PROBABILIDAD CONDICIONAL “Supongamos que estamos interesados en dos sucesos A y B, y se nos da información
adicional de que B ha ocurrido. Una pregunta de interés es, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que A ocurra dado que B ha ocurrido? Este tipo de problema puede ser resuelto a través de la noción de probabilidad condicional. La idea principal es que la posibilidad de que cualquier suceso ocurra es probable de que dependa de la ocurrencia o no ocurrencia de otros sucesos. Por ejemplo, un fabricante que planea introducir una nueva marca en el mercado puede poner a prueba el producto a través de su venta en una serie reducida de almacenes particularmente escogidos. Es probable que el fabricante confíe mucho más en el éxito de la nueva marca en el mercado si el producto resulta bien acogido en el test inicial que en caso contrario. El análisis de la empresa correspondiente a la probabilidad de un elevado número de ventas estará, por tanto, condicionado por el resultado del test de mercado. ”5 PROBABIL PROBABIL I DAD CONDICI CONDICI ONAL: Sean A y B dos sucesos, la probabilidad
condicional del suceso A, dado el suceso B, denotado P(A/B) y leído probabilidad de A dado B, se define como:
, con P(B) 0 .
De igual modo la probabilidad condicional de B dado A se define como:
con P(A) 0 .
Ejemplo: En el ejemplo anterior, el distribuidor puede estar interesado en calcular la probabilidad de que una compra sea grande dado que se realiza por teléfono. Solución: P (G / T) = P (G
T) / P(T) = (86/ 4000)/ (1826 / 4000) = 0,047
“Una consecuencia inmediata de la probabilidad condicional es la regla del producto de
probabilidades, la cual expresa la probabilidad de la intersección en términos de probabilidades condicionales y de probabilidades de sucesos individuales. ”6
REGLA DEL PRODUCTO Sean A y B dos sucesos, la probabilidad de la intersección es P(A B) = P(A/B)P(B) P(A/B)P(B) P(A B) = P(B/A)P(A) P(B/A)P(A)
Ejemplo: Una empresa tiene en el departamento de ventas 16 personas, 10 hombres y 6 mujeres. Se va a seleccionar un equipo de supervisores de 2 5
6
PAUL NEWBOLD. Estadística para los Negocios y la economía. España, Prentice Hall 1997, p81. PAUL NEWBOLD. Estadística para los Negocios y la economía. España, Prentice Hall 1997, p82.
personas. Si cada grupo de 2 personas tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. Encuentre la probabilidad de que el equipo esté integrado por 2 mujeres. Solución: Sea el A el evento “la primera persona seleccionada es una mujer” y B el evento “la segunda persona seleccionada es una mujer”
Lo que queremos calcular es P(A B), por la ley del producto se tiene P(AB) = P(A)P(B/A) P(AB) = (6/16)(5/15) = 0,125 Si P(B/A)= P(B) se dice que los eventos son estadísticamente independientes. si A y B son eventos independientes, P(A B) = P(A)P(B)
Ejemplo: Una fábrica de juguetes elabora carros a control remoto en tres ciudades de la costa, Riohacha, Barranquilla y Sincelejo. La empresa estableció círculos de calidad para inspeccionar los carros y determinar si tienen algún defecto. El círculo de calidad inspeccionaba cada carro y especificaba el resultado de la inspección como defectuoso o no defectuoso, suponga que el resultado de la inspección de los últimos 100 carros fueron los siguientes: TABLA 4.2 Inspección de calidad Ciudad de fabrica
Sincelejo Barranquilla Riohacha
Carros inspeccionados
50 20 30
Resultado de la inspección
8 Defectuosos 5 Defectuosos 3 Defectuosos
Si se elige al azar un carro, calcule la probabilidad de que: a. Proceda de Sincelejo y sea defectuoso. b. Proceda de Riohacha y sea no defectuoso. c. Sea defectuoso y fabricado en Barranquilla.
Solución: La probabilidad de que un carro sea defectuoso depende de la ciudad donde fue fabricado, puesto que si se especifica Sincelejo, la probabilidad de que sea defectuoso es de 8/50 = 16%; si procede de Barranquilla 5/20 = 25% y si viene de Riohacha la probabilidad de que sea defectuoso es 3/30 = 10%; es decir, el que un carro de una ciudad dada sea defectuosa depende de la ciudad en cuestión. Ciudad y resultados de una inspección son sucesos dependientes. Para responder las preguntas utilizamos la fórmula P(A B) = P(A). P(B/A) a. P(Sincelejo y defectuoso)= P(Sincelejo)x P(defectuosa/Sincelejo) P(SD) = (50/100) x( 8/50) = 2/25 = 8%
108
b. P(Riohacha y no defectuoso) = P(R D’) = P(R) x P(D’/R) = (30/100) x (27/30) = 27% c. P(Defectuoso y Barranquilla)= P(DB) = P(D) x P(B/D) Pero como no es posible obtener directamente P(B/D) de los datos registrados en la tabla conviene calcular en su lugar P(BD) = P(DB) P(Barranquilla y Defectuoso) = P(B) x P(D/B) = (20/100) x (5/20) = 5/100 = 5%
Ejemplo: “Suponga que en el centro de cálculo de una universidad, 192 de 960 trabajos son de alta prioridad; de éstos,128 son propuestos por estudiantes y 64 por el cuerpo docente. Del total, 640trabajs son de los estudiantes y 320 de docentes. Si se selecciona un trabajo al azar, ¿son los eventos “trabajos de alta prioridad” y “trabajos de estudiante”, independientes?
Solución: sea A el evento “el trabajo es propuesto por un estudiante” y B el evento “el trabajo es de alta prioridad”. Para que los eventos A y B sean independiente s debemos demostrar que P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B). En este caso podemos calcular P(B/A) utilizando la definición de condicionada: P ( B / A)
P ( A B) P ( A)
128 / 960 640 / 960
128 640
probabilidad
0,20 Así mismo, P(B) = 192/960 = 0,20, de modo
que los eventos A y B son independientes” 7
COMBINACION DE LA REGLA DE LA SUMA Y EL PRODUCTO La dificultad de algunos problemas de probabilidad estriban en que para solucionarlos se deben utilizar las reglas de multiplicación y de la suma simultáneamente. Para salir de esta dificultad es preciso recordar que se debe sumar si es “o” y multiplicar si es “y”. Además las dos preguntas siguientes son de gran utilidad en estos casos: 1. ¿De cuántas maneras puede ocurrir el suceso? 2. ¿Qué contiene el conjunto del que se realiza la extracción?
Ejemplo: Supongamos que la fábrica de juguetes tiene 20 carros, cuatro de los cuales son defectuosos, y que el circulo de calidad selecciona tres ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean defectuosos? Para responder la pregunta de cuántas maneras puede ocurrir el suceso, primero revisemos ¿Cómo puede ocurrir el suceso?
7
HILDEBRAND Y OTT. Estadística aplicada a la administración y a la Economía. U.S.A, Addison – Wesley Iberoamericana 1997, p97.
109
Dos de los tres carros son defectuosos si: 1. Los dos primeros son defectuosos y el tercero no D1 y D2 y D’3 o 2. El primero y el tercero son defectuosos y el segundo no D 1 y D’2 y D3 o 3. El segundo y el tercero son defectuosos y el primero no D’ 1 y D2 y D3 Si ocurre cualquiera de estos eventos el (primero o el segundo o el tercero) ha ocurrido el suceso dos de los tres carros son defectuosos. Por otra parte al calcular la probabilidad de extraer algún elemento, hay que preguntar qué contiene el conjunto del que se extrae. En relación con el primer evento, antes de elegir el primer carro hay 10 carros cuatro de los cuales son defectuosos así pues P(D 1) = 4/10, después de seleccionar uno defectuoso, quedan 9 carros tres de los cuales son defectuosos por consiguiente P(D2/D1)= 3/9, antes de extraer el tercer carro quedan 8 carros dos de ellos defectuosos, entonces P(D’3/D2 y D1) = 6/8 Así pues: P(D1 y D2 y D’3)= (4/10) (3/9) (6/8) = 72/720 = 1/10 Para el segundo caso se tiene: P(D1) = 4/10 P(D’2/D1) = 6/9 Entonces,
P(D3/D’2 y D1) = 3/8
P(D1 y D’2 y D3)= (4/10) (6/9) (3/8) = 72/720 = 1/10
O bien el suceso puede ocurrir de la tercera forma: P(D’1) = 6/10 P(D2/D’1) = 4/9 P(D3/D2 y D’1) = 3/8 Entonces,
P(D’1 y D2 y D3)= (6/9) (4/9) (3/8) = 72/720 = 1/10
Como el suceso “dos de los tres carros son defectuosos” puede ocurrir de la primera
forma o de la segunda o de la tercera, se deben sumar las probabilidades: P(2 defectuosos de 3) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10 Es decir, hay una probabilidad del 30 % de que si se toman tres carros al azar de los 10, dos de los tres sean defectuosos.
TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes, cuyo nombre se debe al clérigo inglés, reverendo Tomás Bayes (1702 – 1791), presenta un mecanismo para la modificación de las valoraciones de probabilidad cuando se dispone de información adicional. Por ejemplo, supongamos que un inversionista está interesado en un título específico y tienen unas determinadas creencias sobre la posible rentabilidad que puede llevar consigo la inversión. Si dicho inversionista se entera luego de que el título está siendo recomendado por un analista experto, esto podría modificar sus creencias iniciales, dependiendo de su confianza en los juicios del experto.
110
Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B) respectivamente. La regla del producto de probabilidades dice que: P(AB) = P(A)P(B/A) P(AB) = P(B)P(A/B) Dado que el lado izquierdo de ambas expresiones es el mismo entonces P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Despejando y suponiendo que P(A) 0, se tiene:
Teorema de Bayes:
Una fórmula alternativa para expresar el teorema de Bayes es: Sean E 1 , E 2 , . . ., E k , k sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y sea A otro suceso cualquiera . La probabilidad condicional de E i dado A puede ser expresada como:
Ejemplo: Al examinar los registros anteriores de los balances de una compañía, un auditor descubre que el 15% contienen errores y el 20% son inusuales. Además, el 60% de los balances incorrectos fueron considerados valores inusuales. Basándose en los datos anteriores, si los datos de un determinado balance parecen ser inusuales ¿Cuál es la probabilidad de que sea incorrecto? Solución: Sea E el suc eso “El balance contiene error” y A el suceso “el valor es inusual”. P(E) = 0,15 P(A) = 0,20 P(A/E) = 0,60 Por teorema de Bayes
P ( E / A)
P ( E ) P ( A / E ) P ( A)
(0,15 )(0,60 ) 0.20
0,45
De este modo, dada la información de que el balance se considera inusual la probabilidad de que sea un incorrecto se ve modificada, pasando del 15% al 45%.
Ejemplo: Una Factoría produce baterías para carros en dos turnos, uno en el día y otro en la noche. El departamento de control de calidad realiza inspecciones periódicas de las baterías, después de haberlas tenido inactivas durante 6 meses, para determinar si mantienen la carga. El turno del día produce el 65% de todas las baterías y el turno de la noche el 35% restante. Estudios previos del 111
departamento de control de calidad han revelado que el 5 % de las baterías producidas en el turno del día son defectuosas, mientras que de las producidas en la noche salían defectuosas el 8%. Durante una inspección el director de la empresa eligió una batería al azar y resultó defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producida por el turno de la noche, por el turno del día? Datos Conocidos: Probabilidad de ser producida en el turno del día P(M) = 0,65 Probabilidad de ser producida en el turno de la noche P(N) = 0,35 Probabilidad de defectuosa dado que se produjo en el día P(D/M) = 0,05 Probabilidad de defectuosa dado que se produjo en la noche P(D/N) 0,08 Debemos calcular la probabilidad que sea producida en el día dado que es defectuosa y de que sea producida en la noche dado que es defectuosa: P(M/D) y P(N/D) P(M/D)
P(M)P(D/M)
P(M/D)
0,0325
P(N/D)
P(N) . P(D/N)
P(D) 0,0605
P(M)P(D/M) P(M)P(D/M) P(N)P(D/N)
(0,65)(0,05) (0,65)(0,05) (0,35)(0,08)
0,5372 53,72%
P(D)
(0,35)(0,0 8) 0,0605
0,4628 46,28%
Es más probable que la batería defectuosa se fabricara en el turno del día.
4.6 TABLAS Y ÁRBOLES DE PROBABILIDADES Las tablas y árboles de probabilidades son artificios útiles para el cálculo de probabilidades.
4.6.1 TABLAS DE PROBABILIDADES Las tablas de probabilidades se pueden construir a partir de la tabla de distribución de frecuencias, para este cálculo cada valor de la tabla de frecuencia se divide entre el número de observaciones. Las tablas y árboles de probabilidad resultan de gran utilidad al momento de resolver problemas de probabilidades donde es necesario utilizar en forma consecutiva varios principios de los estudiados anteriormente.
Ejemplo: El jefe de ventas de un centro óptico de la ciudad anotó el Material y tamaño de las monturas de gafas de las 100 ultimas ventas. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
112
TABLA 4.3 Ventas realizadas por un Centro Óptico. Material de la montura Plástico Metal Carbón
Tamaño Grande Mediano Pequeño Total
12 23 6 41
8 31 6 45
Total
5 1 8 14
25 55 20 100
La 4.3 tabla nos muestra nueve celdas, tres en sentidos horizontal para el material y tres en sentido vertical para el tamaño. Los totales de cada categoría se muestran al final de cada fila o columna; los valores del margen derecho indican los totales de cada material; por ejemplo 20 de las últimas monturas eran pequeñas, se vendieron 14 monturas de carbón en total. La cifra de cada celda indica el número de observaciones perteneciente a ambas categorías, la primera celda muestra que 12 de las 100 monturas eran grandes y de plástico o de las 41 monturas de plástico 12 eran grandes o de las 25 monturas grandes 12 eran de plástico. El valor de cada celda indica la frecuencia conjunta de Material y Tamaño. Si dividimos el valor de cada celda entre el número total de observaciones se tiene una tabla de probabilidades, como se muestra a continuación.
TABLA 4.4 Probabilidades de Ventas del Centro Óptico Tamaño
Material de Montura Plástico Metal Carbón
Grande Mediano Pequeño
12/100=0.12 23/100=0,23 6/100=0.06
Total
41/100=0.41
8/100=0.08 31/100=0,31 6/100=0,06 45/100=0,45
5/100=0.05 1/100= 0,01 8/100= 0,08
Total 25/100=0.25 55/100=0,55 20/100=0,20
14/100=0,14 1,00
El valor de cada celda de una tabla de probabilidades es la probabilidad conjunta de ambos sucesos, tamaño y material (Tamaño Material).La probabilidad de vender una montura de Carbón Grande es: P(CG)=0.05=5% Probabili dad Conj unta: es la probabilidad de que dos o más sucesos
ocurran a la vez
Los valores de los márgenes inferior y derecho indican las probabilidades marginales. La probabilidad marginal de una montura pequeña es del 20% y la de la montura de carbón es del 14%. : es la probabilidad de ocurrencia de un solo Suceso. Probabil idad M argin al
113
Con estas tablas de probabilidades también se pueden calcular las probabilidades condicionales, por ejemplo si quisiéramos determinar la probabilidad de venta de una montura grande sabiendo que es de plástico se tiene: P (G/P) = P(G P) / P(P). El valor de P(GP), es la probabilidad del suceso conjunto grande y de plástico y en la primera celda de la tabla 4.4 puede verse que es 0.12. Como el 41% de Todas las monturas eran de plástico, según la probabilidad marginal (Primera columna de la Tabla 4.4) P(G / P) = 0.12/0.41=0.2926.
Ejemplo: Supongamos que se esta interesado en calcular la probabilidad de vender gafas con montura grande de plástico. Solución: Tamaño y material son dependientes, porque el porcentaje de monturas grandes de plástico es diferente del de monturas pequeñas o medianas que son de este material. Es decir, de las 25 monturas grandes 12, o el 48% fueron de plástico. En cambio de las 55 monturas de tamaño mediano, 23, o sea el 42% fueron de plástico. Como la probabilidad de que una montura sea de plástico depende del tamaño, deberemos considerar si una montura es grande al determinar la probabilidad de que sea de plástico. Luego P(GP) = P(G)P(P/G)= 25/100 x 12/25 = 12/100.
ÁRBOLES DE PROBABILIDADES Los árboles de probabilidades también nos pueden ayudar en el cálculo de probabilidades de varios sucesos conjuntos. Un árbol de probabilidades o diagrama de árbol indica todas las probabilidades asociadas a un conjunto completo de sucesos específicos. Una vez diseñado el árbol, podemos seleccionar de él cualquiera de las probabilidades que deseemos. A continuación se hace el diseño del árbol de probabilidades del centro óptico:
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Diagrama de Árbol del centro óptico
GRAFICO
ACTIVIDAD 1. Un agente de bolsa de Santafé de Bogotá sabe que solo el 20% de los clientes que llaman desean realizar alguna operación. Los demás únicamente desean conseguir información. Si llaman 8 clientes ¿Cuántos se espera que realicen alguna transacción? 2. De una lista de 12 valores con buena perspectiva a medio plazo y 17 valores con buena renta, un analista he de elegir 2 para su cliente ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los dos sean valores con buena perspectiva a medio plazo b) El primero sea un valor con buenas perspectivas a medio plazo y el segundo un valor con buena renta. c) Uno sea un valor con buena perspectiva a medio plazo y el otro un valor con buena renta. 3. Su agente de Bolsa le ofrece una solución de inversiones de ocho valores con buena retribución, siete valores con buena perspectiva de crecimiento y 10 emisiones de bono. Si tiene que elegir tres al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cada inversión sea diferente? 4. Los Ficheros de Erac, Icn; indican que el 60% de las ventas se realizan a clientes antiguos. El 70% de las veces estos clientes antiguos compran a crédito. Los
115
clientes nuevos compran a créditos solo el 20% de las veces. Si a crédito,
un cliente compra
a) Cuál es la probabilidad de que el Cliente sea nuevo b) Cuál es la probabilidad de que el cliente sea antiguo 5. Una fábrica tiene 3 máquinas M1, M2, M3 cuya producción son 60%, 30%, 10% respectivamente. Cada máquina produce cierto porcentaje de artículos defectuosos, M1=2%, M2=3%, M3=4% de la producción total. Si selecciona un artículo al azar, calcular la probabilidad de que sea defectuoso. 6. Suponga que en el ejercicio 6 se selecciona un articulo al azar y se encuentra es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el articulo seleccionado sea producido por la maquina dos? 7. Un inversionista tiene oportunidad de invertir en 3 de 5 tipos de acciones. El inversionista desconoce que sólo 2 producen beneficios. Si se seleccionan las acciones al azar, cuál es la probabilidad de que se seleccionen los dos que producirán beneficio. 8. Una placa de carro contiene una o dos letras y cuatro números. número total de places que se pueden formar.
Encuentre el
9. Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos, los tubos se prueban uno por uno hasta encontrar los defectuosos. Cual es la probabilidad de encontrar el último tubo defectuoso: a) ¿En la segunda prueba? b) ¿En la tercera prueba? c) ¿En la cuarta prueba? 12. Un departamento de compra encuentra que el 75% de sus pedidos especiales se reciben a tiempo. De los pedidos que se reciben a tiempo el 80% cumplen totalmente las especificaciones; de los pedidos que llegan con retraso el 60% cumplen las especificaciones a) Encuentre la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo y cumpla con las especificaciones b) Construya una tabla o árbol de probabilidades para esta situación c) Encuentre la probabilidad de que un pedido cumpla con las especificaciones 13. Se hacen 2 inversiones de 100 dólares en dos proyectos. Se supone que el proyecto A va a producir un rendimiento de 8, 10 o 12 dólares con probabilidades respectivas 0,2; 0.6 y 0.2 se supone que el proyecto B va a producir una ganancia de 8, 10 o 12 dólares con probabilidades respectivas 0.3; 0.4 y 0.3 además se supone
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que la ganancia de ambas inversiones son independientes entre si. ¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia total sea de 20 dólares exactamente? 14. Una fábrica produce artículos idénticos en dos líneas de montajes. Dos quintas partes de la producción se realizan en una vieja línea, de los cuales el 10% de los productos se rechazan por mala calidad; las otras 3 quintas partes se fabrican en una línea moderna de la que solamente el 4% resulta rechazada ¿Cuál es la probabilidad de que un producto rechazado haya provenido de la línea de montaje vieja?
RESUMEN Probabilidad: Es la verosimilitud numérica de que ocurra un suceso incierto. El proceso que da lugar a un suceso se llama Experimento. Experimento: Es cualquier proceso planteado (bien definidos) que da lugar a observaciones precisas o a recolección de datos. Un experimento aleatorio es un proceso que puede concretarse en al menos dos resultados posibles, con incertidumbre en cuanto a cuál de ellos tendrá lugar.
Un evento o suceso del espacio muestral es un grupo de resultados contenidos en este cuyos miembros tienen una característica común Axiomas de probabilidad: Sea E un experimento y S el espacio muestral asociado con E. Con cada evento (suceso) A asociamos un número real designado P(A) llamado probabilidad de A el cual satisface las siguientes condiciones: 1° P(A) 0 2° P(S) = 1 3° Si A y B son eventos mutuamente excluyentes P(AUB) = P(A) + P(B) 4° Si A1,A2,A3,........., A n son eventos que se excluyan mutuamente de par en par, entonces: Ai P ( A1 ) P ( A2 ) .......... .. P ( An ) .......... .... 11 Número de exitos Definición Clásica de la probabilidad P
P ( A)
,
Número de casos posibles
Permutaciones Conjunto de elementos en que la composición y el orden son importantes Conjunto de elementos en que la composición y el orden no tiene C importancia. .
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Regla de la suma: se utiliza para hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o que ocurra el evento B, es decir A o B, esto equivale a encontrar P(AUB). Esta probabilidad esta dada por: P ( AUB) = P (A)+ P (B) – P(AB) Probabilidad condicional: Sean A y B dos sucesos, la probabilidad condicional del suceso A, dado el suceso B, denotado P(A/B) y leído probabilidad de A dado B, se define como: P ( A / B)
P ( A B ) P ( B)
, con P(B) 0 .
Regla del producto: Sean A y B dos sucesos, la probabilidad de la intersección esta dada por P(AB) = P(A/B)P(B) P(AB) = P(B/A)P(A) si A y B son eventos independientes, P(A B) = P(A)P(B)
Teorema de Bayes: P ( B / A)
P ( B) PA( A / B ) P ( A)
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