C á tedra tedra de Ingenierí ngeniería Rura ura l Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Comprobar el dimensionado y calcular las armaduras de una zapata de hormigón armado de 2.6 × 1.5 m (L × B), con 0.5 m de canto, sometida a las siguientes solicitaciones en la base del pilar: N =140 kN, M =140 m ⋅kN y V =30 kN.(*) Datos: 2 f ck ck =25 N/mm
2 f yk yk =400 N/mm
γterreno =18 kN/m
γhormigón =25 kN/m
ϕterreno =30 °
σadmisible =0.25 N/mm
Pilar: HEB 200
Placa: 500 × 400 mm
3
(*)
3 2
La carga axial incluye el peso propio del pilar.
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Comprobación de la estabilidad estructural N = N0
+ γ h ⋅ B ⋅ L ⋅ h = 140 + 25 ⋅ 1.5 ⋅ 2.6 ⋅ 0.5 = 188.75 kN M = M0 + V0 ⋅ h = 140 + 30 ⋅ 0.5 = 155 m ⋅ kN V = V0 = 30 kN 4
Vuelco: Csv
4
ME Mv
=
2
M
=
188.75 ⋅
2.6 2
155
= 1.58 > 1.5 → Admisible
Deslizamiento:
C sd
4
=
N⋅L
=
N⋅µ V
=
N ⋅ tag
2
ϕ
3
V
2 188.75 ⋅ tag 30 3 = 30
= 2.29 > 1.5 → Admisible
Hundimiento: e=
M
=
N
155 188.75
= 0.82 m >
L 6
= 0.43 m
Distribución triangular: AX =
3 ⋅L
σmáx =
2
−3⋅e =
3 ⋅ 2.6 2
4 ⋅N 3 ⋅ (L − 2 ⋅ e) ⋅ B
=
− 3 ⋅ 0.82 = 1.44 m 4 ⋅ 188.75
3 ⋅ (2.6 − 2 ⋅ 0.82) ⋅ 1.5
= 174.8 kN/m 2
σmáx = 0.175 N/mm 2 < 1.25 ⋅ σadm
Cálculo a flexión En los sentidos longitudinal y transversal, los vuelos físicos son:
2
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v=
v
L − L' 2
= 2600
− 500
2
= 1050 mm
> 2 ⋅ h = 2 ⋅ 500 = 1000 mm → Zapata Flexible − B'
=B
vt
< 2 ⋅ h . Por tanto, en sentido transversal es una zapata rígida.
2
= 1500
− 400
vt
2
= 550 mm
Al ser el soporte metálico, la expresión que determina el vuelo mecánico es: m= v+
L'−c 4
= 1050 + 500
− 200 4
= 1050 + 75 = 1125 mm
Obtención de la tensión de cálculo:
σmáx =0.175 N/mm2 Tensión a descontar:
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σ terreno = h ⋅ γ h = 0.5 ⋅ 25 = 12.5 N/m2 σ cálculo = σmáx − σ terreno = 0.175 − 0.0125 = 0.1625 N/mm 2 AX AX =1440 mm
m
m =1125 mm
σmín σcálculo
σmín σ = cálculo 1440 − 1125 1440 σmín =
1440 − 1125 1440
⋅ 0.1625 = 0.036 N/mm 2
Para simplificar los cálculos tomamos una tensión media de valor:
σ media =
σ mín + σ máx 2
= 0.036
+ 0.175 2
= 0.1N/mm 2
El cálculo de la zapata a flexión corresponde a un voladizo de vuelo m cargado uniformemente con una carga q =
σmedia⋅B.
m
σmedia
Md
1
= ⋅ γ f ⋅ σmedia ⋅ B ⋅ m2 2
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Md
1
= ⋅ 1.6 ⋅ 0.1⋅ 1500 ⋅ 11252 = 151.875 m ⋅ kN 2
Para comprobar que no es necesaria la armadura de compresión, obtenemos el momento límite M lím. 0.85⋅f cd R C
ylim
Mlim
σ1 ·
A1
d’
Como hay hormigón de limpieza, adoptamos d’=50 mm. Por tanto: d =h−d’=450 mm
Mlim
y = 0.85 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ y lim ⋅ d − lim 2
εc2
3,5‰ 0 259· d
10‰
εs1
ε yd =
f yd E
=
400 1.15 2 ⋅ 105
xlim
εyd
= 1.74 ‰
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0.259 ⋅ d = 0.259 ⋅ 450 = 116.6 mm xlim 3.5
=
d − x lim 1.74 3. 5
x lim
=
y lim
= 0.8 ⋅ xlim = 0.8 ⋅ 300.6 = 240.5 mm
Mlim
= 0.85 ⋅
Md
3.5 + 1.74
⋅ d = 300.6 mm
25 240.5 ⋅ 1500 ⋅ 240.5 ⋅ 450 − = 1685.2 m ⋅ kN 1 .5 2
< Mlim → NO hace falta armadura de compresión 0.85⋅f cd RC
y
Md
σ1·
A1
Una vez realizada la comprobación, calculamos la armadura necesaria:
M = 0.85 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ y ⋅ d −
151875000
y
= 0.85 ⋅
y 2
y ⋅ 1500 ⋅ y ⋅ 450 − 1.5 2 25
= 16.17 mm < 0.259 ⋅ d → Dominio 2
σ1 ⋅ A1 = 0.85 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ y = 0.85 ⋅
25 1.5
⋅ 1500 ⋅ 16.17 = 343.6 kN
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σ1 ⋅ A 1 = 343.6 kN σ1 = f yd =
400 1.15
N/mm 2
A1=987 mm2 Ahora realizamos las comprobaciones de cuantía, tanto geométrica como mecánica.
Cuantía geométrica mínima: Adoptamos 1.5‰ 1.5‰⋅1500⋅500=1125 mm2 > 987 mm2 A1 =1125 mm2
Cuantía mecánica mínima: A 1 ⋅ f yd
≥ 0.04 ⋅ A c ⋅ f cd
A 1 ⋅ f yd
= 1125 ⋅ 400 = 391304 N 1.15
0.04 ⋅ 1500 ⋅ 500 ⋅ Como A 1 ⋅ f yd
A 1
25 1.5
= 500000 N
< 0.04 ⋅ A c ⋅ f cd , obtenemos un nuevo valor de A1
= 0.04 ⋅ A c ⋅
f cd f yd
= 500000 = 1437.5 mm 2 400 1.15
Por tanto, A1 =1437.5 mm2
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Si empleamos barras de φ 16:
A 1
= 1437.5 = n ⋅
π ⋅ φ2 4
n =7.15 → 8φ16 La distancia entre ejes de la armadura longitudinal será: s=
B − 2 ⋅ r − n ⋅ φ +φ (n − 1)
Recubrimiento lateral: 70 mm (se hormigona contra el terreno) s=
1500 − 2 ⋅ 70 − 8 ⋅ 16 + 16 = 192 mm 7
Por tanto; Armadura longitudinal :8φ16 separados 192 mm (entre ejes)
Armadura transversal: a’=2600 mm a b
b’=1500 mm
b’ b' = 1500 mm
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A s.tr = 0.20 ⋅
A S
= 8⋅
L ⋅ A s B
π ⋅ 16 2
= 1608.5 mm 2
4
A s.tr = 0.20 ⋅
2600 ⋅ 1608.5 = 557.6 mm 2 , por unidad de longitud 1500
Por tanto, en toda la sección será: A s.tr. L
= L ⋅ A s.tr = 2.6 ⋅ 557.6 = 1449.8 mm 2 Armadura concentrada en b’ :
2 ⋅ b' ⋅ A s.tr. L + a' b'
2 ⋅ 1500 ⋅ 1449.8 = 0.73 ⋅ 1449.8 = 1058.4 mm 2 2600 + 1500
=
Armadura restante: 1−
2 ⋅ b' ⋅ A s .tr .L a'+b'
n=
4 ⋅ 1058.4 π ⋅ 16 2
= 0.27 ⋅ 1449.8 = 391.4 mm 2
= 5.26 → 6 φ 16 en 1500 mm
Quedarían 6φ16 en 1500 mm, por lo que la separación entre barras sería de 300 mm, que es la máxima permitida. Por tanto buscaremos como solución la de emplear una armadura de reparto uniformemente distribuida de: 2600 − 2 ⋅ 70 300
= 8.2 → 9 vanos → 10 φ 16 en 2600 mm
La separación entre ejes será: s=
2600 − 2 ⋅ 70 − 10 ⋅ 16 + 16 = 271.5 mm 9
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Por tanto: Armadura transversal: 10 φ 16 separados 271.5 mm (entre ejes)
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Anclajes: Armadura longitudinal lb neta
= β ⋅ lb ⋅
A s
A real
En posición I:
lb
= m ⋅ φ 2
f yk 20
⋅φ
m =12 12 ⋅ 1.6 2 = 30.72 cm 400 ⋅ 1.6 = 32.0 cm 20 lb neta
lb =32.0 cm
= 1⋅ 32.0 ⋅ 1437.5 = 28.6 cm = 286 mm 1608.5
0.7 ⋅ l bneta
> 0.5 ⋅ h − 70
0.7 ⋅ lbneta
= 0.7 ⋅ 286 = 200.2 mm
0.5 ⋅ h − 70 = 0.5 ⋅ 500 − 70 = 180 mm Por tanto, se dispondrá una prolongación hacia arriba de valor: l'1 = lb neta
− v − 1.62 ⋅ h − 70 0.7
vuelo =1050 mm
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l'1 = 286 −
1050 − 1.62 ⋅ 500 − 70 0.7
= 43.1 mm
Adoptamos que las barras de la armadura longitudinal se levantarán 10 cm al llegar al extremo.
Armadura transversal: lb.neta.tr
= 0.6 ⋅ l b.neta = 0.6 ⋅ 286 = 171.6 mm
0.7 ⋅ lb.neta.tr
= 0.7 ⋅ 171.6 = 120.1 mm
0.7 ⋅ l b.neta .tr < 0.5 ⋅ h − 70 ,
Como
en
sentido
transversal
las
barras
terminarán en patilla normalizada.
Comprobación a esfuerzo cortante
σmáx 1440
=
σd 1440 − 675
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σmáx =0.175 N/mm2 Se vuelve a considerar el peso de la zapata
σd =
765 ⋅ 0.175 = 0.093 N/mm 2 1440
σmáx + σd
V
=
V
= 0.175
2
⋅ B ⋅ ( m − d)
+ 0.093 2
⋅ 1500 ⋅ (1125 − 450) = 135675 N
V =135.675 kN Vd
= γ f ⋅ V = 217.08 kN
Vu1
= 0.30 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ d = 0.30 ⋅
25 1. 5
⋅ 1500 ⋅ 450 = 3375 kN
Vd < Vu1 Vu 2
=
0.12 ⋅ ξ ⋅ (100 ⋅ ρ1 ⋅ f ck )
ξ = 1+ ρ1 =
200
A s b0 ⋅ d
d
= 1+
200 450
1 3
⋅ b0 ⋅ d
= 1.67
>/ 0.02
As =8φ16=1608.5 mm2
ρ1 =
1608.5 1500 ⋅ 450
= 2.38 ‰
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Vu 2
Vd
1 3 2.38 = 0.12 ⋅ 1.67 ⋅ 100 ⋅ ⋅ 25 ⋅ 1500 ⋅ 450 = 245.1kN 1000
< Vu2 → Admisible
Comprobación a punzonamiento Al ser una zapata flexible respecto al vuelo principal y rígida respecto al vuelo secundario, no es necesaria la comprobación a punzonamiento, puesto que la sección de referencia queda fuera de la zapata, al ser ( b1 + 4 ⋅ d ) > b2 (ver figura).
Numéricamente: (400+4⋅450) =2200 mm > 1500 mm
Comprobación a fisuración Para la comprobación a fisuración vamos a utilizar las tablas proporcionadas por el Eurocódigo EC-2, que son muy útiles a nivel de proyecto y nos permiten abreviar los cálculos recogidos en la EHE siempre y cuando cumplan las condiciones máximas de diámetro y separación entre barras.
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Diámetro máximo de barras de alta adherencia que hacen innecesaria la comprobación de fisuración wk≤0.3 mm según EC-2 Tensión del acero σ s (N/mm2)
φ máximo de la barra (mm)
160 200 240 280 320 360 400 450
32 25 20 16 12 10 8 6
Sección armada
Nota: El valor de σs puede ser estimado mediante la expresión M σs = donde M es el valor característico del momento 0.88 ⋅ d ⋅ A s flector en la combinación de acciones bajo la que se comprueba la fisuración.
σs = σs =
M 0.88 ⋅ d ⋅ A s 140000 0.88 ⋅ 450 ⋅ 1608.5
= 0.2197 kN/mm 2
σ s = 219.7 N/mm 2 Con una tensión de servicio σs igual a 219.7 obtenemos que el diámetro máximo permitido como armadura para no realizar la comprobación a fisuración es 20 mm, y en nuestro caso, como hemos empleado 16, en principio, no es necesaria la comprobación a fisuración. La segunda comprobación nos exige una separación entre redondos inferior a 200 mm (en realidad un valor comprendido entre 200 y 250 mm).
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Como ya habíamos calculado previamente, la separación entre redondos es de 192 mm, con lo que también se cumple esta condición, y por tanto es innecesaria la comprobación estricta a fisuración.
Separación máxima entre barras de alta adherencia que hacen innecesaria la comprobación de fisuración wk≤0.3 mm según EC-2 Tensión del acero σ s (N/mm2) 160 200 240 280 320 360
Separación máxima entre barras (mm) Flexión pura 300 250 200 150 100 50
Tracción pura 200 150 125 75
− −
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