Aplicando las reglas de probabilidad realiza de manera clara los siguientes ejercicios: ejercicios : a) Ejercicios de principio fundamental de conteo 1) En un restaurante de comidas corridas se ofrece la posibili dad de elegir como plato de entrada sopa o arroz; como plato principal carne, pollo o pescado y de postre pastel o helado. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir una comida corrida? Realizamos una multiplicación de cada una de las opciones de platillo, plato de entrada, plato principal y postre. 2X3X2=12 Comentando que tenemos 12 maneras distintas de menú. Quedando las diferentes alternativas de elegir un menú de la siguiente manera: Pastel Carne
Helado Pastel
Sopa
Pollo
Helado Pastel
Pescado
Helado
Pastel Carne
Helado Pastel
Arroz
Pollo
Helado Pastel
Pescado
Helado
2) En una ciudad de la república mexicana las placas de los autos particulares constan de tres dígitos seguidos, tres 3 letras (26 letras del alfabeto). Determinar cuántas placas puede haber. Tenemos que se pueden escoger de 10 maneras diferentes ya que los dígitos del 0 al 9 son 10 y son 3 dígitos que lleva la placa n = 10^3 = 1000 La segunda parte de la placa se forma de tres letras del abecedario (26 letras). Entonces tenemos n =26^3 = 17576 Si obtenemos el producto de estos dos valores Tendremos n = 1000 * 17576 = 17, 576,000 diferentes placas
3) Si en el ejercicio anterior no se pueden repetir dígitos o letras, ¿cuántas placas puede haber ? n = 10 * 9 * 8 * 26 * 25 * 24 = 11,232, 000 diferentes placas
4) Una encuesta consiste en siete preguntas. Cuatro de las preguntas tienen dos posibles respuestas y las otras tres tienen cuatro posibles respuestas. ¿De cuántas maneras distintas se puede responder la encuesta? 4 de 7 preguntas x 2 posibles respuestas = 8 Combinaciones Posibles 3 de 7 preguntas x 4 posibles respuestas = 12 Combinaciones Posibles 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 = 1024 maneras de responder la encuesta.
5) Si seis personas abordan un avión en el que hay diez asientos vacíos, ¿de cuántas maneras pueden ocupar esos diez asientos? El orden en que se sienten las personas es muy importante ya que por cada persona que ocupe un asiento, se resta 1 al número de personas ya que una persona no puede sentar se en más de un asiento.
Por lo tanto, V 10,6 = 10! /6! = 10*9*8*7*6*5 = 151200 maneras de ocupar los asientos.
b) Ejercicio de Permutaciones 1) En una carrera participan diez caballos. ¿De cuántas maneras pueden terminar tres caballos en primero, segundo y tercer lugar? Para este problema elegimos tres caballos de entre los diez y los ponemos en orden. La primera selección elegimos entre 10 caballos. Puesto que el caballo que llego de primero no puede llegar de segundo, la segunda selección debemos elegir entre 9 caballos y la tercera selección requiere elegir entre 8 caballos. n! = 10! / 7! n! = 3628800 / 5040 n! = 720 maneras 2) Una cerradura de combinación tiene tres ruedas con diez dígitos cada una. ¿Cuántas combinaciones formadas por tres dígitos son posibles si un dígito no puede ser usado más de una vez? Como no interesa el orden de los dígitos en las tres ruedas, pero no se pueden repetir los números. Tenemos V10,3 = 10!/7! = 720 maneras.
3) En una elección participan diez personas para las posiciones de presidente y vicepresidente, otras cinco personas participan para la posición de tesorero, y un tercer grupo de doce personas participan para las posiciones de primer, segundo y tercer secretario. ¿De cuántas maneras posibles puede terminar la elección? Se calculan las permutaciones por separado: -
Presidente o Vicepresidente: V 10,2 = 10!/8! = 90 maneras Tesorero: V5,1 = 5!/4! = 5 maneras Secretarios: V12,3 = 12!/9! = 1320 maneras 90x5x1320 = 594000 maneras distintas
4) Determina el número de señales que se pueden hacer en un asta si se izan dos banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes. Respuesta: P (n,r) = n! / (n-1)! Donde “n” es la cantidad de banderas y “r” la cantidad de astas Para izar una bandera tenemos = 6! / (6-1)! = 720 / 120 = 6 señales Para izar dos banderas tenemos = 6! / (6 – 2)! = 720 / 24 = 30 señales
c) EJERCICIOS DE COMBINACIONES 1) ¿De cuántas maneras se puede elegir a dos de cincuenta empleados con igual mérito para otorgarles un aumento salarial igual? Para elegir el empleado de igual merito se obtiene C 50,2 50!/2 * 48! = 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 2*48! = 24827831185072000000000000000000000000000000000000000000000000 C50,2 = 1225 2) En una compañía hay 30 obreros y 10 empleados. ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité formado por tres obreros y cuatro empleados?
Obreros: C30,3 = 30!/3!*27! 30! = 265252859812191058636308480000000 3!*27! =
65333216702509800000000000000.00
C30,3 = 4060 maneras Empleados: C10,4 = 10!/4!*6! 10! = 3628800 4!*6! = 17280
C10,4 = 210 maneras
4060x210 = 852600 maneras distintas
3) ¿De cuántas maneras se puede elegir tres ganadores de una T. V. cada uno en una rifa en la que participan 100 personas?
C100,3 = 100!/3!*97! = 161700 maneras de elegir un ganador de cada cien personas.
4) Una comisión del senado está integrada por nueve senadoras y ocho senadores. Se requiere elegir una subcomisión integrada por cuatro miembros de la comisión. Si la subcomisión consiste de dos senadoras y dos senadores, ¿de cuántas maneras se puede formar? Senadora = C 9,2 = 9!/2!*7! 9! = 362880 2!*7! = 10080 C9,2 = 36 Senador = C 8,2 = 8!/2!*6! 8! = 40320 2!*7! = 1440 C8,2 = 28
36x28 = 1008 maneras distintas d) Ejercicios de Probabilidad 1) Un estudio en una tienda departamental muestra que de 3,560 clientes que entraron a la tienda, sólo 1,134 hicieron al menos una compra. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la tienda haga al menos una compra?
Probabilidad = 1134/3560 Probabilidad = .3185 Probabilidad = 31.85 %
2) La población estudiantil de una escuela es de 350 mujeres y 390 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un estudiante este sea mujer? Probabilidad M = 350 / (350+390) Probabilidad M = 350/70 = .4729 Probabilidad M = 47.29 % 3) Un fabricante de piezas de cerámica requiere que en cada caja de veinte piezas se sometan a inspección cuatro de ellas antes de ser embarcadas. Si las cuatro piezas embarcadas están bien, se hace el embarque, pero si alguna de las cuatro tiene un defecto, se tienen que inspeccionar las otras dieciséis piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja si una de las veinte piezas está defectuosa?
Probabilidad de A = número de casos de inspección / número de casos posibles = 4/20 = 1/5 = 20%
e) Ejercicios de la regla de la adición 1) Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan de dos a cinco autos? Como estos eventos son mutuamente excluyentes, vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con probabilidad 0.15 + 0.18 + 0.12+ 0.05= 0.5 2) Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan cinco o más autos?
Para calcular la probabilidad de que vende 5 o más automóviles, primero debemos calcular la probabilidad de vender a lo más cuatro automóviles:0.05+ 0.1+ 0.15+ 0.18+ 0.12=0.6 por la regla de 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles es : P(Ac ) = 1 – P (A) = 1-.06 = 0.4
3) Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia de cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al menos uno de los dos noticieros? Considerando que vea el noticiero de TV Azteca es P(A)= 0.3, vea el noticiero de Televisa es P(B)= 0.2 y de que vea ambos es de P(A∩B) = 0.02 Notemos primero que como la probabilidad de que vean ambos noticieros es positiva, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, se deben transmit ir en diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, esto es, P (A ∪ B) P or la regla anterior, P ( A∪B) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A
∩ B ) =0.3+0.2-0.02= 0.48
f) Ejercicios de la regla de la multiplicación, probabilidad conjunta y probabilidad condicional. 1) Una caja de fusibles que contiene veinte unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se retiran de la caja, uno tras otro ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén defectuosos? Sean A el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el evento de que el segundo este defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto: P ( A ∩ B) = (1/4) (4 / 19) = 1 / 19
Referencias Cuentas A. (2008). Probabilidad y Estadística. Junio 16, 2017, de blogspot.mx Sitio web: http://probyestacr.blogspot.mx/2008/10/unidad-ii-probabilidad.html Luna, R. (2007). Principios Multiplicativo. Junio 9, 2017, de Instituto Tecnológico de Chihuahua Sitio web: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Multiplicativo.ht m Instituto de Matemáticas. (2012). Matemática Lógica. Junio 17, 2017, de Universidad de Antioquia Sitio web: http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/2012-1/matematicalogica/Taller-8-conteo.pdf
