PROBLEMAS DE COMPUTADORA
11. C1 El mecanismo que se muestra en la figura se conoce como mecanismo de retorno rápido de Whitworth . La varilla de entrada AP gira a una razón constante y el pasador P tiene la libertad libertad de deslizarse en la ranura de la varilla de salida salida BD BD.. Use software para graficar θ en θ en función de φ y en función de φ para una revolución de la varilla AP. Suponga que , l = 4 = 4 pulg y a) b = 2.5 = 2.5 pulg, b) b = 3 = 3 pulg, c) b = 3.5 3.5 pulg.
Solución analítica
a) Notamos con se forma un triangulo cuyos lados son b y l . Por teorema del seno podemos relacionar está dos cantidades en términos de φ y θ. Entonces,
Esta ecuación la podemos simplificar aplicando suma de ángulos,
( )
Al Agrupar y factorizar ‘cos θ’ ,
Obtenemos finalmente,
Esto es valido para cualquier b.
b) Para encontrar la solución solo derivamos implícitamente respeto al tiempo (1)
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Factorizando,
Despejando,
̇ ̇ ̇
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Esta ecuación es general y sirve para cualquier valor de b, l, θ, φ y sus variaciones. Diagrama de flujo 11.C1. Esquema de la solución por medio de software.
Ver Anexo 1. Código. 11. C1. Ahora con la ayuda del software M atlab , se realiza un código que grafique esta función con los valores asignados para el problema.
Ver Anexo 1.1
11.C2 Una pelota se deja caer con una velocidad υo a un ángulo α con la vertical sobre el
escalón superior de una escalera que consta de ocho escalones. La pelota rebota hacia abajo por los escalones, como se muestra en la figura. Cada vez que la pelota rebota, en los puntos A, B, C, …, la componente horizontal de su velocidad permanece constante y la magnitud de la componente vertical de su velocidad se reduce en un porcentaje k. Use software para determinar a) si la pelota baja por las escaleras sin saltarse ningún escalón, b) si la pelota baja por las escaleras sin rebotar dos veces en un mismo escalón, c) el primer escalón sobre el que la pelota rebota dos veces. Use valores de υo desde 1.8 m/s hasta 3.0 m/s con incrementos de 0.6 m/s, valores de α desde 18° hasta 26° con incrementos de 4°, y valores de k iguales a 40 y 50.
Solución analítica
Para la solución de este problema, partimos del comportamiento del sistema, el cual sería que la pelota rebotará en cada escalón una sola vez, partiendo de ahí, describamos el movimiento de la pelota.
Partiendo de un sistema de referencia posicionado en el origen del movimiento (punto A). La condición inicial con la que parte el problema es cuando la pelota rebota en el punto A, en ese punto la componente de la velocidad vertical disminuye en un porcentaje k , lo que quiere decir que nos queda el complemente del porcentaje k. Velocidad de la pelota antes de rebotar en el punto A,
( )
Velocidad de la pelota después de rebotar en el punto A,
Notamos que vox será constante en todo los tramos de movimiento y voy disminuirá. Con esas condiciones partimos a estudiar el movimiento. Ahora analicemos la velocidad en que tendrá en el punto B luego de haber chocado,
( ) ( ) ( )
Luego cuando choca en C.
Si continuamos analizando los rebotes llegaremos a que,
Encontramos entonces una periodicidad de las velocidades, pero dependen ahora del tiempo, necesitamos encontrar una ecuación de tiempo. Partimos ahora de analizar el movimiento de y, retomando el análisis de cuando la pelota cae en B,
Encontramos una ecuación de segundo grado donde la incógnita es t 1 debido a que voy1 no es desconocida puesto que nosotros podemos hallarla de la ecuación anterior de velocidad. Resolviendo entonces,
√
No consideramos la solución con signo negativo debido a que no se consideran tiempos negativos en este problema, además el tie mpo no puede llegar a tomar valores negativos en un caso real. Analizando el siguiente tramo, encontramos la misma relación,
√
Despejando t 2 ,
De igual manera que es caso anterior no nos preocuparemos, por la velocidad en y debido a que siempre la podemos saber teniendo en cuenta la ecuación (1). Así encontramos la siguiente periodicidad,
√
Ahora describamos el movimiento en x, para el caso del tramo A-B
Los términos de esta ecuación los conocemos t1, nos lo da la parte anterior y vox es constante, por tanto puedo conocer el x1.Analizando el movimiento para el tramo BC,
Encontramos así la periodicidad con que se repite el movimiento,
Pero como partimos del caso ideal tenemos que encontrar una restricción que me permita que el movimiento no se salga de los parámetros que llamamos ideales, es decir, que siempre salte en un solo escalón. Tomando el caso de A-B se debe cumplir que,
Del lado izquierdo de la desigualdad no tomamos el igual pues debido a que es imposible de que la pelota caiga en ese punto siendo lanzada del escalón anterior. Para el tramo B-C sería,
Notando así su comportamiento periódico,
Esta será la condición para que el movimiento sea llamado ideal.
a) Si se cumple la condición que (4) específica para los 7 movimientos, podemos decir que la pelota baja las escaleras sin saltarse ningún escalón, si se cumple de que el límite de la derecha es sobre pasado la pelota se saltará el siguiente escalón. b) Si los valores que obtenemos de x menores al límite de la izquierda decimos que la pelota rebotará, dos veces en el mismo escalón. c) Ya habiendo encontrado todos los valores de x, podemos determinar cuándo se cumplirá el literal b por primera vez. Diagrama de flujo. 11. C2. Esquema de la solución por medio de software.
Ver Anexo 2. Código. 11. C2. Con la ayuda del software M atlab , se realiza un código que determine si se cumple las condiciones pedidas en a, b y c, arrojándonos una respuesta con situación que se presentó para los casos propuestos. Ver Anexo 2.1
11.C5 Un rociador de jardín oscilante descarga agua con una velocidad inicial v0 de 10 m/s. a) Si se sabe que los lados del quiosco BCDE son abiertos, pero no así su techo, use software para calcular la distancia d al punto F que será regada para valores de α desde 20° hasta 80°. b) Determine el valor máximo de d y el valor correspondiente de α.
Solución analítica,
a) Notamos que el rociados dibuja un parábola cuando el agua cae al punto F, pero a medida que el α va aumentando el chorro, golpea con el techo del quiosco BCDE, lo que nos quiere decir que habrá un ángulo donde será la ultima rociada hasta el punto F. Luego notamos que seguirá chocando hasta llegar exactamente al punto C, cayendo el chorro después el chorro sobre el quiosco o en el punto F. Bueno sabiendo esto describiremos los movimiento para valores de ángulos que llamaremos limites,
Se describirá primero el movimiento para
Sacando las componentes de la velocidad en el punto A tenemos,
Descripción del movimiento, (el sistema de referencia se situará en el punto A) 1) Movimiento en x,
Remplazando estos valores y despejando t tenemos,
2) Movimiento en y,
Remplazando los valores y despejando d tenemos,
Pero antes hallemos el valor de β , para ello busquemos el ángulo cuando la altura máxima alcanzada sea 1.8 m, de esta manera con la ecuación podemos describir el movimiento correctamente, para encontrar el ángulo debemos calcular primero el tiempo de subida,
Sabiendo que el tiempo de vuelo será cuando el chorro de agua caiga en el punto F,
Haciendo las respectivas operaciones y despejando t tenemos,
Ahora reemplazamos este tiempo en la ecuación del movimiento de y, cuando
ymáx=1,8 m
( ) ( )
Despejando α y reemplazando los valores dados en el problema tenemos entonces su valor,
*+ *+
Obteniendo así la primera ecuación que describe el movimiento;
Ahora describiremos el movimiento de;
Aplicando de manera similar del análisis anterior , notamos que dentro de este rango la ecuación del movimiento será, 1) Movimiento en x,
2) Movimiento en y,
Reemplazando,
Resolviendo la ecuación de segundo orden,
√
Tomamos el valor negativo en el primer caso para que los resultados cumplan con la física del problema, porque al tomar la positiva, las distancias d tenderán a ser más grande que 5,4 m que sería nuestro limite en la distancia horizontal. Ahora para encontrar el ángulo de límite, el cual calcularemos de la ecuación,
Para poder despejar el ángulo o encontrar su valor, debemos saber el d, pero como el movimiento deja de chocar por primera vez con el techo luego que pasa e punto C, entonces encontrando el ángulo cuando choca el chorro de agua en C, encontraríamos nuestro segundo limite, entonces d =2,2 m así logramos encontrar que,
̅ √ ̅
Luego de haber pasado el punto C, el movimiento del rociador retorna a ser similar al inicial por tanto,
̅
Pero desconocemos ahora el valor de uno de los limites, para calcularlo haremos uso otra vez del método de prueba y error para lograr calcular el ángulo, de la ecuación
Encontramos α haciendo d =5,4 m, debido a que en el punto D, encontrará la oposición del chorro de agua con el techo,
Quedando finalmente;
̅ ̅ ̅
Para la última etapa del movimiento notamos que vuelve a ser a la segunda parte, entonces tenemos que,
√ ̅
Pero hacemos uso del signo positivo, debido a que si damos valores a la función los d resultantes tienden a ser muy pequeños y el movimiento no lograría corresponder con la realidad. De esta manera logramos describir el movimiento para ángulos de 20º hasta 80º. b) Para saber el valor máximo que será rociado, hacemos uso del software para que halle todos los valores de d y luego con una función especial en dicho software arrojar el valor máximo de una serie de valores. Diagrama de flujo. 11. C5. Esquema de la solución por medio de software.
Ver Anexo 3. Código. 11. C5. Con la ayuda del software M atlab , se realiza un código que grafique y tabule los resultados de tal manera que se pueda obtener de manera grafica el comportamiento del rociador.
Ver Anexo 3.1
Juan Carlos Mora Garcés 2120500 Jhonatan Jair Pulido Delgadillo 2120490
