Fundamentos de Matemáticas EXPRESIONES ALGEBRAICAS
POTENCIAS Y RAÍCES
Suma y resta de expresiones algebraicas.
Potencias enteras
1. Obtén + + si.
Simplifica cada expresión algebraica, dejando
4 4 4 1
= 4 3 +5 = 2 6 7 = 9 7 2. Obtén + 4 + 6 si. =
+
=
1
+ 3 2 3. Obtén + si. =
=
18.
5
3
4
6
2 12 si.
9
3
5. Obtén 8
+
1
20.
3
+ 3
=
6. Obtén
=
=
3
3
5
+
4
7 2
+ 4
21. ,
+ 2
si.
+
4 4
+
,
24.
8.
+5
+
[
+
(2
) + 5] 5]
5}
+
+
)(
)
+
+
Simplifica cada expresión algebraica, usando las reglas de radicales. radicales. Expresa en un solo radical
2 ))}
)
25. 26. 27. 28.
]}
29. 30.
AVR 2009
1)
Radicales
4 9. 2{3 4( + 1)} 10. 12 (4 + (3 11. (2 + 3 ) {5 (2 + )] { [3 [3 (2 + 3 12. 5 [3 (2
1) (2
23. (
+
4 4 14 4 14 1 { 3
×
)
22. ( + 1)(2
términos semejantes. 4
÷
(
Elimina símbolos de agrupación y reduce
7.
− 4− 4 − 9 1 −
19. 8
4 =
)
dejando exponentes positivos
5
4 12 si.
) ]
Simplifica cada expresión algebraica,
+ ,
4
) (2 ) ] ) ]
Potencias racionales
+ ,
=
=
17.
[(3
4 −4 1 1 − 4 (
2
+
4. Obtén
16.
+ 7,
4
4
,
4,
1
=
−1−− 4 − −−4 − 4 4 −1− −− −1
exponentes positivos ) (2 ) ] 13. [(3 ) (2 14. [(3 ) ( 15. [(
,
√ √ 15 15
5
(1 (1
) (1 (1 +
√ + 444−1 4− 4 − √ √144 99 √4 (
)(
)
)
Página 1
Fundamentos de Matemáticas
Multiplicación de expresiones algebraicas 31. Obtén
= = 32. Obtén
si.
3
+4 +2
2
,
si.
= 3 4 , = 3 + 4 , = 3 4 33. Obtén si. 1 3 = + 3 2 3 4 = + 2 3 34. Obtén si. = 3 35. Obtén si.
4
,
3 3 2
, = 3 +
= 7 + 2, = 2 5 +1 36. Obtén si. = 2 , = 4 + 2 + 3
División de expresiones algebraicas 37. 38. 39. 40. 41. 42.
9− −1+4 4−4−−1+1 + +−19+ +++1 1+−++4 −+1+4+1 4−−+1
PRODUCTOS NOTABLES
Realiza las siguientes operaciones,
48.
4 +1 + 1 1 −1 +1 −1 +1 −1 44 44
Cubo de un Binomio 49. 50.
6
51. ( 52.
)
+
53. ( 3 54. ( 2
+ 4 ) 3 )
Producto de Binomios Conjugados 55. 56. 57. 58. 59.
[( [4
) 1][( + 3 )][(2
(2
) + 1] + 3 ) + 4]
(3
+ 4
)(3
[4
5 ][4
+ 5 ]
5
)
4
5
60. [ +
][
+
Producto de Binomios Con un término común
4 4 1 4 14 4 1 1 1
61. (4 62. (2 63.
5
)(4 3 ) 3 )( 3 + 4
)
+ 5
6) 64. (3 + 9)(3 .5 )(. 4 .5 ) 65. (. 3 66. (3.5 + 2.1 )(3.5 + 1.4 )
Cuadrado de un Polinomio. 67. (3 + 2 + 4 ) 5 ) 68. (3 + 2 + 4) 69. (
efectuando las operaciones directamente y
Suma y Diferencia de Cubos
utilizando el producto notable respectivo
2 + 4 ) 70. ( + 2 )( 1)(4 + 2 + 1) 71. (2 6 + 9 ) 72. (2 + 3 )(4
+1 −14 ++1 −1−1
Cuadrado de un binomio 43. 44. 45. 46. 47.
( 7 8 ) ( ) + (4 ) 3 ] [ ] ([ ) (2.3 + 3.2 )
AVR 2009
]
73. 5
74. ( + 3 )( 75.
25 +
+
3
+ 9
)
9 4 +
+
Página 2
Fundamentos de Matemáticas FACTORIZACIÓN. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
4 ℎ 4 4
Factor Común 76. 3 77. 78. 79. 80. 81.
(4
3 )+3
4
4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 9 9 85 9 ( 2 (4
51 + 17 ) 2 ( ) 3 ) + (4 3 ) 6 + 14
2
( + 3) ( + 3) 4 + 4 1 6 2 + 10 2 3 2 + 3 + + 1
30
106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114.
términos mínimos
3
115. 116. 117. 118. 119.
88. 89. 90. 91. 92. 93.
120.
1
)
( + )
64 36
( + ) 1 9 196
121. 122. 123.
1+1−1 −+ −+−1− + ++−−+ −+ +− −1−1 +− −4+19+9 −−1 +−4 + +++1 ++1
Trinomio General
Resuelve las siguientes multiplicaciones de
94. 95. 96. 97. 98. 99.
fracciones algebraicas y reduce a su mínima
3( + ) 7( + ) + 2 25 34 + 9 12 + 11 36 49+14 15 + 2 3 9 40 + 16
9
Reduce las siguientes fracciones algebraicas a
Diferencia de Cuadrados 16 ( 81
) ( ) + 13 + 36 8 7 1 4 + 4 2 + 4 + 4 + 6 16 14 36 4 2 + 2 + 9 9(
EXPRESIONES RACIONALES
Agrupación 82. 83. 84. 85. 86. 87.
4
Factorizaciones Combinadas
expresión.
124. 125. 126.
+−1 4+1+ ∙ +4+1 9 +9−4 −4++ −1−+ ∙ ++ −9 −1 − −+ −4 ⋅ −1+1 ⋅ −+
Suma y Diferencia de Cubos.
Resuelve las siguientes divisiones de fracciones
100. 101. 102. 103. 104. 105.
algebraicas y reduce a su mínima expresión.
64 27 ( + 1) + 8 ( ) 125 + 8 27
AVR 2009
+ 8
127. 128. 129.
+4+ +− +1+1 − −− −4 +− +1+1 ++ −+− +1−+− ÷
÷
(
)
(
)
÷
(
)
Página 3
Fundamentos de Matemáticas Realiza las operaciones indicadas con fracciones algebraicas y reduce el resultado a su mínima
150.
131. 132. 133.
−4 +4+−− ++ + ⋅ −+4 + ∙++ ∙−− −1 +1 −1 + −− ÷
(
− − −
134.
(
135. 136.
(3
137.
)
(
1 4 − −4 −4+ − −4+ 1) (4)(2
+ 4
(12
1) (2)(
(
1)(2 ) + (
)
3) (6 + 4)
(12
1)
(
)
1) (12)
(
−4+ − 1 −1 4+1 −4 −1 ∙ 4+1 4+1 (
138.
3) (2) + (2
151. 152. 153. 154. 155. 156.
)
157.
)
(
)
(
(
158. )
)
159.
√ −9− √ −− √ √ √ ++4−− √ −−√ − 1 4√ 11+ ++1− 9 +1 +√ −√ − √ +1− − − 1
+
Realiza las operaciones indicadas con
139. 140. 141. 142. 143. 144.
+ +− − − +4 − 1 ++ + 1− − + +−1 −+−1 1−1 −1 +
+ (
) (
+
)
+
√ √
ECUACIONES
fracciones algebraicas y reduce el resultado a su mínima expresión
)
las siguientes expresiones.
÷
)
)
Aplica la racionalización para simplificar
)÷
2
(
(
expresión
130.
−
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado, que contienen símbolos de agrupación. 160. 161. 162.
(6 (
5) = (4 + 3)(9 2) ( + 4) = 1 1)( + 3)
4
1
2(7 + 5 ) = (2
5)
30
Simplifica cada una de las siguientes fracciones
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer
complejas.
grado, que contienen fracciones.
145. 146. 147. 148. 149.
−− − − − + − − − (
AVR 2009
)
163. 164. 165.
− −4 1 − −4 + − +4=
+
=2
=
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado, para en términos de las otras literales. 166.
= 2
Página 4
Fundamentos de Matemáticas 167. 168. 169. 170. 171.
−+ 1+ + 1 + + 1−+ =
=
= +
=
+1=
Resuelve las siguientes fórmulas, para la variable indicada 172. 173. 174. 175. 176. 177.
− 1 1 1 1 −1 1 1 ℎ para
=
para
=
=
+
+
para
= ( + ) para
3 ´ ´ = 2(
´ = para ´ )(1 ´) para ´
191. 192. 193. 194. 195.
4 4 −4 − − √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 4
4 5= 0 = 5(4 5) 3 28 = 0 6 + 13 = 0 4 + 11 = 0
2
Usando la fórmula general 196. 197. 198. 199. 200. 201.
6 = ( + 2)
+ 3 + 1 = 0
9 2
= 4 2 + 1 = 0 6 + 13 = 0 5 + 3 = 0
3
Por medio de un cambio de variable 202.
8
+ 7 = 0 Haciendo = (2 + ) 4(2 + ) + 3 = 0 203. Haciendo = 2 + ( 1) 204. haciendo =
(
1)
1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
20 + 69 = 0 205. Haciendo =
Resuelve las siguientes ecuaciones de
206.
segundo grado.
8 207. Haciendo =
20ℎ 33ℎ
Por factorización, completas. 178. 179. 180. 181. 182. 183.
6
+ 11 10 = 0 + 7 = 4 ( 6) = 9 + 8 + 15 = 0 24 65 + 21 = 0 3 = 18
6
2= 0
7
20 = 0 Haciendo = 9= 0
Con radicales 208. 209. 210. 211. 212.
3
14 + = 6
5
+ 3 = 3
+ 3
4
4
2= 0
4
2
3=
3
1
1= 3
3
2
1
Por factorización, incompletas.
213.
184. 185. 186. 187. 188. 189.
Solución de ecuaciones de segundo grado
+ 3 = 0 2 + = 0 = 3 9= 0 4 5 6 = 0 9 + 1 6 = 0
Completando TCP 190.
2
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3= 0
1= 2
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, que contienen símbolos de agrupación. ( 2) = + 4 + 2( 5)( + 5) 214. )(7 + ) ( + 5 ) 15 26 = (7 215. (15 2) 45 + 2 = 0 216.
Página 5
Fundamentos de Matemáticas Resuelve las siguientes ecuaciones, que contienen fracciones 217. 218. 219.
+11 −− 14 4− 1 −9 + + − =
1
229.
Hallar un número distinto de cero, tal
que el triple de su cuadrado sea 6 veces el mismo número.
= + 1
+
=
230.
Hallar dos números enteros
positivos, sabiendo que su diferencia es
Resuelve las siguientes ecuaciones de
igual a tres y que la suma de sus
segundo grado, para en términos de las
recíprocos es un medio.
otras literales. 220. 221. 222.
= 2 + 1 + = 1
=
231.
Pedro tiene un hermano menor
llamado Juan. La suma de las edades de ambos es de 30 años y su producto es 221. ¿Qué edad tienen Pedro y Juan?
Resuelve las siguientes fórmulas, para la variable indicada 223. 224. 225.
=
=
1 ℎ ℎ
= 2
para
(
) + para ( + ) para
MODELOS MATEMÁTICOS Problemas Numéricos 226. Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a 75. 227. Un alumno tiene calificaciones parciales de 7.5, 8.2, 7.1 y 8.4 ¿Qué calificación debe obtener en el siguiente examen para tener un promedio final de 8.0? 228. Una pluma y un cuaderno costaron $18.00, si la pluma hubiera costado $6.00 menos y el cuaderno $4.00 más , hubieran costado lo mismo. ¿Cuál es el costo de cada uno?
AVR 2009
Problemas Geométricos
232. El área de un triángulo es de 13.2 si una de sus alturas mide 3 . ¿Cuál es
la longitud de la base , correspondiente a esa altura? 233.
Hallar las dimensiones de un terreno
rectangular, sabiendo que su perímetro es igual a 110 metros y que su largo es 5 metros más pequeño que el doble de su ancho. 234.
Hallar las dimensiones de una losa
rectangular, sabiendo que su altura es 80 centímetros mayor que su ancho y que si aumentan sus dimensiones en 20 centímetros el área se incrementa en 6000 centímetros cuadrados. 235. Se rodea por una calle de ancho uniforme un terreno rectangular de dimensiones 26 metros por 30 metros. Sabiendo que el área de la calle es de 240 metros cuadrados. Determina el ancho de la calle.
Página 6
Fundamentos de Matemáticas 236.
En un terreno que tiene forma de
triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa mide 9.6 metros y la hipotenusa mide 20 metros, Calcula las longitudes de los catetos. 237.
Una caja sin tapa se construye
cortando cuadrados de 3 pulgadas de una lamina rectangular cuya longitud es
DESIGUALDADES NO LINEALES Resuelve las siguientes desigualdades con valor absoluto, expresa el resultado en notación de intervalo y grafica el conjunto solución en la recta de los números reales. | 1| 3 250. |4 2| 3 + 1 251. 252.
el doble de su ancho. ¿Qué tamaño debe
253. 254.
tener la lamina para hacer una caja con
255.
un volumen de 60 pulgadas cúbicas?
primer grado, expresa el resultado en
256.
notación de intervalo y grafica el conjunto
257.
solución en la recta de los números reales.
258.
239. 240. 241. 242. 243.
9 ℎ 4 2ℎ ≤ ≥ ℎ ≤ ≤ ≥ 8(4
( + 3)
(
+ (
5)
+ 4
3)
)
259. 260.
1)
261.
compuestas, expresa el resultado en notación de intervalo y grafica el conjunto solución en la recta de los números reales.
245. 246. 247. 248. 249.
≤ − ≤≤ 1 1 ≤ 2
2
5( + 1) + 2 < <
7< 100 +
AVR 2009
4( + 3) < 3( <
< 4
2< 1 41 6 < 121 +
2 6
7
4> 0
1< 3
2 >
1
solución en la recta de los números reales.
Resuelve las siguientes desigualdades
244.
2
notación de intervalo y grafica el conjunto
10
3(
√ √ √
Resuelve las siguientes desigualdades de segundo grado, expresa el resultado en
1
>
2+
2
la recta de los números reales.
Resuelve las siguientes desigualdades de
3) +
| 5 | 4 |3 + | > 7
radicales, expresa el resultado en notación de intervalo y grafica el conjunto solución en
DESIGUALDADES LINEALES
9(
2 + | + 7| + < 0
Resuelve las siguientes desigualdades con
DESIGUALDADES
238.
≤≥ ≤ −1−4≤
1)
262. 263. 264.
≥ 1
6 + 17 + 10 < 0 (2 + 3) 5 + 3 <
+ 7 < 0 8 + 12 < 0 9 > 2 18
Resuelve las siguientes desigualdades de grado superior, expresa el resultado en notación de intervalo y grafica el conjunto solución en la recta de los números reales. 265.
4
La siguiente desigualdad es de grado incompleta
+ 3
> 4 Página 7
Fundamentos de Matemáticas 266.
≤ 1 ≤≥
La siguiente desigualdad es de grado factorizable
267. 268. 269. 270.
( (
4 + 4
1)( 1)(
(
2)( 4) < 0 4) < 0
(1
)(
3)
1) ( + 3)(
3)
+
0
0
Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales por los siguientes métodos: Eliminación de Gauss-Jordan, cuando sea posible también por El método de la regla de Cramer.
0
Resuelve las siguientes desigualdades con cocientes, expresa el resultado en notación
281.
282.
de intervalo y grafica el conjunto solución en la recta de los números reales. 271. 272. 273. 274. 275. 276.
+9 + ≥ −1+− ≤ +1−1−4 +−1 ≥ −+ +1 ≤
283.
<4
0
)
0
métodos: el método de suma / resta, el método de igualación y el método de sustitución
� 1 1 1 1
2 + 3 = 4 2 + 5 = 8 + = 0
+ =
279.
280.
6
+ =
=
2 + = 7 = 2 + = 2
AVR 2009
+ =
+
10 6
= 18
1
Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales por los siguientes
278.
284.
0
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
277.
+ = 6 3 + = 7 + 3 = 13 + 2 = 3 3 + 7 + 2 = 1 4 2 + = 2 2 = 5 3 6 + = 18 2 3 + 3 = 4 2 + = 8 + =
+2 >0
(
4 4 4 ⎩
FUNCIONES POLINOMIALES Función lineal Determina la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenados
de la función lineal dada por. 3 4 + 12 = 0 285. 2 3 = 9 286. 2 + 5 8 =0 287. Deduce la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene la pendiente .
288.
=
289. 290. 291. 292. 293.
= 35 = 0 = 2 = 1 =
Página 8
Fundamentos de Matemáticas Deduce una ecuación de la recta que
satisface las siguientes condiciones 294. Pasa por los puntos (2,3),(6, 5) 295. Pasa por los puntos (8,1), ( 3,1) 296. Pasa por los puntos ( 2,0), ( 2,6) 297.
Pasa por el punto ( 2,4) y es 5= 0 paralela a la recta 3 +
298.
Pasa por el punto (5, 7) y es
paralela al eje 299. Pasa por el punto (2,3) y es 4 + 1 = 0 perpendicular a 300.
Determina cuales de las rectas
indicadas son paralelas entre si, y cuales son perpendiculares entre si. :3 5 + 9 = 0 : 5 = 3 : 3 + 5 = 2 : 3 + 5 + 4 = 0 : 5 3 + 8 = 0 :5 3 2= 0
1 4
Función cuadrática Bosqueja la gráfica de la función
1 1
cuadrática indicada = 4 ( 1) 301. = 5 302. = ( 2) 303. = ( 1) 1 304. = + 1 305. 306.
=
+
Calcula la concavidad, el vértice (indicando si es un máximo o un mínimo),las raíces , el dominio y el rango de las siguientes funciones cuadráticas. ( ) = 3 16 + 16 307. ( ) = 25 10 2 308. ( ) = 10 9 9 309. ( ) = 20 + 12 310. ( ) = 3 311. ( ) = 16 312.
AVR 2009
Funciones polinomiales de grado superior. Bosqueja la gráfica del polinomio indicado. 313. 314. 315. 316. 317. 318.
4 4 4
= 3 = ( 2) + 2 = ( 5) = 1 ( 1) = ( + 2) = 1
Determina si el polinomio indicado es
4 4 4 1 4 4
par, impar o ninguno de los dos. ( ) = 2 + 4 319. ( ) = 5 320. ( ) = + 4 + 9 + 1 321. ( ) = ( + 2)( 2) 322. ( ) = 2 + 4 323. ( ) = + 324.
Traza la gráfica del polinomio indicado. ( ) = 4 325. ( ) = + + 6 326. ( ) = ( + 1)( 2)( 4) 327. ( ) = 4 + 3 328. ( ) = ( 1)( + 9) 329. ( ) = + 3 330. Aplica el teorema del residuo para determinar cuando ( ) se divide entre el binomio indicado ( ) = 2 4 + 6 ; 331. 332. 333.
( ) = ( ) =
4
2
+ 5 + 2;
+ 3
5;
3
Usa la división sintética para calcular el cociente ( ) y el residuo cuando se divide ( ) entre el binomio indicado. 334. 335. 336.
( ) = 2 + 5; 2 ( ) = + 2; + 3 ( ) = + 16; 2
Página 9
Fundamentos de Matemáticas 337. 338. 339.
√ √ √ 4 ( ) = + 56 ( ) = 2 + 3
( ) =
4; + 4 4 1; + 1
2+ 3
+ 3 3
3;
3
Usa el teorema del residuo y la división sintética para calcular ( ) para el valor indicado de . ( ) = 4 340. ( ) = 14 341. ( ) = 2 342.
2 + 9; =
3
4 60
+ 49
3
21 + 19; = 1
+
2 + 1; = 4
366.
indicado(s) es(son) raíz (raíces) del polinomio en caso de serlo determina las demás raíces y factoriza completamente a ( ) 343. 344. 345. 346. 347. 348.
( ) = 4 ( ) =
1; 5;
10
2 + 4
14 44 1 4 3,5;
( ) = 8
, ;
1,
( ) = 4
;
( ) = 9
8
61
30
+ 23
+ 8
29
41
+ 69
+ 2 + 15 3
8
Usa la división para determinar si el(los) binomio(s) indicado(s) es(son)
1
factor(es) del polinomio , en caso
349. 350. 351. 352. 353. 354.
de serlo determina las demás raíces y factoriza a ( ) ( 5); ( ) = 2 + 6 25 ( 1); ( ) = + 2 ;
( ) = 3
3
+ 8
2
44 4 (
1)(
(3
(
2);
1);
1) ;
( ) =
3
( ) = 3
( ) = 2
+ 6
7
+
12 + 8
+ 3
Determina las raíces del polinomio 355. 356. 357.
4
e indica la multiplicidad de cada raíz. ( ) = (4 5) (2 1) ( ) = + 6 + 9 ( ) = (9 4)
AVR 2009
5
3 8 7
4
+ 2
6
+ 8 + 4 3 + 5 1
+ 10
5 + 6 +
( ) =
( ) = 2.5
+
+ 14 + 21
2 7 5 +
8 + 3
+
3
6
+ 0.6 + 0.1
2 2
+ 3 + 7
+ 5 + 2 = 0 8 25 6= 0
4 2
+ 2
4
+ 5
2= 0
FUNCIONES RACIONALES Determina las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la función racional indicada, determina las intersecciones con los ejes y traza un bosquejo de la gráfica de . 370. 371. 372. 373. 374. 375.
+ 5
5
.
Encuentra las soluciones reales de las ecuaciones 367. 368. 369.
9 + 6 1 6 + 6 + 5
( ) = 3
;
polinomio ( ) = 358. ( ) = 359. ( ) = 360. ( ) = 361. ( ) = 362. ( ) = 363. ( ) = 364. 365.
Determina si el número (s) real(es)
44 4 4 1 449 14 4
Determina todas las raíces racionales del
( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
1− +1 4+−9 1−+1 1−1 1 (
)
Determina las asíntotas verticales y oblicuas de la gráfica de la función racional indicada, determina las
intersecciones con los ejes y traza un bosquejo de la gráfica de . 376. 377.
( ) = ( ) =
−9 +
Página 10
Fundamentos de Matemáticas 378. 379. 380. 381.
( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
−− −−−1 −−1 − +
402. 403. 404. 405.
Efectúa la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional
indicada 382. 383. 384. 385. 386. 387. 388. 389. 390. 391. 392. 393.
( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
1+ −9+ −4+− +1 + + −1 − −1 +−1 −1−+11+ +9 −14+4− − −+1 + −1 +1+1 + +1 (
(
)(
(
)
)(
(
)
(
)(
(
)(
(
)
)(
(
(
)
)(
)
(
)
FUNCIONES EXPONENCIALES Grafica las siguientes funciones
−− +1− −1
exponenciales ( ) = 2 394. ( ) = 3 395. ( ) = 2 396. ( ) = 3 397. ( ) = 2 398. ( ) = 10 399. ( ) = 400. ( ) = 3 401.
AVR 2009
2
411.
( ) = ( ) =
, < 0 , 0 , 0 , > 0 1+
( ) = ( ( ( (
) = 3 | | ) = 2 + 2 ) = 2 2 ) = 5 + 3
( ) = 1
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
− 11 − +− 49
412.
10
413.
8
414. 415. 416.
)
)
( ) =
1 �−−≤≥ � − −− −− −
impar o ninguna de las dos. 407. 408. 409. 410.
)
( ) =
Determina si la función indicada es par, 406.
)
417.
=
1= 0
3 = 27 2 = 8 3
= 9
=
FUNCIONES LOGARÍTMICAS Reformula la expresión exponencial en forma de una expresión logarítmica equivalente.
− 1 4 − 1 1
418.
4 =
419. 420. 421. 422.
9 = 1 10 = 10000 10 . = 2 =
423.
= 0.008
Reformula la expresión logarítmica en forma de una expresión exponencial
equivalente. 128 = 7 424.
Página 11
Fundamentos de Matemáticas 425. 426. 427. 428. 429.
√ 1 1 14 1
2
450.
81 = 8
451.
2=
452. 453.
=
=
=
2
454.
4 1 1 4 √+1√+++ −4+++1 √ +
reescribir las siguientes expresiones como un solo logritmo. 2+2 5 439. 441. 442. 443. 444.
49
(
8+13
4)
(
2
1
+ 2)
4
5 + 5 + 5 5 2+2 3 3 4
5
Aplica las propiedades de logaritmos de modo que la expresión no contenga productos, cocientes ni potencias 445. 446. 447.
= =
(
=
)(
(
)
)
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas 448. + ( 449. AVR 2009
(
(2 + 1) =
3)
4
= 2
(10 (2
) = 4 (3 + 1) = 0 1) +
MODELOS MATEMÁTICOS.
Grafica las siguientes funciones logarítmicas ( ) = 430. ( ) = ( + 1) 431. ( ) = ( ) 432. ( ) = 3 ( + 3) 433. ( ) = 1 2 ( 4) 434. ( ) = 1 + ( ) 435. ( ) = 1 + 436. ( ) = | | 437. ( ) = | ( )| 438. Usa las propiedades de logaritmos para
440.
1
10 = 2) =
9.3
3
Un modelo de la población en una
comunidad pequeña es ( ) = 1500 , si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿Cuál será la población en 2º años? 455.
Un modelo de la cantidad de
bacterias en un cultivo, después de
horas, es ( ) = . Después de 3 horas se observa que hay presentes 400 bacterias. Luego de 10 horas desde el inicio, hay presentes 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 456. Si inicialmente se tenían 200 miligramos de una sustancia radiactiva y pasadas 6 horas la masa disminuyó en 3% determina el modelo exponencial
1 ( ) =
para la cantidad residual
de la sustancia que se desintegra, pasadas horas. Calcula la cantidad que queda después de 24 horas.
457.
1
La vida media del polonio 210, , es de 140 días. Si ( ) =
representa la cantidad de que queda después de , ¿Cuál es la cantidad que queda después de 80 días?
458.
Se trae un termómetro que estaba a
20℉ 70℉
la intemperie, donde la temperatura del aire es de , a un cuarto donde la temperatura del aire es de constante. Un minuto después dentro del cuarto, el termómetro indica
0℉60℉
¿Cuánto tiempo tardara en indicar
.
?
Página 12
Fundamentos de Matemáticas 459.
Fue encontrado un cadáver dentro
70℉ 80℉
de un cuarto cerrado de una casa, donde la temperatura era de constantes, cuando lo descubrieron , se le tomo la temperatura midiéndose y resultando ser de , una hora después la
85℉
segunda medición fue de
476. 477. 478. 479.
. Supón
√− 1 √+ √− √9+
Haciendo = Haciendo = Haciendo =
√ √ √ 3 7 5
Haciendo = 3
que el momento de la muerte corresponde a = 0 y que en ese momento la temperatura interna era
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
de98.
siguientes
6℉
. determina cuantas horas
Determina todas las soluciones de cada una de las ecuaciones trigonométricas
pasaron hasta que se encontró el cadáver.
480. 481. 482.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
483.
Determina la amplitud y el período de las funciones seno y coseno siguientes 460. 461. 462. 463. 464. 465. 466. 467. 468. 469. 470. 471. 472. 473.
Π Π Π Π Π Π = 4 =
5
=
3
=
2
4
= 2 = 2
4 2
= 1 + =
1+
= = 2 = 1 + = = 3 = 2
Usa las identidades pitagóricas para sustituir las siguientes expresiones algebraicas por otras expresiones
√ 4 √9−
trigonométricas. 474. 475.
16
AVR 2009
25
Haciendo =
Haciendo = 3
484. 485. 486. 487. 488.
√ = 1 = 0 = 1
=
1+
3 2
= 0 = 2 1= 0 = 3
2= 0
LEY DE SENOS Y COSENOS
Δ Δ
Usa la ley de los senos para resolver el
triángulo = 80°, 489. = 37°, 490. = 72°, 491. = 62°, 492. = 15°, 493. = 60°, 494.
= 20°, = 7 = 51°, = 5 = 12, = 6 = 7, = 4 = 8, = 5 = 15°, = 30
Usa la ley de cosenos para resolver el triángulo 495. 496. 497. 498. 499. 500.
γ γ β
= 65°, = 5, = 8 = 8, = 10, = 7 = 97.33°, = 3, = 6 = 11, = 9.5, = 8.2 = 5, = 7, = 10 = 48°, = 7, = 6
Página 13
Fundamentos de Matemáticas SECCIONES CÓNICAS
Hipérbola
PARÁBOLA
Determina el centro, los focos, los vértices, las asíntotas y la excentricidad
Determina el vértice, el foco, la directriz y el eje de cada una de las parábolas
4
siguientes. 501. 502. 503. 504. 505. 506.
= 4 =
= 16 = 28 ( 1) = 16 ( + 5) = 4( + 1)
Calcula las intersecciones con los ejes coordenados y de cada una de las parábolas siguientes. ( + 4) = 4( + 1) 507. ( 1) = 2( 1) 508. + 2 18 = 0 509. 8 + 15 = 0 510. = 4 1 511. = 1 4 512.
de cada una de las siguientes hipérbolas. 519. 520. 521. 522. 523. 524. 525. 526. 527.
excentricidad de cada una de las siguientes elipses 513. 514. 515. 516. 517. 518.
9 1 −1 − 49 + 1 +
=1
+
= 1
+ 16 = 144 + 4 = 36
(
)
+
(
( + 5) +
)
(
=1 )
4
16 = 64 5 = 20
(
)
(
)
(
)
=1
= 1
= 1 = 4 ( 1)(
1) = 1
de ecuaciones no lineales 528. 529. 530. 531.
� � � � � � � � = 1 + 2 = 1 + = 25 + 3 = 5 1= 0 + 1= 0 = 4 + = 12 =
= 9
533. 534.
=1 535. 536.
AVR 2009
=1
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas
532.
9 9
= 1
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
ELIPSE Determina el centro , los focos, los vértices, los extremos del eje menor y la
1 4 9 −4 +149 −4
= 0 2 + 3 = 0 + 4 = 16 + 2 = 4 2= 0 2 + 6 7= 0 = 2 4 + 5 = 6
Página 14
