Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
PROBABILIDADES El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisi análisiss de enóme enómenos nos estad! estad!sti sticos cos"" La teor!a teor!a de probab probabili ilidad dades es es de trasc trascend endent ental al importancia en las matemáticas# pues tiene una aplicación directa en muc$os problemas de in%enier!a# administración# administración# econom!a# etc# donde es necesario tomar decisiones decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estad!sticos" E&m' ()uál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado* EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina e+perimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin $aberse reali,ado previamente la prueba" EJEMPLOS -. ' Se lan lan,,a una una moned onedaa dos dos veces eces y se observa los resultados posibles -/ '
Se lan lan,a ,a un un dado dado y se obs obser erva va el n0m n0mer ero o que que res resul ulta ta
ESPACIO ESP ACIO MUESTRA MUES TRAL L ( )" Es el con&unto de resultados posibles de un e+perimento aleatorio" Para los e&emplos antes mencionados' Ω. 1 {2c#c34 2c#s34 2s#c34 2s#s3} Ω/ 1 {2.4/454647483} EVENTOS O SUCESOS' SUCESOS' 9n evento o suceso son subcon&untos de un espacio muestral" Se denota %eneralmente por letras may0sculas del alabeto 2A4 B4 """"3" Del e&emplo . antes mencionado# sea el evento A 1 en los / lan,amientos sale un cara# por lo menos A 1 {2c#c34 2c#s34 2s#c3} OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se $an indicado anteriormente que los sucesos son con&untos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos" Operación A ∪ B' A ∩ B' A : B' A) '
Se lee' Ocurre A# ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos" Ocurre A y ocurre B4 Ocurre ambas a la ve, Ocurre solamente A4 Ocurre A pero no B ;o ocurre el suceso A" CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS
Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
* SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente e+cluyentes si y sólo si A ∩ B 1 φ 4 esto quiere decir que no ocurren &untos 2simultáneamente3" E&emplo' En una aula de Pre 9;A)# se tiene los si%uientes sucesos' A' B' )' ⇒
9n %rupo de alumnos tienen de .7 a .< a=os 9n %rupo de alumnos tienen más de .< a=os pero no más de .> a=os 9n %rupo de alumnos son mayores de .> a=os" Si se eli%e a un alumno# este pertenecerá a al%uno de los tres %rupos"
* SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente" E&emplo' Lan,ar dos dados y que apare,can un dos o un cinco" * SUCESOS INDEPENDIENTES' Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no aecta el $ec$o de que ocurra simultánea o sucesivamente B4 es decir# que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro" E&emplo' Se lan,a un dado / veces D' Sale 5 en el primer lan,amiento E' Sale 5 en el se%undo lan,amiento" * SUCESOS DEPENDIENTES )uando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro" E&emplo'
Se tiene dos urnas A y B# la urna A contiene 5 bolas ro&as y 6 bolas ne%ras# en tanto que la urna B tiene 6 bolas ro&as y < bolas ne%ras" Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B4 al sacar una bola de la urna B# el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A" ? DE@I;I)I; DE PROBABILIDAD" 2Deinición )lásica3" Si A es un suceso de un espacio muestral Ω# entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P 2A3 y está dado por la relación' Número de resultados P ( A) =
favorables al suceso A Número de resultados
=
n( A) n(Ω)
posibles de Ω
Ejm 1: Determinar la probabilidad de que al lan,ar un dado# el resultado sea un n0mero primo" Solu!"# Ω 1 {.#/#5#6#7#8} Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
A 1 {/#5#7} → P2A3 1 58 1 ./ En orma %eneral para Cn dados se cumple que ; casos totales 1 8n → )uando se lan,an dos dados simultáneamente# aumenta la diversidad de eventos que
puedan ocurrir# esto es' 8F 1 58 casos en total Los eventos más recuentes# son aquellos que involucran a la S9GA de los n0meros que aparecen en sus caras superiores" )9ADRO de las S9GAS que se OBHIE;E; al LA;AR DOS DADOS'
Dado / Dado . ↓ . / 5 6 7 8
. / 5 6 7 8 / 5 6 7 8 <
5 6 7 8 < J
6 7 7 8 8 < < J J > > .K
8 < J > .K ..
< J > .K .. ./
De este cuadro se deduce que' ? ?
S9GA GAS PROBABLE que sal%a es el < y su probabilidad es de 858" S9GAS GE;OS PROBABLES son el / y el ./ y su respectiva probabilidad es de .58# para cada uno"
Resumen del cuadro de Sumas'
Sum a ; de casos Prob a bilida d
/ 5 6 7 8 < J > . . . K . / . / 5 6 7 8 7 6 5 / . . / 5 6 7 8 7 6 5 / . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Ejm$ %: ()uál es la probabilidad que al lan,ar dos dados# su suma sea un m0ltiplo de 5 * Solu!"#' Para que sea m0ltiplo de 5# la suma debe ser 5#8#> o ./# siendo los casos avorables de /#7#6 y . respectivamente# que en total $acen /M7M6M.# i%ual a ./ casos avorables# con respecto a 58 casos en total" Por lo tanto# la probabilidad será' 12 36
=
1 3
P&'& l &o NAIPES' Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
Debemos saber que el ma,o consta de 7/ cartas' palo de .5 cartas de cora,ones2♥3 palo e .5 cartas de diamantes 2♦3 palo de .5 cartas de HrNboles 2♣3 palo de .5 cartas de Espadas 2♠3 Ejm +: De un ma,o de 7/ cartas# al e+traer una de ellas ()uál es la probabilidad de que sea un as* Solu!"#' )omo en un ma,o de 7/ cartas $ay 6 ases# entonces la probabilidad será' 4 52
=
1 13
P&'& l &o MONEDAS: 9na moneda tiene una )ARA y un SELLO# es decir# cada moneda tiene dos casos totales" En %eneral# para Cn monedas# se cumple que' ; de casos totales 1 /n Deducción sencilla' en cada GO;EDA# se cumple que' Probabilidad para obtener )ARA 1 Probabilidad para obtener SELLO 1 AXIOMAS DE PROBABILIDADES ." Si A es un suceso deinido en el espacio muestral 2Ω3 entonces' O P2A3 . 4 2.
OQ P2A3 .KKQ
Al espacio muestral ( ) le corresponde P( ) = I
? La probabilidad será . cuando el suceso sea se%uro" ? La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible HEOREGA DE LA ADI)I;' Si A y B son sucesos no e+cluyentes deinidos en un espacio muestral# entonces' P2A∪B3 1 P2A3 M P2B3 : P2A∩B3 Si A y B son sucesos mutuamente e+cluyentes A ∩ B 1 φ4 P 2A ∩ B3 1 K P2A ∪ B3 1 P2A3 M P 2B3 TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Sean A y B dos sucesos incluidos en el espacio muestral Ω# entonces' Si A y B son sucesos no independientes P2A ∩ B3 1 P2A3 + P2BA3 E&m" 6' 9na urna contiene 8 bolitas a,ules y 6 blancas" Se e+traen dos bolitas sucesivamente y sin reposición" )alcular la probabilidad que la primera sea blanca y la se%unda a,ul" Solución P2b ∩a3 1 P2b3 + P2ab3 Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca 4
6 x
1
10
9
=
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
4 15
Si A y B son independientes P2A ∩ B3 1 P2A3 + P2B3 E&m" 7' 9na urna contiene 8 bolitas a,ules y 6 blancas" Se e+traen dos bolitas sucesivamente# con reposición" )alcular la probabilidad que la primera sea a,ul y la se%unda blanca" Solución' P2a y b3 1 P2a3 + P2b3 6
4 x
1
10
10
=
6 25
EXTRACCI,N SIMPLE Para naipes# bolas y otras# cuando se quiere e+traer de una en una# la probabilidad se determina por un simple cociente de los casos avorables respecto a los casos totales" E&m" 8' De una ca&a que contiene 7 bolas ro&as y 5 ne%ras# se e+trae uno de ellos al a,ar" Determinar la probabilidad que sea ne%ra" Solución n 2Ω3 1 J n 2;3 1 5 1 P2;3 1 5J EXTRACCI,N M-LTIPLE )uando se e+traen DOS o más ob&etos# se puede $allar la Probabilidad por dos mNtodos" a3
M.TODO DE LA /RACCI,N acer el PROD9)HO de tantas racciones como ETHRA))IO;ES se $ayan reali,ado"
; de @racciones 1 ; de E+tracciones E&m" <' De un ma,o de 7/ cartas" ()uál es la probabilidad de que al e+traer tres al a,ar# Nstas sean una i%ura 2U# V# W3* Solución' En un ma,o de 7/ cartas e+isten 6 cartas CU# 6 cartas CV y 6 cartas CW# entonces tendremos ./ cartas avorables que se van a e+traer de una en una" 12
La probabilidad de la primera será'
52 11
La probabilidad de la se%unda será'
Jr .Mi s t i#154
51
# ya que $ay una i%ura menos"
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son” 10
La probabilidad de la tercera será
50
La probabilidad respuesta será el producto' 0)
12 11 10 , , 52 51 50
M.TODO DE LAS COMBINACIONES )uando se e+traen varios ob&etos# se cumple que la CProbabilidad de la E+tracción G0ltiple equivale a un )O)IE;HE de )OGBI;A)IO;ES" Se debe aplicar una )OGBI;A)I;# tanto a los )ASOS @AXORABLES como a los )ASOS HOHALES" " ! r " r
P2Y3 1 Siendo' W 1 ;0mero de casos avorables que se e+traen al a,ar de Cr en Cr 2r.3 G 1 ;0mero de casos totales# que se e+traen al a,ar de Cr en Cr" E&m" J' De un ma,o# se e+traen / cartas ()uál es la probabilidad que sean espadas* Solu!"#: )omo en un ma,o de 7/ cartas $ay .5 espadas# por el mNtodo de las combinaciones# tenemos que' 1 13 2
" #"
52 2
1$
La probabilidad será' 1 E&m" >' En una urna se tiene 6 bolas ne%ras# 7 blancas y < verdes" Al e+traer tres de ellas# ()uál es la probabilidad que sean ne%ras* Solu!"#: 4%3%2 4 3
16 3
" #"
16%15%14
=
1 140
La probabilidad será de 1 E&m" .K' Se tienen .K ob&etos buenos# 6 da=ados y otos / con da=os importantes" ()uál es la probabilidad que al sacar / ob&etos al a,ar# Nstos sean buenos*" Solución' En total son' .KM6M/ 1 .8 ob&etos en total Por el mNtodo de las racciones# será' 10
'
9
16 15
=
3 &
Por el mNtodo de las combinaciones' "10 2 16 2
"
=
10 % 9 16 % 15
=
3 &
PROBLEMAS RESUELTOS ." Determina la probabilidad de reali,ar el si%uiente suceso' CObtener cara por lo menos / veces al lan,ar al aire 5 veces una moneda Solu!"#: Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
Si lan,amos por ve, primera# puede que resulte cara y si no cae cara tiene que ser sello4 lue%o si lan,amos la moneda por /da ve, y despuNs por 5ra ve, se presentarán las ocurrencias que ilustramos en el dia%rama ad&unto" LANZAMIENTO DE LA MONEDA !e" 2 !eces # !eces $$$ $$ $$% $ $%$ $% $%% %$$ %$ %
%$% %%$ %% %%%
)omo nos piden $allar la probabilidad de sacar por lo menos / caras# esto es / o más caras# entonces las caras avorables que observamos en la tercera columna son' ccc# ccs# csc y scc# siendo 6 posibilidades de un total de J# lue%o' 4
P2por lo menos / caras3 1
&
=
1 2
/" En una ca&a $ay 7 bolas ro&as y 5 ne%ras" Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la ca&a# lue%o se saca otra bola" ()uál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean ro&as* Solución' 5
La probabilidad de sacar una bola ro&a la primera ve, es de' 5 −1
de sacar una bola ro&a la se%unda ve, es de'
& −1
=
5+3
=
5 &
# y la probabilidad
4 $
"
)omo la ocurrencia de los sucesos están li%adas mutuamente# aplicamos el teorema dado' 5
P2R y R3 1 P2R3 M P2R3 1
&
'
4 $
=
20 56
=
5 14
5" Se esco%en al a,ar 6 naran&as entre .K naran&as que $ab!an en una ca&a# de las cuales 8 estaban malo%radas# ()uál es la probabilidad de que / e+actamente sean malo%rados* Solución' Se%0n los datos se tiene' Hotal de naran&as' .K
Jr .Mi s t i#154
8 malo%rados 6 sanos cel :976728581-954011829
Práct i ca
a3
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
Si se e+traen 6 naran&as del total de naran&as 2.K3# entonces el n0mero de maneras se obtendrá' 10
"4
b3
10' 9 '&' $
=
1' 2 ' 3' 4
=
/.K maneras
Si se e+traen 6 naran&as# donde dos naran&as deben ser malo%radas entonces los otros dos serán sanas" El con&unto de casos posibles de e+traer dos naran&as malo%radas de los 8 y / sanas de los 6 será"
6
4
"2 ' "2
=
6'5 2
'
4'3 2
1 >K maneras
∴ la probabilidad es de' 90 210
3
=
$
P(A) =
9n proesor de aula $a seleccionado a .K ni=os y 6 ni=as para recitar 5 poes!as para actuación central del aniversario del plante" ()uál es la probabilidad de que los dos primeros sean ni=os y la 0ltima sea ni=a* &.
Solución' Se%0n los datos el total de alumnos seleccionados son' .K ni=os
.6 alumnos
6 ni=os Determinando las probabilidades tenemos' 10
=
14
Vue el primero sea ni=o'
5 $
9
Vue el se%undo sea ni=o'
13 4
Vue el tercero sea ni=a'
12
=
1 3
)omo los tres eventos son independientes uno del otro# la probabilidad inal será' 5
P2@3 1
$
'
9 13
'
1 3
=
15 91
7" ;ueve personas se sientan al a,ar en una mesa redonda" ()uál es la probabilidad de que 5 personas queden conti%uas* Solución' Sean A# B y ) las personas que van a sentarse siempre &untas o conti%uas# entonces' Jr .Mi s t i#154
cel :976728581-954011829
Práct i ca
Gr upodeEs t udi osPre–U “Cayet anoBem Car son”
)alculamos el n0mero total de ormas en que se puedan sentar las > personas' 2>.3Z1 JZ Si las 5 personas 2A# B y )3# siempre están &untos# entonces las ormas que se pueden ubicar es' 5 + / + . 1 8 ormas Las 8 personas restantes se podrán ubicar de' 8Z ormas @inalmente la probabilidad 2P2A33 de que las tres personas queden conti%uas es' 6 ' 6(
2P2A33 1
&(
=
6 ' 6( &' $ ' 6(
Jr .Mi s t i#154
=
3 2&
cel :976728581-954011829
