen los cua drados ABFL y BCQR; el segmento que une los centros de los cuadrados mide 8 m . Hallar el área del cuadrilátero AFRC.

B) 15 m2

A) 40 m¿

B) 48 m2

C) 30 m2

D) 64 m2

E) 12m-

12.-Halle el área del triángulo ABC; si ED =16; AB = 10 y m £ D = 15°.

D) 40 m2 E) 10 m2 13.Calcular el área de un triángulo si el inradio mide 2 m y los segmentos determina dos por la circunferencia inscrita sobre un lado miden 3 y 5 m. A) 20 m2

B) 22/w

D) 120/11/m

E) 240/1 Im

C) 54 m2

17.- En la figura "G" es el baricentro del trián gulo ABC; si el área del triángulo FGC es 9 m2, el área del triángulo FGB es 16m2. Hallar el área de la región sombreada.

C) 21/n

14.- En la figura; hallar el área del triángulo sombreado, si el área del cuadrado ABCD es 4 {^2+ -J3 )/n^ . A) y¡2

A O E . Si EF = 2m y EC = 7m.

B) 2 \ 2

F

C) yÍ2 + 1 D )2 + S E )2 -V 3 15.- Hallar el área de un trapecio isósceles, si su altura mide 9 m y su lado no paralelo se observa desde el centro de la circunferencia circunscrita, bajo un ángulo de 74°.

D)3m 2

E)5 m2

19.- En la figura; calcular el área de la región triangular sombreada. S i: AE = 2m y FB = 4 m.

Áreas de Regiones Triangularas

Luis Ubaldo C.

649

23.- En la figura; hallar el área del trapecio

A) 4 m2

ABCD (BC // A D ) . S. ME . FN = 18 m2 y

B) 6 m

MB . CN = 12/n2 .

C) Sm2

F

E

D) 10 m2 E) 12 m2 20.- En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD) Si AD = 2. BC , CD = 2 ^ 2 , B D 1 A B ; ha llar el área ABCD A) 2V3

B) 3y¡2

D) 3 ^ 6

E) -J

D) n & m 2

C) 3-J3

63

E) 1 5 ^ 6 m2

24.- En la Figura AB es diámetro, AB = BC y BF = 6m. Hallar el área del triángulo BFC.

21.- En la figura AB = 25m AC = 32m . Hallar el área de la región sombreada (F —» punto de tangencia).

A) 16 m2 B) 15 m2 C) 18 m2

D)24/7í2 E)

20m2

A

q

25.- Hallar el lado mayor de un triángulo ABC, tal que r = 5m ; ra = 12m y rb = 20m D) 1712/25/n2

E) 2112/25 m2 A)7-j5m

B) S- j5m

22.- Desde un punto A exterior a una circun ferencia se trazan las tangentes AD y A C , en

D) I0y¡5 m

E) \ 2-j 5m

AD se ubica el punto "N” tal que NC intersecta a la circunferencia en "F"; si AN = ND, NF = 1m , NC = 4m Hallar el área de la re gión triangular ANC.

16.- En la figura : E, Q y M son puntos de tangencia FB = 10/n, FH = 6 m. Hallar el área de la región triangular MFB.

A) y¡l5m2

B) 3 7 5 m

D) ~ -Jl5 m2

E) ^ m 2

C) ^ m

2

C ) 9- j 5m

650

Ernesto Qulspe R.


A) 20 m2

B) 25 rn2

D) 36 m2

E) 48 m2

C) 30 n r

B) S

27.- En un triángulo isósceles ABC, la base AC mide lm\ sobre BC se construye exteriormente el triángulo equilátero BCF. Si AF = 16«; Hallar el área de la región triangular AFC. A) 18 m2

B) 24 ni2

D) 30 m2

E) 56 m2

A) y¡5 rtr m2

C) 6 ni2

D) 3 m2 E) V7 m2

C) 28 m2 32.- Del gráfico; halle la diferencia de las áreas de los triángulos DOC y A O E . Si AC = 10/?i; FP = 3 m.

28.- En un triángulo ABC, m 4- A = 2 . m 4 C, AB = 5m , AC = llm . Hallar el área de la región triangular ABC.

B) 30 m2

A) 20 m2

C) 15 m2

D) 27,5 m2

B) 22 m~

C) 24 m2

E) 33 m2

A) 10 m2

D) 20 m2

29.- En la figura; hallar el área del triángulo rec tángulo ABC, sabiendo que BD = 2 y DF = 3.

E) 25 m2

A) 5

33.- En la figura; calcular el área de la región sombreada. Si ABCD es un cuadrado y el trián gulo DEF es equilátero; s i : AD = DF = a.

B) 8 C) 4 D) 6 E) 10 30.- Halle el área del triángulo ABD; si BF= 3»i y AC = 10m. A) 10 m2

B )^-(6+S )

E )^ (6+^ )

B) 30 m2 C) 15 m2

C )5 -(6 -V 3 )

D) 20 m2

34.- Dado un triángulo rectángulo_ABC recto en B. Desde el pie de la altura BH se trazan las perpendiculares a AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcular el área de la región MBNO; s i : AB = 7 y BC = 8 ( O : punto medio de AC).

E) 25 m2 31.- En la figura, halle el área del triángulo BCD; si AO = CB = 3m ; CD = 2m.


Luis Uboldo C. A) 7y}2

B) 14

D) 2V7

E) 4 ^ 7

C )21

35.- Calcular el área de la región triangular ABC; si R = 36m y r = 9m ( T —» punto de tangencia). JN.

^

T

C

651

38.- Calcular el área de la región sombreada, si AB = 12 ; BC = 5. 900 57 857 B) 165 750 C) 7 A)

i 225 128 1209 E) 64 D)

36.- Del gráfico adjunto, calcular el área de la región triangular ABC; s i : 4 (AC) = 5 (CD), AH = 3.

D

39.- En la figura T y K son puntos de tangen cia, MT = a y KN = t>; hallar el área de la región ABC

A) Tu 2 49 2 B; 2 u C) D)

37. - Según región sombreada en función de Ademas : OT = TO. A) B)

C) y Ar

E)

+

40.- Hallar el área de la región KHQ, s i : r = 3 y R = 4.

Ax - 2 A2

3_ Ax- 3A2

A)

Á \ 'r \ //l \ \ i /V A y

u2

A

Ay + 3A2

3

B

147 „2

B) 25 u2 C)

D)

E )2 { J a + J b f

B )2 yfab

E) 15 u2

/"TVS

p

/q

K\

D )± fu 2

Ay + 4A2

E)

30 u2

H

C


652

41.- Hallar el área de la región TBK, si AP = 9 y CQ = 12

Ernesto QuispeR

44.- Hallar el área de la región T K C , s i : R = 20 y AB = 24. A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

A) 201,6

B) 195,4

D) 175,4

E) 160,5

C) 180

45.- En la figura; hallar el área de la región triangular A Q C . Si QH = Cm. B A) 24,5 m2

42.- Calcular el área de la región sombreada ;

B) 28 m2

s i : AP = 4 V í ; PB = 4 . HN = 4.

C) 35 m2

A )|y (5 V 2 + 4 )

D) 37,5 m2 E) N.A.

B)

(5 ^ 2 + 4 ) 46.- Calcular el área de la región triangular BCD; si DE = 2 . MD = 4 . CM = 4.

C) |f ( 5 V 2 - 4 )

A) 1,6 D)

B) 1,8

(5 ^ 2 -4 )

C) 2,4 E) ^ - ( 5 ^ 2 + 4 )

D) 3,2

43.- Del gráfico, hallar el área de la región sombreada, si el área de la región ABC es 625 cm2. A )250cm2

U) J,U

47.- En la figura : T, K y M son puntos de tangencia; hallar el área de la región sombreada.

B

B ) 125cm2 C) 144cm D )72 cm2 E)

175 cm2

E) r V 2

M


Luis Ubaldo C.

653

48. - Hallar el área de la región sombreada, si: r A) 2

B) 3 0 4 D) 6

49.- En la figura, ABCD es un cuadrado; hallar el área de la región 1’BQ s i : AP = 3 y QC = 10

52.- H allar el área de la región sombreada si : AP = 9 y PB = 6. A) 60 B)50

A) 97,5 u2

Q 75V 2 B) 97 u2

D) 75

C) 96,5 u2

E) 75>/5

D) 96 u2

53.- En la figura, I es incentro, E es excentro y AM = MB; determinar la relación correcta.

E) 95 i/2 50.- En la figura ABCD es un cuadrado, BG= CE, AB = BF = 5; hallar el área de la región BCF.

A) V lO -2 ^ 5 B) JE - 1

D) 7 l 5 - 7 7 E) 2 V1 O - 2V5

o 7 9 -/5

51.- En la figura: AH = HC, PB = PH ; calcu lar la relación entre las áreas de las regiones MPN y ABC.

A)A, + A 3 = A 4 + A2

D M j , A2 = A3 . A a

B ) A x . A 3 = Aa . A 2

E) JA í Aí = A 2 .A a

C)

Aj + Aj = Aj + A^

54.- Por los vértices A y C de un triángulo rectángulo ABC. se trazan dos circunferen cias tangentes a los catetos las cuales se intersectan en los puntos D y F, s i : BF = 4 ; calcular el área de la región ABC.


654

A) 6

B) 8

C) 4

D) 10

E) 12

55.- Hallar el área de la región sombreada; si: M y N son puntos de tangencia.

_ rr A

) ^

B C )s N l ’ 6

Ernesto Quispe R.

58.- Consideremos un triángulo equilátero de área "S". Desde un punto interior a su trián gulo mediano, se trazan perpendiculares a los lados del triángulo equilátero, dichas perpen diculares forman una progresión aritmética de razón r, luego: A) r < ^ 2 .

B) r < ^ S l

D) r > V ^ I o

E) r > S ^3 o

c)r< ^ ^

59.- En la figura : PM // BI // QT : hallar el área de la región MBT. B

56.- Hallar el área de la región triangular ABC, s i : CK = a (T es punto de tangencia).

D )/2^

A) a2

B) 2a2

D) a1!2

E) | a2

C) 3a2

E)2r

60.- En la figura, I es incentro del triángulo THK, ÍM ± Ó H yIN ± H O '.si:A | = 6wj2yA2 = 9m2; hallar A3 . P

57.- En la figura AM - MC y AB - BN. Mar car la relación correcta: A) A, = A 2

B)Al = 2A1 C)A x=A2/2 D)

A{ = A / 2

E) 2A, = 3A2

I

D) 3 m2

E) 5 m2

19.1 1ra RELACION si aos manguios tienen alturas congruentes, en tonces la relación entre sus áreas será igual a la rela ción entre sus bases. Sean At y A7 las áreas de los triángulos ABC y PQR respectivamente (/Tg.19.1) si BH = QL, entonces: AC FR

... ( 19. 1)

Consecuencia Directa

Si en un triángulo ABC se traza una ceviana BF, entonces la relación entre las áreas de los triángulos ABF y FBC sera igual a la relación entre AF y FC. En la Fig. 19.2, BF es ceviana. Luego se cumple: Ax ) AF FC

... ( 19.2 )

19.2 2PA RELACION Si dos triángulos tienen ángulos ¡guales o suple mentarios, la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de los lados que forman dichos ángulos. En la Fig. 19.3, si a = 6, entonces : Ai

AB.BC

A» " MM.NIL

~ (W -3 )


656

Ernesto Quispe R.

En la Fin. 19.4, si a + G = 180, entonces: AL = AB-

PQ.Pfc

- (19‘4)

li).3 ^R E L A C IO N Si dos tnanguios son sem ejantes, entonces la re lación entre sus áreas será igual a la relación entre ios cuadrados de sus elem entos homólogos. Sean los triángulos sem eja n te s ABC y MNL (Fig.19.5) Luego: i A¿

MN2

- BC2 _ AC2 _ BH2 _ h2 NL2 ML2 NP2

... (19.5)

donde k es la razón de semejanza.

19,4 PROPIEDADES 1ra Propiedad Si en el triángulo ABC se traza la m ediana BM entonces los triángulos ABM y MBC serán equivalen tes, es decir, tendrán áreas iguales. Luego respecto a la Fig 19.6 se cumplirá : At = A2

... (19.6)

Fig. 19.6

Relación entre las Areas ele dos Triángulos

Luis Uboldo C. 3 ra Propiedad

Si M, N y L son puntos medios de AC, BC y AB, adem ás "G" es Baricentro del A ABC. Luego se cumple : A} =A2=A3= ~

...(1 9 .8 )

Donde : A es el área de la región ABC

4 ta Propiedad

Si en el triángulo ABC se traza la bisectriz inte rior BF, entonces la relación entre las áreas de los triángulos ABF y FBC será igual a la relación de AB y BC. Es d e c ir: AB BC

(19.9)

5ta Propiedad

Si en el A ABC : AM, CN, BL son cevianas de modo que : AN NB

BM _ CL MC Ia

A (A PQR) (n -2 )2 Se cum ple: ¿ ( ^ a b c ) - n2 _ n + x

6ta propiedad

Si para el triángulo ABC, se tiene que : BM MA

AP PC

CN = k BN

Se cumple que : A (A MPN) n 3 +1 A (A ABC) = (n + 1)3

657

658


7ma Propiedad

Ernesto Quispe R

B

Si □ AMNL es un paralelogramo, se cumple : J A (A ABC) = J I ¡ +

... (19.10)

8va Propiedad

Si: MÑ // ÁC, EF// BC y PQ // Áb Se cumple : VA ( A Á B C ) = J A ¡ + J A ~ + J a ¡ ... (19.11)

Fig. 19.13 9na Propiedad

Si: MÑ // AC, EF// BC y PQ // ÁB Se cumple : A (A ABC) = J A ¡ +

+ J A3 ... (19.12)

1 0 ma Propiedad

S i: «E» es excentro del A ABC Se cumple : Ax = A } + A 2

i

...(1 9 .1 3 )

Luis Ubaldo C.

Relación entre las Áreas de dos Triángulos

659

1.- En un triángulo ABC cuya región mide 72m? se traza la mediana BM ; calcular el área BN 2 de la región B M N . Si N e tSC y NC

R esolución.Para el triángulo BMC, MN es ceviana Luego s i : BN = 2k y NC = 3k Entonces:

S(BMN) = 25 y

9MNC

Para el triángulo ABC : BM ec m ediana 5 (ABM) = c (MBC) = 50 90

L uego:

De donde : 105 = 5(ABC) = 72 Finalmente :

(MBN)

^

5 = 7,2

= 2(7,2) = 14,4

2.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD ; si el área de la región ABC es 64 y 5 AB = 3 B C . Calcular el área de la región ABD

Resoluclón.-

5 X = 24 3.- Interiormente a un triángulo ABC se ubica el punto P a partir del cual se trazan PQ ± __ __ __ SC AB AB y PR 1 BC. Si PQ = - y , PR = — y el área de la región ABC es 36. Calcular el área de la región de PQR.

660


Ernesto Quispe R,

Resoluclón.S e a : 5 el área de la región PQR. En el cuadrilátero QBRP : a + 0 = 180 sX

a c

— = 3 2 36 o- c

L uego:

De donde : —— =**— 36

-

ac

60c

1 6

5 = 6 4.- Eli un triángulo A B C : AC = 8 , calcular la longitud del segmento MN (M e AB^ a N e BC) para que las regiones MBN y AMNC sean equivalentes; además MN / / AC

Resolución. Hacemos : Área de la región MBN = 5 Luego :

¡Vrea de la región AMNC = 5

Puesto que MN // AC, entonces los triángu los MBN y ABC son sem ejantes de donde : — = —— 25 82

=»

32 = x2 jr = 4-J2

5.- Sobre los lados AB y BC de un triangulo ABC se consideran los puntos P y Q respec tivamente de modo que AP = 2PB y BQ 3 Q C . Calcular el area de la región PBQ, si el área de la región ABC es 120.

Resolución.Sea «5» el área de la región PBQ. Luego com o los triángulos PBQ y ABC tienen en común el ángulo B se tiene . 5 120

PB-BQ \B-BC

5 120

1 4

5 = 30

1

Luis Ubaldo C.


661

6.- En un triángulo ABC : AB = 4, BC = 6 y AC = 8 . La circunferencia inscrita determina sobre AC el punto P . Calcular el área de la región ABP

Resolución.Sean : Sy : área de la región ABP 5 : área de la región ABC Luego :

5 — *— — di s - s x* “ PC - ÜJ

Por propiedad

A n 4 + 6+ 8 r AP = p_ - a = -------- - 6

De donde :

AP = 3 => PC = 5

Además :

2

5 = V 9 (9 - 4 )(9 - 6 )(9 ~ 8 )

Sustituyendo en (1) :

S

3 5

3j5-S

S = 3^15

S =

9 J Í5 8

7.- En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y CN las cuales se intersectan en C. Calcular el área de la región M G N , si el área de la región ABC es S.

Resolución.B Por ser «G» baricentro del A ABC Luego s i :

GN = k

=>

Por relación de áreas :S(NMG) = Sx Luego : Finalmente :

(ABCJ

GC = 2k

S(CM C) = 2 5 x

= 1 2 5x = 5

s =

12

8.- En la figura mostrada ABCD es un paraleiogramo de área S ; Q y P s o n Baricentros de los triángulos ABC y ADC. Calcular el área de la región AMON.

Ernesto Quispe R.


662

Resolución.Si P y Q son Baricentros, luego: M y N son pun tos medios de AB y AD respectivamente. Sea «5x» el área de la región som breada SX

Luego :

2

Además por propiedad de la m ediana : S(BMO) = 9(BCD) = 5

A ABD = A BCD (LLL):

y (ABD)

2

S(NOd) = ~ ~

= 2Sx

Finalmente :4S = S 9.~ En la figura: A L = 10 y FC = 15. Calcular el área de la región A N F , si MNLF es un cuadrado.

Resolución.Sea «5» el área de la región ANF S=

L uego: AFM ~ fcx NLC : Resolviendo : (2) en (1) :

a

1 5 -o

( lO - o ) a .. .

1 0 -o o

o = 6 ... (2)

„

Cl)

B M,/ J A

a

( 10- 6)6 2

5=12

A lO - o F o h e --------10-------

N ”o \ o

rL

1 5 -o 15

e> \ C

Luis Ubaldo C.


10.- El área de la región triangular ABC es S, s i : MN / / AC (M e ÀB AC lar el área de la región M B N , para que MN = ——

a

N e BC) .Cal cu-

Resolución.Puesto que MN es paralelo a AC, entonces A MBN ~A ABC (MN)2

De donde : 5

(AC)2

(3 o )2

_ 5

9o S

*

9

B

11.- En la figura, si : MN / / PQ / / AC yA P = PM = MB ; hallar:

R esolución.Como MN // AC

A MBN - APBQ

i]__ = JL

5 = 35.

... (1)

én :A PBQ - A ABC => _ 5 + 5l = IM \ También 5, + 5 + 52 '3 o / ... ( 2)

Reemplazando (1) en (2) : —3— + —— = ^ 5] + 35] + 52

^ =1

20 5, = 4 5 2 52

5

663


664

Ernesto Qulspe R.

M is c tiá irie A 1.- Dado el triángulo ABC de lOm2 de área, AB = 4m y AC = 6m, se traza la bisectriz inte rior AP. Hallar el área de la región triangular ABP.

Resolución.BP PC

Empleando la 4ta Propiedad , se tiene Entonces :

6

BP = 4n y PC = 6n

En esta misma relación están las áreas : Por d a to :

4

5ABp = 45

B

45 + 65 = 10m2

Ahora:

105 = lOm2

Entonces : L uego:

5 = lm 2 5abp = 4 (lm 2) S ab p = 4 /1 ,2

2 - Hallar el área de la región triangular EHF. Si SABC= 48 m2

Resolución.Para el A ABC y A MNQ, el punto “F” es el baricentro En el A ANQ, por relación de áreas tenem os : j anq

Donde :

= *

+

2*

,= 12*

ANQ

Puesto que : Reemplazando : Luego : \2x = 12

I

■ÂPC“ 65

12*= ^ (4 8 )

+

3x

+

6*

Relación entre las Areas de dos Triángulos

Luis Ubaldo C.

665

3.- En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares AB y CD. Si O es el centro y el área de la región triangular AOC es lOni2 . Hallar el área de la región trian gular BOD.

Resolución.a+ 0

Por 4- interior : =»

= 90

a + 0 = 180° Area (A AOC) _ R.R Area(ABOD) - R.R

Por relación de Areas :

Área (A BOD) = Área (A AOC)

=

10 m 2

4.- La base de un triángulo mide 4, hallar la longitud de la paralela a esta base que deter mina 2 regiones parciales equivalentes.

R esolución.-

B

Por condición del problem a : Área (A MBN) = Área ( □ AMNC) = A

Como :

A MBC ~ A ABC A 2A

2

(Relación de Áreas) (4)

x = 2J2

5.- Si el área de la región triangular QBL es Im 2, calcular el área de la región trianguiar ABC. Se sabe que : AL = n ■LB y KC = n ■AK

B


666

Ernesto Qulspe R

Resolución.Trazamos AQ, luego aplicamos el Teorema de Menelao En el A ABC, obtenem os la relación :

B

na ■BQ - nb = a - QK ■b ■{n + 1)

Entonces :

Por relación de áreas :

BQ QK

n +1

n +1

n+1 5aqk “

>AQK

L uego:

5 KBC =

n S AMK = n

Finalmente .

-âbc

^ abk ’ '^kbc

Donde :

SABC = n2 + n + \ + n (nz + n + \) S abc = ( " +

O («

("

+

+ n +

n +

n

»

1)

6.- En un triángulo ABC se trazan la mediana AM y la bisectriz interior BD las cuales se intersec an en P; hallar el área de la región P BM. si 10 AB = 6 BC y el área de le región ABC es 22 m2.

Resolución.Hacemos : =>

AB = 6k

BC = 10* y BM = MC = 5*

En el A ABM, por relación de áreas, si área (A PBM) = 5 A =f> Área (A ABP) = 64 En el A ABC, AM es m ediana Luego área (A ABM) = ~ Área (A ABC) A hora:

114 = 11 m2

=>

4 = 1 m2

Área (A PBM) = 5 -n2

7.- El área de un triángulo ABC es 7m2, sobre las prolongaciones de AB, BC y CA se ubican los puntos P, Q y R respectivamente de modo que : Ab = BP, BC = CQ y AC = AR. Hallar el área de la región triangular PQR.

Luis Ubaldo C.


667

R esolución.Empleando la propiedad de la m ediana para áreas se tiene : Área (A BPC) = 7 m 2 Área (A PCQ) = 7 m 2 Área (A ACQ) = 7 m2 Área (A RAQ) = 7 m2 Área (A RPA) = 1 4 m2 Área (A PQR) = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 1 4 Área (A PQR) = 49 rn2 8.- Si el área de la región triangular ABC es 60 m2 . Hallar el área de la región triangular MNL sien do AM = ML, MN = NB y LC = 2NL

Resolución.Trazamos AN,BL y CM de m anera que el A ABC queda dividido en 7 triángulos de áreas com o in dica la figura, en virtud a la Io relación (19.1) y a la Io propiedad (19.4) Sumando las áreas de cada triángulo igualamos al área total, es decir : 5 + 5 + 5 + 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 = 60 m2 Agrupando :

10 5 = 60 m 2 S = 6 m2

9.- Si 2.BM = 3.MC y 3.AQ = 2.QC . Hallar la reíación de áreas X/Y.

B

A

Q

C


668

Ernesto Quispe l

Resolución.En el A AMC, en.pleando el Teorema de Menelao (QB =» Secante ) Se tiene :

AP PM

3n ■AP • 3a = 2n ■PM • 5a —>

Luego s i :

5 ABp = 105

En el A PBC :

5 pMC = 6 5

=>

PBM

= 95

JO 9 B

Finalmente en el A APC : 5PqC = 4 5 En consecuencia : X = 10 5 , Entonces :

Y = 105

X y :

105 105

X Y

105 IOS

10.- Calcular el área de la región triangular BTQ. SiAB = 13 ; BC = 14 y AC=1Sm.

Resolución.Sabemos que :

AT = AN = 21

BT = BQ = 8

Por otro lado : 5ABC = ^21(21-14X 21-15X 21-13) Entonces :

5 ABC = 8 4 m

Luego por relación de áreas : 8-8

5

1314

->

5 = 84 .

64 1314

_ _ 384 2 5 - 13 m 11.- Sobre los lados BC y ACde un triángulo ABC se ubican los puntos M y N respecti vamente tal q u e :

. Si el área de la 'egión AOB es 20m?. Hallar el área de

la región NOMC (A M n B/V : { 0 })


Luis Ubaldo C.

669

Resolución.J , Por cono.cion del problem a :

BM CN = MC NA

Área (A ABM) _ Área (ABNC) Área (AAMC) Área (A ABN)

L uego:

Área(& ABM)+Área(A BMC)

Aplicando leyes de proporcion: —

Área (A AMC)

—

Áreo(ABNC)+ Áreo(AABN) i4rea(AABN) B

Área (A ABC) _ Área (A ABC) Área (A AMC) Área (A ABN)

De donde :

Área (A AMC) = Área (A ABN) A.1 + AX = A.1 + 20

.Ax = 20 m 2 12.- En un triángulo ABC de área igual a 52m2, se trazan las cevianas AE y BF , las cuales se intersectan en P. Si : BE = 3 . EC y AC = 4 . AF; hallar el área de la región triangular BPE.

Resolución. D ato:

SABC = S2 m 2 .

En el A FBC, por el Teorema de Menelao : De donde :

a . BP . n = 3o . PF . 4n

BP = 12 . PF

Entonces s i : PF = k ; BP = \2k Trazamos PC, por relación de áreas : SpEC = — y ^fpc

9

670


Ernesto Quispe R.

A+ B 13.- En la figura mostrada. Hallar C + D ■ Donde A, B, C, D representan áreas de las regiones respectivas.

R esolución. Observamos que dos lados del triángulo están divididos en la relación ce uno a tres y de tres a uno. Por lo tanto se cumple :

A+ M+ B= D+ M+ C

Donde :

A+ B= C+ D i+B _ C+D

14.- En el interior a un triángulo escaleno ABC de área 30 m2, se ubica el punto O, a partir del cual se trazan OP ± Ats, OK 1 BC y OH ± A C de modo que OP = AB, OK = BC y OH = AC; hallar el área de la región triangular P K H .

Resolución.De la figura observam os que los triángulos POK y ABC tienen ángulos suplem entarios (a + 0 = 180) Luego:

Area (A POK)

a.c

---- ^ -------- = —

Área (A POK) = 30 m 2

Análogamente : Área (A POH) = Área (A KOH) = 30 m 2 Área (A PHK) = 90 m2 15.- En la figura mostrada, AB = 13 m ; BC = 14 m y AC = 15 m; hallar “S ”

B


Luis Ubaldo C.

671

Resolución.SABC = ^21(21-14X 21-15X 21-13)

Sabemos que :

■âbc Luego por relación de áreas :

5.MBN

También :

SAMq = 84

— 13-15 Ì

Ahora :

5QNC = 84

' 8-8 ^ [14-15J

Sumando :

J

c3

1 0 73

no2

13

13-15

5

84m2 6-v, 13-14 12-73 13-15

+S = S = 20,7 m2

16.- Si BM = 3MA ; CN = 3 BN y AQ = 3 Q C . Calcular " S " si el área de la región ABC es 13 m2

R esolución.-

yj

Q

C

En primer lugar trazamos CF, BE y AH, luego aplicamos el teorem a de Menelao para hallar la razón entre las longitudes de los segm entos BF, FH y HQ, así : En el A AB< ) (MC es una secante ) : a ■BH • c = 3a • HQ ■4c

=*

BH = 12 • HQ

.... (1)

En el A QBC (AN es una secante ) : 3b ■BF ■3c = b - FQ • 4c

=*

9BF = 4FQ

.... (2)

De (1) y (2) : BF = ™ = 4 • HQ

672

Problemas de Geometría y cómo resolverlos FH = 4 - HQ = n 2

H aciendo:

BF = "

Entonces:

BF == n

y

HQ

n ~ 4

Análogamente :

HC = m ; EH = 2m y

ME

m 4

También :

AE =

FN

k 4

; FH = 2n

; EF = 2k

y

El A ABC queda dividido en triángulos de áreas com o ii L uego:

|

s + s

+ f

+ i *

2

4

s

+

2

5 = 13 rri S = 4 rri

17.- En el gráfico mostrado, AB = 13 BC = 14 y AC = 15. Hallar el área de la región triangular ABT.

Resolución.Del gráfico observamos que los triángulos ABT y ABC tienen en com ún el ángulo ABT Luego por 2da relación (19.2) Se tie n e :

ja b í -

_ AB-BT

*ABC “

Pero :

1314

BT = p - b =>

BT = 21- 15

=>

BT = 6

Y por otro lado : S ^ c = ^21(21 - 14)(21 - 15)(21 -13) ÂBC = 84 Reem plazando:

■ÂBT 84

13-6 13-14

■ÂBT ” 36 U1

I

Ernesto Quispe R

Luis Ubaldo C.


18.- Hallar el área de la región sombreada.

B

Si AB = 13 , B C = 14 y AC = 15 m.

R esolución.SABC= M p - 1 3 ) ( p - 1 4 ) ( p - 1 5 ) p .1 3 ± M ± 1 5 =21

Donde : Luego :

SABC = V21-8-7-6 = 84

Además :

S ABC = r b &

' ^

84 = rb (21 - 15) E n elE ^ B N O :

BO = Í 2 \ ¿ +142 = 7-/Í3 21 . 14 = 7^ 13 8 ■n

Además :

Como :

" = T Í^ 6+y + n = y

=*

Es decir

=

21

15 - n

y = 1 5 - y § 7 Í 3 ... (1)

6_f Por 3 relación : |3BP J ÊBF V6 + >7 Pero :

S

tb p

-

216

13

Reemplazando : (1) y (3) en (2) :

- ( 2)

... (3) 216 13

( ™ + s) [V 13

S = 24,9 m 2

6 + 15- 42713 13

673


674

19.- En el gráfico dado, ~ son puntos de tangsncia.

~

Ernesto Qu,spe R. B

;A , Fy C

Hallar el área de la región triangular PBC, siendo el área de la región triangular ABC igual a


GC = 2n =;

AE = 3a

Luego com o

BA = BC =;

BG = 6n

Por 3(ro lado .

EF = 3a

De donde :

EG = EB = 5a

y

y

BE = 5n B

FG = 2a

En el triángulo isósceles BEG, trazamos la al tura EM. Luego BM = MG = 3n de donde : m 4 MEG = m

4L BEM = 37

Al prolongar AF esta interstcta perpendicularmente en Q a BG, luego : En el

=> En el

FQ BQ

FQB :

4

m 1 FBQ = ^

FHP : m 4 - HFP = 8

Luego, s i : HP = a

=j

FH = 7 a ; AH = 14 a

25a y PC = ^

8a 2 5 ^ Por relación de áreas :

JPBC ' ABC

Puesto que :

PBC

8 a -7 0 ^

SABC = 28 m 2

SpBC = 10 m 2

?ABC

_5_ 14 5-28 14


Luis Ubaldo C.

20.- Hallar el área de la región sombreada. Si el área de la región triangular ABC es 42m2.

B

y \ a

fvC o \ M sa R cjoluclón,Por el Teorema de Menelao en el A ABM; (PC —» secante) : b ■AQ ■2a = 2b • QM ■3a

=*

AQ = 3 ■QM

Aplicando el mismo teorem a, en el A ABN : (PC —» secante) : b ■AR ■ a = 2b ■RN • 3a

=*

AR = 6 • RN

Luego por relación de áreas : AQR

S um ando: L uego: A hora: Puesto que : 14 __2

S= ~ m

L uego: En consecuencia;

SQMm = 5 fl m 2)

21.- En el gráfico mostrado tenemos : A B * B C * AC Si : y = Sm2 ; z = 6m? ; w = 7rr? Hallar : «x»

S = 1 m2

675

676


Resolución.Los triángulos DBC y ABE tienen los ángulos congruentes DBC y ABE y + M+x _ BD-BC ABBE

Luego por relación de áreas : Además : A ADB - A BEC :

z + M+ iü

BE

BD-BC ABBE

BC

y + M + jr = z + M + Donde :

y + x =z + w

Reemplazando datos : 5 + x = 6 + 7 Luego :

x = 13 - 5

jc = 8 m l 22.- En la figura, si AB = 5 m ; BC = 7 m y AC = € m ; hallar el área de la región triangular APQ.

R esolución.Por el Teorema de Menelao en el A QBC : De donde :

5ABp = 95

Ahora:

S ^ c = ^ 9 (9 -5 )(9 -6 )(9 -7 )

Donde :

5 c = 6 -j6 m 2

Luego:

95 + 4 5 =

y

4 • B P ■2 = 3

SAPQ = 4S

=>

135 = 2 ^6 c _ -7 6 13

Ernesto Quispe R.

Luis Ubaldo C.


677

23.- En un triángulo ABC, se traza la altura BH. En la prolongación de BH se ubica el punto M de modo que m 4- AMC = 90s; hallar el área de la región AMC si las áreas de las regiones ABC y AOC son 9 y 4 respectivamente (O es ortocentro del trián gulo ABC)

Resolución.B

Los triángulos AHO y BHC son sem ejantes. AH BH

Luego :

OH HC

En el fei, AMC :

(MH)2 = AH - HC

De (1) y (2) :

(MH)2 = BH • OH

...

( 1)

... (2)

Multiplicando miembro a miem bro por (AC)2 : (AC • MH)2 = (OH ■AC) (BH • AC) =>

[Área (A AMC)]2 = Área (AOC) Área (A ABC) Área (A AMC) = 6

24.- En la figura dada, si A B = 13m; BC = 15 m y AC = 14 m. Hallar el área de ¡a región triangular MNQ.

M

R esolución.Con respecto al A ABC : BQ = BT = p - AC = 21 De donde :

AQ = AP = 6

y

PC

Aplicamos el Teorema de Menelao : En el A ABC : 8 - 7 - MA = 7 - 6 • (MA + 14) Luego :

8 • MA = 6 - MA + 84 —» MA =

En el A MBA : a • 7 ■6 = r, . Donde : Luego s i :

a —= b

-^mnq =

£> • 6 • 48 48 —

7 \ib q = 7X y

$MqA =

330 X

678

Problemas de Geometría y cómo resolvei los

Puesto que :

SABC = 84 m2

\ , ba =

S um ando:

3 ( 8 4 m 2)

48 X + 7 X +

5 mba = 2 5 2 ™ 2

= 252 m2 x -

Simplificando : Finalmente :

Ernesto Quispe R.

S = 48x

5 =

48-1764 715

1764 715

S = 118,4 m2

25.- Por un punto O, tomado en el interior de un triángulo ABC se trazan MN//AC, TR ff BC y PQ / / AB (M y T e AB; O y N e BC). Si las áreas de las regiones MTO, OQN y POR son 4 m2, 9 m2 y 16 m2 respectivamente; hallar el área de la región ABC.

Finalmente :

I

fA x

=2 + 3 + 4

A = 8 1 m2


Luis Ubaldo C.

679

R eso lu d ó n .En el Ex ABN : 0 = 14 En el Ex MBC : a =

14 = 90 -m P M

L uego: =*

37

m P M = 62 y m 4 HMP = 31

Entonces : Tam bién:

A

HP = 3n ; HM = 5n y H = M ^rnN Q . 2 2

=*

AH = 12 n.

mNQ = 53 y m 4 QNR = 53/2

Entonces si : QR = m ; NR = 2m y RC = 3 m A hora: T am bién:

\2 n + 5 n = 3a

=

n =

3a 17

2 m + 3 m = 2a

-

m =

2a 5

a2 =

17-5 3

Por d a to : Tam bién:

9a 1 17 ' 2

x = 12¿ 17

( 1) (2 )

x — 30 u 2

Reemplazando (1) en (2) : x =

27.- Dos medianas de un triángulo miden 12m y 6m y el ángulo que forman mide 60° Hallar el área de dicha región triangular.

Resolución.Sea el triángulo ABC cuyas m edianas AM y BF miden 12 y 6 respectivamente ya que G es baricentro se tiene AG = 2(GM) = 8 y BG = 2(GF) = 4. El triángulo BGM es equilátero y su área sera :

Pero : Área (A ABC) = 6 Área (A BGM) (Propiedad) Área (A ABC) = 24 J3 m*

V

B

680

Problemas de Geometría y cumo resolverlos

Según estas propiedades los puntos A, M, C y D son arm óni cos o forman una cuaterna armónica, entonces se cum ple : Luego las áreas están en la misma relación : =>

24 = 10a + x2

Ernesto Quispe R

AM MC

CD

x ~

10 + x 4

ALi

x = 2 m2

29.- En una circunferencia se inscribe un triángulo rectángulo ABC; la bisectriz del ángulo recto B, intersecta en D a AC y en M a la circunferencia. Si BD = 2 y DM = 3, hallar el área de la región ABC.

Resolución. Empleando el Teorema de la Bisectriz para el A ABC : 22 = AB BC - AD Pero :

AD ■DC = 2 - 3 (Teorema

Luego :

4 = AB =>

Pero ■

- DC

BC - 6

AB ■BC = 10 AB-BC

Área (Ex ABC) = — - — •

Árec (£x ABC) = 5

M

Relación entre las Areas de dos Triángulos

Luis Ubaldo C.

30.- En la figura, si AB = DE; hallar :

681

S 1+S 2

R esolución.A B .A?

De la figura :

5 ,= S

T am bién:

ABO

■ (1)

2

=

AB. Ai ... ( 2)

S 1 = SABO

De (1) y (2) :

Ahora : A ABO = A EOD

ABO = "EOD = S

S = .j2 V o,

L uego:

S, +S,

En consecuencia

x -

Entonces :

x =

2S,

x = 2

31.- Dado un triángulo ABC, se trazan MN y NP paralelas a los lados AC y AB respec tivamente (M e AB ; N e BC y P e AC). Calcular el área de la región ABC, si las áreas de las regiones t¡ ¡angulares MBN y PNC son 9 y 4 respectivamente.

Resolución. Sea Ax el área de la región ABC, luego por la sem ejanza de los triángulos ABC, MBN y PNC se tiene :

B

V ^T = 3 = 2

(flf+ò)

a

a+b

b

Por leyes de Proporción :

a+b

o

b

a+b A - 25

32.- Sobre los lados AC , BC y AB de un triángulo ABC se ubican los puntos R, Q y P , AR CQ BP respectivamente de modo que : ^ = 3. Hallar el área de la región triangular limitada por las cevianas AQ , BR y CP. Si el área de la región ABC es 13 u2.

SC2


Ernesto Quìspe R

Resolución.Sea Ax el área de la región pedida, luego por propieda (n -2 )2

A* A H

.2 A* = ( 4 - 2 )

Luego :

13

42- 4 + 1

\3 ft \

~

T

n 2 —n + « 1

4 = 13 m 2 y n = 3 + 1

Donde :

'V

7 r/

3a Ax

_4_ 13

/

f,

H

A = 4 m2 33.- En un triángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes en O : A M , BN y CL. Si las áreas de las regiones BLO, BOM, MOC, NOC, AON y ALO son A 1, A2 , A3 , A4 , As y Ae . Hallar una relación entre estas áreas.

Resolución.Aplicando el Teorema de Ceva en el A ABC : AL LB Pero :

LB

BM MC A¡

NC AN

B

1

BM ’ MC

NC AN

34.- El círculo inscrito a un triángulo ABC es tangente en M a AB y en N a BC . Hallar el área de la región MBN, si AB = 5 , BC = 6 y AC = 7.

Resolución.Por propiedad : Donde : Luego :

BM = BN = p - b 5+6+7

P =

=9 y b = 7

BM = BN = 9 - 7 = 2

Por otro lado el área de la región ABC es : Sauc = J P Í P ~ d ) ( p - b ) ( p - c)

I

Luis ubaldo C.

=>


683

5abc = f i A . 3 . 2 = 6V6

Los triángulos ABC y MBN tienen en com ún el ángulo B. luego : •Sabc (AMBN) = 2r2 5-6

(Relac¡ón de áreas)

Área (A MBN) = ~ J 6 35.-En un triángulo ABC se trazan las cevianas AN y BL, si AN n B L: (O). Hallar el área de la región BON, si BN = NC y 3LC = 4 AL; además el área de la región ABC es 140 m2.

R esolución.-

B

Aplicando el Teorema de Menelao, en el A BLC : (o) (BO) (3ti) = a (OL) (76) Hacemos :

=>

= |

Área (A BON) = 7A

=>

Área ( A ONL) = 3A ; Área ( A LNC) = 10 A

y

Área ( A ABL) = 154

C om o: =>

Área (A ABC) = 140

A = 4/tí2

=>

35 4 = 140

Área (A BON) = 28 m 2

36.- El ángulo B de un triángulo ABC mide 45gse trazan las alturas AN y CM . Si el área de la región ABC es A. Hallar el área de la región MBN.

Resolución.-

B

El cuadrilátero AMNC es ¡nscriptible Luego :

m 4 - ACN = m 4 - BMN = 6

Como :

A MBN ~ A ABC

Luego :

Area (AMBN) = (MN) -------- --------- = - - 2 A (AC)2

.2

En el cuadrilátero ¡nscriptible AMNC : MN = lA = R j 2 y AC = 2R

I

... (1)

684



Área (A MBN) = A

Ernesto Qulspe R.

(*V2 f (2 R)2

Área (A MBN) =

37.- Sobre los lados AC y BC de un triángulo ABC se consideran los puntos D y E respectivamente tal que DE / / AB y la razón entre las regiones CDE y ABC es Hallar la razón entre las áreas de las regiones ADE y ABC.

Resolución.-

r

77=, —

Ya que DE // AB

Área (ADCE) Área (A ABC)

Esto significa que :

(DC)' (AC)

CD AD

ì

Área (A ADE) = 2 Área (A CDE)

Área (A ADE) Área (A CDE) Área (A ABC) Área (A CDE)

Luego :

.

2

B

Área (A Allí ) Área (A ABC)

9

2

9

38.- En un triángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes AN , BL y CM . MN pro longado intersecta en F a la prolongación de AC . Si las a reas de las regiones ABL y LBC son 2n,i2 y 7m2 respectivamente. Hallar el área de la región C B F.

Resolución.-

B

Se sabe que los puntos A, L, C y F forman una cuaterna armónica, es d e c ir: AL LC Donde :

AF CF

2 +1 + v4v

4 x = Area (A BCF) = 3 A = 3 m2

vi Luis Ubaldo C.


39.- En un trapecio ABCD (BC / / AD) : m 4 BA y BD = 4. Hallar el área de la región ACD.

685

= 609, BD es bisectriz del ángulo ABC

Resoluclón.Sea Ax el área pedida Como : BC // AD => m En consecuencia

:

41 ABC = 180 - 60 = 120

m 4 - ABD = m 41 DBC

=

B

C

60

El triángulo ABD es equilátero ya que : m 4 ABD = m 4 DBC = 60°

=>

AB = BD = AD = 4

Los triángulos ABD y ACD son equivalentes pues tienen la misma base y son de igual altura Luego : Area (A ABD) =

=>

4 2 J3

= 4 j3 40.- La base de un triángulo isósceles mide 10 iguales mide 8 m. Hallar su area.

y la altura relativa a uno de sus lados

R eso lu d ó n .En el A ABC, trazamos la altura BF, luego AF = FC = 5 En el Ex AHC:

HC = 6 y m 4 HAC = 37° ; m 4 HCA = 53°

En el Gx BFC de 37° y 53° : =>

BF = ~

Área (A ABC) =

Área (A ABC) = ^

¿^

m2

B


686

-mesto Quispe R.

f ß O ß i € h a s PR O PU 6STO S

1.- La base de un triángulo mide 12. Hallar la longitud de la paralela a esta base que deter mina un triángulo y un trapecio tal que las áreas de sus regiones son entre si como 1 a 2. A) 2-J3

B )4

D )6

E)6yf3

B

A) 8 m2 B) 10 m2 C) 12 m2 D) 15 tn2 E) 20 tn2

El área de un triángulo ABC es 8 m2. Se prolongan AB hasta P BC hasta Q y CA has ta R de modo que : AB = BP , QC = 2 BC y AR = 3 AC. Hallar el área de la región triangu lar PQR

6.- En un triángulo ABC se trazan las media nas AN y BM que se intersectan en "G”. Ha llar el área de la región triangular MGN si el área de la región AEC es 12 tn2 .

A) 120 tn2

B) 130/rc2

A) 2 tn2

B) 3 tn2

D) 140 m2

E) 144w2

D) 1 tn2

E) 6 m2

2 .-

C) 136m2

C) 4 ni2

3.- Interiormente a un triángulo escaleno ABC de Area A se ubica el punto O a partir del cua4 se trazan ÜP ± AB, OK ± BC y O H ± AC, de modo OP = AB, OK = 2 BC y OH = 3 AC. Hallar el área de la región P K H .

7.- Se tiene un triángulo ABC de área 24 trr y cuyor lados AB y BC miden 6 y lOm respec tivamente. Se trazan la bisectriz BD y la me diana RM ; hallar el área de la región triangu lar BDM.

A ,3A

B)5A

A) 2 m2 B) 3 tn2 C) 4 trr

D) 9A

E) 11A

C )7 A

4.- En un triángulo ABC se traza la ceviana BR y sobre ella se marca el punto Q de modo BQ 3 que : ^ y RC = 3 . AR . Hallar : '

AQR

D) 5 «i2 E) 6 rrr

8.- El lado AC ae un triángulo ABC mide 6m. Se trazan 2 paralelas a dicho lado que deter minan 3 regiones equivalentes Calcular la ma yor de las paralelas. A) 3 m

B) 1,5tn

D) 2-Jém

E) 2 V3 «

c ) 4bt

’ ABC

A) 2/15

B) 1/20

D) 3/16

E) 1/10

C) 3/20

5.- Calcular el área de la región sombreada sa biendo que AM = MC ; BN = 2 . NC y el área del triángulo ABC es 100 trr.

9.- Se tiene un triángulo equilátero ABC de

lado "L"; se prolongan los lados AB , BC y CA de longitudes tales como "L", "2L" y "3L", limitados por los puntos P, Q y R . Halle :

Aá PQR Aá ABC

Luis Ubaldo C.

A) 12

B) 14

Relación entre las Áreas de dos Triángulos C) 13

D) 16

E) 18

10.- En la figura AB ± C D , si SAOC= 24 m2 Calcular el área del triángulo BOD (O —>centro)

687

14.- En la figura; hallar el área de la región trian gular ABC si AMNP es un romboide. A) 25 m2

A\ 1O «~2

11.- Se tiene un triángulo A B C ; donde AB =13, BC = 14 y AC = 15. La prolongación de la mediana AM intersecta a la bisectriz exterior del ángulo "B" en "E". Hallar el área del triángu lo BME. A) 42

B) 45

C )46

D)49

E)50

12.- En la figura BM = ~ . M C , AN = | . NC.

15.- Hallar el área de una región triangular, si en su triángulo dos medianas que miden a y b son perpendiculares. A) y

B )y

D ) | ab

E ) | ab

C ) | ab

16.- En la figura : MN // AC , TR // BC y PQ // AB . Hallar el área de la región ABC.

Hallar el área de la región triangular AMN, si el área del triángulo ABC es 60 m2.

A ) 144 m2

A) 6 m2

B)

B )9 m2

C) 164 m2

C) 12 m2

D) 170 m2

D) 15 m2

E) 180w2

E) 18 m2

17.- En un triángulo ABC se trazan las cevianas AN y BL las cuales se intersectan en O. Hallar el área de la región BON, si BN = NC y AL = 2 LC. Además el área de la región ABC es 30 m2.

13.- En la figura, x = 12 m2 , y = 4 m2 y z = 6 m2. Hallar "S"

160/w2

A

P

R

C

A) 6,8 m2

A) 3m 2

B) 4 m2

B) 6 m 2

D )6 m 2

E) 10 m2

C) 5 m2

18.- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la mediana A M , si m 4- MAC = 53° y AM = 7,5 . Hallar el área de la región triangu lar ABC.

D) 7 m2 E) 6,4 m2

C) 5 m2

688


A) 18 m2

B )2 0 i r

D) 30 u2

E) 36 u2

C) 24 u2

Ernesto Quispe R.

23.- Hallar la relación de las áreas de las regio nes ATO’ y O’RO , si T y R son puntos de

tangencia.

19.- El área de la región triangular ABC es 100 m2. Se trazan las alturas AN y CM . Hallar el

área de la región MBN, si el ángulo B mide 60° A) 25 m2

B) 30 m2

D) 40 .ti2

E) 35 m-

C) 50 m2

20.- El lado de un triángulo equilátero ABC mide “a ” . Hallar el área de la región corres pondiente a otro triángulo equilátero cuyos lados son perpendiculares a los del primero A) D)

a 2J 3

B) a 2S

a 2J 3 12

E) a 2J 3 16

C)

E) 2V3 24.- Del gráfico, hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado “ Z” , A y O son centros.

a 2J 3

21.- Hallar el área de la región TKP. Si AO - O B ; R , además : TA = TP. A )R 2

A

B) y -

o¿ D) E)

R¿

triangular MNQ, sabiendo que el área del trián gulo ABC es 160 m2.

R¿

22.- En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita, de radio 4m determina sobre AC dos segmentos de 6 y 8/w de longitud Hallar el área de dicha región triangular. A) 84to2

B) 90m

D) lOOrn"

E)120w2

C) 96m

Luis Ubaldo C.


26.- En un triángulo ABC, se trazan las ceviaa a ñas BD y C E , de modo q u e : AB _ 13 BC ~ 36

689

„„ _ A+ B 29.- En la figura; h allar: -=—— 6 C+ D

. CD 12 ’ AE _ 5

AA AEC HalIar: AABDC A) 15/19

B) 15/13

D) 13/15

E) 15/14

C) 14/15 a

27.- En la figura se tiene el romboide ABCD de área 30 m2, si "M" es punto medio de BC y "N" es punto medio de CD . Hallar el área de la región sombreada.

A) 1

3a

B) 2

C) 3

a

D) 1/2

E) 1/3

30.- Calcular el área de la región sombreada. S i5 ABC= 1 5m2. -2 B

A) 1 m2

B) 1,8 m2

D)2,5 m2

E) 2,8 m2

A)

B) 0,5 /n2

28.- Calcular el área de la región triangular ABC. Si S = 9 m2 .

D)

E) 2,5 m2

ARBS

„

■?

C) 23 m2

vX

C

C) 1,5 m2

„

.

3 1 .-Halle:

K

S ABC AEDF

A) 36 m2

B) 42 m2

D) 60 m2

E) 64 m2

A) 2/1

B) 3/2

C) 1

D) 1/2

E)2/3

r

690


32.- En un triángulo ABC, se traza la altura BH tal que : m 4 ABH = 2 . m 4 HÍBC. Cal cular el área de la región triangular BHC ; s i : AH = Sm y HC = 3m. A) C m í

B )9 m2

D) 18 w2

E) 3 m2

C) 12 m2

B )4 m2

D) Sm2

E) 5 m2

37.- Dadas dos circunferencias congruentes de centros O y O, y radios En la circunfe rencia O, se traza la cuerda AB , que prolon gada es tangente en P a la otra circunferencia. Hallar el área de la región triangular A B O , si m AB = 60° A )R 2

33.- En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz exterior BE y la mediana A M , las cuales se cortan en "P". Determinar el área de !a región triangular BPM; si AB = 3 . B C yS ABC= 40/n2. A) 3 m2

Ernesto Quispe R.

C )6 w 2

C)

D >¿-

E >¿-

38.- Calcular el área de la región sombreada si ABCD y DFGH son cuadrados de centros C y Oz , MN = 1 y NO, = 2 A) 3

34.- En la figura los triángulos APB, BRC y AQC son equiláteros. H allar "S2", siendo S,1 = S m 2 ’; S3 = 10 mz y S J =414 m2.

B )4 C )2V 3 D)

2V2

B

E)4V 2

35.- En una circunferencia se inscribe un trián gulo rectángulo ABC recto en B, cuya bisec triz intersecta en D a AC y en M a la circunfe rencia; si BD = 3 y DM = 4. Hallar el área de la región ABC. A) 12

B) 11,5

C )ll

D) 10,5

E) 10

36.- En un triángulo ABC se cumple que : R . ha hbhc = 72 m4 , siendo R el circunradio y ha , hDy hc las longitudes de sus 3 alturas.

Hallar el área de la región triangular ABC. A) 9 m2

B) 12 m2

D ) 24 rrí

E ) 6 m2

C) 18 m2

39.- Tomando como centro el vértice A de un cuadrado ABCD se traza el cuadrante BAD, luego se traza una tangente RS en T a dicho cuadrante (R y S en BC y CD respectivamen t e ) . Si Ak n BD : {Q},BQ = 6>/2 y S D = 2. Hallar el área de la región triangular AQS. A) 50

B )40

D )32

E )36

C)40V 2

40.- Del gráfico adjunto; hallar la relación en tre las áreas de las regiones TBQ y ABC, A) 1: 1 B) 1 :2 C) 2 : 3 D) 1 :3 E) 3 : 5

m i ÁREA DE UN CUADRADO

*r

El área (5) de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado (postulado de la uniaad). Sea "/ "la longitud del lado del cuadrado ABCD (fig.20.1). L uego: /=

C om o:

J2

( 20.1)

S = 4 -

T am bién:

2

20.2 AREA DE UN RECTANGULO El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. S - b.h

J

i. s

... (20.2)

Demostración.- Consideremos la Hg. 20.2, dondeA re

presenta el área del rectángulo. Las áreas de los cua drados son b2,h 2y (b + h )2.

L

G> ■■ h

_

S

¡n__* S

Entonces :b2 + 2bn + h2 = b2 + 2a + h2 Cancelando :

h

b J

L uego: (ib+h )2 = b 2 + 2S + h2

Vl r ---------

— ------ b

O

2bh = 25

Fig. 20.2 De d o n d e:

bh = S Iqqd

692


Ernesto QuispeH

20.3 ÁREA DE UN mKALELOCKAMO El ¿rea de todo paralelogramo es igual al produc to de su base por su altura Sea ABCD un paralelogramo de base b y altura h (Fig.20.3)

Luego :

S=bh

E nel k A F B :

h = ¿z sen 0 S = ab se n 6

... (20.3)

B

a/

Xe

h

S

i

... (20.4)

/

/

Fig. 20.3

20 A AREA DE UN ROMBO El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales. Sea A el área del rombo ABCD (Fig. 20.4). Luego: 5 =

AC.BD

... (20.5)

Si / y r representan las longitudes de su lado y del inradio. Entonces: S = 2 rl

. ( 20.6)

20.$ AREA DE UN TRAPECIO El área de un trapecio es igual a la sem isum a de sus bases por su altura En laf/g.20.5, si o b,yh representan las longitudes de las bases v altura del trapecio ABCD, entonces se cumple :

a +b 2 a+b

Como :

MN =

También :

SL =■ MN h

Fig. 20.5

Áreas de Regiones Cuudrangulares

Luis Ubaldo C.

693

Z0.6 ÁREA DE IÍN CUADRITATEKO CUALQUIERA El área de un cuadrilátero cualquiera es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales por el seno del ángulo que forman. Sea "6" la m edida del ángulo que forman las dia gonales del cuadrilátero ABCD (/ig.20.6). Luego el área A viene dada por : S Q = ^ AC.BD s e n 0

... (20.9)

20.7 ARhA DE UN CUADRILATERO CIRCUNSCRITO. El área de un cuadrilátero circunscrito es igual al producto de su semiperimetro multiplicado por el inradio. Sea el cuadrilátero ABCD circunscrito a la circun ferencia de radio r (Fig. 20.7). S¡4 representa su área y p el semiperimetro entonces : (20.10)...

S = p .r

d o n d e:

p = Q+ ^ +c

m 8 AREA DE UN CUADRILATERO INSCRITO El área de un cuadrilátero inscrito o inscriptible es igual a la raíz cu ad rad a del producto entre el semiperímetro menos cada lado. Sea p, el sem ipenm etro del cuadrilátero inscrito \BCD (Fig. 20.S). Luego; su área A s e r a : S = ^ (p -á )(p -b }(p -c )(p -d )

Fómiula de Brahama - Gupta

...(20.11)

Fig. 20.8

694


Erneslo Qulspe R

20.$ ÁREA DE UN CU4DR1LATEKU INSCRITO T CIRCUNSCRITO El área de un cuadrilátero inscrito y circunscrito a la vez es igual a la raíz cuadrada del producto de sus cuatros lados. Sean a, b, c, y d las longitudes de los lados del cuadrilátero ABCD (Fig. 20,9). Luego, si su área es S, se cum ple : S = Jabcd

... ( 2 0 .1 2 )

20.10 PROPIEDADES 1ra PROPIEDAD Si ABCD es un paralelogramo. Se cumple q u e : ( 2 0 .1 3 )

Observación.- En un paralelogramo ABCD al trazar las diagonales, se cu m p le:

Fig. 20.1

2da PROPIEDAD Si ABCD es un paralelogramo de área "5" y P es un punto cualquiera de BC. Se cum ple: S Si ~

r

2

...(2 0 .1 5 )

Áreas de Regiones Cuadrangulares

Luis Ubaldo C.

695

3ra PROPIEDAD

Si ABCD es un paraJclogramo de área S y P un punto interior al paralelogramo. Se cu m p le: 3r Si + S? = 2

-(20.16) Fig.

O bservación : Si P es un punto exterior al paralelogramo ABCD se tie n e :

S* + S2 =

...(20.17)

Siendo S el área del trapecio ABCD, M y N son puntos medios. Se cu m p le: S, = S2 = |

...(20.18)

5 U PROPIEDAD

SiendoS el área del trapecio ABCD, M es un pun to medio. Luego : S, = |

...(20.19)

2 0 .1 3

696


6U PROPIEDAD

Siendo S el área del trapecio ABCD. Se cu m p le:

S, = 4

- (20.20)

7ma PROPIEDAD

Si ABCD es un trapecio de area S, se cumple : S,= S 2

s, = s 2 = Js

3 . S4

S = ( ^ + , S 4i

... ( 2 0 .2 1 )

...(20.22)

8va PROPIEDAD

En un trapecio las bases se dividen en n partes iguales y se unen los puntos de división correspon dientes de estas bases. Si 5, , S2 , S3 , . . . 5 represen tan las áreas de los n trapecios determ inados y S es el área del trapecio dado, se cumple la relación:

9na PROPIEDAD

En el trapecio ABCD ( BC // AD ). M es el punto medio de CD y MN // AB, siendo 5,, el área del AABN y 5 el área del trapecio ABCD se cum ple : S, = |

í

... ( 2 0 .2 3 )

Ernesto Qulspe.,

Areas de Regiones Cuadrangulares

Luis Ubaioo C

T E R C IO O S D € A p l i c a c i ó n

697

| | RA P A R T O )

1.- En el trapecio ABCD ( BC / / a D ) M es punto medio de AB, calcu lar el área del triángulo MCD si el área del trapecio es 36rr?

Resolución.En el trapecio trazamos la altura MH = h del triángulo MCD, entonces S MCD =

CD h

...

(D

Sabemos que el área del trapecio ABCD es CD . h (Propiedad) Entonces en (l) :

=

5abcd

5 m cd=

18 m 2

S

MCD

36 m 2

2.- En ¡a siguiente figura demostrar que el área del cuadrilátero ABCD es igual a la raíz cuadrada del producto de sus cuatro lados.

R esoludón.Utilizando la Fórmula de Brahama-Gupta (item 20.8) : S = J ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d ) ... (1) Ahora aplicando el teorem a de P ithot:

a + c= b+ d

Siendo «p» el semiperímetro, tenem os : Reem plazando:

P=

P=

a+b+c+d

(o + c)+ (o+ c)

p —a + c

=>a = p - c

y

Análogam ente:

p = b+d

=$p -d = b

y p -b = d

Entonces en (1 ):

S — Ja b cd

item 20.9

c= p-a

698


Ernesto Qulspe R.

3.- Demostrar que en todo paralelogramo una diagonal determina dos regiones equivalentes.

Demostraclón.En el paralelogramo trazamos la altura «h» com ún a los triángulos ABD y BCD. L uego:

S

Tam bién:

S

Puesto q u e :

ABD

BCD

-

AD-rt

=

BC-ft

(O

- (2)

BC = AD S

BC -h

9 ... (3)

ABD

De (2) y (3):

...

2

C

BCD

—C

item 20.10.1

ABD

4.- Si el área del paralelogramo ABCD es 20cmr* y «p» un punto cualquiera del lado BC Calcular el úrea del triángulo APD

Resoluclón.-

S apd

= l ° « n 2

5.- Si el área del paralelogramo ABCD es 24m?, hallar el área del triángulo ABO.

Resolución.En el paralelogramo ABCD, para el triángulo BCD, S = SJ 3 como CO es m ediana: J 2

r

Y en el triángulo ACD:

S = S J 3

Además BD es m ediana del A ABC:

5, = 52


Luis Ubaldo C.

Luego :

5, = S, = S3 = S4 =

; ¡tem 20.10.1 24m2 = 6m2 4

Reemplazando :

699

S MCD =

6 /7 ,2

6.- S/ ABCD es un trapecio (BC / / A D ), demostrar que S , = S3

te m o s tr a c ió

i

-

s ABD = s ACD

Puesto que :

s ABD = s ABN

También :

s ACD = s CND


( 1)

...

+ SAND = SCND + SAND

Simplificando :

= 5CND « ,= « 3

7.- Demostrar que en todo cuadrilátero circunscrito (o circunscriptible) a una circunferen cia el área es igual al producto del semiperimetro (p) y el radio de dicha circunferencia)

Resoludón.En el gráfico observamos que . Luego :

_ abcd

Entonces : Factorizando :

„ abcd

SABCD

5ABCD —SAOB + -^BOc + ^ cod + ^ aod

AB-r _

2

+

B C -r

CD-r

2

2

2

_ A B -r+ B C -r + C D -r+ A D -r —

2

(AB+BC+CD+AD)

Puesto que el semiperimetro «p* es :p = /B C D

AD-r +

=p-r

AB+BC+CD+AD

700


Ernesto QtíkpeR.

10m* PROPIEDAD

Si a, b, c y d son las longitudes de los lados del cuadrilátero circunscrito ABCD y r la longitud del inradio. Se cu m p le: \

0,,= (a + c) . r =

(b + d)

... (20.24) ~Fig7 2 0 .2

11ra PROPIEDAD

El área A de un cuadrilátero cualquiera ABCD, cuyas diagonales son valores conocidos, es máxima cuando 0 = 90°, resultando: -.( 2 0 .2 5 )

Fig.

12d* PROPIEDAD

En el cuadrilátero inscrito ABCD, ya que : m Z A + m Z C = 180 Se cumple q u e : A i _ id •Ao be

... (2 0 .2 6 )

13ra PROPIEDAD

Si r representa la longitud del inradio de un cua drilátero inscrito y circunscrito a, b, c, d, las medidas de los lados y p la del semiperímetro, entonces es válida ta relación: r -

r -

Jip-a) (p - b ) ( p - c ) (/' ti) c -b c d

... ( 2 0 .2 7 )

2 0 .2 2

^

vi

701


Luis Ubaldo C. 14ta PROPIEDAD

Si M es el punto medio de AB y BC // AD y A representa el área del trapecio ABCD, se cumple : A = (CD) (MH)

... (20.28)

15*3 PROPIEDAD

Si a, b, c y d representan las longitudes de los lados de un trapecio de área A se cum ple : b + d A = —------— J ip -a ) ( p - W ( p - c ) ( p - d ) o -a

„ , Donde :

p

... (20.29)

a+b+c+d

--------?.------

16^ PROPIEDAD

Si M, N, L y F son puntos m edios de los lados del trapezoide ABCD de área 4. Se tiene :

-A(0 MNUr) =

••• (20.30)

17ma PROPIEDAD

J

Si a + b = k (constante) entonces el área A del rectángulo será máxima cuando a = b, resultando:

L

o 1

i b Fig. 20.28

18va PROPIEDAD

S i : BC / / MN / / AD, A ] y A2 representan las áreas de los trapecios MBCN y AMND, se cumple : A' A2 M .

Nota:

C A A Si í4, = í42

™ 2 -B C ! AD2 - MN2

... (20.32) IAD2 + BC2

,.M

MN

‘4

702


Ernesto QuispeR

igra PROPIEDAD

Si M, N, L y F son puntos medios. Al + A 3 = A 2 + A 4

... (20.33)

Fig. 20.30

20ma PROPIEDAD

Si ABCD es un trapezoide. \

=A l +A2

, (20.34)

21ra PROPIEDAD

Si M,N,L y F son puntos m edios de los lados del trapezoide ABCD, se cumple : \

=A \ +A í +A3 + \

... (20.35)

Fii,. 20.32 22da PROPIEDAD

S i: BC // AD y el área del trapecio ABCD eSi4, se cum ple: 4 = 4 x

9

. (20.36)

Áreas de Regiones Cuadra.xgulares

Luis Ubaldo C.

« lfc R C íC io s o t

a í> L ic a c ió n

i ? Dft

703

p a r t í)

8.- El área de un cuadrilátero convexo es 40cm *; hallar el área (S) del cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de los lados del primero.

Resolución.D ! gráfico. SMNE> = Sp(^KT- (SMQN + Sm + SpMF + S NRE) ... (1) S En el triángulo PQR: SMQN =

*^R-

(Propiedad)

Tarfbién en el A PTR : Sp^ = Efectuando la sum a indicada: Esto es :

_ S PQR+S PTR M QN

SFT E

SMQN + SF TE =

PQRT 4

—

(2)

En forma análoga : Ahora, reem plazando (2) y (3) en (1) : SMNEF = _ ^9R— (Propiedad item 20.10.16) Para el problema :

SMNEF = 40

= 40cm2

S MNEF = 2 0 0 ,7 ,2

N o ta A d e m á s , recuerde el lector que el cuadrilátero MNEF es un paralelogramo. 9.-Demostrar que en todo trapecio el área es igual al producto de la longitud de uno de los lados no paralelos y la distancia del punto medio del lado opuesto al primero.

Demos tración.Consideremos el trapecio ABCD, donde «M» es punto medio de AB y MH _L CD Demostraremos q u e :

Sabcd

Desde luego sabem os que :

ABCD

= CD • MH

H

= MN • CQ ... (1)

Donde MN es la m ediana y CQ la altura del trapecio. S iendo:

£ MNH = £ D

. Luego .

MN MH CD - CQ

MHN ~ 6xCQD - MN • CQ = MH • CD ... (2)


^ abcd = C D ' MH

item 20.10.14

704

Problemas de Gtometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

10.- Un rectángulo y un cuadrado tienen igual perímetro. Demostrar que el área del cua drado es mayor que la del rectángulo.

Demostración.-

J

L

J

1

n

r*

i

r

Por ser ¡guales los perímetros : AL = 2 (a + b) Entonces :

L=

Siendo las áreas : Srect.. = ab

=? Scuad.. = L2 = Ií - 2

)Y

Ahora bien de la media aritmética sabem os que para cualquier par de núm eros positivos, la media aritmética es mayor que la m edia geométrica. a +b _

Así, con a y b :

2

,—

Jab

Elevando al cuadrado am bos miembros de la desigualdad, para obtener las expresiones de las áreas : De donde efectivamente :

> ab

item 20.10.17

Sc u a d.. > Sr e c t .

11.- En un trapecio, las longitudes de >as t ses son a y b. Hallar la longitud del segmento pa ralelo a las bases, limitado por los otros lados y que determine dos figuras equivalentes.

Resolucion.Consideremos el trapecio ABCD, donde BC = a , AD = b, EF el segm ento paralelo a las bases, siendo adem ás «*/?» y «H» alturas d t AEFD y ABCD respectivamente. Datos :

ayo

Se tienen :

, incógnita : x S

ABCD

(H -h ) ... (2)

s

EBCF

- ( ^

De ( I ) en (3) :

De (1) = (2) :

2

) h

J* = f

h

H

=>

£ =

)

... (4)

(» - V

Operando convenientemente : Entonces :

. (3 )

Jh

=

[^ ]h

... ( 1)

-(V I *

(b + x) h +■(a + x) h = (a + jc)H

a+x a + b + 2x

... (5)

Luis Ubaldo C.


Finalmente de (4) = (5) :

^

0

= a ° b + 2x

"

705

x =

12.- Eri la figura mostrada, ABCD es un trapecio (BC / / A D ), donde se sabe que : AB = 2 , BC = 3 CD = 5 y AD = 8. Calcular el área del trapecio.

Resolución.-

D

Con los datos dados, en el gráfico podem os observar que es conveniente aplicar el item 20.10.15. Donde : p = 2 + 3 + 5 + 8

p =9

=>

S = § T § V (9 - 2 )(9 - 3 )(9 -5 ) (9 -8 ) Ahora :

S = y /7 - 6 - 4 - I

Luego :

S = -y • 2^/42 c

22

S = 5 J42 13.- En el cuadrilátero ABCD, cuyas diagonales AC = 10, BD = 12. Calcular el área máxima del cuadrilátero.

Resolurlón.-. Del gráfico sea «S» el área pedida r- . Entonces:

tAC-BD „/ ■, ■* S = ---- ----- se n 0 ...(1)

Ahora para que el área sea m áxim a, 0 = 90° Luego:

5 = -AC^BP sen 90° í

Entonces :5 = o—^ 1012

=*

5 = AC_BD

"

S = 60 u

2

item 20.10.11

70C


Ernesto QuIspeR.

M is c e lá n e a

1.- ABCD es un romboiue; s i: MÑ //B C S2 = 12 m2y

,

S1 = 8 m2 , S3 ~ 6 m2 .

Hallar S4

Resolución.Por dato : MN // BC , entonces : 5.MBND S

Puesto q u e :

APD

De (1) y (2) :

M BND .

Reem plazando: S, + D onde:

jc +

-

— 2 • 5ABCD - ( 1)

1 •9 = — 2 ABCD .

A PD

y + S3 = S 2 + x + y + 5 4

S,1 + S3,= S0 + S.4 ¿

=> 8 + 6 = 12 + S„

S4 = 2 m 2 2.- ABCD es un romboide, donde AR = 2- RB = DQ y AS = SD ¿Qué fracción es la parte sombreada al romboide ABCD?

Resolución.Según las condiciones del problema, RQ /,' BC . Por semejanza de triángulos: BF = 2 ■FS y Luego :

ES = 2 • BE

BE + EF = 2 • FS y EF + FS = 2 • BE

Reemplazando:

BE + 2 • BE - FS = 2 • FS

Donde :

3 - BE = 3 • FS

Ahora:

BE = FS

Por lo tanto : BE = EF = FS y AF = FH = FC

B

Luis Ubaldo C

Del gráfico :


6* = ^

5

abcd

La fracción p ed id a es : 3.- Si : SABCD = 120 m* ; hallar : SBQU

Resolución.Propiedad:

AP = PQ = QC

En el A ABD, “P” es baricentro, entonces : BP = 2 • PM 5BQP = 2 - 9 PQM

Por relación de áreas en el A BQM : Ahora :

SABC =

Donde:

5 abcd

65 = ^âbcd = I |0

S MBQ ~ 3 0 17,2

4.- Si ABCD es un romboide. Hallar el área de la re gión sombreada, siendo AC = 6- A F , EH / / BD y el área de ABCD igual 18 rrí2.

Resolución.Sea: AF = a

C = 6a

FC = 5a

Además por dato : EH // BD, entonces por proporcionalidad : HD = 2 . AH = 2b Por relación de áreas, si5AFH = x , entonces:

y

•^HFM 2* Sum ando: L uego:

x + 2x + 3* + 12x =

18jt = 9

18

x =

B

^

707


708

Puesto q u e :

Ernesto QuispeR.

SHEC = * m2

-'HEC

5.- S i: BC / / AD ; 5 - AD = 9 - B C ; 5 - CE = 4 - DE Hallar : S 1/S 2 .

Resolución.Trazamos las perpendiculares BQ y AH a la recta que contiene al lado CD. Luego : Ex BQC ~ Ex AHD : s

^ = — = £ Ah 9a 9

De donde s i : BQ = 5 k Del gráfico:

S, + S =

AH = 9 k 9h- 5k

(1)

2

5 t-9 k

Tam bién:

... ( 2)

De (1) y (2) : S, + S = S 2 + S Entonces :

S, = S?

S2

6.- Si AB = 5 y A C = 1 2 ; calcular el área máxima del rectángulo AM NP.

Resolución.Sabem osque:

S = a .b

... (1)

Además : Ex MBN - Ex BAC 5- a b 5 _ 12 Donde: =>

6 0 -12a = 56 12 a + 5 £> = 60

Despejando:

I

b =

60-1 2 a

(2 )

Luis tibaldo C.


Reemplazando (2) en (1) : Hallamos:

5* = —

j

S= a

=>

5 5 = 6 0 a-1 2 a2

=*

5 = 1 (60a -12 a 2) => 5’= 5 Igualamos a cero, para hallar el valor de «a» que da el máximo “S" da

60 - 24a = 0 Luego: 5 5 = 60 |

- 12( f )

=>24

a = 60 =>

5 = 30-15

=*

709

60 - 24a

a =

|

S=15u2

7.- Si ABCD es un romboide, en el cual S1+ S3 = 9m 2 y S 2 = 4 m 2. H allar: "S4"

Resoluclón.Trazamos por P, EF perpendicular a AB y a CD, luego de la figura deducim os las siguientes relaciones: ah,

5, + x + 52 = — Tam bién:

y + 53 =

ah-.

... (1) ... (2)

Sumando (1) y (2) : 5 1 + 5 2 + 53 + x + y = | ( h 1 + /j2)

...(3)

A hora: x + S4 + y =

(/?, + h2)

... (4)

Igualando (3) y (4) : S, + 5 2 + 53 + x + y = 54 + x + y Entonces :

5, + 52 + 53 = 54

Reemplazando valores:

54 = 9 + 4 S4 = 13 m2

710


Ernesto QuispeR

8.- Si MC //A B y MA / / CD ; hallar: “S

Resolución.Ya que AB // CM

m 4 BAM = m 4 AMC = P

y

m 4 ABM = m 4 CMD = 0

También com o AM // CD

m 4 AMB = m 4 CDM = a

y

m 4 AMC —m 4 MCD = 3

Por relación de á re a s : Multiplicando:

m

ob ax

Sx mn

ab xy

X

Además como A BAM ~ A MCD :

ab by ...

— = t: y b

ab = xy

De (1) y (2):

Sx

en

- ( 2)

2

mn

= 1 D

S = Jmn

9.- El perímetro de un rectángulo es de 46 m y su diagonal mide 17 m; hallar el área de su región.

Resolución. Por condición del problema : 2a + 2b = 46 Tam bién:

AC = 17

Nos p id en :

x = ab

(a + £>)2 = a2+ b¿ + 2ab

Sabem os: Reemplazando: =>

(23)2 =

172

+

2x

232 - 172 = 2x

Por diferencia de cuad rados: Donde :

=>

(23 + 17) (23 - 17) = 2x 40 - 6 = 2x x = 120 mz

lu is

A r e a s a e r e g i o n e s L .u a a r a n g u ia r e s

u o a ia o o .

^

1 ii

10.- Si ABCD es un romboide de área 40 m2 ; hallar el área de la región triangular MCQ.

Resoluticn.Prolongamos CM ha jta intersectar a la prolongación de DA en E, lu eg o : El A EMA = A CMB

=>

EA = BC = 2b y EM = MC = K

En el A EMD, por el Teorema de Menelao : (NC —»secante) 36 • QD • K = b ■MQ ■2k Esto puede s e r :

=>

= f

QD = 2ny MQ = 3n

En el A CDE; DM es mediana, entonces :

5 tMU „ ,ri =

Ml_U

= 55

11.- En la figura mostrada calcular ‘1B"para que las regiones MLNyAOL sean equi valentes.

B

Ernesto QuispeR.

/ ruuiernus u e v je u m e tn c i y c o m o r e s o lv e r lo s

Resolución.-

H

En el A AMN :

w +s=

En el A AMO :

w +s= ^

De (1) y (2):

2

—

...

( 1)

... (2)

AM-ftz _ AM /?!

L uego:

2

_

/?!

2

B

h2

Esto quiere decir que; AM es paralelo con NO, puesto que : Entonces la

m 4 MAQ = 45o

0 = 45°

m 4 NOB = 45°

12.- Si ABCD es un romboide de área 60 m2. Hallar el área de la región triangular EBF.

Resolución.Estas propiedades se usan para resolver este p ro b lem a: x

Completando todas las áreas para cada región trian gular ten em o s: 60 3 x + 3 x + 3 x + 2 x + 2x +

E n c o n s e c je n c ia :

x

+

x

=~2

15* = 30 x - 2m '¿

= 1 9 2

abcd

Luis Ubaldo C


13.- Si ABCD es un romboide. Hallar el área de la región sombreada, siendo el área de ABCD igual a 60 m2.

713

B

Resolución.En el A ABC, el punto «Q» es el Baricentro, entonces existe 6 triángulos de áreas iguales a «x» Luego en el cuadrilátero AQCD :

jf + x + 3 j f + 3 x = 5 AQCD

D onde: Tam bién:

\2 x = SABCD

'Â Q C D

171

14.- Se tiene un rectángulo de 60nr2 de área. Si los lados son números enteros (en m) el perímetro mínimo posible (en m) e s :

Resoluclón.Por d a to :

5 = ab = 60

Nos piden hallar 2 (a + £>) mínimo.

L

Al descom poner 60 en dos factores c o m o : 6

s

10 = a b

Luego:

x = 2 (10 + 6)

Nos da el m ínim o:

x = 32 m

~l

r


714

Ernesto QtñspeR.

15.- En la figura ABCD es un trapecio, en donde: C M //A B y B N //C D S i:

*= 4

H allar:

x/y

Resolución.Por condición del p ro b lem a:

m = in

En el trapecio MBCN :

y2 = 4n n

D onde:

y = 2n

También en el romboide ABCM : x = 4n + 2n r

=>

x = 6n

.

x — - -!1 y ~ 2n

En consecuencia:

D

x —3

y

16.- ABCD es un rectángulo, donde ED = 3 • C E . Hallar el área de la región sombreada; si el área que encierra el rectángulo ABCD es 40 u2 .

Resolución.Sea x el área de la región som breada m n

A EFC —A ABF

Luego, si SFCE = x , entonces : Dato: Sum ando: Ahora :

^ abcd = 40 " 2

4a

AFD

FED

=»

5 acd =

=>

o

2 0 " 2

m = 4n

= I6x B

16x + 3x + x = 20 u2 20x = 20 u 2

4a

x = 1«2 A

o-t-

En la figura:

Areas de Regiones Cuudrangulares

Luis Ubaldo C. 1 7 En la figura, ABCD es un romboide. Donde:

SABCD = 48m2

hallar:

“x ”

B

715

M

Resolución.Prolongamos ME nasta Q y trazamos DM, del gráfico observamos que “H” es baricentro del A BCD =*

DH = 2MH = 2 y

Además -

EF = FM = n y SFHM = *

En el A EMD, aplicamos el Teorema de Menelao :

2y ■MF • a = y ■EF • 2a

MF = EF = n

Tam bién: Luego :

FMH ~ X ' ÊHD =

Entonces:

¿ RMD = ^QED =

En consecuencia:

■ÂBCD =

Pero por d a to :

■ÂBCD = ^8 —4&X X = l i¡2

18.- Hallar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que las áreas

B P

de las regiones sombreadas suman Sm2 y AM = MB.

Resolución.Trazamos O H J . B C ;

OEJ. BM

; Ó G J.C D

Luego : OE = OH = a = CF y DG = OF = HC = FD = b

P

H

H Ve U

a2 + b1 = 5

Luego :

^ 8

a

b = 2a

En la figura : Por d a to :

B

a2 + (2a)2 = 5

0

n_

KT

11

b= 2

a = 1

b

Nos piden hallar: x = (a + £>)2 O sea:

x = (a + 2a)2= (3a)2 = 9a2

Reemplazando:

x = 9(1 )2

/.

x = 9m 2

n

n

eA

fñ

D


716

19.- En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Hallar el area de la región triangular MND. Siendo AB = 6

Resolución.Trazamos por N, PQ 1 AB (P e BM a Q e CD) En el trapecio rectángulo MBCD; por propiedad : v2 =

Puesto que

c MBN S •D-= NCD

Tam bién: Reemplazando:

s

MBN

■S

NCD

(3)(2) 2 5— = 3fj (6)(4) 2

■

, =

x2 = (3) (12)

1 2 i/2

H

jc2 = 6Z x = 6«2

20.- En la figura mostrada A y B son puntos de tangencia, si AB = a. Calcular el área de la región ABCD en función d e a y 0 .

Resolución.En el cuadrilátero ADCB : SADCB

AC-BD ■sen 20 ... (1) 2

Aplicando el Teorema de Stewart en el A AMB : AC2 • MB = a 2 • MC + AM2 • BC - MC • BC • MB ... (2) BD2 • AM = a 2 • MD + MB2 - AD - MD ■AD AM ... (3) En (2) :

AC2 • MB = MC (a2 - BC-MB) + AM2 - BC

Luego :

AC2 ■MB = AM2 BC

... (a)

ErnestoQuispeR

vi

Areas de Regiones C uadranglares

Luis Ubaldo C

En (3) :

BD2 - AM = MD(a2 - AD ■AM ) + MB2 ■AD

Luego :

BD2 ■AM = MB2 ■AD

Multiplicando (a) y CP) :

... (P)

AC2 ■MB ■BD2 • AM = AM2 • BC • MB2 • AD

Simplificando:

AC2 • BD2 = (AM - AD) • (MB • BC)

A hora:

(AC ■BD)2 = a 4

_ , ... Este ultimo reemplazamos en (1):

_ adcb =

AC • BD = a2

a 2 • sen 2 0 ------- 2-------

21- En el trapecio ABCD mostrado (BC //A D ) de área 135cnr2. Hallar el área de la región sombreada.

Resolución.Del gráfico, las rectas TK y PQ trisecan a las paralelas MN y EF Luego por Propiedad : Área (EMGL) = Área (RNFI) = Ax

De donde : Área (EMNF) = 3 Ax =

Resultando :

| Área ( ABCD)

Ax = ^ (135) AX= 1 5 m2

22 - En la figura las áreas de las regiones TPC y OKD son 4m2 y 8rr,i2. Hallar el área de la región TKR.

717


718

Ernesto QuispeR.

Resoluclón.Consideramos el área de la región KTCD como A, luego por Propiedad se tiene :

„ u x

Tam bién:

= »(g f z

D)

... (1)

4 + A + 8 = A(D^ CD^ ... (2)

De (1) y (2) :

Ax + A = 4 + A + 8 AX = 1 2 m2

23.- En la figura ABCD es un paralelogramo. Hallar AX

R esoludón.En el trapecio TBCD : Área (A BOC) = Área (A TOD) = A (Propiedad)

En el paralelogramo ABCD: Área (A ABD) = Area (A BCD)

Reemplazando:

4+A + 7= A +A x

A%= 11 m2

A

24.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B , se trazan las bisectrices interiores AD y C E . Si AD = a y CE = b ; hallar el área de la región AEDC.

Resoluclón.En el éx ABC, I es incentro y m 4- AIC = De donde :

m

41 AIC = 135°

Sea Ax el área pedida. Luego :

A = ¿ (AD) (EC) sen 135°

Áreas Je Regiones Cuadrangulares

Luis Ubaldo C.

1

Ax = 2

719

A _ = ab J 2

b, ^2 ~2

4

25.- Hallar el área de la región TORS, si las áreas de las regiones BQC y ASD son Sm2 y 12rr?. Además: B C //A D .

Resolución.Por Propiedad

B

1 , Area (A BRA) = —Area ( ABCD) Area (A TBC) + Area (A ATO) =

1

Area ( □ ABCD)

Luego : Area (A BRA) = Área (A TBC) + Área (A ATD) Reem plazando:

¿4, + A2 + Ax = At + 5 + A2 + 12 >4.. = 17 m 2

26.- ABCD es un romboide; P es un punto exterior a él (P a un mismo lado de AD ). AC n PB: { R ) y AD o BP : { S ) y AD o CP : { T). Si las áreas de las regiones ARB, ASP y PTD son de Su2, 3U2 y 4 ir respectivamente. Hallar el área de la región SRCT.

Resoluclón.En el paralelogramo ABCD se cu m p le: Área(A ABP) + Área (A CPD) = | Área ( □ ABCD)

También :

Área (A ACD) = ^ Área (O ABCD)

De d o n d e : Área (A ACD) = Área (A ABP) + Área (A CPD)

Reem plazando: í4j + A^ + A2 = (5 + Ax = 12 m2

A + 3) + (A2 + ^ 4)

Problemas de Geometría y cóma resolverlos

720

Ernesto QuispeR.

27.- Las bases de un trapecio miden a y b . Hallar la paralela a dichas bases que determina dos trapecios parciales equivalentes.

Resolución.Las prolongaciones de AB y DC las intersectamos en F , asum iendo que el área de la región BFC es A, y considerando la semejanza de los triángulos BFC, MFC y AFD se tiene :

A\+A

x2

A, + 2A

b2

a

--------- — — 2

x -a

De (1) y (2):

X

2

A t+A

2 , 2 2 b -x X

2

2

Resolviendo :

b2~ x 2

-------- —----------

.2

x — -ia + °

28.- En la figura:

A 1 = Im 2 ,

A2 = 4m2 ,

A3_ = Sm2 *y

A4.= Wm2 .

Calcular: Ax

Resolución.En el trapezoide ABCD se cumple : Área (A BCN) + Área (A AMD) = — Área ( □ ABCD)

También :

Área ( □ AECF) = ^ Área (ABCD)

De d o n d e : Área (A BCN) + Área (A AMD) = Área (A AECF) Reemplazando: A2 + ^5 + ^3 + Al + ^6 + AA= ^5 + Ax + ^6

Finalmente:

Ax = A,1 + An + A-3 + A.4 2

i4x = 1 + 4 + 9 + 16 A = 3 0 m2

x2

f2)

Luis Ubaldo C.


721

29.- Los lados de un cuadrilátero inscrito ABCD miden :A B = 2 , BC - 3 , CD - 4 y AD = 5 . Hallar el área de la región ABC

Resolución. El área del cuadrilátero inscrito ABCD, la calculamos em plean do el teorem a de Brahma - Gupta : Ax + A = J ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d )

Donde :

Ax + A = ^ /( 7 - 2 ) ( 7 - 3 ) ( 7 - 4 ) ( 7 - 5 )

=>

Ax + A = 2>/30

...(1)

En el cuadrilátero inscrito:

a + 0 = 180 A Ax

L uego: Sustituyendo (2) en (1) :Ax +

2-3 5-4

Ax = 2-J30

=2>/30

4 x = ffV T o 30.- En un trapezoide ABCD :m 4 _ A = m 4 C = 90B, B C = C D y la distancia del vértice C a AD es 7. Hallar el área de la región trapezoidal ABCD.

Resolución.Trazamos CF perpendicular a la prolongación de AB, luego Bx BFC = Eí^ CHD [ALA) Luego :

Área (Éx BFC) = A2 y FC = CH = 7

De donde el área de la región pedida ABCD es igual al área del cuadrado AFCH Es decir :

¿ , + ¿ 2 = 72 Área ( □ ABCD) = 49 u2

31.- Hallar el área de la región PMQL; si las áreas de las regiones ABP y QCD son 6rvP y lOm2 respectiva mente.

Problemas de Geomt tría y cómo resolverlos

722

Ernesto QuispeR.

Resolución. ah. Ax + 6 = ~ 2 I

-0 )

ah, A ,+ 1 0 = ^ -

... (2)

Del gráfico observamos que : Tam bién: Por consiguiente :

A } + A2 + Ax =

2a h

Aj + A2 + Ax = ah

(1) + (2): Ahora: Luego:

32.- En la figura O es centro y las áreas de las regiones triangulares MTN Y ATO son iguales. Hallar la m MN .

Resolución.-

trapecio AMNO donde : AM // ON =*

m 4 ANO —m 4- MAN = ^

En ei A AON:

m 4 NAO = ^

□ A MAO es equilátero :

x = 60°

3 3 - En la figura adjunta ABCD es un cuad'ado AD = PD, si Área ABQ) = 5ni2 y Área ( QCT) = 4rr?. Hallar A_

... (3)

Luis Ubaldo C.

Áreas de Regiones Cuadran guiares

723

Resolución.Trazamos la m ediana QD del A AQP, luego s i : SQQD = A

^

^QDP

A+\

En el trapecio DQCP : Area (A QOD) = Área (A COP) —A

En el cuadrado ABCD : A + A X = 5 + 4 +A

4 = 9 m2 34.- En un triángulo ABC, se traza la altura BH . Por el punto medio M de AC se traza su mediatriz que corta a BC en N . Hallar el área de la región cuadrangular ABNH si el área de la región triangular ABC es ISm2 .

Resolución.-

®

En el A ABC : Área (A ABM) = Área (A MBC) = 9 m 2 (Propiedad)

En el trapecio HBNM : Área (A HNB) = Área (A BMH) De donde :

Área ( □ ABNH) = Área (A ABM) Área = ( □ ABNH) = 9 m

35.- El área de una reglón cuadrangular regular ABCD es 100n f. En el cuadrado ABCD se inscribe un rectángulo de modo que sus lados son paralelos a las diagonales del cuacrado. Hallar el área de la región rectangular, si la diagonal d el . ectángulo mide 12m.

Resolución.Por condición del problema : Área ( □ ABCD) = (AD)2 =1 0 0

=*

AD = 10

En los triángulos rectángulos isósceles NAM y MDF : AM = De donde:

1/2

J2

Elevando al cuadrado : Puesto que :

MD =

i/2

= 10

=>

J2

a + b — 10-»/2

a2 + b 2 + 2ab = 200

a2 + b 2 = 122

y

ab =A

10

724


Luego:

122 + 2A = 200

Ernesto QuispeR.

A = 28 m 2

36.- Se tiene un trapecio ABCD cuyas bases miden; CD = 64 m y AB = 28m. Sobre AB y CD se consideran los puntos M y P respectivamente de modo que PD = 24. Hallar BI1, para que las regiones determinadas por los trapecios DAMPyPMBC son equivalentes.

Resolución.-

28 A 28-x

Pur condición del problem a :

M

B

Área ( □ DAMP) = Área ( □ PMBC)

| T - 1j h = h

Reei nplazando: Ahora :

52 -x = x + 40

Donde

2 x = 12

* =6

64

37.- En un trapecio rectángulo ABC D : m 4~ A = m 4- B = 90B y

^

~~

.

Si el área de la región trapecial es24m2. Hallar el área de la región triangular AMN (M y N son puntos .nedios de BC y CD)

Resolución.c . , , .. AB BC Según condicion del problem a : -g - = Luego s i . AB = 3 k

=

Por dato del problema :

BC = 2 Ai

y

AD AL) = 4 k de doride BM = MC

Area ( □ ABCD) = 24 =

8 = 3k1 Ax =

... (1)

Área ( □ AMCD)

1 ( k+4k^

*“ 2 l Se sabe que :

=>


2

Ax = f ( 3 * 2)

8) AX= 1 0 m 2

i

(3*) = 9k2

;| (3*)

..■(2)

B

k

M

k

C

f

k

725


Luis Ubaldo C.

38.- Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 12 y 17 y una de sus alturas miden 1 5 . Hallar el área de I p región paralelográmica.

Resoiución.S eaA el área pedida, luego :

A = 12 h2 = 17 /j,

B

17

39.- En un romboide ABCD la mediatriz de CD intersecta a BC en su punto medio M . Se traza MH perpendicular a AD . Si AH = 8 y HD = 2 . Hallar el área de la región romboidal A BCD.

Resolución.Sea Ax el area de la región pedida ABCD , lu eg o : Aplicando el teorem a de la mediatriz : DM = MC = 5 En el Bx MHD : MH = ^ 5 2 - 2 2 = J 2 Í A dem ás:

AD = 10

Sustituyendo en (1) estas últimas expresiones: A = 1C >/2l 40.- En un trapecio ABCD las bases miden AB = 6 y CD = 12 y su altura mide 8 . Calcultir el área de la región trapecial MABN , si M y N son puntos medios de AD y BC respectivamente.

B R esoludón.En el trapecio ABCD :

MN =

Luego: A = 30

= 9

726


Ernesto QuIspeR.

P R O B L E M A S ♦ 'K O P U e S i o v

1.- Si ABCD es un romboide; hallar “S ", sien d o : 5, + S3= 9m2 y S2- 4 m2.

A) 7,5 m2

B) 10 m2

D) 1 m2

E) 15 m2

C) 8 m2

6.- Si ABCD es un romboide donde BC = 3. AL yA K = 2. KB. Hallar :x/y. A) 1/3 B)2/l P 2.- Determinar el área de una región limitada por un trapecio bicéntrico cuyas bases mi den 4m y 9ni. A) 25 m2

B) 30 m7

D) 36 m2

E) 39 m2

C) 32 m1

3.- En un trapecio rectángulo ABCD m 4~ A — m 4~ B = 90° (AD > BC) sobre AB se ubica el punto "M"; MC y BD se intersectan en "O". Hallar la diferencia de areas de las regiones triangulares COD y BOM; s i: BC • AM = 18 nr. A) 9 m2

B) 12/?r

D) 20 «i2

E)24 n r

C) 18 m2

B) 3,12

D)3,14

E)3,15

D)1 E)4/3 7.- Si ABCD es un romboide. Calcular el área de la región sombreada; si SABCD= 80 m2. .. . ,

B

C

B) 6m2 C) 8 m2 D) 10 m2

4.- En un triángulo ABC recto en B, con cen tro "B" se traza un arco tangente a AC y que intersecta a AB y BC en M y N, respectiva mente. Hallar el área del cuadrilátero AMNC; siAB = 3 y BC = 4 A) 3,11

C)3/l

C)3,13

5.- En un icctángulo ABCD, cuya área mide 64 m2 sus diagonales se intersectan en "O", si sobre AO, O B , OC y se toman los puntos P, Q, R y S respectivamente, tal que AP = PO, QO = 3 . BQ ; RC = 3 . OR y OS = SD. Hallar el área de la región PQRS.

E) 12//12 8.- En un triángulo ABC se traza la altura B H . por el punto medio "M" de AC se traza la mediatriz que intersecta a BC en N. Hallar el área de la región cuadrangular ABNH; si el área del triángulo ABC = 18 nr. A) 6 m2

B ) ]2 m 2

D) 15 m2

E) 9 m2

Cj 16 m2

9.- En la figura las áreas A i ,A 2 ,A i yA^ son iguales a 6 m2, x m2, 5 n y 8 m2 , respectiva mente. H illar V .

Luis LIbaldo C.


A) 1

13.- H allar: Sjc.

B) 2

A) /-,r2

C) 3

B) 2r, r2

D) 4

C) 3r, r2

E )5

D)-4/-,r?

10.- En un trapecio ABCD, (BC < AD) se sabe que el área del triángulo BOC es 9 n r y el área del triángulo AOD es 16 m2 (O es el punto de intersección de las diagonales). Hallar el área del cuadrilátero AMND; si AM = ME ; si AM = ME, EN = ND y AB n DC = {E}.

E)

A) 112 m2

B) 84 m2

D) 33 m2

E) 46 m2

C) 28 m2

11.- En el gráfico mostrado CD es diámetro BC = 4 , LM = 7 y BL = 5. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD. D A) 160

727

5r, r2

14.- En un rectángulo ABCD se tiene M y N puntos medios de CD y AM respectivamen te . Hallar el área del A BNO ; si SAMD= 4 m2. O —» Punto de intersección de CN con BM . A) 4 «i2

B) 6 m2

D) 3 m2

E) 8 m2

C) 5 m2

15.- Si ABCD es un cuadrado AB = DE . Hallar el área de la región triangular CEN. B

M

C

B) 153 C) 150.5 D) 161,5 E) 165,5 12.- En la figura mostrada; calcular el máxi mo valor de "a"; para que el área de la región sombreada sea igual al área de la región no sombreada.

A) 6 m2

B) 9 m2

D) 18 m2

E) 20 m2

16.- Si ABCD es un cuadrado, B D = a y MR = b. H allar: ■ÂMCR

A) 30° A) bta

B) 45°

B) a/b C)60° D)

C) (a + ¿>)/2 90°

E) 120°

C) 12 m2

D) (a - b)l2

728


Ernesto QuIspeR.

17.- En la figura ABCD es un romboide, donde 5, = 3 m2 ; S2 = 2 m2 y S3 - 10 m2. Hallar el área de la región ABCD. A) 22 m2 B) 32 «i2 C) 28 m2 22.- En la figura; si ABCD es un romboide; S3= 1 0 m 2 y S2- 3 m 2 . HallarS,.

D) 24 m2 E) 30 m2

A

M

A) 13 «i2

18.- Dado un trapezoide ABCD cuya área es 90m2'Calcula.' el área del cuadrilátero que tie ne como vértices los baricentros de los trián gulos ABC; BCD, CDA y ABD. A) 5 «i2

B )6 m2

D) 10 m2

E) 12 «i2

B) 8m2 C )7m 2

D )6

C )8 m2

m2

E) 5 m2 A

19.- En la figura, ABCD es un trapecio isós celes ( BC // A D ) , M, N, P y Q son puntos medios y SAMR= 4 m2. Calcular :

. Sr

D

23.- En la figura : ABCD, es un romboide MÑ // AD, PQ // AB ; s i : el área de RPCN es 20 m2. Hallar el área de la región AMRQ.

A) 4 m2 B) 8 m2 C) 12 m2 D) 64 m2 E) 32 m2

A

Q

D

20.- En un triángulo acutángulo ABC de 80/r¡2 se trazan las alturas AE y C F . Hallar el área del cuadrilátero AFEC ; si AB = 20m y BE = lOm. A) 30 m2

B) 40 m2

D) 60 m2

E) 70 m2

C) 50 m2

21.- S i : BC = 4 , AD = 7 y PB = 2 . Hallar el área de la región sombreada.

24.- El lado del cuadrado ABCD mide 5m Ha llar el área de la región sombreada. A) 10 «i2

B

B) 12 «i2 C )15w 2 D)

16m2

E) 18 m2

a

25.- Hallar el área de la región sombreada; si AP . PL = 8 m2.


Luis Ubaldo C

A) 30

B) 25

C) 18

D) 36

729 E) 72

30.- Hallar el área del trapecio rectángulo ABCD, sabiendo q u e; DE = 4 , EA = 6 , AB = 8 D

A) 24

C

B)48

?

26.- Si el área del cuadrado es 100 m2. Hallar el área de la región sombreada, s i: AP = CQ = AB.

C)32 D)55

\

A) 10 m2

E) N.A.

A

B) 20 w2

31.- Se tiene un rombo ABCD, “ P ” es punto medio de BC, AP = 9 y DP =13. Hallar el área del rombo.

C)50 m2 D )100 m2 E)

A) 12

B )2 4 a/5

D) 24VÍ4

E) N.A.

C )2 4 y fl

80 m2

27.- En la figura, el área del paralelogramo ABCD es 60 m2, M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada.

32.- Dado los cuadrados ABCD y DEFG, tal que E es el punto interior al cuadrado ABCD y C esta en E F. Si las áreas de las regiones BCEDA y CFGD es 19 y 10, respectivamente. Hallar EC A) 3

B) 4

D) y¡5

E)2yf5

C)2yf2

33.- En el gráfico mostrado, hallar pl^Lrea de la superficie trapecial ABCD, si m CD = 150 y BM = MA. E ) \lm A ) R 2J 2

28.- En un trapecio ABCD ( AB//CDJ, MÑ es la mediana del trapecio, se traza NP//AD (P en CD). Si el área del trapecio MNCD es 16 m2 y del triángulo NCP es 4 m2. Hallar 'a rela ción de áreas de los trapecios ABNM y ABCD. A) 1/2

B) 1/3

C) 1/4

D) 3/5

E) 4/5

29.- El área de un trapezoide es 18. Hallar el area del cuadrilátero que se forma al trazar pa ralelas a las diagonales del trapezoide, por los cuatro vértices.

B )2

R2

C )R 2 D) R2 { J 5 - l ) E) R2 ( - J 3 - 1) 34.- Si ABCD es un cuadrado, AB = DE. Ha llar el área del triángulo CEN, s i : Área (A ABM) = y el Á ^ a (A MCN) = A2


730

B __ M J A /

Ernesto QuispeR.

A) 40 \ N

B) 50

\

C) 60 r D A) J A XA2 B) J a 2( a x+ a 2)

D) 70 D) ^2í4[ A2 E) J a ¡ + J a ;

C) ^/a , (A, + A2) 35.- Del gráfico: Si CEOA es un trapecio isós celes. Hallar el área de la región que este en cierra; si B es punto de tangencia, CD = 2 y O es centro. B A) 4

E) 80 38.- En un cuadrado ABCD, se dibuja la se micircunferencia de diámetro AD, que pasa por “ O ” (centro del cuadrado) y la circunfe rencia de diámetro OC que intersecta a BC y CD en M y N y el arco OD en S. Luego se traza la perpendicular CH a la prolongación de S N . Si AB = 8. Hallar el área de la región MHDN. A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

B)4 yf2

39.- Hallar el área de la región ABOjO, si O y Oj son centros.

C) 2V2

O, O = 10 ; /n AO = 35“ y m B O , = 18°

D)

8

E)8V 2 36.- En la figura ABCD es un romboide cuya área es 15 m2. Calcular el área de la región sombreada.

B) 40 C) 30 D) 20 V2 E) lO-v/2

A) 0,5 m2 B) 1 m2

40.- Hallar el área de la región sombreada, si r = 1 (W 2 )

C) 1,5 m2

A)

D )2 m2

B) (V2 + 1)

E) 2,5 m2 37.- Siendo “O ” el centro y el área del trián gulo ABC es 120. Hallar el área del cuadrilá tero : MBNO.

;

2

(V2+2) 4

D) J 2 I2

E) í4 ^

A

El presente capítulo tiene por finalidad atender los problemas que involucran las áreas de cualquier región poligonal (Triángulo, cuadrilátero, Pentágono, etc), para lo cu il harem os uso de las propiedades dadas en los capítulos 18, 19 y 20, adem ás de las que exponem os a con-tinuación. Z l.l

Á K L u \ U t s LLS1 F

O

L

I

i t bCr ULt

El área de un polígono regular es igual al sem i perimetro multiplicado por el apotem a. En la Fig.21.1 tenem os : AB = / OH = ap

y m Z AOB =

360

Si el área del polígono regular ABC es A, en tonces : nln A = ^ -.a p n 2

También :

...(21.1)

A = n [Área A AOB]

A=

nR

ser

í_ 6 0 '|

... (21.2)

21.2 AREA. DE UN HE.YAGGNO REGI LLAR Si T es la longitud del lado del hexágono regu lar ABCDEF, se cumple :

A = ^ P

J3

... ( 2 1 .3 )

Fig. 21.2

732


Ernesto Quispe R.

2 1 3 AREA DE U N OCTÓGONO REGULAR Si A es el área del octógono regular

Fig. 21.3

21.4 ÁREA DE UN DECÁGONO REGULA*

21.5 ÁREA DE U N DODECÁGONO REGULAR El área de A de un dodecágono regular en fun-

Fig. 21.5

Luis Ubaido C

Areas de Regiones Poligonales

733

27 b ÁREA DE U N PENTÁGONO REGULAR El área 4 5 de un pentágono regular en función del circunradio "R" está dado p o r: j4. = - R 2 J ld + 5 8

2J 5

R .72° / r

... (21.8) V

°

y

Fig. 21.6

21-7 ÁREA DE U N ICOSÁGONO REGULAR El área A2Qde un icoságono regular en función del circunradio "R" e s :

— r^ s B /

A20= f $ ( V 5 -1 )

...(21.9)

R

¡R

/

t8°

\

0

\

\ /

Fig. 21.7

PROPIEDAD Dado un polígono regular de n lados Ay A2,Az ..........A y un punto P interior a él, si las longitudes de las perpendiculares trazada: desde P a los lados del polígono s o n : Q1 -a 2 .a 3 . ........ Qn Luego es válida la relación : n £ « i - n apn 1=1 D onde:

Y

...(21.10)

h J a -/* ' \

apn: apotem a

¡03

A

V ’s °6 / ' 7%. 21.8

734


Ernesto Quispe R.

6 J 6 R C ÍC I0 S D € A P U C a C JÓ r*

1.- Determinar el área de un hexágono regular, en función del radio «R» de la circunferencía circunscrita.

Resolución.En el gráfico, el A AOB es equilátero Donde :

AO = OB = AB = R

Luego :

S6 = 6(SiAOB)

Entonces :

Sb = 6 (item 21.2)

2.- Determinar el área de un octógono regular en función del radio «R» de la circunferencia circunscrita.

R esoludón.Del gráfico, podem os observar q u e : Sg = 8 (5 AMNO) Entonces

„ ( OM OM-NH - NH Ì ‘- 8 | — 2— J

Doi d e : Luego : En el

S&= 4 R (NH)

NHO : NH =

v2

= - í ... (2) v2

Reemplazando (2) en (1) : Ahora:

... (1)

S&= 4R

R

IV 2 J

c _ 4 R2 8 V2 ' V2 S8 = 2 R 2y¡2

(item 21.3)

3.- Detei.minar el área de un dodecágono regular en función del radio «R» de la circunfe rencia circunscrita.

Áreas de Regiones Poligonales

Luis Ubaldo C.

735


Con el A ODC, elem ento fundamental de éste polígono : 5 ]2 = 12 (SAOOC) Es decir:

D

Donde : Ahora :

5S„ ]2 = 6 R (DE)

Del ^ OED : DE = ^

=>

...

( 1)

DE = f ... (2) C

Reemplazamos (2) en (1) :

5 ]2 = 6 R

E

O

R

(í)

Sl2 = 3 i?2

(item 21.5)

4.- El lado de un hexágono regulares «I». Se prolongan los lados en un mismo sentido y

una longitud igual a «I». Haliar el área del polígono que tiene por vértices los extremos de dichas prolongaciones. R e s o lu c ió n .-

Sea ABC... F el polígono original y A’B’C’... F’ el de los extremos de las prolongaciones. Notamos que el A AA’B’ es recto en A’ ya que : AB’ = 2 AA’ También :

B'

< A’AB’= 60°

Luego A’ B’= / V3 , que viene a ser la longitud del lado del hexágono regular A’B’C’ ... F’ Ahora por el item 21.2, tenem os : S’= | (/ ^ 3 ) 2 ^3 S' = 2 E'

5.- Hallar el área del hexágono que tiene por vértices ios puntos medios de los lados de un hexágono regular, cuyo lado mide «a» R e s o l u c i ó n .-

Sea ABC... F el hexágono mayor, de lado «a». La longitud del lado del otro es «x» Del gráfico en el D ABC :

x=

AC

(Base Media) F

-a -

■E

736


Siendo:

AC = /, = R-JÜ

Luego:

X=

a j3

Entonces para el área 5 : S =

( a 2.J 3 l

f a 2.J 3 ]

Reem plazando:

5

A hora:

3 a 2 - 3iÍ3 & 5x = 2 ------2-----V3

*

Ernesto Quispe R

2

■Js

6.- Un hexágono ABCDEF nene sus ángulos congruentes y sus lados son tales q u e: AB = CD = E F = a y BC = DE = F A = b . Siendo a >b, calcular el área de dicho hexágono.

Resolución.360° Cada ángulo exterior del hexágono mide : - ^ = 60°. De modo que al prolongar los lados com o indica la Figura, se obtienen los triángulos equiláteros CND, EFP, AMB, MNP Luego : Shex = 5MNp - 5 MBA- 5CND- 5 pEp

N

0/ 60“

a

C S60° 60°/ n b/ ñ \b

Reemplazando:

hex

= (2 a + b ) ‘

>/3

a 2J 3

De d o n d e : Shex= ( a 2 + 4 a 6 + 6 2)

4

a2J 3

a 2J 3

,.\60° 60°A A 60° 6 0 y . M a Á b F a P


Luis liDaldo C.

737

1.- El irradio de un triángulo mide 4m y la circunferencia inscrita determina sobre uno de los lados, segmentos de longitudes 6m y 8m. Hallar el área del triángulo.

R esoludón.En el kx ONC

:m

4-

OCN

=

-y

=>

m

4

C = 53

Se sabe que el á ie a A x de la región ABC se puede expresar com o : g

A = 8 * m2 2.- La base de un triángulo isósceles mide 15 y una de sus alturas Iguales mide 12. Hallar su área.

R esoludón.Enel kx AHC : HC = ,/l5 2 -1 2 2 = 9 En el Donde : A hora:

BHA : a 2 = (a - 9)2 + 122 a 2 = o 2 -18 a + 81 + 144 18a = 225

Luego : Área (A ABC)

2S => 0 = ^

- ( M

Area (AABC) = 75 u2

Pi ublemas de Geometría y cómo resolverlos

738

Ernesto Qulspe R.

3.- El área de un rombo es 96m2 y su lado 10m. Calcular el área de otro rombo semejante al anterior, cuya diagonal menor es de 15m.

Resoluclón.Por relación de áreas entre dos polígonos sem ejantes se tiene : -2 15 96

4b 2

-(I)

Por dato del problem a: 2 aft = 96 y Resolviendo : a = 8 Sustituyendo en (1) :

y

a 2 + 6 2 =100 6 = 6 225 — = 144 96 Á = 150 m 2

4.- El área de un paralelogramo es «A» se proiongan los lados en un mismo sentido (antihorario) y en igual longitud cada uno de los lados respectivos, se unen los extre mos de dichas prolongaciones. Calcular el área del cuadrilátero formado.

Resolución.Aplicando la propiedad de la m ediana se tiene : Área (A CDL) = Área (A BCD) =

A

= Área (A DLF)

De igual m an era: Área (A ABC) = Área (A BCN) = Área (A NCL) = Tam bién:

Área (A ACD) = Área (A ADF)

= Área (A MAF) = Por cunsiguiente: Área (A MBA) = Área (A ABD) = Área (A MBN) = j Finalmente :

Área (□ MNLF) = b A


Luis Ubaldo C

739

5.- En la figura. Hailar el área del triángulo isósceles ABC; sa biendo que los radios de las circunferencias miden rm y 3rm (r = 14 J~3 )


Trazamos TQ 1 KH , luego : QH = r y KQ = 2r En el

TQK: m 4 KTQ = 30° = m £ KBH

En el

TBR de 30° y b0° :

BT = 2r

El triángulo ABC resulta ser equilátero si su área es A Luego : A = x De donde :

3

^

A =

Reemplazando :

, BE = 2 r + r + 3r + 3r = 9r

(9 r)2 J3 3 Ax =

81-142 - 3-^3

=> A — ------- --------

8\r2j 3

3

81(14V3)2V3

=

AX = 81 • 196 ■J3 A = 1 5876/3

6.- Sobre los lados de un triángulo equilátero de lado «a» se construyen exteríormenle cua drados. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los centros de esos cuadrados.

Resolución.Del gráfico observamos que : A PBQ = A PAR = A QCR (LAL) =>

PQ = QR = PR

En el A PAR, por ley de cosenos :

A hora: (PR)2 = ^

+ y

- a 1.

▼

740

2

2 /ñ Donde :

Ernesto QuIspeR.


(PR)2 = a2 +

^

(2 + ^3 )

Sea >4^ el área del triángulo equilátero PQR, lu eg o :

A =

(PR)2V3

a 2 (2 + /3 )/3

A x = — j 3 (2 + V3) 8

7.- En el trapecio ABCD, las áreas de los triángulos MPN y LPF son 4m2 y 9 m2 respectivamente. Hallar el área de la región sombreada.

Resolucii ii, En el trapecio LMNF : j42 = 4 -9

=> A = 6

En el trapecio ABNF : Área ( □ ABML) = Área ( □ LMNF) = 25m2

En el trapecio LMCD : Area (□ LMNF) = Área (□ FNCD) = 25m2

Finalmente s¡j4x es el área de la región so m b read a: AX= 2 5 + 6 + 6 + 25 A = 6 2 m* 8.- Hallar el área de la región sombreada si el radio de la circunferencia mide 6, B F = 2 y ABCD es un rectángulo.

U.

CQ

O

s;

I

l u is


Ubaldo C.

Resolución.DA = V62 - 4 2 = 2 /5

Enel 1^ DAO:

AT 2 1 TDC : ^ = | = 4

fcÊA T-

AT =

De donde : Como :

TD

AT + TD = 2 / 5 TD = § JS

Finalmente :

Área (fc^TDC) =

Reem plazando/írea Área

TD.DC 8

TDC) = ^ / 5 .

8

QO TDC) = g / 5

9.- En la figura mostrada : M y N son puntos de tangencia, O y B son centros y r = 2 m . Calcu lar el área de la región triangular MNE.

Resolución. Ya que E es excentro, entonces BE es bisectriz, con lo cual se tiene : m < EBC = 45° 2

El fci. MBN es de 45°, luego Área Puesto que : =» Área

MBN) = r

BE // MN MBN) = Área (A MEN) 2

Reem plazando: y - = Área (A MEN) , donde : Area (A MEN) = 2

741

742

■Problemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Qulspe R.

1o.- En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4cm, siendo «O» punto de tangencia. Hallar el área de la región triangular sombreada.

Resolución.53 OAD : m 4 ODA = y = m 4- ODP

En el

m 4 POC = 37°

Ep el trapecio ASCD : Área (A PCD) = Ax B

C A

Trazamos PH X CD /

\Q

¡SS

2

De donde :

7k = 4

y

El área (A PCD) = A =

O

7k.3k

...

/

¿x

h

HD = 4k

Luego: PH = HC = ?
/4 5 o

3k

H

.

4

4k

2

5 3 /2 )^ 21 ( 4 Y

* 2 |^7J

21

2

16 49

5 3 /2 /''\

n i

4 - 24 x-

r m

11.- Calcular el área de un rombo si las proyecciones de las diagonales sobre uno de sus lados son 5m y 3m.

Resolución.Del gráfico : =*

CMD CALA)

AH = DM = 1

De donde : En el

BHA =

AD = 4 = CD

CMD : CM = ^42- l 2 =

Finalmente el áreai Ax del rombo sera : Ax = 4 JÏ 5


Luis Ubaldo C.

743

12.-ABCD es un cuadrado, se prolongan los lados opuestos AB y CD en segmentos BM = 3m y DN = 4m. Calcular el área del cuadrado, si MN = 13m.

Resoluclón.Trazamos MH X NC Luego en el fc^MHN : (13)2 = a 2 + (7 + a ) 2 Ahora : Donde :

169 = o2 + 49 + o 2 + 14o 2o2 + 14a -120 = O

Simplificando : a 2 + 7a - 60 = 0

(Aspa simple)

IX' 5

a =5

+12

A = 25 m2 13.- Hallar el área de un dodecágono regular inscrito a una circunferencia de radio «R»:

Resoluclón.Seai4x el área de dodecágono regular ABCD .... Luego :

Ay = 12 [Área (A AOB) ]... (1)

Área (A AOB) =

sen 6 ; 6 = ^

= 30°

Área (A AOB) = ~R 2 sen 30° =

Sustituyendo en (1)

A

-« (£ )

A = 3R2 14.- En la figura mostrada. Hallar el área del trapezoide ABCD, s i: S1 =4rrP ,S 2 = 3mz, y S 3 = 6mz

744

Problemas de Geomt tría y cómo resolverlos

Resoluclón.-

Ernesto Quispe R

B

Seai4x el área del trapezoide ABCD Luego :

j4x = 13 + A ... (1)

Por relación de Áreas En el A ABC : En el A ADC : De donde :

A

4

Al FC

6 3

AF FC

4 A

6 3

A = 2m2


Ax = 13 + 2 A = 15 m2

15.- Los lados de 3 octógonos regulares miden 1.2 y 3m. Calcular el lado de otro octógono regular cuya área sea igual a la suma de las áreas de los polígonos dados.

Resolución.Sean : A¡ : área del octógono de lado 1 A2 : área del octógono de lado 2 A3 : área del octógono de lado 3 Ax : área del octógono de lado x

Por condición del problem a los octógonos regulares son sem ejantes L uego: l2 Por leyes de proporción :

22

32

A.■i .+ '^2 An + \ A

,

x2

A

1+4 + 9

Considerando que :

'‘'x

Se obtiene :

x2 = 14

+ ^2 + ^3

x = /1 4 16.- Las bases AB y CD de un trapecio ABCD miden 4 y 9 s o b r e AD y BC se ubican los puntos M y N respectivamente de modo que MN / / A B y MB / / J Ñ . Hallar la relación entre las áreas de los trapecios MABN y DMNC.

Áreas de Regiones Poligonalej

Luis Ubaldo C.

745


MN2- 4 2

Por ser MN // AB // CD , se cumple :

(Propiedad)

92 -M N 2 Donde :

A ,: área del trapecio MABN A2 : área del trapecio AMNC

Por ángulos correspondientes entre paralelas se tiene : m 4 MBN = m 4 DNC = 0

m 4 MNB = m 4 DCN = P m 4 MAB = m 4 DMN = a

m 4 AMB = m 4- MDN = p Los trapr cios MABN y DMNC son sem ejantes Luego :

MN

MN 9

MN = 6

Sustituyendo en la expresión anterior :

6 -4 2

9 -M N A«

2

3 6-16 81-36

A

17.- Calcular el área de un cuadrilátero circunscrito a un círculo de radio 3m cuya diagonal AC pasa por el centro «O» del círculo, OA = 6m; los ángulos A y C son suplementarios. R e s o l u c i ó n .-

En el Ex AKO :

OA = 20K

De donde m 4 BAD = 60° En el ^

=> m 4 OAK = 30° = m 4 BAO y

m 4 BCA = m 4 ACD = 60°

OFC de 30° y 60° : OC = 2 ; / 3 y CF = JZ

Seai4x el área del cuadrilátero ABCD Luego :

/lx = 2 Área (E^ ADC)

, n (3 + /3 K 3 + 3V3) Reemplazando : Ax = 2 -------------^----------A = 6 /3 (2 + V3)

746


Emestn Jiulspe R.

18.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, ¡a circunferencia ex - inscrita referente a AC toca a esta en P, siendo E, y E2 los excentros referentes a AB y BC. Calcular el área de la región ABC, si el producto de las áreas de las regiones E1AP y PE2 C es 16m2.

Resolución.Se sabe que el área A del

ABC está dado p o r :

A = mn

m r,

A dem ás:

A. “ - T

Tam bién: Multiplicando las 2 expresiones A

Se tiene:

A

2

-

4

16 =

=>

2 = 64 4' X A_ = 8 m ¿

19 - En la figura, el radio mide 2 cm , AB = BC y EM = MF. Hallar el área sombreada.

Resoluclón.S ea:

BF = 2a

En el

EFA de 45°: EF = AF = 4 - 2a y

En el Dor ; e :

=>

EM = MF = AMB :

OF = 2 - 2a

4 -2 a

= 2 -a

<2 - a)2 = (4 - 2o) (2o)

4

a 1 - 4o = 8o - 4o2

... (1)


Luis Ubaldo C

5 a 2 - 12a + 4 = 0

Simplificando :

a / X .

747

(Aspa simple)

2

2 a = 5

De donde :

Como el área pedida Ax e s : Ax =

FB f 4 - 2 a + 4l

Se tiene :

A = --------~------ (2a) = (4 - a) 2a

Luego:

Av = ^ 4 - ^ | 2

x

A

- 1 1

2

* ~ 25 cm 20.- Calcular la razón de las áreas de un hexágono regular y otro formado al unir los puntos medios de los lados del primero.

R esoludón.S ean : A} el área del hexágono de lado «a» ; A2 el área del hexágono de lado b. Nos p id e n :

-7*-

Puesto que :

j4, = â2

y L uego:

A2 = ^ b2J 3

A _ ~a

a2

En el A QBR :

í

b2

b = §J3

2

4 3 b2 ‘ a

Sustituyendo (2) en (1)

... (1)

748


Ernesto Quispe R.

21.- A partir del gráfico mostrado se pide calcular el área de la región ABC, si PT= 4 y PL = 9

Resolución.Trazamos PH _L AC, luego siendo «h» la altura del triángulo equilátero ABC se tiene : h =4+o +9

h = 13 + o ... (1)

=>

En el cuadrilátero inscriptible ATPH : m 4 HTP = m 4 PAH = a

y

m 4 TAP = m 4 THP =

En el cuadrilátero inscriptible HPLC: m 4 PHL = m 4 PCL = a

A TPH ~ A HPL :

y

f = f

m 4- PLH = m 4- PCH =

=»

o=6

Sustituyendo en (1) : h = 19 Luego el área A del triángulo equilátero ABC será : A=

3

192/ 3 3

x

36W 3 3

22.- En un hexágono equiángulo ABCDEF :A B = 6 , C D = 5 y EF= 4 , si el perímetro de dicho hexágono es 24. Calcular su área.

Resolución.-

Q

Prolongamos AB , CD y EF en am bos senti dos hasta intersectarse en los puntos P , Q y R como muestra la figura. Luego : los triángulos PQR , BQC , DRE y FAF son equiláteros. En el triángulo equilátero PQR : AQ = FR Luego s i : BQ = QC = a

=>

Aná.ogamente : PB = CR Luego :

I

PA = a + 1

ER = a + 2

Luis Ubaldo C


Por condición del problem a :

6+0+5+0 +2+

Finalmente

\

Reemplazando :

A, - j £ ( I l * - 22 - 42 - 32)

Luego :

A = ^ ( 1 2 1 -4 -1 6 -9 ) X 4

= x

(PQi

749

a = 2

- BQ2 - ER2 - PA2)

Ax = 2 3 j 3 23.- El radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular ABCDEF mide R. Calculare! área de la región común a las regiones triangulares ACE y BFD.

Resolución.Siendo AB = /g (lado del hexágono regular) AB = /6 = R 360 Además cada arco que subtiende el lado del hexágono mide : - g - = 60 Por

4-

inscrito : m

4-

BAC = 30 = m

4-

ABF 60°

Por I i interior : m 4- BQA =

= 60

En el A ABQ: de 30° y 60°:

BQ = J L

En el A PBQ equilátero :

PQ = y J3

Sea Akel área del hexágono regular PQTKLS

Ax= \ (PQ)2 V3 = I

rS

_ R 2j 3 2

24.- El área de un pentágono regular es (7 + 3 j 5 jm 2. Calcular el área de otro pentágono regular determinado por el trazo de las diagonales del primero.


750

Ernesto Quispe R.

B

K e s o lu c io ii

Sea el pentágono regular ABCDE de lado «a» y área: 7 + 3 /5 Sea adem ás el otro pentágono regular de áreai4 y lad o * Luego:

7+ 3^5

...

( 1)

Del gráfico el A BAR es el triángulo elem ental del decágono regular ¡nscrito en una circunferencia de radio «a» Luego BR es la sección áurea de a , pero c o m o : =>

AQ = QB = BR

AQ es la sección áurea de AR s AB

Así mismo QR es la sección áurea de AQ De donde :

QR = AQ

(•/> -1)

x = (a - x )

Relación a partir de la cual se obtiene :


7 +3 / Ï A

7 + 3 /3

x

—=

(/5 -1 )2 (,/5 + l)2

(•/> -1)

2

V 5-1 +

6 -2 /5 6 + /5

^

3 -/3 3+^5

= ( 3 - /3 ) ( 3 - /3 ) = 9-6J5+5 = 7 -3 /3 (3 + / 5 ) ( 3 - / 5 ) 9 -5 2

(7 -3 ^ 5 )(7 -3 ^ 5 ) 49-45 i4 = ----------- 0----------- = --- o--A = 2m z

25.- En un romboide ABCD el área de su región correspondiente es 40m2 E, F y G son puntos medios de AD, AB y BC respectivamente. Además FD r , C E : {T} y C E Calcular el área de la región TDK.

: {K}.


Luis Ubaldo C.

751

Resoluclón.En primer lugar tengamos presente que , si ABCD es un romboide y E es punto m edio de AD Área (A EDC) = ^ Área (□ ABCD)

=>

Área (A EDC) = |

(40) = 10m2

A GKC s A EKD (ALA) =>

GK = KD

y

En el trapecio ABGD:

EK = KC FK =

= y

A

b

E

b

D

b

A TFK -A ETD

ET _ 3b _ 2 TK 2 3 ET = 2m , TK = 3m

y

Luego :

si Área (A TDK) = 35

=>

De donde : Finalmente :

25 + 35 + 5 5 = 10 35 = 3(1) A (A TDK) =

26.- Si ABCD es un romboide. Hallar el área de la región sombreada siendo M, N, L y P puntos medios y el área de la región ABCD es íflm2

Resolución.Sea «O» el centro del romboide ABCD A trazan ML y NP estos segm entos pasaran por R , O, K y S, O, T respectivamente, divi diendo a la región pedida en 4 partes equiva lentes . Sea la región RGSO una de estas partes de área «A»

1 ii u

De donde :

Área (A ETD) = 25

S= 1

y

Área (A KDC) = 5S

752


Ernesto Quispe R

En el romboide MBNO :

B

N

Al trazar la diagonal MN se tiene A = g Área (A MON)

=>

(Propiedad)

M

-»— í r —t-

R

O

A = g Área (□ MBNO), p e r o : Área (□ MBNO) = ^ Área (□ ABCD)

Luego : A = ¿ Á,ea ( □ ABCD) = ¿ Entonces : Entonces:

(18) = |

4 A = 3m2

A so m b read a = 3m2 27.- Exte. iormen é a un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABPQ y BCRS de centros E y F respectivamente. Calcular el área de la región APSC, si F F = a

Resoluclón.'i razamos PC , AS , EM y FM (M punto m edio de AC) Luego:

A PBC = A ABS (L.A.L)

=>

PC = AS

y

PC XAS

Sea ^ x» el área de la superficie pedida Luego: En el A PAC : EM = —

y

EM // PC S

EnelAACS: MF = - y = - y En el

EMF de 45°:

y M F// AS

EM = M F = | >/2 R

PC = 2 EM = a j 2 ... (2) Sustituyendo (2) en (1) :

A = x

2

1-

A

M

C

AX= a 2 28.- Los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden R y r , se trazan las tangentes comunes exteriores AB y CD. Calcular el área de la región ABCD.


Luis Ubaldo C.


Por T , trazamos la tangente com ún MN, lu eg o : Sea *Ax» el área pedida, lu eg o : =>

MN = AB = CD = 2 jR r (Prop.)

i4x = (MN) . (EF)

¿ x = 2 J R Í. (EF) ... (1)

Trazamos QL X PA y BH X AD => QL = AB = 2 ¿Rr y BH = EF AHB -

BH 2jR r

PLQ :

BH = EF = Sustituyendo (2) en (1) : A =

2jR r R+r 4 Rr R+r

(2)

S R rjR r R +r

29.- Del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. Si el área de la reglón triangular ABC es «A»

R e s o lu r u m .-

Demostraremos que :

Área (A ABC) = Área (□ PQBR)

Para ello bastara dem ostrar q u e : Área (A MPN) = A + A2 Trazamos BT XAC, luego en el cuadrilátero inscriptible QBDT rn 4- QTA = m 4- QBD —a (3o Propiedad)

y en el cuadrilátero inscriptible TBRD: m 4- RTD = m 4- DBR = a

Los cuadriláteros AQTP y PTRC son trapecios (QT // ÁP y ÍR // PC) Luego :

Área (A MTP) = Área (A AQM) = Ax

753

754


También :

Área (A TPN) =

De donde : Área (A MPN) = Área (□ PQBR) =

Ernesto QuispeR.

Área (A NRC) = A2

i4, + A2 Área

(A A B C )

=A

30.- En un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6 , BC = 5 y CD = 9 . Calcular la mecida de! radio de la circunferencia inscrita.

Resolución.Primero, recordemos q u e : «Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que esta inscrito y circunscrito a la vez »

Empleando el teorem a de P ith o t: 5 + AD = 6 + 9

=>

AD = 10

POr Brahma - Gupta :

A ( □ ABCD) = J (15-6)(15-5)(15-9)(15-10) =>

i4 ( □ ABCD) = 30 -JZ

Puesto que: A ( □ ABCD) = p ,r = 15r Luego:

30 V3 = 15r r

=

31.- En una semicircunferencia de diámetro AB se traza la cuerda MN de modo que m MN = 9 0 , se proyecta MN sobre AB obteniéndose el segmento PQ , si P Q = 12. Calcular el área de la región MNQP

Resoiució.i.La Figura MNQP de área «A» es un trapecio rectángulo (o + b \

Luego:

J pQ

i4 = [ ^ —

-

El ángulo central MON es recto Además Eíx MPO = Ex NQO De Jonde resulta que : PO = NQ = b

I

y

MP = OQ = o


Luis Ubaldo C.

Luego :

a + b = 12

(2) en (1) :

... (2)

12 12

A=

755

A = 72

32.- En una circunferencia, se ubican los puntos A, M, N, P y B en forma consecutiva, de modo que A B e s diámetro y m MN = 90. Sobre AB se ubica el punto C tal que ATPC es un rombo (AN n MP = { T } ) , si MN = a . Calcular el área de la región ATPC.

Resolución.En un rombo se sabe que las diagonales son mediatrices, una de la otra recíprocamente Luego : TC es mediatriz de AP en consecuencia «C» es centro de la circunferencia Por ángulo inscrito: m MA = m PB = 2 a

y

m NP = 2 a

El áreai4 del rombo será : Pero en el

MCN de 4 5 ° : (

Luego :

A-

\

f e

,

A =

33.- Interiormente a un cuadrilátero inscrito ABCD se ubica el punto M, tal que MBCD es un romboide. Si AB = 6 , AD = 5 , BC = 2 y CD = 3. Calcular el área de la región no convexa ABMD.

R esoiuciónEn primer lugar, calculamos el área del cuadrilátero inscrito ABCD para lo cual aplicamos el Teorema de «Brahma - Gupta» a s í : A (p ABCD) = V ( P - 6 ) ( p - 3 ) ( p - 5 ) Donde :

P=

6+2+3+ 5

= 8

A (□ ABCD) = V2-6-5-3 = 6^5

756


Ernesto Quispe R.

En segundo lugar calculamos la relación de las áreas de los triángulos BAD y BCD. A + A^ 6x5 Ya que a + 6 = 180 : — 4 ~ = 2 * 3 = ^

De d o n d e :

A

A hora:

4

Ax + 2 A = A ( □ ABCD)

D onde:

Ax + 2 ^4 = 6 j 5

Por consiguiente:

f ¿ x = 6V 5 A = 4¿5

34.- En un trapecio rectángulo se trzza una recta secante paralela a sus bases, determi nando dos trapecios parciales circunscriptibles. Calcular el área de la región limitada por el trapecio inicial, si sus lados no paralelos miden a y b (a > b )

Resolución.Sea/4 el área de la región limitada por el trapecio ABCD L uego:

-(I)

Los trapecios PBCQ y APQD son semejantes, ya que tie nen sus ángulos congruentes y son circunscriptibles : m _ PQ n

PQ2 = mn

PQ -

Aplicando el Teorema de P ithot:

BP + CQ = m + PQ

También : b - BP + o - CQ = PQ + n =» D edonde:

a + b = m + n + 2PQ

4FQ 2 = [(a + ¿?)-(m + n)]2 4 mn = (o + b)2 + (m + n )2 - 2(o + b) (m + n )

2(o + b) (m + n) = (o + b)2 + (m - n )2 ... (2) En el Cx CTD:

(m - n)2 = o2 -b 2

... (3)

Luis Ubaldo C.


Reemplazai ido (3) en (2) : L uego:

757

2 (a + b) (m + n ) = a2 + b2 + 2ab + a2- b2

(o + b) {m + n) = a2 + ab = a (o + b)

=>

m + n = a ... (4)

Sustituyendo (4) en (1) : 35.- El área de la región limitada por el trapezoide ABCD es 72rrP, si P , O , R y S son los baricentros de los triángulos A B C , B C D , CDA y DAB respectivamente. Calcular el área de la región PQRS.

Resolución.Por ser P y Q baricentros de los triángulos ABC y BCD , se tiene : PN

NQ 1 — — = q d = 2 ’esto slSnifica que PQ // AD

De donde por la semejanza de los triángulos PNQ y AND se obtiene : PQ PN 1 AD “ AN - 3

C

Análogamente : QR // AB R S //B C

y

— — re/Z C D

y

y

A b

\

O

PS 1 j p .g

El trapezoide PQRS es sem ejante al ABCD

Ax = 8 m2 36.- Del gráfico mostrado O y Q1 son centros, además : AM = MB , S f = 4m2 y S2 = 13m2 Hallar : S3

B

T

C

O

D

M

A

758


Ernesto Quispe R.

Resolución.Hacemos : Luego:

Área (A P/ Q) = S4

S, + S4 + S2 = ^

■f = ^

AT // CO , luego en el trapecio ATCS : Área (A ATS) = Área (A ATC) =

Ahora :

Área (A ATS) = S4 + S3 ,2

s ,+ s3= ^ . . . m

De (1) y (2) : S¡ +

S2 = S4 + S3

De d o n d e :

53 = 5 . + 5 2

Para el proolem a:

S3 = 4 m 2 + 13 m 2 S 3 =

17

m2

37.- La base AC de un triángulo ABC mide 6 y su altura BH mide 4 , sobre AB , BC y AC se ubican los puntos M, N y L respectivamente de modo que MN / / A C . Hallar el área máxima de la región triangular MNL

Resolución.-


Luis Ubaldo C.

759

De ésta expresión para que A sea máximo (h - 2)2 debe ser mínimo es d e c ir: Ch -2)2 = 0

=>

h = 2 ... (3)


b = ^ (4 - 2) = 3

Luego :

A =

3x2

= 3

A= 3 38.- Hallar el área de ¡a región sombreada, si le s incentro del triángulo ABC.

6

Además el área de la región AIC es 40m?.

A

C

Resolución.EnelfcÂ B C :

m 4- AIC = 90 + ^

También :

m 4- EIC = m 4 AID = 45

Trazamos IM X AE y

= 135

IN XCD

Luego : A MIC = AIEC =>

Á rea

(A MIC) = A ,

Ahora : A ADI = A ANI =>

Á rea

(A AIN) = A2

Además los triángulos DIE y NIM tienen igual área, ya que

a

+ 0 = 180

Y los lados que forman estos ángulos son iguales Luego :

Á rea

(A NIM) = A3

Finalmente se tiene :

A, + A%+ A3 =

Á rea

(A AIC)

Aj +A2 +A3 = 40 m 2 39.- Un cuadrado ABCD de centro O gira un ángulo de medida «a» . Hallar el área de la región común al cuadrado en sus dos posiciones (AB = 1 )

ProbLmas de Geometría y cómo resolverlos

760

Ernesto Qulspe R

Resolución.Sea «y\x» el área ae la región som breada, luerjo : Hagamos : En el

MP = b

MA’P : PA’ = b sen a y MA’ <= b eos a

Puesto q u e : =>

/lx = 8 Area (A M OP)... (1)

PA’= PA y

BM = b co sa

BM = MA’ y

PA = b sen a

Además : BM + MP + PA = 1 Luego:

b eos a + b + b sen a = 1

De donde : l Luego.

Area (A MOP) =

! / , ! _ & _ 2 o-2 4

MP.OK

1 4 ( s e n a + c o s a + 1)

g / | Sustituyendo en (1) A = -r -------------------r * 4 ^ s e n a + c o s a + 1J A -

0 < x £ 90° sen & + co s¿ + l

40.- El área de un trapezoide convexo ABCD es 1 . Calcular el menor perímetro del cua drilátero que resulta al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del trapezoide. R e s o lu c ió n -

S ean: AC = p , BD = q y la m edida del ángulo formado por AC y BD : a El cuadrilátero MNLF de la figura es un paralelogramo de penm etro K = p + q.

El área del trapezoide ABCD es :1 = Puesto que :

O < sen a < 1

Multiplicando (2) • f 3 ) : 1 <

sen a 1<

...(1) ... (2)

se n a ... (3)

=> p q > 2

Por otro lado : ( p + q)2 = ( p - q)2 + -ipq > 4pq > 8

r

,


Luis Uboldo C.

De donde :

p + q > 2 J2

*4

761

... (4)

Reemplazando (1) en (4), el mínimo perímetro K del cuadrilátero MNLF será : h = 2V2 41.- Se tiene un cuadrado ABCD, exteriormente se construye el triángulo equilátero CFD. Calcular el área de la región de circunferencia circunscrita al trángulo BCF. Sabiendo que AB =

2J 2- J 3

B

Resolución.Sea la circunferencia de centro “O”, se necesita “R" para conocer su área. A BCF isósceles : m

& = m 4 - ^ = 15°

A OCF: triángulo elem ental del dodecágono CF = /)2 = W 2 - -J3 = 2^2 - -J3

=> R = 2

= * (2)2 Ax = 4 n 42.- Hallar el área de la región sombreada, si “T” es punto

2 + 1)

de tangencia, además m AT = m TB. (R = -J

Resoluclón.AC . OB

Nos piden :

A =

Se traza OT

=> m 4 OTC = 90° (Propiedad)

Ex OTC isósceles de 45° y 45° => OC = R-J2 Luego :

M RÍJ2-\).R Ax = ------- ^-------

Reemplazando : R = -J2 + l CV2+ 0CV2 - 0C V 2+1) /lv = ----------------- :----------------A = ^ ± 1

H&-

R^2

-=H

762


1.- En un A ABC se traza la bisectriz extenor BE y ja mediana AM que prolongada intersecta a BE en “P" . Calcular el área del triangulo BMP si AB = 3BC y área vAABC) = 40 m2 A)3//i2

B) 4/h2 C )6 n r

D, 5//r

E) 8m2

Ernesto Quispe R

5.- Los lados de un triángulo ABC son 13, 14 y 15 ///. Determinar el área de la regiun trian gular donde sus lados son las medianas del triángulo ABC. A) 84/3 ni' B) 63 n r D) 58//iJ

C) 42m2

E) 66//¿

2.- En la figura si MN // AC.

C alcular: — — — A A2

3.- El área de un triángulo ABC es 12m por el baricentro “G” se trazan paralelas a AB y BC, que intersecian a AC en los puntos E y F respectivamente. Calcular el área de la región triangular EGF.

6.- Calcular el área del cuadrado ABCD, si : AM = o y DN - b y AM // DN

A) 2a b

B) a b

D)

E) 2 J o b

3a b /2

C)

a b íl

7.- En un triángulo ABC de área “5” se pide calcular el área de la región triangular limitada por las cevianas AP , BQ y C R . Si AR = 3RB. BP = 3 PC y CQ = 3AQ.

A) 6 u2 B) 7i r C )8 u2 D )9 u2 E) 10 V I i r 4.- De la figura, si : Área (A ABC) = 9 nr.

A) 2 5/3

Bj 4 5/9

D) 3 5/7

E) 4 5/13

C) 5 5 /i7

Calcular 5X

C) 5 m2

8.- Sobre los lados de un cuadrado se cons truyen extenormente triángulos equiláteros. Calcular el área del cuadrilátero que se forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros, si el lado del cuadrado mide “b”

D) 6 m2

A)

A, 3 m2 B14 m2

E) 8 m2

^ ---- 2 ----- =?

b \ J

3 + 1)

D)¿>2( 2 + V 3 )

B)

b 2( 2V3

- 1)

E) ¿>2(4 + 3 V 3 )

C) 3b 2

Luis Ubaldo C


9.- La circunferencia inscrita a un A ABC es tangente a AB en M y a BC en N. Las pro longaciones de NM y CA se intersectan en P. Calcular la relación de las áreas de los triángulo s: MPA y PBC, si AB = 5 , BC = 7 y AC = 6. A) 2/3

B)3/4

C) 1/5

D)2/5

A) yfl

B) V21

C)yf32

D) -JÍ9

763 E)n/33

14.- «P» es punto de tangencia AB = BC = AC; PB = 2 m. Calcular el área de la región AMNC. B

E)3/5

10.- Hallar el área de un pentágono regular en función de su diagonal de longitud «a». D )^ V 2 5 -1 0 V 5 E )^ - J l0 - 2 V 5

2 ____

11.- Por el baricentro «G» de un triángulo ABC, se traza una recta secante, cortando a los lados AB y B C ; luego sobre la recta se considera un punto «E». Calcular el área del triángulo EBG si las áreas de los triángulos ECG y AEG son 20 y 30 respectivamente. A) 25

B)50

Q IO V ó

D )20

E)30

12.- Calcular el area de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y PD = 1 B

A) V5 B)2>/5 C)

JÌ

D)4

D)2V 3 m2

E) V3/4 m2

15.- En un trapecio ABCD de bases BC y AD (BC < AD), cuyas diagonales se cortan en “O”; las prolongaciones de los lados no para lelos se intersectan en “E”. Si el área del A BOC y A AOD mide 9 y 16 m2 respectiva mente. Hallar la relación de las longitudes de los inradios de los triángulos BCE y AED. A) 1/2

B) 3/2 C) 3/4

D) 4/3

E) 5/4

16.- En un hexágono regular ABCDEF, las pro longaciones de DB y FA se intersectan en P. PE intersecta al lado AB y AD en M y N res pectivamente. Calcular el área de la región trian gular B M N , si AB = 6 m A) 2yf3m2

B)3V3/m2

D)4 m2

E)6 ni2

C )4 yf3m2

E)2V7 13.- Los lados de 3 eneágonos regulares mi den yfl0 , y Í 5 y ^ 6 . Cuánto mide el lado del eneágono regular que limita un área igual a la suma de las áreas de los otros tres.

17.- En la figura, calcular el área de la región sombreada: ML = LN , P M = a , NQ=Z> , AC = c

764

Frnesto Qulsps R.

Problemas de Geometría y cómo resolverlos A)27cm2

B) 45en?

D) 100m2

E) 108m2

C) El cm2

22.- Hallar el area cuadrangular PBQD, si el área de la región ABC es S. A) S B ,§ C) 2 5 D) (a + b) c/3

E) (a + b) c/5

18.- El área de la región limitada por un hexá gono regular es A. Hallar el írea de la región limitada por el polígono que resulta de unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del hexágono A jy

o

E) ± A

\ a

19.- En un romboide ABCD las diagonales se cortan en O. Las distancias de O a los lados BC y CD miden 2 y 3 respectivamente. Calcu lar el área del romboide si m 4- ABC =135 A)8V2

B)l2V 2

D )18^2

E) 24-^2

Q 16V 2

23.- En una semicircunferencia de diámetro AB, se traza una recta paralela al diámetro que intersecta a la semicircunferencia en «P» y «Q». Si la distancia de «B» a la recta mide 6 m y PQ = 5 m. Calcular el área de la región cuadrangular APQB. A) 30

B)28

C)54

D)36

E)48

24.- Hallar el área de la región cuadrangular sombreada, l,í 5, = 18m2 y 5, - 4,5m2 además MNCL es un romboide. A) 25 m2

20.- Hallar el área de la región sombreada. S i:A Q = 8 m ;P C = 9 « ¿ P B Q = 45° A) 12m2 B )13n? Q lW D, 15m2 E) I6m2 21.- En un trapecio isósceles en el cual su base mayor es igual a su altura. Hallar el área de la región trapecial sabiendo que su altura mide 9 cm

B) Tir,? C)28w2 D', 22.5m2 E)30 n? 25.- Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6, BC = 5 y CD = 9. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita. A) 1

B)2

C )3 ^ 2

D)2yÍ3

E)3

26.- En la figura, hallar el área de la región sombreada, si: = 25m2 , S2= 9m2y S3= I6mn


Luis Ubaldo C

B

765

30.- Exteriormente a un trapezoide ABCD se construyen sobre sus lados cuadrados de cen tros P, Q, R y L. Si PR = a. Hallar el área de la región PQRL. A) a2

B)2 a l

C) a2J 2

d>4

A) 50m2

B)60 m2

D)84wi2

E)94wi2

C)72 n?

31.- En la figura O y O, son centros, P y Q son puntos de tangencia, PS = 8 y LQ = 6. Hallar el area de la región sombreada PQSL.

27.- Hallar el área de la región sombreada, si O es centro y OF = r A ) | r 2V3 B ) | r 2V3 A) 12 C ) f r 2V3

D)3r2S

28.- En un paralelogramo ABCD, Eesunprnto cualquiera de BC. Se traza AE y se prolonga hasta que intersecte a la prolongación de DC en F. Si el área de la región DEC es 36 m2. Hallar el área de la región triangular ABF. A) 12m

B) 38 m2

D) 10m2

E) 36 m2

C ) 24m2

29.- En un triángulo ABC, se trazan las bisec trices interiores AD y CE las cuales se intersectan en I. Sim B = 60° y el área de la región triangular AlC es A. Hallar el área de la región pentagonal no convexa A E ID C A .

A)AS

B)2AS

D)3/\

E)3Ayf3

C)2A

B) 18

C)20

D)24

E)36

32.- Por el punto rrudio M del lado AC de un triángulo ABC se traza una recta que intersecta en P a BC y en Q a la prolongación de B A . Por B se traza una rerta paralela a pQ que intersecta en R a la prolongación de C A . Si el área de la región RPC es 12m2. Hallar el área de la región RAQ. A) 6m2

tí)9m2

D) 16/n2

E)24 rr?

C)12m2

33.- En la figura: P , Q e I son los incentros de los triángulos AHB, BHC y ABC respectivamente. Calcular el área de la región sombreada si MN = a B

766


A) a2

B)o24 2

C )y

Ernesto Quispe R

A) 64 B) 16

D )^ V 2 2

E )^ 4

34.-En la figura: 5 t = 21 , S2 = 42 , S 3 = 2o. H allará: X

C) 25 D)30 E)40

A) 7

C) 3,5

38.- En la figuras las áreas de los romboides son A , A 2 y A y Si = 25 m2 , A2 = 49 m2 y LBEA es un romboide Hallar A3

D) 10,5

A) 65 m2

E)40

B) 70/n2

B) 14

35.- Sobre el lado AC de un triángulo ALC se C) 74m2 ubican los puntos P y Q de modo que AQ = PC (CQ > CP). Luego se trazan PT y QR parale D)9G m1 las a AB (T y R en BC). Si el area de la región E) 1 4 W L Q P AHR es '<5» Hallar el área de la región PTÍ1Q (QR n Á T .H) 39.- Exteriormente a un mánguio rectángulo ABC, recto en B, se construyen los cuadrados 2 4? A) S B)S/2 C)25 0 , 3-5 E )-^ ABMN, BCEF y ACPQ. Hallar el área de la re gión hexagonal NMFEPQ. Si : a b = 3 y BC = 4 36.- En la figura AMNB, AEFC y APQR son A) 64 B)65 068 D)70 E)74 cuadrados: S { — 9 n r , S 7 = 6 m 2. Hallar el área de la región triangular ABC 40.- En 1a figura O y Oj son centros ÂÔ, = 0¡B A) 15.«2

Si AD = 4 4 2 . Hallar el área de la región sombreada.

B) 12m2

A) 2 ( 4 - 4 2 ) C ) \4m D)

B , 3( 2 - 4 2 ) 16m2

E )18nr 37.-Calcular el área de la región EBCD, si : BC = 5 y AD = AC

I

C) 2(3 + 4 2 ) D)2(3 - 4 2 )

E)

3(3-42)

El área de un círculo es igual a la mitad de la longitud de su circunferencia multiplicada por el ra dio de la misma. Según esto, el área del círculo «O» será : A0 = n R 2

...(2 2 .1 )

22.2 ¿\REA DE U N SECTOR CIRCULAR El área de un sector circular es igual al área del círculo correspondiente multiplicado por el cociente entre su ángulo central y 360°. Sea AOB el sector circular de área A, radio R y ángulo central 0 . Luego: A=nRI

6 3oC

... (22 .2 )

Observación.- Si representam os por L, la longitud del arco AB se tiene:

A =

LR

i

... (22.3)


768

Si en una circunferencia de centro «O» trazamos la cuerda AB, entonces la región comprendida entre la cuerda AB y el arco A.B se llama segmento circular, cumpliéndose que su área será igual al área del sector circular AOB menos el área del A AOB. Así: A = ÁRLA (Zs AOB) - ÁREA ( A AOB)

... (22.4)

Corona circular es la región exterior a la circunfe rencia menor e interior a la mayor en dos circunferen cias concéntricas. Si r y R representan las longitudes de las radios de las circunferencias entonces el área A de la corona circular será:

Tam bién:

A = n { R 1- r * )

...(22.5)

A = n AB2

... (22.6)

En la Fig. 22.5 las circunferencias de radiosry/? son concéntricas; las longitudes de. los arcos, AB y CD son y ¿ 2. El área A del trapecio circular som breado serd. A=

lambién:

I

A=

L\ + L 2

5é 3 6 0

(R -r)

...(22.7)

... (22.8)

Ernesto Quispe R

Luis Ubaldo C

2 2 .6 A

Áreas de Regiones Circulares

k e a u e

u n a

769

jl a ja c x k c u jl a jc

En la Fig. 22.6, AB // CD, luego el área de la re gión circular comprendida entre dichas cuerdas y limi tada por los arcos AC y BD es : A

= 4

( segmento ^circular CL

f segmento 'j circular

1

AB

J

... ( 2 2 .9 )

22*7 RELACIÓN ENTRE LAS AREAS DE DOS O MAS ETGlIRAá» SEMEJANTE«? Si dos o m ás figuras son sem ejantes, entonces sus áreas serán directam ente proporciona les a los cuadrados de sus elem entos homólogos. Sean W, Y y Z, figuras sem ejantes de áreas At,A , y Ay respectivam ente y sean adem ás a, b y c las longi tudes de sus lados homólogos luego se cumple:

A _

ài = &

a2

fc2

... (22. 10)

Fig. 22.7

c2

CONSECUENCIA

Si sobre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo se construyen figuras sem ejantes, enton ces la sum a de las áreas de las figuras constituidas so bre los catetos será igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa. Sean las áreas de las figuras sem ejantes Ay A2 y A3. Luego por 22.8 se tiene :

A AB2

_

4 BC2

_

4 AC2

De donde deducim os la ley de proporción : Puesto q u e :

AC2 = AB2 + BC2 A,+ Az =A3

A+ A AB2 + BC2

_ A, AC2

( Teorema de Pitágoras)

...(22.11)

770


Ernesto QuIspeR.

ZZS. L ir \ ULAS DE HUHDCRATES 5. sobre los catetos de un tnángulo rectángulo se construyen exteriormente semicírculos, entonces el área del triángulo rectángulo será igual a la sum a de las áreas de las lúnulas determ inada, por los semicír culos y el círculo circunscrito al triángulo rectángulo. SeaA el área del triángulo rectángulo, yA]tA2las áreas de las lúnulas. Luego se cumple la relación : ...(22.12)

A = A l +A2

tig . 22.9

2d* PROPIEDAD a

1ra p r o p i e d a d

-ti R

V "

a

/^ 2 ^ \_ \^1

« X I

\

“1 AX = R* (71-2)

... (22.13)

3 ra PROPIEDAD

A, + A¿ + A3 = ^

... (22.14)

4TA PROPIEDAD

... (22.15)

A_ = n R 2 c

... (22.16)

Luis Ubaldo C. 5™ PROPIEDAD

Áreas de Regiones Circulares " 6TA PROPIEDAD

El área del arbelos Ax es igual a :

771

772


€ )€ R C IC IO S o e

Ernesto Qui f 3Ñ.

A P L IC A C IÓ rt

1.- Hallar el área de la región sombreada, si los vértices del cuadrado ABCD son centros de los cuartos de circunferencia de igual radio.

R esoludón.Se tiene:

5,otai = 8 5 i

Siendo:

•S]

■■■(*)

^ s e c to r ' ^ triángulo MAN MAN

_ n (2 2 )

Entonces:

1

4

2x2

'

2

5, = (n - 2) cm2

D onde: Reemplazando en (*):

^ to ta l =

” 2)c/n

2.- Sean A1y Az las regiones limitadas por dos circunferencias de igual radio tal q u e : A1n A 2 = 100 rn? y AjVJ Az = 400m2. Hallar el radio de las circunferencias.

Resolución.Del gráfico, con los datos : A, u A2 = 2x + y = 400m2 ... (1) También :

A, n A 2 = y = 100m2

... (2)

Restando (1) - (2) miembro a miembro : 2x = 300m2

Entonces : Luego :

x = 150m2

ti/?2 = x + y

Reemplazando: nR¿ = 150 + 100 = 250[n‘

Luis Ubaldo C.

Areas de Regiones Circulares

3.- Los vértices de un hexágono regular son los centros de seis circunferencias iguales y tan gentes (según muestra la figura). Hallar el área de la región sombreada en función del lado «a» del hexágono.

Resolución.E1 área de la región som breada es igual a la del hexá gono m enos seis sectores. Cada sector tiene radio ^ y ángulo central igual a 120.

Luego:

c

Reemrplazando:

Ssombreada . .. = ~ a 2j 3 - 6 71Q

D onde:

S

_C sombreada

_ £c

hexágono

I

12

sombreada

= 1 2

n2 f t

^

-

12

4.- La longitud del lado del triángulo equilátero ABC es 2a, sobre las prolongaciones de AB y AC se toman BD = a y CE= a, trazándose luego los arcos DM y EM con centros en B y C así como DE con centro en A. Hallar el área de la región encerrada por el triángulo curvilíneo DME.

Resolución.Del gráfico, el área* de la región som breada se evalúa como: x

~

n ( 3 a ) 2 ( 2 a ) 2 V3

Reemplazando : Donde :

"^sector " ^trián g u lo ' DAE ABC

6 x =

nx9a2

x = Ô

'

4

4 a 2 J3

(5 n -6 V 3 )

¡na2 '

3 2na2

773

774

Problemas de Geometría y cómo resolverlos %

Ernesto QuIspeR.

5.- En la figura adjunta, A H , HB y AB son diámetros y CH es perpendicular a AB. Hallar el área de la re gión sombreada en función de C H .

Resolución.Por diferencia, el área «x» será : -

A

B

A

H

a

H B

Expresamos las áreas semicirculares en función de los diám etros AH, HB y AB = AH + HB x =

nAB2

JtAH2

ji HB2

Entonces:

x= i

A hora:

x = — [(AH + HB)2 - (AH2 + HB2)]

D onde:

x = T (AH . HB)

8

[AB2 - (AH2 + HB2)]

8

4

Además por relaciones métricas sabem os q u e :

... (1) AM . HB = CH2

71


x = r r CH2 4

6.- La figura muestra dos circunferencias concéntricas de centro «O» AB es una cuerda de la mayor cir cunferencia y tangente a la menor. Hallar el área de la corona en función de AB.

Resolución.Del gráfico, se tiene :

Srn m n a = n[R2 - r 2) ' 7 ... ' (1) '

En el A MOB : MB2 = R2 - r2 Siendo :

MB -

AB


=

R2- ¿ =

corona

AB

= -4" a b ^

... (2 )

- ( 2)

Luis Ubaldo C.


M is c e lá n e a

1.- En la figura «O» es centro y a C = 9m. Calcular el área de la región sombreada.

Resoluctón.SeaAx el área pedida Luego Ax = Área (Ex QAC) Área (¿3 AOB) - Área (Ex BOC)

uReem plazando:

a = 8-8-----*42 Ax

Donde :

Ax = 32 - 8 - 4ji

= 4

( 6 - 7t)

44

m2

2.- En la figura la m BC = 60e y el radio de la circunferen cia de centro «O» es 6m. Calcular el área de la región sombreada.

Resolución.S ea/lx el área de la región som breada Luego :

Ax = Área (A AOC) + Área (Zi COB) 2

Reem plazando:

A = \

Luego :

Ax = 18 .

*

¿

(6) (6) sen 120° + n „

obl)

+ 6n

A%= 3(^/3 + 2n)

-

775

776


Ernesto QuIspeR.

3.- Una circunferencia es tangente a los lados AB y AD de un rectángulo ABCD, pasa por el vértice “C” e interseca a CD en un punto N, si AB = 9 y A D = 8. Calcular el área de la región interior al rectángulo y exterior a la circunferencia.

Re»olucÍ3n.Sea,4x el áren de la región som breada Luego :

Ax = >*(□ ABCD) - A

MCN)

=> Ax = 7 2 -A

-A{

MCN)... (1)

En el ^ MKO :(8 - R)2 + f9 - R)2= R2 Resolviendo : Luego en el

R= 5

MCN :

MC = 6 y CN = 8

. ^ ^ h n = —2— =

Ahora : Entonces :

MCN) =

Sustituyendo (2) y (3) en (1 ):

68

25n

= 24

, OA - (2) ... (3) 2571

A X= 7 2 - —¿ -24

4.- En un rectángulo ABCD se inscribe una semicircunferencia de diámetro A D . Calcular el área del segmento circular determinado al unir los puntos medios de AB y CD, sabiendo que AB = 6.

Resolución.Trazamos OP = OQ = 6 y OK ± PQ de modo que OK = 3 En el

POK :

m 4 POK = 60°:

Sea “Ax” el área del segm ento circular PQ Luego:

Ax =

u 1 h Reem plazando:

Ax = 716 I ^gg I----- ^—

vi

- A A POQ ¿ z f 120!

6->/3.3


Luis Ubaldo C

777

5.- En la figura «D» es el centro del arco ABC y «O» centro de la circunferencia de radio «R». Calcular el área de la región sombreada. ■

V

i0

D Resolución.Del gráfico observamos que el área p edida/lx Se puede expresar com o : Ax = ^

-A,

... (1)

A, representa el área del segm ento circular AC Luego :

A} = Área ( Zi ADC) - Área

Reemplazando :A = Donde :

n (R j2 )2

ADC) n

(R - j2 ) ( R - j2 )

r

0

A = ^

i

K

B

2

. R2


A X=

Ahora :

a

... ( 2 )

¿

- 4 - 4 -

A 6.- Calcular el área de la región sombreada si el triángulo equilátero tiene 6m por lado y «A» es el centro del arco BC («O» es centro)

\/? V 2

, Ry¡2

N


778

Ernesto QuispeR

Resolución.Hacemos las siguientes consideraciones: Á rea

de la región p e d id a :

Á rea

del segmento circular BC : A

Á rea

del segme nto circular MC : A2

Luego:

... (1)

Ax = A} -A2

A] = Á r e a ( Z l, BAC) - Á r e a ( A ABC)

A\

716'2 6

62-i/3

A . = 6ji-9V 3

...(2) ji3 2

A2 = Area{Zi MOC) -Area (A MOC)

Reemplazando (2) y (3) en (1): 4

9n

A = 6tc - 9 -^3 -

27 ^

7.- En /a figura PH; HR ; QH y PR son diámetros. Encontrar una relación entre las áreas de las regiones indicadas.

Resolución.Sabemos por Propiedad que el área del árbelos 5, + D + 5 2 = ^ ( Q H ) 2

...(1)

El área del círculo de diámetro QH e s : B + C + D + A = ^ (QH)2

... (2)

De (1) y (2) : 5, + D + S2 = B + C + D + A Sj + S j —A + B + C

3 2 V3

3ji 2

, 3tc 9-J3 A2 = — - — ... (3) 9J3

Luis Ubaldo C.


8.- En la figura “P ” y “T” son puntos de tangencia AN = NC y OC = J l 7 . Calcular el área de ¡a coro na circular.

C

Resolución.-

T

Seanr y/? las m edidas de los radios de las circunferencias Luego el área de la corona c i r c u l a r s e r á

A@ = n (R2 - r 2)

Trazamos : OK X AN , luego : AK = KN = r De donde

AN = NC = 2r

R = 3»

EnelfcxAKO: En el fc, CKO : =>

=>

OK2 = (3r)2 r2 = Hi2 (JY 7 f

= (3r)2 + OK2 = 9/^ + 8^

r = 1 y R —3

Sustituyendo estos valores encontrados en (1) : = n ( 3 2 - l 2)

9 - En la figura «O» es centro de la circunferencia de radio «R», «C» es centro del arco AOB y «A» centro del arco BF. Calcular el área de la región sombreada.

...(1)

779


780

BesolBcjón.E1 triángulo AOC es equilátero lo mismo que el triángulo COB Además : m y

4

OAB = m

4-

BAC = 30°

AB = l3 = R V3

Sea A el área de la región som breada x • Luego : Ax = Área (Z i FAB) - Área (A AOB) «

Reemplazando: ji (/?V3)

30°

R j3

R

A_ =

nR 12

7

R¿&

D cnde:

10.- En la figura “T” y “O ” son centros S1= 6 y S2 = 11. Calcular “S "

Resolución.Del gráfico el área de la corona circular: S¿ + 53 es igual a :

S2 + S3 = n(7?)2

... (1)

Pero el área del círculo de diám etro AB es : Sj + 5 3 + Sx —7iR2

... ( 2)

De (1) y (2) : 5 2 + 53 = 5, + 5 3 + 5x 5 x = 5 2, - 5 .1 = 11 -6 S =5

r

■r

Ernesto Quispe R.

Luis Ubaldo C


11.- En la figura el lado del cuadrado ABCD mide “a ’ Hallar el área de la región sombreada.

Resolución.E1 área pedida Ax lo calculamos restando al área del sector circular QAD y el área del segm ento circular PA. 2 Asi:

7 t(a/2) A = na 2 . f J L Í 1,360 J ' 4 k

Donde : A =

rna 2 a 2 8 [t t -" 8 2 na 2 a 2 Tía 8 16 8

a a'

22 2 /

na2

\= T 6

(7I' 2)

12.- Hallar el área de la región sombreada, si los arcos se han trazado con centros en los vértices del triángulo equilátero de centro "O".

Resolucion.— — — Trazamos OA y OK _L AC , luego : AK = KC = :~ En el

B

AKO de 30° y 60° : OK = 1/2 y AO = 1

Sea “A” el área de la mitad de la región MON, luego si “A " es el área p e d id a : Ax = 6A ... (1) En el sector circular OAN, se tiene : A=A

-A.

OKA V3

781

Ernesto Quisten


782

= w ,2._30. 360

_JL12_ 2

Reemplazando:

A=nl

En (1):

A = 6 (7 1 /1 2 -^ 5 /8 )

12

‘

8

A =

A =

6n 12 ' 71

2 '

13.-En la figura m AB = 54 y m 4- BAC = 36. Hallar el area de la región sombreada.

Resolución.Trazamos por A el diámetro AB, luego : m C D = 54 y en consecuencia BC // AD En el trapecio ABCO : Área (A ABC) = Área (A BOC)

De donde el área de la región som breada resulta ser igual al área del sector circular BOC. Lueô :

A =A

BOC = n 52

72 360

A = ón 14.- En la figura se muestra un hexágono regular de la dos 4m. Calcular el área de la región sombreada.

6V3 8 3^3 4


Luis Ubaldo C. Resolución.-

2

783

2

Sea «Ax» el área de la región som breada Luego : Ax = Área (Hex.) - 6 Área (Zi ABC) -A q

( (4)2-n/3 - 6

A%= \

9 7l2

3

\

BÓG

> -n22

2\

o<

R eem plazando:

J

2

600 ,2

= 24 -n/3 - 8n - 47t

Donde : A

=

1 2 (2 ^ 3

- ji)

15.-En la figura P y O son centros. Hallar la suma de las áreas de las regiones sombreadas, si OE = 4 3 . /

P

Resolución.Sean :Área del triángulo mixtilíneo CFS : A} y Área del cuadrilátero mixtilíneo AEPO : A2 Luego el área pedida s e r á : Ax+ A2 Trazamos OE y O F, luego :OE = OF = 4 j3 En el

EPO : m

4

PEO = 30 = m

4-

PFO

a

El área A^lo hallamos restando al área del sector COF, el área del cuadrante CPS y el área del triángulo rectángulo OPF. Así:

. ’O f ?

= 8n-3n-6i/3

-¡fc-íV S

El áreaA2 la calculamos sum ando el área del sector AOE con el área del fcx EPO : A2 =

Finalmente :

K{4f )2 +

^ - = \ 6 n + 6j3

A¡ + A2 = 5 n - 6 V3 + 16n + 6-J3

784


Ernesto Quispc R

16.- Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado “L".

Resolución. Trazamos OT , OM , ON , OS , MN y ST , luego los triángulos TOL y OMN son equiláteros cuyos lados miden « » ; adem ás SOND es un cuadrado donde :

del sector TOM, los dos segmentos circulares de áreaS. Donde : _ _

7 i(L /2 )2

6

(L/2)2^3 _ nL2 4 24 ' 16

L2 ^3

Así ten em o s: Í teL2 24 A

=

5nL2 18

L2 V3

Ji L2 12

L2 J3 1 16

+

8

Ax = ~ ( 7 i + 6 J 3 )

17.- Calcular el área del segmento circular mos trado, si ABCD es un romboide de alturas 6 y 8.

m 4- SON = 90.

Luis Ubaloo C.


Resoluclón.Poir el centro O de la circunferencia trazamos las alturas MN y KL, Luego :

MO = ON = 4 = OL

Trazamos

y

OK = 2

OP y OQ,

Luego en el Ex OKQ : m 4 KOQ = 60

K 2 60°

Análogamente : m 4 POK = 60°

Luego:

30°}

° A = A { & POQ)-yl(APOQ)

Ax = -l f - 4V3 18.- Calcular el area de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero y AM = MN = NC = a.

Resolución. En el triángulo BNC , trazamos la base m edia TK, luego TK = | = 3

y m 4 NTK = 60

A OFN = A NTK (4o Caso) => m 4 FON = m 4 NTK = 60 Análogamente m 4 AOE = 60 y m 4 EOF = 60 Sea A el área peaida, luego : Ax = A ( A EOF) + 2A(A EMO) Reemplazando :

A%=

+ 2 Jy (l)(3 )se n 6 o j B

785

Ernesto QuispeR.

Probi m as de Geometria y cómo resolverlos

786

=»

\ = f +

3 - 4

••

^ -ffo + V S )

19- Hallar la suma de has áreas de las regiones sombreadas, si m 4. AOB = m 1 A’O’B’ = 60.

4

Resolución.Sean las áreas de la región mayor A j y de la m enor A2 , A ¡ la calculamos trazando la cuerda común AB , luego : A, = 5, + S2 Donde :

5j : área del segm ento circular de la circunferencia O

También :

S2 : área del segm ento circular de la circunferencia O’

=*

„ VW "

Luego : A, .

^

1”

6

'

4

2

V

3

tiR2 R2J 3 , tzR2 R2J3 = —g-------- 4— + - 9 -------- y T _ 571K2 R *j3 18 " 3

Como las regiones de áreas A, yA2 son sem ejantes : A2

(R /J3?

,

A}

^ = T . _ 5nR2 2 “ 54

R2j 3

9

Finalmente :

A l + A 2 = ~27

(571-6^3)

7iR2 2

R2J3

9

„ '

ti { R / J 3 ? ^ • ^ Sen, 12

Luis Ubaldo C


787

20.- Calcular el área de la región sombreada si A y B son pun tos de tangencia.

Resolución.Sea A^ el área de la región som breada, luego : A ( Q PABQ) =

Puesto que : =>

(AB) = y

... (1)

AB

AB = 2 j r . 2 r (Propiedad) AB = 2r j2

Luego :

A ( Q PABQ) = 3i2 J2

Ahora:

A( _

... (2)

PQ) , 3nr2

(2) y (3) en (1) :

Ax = A ( Q PABQ) - A-<=* PQ

9r2j 3

- (3)

Ax =

A =

(4./2 - 2 7I - 3 V 3)

Calcular el área de la región sombreada.

B

I

788


Ernesto Qu¡*peR.

R esollido'. Trazamos ML, luego : Ademác :

AM = ML = LB = 2 j3

MO = OL

En el k . MOL de 45°:

MO = OL = 2

Ax =

AOB) - ¿(<0 AML) - ¿(E x MOL) n(2 + 2 V2)2

Reemplazando :A =

•71 ( 2 V 2 ) 2

7i(4 + 8 + 8 -/2) ---------- 8n

=»

---------------- 4

3 X -

-

„ 2

= 2 ( - / 2 71 - 1 )

22.- Hallar el área de la región sombreada, si BM = MO

Resolución.Trazamos O F, luego : F

R/2^j3

OF = R En el E^ FMO de 30° y 60°: Area (Ex FMO) = R2J 3 8

En el Ex TMB de 45° : ,2

Area (Ex TMB) =

El

M R

8

L uego: A =

11R 6

_2

"V

Luis Ubaldo C


789

23.- Del gráfico mostrado. Hallar : Aw, si :

*

. + . A,

+ .

= ¿

5

Resolución.Por Propiedad : semiperimetro.

AP = AL = p - a ; BP = BQ = p - b y CQ = CL = p - c , donde p es el

24.- Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si: OA = 10 y m AB = 5 4 ; además O es centro.

790

Ernesto QuispeR.



En el cuadrilátero inscrito MAOP :

m 4- MAO = m 4- OPT = a

(3o Propiedad)

En la ® mayor, por 4 inscrito : m

4 MTQ —m 4 MAQ = a

PB // QT , luego OPQT es un trapecio, de don de: Área (A PLQ) = Área (A OLT), y en conse cuencia el área ae la región som breada (Ax), será igual al área del sector circular QOT de 72° y ra dio = 10. A =

7i

102 . 2 1 360

A = 20n

25.- En la figura ABCD es un cuadrado de lado 6. Hallar el area de la región sombreada.


Sea “A ” el área de la región som breada, luego = A (nA B C D )-/l © - 2 A /!(□ ABCD) = 62 También :A@ = 7i32

:

...

(1)

=»

/!(□ ARCD) = 36 ... (2)

=>

A ® = 971 ... (3)

Para calcular “A", trazamos los radios AP y DP, des componiendo el c jad rado ABCD en 2 sectores circu lares BAP y PDC, un triángulo equilátero APD y la su perficie BPC de área “A”.

De d o n d e :

A = 62

6 V3 - 2

7l6

12

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1) :

A = 36- 9V3 - 671

... (4)

A = 3(ti + 6 V3 - 12)

Luis Ubaldo C.


791

26.- En la figura ABCD es un cuadrado de lado 2 j 2 y las semi-circunferencias son tangentes a las diagonales. Calcular el área de la región sombreada.

Resolución.En el

DM04 de 45° :rV2 = V2 =>

r= 1

SeaAx el área pedida

Luego : Ax = Área ( □ 0 , 0 20 30 4) - 4 Área (Z^MOjN ) ,2 ' Reemplazando :

A = ?2 - 4 A_ = 4 - n

A

=>

m 4- QTP = 45 + a y m 4 AOP = 90 + 2a

En el A AOT, isósceles :

m 4 ATO = a

O

N

B

792


De donde : En «O» ;

Ernesto QJ ip e R.

m 4 POB = 4a

90 + 2a + 4 a = 180 =>

En el A AOP :

m

a = 15

4- PAS = 1 5

En el trapecio APTO; las áreas de los triángulos AOS y PST son iguales con lo cual se tiene que el área de la región sombreada, es igual al área del sector circular AOP, es decir : Ax = A lù AOP) - «R» •

= *3>

28.- En la figura P y Q s o n centros AB = 3 y BC = 6. Calcu lar el área de la figura indicada.

Resolución.Sea Ax el área pedida, luego : Ax = 2 (Área segmento circular LPB) A = 2 [Árec (A LQB) - Áren (A LQB)]

Reemplazando :A = 2

Donde :

AX = 2

( ixR2

R2J 3

Ax = ~ { 4n-3V3)

... (1)

Aplicando el Teorema de Steward en el triángulo equilátero ALC : (LB)2 = 92 - 3 . 6 = 81 -1 8 De donde : Sustituyendo en (1) :

R= AX =

=±> LB = 3^7 = /?V3

3j y

3 7 2 '4 7 I-3 V 3 '

f J ] [ s

V

6

/

A^ = 2 Í 4 J I - 3 V 3 )


Luis Ubo,do C.

793

2 9 - En la fig u ra m ostrada 0 y 0 1 so n c e n tro s , adem ás se sabe que A M = 0 1 B = 2 J 2 . C a lc u la r e l área de la re g ió n som breada.

R e s o lu c ió n ,-

Sea Ax el área pedida. luego : Ax = Área (fc*. A OB) - Área (Bx M O O ,) - Área (Zi M O ,B )

Reemplazando .Ax = Donde :

n (2 + 2 V 2 ) 2

Ax = n

Ahora:

(3

2.2

^

n (2 V 2 )2 135

360

+ 2^/2) -2 -3 7 1

Ax = 3n + 2 j 2 n - 2 - 3 n A = 2 ( vr2 7 t - l )

30.- H a lla r e l área de la re g ió n som breada com prendida entre d o s c irc u í ite le n d a s de ce n tro D y u n cuadra do con un vé rtice en D y la d o 10m.

Resolución.Del gráfico mostrado : A, = Área (□ ABCD) - Área (Z^ ADC) ^2 A. = 102- ^ -

= 1 0 0 -2 5 n

B

También:

A 2 = Area (Zi BDE) - Area (A BCD)

Reemplazando :A2 = Luego :

ti(10V2)245

360

'

A,

10.10 2 = 2571 - 50

10

A. + A2 = 100 - 2571 + 2571 - 50 í4j + Aj = 50m 2

\ 7

4545° / X D

/

\ 10

r\

A2

\


794

31.- D el g rá fic o : « O » es centro : m 4 F C D = m

Ernesto QuispeR.

41 A D F = a .

C a lcu la r e l área de la re g ió n som breada, s i A O = O B = r

Resolución.-

Por 4- inscrito

m 4- ECD = m 4

=a

El □ AEFD es un trapecio isósceles Donde : AE // FD y EF = AD = r-J2 Además :

m EF = m AD = 90°

El área pedida Ax corresponde a un segmento circular. Luego :

Ax = Área (Z^ EOF) - Área (Ex EOF) 2

*2

2

----- 7 ^

Reemplazando : Ax =

^

32.- En e l gráfico, hallar e l área de la re gión som breada. S i: A B C D es un cuadradc de lado 2 cm.

Resolución.Trazamos BP y PC formando el triángulo equilátero BPC y los segmentos circulares BP y PC, luego : = Área (□ ABCD) - A j - 2A En consecuencia : Área (□ ABCD) = 22 = 4 22V3

• ■ . Por consiguiente

Reemplazando:

*1

:

a A

= =

= V3

7122 —g ^

= 4 - V3 - 2 A = 4 + J3 -

I

- vo

-

También:

- V3 J 4n

R

Luis Ubaldo C


795

33.- C a lc u la r e l área de la p a rte som breada s i A B C D es un cuad ado de lado «a »

Resolución.-

El área pedida esta formada por 2 regiones cuyas áreas son A} y A , luego :Ax = A + A¡ Al trazar la diagonal del cuadrado esta pasa por Mresultando :

AM = BM = MD

De donde las áreas de los segmentos circulares BM y MD son «Aj2» Resultando Ax = Área del segmento circular BD Ahora :

Ax = Área (Z^ BAD) - Área (A BAD)

? Reemplazando: A =

2 - —

34.- En la fig u ra « O » es cen tro. O A = 15, O C = 20. E l ú A B C D es in sc rip tib le . C a lc u la r e l área d e l s e c to r c irc u la r in d icad o .

C

A

D


En el cuadrilátero circunscrito ABCD OA y OC son bisectrices. Luego :

m 4- BAO = m 4- OAD = a

También : m 4 BCO = m 4 OCD = 0 Además :

2(a + 0) = 180 =>

a + 0 = 90°

A

u

796


Ex ANO - Ex OMC :

R 15 — = ~

MC

Ernesto QuispeR

MC = 3 R

¿u 4/3R

En el Ex OMC: 6 = 37° a = 53° => Luego:

R = 12 A =

7i/(2(e + a+40)

360

xtl22.130 360

35.- En la figu ra : A B C D es un rom b oide c u ya s a ltu ras m iden 4 y 3. C a lc u la r e l área d e l segm ento circ u la r in dicado.

Resolución.-

POr el centro O de la circunferencia, trazamos las alturas MN y HT Luego : MO = ON = 2 , OT = 2 Trazarnos OP y OQ, luego en el

y

OH = 1 HOQ : m 4- HOQ = 60°

A = 52 7i

Luis Ubaldo C.


797

Resolución.-

Por 4- inscrito :

m 4- CLA = 45°

90°/^

En la circunferencia menor : m FC = 90° En el

4

CO,F de 45° : Tir2

Luego : Ax =

r2

J t(2 ^ )2

(2 V 2 )2

4

2

- T = --------

A

A = 2tt - 4

37.- Calcular el área de la región indicada :

Resolución.-

Los triángulos TSO y ORL son equiláteros de lado 3 Luego :

rn 4 LOR = m 4- TOS = 60°

El área pedida Ax se calcula así : .

.

.

Ax = Área (¿ i LOT) - 2 A}

32V33 n

n32

9 j3

Reemplazando := —g - - —^— = - y — — * n32 150 Area ( A LOT) =

I5n

Í3n

Reemplazando : -4x =

-2

Luego :

- 3ir +

Ax = •••

A * = ^4 +

[2 -

2

9V3) 4 J

90° 4

0°« 45^M l 4 5 ? ' r ^ ^ y /x n

O

B


798

3 8.- En la fig u ra m o strn a a podem os o b s e rva r que M, N y L so n c e n tro s . Adem ás :A M = r , B N = 2 r , L F = 3 r T es p u n to de tangencia. C a lc u la r e l área de la re gió n indicada

Resolución.-

Del gráfico : Ahora :

/\x = Area (□ ABNM) -

... (1)

2rJ ¿ = 3^72

Area (□ ABNM) =

También :A ] = Área (Z^ MLN) - Área (A MLN) Reemplazando : „

_ n (3 r ) (3 r)% /3 _ 3 ti r 1

R

'

A

Sustituyendo en (1): A = 3i2J 2 -

3ro-2 9r2V3

A , = ^r2 (4V2 + 3y¡3 - 2n)

Al = i

I

r2 9r2, 9 rV 3 2 ' 4

Ernesto QulspeR.

Luis Uhalao C.


799

Resolu iió n .En el

MON :

m 4_ MON = 60°

A = Área {A AON) - Área nR

R eem plazando: A =

Luego:

A =

NMO)

-U f)N tcR

R J3

6

8 B

** = ^ ( 4 n - 3 7 3 )

40.- C a lcu la r e l área de la re g ió n som breada, s i A O B es un cuadrante de ra d io R.

Resoluclón.Sea A el área pedida luego :

A hora: Luego:

MEO =

NFO

Área (A MEO) = Área

NFO)

Resultando : Área (A MLO) = A2 De donde :

A = A. + A, = Área (Zi MON)

A =

TtR

12

800


Ernesto QuispeR.

41.- En la fig u ra se m uestra un cu a rto de c írc u lo y un se m ic ír c u lo . S i A M = M O = 2 j 3 . H a lla r e l área de la re g ió n som breada.

B

Se traza ON :

OMN : Notable (30° y 60°)

=> MN = 6

Luego : Ax = Área A AON - Área D AMP - Área Ex OMN Reemplazando datos: *

6

'

7t(2j3)2 (2V3) (6) 4 ' 2

AX = 8 71 - 3 7t - 6 -J3

B

A = 5 71 - 6 J 3

42.- En la figu ra se m uestra un h e xá go n o re g u la r P Q R S TU , d e l cu a l se p id e h a lla r su área; s i la re g ió n som breada lim itada p o r la circu n fe re n cia y la s se m icircu n fe re n cia s m ide S.

Resolución.-

Del gráfico :

Área (O PQRSTU) = 6.4 ... (I)

Se traza PS , QS y QO, siendo :

Área (Ex PQO) = Área (A OQS) = A

Por propiedad de lúnulas de Hipócrates en el Ex PQS : Área (Ex PQS) = A^ + A2 Del gráfico : A ( + A^ = 2A Pero : Entonces: De 11en I :

5, + 52 = y (dato del problema) = 2A

A = f ... (II)

Área (O PQRSTU)

Área (O PQRSTU) = 3*


Luis Ubaldo C

801

PROB16MAS PROPU6STOS 1.- Se tiene un rectángulo ABCD y una circun ferencia que contiene a ‘ B y “C”, además es tangente a AD e intersecta a AB y CD en “M” y “N” respectivamente. Calcular el área de la región limitada por MB; BC; CN y MN si BC = 2 Mu y el radio de la circunferencia mide 6. 1727t 216 12571 213 10 3 D )~ 3 ~ + ~ T 1277t 216 B) 10 + ~5~ 1277t ^ 216 C) 5 10 2.- Calcular el área de un círculo inscrito en un sector circular de 60° de ángulo central y tiene por área 24«2 A) 2u2 B) 4u2 C) 6u2 D) 8u2 E) 10u2

A) 10 m2

B) 20 m2

D) 40 m2

E) 50 m2

C) 30 m2

5.- En la figura se tiene un cuadrante con cen

tro “O”. Hallar el área de la región sombreada. Si AM = \m y MB = yfí m. 571 7 4 8 571 7 B) 4 2 571 7 C) 4 ' 8 471 8 D) 5 ' 7 871 7 E) 5 '4

A)

A)

3.- Si ABCD es un cuadrado de lado igual a 2m. Calcular el área de la región sombreada, si A y D son centros de los arcos BD y AC respectivamente.

6.- En la siguiente figura AC es diámetro, m C - 30° y OA = AC / 4. Si el área de la región triangular ABC es 32-v/3. Calcular el área del círculo cuya circunferencia equidista de los cuatro puntos A; B; C y O

A ) | ti + V 3-2

B

C

| t i + V 3-3

B) a

C) - J I + & - 4 D I

— 7 t - V

3+ 3

A) IQn B) lOOn C) 95ti

O

D)90n E)

8071

E) ^ n - S - 3 4.- En la figura mostrada, calcular la suma de las áreas x e y. Si el área del triángulo mixtilíneo AMBC es 40 m2 y el área de la lúnula sombreada es 10 m2.

7.- Si “O” es centro de los círculos ue radios 1u y 2u. Calcular el área de la región sombreada. A) 7tu 1 ¡ 2 B) nu2 C) 3u2/ 4 D) 37tir/2 E) 27zu2


802

Ernesto QuispeR.

8.- En la figura “O” es centro de la circunfe rencia y su radio mide “a". Además AQ = QB. Calcular el área de la región sombreada.

A) 7t(a2 + b2)

B) \ ^ ] { a 2 - b 2)

A) y - (71 + 2)

C )(7 i-2 )y -

D)(7t - 2 ) ( ^ - ± ^ - j

B)

E) (7t - 2) ab

( ti

- 2)

C) a2 (71 -2)

12.- Del gráfico, calcular el área de la región sombreada; si PQ = 6w y QR = 4u («O» cen tro de los semicírculos)

D ) ^ -(T t- l)

A) 207I«2 E )^(7t+3)

B) 3071u2

9.- En un rectángulo ABCD se inscribe una semicircunferencia de diámetro AD. Calcular el área del segmento circular determinado al unir los puntos medios de AB y CD. Sabien do que AB = 6. A)15n-6V3

D)127t-9V3

6)1271-8^^2

E) 1871-8^3

C)9ti-12V3 10.- Hallar el área "5x". SiS, + S 2= 12 m2 . A) 3m2

C) 40nu2 D) 157IK2 E) 6071u2

A

O

a

13.- En la figura mostrada «A» y «O» son cen tros, OB = 2 j 2 y m OP = m PB. Calcular el área del sector circular PAQ A) 7i/3 B) 471/11 C) 37n/90 D) 5371/180

B)4 m2

E) 3tt/8

Q 6m2

D)8

m2

14.- Del gráfico, hallar el área de la región sombreada s i: AO = OB y PH = 2u

E) 12m2 11.- Calcular el área de la región sombreada, siendo ABCD y DEFG cuadrados de lados «a» y «b» respectivamente.

A) (5ti-8 )u2 B)(7t-2)u2 D)(47t-8 )u2 E)(27i-3 )«2

C) (471- 6)u2

Luis Ubaldo C.


15.- En la figura O y Q son centros, calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas.

803

19.- En la figura «P» y «T» son puntos de tan gencia AN = NC y OC = - J l f . Calcular el área de la corona circular.

A) 1/3 A) 671

B) 1/4 C) 1/V2

B) 9 7t

D) 1/2

C) 8 ti

E) 1/6 f ry

16.- Sea P =

|

D) 471

\

—y f l 0 ; —y f l 0 I

el punto donde

el círculo y el segmento son tangentes. El area de la región sombreada es : A) 2n-5 B) h - § C)

E) 1271 Calcular el área de la región sombreada; s i; AO - OB = 2ii 2 0 .-

A) (7t - 1)u2 B)(7i-2 ) u 2

271 - 3

D )7 i-:

C)(7t-3 ) u 2 D)

(n - 4)u2

A

O

B

E) (2ti - 3)u2 17.- En la figura AC es diámetro, AM = MB, R = 2V3 y MC = - J 2 Í , Calcular el área de la

21.- En la figura PH, HR; QH y PR son diá metros. Indicar la relación correcta.

región sombreada. A) ti 7 3

18.- Del gráfico, determinar la relación entre el área sombreada y el área del A ABC. A) 71/2 B) n/4

A) 2(5, + S2) = A + B + C B) ^5, .S 2 = J a b c

C)1

C)

5 + 5 = A2 + B2 + C2

D) 1/2

D)

5,+ 52 = 2(A + B + C)

E) A + B + C = 5, + S2

Ernesto Quiste R.


804

22.- Del gráfico, 5, = 9u2 y S3 = 4u2. Calcular

26.- Hallar el área de la región sombreada, si: m ÁEB = 240° ; "E" es punto de tangencia y

A; 110h2

AB = 2-\/3.

B) 115w2

2^

r

C

A ,j(3 n -y l3 ) 3

C) 12Ü«2

2

D)125 k2 E; 130k2

B) —(271-3^3) 31 4 C )-(27t-V 3)

23.- En la figura se muestran semicírculos; s i: 5, = 9u2 y = 4h2. Calcular «S2»

D )2n-3

A)13m2

E)

B)25 k2 C)26iP'

y*

X ? í,

18m2

D)

471/3

27.- Halle el área de la región sombreada; si ABCD es un cuadrado de lado igual a 2/w. Además O, y Oz son centros.

“í

3771 A) 180

24.- Determinar el área de la región sombreada, si el radio del círculo mayor mide -J 2 u

m 53n B) 180

A) (n - 3)u2

C)

3771 360

D)

53n 360

E) NA.

V3

B)2(7 i -2 ) m2 CX27I-3)«2

E)537t D)(4n- 3)1? E)

N. A.

25.- En el cuadrante AOB mostrado. Hallar la \

28.- En la figura mostrada se tiene 3 circunfe rencias secantes y congruentes de radios 1m respectivamente. Calcular el área de la región sombreaca vO y O' son centros).

relación: h . *2 A) 1/2

A) 7tm

B)2/3

C)

B)7t/2 m2

271m2

C)3/4 D) 3ti/2m2

D)4/9 E)

r

1/4

E) 7t/4m2

Luis Ubaldo C.


805

29.- Hallar el área de la región sombreada; si: m A E = 3 .m 4- BCD; ED- DC - 1m.

A) 7i/6- J 3

B)nJ6-yÍ2l4

C)7i/3-V3/4

D) ti/3-V3/3

E) ti/6- S 14 30.- En la figura mostrada; hallar la relación de áreas, de las regiones sombreadas. Si ABCD es un cuadrado.

V.

/

33.- Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 2m con centro en el punto medio del lado BC, y con radio igual a -J2 m se traza un arco de circunferencia. Hallar el área de la región comprendida por el arco de la circunferencia y la circunferencia inscrita al cuadrado ABCD. A) 7 1 - 2

B)ti

B)V2 +1

D)7t-1

E)7t+1

C)3 + 2V2

34.- El triángulo ABC es equilátero de lado 2^6 m, donde M, N y Q son centros y H es ortocentro. Calcular el área de la región sombreada.

A)2yf2

D )3 + ^2 E)

V2 -1

31.- Sea el romboide ABCD, AB - 6, BC = 10 y AC = 14 ; se traza una circunferencia que pasa por los vértices C y D siendo AD tan gente a dicha circunferencia y BC una secan te. Calcular el área de la región circular. A) 1271

B)67i

D)16rt

E)247t

C)87i

A) 71m2 B)nJ 2m2 C ) 7 i/ 4 m 2

D)7t/6

B

H

35.- Si S 2- 5, = 2m hallar el área de la región limitada porelA BMC mixtilíneo; si BM // AC A ) 1m 2

B)2 m2 C)3 rn D)4 m2

N

m2

E)7t/24m2

32.- Hallar el área de la región sombreada. Si NO = V3 y EH = 3.

A

C)7t + 2

O

E)6 m2

Problemas de Geometría y nómo resolverlos

806

36.- En la figura; hallar el área de la región sombreada, si BC y AD son diámetros tal queBC = 2.

A)

3 + 2 7 2

Ernesto QuispeR

^

71

1+75 -

B) (1 + 72)71 -3 C) (V2 + V3)7t-V2 D )(l+73)T t-273 E )4 7 2

71 73 A) —y — a \

71 — 2 7 3

D)

4“ “

B) -7t

+

73

C) 71— j 73 —

c \ 71 + 2 7 3

E )---- 4-----

37.- Halle el área de la faja circular sombreada, si el triángulo ABC es equilátero y r = Im.

B

- ti

39.- Se tiene una semicircunferencia de diá metro AB que se prolonga hasta el punto "C" del cual se traza la tangente CT a la semicircun-ferencia. Hallar el área del seg mento circular BT; si AT = TC = 73 m.

A)f - f D)

Of E ) |- ^

40.- En el cuadrado ABCD; hallar el área de la región sombread. Si EF = 1m.

A) ^ + 73 D )^ -7 3

C ) f + J2

E) ^ + S

38.- Hallar el área de la región sombreada; si

PQ= 72

P

A) 571

B )4 7 i

D )27t

E)N A.

C )3 7 t

23.1 POSICIONES RELATIVAS Consideremos las posiciones relativas entre: A) DOS RECTAS Estas pueden ser: PARALELAS.- Son coplanares y no se intersectan.

Simbólicamente: a II b Fig . 23.1

SECANTES -

Son coplanares y se intersectan. Simbólicamente : a n¿>: M

ALABEADAS.- No son coplanares ni se intersectan. a*b

a

a r .b : 0

B) ENTRE DOS PLANOS

Pueden ser: PARALELOS - Si los planos no se intersectan.

Simbólicamente : P// Q Fig. 23.4

808


Ernesto Qulspe R

SECANTES.- Si se intersectan determinando una recta.

Simbólicamente : £Pn

Q = {aB>

...(23.1)

C) ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Pueden ser: PARALELOS.- Si no se intersertan.

Simbólicamente : a 1/ £P

SECANTES.-

Se intersectan determinando un punto. Simbólicamente: a n £P = M

... (23.2)

F ío. 23.7

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO .- Si dos puntos de

la recta pertenecen al plano Simbólicamente: a c £P

23.2 KEC'IA FAKALtsLA A LlM PLANU Una recta es paralela a un plano cuando la rec ta y el plano no tienen ningún punto común. Para que una recta sea paralela a un plano es condición nece saria y suficiente que dicha recta, siendo exterior del plano, sea paralela a una recta que esté contenida en el plano. En la Fig. 23.9, b es una recta contenida en el plano P y a II b . Luego :

a // P

OBSERVACIÓN.- En la Fig. 23.9 la recta c del plano Pno esparalela a la recta a, por lo que se dice que c y a son rectas alabeadas Esto nos llevaa formularel siguientetecrema:

Geometría del Espacio: Rectas y Planos

Luis Ubaldo C.

809

"S i una recta es p a ra le la a un p la n o , entonces d ich a re cta no es p a ra le la a to das la s rectas que estén con ten idas en e l p la n o ".

23.3 DETERMINACION DE UN PLANO

Fig. 23.10

23.4 RECTA PERPENDICIXJLARA UN PLANO Para que una recta sea perpendicular a un pla no es condición necesaria y suficiente que dicha rec ta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano. En la Fig. 23.11 a y b son dos rectas secantes del plano P y Les una recta perpendicular a las rectas a y b . Luego:

£ -L ÍP

23.5 TEOREMA DE hAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano, entonces, al unir el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera, el segmento resultante será perpendicular a la recta contenida en dicho plano. Sea £ una recta perpendicular al plano £P de modo que £ n íP: Hy « a » una recta contenida en íP tal como se indica en la Fig.23.12. Asimismo puede notarse que HM 1 a y F e £ , luego : FM ± a

810


Ernesto Quispe R

23.6 ÁNGULO Y AílNIMA DISTANCIA LímTRE DOS

RECTAS AI ABFADAS. "El ángulo formado por dos rectas alabeadas se considera como el ángulo formado por una de tas rectas alabeadas con una paralela a la otra".

En la Fig. 23.13a a' // a, luego «0» es la medida del ángulo que formu.i las rectas alabeadas a y b . OBSERVACIÓN.- Si 0 = 90°; entonces a y b s e llama ran "ortogonales" "La mínima distancia entre dos rectas alabeadas viene a ser la longitud del segmento de recta perpendicular a dichas rectas alabeadas".

En la Fig. 23.13b MN es perpendicular a las rec tas alabeadas a y b. Luego "MN" es la mínima distan cia entre a y b. => d mni. = MN ... (23.3)

23.7 ÁNGULO KjRMaiX* POR UNA RECTA T UN MAN El ángulo que forman ur.a recia y un planu define como el ángulo formado por dicha recta y su proyección sobre el plano. y

En la Fig.23. i4, la recta AH es la proyección ce la recta AB sobre el plano P, entonces diremos que Z BAH, es el ángulo que forman la recta AB con el plano R

23.8 ÁNGULO DIEDRO

DEFINICIÓN

Si dos semiplanos tienen la misma ar.sta pero no están en el mismo plano, entonces la reunión de los dos semiplanos y su arista común es un ángulo diedro. La recta que es la arista común de los dos semiplanos se llama arista del ángulo diedro, y los semiplanos se denominan caras. En la Fig. 23.15 AB es la arista del diedro, y los semiplanos P y Q son sus caras. Un ángulo diedro se denota escribiendo la letra d seguido de un guión, y luego las letras correspondientes a su arista. Ejemplo: Para la figura adjunta, el diedro se denotará como : d - AB

Luis Uboido C.


811

23.9 iVUEDIDA DEMN ANGULO DIEDRO Un diedro se mide según su ángulo plano o án gulo rectilíneo, que viene a ser el ángulo determina do al trazar perpendiculares a la arista del diedro en un mismo punto de ella, y que están contenidas en las caras del diedro. —) —) En la Fig. 23.16 los rayos OE y OF son perpen— —y —> diculares a la arista AB . Además OE c Q, y OF c 9. Luego, el Z EOF es el ángulo plano o ángulo rectilí neo del diedro AB , y la medida del ángulo EOF da la medida del diedro AB ; lo cual se denota así:: m Z EOF = m d - AB

... (23.4)

De lo antei >rpodemos concluir en lo siguiente :

Fig. 23.16

"La m e d id a d e u n á n g u lo d ie d ro e s u n n ú m e r o re a l y p o sitiv o , q u e e s la m e d id a de cada u n o d e s u s m g u lo s re c tilín e o s ".

23.10 RECTA DE MÁXTMA PENDIENTE Si por un punto situado en una de las ca ras de un diedro, se trazan rectas en dicha cetra, entonces el ángulo formado por estas rectas y la otra cara será máximo cuando una de las rectas sea perpendicular a la arista del diedro. Sea "S" un punto de la cara Q pertene ciente al, diedro AB. Además SR y ST son rectas trazadas en la cara Q, tal que ST 1 Á E . Si a y 0 son las medidas de los ángulos que forman estas rectas con la cara íP, entonces verificaremos que : 0>a OBSERVACIÓN: La recta de máxima pendiente mide el ángulo que hace un plano cualquiera con una horizontal.

23.11 ÁREADE tA PROTECCIÓN DE UNTRIÁNGULO! SOBRF UN PLANO El área de la proyección de un triángulo sobre un plano no paralelo a él es igual al área del triángulo multiplicado por el coseno del ángulo diedro que forman el triángulo y el plano. Sea "0" la medida del ángulo diedro que forman el A ABC y el plano fP(Fig.23.18) y sea además el A AHC la proyección del ¿ ABC sobre íP , entonces se cumplirá que:

812


(A AHC)

= A(A ABC) . e o s 0

(23.5)

OBSERVACIÓN : La fórmula anterior se cumple para

toda figura plana en general, es decir: "El área de la proyección de una figura cual quiera sobre un plano es igual al área de la figura multiplicado por el coseno del ángulo diedro que for man la fipura dada con el plano".

23.12 PROPIEDADES 1 ra p r o p if d a d

Si una recta es perpendiculai a un plano dado, entonces iodo plano que contenga a la recta es per pendicular a dicho plano. Sea la recta perpendicular al plano Q y íJ’un plano que contenga a £ , entonces: <-» íPn Q : AB Tracemos OF 1 AB , luego, el ángulo rectilí neo EOF determina un diedro recto de manera que los planos íPy Q resultan ser perpendiculares. 2DA PROPIEDAD

Si dos planos son perpendiculares, entonces una recta cualquiera de uno de ellos perpendicular asu recta de intersección es perpendicular al otro plano. Sean los planos perpendiculares P, Q, y Luna rec ta perpendicular a la arista AB , y que esté contenida en la cara R Luego, £ será perpendicular a Q, es decir: £ ± Q 3 ra PROPIEDAD (TEOREMA DE THALES)

Tres o más planos paralelos determinan sobre dos o más rectas secantes o alabeadas segmentos proporcionales. aean los planos paralelos F¡ Q y R y las rectas se cantes a y b . Pued'í apreciarse que los puntos A, B, C y D, E, F se encuentran en un mismo plano de modo que AD, BE y CF resultan estar en rectas paralelas. Envir tud al item 23. diremos que los segmentos determinados entre estas paralelas verifican la siguiente proporción: AB 3C

DE El

... (23.6)

Ernesto Qulspe R

Luis Ubaldo C.


813

4TA PROPIEDAD

Si los triángulos ABC y AFC, son tales que FB es perpendicular al AABC, entonces los pies de las altu ras, de ambos triángulos, que salen de F y B coinci den en el punto H de AC. [Por Teorema de las Tres Perpendiculares)

5TA PROPIEDAD

Dos rectas son perpendiculares, si siendo secantes o alabeadas forman y0° 6TA PROPIEDAD

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas del plano. 7MA PROPIEDAD

En la Fig. 23. 23, BT es perpendicular al A ABC. Luego, si BH es altura del A ABC, al unir F con H, el segmento FH sera perpendicular a AC.

8VA PROPIEDAD

Siendo BF una perpendicular al AABC (Fig. 23.24 y FH perpendicular a AC, entonces al unir B con H, BH será perpendicular a AC

9NA PROPIEDAD

Para determinar el ángulo que forman las rec tas alabeadas a y b, también se procede así: Por un punto P cualquiera se trazan PQ II a y PR // o Luego Z QPR es el ángulo buscado.

814


10MA PROPIEDAD

La mínima distancia (MN), entre las rectas ala beadas a y b, es la distancia entre una de las rectas a y el plano P que contiene a la recta b de modo que P // a.

11 ra PROPIEDAD

Si una recta es paralela a un plano, todo otro plano que pas< por la recta y que corte al primero le intersectará según una recta paralela a la dada. * Sea a la recta paralela al plano ÍP(/■/g.23.27), y Q el plano trazado por a y que corta a ÍPsegún la recta b. Luego :

a 11 b

En efecto, a y b están en un mismo plano Q, ya no intersecta a b. Luego, a y b son paralelos. 12JA PROPIEDAD

Dos planos paralelos determinan sobre dos rec tas paralelas segmentos congruentes. En efecto, en la Fig. 23.28 el plano determinado por las paralelas a y b intersectanra los planos P y Q mediante los segmentos AC y BD tal que AC // BD, ya que la figura forma un paralelogramo se tiene que: ÁB = CD 13 ra PROPIEDAD

Cuando una recta es paralela a un plano, la pa ralele trazada a esta recta por un punto del plano está contenida en dicho plano. En efecto de la Fig. 23.29, si a // ÍP, Me P y b II a , lo cual nos permite afirmar que : 6 c íP 14TA PROPIEDAD

En la figura adjunta si EF es paralelo a AB y MFEN es un plano cualquiera que pasa por EF, enton ces : MÑ // AB

Ernesto Quispe R

Luis Ubaldo C

Geometría del Espacio: Rectas v Planos

815

1.- ¿ C u á l de la s sig u ie n te s afirm a cion es e s falsa? A ) Una recta y un p la n o p e rp e n d icu la r a una m ism a recta so n paralelas B ) E s im p osib le tra za r desde un p u n to d o s p e rp e n d icu la re s d istin ta s a un m ism o p la n o . C ) Una recta que es paralela a d o s p la n o s secan tes es p aralela a su in te rse cció n . D ) Una recta que form a á n gu lo s ig u a le s co n o tra s tre s re ctas que pasan p o r s u p ie en un plano, es p aralela a d ic h o plano. E ) N inguna de las a n te rio re s.

Resolución.La afirmación falsa es la D por cuanto la recta no es paralela, si no perpendicular al plano. RPTA. D 2.- ¿ C u á l de la s sig u ie n tb s afirm acion es no es verdadera? A ) Todos lo s p la n o s p a ra le lo s a un p la n o dado so n p a ra le lo s entre si. B ) Todos lo s p la n o s p a ra le lo s a una recta son p a ra le lo s entre s i C ) S i un p la n o co rta a una de tre s re ctas p a ra le la s tam bién corta a la s o tra s dos. D ) S I una recta es p arale la a un plan o , la p arale la trazada a dicha recta p o r un p u n to d e l p lan o esta con te n id a en e l plan o . E ) P o r c u a lq u ie r p u n to e x te rio r a un p la n o , s o lo pu ede tra za rse un p la n o p a ra le lo a l prim ero.

Resolución.En la figura, el plano «A» es paralelo a la recta “Jf”’, también el plano B es paralelo a la recta “£ ". Pero ambos planos son secantes, no paralelos. RPTA. B

3 .- En la fig u ra m ostrada, es p e rp e n d icu la r a l plano “0” , B C es p e rp e n d icu la r a la re cta “SE” . D em ostra r que A C es p e rp e n d icu la r a

A£,

816

Ernesto Quispe R.


Resolución.Del gráfico observamos que las rectas «L,» y AC son secantes, por lo tanto determinarán el plano -<6>* Ahora, como «L,» es p^rpe idicular a BC y ortogonal a «Lj» entonces L2 será perpendicular al plano «0». Luego, como toda recta perpendicular a un plano debe ser perpendicular a toda recta contenida en di^ho plano, se deduce que : 12 es perpeníMcular a AC 4.- H allar e l m áxim o núm ero de p la n o s determ inados p o r 20 p u n to s n o co lin e a le s y 10

re ctas secantes

Resolución.Analizemos por partes : 1° Máximo número de planos determinados por 20 puntos : „20 C3

20! *

3 !(2 0 -3 )í *

20xl9xl8x>7Í

M/l„ .

3x2x1x171

= 1140 P'd " “

2° Máximo número de planos determinados por 10 rectas : ^10 10! 10x9x#f Ar , C2 = 2!(10-2)! = = 45 P'anOS

3° Máximo número de planos determinados por 20 puntos y 10 rectas : Utilizando una regla de tres : 1 punto -----

1 recta ------ 1 plano

20 puntos ----- 10 rectas ------- x plano =>

x = 20x lOx 1 = 200 planos

4° Entonces el número total será : N° t o t a l = 1140 + 45 + 200 N° TOTAL = 138S planos 5 .- La s p ro ye ccio n e s de un segm ento de re cta A B so b re un p la n o «i))» y so b re una p e r p e n d icu la r a l p la n o con ten ida en e l m ism o p la n o de A B , m iden 1b y 8m. H a lla r: A B .


Luis Ubaldo C.

817

R eso lu ció n .-

Sea «L» la recta perpendicular al plano «0», luego, CD es la proyección de AB en el plano, también EF es la proyección de AB en la recta «L» ahora, OB = CD = 15 y AO = EF = 8. En el Ex AOB aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos : x 2 = 152 + 82 x = 17

5.- U n segm ento de recta A B de 26m, une e l p u n to « A » d e l p la n o «$» co n e l p u n to « B » d e l p la n o «8» sie n d o «i))» y «6» p a ra le lo s. La p ro ye c c ió n de A B so b re cu a lq u ie ra de lo s d os p la n o s m ide 24m. H a lla r la d ista n cia entre d ic h o s p lan o s.

Resoluclón.Irazando AC _k al p.ano «0», se obtiene la proyección BC de AB sobre este plano. En el triángulo rectángulo ABC (Pitágoras) : x 1 + 242 = 262 x = 10m 7.- S e tienen d os p u n to s A y B encim a de un p',a ,io «$» e l p rim e ro a 8m y e l se gu n d o a 4m de d ic h o p la n o la p ro ye c c ió n de A B so b re e l p la n o m ide 9m. H a lla r la lo n g itu d d e l m enor cam in o de A hasta B pasando p o r un p u n to d e l plano. ftesoluciói--

Como el menor camino entre aos puntos es el seg mento de recta que los une, tomo el simétrico de «B» con respecto al plano, sea B, este punto, enton ces : BC = CB, -= .... 4m y EB ^ -= EB, Ahora el menor camino pedido será AB] tocanoo el punto «E» del plano. formemos el triángulo rectángulo AFB,, en el cual: DF = CB, = 4/7? => AF = 12m También FB, = CD = 9m (Proyección de AB sobre el plano). En el fciv AFB, (Pitágoras) :

AB* = V l22 + 9 2

L

B

B

\

/

° 4 F

/

□____ \¿.__ q

E\

c

\ 4 □ ____ 9_____M

B, AB,

= 15m

M/

4

/

818

Problemas de Geometría y co,no resolverlos

Err^sto Quispe P

1.- Se tienen lo s segm entos o rto go n a le s A B = 10cm y C D = 24cm. H a lla r ia lo n g itu d d e l segm ento que une tos p u n to s m edios de A C y B U .

Resolución.Sean AB y CD Ins segmentos ortogonales. Sea MN = x la longitud del segmento pedido

En el triángulo CBD unimos F cor. N. —

—

Luego : FN // CD, FN = Medios)

rn

— 12 (Teorema de los Puntos

Como AB y CD son ortogonales; entonces la m 4- MFN = 90°

2 .- Desde un p u n to e xte rio r a un p la n o se trazan tre s segm entos o b lic u o s de 10cm de lo n gitu d , de m anera que su s p ie s so n lo s vé rtic e s de un triá n g u lo e q u ilá te ro de 18cm de perím etro C a lc u la r la d ista n cia d e l p u n to a l pla n o .

Resolució. Sea F un punto exterior al plano P, se trazan las oblicuas FA = FB = FC = 10cm, A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado será igual a 6cm. Sea FO = x la distancia del punto F al plano P. Los triángulos rectangüJos AOF, BOF y COF son congruentes. Luego :

OA = OB = OC = R ; O será el centro del triángulo equilátero.

Entonces ; AB = R-J3 (fórmula del lado del triángulo equ5látero) Ahora: 6 = R-J3 , donde : R = 2^3 En el triánguk; BL)f : Reemplazando

r

x 2 + R 2 = 102

x2 + (2 v 3 )2 = 102

Luis Ubatdo C

Geometría del Espacio: Rectus y Pianos

819

3 .- Sea PM Q un triá n g u lo re ctá n gu lo is ó s c e le s ta l que : M P = M Q = a p o í M se traza una a r.d r. p e n d .cu la r a l p la n o d e l tria n g u lo y se co n stru ye M 3 = ^ V 2 ; se trazan lo s se g m entos S P y S O . D eterm inar la m edida d e l á n gu lo d ie d ro c u ya a rista e s P Q .

Resolucion.Sea el gráfico adjunto según el enunciado del problema, MF; como PQ = ov 2 Entonces :

PMQ trazamos la altura

t>

MF = PF = FQ =

Por el Teorema de las Tres Perpendiculares teñemos que : SF _k PQ

2^

Luego, la m 4 MFS = a es la medida del diedro de arista PQ. En el

en el (

/ /

SMF : SM = MF = | V2 a ='.5°

M /

4 .- Se tiene un cuadrado A B C D y un triá n g u lo e q u ilá te ro A B E situ a d o s en p la n o s p e r pe n d icu la re s respectivam ente. S i A B = a . H a íla r la lo n g itu d d e l segm ento que une lo s cení ro s de d ic h o s p o líg o n o s re gu lare s.

Resolución.Sean P y Q los planos perpendiculares en los cuales están situados el triángulo equilátero AEF y el cuadrado ABCD respectivamente. En el A ABE trazamos la altura EH, entonces :

EH = ^ J 3 (Altura del triángulo equilátero)

Sea «G» el centro del A ABC entonces :

EG = 2GH (Propiedad

Luego

GH = ^

Sea O el centro del cuadrado AB^D, entonces : OH _L ÁB y OH = ^ Sea GO = x la distancia pedida, la m 4- GHO —90° ya que los planos P y Q son perpendiculares. Luego :

x2 = GH2 + HO2

H f4 + (tí

••

del Baricentro)


820

Ernesto Quispe R.

5 .- En un triá n g u lo A B C , re c to en b lo s la d o s m iden A B = 6 y B C = 8 p o r e l vé rtice B se traza B F p e rp e n d icu la r a l p la n o A B C , ta l que B F = 4,8 . H a lla r la m ediCa d e l á n gu lo d ie d ro que form an lo s p la n o s A B C y A F C . R esolución -

En el E^ ABC:

AC = VíT2 *-82 =10

Además :

BH =

CO = 4,8

Por el Teorema de las Tres Perpendiculares : FH 1 AC Sea 0 la medida del diedro AC En el E^ FBH :

0 = 45°

6.- Sea A B C un triá n gu lo e q u ilá te ro de ,ado 18cm, y c u yo o A o c e n tro e s M. S i de M se levanta una p e rp e n d icu la r M D = J2 7 cm , a l p la n o A B C , e n ton ces e l á n g u lo d ie d ro form ado p o r A B C y A B D es : Resolución.-

D

En el triángulo ABC :

CH =

73 = y 73 = 9 73

Como Mes ortocentro y también baricentro : MH = |

; CH = ^

En el E^ DMB :

= 373

DM = 727 =373 = MH x = 45°

7.- 'Jn triá n gu lo ,aoa c rie s A B C , donde A B j= A C = a, está in s c rito en un c írc u lo de ra dio a. En A se levanta una p e rp e n d icu la r A D a l p la n o d e l triá n g u lo y se une e l p u n to D con lo s vé rtice s B y C. C a lc u la r la lo n g itu d d e l segm ento D B para que e l d ie d ro B C m ida 30e. Resolució n.-

En el A ABC, puesto que AB = AC = R, entonces AB = AC = /6 lado del hexágono regular inscrito y m. AB = m AC = 60° .

Por ángulo inscrito :

m ^ B = m 4 C = 30

En el E^ AHB de 30° y 60° : AH = |


Luis Ubaldo C

En el

DAH de 30° y 60° : AD = £ j _2

a j3

6

J3

a j3

Finalmente en el Èi. 1>AB ,

Donde

a2

= T2 + a

821

+a 2

13a

~ \2~

- a IH

~ 2)1 3

8 - Una hoja de papel de form a rectangular A B C D tiene com o dim ensiones A B - 8 ( j 5 -1 ) m, B C = 3 m . P o r lo s p u n to s m edios de A B y C D se d ob la la h o ja de p a p e l de m anera que e l á n g u lo d ie d ro form ado es de 72g. H a lla r la d ista n cia m ínim a que e xis te entre la a rista d e l d ie d ro y e l segm ento que une lo s ce n tro s de su s caras.

Resolución.-

D

A MAN : PT = A2M = 2 (JE - 1) (base media) ANMB: Q T = ^ p = 2 (V 5 -l) (base media) El A PTQ es el triángulo elemental del pentágono regular para el cual x es apotema, y PT = TQ = 2 ^5 - 1) es el circunradio R. Como :

x = ^ (JE + 1)

Luego:

x =

2(V5-l)(V5+l)

x =2

9.- Se tiene un tria n gu lo re ctá n gu lo A B C re cto en B, c u yo cateto A B = 3m. Se traza la me diana B M ; lu e go p o r B se levanta un segm ento B H p e rp e n d icu la r a l p la n o d e l trián g u lo A B C . S i e l área d e l triá n g u lo BHM es 5 j5 m2 y e l a rza de s u p ro ye c c ió n so b re e l p la n o determ inado p o r B H C e s lO cm 2. H a lla r la m edida de la h ipoten u sa A C .

822


Ernesto Qulspe R.

Resolución.En el k . ABC:

AC y BM = - ^ = | = CM

A BMC es isósceles, entonces :m 4 MBC = m < BCM = a

El 4- MBC = a, es el ángulo rectilíneo del diedro determi nado por los planos BHM Y BHC Luego se tiene : Área (A HBL) = Área (A BHM) eos a 2

Reemplazando : 10 = 5 V5 eos a =>

eos a =

cEn eli bÂBC: ÍK ACU-' eos a = —BC x

2—rF T¡X2 - 9 , > = --------5 x

=>

x = 3 j5 10.- Sea P un p u n to e xte rio r a l p la n o H y O un p u n to de este p la n o ta l que P Q n o es perpendieulat a l p la n o H ¿ C u á l e s e l lu g a r ge o m é trico form ado p o r to d o s lo s p u n tos M d e l p la n o de m odo que : (P M f + (Q M f sea co n sta n te ?

Resolución.Trazamos FM 1 H , luego en el PM2 + MQ2 = PQ2

PMQ :

P

(constante)

Sea M, un punto del plano H de modo que: m 4 MM,Q = 90°,

Luego por el Teorema de las Tres Herpendiculares: m 4 PM,Q = 90°,

2 Luego en el PM,Q :PM, + M,Q2 = PQ2 (cte.); de lo cual observamos que M y M, son puntos del lugar geométrico así como M2 los cuales pertenecen a una ciicunferencia de diámetro MQ. 11.- Se tiene un triá n g u lo re ctá n g u lo A B C , re c to e n JB que form a con un p la n o P un á n gu lo d ie d ro c u yo a rista e s A C . S i lo s ca te to s B A y B C form an con P lo s á n g u lo s 0 y a respectivam ente. H a lla i la m edida d e l á n g u lo d ie d ro .


Luis Ubaldo C

Resolución.-

823

B

Sea x la medida del diedro AC En el

THB : BT = h ese x

( 1)

En el Ex AHB :

AB = h esc 0

.... (2)

En el Ex CHB :

BC = h ese a

.... (3)

En el Ex ABC : 1 BT

K + -L

AB

BC

.... (4)

Sustituyendo (1), (2) y (3) en (4) : =>

sen2x = sen2 0 + sen2 a x

=

a re

s e n ^ /s e n 2 0 + s e n 2 a

12.- D os p u n to s A y B se encuentran en uno y o tro lado d e u n p la n o y d ista n te s de é l 3m y 4m respectivam ente la p ro ye cció n d el segm ento A B so b re e l p la n o m ide 5m. C a lc u la r la lo n g itu d de A B .

Resolución.Trazamos BF perpendicular a la prolongación de AH, luego en el rectángulo FHPB : HF = PB = 4

y

HP = FB = 5

En el Ex AFB, por Pitagoras : (AB)2 = (AF)2 + (FB)2 Reemplazando :

(AB)2 = 72 + 52 = 74 AB = J 7 4

13.- Sean A B C D y B C E F cu a drad os pe rten ecien te s a d o s p la n o s pe rp e n d icu la re s. C a lc u la r la m enor d ista n cia entre F C y E C ; s i A B = a.

824

ProLlemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R

Resoluclón.Froycctamos las rectas EC y GF. Sobre el plano ABCD, obteniendose el punto “C” y el segmento BG respectivamente Luego la distancia pedida será CH ± BG. 53

En el Bx BAM :

m 4L ABM = y

En el Ex BHC :

x =

2a

* = 5 a JE

14.- Un segm ento A B de 8m de lo n g itu d esta con te n id o en un p la n o H ; un p u n to “P ” e xte rio r a l p lan o dista 12m de él. C a lcu la r la d istan cia de P a l p la n o H s i P A = P B y Q B .

Resolución.Por el Teorema de las Tres Perpendiculares QM 1 AB. En el triángulo isósceles BPA, PM es me diana, entonces : AM = MB —4 En el Bx QMB :

QM = ^52- 4 2 = 3

EnelExPQM:

x2 = 122 - 32 = 135 jc

= 3/15

15.- Un re ctá n gu lo A B C D y un triá n g u lo e q u ilá te ro AB Fêstán co n te n id o s en p la n o s p e r p e ndicula res. C a lc u la r la m en or d ista n cia entre A B y FD ; s i A B = 6 y A D = 8.

Resolucion.Trazamos el plano FHE perpendicular a la arista AB, luego proyectamos sobre dicho plano las rectas AB y FD obtenien do el punto “H” y el segmento EF. Luego la mínima distancia será HQ (ÍÍQ 1 ÉF ) En el Bx FHE : Además:

x =

EF = 3 ^ .8 J9 \

3V3)2+82 = V9Í X =

24^273 91

Luis Ubaldo C


825

16.- Se tiene un cuadrado A B C D de 2m de la d o ; en B se levanta un segm ento B F p e rp e n d ic u la r a l p la n o d e l cua drado de m odo que B F = 2 m . S i « O » es e l ce n tro d e l cuadrado y “M " es p u n to m edio de C D ; h a lla r la re gió n tria n g u la r FOM . Resolución.-

AD En el A ACD por Base Media .OM = y = 1 Prolongamos MO hasta intersectar a AB en N, luego : AN = NB = 1 y MN ± AB Por el Teorema de las Tres Perpendiculares, s i: FB ± O ABCD y BÑ 1 MÑ. Entonces FN 1 MN Sea /lx el área pedida; luego : AX =

OM.FN

A =

A =

1.75 2 75

17.- Se tiene un triá n g u lo isó sce le s, donde : A B = B C = Sm y A C = 6m; se traza la altura BH y lu e go e l cuadrado B H E F p e rp e n d icu la r a l p la n o d e l triá n g u lo isó s c e le s . C a lcu la r e l área de la re gió n tria n g u la r AE F. Resolución.-

En el A ABC :

AH = HC = 3 y BH = 4

En el

EHA :

EA = y^32+42 = 5

En el

FBA :

FA = ^42 +52 = V4l

En el A FEA, se observa: De donde :

(FA)2 = (FE)2 + (EA)2 m 4- FEA = 90

Luego el área pedida A será :

A =

45

A = 10 m 2

18.- C a lc u la re ! m áxim o núm ero de pla n o s que determ inan “n ” pu n tos y n rectas paralelas.

826


Ernesto Qulspé R.

Resolución.-

Se sabe que para determinar un plano basta con 3 puntos no alineados o ron 2 rectaa parale las; luego considerando : Los “n” puntos # Planos = C, =

n! (n - 3)! 3!

_ n (n-l)(n-2) 6

- Los “n" rectas // # Piaros =

n! (n-2)! 2! _ n (n-1) 2

Además un punto y una recta exterior determinan un plano, luego : # Planos = n x n = n 2 El número total de planos se obtiene al su.na.rlos 3 resultados parciales, es decir : # Total de Planos = n { n - \ X n - 2) 6

n jn ^

„2

2

# Total de Planos = r.1 . (n 2 + 6n - 1) b

19.- En e l p la n o P se tiene un triá n g u lo A B C c u yo á n gu lo A m ide 60s; se tien e un p u n to “S ” fuera d e l p la n o P s i las d ista n cia s de “S ” a l vé rtice A 1 a l la d o A C y a l la d o A B son 25m, 20m y 7m respectivam ente. C a lc u la r la d ista n cia de S a l p la n o P. Resolución.-

Sea SH perpendicular al plano P, con SH = x, luego poi el Teoren ia de las Tres _L_ HÑ ± AB y HM ± ÁC En el

ANS : AN = ^252 - 72 = 24

En el

AMS :AM = a/252-2 0 2 = 15

En el

ANL de 30° y 60° : AL = 2 (AN) = 48

Luis Ubaldo C

Geometría del Espacio: P edas y Planos

=>

827

ML = 48 -15 = 33

En el Ex HML de 30° y 60°, HM = —¡= = 1173

73

Finalmente en el Ex MHS :

x 2 = (20)2 - (1173 )2

Donde :

x 2 = 400 - 363

x = 737

20.- E n la fig u ra c a lc u la r la m ínim a d ista n cia entre O H y C D ; s i la arista d e l c u b o m ide 4 ( “O " es ce n tro de la cara A B F E ).

Resolución.-

Proyectamos los dos segr.ientos alabeados CD y OH sobre el pl¿mo ADHE, obteniendo del primero el punto “D” y del segundo segmento KH. Luego la mínima distancia pedida será la perpen dicular DL.

2

K En el cuadrado ADHE : AK = KE = 2 y KH = \2 2 +42 = 275 Ex KEH -

2 F

DLH : i x

= 275 4

21.- Una circu n fe re n cia de diám etro A B (A B = 3 j2 ) esta con te n id a en un p la n o « P » p o r un punte “C " de d ich a circu n fe re n cia se levanta C D p e rp e n d icu la r a l p la n o P de m odo que D A = 7/0 y D B = 4. C a lc u la r la m edida d e l d ie d ro que form an e l p la n o A D B e l p la n o P.

Problemas de Geometría y cómo resolverles

828

Resoluclón.-

Ernesto Quispe R. D

Trazamos CH ± AB, juego por el Teorema de las Tres Perpendiculares DH ± AB, de donde el 4 DHC es el ángulo plano correspondiente al diedro bus cado. En el AADB; aplicamos el Teorema de Euclides : Reemplazando: (4)2 = (TÍO)2 + (372)2- 2(372) AH Luego:

16 = 10+ 18-672 AH

Además: EnelÂCB En el

AH = 72

HB = 372 - /2 = 272 (HC)2 = 72 . 272

AHD :

Finalmente en el

HC = 2

DH = ^(TTO)2 - (72)2 = 272 DCH :

x = 45°

22.- Se con sid eran d os triá n g u lo s e q u ilá te ro s A B C y A B D que form an un á n g u lo d ie d ro de 60°; c u yo s la d o s m iden 2 j7 m. C a lc u la r la d ista n cia entre lo s p u n to s m ed io s de B D y~ Á C .

Resoluclón.__ __ __ 2J 7 Trazamos CH 1 AB y DH , luego : CH = DH = - j — . 73 = 72Í ym 4 CHD = 60° El triángulo CHD es equilátero, entonces : CD = 721 ; además AB es perpendicular a. plano de dicho triángulo CHD. Sea “L” el punto medio de AD. Luego: ■ AB rCD 721 LN = ~2~ = v 7 y MLN = - y = - j Además : m 4 MLN = 90° En el

MLN :

x2


Luis Ubaldo C

r, ^ Donde :

, 21_

829

49

x = 3,5

j t = -^- + 7 =

23.- En un triá n g u lo is ó s c e le s A B C (A B = B C = 13) y A C = 10. Se traza la altura B E ; lu e g o se co n stru ye e l cua drado B E F G p e rp e n d icu la r a l p 'a n o d e l triá n gu lo . C a lc u la r e l área de la re gió n tria n g u la r C E G . Resolución.-

En el tTiangulo isósceles ABC : AE = EC = 5 y BE = V132 - 52 = 12 Por el Teorema de las 3 Ji_s ; como GB ± A CBA y BE 1 AC ; entonces : GE ± AC. En el cuadrado BEFG :

GE = 12^2

Finalmente; si A es el arca de la región triangular GEC

AX= 3 0 ^ 24.- La recta A B esta ub icada en e l p la n o P, p o r un la d o d e l cu a l se trazan la s p e rp e n d icu la re s B C y B D a la recta A B y que con e l p la n o P form an á n gu lo s ig u a le s a “a ” y ‘P C a lcu la r la m 4- C B P Resolución.-

Por condición del problema BD y BC son perpendiculares a AB, luego AB es perpendicular al plano que contiene a dichas rectas y este plano también sera perpendicular al plano P. Asumiendo que a > P consideremos dos casos : 1°

CASO :Cuando las proyecciones de las rectas BD y BC están a un mismo lado de la recta AB, se tiene : jc

=

a - P

▼

830


2° CASO : Cuando dichas proyecciones

Ernesto Q( ilspv R

están a un<

y otro lado con respecto a la recta AB Se tiene que: p + x + cc + 180. jc =

180 - (a + P)

25.- La d istan cia m ás co rta entre d o s re cta s que se cru zan en e l e sp a cio e s 00’ = 10m ; so b re la prim era de e lla s se tom an lo s p u n to s A y B de m odo que O A = 10m y A B = 20m y so b re la segunda recta se tom an lo s p u n to s A ’ y B ’ de m jd o que O ’A ’ = 20m y A ’B ’ = 40m, s i A A ’ = 26m. C a lc u la r B B ’.

Resoluclón.Sean las rectas alabeadas £, y

, trazamos 1'3 // £,.

Luego trazamos AM , BN perpendiculares a £3. Resultando:

OO’ = AM = BN = 10.

Luego por el Teorema de las 3 _k_s : AM 1

£3

En elAMA’ : A’M

y

BÑ 1

£3

= ^262 -10 2= 24

A B’O’N ~ A A’O’M(AM // BÑ) : B'N _ 60 24 ~ 20 => En el k , BNB’ :

B’N = 72 x 2 = (72)2 +

(10) 2

x = 72,7 2 6.- I a o b lic u a A B fo rm a co n e l p la n o P un á n g u lo de 45B q u e e s ig u a l a l á n g u lo entre la p ro ye c c ió n de d ich a o b licu a y la recta A C situ ada en e l p la n o P. C a lc u la r la m 4- B A C ; s i A B = A C .

Luis Ubaldo C


831

Resolución.En el Lx AHB de 45° ; si AH = BH = a

=>

AB = a j 2

EnelAAHC: AH = a , AC =

y m 4 HAC = 45,

Luego :

y HC = a

m 4- AHC —90°

Enelfc^BHC:

BC = a j 2

El triángulo ABC es equilátero ya que : \B = BC = AC = a j2 x = 60°

27.- E l án gu lo entre la s re ctas ci uzadas a y b e s ig u a l a 60-, AB e s la pe rp e n d icu la r com ún

-----

a am bas rectas. H a lla r la m edida d e l á n gu lo que form an AB y PQ. S i Pe a , O s b y

<->

PA = AB = QB (A e a ).

832


Ernesto Quispe R.

28.- Un segm ento cu ya lo n g itu d e s ig u a l a “a ” tiene su s extrem os en d os p la n o s perpen di cu lare s entre ¿ i y form a con un o de e llo s 30By co n e l o tro 45e. C a lc u la r la d is ta i cia entre la s p ro ye c c io n e s de lo s e xtre m o s d e l segm ento dado en la lín e a de in te rse c ció n de lo s p lanos.

Resolución. Sea el segmento AB de longitud “a” cuyos ex tremos A g P y B g Q. La proyección de AB sobre P es AM y sobre Q es BH. En el ^ AHB de 30°y 60° :

AH = ^

En el ^ AMB de 45° :

AM =

Finalmente en el

AHM

29.- una circu n fe re n cia de ra d io R y un triá n g u lo e q u ilá te ro co n la d o ig u a l a R j3 yacen en p la n o s pe rpe n d icu lare s. E l segm ento que une e l ce n tro de la circu n fe re n cia con e l b arice n tro d e l triá n g u lo form a á n gu lo s de 3 (F con lo s p la n o s dados, adem ás uno de lo s lados d e l tria n gu lo pertenece a l p lan o de la circu nferen cia. C a lcu la r la lo n g itu d de la parte de¡ lado d e l triá n gu lo que esta ub icado en e l in te rio r a la circu nferen cia.

Resolución.Sean “O” el centro de la circunferencia; "G” el baricentro del triángulo equilátero ABC y AS el segmento cuya longitud se pide calcular. En el A BGC : BG = GC = R En el

GHC de 30° y 60° :

GH = y y HC = y 73

En el

OHG de 30° y 60° :

OH = f 73 y

En el

OMG de 30° y 60° :

OM = 4 y GM

En el

OMS :

En el

OMH :

S MS =

=>

I

MH = j J 2

Luis Uboldo C.


Como : AS - AH + HS

AS = fV 3 + f / 3

fV 2

AS = |

833

(2 J3 -J2 )

30.- E l segm ento A B cu ya lo n g itu d es ig u a l a “a ” e s p a ra le lo a l p la n o P. P o r lo s p u n to s A y B se han trazad o re cta s p e rp e n d icu la re s a A B y que co n P form an á n g u lo s ig u a le s a a y P respectivam ente. La d ista n cia entre lo s p u n to s de in te rse cció n de la s rectas trazadas y e l p la n o e s ig u a l a “b ” . C a lc u la r la d ista n cia entre A B y e l p la n o P.

Resolución. Trazamos las perpendiculares AH y BK perpendiculares al plano P, luego : AH = BK = x Las proyecciones de las rectas AS y BT sobre el plano P son paralelas, formándose el trape cio rectángulo SHKT pues KH es perpendicular a los planos de los triángulos AHS y BKT En el Ex AHS

HS = KR = x cot a

En el

BKT :

KT = x cot P

En el

SRT :

b 2 = i 2 + (RT)2

B

RT = Vb2 - a 2 Como.

RT = x cot p - x cot a

Luego : x (cot 3 - cot a) = -Jb 2 - a ¿ x á _ jE Z _ cot p - cot a 31.- L o s se gm e n to s A B y CD so n a la b e a d o s y form a n un á n g u lo de 90s . S i A C = a , B C = c y B D = b . C a lc u la r A D .

Resolución.En el A ADB , trazamos la altura DH y ya que AB 1 CD, luego : AB es perpendicular al A CHD, de donde : AB 1 CH. Por Euclides : AADB: x 2 = (AB)2 + b 2 - 2 (AB) (HB) ... (1) También : De (1) y (2) :

A ACB: a2 = (AB)2 + c2 - 2 (AB) (HB)... (2) r2 - b 2 = a2 - c 2

= Vo2 + fc2

c2

834


Ernesto Qulspe R.

32.- En e l p la n o P esta situ a d o e l triá n g u lo e q u ilá te ro A B C en donde A B = a ; en la p e r p e n d icu la r a l p la n o P que pasa p o r A , se ha u b ica d o e l p u n to K ta l que A K = a. C a lcu la r la d ista n cia entre A B y C K .

Resolucion.Por A trazamos la recta i 1perpendicular a AB trazando luego CM 1 tí¡ resultando A y KM, las proyecciones de AB y KM , sobre el triángulo KAM. La mínima distancia buscada será : AH 1 KM En el

AMC de 30° y 60° :

En el fc, KAM

Como :

AM = ^ 7 3

KM =

AH =

AK.AM KM

J

=

oV7

B

AH = § JT

AH = a J 2Í 33.- E ntre d o s p la n o s p a ra le lo s se han trazado una p e rp e n d ic u la r y una o b licu a que fo r ma con cada un o de lo s plan o t, a . H a lla r la d ista n cia en tre lo s p u n to s m ed io s de ioü segm entos de la o b licu a y la p e rp e n d icu la r co n te n id a s entre lo s p la n o s dados, s i la lo n g itu d de la p e rp e n d icu la r e s “2a ” y la d ista n cia entre lo s e xtre m o s de la o b licu a y la p e rp e n d icu la r en cada un o de lo s p la n o s es ig u a l a "b ".

Resolución.Consideremos AB y CD la oblicua y la perpendicular ¡ndicadosj^y Q los pla nos paralelos. Trazamos AH 1 Q, luego: AH = CD = 2a y AC = DH = b En el Ex AHB trazamos la base media KM, luego :

KM = y

=o

En el rectángulo TKMD : TK = DM = x En el Aisósceles BDH: B M= MH = o cot a Finalmente en el Ex DMB : 2 2 = v ¿2 a cot a

Luis Ubalde C.


835

34 -S e traza P O p e rp e n d icu la r a un p la n o (ü en e l pla n o ), hacien d o ce n tro en O s e tra za una circu n fe re n cia de ra d io 2cm ; p o r un p u n to B de ésta, se traza la tangente B C de 8cm. C a lc u la r P C , s i P O = 5.

Resuiuciun.-

p

Yaque PQ es perpendicular al plano Ky QB X BC, luego: por el Teorema de las 3 _LS PB 1 BC. En el

PQB :

En el

PBC :

(PB)2 = 52 + 22 jc2 = (PB)2 + 82 x 2 = 52 + 22 + 82

Luego:

x = J§3 35.- En la fig u ra m ostrada, A B es perpen dicu la r a l p la n o de la circu n fe re n cia de diám e tro B C . B E ± A D , B F JL A C , A E = 13, A F = 12, F C = 5 j3 . C a lc u la r la m 4- EDF.

D

Resolución.En el

ABC :(AB)2 = AC . AF

... (1)

En el fc, ABD :(AB)2 = AD . AE ... (2) De (1) y (2) :

AC . AF = AD . AE

Con lo cual se tiene que el cuadrilátero EFCD es inscriptible. Donde :

m 4 AFF, = m 4 ADC

D

Por el Teorema de las Tres Perpendiculares como AB es perpendicular al plano del círculo y BD 1 DC , entonces AD i. DC, luego m 4 AFE = 90° En el kx AFE : En el Ex EFC :

EF = Vl32-122 = 5 x = 30°

836


Ernesto Qulspe R

36.- En la figu ra h a lla r la distan cia entre E Q y P G ; s i A B C D - E FG H es un cu b o de a rista - J 5 .

Resolución.Proyectamos EQ y GP sobre el plano EFGH, ob teniendo los segmentos EN y GM los cuales son paralelos; luego la mínima distancia buscada es MJ 1 EN. MJ = EM J5 " EN

Bx EJM~ &x EHN : Puesto que : iLuego:

EM = -y- y EN = 5

^MJ= - 25 -

MJ = -,1

/.

3 7 .-D ado un cu b o A B C E>- E F G H de a rista “a ”. “O ” e s e l ce n tro de la cara s u p e rio r A B C D . H allar la m ínim a d ista n cia e n tre E O y G H .

Resolución.Proyectamos los segmentos EO y GH sobre la cara ADHE, obteniéndose el segmento EM y el punto “H”. Luego se t r a z a HT JL EM, s i e n d o HT = x , l a

m ín i

m a d is ta n c ia D u scad a.

EnelEbEAM:

E M = ^ a 2+ ~ = j j 5

kx ETH ~ Bx EAM : - =

°

_ 2aJ5

5 38.- Las d ista n cia s desde un p u n to P e xte rio r a l p la n o que con tien e a un re ctá n gu lo A B C D a lo s vé rtice s so n P A = 3 P B = 4 y P C = 5 . H a lla r PD.

Luis Ubaldo C.


837

Resolución.En el rectángulo ABCD, trazamos las diagonales AC y BD que se cortan en O,

39.- Se tiene un re ctá n gu lo A B C D , A C = 10cm, C D = 6cm se tom an lo s p u n to s m ed ios M y N de A B y A D respectivam en te y lu e g o se c o n stru ye e l triá n g u lo e q u ilá te ro M NO p e rp e n d icu la r a l p la n o d e l re ctán gu lo . C a lc u la r QD.

Resolución.En el

MAN :

MN = ^32+42 = 5

En el A MQN :

QH = |V 3

En el

TP,

24

TD = T

A

AT = T

Luego : En el Èx HTD :

32

HT = AT - 1 = y - |

=>

HT =

(HD)2 = I ~ r I + I^ I

=>

(HD)2 =

Finalmente en el èx QHD : =>

AT

2 228 jr = — = 57

x 2 = i ^ -J3 j + (HD)2 = r— x = »/57

75

153

838


Ernesto Quispo R

?RO&lfcM¿\S PROPU6STOS 1.- ¿Cuál de las siguientes animaciones es falsa? a) Todos los planos paralelos a un plano son paralelos entre sí. b) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí. c) Si un plano corta a una de tres recias para lelas, tan bujn curta a los otros dos. d) Si una recta es paralela a un plano, la para lela trazada a dicha recta por un punto del pla no, está contenida en el plano. e) Por cualquier punto exterior a un plano, solo puede trazarse un plano paralelo al primero. A) a

B) b

C) c

D) d

E) e

los puntos medios de BC y AD, si AC es la mínima distancia entre AB y CD A) J 3

B) 2

C) 2 j 3

D) 3

E) 6

5.- Se tiene un ángulo XOY contenido en el plano P , por un punto A exterior al pjano P se trazan AC y AB perpendiculares a OX y OY respectivamente y además AM perpendicu lar al plano P. Si OB = 12; MB =5 y OC = 8. Calcular CM. A) 10

B) 5

D) JÍ 0 5

E) N.A.

C)yÍ95

6.- Cuántos planos como máximo se pueden determinar con 8 puntos, 7 rectas secantes y 6 rectas paralelas.

2.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8m respectivamente; luego sobre cada cateto se construyen triángulos equiláteros perpendiculares al plano del trián gulo rectángulo. Hallar la distancia entre los vértices superiores de los triángulos equiláteros.

7.- Se tiene dos segmentos AB = 2 j 3 y CD = J 3 que se cruzan con un ángulo de 60°. Hallar el segmento que une los puntos me dios de AC y BD.

A)17m

B) 12m

A; 3 /3

B) J23

D) \ \m

E) N.A.

D) V2l

E)

C) lOm

3.- Se tiene dos planos P y Q perpendiculares entre sí, se intersectan según la recta MN. La recta que une un punto A de P con un punto B dt Q forma con Q un ángulo de 16° y con P un ángulo de 53°. Hallar la menor distancia entre MN y AB , si AB = 25. A) 5

B16

C) 6,6

D) 8

E)9,2

4.- Dados los segmentos alabeados AB y CD que forman 60' y nvden 4>/3; calcular la me nor distancia entre AC y el segmento que une

A) 196

B)236

C)92

D) 148

E)216

C) 4-J3

8.- De las siguientes proposiciones indica con “V” lo Verdadero y con “F” lo Falso. I. Si la mínima distancia entre dos rectas es cero, entonces dichas rectas son paralelas. II Si la distancia entre un plano y dos recias paralelas a ella es Ja misma, entonces dichas rectas son pai alelas. III. Tres puntos determinan una esfera A) VVV

B) FFF

D) FVF

E) FVV

C) VFV

Luis Ubaldo C.


9.- En la figura el triángulo AEB es equilátero y ABCD es un cuadrado contenidos en los planos perpendiculares “P” y “Q”. Calcular MN si AB = 4m . (M y N son puntos medios). A )4 v5 B)

4

S i: GL = 2(LH) = 4 y EM = 3(ML). Calcu lar el área de la región triangular ETM, si : PM n EQ = jT). A) 4,5«2

B) 3,5ir

D) 5,5ir

E) 7,5u2

C) 2,5u2

13.- En la figura K es la intersección entre el plano ACH y la diagonal DF. Calcular DK; si la arista del cubo ABCD - EFGH mide a.

C )3yf2

A) a/2

D)6

B) al3 E)

839

5

A

C) |V 2 10.- Se tienen tres planos paralelos entre sí que al ser intersectados por las rectas L( y L2 de terminan los puntos A, B y C (sobre Lf) y los puntos D, E y F (sobre L,) Si AB = 5K + 8; BC = 32K - 13 ; DE = 6K y EF = 10K + 14. Calcular EF. A) 51

B) 34

C) 26

D) 18

E) 12

11.- Según la figura AL es perpendicular al plano que contiene a la semicircunferencia de diámetro AB , m MN = 60°, AB = 8cm , LA = 5cm y la distancia del punto “B” a MN es V3 cm. Calcular el área de la región trian gular LMN A)4vl3c/w2 B)

b

3 jl 3 c m 2 L

C) J l3 c m 2 D)ly fl3c m 2

A

E )9 /l3 cm2 12.- Dado un cubo ABCD - EFGH, Q y P son los centros de las caras DHGC y ABCD res pectivamente en HG y EL se ubican los pun tos L y M respectivamente

D)fV3 E )fjg

E

H

14.- Se tienen los segmentos alabeados PQ y RS de longitudes 8 . Hallar el ángulo que forman sabiendo que el segmento que une los puntos medios de PR y QS mide 8A) 60°

B) 90° C) 45" D) 135° E) 150°

15.- Se tiene un cuadrado ABCD y una semicircunferencia de diámetro AB ubicados en planos perpendiculares. Por “C” se traza una perpendicular al plano del cuadrado (en el semiespacio en que se encuentra la semicircunferencia) y en ella se ubica al pun to P en el cual se une con un punto Q del Arco AB de tal forma quem 4 QBA =m 4- DPC y QP = 2AB. Calcular la medida del ángulo formado por BC y PQ. A) 30°

B) 40° C) 50°

D) 60° E) 70°

16.- En la figura Aj B t C| Dj es un romboide AAj , BB[, CC, y DD, son perpendicular es a dicho romboide. Hallar el ángulo que for-

840


man B,D y el rectángulo D,D CC, si AA, = AB AB AA BB, = CC, = DD, y ^ = ^ =

sobre otra secante L2, los segmentos CF -j FD. Si AB = 6 ; CD = 8, además FD - £B = 1. Hallar “C F \ A) 4

A)A"r,8( if )

E) 5

C) 7

D) 1

E) 9

20.- Si ABCD es un ci virado de lado “fc”. Calcular la longitud de FB. Si DC = DF.

B

B,Aretg(^) C) Are tg

Ernesto Qul¡>pe R.

A)b43 C,

Vio

C)b4l D) Are tg

i )

D)

E) 6uJ E) 17.- En un cubo ABCD - EFGH se ubica el punto medio M de BF, P y Q centros de las caras EFGH y AEHD respectivamente. Calcu-

b4s

2

b46

21.- En el cubo de aristas “a”. Hallar la dis tancia entre los segmentos AB y CD.

lar la medida del ángulo que forman MP y GQ. A)a45/2

A) 60°

B) 70° C) 80°

D) 90°

B

E) 50°

18.- EnlaíiguraAP= PB ABCD-A,B,C,D, es un cubo. Calcular el ángulo formado por C,P y la sección diagonal CAA, C,

B)a45/5 C)a45/3 D)a45/6

(42

A; Are cosí

E)a42/3

22.- En la figura, hallar la mínima distancia entre DB y CH , si la arista del cubo mide

E) 60° 19.- Tres planos paralelos determinan sobre una recia secante, los segmentos AE y EB y

0243

D) 2 4 6

Luis Ubaldo C.


23.- En el cubo de arista “ a " . Hallar la dis tancia entre los segmentos aG y HF. A) ayf3/2 B) 0 /

D B

C)aV3/4 D)

-v.

1

•H

a-Jb/C

...

G

E) a j 3/3 24.- Por el vértice “B” de un rectángulo ABCD se traza BP perpendicular a su plano, sea “M” punto medio de Ab, tal que AC = 2MP. Si el ángulo entre AC y MP mide 60° y PC = 2 -J 5 ; calcular “PD”. A) 8

B) 8 /2

C)6V2

D)4V2

(M g AB y N g CD). Sobre AB se toma un punto “P” y sobre CD un punto “Q” tal que: m 4. NPQ = 45 , m 4 MPQ = 60 y m 4 MPN = 45 Calcular la medida del ángulo entre las rec tas dadas.

X '\

3/6

841

E) 6

25.- En la figura AB es perpendicular al pla no de la circunferencia. Calcular m 4 EDF, s i : AE = 13, AF= 12yFC = 5 /3 .

A) 30

B) 37

C) 45

D) 60

E) 90

28.- El cuadrado ABCD y el triángulo ABM se encuentran en planos perpendiculares, se considera el punto “L” en AD, equidistante de los planos ABM y BMC. Calcular ’CD”, si DL = 2 , BM = 4 /5 y AB = AM A )3

B )4

C) 5

D )6

E )7

2 9 Sea “H” el plano que contiene al rectán gulo ABCD, por “B” se traza BP perpendi cular al plano H. Calcular la medida del ángu lo que forman BP y la recta que pasa por los baricentros de las caras APD y DPC-

A) 30°

A) 75

B) 45°

30.- Se tiene un rectángulo ABCD, donde 2 AB = AD = 8, se considera el punto “P” ex terior al plano que contiene a dicho rectángu lo, tal que P equidiste de A ; B , C y D, y el triángulo BPC es equilátero; calcular la dis tancia entre AD y el plano que contiene al triángulo equilátero.

C) 60° D) 37° E) 53° 26.- Los rectángulos ABCD y ABEF se en cuentran en planos perpendiculares, con diá metro AB se inscribe una semicircunferencia en ABEF y se ubica el punto R en dicho arco. Calcular la medíJa del ángulo formado por RC y el plano ABCD. Si RC = 12, FM = 4 y ME = 9. (M g FE y KM 1 EF). A) 45

B) 30

C) 60

D) 37

E) 63

27 - Sean AB y CD dos rectas alabeadas, siendo MN la distancia mínima entre ellas

B) 60

B)

A ) f

D)

C) 90

2/33

E)

2V33 3

D) 45

C)

E) 30

2 j7

V33 2

31.- Dado un triángulo ABC, recto B, ^B = 4 y BC = 3. Por el incentro “I” se traza ID per pendicular al plano del triángulo. Calcular la medida del ángulo entre AB y CD, si ID = %/5. A) 45

B) 60

C) 71,5

D) 74

E) 82,5

842


32.- Sean AX y BY dos rayos del espacio no coplanarios y ortogonales, AB es su perpendi cular común. Se toman los puntos Ni y P en AX y B Y, respectivamente, tal que : 2 AM.BP = AB2. Calcular la distancia del punto medio de AB a la recta MP, si AB = a. A) a B, a/4

C) a/3

D)

a j6

E )a/?

33.- Se tiene un rectángulo ABCD y el semi círculo de diámetro AB situadas en planos perpendiculares, O y M son puntos medios de AB y DC, respectivamente. Si “P” es un punto del arco AB tal que, m PQ = 60° y aae más 2 AD = DC%/2 Calcular la medida del ángulo entre OC y MP A )30

B )45

(f)

D) Are sen

C) 60

E) 90

34.- Dado un ángulo AOB contenido en un plano “H” y un punto “P” exterior a dicho plano se trazan PM ± ÓÁ y PQ ± OB . Cal cular MQ, sabiendo que forma con el plano “H" un ángulo de 45°, PM = J0, OM = 4yÍ2 y m 4- OMQ - 45. A) 6

B)9

C) 12

D) I0 n/6

E)4

35.- Del gráfico; calcular “CF”, sabiendo que L, y L2 son rectas alabeadas, AB = AD = 8, BE = 10, EF = 16, DE = 4 y BC = 2. A) 10 L,

E'nesto Quispe R.

36.- Los cuadrados ABCD y ABEF pertene cen a planos mutuamente perpendiculares, P y Q son sus centros, respectivamente, calcu lar la distancia entre PQ y CF si AB = 4. A) S

B) J 2

D )2S

E) M

C) sÍ6/2

37.- Dado un plano “P” los puntos A, B y M pertenecen a él, sea Q un punto exterior al plano “P”, tal que: QA = QB = 10, QM = 8, AB = 12 y el ángulo entre la recta QM y el plano P mide 45. uA qué distancia del plano AQ3, está la proyección de» punto “Q” so bre el plano “P”? A) 4

B) 6

C) 2,8

D) 3

E) 7

38.- Dados los cuadrados ABCD, de centro “O” y OPQR pertenecientes a planos perpen diculares, tal que PR //AC CP más cerca a A que a C). Calcular la medida del ángulo que forma QR y AB. A) 30

B}45

D) 90

E) Are tg

C)60

39.- Dado un rectángulo ABCD, se traza EB perpendicular al plano de dicho rectángulo, luego se prolonga CD hasta el punto N, tal que: ND = AE = 3CD = 3 y m 4 - EAB 4 CKE; calcular “BC”. A) 2 S

B)2-J3Ó

D)5 JÍÓ

E) 12

C)4 J ñ

D) 25

40.- Dados los cuadrados ABEF y BCGE per tenecientes a planos mutuamente perpendicula res ¿En qué relación se divide AB por el punto que pertenece al plano que pasa por “G” y los baricentros de los cuadrados ABCD y ABEF.?

E) 30

A) J 2 / 2

B) 1/2

D) n/6/3

E) 3/4

B) 15 C) 20

C) 1

Se llama ángulo sólido, ángulo poliedro o anguloide a la figura determinada por la reunión de tres o más regiones angulares no copinares, conse cutivas y de vértice común. El vértice común es el vér tice del ángulo poliedro, los lados de los ángulos se llaman aristas y los ángulos determinados por estas se llaman caras. En la Fig. 24.1, el ángulo poliedro mostrado se —> —> denota por: V-ABCD; donde V es el vértice; VA, VB, —> —> VC y VD sus aristas; los ángulos AVB, BVC, CVD y AVD son sus caras, y por cada arista hay un diedro determinado por dos caras consecutivas OBSERVACIONES

1) Un ángulo poliedro se denomina según su numero de caras, siendo el menor el ángulo triedro que es de tres caras. 2) En lodo ángulo poliedro se cumple que la suma de las medidas de todas sus caras está comprendido entre 0° y 180°

24.2. ÁNGULO 'TRIEDRO El ángulo triedro es el ángulo poliedro de tres caras; es el anguloide de menor número de caras que puede haber, y es considerado como el i nás impoitante de todos los ángulos poliedros. Consta de los si guientes elementos (Fig. 24.2): - Vértice : V - Aristas : VA, VB , VC - Caras

ZAVB, Z BVC yZAVC

- D« dros : d - VA, ú - VB , d - VC

844

24.3c j UNiGULO TRIEDRO POLAR Se llama ángulo triedro polar o triedro suplemen tario de un triedro dado al que se obtiene al trazar por un punto interior al triedro dado tres rayos perpendi culares a cada cara. —> —> —> En la Fig. 24.3 : SM, SN y SL son rayos perpen diculares a las caras del triedro V - ABC, siendo "S" un punto interior. Luego, el triedro S - MNL es el triedro polar del triedro V - ABC.

24.4 PROPIEDAD DEL TRIEDRO POL^R Sea el triedro V- ABC donde a ,b y c son las medidas de sus caras, y además a, P y 8 las de sus diedros. Sea también, el triedro V - A'B'C', triedro polar del primero {Fig. 24.4) donde a', b', c' son las medidas de sus caras, y a', P' y 8' las de sus diedros. Luego, se cumplirán las siguientes relaciones: a + cc'= b + P'= c + 8' = 180 ... (24.1)

y a + a’= P 4 b '= 8 + c'= 180 ... (24.2)

24.5 PROPIEDADES GENERALES DEL TRIEDRO En todo ángulo triedro se cumplen las siguientes propiedades fundamentales: 1M p r o p i e d a d

En todo triedro una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia Sean las medidas de las caras del triedro V -ABC {Fig. 24.5) a , b y c. Luego: b-c < a < b + c 2“ PROPIEDAD

En todo triedro la suma de sus tres caras es menor que cuatro rectos. Considerando la Fig. 24.5, se cumple que: 0" < a+ b + c < 360° 3“ PROPIEDAD

En todo triedro se cumple que la suma de todos sus diedros está comprendida entre 180 y 540°. Sean a, Py Ylas medidas de los diedros del triedro V - ABC tal

845

como se muestran en la Fig. 24 5. Luego se verifica la relación: 180° < a + p +

y

< 540“

4™ PROPIEDAD

En todo triedro se cumple que a caras 'guales le corresponden diedros iguales, y viceversa a =

P

<=>

a = b

24.6 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIEDROS Los ángulos iriearos se clasifican según los siguientes criterios en: A) POR LA REGULARIDAD DE SUS CARAS.

1) Z TRIEDRO EQUILATERO.- Tienen tres caras iguales y tres diedros iguales. Fig. 24.6a Así:

a = b = c ; a = ¡3

=y

2) Z TRIEDRO ISOSCELES.- Dos caras son iguales e iguales los diedros opuestos. Fig. 24.6b Así:

a = a tb

; a=y

* P

3) Z TRIEDRO ESCALENO.- Sus caras son diferentes. Fig. 24.6c Así:

a *b * c

; a*P

*y

B) POR EL NÚMERO DE CARAS RECTAS.

1) Z TRIEDRO UNI-RECTANGULAR: Una cara de 90°. Fig. 24.7a 2) Z TRIEDRO BI-RECTANGULAR:

Dos caras de yu°y dos diedros rectos. Fig. 24.7b

3) Z TRIEDRO TRI RECTANGULAR: Tres caras de 90' y tres diedros rectos. Fig. 24.7c


846

Ernesto Quispe R.

1.- D em ostrar que en to d o trie d ro una cara e s m en or que la sum a de lo s o tro s d o s y m a yo r que su diferencia. b -a < c

<á + b

Resolución.Sea

A V B = f l , B VC = 6 ----^

y

AVC = c

/s

Trazamos VD de modo que : A V D = a y

VD = VB

Con lo cual logramos que : A AVB = A AVD Por lo tanto:

AD = AB

Aprovechando el A ABC :

AC < AB + BC

También:AD + DC < AB + BC , reduciendo DC < BC Esto indica en los triángulos VCD y VBC que :

c-a b - a < c Reuniendo (1) y (2) :

... (1) ... (2)

b -á < c < a + b

2 .- En to d o trie a ro c o n ve xo la sum a de s u s caras es m en or q u e :

Resolución.Para obtener algún ángulo conocido, prolongamos AV, entonces : A V A , =180 Se acaba de obtener un segundo ángulo triedro: V - A, BC Aplicando la propiedad del problema anterior: Osea:

b < (180- á) + (180- c)

Donde :

a + b + c < 360

b < a. + y

3 .- ¿E n tre que lím ite s varía la sum a de to d os lo s d ie d ro s de un tetraedro?

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

847

Resolución.-

La pirámide formada por cuatro triángulos como la mostra da se llama TETRAEDRO y sus diedros son: AB , BC AC , BD ADy CD Entonces, por lo deducido en el item 24.5.3 Tendremos :

Triedro A :

180 < AB + AC + AD < 540

Triedro B :

180 < BA

+ BC + BD < 540

Triedro C :

180 < CB

+ CA + CD < 540

Triedro D:

180 < DA

+ DB + DC < 540

Sumando estas cuatro expresiones y reduciendo se obtiene finalmente que : 360° < AB + AC + AD + BC + BD + CD < 1080

4.- Se tiene un triá n g u lo is ó s c e le s A O B ; A O = O B = 2a, se levan ta la p e rp e n d icu la r OM a l plan o d e l triá n gu lo , ta l q u e : O M = a j 6 , se une "M " c o n "A " y " B " . H a lla r e l d ie d ro A B s i m 4 - A O B = 90g

Resolución.E1 diedro AB pedido esta formado por las caras AMB y AOB , para calcular su valor tomamos "H" punto medio de la hipotenusa AB. AB = AO-v/2 = 2yÍ2 a

Entonces, com o: =>

AH = HB = a j 2

Ahora trazamos MH y OH El ángulo V formado es el que representa el diedro AB Luego para calcular V necesitamos conocer 2 lados del Ex MOH Como OM es dato, hallemos ahora OH : En el Ex MOH, observamos que se cumple la relación: x = 60°

OH =

= aV 2 OM = OH V3

848


Ernesto Qulspe R.

5 .-L a s b a se s d e l re frig e ra d o r m o s tra d o s o n re c tá n g u lo s de 1,2m d e d ia g o n a l y 9y¡3 /25mz de área. H allar e l d ie d ro C D G F que form a la pu erta a b ie r ta con su m arco, cua ndo lo s p u n to s B , D y E se hallen en línea recta.

Resolución.Del gráfico el diedro pedido será:

90 + <]>

Ahora, en el triángulo rectángulo BCD, Hallemos los lados para determinar luego el valor de <)> a 2 + b 2 = (l , 2)2

Sabemos que: y:

a -6 = 9 V 3 /2 5

Resolviendo el sistema y considerando a > b, Se obtiene : a = 3 ¿ 3

y

6 = 3 /5

Con estos valores se deduce que :

$ = 30°

DIEDRO CDGF = 120° 6.- Se tiene un triá n gu lo re ctán gu lo isó sce le s A O B en e l cu a l :A O = O B = - j6 m , p o r e l pu nto "O " se levanta la p e rp e n d icu la r OM a l p la n o d e l triá n g u lo . H a lla r OM s i e l d ie d ro A B form ado m ide 60a

Resolución.-

M

Se trazan las perpendiculares MHy OH En el triángulo rectángulo AOB : AB = V6 ■V2 = 2 /3 Entonces :

OH =

También en el

MOH

= J3 x = OH(V3) x = 3m

Ángulos Poliedros

Luis Ubuldo C

m is i

849

e iá r r e a

1.- Desde un p u n to « P » e xte rio r a un p la n o se trazan la p e rp e n d icu la r P H y la s o b licu a s P A y P B de m odo que lo s á n gu lo s P A H y P B H m iden 63B y 44a respectivam ente. D eterm inar entre que lím ite s este com prendida la m edida d e l 4 A P B sa bien do que P A , P H y P B n o so n coplan ares.

Resolución.En el Ex PHA : m 4 APH = 90 - 63 = 27° En el Ex PHB : m 4 HPB = 90 - 44 = 46 En el triedro P - ABH :

46 - 27 < x < 27 + 46 19 < x < 73

2 .- D os d ie d ro s de un trie d ro m iden 105ay 115B¿ E n tre que va lo re s estará com pren dido e l te rce r d ie d ro ?

Resolución.-

Además sea su triedro polar el O’ - A’B’C’ Donde :

m 4- A’0 ’B’= 180-x

También:

m ¿ B ’0 ’C’=180-105 = 75 m 4- A’0 ’C’= 180-115 = 65

En el triedro Polar O’- A’B’C’ : 75 - 65 < 180 - x < 65 + 75 Simplificando: 10 < 180-jr < 140

=>

40 e x <170

850


Ernesto Quspe I?.

El tercer diedro estará comprendido entre 40° y 170° x = 40 < x < 170 3 .- H allar e l m áxim o va lo r entero que puede a su m ir la tercera cara de un á n gu lo pentaedro, s i la s m edidas de s u s c in c o cu ras form an una p ro g re s ió n aritm ética Resolución.-

Sea «a» la medida de la tercera cara y «r» la razón de la progresión Luego. La 1° cara medirá:

a - 2r

La 2o cara medirá:

a -r

La 4° caía medirá:

a +r

La 5o cara medirá:

a + 2r

Empleando la propiedad ... en los ángulos triedros a + 2r + a - r + a + a + r + a + 2 r < 360

Donde:

5a < 360

=>

a < 72

El máximo valor entero de la tercera t ara sera 71° x =71° 4 .- En un án gu lo Tetraed ro O - A B C D , que tien e su s cara s ig u a le s se traza un p la n o secante a su s a rista s determ inando e l cua drad o A B C D de la d o 4. S i O H = 2 (H e s e l centro de A B C D ) . C a lc u la r la m edida d e l d ie d ro que to rn a n e l triá n g u lo A O B y e l cuadrado A B C D (O H _L □ A B C D ) Resolución.-

En el cuadrado ABCD, trazamos HT ± AB. Luego HT = 2 y por el Teorema de las tres per pendiculares OT 1 AB El 4- HTO es el ángulo plano correspondiente al diedro AB buscado. til el Ex OTH :

x = 45

5 .- Dado un trie d ro O - A B C trire ctá n gu lo , se tom a un p u n to -P » in te rio r a l trie d ro . H a lla r OP, s i la sum a de lo s cuadrados de las p ro ye ccio n e s de O P sobre la s 3 cara s es ig u a l a 8.

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

851

Resolución.-

En el Ex OMH :

-2=*2 + y2

... (1)

Enel Ex OML :

b 2 = y 2 + z 2 ... (2)

En el Ex OSQ :

a 2 = x 2 + z2 ... (3)

(1) + (2) + (3) : a2 + b 2 + c 2 = 2 (x 2 + y 2 + z2) Puesto que : a2 + b 2 + c2 = 8(dato) y x 2 + y2 + z2 = d 2 8 = 2d 2

Luego :

d = 2

6.- En un tn e tro O - A B C se traza un p la n o que pasa p o r la a rista O C in te rsectan d o a l p la n o

—>

—>

4 AO D = —) —^ 4- C O D = 4 D O B y lo s á n g u lo s d ie d ro s O A y O B m iden 50g y 30B respectivam en te. que c o n tie n e a la ca ra A O B en O D . C a lc u la r la m edida d e l d ie d ro O C s i

Resolución.-

O

En el triedro isósceles O - CDB : m 4 COD = m 4 DOB = a

=>

—^

m 4 MPL = m (d-OB) = 30°

En el triedro isósceles O - CAD : m 4 COD = m 4 AOD = a

=>

m 4 LPN = m (d - OA ) = 50°

—)

m { d - O C ) = m 4 MPN = 80° 7.- La s caras de un trie d ro equ 'látero de vé rtice M m iden 60g. S o b re una de su s a rista s se

ubica e l p u n to A üe m odo que M A = J 2 ; p o r A se traza un p la n o p e rp e n d icu la r a M A que in tersecta a la s o tra s a rista s en B y C.H a lla r e l área de la re g ió n tria n g u la r A B C . Resolución.-

En el Ex MAB de 30° y 60° : MB = 2V2

y

AB = V6

En el Ex MAC de 30° y 60°: MC = 2V2

y

AC = V6

852


En el A BMC , equilátero :

BC = 2 V2

En el A BAC de área «4X »>:

A =

Puesto que :

Ernesto Qulspe R.

R P AH

— ... (1) X2

AH = V(V6)2-(V 2)2 = 2

y

BC = 2 72

2^ /2 2

Luego reemplazando en (1) : A = ——— X ¿ AX = 2 7 2 8 .- Sobre la s a rista s de un trie d ro trire c tá n g u lo O - A B C se to m a n : O A = O B C a lcu la r la d istan cia d e l p u n to m edio de O C a l p la n o A B C

Resol uclón.Sea
QL =

= 76

Obsérvese que BC es perpendicular al AAOL Entonces:

OG X BC

...(1)

También AB es perpendicular al 4 - OTC Entonces:

OG X AB

... (2)

De (1) y (2) : OG X A ABC Trazamos MN // OG Luego MN = x es la distancia pedida En el Ex OGC: En el Bx AOL:

x=

=*

OG = 2x

AL = ^2(V3)2 + (76)2 = 372

Luego: (273) (7 6 ) = (372) (2x) X =

1

= o c =2J 3 .

Angulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

853

9.- S i la s d ista n cia s de un p u n to in te rio r a un trie d ro trire ctá n g u lo a su s a rista s m iden 6 ,4 y 5m. H a lla r la d ista n cia d e l p u n to a l vé rtice

Resolución.Sea P el punto interior al triedro trirectángulo O - MNL Por dato del problema :PA = 6, PB = 4 y PC = 5 En el Ex PHA:

b 2 + c2 = 62

... (1)

En el Ex BHP :

o2 + c 2 = 42

...

En el Ex OHP :

x 2 = c 2 + 52 ... (3)

(1) + (2) :

(2)

p2+fr2 + 2c" = 62 + 42 .N

Donde : Luego :

52 + 2c2 = 52 2c2 = 27 27

(4) en (3) : x

c2

= ¥ - ( 4 )

77 + 25 = -TT

=

10.- D os re ctá n gu lo s con gru e n tes A B C D y A B M N form an un d ie d ro de 120B. S i B C = 2 A B = 4. C a lc u la r la d ista n cia de D a l p u n to m edio d e MN

Resolución.Trazamos DN ; luego en el triángulo isósceles DAN DN = 4V3 La arista AB del diedro es perpendicular al A DAN Luego como AB // MN Entonces MN 1 A DAN con lo cual MN 1 DN En el Bx DNL :

x 2 = (4^3 )2 x

M

(l)2

= 7

11.- Lo s p la n o s P y Q form an un d ie d ro de 120s en e l p lan o P se tiene e l triá n gu lo rectán gu lo A B C , re cto en B y en e l p lan o Q se tiene e l triá n g u lo re ctá n gu lo A D C re c to en D. H a lla r la s d ista n cia entre A C y B D ; s i : A B = B C = A D = D C = 2

854


Ernesto Quispe R

Resol ución.-

Trazamos por By Dperpendiculares BH y DH a AC Resultando: BH = DH = AH = HC = Además la m 4 BHD = 120° El plano BHD es perpendicular a AC y la distancia HL _LBD Es la mínima distancia buscada En el Ex HLD de 30° y 60°

12.- En un á n g ulo A O B se traza s u b is e c triz OH, lu e g o se traza HQ p e rp e n d ic u la r a l p la n o AOB. C alcu la r HQ ere m o d o que e l trie d ro O - A B Q tenga una cara de 90e y d o s caras de 60a; adem ás OH = 2 Reso lu ció n.

---—> ---Trazamos HL 1 OAy HT _LOB

__ —> _____ —> Luego por el Teorema de las 3 perpendiculares : QL 1 OA y QT -LOB Por el Teorema de la bisectriz HL = HTy OL = OT Ex QHT == Ex QHL (LAL) => QL = QT Ex OTQ s Ex OLQ =>

m 4-

QOf =

m 4

QOL = 60° y

m

En el cuadrado OLHT: OL = LH = V2 En el Ex OLQ de 30° y 60°: QL= V2

. V3 = V6

En el Ex QHL : x 2 + (V2) 2 = ( V6 ) 2 Donde:

x2 = x =2

6

-2

4

c

^

Angulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

855

13.- En un trie d ro O - ABC, cu ya s ca ra s m id e n : C = b = 609y e l d ie d ro OA m id e 90B, s i la s a ris ta s m id e n : OA = m , OB - n y OC = l¿ Qué re la ció n e xiste e n tre m , n y Ip a ra que e. triá n g u lo A B C sea re c to en A. Resolución.-

En el A QOl : (a-/6

)2

= {2a) + (2o) 1 - 2(2a) (2a) eos a

=>

eos a = ^

En el Ex ABC: BC2 = AB2 + AC2 Luego : (/2 + n 2 - 2In cosa) = (m2 + n2 - 2mn eos 60) + (m2 + I2 - ¿mi eos 60) Simplificando | zm2 -m (n + l) + y = 0 Resolviendo :

2m = n = 1

14.- Sobre la s a ris ta s de un trie d ro trire c tá n g u lo de vé rtice «S» se u oican lo s p u n to s A, B, y C. H allar e l p e rím e tro d e l triá n g u lo ABC , s i SA + SB + SC = 3 7 y lo s in ra d io s de lo s triá n g u lo s ASB, AS C y BSC m iden 3, 4 y 5 respectivam ente. R esolu ción .-

Aplicandu el Teorema de Poncelet en : BxASB : SA + SB =

AB+

2

(3)

...(1)

Ex ASC : SA + SC =

AC+

2

(4)

...(2)

Ex BSC • SB + SC =

BC+

2

(5)

...(3)

Sumando (1) + (2) + (3) : 2(SA + SB + SC) = AB + BC + AC + 24 Pero : SA + SB + SC = 37 y . AB + BC + AC = 2p (A ABC; Luego :

2(37) = 2p (A ABC) + 24 ^ ( A ABC) =


856

Ernesto Quispe R.

15.-Se tiene un triedro isósceles O -A B C , donde m 4 AO B = m 4 - A O C = 4 5 ey m 4 B O C = 60 9. S i OA = 8 . C alcu la r la p ro y e c c ió n de O A so b re la cara BOC.

Resoiucion.--—> --—> Trazarlos AT 1 OB y AG 1 OC __ __ —^ Luego por el Teorema de las 3 perpendiculares AT -LOB y AG _LOC

En el Ex ATO de 45°:

OT = 472

En el Ex AGO de 45° : OG = 472 OH es bisectriz del 4 BOC =>

m

4-

BOH = m

4-

HOC = 30°

En el Ex OTH de 30° y 60° :

x=

2

-B

Í4V21

* = |- 7 i 16.- En un trie d ro O - A B C lo s d ie d ro s OB y OC m iden 135By la cara a» m ide 90B. C alcular la m edida d el d ie d ro OA R esolución.

Luego : También:

m

4

B’OA’ = 180 - 135 = 45° A’O’C’ = 180 -135 = 45°

Angulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

857

Luego: m d - (OA) = 180-90 = 90° Ex O’HB’ de 45° :

O’H = B’H = a =

0 ’B’= a J 2

Ex O’HC’ de 45° :

O’H = HC’= a =

0 ’C’= a J 2

Ex B’HC’ : B’C’= a 42 El A B’O’C’ es equilátero Como :

=

m 4 B’0 ’C’= 60°

x + 60 = 180

x = 120

17.- En un trie d ro O - ABC, s u s ca ra s A O B y A O C m iden 60ey la cara BO C m id e 90e. H allar la m edida d e l á n g u lo que fo rm a A O con e l p la n o BOC. R esolu ción .-

Al trazar HT _LOB y HG ± OA __ —y __ —> Se tiene : AT J_ OB y AG -L OC Resultando que AH es bisectriz del 4- BOC El DOTHG es un cuadrado Luego s i:

OT = TH = a

=> OH = a-¿2

En el Ex ATO de 30° y 60° :

OA = 2a

En el Ex OHA : 18.- S obre las a rista s de un trie d ro de vértice O se ubican lo s p u n to s A, B y C de ta l manera que OA = BC , A B = OC y OB = AC. H allar la sum a de la s m ed id a s de la s caras de d ic h o triedro.

Del gráfico observamos que : AAOB = A BOC s AAOC => También : En el A AOB :

m

4 AOB = m 4 BOC = 6

m

4 OAB = m 4 AOC = P a + P + 8 = 180 H

858

Problemas de Geometria y como resolverlos

Ernesto Quispe R.

19.- S obre la s a rista s de un trie d ro trire c tá n g u lo de vé rtice S se u b ica n lo s p u n to s A r B, y C. S i A S = 20 SB = 25 y SC = 18,75. H a lla r la m e n o r d is ta n c ia e ntre B C y S H (H . o rto c e n tro d e l A AB C )

Resoluclón.Primero demostraremos que SH -1AABC, para lo cual bastara demostrar que SH _LBC y SH _LAB, para ello observe que BC es perpendicular al AASL. Luego BC 1 SH, también AB 1 A STC, entonces AB 1 SH de donde SH 1 A ABC. La mínima distancia buscada es HL, ya que : HL1SH

HL 1 BC

a

En el Ex CSB : SC = 3(6,25) y SB = 4(6,25) De donde :

j

FigA

m 4 SCB = 53°

En el Ex SCL de 37° y 53° : En el EX ASL:

SL = 15 [Fig. 1)

m 4 SLA = 53° [Fig. 2)

En el Ex SHL de 37° y 53°:

x = 9

Fig. 2

20 - P o r e l vértice B de un triá n g u lo isó sce le s A B C se levanta la p e rp e n d ic u la r B P a l p la n o de d ic h o triángulo. C alcu la r la m edida d e l á n g u lo fo rm a d o p o r lo s triá n g u lo s A B C y APC s i A B = BC = 10 , A C = 1 2 y B P = 6 R esolu ción .-

En el triángulo isósceles ABC trazamos la altura BH Luego : CH = HA =

6

y

BH = Vl02 - 6 2 = 8

Por el Teorema de las 3 _ks PH es perpendicular a AC Sea x la medida del diedro formado por los triángulos ABC y APC Luego en el Ex PBH x = 37 21.- Una hoja de p a p e l de form a re c ta n g u la r A B C D tiene p o r d im e n s io n e s : A B = 8( 5 - 1 ) y B C = 3 . P o r lo s p u n to s m e d io s de A B y CC se d ob la la h o ja de pap el de m anera que e l á n g u lo d ie d ro fo rm a do es de 72?, h a lla r la d is ta n c ia m ínim a que e x is te e n tre la a rista d e l d ie d ro y e l se gm en to que une le s c e n tro s de s u s caras.

Luis Ubaldo C.

Ángulos Poliedros

859

R esolu ción .-

En el Ex DLN , trazamos OM _LNL. A

Luego:

OM = — = 2(75 -1)

En el Ex NLC, trazamos PM 1 NL. De donde: PM = - y = 2 (V5 -1) El 4 OMP es el ángulo plano correspondiente al diedro NL de 72°, luego al trazar MN _LOP, MN es la mínima distancia buscada. El A OMP es el triángulo elemental del pentágono regular de circunradio :R = 2(75 -1) Y apotema MN = Luego :

(75 + 1)

MN = ——^—— (75 + 1) MN = 2

22.- Una de la s caras de un trie d ro m id e 37?, e l co se n o de la segunda cara es coseno de la tercera cara es

4

R esolu ción .-

Sea m 4- ABC = x , la medida del diedro pedido

En el Ex OBA:

=>

OB = 4

BA = 741-16 = 5

Por ley de Cosenos : A ABC : (AC) 2 = (5) 2 + 32 - 2(3) (5) eos x AAOC : (AC) 2 = (741

)2

... (1)

+ 52 - 2(5) 741 eos 0... (2)

Sustituyendo (2) en (1) : 41 + 25 - ÍOTÍT -4 = =25 + 9-30 eos x v 41

y e¡

. C alcu la r la m edida d e l d ie d ro o p u e sto a esta

u ltim a cara.

En el Ex OBC, haciendo : BC = 3

4

y

OC = 5


860

Donde :

Ernest ) Quispé i¿

26 = 34 - 30 Cos x

Ahora :

30 Cosx =

4 cosx = 15

8

x = Are c o s

(*) 23.- Una de la s ca ra s A O B de u n trie d ro O - A B C m id e 909 y a¡ o tra s d o s m id e n 60g cada una. h a lla r la m edida d el á n g u lo fo rm a a o p o r la ca ra A O B y un p la n o que c o rta a la s a rista s d el á n g u lo trie d ro d e te rm in a n d o se g m e n to s co ng ru en te s.

Resolución.C

AOTL = AOTK => OK = OL Trazamos:

OH 1 KL

Luego :

TH ± KL

En el => En el

aV 10

4T\
KOL de 45°: Si KL = 2o

6 0 °^

OK = OL = a j 2

]

. \ \2 ......

3 0 °\ \ a y /3

J..4$ú \

sí 5 o

\ .... ' \ - ° - 2a " . . . ....

THK de 30° y 60°: TK = 2o

EnelATKG :

GT -

Donde :

Gl = a|4 o

R

¥ j 2

3a 2

2

En el A OHT; por Ley de Cosenos

C^)>

[|V 2(V 5+1)J = o 2 + (o V3 ) 2 - 2(o) (oV3 ) Luego :

^

(6

+ 2-J5 ) = a2 + 3a 2 - 2a 2 J 3 cosx

Ahora :

2a 2-J3 cos x = 4a2 - 3a2 - a 2V5

Donde :

2o27 3 c o s x = a2 Q - V5 )

cosx =

0 -J 5 ) 2V3

x —Are cos 1- J s ]

2 j3 J

A

jO^>L

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C

861

24.- S obre la s a ris ta s de un trie d ro trire c tá n g u lo de vé rtice O se u bican lo s p u n to s A, B y C de m od o q ue OB = OC y m 4 B A C = 7 4 p. C a lcu la r la m edida d e l d ie d ro fo rm a do p o r lo s triá n g u lo s BO C y BAC.

Resolución.Ex AOB = Ex AOC (LAL) => AB = AC Trazamos AH 1 BC => OH 1 BC En el Ex AMB :

Si BH = 3k

=> AH = 4* y AB = 5* En el Ex OHB de 45° : OH = HB = 3*

y

OB = 3 k j2

En el Ex AOB : (OA)2 + (3A-V2)2 = (5A-J2 Donde :

(OA)2 + \8k2 = 25k2

En el AAOH :

tgx =

=:

kyf7 3k

OA = k j l x = Are t g ^ j -

25.- Se tiene un triá n g u lo e q u ilá te ro A B C de 6m de la d o en s u c e n tro «O» se leva nta una perpciidiCL-lar OP u n ie n d o P con A y C . ¿Q ué m edida debe te n e r OP p ara que el d ie d ro AC m id a 60g?

Resolución.En el triángulo equilátero ABC : BH = 3V3 y

OH = ^ BH

Es decir : OH = V3 Por el Teorema de las 3 _ks PH 1 AC Luego por dato del problema : m 4- OHP = 60°

En el Ex POH de 30° y 60° : * = V3 . V3 x =3

862


Ernesto Quispe R.

2 6 .-F o r e l vértice B de un triá n g u lo re ctá n g u lo A B C re c to en B, se levanta la p e rp e n d ic u la r BP a l p la n o d ic h o triánguio. C alcu la r la m edida d e l d ie d ro fo rm a d o p o r lo s triá n g u lo s A B C y APC, s i A B = 6 , B C = 8 y B P = 3

Resolución.Trazamos BH 1 AC Luego porel Teorema de las 3 perpen diculares PH 1 AC Sea m 4- BHP = x , la medida del diedro buscado. En el Ex ABC: AC = ^6 2 + 8 2 = 10

En el Ex PBH : x = 2 6 ,5 ° 27.- Se tiene un cu ad ra do AB C D y un triá n g u lo isó s c e le s A C E c u y a base es A C de ta l form a q ue las areas de la s re g lo n e s que lim ita n se e ncu en tran en la re la c ió n d e 5 a 3 y A C = 2 BE. C alcu la r la m ed id a d e l á n g u lo d ie d ro que d eterm inan.

Resoludón.Sea «a» la longitud del lado del cuadrado ABCD ILúeoo : B Como: Luego :

2

O —= — 5=> OE = nr O 3O nz — ~=-— —-7= =6 -=-v2 o j 2(OE) 3 5 J2 5 AC = 2 (BE) a j 2 = 2(BE) => BE = ^ J 2

Sea «x» la medida del diedro formado, luego en el triángulo OBE: 3 a j2

En el Ex OKB : Cos*= —

a j2

2

i

=|

5

Luis Ubaldo C

Ángulos Poliedros

863

28.- En e l g rá fic o e l d ie d ro fo rm a d o p o r e l p la n o P y e l p la n o de la re g ió n tria n g u la r A B C es 53s. C a lc u la r la m ín im a d is ta n c ia e n tre B H y A M ; BH -L P. B M = M C , A C = 8 c m . A B = B C y e l área de la re g ió n A B C es 20 cm 2

R esolu ción .-

Trazamos la altura BN del triángulo ABC Luego :

8-BN —^— =20

=>

BN = 5

Por el Teorema de las 3 _ks: HÑ 1 AC y m 4- HNB = 53° En el Ex BHN de 37°y 53° : BH = 4 y HN = 3 Proyectamos AM y BH sobre P obteniendo el segmento AT y el punto H respectivamente Luego HK 1 AT es la mínima distancia buscada En el AAHC : En el Ex ALT:

AT = ^62 + ^ | J = ^36+1

Donde :

AT = ^ JY 7

Ex ASC ~ Ex ALT: |

I

1^

2 9 .-E l cu ad ra do A B C D esta u b ica d o en un p la n o p o r B se traza B P p e rp e n d ic u la r a d ic h o p la n o y M e s p u n to m e d io de A D , s i la m ed id a d e l d ie d ro MC es 60Py MC = 5 ¿ C uánto d is ta e l p u n to A de P?


864

Ernesto Quispe R

R esolución.En el Ex M D C d e ^ :

MC =

5

=

° &

=>

o=25

CQ En el Ex BQC de ^ =>

QC = 2

: BC = 2 V5 = QC V5 y

BQ = 2 QC - 4

En el Ex PBQ de 3 0 ° y 6 0 °:

PB - 4 ^ 3

EnelExABP:

x 2 = (4 ^ 3 )2 + (2 V5 )2

Donde :

x2 = 48 + 20 x = 2 (17

30.- En un triá n g u lo re ctá n g u lo en ABC, re c to en B se in s c rib e una c irc u n fe re n c ia de ce ntro «O». P o r O se leva nta la p e rp e n d ic u la r O K a l p la n o de d ic h o triá n g u lo , s i la m edida d e l d ie d ro A C e s 45e A B = 3 y B C = 4 . C a lc u la r: B K R esolución.En el Ex ABC :

AC = V 32 + 4 2 = 5

Apl.eando el Teorem a de P o n ce le t: 3 + 4 = 5 + 2r

=>

r = 1

En el Ex KOT de 45° OK = OT = r = 1 En el Ex B O K :

x 2 = ( l) 2 + (OB)2

C o m o : OB = r J2 = -J2 =>

x2 = 1 + 2 x = V3

31.- Se tienen d o s p la n o s secantes P y O. En Q se h a lla e l triá n g u lo A ’B ’C ’ que es la p ro ye cció n d e l triá n g u lo A B C u b ic a d o en e l p la n o P. C a lcu la r la m ed id a d el d ie dro w rm a d o p o r d ic h o s p la no s, s i : m 4- C = 90- , m 4 - B A C = 30s , m 4-

A'B C =45e y B C = B ’ C

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

865

Resolución. Hacemos BC = a , luego:

B’C’ = a

Y en el Ex BCA de 30° y 60°: AC = a j 3 BCC’B’ es un rectángulo , luego BC X CC' Observamos que BC es perpendicular al tra pecio rectángulo CAA’C’ Luego BC será perpendicular a CT // C'A' En el Ex BCT de 45°: BC = CT = a Finalmente en el ExCTA cosG =

0: Are eos

0 : medida del diedro iormado por P y Q :

0 = Are eos

1 V3

32.- En un triá n g u lo re ctá n g u lo isósce les AOB, donde A O = OB = 7a en «O» se levanta una

73*J~6

p e rp e n d icu la r a l p la n o de d ich o triá n g u lo s o bre la cu a l se tom a OM = — g— . A l u n ir M co n A y B se d ete rm ina el p la n o MAB, h a lla r la m edida d e l d ie d ro fo rm a d o p o r lo s triá n g u lo s A O B y M AB

Resoludón.Trazamos OH y MH perpendiculares a AB, luego 4- OHM es el ángulo buscado. En el Ex AOB : OH =

AB

7 a j2

En el Ex MOH :

O H x =30°

866


Ernesto Quispe R.

33.- En e l re ctá n g u lo AB C D : A B = 2BC. S obre lo s la d o s A B y CD se han to m a do s u s p u n to s m edios P y O respectivam ente. Se d ob la e l re c tá n g u lo p o r la línea PQ un á n g u lo d ie d ro de 60B. C a lcu la r la m ed id a d e l á n g u lo fo rm a d o p o r BD y A Q

Resolución. Del gráfico, el A BPA es equilátero Luego:AB = o , además PQ es perpendicu lar a dicho triángulo y ya que PQ // AD Luego AD ± A BPA de donde DA IBA En el Ex DAB : BD —o 72 Trazamos DR // AQ Luego en el romboide AQRD :

QR = AD = a

En el Ex RPB : BR = v/o2 +(2o)2 = o V5 Finalmente en el A RDB, siendo
5a2 = 2a2 + 2o2- 4o2 cos x

Luego : 4a2 Cosx = - a2 x - Are c o s

34.- L os trián gu los rectá ng u lo s isó sce le s A B C y A DC form an un d ie d ro de 60e (A B = B C = A D = DC). C alcu la r la m ínim a d is ta n c ia e ntre A C y BD R esolu ción.-

Del gráfico :AB = BC = AD = DC = o Al ti azar BH y DH perpendiculares a AC se tiene: BH = DH = ^ 72 El diedro formado e s : m 4- BHD = 60°

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldc C

867

Resultando el triángulo BHD equilátero, donde BD = ^-J2

Luego la mínima distancia buscada es HT En el A HBD equilátero HT =

-V3

HT =

6

35.- U na p la ca cu a d ra d a A B C D e sta d o b la d a p o i la d ia g o n a l A C de fo rm a q u e lo s p la n o s A B C y A C D fo rm a n un d ie d ro re cto . S o b re A C se u b ic a e l p u n to K de m o d o q ue A K = 3 (C K ). C a lcu la r la m edida d el á n g u lo fo rm a d o p o r KB y CD

Resolución.Hacemos KC = o

B

=> AK = 3o

Al trazar BH y l)Hperpendiculares a AC Se tiene : AH = HC = 2o

y

HK = o

Además : BH = HD = 2o y

AB = BC = CD = AD = 2o J 2

Trazamos KZ // CD, luego 4- BKZ es el án gulo buscado En el Ex BHK : AZK-Èx ADC:

BK = oV5 KZ = 3o 2oV2 4o KZ = ^

En el

HTL :

En el Ex BHZ :

= AZ

HZ = y VÍO 13o

(BZ)2 = (2o)2 +

En el A BKZ por ley de Cosenos : (BZ)2 = (oV5 )2 + ô-»/2 j - 2(oV5 ) ^ o V 2 j eos*

Resolviendo:

x = Are eos

VÍO

868


Ernesto Quispe R.

36.- En una circu n fe re n cia de d iá m e tro A B = 10cm, se escoge un p u n to P so b re d ich a circu n fe re n cia ; s i h acem os g ira r a la circu n fe re n c ia s o b re s u d iá m e tro (a < 90) la nueva u b ica ció n de P es P ’. H a lla r A P p a ra que e l p e rím e tro d e l triá n g u lo PM P’ sea m áxim o, sie n d o M la p ro y e c c ió n de P s o b re A B

Resolución.El perímetro del A PMP’ será máximo, si PM = P’Mes máximo. En el Ex BP’A : (P’M)2 = BM . MA Ya que BM + MA = 10 (constante) Luego: P’Msera máximo si BM. MAlo es y esto ocurre s i: BM = MA = 5 Resultando Mel centro de la circunferencia y P’M = PM = 5 En el &x PMA:

x2 =

52 + 52

x = 5 j2 37.- Un triá n g u lo isó sce le s ABC , d o n d e A B = A C = a e sta in s c rito en un c írc u lo de ra d io a P o r A se levanta una p e rp e n d ic u la r A D a l p la n o d e l triá n g u lo y se une D co n B y C. C alcular la lo n g itu d d el se g m e n to BD p ara que e l d ie d ro B C m id e 30g

Resolución.El AAOB es equilátero, donde : OB = OA = AB = a Además:

BM =

En el AAMB de 30° y 60°:

AM = ^ a

En el &x DAMde 30° y 60°:

DA =

V3

=~^¡= 2V3

Finalmente en el Ex DAB :

*W +(27j) - ° ! + T2 *

2 V3

Ángulos Poliedros -*

Luis Ubaldo C.

869

38.- Un romDt} ABCD forma un diedro de 90Bcon un triángulo rectángulo A B E recto en F ; s im 4 - A B C = 60B, B E = ^ ^ - y E H = 2 l 3 . Hallar la distancia entre CH y B E (H e s la proyección de C sobre AD)

Resolución.Para determinar la mínima distancia pedida Proyectamos EB sobre el plano ABCD obte niendo el punto B. Luego la distancia BC es la distancia buscada: BC = 2^5 a En el A HAB por ley de Cosenos : (BH)2 = ( De donde :

a )2 + (2 V5 o)2- 2(V5 a) (2^5 a) Cos 120°

(BH)2 = 35o2

Enel&xHBE: (2 73 )2 = (BH)2 + (5o)2 = 35a2 + 25a2 =>

BC = 2 /5

JE

=2

12 = 60a2

a=

BC = 2

39.- Se considera una puerta cuyas dimensiones están en la razón de 1 a 2, esta puerta estando cerrada se le abre haciéndola girar «6». S i distancia entre el vértice superior del marco de la puerta que queda Ubre y el cerrojo que esta a la mitad de la altura de la puerta es igual a el ancho de la puerta por la -J 2 . Hallar 6

Resolución.Sea el ancho de la puerta AB = BC = o

=> AE = CF = 2o

Del gráfico CF es perpendicular al plano del AABC Luego CF 1 AC En el Ex ACD : (AC)2 + a2 = (oV2)2

=* AC = o

El AABC tiene sus 3 lados iguales, luego es equilátero 0 = 60°

o/u

rroDiemas ae ueomeiria y como resolverlos

t mesro loiuispe ¡<.

40.- Una circu n fe re n cia de d iá m e tro A B (A B = 6 4 2 } e s ta en un p la n o P. P o r un p u n to Q de dicha circu n fe re n cia se levanta ü r í p e rp e n d ic u la r a P. S i A H = 2410 y la m edida d el d ie dro que form an lo s triá n g u lo s A Q B y A H B e s 4ñs , c a lc u la r : B H

¡tesoli'-ión.En el AAHB, por Euclioes : jf2 = (2VÍÓ)?+(6V2)2-2(6V2)(AM)

...(1)

En el Ex HQM de 45° : Si:

QM = a

=> QK = a y HM = a 42.

En el Ex AMH : (2TÍO )2 = (a V2)2 + (AM)2 En el Ex AQB : a2 = AM (6^2 - AM) Luego :

40 = 2a2 + AM2

Donde :

40 = 2 [AM (6 42- AM)]

Resolviendo : AM = 2 42

+ AM‘ ... (2)

Reemplazando (2) en (1) : x 2 = 40 + 72 -12 42 . 2 42 = 64

41.- Las caras de un trie d ro m iden 60s, 37ay 37a respectivam ente, lu e g o se traza un p la n o secante p e rp e n d ic u la r a la a rista com ú n de la s ca ra s co ng ru en te s. S i la d is ta n c ia d e l vértice a l p la n o secante e s 8 m. C alcu la r e l área de la s e c c ió n determ inada.

Resolución.Del gráfico el área pedida es : 4X= ^ A H

Ex OAC Notable :

AC = 6

Ex OAB Notable :

AB = 6

A OBC equilátero :

BC = 10

Luego : AABC isósceles AH = V62- 5 2 = 4 ñ

{I)

Ángulo s Poliedros

Luis Uboldo C

Ax = 5

8 71

Jll m 2

42.- Se tiene e l ro m b o AB C D p o r “A ” se levanta A P p e rp e n d ic u la r a l p la n o que co ntie ne a l rom bo, de m od o que e l d ie d ro fo rm a d o p o r lo s p la n o s PBD y AB C D m ide 45B. A d e m á s : PC = 10. H a lla r la o ista n cia m ínim a de A a PC R esolu ció n .-

Del gráfico rn 4 AOP = 90° (Por T de las 3 _Ls) Entonces el died.o formado por ABD y ABCD es igual: m 4- AOP = 45°

Luego : EX OAP isósceles de 45° y 45° => AO = AP = < IX CAP : POr R.M :

a-JE = 10 -» a = 2 J E

(2o) (o) = 10 x

=» (2 2^5 ) (2 JE) =

l^x B

x = 4

43.- P o r e l ce n tro “ O ” de un cu ad ra do ABCD, se traza “ O F” p e rp e n d ic u la r a l p la n o d el cuadrado. S i A B = 2, h a lla r la lo n g itu d de OF para que e l d ie d ro fo rm a d o p o r lo s p la n o s BFC y CFD m ida 120B. R esolu ción .-

P

En el gráfico se traza 8H y DH perpendiculares a Fi m 4 BHD = 120° Luego

m 4 BHO = m 4 OHD = 60°

En el cuadrado ABCD :

BO = J 2

fes. BOH Notable : OB = OHV3 =* OH = V6/3 Luego en el Ix FOC (R.M) : ----~ OH2 Reemplazando datos :

^ + —

OF

* = 1

OC A

2

D

872


Ernesto Quispe R

PKOBLeMttS PSuPUeSTÜS

1.- Las caras de un ángulo triedro miden 53,53 y 60 respectivamente. Se trazan un plano se cante perpendicular a la arista común a las caras de igual medida. Si la distancia del vérti ce al plano secante es 6. Calcular el área de la sección determinada. A)2>/39

B)5-> 39

D,4V4l

D) 3-^59

03^39

2.- Exteriormente al piano que contiene al trián gulo ABC se toma el punto P, tal que : PA = AC = 13 , PB = BC = 15 , AB= 14 y PC= 12. Calcular la medida del diedro formauo por la» caras APB y ABC. A) 60- 6)45°

C) 37°

D) 53°

E) 30°

3.- Se Cieñe un triedro tri-rectángulo A - BCD tal que, el triángulo BCD es equilátero. Una hormiga sale desde_el_punto B , llega a un pun to «P» de la arista CD y desde allí se dirige a un punto «Q» de la arista AL) para luego re tomar al punto B si el camino que recorrió es mínimo. Calcular m 4- PQA. A) 105

B) 120 C)135

D)90

Calcular «BM», si el Jiediu AC mide 60° A) 1

B) 4

C) 3

D)3V3

E)5

6.- El ángulo diedro entre los planos P y Q mide a, en el plano «P» se encuentra un cua drado de lado «a». Calcular el perímetro de la proyección del cuadrado sobre el plano «Q» tal que sea máximo A )2 a -j2 VT+cos2a

D )2atga

B)ay [2 VT+ cos2a

E)2aV2 + J l + tg2a

C)2ay] 2 -sen 2 a

7.- Un cuadrado ABCD y una semicircun ferencia de diámetro AB se encuentran en pla nos perpendiculares, en arco AB se ubica el punto «P» tal que : m PB = 14J Calcular la medida del diedro que forman los planos PCD y ABCD. A) Arctg

(*)

C) Are eos ^ 4 ^"

B)/\/rsenl ~D)Arcíg

E)150 E)53

4.- Por el vértice A de un rombo ABCD se traza AP perpendicular al plano del rombo, de modo que el diedro formado por los planos PBD y ABC D mide 45, además PC = 15 ¿A qué distancia de la recta PC está el punto A? A) 12

B)8

C)6

D)9

8.- Dado un cuadrilátero ABCD con diagona les perpendiculares, se trazan AP y CQ per pendiculares al plano de dicho cuadrilátero y situados en un mismo semiespacio, sea: -— — • PA RC {R} = BD n AC y ^ = C Q = K

E)2VÍ0

5.- En un triángulo rectángulo isósceles ABC, AB = BC = -Jó .Por el vértice «B» se levanta la perpen jicular BM al plano que lo contiene.

Calcular la relación de las áreas de las regio nes triangulares ABD y BDC, si el ángulo que forman PQ y el plano PBD mide 53.

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C.

B)

A>4TC D)

5K

C)

2K

E)-^7K

5K

9.- En un triángulo ABC, recto en B, AB = 3, se traza la mediana BM y la perpendicular BH al plano del triángulo ABC, si el área de la región BHM es 5v5 y el área de su pro yección sobre el plano determinado por BHC es 10. Calcular «AC» A)2V6

B)3v/2

d^

E)15

To

C ) 3 j5

10.- Dados los rectángulos ABCD y ABEF cuyos planos forman un diedro cuya medida es 120. Calcular la distancia de A al punto medio de CF; sabiendo que : AB = 4 , BC = 3 y AF= 12 A) ■v/6 l/4

B)4V21/3

D) VI33 12

E)5VT7

06737

recta CD forma con el plano ABCD un diedro que mide 45 e intersecta a OB en «N». Calcu lar el área de la región MNCD A) 13V3

B)5V6

D)6,5v6

E)8V6

A) 30

B)60

C)45

D) 2 Are tg \ ^

E) 2 Are tg J 2

12.- Las medidas de dos caras de un triedro suman 145°. Calcular la medida de la tercera cara, si las medidas de los diedros de su triedro polar suman 320° A) 80

B)70

C) 85

D) 15

E)75

13.- Sea «O» un punto del espacio y A, B, C y D cuatro vértices consecutivos de un hexágo no regular, tal que «O» es equidistante de A, B, C y D y AB - BC = CD = 4 . El plano determinado por el punto medio «M» de OA y la

C)6V6

14.- En una circunferencia de centro «O» y radio «R» se trazan los diámetros AB y CD que forman un ángulo de 45°.Sea H el plano que contiene a dicha circunferencia y «S» un plano que contiene a AB y forma un diedro de 60° con «H» Calcular la distancia desde «C» al plano «S» A )fiV 6/2

B )fiV ó/4

D )R y f2 /2

E)R^Í 6 /3

C )R y¡ 3 /2

15.- Dado dos rectángulos ABCD y ABEF con gruentes; tal que sus planos forman un diedro que mide 60 y BC = 2AB. Calcular la medida del ángulo que forman las rectas AC y BE. A) 45

11.- Dado un triedro O - ABC, donde las caras AOB y AOC miden 60, sobre OÁ, OB y OC se consideran los puntos Q, R y P en ese orden, tal que : OQ - OR = OP y el ángulo PQR es recto. Calcular la medida del diedro OA.

873

D) Are eos

B)90 V3

C)30

E) Are eos

16.- Dado el triedro O - ABC, en el cual: 3

m 4- AOC = a , í z = c = 45y eos a = — .

Calcular la medida del ángulo que forma OB con el plano que determinan los puntos A, O y C. B) 15

A) 37 D) Are eos

4ñ

E)A/rcos

C) 16 (V Io i ^

17.- Sean los semiplanos P y Q las caras de un diedro recto y sean A y B puntos de P y Q, respectivamente, de modo que AB forma con P un ángulo que mide 37 / 2 y con Q un ángulo que mide 53/2. Calcular la menor dis-

874


tancia entre AB y la arista de dicho diedro, s AB = ^ 10 A )V 6/2

B )j6

D)2y[2

E)V ó/3

C )V 7 /3

18.- En un triedro O - ABC los diedros OB y OC miden 60 cada uno y a = 60. Calcular La medida del ángulo AOC A) Are cos(2 /7)

D) Are eos (1 /8)

BW ccosíVzí /7)

E)/Wrcos(2/9)

A) 8m

B) 4V3/n

D)2V2 m

b)2y¡3m

s

A) 3 ^

B) 5

E)5yÍ3

D) 9 V3

2

O

7 V3 2

A) 4 D) 15

B )fV 6 l VóT 61

A)

VI33

D) 3-7133

D)

E) 1,2

21.- A - BCD es un triedro tnicctángulo de modo que AB = AC = AD = 6m. Si O es la proyección de A sobre el plano BCD, entonces la distancia que hay entre O y la arista AB es :

B)2Vl33 E)

C) VI33 13

VI33 33

A) 60°

A) 3 /2

D) 8 /3

Vól 61

24.- En la figura los rectángulos ABCD y AMND son .oneruentes tal que: AB = MP = PN Calcular la medida del diedro formado por los rectángulos para que el triángulo PBC sea equi látero. B

C)90°

C)1

E)30

C)5

23.- Se tiene los rectángulos ABCD y ABEF cuyos planos forman un diedro cuya medida es 120. Calcular la distancia entre los puntos A y M siendo M punto medio de CF sabiendo que AB = 4 , BC = 3 y AF = 12

20.- Se tiene un triángulo rectángulo de catetos 6 v 8. Se hace girar este triángulo alre dedor de su hipotenusa un ángulo de 60°. Hallar la distancia entre las posiciones inicial y final del centro de gravedad del triángulo B) 1,6

C)6V2 t

22.- Los planos P y Q forman un diedro recto, en «P» se toma el punto «A» y en «Q» el pun to «B». AB forma con «P» un ángulo de 30° y con «Q» un ángulo de 37°, si AB = 10. Hallar la distancia entre AB y la arista del diedro

C)Arc cos(l / 6) 19.- Las aristas de un ángulo triedro “O” trirectángulo son intersectadas por un pla nchen los puntos A , B , C ; luego se traza OF perpendicular al plano ABC de modo que m 4 AOF = m 4- BOF = m 4 COF Calcular el área del triángulo ABC, si OF = yÍ3

Ernesto Quispe R.

B) 120°

135°

E) 105° 25.- Se tiene un triángulo rectángulo isósceles \BC donde los catetos AB y BC miden 3-72 «2 ; en «B» se levanta la perpendicular

Ángulos Poliedros

Luis Ubaldo C

D)30°

E)45°

26.- Calcular la medida del ángulo formado por un cateto de un triángulo rectángulo con el plano que contiene a la bisectriz del ángulo recto, si el ángulo diedro formado mide 45°. A) 30

B,6G

C)53

D)45

E)37

27.- El área de la proyección de un cuadrado sobre un plano que pasando por su diagonal forma un ángulo de 60° con el plano del cua drado es de I2m2. Calcular el área del cuadrado. A) 12mr

B)2Amtl

D)25mr

E)N.A

C)12-Jim ?

B)2

C)3

D) 12

E)6

29.- Por el ortocentro «H» de un triángulo equi látero ABC ¿e traza HP perpendicular al plano del triangulo ABC. Se une «P» con «B» y «C» tal que el diedro BC mide 45; si BC = 6. Calcu lar el área de la región triangular APH A) 2

B)3

C)4

B)4

D)2v/2

E)3V2

32.- Se tiene un rectángulo ABCD y un cua drado ABEFîbicados en planos perpen diculares, en AF se ubica el punto N, tal que m ¿C NEF = 37° y en DC se ubica el punto medio M. Calcular la medida del ángulo diedro determinado por el plano del rectángulo ABCD y el plano que pasa por M y ME, si se sabe que 5 AB = 6 BC.

D)3V2

E)6

C)Arc tg

B)7IÓ

D)TÍ7

E) -J\9

C)VÍ5

B)/\rc tg

~3^’ 3

D) Are tg

3-/Í3 2

E) N.A. 33.- Se tiene el hexágono regular ABCDEF y el triángulo equilátero CPD situados en pla nos perpendicualres. Calcular la medida del ángulo diedro que forman el plano AFP y el plano del hexáguno. A) 53

B)37

C)30

D)26,5

E)60

34.- Una semicircunferencia de diámetro AB y un cuadrado PQRS se hallan en planos per pendiculares (Py Qen AB); tal que AP = QB (Q más cerca a B que a A) si RS = 4m y M es punto medio de AB Calcular AB cuando el ángulo que forman MS y AR mide 90°.

30.- Se nene un cuadrado ABCD y un triángu lo equilátero AFD ubicados en planos perpen diculares. Si el lado del cuadrado es 4; calcular el área de la región triangular «MOB» siendo «M» punto medio de AF y «O» punto medio A) 6 de AC. A) V5

C )3 j2

A) Are tg 3 J 2

28.- El lado de un cuadrado ABCD mide 4-76 por el punto medio «O» de AD se levanta OE perpendicular al plano del cuadrado de modo que el plano EBD forme un diedro de 60° con el plano del cuadrado. Hallar «OE» A) 4

A) V3

1

A) 37° B j 6Cr C)53°

31.- Los planos que contienen al cuadrado ABCD y al triángulo equilátero ABM forman un diedro que mide 30; si AB = 4 Calcular «MC»

1 u> *Si l__ . 1

BE al plano del triángulo que mide 4m. Calcu lar la medida del diedro AC

875

B)7

C) 8

D )9/2

E) N.A.

35.- Se tienen los cuadrados ABCD y ADEF que se encuentran en planos perpendicula res. Interiormente al cuadrado ABCD se toma el punto «P» tal que el triángulo APB es equilá-

876


tero; si AB = 2 a . Calcular la distancia de «P» al centro del '’■ladrado ADEF A) 2a

D) flVlO-275

Ernesto Qulspe /?.

drados de las distancias de un punto arbitra rio de la semicirfunferenoia hacia los vért.ces del trapecio es 20m . Hallar la mediana del trapecio. A) 5

B) 4

C ) a J 6 -2 7 3

D) 75

E) 2

36.- Se tiene las regiones rectangulares ABCD y ABEF los cuales forman al diedro AB; tal que su medida es 60°; además AD - 5 ; AF = 4 y CF = 6 . Calcular la mitad del área de la región cuadrangular DCEF

39.- Por el vértice A de un triángulo equiláte ro ABC (AB = 6); se levanta AH perpendi cular a dicho triángulo, luego se une H con B y C. Hallar la distancia de A al plano HBC si el diedro formado por los triángulos ABC y AHC es 60°.

B) a 7 6 / 2

E) 0 ^ 2 -7 3

A) 3/2 735

B) 2/3 733

D) 4/5 733

E) 3/5 735

C) 5/2 733

37.- Se tiene una circunferencia de centro «O»; se traza OT perpendicular al plano que la con tiene si A y B pertenecen a la circunferencia. Calcular la medida del ángulo diedro deter minado por el plano ABT y el plano que con tiene a la circunferencia.

C) 275

A) 3

B) 273

D) 4,5

E) 373

C) 9

40.- En el cubo mostrado, calcular la medida del diedro que forman los planos ACH y EDG

Si : m AB =2m ¿C ATB = 120° A) 30°

D) Are sen

B) 60° C) Are tan 38.- Las diagonales de un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B) son perpendiculares, AB es el diámetro de una semicircunferencia que se encuentra en un plano perpendicular al plano del trapee o. Si la suma de los cua-

A) Are eos

(I)

B) Are sen ^ j

C) Are eos

B )

D) Are sen

E) Are sen I -

i

73

25.1 SUPERFICIE POLIEDRICA - POLIEDROS Se llama superficie poliédrica a la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más re-giones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras, tienen en común a lo más un lado llamado arista. Un poliedro es la reunión de una superiicie poliédrica con todos sus puntos interiores. En todo poliedro {Fig. 25.1) se distinguen las ca ras, que son las regiones poligonales que Jo limitan; los vértices que son vértices de los polígonos; y los lados que son las aristas del poliedro.

Fig. 25.1

Se llama diagonal de un poliedro al segmente de recta que une dos vértices situados en caras diferentes como AB . Un poliedro se denomina según su número de caras, siendo el menor de todos el tetraedro de cuatro caras. 2 5 .2

p o l ie d r o s c o n v e x o s

rn o

con vexos

Una superficie poliédrica es convexa si todos los vértices quedan en el mismo semiespacio respecto del plano que contiene a cada cara. Algo que podrás notar siempre es el hecho de que una superficie convexa no puede ser rortada por una recta en más de dos puntos {Fig. 25.2a). Una superficie poliéanca se llamara no convexa, si los vértices quedan en uno y otro semiespacio respecto al plano que contiene a una cara convenientemente escogida. Una recta secante determina más de dos puntos de intersección {Fig. 25.2b}.

Fig.25.2

87h

J¿5.3


T J t iU K t jJ S

L\

Ernesto QuISpe R.

U t i tfJ Ü L U i*

En toao poliedro cor. vexo el numero de caras aumentado en el número de vértices es igual al número de aristas mas dos. En efecto, si para un poliedro convexo: C es su número de cairas, V es el número de vértices y A el número de aristas, entonces se verifica que : ...(25.1)

C + V = A + 2

Para q>íe puedas comprobar la veracidad de este teorema te propongo el siguiente ejemplo utilizando para ello el hexaedro de la Fig. 25.3. Reconocemos quo el número de caras es seis y el número de sus vértices es ocho, luego: C = 6 y V = 8. Luego según el teorema de Euler debe cumplirse que: A = 12

A+ 2=6+8

Lo cual se puede comprobar, ya que en las base3 superior e inferior del sólido hay ocho aristas, más las cuatro verticales son en total doce.

Í.45UM4 DELAS»BE¡nHMSDEXOS.\NGUL(^ll\ DE TODAS I AS C KRAS DE UK POLIEDRO Sea un puliedro de "C”cuius, las cuales tienen /¿, nT n3, ...,nc lados, lueyu la suma de los ángulos de sus caras (5) estará dada por: S = 180 (n, - 2)+ loO (n2- 2) + 180 (n3- 2) + .... 180 (nc - 2)

S -- 180 [Oij + /ij

^3

^

" ( 2 ^ 2 + ..... + 2)]

Se sabe que : n, + n2 + n ....+ nc = 2A y reconociendo que las veces que se repite el número 2 es C, tendremos : 5 = 180 [ 2A - 2C] = 180.2 (A -C) S = 360 VA - C)

Puesto que-

C+ V = A + 2 =>

De donde :

...(25.2)

V -2 = A

C

S = 360 (V - 2)

... (25.3)

Poliedros Regulares

Luis Ubalde C

879

5.5 POLIEDROS CUTA¿> CARAS TODAS TIL iVEN l^H A I , n ú m e r o d e l a d o s , r E N CADA v é r t i c e CONCURREN U N NÚMERO IGUAL DE ARISTAS No existen más que cinco poliedros convexos caracterizados por que todas sus caras son de n lados y además por que en cada vértice hay m aristas. En efecto, cada arista pertenece a dos caras y une a dos vértices, así pues : El duplo del número de aristas = 2A = n C = mV Por otro lado:

C+ V = A + 2

(Teorema de Eulcr)

_ nC nC „ C+ — = -j- + 2

Luego :

En oonde al despejar C :

C=

4m -------- r--------

¿ yni + n j — m n

... (25.4)

(Ecuación Diofániica)

25 .6 POLIEDRAS REGULARES Se llama poliedro regulara1poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruen tes, comprobándose que en cada vértice concurren un número igual de aristas. En todo poliedro regular sus ángulos diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros. Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir a esferas concéntricas, siendo el centro de estas esferas el centro del poliedro regular. Bajo el análisis realizado en el item anterior podemos afirmar que: Sólo existen cinco poliedros regulares convexos A) E L TETRAED RO REGU LA R

Limitado por cuatro triángulos equiláteros unidos de tres en tres. En un tetraedro regular su altura AG cae en el centro de su base, o sea en el baricentro indicado por el punto G. Si la longitud de su lado es "a", entonces se cumplirá que : -

ALTL 'RA

=h

=

-

APOTEMA

= OH =

- AREA TOIAL = a2J 3 -

VOLUMEN

=

n3 í?

C = 4 , V = 4 ,

4 = 6


880

B)

Ernesto QuIspeR

EL HEXAEDRO REGULAR O CUBO

Limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. - APOTEMA

= OH = al2

- DIAGONAL

=

D = a j3

6 o2

- AREA TOTAL =

= a3

- VOLUMEN C=

6 , V= 8 A = 12

O

EL OCTAEDRO REGULAR

Limitado por ocho triángulos equiláteros unidos de cuatro en cuatro (fig. 25.6) - APOTEMA

= OH =

- DIAGONAL

= D = a j2

o

- AREA TOTAL = 2a2,/3 - VOLUMEN = C = 8 ,V =

6

A = 12

D)

EL DODECAEDRO REGULAR

Limitado por doce pentágonos regulares unidos de tres en tres (Fig. 25.7). ■APOTEMA

=

OH

->y?£4 TOTAL =

15o 5a'

- VOLUMEN

a / *25 i-1U/5 2V

10

5 + 2J 5 U5 10

/47 + 2I

V

C = 12 , V = 20 A = 30

r

Fig. 25.7

Poliedros Regulares

Luis Ubaido C

881

E ) E L IC O S A E D R O R E G U L A R

Limitado por veinte triángulos equiláteros unidos de cinco en cinco. = OH= f j ? + ^

-APOTEMA AREA TOTAL - VOLUMEN

= 5a 2J 3 =

C = 20

,

V = 12

A = 30

25.7 POí JEDROS CONJUGADOS Se llaman poliedros conjugados a aquellos en que el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro y viceversa Según el Teorema de Euler deben tener el miomo número de aristas. Son poliedros conjugados: El octaedro y hexaedro, el icosaedro y el dodecaedro; el tetraedro es conjugado por sí mismo. Los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero.

25.» PROPIEDADES IR A

PR O P IE D A D

En todo poliedro convexo el menor número de aristas que concurren en cada vértice es tres. 2 DA P R O P IE D A D

El tetraedro es el úni<_o poliedro duiide se puede inscribir, circunscribir y exinscribir esferas.

t I

882


Ernesto Quispe R

3 ra P R O P IED A D

En todo prisma de A aristas, C caras y Vvértices se cumple lo siguiente (Fig. 25.10a) : V=§ A

C = | + 2 4 TA P R O PIED A D

En toda pirámide de A aristas, C caras y V vértices se cumple {Fig. 25.10b) : V= C= y

+ 1

... (2 5 .5 )

5 TA P R O PIED A D

Si un poliedro está formado por k regiones poligonales de n lados y k t de nt lados, hasta krnde nmlados, iuego su número de arista A estará dado por: A =

.. (25.6 )

25 3 . DE&aROLjuO DE L^S SUPERFICIES L ITERALES DE LOS 5 PO IIEDROS REQUISARES CONVEXOS A ) TETRAEDRO REG U LA R

B ) H EXAED RO REG U LA R

a

T a CLPC ) O CT A ED RO R E G U L A R

E ) IC O SA E D R O R E G U L A R

i D ) D O D ECAEDRO REG U LA R

Poliedros Regidores

Luis Uboldo C.

883

1.- H a lla r la d ista n cia e ntre lo s b a ric e n tro s de d o s caras de un te trae dro re g u la r de 12m de arista.

Resolución.Tenemos las caras ABC y BCD para ubicar sus baricentros debe mos trazar sus medianas AP y DP. En estas medianas, ubicamos entonces los baricentros «M» y «N» cumpliéndose como sabemos, las relaciones siguientes : AM = 2 MP y DN = 2 PN Osea: Si MP = NP = a

=* AM = ON = 2a

, la i siguiente • ■ . proposicion ■ - : Ahora, observe que se cumple

AM = -jqp DN = y2

Lo que significa, que cumple el Teorema de Thales, entonces MN // AD Extraemos el triángulo APD para analizarlo mejor y deducimos que los triángulos MNP y APD son semejantes. Entonces planteamos una proporción :

~ x = 4m

2.- H a lla r la a ltu ra de un te trae dro re g u la r de a ris ta «a»

Resolu'ion.E1ángulo recto formado por la altura con la base nos propor ciona un triángulo en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Entonces en el Ex AOS :

h 2 = a 2 -O A 2

... (1)

Ahora calcularemos OA, siendo «O» el baricentro del trián gulo equilátero ABC’ a j3 oa = § ah = §

Reemplazando en (1) : h2 = o2 Luego

h2 = m

a j3

h2 =/G2 h =

aJU

a

3

884


Ernesto QuIspeR.

3.- C alcu la r e l á n g u lo d ie d ro fo rm a d o p o r d o s ca ra s de un te trae dro regular. R esolu ción.-

Sabemos que para medir un ángulo diedro, debemos tener dos perpendiculares levantadas de un punto de su ansta. Entonces hadamos las perpendiculares SH y AH a la arista BC del diedro lormc do por las caras ABC y SBC. Ahora, el ¿ngulo formado por estas dos perpendiculares es el que representa la medida del diedro pedido, osea «(>» Sabemos que es más sencillo, hallar un ángulo, cuando se halla en un triángulo rectánculo. Para esto trazamos la altura SO como muestra la figura. Entonces:

coso =

OH SH

1 1 Puesto que «O» es baricentro del AABC : OH = ^ y AH = — SH 1 SH Luego : eos <¡>=

V = A re e o s

SH

(*)

4.- Se tiene un te trae dro re g u la r S - A B C de 400rr? de área to ta l, se le c o rta c o n un p la n o que pasa p o r lo s p u n to s m e d io s de tre s a ris ta s laterales. H a lla r e l área to ta l d e l tro n c o form ado.

c

R esolu ción.-

Del gráfico podemos plantear: O) Calculemos estas áreas : ABC

=T S,te ,tra e d.(400) = 100 2 4 ro 4 m v

Luego :

■^PMN

Ahora :

ÇAM.’B = SABS


4 ^

abc

4

(1 °°)

2^m

5uk Mro = 100/T?2 -25 m2 = 75m 2 S,tro n c o = 100 m ¿ + 25m¿ + 3(75) v ' tronco

= 350m

Poliedros Regulares

Luis Uba!do C.

885

5.- C alcu la r e l área to ta l d e l te trae dro re g u la r de a ris ta «a»

Resoluclón.E1 tetraedro regular esta formado por cuatro triángulos 2 n¡ equiláteros de área igual a : —-— Entonces el área total del tetraedro reguiar será : ST= 4

a2J 3

ST = a 2J 3

6.- H allar e l área de la se cció n o rig in a d a p o r un p la n o de sim e tría que pasa p o r una de la s a rista s de un te trae dro re g u la r de a rista «a»

Resolucim.En el gráfico, AMS es la sección obtenida, puesto que divide al tetraedro en dos partes iguales Entonces : SAMS= ^

AM • h

c

Siendo «/j» la altura del tetraedro regular. L -8 0 :

Sm s = Í . | J 3 . ^ Í s AMS = a 2 7 2

7.- H allar la arista d el cu bo donde la distancia d el vértice a l centro de la cara opuesta es Í6 m.

Resolución.Sea «A» el vértice mencionado y BCDE la cara opuesta, para localizar el centro de esta cara se traza sus dos diagonales y donde se corten se halla este centro «O» Entonces : AO = J E Nótese que AB es perpendicular al cuadrado BCDE, enton ces también será perpendicular a BD En el Eix AOB (aplicamos el Teorema de Pitágoras) : (7 6 )2 = o 2 + BD*

Donde:

3o2 =12

6 a — 2jt,

C

o

2'v - na -

O-

f

886


Ernesto Qulspe R.

M S C € IÁ N € A 1.- Una p irá m id e tiene 42 aristas. C a lc u la rla sum a de la s m ed id a s de lo s á n g u lo s de to da s s u s caras.

Resoludón.Se sabe que si “S” representa la suma de las medidas de los ángulos de todas sus caras entonces: S = 360 (V - 2)

...(1)

Por condición del problema su número de aristas es 42, pero el número de aristas básicas es la mitad del número total de arista^ e igual a 42 = 21. Esto quiere decir que su base es un polígono de 21 vértices, entonces el número de vértices “V” de la pirámide sera: V = 21 + 1 = 22. Reemplazando en (1) :

5 = 360(22-2) S = 7*200

2.- La sum a de to d o s lo s á n g u lo s de la s caras de un p ris m a es 20,880. C a lcu la r s u n úm ero de aristas.

Resolución.Se conoce que :20880 = 360 (V -2) De donde :

V = 60

Puesto que también se sabe que el número de vértices de la base superior es igual al número de vértices de la base inferior e igual a :

De donde la base es un polígono de 30 lados, entonces su número de aristas A será: A

= 3(30)

A = 90

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

887

3.- C alcular e l n úm ero de a ris ta s de a q u e l p o lie d ro , c u y o n ú m e ro de caras es ig u a l a l núm ero de vértices, s i adem ás la sum a de lo s á n g u lo s de s u s caras es 2520°

Resoluclón.Se sabe que:

5 = 360 (V - 2)

Reemplazando:

2520 = 360 (V - 2)

Por el Teorema de Euler:

C+ V= A + 2

Donde:

9 + 9 = A +2

V= 9 y C= 9

A = 16

4.- C alcular e l volum en d e l p o lie d ro fo rm a do a l u n ir lo s p u n to s m e d io s de las a ris ta s de un tetraedro re g u la r de a ltu ra 2 j 6 .

Resolución.“E1 poliedro formado al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular es un octaedro regular”. Si su volumen es V y su arista “fc”, entonces : V=

- (1)

Por dato del problema la altura del tetraedro re gular de arista “a” mide 2 J 6 . Luego:

2^6 =

o = 6

En el A BAC : EG = b = ^ = 3 En (1):

V = 3372

\ = 9j2

5.- ¿Qué re la ció n e xiste e ntre la s áreas de d o s h exaedros re g u la re s s i se sabe que la a rista de u no es ig u a l a la d ia g o n a l d e l o tro ?

Resolución.SeanAj y A2 las áreas de dos hexaedros regulares de aristas Luego : Pero por dato del problema :

2

6o,

°L

6a.

U2 a,

2

o2 = o, -J3

y a2respectivamente.

888


Ernesto Qulspe R.

6.- E l n úm ero de caras m ás e l n ú m e ro de vé rtice s y m ás e l n ú m e ro de a ris ta s de un p o lie d ro co nve xo es 98. C a lcu la r e l n úm ero de ca ra s s i la sum a de la s ca ra s de to d o s su s á n g u lo s e s 7200. R esolu ción.-

Se sabe que:

5 = 360 (V - 2)

Reemplazando:

7200 = 360 (V - 2),

Además por Euler:

C + 22 = A + 2

Como:

donde : V = 22 =>

A = C + 20

C + V + A = 98

Reemplazando:

C + 22 + C + 20 = 98

Ahora:

2C = 56

C = 28

7.- Un p o lie d ro de 2 8 v é rtice s e sta fo rm a d o p o r 6 triá n g u lo s , 8 c u a d rilá te ro s y “ n ” pentágonos. C alcular “ n ". R esolu ción.-

POr el Teorema de Euler:

C+ V= A+ 2

Donde:

C = 8 + 6+ n=14 + n

Dato:

V = 28

, Luego:

6x3 + 8x4 + n.5 — = 25 + A= ------ ----

Reemplazando:

14 + n + 28 = 25 +

Simplificando:

15 =

+

5n

2

-n

n = 10

8.- C alcular e l área to ta l de un tetraedro regular, cu yo ce ntro d ista de una d e su s aristae J6 u. R esolu ción.-

E1centro “O” del tetraedro regular PABC es el punto donde concurren sus alturas. Para las caras BPC y BAC, Ey N son baricentros respectivamente. Luego:

PE = 2 EM = |

Ahora:

AN = 2 MN = | ( f ^ ) = f >/3

Por la semejanza de los triángulos PNMy PEO, se tiene :

qe- = ~a---2^3

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C

Puesto que : Luego :

OE =

889

PN = 6 73. 3 J 3 a-JE

EnelÈxONM:

qJ q

12

= ON

j = (Jê f o2 =

Nos piden el área total :

A, = a 2j 3 At = 48-73

9.- En un h exa ed ro re g u la r ABCDEFGH, la d ia g o n a l D F in te rs e c ta a l p la n o A C H en P, s i A B = J 3 ; c a lc u la r “ PD ".

Resol'irion.La ¡ntersecciónJ‘P’¿entre DF y el AACH se obtiene al intersectar OH y DF’. Por la semejanza de los trián gulos OPD y FPH, se tiene : x

PF

OD FH

x OD PF 20D De donde PF = 2x, ya que DF es diagonal del cubo se tiene : DF = AB -, ?

Puesto que :FH = 2 OD

Ahora:

3* = (>/3 ) (>/3 )

x = 1

Nota.- Del gráfico se deduce que la diagonal del cubo DF resulta ser perpendicular al plano del AABC. 10.-La sum a de la s m ed id a s de lo s á n g u lo s de to da s la s ca ra s de un p o lie d ro c o n v e x o es 3 60 0. S i e l n úm ero de a ris ta s excede en 3 a l d o b le d e l n úm ero de caras. C a lcu la r e l n úm ero de caras.

Resolución.Sean A el número de aristas y C el número de caras del poliedro. Luego de acuerdo al enunciado deí problema: A = 2C + 3

. ..

( 1)

Sea «S» la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras del poliedro

fc>90


Luego :

Ernesto QuispeR

5 = 360 (A - C)

Para el problema: 5 = 3600 Luego :

3600 = 360 (A - C)

Donde:

A-C =10

—(2)

Reemplazando (1) en (2) : 2C + 3 - C = 10

C = 7

11.- Un p o lie d ro co nve xo esta lim ita d o p o r «n» h exá g o n o s y «n» o ctó g o n o s, adem ás tiene «A» aristas. S i se d ism inuye en 2 hexágonos y 3 o c tó g o n o s se form a un nuevo p o lie d ro de B aristas. C alcu la r A - B

Resolución.En primer lugar, calculemos su número de aristas A : 6/1 + 8/1

A=

A = 7n ... (1)

Al disminuir en 2 hexágonos quedarán: y si disminuimos 3 octógonos quedaran: de donde su número de aristas será: B =

6(/i-2) + 8(/i-3)

>

n-2 n-3

B = 7/1 -18 ... (2) i

Finalmente restando (1) y (2):

A - B = 7n - (7/i - 18)

A -B = 18

12.- En un tetraedro re g u la r O A BC “ G ” es e l ce n tro de la cara ABC . Se p ro lo n g a GB hasta “ T” ta l que GB = BT. C a lcu la r la m edida d e l á n g u lo q ue fo rm a n O T y B C .

Resolución.Trazamos por “TVuna paralela a BC la cual corta en Ha la prolongación de AG, luego el 4- OTH es el ángulo buscado. Hacemos:

GN = o

Ahora :

=>

AG = 2a

BN = NC = a j 3 TH

En el Eix THG : =>

BN = -y- (base media) TH = 2a 4 3

La altura OG del tetraedro regular sera : OG =

I

(2a>/3)

76 = 2a j 2

30» A

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

OGH :

OH2 = (2o)2 + (2a 42 )2

En el Bi. THO :

TH = HO = 2a 4 3

En el

891

Oh = 2a 4 3 x =

45

13.- En un hexaedro re g u la r A BCDEFGH C alcu la r e l área de ha p ro y e c c ió n de d ic h o s ó lid o s o bre un p ia n c p e rp e n d ic u la r a la d ia g o n a l EA (A B = 46.).

Reaoluciun.De acuerdo a la nota del problema aritenorse«enc que t-A es perpendicular al A BGD, entonces se deduce que A BGD es paralela al plano Z ; luego las proyectantes BP y DT son congruentes. ""razamos BU y DU perpendiculares a CK. Ex BUC =

CUD

=>BU = UD = o

y

PK = KT = o.

Análogamente demostraremos que los otros la dos del hexágono refutar PQRSTK son iguales. Además : BD = PT = 46 . 42 = 2 4 3 En el A PKT : Luego:

P1 = a 43 2 4 3 = a 4 3 =>

o=2

Finalmente si/4xes el área del hexágono PQRSTK: = \ a 243 = | (2)243 A_ = 643 14.- C alcu la r e l área to ta l de un tetraedro regular, sa b ie n d o que e l ra d io de la esfera e x in s c rita m id e 2 4 6 .

Resoluclón.Del gráfico observamos que : B^ VLO ~ B^ VGM Puesto que : h = Donde :

MG =

276 MG

h + 24&

, MG = | MC = ^3 y VM = ¿73

VM 43 j

Problemaa de Geometria y cómo resolverlos

892

276

Luego:

0 f~n ~ 3 - + 276

Ernesto Quispp R.

0 V6

6 7 6 = ^3 + 2 7 6

§73

Luego el área total A del tetraedro regular sera:

=>

~

4 = ^ 3

o = 12

A = a273 = 12273 A =

144 ^3

15.- En un o ctae dro re g u la r A B C D tF s i la d is ta n c ia e n tre lo s p u n to s m e d io s de BE y AD es “ a ” . H a lla r su volum en. Resolución.-

En el

BAM :BM2 = x 2 + ^ r = ^ x 2 4

4

=>

En el AAED, equilátero : EM = y 73 En el A BME, por el Teorema de la Mediana :

( í 4 +( f 4 - 2¿2 + 4 r c

2

o

s?_ + 1: 4

2

4

3x

- $ r =2a*

= O2 => X =

Sea V el volumen del octaedro, luego : \3

V=

‘72

V = 8a* 76 27

16.- La a rista de un o cta e d ro re g u la r m id e “ a ". C a lc u la r la a ris ta d e l o ctae dro re g u la r in s c rito en e l h exaedro re g u la r que a s u vez e sta in s c rito en e l p rim e r o ctae dro regular.

Resoluclón.Primeramente calculamos la arista Gj G2 = y, del hexaedro regular inscrito en el octaedro dado.

y

A MON ~ A G,OG2 : Puesto que:

MN = ^ ¿ 2

Luego :

|7 2

MN y

og2

ON

og 2

ON 2 3

y=i »

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

"

893

Finalmente consideramos que sea O, Oz = x la arista del octaedro regular inscrito en el hexaedro. Enel Èx0,H02: .7 2

17.- C alcu la r e l área to ta l d e l p o lie d ro to rn a d o a l u n ir lo s p u n to s m ed io s de la s a ris ta s de un hexaedro re g u la r de a rista 2.

Resolución.E1 poliedro formado tiene 14 caras 8 de forma triangular como el A ABC de lado -J2 y 6 de forma cuadrada.

j

Como el □ ACDE de lado 72, luego su área total A será: A

=

g

( 7 2 ) . 7 3

+

^

A

=

4 J 3

+

12

A = 4(73+3)

±

18.- Dado un cu b o AB C D - E FCH, se p id e e n c o n tra r la m ínim a d is ta n cia e ntre la s recta s alabeadas A C y D F . (A ris ta = a)

Resolución.Trazamos por AC el plano AHC el cual es perpendicular a FD en P (ver problema 5). Luego PM J. AC es la mínima distancia pedida. En el

MDH :

Donde : MH2 =

MH2 = Z + a2

MH =

a 6

(f^ J

Luego : MP = x = ----av 6

6

B

894


Ernesto Qulspe R.

19.- P o r e l p u n to m ed io de la d ia g o n a l de un cu b o cu ya a ris ta m id e " a ” se ha trazado un pla no p e rp e n d icu la r a esta diagonal. C alcu la r e l área d e l p o/fgd ho que se o b tie n e en la se cció n de este p la n o con la s ca ra s d e l cuho.

Resolución.Como Mpertenece al plano mediatriz de FD, se tiene MD = MF DHM s fc. FGM (4,Qcaso) => HM = MG = y Análogamente demostraremos que los vértices del hexágono reguiar MNLKTJ son puntos medios.

Sea A el área del hexágono, luego: A = | MN2i/3 = | ( f >/2j V3

20.- ¿C uál es e l n ú m e ro de ca ra s que tiene e l s ó lid o que se fo rm a a l u n ir lo s p u n to s m edios de la s a ris ta s de un dodeca ed ro re g u la r? Re8oluclón.-

Del gráfico observamos que el poliedro determinado al unir los puntos medios de las aristas del dodecaedro regular posee 12 caras pentagonales y 20 triangulares. =>

C = 12+ 20 =32 C = 32

21.- En un tetraedro 0 - A B C con un trie d ro trire c tá n g u lo O, so b re e l triá n g u lo re g u la r A B C se u bica e l p u n to S ta l que OS form a con la s a ris ta s OA, OB y OC á n g u lo s co n g ru e n te s; s i OH = J 6 . H a lla r OS. (H es la p ro y e c c ió n de S s o b re e l A OBC)

Resolución.-

—>

----

—>

___

—>

Trazamos SQ X OA , SL X OC y SP i OB Luego : =>

SQO =

SPO =

SQ = SP = SL

SLO

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

895

Al trazar SH J. A OBC Se ¿iene : SHP s ^ SHL

=>

HL = HP

De donde OH es bisectriz del 4- BOC Sea:

H P=a

=>

OH =ay¡2 = SP = SQ = SL

EnelÔ H S: x = J a 2 + { a j 2 )2 = a j 3 Puesto que : =>

OH = -JE = a j 2

a= x = 3

22.- t n un o ctae dro re g u la r de a rista " a " p o r e l p u n to m ed io de una ae s u s aristas, se traza un p ia n o p a ra le lo a una de s u s caras. H a lla r e l árep de la se c c ió n determ inada

Resolución.-

A

Sea el hexágono regular MNI1KQ, la sección producida al trazar por Mpunto medio de AB un plano paralelo al AAEL). Si su área es A. Luego :

J3

23. ■En un te trae dro O - ABC , la s a ris ta s o p u e sta s O A y B C a s í c o m o la s a ris ta s OB y A C so n o rto go n ales. D em ostra r que la s o tra s d o s a ris ta s o p u e sta s A B y OC tam bién con ortogonales.

Resolución.En la base ABC del tetraedro, trazamos las alturas AE BFyrp Luego BC es perpendicular al plano del AAOE ya que BC X OÁ y BC 1 AE Así mismo AC es perpendicular al A BOF pues AC J. RF y AC X OB La inteisecciór de los dos planos AOE y BOF : OH es perpendicular a BC y AC

896


Ernesto Qulspe R.

Luego OH es perpendicular al A ABC, por el Teorema de las Tres Perpendiculares. Si OH iA ABC y Como AB X CP

y

HP X AB => OP 1 A¿ AB X OP , entonces AB X AOPC:

AB X OC

24.- En que relació n se encuentran lo s volúm enes Je un te trae dro re g u la r y e l d e l p o lie d ro que se form a a l u n ir lo s p u n to s m e d io s de la s a ris ta s d e l te tra e d ro regular, re s p e c ti vam ente. Regoluctón.-

Sea el tetraedro regular O - ABC de arista, cuya longitud es «o». Luego su volumen : aV 2 VT =

12

- CD

Al unir los puntos medios de las aristas de este tetraedro se determina un poliedro regular de 6 vértices y 8 caras triangulares regulares es decir un octaedro regular cuya arista mide «o / 2» Luego su volumen V =

= (fj#

vo

24

a 3J 2 — = 12 oV 2 24

Dividiendo (1) y (2) :

(2)

■"K 1

= 2

= 2

25.- Un p o lie d ro de fn 2 - 6) vé rtice s esta fo rm a d o p o r n triá n g u lo s 2n c u a d rilá te ro s y 3n pentágonos. C alcu la r la sum a de la s m ed id a s de lo s á n g u lo s de to d a s s u s c a ra s

Reaplucíon-Segun el teorema de Euler: C + V = A + 2 => C = n + 2n + 3n = 6n

Donde : C: N°de cairas V: N° de vértices A:

N° de aristas

=> V = n2 - 6 3n +8n + 15n

=> A = -------- „ -------- =

Reemplazando en la fórmula anterior: 6n + n2 - 6 = 13/j + 2

13/7

Luis Ubaldo C. Factorizando :

De donde

Poliedros Regulares

897

n2 - 7n - 8 = 0

n= 8

Nos piden: la suma de las medidas de los ángulos de sus caras :

S = 360 (V - 2)

Como: V = n2-6 = 82-6 = 58

S = 20160

=>

S = 360 (58-2)

26.- En qué re la ció n se e ncu en tran lo s volúm enes de un te trae dro re g u la r y un o cta e d ro regular, s i la a ltura d e l p rim e ro m id e ig u a l a la a ris ta d e l segundo.

Resolución.E1volumen VTdel tetraedro reg

/fi Además su altura : h = ■■

El volumen VQdel octaedro regular es VQ

3

Puesto que : h 3 73

Finalmente dividiendo (2) y (3) : ’

= --------Vo h 3 J 2 3

~

VT V0

373 872

27.- En un hexaedro re g u la r ABC D ^ EFCH de a rista cuya lo n g itu d es «a», se traza OH p e rp e n d icu la r a la d ia g o n a l AG sie n d o «O» e l c e n tro de la cara AB C D . Se p id e c a lc u la r e l área de la re g ió n tria n g u la r OHD

Problemas de Geometría y cómo resolvei los

898

Ernesto QuispeR

Resolución.

En el cuadrado AB< !D : OA = OC = OD = y 72. La arista GC del cubo es perpendicular a la cara ABCD => GC sera perpendicular a BD y ya que BD es peipendicular a AC se concluye en que BD es perpendicular al plano del AACG y por consiguiente BD 1 OH Sea «o4» el área de la región triangular rectangular HOD Luego:

A =

OHA -

OH-OD

A =

OH-aV2

-

(O

ACG

De donde : OH =

aV6


28.- Se tiene un te trae dro re g u la r de a ris ta «a» s i s u p ro y e c c ió n s o b re un p la n o p e rp e n d i c u la r a una a rista d eterm ina una re g ió n de área « S » . H a lla re / vo lu m e n d e l tetraedro.

Resolución.Sea P el plano perpendicular a la arista AC del tetraedro regular OABC, ya que BH es perpendicular a AC, entonces será paralelo a Pyen consecuencia se proyectará en ver dadera magnitud, es decir: BH = PR = Análogamente la altura OG del tetraedro será: OG = QT =

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

Por dato del problema :

899

45

a 2 42

5=

~~

42

Sea «V» el volumen del tetraedro Luego :

V=

a 3 42

a(a2')42

12

12

\42 12

V=

aS

29.- S obre la s a ris ta s O A , O B y OC de un te trae dro O - A B C de volum en 72m3, se u b ica n lo s p u n to s P . O y R resp ectiva m e nte de m o d o que OP = A P , OQ = 3Q B y OR = 2RC. H a lla r e l volum en d e l te tra e d ro O - PQR.

Resolución.Sea «V» el volumen del tetraedro O - PQR Luego :

V = | A(APOQ) x RT... (1)

Por condición del problema de volumen, el tetraedro OABC es : 72 = ^ A(A OAbJ x CH ... (2) Dividiendo (1) y (2) se tiene : V_ _ A(APOQ) rt 72 - AfAOAJ) x CH " ^ Como los triángulos POQ y AOB A^POQ) a x 3b 3 a(AOÁB)' = 2 ^ 4 b = 8

Tiene en común el ángulo O : Por otro lado:

Eix OTR ~


OHC

=>

RT 2c 2 CH “ 3c _ 3 V 3 2 72 “ 8 X 3 V = 18/n3

30.- C a lcu la r e l volum en d e l te trae dro re g u la r in s c rito en o h o te trae dro re g u la r cuya a rista m 'de «a»

9C0

Pioblemas de Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R

Resoluclón.Sean Gj, G2, G3y G4los baricentros de las caras ABC, AOB, AOC y BOC del tetraedro regular OABC. Luego el poliedro G G, G3G, es el tetraedro regular inscrito en el OABC, para ello bastará demostrar que sus aristas son c )ngruentes. Eii el A ANB AG3 = 2 (G3N) y BG4 = 2 (G^N) =>G3G4 // AB Luego por la semejanza de los triángulos G3NG4y ANB a

Se tiene :

AN

a

3

G3 G4

OB OC a BC a Análogamente se demuestra que . GjG2 = -g - = ; G2G3 - -g- = y GjG3 = -g

Sea «V» el volumen pedido

V=

(f)12

a

2

V = a3 7? _

324

31.- C alcular e l area to ta l d e l p o lie d ro fo rm a do a l u n ir lo s p u n to s m ed io s de la s a ris ta de un o ctae dro re g u la r cuya a ris ta m id e «a»

Resol ución.Al unir los puntos medios de las aristas del octaedro regular ABCDEF, se determina el poliedro mostrado en la figura adjunta, el cual por cada vértice del octaedro tiene una cara cuadrangular regular y por cada cara del octaedro posee una cara triangular regular es decir el número de caras del poliedro es: C = 6 D + 8 A = 1 4 SeaA el área de dicho poliedro Luego:

- w

- W

í i

6o2 , o273

= ~4~

2

2

A = \ { 3+ 7 3 )

I

"W

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

9Ci

32.- En un te trae dro re g u la r S - ABC. se u b ica e l p u n to m ed io M de la a ltu ra SG . C a lcu la r la m 4- AOB. Reso lu ció n .

Sea «o» la longitud de la arista del tetraedro regular S - ABC Luego por Propiedad

SG =

a j6

SO = OG =

a j6

En el triángulo equilátero ABC : AH = Ya que G e* baricentro a

AG=§AH-f(f/3)

De donde

AG =

En el Èì, AGO :

a j3

j +

(OA)2 = OA =

j

= OB

En el AAOB ; Observamos que :

(AB)2 = (OA)2 + (OB)2

x =

90

33.- C alcu la r la d is ta n c ia d e l vé rtice O de un tetraedro re g u la r O - A B C a una cu erda MN de la c ircu n fe re n cia in s c rita en s u base, s i la a ltu ra de s u base m ide «a» y m M N = 60

Rebuiución.En el triángulo equilátero ABC: G es Encentro y C L -r -i A L .f Tiazamos la cuerda MN // BC, luego AG es per pendicular a MN. Por el Teorema de las Tres Perpendiculares como Ol í 1 AABC y GH ±MN => OH 1 MÑ, luego la distancia buscada es OH = x En el triángulo equilátero MGN : GH es altura, luego:

GH = ^ 7 3

=>

GH = f J 3 O

902

Problemas de Geometría y cómo resolverlos /

2 x2 = (GH)2 + (OG)2 =

Donde :

x2 = 3 o _ + 6a 36 9

Ahora:

27 o 2 36

l • 2

,

+

3 a + 24 a 36 36

,—\

a -J 6

W

En el Èx OGH :

Ernesto Qulspe R

2

34.- C alcular la lo n g itu d d e l ra d io de la e sfera c irc u n s c rita a un ic o s a e d ro re g u la r cu ya a rista m ide «3»

Resolución.El centro de la es.'era circunscrita al icosaedro regular es el centro del icosaedro regular que a su vez, viene a ser el punto medio «O» del segmento aC. que une los vértices opuestos A y C Al trazar AB, se tiene que AB _LBC En el fc, ABC :(AC)2 = (AB)2 + (BC)2

=*

4R 2 = (AB)2 + o2 ... (1)

En el pentágono regular AMBNE :

Luego en (1) :

AB= ^(75+1)

Propiedad

4R2 = |^ ( - /5 + l)

j

+ a2

4Z?2 = — (6 + 2^5) + a 2 4 R2 = ~~(6 + 2^5) + a 2 = 2 - (22 + 2^5)

16

lo

R= ^ 2 2 + 2 ^ 5

4

35.- C alcular la lo n g itu d d e l ra d io de la esfera in s c rita en u n o c ta e d ro regular, c u y o v o lu m en es num éricam ente ig u a l a s u área to ta l R esolu clón.-

Sea «o» la longitud de la arista del octaedro regular ABCDEF Luego su volnmen será :

V=

o3 72;

y su área A = 2a2¿3

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C

903

36.- En un te trae dro O - / BC, la sum a de las in v e rs a s de s u s a ltu ra s es 0 ,2 5 . C a lc u la r la lo n g itu d d e l ra d io de la esfera in s c rita en d ic h o tetraedro.

Resolucion.Sean las áreas de las caras ABC, OAB, OBCy OAC Aj ,A2, A3 yA4 respectivamente y sus alturas correspondientes /?, ,h 2 ,h 3 y h A y si «V» es el volumen del tetraedro, entonces : V = — A, /?, = \ a ¿ i 2 = - A;(/?3 = 3 3 «5 3 n J J a 3V 3V 3V 3V De donde . A, - ^ ,A2- ^ . ^ 3 VA 4 ~ hA El volumen V se puede descomponer como la suma de los volúmenes de los tetraedros : Q - ABC , Q - OAB , Q - OBC y Q - OAC Luego:

v = | A,r + | A2r + ^ A 3r + | A^r

Ahora :

V = ^ (A, + A2 + A3 + A4)

Donde : V =

3V [h }

3V 3V 3V ' h2 + h 3 + hA J

A<

3 Vr f 1 + 1 + 1 + 1 ] h] h 2 h 3 hq 3

904


Simplificando y despejado Para 2 l problema :

r

r

h¡

— +— + h¡

hs

Ernesto Quiste R.

tu

0,25 = — 4

r =4

37.- La sum a de la s d ista n cia s de lo s vé rtice s de un c u b o a u n p la n o e x te rio r a é l es 64m. H allar la d ista n cia d e l ce n tro d e l cu b o a l p la n o m encionado.

Resolución.Sea «O» el centro del cubo ABCD - EFGH, luego «O» es punto medio de sus diagonales AG , EC , BH y DF. En el trapecio AA,G,G :

a+S

x=

2

b+h

-(1 )

En el trapecio BBjHjH : x = "

... (2)

En el trapecio DD,FjF :

x =

—(3)

En el trapecio EE,C,C :

x=

... (4)

Sumando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se tiene: a + b + c + d + e + f+ g + h 4 x ---------------- --------------

Donde :

a+b+c+d+e+f+g+h x = -----------------------------

O

Para el problema:

Propiedad

a + b + c + d + e + f + g + h = 64

x = 8 38.- En un tetraedro regular, de a ris ta «a». C alcu la r e l ra d io de la esfera tangente a todas las a rista s d e l tetraedro.

Resolución.«E1centro (P) de la esfera tangente a las aristas coincide con el centro de la esfera circunscrita a dicho tetraedro» Sea x la longitud del radio de la esfera, las perpendiculares trazadas desde el centro P a las aristas son radios de la esfera y además bisecan a cada arista.

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

AQ = QO = a l 2

Luego se tendrá :

y

905

PQ = x

\2

En e!

R2 = x2 +

PQO :

(Propiedad)

R =

Puesto que :

Luego :

(I)

a j6

Despejando: 6a 16

£a _ = * 2

*2 = 2 a 16

=*

x =

39.- En un tetraedro O - A B C , el triedro O es trirectángulo; si OA = 1 , OB = 2 y OC = 3 . Hallar el radio de la esfera inscrita. E e sQiuclón.-

En primer lugar calculamos el volumen del tetraedro O - ABC : V(Q - ABC) = | Area (E^ AOB) x OC 1 f 1x2^ V(O-ABC) = j [ - J - ) x 3 =>

V(0 - ABC) = 1

El volumen del tetraedro O - ABC Es igual a la suma de los volúmenes de los tetraedros P - AOB , P - AOC , P - OBC y P - ABC Luego : De donde :

1 - I ( ^ ) , - f ¡ ( ^ ) r + | ( ^ ) r + | A r e a « ABC), r=

11 + 2 Area (A ABC)

Por Propiedad : [Area (A ABC)]2 =

...

( 1)

¡Area (A AOB)]2 + [.Area (A AOC)]2 + [Area (A BOC)]2

De donde :

[Area (A ABC)]2 = l2 + ^ 2 j

Area (A ABC) = —

- (2)

+= J“

906



_

11+ 2.T

Ernesto Quispe R.

6_

r —

18

40.- Dadas la s p ro ye ccio n e s o rto g o n a le s H , F y P d e un p o lie d ro . C alcu la r la sum a de la s m edidas de lo s á ng u lo s de todas su s caras. H

Id FP

Resolución.De acuerdo a las vistas horizontal (H), Fron tal (F) y de Perfil (P) Construimos el sólido mostrado, el cual po see una cantidad de vértices igual a V = 17 Nos piden la suma de las medidas de los ángulos de sus caras : 5 Luego :

5 = 360 (V - 2) 5 = 360(17 - 2) S = 5400

t

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C.

PROBL6M$5 PROPÜ6STO 1.- En un hexaedro regular ABCD - EFGH se pide calcular el área de la sección determinada por el plano que pasa por el vértice A y por los puntos medios de FG y GH si la arista del cubo mide 1. A) D)

iJT i

24

B) E)

7-/Í7

C)

8-/Í7

34

5.- Por un punto O tomado en el interior de la base ABC de un tetraedro S - ABC, se trazan paralelas OA’ , OB' y OC' a las aristas SA, SB y SC hasta encontrarse con las caras SBC, SCAySAB.

A) 4

2.- Hallar el área total del poliedro que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un octaedro regular de arista " a ” . A )í¿ ( 3 + V3)

B) a~(3 + J 3 )

C)a \ 3 - S )

D)

(3 - V3 )

E ) ^ ( 3 + V3)

B)2

3.- Calcular la relación entre los radios de las esferas inscrita, circunscrita y ex-inscrita a un tetraedro regular. A) 1 : 3 : 2

B) 1:2:4

D) 1:2 :4

E) 2: 3 :4

C )1:3:4

4.- Calcular el área de la proyección de un tetraedro regular de arista “ a” sobre un plano paralelo al segmento que une los puntos me dios de dos aristas alabeadas.

B) a 2S 3

E)

C)

a 2J 2

a 2J 2 a 2J 2

C )|

D )|

E)1

6.- Calcular el número de vértices del poliedro formado por 6 triángulos, 8 cuadriláteros y 10 pentágonos. A)30

B)32

C)28

D)26

E)24

7.- Un poliedro convexo está formado por 8 triángulos y
D)

-

„ , , OA' OB' , OC’ Ca,CU,ar: SA + SB + SC

9-JVÍ

A) o2

907

C)7

B)6

D)8

E)9

8.- Hallar el volumen de un tetraedro regular inscrito en un cubo de arista “ a” . A)

a 3J 3

D)-

B)

C) a 3J 3

E) 9

9.- Hallar la relación entre los volúmenes de un tetraedro regular y del poliedro formado al unir los centros de sus caras. A) 9

B) 12

C) 15

D)24

E)27

10.- Un cuadrado en el que se ha trazado la diagonal está enrrollado en forma de la super ficie lateral de un prisma cuadrangular regular, de esta forma la diagonal del cuadrado se ha convertido en una línea quebrada no plana.

908


Hallar los ángulos entre los segmentos de la mencionada quebrada.

A)V3

Ernesto Quispv R.

B)2^3

C )f

D)Vó E ) j 2

A) 60° B)75° C)90°

D)12U°C)150° 17.- Una esfera zs tangente a las aristas de un tetraedro cualquiera. Dos aristas opuestas 11.- Con una planche, metálica de forma trian miden 8 y 9 y otras dos aristas opuestas mi gular regular y de área 9V3, se construye un den 12 y x . Calcular *. tetraedro regular cuya altura mide: A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 A) y¡2 B)yf3 C)4A 18.- Se tiene un cubo cuya arista mide «a». D)-v5 H) 4f) Calcular la medida del radio de la esfera que pasa por un vértice del cubo y es tangente a 12.- Si el radio de la esfera inscrita en un las tres caras que concurren en el vértice octaedro regular mide “ a", hallar el área total opuesto. del octaedro regular. A) 12a 2-j3

B)6a2

C) a 2J 3

E) 12a2 13.- En un tetraedro regular el radio de la esfe ra circunscrita mide 36m. Hallar el radio de la esfera inscrita en dicho tetraedro regular. A) 10

B)12

C) 15

D)20

E)24

14.- En un octaedro regular la distancia de un vértice al baricentro de la car? opuesta mide “a”. Calcular el área total del octaedro. A ) a 2j 3

B)3c2v/3

D)4o2V3

E)2c2V3

C )^ ^

B )3-S

D)2-»/5 -1

E)4

D)f(3-V3)

B)|(V3-V2)

E)a(3-V3)

C )a{2-& )

19.- En una esfera las cuerdas AB y CD son perpendiculares en el punto P, la distancia del centro de la esfera al plano determinado por las cuerdas es 2 , Hallar el área del casquete esférico cuya base es la circunferencia circuns crita al triángulo ABC. S i: PA = 4 ;PB = 36 y PC = 6. A) 650 n D)

15.- En un dodecaedro regular dos de sus ca ras son los pentágonos ABCDE y CDPQR . Calcular AQ, si AB = sÍ5 -1 A )S + l

A )^

C)6 + 2V5

16.- La altura de un tetraedro regular mide -Jñ . Calcular el área total de su respectivo poliedro conjugado.

B) 600 n

C ) 550 n

500 71E) 450 n

20.- En un hexaedro regular ABCD - EFGH, se pide calcular el area de la región triangular MNH, si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente (AB = 2 - J 5 )

A)|
B) f ^

D ) |J 7

E )§

C) f ^

Poliedros Regulares

Luis Ubaldo C

21.- En un octaedro regular P-ABCD-Q sobre PQ se ubica un punto M tal que la suma de las distancias de M hacia las aristas que con curren en los extremos PQ es 16. Calcular el área total del octaedro. A) n - J ï

B) 16V5

D) 16^3

E) 12-^3

C) 32 V3

B>!

D ,§ JS

E ,fÄ

B)a 3j 2

D) û3/ 5

E) a3-/ ó

C )fV 2

D)

a j3

J a j3

A)V7

B)-/3

D) 1

E)l-yf5

C) -J 6

24.- En un octaedro regular, si al área de una de sus secciones diagonales se le multiplica por la suma de las longitudes, de todas sus diagonales, se obtiene el volumen del octaedro multiplicado por : A) 3

B)4

C)6

D)8

E)9

25.- Calcular la relación entre la longitud oe la arista y del radio de la esfera inscrita en un dodecaedro regular. A) j 5 0 - 2 2 j 5

B) 1

D )V n

E) -J25 -1 i

C)J5

26.- Los radios de las esferas inscrita y cir cunscrita a un tetraedro regular difieren en «a» Calcular el vol jmen del tetraedro regular.

r

B) E)

a j3

6

C)

a j3

a j3

12

28.- ¿En cuánto excede el número de diagona les de un dodecaedro regular a la suma de los números de diagonales de los poliedros regu lares restantes? A) 50

23.- Hallar el radio de la estera inscrita en un icosaedro regular cuya arista mide ï/4 2 -1 8 /5

C )a V 3

27.- En un hexaedro regular ABCD - EFGH . Calcular el radio de la esfera inscrita en el tetraedro E - BDG. Si AB =a A)

22.- En un tetraedro regular O - ABC, M es el punto medio de la altura OG . Calcular la míni ma distancia entre AM y BC (OA =a) A )a

A) a3

909

B)51

C)52

D)55

E)57

29.- Se tiene un tetraedro regular de área total S , se corta dicho tetraedro mediante un plano

que pasa por los puntos medios de 3 aristas laterales. Calcular el área total del tronco for mado. A )|S

B> I S

D )|s

E¡ s s

C) f s

4

30.- El área de la sección originada por un pla no de simetría que contiene a una de las aris tas de un tetraedro regular es A. Hallar el áiea total del tetraedro. A)Ay ¡6

B;2/.,f6

D) 4 A j t

E )^J6

C)3Aj6

31.- Los radios de las esferas insci íta y circuns crita a un etr\edro miden 2 y 7 . Calcular la distancia entre los centros de dichas esferas. A )j2

B) -J3

D)3

E)5

02^3


910

32.- El área de la proyección dz una cara cual quiera de un octaedro regular sobre un plano diagonal que contiene a uno de sus lados es A. Hallar el área del ortaedrn. A)8V3 A

B) 16-/3A

D)6yf3A

E)2V3 A

C)4V3A

B)28

C)30

D)32

E)36

34.- La suma de las inversas de las medidas de los radios de las esferas ex-inscritas a un tetraedro es k. Calcular la medida del radio de la esfera inscrita. A) k

B)

1

38.- En el dodecaedro regular mostrado se pide calcular la medida del ángulo que forman las rectas alabeadas y S 2 A) 18 B)30

33.- Un poliedro convexo esta formado por 6 cuadriláteros, 8 hexágonos y 4 octágonos. Calcular su número de vértices. A) 24

C)

D)

C)

36

D)54 E)72 39.- En el cubo ABCD A(8 , 0 ^ se ha traza do el plano CfDB y la reta DP, siendo P el punto medio de BBf. Calcular la medida del ángulo que forman DP y el plano CjDB f

E)A) Are eos

35.- Considerando el poliedro del problema anterior. ¿Cuántas diagonales se puede trazar en este? A) 400

Ernesto Qulspe R.

B)404 C)410

D)414

t—\

I V3

B) Are sen

D)30°

E;45°

E;420 t

36.- Dadas las proyecciones Horizontal, Fron tal y de Perfil de un poliedro, calcular su nú mero de vértices. A) 11 B) 12 Q 13 D) 14 E)15

H F

/

\ F P

37.- Dadas las proyecciones ortogonales ho rizontal (H); frontal (F) y de Perfil (P) de un poliedro. Calcular su número de caras. A) 14 B) 13 C) 12 D)ll E)10

C) Arc CO: { 40.- Se da un tetraedro S - ABC donde AC = BC y m¿C C = 90, las aristas laterales forman con el plano de la base ángulos de 45°. En el triángulo SAB se traza la mediana AM; cal cular la medida del ángulo que forman AM y la cara SBC. A) Are sen

B) Are se H F

/ ___" j F'P

/

C)60°

J3Ô )

15

J Js) D)Arccosj

E)90

Se llama superficie prismática a aquella superfi cie generada por una recta que se desplaza paralela mente a sí misma, apoyándose en una poligonal pla na, cerrada y convexa. En la Fig. 26.1 la recta AA' al desplazarse paraie'amente sigue un recorrido que consiste en tocar per manentemente el borde del polígono plano ABCD, generándose de este modo la superficie prismática. La recta AA' se llama generatriz y al po.ígono que sir ve de base para el recorrido se denomina directriz.

PRISMA OEJ INlCiÓN. Llamaremos prisma, al sólido limitado por la su perficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y secantes a dicha superficie. {Fig. 26.2). Las generatrices aue pasan por los vértices del plano directriz se llaman aristas. El conjunto de generatrices que pasan por los puntos de un mismo lado de la generatriz forman una cara. Los polígonos paralelos y congruentes ABCDE y A'B'C'D'E' se llaman bases y las distancias entre ellas aristas básicas o altura del prisma (si es recto). Las caras restantes se denominan caras laterales. OBSERVACIONES.-

Fig. 26.2

1) Un prisma es recto si sus aristas laterales son perpendiculares a sus bases; en caso contra rio será oblicuo.

2) Un prisma recto es regular si sus bases son polígonos regulares. 3) Un prisma se denomina según el polígono que tenga como base, siendo el menor el vrisma triangular.

912


Ernesto Quispe P.

26.3 ÁRELa r VOLUMEN DE UN PRISMA

■

A) PRISMA RECTO

En el prisma recto las caras laterales son rectán gulos tal como se indica en la Fig. 26.3 AREA LATERAL ML).- Es igual al perímetro de la base

por la arista. AL —( m + n + l ' ) a

...( 2 6 .1 )

AREA TOTAL 04T).- Es igual al área lateral más la suma

de las áreas de las bases. (BASL,

. (26 .2)

VOLUMEN (V0-- Es igual al área de la base por la arista.

V = ^(BASE)-a

~ < 26-3>

B) PRISMA OBLICUO

En el prisma oblicuo las caras laterales son rom boides o rombos. Sección Recta (S.R ) Es la sección determinada por un plano perpendicular a las aristas laterales del prisma como, el A MNL de la Fig. 26.4 en donde to dos los lados de dicho triángulo son perpendiculares a las aristas del prisma.

En el prisma oblicuo la altura y la arista lateral no son iguales. ÁREA LATERAL (A}).- Es igual al perímetro de la sec

ción recta por la arista. Al = (m + n + Q a

...( 2 6 4 )

AREA TOTAL 04t ).- Es igual al área lateral más la suma de las áreas de sus bases. Ar = A L + 2/1iBASE)

... (26 .5)

VOLUMEN (VQ.- Es igual al área de la sección recta por su arista o el área de la base por su altura. V = A (SR) a = A ^^^h

... (26.6)

Sólidos Poliédricos

Luis Ubalde C.

913

26.4 PARALELEPÍPEDO Se llama paralelepípedo al prisma cuyas caras todas son paralelogramos. En todo paralelepípedo sus caras opuestas son congruentes, sus ángulos poliedros opuestos también son congruentes y sus cuatro diagonales se bisecan mutuamente.

Fia. 26.5

m A ) P A R A L E L E P ÍP E D O R E C T O

El paralelepípedo cuyas aristas laterales son per pendiculares a los planos de las bases, se llama paralelepípedo recto (Fig. 26.6 ), y cuando no son per pendiculares se llama oblicuo {Fig. 26.7). En todo paralelepípedo recto las caras laterales son rectán gulos.

Fig. 26.6

B) RO M BO ED RO

Este paralelepípedo se caracteriza por tener to das sus caras en forma de rombos.

C ) CUBO O H EXA ED RO R EG U LA R

Es el paralelepípedo mas conocido y cuya prin cipal característica es el de tener todas sus caras igua les y con la forma de cuadrados. ■

¿EL..... .... ■ Fig. 26.8

D)

P A R A L E L E P ÍP E D O R E C T A N G U LA R , O R T O E D R O O R E C T O E D R O

Es el paralelepípedo recto cuyas caras todas son rectángulos. Las tres aristas a , b y c que concurren en un vértice se llaman dimensiones del paralelepípedo. -AREA TOTAL (A,)

AT—2 (ab + be + ere) ... (26.7)

- DIAGONAL (D)

D = J a 2 + b2 + c2

- VOLUMEN (V)

V = abe

... (26.8) ...(26.9)

914


Ernesto Qulspe H

26.5 SUPERFICIE PIRAMJUAE - PIRA ívflDE Se llama superficie piramiaal, a la superficie ge nerada por una recta llamada generatriz, que pisando por un punto fijo llamado vértice, se desplaza apoyán dose en una línea poligonal plana llamada directriz Se llama pirámide al sólido determinado al intersectar mediante un plano secante una superficie piramidal (fig. 26.10). La sección determinada se llama base de la pirámide (ABCDZ), y el punto O, vér tice. La distancia del vértice o cúspide a la base ( OH) se llama altura. La denominación de una pirámide va de acuerdo al polígono que tenga como base, sien do la menor de todas la pirámide triangular. El volu men de toda pirámide es igual a la tercera parte del área de su base por su altura.

26 6 PíRÁMIDF R EG líiA F Una pirámide es regular, si su base es un polígono regular, y sus aristas laterales son congruentes. En la Fig. 26.11 , ia pirámide es cuadrangular regular; su altura OG cae en el centro de_la base, y la distancia del vértice O de la pirámide a cualquiera de sus aristas básicas ( OT) se llama apotema de la pirámide. /) AREA LATERAL 04L) .- Es igual a> semiperimetro de la base por el apotema.

...(26.10) 2j AREA TOTAL (AT).- Es igual al área lateial más el área

de la base. =

^’i^(BASE)

...(26.11)

3) VOLUMEN (V).- Es igual a un tercio del área de la

base por la altura. V= 1

...(26.12)

Fig. 26.11

26.7 PIRÁMIDES SEMEJANTES Al trazar un plano secante a la superficie lateral de una pirámide y paralela a su base la sección determinada (sección transversal) será la base de una nueva pirámide semejante a la pirámide original. En la figura las pirámides O-ABC y O-MNL son semejantes ya que la sección transversal MNL es ppralela a la base ABC, luego se cumple las siguientes relaciones :

Lu/iuuu/uuo. OM UA

_

¿onaos rouearicos

ON O B

_

O L

_

OG

O C

O H

A ( q - minl) _ O M 2 _ }

V (Q - M N L ) }

v

(o -

_

abc)

O M 3 OA 3

_ OG2 ........

OA2

A ( 0 _a b c )

bio

_

OH2

_ ............

O G^ O H 3

Fig. 26.12

26.8 PROPIEDADES I ra PROPIEDAD

En un paralelepípedo rectángulo, si las áreas de tres caras diferentes son A]t A2 y í43, luego el volumen V del paralelepípedo será: V = JAiA 2 A3

...(26.13) Fig. 26.13

2“ PROPIEDAD

El plano que pasa por dos aristas diagonalmente opuestas <1 e un paralelepípedo divide al sólido en dos prismas triangulares equivalentes, es decir con respec to al paralelepípedo ABCD-A'B'C'D’el volumen del pris ma triangular ABC-A'B'C' es igual al volumen del pris ma ADf -A’D'C. Fig. 26.14

3ra PROPIEDAD

El volumen de un prisma triangular (recto u obli cuo) es igual al área de una sus caras por la distanda entre dicha cara y la arista opuesta, es decir, el volu men V del prisma ABC-A'B C' es igual a : v = \ ^ eat„BBATCH

... (26.14) Fig. 26.15

tJi/iiiyj

_IIIWIW• SUI

»I

4“ PROPIEDAD

En un prisma oblicuo, si A es el área de la sec ción recta MNL y/ês el área de la base PQR y 0 es la medida del diedro que forman la base y la sección recta, entonces se cumple: A= A,cos 0

... (26.15)

K>5™ PROPIEDAD

El volumen V de un pribma oblicuo ABC-A’B'C’ cuya área de la sección recta MNP es A y sus aristas laterales son: AA' = a, BB' = b y CC' = c, es: v = i,(a ± |± c >

(26|6) Fig. 26.17

6™ PROPIEDAD

En la pirámide mostrada ,si las áreas de sus ca ras laterales son ¿4,, A2 y Ay Su volumen será : V=

... (26.17) Fig. 26.18


Luis Ubaldo C.

917

1.- En un recto e d ro de d im e n sio n e s a, b y c y de d ia g o n a l «d» se cu m p le q u e : a2 + f r + c2

es ig u a l a :

Resolución.Para aprovechar los ángulos rectos del rectoed.p, formemos un triángulo trazando AC Ahora en el triángulo rectángulo ACD. aplicando el Teorema de Pitágoras. Tenemos:

d 2 = AC2 + c2

...(1)

También en el triángulo rectángulo ABC Apliquemos el Teorema de Pitágoras Entonces :

AC2 = a 2 + b 2 ... (2) V = 800 m 3

Reemplazando la expresión (2) en (1) :

A c r z c f& t 2.- H allar la a ris ta b á sica de un p rism a tria n g u la r re g u la r de vo lum en ig u a l a : ^ J 3 + 3 J 3 m3 Sabiendo que e l á n g u lo fo rm a do p o r las d ia go na les de d o s caras que p arten d e l m ism o vértice es de 30B

Resolución Sabemos que :

B V = x2 ^ - . h 4

...

( 1)

Ahora como se conoce el volumen calculemos «/7 » y luego despejamos
D

BC.D (aplicando el Teorema de Puagoras) : BC = Vh2 + x 2

En el tiiángulo isósceles ABC, apliquemos la teoría de polígonos regulares y tendremos que : ÁC = l 12 Puesto que AC se opone a 30, entonces : x = R-J 2- 73 = BC -J2 --J3 Puesto que :

BC = v h + x 2

Donde despejando :

=>

x = 4h 2 + x 2 V 2-V3 h = x -J] + J 3

/o Sustituyendo en (1) : —-J 3 + 3^3 = x2 —— . x -JT + J3 .

________________

x = l m

918


Ernesto Quispe R.

3.- C alcular e l volum en d e l re c to e d ro cu ya s tre s d im e n s io n e s se hallan en p ro g re s ió n aritm ética, adem ássum an 18m y e l área to ta l d e l s ó lid o es 208m 2. Resolución. -

Debemos hallar las tres dimensiones del rectoedro, siendo: ancho = a , alto =

a

+r

,

largo =

a +

2r

a +r

Para esto planteamos las siguientes ecuaciones : a + (a + r) + (a + 2 r) = 18 Además:

=$

a + r = 6 ... ( 1 )

STOTAL= 2pb .h + 2Sb

Reemplazando :

208 = (4a + 4r) (a + r) + 2(a) (a + 2r)

Donde :

208 = 4(a + r) 2 + 2 a [(a + r) + r]

Reemplazando (1) en esta expresión : 208 = 4(6) 2 + 2(6 - r) Reemplazando en (1) : a + 2 =

6

=>

(6

+ r)

=>

r = 2m

o = 4 /7 ?

Como:

V = largo • ancho • alto

Reemplazamos :

V = (4 + 4) (4) (4 + 2)

V = 192 m 3

4.- H allar e l vo luinen de un p ris m a tria n g u la r c u y o s la d o s de la base m iden 4 , 5 y 6m y la a ltura ig u a l a l ra d io de la c irc u n fe re n c ia c irc u n s c rita a la base. Resolución.-

El volumen V = Sb - h ... (1) Dato:

4-5-6 =>Sb = —^ —

h=R

4-5-6 Reemplazando en (1): V= ^ h Luego :

4-5-6 V = —j — V

= 30m3 S

5 .-En e l tetraedro m o s tra d o , la s a ris ta s o p u e sta s A B y CD son o rto go n ales. C alcu la r BC

4


Luis Ubaldo C.

919

R esolu ctón .-

Para aprovechar que AB y CS son ortogonales, se traza un plano que pasando por CS sea perpendicular a AB. Entonces, se obtendrán cuatro triángulos rectángulos, en los cuales sea : OA = a , OB = b , OC = c

y

B

OS = d

Luego: a2 + d 2 = 42 ...(1)

d 2 + b 2 = 52

b 2 + c2 = x 2

...(2)

... (3)

a 2 + c2 = 32 ... (4)

También :

Ahora para relacionar estas igualdades,observese que de 2 en 2, se pueden agrupar las cuatro variables asignadas: Sumando (1) + (3):

a 2 + b 2 + c2 + d 2 = 42 + x 2

Sumando (20 + (4) :

cP + b 2 +
Luego se puede agrupar los segundos miembros :

=>

42 + x 2 = 32 + 52

x=3 lm 6.- H allar e l volum en de un te trae dro re g u la r en fu n c ió n de s u s aristas.

Resolución.E1volumen : Calculamos :

J 3 (A ABC es equilátero)

5b =

a 2 = h2 + OC2 ... (a)

En el ■X SOC (Pitágoras) : En el k , C.VA (30 y 60): Luego :

CO = —CM (Propiedad del Baricentro)

Entonces:

2

í

Í3

aj3 3

CU = — x ------- = --------

3

Reemplazando en (a) :

Luego.

CU = a j 3 ! 2

1

n2

2

a 2 = h¿ +

Oyfz

a j3

h =

a -J 2

V= 5Ü 1 12

920


Ernesto Qulspe R

M is c e iA N e a

1.- H allar e l volum en de u n p rism a o c to g o n a l re g u la r s i e l área de s u s ca ra s late ra le s es 50m y e l apotem a de s u s bases m id e 4m.

Resoluclón.Se sabe que el volumen “ Vx ’’ del octógono regular es : v„ -

(f-OH)“

De donde:

Vx = 4 . OH (ax)

Puesto que :

OH = 4 y a . x = 50

Reemplazando en (l) :

...(l)

Vx = 4 . 4 . 50 V = 800 m 3

2.- La base de un p aralelepípedo re c to es un ro m b o c u y a , ea e s Ig u a l a «S» la s áreas de las secciones d iagonales s o n ig u a le s a y S2 . H állese e l vo lum en d e l paralelepípedo. R e s p J u c lÓ Q .-

B

El área “S " de la base romboidal EFGH es : FH.EG

FH . EG = 25

Por condición del problema : FH n

Área (□ BDHF) = - j -

=>

También :Área (□ ACGE) =

EG.a 2

^

S,2 = E G .a ... (2)

Multiplicando (l) x (2) : S S = (FH . EG) a 2 Reemplazando :

5, .S 2 = 2S a 2

Sea V el volumen pedido, luego :

a= l

s \ S2

2S

V = S .a = S J

S 5] 5« 2 V= V

f■^1 S 2 2S


Luis Ubaldo C.

921

3.- C alcu la r e l volum en de un p ris m a o b lic u o s i la se c c ió n recta es un triá n g u lo c irc u n s c rito a un c írc u lo de 3m de ra d io y e l área la te ra l d e l s ó lid o e s 28m2 . R esolu ció n .-

Sea “ Vx ” el volumen pedido, luego : Vx = Área (A ABC) . a ...(1) Como : Área (A ABC) = p (A ABC) r

... (2)

Reemplazando (2) en (1) : Vx = p (A ABC) . r . a At

Puesto que : p (A ABC) . a = ~ Luego:

=14 y r = 3

Vx = 14 . 3 VX = 4 2 m 3

4.- E l área to ta l de un p a rale le pípe do re c ta n g u la r es de 478nj2, s u s 3 d im e n s io n e s están en p ro g re s ió n a ritm é tica sie n d o la sum a de e lla s ig u a l a 2 7 m . C a lcu la r s u volum en. R esolu ción .-

Ya que la suma de las tres dimensiones del paralelepípedo es 27m y forman una progresión aritmética de razón “r” estas se podrán expresar como : 9 -r , 9 y 9 + r Ya que el área total es 478 m 2 , se tiene : 2 . 9(9 + r) + 2 . 9 . (9 -r) + 2 . (9 -r) (y + r) = 478 Donde : 18 . 9 + 18r + 18 . 9 18r + 2(81 - r2) = 478 I

9+ r

162 + 162 + 162-2^ = 478 Ahora : Por consiguiente: Lueô el volumen “V” sera :

486 - 478 = 2r* =>

8

= 2T2

r2 = 4

=>

r= 2

V = (9 - r) (9) (9 + r)

=>

V = (7) (9) (11) V = 693 m 3

5.- Las d ia go na les de tre s caras d ife re n te s de un parale le pípe do re c ta n g u la r m id en J61 ■J74 y J 8 5 . C a lcu la r s u volum en.

922


Ernesto Qulspe R

Resolu ción -

Empleamos el Teorema de Pitágoras en los trián gulos rectángulos ABC ; ABP y PBC : a 2 + c2 = 61

... ( 1 )

b 2 + c2 = 74

... (2)

a 2 + b 2 = 85 ... (3)

Sumando (1) + (2) + (3) : 2{a2 + b 2 + c2) = 220 De

a 2 + b 2 + c2 = 110

Jonde :

Como:

a 2 + b 2 = 85

=>

c2 = 25 y

c=5

Como:

a 2 + c 2 = 61

=>

b 2 = 49

y

6

Como:

b 2 + c2 = 74

=*

a 2 = 36

y

a = 6

Luego el volumen “V” del paralelepípedo, será :

=7

V= 5.6 . 7 V = 2 10

6.- La base de un p rism a o b lic u o es un h e xá go no re g u la r de 5m de lado, s u s a ris ta s laterales m iden 10m y fo rm a n c o n la base un á n g u lo de 60s. C a lcu la r s u volum en.

Resolución.Sea “V” el volumen deJ prisma oblicuo. Luego :

V = Área ^base) x h

... (1)

Como la base es un hexágono de lado 5m, su área será : Área (base) =

En el

(5) 2 V3 = 75i/3 2 - ( 2)

AHB de 30° y 60°: h = ^ ^ 3 = 5^3

Sustituyendo (3) y (2) en (1) : V =

- 5^3

... (3) *

V = 5 6 2 ,5 m 7.- Una p.rá m id e re g u la r tria n g u la r ha s id o e n ria d a p o r u n p la n o que pasa p o r u n o de lo s vértices de la Dase y p o r lo s p u n to s m e d io s de d o s de s u s a ris ta s laterales. H a lla r la relación e ntre e l área la te ra l de la p irá m id e y e l área de s u base, s i se co n o c e que e i p la n o secante es p e rp e n d ic u la r a la cara lateral.

*


Luis Ubaldo C.

923

Resoluclón.E1 plano MAN es mediatriz del apotema VL de la pirámide V - ABC Luego :

AV = AL = ^ J 3

Además : En el

VB - VC = ^ ¿ 3 VL2 = VB2 - BL2

VLB :

VL = |, / 2

Ahora : De donde :

^ j | J 2 = -3-b^ -

Y Área (A ABC) = i4b = b 2 J 3 3b2j 2 V _ 3^ 2 ‘b " M

__ _________ 4 ______

Finalmente :

-4b

b2S

8.- O lad o de la base de u n a p irá m id e tria n g u la r re g u la r es ig u a l a 3 y una de la s a ltu ra s iguales m id e 2. C a lcu la r s u volum en.

Resolución.1

Sea “V” el volumen de la pirámide O - ABC, luego : V = ^ — 4 — ■OG O =* V = |^ 3 .0 G ...(1) En el triángulo equilátero ABC : AM = ^ J 3 =>

AG = | ( | ' / 3 ) = ^3 y GM = ^

EneltÂHM: HM \HM ~

OGM :

OG =

2V3 Jñ

_2

=M

'L 2 _ 7TTr¿ OG “ V3/2

... ( 2 )

2

924



V=

Ernesto Qulspe R.

. ^==-

V=

9.- H allar e l á n g u lo d ie d ro que fo rm a n d o s caras late ra le s a dyacentes de u n a p irá m id e re g u la r que tiene p o r base un cu a d ra d o c u y o la d o tiene una lo n g itu d que es e l d ob le de la a ltura de la pirám ide.

Resolución.Sea la altura de la pirámide VO = h Luego por dato del proDlema BC = 2h En el cuadrado ABCD : BO = OC = OD = h j 2 En el

VOC :

VC = J h 2 + ( h j 2) 2 = h j 3

Además :h . h j 2 = OL . h j 3 OL =

x = 12 0 10.- La base de una p irá m id e V - A B C es un triá n g u lo e q u ilá te ro ABC, la cara VCB e s un trián gu la isó sce le s p e rp e n d ic u la r a la base; la a ltu ra de a ich a p irá m id e m id e e l trip le de la a rista A B = 2 ; e l triá n g u lo AP Q esta en e l p la n o que fo rm r 60- co n la base ABC. C alcu la r e l volum en de la p irá m id e V - APCi (P e VB a Q e VC).

Resolución.En el triángulo equilátero ABC :

AL = |^ 3 = -J3

En el

HL = ^3 . ^3 = 3 y AH =

ALH de 30° y 60° :

Por dato del problema VL = 3 (AB) = 6 , de donde VH = HL = 3 En el AVBC : PQ es base media, entonces : Sea “V” el volumen de la pirámide V - APQ, Luego: V= | [Área (A VQP)] AL = | V=

I

PQ = b

= 1

6

Luis Ubaldo C.


925

11.- E l ce n tro de la esfera in s c rita en una p irá m id e cu a d ra n g u la r regular, c o in c id e co n e l ce n tro de la estera c irc u n s c rita a d ich a p irám ide . H a lla r la re la c ió n e n tre s u s rad io s.

Resolución.Sea “O” el centro de las esferas inscrita y cir cunscrita a la pirámide V-ABCI). OT = OG = r y OV = OB = R VTO =

OGB (4to caso)

VT = GB = a J 2 VTO ~ Èx VGS a

R a+a j2

r R

1

r_

1

+J2

12.- En una p irám ide tria n g u la r la sum a de 3 á ng u lo s p la n o s en cada uno de lo s vértices de la base es ig u a l a 180° H allar s u área to ta l s i lo s lad os de la base m iden 13, 14 y 15.

Resolución.En el plano de la base ABC de la pirámide O- ABC trizamos por B la recta PR de modo que : m 4 PBA = m 4- ABO = a

y PB = OB = BR

Luego : m 4 CBR = 3 (ya que a + 0 + 3 = 180°) Las prolongaciones de PA y RC se intersectan en Q. El A PBA = A ABQ (LAL)

=>

PA = AQ

El A QBC = A BCR (LAL)

=>

QC = CR

Análogamente deducimos que

P

AQ = PA = AO y QC = OC = CR Obsérvese que el área total de la pirámide O - ABCres igual al área de la región PQR la cual se calcula com o: STOTAL= 742.12.14.16 = 336 5 total =

i3 6

926


Ernesto Qulspe R.

13.- En una p irá m id e tria n g u la 1-ABC D, la m ínim a d is ta n c ia e n tre la s a ris ta s A B y CD es 6 -Í3 m y e l á n g u lo que fo rm a n m id e 60B. S i A B = 9m y CD = 12m , h a lla r e l vo lum en de la p irá m id e R e s o l u c i o n .-

Trazamos BE H CD de modo que BE = CD, luego : BCDE es un paralelogramo; además m 4- ABE = 60° y el plano ABE es paralelo a CD, luego la mínima distancia entre AB y CD sera la distancia DH (DH = 6^3). Del gráfico observamos que las pirámides A - BDE y A - BCD tienen bases iguales y altu ra común, luego tienen igual volumen “V”. De donde :

V = | Área (A ABE) . DH 1

1

V = .6 2 m 3 14.- Una p irá m id e irre g u la r e s co rta da p o r un p la n o p a ra le lo a s u base, s i e l área de la s e cció n determ inada p o r e l p la n o es la m ita d d e l área de la base de la p irá m id e . ¿En que relació n queda d iv id id a la a ltu ra de la p irá m id e ? R esolución.-

n

Sea el área de la base ABC “2A” , luego el área de la sección transversal EFG será ,4, ya que las pirá mides 0 - EFG v O - ABC son semejantes. Entonces

Efectuando:

A_

—= 2A U + yY 1

x

J2

x +y

x

1

y ~ V2-1

—= J2 + y

1

15.- En una p irá m id e re g u la r e l n úm ero de vé rtice s m as e l n úm ero de ca ra s m en os e l n úm ero de a rista s e s ig u a l a l n u m e ro de a ris ta s m e n o s e l n ú m e ro de caras. H allar e l volum en d e l s ó lid o s i todas, ia s a ris ta s s o n ¡cu a le s a -J6.

Luis Ubaldo C.


927

Resolución.Consideramos que sea "A" el número de aristas de la pirámide, luego el número de aristas A

básicas así como el número de aristas laterales sera — ; sea “V” el número de vértices y C el 2 numero de caras. A

Luego:

C= V= — + 1 2

Según el problema:

V + C -A = A - C

A , i . A , . , — +1 + — +1 - A = A

Donde:

2

A 2

2

Resolviendo:

A=

,

-1

6

Quiere decir que la pirámide es un tetraedro regu lar de arista -J6 , Luego su volumen “V” será : V=

(V6 ) 3 V2

6J E . J 2

12

12

V= V3 16.- En la p irá m id e S -A B C , la base A B C y la cara SBC s o n triá n g u lo s e q u ilá te ro s de 6m de la d o ; la a rista SA m ide 4m ; c a lc u la r s u volum en.

Resolución.Sea “V” el volumen de la pirámide S - ABC, luego : V = 3V3(SO) ... (1) En el Es, SMC de 30° y 60° : SM = 3^3 En el 6 ^ SNM :

MN = V(3^3 ) 2 - 2 2 = J 2 3

AMB de 30° y 60°: AM = 3^3 En el AAMS : (AM) (SO) = (AS) (MN) Donde :

(3V3 ) (SO) = 4^23 SO =


4V23 3 j3

V = 3 ^3 .

- (2)

4 j2 3

3^3

V = 4^23

928

Ernesto QuispeR.


17.- La base y e l d e sa rro llo de la s u p e rfic ie la te ra l de un p ris m a re c to s o n c u a d ra d o s; s i “a ” es la lo n g itu d d e l lad o d e l cu a d ra d o m ayor. H a lla r s u volum en. Resoluclón.-

Sea "x " la longitud del lado del cuadra do d< la base del prisma, luego al de sarrollar el prisma en el cuadrado ob tenido, se tiene:

o - - .X

4x = a

=>

x =

Luego el volumen V del prisma, será :

V= ( f J . a

V =

16

18.- Un p rism a tiene p o r base un re ctá n g u lo cu ya s d im e n s io n e s s o n 4 y 5m ; s u s a ris ta s laterales que tienen 6m están in c lin a d a s a 30g resp ecto a l p la n o de la base y se p ro yecta n s ig u ie n d o la d ire c c ió n de tos la d o s m en ores d e l re c tá n g u lo de la base. C alcu la r e l área de la re la ció n recta d e l p rism a. R esolu clón .-

Sea SFQR, la sección recta del prisma oblicuo y Luego : si el volumen del prisma oblicuo es V. Entonces :

V = i4x - 6

Puesto que :

V = Área (base) x h

Luego:

i4x.6 = 4 x 5 x h ^

En el

Ax = H h

"■^ '

CHC, de 30° y 60°: h = 3-J3

... (2)

Finalmente, sustituyendo (2) en (1) :

A

Ax = \0yl3 19.- En un re cip ie n te c ú b ic o que c o n tie n e 42m3 de agua se in tro d u c e un c u b o m acizo de ta l m anfí'a que e l agua se eleva hasta e nraza r e l n iv e l aef recipie nte. S i la a ris ta d e l cu bo m acizo es ig u a l a la m ita d de la a ris ta d e l recipie nte, h a lla r e l volum en d el recipiente.


Luis Ubaldo C.

92£

R esolu ció n .-

Sea “a” la longitud de la arista del recipiente y V su volumen, luego : V = a3 ... (*) También la arista del cubo mide ^ y su volua

¿

3

men es -g- . 3

Del gráfico:

a3 = -g- + VH^G =>

7 , g a 3 = 42

En consecuencia: a 3 = 48m3 V = 48 m 3 20.- C alcu la r e l área de la s u p e rfic ie la te ra l de una p irá m id e tria n g u la r re g u la r sa b ie n d o que en s u base se puede in s c rib ir una circ u n fe re n c ia de ra d io “ r ” y en s u s caras laterales c irc u n s c rib ir c ircu n fe re n cia s de ra d io “ R ” .

Resolución.En el

TMC de 30° y 60° : MC = r j 3 = BM

En el

O’MC, por pitágoris : (O’M) 2 = R 2 - (rV3 ) 2 = R 2 - 3 r2

De donde :

O’M = \¡R 2 - 3 r 2

Sea “i4” el área de la superficie lateral de la pirá mide, luego: 3 ( 2 r j3 )

A = 3 r j 3 ( J ^ - ü r 2 +R) 21.- En una vasija cuya fo rm a es la de un parale le pípe do re c tá n g u lo de 48cm de largo, 8cm de a nch o y 15cm de a ltu ra se vierten 5 litro s de agua. ¿A q ué d is ta n c ia d e l b orde llega e l agua?


930

Ernesto Quispo R

R esolu ción .-

La masa de agua forma un paralelepípedo rectángulo de dimensiones : 48, 8 y 15 - x Luego :

5 x 103 c/773 = 48 x 8 (15- jr)

Donde •

5000 384 = 15- x

En consecuencia : 13,02 = 15 - x x = 1,9 8 cm 22.- E l área de un p aralelepípedo re c ta n g u la r cu ya s a ris ta s b á s ic a s m id en 4 y 3 e s 4 veces e l área de una de la s s u p e rfic ie s diagonales. C a lcu la r e l volum en d e l s ó lid o . R esolu ción .-

Por condición del problema : Como:

2 (/ jo + hb + ab)

o = 4;í) = 3 y d = ^32 +4 2 = 5

Se tiene:

2(7/1 + 12) = 4(20)

Donde:

14h + 24 = 80 14/7 = 56

Luego:

=* h = 4

Luego el volumen V del paralelepípedo sera :

V= 4 x 4 x 3

/.

V = 48

23.- Un p rism a o b lic u o tiene p o r s e c c ió n recta un tra p e c io re c ta n g u la r c u y a s b ase s m i den 2 y 6m, la a ltu ra m ide 3m, C a lcu la r la s u p e rfic ie to ta l s i s u a ris ta y a ltu ra m id en 6 ''y 4m respectivam ente.

Resoluclón.En el

AHB : AB = ^32 +4 2 = 5

Sea Aj el área total del prisma, luego : A¡. = (AB + BC + CD + AD) 6 + 2 A } Donde :AT = (5 +

6

+ 3 + 2) 6 + 2 A¡

Reduciendo: =* Ar = 96 + 2¿4, ...(1) Por otro lado se conoce que : •4 =

R) x 6

6


Luis Ubaldo C.

Ahora:

Ax= |

=*

Reemplazando (2) en (1) : AT = 96 + 36 = 132 m2

931

>1, = 18... (2) Ar = 132 m 2

24.- La base AB C D de una p irá m id e O - AB C D es un tra p e cio (A B / / C D ), e ste s ó lid o se p ro ye cta so b re un p la n o p e rp e n d ic u la r a A B , s i e l área de la p ro y e c c ió n de p irá m id e so bre e l p la n o es 2 0 n ? ; A B = 12 y CD = 6 . C a lcu la r e l volum en de la p irám ide. R esolu ción .-

Sea “M” el plano de proyección y el trián gulo A’O’D’ la proyección de área 20 m 2 . Luego : =*

(A'D'HO'G1) -------^------ = 20 /j . H = 40

...(1)

El volumen «V» de la pirámide sera : f 1 2 +6 ) V = ^ 2 J Ji - H

...( 2 )

Reemplazando (1) en (2) : V = 9(40) V = 36 0 rn3 25.- Un recipie nte lle n o de agua tiene la fo rm a de un p ris m a re c to cu a d ra n g u la r reg u la r; ta l que la a rista b ásica es la m ita d de la a ris ta lateral. D icho re c ip ie n te se in c lin a a apoyándose en una a rista básica. Sabiendo q ue e l volum en d e l líq u id o derram ado es J 3 14 d el volum en d e l re cip ie n te ( a : m edida d e l á n g u lo que form an la a ris ta b á s i ca y e l p la n o h orizontal). R esolu ción .-

E1volumen del recipiente es : VR= o2 (2o) = 2o-1 El volumen del líquido derramado es igual al del prisma ABC - A’B’C , es decir : .

( aM

/L= [^-Ja =

2a

a2 -2

Por dato del problema : VL =

J3

VR


932

° 26 2

_ _ 4

Ernesto Quisca R.

o_3

b = a j3 E n e lfc ^ A ’B’C ’ :

a = 60° 26.- P o r una a ris ta de la base de una p irá m id e re g u la r de base cuadrangular, se ha trazado un p la n o q ue dete rm ina en la ca ra o pu esta u n triá n g u lo cu ya re g ió n tiene a 2 u2 de área. C alcu la r e l área de la s u p e rfic ie la te ra l de la p irá m id e determ inada p o r e l p la n o trazado so b re la p rim e ra p irá m id e s i la s u p e rfic ie la te ra l de la p irá m id e entera tiene úrea de b 2 u2 . R eso lu clón .Trazamos el apotem a VH de la pirám ide, luego su á re a lateral se podrá exp resar com o: b2 = 21 (VH)

V

A MBN ~ A B V C ; lu e g o : a2

(VM)2

VM

a j2

/•VH

fvB) 2

VB

Jñ/H

2

Sea:

Área (A AVM) = Área (A DVN) = A, A

Luego; ^

VM VB

a J2

^/VH

2 De donde : A =

a j 2 /VH

a jb *

ab

El área lateral de la pirám ide V - AMND será :

A —a 2 + x

^

/

~

4

h2 4

A = a 2 + a b + -=-

*

2 7 .- la base de una p irá m id e re g u la r es un triá n g u lo e q u ilá te ro c irc u n s c rito a una c irc u n ferencia c u yo ra d io m ide 2 m. E l área la te ra l es e l d o b le d e l área de la base; c a lc u la r e l volum en d e l cu bo que tenga p o r d ia g o n a l la a ltu ra de la p irám ide . Resolución.

Sea V - ABC la pirámide triangular regular de apotema VH. En el A ABC, equilátero :

AO = 20H = 4

Luis Ubaldo C

Luego :

AH =


933

V

6

En el En. VOH : VO = \fa2 - 2 2 = V = a3

Sea el volumen del cubo de arista a : Como: V5 = a

=* a =

=*

V=

J =

V= 5 ^ Í 5 / 9

28.- C alcuiar la re la ció n de lo s volúm enes de lo s s ó lid o s d e te rm ina do s en una p irá m id e cu ad ra ng ula r re g u la r p o r un p la n o p e rp e n d ic u la r a su base y que pasa p o r lo s p u n to s m edios de d o s lados c o n tig u o s de esta base.

Resolución.Sea “V|” el volumen del sólido N - MCL y “V2” el volumen del sólido restante, así mismo “V” el volumen de la pirámide V - ABCD. Las pirámides V - DBC y N - MLC son semejantes

934


Ernesto Quiste R.

29.- Se co nside ra una p irá m id e cu a d ra n g u la r re g u la r O - ABCD. P o r D se traza un p la n o p e rp e n d icu la r a la a rista la te ra l OA . C alcu la r e l vo lum en d e l m e n o r de lo s s ó lid o s d eterm inados p o r e l p la n o so b re la p irám ide . R esolu ción .-

Sea “ Vx " el volumen de la pirámide H - ABD de altura IT1

V* = 3 HT

... ( 1)

Por Eudides en el A AOD: (5) 2 = (VÍO ) 2 + 52 - 2 . 5 . AH => AH = 1 OQ = y¡52 - { j 5 )2

OQ = y /25-5 = 2V5

HT

HT = 2V5

En el Bis. OQD : fcÂTH-fc, AQO:

1

2yÍ5


Vx = ^

... (2)

V_ =

30.- L a s a ris ta s de u n a p ir á m id e tr ia n g u la r O - A B C m id e n : OA = A B = A C = 1 5 , OB = OC = J198 y B C = 2-J29 . C a lcu la r s u volum en.

Resoludón.EnelfcÔMC: OM2 = (VÍ98)2- (V29)2 En el

OM = 13

O

AMB : AM2 = (15)2 - (V29 ) 2

En el AAOM, por Euclides : (15)2 = (13)2 + (14)2 - 2 (14) . HM De donde:

OH = 12

Sea “Vx” el volumen de la pirámide, luego : Vx = ^ Area (A ABC) - OH , . 1 (2V29)(14) Reemplazando : V = ó ------------- 12 2

V = 56V29

Luis Ubaldo C.


935

31.- La base ae una p irá m id e es un cu ad ra do de 8m de lado, s u a ltu ra 15m ¿A c u a n to s m etros de la base pasará un p la n o p a ra le lo a ella, para que e l volum en d e l p ris m a re cto que tenga p o r base la se cció n y p o r a ltu ra la d is ta n c ia a l vértice, sea lo s 3/8 d e l volum en de la pirám ide. R esolu ción .

Sea “V” el volumen del prisma mencionado, luego : Como el volumen de la pirámide V - ABCD es : Luego : a2 (15 -x) = =>

g

V = a 2 . (15 - x)

^ (8 ) 2 .15 = 320

(320)

o2(15-x) =

1 2 0 ...

(1 )

Las pirámides V - MNLF y V - ABCD son semejantes, luego: 15-x 15

o 8

~

a = - ¡ |( 5-x)

...( 2 )

Reemplazando (2) en (1) : A j (15 -x ) 2 (15 -x) = 120

15

Donde : W . # . f

- £

Por comparación :

. ( f j

15 -x =

15

x = 7,5

32.- En un recto e d ro A B C D - A 1B 1CJD 1 la d ia g o n a l A C 1 form a á n g u lo s con AD , AA1 y A B de m edidas a , p y 6 respectivam ente. C a lc u la r: eos2a + eos2P + e o s 2©

Resoludón.En el

ADCj :

En el

AA,C, : eos fi = ~j 2

n

eos a =

_

COS P = ^ 2 “

■r


936

En el E¡^ ABCj : eos 0 =

eos2 0 =

d

Ernesto Quispe R.

... (3) 2

, 2

2

Sumando las expresiones (1) (2) y (3): eos2 a + eos2 (3 + eos2 0 = ° + ^2 +C = ° 2

2

, 2

2

, 2

2

C

a +b +c

eos" a + eos2 f) + eos20 = 1 33.- La a ltura de una p irá m id e re g u la r h e xa g o n a l m id e 12, las a ris ta s laterale s e stán in c li nadas 60a co n resp ecto a l p la n o de la base. C a lcu la r e l área de la s u p e rfic ie la te ra l d el sólido

EssahlÚÚn.-

Sea VH el apotema de la pirámide regular y «a» la long.tud de su arista básica, luego el área lateral: í4l sera: V í4l =

En el

3o. VH ...(1) VOA de 30° y 60°:

OA = -Jl = 4^3 =>

VA = 8V3

En el triángulo equilátero AOB : OH = 2-^3 - V3 En el =>

= 6

VOH : VH = ^62 +122 VH = 6V5


j4l = 3(4-73) (6-J5 ) A l = 72 Vi 5

34.- Sobre las a ris ta s OA , O B y OC de una p irá m id e tria n g u la r O - A B C de volum en « V» OA se c o n s id e ra n lo s p u n to s P, O y R re s p e c tiv a m e n te de ta l m a n e ra q u e C P = , OB OC BQ = - j - y CR = —j~ . H a lla r e l vo lum en de la p irá m id e O - FQR.


Lui? Ubaido C.

937

Resoiución.Sea

el volumen pedido, luego :

En el A AHO, por base media :

i Vvx = “ ^3 Área (A OQR) x PQ AH PQ =

~

... (1) O

2~

En el A BOC :

Areo(AOQR) Area{ ABOC)

26x3c 1 3£>x4c2

De donde :

Area (A OQR) =

En (1) :

i Ti4rea(ABOC) Vx = 3 L---------2---------

Entonces :

V = { î4rea(ABOC)x AH^

Puesto que :

V = | Área (A BOC) x AH

Finalmente :

V V* = 4

Areo(ABOC) AH 2

=> | Área (A BOC) = ^

35.- En un p rism a tria n g u la r re g u la r de volum en ^ -J3(1 + J 3 ) e l á n g u lo fo rm a do p o r las diagonales de d o s caras laterales que p arten de un m is m o vé rtice (s u p e rio r) m ide 30e. H a lla r la m edida de la a ris ta básica.

Resolución.El triángulo ACjB es el triángulo elemental del dodecágono regular.

i Reemplazando : h2 -

°2

h - 2^3

938

Problemas de Geotnetría y cómo resolverlos

Ernesto QuIspeR.

Por dato del problema; el volumen del prisma es : ^3(1 + -J3) = a 3 -J3 (j3 + 1)

Donde :

=>

+ -J3) = - ^ - x a -JJ3 + 1

a3 = 1

.•.

a

= 1

36.- C alcular e l vo lum en de u n re c to e d ro cu ya s d im e n s io n e s fo rm a n una p ro g re s ió n a rit m ética, s i e stas d im e n sio n e s sum a n 18m y e l área to ta l d e l s ó lid o es 208 m 2 .

Resoludón.Sean las dimensiones del rectoedro : o, a -r Luego:

y

a + r

a+ a-r + a + r=

18

o=6 Además:

208 =

Simplificando:

104 = a ( a - r + a + r) + a2 -r 2

2

[a(a-r) + a{a +r) + {a -r ) (o + r)] a

2

104 = 2a2 + a 2 - r1 = 3o2 - r1

Luego: =>

^ = 3a2- 104 = 3(6)2- 104

Luego las dimensiones serán:

=>

r= 2

a =6,a-r=4ya+r=8

Finalmente, su volumen V será:

V = 6 x 4 x 8 = 192 V= 192 mJ

37.- La base A B C de una p irá m id e V - A B C se e ncu en tra in s c rita en la base de una sem iesfera de ce n tro «O» su vé rtice V p ertenece a la s u p e rfic ie se m ie sfé rica y O es la p ro ye cció n de V so b re la base de la se m iesie rp , C a lc u la r e l vo lum en de la p irám ide, s i A B = 4m, BC = 5m y A C = 6m. V

RegQ'rrlán-Calculemos primeramente el áica del A ABC Por la fórmula de Herón : Área (A ABC) = A =

= ^^7

Luego calculemos el radio de la base semiesférica :

¿


Luis Ubaldo C. 4 x 6 x 5 _ 15 p; 4R ~ 4

R=

Sea “V’ el volumen de la pirámide, luego :

939

Jf

v - Í A'‘ R= Í { j S ¡)'‘ jT V = 10 m 3

38.- En la fig ura se representan dos vistas de una pieza m etálica que form a p a rte de una m a quinaria, h a lla r e l volum en de esta pieza.

R esolu clón .-

De acuerdo a las vistas indicadas construi mos la pieza metálica cuya forma es la de un prisma recto de base un octógono no con vexo ABCDEFGH y de altura : Sea V el volumen de la pieza Luego: V = ( l x 4 + 3 x l + l x 2 ) 4 V = 36 m 3

39.- C alcu la r e l volum en de una p irá m id e c u a d ra n g u la r re g u la r de apotem a «a» s i están in clin a d a s 609 re sp e cto a la base. R esolu ción .-

Sea “ i " la longitud de la arista básica pirámide V - ABCD y VH su altura. Luego

: V= |

/2

(VH)

...

En el Ex. VHIWde 30° y 60° : VH =

|J3 y^ f =


=>

(1)

940


V=I f^ " V= °2

'

6*

Ernesto Qulspe R.

* ^

40.- C alcu la r e l >lumen d e una p irá m id e c u a d ra n g u la r re g u la r c irc u n s c rita a una esfera de ra d io “ r ” s i s u s a ris ta s late ra le s están in c lin a d a s 45° re s p e c to a la base.

Re»oluctón.Sea la arista básica de la pirámide : BC = 2a Luego:

BH = a j 2

V

En el ^ VHB de 45°: VH = HB = a j 2 En el

VHM : (VM) 2 = ( a j 2 )2 + a 2

=> th, OTV -

VM = a j 3 VHM : L = VO a a j3

=>

VO = r j 3

Luego el volumen “V” de la pirámide será:

V = ^ (4 a 2) .{r + r j 3 )

En consecuencia:

v = 3 :[£fc5 taJ''(1 + ’/S)

Simplificando:

V = ! r3 (1 + ^3 ) 3 V=

| r * ( 5 + 3V3)

41.- H a lla r e l vo lu m e n d e la p irá m id e V-ABC sa b ie n d o q u e la s c a ra s la te ra le s e stá n in c lin a d o s 37° c o n re s p e c to la b ase tria n g u la r AB C , a dem ás A B = 13 m, BC = 15 m y CA = 14 m.


Luis Ubaldo C.

941

Resoluclón.AABC : H —» incentro Calculando el área del AABC tenemos : S = 721(21-15X21 -14X21-13) S = 721.6.7.8 = 84

También =>

S = p.r S = 84 = 21 (r) r = 4m

Luego el volumen de la pirámide será : v = 1.-84 3 =

84

m3

V = 84 m 3 42.- S i e l área la te ra l de una p irá m id e re g u la r h exa go na l es 120 m2. C a lc u la r e l área de la se cció n p la n a q ue se dete rm ina a l tra za r un p la n o secante a la p irá m id e e l c u a l pasa nd o p o r e l ce n tro de la base es p a ra le lo a una de la s ca ra s laterales.

Resolución.Por dato

Aat 1 20

^base ’ ^^lat = 6 a . 2/7

ah =

10

Sabemos que la sección determinada es un trapecio entonces : s _ Í!L M < l> „ ,5 ah Reemplazando : S = | (10) S = 25 m 2

942


Ernesto Qulspe R.

PROGL€h&S PROPUESTOS

1 .- E l d e s a r r o l l o d e

la s u p e r fic ie

la te ra l d e u n

A ) 8

B ) 6

C ) 5

D ) 4

E ) 3

te tra e d ro re g u la r e s u n p a r a le lo g ra m o . C a lc u la r

la

ra z ó n

d e

lo n g itu d e s

d e

lo s

la d o s

d e l

p a ra le lo g ra m o .

6. -

E n

u n p ris m a r e g u la r la a r is ta

ig u a l q u e

la a r is ta

b á s ic a m id e

la te ra l, a d e m á s

la s u m a d e

la s m e d id a s d e la s c a ra s d e u n o d e s u s trie d r o s

A)

7n

721

B)

7 1 5

e s 3 0 0 . C a lc u la r e l v o lu m e n

3

729

a r is ta la te ra l m id e 4 .

7 3 8

D )

A )

B )

1 2 8 7 3

D ) 9 6 7 3 C a lc u la r

te tra e d ro

la

ra z ó n

C )

1 4 4 7 3

p ris m a

e n

la c a ra

A B C

d e

la

S A , S B

o tra y

b a s e

S C

s o n

lo s

e l

p u n to s

re s p e c tiv a m e n te .

7 .-

S e

3 .e s

B ) 5 /3

E n

u n a

p irá m id e

V A , s e

A Ñ ±

V B

C ) 8 /3

D ) 4 /3

V -

A B C ,

tra z a n

A M

±

( N

V B )

; s i

e n

V C

E )

c u y a

(M

: B C

2

y A

h a c ia

1

h e x a g o n a l

u n a

u n a

a r is ta

lo n g itu d

la te ra l, s i s u ig u a l a

a r is ta

M N .

C )^ ^ d

d

B 3

V C ) y

3

672

2 7 2 D )

E )

V M N .

B ) 2

C ) 3

D ) 4

E n u n p ris m a re c to e n e -a n g u la r re g u la r c u

E ) 5 c a n

4 .- L a b a s e d e u n

d io e s

re c tá n g u lo m id e 2

A

m id e

p ris m a o b lic u o A B C

cm, l a 3 T ÍO

re c to

a r is ta

cm y

e n

e s u n

triá n

B , c u y o

in ra -

la te ra l c u y o e x tre m o s u

re s p e c tiv a

C A B

=

3 7 °. C a lc u la r e l á re a

D) 1175 cm2

E) 1775 cm2

h a c ía

B

d e

la

tie n e

c o n g ru e n te n ú m e ro

d e

u n

p ris m a

c o n la d o s

la d e

la

b á s ic a .

b a s e

a, s e

u b i

lo s e x tre m o s d e

la te ra l.

B )

a\ln2 - 1

E )

a 7 « 2 - 3

C )

a jn 2 + 1

ayln2 —2

C) 1575 cm2 tie n e

tu ra m id e

re g u la r c u y a

a r is ta

p o r la s u p e rfic ie

A ) a 7 / i 2 + 2

d o n d e S e

q u e s o n

s e c -

9 .- S e

5 .-

B

n o r re c o rrid o q u e s e d e b e re a liz a r p a ra ir d e A

D )

B) 975 eni2

y

u n a a r is ta la te ra l. C a lc u la r la lo n g itu d d e l m e

c ió r r e c ta d e l p ris m a .

A) 875 eni2

lo s p u n to s A

p ro y e c

c ió n e s A I ( I : e s in c e n tr o d e l triá n g u lo A B C )

m 4-

b á s ic a

«d».

y a s a r is ta s la te r a le s y b á s ic a s m id e n

g u lo

re g u la r

1 3 /3

8. A )

p irá m id e

b á s ic a . C a lc u la r la d is ta n c ia d e l p ie d e s u a ltu ra

C a lc u la r la ra z ó n d e v o lú m e n e s d e lo s s ó lid o s - A B C

u n a

a ltu ra

e n =

tie n e

e n la c u a l s u a r is ta la te r a l e s tre s v e c e s s u a r is ta

tie n e A ) 7 /3

E ) 4 8 7 3

u n

e l

v é r tic e s

A B C

d e

e n

m e d io s d e

-

v o lú m e n e s y

lo s

r e g u la r S

d e

c u a l u n a b a s e e s tá c o n te n id o

V

1 2 8 7 2

D )

2.-

y

d e l p ris m a , si su

C )

3

a ltu ra

C a lc u la r

d e l p ris m a ,

si

e s e l su

a r e a la te rp i y to ta l e s tá n e n la re la c ió n d e 3 a 2 .

u n

p ris m a

c u a d ra n g u la r c u y a

a l

1 2 , la b a s e e s u n c u a d rilá te ro A B C D

m 4-

B

m 4- D

=

c ia s

in s c rita s

s o n

ta n g e n te s

A M

=

m e n

d e l p ris m a .

3 , M N

e n J o s a =

A C 2

=

9 0 ; la s c ir c u n f e r e n

triá n g u lo s e n

y N C

“ M =

”

A B C y

“ N ”

y

A D C

ta l

q u e

1 . C a lc u la r e l v o lu


Luis 'Jbaiao C.

A) 144

B) 168

C) 192 D) 228

E)248

10.- En el romboedro ADCD - EFGH; mos trado se sabe que las áreas de las regiones AEGC, BDHF, ABFE y BCGF son A , A , A i y A4 respectivamente, luego la relarion correcta es-

943

de esta arista sobre la base mide 40. Calcular el área de la sección recia (aproximadamente) A) 424 B) 338 C) 249 D) 541

E) 296

13.- En un prisma triangular recto ABC-A’B’C’ se toman los [ untos M, N sobre las aris tas laterales A A ', BB' y CC' de modo que : AM = 2.MA’ y BN = PC’. Hallar el volumen del tronco de pnsma ABCMNP, si el volu men del prisma total es 9w?. A) lwi3 B) 2m3 C) 3m 3 D) 4m3 E) 5m3 14.- La altura de un prisma recto mide 1, su base es un rombo cuyo lado rr'de 2 , donde uno de sus ángulos mide 60°, por un lado de la base se ha trazado un plano jecante al pris ma que forma un diedro que mide 30° con el plano de la base. Calcular el área de la sec ción producida.

A) A, + A 2 =A ^ + A4

A) 4

B) A2 + A \ = A ¡ + A \

15.- Calcular el volumen de un prisma obli cuo, cuya altura es congruente con el diáme tro de la circunferencia circunscrita a su base Dicha base es un polígono regular cuyo lado mide 2 , además la suma de las medidas de los diedros del prisma es 1800.

C) Ay + A \ = 2 ( A j + A 2)

D) A, xA 2 =A3. A4 E) A,2 + A22 = 3 (a 32 + A42) 11.- Se tiene un pnsma recto ABCD - A’B’C’D’ cuyas bases son regiones de trapecios rectán gulos (recto en A y D) de modo que AD = 5 , AA’ = 12. El área de la superficie lateral es el doble del área de la región ABC’D’. Si EC toma su mínimo vaior entero, calcular el vo lumen de la pirámide C’- ABCD. A) 1320cw3

B) 123(W

D) lOOOcw2

E) 103(W

C) 113(W

12.- La base de un prisma oblicuo es un triángulo rectángulo ABC recto en B, tal que AB = 24 y BC = 32. La arista lateral que parte de “A” mide 85 y se proyecta sobre la base según la dirección AB ; si la proyección

B) 3 C) 2

D) 2-^3

A) 12yfi

B)

18V3

D) 36^3

E)

54 V3

E; 2\Í3I3

C) 24V3

16.- Se tiene una pirámide regular cuadran g la r O - ABCD; si A B -O C - a . Calcular la mírima distancia entre DA y CD. A )a S /2

B)aV5/2

D) 2 a S / 3

E) a-J 6/3

C) aV3/3

17.- En un prisma PQR - BST de base regular se sabe que las aristas lateral y básica miden a y b respectivamente. Calcular el volumen de dicho prisma, sabiendo que las aristas la terales forman con las aristas básicas un án-

944


guio agudo cuya medida es 45. A) ab2H

B) ab2/4

D) ab2yfSI4

E) ab2J t / 3

A)

C)60°

D)

D) 53°

A) B) C)

($1

D)

7 3 5 + 2 7 7

(S, + S 2)a

E) S, + S 2)S-, p

20.- Se tiene una pirámide cuya base es una de las caras de un hexaedro regular cuya aris ta mide “ a” ; además el vértice de la pirámide es un punto perteneciente a una de las diago nales del hexaedro, si la suma de los cuadra dos de las medidas de las aristas laterales de la pirámide es 4a2. Calcular la medida de la altura de la pirámide. A) 2al5

B) a/2

D) 2a/3

E) a 7

2

7 5 + 2

E)

7 5 + 2 7 3

C) 273

4

22.- La figura adjunta se compone de seis pentágonos regulares de lado lm; se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice. ¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado? A)

5 + 3 7 5

B)

1 2 + 7 7 5

12

15

C)

1 5 + 7 7 5

D)

17 + 5 7 7

E)

15

12 10

Sla

+

B)

E) 90°

19.- En una pirámide triangular A-BCD las áreas de las cara ABD y ABC son S { y S 2 res pectivamente. Calcular la distancia del baricentro de la cara ADC hacia ABC, si di cho punto dista “a” de la cara ABD. Si +S-,

75 + 77

C) a2b!4

18.- En una pirámide triangular O - ABC las aristas AB y OC son ortogonales, las cara., AOB y ACB son triángulos equiláteros y OC 73 — = — . Calcular la medida del diedro AB. A) 30° B) 45°

Ernesto Qulspe R.

C) a!3 /3

21.- En una pirámide pentagonal regular A - BCDEF tal que AB = BC = 2 Calcular el área de la sección determinada en la pirá mide por un plano que pasa por los vértices B y Dy por los puntos medios de las aristas AF y AE.

-5 7 5

12

23.- En un paralelepípedo oblicuo ABCD A’B’C’D’ en AC se ubica un punto Pde modo que AP = 3PC. Determinar la sección plana que se origina por un plano que pasa por BP y es paralelo a AD sobre el paralelepípedo. A) Cuadrangular

D) hexagonal

B) Pentagonal

E) heptagonal

C) triangular 24.- Se considera una pirámide regular cua drangular de lOm de arista básica. Calcular su área total si sus aristas laterales miden lOm. A) io

D ) 400

B) 100(1+ C) 100(1

7 3 )

+ 2 7 3 )

E )

200


Luis Uboldo C.

25.- Se considera una pirámide V - ABC, por “M” punto medio de VB se traza un plano paralelo a VC que intersecta a BC , AC y VA en N, Q y P respectivamente. Calcular la razón entre los volúmenes de los sólidos dePQ 2 terminados s i: MN 12

B)

A) 7 D)

11

C)

7 13 E) 7

21 11

26.- En una pirámide cuadrangular regular el apotema es igual a la arista básica si su área lateral es 128/n2. Calcular su altura. A) 1673 B) 8

C) 1273

D)6V2

E)4

27.- En una pirámide regular A- BCD se ubican los puntos M, N, T y O, baricentros de las caras ABC, ACD, ADB y BCD respectivamente. Calcular la razón de los volúmenes del hexae dro A - MNT - O y de la pirámide A - BCD A) 1/3

B) 1/5

D) 1/9

E) 1/12

B) 3

C) 2

B) 45°

D) 9/4

A) 45°

B) 30°

C) 60°

D) 75° E) 53°

32.- Por la diagonal AC de la base de una pi rámide cuadrangular regular S - ABCD, se traza un plano meante perpendicular a la cara SAD. ¿Qué ángulo forma la arista SD con el plano secante? A; 45°

B) 30°

C) 53°

D) 60° E)90°

33.- En la pirámide cuadrangular regular S ABCD : la razón entre la altura SO y el lado 2 — AB de la base es igual a ^ ; en la diagonal AC se ubica el punto P de modo que AP = PO. Calcular la medida del ángulo fo mado por SP y el plano SAD.

E) 1

29.- La altura de una pirámide triangular mide “a” . Los ortocentros de sus caras laterales y su vértice peuciiecen a una superficie esférica de radio ;calcular el volumen de la pirámide. A) a2 (a - 2R)

D) ^

B )a 2 R

E) a2R j 3 ? y ¿ ( a + 2R)

D) 60° E) 37°

31.- La diagonal de un prisma cuadrangular regular forma con el plano óe la base un ángu lo de 45°. Calcular la medida del ángulo que forman esta diagonal y la diagonal de la cara lateral que la intersecta.

6^32

. 205 J

A) Are sen

C)

C) 53°

C) 1/6

28.- Se consideran 2 pirámides regulares equivalentes A - BCD y M - PQS de modo que PQ = DA = 2 y DC toma su máximo va lor entero. Calcular la distancia de M a la re gión triangular PQS. A) 9/2

30.- La base de la pirámide S - ABCD es e' cuadrado ABCD. En la cara lateral SAB, per pendicular al plano de la base y que ez un triángulo regular se ha trazado la mediana AK. El punto K se une con C; calcular la medida de los ángulos formados por AK con el plano de la base. A) 30°

10

945

a \a - 2R)

B) Are sen I

C) Are sen

fj3

D) Are sen I

7

205

'i

946


E) Are sen

f 2^411

I

^ 5

34.- En 'in prisma triangular oblicuo de bases ABC y DEF, el área de su sección recta es 5m2, la arista laterai rJF mide lOmy la cara ABFD tiene área de lOOwi2. Calcular la distancia de CE a la cara ABDF. A) 1 m

B) 2 m

D) 0,5 m

E) 73 m

C)3 m

35.- En un rectoedro de dimensiones 572 , 5 y 5 m, calcular la medida del menor ángulo que forman sus diagonales. A) 30°

B) 45°

C)60°

D) 75° E) 90°

36.- La base de la pirámide S - ABCD es un rectángulo con lados AD = a y AB = b, la altura de la pirámide se proyecta en el punto O, punto de corte de las diagonales de la base, la arista lateral forma 30° con la base. Calcular el ángulo entre DP y el plano SAC, si P es punto medio de SO. A) Are sen

lab

37.- Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular de 14 m de altura; si el área del rombo que tiene por base 24 m2 y la diagonal menor del rombo mide 6 m. A )428 m2

B )328 m2

D )200 m2

E )150 m2

A) abe Teosa

D) 2 a¿>« T -cos 2 a

B) abe T - eos 2a

E) 3a¿>cTeosa

C) abe Tsena 39.- La base de un prisma es un triángulo re gular cuyo lado es igual a “a”; cada arista lateral es igual a “ b " y el ángulo entre una de las aristas laterales y los lados de la base ad yacentes a ella mide 45°. Calcular su área la teral. A) a b j2

{( a 2 + b 2) J l )

C) Are sen

D) Are sen

E) Are sen

4 ab { ( a 2 + b 2) j 7 )

(3ab)

(i) ab

,12 a 2 +b

C )445m 2

38.- Las aristas de un paralelepípedo que mi den “a” y “ b” son perpendiculares entre si, en tanto que la tercera arista de longitud "c” forma con cada una de las dos primeras a. Calcular el volumen del sólido.

B) B) Are sen

Ernesto Qulsp'e R.

D) a¿>(T2 + 1 )

ab-Jl

E) ab

2

C) a¿>(72

1

)

40.- La base de un paralelepípedo recto es un paralelogramo cuyos lados miden 1 y 4 y el ángulo obtuso mide “0” . Calcular el volumen del paralelepípedo, si su diagonal menor es igual a la diagonal mayor de la base. A) 4sen OT-cosO

D) 8 sen0 7-cos0

B) 8cos0 7-sen0

E) 16 sen0 7 - c o s 0

C) -8cos0 7-cos0

27.1 SUPERFICIE CITINERICA - CILINDRO Se llama superficie cilindrica, a aquella superficie generada por una recta AB que se desplaza paralelamente a sí misma, apoyándose en una línea curva plana y cerrada BDE tal como se muestra en la Fig. 27.1 . A la recta AB se le denomina Generatriz y a la curva plana BDE se le llama Directriz. Establecidas estas dos de finiciones, diremos que el cilindro es el sólido que se deteimina al intersectar la superficie cilindrica, con dos pla nos paralelos entre sí. Las secciones determinadas por los planos pa ralelos en la superficie cilindrica se llaman Bases del cilindro y los segmentos determinados, que son parte de las generatrices de la superficie cilindrica, son las generatrices del cilindro. Un cilindro es recto si sus generatrices son per pendiculares a sus bases como se observa en la Fig. 27.2a y si las generatrices son oblicuas con relación a las bases, el cilindro será oblicuo, tal como la Fig. 27.2b.

27.3 CILINDRO CIRCUI 4R RECTO Se llama cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución al cilindro cuyas bases son círculos y sus generatrices son perpendiculares a sus correspondientes bases. (Fig. 27.3) En un cilindro circular recto la sección produci da por un plano secante y no paralelo a sus bases es una Elipse que en la Fig. 27.3 esta representado por S. El plano P es tangente al cilindro si éste contie ne a la generatriz BC . Se llama eje del cilindro recto u oblicuo al segmento OO' que une los centros de sas bases. La sección axial del cilindro recto es el rectán gulo ABCD y si éste es un cuadrado entonces el cilin dro se llama equilátero. Fig. 27.3

948


Ernesto Qulspe R

27.3 ÁREA Y VOLUMEN, DE UA CIIXNTDRO RECTO Conociendo la longitud «R » del radio básico y la longi tud de ia generatriz del cilindro recto se verifican las siguientes relaciones : A ; ÁRE). DE LA S U P LR FIC IE LATERAL (S L)

Es igual al perímetro de la base (27iR) multiplicado por su generatriz (g) S L = 2nRg

... ( 2 7 .1 )

B) ÁREA DE LA S U P ER FIC IE TOTAL (S T)

Es igual al área de la superfìcie lateral más la suma de lao áreas de las bases. S T = 2tl#¿ ( g + R )

... ( 2 7 .2 )

C) VOLUMEN DEL CILIN DRO (V) .

Es igua' al área de la base multiplicada por la longitud de la generatriz. V = n R zg

... ( 2 7 .3 )

27.4 CILINDRO OBLICUO Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases sor Elipses y sus generatrices no son perpendiculares a sus bases como el mostrado en la Fig. 27.5. En un ci lindro oblicuo es fácil notar que la altura h es menor que la generatriz y que la sección axial es un paralelogramo tal como ABCD. En el cilindro oblicuo la sección p r o d u c id a por un plano perpendicular a sus generatrices es un cír culo llamado Sección Recta. Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene dado por el ángulo que forman su generatriz CD con el plano de la base. Cumpliéndose que :

h

= g sen a

Ademáo en una elipse se verifica que : a — > Longitud del semi - eje ma-’or b —> Longitud del semi - eje menor Area de la Región Elíptica = n ab

'2 7 . 4 )

Cilindro y Cono

Lols Ubaldo C.

949

27.5 AREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO OTCLICUO Siendo 5 y h las longitudes de la generatriz y la altura del cilindro oblicuo mostrado (Fig. 27.6) y «5» el área de su base elíptica se verifican las siguientes relaciones. A) ÁREA DE LA S U P ER F IC IE LATERAL (SL)

Es igual al perímetro de la sección recta multiplicado por la longitud de la generatriz. S L = 2nRg

... (2 7 .5 )

B) ÁREA DE LA S U P ER FIC IE TOTAL (5T)

Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las área de sus bas.Qs. S T = 2 ji R g + 2S

... (27.6 )

C) VOLUMEN (V)

Es igual al área S de ia base multiplicada per 1a longitud de su altura «h» o el área de la sección recta multiplicada por la longitud de la generatriz. V = S . h = iü t2g

... (2 7 .7 )

27.£ SUPERFICIE CONICA - CONO Se llama superficie cónica, a aquella superficie ei.gendraaa por una recta AA’ que se mueve en el espacio pasando siempre por un punto fijo P y apoyándose en una línea curva plana ABC tal como se muestra en la Fig. 27.7 . La recta AA’ se llama generatriz y la curva plana ABC directriz. El punto P recibe el nombre de vértice de la superfi cie cónica. La superficie cónica se compone de dos partes o mantos opuestos por el vértice. Un cono cualquiera es el sólido comprendido entre una superficie cónica cerrada y un plano que corta a todas las generatrices (Fig. 27. 8 ). Él punto P se llamará vértice o cúspide, la sección de terminada por el plano secante 1 A8 C) se llamará Base del cono, el segmento que se^traza desde el vértice en forma perpendicular a la base (PH ) es la altura y el segmento que une el vértice con cualquier punto de la circunferencia de la base (PA ) se llamará generatriz del cono. Fig. 27.8

950


Ernesto Qulspe /?.

27.7 CONO CIRCULAR RECTO Se llama cono circular recto al cono cuya base es un círculo y sus generatrices son congruentes (Fig. 27.9) . En un cono circular recto, el pie (O) de la altura VO cae en el centro de la base circular y sus generatrices for man ángulos congruentes (0 ) con el plano de la base. La sección axial de un cono recto es un triángulo isós celes tal como la superficie limitada por el AAVB. Un cono es equilátero, si su sección axial es un triángulo equiláte ro. El área lateral de un cono recto es igual al semipenmetro de su base multiplicado por su generatriz.

A) Á rea L ateral (j4l )

al

B) Á rea Total (AT)

= nRg

... (27.8 )

El área total de un cono recto es igual a su área lateral aumentado en el

área de su base, ( 2 7 .9 ) ...

A,. = lü ig + Jt2

A r = tü iig + R )

... ( 2 7 .10 )

El volumen de un cono recto es igual a la tercera parte del producto entre el área desu base y su altura.

C) Volum en (V) .-

V = itF 2 h / 3

...( 2 7 .11 )

27.8 SECCIONES CÓNICAS Llamamos sección cónica a la intersección de un plano cualquiera con un cono recto. Esta intersección da lugar a una superficie limitad; por una línea curva a quien comúnmente se le conoce con el nombre de cónica. A continuación te presento las siguientes observaciones : A) En la Fig. 27.10a, la sección cónica producida por un plano que pasa por el vértice y corta al cono es un TRIANGULO. B) En la Fig. 27.10b, si el plano secante es paralelo a la base del cono, la sección producida es una CIRCUNFERENCIA. C) En la fig. 27.10c, la sección es una ELIPSE, producida cuando el plano secante corta todas las aristas y no es paralelo a la base del cono ni a las generatrices. D) En la Fig. 27.10d, la sección es una PARABOLA, que resulta ser la trayectoria teórica de un proyectil lanzado cerca de la tierra. En este caso el plano secante es paralelo a una generatriz. E) En la Fig. 27.10e. la sección es una HIPERBOLA, la cual se obtiene poi medio de un plano secante paralelo al eje del cono pero sin contenerlo.

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

951

¿ 7 .9 DEsAR&OLLO DE LA SUPERFICIE LATER/ü . UÈ Í W COMO El desaiTollo de la superficie lateral de un cono recto, es un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono recto (Fig. 27.11) y cuyo arco tiene la misma longitud de la circunferen cia de la base del cono. Puesto que la superficie lateral del cono y el sector circular determinado es la misma superficie pero con lorma diferente ó u s áreas son iguales, es decir: \ (CONO) = A (0 AVB) n R g = ng2

ti

6

8

360

V

... (2 7 12 ) 8

6

360

h \s

... ( 2 7 .13 )

... ( 2 7 .14 )

g

yo

O

I

J

R y / ------- B

Fig. 2 7 .11

10 CONOS SEME¿ANTES Al trazar un plano p iralelo a la base de un conc y que intersecta su superficie lateral, la sección producida, llamada sección transversal a la base de un cono, el cual resulta ser seme jante al cono *.otal, cumpliéndose que todos sus elementos homólogos son proporcionales entre si, la razón de sus arcas es .gual a la razón de .os cuadrados de sus elementos homólogos y la razón de sus volúmenes es ¡gual a la razón de los cubos de estos elementos. £n la figura adjunta se cumplen las siguientes relaciones: VA' VA

VO' VO

r VB' VB ~ R

Area (V-A'B1) (VA' ) 2 Area (V-At¡J _ (VA) 2

~ R2

Volumen (V- A' B’) (VA1) 3 Volumen(V- AB) ' (VA) 3

R3

r’

ri

952


Ernetto Quispe R.

27.11 a l g u n a s p r o p i e d a d e s r ü f e r t i ^ t e s A CILINDRO Y CONO 1 ra PRUK1_L.AU

El desarrollo de la superficie lateral de un ci lindro recto es un rectángulo o cuadrado de modo que uno de sus lados es la longitud de la circunfe rencia de la base y el otro lado la altura del cilindro. Fig. 27.13 2 da PROPIEDAD

El cono circular recto o cono de revolución, se engendra por un triángulo rectángulo ABC, que gira 360° alrededor de uno de sus catetos AB. La hipotenusa AC, es la que genera la superfi cie lateral del cono, de allí el nombre de generatriz y el cateto BC al girar genera la base circular del cono.

3 ra PROPIEDAD

El menor camino para ir de A a B viajando por la superficie lateral del cilindro esta dado por la dia gonal del rectángulo que se origina al desarrollar su superficie lateral. 4 ta PROPIEDAD

Si/? es el radio de la sección recta de un cilindro oblicuo. A el área de una de sus bases elípticas y a la medida del ángulo de inclinación del cilindro respecto a sus bases entonces : nR

= A e o s (90 - a )

... (27.15)

5ta PROPIEDAD

El desarrollo de la buperficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

953

6 ta PROPIEDAD

Todo plano que contiene una tangente (.?) a la base y la generatriz (VA) que pasa por el punto de contacto es, tangente al cono. Todo plano tangente corta a la base según una tangente a dicha base.

7 ma PROPIEDAD

Volumen de un cono oblicuo V " 3 SH

... (27.16)

e je r cía o s oe áitfeffiSów 1.- H allar e l volum en d e l c ilin d ro re c to de área to ta l «S» s i la m edia a rm ó n ica d e l ra d io y la a ltura e s «M»

Resoluclón.El área total de uncilindro recto es :5 = 2nrh + 2nr o también :

5 = 2jir (h + r)

Ahora el volumen será :

V = n^h

o también :

V = (nr) (rh)

Multiplicando y dividiendo por 4(/j + r) Se tendrá:

4(/? + r) V = (jit) (rh) A(h + r)

Agrupando convenientemente :

V = ^ [2 m(h + r)]

Reconociendo cada paréntesis :

V = — [S] [M] V=

r

S.M

[& ]

954


Ernesto Qulspe R.

2.- H allar e l volum en d e l c ilin d ro re c to de 24m de ra d io de la base y q ue se h a lla in s c rito en una esfera de 2Sm de ra d io (e l c e n tro de la e sfera es in te rio r a l c ilin d ro )

Reaolución-Se sabe que:

Vauis 3RQ= m*h

Donde «/?» es desconocido Ahora, trazamos AO y formamos el triángulo rectángulo en el cual utilizando el teorema de Pitágoras Tenemos:

OB = 7m

OB = ^252 -2 4 2

Esto quiere decir que : h = 2(7) Luego:

h = 14/77

^CILINDRO

71 @ 4 ) 2 ( 1 4 )

V CIUNDRO f

8064

^

3.- H allar e l volum en d e l c ilin d ro re c to de a ltu ra «H» s i la lo n g itu d de la c irc u n fe re n c ia de su base es «C»

Resolución.Se sabe que :

V=

io2H

... (1)

Ahora, para ccincelar el radio se sabe que :C = 2nr r=

Entonces:

C 2 ti

Sustituyendo en (1) tenemos :

(H)

V=

C2 . H 4n

4.- H allar e l ra d io de ¡a esfera en la c u a l se h alla in s c rito un c o n o re c to de 12m de ra d io de la base y 18m de altura. S i e l ce n tro de la esfera es in te rio r a i cono.

Resolución.Como OC es el radio de la esfera OB será: OB = 18-/? Trazando AO se forma el triángulo AOB en el cual: (18-/?)2 + Donde:

12 2

= /?2

182 - 36/? + R 2 + 122 = R 2 R - 12

I

* Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

955

5.- E l volum en de un c ilin d ro es 3 0 0 rrP . H a lla r e l volum en d e l co n o re c to in s c rito en e l c ilin d ro equilátero.

Resoludón.Como el cilindro es equilátero, su generatriz será igual al diámetro de su base. Entonces

^cono

También:

3 71

^

^

Vc,L = n R 2 V R )

Ahora para cancelar el radio que no se conoce, se dividen am bas ecuaciones: 2nR

¿= I

'CONO (2 ji

'ciL

Sustituyendo el dato :

3

Vcono=

3

VCIL(Teorema)

Vc o n o =

3

• 300m 3

VcONO =

10 0 "* 3

6.- H allar e l á n g u lo c e n tra l d e l s e c to r c irc u la r que se o btie ne a l d e s a rro lla r la s u p e rfic ie la te ra l de un co n o equilátero.

Resoludón.Como el cono es equilátero, entonces la generatriz será igual al diámetro de su base :g = 2r Ahora, se sabe que :

a - 360 •

r

Donde : r —» radio del cono g —» generatriz del cono

Entonces reem plazando:

a = 360 •

a = 180°

2r


956

Ernesto Qulspe R.

MtSC€«.aM€& 1.- En un c ilin d ro re c to de ra d io 2 j 3 c m ; se traza u n p la n o p e rp e n d ic u la r a s u base, e l cu a l d ista d e l ce n tro de e lla 3cm . C a lcu la r e l vo lu m e n de la m e n o r p a rte en q ue queda d iv id id o e l c ilin d ro s i s u a ltu ra m id e 1m.

Resolución.Seci “Vx” el volumei. del sólido y A el área de su base, luego: V = A . 103 ... (1) En el

AHO:

AH = J ( 2 S f - 3 2 = 73

=>

m 4. AOH = m 4- HOB = 30°

=>

m 4 AOB = 60°

El área “A” se calcula como : 7t(273 )260 (273 ) 2 73 360 ' 4 Por consiguiente : A = 2n - 373 ... (2) A


V = (2n - 3 73 ) 103

Vx = 12 470 cm3

2.- C aicular la relació n de la s á re as la te ra le s de un c ilin d ro re c to y d e l te tra e d ro re g u la r in s c rito en d ic h o c ilin d ro de m o d o q ue s u base que de in s c rita en la b ase d e l c ilin d ro .

Resoluclón.Consideremos que sea “/?” el radio de la base del cilindro y regular O - ABC, Luego :

/ = R j3

R = I/-J3

Además Ademá: observamos que el cilindro y el tetraedro reguiar tienen igual altura H _ /V6 H~ Consideramos que ATts el área lateral del tetraedro y Ac del cilindro, se tiene : l2J 3

71/?H

r

3l 2S . 4n I i j 6 15' 3

el lado de la base ABC del tetraedro

» Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

= 3l 2j 3 . 3 j 3 A: 4jt/276

En consecuencia :

_ \

957

27 47tT6

3.- En un c ilin d ro re c to se in s c rib e un p ris m a tria n g u la r regular. ¿Q ué re la ció n e x is te e n tre lo s volúm enes de d ic h o s s ó lid o s ? R e so lu ció n .-

Sea “/?” el radio de la base del cilindro y ABC la base del prisma inscrita en esta. Luego :

AB = BC = AC = R-J3

Del gráfico observamos que tanto el cilindro como el prisma tienen igual altura “H”. Sean “Vr” el volumen del cilindro y “Vp” del prisma. nR? .H ic. _ VP (AB) 2 73

Luego:

VP

4nR¿

H

3R 2. j 3

4n 3 j3

4.- En un c ilin d ro e l ra d io de la base m id e “ R ” un p u n to de la c irc u n fe re n c ia de la base s u p e rio r se une co n u n p u n to de la circu n fe re n c ia de la b ase in fe rirr, la re c ta trazada p o r d ic h o s p u n to s fo rm a c o n e l p la n o de la base un á n g u lo de 71,5g . C a lc u la r la d ista n cia e ntre la recta y e l eje de sim e tría d e l c ilin d ro , s i s u g e n e ra triz m id e ‘2 R ’’. R esolu ción.-

Sea HF2 *a proyección del segmento H]P2 sobre la base del cilindro, luego Ü2K es la mínima distan cia buscada. En el

P,HP2

Ertonces :

Hpi - f HK = KP2 = y

En el fcx OzKH . Donde :

9

x=í

9


958

Ernesto Qulspe R.

5.- En un c ilin d ro cu ya base es un c írc u lo de ra d io ig u a l a 2, se in tro d u c e un tetraedro r e g u 'ir de m o d o que la base d e l te tra e d ro queda in s c rita en la Lase d e l c ilin d ro . ¿ Qué c a n tid a d de H20 h a y que v e rtir en e l c ilin d ro p a ra q ue e l n iv e l de esta lle g u e a la m ita d de la a ltu ra d e l tetraedro. f, 'EFnlM£lón.-

Sea V - ABC el tetraedro regular cuya base ABC esta inscrita en la base del cilindro de radio 2 Luego:

AB = BC = AC = 2J 3

Además la altura : VO =

= 2-J2 ,

de donde : VH = HO = -Jl El volumen de HzO se calculará restando el volumen del cilindro “Vc” determinado menos el volumen de la parte sumergida “VT” , es decir: vh2o

Ahora: =>

= vc - vt

vc = ti(2 ) 2 J 2 Vc = 4n V2

Luego: v _ ( 2 j 3 f j 2 T 12 =>

... ( 1 )

Vt = | T

6

... (2 ) (J3) 3 V2 12

... (3)

Sustituyendo (3) y (2) en (1) :

Vo = 6.- La cu rva de lo n g itu d m ínim a trazada, e ntre A y B (sob re una m ism a g en eratriz) que da u na vuelta co m p le ta en to rn o a un c ilin d ro e q u ilá te ro de ra d io b á s ic o ig u a l a 1 (v e r fig ura) tie ne p o r io n g itu d “ L " . C a lcu la r L.

B

Cilindro y Cono

Luis Ubi íldo C.

959

R esolu ción .-

Sea el rectángulo DBCA, el desarrollo de la su perficie lateral del cilindro equilátero, luego : AC = 27t (1) = 2ti y AD = 2 Además En el

es la diagonal del rectángulo. ACB • L 2 = 22 + (2ti) 2

Donde : L 2 = 4 + 4 7I2

L = 2 yjl + n2

7.- L o s la d o s a y b d e u n re ctá n g u lo están en re la c ió n de 1 : 2 . C a lc u la r la re la ció n de lo s volúm enes que se o b tie n e n cu a n d o se hace g ira r e l re c tá n g u lo u san do c o m o e je p r i m ero e l la d o m e n o r a y lu e g o b. R e solu ción .-

Sean Va yJ V.b los volúmenes de los sólidos (cilindros) determinados al girar el rectángu lo dado alrededor de a y b respectivamente. \/ = 7U72b Luego : Va = 71ir-h b2 n a 17 y V6

J

L

a ~t

r

0

': f

ai h P-.'Sjl

Dividiendo las dos expresiones : V0 Vfc Como : **

nb2a na2b

b a

^

b _ a

_ b

$

vB vb "

L-*"7

¡__

8.- Un c ilin d ro de 30cm de ra d io y SOcm de a ltu ra esta com p le ta m e nte lle n o de agua, s i den tro de é l se in tro d u c e un tro zo de m adera lab ra d o en fo rm a de p ris m a de base cuadrada de lO cm de la d o y cu ya a ltu ra es de 20cm , e l agua q ue se queda en e l re c i p ie n te es d e : R esolu ción . -

Sea “VHD” el volumen de agua dentro del recipiente “Vc” el volumen del cilindro y “Vp” el volumen del prisma de madera. Luego: También:

v h 2o

=VC-VP

-

c/71

( 1)

Vc = t i (30)2 . 50 = 45000 n ... (2)

Por consiguiente : Vp = (10) 2 . 20 = 2000

50

... (3)

20

U à

30.

960


Sustituyendo (2) y (3) en (1) : Haciendo:

Ernesto Qulspe R.

vh2o

= 45000 71- 2000

71=3,14

Reemplazando : VH0 = 141300 - 2000

v h 2o = 1 3 9 -3

It

9.- L o s vértices de un te trae dro re g u la r A B C D de a ris ta “ a ” se e ncu en tran s o b re la s u p e r fic ie de un c ilin d ro re c to que tiene p o r g e n e ra triz la a n s ta A B . H a lla re ! vo lu m e n d e l cilin d ro .

Resolución.En el tetraedro ABCD : AN = BN = ^ J 3 EnelÈÂSN:

SN =

= % J2

SN es paralelo a la base del cilindro, luego su proyec ción BH sobre esta será : BH = ^ J 2 luego su pro yección BH sobre esta será : BH = ^ -J2 En el fcx BTL:

(TH) 2 = BH . HL 2

Reemplazando : =>

- HL

HL = |V 2

y el diámetro BL será :

BL = ^ - J 2

Sea “V” el volumen del cilindro, luego : Como:

R =

Entonces :

V '=

V = n R 2 AB

y AB = a

b( ¥ ^ Í °

v _ 9rta

32 10.- En un cu b o de p ie d ra de a cm de arista, se la b ra u n c ilin d ro re c to en re v o lu c ió n de m odo que s u eje c o in c id a c o n una de la s d ia g o n a le s d e l c u b o y la s circ u n fe re n c ia s de su s bases pasen p o r lo s c e n tro s de ¡as tre s ca ra s c o n c u rre n te s en io s e xtre m os oe d ich a diagonal. C a lcu la r e l vo lu m e n de¡ c ilin d ro .

't

Cilindro y Cono

Luis Ubaido C

961

Resolución.Las bases del cilindro recto están circunscri tas a los triángulos equiláteros PQL y MNS. En el A EBG En el A PQL :

PQ=f =|J2 0?- rs§ - ú ^ 2

En el

POE : (EO) 2 = EP2 - R 2

Reemplazando :

\ De donde :

6

OO, = EC - 2EO = a J 3 - |a £ ,/3

Sea “V” el volumen del cilindro, luego : Reemplazando :

EO =

yI

V= n

f aJ& Y ( a j 3

= 0,C

oV3

V = nR 2 (OO,) V = n ^ 18

11.- La a ltu ra de un c o n o es de 4m, y e l ra d io de la base es de 3m, d ic h o c o n o se in te rse cta p o r un p la n o p arale lo a s u base de ta l m anera que la s u p e rfic ie to ta l d e l co n o re su lta n te sea ig u a l a la s u p e rfic ie la te ra l d e l c o n o p rim itiv o . C a lcu la r la d is ta n c ia d e l vértice a l plano.

962


Reemplazando:

AO, = •"

WÍ5 2 V2

Ernesto Qulspe R.

AO, = TÍO

12.- D eterm in ar e l á n g u lo que fo rm a la a ltu ra y la g e n e ra triz de un c o n o cu ya s u p e rfic ie la te ra l esth d iv id id a en d o s p a rte s ig u a le s m ed ia n te la línea de s u In te rs e c c ió n con una s u p e rfic ie esférica c u y o c e n tro e stá s itu a d o en e l vé rtice d e l c o n o y e l ra d io es ig u a l a la a ltu ra d e l cono.

Reaolución.Y qi e la superficie lateral del cono queda dividido en 2 partes iguales, entonces la re lación de las áreas laterales del cono parcial y del cono total es de 1 a 2 , luego por seme janza de conos se tiene :

(oír

OL

OL =

(OH) 2

y = 45° 13.- En un c o n o re c to se ha in s c rito una esfera de ra d io 3m. C a lc u la r e l vo lu m e n d e l co no , s a bien do que e l p la n o ta ng en te a la esfera y p e rp e n d ic u la r a una g e n e ra triz d e l co n o se encuentra a 1m d e l vé rtice d e l cono. A

Resoluclón.Sea «M» el punto de tangencia con OM 1 a dicho plano. En el fex ALO : OA = h 2 + 4 2 = 5 y En el k . AHB de 37° y 53° : Sea “Vc” el volumen del cono. Luego : Vc = ^ 7t /?2 . AH = ^ 7i(6 ) 2 . 8 Vc = 96ji m 3

■

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

963

14. En la fig u ra e l co n o p a rc ia l es e qu iva len te a l c ilin d ro . De te rm in a r qué fra c c ió n d e l vo lum en to ta l es e l vo lum en d e l co no p arcial.

Resolucim,-Por condición del problema : 1 2

E¡x VHT -

r_ R

VGA

V Vp = V vc

Vp : Volumen del cono parcial Vc : Volumen del cilindro

tv2 H = Jir2/) H

H+h

3h Ah

H = 3/7

=> R

3r

Sea VTel volumen del cono total, luego : 1

2

Vp

3”r H

Vt

^ ji /?2 (H+A7)

r 2 3/7

( l'P

. . . Vp 3 r2h Por consiguiente :y— = ^ ----------T 1 r ti

27

b'k

15.- Una recta es tangente a un co no , en e l p u n to de ta ng en cia m e d io de la g e n e ra triz form a co n e lla 45 m ie n tra s que co n e l p la n o c e la base 30K S i p a rle de la recta lim ita d a p o r la g e n e ra triz y e l p la ñ e de la base m id e 3 ; h a lla r e l volum eri d e l cono.

Resolución.-

V

Sea MF el segmento comprendido entre lí. gereratriz VB y el plano de la base. Luego : MF esta contenido en el plano MBF tangente ai cono. Por el Teorema de las 3 perpendiculares VB _1_ BF. En el En. MBF de 45° :

MB = BF = VM =

EnelE^MHFde 30° y 60°:

MH = f

En el Ex VOB por base media :VO = 2 MH = 2 ^ j = En el Ex VOB :

R¿ = (3>/2) 2 - 32

R = 3

Sea “V” el volumen del cono, luego :V = ^ ti/? . (VO)

964

Problemas de Geometría v como resolverlos

Reemplazando :

V = ^ . 3

Ernesto Qulspe R.

V = 9ji

16.- Un tanque c ilin d ric o de a ceite te n d id o h o rizo n ta lm e n te tie ne una lo n g itu d in te rio r de 8m y un d iá m e tro in te rio r de 10m. E l a ceite d ete rm ina una s u p e rfic ie re c ta n g u la r de 6 4 n r de área; c a lc u la r la p ro fu n d id a d m áxim a d e l aceite.

Resoluclón.La profundidad máxima del aceite será : HN = 5 + OH

... (1)

Po- dato del problema el área de la región ABCD es: 8

AB = 64

En el Èx OHB :

=>

AB =

8

OH = V52 -72 4‘

Sustituyendo (2) en (1) : HN = 5 + 3 =

OH = 3 HN =

8

- ( 2)

8

17.- Se ha c o n s tru id a un co n o de re v o lu c ió n co n un s e c to r c irc u la r c u y o á n g u lo c e n tra l m ide 120° y de ra d io R; s i “ r ” es la lo n g itu d d e l ra d io b á sico . C a lc u la r r/R.

Resolución.Las generatrices del cono construido con el sec tor circular de 120° y radio R son VA = VB = R Además se cumple que el área del sector circu lar es igual al área de la superficie lateral del cono; es decir: As.c. = A Reemplazando :

d2 120

B

D

nR 360 = n r R

R

18.- C alcu la r e l área de la s u p e rfic ie la te ra l de un c o n o de re v o lu c ió n sa b ie n d o q ue e l segm ento de m e d ia triz de una de s u s g e n e ra tric e s lim ita d a p o r la a ltu ra d e l c o n o es 4m y la a ltu ra d e l co n o m id e 10m.

V

Resolución.Sea “Al " el áreí de la superficie lateral del cono, Luego :

I

A l = kRg

En el Èx VMF :

a + 0 = 90

En el Èx VOB :

a + m 4- B = 90

( 1)

m 4L B = 0

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

965

S

Ex VMF ~ Ex VOB:

^

^


AL = 80n

=>

gR = 80...(2)

19.- Se trazan d o s p la n o s p o r e l vé rtice de un cono, u no de e llo s está in c lin a d o c o n un á n g u lo de 3 0 ° re sp e cto a s u base y lo co rta a lo la rg o de una cu erda de lo n g itu d 1m, e l o tro esta in c lin a d o 45° re sp e cto a la base y lo c o rla a lo la rg o de una c u erda de lo n g itu d 3m. D ete rm in a r e l volum en d e l cono.

Resolución.En el Ex VOP de 30° y 60°: OH = H V3 En el Ex VOL de 45° :

OL = VO = H

20.- En la fig u ra e l d ie d ro q ue fo rm a n e l triá n g u lo VFB y la base d e l c o n o m id e 2 a , A B = a y A F = b . H a lla re I área de la s u p e rfic ie la te ra l d e l cono.

V

956


Ernesto Quispe R.

Resoludón.Sea “AL” el área de la superficie lateral del cono. Luego:

A l = nRg

... (1)

Por condición del problema, el diedro dFB mide En el A AFV isósceles

=>

AF = VF = b

En el Bx ABC : a 2 = 2Rb

-

R= é

--®

En el AAFY por Euclides :

g 2 = b 2 + b 2 + 2b (R - b) = 2bR

Reemplazando :

g 2 = 2b .

2

2

Reemplazando (2) y (3) en (1) : A, = n L

2b

... (3)

g = a

2b

3

.a

A = 710 «2b

21.- D eterm inar e l á n g u lo en e l vé rtice de la se cc ió n a x ia l de un co n o c irc u n s c rito a c u a tro b o la s igu ale s d is p u e s ta s de m anera que cada una de e lla s este en c o n ta c to co n la s o tra s tres.

R e s o lu d ó n .-

Sean O ,, 0 2 , 0 3 y 0 4 los centros de las esferas de radio “r”, luego al unir los 4 centros se obtiene un tetraedro regular O] 0 2 0 3 0 4 de arista 2r y altura O, H = Sea el triángulo ABC, la sección axial del cono, luego en el Ex 0 ,H0 2 2 r Jfi

Tenemos icos ^ — 3(2/*)

x =Arc

,/ 6

(cos!

22.- C a lcu la re ! volum en de un c ilin d ro recto , s i la m ed ia a rm ó n ic a e n tre e l ra d io b á s ic o y la a ltu ra es ^

y e l área de s u s u p e rfic ie to ta l es 20 rr?

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

967

Resolución.Por dato del problema : También:

-H5 —7 7 = +H

o

2nR (H + R) = 20

i\

... (1) ... (2)

Al multiplicar miembro a miembro las expresiones (1) y (2) :

En consecuencia :

4t1R2 H = 44

Por consiguiente:

nR2 H = 11

Como el volumen : V = tiR2H

V

K

V = 11 m 3

23.- Una p o b la c ió n tiene 5 000 Habitantes que co nsu m e n en p ro m e d io p o r p e rs o n a 12 litro s de H20 diariam ente. D eterm in ar e l ra d io de la base de un p o z o c ilin d ric o que abastezca a la p o o la c io n y que tenga a cem as c a pa cid ad p ara una rese rva de 25% d e l co n su m o d ia rio y ta l que la a ltu ra sea 4 veces e l diám etro.

Resolución.Si una persona consume 12 litros diarios, entonces 5 000 personas consumirán : 5000 • 12 = 60 000 litros. El 25% de 60 000 es :

25-60000 10 0

= 15 000 Its.

A

Luego el pozo deberá tener un volumen de : V= 60 0 0 0 + 15 000 Donde : V = 75 000 lis Como : =>

V = nR2 ■8 R = 8nR3

8nR3 = 75 000 Its = 75 m 3

24.- H allar e l volum en de un c ilin d ro c irc u la r recto , s i e l d e s a rro llo de s u s u p e rfic ie la te ra l es un cu ad ra do de la d o “ a ” .


968

Ernesto Quispe R.

Resolución.-

Por condición del problema al desarreglar la superficie lateral del cilindro se obtiene el cua drado ABCD. B J L Donde : CD = 2nR = a => Además :

H= a

0

H

H= a

Sea «V» el volumen del cilindro Luego :

R "n

V = tiR2H

/ o^ YI a Reemplazando : V = ra

1

2tlR —a

r C

3

V= f-

4n

25.- H allar e l volum en m áxim o de un c ilin d ro c irc u la r recto , s i e l d e s a rro llo de s u s u pe r fic ie la te ra l es un re ctá n g u lo de p e rím e tro 16.

Resolución.Sea V el volumen del cilindro. Luego : V = nR2 H

---------^

... (1)

Por dato del problema : 2(H + 2 tlR) = 16 =>

H=

8

- 2nR

0

H

B L

J H

... (2) R <


n

2rtR

r

V(R) = Jt/?2 ( 8 - 2nR) = 8nR2 - 2n2 R3 Derivando respecto a R e igualando a cero : Donde : En (2) :

16 n R = 6 it2 R2 H=

8

V(*R) = O = 16n/? - 67I2 R2 R =

_ 8_

3n

- 2n\

Sustituyendo los valores de R y H en (1):

V = n (4T512

V = 27n 26.- C alcular e l volum en m áxim o de ui, c o n o re c to in s c rito en una esfera de ra d io «H>~

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

969

Resoluclón.Sean Hy r las medida^ de la altura y radio básico del cono, luego su volumen será : V = | n r 2H En el Ex OHC :

...(1)

B

r2 = R2 - (H - R ? r1 = 2HR - H2

... (2)

Sustituyendo (2) en (1) : V = ¿ji (2HR - H2) . H V,„, = -=■nH 2R - iitH 3 Luego derivanoo V(/?) respecto a R : V’(R) = | n H 7 ? - | n H 2 = 0 De donde :

H=

3

/?-. (3)


r2 = ^ R 2 - ( 4 )

Por último al reemplazar (3) y (4) en (1) :V =

j

v = Ü i* * 3

27.- C alcu la r e l vo lum en m á xim o de un c ilin d ro re c to in s c rito en una e sfera de ra d io «R»

Resolución.Sean r y H el radio y altura del cilindro, luego su volumen «V» será : En el Ex BAD : (2R )2 = H2 + (2r) 2 ,2

r2= /?2- J*_ (

Sustituyendo (2) en (1) : V = Jt R

2

H

- ( 2)

H 3

VCH) = ^ H-^ X Derivando respecto a H :

V=

H

... (1)

970


En (2):

i2 = R2 -


V- n

Ernesto Quíspe R.

R*

j

y = 4n J^R _

28.- Un c ilin d ro re c to e stá in s c rito en un co n o re c to cuya a ltu ra e s “ H ” y s u ra d io “ R ” de manera que s u s e jes co in cid e n . H a lla r e l área la te ra l m áxim a d e l c ilin d ro .

Resoludón.Sean el radio de la base del cilindro y su altura x e y respectivamente Lúe ¡o el área de la superficie lateral será :

AL = 2nxy

B

Ex PQB -Ex AOB :

x R

H-y H


í4l =

2n ^ (H - y)y

En consecuencia :

AL =

d ■ • ♦ : Por consiguiente

o — -^--1 y - — j AL = 2n

R

R

(Hy - y2)

r \ h2 (

De donde AL sera máxima, cuando : Es decir:

Hf 1

j =0

tiRH L (m a x )

29.- H allar e l volum en d e l cam p o q ue tiene la s s ig u ie n tes v is ta s : H : p ro y e c c ió n h o riz o n ta l F : P ro yección fro n ta l

... (1)

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

'

971

Resolución.Construimos el sólido en base a las vistas mostradas, lue go el volumen pedido sera igual a la suma de los volúme nes del prisma y del medio cilindro que lo conforman : V =

42 V3

10

+ | n 2 2. 1 0

Vx = 40 V3 + 20n V = 20(273 + rt) 30.- Una esfera de 3m de ra d io se e ncu en tra in s c rito en un c o n o re c to cuya base es un c írc u lo de área 12¡trr?. C a lcu la r e l volum en d e l cono.

Resolución.-

Luego: Sustituyendo (2) en (1) :

^ ± - = H 2 - 6H

H = 24

... (2)

V = 96nm3

31.- En un co n o c irc u la r re c to de a ltu ra 3 j 3 en la base se e ncu en tran d o s cu e rd a s p ara le la s de 8 y 12m d ista n te s 2m. C a lcu la r la g e n e ra triz d e l cono.

972


Ernesto Quilpe R.

Resolución. En la circunferencia de la base se tiene : R 2 = (2 + a )2 + (4)2... (1) R 2 = a2 +

También:

... (2)

62

: (2+a ) 2 + 16 = a 2 + 36

De (1) y (2)

Donde : 4+ a 2 + 4a + 16 = a2 + 36 Luego:

a=4

... (3)

R 2 = 42 + 6 2

(3) en (2):

=>

Finalmente ya conociendo la altura del cono : 2V3 y el cuadrado de su radio 52 se tiene : V = 52nV3 32.- En un c o n o de re v o lu c ió n la s g e n e ra tric e s fo rm a n c o n la b ase u n á n g u lo de 80°, s i la s g e n e ra tric e s m id e n “ a ” y e l d iá m e tro d e la b ase m id e “ b " ¿ C u á l e s la re la c ió n e ntre a y b ?

Resolución. Trazamos la ceviana AP con la condición : m 4- PAC = 20. luego : AABC - A PAC : PC = a En el EX BHP : Reemplazando: Donde : =>

rC = rO

wí

a 2 - b» 2

BP = a

a

a

(BP) 2 = (BH) 2 + (PH) 2

^ R - t H

a 4 + 2 a2 + b 4

2

b2

---------- 2-------- = a + T

§ 4 u , 3b 2

' ab + T

a 4 + í »4 - 2 a2b 2 = a4 + a2 b 2 - a3b

Finalmente la relación buscada será : a 3 + b* = 3a2b

PA = AC = b

't Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

973

33.- E l d e s a rro llo d e l área la te ra l d e un c o n o re c to de re v o lu c ió n e s u n s e c to r c irc u la r de 60g en e l c u a l se p u e d e in s c r ib ir una c irc u n fe re n c ia de 1m de ra d io . H a lla r «,■/ vo lu m e n d e l co no .

Resolución.En el sector circular AOB, se tiene :

g = OP + PM = 2 + 1

=*

g —3

Se sabe que : \ (cono) = A seclür) Reemplazando: nR(3) =

n(3) 60 360

R =

En el &x TKQ :

H = J 32 -Q jj =

De donde:

h=

J35

Finalmente el volumen pedido será :

1 ( 1V J 3 5 V = ^Jt I ^ I ■ ^ ~ V =

J35n 24

34.- La g e n e ra triz de un co n o re c to c irc u la r m id e 5m y la s u p e rfic ie la te ra l d esa rrollad a form a un s e c to r c irc u la r de 216e . C alcu la r e l volum en de d ic h o cono. Resolución

Se sabe que el AL del cono es igual al A del sector, es decir : Reemplazando sus respectivas áreas : nR(5) =

n(5) 216 360

R = 3

En el Ex VHB Luego siendo “V” el volumen del cono : V = ^ V = ¿ n (3)2 .4

ji/?2H

V = 12n

AL = A (sector)

974


Ernesto Quispe R.

35.- E l volum en de un co n o es de 27m 3 ; se trise ca la a ltu ra de, c o n o p o r d o s p a ra le la s a la base. C alcu la r e l volum en d e l s ó lid o u b ica d o en la p a rte central.

Resoluclón.Sean Vxy V, los volúmenes buscados y de la parte menor respectivamente. Luego por semejanza de conos : \3

v,+vx

ÍIL. ( ¥ J

De donde :

' 5

Vx = 7V, ... (1)

El cono total es semejante al cono menor, luego : V, 27

( ll (H)3

, 27

V, = 1


... (2)

V = 7 m3

36.- La su p e rficie to ta l de un co n o re c to es 200nm z y e l p ro d u c to de la g e n e ra triz y e l ra d io es 136 ir?. C alcu la r e l vo lum en d e l cono.

Resolución.-

v 200n = JtRg + j i R2

Por dato del problema : Como: Entonces: De donde :

Rg = 136 2 0 0 ji

= 136n + nR2

R =

8

Lueno:

85

En el ExVHB:

H2 = g 2 - R2

Reemplazando :

H2 = 172 - 8 2

= 136

=>

Sea «V» el volumen del cono, luego :

g = 17

H = 15 V = ^ 71(8)2 . 15 V = 32071

975

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

37.- La a ltu ra de un co n o de re v o lu c ió n es ig u a l a l ra d io de la base, de un c ilin d ro re c to y viceversa; s i e l volum en d e l co n o es e l d o b le d e l volum en d e l c ilin d ro y la g e n e ra triz d e l co n o m ide 2 / 3 ? m. H a lla r e l área la te ra l d e l c ilin d ro .

Resolución.Por dato del problema : V(cono) = 2V(cjIjndroj Reemplazando:

| Jt/?2 H = 2 JtH2 R =>

R=

6H

H2 + R 2 = (21/37 ) 2

En el Èx VHB : Donde :

H2 + (6 H) 2 = 4-37

Ahora :

37H2 = 4-37 =>

Luego :

jí

H= 2 R = 6(2) = 12

Finalmente el área lateral del cilindro será :

AL= 2 n ( 1 2 ) (2 ) A, =

48n m 2

38.- Se tiene una esfera in s c rita en un co n o re c to de m anera q ue to ca la s g e n e ra trice s en s u s p u n to s m edios. H a lla r e l volum en d e l c o n o sa b ie n d o que e l ra d io de la esfera m ide 2m.

Resoluclón.Por el Teorema de la Bisectriz AM = AH = R y ya que Mes punto medio de VA Luego:

AM = MV = R

v

En el Ex VHA: VA = 2AH =» 2a = 60 y a = 30 En el Ex AHO de 30° y 60°: En el Ex AHV:

R = 2^3

VH = R j 3 =

6

Sea «V» el volumen del cono, luego : V = | nR2 (VH) = ^ ti(2 73 )2. 6 V = 24n

976


Ernesto Quispe R.

39.- Un sector circular equivalente a un cuadrado cuyo lado mide 6-Jñ m; tiene un ángulo central que mide 109dicho sector es el desarrollo de la superficie lateral de un cono. Calcular el área total de dicho cono. R esolu ción ■

Puesto que el sector y el cuadrado son equivalentes Entonces:

raj2

= (6-Jñ)2

/ \

á

=>

/l0 ° \

g = 36

Por otro lado, si “r ” es el raciio de la b ase del cono que se pu ed e construir con el sector circular. .Luego:

2 ^10 = nrg ng*.

=>

Finalmente el área total del cono será :

8/

\8

/

\

/

<

\

/ /

>

\ \

, r= 1 i4( = 6 J ñ + n ( l) 2 At = 6-Jñ + n

40.- Calcular el volumen de un cono recto de revolución de altura 3 m sabiendo que el plano que pasa por el vértice determina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120By que la sección determinada por dicho plano es un triángulo rectángulo. R esolu ción .-

Por dato la sección determ inada es el Ex VAB. V

Entonces :

g j2 —r j 3

—> G = ^ V6

Además : Ex VOA (Por Pitágoras)

g¿ =

32 + r 2

(rV e )2 = 3 + r2

Resolviendo :

r = 3 J2

Luego el volumen del cono s e r á : V = n^h = n(3V2 )2. 3 = 54 n V = 54 n m3

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C.

977

41.- Se tiene un cono recto de revolución cuya altura mide 2 m, luego se traza un plano secante a dicho cono y paralelo i la base, y sobre la sección determinada se cons truye un cilindro cuya base opuesta pa?a por el vértice del cono. Calcular la altura de dicho cilindro para que su volumen sea la mitad del volumen del tronco de cono formado. R e so lu ción. -

En la parte superior :.

^ c ilin d r o

_

B.H

' cono

V

i.H

CILINDRO

= 3V

CONO

V„ ' t r o n c o =2(3V ) = 6V

Por d a to :

Por sem ejanza de conos : V 7V

"= f3 /4 9

H = y ^49 42.- En el gráfico, calcular la razón de volúmenes de los sólidos mostrados, si sus bases tienen igual área.

R esolu ción .-

Sea V, = Volumen del cilindro V2 = Volumen del cono V. Nos p id e n : -rf2

E ntonces: W- = y ' r

- 12

4a


978

Ernesto Quispe R.

PROBieM«S H*OPu€$TOS 1.- Calcular el máximo volumen de un cilin dro recto inscrito en una esfera cuyo radio mide 3. A) 9n &

B) 167tV3

D) 871^6

C) 12ti &

E) 471^2

2.- En un cilindro circular oblicuo su radio es 4 cm , su ángulo de inclinación es 6u° y su área lateral es 32>/3 . Luego su volumen es : A) 48

B) 64

C) 96

D) 128

E) 144

3.- Un cilindro tiene una base cuya área es 367un y una superficie lateral de 1447iwi . Determinar la altura del cilindro en metros. A) 6

B) 12

C) 1871

D) 12ti

E) N.A.

4.- El volumen de un cono circular recto es 32071 cm3. Si el radio de la base mide 8 cm, la generatuz del cono mide :

7.- En un cono se toma un punto de la genera triz y desde él se traza una perpendicular al radio y otra a la altura; si ellos miden 4 cm y 6 cm respectivamente y el punto dista 10cm del vértice superior, el producto de las áreas late ral y total e s : A) 13571

B) 72 ti2

D) 29 160?i2

E) N.A.

C) 36071

8.- En la figura se tiene un cono recto de ma terial homogéneo de densidad relativa 0,5 que flota en el agua con su eje vertical y el vértice hacia abajo. Calcular x. A) V0,5 H B) H/4 C) H/8 D) ^ 0 5 H E) H/3

A) 15 cm

B) 17 cm

Dj 120 cm

E) 12 cm

C)

18 cm 9.- Según el gráfico; calcular el área de la su perficie lateral del cilindro circular recto. Si AM = MB , CD (EB) = 12cm2 , mAC = 60° y

5.- Con un sector circular de radio R y ángulo de 120° se construye un cono recto. Calcular el radio de la base del cono.

el área de la región triangular ECD es 6^ 6 cm.

A) RJ2

B) R/3

A) 6n-Jécm2

D) 2R¡3

E) R-J3I3

C)

RJA

B) 4ti J2 cm2

6.- Se dan dos esieras tangentes exteriormente y cuyos radios miden 1 dm y 3 dm . El vo lumen del cono circunscrito a ambas esferas es: A) 90 71dm3

B) 100 ndm3

D) 64 ndm3

E) 108 ndm3

C) 817tdm}

C) 271V8 cm2 D) Snjücm 2 E) 16tt: V4 cm2

_

10.- En un cono equilátero se tiene inscrito una esfera; luego se traza un plano tangente a la esfera paralelo a la base del cono determi nando otro cono parcial. Calcular la razón de volúmenes de ambos conos. A) 4/27

B) 1/27

D) 6/27

E) 9/27

C) 3/27

A> 8/3K

B) 8/9K

D) 8/8 iK

E) 4/9 K

C) 8/27 K

12.- Dado un cono de revolución cuya sec ción axial es un triángulo equilátero Calcular volumen del cono cuya base es una sección perpendicular a OB y OM = MB r~

B) 167671

ti

13.- Un cilindro circular recto esta inscrito en un prisma triangular regular. ¿Qué relación existe entre las áreas de las superficies latera les de dichos sólidos?

D)

71

673 71

D) 37

E) 60

15.- Se dan dos esferas tangentes exteiiorm^nte y un cono circunscrito a dichas esferas. C alcularel área de la superficie lateral del tron co de cono cuyas bases son los círculos que a lo largo de los cuales las esferas hacen con tacto con la superficie lateral del cono. A) 7iRr

B) 7i(R + r)

D ) 3nRr

E) 27iRr

C)nR:i2

16.- Se tiene un prisma hexagonal regular ins crito en un cilindro de revolución, de modo que el área lateral del prisma es igual a la suma de lac áreas de las bases del cilindro; si el ra dio de la base del cilindio mide 3. Calcular el volumen del prisma. A) 187i73 /n

D) 277173 i2

B) 12ti 72 /5

E) 157173/2

17.- En un cono recto de revolución de vérti ce “ O ” y diámetro AB , en la base se trazan AP y BQ cuerdas secantes, que forman un ángulo de 45°. Hallar m 4- POQ, si la altura del cono es igual al radio de la base.

D) 18V6 ti

973

C) 53

C) 14 tt/3

C) 36 f i n

A)

B) 45

O

A) 1272 71

E) 2 4 ^ 2

14.- Un tanque cilindrico cuyo diámetro mide 4 7 3 y su altura 12, tiene sus cinco sextas par tes con vino. Desde su posición normal se in clina el tanque hasta que el vino esté a punto de caer por el borde. Calcular la medida del ángulo de inclinación. A) 30

11.- Dado un coro circular recto inscrito y cir cunscrito a dos esferas concéntricas se traza un plano paralelo a la baê del cono por el cen tro de las esferas. Calcular el área de la región limitada por el cono y la esfera circunscrita, en el plano secante (anillo circular). Si el área total del cono es “ K” .

't 979

Cilindro y Cono

Luis Ubaído C.

B) E)

1274 71

373 71

C)

373 71

A) 45°

B) 90° C) 60°

D) 120° E) 75°

18.- Se muestra en la figura un cilindro recto inscrito en una pirámide regular; si la arista lateral de la pirámide forma un ángulo de 45° con la base y g = r j 2 . Calcular el volumen de la pirámide.

980


Ernesto Qulspe R.

21.- Los radios de las bases de un cilindro y de un cono de revolución de áreas laterales equivalentes, son de igual longitud que el ra dio de la base y la generatriz respectivamente de otro cono de revolución; calcular la medi da del ángulo central del desarrolle de la su perficie lateral de éste último cono. (El cilin dro y el primer cono tienen igual generatriz).

V

A) 60°

A) 1672V /3

D) 1 6 7 3 ^ /3

B) 8(72 + l)/3

E) 3 2 7 2 rV3

C) 6(73 + l)/3 19.- El radio de la base de un cono de revolu ción es “ /?” y el radio de la esfera inscrita es “ r” . Calcular el rad.o de la circunferencia co mún a la superficie esférica y a la superficie lateral del cono. A) 2Rr/R + r

D) IR ^ /R 2 + ?

B) 2R2r/R2 + r2

E) 4 Rr 2/R 2 + r2

B) 75°

C )90°

D) 135°

E) 180°

22.- Se tienen dos cilindros circulares rectos cuyos radios miden 3 y 5 cuyas bases inferio res coplanares tienen centros A y B respecti vamente, tal que AB = 12. Se traza a una dis tancia cualquiera un plano paralelo a las ba ses y luego dos planos tangentes comunes a sus superficies laterales intersecándose estos tres planos en “ P” . Calcular “PB2 PA2” . A) 42

B) 49

C) 36

D) 54

E) 32

23.- A un disco de radio 5 se le extrae un sec tor circular de 144° con el sector restante se construye un cono circular recto. Calcular el volumen de dicho cono. A) 2571

B) 1571

D) 36 tt

E) 30 ti

C) 1271

C) 2K/-/K- /■ 20.- En un cilindro de revolución el radio de su base mide “R” se une un punto de la cir cunferencia de la base superior con un punto de la circunferencia de la base inferior, tal que la recta que pasa por dichos puntos forma con el plano de la base ur ángulo que mide 71,5°; si la distancia entre la recta y el eje de sime27 2 tría del cilindro es —— R . Calcular el área total del cilindro. A) 8 7iR2 3

B ) I 6 ttR2 3

D) 6jiR2

E) 1271R2

C )IQ ttR2 3

24.- Sobre dos generatrices diam etralm ente opuestas de un cono equilátero con vértice A, se tom an los puntos “ M ” y “ N ” tal que AM = 8 y AN = 6 . Calcular el menor reco rrido para ir de “ M ” a “ N ” sobre la superfi cie lateral del cono. A) 10

B) 14

D) 19/2

E) 7 7 2

C) 21/2

25.- Dado un cono recto de altura 2 m y radio de la base igual a 1m, sobre el plano que con tiene a la base se considera el punto “ P” y se trazan las tangentes PM y PN a la circunfe rencia de la base del cono. Calcular la medida del diedro formado por los planos VPM y

Cilindro y Cono

Luis Ubaldo C

VPN, siendo V el vértice del cono y la distan cia del centro de la base al punto P es 4 m. A) 120

B) 90

C) 45

D) 60

E) 53

26.- Calcular el volumen de un cono de revo lución, sabiendo que un punto cualquiera de una de sus generatrices, dista de la base 8m del vértice del cono 5 ni y de la altura 3 m. A) 324 nm3

B) 325tt/u3

D) 327W

E) 32 8ítw3

C) 32d W

27.- ¿Cuánto«!2 de hierro se necesita para ha cer un tubo de 4,5/h de largo y 2 0 l / i , de diá metro? A) 2,83m2

B) 4,lm 2

D) 4 .1 .W

E) 1,86/w2

E) 88 cm3

29.- Hallar el area de la sección recta de un ci lindro oblicuo, *:i el área de la base es 100 y la generatriz forma con la base un ángulo de 60°. A) 100

B) 50

D.t 50V2

E) 60

C) 50V3

30 - Se tiene un rectángulo cuyos lados están en la relación de 1 a 3. ¿En qué relación esta rán los volúmenes de los sólidos obtenidos al girar alrededor de cada uno de los lados? A) 2 : 3

B) 1 :3

A) 1

C) 2 : 5

B) 4

C) 6 m

D) 8 m

E) 6

32.- Calcular el volumen de un cilindro de re volución en función de la circunf erencia C de la base y de la diagonal D que une los extre mos de dos generatrices diam etralm ente opuestas. A )-^ -V

d

D) 5. A

2- C 2

4n~

B)

A) 176 era3B) 384 cm3 C) Faltan datos D) 0.266 cm9

31.- Al aumentare! radio de un cilindro 6 uní dades, el volumen se aumenta en .r unidades cúbicas; si la altura del cilindro se aumenta igualmente en 6 unidades, el volumen se au menta en x unidades cúbicas. Si la altura ori ginal es 2, el radio original es :

C) 3,45m2

28.- Un cilindro esta lleno de agua ha'-.ta la mitad, se suelta un pequeño pedazo metálico y el nivel del agua sube 3.5 cm, si el diámetro del cilindro es 8 cm ¿Cuál es el volumen del pedazo?

981

471

- ^ T / D 2n E) 2 - ( J d 2- ( 471“

c: C) — yl D2 t t - C 2 4 33,- Un cilindro de revolución (radio = 5 cm) es cortado por dos planos paralelos de mane ra que los ejes mayores de las elipses que se forman miden 16 cm y la generatriz del cilin dro oblicuo que aparece es de 30 cm. Calcu lar el área lateral del cilindro oblicuo. A) 831 cm2

D) 720 cm2

B) 942 cm2

E) 619 cm2

C) 1 053 cm2 34.- El volumen de un cono es V por los pun tos donde la altura del cono es trisecada, se trazan planos paralelos a la base del cono. Cal cular el volumen de la porción central. 7V

A)á v

B)

9V Ci ' 24

Luis Ubaldo C.

982

Cilindro y Cono

35.- Dos conos (uno interior al otro) se cons truyen con la misma base; el ángulo que for man la altura y la generatriz del cono menor mide 45° y el del cono mayor mide. 37°, la diferencia entre las alturas es 7 j” . Hallar el volumen del sólido comprendido entre los dos conos. A)

líh

D) |

B)

tt/73

■m

C)

les de la pirámide. Si AB = 1a . Hallar el mí nimo valor entero de a.

nh

E)1

36.- Detenninar el volumen de un cono sa biendo que una cuerda de longitud “a” traza da en el círculo de la base subtiende un arco a y la altura del cono forma (3 con la genera triz, además : a + (3 = 90 A)

na sec a 12(1- c o s a )

B)

7iu sent/ 1 2 (l-s e n a )

C)

na 3co sa 12(1- c o s a )

D)

i. s e c a 6 (1 -seca)

na seca * 6(1- c o s a )

37.- Hallar el volumen máximo de un cilin dro circular recto si el desarrollo de su supei ficie lateral es un rectángulo de perímetro K A)

K 108n

B)^

K C) >16n

3

K D) 512n

40.- Calcular el volumen de un cilindro recto circunscrito a un octaedro regular cuya arista mide J l m. Además dos vértices opuestos de dicho octaedro están ubicados en los centros de. la¿ bases del cilindro. A) n m3

B) Tíl'lrtx'

D ) 2 ji m3

E ) n 2,n}

41.- Hallar la relación entre los volúmenes de un cilindro de revolución y un prisma trian gular regular, si los desarrollos de sus super ficies laterales son congruentes. A) 3>/2 n

B)

D) s

E)

e )K -3

n

38.- Hallar el volumen máximo de un cono recto inscrito en una esfera de radio 3. A* 32n

B) 34n

D) 3871

E) 4071

C) 36n

39.- La pirám ide mostrada V - ABC tiene su base ABC regular, VB es perpendicular al A fi 3C, la base inferior del cilindro toca a AB y BC y la superior toca a las caras latera-

C) tch

n

3 j3 71

C )3 S n

2 73 n

42.- En un cono equilátero de vértice P en el círculo de la base se trazan los diámetros per pendiculares AB y C D . Calculat el volumen del cono si la distancia entre los puntos me dios de AO y PD es J Í5 m. (“O” es el centro de la base) A) 8 n m 3

B) 12 n

D) 24 71

E) 30 n

C )1 8 n

28.1 TRONCO DE UN PRISlvtA Es el sólido determ inado al cortar un prisma mediante un plano no paralelo a sus bases, si el prisma cortado es recto, el tron co de prisma será recto (Fig. 28.1a) y si el prisma es oblicuo se originará un tronco de prisma oblicuo (Fig. 28.1b).

Fig. 28.1 A) volumen de un tronco de prisma recto triangular

El volumen de un tronco de prisma recto de base triangular se cal cula m u ltiplicando el área de la base por el promed.o de las longitu des de sus aristas.

B) volumen de un tronco de prisma oblicuo triangular

El volumen de un tronco de prisma obli cuo de base triangular se obtiene al multipli car el área de su base por el promedio de las longitudes de sus altu ras.

Fig. 28.3

984


Ernesto Quispe P

28.2 TRONCO DE PIRÁMIDE Es el sólido determ inado al cortar una pirámide cualquiera mediante un plano paralelo a su base. En la figura adjunta el sólido MNL - ABC es un tronco de pirámide cuyas bases paralelas son MNL y ABC y la distancia entre ellas es H, longitud de la altura, luego su volumen V estará dado por la fórmula.

V = — (S j+ + S 2 + , S ,S 2 )

...(28.1) Fig. 28.4

Si el tronco de pirámide es regular (Fig.28.5) las alturas de los trapecios isósceles que conforman la par te lateral del sólido se llamarán apotem as luego s\pyp} son los semiperímetros de sus bases entonces el área de su superficie lateral s e r á :

A

l

... (28.2)

5L = (p + p ,)M N

Fig. 28.5

28.3 TRONCO DE CILEVDRO Se llama Tronco de Cilindro Recto y Oblicuo a cada una de las dos partes en que queda dividido un cilindro cualquiera cuando se traza un plano secante al cilindro y no paralelo a sus bases. El tronco de cilindro recibe el mismo nom bre que posee el cilindro que le da origen. Pueden reconocerse dos tipos de troncos de cilindro : A) TRONCO DE CILINDRO RECTO

Si conocem os el radio/? de la base circular, la ge neratriz media o longitud del eje g, la generatriz mayor g, y la generatriz m enorg2. (Fig. 28.6), se cumplirá que:

i r

2

.. (28.3)

Al ) Área Lateral (AL) :

AL = 2n Rg

... (28.4)

A2) Volumen (V) :

Y = n R 2g

...(28.5) Fig. 28.6

Sólidos Truncados

Luis Uboldo C.

98í>

B ) T R O N C O D E C IL IN D R O O B L IC U O

Teniendo en cuenta las dim ensiones que presen ta el cilindro oblicuo de la Fig. 28.7 se cumplirá que : B l) Área de la Superficie Lateral (AL) :

B2) Volumen (V) : B3) Generatriz Media (g) :

A l — ¿n Rg

... (28.6)

V = tiR 2g

... (28 .7)

-

* =

8] + ” 2 2

... (28.8)

Fig. 28.7

28 A TRONCO DE CONO Llámese <_ui 10 trui ii__do o trui itu de «.uno a la par te de un cono com prendida ontre la base y una sección paralela a la base (Fig. 28.8).

La base del cono original y la sección paralela a la primera, son las bases circulares del cono de radio/? yr. La distancia entre las bases (/?) es la altura del cono y la parte de la generatriz del cono com prendida entre las bases paralelas (g) es la generatriz del tronco del cono. - Área de la Superficie Lateral (AL) :

AL = T[g (R + r)

- Área de la Superficie Total (AJ) :

A,. = 7.g (/? + r ) + í i \R 2 + r 2)

- Volumen (V ):

V = n j

(r2 + R2 + J?r)

... (28.9) ...( 2 8 .10 ) ...( 2 8 .1 1 )

28.5 PROPIEDADES REFERENTES A SÓLIDOS TRUNCADOS 1 ra p r o p i e d a d .

El volumen de un tronco de prisma oblicuo trian gular en función del área de su sección recta (S) y de las aristas laterales e s : = s(s± f^ )

(28.12) Fig. 28.9

986

crnesto Quispe R


2 da PROPIEDAD.

Si las áreas de las bases paralelas son S, y S2 y la distancia enti e ellas es h entonces el volumen del tron co de pirámide de segunda especie s e r á : V = ^ (s1+ S 2 -. Si

...(28.13) Fig. 28.10

3 ra PROPIEDAD.

El volumen de una cuña cilindrica (g2 = 0) esta dado p o r: Si

2 V = ---A 2

... (28.14)

1 Fig. 28.11

4 ta PROPIEDAD.

La sección axial de un tronco de cono recto es un trapecio isósceles ABCD.

/ ' L

A t l ------------ i_ 5? D Fig. 28.12 5 ta PROPIEDAD.

Si un tronco de cono esta circunscrito a una esfe ra, entonces su generatriz es igual a la sum a de los radio de las bases, en efecto, considerando la figura adjunta se cumple q u e : g= R+ r

... (28.15)

y su área lateral ALse expresara com o : A f^ n g 2

Fig. 28.13

...(28.16)

6 ta PROPIEDAD.

Al trazar un plano paralelo a las bases de un tronco de pirámide cuyas áreas sonS, yS?, equidistante de ellas, entonces se determina una sección transversal de airea s _ .

_ (28.17)

Sólidos Trunradoí

Luis Ubaldo C.

987

7 ma PROPIEDAD.

Volumen del tronco de cono de segunda especie. V=

- (r2 + Rz - Rr)

... (28.18)

Fig. 28.15

ROCIOS Oí

>UCAC10t1

1.- Hallar el volumen del tronco de cilindro recto, cuya sección recta forma 60Bcon la base mayor, la cual tiene un área de 60m2. Las generatrices Máxima y Mínima m ’den 10 y 4m.

"tesoluciuii.Se sabe q u e : Donde : Ab = Area de la base S iendo:

y e=

e = generatriz media 10+4

e - 7m

Además, nótese que la base inferior es la proyección de la elipse superior sobre la base, entonces de acuerdo a un teorem a ya estudiado anteriormente Se tiene :

Ab. = A ELIPSE . eos 60°

En consecuencia : Luego :

Ab = 30m2

Reemplazando en (1) : VrRONCO = 30m 2 ■ 7m i 'ROHl O

= 210 m 3

Resolución.Se sabe q u e :

AL = n (R + r)g ...(1)

Puesto que ABCD es un trapecio circunscrito a un círculo Máximo de la esfera Se puede aplicar el Teorema de P ithot:

T

988

Problemas de Geometría y cómo resolverlos g=R+r

2 r+ 2 R = g + g

Reemplazando en (1) : /

Ernesto Qu/spe R.

V = 343 cm3

= ng .g

3 - Hallar el volumen del tronco de cono de radios básicos 2 y 8m, si es circunscriptible.

Resolución.nh

Se sabe q u e :

V = " y (R2 +

12+ R r) ... (1)

Donde Taita conocer la altura «h» que com o se observa es el doble del radio «r», 0 sea: h - 2r Ahora trazando OA y OB se forma el triángulo rectángulo AOB en el cual «r» es su altura, entonces : OH2 = AH . BH Reem plazando:

r2 = 2 • 8

L uego:

r2 = 2-8

Por consiguiente:

h = 8m

Sustituyendo en (1) : V =

B

(82 + 22 + 8 • 2) V = 224 íi m3

Donde :

4.- Hallar el área de la base de un prisma oblicuo cuya arista mide 4m y su altura 3m y el área de la sección recta es 24ni2

Resolución.Sabemos que el volumen de un prisma se halla em p lean d o : V = S„□ ■altura Tam bién:

v

...

( 1)

= 5 sr - °

Igualando (1) y (2) Tenemos : SB■altura = SSR - a Donde :

a = arista

Luego :

5b =

Reemplazando :

5b =

^SR ° h

24-4

SB = 32 m

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

989

5.- Calcular el area lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regu lar de 24 J 3 m2 de superficie, la altura del prisma es 8-J3 m y además se sabe que las aristas forman ángulos de 60Bcon la base. R esolu ción .-

S ab em o sq u e: Donde :

5L = 2pSR• arista ... (1)

2P SR = perímetro de la sección recta

Er.tonces calcularemos el peí ¡metro de la sección recta :

^L2 yÍ3

5r = 6

2

24^3 = 6

Entonces:

4

24^3x4 = L 6^3

L uego:

Por consiguiente :

L2 = 16

D onde:

L - 4m

En consecuencia: 2pSR = 2 4 m En el

AHA’

Reem plazando:

a = lbm

SL = 24 - 16

5 l = 384 m2

6.- Un prisma oblicuo tiene por sección recta un trapecio rectángulo cuyas bases miden 2m y 6m y la altura es igual a 3 m . Calcular la superficie total si su arsta y altura miden 6m y 4m respectivamente. R e solución.-

Sabemos q u e :

S, = 5 l + 2Sb ...(1)

Cálculo d eS L:

SL = 2p ■arista

L uego:

SL = 96m 2

=>

Cálculo de SB: Sabemos también q u e : Donde :

SSR = 12

V = SSR • arista = SB h

, arista = 6y h = 4

En consecuencia:

12 • 6 = SB- 4

Por consiguiente:

SB= 18m2


5, = 96m2 + 2(18) m 2

V = 132 cm2

990


Ernesto Quispe P.

1.- En un tronco de cono revolución los radios de las bases miden 3 y 7m. Hallar el valor de la altura para que la suma de las áreas de las bases sea igual al área lateral.

Resolución.Por condición del problema; «El área lateral es igual a la sum a de las áreas de las bases» Es d e c ir: ng(7 + 3) = n72 + n32 Donde: En el

58

lOng = 58rc

8 ~ 10 "

29 5

DTC : g2 = H2 + (4)2

A hora:

C

2.- Se tiene el tronco de prisma recto de bases ABCD y D’ C ’ B ’ A ’ : la primera base es un cuadiado de 7rm de lado y la segunda es un paralelogramo. Hallar el volumen del sólido, si AA' ~ 4cm , BB’ = 5cm y CC’ = 10cm

Resolución,Descomponemos el tronco de prisma rec to cuadrangular m ediante el plano BDD’B en dos troncos de prisma triangular de volúmenes V, y V2 y si V es el volumen pedido. Entonces:

V = V> + V, ... (1)

En el trapecio AA’ C’ C: OO’ = En el trapecio BB’ D’ D: OO’ = Luego :

C'

= 7 5 + DD* „ 5+DC 2 =* 7 = 2

10

DD’ = 9 A'

Sustituyendo estos valores obtenidos en (1) : -

A

7

D

Sólidos Truncados

Luis tibaldo C.

V = 147 + 196

991

V = 343 cm3

3.- Por los vórtices A y C de un cuadrado ABCD se levantan las perpendiculares AP y CU de 6 y 9 . Calcular el volumen del sólido PBQD, si AB = 2m

i.esolucion.Trazamos el plano ACQP dividiendo el sólido ABCDPQ en dos troncos de prisn.a equivalentes ADCPQ y ABCPQ de volúm enes |^ ~ j

= 1Om3

~

Luego el volumen total será 2(10»ai3) = 20m3 Pero el volumen total es también igual a la sum a de los volúmenes de las pirámides P - ABD ; Q - BCD y del sólido PBQD de volumen V . Luego:

20 = £

( f ) + T ( ! ) + V,

20 = 4 + 6 + V

V = 10 m 3

4.- Dada la pirámide V - ABC de altura VA = 4m ,m

4- BAC = 6üey AC = 2A B , sobre AB y

—

AC se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que AP = PB y

AQ

1 ^ Por P y Q

se levantan perpendiculares a la base las cuales cortan en E y D aVB yV C respecti vamente. Hallar el volumen del sólido PQDEBC

Resolución.VA 4 En el Bb, VAB : EP = y = | = 2 VAC - Bs. DQC : ^

^

=> DQ = 3

Por condición del problema, el área del A PAQ es 3m2. Es d e c ir:

a 2J 3 = 3

El área del A BAC es :

=> a2J 3 =

(2 a )(4 a)

sen 60° = 4a2^ - = 2(12) = 24m2

Sea «V» el volumen pedido, Vj el volumen del tronco de prisma APQ - VED y V2 el volumen de la pirámide V - ABC.

992


Erneslo Quispe R.

x = 23 ni3

Luego : V - V, ■V, - 1 (24) (4) - 3 ( ^ f ^ )

5.- Se tiene un cono equilátero de altura iguala 4m tomando como diámetro la altura, se construye una esfera. Calcular el volumen del tronco de cono formado. R e s o ly d o n .-

La sección axial del cono equilátero es el triángulo equilátero de altura BO = 4 En el

BOC de 30° y 60° :

En el

BQO de 30° y 60° :

4 73 = 73

BO

R= BQ =

En ei ^ BPQ de 30° y 60° : E nelÉ Ô PQ de 30° y 60°:

^p73

r - 2f

273

=

-J S

0P " T í " 7 Ï

“'

Luego el volumea VT del tronco formado sera

vT. ”® p) Ahura .

ve

+ r2 +

Vf = ^ í^ + 3 + 4

Rr) =

|(1 )

-

r

4

U J

Y

VT=

37n

6.- Se tiene un tronco de coi,o de revolución de altura 3m y radio básicos 3m y 6m. Hallar el volumen del sólido que es la intersección de los conos cuyos vértices son los centros de las bases y las bases de los conos son las bases del tronco.

>» Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

993

El sólido determ inado de volumen Vx esta formado por dos conos de base común. Siendo V, el volumen del cono de vértice P y V2 el volumen del cono de vértice Q , se tiene : 3 Vx = V1 + v 2 = I ^ C P I - iT

h Q)

3.6

En el trapecio rectángulo QPCD : Reemplazando en (1):

= 7 ^ ... (1)

r = g+^

18

=2

Vx = n(2)2

Vx = 4nm3

7.- CalculareI volumen de un tronco de cilindre recto circunscrito a una esfera sabiendo que sus generatrices miden 1 y 4

Resolución.Sea *VX» el volumen del tronco de cilindro Luego :

Vx = tiR j

= — —

... (1)

La sección axial del tronco J e cilindro recto es un trapecio rectángulo ABCD circunscrito a un círculo cuyo radio de la circunferencia mide -/?» Luego por Pithot AD + 2R = 4 + 1 En el Èl^ AHD : Donde :

=>

AD = 5 - 2R

(5 - 2R)2 = 32 + (2R)2

25 - 20R +

Luego :

= 9 + 4A?2 16 = 20R

=>

Sustituyendo (2) en (1) ■Vx = 4 ^ ^ j

R= |

... (2)

v. = f ”

8.- En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de revolución la altura es el doble del diámetro de la base; si el vaso contiene un liquido que ocupa las 3 / 4 partes de su capacidad. Determinar el ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido este por derramarse.

Resolució.i.Asumiendo que el diámetro es 2R , entonces la altura sera 4R la parte no ocupada por Hz0 es V/4 y al ser inclinado el cilindro «0» la parte no ocupada por H¿ 0 tom a la forma de un tronco de cilindro recto. D2 . Luego : v = nR

o

994

Pero :


V = nR2. 4 R = 4tlR3 ; luego :

- 7^ ~

nR2a

Simplificando: a = 2R Finalmente en el

ABC, com o :

Ernesto Qulspe R

e=

45

AB = BC

9.- Se tiene un tronco de cilindro circular recto en que su volumen es numéricamente igual a su área lateral. Si la diferencia entre las generatrices mayor y menor es n; hallar la longitud de la elipse que constituye su base superior.

Resolución.De acuerdo a 'a condición del p roblem a:

/

X 2

v =\ ^ 2j -

Si

^ 2j

\

X

/ 7CR

Reemplazando ■

B

H

82

8i

nR

De donde : R = 2

Al desanoilar la superficie lateral del tronco de cilindro recto se obtiene la elipse, también desarrollada cuya longitud es equivalente a la de la poligonal ABC de longitud «x » En el

AHB :

-gr = (7i/?)z + (g. 5] - g0 ?)z 2 , en consecuencia :

Por consiguiente : x2 = 20n2

= 4n2 + n2= 5n2

x = 2 n j5

10.- Las aristas de las bases de un tronco de pirámide regular triangular miden 2 y 3 ¿A qué distancia ae la base menor se debe trazar un plano paralelo a las bases para que la arista de esta sección mida 2,8 si la altura del tronco es 5?

Resolución.Al completar la pirámide original se determ inan 3 pirámi des semejantes. Luego , considerando la sem ejanza de las pirám ides V - DEF y V - ABC : 3 2

h+5 h

h = 10

Ahora, consiuerando las pirám ides sem ejantes V - ABC y V - TQL:

Donde :

2

10

2,8

10 + x

2x = 8

20 + 2 x = 28 x =4

l

Sólidos Truncados

uls Ubaldo C.

995

11.- En la figura. Hallar el área lateral del tronco de cilinaro cir cunscrito a una esfera de radio R.

Resolución.Sea í..4l » el área de la superficie lateral del tronco de cilin dro recto Luego :

ÁL - 2nR

ÍAB*CD-|

t

... ( 1)

AB + CD = 6R ... (2)

\ AH

La sección axial del sólido es un trapecic rectángulo circuns crito a una circunferencia de radio R. Luego aplicando el Teorema de Pithot : AB + CD = 4R + 2R

\

HP

2R

n

Sustituyendo (2) en (1) AL =2nR

Al = 6 jiR2

(f)

B

eoy

12.- Calcular el urea lateral de un tronco de cono de revolución sabiendo que su altura es de 8m y el segmento de mediatriz de una generatriz ¡imitada por la altura mide 3m.

Resolución.Sea «j4l » el área de la superficie lateral del tronco de cono Luego :

AL = ng(R + r ) ... (1)

En el trapecio rectángulo ABCD trazamos la m ediana MH Luego

MH =

r+R

R+r

NHM ~

DTC: =>

3 S g{R + r) = 48

Reemplaza, .do (2) en (1) : AL = 48 n

( 2)

996


Ernesto Quispe R.

13.- Dado un tronco de pirámide cuyas bases tienen áreas St y S2 se traza un plano paralelo a las bases; dicho plano dista de la base menor «m» unidades y de la base mayor «n» unidades. Hallar el área de la sección determinada.

Resolución.

V

Sea «Sx» el área de la sección m encionada, prolongamos las aristas laterales del tronco hasta que se intersecten en V. Luego por la sem ejanza de las pirámides V - ABC y V - MNL se tiene

(h + m )2

h+m m

De d o n d e :

Js;

h +m

...

(o

En forma similar considerando la sem ejanza de las pirámides V - DEF y V - MNL:

(h + m)

¿$2 ~-JSx

n h+m

Ch-rm + n)

... ( 2)

Dividiendo (1) : (2): S =

Efectuando:

m

+n m+n

14.- En un tronco de cilindro recto se tienen las generatrices AB y DC menor y mayor respectivamente; siendo AD diámetro de la base. Si BD J. BC ; BD = 5 y AD = 4 ; calcular el área de la superficie lateral del tronco.

Resoluclón.Sea Luego :

el área de la superficie lateral del tronco AL = nR2 í S] * 8z

Del gráiico obsei vamos que

...

2R = 4

( 1) =»

R= 2

Además los triángulos CBD y BAD son sem ejantes Luego:

I

Si

y

5

= —

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

Puesto que :

= 3

8i

25 3

Sustituyendo estos valores encontrados de /?,g, y g2 en (1) : .

Al = n (2)2

l =

6871

3 C

2

15.- CalculareI volumen del tronco de cilindro oblicuo mostra do, si sus bases son perpendiculares y sus generatrices máxima y mínima miden 16 y 4

Resolución.Sea «V» el volumen del tronco de cilindro oblicuo Luego :

„ f 16 + 4^ V = tlR^ ¡ — J

=>

V = Ti/?2 . 10

... (1)

En el ^ ALB de 15° y 75° : LM = - 4- = -4 = 4 En el

DLC de 15° y 75°: 4

Luego :

4

2R = LM - LN = 4 -1

R= §

...(2 )


-(irV =

10

45 n

w

~w

997

998


Ernesto Q'jlspe f

Q 16.- En la figura : R = - ^ m , r = 1 m ,g = 1 0 m . Calcular el volumen del cono circular recto del cual proviene di cho tronco.

Resolución.Completamos el cor.o circular recto obteniendo adem ás un cono parcial sem ejante al total 1 L.ueCo :

3 =

á?i ^

S ,= 6

En el k . VO’A’ :

VO’ = J(16)2

Donde :

VO’

=

/

Luego el volumen «Vx» del cono recto sera : \2

'I '® 17.- Calcular el area total de un tronco de cono de 35m de generatriz circunscrito a una esfera cuyo radio mide 1 0 j3 m

—

Resoluclón.-

>

Sea «Aj.» el área total del tronco de cono Luego : En el Donde : A hora:

AT n(35) (R + r) + tu2 + nR2. 0 )

DTC : (R - r)2 = (35)2 - (20 V3 )2

/ /

20V5

i 20V3.

\ V? 35

(R -r )2 = 1225 - 1200 = 25 R -r= 5

R = 20

R + r = 35

r = 15

~ lJ^ n i r T

Sustituyendo estos valores obtenidos en la expresión (1) : At = 35 n (35) + n (15)2 + n (20)2

Luego :

\

Ay = 1225 n + 225 n + 400 n

= 1850 n

R-r \

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

999

18.- En un tionco de cono de bases paralelas a que distancia de la base menor se debe trazar un plano paralelo a esta para que el área de la superficie resultante sea Ir media aritmética de las bases, si los radios de las bases miden 2 y 8ni. Ademas la altura del tronco de cono mide 6m.

Resoluc-on.-

+ ng2

Por condición del problem a : m2 = ----- ^----- = Jt. 34

=*

r = ¿34

Al completar el cono que dió lugar el tronco, se determ i nan tres conos semejantes. Luego se tiene :

2 -g =

A dem ás:

2 r

Donde :

h

=>

h h+x

h= 2 ?

2

2 + x = J34

19.- Hallar el volumen de un tronco de prisma triangular regular, si sus aristas laterales miden 1 ,2 y 3, ademas su base esta inscrita en un círculo de radio 2 3

R esoludón.Sea «V» es volumen del tronco, luego : Donde : En el triángulo equilátero ABC :

Ahora .

AH = 3^3 V = 1&V3

20.- Calcular el volumen del tronco de cono recto que se pusde construir con la figura sombreada, si OM = MB = 8m y O C =O B

B


1000

8

Resolución.-

M

Ernesto Qulspe R

8

E1 trapecio circular BMNC deter mina el tronco de cono circular recto de radios básicos r y R don de la longitud del arco MN es 2nry

\A

/

H

V

2 Tn

la de BC e ¿ 2nR

2 -\

R =j

Luego :

LMN = 2jtr = 4ji

r= 2

Tam bién:

L BC = 2nR = 8jt

R= 4

En el fc, ATC :

H

H2 = 82 - 22 = 64 - 4

Luego el volumen VT del tronco será

H = 2VÏ5

vT= vT =

jt(2Vl5j (42 + 22 + 4 . 2) 3 5ejt>/Ï5

21.- Un tronco de cono de revolución de altura 12m tiene por base mayor un circulo de radio 10m, si el volumen del tronco de cono es 700m3 . ¿Cuál es el volumen del cono ?

Resolución.Sea «r» el radio de la base m enor del tronco v Luego : =>

(r2 + 102 + lOr) = 700 n 1? + 1 0 r-7 5 = 0

r-^ + 1 5 rS ^

De donde :

- 5 r= 5

fc, VMA ~ fc, VOB

_5_ 10

H - 12 H

De donde : H = 24 Finalmente el volumen del cono total sera :

V = -^jt(lO)2 .24

V = 800ran3

Sólidos Truncados

Luis Uboldo C.

1001

22.- En un tronco ae cono de revolución los radios básicos miden 3 y 6m, tu esfera inscrita en el tronco de cono determina dos troncos cuya relación de volúmenes se desea calcular.

R esoludón.Pr.meramente calculemos el .adió «r» de la circunferencia formada por los puntos de tangencia de la esfera y la superficie tronco cónica, para lo cual consideramos En el

BTC : BT = Í9 2 - 3 2 = 6^2

Considerando la sem ejanza de los trián gulos BEM y BTC : EM

3 = g

=>

EM = r - 3 = 1

De d o n d e : r = 4 , BE = OS =

\3 2

- l 2 = 2 ^ 2 y SO’ = 6 ^ 2 - 2 ^ 2 = 4 ^ 2

Sean Vj y V2 los volúmenes de los troncos m enor y mayor

V, LUPS° 1

IE^ ^ ( 3 2 + 4 2 +3.4)

V2 “ 7t(4v/2 ) 2 2 ----2----í 4 + ° +4.6)

37 V2 - 152

23.- Los radios de las bases de un tronco de cono miden 2 y 6. ría llar el área de la sección paralela a las bases y equidistante de ellas.

Resolución.En el trapecio rectángulo ABCD OK es m ediana Luego :

OK = R =

=>

R= 4

Nos piden calcular el área de la sección circular .Ax Luego :

Ax - nR2 = n (4)2 A = 16 n

24.- Las bases de un tronco de cono Je revolución miden Qitm2 y l&itm2 y su altura mide 7m. Caicular el radm de la esfera circunscrita


1002

Ernesto Quispe R.

Resolución.Por dato del problem a:

jt(PB)2 = 9ji

=>

PB =3

Tam bién:

jt(QC)2 = 16ji

=>

QC = 4

Empleando el Teorema de Pitágoras En el En, OPB :

R2 = (7 - o)2 + 32 ... (1)

En el &n. OQC :

R2 = o2 + 42

De (1) y (2) :

... (2)

49 + a2- 14o + 9 = a2 + 16

Efectuando : 58 - 14a = 16 Por consiguiente : 42 = 14a En (2):

=>

R2 = 32 + 42

a= 3 R= 5

25.- La generatriz de un cono recto circular mide 20m y el radio de la base mide 12m se traza un plano paralelo a la base de modo que el tronco de cono resultante sea circunscriptible a una esfera. Hallar el volumen del cono menor.

Resoluclón.En el kx VHB :

VH = ^202 -1 2 2 = 16

y m i HBV - 53 =>

m 4~ HBO = m 4- OBV = ~

En el ^ OHB d e y : Luego :

R= 6

VT = VH - TH VT = 16-2(6) = 4

En el &n. VTM de 37° y 53° : Finalmente el volumen pedido será :

TM = 3 V = ^-Jt(3)2 .4 V = 12tc

26 - En un tronco de cono rec:o los radios de las bases miden 2 y 8 , po¡r el centro de la esfera inscrita en el tronco se traza un plano paralelo a las brses. Calcular el volu men del tronco de cono formado por dicho plano y su base menor.

Sólidos Truncados

Luis Uboldo C

1003

Resolución.A1 trazar la paralela por el centro O de la esfera inscrita, se determ ina com o sección un círculo de d iá m e tro : «ni 4+16 MN = —„— = 10 En el

AOB :

R2 = 2 .8

=>

R= 4

Finalmente si V es el volumen del tronco Entonces :

V = ^

(22 + 52 + 2 . 5)

Reem plazando:

V= —

jt - 4

—

(4 + 25 + 10)

V = 52 n m 3

27.- Las aristas de las bases de un tronco de pirámide triangular regular miden x e y , se traza un plano paralelo a las bases que determina una sección de arista «z» . Hallar la relación entre los volúmenes de los sólidos determinados.

Resolución.Sean V, y V2 los volúmenes de los sólidos determ inados y V el volumen de la pirámide V-ABC por semejanza de pirámides V +V .-V V -V,

3

z -x

V+V, V + W 2

3 -

V+V,i

z 3

3

( 1) V+V, + V2-V - V , V+V,

y3 y -z

23 _ x 3

v+v,

z3

y3 - Z?

3

V+V,

... ( 2 )

V

Dividiendo (1) —(2) :

_L _ 2

3

3

x 3 y -2 3

1004


Ernesto Qulspe R.

28.- Calcular el ángulo del desarrollo de un tronco de cono de revolución si los radios de sus bases miden r y R siendo su generatriz: g = 5 (R - r)

Resolución.-

Completamos el cono prolongando las generatrices del tronco de cono Sea VC = g j la generatriz del cono Luego :

VHC ~ Bx ABC :

Puesto que :

g

H- r

g = 5 (/? - r)

Luego: Al desarrollar la superficie lateral del cono se determ ina el sector circular de radio «g,» R

g,

0 360

1 5

6 = 72

29.- Determinar el área de la superficie lateral máxima de un tronco de cono circular recto, si la suma de la generatriz y los diámetros de las bases es K.

Resolución.-' Sea «Al » el área de la superficie lateral del tronco de cono Luego : AL = n g (R + r) Por condición del problema

-

g + 2r + 2R = K

( 1)

Luis Ubaldo C.

Sólidos Truncados


fK -g

■ngK

AL = ng I —rj—

2

2 = 71g

s =

2

2 2 ttg

jtK

Derivando i Lueoo :

71g

1005

'

2

K

En (1) : 30.- En un tronco de pirámide regular triangular las aristas básicas miden a y b . ¿Cuánto debe medir la arista de la sección determinada al trazar un plano paralelo a las bases para que los sólidos resultantes sean equivalentes.

Resolución.Completando la pirámide total V - ABC se determ inan las pirámides sem ejantes V

- DEF ~ V - PQR - V - ABC

V.

3

Luego • y,l + V v - x3

V. + V-V, V, + V

x3 -o 3

3

x -a

3

3

••• ( 1 )

V V x 3Vj + 2 V -V ,-V 63_ x3 V1+ 2V ~ b* v,+v .3

b -x

3

... ( 2)

V, + V 3

Igualando las expresiones (1) y (2) :

x -a

3

,

3

3

b -x

3

- f

.3

+b

31 - En un tronco de pirámide pentagonal regular se traza un plano paralelo a sus bases de aristas a y b . Cuánto debe medir la arista de esta sección para, que su área sea igual a la semisuma de las áreas de las bases?

1006


Ernesto Quispe R

Resoluclón.-

V

Sean las aristas de las bases de! tronco de pirámide sea A el área de la sección. Luego

A=

2

Aj + A

A] + A2

= 2

1

Por semejanza de pirámides se tiene :

yAr Además

— =

a

Sumando las expresiones (2) y (3)

a2 + b 2

A¡+A2

Se tiene :

Igualando (1 ) y (1) : 2 =

a 2 + bj2

x —

i.2 a2 +b

32.- Las áreas de las bases de un tronco de pirámide regular triangular son A 1 y A¿ , se traza un plano paralelo a las bases. ¿Cuál debe ser el área de la sección para que su arista sea igual a la semisuma de las aristas de las bases?

Resolución. Las pirámides V - DEF y V - PQR son sem ejantes. , Luego :

^1 — = o- 2j "x

*

X

Así también las pirámides V - PQR y V - ABC son sem ejantes

Â2

b2

= x ~ (2) _ g +b

( 1) + (2 ) :

Puesto que : x =

V

Jk

~

x a +b = 2 a +b

a +b

A =

jÁ i +

4^2

\2

Sólidos Truncados

Luis Uboldo C.

-i

1007

33.- La figura mostrada representa un tronco de cilin dro recto, si m 4 AOC = 90 «O» es centro, AB = 6 y CD = 2 . Calcular el volumen del tronco.

Resolución • Sea V el volumen del tronco. Luego : => ABO ~

=> (2) en (1) :

V = 7i/?2

'6 + 2

V = 4ttJ?2 ... (1) ODC :

f =^

R* = 12 ... (2) V = 4ti(12) V = 48 ron3

34.- En un triangulo squilátero ABC, por sus vértices se levantan las perpendiculares a dicho triángulo tales como AM = 1, BN = 2 y CP = 3. Si el área del desarrollo de la superficie del tronco de prisma es 6crr?; hallar el volumen del tronco de prisma.

Resolución.-

Por condición del problema, el u ea de la superficie lateral e s : 6=

(3+ 2) (1 + 2) (1 + 3) a + a + —— a 2 2

Por consiguiente:

3 la 5 2 ° + ■¿ + 2 °

De d o n d e :

6o

a

12a 2

1008


Luego el volumen V del tronco ser¿ .

Ernesto Quispe R.

V=

V= 35.- Hallar el volumen del tronco de cilindro oblicuo, cuya generatriz máxima mide 2 ?[4 ; la generatriz mínima es nula y las bases del tronco son iguales y perpendicula res entre si.

Resoluclón.J 2^4+0l Sea V el volumen del tronco, luego : V = Tiri — 2—

( 1)

V = nr2 .%4

Donde : En el Bx ABC de 45° : BH = 2r =


2ÍÍ4

V

2

C2)

B

3/4 = V = ron3

36.- Calcular el área de la superficie lateral de un tronco de cono de generatriz «g» circunscriptible a una esfera.

Resolución.Sea A el área de la superficie lateral del tronco Luego :

A = raj (r + /?) ... (1)

En la sección axial del tronco de cono se determina un trapecio isósceles, circunscrito a una circunferencia. Luego por Pithot:

g + g = 2r + 2R

Donde :

R +r =g

... (2)

Reemplazando (2) en (1) : A = rtg2 37.- Un tronco de cono de radios básicos a y b esta circunscrito a una esfera. Hallar el volumen del tronco.

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

1009

Resoiucion.Sea «V» el volumen del tronco, luego : V=

71(2 R)

(o2 + b2 + ab) ...

La sección axial del tronco de cono es el trapecio isósceles ABCD. En donde :CP = CK = a y DQ = DK = b En el

COD : R2 = ab =>

R = Job

... (2)

Sustituyendo (2) en (1) : V = jj n m A (a 2 + b2 +ab)

38.- Calcular la longitud de la altu. a de un tronco de cono, cuyos radios básicos miden 6 y 3, si la suma de las áreas de las bases es igual al área lateral del tronco.

Resolución.Pur dato del problema :

n'ó1+ Jt62 = jig (3 H 6)

Por consiguiente :

45n = n x g . 9

=»

/

!> ^Â

S=5

En el trapecio rectángulo ABCD, trazamos BH J. CD. Luego : AB = DH = 3 , BH = h y HC = 6 - 3 = 3 Finalmente en el

BHC :

h2 + 32 = 52 h = 4

39.- Calcular ul volumen dei tronco de prisma oblicuo, cuya sección recta es un triángulo equilátero de lado «a» y además el área lateral es S.

Resolución. Sea «V» el volumen del tronco Luego :

V = Àrea (S. R) •

( AB+ CD+ EF 'j

1010

Ernesto Qulspe R.


Reemplazando : V =

a%¡3 ( AB+ CD+ EF 'j

— ■ I ------- g------- I ... (1)

Por condición del problem a :Su área la te ra l: ( AB+ CD'j ( CD+EF'\ S = [ — 2— ) a + { — 2—

J o +( AB+EF^ 2— j a

Ahora : S = ~ (2AB + 2CD + 2EF) =>

S —o (AB + CD + EF)

De donde :

AB + CD + EF = — ... (2)


V=

^ j S aJ 3

V= ■

12

40.- Un tronco de cono de radios básicos 4 y 9 está inscrito y circunscrito a dos esferas. Hallar el radio de la esfera circunscrita.

Resolución. E nelB ^C O ,D :

0,K =

Sea “O” el centro de

la

= ^ 9 = 6

R2 = o 2 + 92

En el 6^ OBC:

R2 = 42 + (12 - o )2

De donde :

a2 + 81 = 16 + 144 - 24a + a 2 a =

79 24 + 81

Finalmente : R2 =

AB = 12

esfera circunscrita de T a d i o R. Por el Teorema de Pitágoras

En el fex OAD :

Luego :

=>

6241 + 46656 576

R = 9,6

52897 576

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C

1011

41.- En el gráfico determinar la relación de vo lúmenes de los sólidos, si las generatrices del cono están inclinadas 53gcon respec to a la base, adem ás: AB = BC = 2CD

R esolu ción .

Sean V j, V2 los volúmenes del tronco de cilindro y cono respectivamente, nos piden : 7 t.( 3 n )

1L V2

2 ( 8n + 4n

-

i.7 i(7 ,5 n )2.10n

36 125

Resolviendo :

42.- Calcular el volumen de un ciiindro oblicuo de bases elípticas cuyos semiejes paralelos son AB y Cb donde M y N son sus punios medios respectivamente. Sobre el arco CD se ubica ei punto “P ” de lal manera que m 4- PND = 90°, m 4 PMN = m 4 NPD, además AC = 16 y AB = 8. Siendo la proyección de M en la base inferior N. R esolu ción .-

En el gráfico Ex PNM ~ Ex PND n

j4

16

n

n = 8

Nos piden : Vx = n . 4 . 8 . 16 = 512 n V = 5 1 2 71

IB

1012


Ernesto Qulspe R.

PROBICMAS PROPUESTOS 1.- Se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regular circunscrito a una esfera, si las áreas de las bases del tronco son 4 y 36. Calcular la medida de la diagonal del tronco. A ) J Í7

B )J Í9

D )2 7 U

E)2>/7

C) V21

A) yj A{A2 ese 0 / .

2.- Las áreas de las bases de un tronco de pi rámide son 1 y 9. Calcular el área de la sección transversal, cuyas distancias a la base menor y mayor están en la relación de 3 a 1 respecti vamente. A; 3/8

B)4/25

D)8

E)25/4

ángulo cuya medida es «0». Calcular el área de la superficie lateral de dicho tronco. Si A t y A2 son las áreas de las bases (A { > A2)

B)

D)

A Aa sec0

E)

A ~Aa 2sec0

. \ + A2 sec0

C)(A - A2) sec0 7.- Calcular el volumen de un tronco de cilin dro circular recto circunscrito a una esfera de radio «A?», además los planos de sus bases forman un ángulo diedro que mide 45°

C) 1/15

3.- Las aristas laterales de un tronco de prisma oblicuo miden 2,3 y 5 formando un ángulo de 60° con el plano de la base. Hallar el volumen de cicho tronco de prisma, si el área de la base esl5>/3

A )n R \y f2 + 1)

D ) ti/?3(V6 +2)

B ) ti/?j (1 + V3)

E)7ifl3(V6 +3)

C ) ti/?3(V2 + 2)

A) 70

B)75 C)80 D)85 E)90 8.- Calcular el área de la superficie lateral de un tronco de prisma recto triangular, cuyas 4.- Calcular el volumen del tronco de cilindro aristas básicas miden 8 ,6 y 12, las aristas late circular recto circunscrito a una esfera, si las rales opuestas a estos lados miden 15, 10 y 5 generatrices máxima y mínima miden 20 y 5 respectivamente. A) 20071 B) 14471 QlOOrc A) 270 B)265 C)260 D)255 E)250 D) 13471 E)867t 5.- En un tronco de pirámide regular de base cuadrangular, el plano que pasa por el lado de la base menor forma con la base mayor un án gulo de 60°. Calcular el volumen de dicho sóli do si los lados de las bases miden ~J3 y 3 V3 A) 64

B)68

C)72

D)78

9.- Se tiene un tronco de cilindro oblicuo, cu yas bases son congruentes y los planos que las contienen forman un diedro que mide 60°. C a lc u la r el volum en del só lid o si sus generatrices mayor y menor miden 9 y 3 res pectivamente.

E)82 A )8 l7 t

6.- En un tronco de pirámide ene-angular, sus caras laterales forman con su base mayor un

B) E)

8 l7 t

2 8171

C)

2771

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C.

10.- Por los vértices A y C de un cuadrado ABCD se levantan las perpendiculares AE y CF al plano del cuadrado. Hallar el volumen del sólido que se obtiene al unir los extremos de las perpendiculares con los vértices B y D y con E y F; si AC = 4-j2 , AE = 5 y CF = 7 A) 32

B)40

C)48

D)64

E)70

11.- En una mesa se tiene un vaso que tiene la forma de un tronco de cilindro oblicuo, donde AC y BD son las generatrices máxima y míni ma respectivamente (A y B sobre la mesa) en dicho vaso se vierte un cierto líquido tal que la superficie superior divide al vaso en dos sólidos equivalentes, tal que sobre dicha su perficie están los puntos M y N (M e AC y N £ B D )C alcu larC M ,siD N = ay B N = fc A) 2a - b D )2 b - a

B ) a+2 b

E ) ^ ~ -

12.- Un reservorio de agua tiene la sección que se muestra (n = 3) . Hallar el volumen.

1013

14.- Se tiene un recipiente de la forma de un tronco de cono recto cuyos radios de sus ba ses miden 3 y 6, contiene agua hasta los 2 / 3 de su altura total, se introduce un sólido cuyo volumen es 182rc tal que el nivel del agua se eleva hasta enrasar la base superior. Calcular la altura del recipiente. A) 12 B)15 C)6 D)18 E)9 15.- Calcular el area de la superficie lateral de un tronco de cono recto circunscriptible de generatriz «6» A) 3671

B)387i

D)42ít

E)45ít

C)40rr

16.- Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 1 y 3. Calcu lar la arista de la sección paralela a las bases que determina los sólidos cuyos volúmenes son entre si como 7 a 19. A)J 2

B )l¡2

C )IÍ4

D )V 4

E )l/5

Vista Horizontal C)68

Vista Frontal

E)94

13.- Los radios de las bases de un tronco de cono circular recto miden 3 y 6 y la generatriz mide 6. Calcular la relación entre las áreas de la superficie total de dicho tronco y su superfi cie lateral. A) 13/8

B)8/5

D) 11/6

E) 11/3

C)25/16

17.- Se tiene un tronco de cono recto cuyas bases miden 7/n2 y 9 nm2 de área, si un plano paralelo a las bases pasa por el punto medio de sus generatrices. Hallar la razón de los vo lúmenes de los sólidos determinados por di cho plano. A) 1/3

B) I

D)5/13

E)7/19

C) 1/9

18.- En un tronco de cono recto se inscribe una esfera de radio «r» la proyección de la esfera sobre la base del cono es un circulo que esta inscrito en un triángulo que a su vez

1014


está inscrito en un triángulo que a su vez esta inscrito en la circunferencia que limita el cír culo de la base del cono. Calcular el volumen del cono. A) 7/2 n r 3

B) 5/6 Ttr3

Dj 6/3

E) 3/5 Ttr*

T tr3

C) 3/7

B) 4 nR3/7

D) 4 nR3/3

E) 2 nR3/9

B) 2

C) 2,5

D) 4

C) 9 7t/?3/4

E) 3

21.- La ugura muestra un tronco de cono de levolución (QB : generatriz). Calcular su vo lumen, s i : AB - BC ; R = 10 ; QO -- QB v V (Q - ABC) = 400 y A)

800

B) 167t(3 + >/2 ) / 3

D) 287t 1 3 E) 47t(6 + y¡2 ) / 3

C) 87t(3 + J Í ) / 3

20.- En un tronco de cono recto, la altura mide 3 y los radios de las bases miden 1 y 4. Calcu lar a que distancia de la base mayor debe tra zarse un plano paralelo a las bases tal que di vida al tronco de cono en 2 sólidos cuyos vo lúmenes estén en la relación de 1 a 8. A) 1

A ;4 7 t(3 + V 2 )/3

nr3

19.- Dado un tronco de cono recto de bases paralelas circunscrito a una esfera de radio R. Calcular el volumen limitado por la superfi cie esférica y la superficie del tronco de cono, si se sabe que el área de la superficie total del tronco de cono es el triple del área de la su perficie esférica. A) 8 nR3/3

Ernesto Qulspe R.

71

B) 850 7i

23.- En un cono de revolución de 18»i de al tura y 9 m de radio básico, se traza un plano paralelo a la base que dista 6m del vértice. Hallar el volumen del tronco de cono determi liado. A) 234 71m3

B )4 3 2 n w

D) 446 71m3

E) 480 nm3

C)4687i/n3

24.- Las áreas de las bases de un tronco de pirámide regular son 2,25 cm2 y 6,25 cm2, se traza un plano paralelo a las bases. Calcular el área de la sección determinada para que su arista sea igual a la semisuma de las aristas de las bases. A) 3 eni2

B) 3,25 cm1

D) 4 cm2

E) 5 cm2

C) 3,5

cm2

25.- Las aristas de las bases de un tronco de pirámide pentagonal regular miden 1 y 2, se traza un plano paralelo a dichas bases que determina una sección cuya arista m ide: V ^ • Hallar la relación entre los volúmenes de los sólidos resultantes. A )|

B )j

C) 1

D )|

E )|

C) 700 7t D) 750 7t E) 900 n 22.- Dado un hexaedro regular cuya arista mi de 4. Calcular el volumen del tronco de cono, en donde una de sus bases es el círculo cir cunscrito en el cuadrilátero que resulta al unir los puntos medios de los lados de una cara y la otra base es el círculo inscrito en la cara opuesta.

26.- En un tronco de pirámide octogonal re gular la arista de la base menor mide 3, se tra za un plano paralelo a sus bases que determi na una sección de arista 4. Calcular la arista de la base mayor, sabiendo que el área de la sección es igual a la semisuma de las áreas de las bases del tronco. A) yjJi

B) J2A

D) 726

E) V27

C) J25

Sólidos Truncados

Luis Ubaldo C

27.- Calcular el volumen Je un tronco de cono Je revolución si la diferencia de los cubos de sus radios es 81 m3 y la generatriz del tronco es 7IÓ veces la altura. A)6ran3

B)9nm

D'' 12ro?i3

E) 187r/n3

A)3V

B) V/3

C)2V

D)V/2

1015 E)V

32.- En la tigura el tronco de cono es equiva lente a la mitad del cilindro recto. Calcular el volumen del cono pequeño.

C) 1571n?

28.- Se tiene una cuña tronco cónica de ángu lo central 24° de altura 15m y las áreas de sus bases 2 m2 y 8m2. Calcular su volumen. A)

28

D k 14

B)t

D)7

C)28

E) 14

29.- En un tronco de cono de revolución de volumen 287tw¡3, los radios de sus bases mi den 1m y 4m. Calcular la n.edida del ángulo que forma la generatriz con el eje del tronco A) 30°

B) 37°

C) 60°

Dj 45°

A)

B)

E) 53° C)

30.- Calcular el área de la superficie lateral del tronco de cono mostrado; a = 2 y b = 8

7tR

71R

E ) í § - ( 2 + V3) 6

7iR

(2 -V 3 )

33.- El radio de la base de un cono de revolu ción mide 2 -J3 m, este sólido esta circunscrito a una esfera de radio 3m al trazar un plano paralelo a la base del cono y tangente a la esfera se determina un tronco de cono. Calcu lar el volumen de este sólido A) 557wi3

A)1807t

B) 17071

D) 15071

E) 12071

„11971 3 B ) —=— m

C) 1&U71

31.- Se consideran 3 sólidos : un tronco de cono, un cono y un cilindro de revolución de igual altura los tres; el radio de la base del cilindro es igual a la semisuma de los radios de las bases del tronco. F.l radio de la base del cono es igual a la semidiferencia de los radios básicos del tronco si la suma de los volúme nes del cono y del cilindro es « V »; calcular el volumen del tronco

Di) — 11771 m3 D „ - m 34.- El apotema de un tronco de pirámide hexagunal regular mide 7,2cm y su arista lateral mide 10,4c»i; si la longitud de la arista de la base menor mide 25,6 cm ¿Cuánto mide la arista de la base mayor? A)41,6 ctm

B)42,6cw

D)44,2cm

E)43,2cm

C)40,6cw

1016


35.- La generatriz de un tronco de cono mide 13rw, su altura mide 5 m si el radio de la base mayor es el triple del radio de la base menor. Calcular el área de la superficie total del sólido. A) 670 n m 2

B)

673

nm2

D) 678 nm2

E) 672

nm2

n í\/2

B)

n l2 S

B)

C) 679 n m C)

36.- La generatriz «/» de un tronco de cono forma 45° con la base inferior y es perpendicu lar a la iccta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Hallar su área lateral. A)

A)

Ernesto Quispe R.

n (a 2 - b 2 )

2 (c o ta + cot0) n ( a 2 - b 2)

c o ta + c o t0

ni

E)

E)

n (a 2 + b 2 )

2 (c o ta -c o t0 ) n (a 2

-

b2)

tg a + tg0

n {a 2 + b 2 )

c o ta - c o tG

39.- Un tronco de cono esta inscrito en una esfera de radio/?, las bases del tronco de cono determinan en la esfera dos círculos cuyos diámetros en la sección recta, subtienden ar cos de a y b . Hallar el área lateral del tronco.

C ) n 12 J 2

A )2 ^ D)

D)

se n (H ± B c o s (íz P )

n l2 J l ,,

B) 27t/? sen

(a + P )

37.- Se inscribe una esfera de radio «r» en un tronco de cono. Hallar el área de la superficie lateral máxima que puede tener el sólido.

C) 2 n R 2c o s — y ~

A) 47i r

B )2n i2

D )2 ^ c o s í ^

D )5n i2

E)6nr2

C ) 3 n i2

E) Trisen— 38.- Hallar el área de la superficie lateral del tronco de cilindro oblicuo mostrado. Si : AB = a y CD = b

40.- Se dan dos esferas tangentes exteriormente de centro.; O y O! y un cono circunscrito a ellas Calcular el área de la superficie lateral del tronco de cono cuyas bases son los círcu los, a lo largo de los cuales las esferas hacen contacto con la superficie del cono si los ra dios de las esferas miden R y R t A )4í i R R t

B )2nR R l

D)67iRRl

E)87tRR}

C) n R R ¡

29.1 ESFERA T SUPERFICIE ESFÉRICA Llámese esfera a un sólido limitado por una su perficie en la que todos sus puntos equidistan de un punto interior denom inado centro (O). (Fig. 29.1) La superficie se llama superficie esférica y el segm ento OP que une el centro O con un punto P de la superficie esférica se denom ina radio

1

AREA DE UNA SUPERFICIE ESFERICA (A

W-w

)

El área de una superficie esférica es igual al quàdruplo del área de un círculo máximo. ... ( 2 9 .1) 2.- VOLUMEN DE ÍA ESFERA (VF)

El volumen de un esfera es igual a — del área de círcu lo máximo multiplicado por la longitud del radio

29.3

miso ESFÉRICO T CUÑA FSFÉRICA

Se llama Huso Esférico a la superficie en gendrada en una circunferencia que gira un án gulo m enor que 360° alrededor de su diámetro. (Fig. 29.3a) Cuña esférica es el sólido engendrado por un semicírculo que gira un ángulo m enor que 360° alrededor de su diámetro.

I

VF = J n J f3

... (29 .2 )

1018


Ernesto Qu/spe R

2 9 A ZONA ESFÉRICA T SEGMENTO ESFÉRICO 1 Z O i na ESFÉRICA

Es la porción de superficie esférica limitada por dos planos paralelos; por ejemplo; la zona ABCD. (fig.29.4) Estos planos cortan a la superficie esférica según dos circunferencias paralelas llamados bases de la zona; la dis tancia entre los planos paralelos es la altura de la zona. Por extensión también se llama zona esférica a la por Fig. 29.4 ción de superficie esférica limitada por un plano secante y otro tangente, aunque es más conveniente llamarle en este caso Casquete Esférico, por ejem plo, el casquete esférico EGF Si «/?» es la altura de 1? zona esférica (en los dos casos) y R el radio de la superficie esférica su área A s e r á : A = 2n Rñ ...(29.3) 2.- SEGMENTO ESFÉRICO

Es la porción de esfera com prendida entre dos planos paralelos, o bien, la porción de esfera com prendida entre una zona y sus bases. La distancia entre los dos planos para lelos se llama altura del segmento. Si am bos planos cortan a la esfera, los círculos que determ inan son las dos bases del segm ento y éste se llama segmento esférico de dos bases por ejem plo el segm ento ABCD. Si uno de los planos es tangente a la esfera, la sección correspondiente se reduce a un punto y el segm ento no tienen m ás que una base, está limitado por un círculo y un Casquete esférico; por ejemplo el segm ento esférico EGF. Si a es el radio de la base y h la altura del segmentó esférico EGF, su volumen (V) s e r á ;

v = —tJi 3 + —•nha2 ® 2

Si a y b son los radios de las bases del segmento r- ■ AD/-r> 1. 1* I \r esfenco ABCD y h su altura, su volumen V sera :

V=

... (29.4)

1 .3 , 1 f 2 . . 2-» mn ei Tul + „ 71/1 (a +b ) ...(29.5) 6 2

29.5 SECTOR ESFÉRICO T . \MILLO ESFÉRICO SECTOR ESFÉRICO

Llámese Sector Esférico al sólido engendrado por la revolución de un sector circular alrededoi de un diámetro cualquiera. Si el sector AOB gira sobre el diá metro MN, engendra el sector esférico AB - O- A’B’. La zona engendrada por el arco AB del sector circular generador se llama base del sector esférico.

Fig. 29.6

La Esfera y sus Partes

Luis Ubaldo C.

El volumen V del sector esférico es :

V = ^nR 2h ó

1019

... (29.6)

ANILLO ESFÉRICO

Se llama Anillo Esférico al sólido engendrado por un segm ento circular que gira alre dedor de un diámetro exterior a dicho segmento. El anillo está limitado interiormente por una superficie cónica y extericrmente por un Casquete esférico si la cuerda AB no es paralela al eje MN, interiormente esleirá limitado por un tronco de cono y exteiiorm ente por una zona esférica de dos bases y si la cuerda AB es paralela al eje MN, interiormente estará limitado por una superficie cilindrica y exteriormente por una zona esférica.

V = y jiA B 2/j

V=

AB2h

V = jn h 3 Fig. 29.7

29.6 PROPIEDADES I ra PROPIEDAD

Toda sección plana de una esfera es un círcu lo, síguese de este enunciado que si el plano secan te no pasa por el centro se obtendrá un círculo m e nor y si pasa por el centro un circulo máximo.

Círculo Menor Círculo Máximo

Fig. 29.8 2 da PROPIEDAD

La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo m enor de la esfera es perpendicular al plano del círculo.

Fig. 29.9

1020


Ernesto Quispe R.

3 ra PROPIEDAD

4 rA PROPIEDAD

Planos equidistantes del centro de una esfera la cortan en círculos iguales.

Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por el pun to de contacto.

€J€RCICI0S ú€ APLICACiún 1.- Hallar el área de la base del casquete mostrado de 2m? de área, si el radio de la esfera mide

Jn

m.

R esolu ción .-

Se sabe que el área del casquete es :

AC = 2nRh

Datos : A = 2m2 y R = - j = 1

Reemplazando : 2m = 2n

h =

Ahora, como «ft» a resultado ser igual al radio R de la esfera, entonces la base del casquete estará pasando por el centro de la esfera f

Entonces :

Abase = nr2 = n

1_

V

{J ñ ,

i4,base = 1m s

2.- Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y sus alturas iguales al diámetro de una esfera. La suma de los tres volúmenes es 314, Wm3 , hallar el volumen del cilindro.

Luis Ubaldo C


1021

R esolución.2

—““ J

2

Volumen del cono recto

V. = HE-L. = 1 3

(?/?) 3

Volumen del cilindro :

V2 - nR7h = nR2 (2R)

2R __

A

Volumen de la esfera : Como se sabe que

2R

^ = 3K V, = V2 + V3 = 314, 16/tj3

2 Entonces : — ■S? .R) + nR2 ( 2R) + *nR3 = lOOrt 3 «5 Luego :

27i/f3 = 50n cilindro = 50it = 50 • 3,1416

c ilin d r o

= 157,08 m3

3.- Hallar la altura del casquete esférico sabiendo que la suma de su área y del área de su base es igual a los 7/16 del área de la esfera, cuyo radio es 8m.

Resolución.Sabemos que el área del casquete es : Ac = 2nRh = 2n (8) h Ahora el área de la base circular :

Ab = n 2 = 7t[82 —(8 —/7)2]

También el área de la esfera :

A£ = 4nR2 = 4ji (8)2

Entonces de acuerdo al enunciado :

+ ^b

J6

Reemplazando :2ti(8)h + n Í82 - ( 8 - h ) 2 ] = ~~ (4ti(8)2) L J 1Ò Efectuando D onde:

16nh + n [64 - 64+ \ 6 h - h 2 ] = 112ji 32h = \\2 + h2

h = 4m

4.- Hallar el volumen del cilindro recto de 24m de radio de la base y que se halla inscrito en una esfera de 25m de radio (El centro de la esfera es interior al cilindro)

Resoluclón.Sabemos que :

Vci| = nr^h

Entonces calculemos «ft»

Ahora trazamos AD = 25 y como AB = 24 Utilizamos el Teorema de Pitágoras :

OB = v^252 -2 4 2

* Problemas de Geometría y cómo resolverlos

1022 Donde :

Ernesto Qulspc R.

h = 14m

OB = 7

Luego :

V = n (24)2 (14)

Es decir

V = J t. 576 . 14

V = 8064n m s

5.- En una esfera de radio «R» hallar la altura de una zona de una base, tal que la super ficie de esta zona aumentada de la superficie de la base sea igual a los 7/16 de la superficie de la esfera.

Resoluclon.Por condición del problem a : 2nRh + n i2 = y - 4 nR2 16 Simplificando :

2Rh + r2 = ^ R 2

...(1)

4

Por Propiedad :

r2 = AB • BC

Reemplazando :

r2 = h (2R - h) ... (2)


2Rh + h (2R -h ) = -jR 2

Donde :

4h7 - 1f,Rh + 7R2 = 0

h =

6.- Dado el cono de revolución de las esferas inscritas de radios 2 y 6 . Hallar el volu men del cono.

Resoluclón.En el

ABC de 30° y 60° : m 4- BAC = 30°

Además :

m 4- AEF = 30°

Esto quiere decir que :

AE = 2

L uego:

EH = 9

Por consiguiente :

HF =

Tam bién:

EF =

Luego :

V=

_9_ n

18 V3 71

9

UJ

V = 847T :m3

9 3


Luis Ubaldo C.

1023

M is c e lá n e a 1.- Se han tomado dos vértices opuestos de un cubo y por los puntos medios de seis de sus aristas que no pasan por estos vértices se ha tiazado un plano secante que divide al cubo en 2 partes. Hallar el área de la superficie esférica inscrita en una de estas partes si la arista del cubo mide 3 + -Í3

Resolución.Sea ABCNMD el hexágono regular obtenido en la sección del cubo, luego : MN = ^ 4 2 El área del hexágono es : A¡ =

En el Ex ATO :

O

T

= ^ a 2,f3

- l f ^

p

J

OT =

3 a j2

Luego el área de la superficie lateral de la pirámide hexagonal regular ABCNMD es :

i \ AK~~

Su altura OH es

2

—

El volumen de la pirámide es :

X

| /i, ■OH = | (At + A2)R

7 '• \ *• %w¡ z/ /#

a-j3 3 2W 1 3 +. 3oíd )R 4 o 2J 3 - —— =

Donde : R =

3o 2(3 + V3)

3 (3 + ^ 3 ) 2(3 + V3J

Luego el área de la esfera será :

D\

\

3 2 (3 ?

Ax = 4n I ^ I

1

x / ; 21 X

/ X

\

oí2

M

n

a/2

A _ = 9n

2.- En una esfera de radio R se traza un plano a una distancia de 3 del centro de la esfera, de modo que la relación de las áreas de loe casquetes que se forman sea k; hallar k.

1024


Ernesto Quispe R.

Resolución.Sean Axy A2 las áreas de los casquetes determ inados por el plano secante a la esfera 'v Luego :

-r-

Pero :

MH = R - y = | R

= K

=

K=

2 tlR(H Ñ J

M

MH HN

R 4 HN = R + y = ^ R

K=

3.- Una esfera se encuentra inscrita en un cono circular recto, la relación entre los volúmenes del cono y de la esfera es “k". Hallar la relación entre la superficie total del cono y de la esfera.

Resolución.Por condición del problema, la relación de volúmenes del cono y de la esfera es k ^ ti/?2(BM) Es decir :

4

= k

3

3™ R2( BM)

Donde :

.

4r BTO ~

BMC :

;

=k

( 1)

B M -r R

S

BM =

r(g + R) R

( 2)

r 2 r(g + R) SustitMyendo (2J en (1) : ---------P----- = k 4r De donde :

R U +R )

-

— = k

-

R(g + R) = 4ki2

4r Nos piden la relación de las áreas del cono y la esfera, sea R lo ped'do. L uego:

R=

nR(g + R) 4nr

r

R(g + R)

4r

R= k

Luis Ubaldo C.


1025

4.- Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico (en la misma esfera de radio R) la altura de la zona es R /4 . Calcular la medida del ángulo del huso esférico.

R esolución.Por condición del problema, el área de la zona es igual al área del huso esférico. nR2Q

2 ri?

Es decir :

90 <

2kR¿

Donde :

nR2Q

90 J_ 90

Simplificando :

0 = 45 5.- Una esfera de radio 5m y un cono de 5m de radio y altura 10cm descansan sobre una superficie plana, se traza un plano paralelo a la superficie de manera que sus inter secciones con los des sólidos resulten círculos congruentes. ¿A qué distancia de la superficie debe quedar el plano?

Resolución.-

En el cono : 5 _ En la esfera

Êx PTN - Èx PQS 10 OHL :

—

--

10 -

*

2

52 = (5 - x)2 + r2

Por consiguiente :

52 = (5 - x f +

Resolviendo :

x = 10


1026

Ernesto Quispe R.

6.- Calcular el volumen de una cuña esfenca sabiendo que la esfera inscrita tiene un radio de 1m y los semicírculos que lo limitan forman un diedro de 60°

Resoluclón.Sea “V” el volumen de la cuña esférica. Luego :

V=

. com o : a = 60

Entonces : V = -^

q0

=

(1)

Sea “P” el centro de la esfera inscrita, M y T los puntos de tangen cia con uno de los semicírculos y con la superficie esférica res pectivamente. Luego en el Eíx OMP de 30° y 60° : OP = 2 y OT = R = 2 + 1 = 3 V=


2it(3)3

V = 6n m3 7.- Sobre un círculo mayor de una esfera como base, se construye un cono equivalente a la mitad de la esfera. Calcular la medida del radio del segundo círculo de intersec ción si el radio de la esfera mide 5m.

Resoluclón.Poi condición del problema, el volumen del cono es igual al volumen d e la semiesfera. Es d e c ir: Simplificando :

OA = 10

Por la sem ejanza de los triángulos AOB y APQ, se tiene : AP

x

10

5

De donde

AP =

2x

: PO = 10 - 2x = QK

EnelE^CQB:

(10 - 2*)2 = (5 + x) ( 5 -x)

Factorizando : Simplificando : Efectuando : En consecuencia:

4(5 - x ) 2 = (5 +

4(5 - x ) = 5 + x 20 - 4 x = 5 +

bx = 15 x = 3

l

x~)

x

(5

- x) B


Luis Ubaldo C.

1027

8.- En el semicírculo mostrado de diámetro AB = 4 . Calcular x para que el volumen en gendrado por la parte sombreada sea 2 ve ces el volumen engendrado por el triángulo ADC al girar alrededor de AB.

Resolución. La parte som breada es un segm ento circular que al girar en torno a AB origina un anillo circular de volumen ît(AC)2 . x ; y el sólido engendrado por el triángulo rectángulo ADC al girar en tomo a AB es un cono de volumen : (CD)2* Luego según el problema :

(AC)' x = 2 . ^ jt (CD)

De donde: (AC)2 = 4(CD)? En el Sn, ADC :

=>

AC = 2 CD

m 4 CAD = 30°

En el Bx ACB de 30° y 60° :

AC = 2 j3

Luego :

CD = J3 x = J3 . ^ 3

=>

jc = 3

9.- Calcular el volumen de un cono truncado circunscrito a una esfera de radio R, si la superficie total del cono truncado es 3K veces la superficie de la esfera.

Resoluclón.Sea “VT” el tronco de cono Luego :

VT = 1 ^ 1

+ r * + ^ r?)

... (i)

Por dato del problema : n (/-, + r2) (r, + r2) + nr¡

+ nr? =

3k (4 nR2)

(r,2 + r2 + 2 / y 2 + r 2 + r2 ) = l2knR2 J t ( r 2 + r 2 + r f 2) = 6*7z R 2


VT =

=s

(6kR2)

r 2 + r 2 + r}r2 = 6kR2 VT = 4n kR3

... (2)

* 1028


Ernesto Quispa R.

10.- En una esfera se hallan inscritos un cilindro equilátero y un cono equilátero, si el producto de los volúmenes del tronco y de la esfera es 5600 u*. Hallar el volumen del cilindro.

R esoludón.Sea " R " el radio de la esfera y “r” el radio de la b ase del cilindro equilátero, luego su volumen será : V . = Jtr2 (2r) = 2jii3 ... (1) En el cuadrado ABCD :

2R = 2 rj2

R = rJ 2

Luego el volumen de la esfera será : V, = ^7i/?3 = ^ n(r-j2)3 En el A MLN, equilátero : O’N = y Luego su volumen: Vco = ^ it I y

3 y LO’ = y R I - ~^R

Por consiguiente : Vco = ^7i/?3 = ^n(r~j2)3 = Por condición del problem a :

(Vco) (Ve) = 5600 ue

Reemplazando : ^^7cr3 t/2 J ^ n r 3 V2 j = De donde :

27IT3 = 20JÌ4

De (1) y (2) :

V = 20-v/1 Í ií 3

= 5600 ... (2)

11.- En un cono circular recto, esta inscrito una esfera cuya superficie es igual al área de la base del cono. ¿En qué relación se divide la superficie lateral del cono por la línea de tangencia de la esfera y del cono?

Resolución. De acuerdo al problem a : An2 = nR2 =>

R = 2r

Enel ^ o q b :

m 4L OBQ = y

Así como :

m 4L OBV = y

En el

VQB de 37° y 53° :

5S


Luis Ubaldo C.

1029

V* = f r - 2 , = f r

De donde :

Por sem ejanza de conos; siendo a, y a, las áreas del cono parcial y del tronco de cono respectivamente, se tiene :

16r

^ _ í í L Qi +at

100r 2

rio f

_4_ 25

G| _ 4 a. 21

l 3 rJ 72.- Una esfera de área 36ncrr¡i2 e s tangente a las aristas de un triedrc trirectángulo. Calcular la lonaitud de una de las tangentes.

Resolución.Sea el triedro trirectángulo P - QRS y Q, R y S los puntos donde las aristas tocan a la esfera. Si -4torLKA = 4nR2 = 36it A RQS : Equilátero de lado x

R= 3 jl

=> G : Baricentro (Propiedad)

Además : QG = | QH =* QG = |

| J6

Ex OQP : Relaciones Métricas 1

-L + _L x2

32

x =

<-JE

3 j2

„

m

radio de la base mayor, si la diferencia entre los radios de sus bases es 1m.

Resolución. Por condición del problem a se tiene :

't


1030

Ernesto Quispe R.

b2 - 2ab + b2 = 1

Elevando al cuadrado ambos miembros :

a2 + 2ab + b2 = 25

Sumando las expresiones (1) y (3) :

=>

=>

2b = 6

Sumando las expresiones (2) y (4) :

a +b = 5

... (4)

6 = 3

14.- El lado de un rombo mide “a ”, una esfera de radio es tangente a toaos los lados del rombo, la distar d a del centro de la e s fc a al plano del rombo es “b". Hallar el área del rombo.

Resolución.Sea ABCD el rombo de lado “o ” y T el punto don de el lado AD es tangente a la esfera de centro O Luego OH = b y el área A del rombo será :

A = 2ar En el Ex THO :

r = V/?2 - b 2 A = 2 tn ÍR 1 - b 2

15.- La razón entre la altura de un cono y el radio de la esfera circunscrita a nste es igual

3

a — . Calcular la razón de los volúmenes de estos cuerpos.

Resolución.VH

Por condición del problema :

=

3

tt

H=

OH = VH - R = |/? - R

De donde : En el Ex OHB :

r= # V 3

Luego, si “K” es la razón de los volúmenes de estos cuerpos entonces : |t/4 V 3 ]

K=

x fR

31 2

4 3

3

3nR 8

4

"3

p

3

X --? 32 I

■c

R

2ab = 1 2

La Esfera y sus Partes"

Luis Ubaldo C.

1031 ^

16.- Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de 16nmP de área. Calcular si área del casquete menor formado en la esfera mayor, si el radio de la esfera menor mide 3m.

R esolución.Siendo “A ” el área de la zona esférica de una base que se picfe calcular Se tiene :

Ay = 2ti/?(KH)

... (1)

Puesto que el área de la base de la zona es 16ji ,se tiene :

En el Èx OHB : De donde :

Z?2 = 32 + 42

=>

R= 5

KH = O K -3 = 5 - 3 = 2

Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación (1) : A, = 2ti(5)2

A = 20n

17.- Una estera d e , ea 144n.ni2 es cortada por dos planos que rorman entre si un diedro de 60* de modo que la recta de intersección de los planos es tangente a la esfera y el piano bisectriz contiene un diámetro de la esfera. CalculareI volumen de la parte de la esfera comprendida en ei ángulo diedro.

R esolución.EI volumen del sólido buscado (V ) será igual al ve ■ lumen de la esfera, m enos los volúmenes de los seg mentos esféricos de diámetros AB y BC que poi cierto son ¡guales a «V » Luego:

Vx = ^ ti/?3 - 2V

... (1)

Por dato del problema : 4nR2 = 14471 => R = 6 ... (2) En el Ex OHB de 30° y 60° OH = | = 3 y HB = 3^3 Luego :

Vs = ¿ ti(3)3 + ~7t(3) (3V3 )2

Sustituyendo (3) y (2) en (1) : V = X ó

(6)3 - 2(457i)

VS = 4571

... (3)

V = 198 tim3


1032

Ernesto Qulspe R.

18.- Calcular el área de una esfera sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distantes 3m y situados a un mismo lado del centro tienen áreas nm2 y

fftim 2. Resolución.Sean r( y r2 los radios de los círculos m enores, luego : De igual m anera : En el Ex 0 0 2D : En el Ex 0 0 ,B : Reemplazando :

n r2 = 1671

=

iir

2 = ji

r' 2 = 4

0 0 2 = a //?2 - 4 2 (OO,)2 + (0,B )2 = R2 (3 + -Jr 2 - 16 )2 + 12 = R 2

Efectuando : 9 + R2 -16 + 6 V/?2 - 16 + 1 = R2 Por consiguiente : Donde :

6 V/?2 —16 = 6 ■Jr 2 -1 6 = 1

Luego el área de la esiera será :

=>

R2 = 17

4nR2 = 47i(17)

Área d e la e sfera = 68 n rrC 19.- Hallar el área de una esfera en donde un círculo menor divide perpendicuiarmente a un diámetro en la relación de 2 a 8 y tiene por área 4m2.

B

En el Ex AMB :

r

t2 = AH . HB


Luis Ubaldo C.

Sustituyendo:

^

Luego el área de la esfera 4n/?2 , será

: fy c ( ~

1033

471 ]

A rea

de la esfera

=

25

m 2

20.- Se corta un esfera con 2 planos secantes paralelos entre si y equidistantes del centro, siendo el radio de la esfera 1m. Calcular la distancia entre los planos sa biendo que el área de la zona comprendida entre los planos es igual a la suma de las áreas de las 2 secciones determinadas.

Por consiguiente : (x + 2)2 = 8

=*

x = ±

2-J2

-2

/.

x = 2

(J2

- 1)

21.- En un cono circular recto las generatrices están inclinadas 53g respecto al plano de ia base. Tomando como diámetro la aitura del cono se construye una esfera, iuego se tiaza un piano paralelo a la base del cono y secante a los sólidos que determina en la esfera y el cono dos círculos cuyas áreas están en la relación de 3 a 1 . Hallar la distancia del vértice del cono al plano, si su altura mide 4.

R esolución.Sea «H» el centro de las esferas concéntricas de diámetros MN y EF Luego : ti(MH)2 = 3 ti(HF)2

=> (MH)2

En el triángulo rectángulo VMO : (MH)2 ÊN. AOV ~ È \ EHV :

f


=» (HE)2 4x - x2

s»

1034

Problemas de Ceometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispè R.

22.- En un cono de revolución de altura 16 y radio de la base 12 se inscribe una esfera, ia cual es tangente a la superficie laterai del cono mediante una circunferencia, el plano de esta circunferencia determina en la esfera un segmento esférico menor de una sola base. Hallar su volumen. V R esoiLcior. -

En el Ex VHB de 37° y 53° : VB = 20 En el fc, VFO de 37° y 53° : Además :

R = 6 y VO =

8 . 6 = 1 0 . MF

=>

MF =

En el Èx OMF de 37° y 53° :OM = ~ y la altura del segmento : TM = 6 Luego el volumen «Vs» del segmento esférico será : V _ 3744 VS ”

1 2 5 71

23.- Desde un punto de una esfera de radio fí se han trazado tres cuerdas congruentes que forman ángulos de 74e entre si. Calcuiar la longitud de una de estas cuerdas.

Resolm jó n .Sea O el centro de la esfera y SA = SB = SC = d La medida de cada una de las cuerdas dadas, es evidente que el triángulo ABC es equilátero y la altura SH de la pirámide regular S - ABC al ser prolongada pasa por O En el A BSA: LA =

=>

AB = | d

En el A ABC, equilátero «H» es baricentro Luego :

AH =

En el Ex GHA :

ABV3

AB = |V 3 d

SH =

(SH):

En el A SOA por Euciides : R¿ = d 2 + r2 -2R

■M d

yfi3d

5

d = 2 /? 7 l3

La Esfera y sus P anes

Luis Ubalde C.

1035

24.- Un cono equilátero esta circunscrito a dos esferas tangentes exteriores (el radio de la esfera menor mide r) este cono se invierte (con la punta hacía abajo) y en ello se vierte agua hasta llenarlo. Calcular el volumen de agua.

R esolución.B

Sea VH 0 el volumen de agua Luego : A hora:

v h

2o

.. .

^ c o n o " ^ e sfe ra “ ^ e sfera m ayor m enor

^ e sfe ra m enor

... (2)

“ I " 3

En el Ex PTV de 30° y 60° : PV = 2R = R + 3r Luego :

(i)

=>

Vesfera = |7 i(3 r)3 => Vesfera = 36JV3.. (3) m ayor

m ayor

En el Ex AHV de 30° y 60° :

AH =

y[3

AH = 3 rJ 3

-J3

Vc o n o = I * ( 3 r V 3 ) 2 .9 r

De donde :

= 817IT5 ... ( 4v) V ____ cono

Sustituyendo (2) , (3) y (4) en (1) : VH 0 = 81ro-3 - 36 tu3 - —tu3 ^ tj

V„ c 2

J

0

25.- En una pirámide triangular regular se ha inscrito una esfera. La medida dei ángulo diedro que forman una cara lateral y el plano de la base es 60 ia relación de los volúmenes de la pirámide y de la esfera es .

Resolución.Sean Vp y V, los volúmenes de la pirámide y de la esfe ra respectivamente, luego : 1 a 2 V3 ,
Vp

a 2h j 3

V.

16íi/?

. ..

( 1)

En el Ex OGH de 30 y 60 : R^Í3 = ^ V3 =* a2 = 36R2 ...(2) 6 En el Ex VTO:

h - R = 2R

=>

h = 3R

... (3)

Reemplazando (2) y (3) ; en (1) : VD

36R2 .3 R j3

V.

16ti/? J

V-> _ 27 J3 V„ 471


1036

Ernesto Qulspe R.

26.- Las áreas de las bases de un segmento esférico de dos bases son n y IGnm2 y el área de su sección axial es 15m? . Calcular el área de la zona esférica correspon diente al ssgmento esférico.

Resolución.Por condición del problem a : ji(PC)2 = n

=> PC = 1

También :

=> QD = 4

Jt(QD)2 =1671

La sección axial del segmento esférico es un trapecio isósceles de diagonales : AC = BD = d Además :

15 =

jp Q

De donde : PQ = 3, trazamos CT ± Luego en el Ex CTD :

=

A jj

CD = 3^2

En el □ ABCD por Ptolomeo : (3 ^ 2 ) (3 ^ 2 ) + 2(8) = d2

=* d = J 34

En el A ACD :

(AC) (CD) = (CT) 2R

Reemplazando :

V34 . 3 ^2 = 3(2R)

=>R = J \7

Finalmente siendo A el área de la zona esférica Se tiene :

A = 27iR(PQ) = 2nJV7 (3)

A = 6 1771

27.- Calcular la relación entre los volúmenes de una esfera y del cono circunscrito a ella, si la superfh ie total del cono tiene una área que es cuatro veces mayor que el área de la superficie esférica.

Resolución.Sean Ve y Vc , los volúmenes de la esfera y cono respectivam ente

Luego :

4 3 ve 3 — = ----- — ~

vc

t

R

Por condición del problema :

^ (co n o )

7t/?(g + R) = 4(4nr2)

=>

R(g + R) = 16^ ... (2) h -r

R 2h

4y^(eslra)

Reemplazando :

El Bn. BHC -E x BFO

I

= 4

h

R r

( 1)

La Esfera y sus Partes "

Luis Ubaldo C

De donde :

g + R_ M r

Reemplazando (3) en (2)

. hR2 = 1Gr2

Sustituyendo (4) en (1 ):

... (3) r3

r

R 2h V

Ve Vc

1037

e

-fe )

V c

1 ... (4) 16 ' 1 4

28.- Un sector circuhr de radie R y ánguio central de 30g girp en torno a uno de sus radios. Hallar el volumen del sólido engendrado, si el área del casquete esférico determinado es 4n(2 - -J~3)

Resolución.En el tì^ AHO de 30 y 60 : HO = jR V3 , AH = ^R y H F = f i - j V 3 Por condición del problem a el área del casque te esférico es : 4n(2- yÍ3) = 27iRFH = 2ttJ?

Donde :

V3 J

4n(2 - V3) = nR‘ (2 - V 3)

R= 2

Sea V el volumen del sector esférico determ inado Luego :

V= |

tiR2 (FH)

= | ti(2)2 (2 - V3 )

V=

|t i ( 2 - V 3 )

29.- En un cono se ha inscrito una esfera, la superficie de la esfera es a la superficie lateral del como 2 a 3. Haliar ei vaior del ánguio formado por la altura y la generatriz del cono. R e so lu ció n .-

Designemos por r , R y g las longitudes del radio de la esfera,de labase delcono yde su generatriz. Luego por condición del problem a la relación de sus áreas se expresará com o : 471r 2 _ 2 nRg 3

o _ Rg 6

Por la sem ejanza de los triángulos BQP y BOC se tiene : r

g~R

R

Jg2 ~R2

^

r2

C S -R ) 2

g ~R

r2

g2-R 2

S+R

1038


g-R g+R

RS

De donde :

Ernesto Qulspe R.

6R2 Al simplificar y ordenar la ecuación cuadrática determ inada se tiene : g 2 - 5 Rg + 6 Z?2 = 0 ^ -2 R g / De donde :

-^ -3 /? g = 2R

=

x = 30

g = 3R

--

x - Are sen

x = 30

(i)

30.- En un cono se ha inscrito una sem¡esfera, el círculo mayor de la base descansa sobre la base del cono. Haliar la medida del ángulo en el vértice del cono si la superficie del cono y ia supe¡ficie de la semiesfera son entre si como 25 a 12.

Resolución.Sean r , R y g las medidas del radio de la sem iesfera de la base del cono y de su generatriz respectivamente. Luego la relación de las áreas del cono y de la sem iesfera será : 7tR ( g + R )

_ 25

27ir2

" I2

R í g + R) _ 25 2

6

"”

fn J

fcji el Ex AOB : OA x R = g . r Puesto que :

OA = J g 2 - R 2 (g2 - R 2 )R 2

De donde :

g

(g 2 - R 2 )R2

g2 De donde :

6g = 25Rg - 25R2 6g2 - 25Rg + 25R2 = 0 3g

-5 R

2g

-5 R

R

= gr ... (2)

2

Ríg+R)

Sustituyendo (2) en (1 ):

Ahora:

VS ~ R

25 6

Ríg-R)

25 6


Luis Ubaldo C.

Con lo cual se tiene : —

x = 7A

jf

1 /?

y si :

1039

2

= Are sen

(I)

(I)

31.- La razón entre Ia altura de un cono y el radio de la esfera circunscrita a éste es igua l a 8 /5 . Hallar la relación de los volúmenes de estos cuerpos. R e s o l u c i ó n .-

Sean BH y R , la altura del cono y el radio de la esfera circunscrita a él. Luego por condición

1 Ve v„

2 ,DU, 4 3^

8D 25~ 5 4 D3

Ì6R

3™ - (BH) „3

a 125

3R

32.- En una pirámide triangular SABC las aristas SA , SC y SB son de dos en dos perpendiculares; AB = BC = a , BS = b . Calcular el radio de la esfera inscrita en la pirámide. Resolución.-

Sea «R» el radio de la esfera inscrita en la pirámide trian gular, V y 5 el volumen y el área de dicha pirámide Luego por propiedad :

Ex AStí = Bn. SBC

=>

AS = SC =

Ja 2 -b 2

En el ^ ASC , isósceles : AD = DC = yla2 - b 2 —

2

C

1040


En el ÈX BDC :

BD = ylBC2 -D C 2

=> BD

^ „ AC.BD De conde : 5 = — -— =» 5 = 2

Ernesto Qulspe R.

-F -

a2 -b 2

5 = | V a 4 - 6 4 ...C2)

2

Por otro lado el volumen V de la pirámide será : 'A S.SC Ì SB = V =1 V 3l 2 J 3 Finalmente sustituyendo (2) y (3) en (1) :

f,

2

V = ^ 6 (a2 - V i ...(3) O

R =

■Ja2 + b 2 + 2 b + J a 2 -

6 2

33.- Hallar la razón del volumen de una esfera al volumen del cono recto circunscrito a esta esfera, si la superficie total del cono es n veces mayor que la superficie de la esfera.

Resolución. Sean r , R y g las longitudes del radio de la esfera, de la ba»e del cono y de la generatriz respectivam ente. Luego por condición del problem a : n R (g + R) = n 4 m2

=*

R (g + R) = 4 r2 . n

...(1)

g-R

Êx BKO - Êx BHC

R Elevando al cuadrado y simplifie ando Multiplicando (1) y (2) :

R (g-R) g +R

R3 (g - R) = 4 rAn

... ( 2)

4r 4 R (g-R )

4 3 3 Nos piden : —— = Ve l^ J é ^ R 2

n

4r R3( g - R )

'e

«

34.- Los radios de dos esferas secantes miden 15 y 20 y la distancia entre sus centros mide 25. Hallar el ársa de la superficie correspondiente a la intersección de las 2 esferas.


Luis Ubaldo C.

1041

Resolm ton-La superficie correspondiente a la intersección de las esferas, esta com puesta por dos casque tes esféricos de áreas A¡ y A2 En el

APB : <20)2 = 25 . AH

:=> AH = 16 de d o n d e : También :

HF = i¿0 - 16 = 4

(15)2 = 25 . HB

==>

HB = 9

De donde :

EH = 6

Luego :

A, = 2 nR (EH)

= 2n (15) 6

Ax = 180 n

A hora:

A, = 2n R2 (HF)

= 2n (20) 4

A2 = 160 n

Finalmente

el área buscada Ay+ A2 será :

A{ + A2 = 34071

Aj + A2 = 180 n + 160 n

35.- Calcular los radios de las bases de un cono truncado circunscrito a una esfera de radio R, si la razón de la superficie total del cono truncado a la superficie de la esfera es 2.

Resolución.Por condición del problem a :

T.c

Tigír,+r2 )+7r(r,2 + r £ ) = 2

47iR2

La sección axial del sistem a es el trapecio isós celes ABCD circunscrita al círculo de radio R, luego por Propiedad de tangentes : CP = CH = r,

y

De donde : Además en el Ex COD : Sustituyendo en (1) : De donde : Y como :

DQ = DH = r2 g = r, + r2 R2 = r, rn

+ r* + 2 R2 + r f + r 2 = 8

r\ + r2 = 3 R2

- (2)

2 r t r2 = 2 R 2

... (3)

= 2 ... ( 1)

1042


Ernesto Qulspe R.

De (2) y (3) obtenem os el sistem a de ecuaciones lineales : '•

r2~r\ = R

r 2 = Y Í ^ 5 + 1)

rx + r2 = R f 5

y

r\ =

36.- El arco de un segmento circular mide 6JBy corresponde a una circunferencia de radio 6. Calcular el volumen generado por este segmento al girar alrededor del radio que pasa por uno de los extremos del arco. R e so lu ción .-

E1 sólido engendrado por la rotación del segm ento circular AB alrededor del diámetro OB es un anillo esférico. B

Cuyo volumen VX esta dado por : VX = 77 n(AB)2 . h ... (1) Q En el triángulo equilátero AOB : Además

AB = EO = AO = 6

BH = HO = h = 3

Sustituyendo estos valeres encontrados en (1) : V = - | n (6)2 . 3

/.

V, = 18ít

37.- En una esfera S de Radio R se han inscrito ocho esferas de menor radio, cada una ríe las cuales hace contacto con las dos vecinas y todas juntas tienen contacto con la esfera S por la circunferencia de mayor diámetro. Luego, en el espacio entre las esferas se ha inscrito otra esfera S , que hace contacto con las ocho esferas de menor radio y con la esfera S. Hallar el radio de esta última. R e so lu ció n .-

Sea «r» la longitud del radio de cada una de las ocho es feras inscritas, al unir los centros de las esferas se forma un octópono repular de lado BC = 2r

Donde : 2r = ( R - r ) ^ 2 - ^ 2

=*

RJ 2 - J 2 r = g+ J 2 - ^ 2

^

Trazando una sección que pase por el centro O de la esfe ra S por el centro O, de la esfera S de radio x y por los centros de las dos esferas opuestas de radio r se tiene en el AOO,: CAO,)2 = (AO)2 + (OO,)2 Reemplazando :

(r + x )2 = (R - r) ' + (R ■ x)1

La Esfera v sus Partes

Luis llDaido C.

1043

De donde : Sustituyendo (1) en (2), finalmente :

38.- Las áreas de dos secciones paralelas de una esfera dispuestas a un mismo lado respecto a su centro son S f y S2, el doble del área del círculo cuyo diámetro es la distancia entre estas secciones es S3 . Calcular el área de la sección paralela a las dos primeras secciones y equidistantes de ellas.

R esolución, 2 Por condición del problem a : S, = n R 2 , S2 = n R 2 , también :

S3 =

y Sx = nx2

En los triángulos rectángulos OAP, OHT y OBQ, utilizando el Teorema de Pitágoras :

y

R2 = a 2 + R ¡

... (31

Eliminando R y a de las expresiones (1) , (2) y (3) Se tiene : 2

Multiplicando por n a am bos miembros :

2nx2 = nR? + n R Î + —

39.- Calcular la relación de volúmenes de la semiesfera inscrita en el tronco de cilindro rec to y este si m 4 - ABC = 74s

1

g

2

2

1044

Ernesto Quispe R.


R esoludón.Sean Ve y V ,, los volúmenes de la sem iesfera y del tronco de cilindro recto. 2 , Ve = — n / r

Luego:

VT = n R2

V„ V,

3

f

% re

De d o n d e :

S a l +8 2

\

2

\ ✓

4R

( 1)

BAO de 37° y 53° :

S ,- | *

- ( 2)

En el Ex ODC de 37° y 53°:

* |* |R

... (3)

En el


-r^- =

4R

3( f RtH e

vt

4J?xl2 3(25/?)

4R

3( ¥ )


Luis Ubaldo C.

1045

40.- Se tiene tres esferas congruentes tangentes entre si y tangentes a un mismo plano. Calcular el radio de ia esfera que es tangente a las tres esferas y tangente a dicho plano, sabiendo que el radio de las esferas es 36 m.

R esolución.Haciendo la vista horizontal:

A, B, C y O son los pu.itos de contacto con el plano. A ABC equilátero de lado 72 Además : OA = OB = OC = 2 ^ 3 6 * = \ 2 j x (Propiedad) A AOC : =*

AC = AO.V3 x = 12

=* 72 = 12VI.V3 x = 12 m

40.- Hallar el radio de la esfera circunscrita a un tataedro A-BCD cuyo triedro “A “ es trirectángulo si AB = 10, AC = 8 y AD = 6.

Resolución.Del gráfico podem os observar que con las aristas 6,8 y 10 se forma un rectoedro cuya diagonal será al diám e tro de la esfera circunscrita =>

2R = •Jé2 + 82 + 102 = 10 V2

R = 5^2

1046


Ernesto Qulspe R.

° R O B l€ M A S P S O P U e S T O S

1.- 0En qué relación están el volumen de una esfera y el volumen del cilindro circunscrito a dicha esfera? 1 A) 3

2 B )3

C)

Dj

E)

1

6.- Calcular el volume n de una esfera tangente a las aristas AD , DB y DC de un tetraedro regular ABCD, en los vértices A, B y C res pectivamente, siendo “ a ” la arista de dicho tetraedro.

2.- Calcular el área de la sección producida en una esfera de 24 cm de diámetro por un plano que pasa a 8 cm del centro.

A)7Ia/2 a 3/3

D )7iV 3a3/4

B )7 tJ 2 a 3/4

E)7 i V 3 g3/5

A, 251,2

B)241,2

C )7iV 3«3/3

D) 250

E) 128

C)231,2

3.- En un vaso cilindrico de 36 cm de diáme tro que contiene cierta cantidad de agua, se introducen dos bolas de igual diámetro y el nivel de agua sube 6 cm. Hallar el radio de es tas bolas. A) 4

B )6

C) 3

D) 9

112571

D) 80571

B)

E)

102^71

C) 72571

122571

BÌ 7271/7

D) 27ti

E) 6771/4

B)367it/n2

D) 64ncm2

E) 30ncm2

C)467tcm2

8.- El área total de un segmento esférico de dos bases es 9571m2 el radio de su base ma yor excede al radio de la base menor en 1 sa biendo que la altura del segmento es Im y el radio de la estera es 5m. Hallar el radio de la base mayor. A) 2

5.- El área de un casquete esférico es la quinta parte del área de la superficie esférica coirespondiente, si la altura del casquete es 2. Cal cular el volumen del segmento esférico corres pondiente al casquete. A) 8571/2

A) 16ncm2

E ) 12

4.- Calcular el volumen de una esfera circuns crita a un cil.ndro circular recto de radio bási9 co ^ y de volumen 24371

A)

7.- Una esfera es tangente a la base inferior de un prisma trianj ular regular y los otros vér tices están en la superficie esférica. Calcular el área de la superficie esférica, si las aristas del prisma miden 6 cm.

C) 5271/3

B) 3

C) 4

D) 6

E )8

9.- Se considera el círculo mayor de una es fera como base y se construye un cono recto equivalente a la mitad de la esfera Calcular el área de la zona esférica de 2 bases que se determina, si el íadio de la esfera mide -J3 A) 47t D )7 7 i

B )57i

C) 671


Luis Ubaldo C

10.- Una esiera está inscrita en un cilindro cir cular recto cuyo volumen es 547t//j3. en dicha esfera se desea calcular el áre« del huso esfé rico q je corresponde a una cuña esférica de 7tm3 de volumen. A) 47i/5

B )ti

D)2n

E )77i/3

C)3n

11.- Calcular el volumen de una esfera que es tangente a una de (as caras de un exaedro re gular cuya arista mide 4 en uno de sus vérti ces y la superficie esférica, contiene al vértice opuesto al ya mencionado. A) 15071

B) 28871

D) 296ti

E) 30071

C) 52871

12.- Una superficie semiei férica de radio “R” esta inscrita a un cono equilátero de manera que su circunferencia máxima está en la base del cono. Calcular la diferencia de volúmenes de los segmentos esféricos que determinan el plano de la línea tangencial en la semiesfera. A )0

B)nR3

D )nR 3/4

E) 3nR3/4

C) nR3/3

A)

71 11

D)

DJ1

E )2

!9 ñ n

A )30

B)45

D )60

E)75

C )37

16.- Calcular el área de la superficie total del octante mostrado, sabiendo que la suma de las distancias de un punto de la región trian gular ABC a las regiones triangulares AOB , AOC y BOC es “ d ” . A ) 2nd2 B)

5/47td2

C)3l4nd' C

13.- En una esfera de radio 10. ¿A qué distan cia del centro, hay que trazar un plano secan te para que las áreas de los 2 casquetes for mados están en la relación de 2 a 3? B )V 3

E)

5 l l 71

15.- Calcular el ángulo de un sector circular, sabiendo que cuando gira alrededor de un eje de simetría, genera un volumen igual a la mi tad del volumen de la esfera de igual radio que el sector.

D )5/6

A) 3

B)

1047

C )V 2

14.- Se tiene una esfera inscrita en un cono de revolución. Calcular el volumen del menor segmento esférico determinado al trazar un plano secante que contiene a la línea de tan gencia de dichos sólidos, el vértice dei cono dirta 8 de la superficie esférica y la medida del ángulo del desarrollo de la superficie late ral del cono mide 45°.

E)

rd 7

8/3ttd2

17.- Dado un segmento esférico de una sola base de 4cm de radio y tal que su altura es ■oual al eje de un tronco de cilindro recto, don de la base tiene un diámetro igual a su eje y el área de su superficie lateral es 16ticm . Cal cular el volumen de dicho segmento esférico. A) 128/3 71 cm3

D) 16/5 n cm3

B) 108/3 7t cm3

E) t>4/3 n cm3

C ) o2/3 71 cm3


1048

18.- Calcular la altura de una zona esférica de una base contenida en una esfera de radio R, de tal manera que la superficie de su base resulta los

7

de la superficie de la esfera.

Ernesto Quispe R.

22.- C alcular el volum en del sólido gene rado por la región sombreada. Al girar 360° alrededor del diám etro AC, si AC = a y AH2 + H C2= 6. A) «71

A )|

B ) |-

C )y

D )|

E ) |t f B) 2an

19.- En una cuña esférica de centro “O” se inscribe un cono de revolución de modo que su base está inserí La en un semicírculo que determina a dicha cuña, siendo “ O” el punto de tangencia. Calcular el área del huso esféri co co.'respcndiente a la cuña, si el área de la superficie lateral del cono es 18ti. A) 12ít

B )3 6 r

Di 7271

E)247:

C )48 r

20.- Según el gráfico. Calcular el áre? de la superficie que genera el arco AB al girar en tomo a la recta /\C.

C) 3an D)4an E)5an

23.- En la figura P y Q son centros PA y QC son ortogonales y su mínima distancia es 6, Si AC = 10. Hallar el volumen del segmento esférico de 2 bases mostrado. A) 20071 B) 21071

A) 7tR2 ( 2 + y ¡ 2 )

C )218 ti D)

B) 7nR2 J l

220 ti

E) 22871 C) 7i/?2(2 - J2 ) D)7t

24.- En un cono equilátero se tiene inscrito una esfera, se traza un piano tangente a la es fera y paralelo a la base del cono, determi nando otro cono parcial. Calcular la razón de los volúmenes del cono parcial y de la esfera.

R2J2

A) ^ 21.- El volumen de un cono iecto es 168 ms. Hallar el volumen Je la esfera inscrita, si el área de la superficie total del cono es siete ve ces el área de la superficie esférica. A) 12 tr?

B) 18 m3

D) 36 n?

E) 48/n3

C )2 4 w 3

ffl •w >—*1

E) 2rtR2

d >5i

25.- El vértice de un cono circunscrito a una estera dista 4m de la esfera Calcular el radio de la esfera, si la cuarta parte el área de ésta es igual al área de la superficie cónica limita da por la circu nferencia de tangencia.


Luis Ubaldo C.

A )2(1 + yÍ5)

B) l + -J5

C )2 7 5

D )^ 5

E )2 (V 5 -1 )

1049

29.- Hallar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada. B

26.- En la figura «O» es el centro de la super ficie esférica R = 9 , P es centro de la sección M paralela a la circunferencia máxima de cen tro O, LM II AN y el área superficie esféi ica es 8 (3 + J 5 ) n . Hallar el area de la sección de centro P

E) 5nR

D )4nR3

30.- En una esfera de radio 5. Calcular el vo lumen de un segmento esférico de una base cuya altura mide 2.

B

ax 50

A) y

E) 6n

D. 51 B) y 7 U

71

53

3

EX E ) 55 y rt

D )y 7 t

27.- Por un punto P exterior a una esfera de radio "R" se trazan 3 tangentes iguales a R-J3 de modo que al unir los puntos de tangencia se forma un triángulo equilátero, cuyo lado se pide calcular si el volumen de la esfera es 36ít.

31.- Desde un punto P, exterior a una esfera se trazan las tangentes PA , PB y PC tal que P - ABC es un tetraedro regular de arista 6 cm. Hallar el radio de la esfera.

A) 4,5

A) 3 ^ 2

B )2 ^ 3

D) 2

E) -Jó

B) 5

C )5,5

D )6

E)6,5

28.- En una esfera de diámetro AB se trazan 2 planos secantes perpendiculares al diáme tro AB de modo que sus distancias al extre mo A son 3 y 5, si el área de la sección deter minada por el plano secante más cercano a A es 36n. Hallar el área de la porción de super ficie esférica comprendida por los planos se cantes. A) 2871

B)29 ti

D)36n

E)40rt

O 3 0 ti

C )2V 2

32.- Sobre un mismo plano descansan un ci lindro, un cono y una esfera, las alturas y ra dios del cilindro y del cono son iguales al ra dio de la esfera. Si los 3 cuerpos se cortan por un plano paralelo al primero. Hallar el área de la sección producida en la esfera si la suma de las áreas de las secciones producidas en el cono y el cilindro es S. A) 25

B) 35

Q y

D )5

E> !

1050


33.- En la figura : ABCD es un cuadrado de lado «a». Hallar el volumen del sólido engen drado por la región sombreada al girar alrede dor de AD.

A)

Ernesto Quispe R.

-(3 ^ 2 - 2)

D)

B ) ^ - (5V2 -4 )

C) ~

E)

(f42 -iR

2)

(5 4 2 -4 )

- (4V2 - 3)

36.- Calcular el volumen del sólido engen drado por la región sombreada cuando gira en torno al lado AD del cuadrado A bC D , si AB = a. A) 7t a 3

D)

tia

B)

E)

na

C)

7ta

na

A) B)

34.- Hallar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada al girai 360S en tomo a la recta £

C) D) E)

A)

na

B)

na

C)

na

na na na na na 8

37.- El área de la esfera inscrita en un cono es igual al área de la base del cono. Calcular el área del círculo determinado por la línea de tangencia de 1a esfera sobre la superficie late ral del cono, si el radio de la base del cono mide 5. A) 7t

D)

na

E)

na

35.- Se da una semiesfera de radio «R» , en su base se inscribe un cuadiado y por los cuatro lados del cuadrad >se trazan planos perpendi culares a la base de la semiesfera. Calcular el volumen de la parte de la semiesfera limitada por los cuatro planos:

B)2tc

C) 3n

D )4ti

E)16ji

38.- Hallar el volumen de una esfera metálica hueca de radio interior 1 y de densidad 8/7, si se sabe que se utiliza como boya y esta su mergida en agua. A)

287t

D )7 tc

B)

2 8 tc

E )5 tt

C) 14ti

3 0 .1

T E O R E M A S D E A R Q U ÍM E iJ E S

___________________________________________________ ,____________________ TEOREMA 1. El área de la superficie engendrada por una línea poligonal regular que gira alrededor de un eje situado en su plano y que pasa por su centro sin atravesarla, es igual al producto de la longitud de la circunferencia cuyo radio es el apotem a de la línea poligonal y la proyección de esta misma línea sobre el eje. Sea ABCD la línea poligonal re gular, OH su apotem a y £ el eje coplanar que pasa por su centro O (Fig. 30.1a) entonces el área "S" de la superficie engendrada (Fig 30.1b), será: S = 2ji OH . EF

...(30.1)

Fig. 30.1

TEOREMA 2 El volumen del sólido engendrado por un sector poligonal regular que gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su centro sin intersectarln es igual a un tercio del producto del área de la superficie engendrada por la poligonal regular y la longitud del apotem a. Siendo el sector poligonal re g u lar O - ABCD d e c e n tro O y apotem a OH, (Fig. 30.2a), adem ás £ el eje de rotación y EF la proyección de la línea sobre el eje luego el volu m en V del sólido engendrado (Fig. 30.2b), s e r á : V= | n OH2 . EF

... (30.2)

Fig. 30.2

1052


Ernesto Quispe R.

30.2 TEOREMA DE PAPFuS - GOIÍLDING TEOREMA 1.

Si una línea plana (Fig. 30.3a) de longitud L y de centro de grave dad "O" gira alrededor de un eje si tuado en su plano, se engendrará una superficie (Fig. 30.3d) cuya área es igual al producto de la longitud o perímetro de la figura por la longi tud de la circunferencia que descri be su centro de gravedad. S = L . 2n OH

Fig. 30.2

... (30.3)

TEOREMA 2.

Si u n a s u p e r f i c i e p l a n a (Fig. 30.4a) de centro de gravedad

O y de área S, gira alrededor de un eje coplanar L, engendrará un sóli do (Fig. 30.4b) cuyo volumen V será igual al área de la i>uperficie plana multiplicada por la longitud de la cir cunferencia que describe su centro de gravedad. V = S.2n • OH

... (30.4)

€ } e R C I C ¡ ® 5 £ APLICACIÓN

1.- Hallar el volumen generado por el cuadrado mos trado de $Í2 de lado al girar entorno al eje «L» una vuelta completa.

C

Superficies y Sólidos de Revolución

Luis Ubaldo C.

R esolución.Dato del problema :

L : ÏÏ2 L3

2

L □ BDMN (Aplicación de Base Media) : x = L x = ^ (1 + V3)

LV3

2+

2 2

A = L2

Aplicando el Teorema de Pappus :

VG = 2ji • A

Reemplazando los datos :

VG = 2n ~(L + V 3 ) L 2

Por consiguiente :

VG = |

En co n secu en cia:

L3 (l + V3)

= ^ ( 1

W 3)

n ( l + V 3)

2.- Calcular el volumen generado al girar el triángulo equi látero sombreado cuyo lado mide 4m , 360s alrededor del eje mostrado si 0 = 15g

R esolución. Hallando

= |V 6

A=

4 2 V3

= 4V3

Aplicando el Teorema de Pappus :

VVj = 2ji A

Reemplazando los datos

Vg = 2ti U f i ) (4V3) Vc = 16nV2

1053

1054


Ernesto Qulspe R.

3.- Determinar el volumen generado por la región som breada al girar 360salrededor de la recta «L» ABCD es un cuadrado del lado «a»

Resoluclón-Del gráfico

x = a/ 2

El área sena : 2 (A O ABC - A A ABC) = A = 2

Simplificando:

2

a

2

B

/4 = a 2 ^ - l j

Ahora, aplicando el Teorema de Pappus : Reemplazando :

7 ia

VG = 2ji A

VG = 2n Vc = o 3 |

( n - 2)

4.- Los volúmenes generados por el hexágono regular mostrado al girar en torno a los ejes «x» e «y» son Vf V1y V ;¡. Hallar y

Resolución.Del Gráfico, el área del hexágono es : Tam bién:

c .-fV 2 S

Además :

X — 2

A = — a2 J3

3a 2

Por el Teort ma de Pappus : V, = 2ji ^^ ^ 3

j^

a 2 V3 J

V2 = 27I( t a) ( f a2^ )

V. = 2 °

71

V = *
2


Luis Ubaldo C.

Nos piden :

9o

Vi

ÿ~

V,

9o

3 ■nV3

5.~ Calcular el volumen generado por la circunferencia de radio igual a 4m, si gira 360s alrededor del eje mostrado.

R esolución.Aplicando el Teorema de Pappus

VG = 2ji • A A = Ji (4)2 A = 16ji VG = 2ji (4) (16ji)

Reemplazando :

Vc = 128 it2 6.- Hallar el volumen gt ncradc por el triángulo equilátero de lado igual a 6m que gira 360Balrededor del eje mostrado.


Del gráfico :

x = -J3 A = 9 j3

Aplicando Pappus

VG = 2ji • A

Reemplazando :

Vr = 2ji (V 3) (9 ^ 3 ) Vc = 5471

3

1055

1056


Ernesto Quispe R.

1.- Determinar la distancia del centro de gravedad de un semicírculo a su diámetro si éste mide 2R.

Resolución.Sea «G» el centro de gravedad del semicírculo, luego GO —d es la distancia buscada fO es centro). Al girar el sem icírculo alrededor del diám etro AB se determ ina una esfera de volumen. v

...

* I ”r3

Cl)

2

Por Pappus: De (1) y (2) :

• '¿■nd ... (2)

2 3 7t^ 3 = Tt^2 ' ^

* 4

R

O

R

B

2.- En un rombo AB C D : m 4- B = 60B, por D se traza una recta «£» que forma 30g con el lado CD . Hallar el volumen del sólido engendrado por el rombo cuando gira una vuelta completa alrededor de «£», si la distancia de C a £ es «m»

Resolución.En el rombo :

m 4- D = m B = 60°

Resultando AD X £ y com o BC // AD En el Ex DHC de 30° y 60° :

=>

BC 1 £

CD = 2m = AD = AB = BC

Sea O el centro del rouibo ABCD y OK la perpendicular a £ Luego :

2m + m

3m

2

2

Siendo «V» el volumen pedido en to n ce s:

®

O 't C

LuisUbaldüC


3.- La figura representa la proyección horizontal de una fluores cente circular (toro). Calcular el ár?a de su superficie.

R esolución.La fluorescente circular se obtiene al girar la circun fenciu de radio alrededor de la recta j? o una superficie de área A = (2nr) (2nd) Donde :

r=

6- 4 , 2 =1

Ahora :

rf=1+4=5

Luego :

A = 4ti2 (1) (5) A = 20rc2

4.- Calcular la distancia del centro de gravedad de la región sombreada a AB , si BC = 4 y AD = 9

R esolución.Al unir C y D con «O» se obtienen las bisectrices CO y DO y el ángulo recto COD. En el ^ COD :

R2 = 4 . 9

=>

R= 6

Sea V el volum en del sólido g en erad o por la región som breada y A el área de dicha región. Ademas «d» es la distancia buscada Luego :

V = A . 2nd

Calculo de A :

A = Area (ABCD) - A

Reemplazando : =>

A=

A = 78 - 18ji

... (1)

12 ... (2)

1057

1058


Ernesto Quispe R.

Calculo de V : El volumen V es la diferencia de los volúm enes del tronco de cono (generado por el trapecio) y la esfera (generada por el semicíiculo) Luego :

V= ^

(42 + 92 + 4 • 9) - |

ji

(6)3

V = 244ji ... (3) Reemplazando (2) y (3) en (1) :

244 n = (78 - 18ji) 2nd

5.- En un triángulo ABC, la altura A F mide 6m. El triángulo gira una vuelta completa alrededor de AC ; calcular el volumen del sólido generado si el área de la superficie generada por BC es ISOm2.

R esolución.B

El sólido generado tendrá un volumen

A

C

Donde : V = 2n (BC)r ... (1) Por condición del problema el área de la superficie gene rada por BC e s : B' 150 = n r. BC ... (2) Sustituyendo (2) en (1) :

V = 2(150)

V = 300 m3 5.- En la figura ABCD es un cuadrado de lado «a». Hallar la distancia del centro de gravedad de la figura sombreada a AD.

C

B

E

A

l

D

Luis Ubaldo C.


1059

R e so lu ció n .-

Sea «G» el centro de gravedad de la figura som breada y «d» la distancia pedida, luego por Pappus - Goulding. V = A ■2nd Donde :

... (1)

V : volum en generado A : Area de la figura

Calculamos el área A restando al área del cua drado el área del semicírculo. Es d e c i r :

A=

= ^-

a2-

( 8 - 71) ... ( 2 )

El volumen «V» lo hallamos restando el volumen del cilindro generado por el cuadrado, el volumen de la esfera generada por el semicírculo. Es decir :

V = na2 . a - ^ n ^ jf = na3 »

„2

Sustituyendo (2) y (3) en (1) : ^ na3 = 5 _ (8 - ji) . 27id O o 7.- Calcular el volumen del sólido engendrado por el cuadrado ABCD que gira 360s alrededor de la recta £

Resolución.Empleando la formula de Pappus para el volu m en del sólido engendrado se tiene : V = l2 . 2 n d ... (1) Del gráfico r=>

AMD =Bx DNC (ALA)

AM = b

y

En el trapecio MACN : En el

AMD

CN = a d = ...(2)

/2 = a2 + b ... (3)

V=

7K73

O

10a d = 3 (8 -7 1)

... (3)

1060



Ernesto Quispe R.

V = 2 (a2 + b2) n V = (a3 + ab(a + 6 ) + b3 ) n

8.- En el plano cartesiano. Hallar la ordenada del centro de gra vedad de la región sombreada.

Resolución.Sean: V = volumen del sólido generado por la re gión som breada al girar en tomo a x A : El Area de la figura y : La ordenada del centro de gravedad (C.G)

Luego :

V = A ■2ny 2

2

A = 710 + na - a

6

6

... (1)

_ na2

a j3

4

y \= Í L ( 4 n - 3 V 3 )

...(2)

V es la sum a de los volumen iguales de los segm entos circulares generados por los triángu los mixtilíneos OHP y PHC Es d ecir:

V = 2 [¿*(2 J +

Luego :

V = 2 ^ jg - +

j =


... (3) 5 ^ 1 = aL Í 4 n - 3 ^ 3 ) 2 n y

y =

___ 5a ?(4n -3V 3)

ouyt'rjicit'ü y ouuuus ue i\evuiutiun ^

LUl¿

iuoi *

9.- Calcular el volumen del sólido generado por un triángulo equilátero ABC, al girar alrededor de una recta exterior al triángulo perpendicular a la altura BH y que esta j una distancia del vértice B igual a 2 m ; si AB = 4 j 3

Resolución.Sea V el volumen pedido Luego :

V = A(A ABC) x 2n (GK)

2 3 Sustituyendo estos valores en (1) V = 12,/3 x 2n -6 V = 144^3 raí3 10.- A partir del gráfico mostrado. Hallar el volumen generado por la parte sombreada al girar 3609 alrededor de la recta «I» (AO = OB = P)

Resolución.Sean : «V» volumen pedido V, : volumen generado por el semicírculo de centro P V2 : volumen generado por el semicírculo de centro Q V3 : volumen generado por el semicírculo de centro O Luego:

A hora:

v = Vs -V ,-V 2

...(1)

V =

T am bién: V2 =

L uego:

V3 =

X

271 ( /? )

=

TI2/? 3

1062


2 „3


2 3

„ 2d3

V = n2/?3 . Z L |_ . 3 5 _ ^ _

V=

n R

11.- En la figura el diámetro AB mide 6m y O es punto de tangencia. Calcular el volumen del sólido generado por el triángulo mixtilíneo AQP que gira 360a alrededor de la recta

R esolución. Sean: V, : volumen del sólido generado por el EÔQP V2 : volumen generado por el sector AOQ Vx : volum en del sólido generado por el triángulo mixtilíneo AQP Luego :

Vx = V, + V2

...

(1)

Por Pappus - Goulding : V, = A (Ex OQP) . 2n(GT) (G : Baricentro) Reemplazando :

3 3J3

Por fórmula del sector esférico V2 = ^ n (3)2

V, =

(3+l)= i n

... (2)

9 -5 3 2

V2 = 27ji ...(3)

13824 25

V = 647 m 3


12.- Hallar el volumen del sólido generado por el cuadriláteio incriptible AMNC al girar en tomo a AC ; si AC = 25m y MN = 12m

B


Luis Ubaldo C.

1063

R esolución.Sea «Vx» el volumen pedido «V,» el volumen del sólido generado por el volumen del sólido generado por el Ex MBN, luego : = V, - V2 ... (1)

13824 25 5

ABC y -
V = 647 m3

13.- En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D la base menor AB mide «a» y la mayor «b» las bisectrices de los ángulos B y C se cortan en un punto P de AD . Calcular el volumen del sólido engendrado por el triángulo BPC que gira 3609 alrededor de AD.

R esolucion.En el trapecio ABCD : En el

2 a + 20 = 180

a + 0 = 90

BPC, trazamos la m ediana PM.

Luego PM I ÁD y PM = Sobre esta m ediana ubicam os el baricentro G. Luego :

GP = | PM =

Ahora el Ex BAP - Ex PDC : ^ = — m o ~ m = -Job

Poi el Teorema de la Bisectriz : PA = PH = Job Sea V el volumen pedido, luego : V = A (E^ BPC) x 2ji (GP) =

J o b ■2n

3

V=

J a b (a + b ) 2n

1064


Ernesto Qulspe R.

14.- Un trapecio isósceles ABCD de bases AB = a y CD = b , está circunscrito a un círculo. Hallar el volumen del sólido generado por dicho círculo al girar 360s alredeac de BC

R esolución.Sea «V» el volumen del sólido engendrado por el círculo «O» y R el radio de su circunferencia . Luego ; por Pappus - Goulding : V = 7t/?2 x 2n . R Donde :

V = 2n2R3

... (1)

En el trapecio isósceles ABCD M y N son puntos medios de lac bases, entonces : BM = BT = a/2 y CN = CT = b/2 (2) Sustituyendo (2) en (1) : V = 27I2

' j E b ' f = 2n2 (ab)

3/2

15.- Calcular el área de la superficie generada por la figura sombreada al girar 360s alrededor de la tangente £, si el radio del círculo mayor mide 2 (O y 0 1 son centros)

Re_so!uc¡on. Sea A el área buscada, >4, : el área de la superficie generada por la circunferencia mayor A2 : el área de la superficie generada por la circun

ferencia m enor CN 1 ■qf n

Luego :

..(1)

A x = 2n (2) . 2 n (2 )

=>

A¡ = 167I2

.... (2)

A^ = 271 (1) . 27t(l)

=»

A2 = 47t2

... (3)

Sustituyendo (2 ) y (3) en (1) : A = 167I2 - 471*

A = 127t2


Luis Ubaldo C.

1065

16.- En un triángulo ABC, el inradio mide «r» . Hallar la relación entre el área y el volu men del sólido engendrado por dicho triángulo al girar 3609 alrededor de uno de sus lados.

Resolución.Sean «A» y «V» el área y el volumen del sólido engen drado poi el A ABC al girar en tomo a AC Además «G» el barcentro de dicho triángulo

:A = 2 p * 2 (GH)... (1)

Luego por Pappus-Guulding

x 2n (GH) ... (2)

V = Donde :2p : Perímetro del A ABC .A, : Area del A ABC , , , a Dividiendo (1) : (2) tenemos

Puesto que :

:

2p

2p 2n(GH) -

= (GH)

= 2

A V

A.=p.r

r

17.- Del gráfico mostrado se pide calcular el área de la superficie generada p o r la región sombreada al girar 3609 alrededor de AC.

Resolución. En el Ex ABC de 37° y 53° Hacemos :

AB = 3k =>

BC = 4k y

AC = 5k

Luego por P oncelet: ¿k + 4# = 56 + 2(2) =» De Jo n Je :

AB = 6 , BC = 8

y

k = 2

\2 m

AC = 10 3

Además . BH

AB BC

6.8

AC

10

24

/

2

4

i 5

24

3/t?

G 2

/

Ex BHM - E x GTM :

\ \ 4 f t

:

C T -f

H

i 5

<\

)

3 7 ° K

1066

Problemas dr Geometría y cómo resolverlos

Ernesto Quispe R.

Sea >1 el área pedida, luego : A = (6 + 8 + 10)2 j i ^ | J - 2 j i ( 2 ) .2 j i (2)

24-5 n )

18.- t n ia figura: M, N y L son puntos medios de AB, BC y AC . M í =2. N K = 11 y LO = 3 y EF = 8. Hallar el volumen del sólido generado por el A EBF al girar 3609 alrededor de £

Resolución.--- --- --—> Trazanius AJ , BS y CR, perpendiculares a S L uego:

¿~

AJ BS 2 CR-BS

ó~

Además : (1) + (2) :

...

(1)

2

... (2)

AJ+CR 2

- (3)

5 = (^ +2C R )-BS

... (4)

Reemplazando (3) en (4) : 5 = 11 - BS =» BS = 6 Sea
■J 2nd =

8-6

2n •(2)

19.- Del gráfico mostrado «O» es el centro de gravedad de la regí ón sombreada. Hallar «d»

r

V = 96n u 3

B

Luis Ubaldo C.


1067

Resolución Sean V : el volumen generado por la figura y

A : el área de la figura

Luego :

V = A .2nd

..(1)

( 4 -n )

A = a2 -

... (2)

v = v ,-v 2 V, : Volumen del cilindro generado por ABCD. V2 : Volumen de la sem iesfera generada por el cuadrante BAD ir 2 2 3 3 2 3 V = na . a - —na = na - —na3

Luego :

«3

v=

«5

3

(4 -ri)2n d «J

d =

... (3)

2

Reemplazando (2) y (3) en (1) : Resolviendo

na . 3

T

2a 3 (4 -n )

20.- En un romboide ABCD : AB = 1 y BC = 3 . Si el volumen del sólido engendrado por la región paralelográmica ABCD al girar una vuelta completa alrededor de AB es 12m3. Calcular el volumen del sólido engendrado por dicha región al girar 3609 alre dedor de BC.

R esolución.Sea «O» el punto de intersección de diagonales del romboide ABCD, adem ás : OF 1 Au y ÓL -L BC (OF = x y OL = y) Y si A es el área de la región ABCD : A = 2x = 6y de donde : x = 3y Por el Teorema de Pappus - Goulding, el volumen generada alrededor de AB es : V— = 2x (2 7ur) = 12 AB De donde : V

71y

2 _

= (6y) (27iy) = 127ty2

B;

Tur2 = n(3y)¿ = 3 ... (1) ... (2) ,

BC


= 12 ^ j

VBC = 4 m 3


1068

Ernesto Quispe R.

21.- Hallar el volumen del sólido generado por la rota ción de la región trapezoidal ABCD alrededor de la recta £, si AM = 10, BN = 18 CL = 24 y D F = 3

Resolución.Sea «Vx» el volumen del sólido engendrado, A el área de la región trapezoidal y «G» el

baricentro de dicha región. Luego por el Teorema de Pappus - Goulding: Vx = A ■2ji(GU)

...(1)

El área « A» la calculamos restando el área de la región hexagonal HBACDF y el área del trapecio AMFD. Es d e c ir:

Donde :

A = 84 + 168 + 94,5 - 136,5

=*

A - 210 ... (2)

La distancia GL' la calculamos em pleando la propiedad : GU =

10 +18'+24 +3


VX = 210 . 2n

210 x 55ji

V = 1 1 55 0 nu3

22.- Dado el sector circular AOB de 60B, OA = OB = R. Hallar la distancia de su centro de gravedad al radio OB.

Luis Ubaldo C.


1069

R esolución.Sea «G» el centro de gravedad del sector circular AOB y GK _L OB (GK = d) El volumen (V) del sólido engendrado por el sector AOB al girar en torno al radio OB se calcula m ediante el Teorema de Pappus - Goulding : V = Ax2nd

d=

a

■2n

...

( 1)

Como el sólido engendrado es un sector esférico, su volumen V será : HB =

y ya que el triángulo AOB es equilátero De donde :

V=

tiR a

V = —n R1 (HB)

R

... (2)

El área A corresponde al sector circular AOB Luego :

A=

,2 jtR

... (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) : ,3

71/?' d=

d = tiR

R

x2n

gravedad de la semicircunferencia ubica da en el plano cartesiano mostrado.

Resolución.Sea «G» el centro de gravedad de la semicircunferencia, luego sus coordenadas serán GC*; y) Al girar la semicircunferencia alrededor del eje x, se obtiene una superficie esférica de área A = 4nR2

...

( 1)

Por Pappus la m isma área se podrá expresar com o: A - (jt/?) 2ji y ... (2) Luego de (1) y (2) : 4 7t/?2 = 2r? R y

y

=

2R

A 1070

Probhtras de Geometría y cómo resolverlos

Y ya que x = R . Las coordenadas de G serán :

Ernesto Qulspe R.

G=

R ;

2R

24.- Determinar a que distancia del centro de una circunferencia de radio «R» se encuen tra el centro de gravedad de un arco cuya medida es en grados sexagesimalesa»

Resolución.Sea «G» el centro de gravedad del arco AB y sea GH la perpendicular de G al radio OB, Luego en el Ex OHG : x =

-

sen— 2

(1)

Hacemos girar el arco AB alrededor del radio OB, obte niendo un casquete esférico de volumen : V = 2m/?(Bl) ^Jj2 \2 R s e n £ L => BT = 2R sen5^ .

En el EX ATB

2nd■L ; donde

a a 2R sen 2 — = d. .n RD —— 2 180 od2

=*

(L="RTt¡) .

360/? sen

2a „ 2

d = ---------------- ... ( 2)

Tía

3601? sen ^ Sustituyendo (2) en (1) :

x =

na

25.- Dado un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide «a» . Calcular el área de la región engendrada por el hexágono regular al girar una vuelta completa alrededor de la mediatriz de uno de sus lados.

Resolución.La mediatriz de AB pasa por el centro O del hexágono regular y tam bién es mediatriz de DE ya que AB // DE El área A de la superficie engendrada por el hexágono regular, la calculamos em pleando el Teorema de A rqüm edes. Luego :

A = 2n(ap) (MN)

Luis Ubaldo C.


1071

Donde : ap = ^ . / 3 (apotem a del hexágono)y MN = 2 ap = a-J3 Luego :

A = 3na¿

A = 2n

26. - Las bases de un trapecio miden a y b (a < b). Hallar la relación de los volúmenes generados por los dos trapecios parciales determinados por la mediana del prime ro cuando estos giran una vuelta completa alrededor de la recta que contiene a aicha mediana. R e so lu ció n .-

Sea el trapecio ABCD de m ediana MN ^MN =

a+b

, sean adem ás A y A’ las áreas de las

regiones MBCN y AMND respectivamente y O y O’ son los centros de dichas regiones. KE-

Luego los volúmenes serán : V = A ■2ti(OH) También :

V = A' • 27t(0’H’)

De donde :

A . OH A' OH'

V

a +b

Puesto que :

° +

A=

2

/,=

2 V

L 2 J

/

b+

a+ab _ í 3b+a

A' =

Ahora:

3a+b )

{

Luego :

(3 a + & V

h

v

[—

I

v

(a b +a Y

f 1

V

X h

[— f 1

OH = O’H’ =

4

3o j t 3b +a

2

27.- En un trapezoide ABCD, M, N, L y F son tos puntos medios de AB, BC, CD y AD respectivamente, si el volumen del sólido engendrado por la región trapezoidal ABCD al girar en torno a AD es V. Calcular el volumen del sólido que engendrará la región MNLF alrededor del mismo lado.

1072


Ernesto Quispe R.

Resolución. Sea «O >el centro de gravedad del trapezoide ABCD. El cual también lo es para el paralelogramo MNLF y si OH es perpendicular al eje de rotación AD. Se tiene :

V=

□ ABCD) 2n (OH)

...(1)

Si Vx representa el volumen pedido. Luego :

V = A( □ MNLF) - 2n (OH)

... (2)

v x _ A ( □ MNLFQ ■ V “ / ! ( □ ABCD)

Dividiendo (2) + (1)

A ( □ MNLF) _ A (DABCD) " 2

Pero : >»(□ MNLF) = - [-4 (□ ABCD)]

V *

2

28.- Un segmento circular AB gira en torno a un diámetro Si CB = 2R y m AB = a . Calcular la distancia de su centro de gravedad al diámetro CB .

R esolución.S ;a «G» el centro de gravedad del segm ento circular y GK JL CB (GK = d). Luego por el Teorema de Pappus ( ¡oulding : El volumen engendrado V será : V = A x 2nd

... (1)

El área A del segm ento circular lo calculamos com o : 2

2

, tíR a R ____ A = --------------- se n a 360

2

... (2)

El volumen V es el de un anillo esférico (AB)2 . (HB) = ^ 7 t^ 2 /? s e n ^ j ^2/? sen —j

Luego:

V=

De donde :

4 ct" V = —tíR3 sen4 —


Finalmente :

- (3)

o

,4 « _ r! (na - 180 sena] 2nd 2 obO

nR3 sen4 ^

4 a 240/teen __________ 2^ d = J ta ^ l8 0 s e n a


Luis Ubaldo C.

1073

29.- En un triángulo isósceles ABC(AB = BC) se traza la mediana AM. Si AC = 8 y AM = 7,5; calcular el volumen del sólido engendrado por la región ABM cuando gira 360e alrededor de la base m C

Resolución.Sea Vx el volumen pedido, A el área de la región ABM y G’ su centro de gravedad (G’ e MN y MN // AC) Luego por el Teorema de Pappus - C-oulding : Vx = A . 2n (G’T)

... (1)

Trazamos la altura BH , luego: AH = HC = 4

y

BH n ÁM = {G} 2

2

«5

«3

Para el A ABC , G es baricentro, luego : AG = —AM = —(7,5) = 5 En el Ès, AHC

GH = 3

En el Bn. BHC :

ML =

BG = 2 GH

BG = 6

A = Â( A ABC) = |

De donde :

y

BH

'8 - 9 '

A = 18

.. (2)

G’T = ML = - ... (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) : V = 18 • 271 x

V = 162

71

30.- Se consideran dos circunferencias de centro O y 0 1 tangentes exteriores en T y de radios 3 y 1. Se traza la tangente común exterior P Q . Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región mixtilínea PTQ alrededor de la línea que pasa por sus centros.

Resolución.Sean : V ■volumen engendrado por la región sombreada Vj : volumen generado por la región OPQO, V : volumen generado por el sector POT V3 : volumen generado por el sector TO,Q Luego:

Vx = V] -V2 -V3

Por Pappus :

Vj =

j

... (1)

2-J3 • (27i) (GL)


1074

Ernesto Qu,sp~e R.

V , = 8 ^ 3 71—

i?

V, = 12n

... (2)

L uego:

V1 - ! « R > - ( G D - ¡ « ( 3 ) > - ( f )

=»

V2 = 9n

... (3)

Ahora:

V3 = | - * V ( T K ) = § n ( l ) 2 . ( | )

=»

V3 =

... (4)

Sustituyendo (2) , (3) y (4) en (1) : Vx = 1271 - 971 - n

7t

Vx = 2ji

31.- Dos lados de un rombo son radios de una circunferencia y los otros dos lados, ci erdas de la misma. Hallar el área de la región generada por dicho rombo cuando gira 3609 alrededor de uno de sus lados (El radio de la circunferencia mide R)

R esolución.Sea ABCD el rombo de lados : gulos equiláteros AOB y BOC.

AB = BC = OC = OA = R, el cual esta formado por los trián

Sea adem ás «P» su centro y PH ± OC

(.PH = J ) B

Luego por Pappus :

Ax = 2p ( □ ABCD) x 2mí

Donde i4x es el área pedida y 2p (O ABCD) = 4R En el

OHP de 30° y 60° : d =

4

Ax = 271/ 3 /?2 32.- Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 3609 alrededor de la recta

A____ P

4 B

BC, ABCD es un cuadrado y PB = 3AP (AB = a)

D

r

^5

C

Luis Ubaldo C.


1075

R esolución.Sean Vx el volumen pedido, A el área de la región DPC y __ <-> GH ± BC (G : centro de gravedad del A DPC). Luego por Pappus - Goulding :

Vx = A . 2n(GH)

...(1)

El área A de la región DPC se calcula com o la mitad del área de la región ABCD :

Ya que G es baricentro :

__ __ <— > PG = 2GM, por N punto m edio de PG trazamos NT ± BC 3 /4 o + G H

N T + o/2 3 /4 a+ G H GH = ----- ------ y NT = -------

Luego : Resolviendo :


C H =ô

GH = - (3) \r

V =

(2n) ( tH

33.- Determinar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada al girar en torno al lado CD del cuadrado ABCD.

R esolución.Sea «G» el centro de gravedad de la región som breada El cual también es centro del cuadrado ABCD Luego por Pappus : Vx = A . 2n(GH)

... (1)

El área A de la región som breada la calculamos restando al área de la región cuadrada ABCD cua tro veces al área de la región APD. Es decir : Pero :

A = a2

4AX

A. = i4(sector ADP) - 4 (segmento)

^ ^

V = T2 °

3

+o/2


1076

.

L uego:

na 2

na

Ernesto Quispe R.

a 2 J3

1 = ~T2~

De donde

A = cr - 4

v

12

(3 ^ 3

-n )

=>

A=

O

y

Por otro lado : GH = —

(3 - 3 ^ 3 - 7t)

... ( 2)

a 2 J3

n 2f

... (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1)

V = — ,r3 . 3 / 3 + x 3

:

V =

Tía

ti)

2n^r ¿

(3 - 3 j 3 + n)

Sean : Vx : el volumen generado por la región som breada V j: el volumen generado por la región ABC V2 : el volumen generado por el círculo O Luego:

Vx = V ,-V 2

„

...(1 ) . . . .

T am bién:

V2 = nd2 x 2nd

Luego en (1 ):

V =

a2J3

ni1 - 2n2dz

Pero en el Et^ OHC de 30° y 60° : d =

V =

r

Tía

3

2

7t a

3

\2j3

na

a2J3

„

2^3

3

3— 12 l ^3 >

,, V

a

a

= — — • n — ■== - 2n — — 2 2>/3 {2j3 J 3

V = na 36

(9 - n V 3 )

Luis Ubaldo C.


1077

35.- En la fjcjuraptíjjnta : ABCD es un cuadrado cuyo lado mide «a» BD y AC son arcos de circunferencia trazados con ¡adío «a» y centros A y D. Hallar la distancia del centro de gravedad de la región sombreada a Aü.

R esolución.Sea «G» el centro de gravedad de la región som breada y GT ± AD (GT = d). Luego al hacer girar dicha región alrededor de AD, se obtiene un volumen: V = A ■2nd ... (1) El volumen V lo obtenem os por la diferencia de los volúmenes de dos segm entos esféricos el mayor de dos uases (BR y PQ) y el m enor de base PQ

Ahora :

V—

na

7 na"

16

48

na

2>na'

Ina"

16

16

48

El área A de la región som breada la hallamos restando al área del sector BAP el área del segm ento circular AP

A

Luego :

-

no 12

(

na2

a2 J 3

6

4

V

371a" II

=> V =

na

. ( 2)

B

2

A

=

^ (3 ^ 3 -7 0

...(3)

D


4

=

d =

—

12

( 3 /3

3a 2 (3 /3 -

- n)2nd

t i)

36.- Calcular el área de la región engendrada por el triángulo curvilíneo PQL al girar una vuelta com pleta alrededor de la recta f

£

1078


Ernesto Quispe R.

Reso lu ció n . -

Al unir los centros de las circunferencias se obtiene un triángulo equilátero 0 0 , 0 2 de lado 2R. El triángulo curvilíneo PQL esta formado por arcos de cir cunferencia de 60° cuya longitud es

(27tR) = ~ ~

b

ó

Luego su perímetro será «7t R» sea «G» el centro de gra vedad del triángulo PQL y GT X £ Luego el «rea «A» de la región buscada será; por Pappus : En el A 0 0 j 0 2 :

G P= |( 0 , P ) = | ( W 3)

Ademán :

PT = R

En (1) :

GT =

A = 2ti2 R2

(R j3

+ R

+R

A =

2/?3(V3 + 3)

37.- Hallar la distancia del centro de gravedad de la región sombreada a AD , s' ABCD es un cuadrado y AD es diámetro.

ResoluclQi En primer lugar calculamos el área A de la región som breada : A = >4(0 TCDO) - A f

o 2

o x -

A= 2

7 t ( a / 2 r 127 36C

=»

A=

1440

(720- 12771)

Hacemos girar la región som breada alrededor de AD obtenien do un volumen V que por Pappus se expresa com o : V = A x 2nd = d=

1440

(720 - 127ti) x ^jk/

720V ...

a ( 720-127Tt)Tt

( 1)

TOD

Luis Ubaldo C


1079

El volumen V lo hallamos restando los volúmenes del tronco de cono y del segm ento esféri co de base TK Luego : Pero en el

V = ^ (LD) (LT2 + a2 + LT ■a) TLO de 37° y 53° :

V=

De donde :

LT = y

4 na 15


(LD)3 +

j (IT)2

y LD = y

... ( 2)

d =

192 a 7 2 0 -1 2 7 ti

38.- En la figura mostrada , AB = 5m ; BC = 6m y AC = 7m; ON = OA , OP = J6 . Hallar el volumen que en gendra el triángulo ABC al girar 360s alrededor del eje £

Sea «G» el baricentro del A ABC, luego : Hacemos : GN = 2fc y AG = 4 k

=>

AG = 2GN ON = OA = 3 k y OG = k

Trazamos GT i f , luego por la sem ejanza de los trián gulos GTA y OPA se tiene : GT &

4k 3k

GT = |^ / 6

Sea V el volumen buscado Luego :

V = Area (A ABC) x 2n GT

Reemplazando :V = J9(9 —5) (9 —6) (9 - 7) x 2nDondo .

V = 6 x 8nj6

V ■= 967tm:


1080

Ernesto Quispe P.

39.- Hallar la distancia del centro de gravedad de la región sombreada al lado AD del cuadrado ABCD si AD = a

Resolución.Sea «d» la distan« ia pedida, al hacer girar el segm ento circular PQ alrededor de AD obtene mos un anillo esférico de volumen : V = | ji(PQ)2 (HL) Puesto : HL = HD - LD =

- f = f (V3 -

1)

y P Q e s e l la d o d e l d o d e c á g o n o r e g u la r

De donde : PQ = a-J 2 -V 3

=>

(PQ)2 = a2(2 - 7 3 )

Sustituyendo en la expresión anterior : V = 7TJta2(2 - V 3 ) f ( V3 - 1) b

¿

=>

V=

12

(3 ^ 3 - 5)

...

fl)

Empleando el Teorema de Pappus - Goulding el volumen V se calcula también corno : V =

A x2nd 2

Donde

:

a

De donde :

es el area del segm ento circular PQ es d e d r

V = —— ( ti - 3) x 2nd

d=

12

.


:

d =

na

'12

1 3 ^ 3 -5 )

na ( 7t - 3 ) d =

a (3 -JH - 5)

U n -3 )

A=

6V 2,

2

2

i 12

— íL_ = ___

na (7 t- 3 )

. 3)

. .. ( 2 )


Luis Uboldo C

P f t 0 8 L € M

A S

1.- Los lados de un triángulo miden 11, 13 y 20, el triángulo gira en tomo a uno de sus la dos obteniéndose el mayor volumen. Hallar dicho volumen. A) 58271 dm3

B) 5 2 8 ji dm3 C) 82571 dm3

D) 2587idm 3

E) 28571 dm3

2.- Si AB: diámetro y T es punto de tangencia. Calcular el área de la superficie que genera la línea ATP al girar alrededor de AP (R ~ 2)

1081

P R O P U E S T O S

A) 7la3

B) Ó 7la3

C)

D) 673 tia 3

E) 1273 71a 3

871a3

6.- Un rombo de diagonal mayor d y un ángu lo agudo de 74° gira respecto a un eje que pasa por su vértice y es perpendicular a su diago nal mayor. Determinar el volumen del sólido así obtenido. A ) | t i d3

B ) | t i d3

D ) | t i d3

E )ti d3

C ) | t i d3

1.- Del gráfico AB = 6 y AD = 8 . Calcular el

volumen de la figura generada por la región ABCD al girar en tomo a L. B 3.- En un triángulo se traza por el baricentro una recta paralela a su base. ¿Qué relación existe entre los volúmenes generados por las dos partes en que queda dividido el triángulo cuando estas giran alrededor de la recta? A) 1

B) 1/2

C) 1/3 D )2/3

E)

3/4

4.- Un rombo cuyo lado mide 5 y su diagonal mayor 8; gira alrededor de una paralela a esta diagonal trazada por el extremo de la diago nal menor. Calcular el volumen engendrado. A) IOOjt

B) 124ti

D) 144n

E) 156ti

C) 12871

5.- Un triángulo equilátero ABC gira una vuelta completa alrededor de una recta exterior £ paralela a AC y una distancia «a» de AC. Hallar el volumen del sólido engendrado, si AB = 2a 73

A) 48(2+

373) ti

D) 36(2+ 373)71

B)24(2 + 373) ti C)

48(4+ 3 7 3 )

E) 48(4 +

73 ) 71

ti

8.- En un trapecio isósceles, una diagonal es perpendicular a uno de los lados no paralelos; el lado no paralelo mide «fe» y forma 60° con la base mayor. Determinar el área del sólido generado al girar el trapecio respecto a la base mayor. A)47ifc27 3

B)27iZr73

D)7iZr73

E)57iZ>273

C) 37t¿>27 3

I—

1082


Ernesto Quispe R.

9.- Se tiene un triángulo y una recta exterior coplanares, si el área de la región triangular es 30 y las distancias desde sus vértices hacía la recta son 8,1 y 6. Calcular el volumer engen drado por está región triangular al rotar alre dedor de esta recta exterior.

13.- Un rectángulo con los lados a y b gira en tom o a su eje que pasa por un vértice y que es paralelo a la diagonal que no pase por dicho vértice. Hallar el volumen del sólido de revo lución obtenido.

A ,100 ti

B) 1500ti

B) 271 a b /(a + b )

D) 200 ti

E) 300 tt

C) 150ti

A) 271 e r

C) 271

10.- Por el vértice B de un triángulo rectán gulo ABC, recto en B, se traza una recta ex terior a dicho triángulo. Se traza AJhl per pendicular a la recta («H» en la recta) tal que, M 4 - HBA = M 4 - ACB. Calcular el volu men del sólido generado por la recta, si BH = 6 y el área de la superficie generad: por AC en dicho giro es 40071 A) 400 ti

B) 10071

D) 80071

E) 700 ti

C) 50071

D )4 (2 - V 3 )/i2

D) 2(a2 b 2) i J a

2 +b2

E) 271 a 2 b 2l \ j a 2 + b 2

& -J

14.- Del gráfico. Calcular « a», sabiendo que el volumen del sólido generado por el sector AOB es cuatro veces el volumen del sólido generado por el segmento circular EF. A)7i/6

¿l

B)7i/5

E)

¿i

______ _ÉZ7 Na E r y \h \ R/ o

C)7i/4 D ) ti/3

11.- Un triángulo obtusángulo de ángulos agu dos 15 y 30° y altura menor «h» gira respecto del lado opuesto al ángulo de 30° . Hallar el área de la superficie engendrada. A) 2 7i/i2

b 2Í \ ’ a 2 + b 2

5ti/12

\

15.- El área de ur. triángulo ABC es igual a A, AC = b y m 4 - CAB = 37°. Hallar el volumen del sólido formado al girar el triángulo ABC respecto al lado A B . A)|í>A 7I

B) ~^bA7i

C ) 4 tih2

D ) 4 ¿ A ti 4

E ) |¿ A t i

12.- En la figura calcular el área de la superfi cie total de¡ sólido generado al girar la región CABD alrededor de la recta JEuna vuelta com pleta, f , i : r = 5 , k = 3 y h - l

16.- Calcular el volumen generado per la re gión sombreada al girar 360° alrededor de la recta £.

B ) 4 ( 2 - ,/3 ) 7 i

h2

E )4 (2 + V 3 )t ih2

Ax13 A) - t-h R 4

A) 2271

B ) | t l R2 B) 30n C; 3571 D)39ít E)45 ti

C )~nR 2

D)

7ti R2

d2 E ) t^ ti R-

C ) !¿>A ti


Luis Ubaldo C.

17.- Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada, al girar una vuelta alrededor de BC, si R = 10 A) 25071/3

B

B) 240ti

•?

A) y - (571 + 7 2 ) 2 B) ^ -(5 7 1 + 2 J í ) C) ^ -(5 7 1 + 3 ^ 2 )

C) 320 ti

E

D) y - (771+ 3V2 )

D) 32071/3 E)

1083

220 7i /3

A

^

18.- Calcular el volumen del sólido generado por un cuadrado ABCD que gira 360° alrede dor de una recta que pasa por C, forma 15° con CD y no intersecta al cuadrado, si AB = 7 ó A) Hnm*

B) 147im3

D) 18tiot3

E )20nm 3

E) N.A. 21.- Hallar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada al girar 360° alrede dor de la recta £ . £ // AC

C) 1Ó7iw3

19.- Calcular el área de la superficie genera da por la semicircunferencia al giuar alrede dor de m una vuelta si ABCD es un cua drado de lado 4cm.

£

A ) ^ - (471- 7 3 )

D ) ^ - ( ti- 7 3 )

B ) ~

(271- 7 3 )

E ) ^ - ( 2 t i - 73 )

C)

(471-373)

3

O

A ) A n ( 2 y ¡ 3 + 2 ti7 3 + 7 i)

22.- Hallar el volumen del sólido generado por la región sombreada al giraren torno a la recta OA.

B)

A) 471(8 - 7t7 2 )

C)

271(2 73 + 7 iV 3 + 7t) ti

(273

+

D) 671 ( 7 3 +

2 7i V3 + 3 ti7 3

71)

+ 7i)

E) 6 ti (7 3 + 2 7t73 - 7t) 20.- 29.- En la figura mostrada. S i: m AB = 30° y m BC = 90°. Hallar el área de la superficie que genera el perímetro de la región sombreada al girar una vueltra. alrededor del diámetro C D .

B) 4ti(8- 7 2 ) C) 4ti(8 - 71) D) 2ti( 8 - ti 7 2 ) E) 6 ti(8 - 717 2 ) 23.- Hallar el volumen del solido generado por la región sombreada si ABDE es un cua drado y BCD es un triángulo equilátero.

1084


Ernesto Qulspe R.

26.- Un trapecio ABCD ( BC // AD ) gira en tomo a una recta que contiene a la base ma yor AD. Hallar el área de la región generada, si BC = 4, AD = 18,m 4- A = 53ym 4 - C = 45 A) 8(2 + 7 2

)7 i

B) S-j2n

D) 64(4 + 7 2

)7 i

E) 32(4 + 7 2

)7 i

C) 64(3+ 7 2 ) 27.- En un triángulo A B C : AB = 13 BC = 14 y AC = 15 . Por el incentro de dicho triángulo se traza una recta £ paralela a AC la cual de termina un triángulo EBF.; calcular el área de la región determinada por dicho triángulo al girar una vuelta completa aLede lor de £

A,

B) C) D)

4 a 3J 6

2 a 3J 2

(12 + 573)71 (6 + 5 7 3 ) 7i (12 + 5 V 3) ti

E)

C6 + 5 V 3)

24.- Calcular el volumen del sólido engendra do por un cuadraao ABCD que gira 360° alre dedor de una recta exterior £ , si las distancias de los vértices A, D y C a dicha recta son de 6, 2 y 8. A) 600 7i

B) 630 7:

D) 708 7:

E) 728 ti

C) 650

M 413 A )y -7 I

t>\ B ) 425 y -7 i

DI 21271

E) 172 ti

P s 448 C) K

28.- Hallar el volumen del sólido generado por el rectángulo ABCD que gira una vuelta completa alrededor Je la recta £ , si £ / / AC y DM = 7 5 y el perímetro del rectángulo es 48

ti

25.- Por el Baricentro G de un triángulo ABC s< traza una paralela a AC la cual corta en E a AB y en F a B C . Calcular el volumen que generac. trapecio AEFC al piraren tom o a la

A) 10247571

D) 100071

B) 10247371

E) 10217571

¿ecta EF , si el volumen que genera la región C) 1 0 1 2 7 1 ti

EBF es 80mJ A )130 m3

B) 160m3

D)200 m3

E ) 260 m3

C ) 180 m3

29.- Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al g irar 360° alrede dor del diámetro AC ; s i : AH2 + HC2 = 1 2

Superficies y Sólidos tie Revolución

Luis Ubaldo C

33.- Del gráfico hallar la distancia del centro de gravedad del sector circular AOB a la recia £ . si OA = R (B es punto fie tangencia)

A) 7iR B ) 2 t iR

C)

1085

371R A * > ~ (3 ti -4 )

D )f E ) 4 7 i/ ?

30.- Las bases de un trapecio miden 2 y 4 , el trapecio gira en tomo a una recta quf pasa por su mediana, si el volumen del sólido engen drado por el menor de los trapecios parciales es 100/723. Hallar el volumen del sólido engen drado por el segundo trapecio parcial. A)110m

B)120/n3

D)140w3

E)150m3

C ) 130m3

31.- Er la figura el lado del cuadrado ABCD mide -J2 + 1. Hallar la distancia del centro de gravedad de la región sombreada a la recta AE

B) 2

A)

A»!

C )3

D'f

B

c4 8

E) 2 32.- Calcular el volumen generado por la región sombreada cuando esta gira en tomo al eje £ A ) f l 37 l( 7 I- 1) 3

B ) ^ - ti (ti- 2)

a

A) ^ 7i a 3

9 7 B) 2 n a

D ) | tiíz3

E)

C) 2 na3

7la

36.- Calcular la distancia del centro de grave dad de la región sombreada al ejes*, si ABCD es un cuadrado . Además R = 8 - 7i A) 3 B j5

D) =— 71 (71 - 4) 4 E V y (71-2)

E) 6

35.- Se co n sid era un hexágono regular ABCDEF de lado a , luego se construye en su interior un cuadrado A PQ F. Calculare! volu men que engendra la superficie exterior al cua drado e interior al hexágono cuando este gira 360° alrededor del lado AF

B) 1/3

D)

34.- Mj_N yJL sonólos puntos medios de los lados AB , CD y EF de un hexágono regular ABCDEF . Hallar la relación de los volúme nes generados por la región hexagonal regu lar ABCDEF y la región triangular MNL al gi rar 360° en tomo a ED

C)

20

D) 8 E ,f

TF


1086

37.- Calcular la distancia del centro de grave dad de la región sombreada al vértice C dei cuadrado ABCD, si AB = 4-71 B

A) 3 l B) 3

C)

E)

Ernesto Qulspe R.

A)

722771 125

B)

883271 125

D)

935671 75

E)

843771 125

c;

985671 1/5

41.- Calcular el área de la superficie genera da por la circunferencia al girar 90° alrededor

42

de £ , si ABCD es un rombo de lado 2 43 .

42

A) 4 7i

38.- En un triángulo A B C : AB = 13 , BC = 15 y AC = 14. Se trazan las medianas AM y CN las cuales se intersectan en G. Calcular el vo lumen del sólido engendrado por la región MGN al girar 360° alrededor del lado AC

B) 6 7i2 C) 8 7i2 D) 10 t i 2 E) 12 7i

. , 224 A) ~3~ti ™ D;

-2 3y 4 7i

200

100

C )-j-n

42.- Calcular el volmen que genera un cua drante cuyo radio mide 3 m, si barre un ángu lo de 40° alrededor de uno de sus lados límites

E) 112 71

39.- En la figura P y Q son los centros de gra vedad del semicírculo y del sector circular BOC de 60° respectivamente, si AB = 2 OB y OC =

71. Hallar el área de la región

sombreada.

C

A) n -

43

B) 2ti -

43

C) 3ti - 4

3

R

D) 471 - 3 7i

E) 271 - y -

40.- Dado el triángulo rectángulo ABC, recto en B, m 4 - A = 37 y AC = 10 ; la circunferen cia ex-inscrita referente a BC toca a BC en N y a las prolongaciones de AB y AC en M y L. Hallar el volumen del sólido engendrado por la región triangular MNL al girar 360° alre dedor de la recta de Euler correspondiente al triángulo ABC.

A) 2 7t m

B) 3 7i rr f

D) 4 71m3

E) 5 71 m3

C) 71 m

43.- Una semicircunferencia cuya longitud de radio es 2/71 m gira al rededor de su diámetro un ángulo de 471 ° . Calcular el área del huso esférico determinado. A) 8/45 m2

B) 7/36 m2

D) 1/2 m2

E) 1/5 m2

C) 3/16 m2

44.- Calcular la razón de volúmenes de los só lid o s d eterm in a d o s por las reg io n es equivalenetes ABCD y APD al girar 360° al rededor de AD. (A APD es equilátero)

A )§

3 D )f

B> !

E )f

Claves de Respuestas

1087

CLAVES DE RESPUESTAS CAPITULO 1: NÚMERO DE PUNTOS DE INTEK oim-C IÓ N (N.P.I.)

01.- D 02.- A 03.-A 04.- A 05.- D 06.- A 07.-E 08.-B 09.-D 10.- A11.- A12.- C 13.- A14. 16.-A 17.-A 18.-D 19.-E 20.-A 21.- D 22.-A 23.-D 2 4 .-E 25.-E 26.- B 27.-A 2 8 .-E 29.- B 3 0 .- C 31.-A 32.-E 33.-A 34.-A 35.-E 36.-E 37.- B 38.-C 3 9.-E 4 0 .-D CAPITULO 2: SEGMENTOS DE RECTA 01.-A 02.-C03.- C 0 4 .-D 0 5 .-B 06.- C 0 7 .-D 0 8 .-E 0 9 .-D 10.-C 11.-A 12.-C 1 3.-D 14 B 15.- A 16.- E 17.- D18.- A 19.- C 20.- C 21.- B 22.- E 23.- C 24.- E 25.- C 26.- C 27.- D 28.- D 29.- C 30.- B 31 .-D 32.-C 3 3 .-C 34.-C 3 5 .-D 36.-C 3 7 .-C 3 8 .-A 3 9.-A 4 0 .-B 4 1 .-C 4 2 .-D 4 3 .-C 44.-C 4 5 .-B CAPITULO 3: ÁNGULOS 01.- D 02.- E 03.- C 04.- E 05.- E 06.- A 07.- E 08.- A 09.- D 10.- D 11.- C 12.- B 13.- E 14. C 15.- C 16.- E 17.- E 18.- D 19.- E 20.- D 21.- D 22.- B 23.- C 24.- A 25.- C 26.- C 27.- C 28.- B 29.- E 30.- D 31 .-D 32.-C 33.-A 34.-B 3 5 .-E 36.-C 3 7 .-C 38.-D 3 9 .-A 4 0 .-D CAPITULO 4: TRIÁNGULOS 1 01.- A 02.- E03.- E 04.- D 05.- B 06.- A 07.- B 08.- B 09.- A 10.- E 16.-B 17.-C 18.-D 19.-C 20.- E 21.-A 2 2.-E 2 3 .-B 24 E 2 5 .-D 31.- C 32.- E 33.- E 34.- C 35.- B 36.- D 37.- D 38.- D 39. D 40.- C

11.- C 12.- C 13.- A 14.- D 15.- B 26.-C 27.-D 28.-B 2 9 .-C 30.- B

CAPITULOS: TRIÁNGULOS II 01.-D 0 2 .-A 0 3 .-E 04 E 0 5 .-D 0 6 .-E 0 7 .-D 0 8 .-E .19. D 1 0 .-B 11.-D 16.- A 17.- C 18.- D 19.- D 20.- B 21.- E 22.- E 23.- B 24.- D 25.- C 26.- D 27.- D 28.- B 29.- D 30.- E 31.-C 32.-E 33.-E 34.-C 35.-C 3 6 .-D 37.-C 38.-E 3 9 .-D 4 0 .-D

12.-D

CAPITULO 6: POLÍGONOS 01.- D 16.-A 3 1 .-E

02.-A 03.-C 0 4 .-E 0 5 .-A 0 6 .-C 0 7 .-B 0 8 .-D 0 9 .-B 10 .-D 17.-A 18.-C 19.-E 2 0 .-D 2 1 .-B 2 2.-C 23 .-D 24. C 25.-D 3 2 .-B 33.-C 34.-D 35.-C 36.-C 3 7.-C 38 .-D 3 9.-A 40.-D

II .-D 12.-C 13 .-B 26.- D 27.-B 28.-C 4 1 .-D

1 4 .-B 15.- A 2 9 .-B 3 0 .-D

CAP1TI L 0 7: CUADRILÁTEROS 01 .-A 02.-C 0 3 .-D0 4 .-BU5.-C U6.-C 0 7 .-B 0 8 .-C 0 9 .-D1 0 .-B II.-A 16.-A 17.-D18.-C 19.-D 2 0 .-C 2 1 .-B 2 2 .-E 2 3.-B 24.- D2 5.-B 2 6.-C 31 .-B 32.-D33.-C 3 4 .-E 3 5 .-D 36.-D 37.- C 3 8 .-B 3 9 .-C

12.-E 13.-E 1 4 .-B 15.- A 2 7 .-C 28.-A 2 9 .-A 30.- C

CAPITULO8: CIRCUNFERENCIA I 01.- C 02.- D 03.D04.- D05.- A06.- B07.- D 08.-C 09.-D10.-B11.- C 12.- B 13.- D 16 C 17.-D18.-E 19.-C 2 0 .-E 21.-C 2 2 .-E 23 .-D J4.- B2 5 .-C 26.- E 2 7 .-D 28.- D 2 9 .-B 3 0 .-C 31 - C 3 2 .-B 33.-C 34.-C 3 5 .-B 3 6 .-B 37.-A 3 8 .-B 3 9 .-A 40 - B 4 1 .-E 4 2 .-E 43.- D 4 4 .-B 4 5 .-D 46.-C CAPITULO 9: CIRCUNFERENCIA II 01.-B 02.-B0 3 .-D 04.-C 0 5 .-C 0 6 .-E 07.- B 0 8 .-D 09. D 10.- C11.-D 16.- C 17.-D18.- D 19.-C 2 0.-C 2 1 .-D 22. C 2 3 .-D 2 4.-C 25.-C 2 6 .-E 31.- C 32.- B33.- D 34.- B 35.- B 36.- C 37.- D 38.- D 39.- C 40.- C

12.-D 13.-E 14.-C 15.-D 2 7 .-C 2 8.-C 2 9 .-C 3 0 .-C

CAPITULO 10 : PUNTOS NOTABLES 01.-A 02.-C 0 3 .-B 04 D 0 5 .-E 0 6 .-C 0 7 .-E 0 8 .-B 0 9 .-D 10.-B II.-D 16.-B 17.-A 18.- E 19.-D 2 0 .-D 21.- B 2 2 .-D 2 3 .-A 2 4 .-A 2 5 .-D2 6.-C 31.- C 32.- D 33.-D 34.- D 35.- C 36.- B 37.- D 38.- A

12.-C 13.-E 14 - C 15.- A 2 7 .-D 2 8 .-A 2 9 .-C 30 - D 39.-C 40.-E

14 C

« 1088


CAPITULO 11: PROPORCIONALIDAD 01.-B 0 2 .-D 0 3 .-A 04.- D 0 5 .-D 0 6 .-E 07. C 0 8 .-C 0 9 .-E 10.-C 11.- D 12.-B 13.-B 14.- D 15.- B 16.-E 17.- E 18.-C 19.-E 2 0 .-A 2 L -A 2 2 .-A 2 3 .-C 2 4 .-E 25.- E 2 6 .-B 27.-D 28.-A 2 9 .- B 3 0 .- E 31.-A 32.-C 3 3 .-E 34 - D 3 5 .-B 3 6 .-C 3 7 .-D 3 8 .-D 3 9 .-C 4 0 .-B 4 1 .-A 42 A 43.. B 4 4 .-C CAPITULO 12: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 01 - D 16.-E 31.-C 46.-E

O V A 03.-C 0 4 .-A 0 5 .-D 0 6 .-D 0 7 .-B U8.-D 0 9 .-D 10.-D 11.-B 12.- C 13.-C 14.-C 15.- B 17.-C 18.- f 19.-F 2 0 .-A 2 1 .-D 2 2 .-B 2 3 .-B 2 4.-C 2 5 .-B 2 6 .-A 27.-C 28.-C 2 9 .- B 3 0 .-C 32.-E 3 3 .-E 3 4 .-D 3 5 .-C 3 6 .-A 3 7 .-C 3 8 .-E 3 9 .-B 4 0 .-B 41.- C 4 2 .-A 4 3 .-C 44. B 45.- C 47.-D 48.-E 49.-B

CAPITULO 13: RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTANGULOS 01.- D 0 2 .-L)0 3 .-E Oh -B 0 5 .-C 0 6 .-C 0 7 .-E 08.- A C9. C 10.-E 11.-D 12.-C 13.-B 1 4 .-C 1 5 .-E 16.-D 17.-C lí .- D 19.-E 20.-C 21.-A 2 2 .-D 2 3 .-E ’4.- B 2 5.-E 2 6 .-B 27.-D 2 8.-D 2 9 .- A 30 - B 31.-D 32.- D 33.-C 3 4 .-B 3 5 .-A 3 6 .-C 3 7 .-A 3 8 .-A 3 9.-C 4 0 .-C CAPITULO 14: RELACIONES M ÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 01.-C 0 2 .-B 0 3 .-D 04.-D 0 5 .-C 0 6 .-E 0 7 ,-A 0 8 .-A 09. C 10.-C 16.-E 17.-B 18.-B 19.-B 20.- B 2 1 .-A 2 2 .-E 2 3 .-D 2 4 .-A 2 5.-D 31.- D 32.- A 33.- C 34.- D 35.- E 36.- C 37.- E 38.- D 39 C 40.- C

11.-A 12.-C 13.-E 1 4 .-D 1 5 .-A 2 6 .-E 27.-C 2 8 .-D 29.-A 30.- B

CAPITULO 15: RELACIONES M ÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA I 01. D 0 2 .-B 0 3 .-B 04--A 0 5 .-C 0 6 .-C 07.- B 0 8 .-D 0 9 .-C 1 0 .-D 16.-C 17.-A 18.-A 19.-B 2 0 .-D 2 1 .-C 2 2 .-D 2 3 .-B 24. B 25.-D 31.-C 32.-A 3 3 .-D 34.-C 3 5 .-E 3 6 .-D 3 7 .-D 3 8 .-A 3 9 .-E 4 0 .-C

11.-C 12.-D 13.-D 14 E 1 5 .-A 2 6 .-A 27.-A 28.-C 2 9 .-E 3 0 .- D

CAPITULO 16: RELACIONES M ÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA II 01.-D 0 2 .-B 0 3 .-D 0 4 .-A 0 5 .-D 06.- B 0 7 .-A 0 8 .-C 16.-D 17.-C 18.-A 19.-B 20.-C 2 1 .-C 2 2 .-B 23.-A 31.-C 32.’ B 3 3 .-C 34.- A 3 5 .-C 36.-A 37.- C 3 8 .-D

0 9 .-A 10.-C 11.-C 12.-E 13.-C 1 4 .-A 15.- A 24.-C 25.-D 2 6 .-E 2 7.-C 28.-A 2 9 .- C 3 0 .-C 3 9 .-B 4 0 -C

CAPITULO 17: POLÍGON J S REGULARES POTENCIA Y E JL RADICAL 01 .-A 0 2 .-B 0 3 .-B 04. A 0 5 .-E 0 6 .-C 0 7 .-D 08.- C 16.-B 17.-B 18.-A 19.-A 2 0 .-B 2 1 .-A 2 2 .-B 2 3 .-E 31.-B 32.-C 33.-A 3 4 .-C 3 5 .-E 3 6 .-A 3 7 .-B 3 8 .-E

09.- D 10.-D 11.-E 12.- C 13.-C 1 4 .-D 15.- B 2 4 .-D 25.-B 2 6.-C 2 7.-E 28.-E 2 9 .-D3 0 .- D 3 9 .-C 40.- E

CAPITULO 18: AREAS DE REGIONES IRIANGULARES 01.-C 16.-D 31.-A 46.-E

0 2 .-A 0 3 .-B 7.-B 18.-B 32.-C 33.-C 47.-B 48.-C

04.-A 0 5 .-B 19.-A 20.- E 3 4 .-B 3 5 .-D 4 9 .-A 5 0 .-E

0 6 .-D 2 1 .-E 3 6 .-D 5 1 .-E

0 7 .-A 0 8 .-E 0 9 .-C 22.-A 2 3 .-D 24.-C 3 7 .-C 38.-D 39.-D 5 2 .-E 53.-A 5 4 .-B

10.-C 2 5.-C 4 0 .-A 5 5 .-E

II.-A 2 6 .-C 4 1 .-A 5 6 .-A

12.-A 27.-C 4 2 .-A 5 7 .-C

13.-E 1 4 .-A 2 8 .-B 2 9 .-A 4 3 .-E 4 4 .-E 5 8 .-B 59.-C

1 5 .-E 3 0 .- C 4 5 .-D 60.- D

CAPITULO 19: RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS 01.- E 0 2 .-D 0 3 .-B 0 4 .-B 0 5 .-E 0 6 .-D 0 7 .-C 0 8 .-B 0 9 .-D 10.-B 11.-D 12.-B 13.-C 1 4 .-A 15.- E 16.-B 17.- E 18.-D 19.-D 2 0 .-A 2 1 .-A 2 2 .-C 2 3.-A 24 A 25.-C 2 6 .-E 27.-A 28.-A 2 9 .-C 3 0 .- E 31.-A 32.-D 3 3 .-A 3 4 .-D 3 5 .-B 3 6 .-E 3 7 .-A 3 8 .-B 3 9 .-A 4 0 .-A CAPITULO 20: ÁREAS DE REG IO NES CUADRANGULARES 0 1 .-D 0 2 .- E 0 3 .- A 0 4 .- B 0 5 .- E 0 6 .- D 0 7 .- A 0 8 .- E 0 9 .- C 1 0 .- B 1 1 .-D 1 2 .- B 13 .- C 1 4 .-D 1 5 .- A 1 6 .- B 17.- E 1 8 .- D 1 9 .- D 2 0 .- D 21.- D 2 2 .- C 2 3 .- A 2 4 .- A 2 5 .- D 2 6 .- D 2 7 .- A 2 8 .- B 2 9.- D 30.- D 31.- D 32 .-A 3 3 .- D 3 4 .- B 3 5 .- C 3 6 .- B 3 7 .- C 3 8 .- E 3 9 .- D 40 - C

CAPITULO 21: ÁREAS DE REG IO NES POLIGONALES 01.-A 0 2 .-D 03.-C 0 4 .-C 0 5 .-B 0 6 .-A 0 7 .-E 0 8 .-D 0 9 .-C 1 0.-D 11 B 12.-C 13.-C 14 .-B 15.- C 16.-B 17.-B 18.- D 19.-E 2 0.-D 21.-C 2 2 .-A 2 3 .-E 2 4 .-B 25.-C 2 6 .-E 27.-A 28.-A 2 9 .-C 30.- D 3 1 -D 32.-C 3 3 .-C 3 4 .-A 3 5 .-A 36 A 3 7 .-C 3 8 .-C 39 E 4 0 .-A

Claves de Respuestas

1089

CAPITULO 22: ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 01.- B 0 2 .-D 0 3 .-B0 4.-C 16.-E 17.-D 18.-B19.-C 3 1 -A 3 2 -E 33.-D3 4 - A

OS.-A 0 6 .-E 0 7 .-D 0 8 .-C 0 9 .-D 10.-E 2 0 .-B 2 1 .-E 2 2 .-D 2 3 .-A 24.- B 25.-D 3 5 -D 3 6 -C 3 7 -A 3 8 -A 3 9 -B 40- E

11.- C 12.-C 13.-C 14.-D 15.- D 2 6 .-B 27.-C 2 8 .-B 2 9 - E 30.- C

CAPITULO 23: GEOMETRÍA DEL ESPACIO: RECTAS Y PLANOS 0 1 - B 0 2 - E 0 3 - C 0 4 - D 0 5 - D 0 6 .-A 0 7 - D 0 8 - B 0 9 - B 10- B 1 1 - A 12- B 13- D 1 4 - B 1 6 -A 1 7 -D 1 8 -C 1 9 -A 2 0 -A 2 1 -B 2 2 -A 2 3 -D 2 4 - E 2 5 -A 2 6 - B 2 7 -E 2 8 - D 2 9 -C 3 1 -C 3 2 -E 3 3 -E 3 4 - B 3 5 - A 3 6 - D 3 7 - A 3 8 - C 3 9 - B 4 0 - B

1 5 -D 30- B

CAPITULO 24: ÁNGULOS POLIEDROS 01- B 0 2 - A 0 3 - C 0 4 - C 0 5 - C 0 6 - B 0 7 - A 0 8 - A 0 9 - C 1 0 -D 1 1 -E 12- E 1 3 -E 1 4 - A 1 6 - D 17.-E 18- B 1 9 - D 2 0 - B 2 1 - D 2 2 - C 2 3 - A 24 B 2 5 .-C 2 6 - A 2 7 - A 28 - B 2 9 - B 3 1 -D 3 2 -E 3 3 - D 3 4 - E 3 5 - C 3 6 - A 3 7 - E 3 8 - D 3 9 - D 4 0 - C

1 5 -B 3 0 -C

CAPITULO 25: POLIEDROS REGULARES 0 1 -E 0 2 -A 0 3 - A0 4 - C 0 5 - E0 6 - C0 7- D0 8 - A0 9 - E 1 0 - A11- E1 2 - A 1 3 - B 1 4 -E 1 6 - A 1 7 - C 1 8 - C 1 9 - A 2 0 - D 2 1 - C 2 2 - B 2 3 - B 2 4 - E 25.-A 2 6 - C 2 7 - B 2 8 - E 2 9 - B 30- B 3 1 - D 3 2 -A 3 3 - E 3 4 - C 3 5 - D 3 6 - D 3 7 - C 3 8 - C 3 9 - B 4 0 - A

15- E

CAPITULO 26: SÓLIDOS POLIÉDRICOS 01- B 02- E 0 3 - D0 4 - A 0 5 - D0 6 - D0 7 - D0 8 - C0 9 - B 10- C 11- A1 2- B 13- E 1 4- A 1 6 - E 1 7 - B 1 8 - C 1 9 - E 2 0- D 2 1 - D 2 2 - C 2 3 - C 2 4 - B 2 5 - B 2 6 - A 2 7 - D 2 8 - D 2 9 - D 3 0 - A 3 1 -B 3 2 -E 3 3 -A 3 4 - A 3 5 - C 3 6 - B 3 7 - B 3 8 - B 3 9 - D 4 0 - E

1 5 -C

CAPITULO 27: CILINDRO Y CONO 01- C 1 6 -B 3 1 -C

02- C 03- B 04- B 05- B 06- C 07- D 08- D 09- D 1 7 -C 1 8 -E 1 9 -D 2 0 -C 2 1 -E 2 2 -C 2 3 -C 2 4 -B 32- B 3 3 - B 3 4 - D 3 5 - B 3 6 - A 3 7 - B 3 8 - A 3 9 - C 4 0 - D 4 1 - C 4 2 - D

10- B11- C12- C13- C 2 5 - D2 6 - A2 7 - A2 8 - A

CAPITULO 28: SÓLIDOS TRUNCADOS 01- D 0 2 - E0 3 - B 0 4- A 0 5 - D 0 6 - C 0 7 - A 0 8 - A 0 9 - A 10- D 1 6 - D 17- E 1 8 - A 1 9 - A 2 0 - B 2 1 - C 2 2 - B 2 3 - C 2 4 - B 2 5 - C 31- E 32- A3 3 - E 3 4 - C 3 5 - E 3 6 - A 3 7 - B 3 8 - B 3 9 - A 4 0 - B

11- D 12- C 13- D 14- D 15- A 2 6 - A 2 7 -B 2 8 -B 2 9 - E 30- A

CAPITULO 29: LA ESFERA Y SUS PARTES 0 1 -B 0 2 -A 0 3 - D0 4 - A 0 5 - C 0 6 - B0 7 - D0 8 - C 0 9 - E 1 0 - B11- B1 2 - B1 3 - E 1 6 - D 1 7 - B 1 8 - D 1 9 - C 2 0 - C 2 1 - C 2 2 - A 2 3 - E 2 4 - A 2 5 - A 2 6 - D 2 7 .-A2 8 - C 3 1 -A 3 2 -D 3 3 -C 3 4 -C 3 5 - B 3 6 - A 3 7 - D 3 8 - B

1 4 - B 15- D 2 9 -A 3 0 -C

CAPITULO 30: SUPERFICIES Y SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 0 1 -B 1 6 -A 3 1 -C 39- D

0 2 -C 0 3 - A0 4 - D 0 5 - E0 6 - B0 7 - C 0 8 - B0 9 - E10- E1 1 - B1 2 - B1 3 - A 1 4 - D 1 5 - A 17- D1 8 - D 1 9 - A 2 0 - B 2 1 - C 2 2 - A 2 3 - A 2 4 - E 2 5 - E 2 6 - D 2 7 - C 2 8 - A 2 9 - A 3 0 - D 3 2 - B 3 3 - B 3 4 .-D 3 5 - A 3 6 - C 3 7 - D 3 8 - A 3 9 - B 4 0 - C 4 1 - C 4 2 - A 4 3 - A 4 4 - B 4 0 -C 4 1 -C

1090

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20.- Ejercicios de G eom etría Plana Edgard De Alencar 18v* Edición Printed in Brazil 1986 21.- Elementos de M atem áticas Superiores II. Zaitsev Editorial Mir, Moscú 1977

32.- H istoria e H istorias de M atem áticas Mariano Perero Grupo Editorial Iberoamericana 1994

22.- Introducción a la Geom etría M oderna Levi S. Shively. Compañía Editorial Continental S.A 2da Edición, Junio de 1968

33.- Diccionarios R ioduero-Forjadores de la Ciencia Ediciones Rioduero 1979

23.- Problem as de Exam en de Estado Edelvives Editorial Luis Vives S.A, España 1947

34.- Breve H istoria de la G eom etría Francisco Vera Editorial Losada S.A Buenos Aires 1948

24.- Serie de Nuevas M atem áticas: M atem áticas I C.W. Lucas y R.T James Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana (U.T.E.H.A.) 1ra Edición, 1974

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25.- Cálculo Serge Lang Volumen I Addison- Wesley Publishing Company 1973

36.- Los G randes M atem áticos - su Vida y sus O bras E.T. Bell Editorial Losada S.A Buenos Aires 1948

26.- Problem as de G eom etría P lana y del Espacio: Complementos de Álgebra para la ense ñanza Superior y de escuelas Especia les: Curso de Matemáticas Colección H.E.C. Santiago de Chile

37.- C onsultor Juvenil: M atem áticas Federico Sabriá Editorial Argos Vergara Barcelona 1986 38.- U niversitas Tomo 13: El Pensam iento Filosófico Salvat Editores S.A, Barcelona 1987

27.- Jo u rn al de M athem atiques Elem ental res H. Vuirbert LibraireVuibert-Paris

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