PROBABILIDADES Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento.
DEFINICIONES Experimento o fenómeno aleatorio (E): es aquél que es susceptible de dar varios resultados, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta.
Ejemplo: Lanzar un dado o una moneda al aire son experimentos aleatorios. llama espac espacio io mue muestr stral al asoc asocia iado do a un exper experime imento nto aleat aleatori orio, o, al Epa!i Epa!io o "#etr "#etral al ($): ($): Se llama conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Ejemplo: 1 !" lanzar una moneda # !" !" lan lanz zar un un da dado $ !" lanzar dos monedas % !" lanzar tres monedas
E%ento o S#!eo: es todo sub subcon conjunt junto o de un esp espacio acio muestral. muestral. Se represen representan tan por letras letras ma&'sculas del al(abeto.
Ejemplo: en el espacio muestral ) del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos" *" +btener un n'mero n'mero primo " +btener un n'me merro primo & par -" +btener un n'mero ma&or o igual a
NO&A: !n todo espacio muestral podemos distinguir los siguientes sucesos" Sucesos elementales, los subconjuntos con un solo elemento. Suceso e'#ro ), el propio espacio muestral. Suceso impoile /, que no posee n ning'n ing'n suceso suceso elemental elemental 0no puede veri(icarse. veri(icarse. !jemplo" !jemplo" lanzamos un dado al aire & queremos que salga el n'mero .
DEFINICI*N CL+SICA DE PROBABILIDAD, Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables 0iguales probabilidades, es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento * es la raz2n" P( * )
=
-asos 4avorables -asos Posibles
=
3 * 3Ω
La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 5 & 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles en un espacio muestral es 1.
Ejemplo: -) La probabilidad de que salga # al lanzar un dado es" .) La probabilidad de lanzar una moneda & que caiga cara es" /) La probabilidad de sacar 1,#,$,%,, o 6 al lanzar un dado es" C+LC0LO DE PROBABILIDADES Se llama probabilidad a cualquier (unci2n, P, que asigna a cada suceso * un valor numérico P0*, veri(icando las siguientes reglas 0axiomas i P0Ω 7 1. !jemplo" lanzamos un dado al aire & la probabilidad de que salga cualquier n'mero del 1 al 6 es igual a uno 01558. ii 59P0* 91 iii P0*:7P0*;P0 si *<7/ 0sucesos incompatibles. iv / es el conjunto vac=o. P0 ∅ 7 5. !jemplo" lanzamos un dado al aire & la probabilidad de que salga el n'mero es cero.
S0CESOS 1 S0S PROBABILIDADES a) 0n #!eo p#e2e etar !onteni2o en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones propias. La probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene. * ⊂, ⇒ P0 * < P0,
Ejemplo: lanzamos un dado & analizamos dos sucesos" *" que salga el n'mero 6, & " que salga un n'mero par >emos que el suceso * está contenido en el suceso . Siempre que se da el suceso * se da el suceso , pero no al contrario.
) Do #!eo p#e2en er i'#ale: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro & viceversa. Las probabilidades de ambos sucesos son las mismas" P0* 7 P0
Ejemplo: lanzamos un dado al aire & analizamos dos sucesos" *" que salga n'mero par, " que salga m'ltiplo de #.
!) Intere!!ión 2e #!eo: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersecan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, & analizamos dos sucesos" *" que salga n'mero par, " que sea ma&or que %.
2) 0nión 2e 2o o m3 #!eo: la uni2n será otro suceso (ormado por todos los elementos de los sucesos que se unen. La probabilidad de la uni2n de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersecci2n 0* ∩ ≠ ∅ . P 0* : 7 P0* ; P0 ? P 0*
∩
Ejemplo: lanzamos un dado al aire & analizamos dos sucesos" *" que salga n'mero par " que el resultado sea ma&or que $.
e) S#!eo in!ompatile o m#t#amente ex!l#4ente: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo 0su intersecci2n es el conjunto vac=o. La probabilidad de la uni2n de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos 0&a que su intersecci2n es el conjunto vac=o 0* ∅
& por lo tanto no ha& que restarle nada. P 0* : 7 P0* ; P0
Ejemplo: si lanzamos un dado al aire & analizamos dos sucesos" *" que salga un n'mero menor que $, & " que salga el n'mero 6.
∩
7
f) S#!eo !omplementario: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. La probabilidad de un suceso complementario a un suceso 0* es igual a 1 ? P0*. P0*c 7 1 ? P0*
Ejemplo: lanzamos un dado al aire & analizamos dos sucesos" *" que salga un n'mero par, & " que salga un n'mero impar.
') 0nión 2e #!eo !omplementario" la probabilidad de la uni2n de dos sucesos complementarios es igual a 1. P0* ; P0*c 7 1
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior" *" que salga un n'mero par, & " que salga un n'mero impar. La probabilidad del suceso uni2n de estos dos sucesos será igual a"
INDEPENDENCIA DE S0CESOS @os sucesos son independientes entre s=, si la ocurrencia de uno de ellos no a(ecta para nada la ocurrencia del otro"
Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase & el color del pelo son independientes" el que un alumno sea más o menos alto no va a in(luir en el color de su cabello, ni viceversa.
Defini!ión: Sean * & sucesos de(inidos en el mismo espacio muestral, se dice que * & son independientes si & s2lo si la probabilidad de ocurrencia conjunta es igual al producto de las probabilidades" P0 *
,
∩
=
P0 * .P0,
!s decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto * & es exactamente igual a la probabilidad del suceso * multiplicada por la probabilidad del suceso .
Ejemplo: Se lanzan dos dados, se pide calcular la probabilidad de obtener n'mero impar en el primer dado & n'mero impar en el segundo dado. ! " lanzamiento de dos dados * " obtener n'mero impar en el primer dado " obtener n'mero impar en el segundo dado
PROBABILIDAD CONDICIONAL Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado in(ormaci2n adicional a la situaci2n de partida. !sta in(ormaci2n está siempre relacionada con alg'n suceso, de tal modo que reduce el espacio muestral a otro de sus subconjuntos. La in(ormaci2n con que se cuenta está re(erida a un suceso *, & lo que se desea averiguar es la probabilidad de un suceso posterior , a esta probabilidad se le llama PA+*BLB@*@ -+C@B-B+C*L de dado *, o probabilidad de * sabiendo que pasa . P0, E * =
P0 * ∩ , P( * )
D
P0 * ≠ 5
Ejemplo: Se lanza un dado & sabemos que la probabilidad de que salga un # es 1E6 0probabilidad a priori. Si incorporamos nueva in(ormaci2n 0por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un n'mero par entonces la probabilidad de que el resultado sea el # &a no es 1E6, sinoF.
PROBABILIDAD CO"P0ES&A La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos 0suceso intersecci2n de * & es igual a la probabilidad a priori del suceso * multiplicada por la probabilidad del suceso condicionada al cumplimiento del suceso *. P0 * ∩, = P0, E * . P0 *
Ejemplo: 1 !studiamos el suceso * 0porcentaje de varones ma&ores de %5 aGos casados & el suceso 0varones ma&ores de %5 aGos con más de # hijos & obtenemos la siguiente in(ormaci2n" :n $8 de los varones ma&ores de %5 aGos están casados. @e los varones ma&ores de %5 aGos & casados, un $58 tienen más de # hijos 0suceso condicionado al suceso *. -alcular la probabilidad de que un var2n ma&or de %5 aGos esté casado & tenga más de # hijos 0suceso intersecci2n de * & . # !studiamos el suceso * 0alumnos que hablan inglés & el suceso 0alumnos que hablan alemán & obtenemos la siguiente in(ormaci2n" :n 58 de los alumnos hablan inglés. @e los alumnos que hablan inglés, un #58 hablan también alemán 0suceso condicionado al suceso *. -alcular la probabilidad de que un alumno hable inglés & alemán 0suceso intersecci2n de * & .
&EORE"A DE LA PROBABILIDAD &O&AL &eorema : Sean Los sucesos * 1, *#, ... , * n, de(inidos en el espacio muestral (orman una partici2n del espacio muestral
Ω,
Ω,
tal que H* iIi∈B
sea además un suceso de(inido en el espacio
muestral, si se conocen las probabilidades de los sucesos H* iIi∈B & las probabilidades condicionales de dado * i " P0E*i, entonces " P0, = ∑P0 * i .P0, E * i
D
1≤i ≤n
!l Jeorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.
Ejemplo: !n un sal2n se tiene que #5 alumnos han llevado el curso de (=sica, $5 el curso de matemática & 15 el curso de qu=micaD si de los alumnos que han llevado (=sica se sabe que aprobaron la mitadD de los que han llevado matemática han aprobado 1E$ & los que llevaron qu=mica aprobaron la mitad. Si se escoge un alumno al azar, calcular la probabilidad de que ha&a aprobado el curso en el que está matriculado.
&EORE"A DE BA1ES Kediante el teorema de a&es podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la in(ormaci2n que tenemos de otros eventos.
Defini!ión --, Si *1, *#, ... , *n (orman una partici2n del espacio muestral uni2n es el espacio muestral,
Ω,
Ω
0veri(ican que su
& son disjuntos dos a dos se dirá que (orman un itema
ex5a#ti%o. !l Jeorema de a&es viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Jeorema de la probabilidad total"
&eorema: Sean los sucesos * 1, *#, ... , * n, un sistema exhaustivo de(inidos en el espacio muestral
ΩD
si se conocen las probabilidades de los sucesos * i , P0*i, & las probabilidades
condicionales de dado * i " P0E*i, entonces la probabilidad de * i dado está dado por"
P0 * i E , =
P0, E * i P0 * i P0,
=
P0, E * i P0 * i
∑P0 * i .P0, E * i
D
1≤ i ≤ n
Ejemplo: en el ejemplo anterior calcular la probabilidad de que el alumno se halla matriculado en matemática sabiendo que aprob2 el curso.
E6ERCICIOS 1 !n un aula el 58 de los alumnos son mujeres. @e ellas el 158 son (umadoras. @e los hombres, son (umadores el #58. a ¿Qué porcentaje de fumadores hay?. b Se elije a un individuo al azar & es (umador. M-uál es la probabilidad de que sea un hombreF # La cuarta parte de los conductores de coche son mujeres. La probabilidad de que una mujer su(ra un accidente en un aGo es E15555. La probabilidad de que el accidente lo tenga un hombre es NE15555. -alc'lese la probabilidad de que, si acontece un accidente, el accidentado sea un hombre. $ !l 58 de los estudiantes de Bngenier=as aprueban una asignatura * & un 658 aprueba otra asignatura . Se sabe que un $8 aprueba ambas. a MSon independientes los sucesos aprobar * & aprobar F b Oallar la probabilidad de que apruebe sabiendo que ha aprobado *. c Oallar la probabilidad de que apruebe *, sabiendo que ha aprobado . % Se sabe que el 58 de la poblaci2n (uma & que el 158 (uma & es hipertensa. M-uál es la probabilidad de que un (umador sea hipertensoF *l lanzar un dado" a cual es la probabilidad de que salga # o $F b -alcule P( * , ) F . 6 Se selecciona una muestra aleatoria n 7 # de un lote de 155 unidades, se sabe que N de los 155 art=culos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer art=culo se observa & se regresa antes de seleccionar el segundo art=culo 0con reemplazo, a calcule la probabilidad de que ambos art=culos estén en buen estado, b si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos art=culos estén en buen estado. *" !l primer art=culo está en buen estado. " !l segundo art=culo está en buen estado. Si el evento * 0lluvia, P0*7 5.# & el evento 0nublado, P0 7 5.$. Mcuál es la probabilidad de que llueva en un d=a nubladoF Cota" no puede llover si no ha& nubes.
!n cierta universidad #58 de los hombres & 18 de las mujeres miden más de 1.5m de altura. *simismo %58 de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar & se observa que mide más de 1.5m M-ual es la probabilidad de que sea mujerF N !ntre la poblaci2n econ2micamente activa de una ciudad, el %58 ha completado la enseGanza básica, el 58 la enseGanza media & el 158 la enseGanza superior. !ntre los individuos que tienen educaci2n básica ha& un 158 de desempleados, entre los que tienen educaci2n media un 8 & entre los graduados universitarios un #8. M-uál es la probabilidad de que un individuo econ2micamente activo esté desempleadoF. 15 !n una determinada localidad ha& tres partidos pol=ticos" PP, PS+! e B:. Se e(ect'a un re(eréndum para decidir si un cierto d=a se declara (iesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en 8 en (unci2n del partido al que vot2 cada ciudadano en las 'ltimas elecciones"
S7 No
PP
PSOE
I0
A
# 1
#5 15
#
1#
a MQué probabilidad ha& de que una persona tomada al azar ha&a votado S= en el re(eréndumF b -alcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado s=. !n primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales"
11 !n una clase de -+: el %8 de los estudiantes suspende Katemáticas, el 658 suspende (=sica & el $58 suspende ambas. Se selecciona al azar un alumno" a Si suspendi2 4=sica M-uál es la probabilidad de que suspendiera KatemáticasF b Si suspendi2 Katemáticas M-uál es la probabilidad de que suspendiera 4=sicaF 1# :na urna contiene blancas & negras, hacemos una extracci2n de # bolas, en el supuesto de que hemos visto que una de estas bolas es negra. M-uál es la probabilidad de que la otra también lo seaF 1$ @e una baraja de %5 cartas hacemos dos extracciones sucesivas, sin devoluci2n. -alcula la probabilidad de que las dos sean re&es. 1% :n avi2n con tres bombas trata de destruir una l=nea (érreaD la probabilidad de destruir la l=nea con cualquiera de las bombas es 1E$. M-uál es la probabilidad de que la l=nea quede destruida si el avi2n emplea las tres bombasF 1 :n libro tiene $ cap=tulos. !l 8 de las páginas del 1er cap=tulo no tiene ning'n error. !l N58 del segundo & el N8 del tercero tampoco tienen ning'n error. !l primer cap=tulo tiene 1# páginas, el #R 15 & el $R 1. M-uál es la probabilidad de que al elegir una página al azar no tenga ning'n errorF
E6ERCICIOS PROP0ES&OS DE PROBABILIDADES 1 -ada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que s2lo una es correcta. :n alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas. a -onstru&a un espacio muestral adecuado a esta experiencia. b -alcule P0, P0* < , P0-, P0 : -, siendo *, & - los siguientes sucesos" * 7 !l alumno contesta correctamente la primera preguntaT 7 !l alumno contesta correctamente dos de las tres preguntasT - 7 !l alumno contesta correctamente las tres preguntasT. # @e una baraja de %5 cartas extraemos dos cartas sin reemplazamiento. Si ambas no son espadas, Mcuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copasF. $ Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Oallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento. % La probabilidad de que una jugadora de gol( haga ho&o en un lanzamiento a una cierta distancia es 5,#. Si lo intenta veces, calcular la probabilidad de que" a no acierte ningunaD b acierte algunaD c acierte #. :na caja contiene tornillos de(ectuosos & % aceptablesD otra caja contiene % de(ectuosos & aceptables. Se traslada un tornillo de la primera caja a la segundaD a continuaci2n se extrae un tornillo de la segunda caja. M-uál es la probabilidad de que este 'ltimo sea aceptableF. 6 !n un cierto pa=s, el NN8 de los detenidos & sometidos a juicio son culpables del delito que se les imputa. Los jueces, al emitir veredicto, aciertan en el N8 de los casos, tanto si el acusado es culpable como inocente. Seg'n estos datos, calc'lese la probabilidad de que" a un ciudadano inocente ha&a sido declarado culpable. b sea culpable, si ha sido declarado inocente. !n una ciudad el 158 de los adultos escucha la radio, el %58 lee el peri2dico & el 58 ve la televisi2nD entre los que ven la televisi2n, el $58 lee el peri2dico & el %8 escucha la radio. !l N58 de los que escuchan la radio lee el peri2dico, siendo s2lo el #8 de la poblaci2n total de adultos los que leen el peri2dico, ven la televisi2n & escuchan la radio. Se elige un individuo al azar, se pide la probabilidad de" a @e que lea el peri2dico, escuche la radio o vea la televisi2n. b Sabiendo que lee el peri2dico, la de que escuche la radio.
:na urna contiene bolas blancas & % bolas negras. Se extraen, con reemplazamiento, bolas. Oallar la probabilidad de que alguna sea blanca. Si sabemos que al menos # han sido blancas, Mcuál es la probabilidad de que las lo seanF N :na urna contiene tres bolas rojas & dos verdes & otra contiene dos bolas rojas & tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. !scribe el espacio muestral15. M-uál es la probabilidad de que ambas sean del mismo colorFM & la de que sean de distinto colorF. 15 Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. M-uál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara. 11 Se lanza un dado 6 veces, Mcuál es la probabilidad de obtener puntuaci2n par en los lanzamientos impares e impar en los lanzamientos paresF 1# @e una baraja de %5 cartas se extraen dos de ellas a la vez. -alcula la probabilidad de que" a las dos sean re&es b :na sea copas & otra el re& de espadas. c al menos una sea copas. 1$ :n 68 de los alumnos de un centro han aprobado Katemáticas, un 58 ha aprobado 4iloso(=a, & un $8 ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calc'lese la probabilidad de que" a ha&a aprobado al menos una de las dos materias. b ha&a suspendido ambas materias c Si aprob2 Katemáticas M-uál es la probabilidad de haber aprobado (iloso(=aF 1% :n jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida 5,#. Si juega cuatro partidas calcula la probabilidad de ganar más de la mitad. 1 M-uál es la probabilidad de que en un grupo de cinco cartas de una baraja espaGola se presenten dos re&esF. 16 :n aparato está (ormado por dos partes * & . !l proceso de (abricaci2n es tal que la probabilidad de un de(ecto en * es 5,56 & la probabilidad de un de(ecto en es 5,5. M-uál es la probabilidad de que el producto no sea de(ectuosoF 1 Se lanzan 6 bolas en $ cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer en cualquier caja. M-uál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadasF
