ESTADISTICA GENERAL
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
ASIGNATURA ESTADÍSTICA GENERAL CICLO III Y IV
MÓDULO DE PROBABILIDAD Y
AUTOR: MG. HUGO VICUÑA SALVADOR Estimados ALUMNOS: Estimados ALUMNOS: En el marco destinada a los ALUMNOS del nivel En el marco destinada a los ALUMNOS del nivel CHIMBOTE - 2009 SUPERIOR, de todas las Escuelas Profesionales se hace SUPERIOR, de todas las Escuelas Profesionales se hace importante trabajar un tema útil e indispensable en la labor importante trabajar un tema útil e indispensable en la labor del FUTURO PROFESIONAL y el curso de ESTADÍSTICA del FUTURO PROFESIONAL y el curso de ESTADÍSTICA GENERAL esta relacionado con las ESTADÍSTICA INFERNCIAL GENERAL esta relacionado con las ESTADÍSTICA INFERNCIAL Aprendizajes Y LAS PROBABILIDADES. esperados Y LAS PROBABILIDADES. En esta oportunidad abordaremos el estudio de Las SEMESTRE ACADEMICO 2009-I En esta oportunidad abordaremos el estudio de Las Mg.HERMILIO HUGOPROBABILIDADES VICUÑA SALVADOR y SUS APLICACIONES, asimismo se PROBABILIDADES y SUS APLICACIONES, asimismo se presentan casos prácticos de la vida real con la finalidad de presentan casos prácticos de la vida real con la finalidad de tomar decisiones razonables de acuerdo a un análisis de
datos.
.
ESTADISTICA GENERAL
Toma decisiones pertinentes frente a fenómenos aleatorios usando Probabilidad
PROBABILIDAD La Probabilidad nos enseña a determinar el grado de certeza de que La Probabilidad nos enseña a determinar el grado de certeza de que pueda ocurrir o no un suceso o evento a partir de un experimento aleatoria pueda ocurrir o no un suceso o evento a partir de un experimento aleatoria con la finalidad de obtener conclusiones válidas y tomar decisiones con la finalidad de obtener conclusiones válidas y tomar decisiones razonables. razonables.
SEMESTRE ACADEMICO 2009-I Mg.HERMILIO HUGO VICUÑA SALVADOR
ESTADISTICA GENERAL
PROBABILIDAD EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene el resultado de una observación. Experimento Deterministico.- Cuando el resultado de la observación es determinado en forma precisa. Ejemplo: 1. Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde. 2. Soltar una piedra en el aire.
2M 1 Mc
3M
c
→ ccc
s
→ ccs
c
csc →
s
css →
c
scc →
s
→ scs
c
→ ssc
s
→ sss
c s
• c s s
6. Si lanzamos 2 dados al mismo tiempo Hallar EM
Experimento Aleatorio (EA).- Cuando los (1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6), (2,1), ( 2,2), (2,3) resultados de la observación no se pueden ( 2,4), (2,5), ( 2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) predecir con exactitud, antes de realizar el ( EM = experimento. Ejemplos: ( 4,1), (4,2), ( 4,3), ( 4, 4), ( 4,5), ( 4,6), (5,1), (5,2), (5,3) 1. EA: Resultado del examen final en el (5, 4)(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) curso de estadística por parte de un estudiante. 2. EA: Resultado del lanzamiento de una moneda. Evento.- Es cada resultado del 3. EA: Lanzar un dado y ver el número experimento aleatorio o una combinación aparece en la cara superior. de resultados además son subconjuntos de un espacio muestral. Espacio Muestral.- Es el conjunto de Ejemplo: Sea el exp: Lanzar una moneda todos los resultados posibles de un EA. dos veces. Determinar los siguientes Ejemplos: eventos. 1. EM = {A, D} A1: Ocurre cara en el primer lanzamiento. 2. EM = {C, S} A2: Ocurre sello en el segundo 3. EM = {1,2,3,4,5,6} lanzamiento. 4. EA = Si lanzamos 2 monedas al mismo A3: Ocurre por lo menos una cara. tiempo; Hallar el EM. A4: Ocurre los mismo en ambos EM = {cc, cs, sc, ss} lanzamientos. Solución Método del Árbol EM = {CC, CS, SC, SS} los eventos c cc son: c s cs A1 = {(c,c),(c,s)} A2 = {(c,s),(s,s)} A3 = {(c,c),(c,s), (s,c)} c sc s A4 = {(c,c),(s,s)} =
=
•
=
s
= ss
5. EA: Si lanzamos 3 monedas al mismo tiempo. Hallar EM EM = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} Por el método del árbol es:
Tipos de Eventos A) Evento Seguro (U).- De todas maneras debe ocurrir B) Evento Imposible ( ).- Es el evento que no va a ocurrir.
ESTADISTICA GENERAL _
C) Evento Complementario ( A ).- Si A es un evento del espacio muestral, se llama complemento del evento A, al evento que ocurre si A no ocurre. D) Eventos Mutuamente Excluyentes.- Dos o mas eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos anula la ocurrencia de los demás. Ejemplo: Selección de un profesor de la universidad “x” según categoría docente. EM = {Principal, Asociado, Auxiliar, A1 A2 A3 Jefe de Practica} A4 Los 4 son mutuamente excluyentes, porque al seleccionar un docente, anulando el resto de los eventos. Eventos Independientes.- Dos eventos son independientes si ambos no tienen ninguna relación entre si. Ejemplo: Sean los eventos X = 1er alumno apruebe el examen de Estadística Y = 2do alumno apruebe el examen de Estadística X e Y son independientes porque al ocurrir el vento x, este no influye para que el vento Y ocurra. Probabilidad.- Es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente pueden ocurrir. Tipos de Probabilidad A) Probabilidad Clásica o Apiori.Es posible conocer el resultado con anterioridad, es decir sin llevar a cabo el experimento y sólo basado en un razonamiento lógico. Formula: P(A)=___Casos Favorables__ Total de Cosas Posibles Ejemplo 1: Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda. Solución
EM = {c, s} A1 = {c}
P(A) =
1 2
= 50%
Ejemplo 2: Hallar la probabilidad de obtener el nº 2 en el lanzamiento de un dado. Sol. EM = {1,2,3,4,5,6}
P(B) =
1 6
= 0.17 = 17%
Ejemplo 3: Hallar la probabilidad de obtener al menos un sello en el lanzamiento de 2 monedas. Sol. EM = {cc, cs, sc, ss}
P(A) =
3 =
75%
4
Ejemplo 4: Hallar la probabilidad de obtener 2 caras y 1 sello en el lanzamiento de 3 monedas. Sol. EM = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}
P(A) =
3 8
=
0.375 = 37.5%
Ejemplo 5: Si lanzamos 2 dados ¿Cuál es la Probabilidad de obtener, a) la suma sea igual a 7? b) Que la suma sea ≤ 6? c) Que la suma sea > 8?
B) Probabilidad
de Frecuencia Relativa o A posteriori.- Se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento, al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos. P(A) = Nº de veces que ocurre el evento A Nº total de veces que se repito el exp.
Axiomas básicos i) P(A) > 0 ii) 0 < P(A) < 1 iii) P(EM) = 1 iv) P( )= 0
Ejemplo En una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de Lima
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cuadrada, se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de su trabajo. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante, este haya sido despedido de su trabajo. Solución P(B) =
325 500
= 0.65 = 65%
Ejemplo: De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la Probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis Solución
1. Regla de la Suma de Probabilidades A) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes la Probabilidad de ocurrencia de A o B es: P(AUB) = P(A) + P(B) P ( A ∩ B ) = φ
A
B
Ejemplo: De 200 niños examinados por una nutricionista se encontró que 80 padecían de desnutrición leve; 50 padecían de desnutrición (crónico) y 70 normales. Si de los niños examinados se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que padezca de desnutrición leve o crónica? Solución
2. Regla sobre Probabilidad Condicional Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la aparición previa de otro. Su formula es: P ( B A)
B) Si los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o B es: P(AUB) = P(A) + P(B) - P ( A ∩ B) Gráficamente P(A ∩ B) = Ø
=
P ( B
∩ A)
P ( A)
si P(A) ≠ 0
Ejemplo: En una comunidad se llevó a cabo una encuesta a 600 familias para determinar si la leche subsidiada por el estado es consumida por la población de bajos recursos. Los resultados son; 420 familias perciben ingresos igual o por debajo de IMV, 70 familias solo consumían leche subsidiada por el estado y 30 familias de las que perciben IMV, consumían leche subsidiada por el estado. Si se selecciona una familia al azar ¿Cuál es la probabilidad de que esta familia consuma leche subsidiada, dado que perciben ingresos iguales o inferiores al IMV. Solución
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B)
3. Regla de la Multiplicación de Probabilidad Se utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultáneamente de dos eventos A) Si los eventos A y B son dependiente: Su fórmula es:
Si los eventos A y B son independiente: Se debe cumplir P(B/A) = P(B) P(A∩B)= P(A). P(B) Ejemplo: En la urbanización “Los Pinos” la probabilidad de que una persona sea mayor de 18 años de edad es de 45% y la probabilidad de que consuma carne es de 15% y la probabilidad de que consuma carne, dado que es mayor de 18 años de edad es de 15%. Si seleccionamos una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma carne y tenga más de 18 años de edad? Solución
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B / A)
Ejemplo: En un estudio se encontró que la probabilidad deque se incremente el empleo en el asentamiento humano “X” es de 35%, de que se incremente el consumo de artículos de 1era necesidad es de 5% y el incremento el consumo de artículos de 1era necesidad dado el incremento del empleo, es de 10% ¿Cuál es la probabilidad de que se incrementa el empleo y el consumo de artículos de 1era necesidad? Solución
ACTIVIDAD Nº 09
1.- Sean los eventos A, B y C B
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A 50 10 40 8 12 14 C 60
10
a) Hallar P(AUBUC) b) Hallar P(B/C); P(A/C)
56 11 66 12 20
80
C
a) Hallar P(AUBUC) b) Hallar P(B/C); P(A/B)
2.-Sean los eventos A, B y C 4.- Sean los eventos A, B y C A
B 55 12
45
12 1114 65
C
a) Hallar P(AUBUC) b) Hallar P(B/A); P(A/C)
A
B 55 14 48 10 15 C 70
a) Hallar P(AUBUC) b) Hallar P(C/B); P(C/A)
3.- Sean los eventos A, B y C B A
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
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DISTRIBUCIÓN NORMAL.- Es la más importante en todo el campo de la Estadística, así como en las industrias, científicos y en la vida diaria. Una variable aleatoria continúa x, se dice que está distribuida normalmente, con media μ y varianza σ2; si su función de densidad de Probabilidad está dado por:
y -∞ < x < ∞, π = 3.1415; e = 2.7182
2) Obtener el área para –1.96 ≤ puntos son simétricos: Sol:
≤ 1.96 los
P (–1.96 ≤
≤ 1.96)
= 0.950
2) Conocido el área Hallar Ej.: Hallar tal que P ( ≤ 0) = 0.9382 Sol.: Según tabla de D. N.
= 1.5 + 0.04 0 = 1.54
Su grafica es:
0
1)
2) P (a ≤ x ≤ b) = Área bajo la curva normal entre a y b es:
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Se puede convertir esta escala real a una relativa o estandarizada, mediante la variable normalizada donde : =x
2 – μ; x n (μ, σ ) σ x = algunos valores de interés
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR a) P ( > 0) = 1 – P ( ≤ Su gráfico es:
b) P ( < - 0) = 1 – P ( ≤ Su gráfico es:
c) P ( > - 0) = 1 – P ( < Su gráfico es:
)
0
)
0
)
0
x n (μ, σ2) Por ejemplo n (0, 1), μ=0, σ = 1
USO DE LA TABLA NORMAL ESTÁNDAR
d) P ( 0 ≤ ≤ Su gráfico es:
)=P( ≤
1
)–P( ≤
1
La tabla ayuda a resolver 2 problemas. 1) Conocido hallar el área: a) P ( < 0) b) P (– 0 ≤ ≤ 0) Ejemplo: obtener el área para •
< 1.25. Solución
P ( < 1.25) = 0.8944 Según tabla de DN
Ejemplos: Graficar: 1) Hallar P ( > 2.32) 2) Hallar P ( < - 0.03) 3) Hallar P ( > - 1.30) 4) Hallar P (- 2.05 ≤ ≤ 1.36) 5) Hallar P (2.58 ≤ ≤ 3.32)
)
0
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Distribución de la D. N. E
Las ventas diarias en un restaurante tiene una distribución de Probabilidad que es aproximadamente normal con media igual a $ 530 y una desviación estándar de $ 120. ¿Cuál es la Probabilidad de que las ventas excedan de $ 700 en un día dado? Solución: Variable aleatoria X :
x n ( , σ2)
Entonces: X n (530, 14400) donde μ = $ 530; σ = $ 120
constante t0 = t1 - α es decir: P (T ≤ t 1 -α) = 1 – α Su gráfica es: Ejemplos: 1) Si T t18 Hallar: a. P (T < 2.101) d. P (T > - 1.330) b. P (T > 1.330) e. P (-2.101
P (X > 700) = P ( X - μ > 700 - μ )
σ
σ
P ( > 700 – 530) P ( > 1.42) = 120 = 1 – P ( ≤1.42) = 1 – 0.9222 = 0.0778 D. N. G. D. N. E.
DISTRIBUCION CHI – CUADRADO
Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución Chi – Cuadrado con V – grados de Libertad, si su función de Densidad es: ; X ≥ o Notación: ;X<0
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Se dice que una variable T tiene una distribución t de Student con V grados de libertad, si su función de densidad de Probabilidad esta dada por: ;tЄR v = 1, 2, ... Se denota como T to Su gráfica es:
Uso de la Tabla t Student: Calcular la probabilidad que la variable aleatoria t tome valores menores o iguales a una
USO DE LA TABLA CHI – CUADRADO
La probabilidad que la variable aleatoria X tiene una distribución X02 (1 ≤ v ≤ 30) sea menor o igual a un valor constante. X02 = X21-α representado por: P(X ≤ X21-α, v) = 1 - α, además no existe simetría es desde X02 = 0 hasta X02 α Su gráfica es: Ejemplos: 1) Si X X202 Hallar: a) P (X ≤ 28.4) b) P (X ≥12.4) c) P (12.4 ≤ X ≤ 28.4) d) P (15.5 ≤ X ≤ 34.2) ACTIVIDAD Nº10
ESTADISTICA GENERAL
1.-Las ventas diarias en un restaurante tiene una distribución de Probabilidad que es aproximadamente normal con media igual a $ 630 y una desviación estándar de $ 140. ¿Cuál es la Probabilidad de que las ventas excedan de $ 800 en un día dado? Desarrollo Variable aleatoria X :
x n ( , σ2)
3.- Las ventas diarias en un restaurante tiene una distribución de Probabilidad que es aproximadamente normal con media igual a $ 700 y una desviación estándar de $ 120. a) ¿Cuál es la Probabilidad de que las ventas excedan de $ 850 en un día dado? b) ¿Cuál es la Probabilidad de que las ventas estén entre $ 620 y $ 880 en un día dado? Desarrollo
Entonces: X n (630, 19600) donde μ = $ 630; σ = $ 140 P (X > 800) = P ( X - μ > 800 - μ ) σ σ P ( > 800 – 630) = 140
2.- El promedio de las alturas de 800 alumnos de una unidad escolar es 1.50mt y la desviación estándar es 0.30mt, asumiendo que las alturas están normalmente distribuidas, encontrar cuántos alumnos miden: a) Entre 1.30m y 1.70m. b) más de 1.65m. Desarrollo
4.- Los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con medias 65.3 kgs. Y desviación estándar 5.51 kgs. Encuentre el número de paquetes que pesan: a) Entre 60 y 70kgs. b) más de 63.2 kg. Desarrollo
PRUEBA DE HIPOTESIS
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Definición.- Se toma una muestra de una población, con el fin de aceptar o rechazar una hipótesis respecto a la población; bajo un procedimiento estadístico. Hipótesis.- Afirmación de que algo es verdadero. Hipótesis Nula (Ho).- Es la hipótesis que se quiere probar.
Ho : θ = θ0 H1 : θ > θ0
Hipótesis Alternativa (H1).- Es una suposición contraria a la que se quiere probar y es aceptada en el caso de que la primera sea rechazada.
Ejemplo:
Ejemplos: Hallar H o y H1 1) La altura media del estudiante Vallejiano es de 1.6 m 2) El tiempo de vida promedio de una determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras es de 20000 horas. 3) El porcentaje de personas atacadas por cierta epidemia, es no más del 10% 1)
2)
3)
B) Prueba de la cola superior o del lado derecho, las hipótesis son: Ejemplo:
1)
Ho : μ = 1.60 m H1 : μ > 1.60 m 2)
3)
Ho : p = 0.10 H1 : p > 0.10
2) Prueba de dos colas o bilateral las hipótesis son: Ho : θ = θ0 H1 : θ ≠ θ0 Ejemplos:
Ho: μ = 1.60 m H1:μ >1.60 m o H1:μ<1.60 m o H1:μ≠<1.60 m Ho: μ = 20000 hrs H1: μ ≠ 20000 hrs; H 1:μ<20000 hrs ó μ>20000 hrs Ho: μ : p ≤ 0.10 H1: μ : p > 0.10 PRUEBAS UNILATERALES Y BILATERALES
1) Prueba Unilateral o de una cola A) Prueba de Cola inferior o del lado izquierdo; las hipótesis son: Ho : θ = θ0 H1 : θ < θ0
1)
Del ejemplo anterior: Ho : μ = 1.60 m Ho:μ = 20000 hrs 2) H1 : μ < 1.60 m H1:μ < 20000 hrs
Ho:μ = 20000 hrs H1:μ > 20000 hrs
1)
Ho : μ = 1.60 m H1 : μ ≠ 1.60 m 2)
Ho:μ = 20000 hrs H1:μ ≠ 20000 hrs
TIPOS DE ERRORES Al realizar una prueba de hipótesis no sabemos si en una determinada acción (rechazo o aceptación de la hipótesis nula) cometemos un error o no. Tenemos dos tipos de errores. Error tipo I.- Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Error tipo II.- Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
Tabla de Hipótesis según tipo de error:
DECISIÓN Aceptar Ho
Estado de la Naturaleza Ho Verdadera 1–α Decisión correcta
Rechazar Ho
α
(aceptar H1)
Error tipo I
Ho Falsa β error tipo III 1–β decisión correcta
ESTADISTICA GENERAL
Nivel de Significación (α).- Se denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer un error tipo I. α = P ( ETI ) = P [Rechazar H / H es verdadera] α = P ( ETI ) = P [Aceptar H / H es falsa] 1
1
La probabilidad de cometer un error tipo II se representa por B, es decir: β = P ( ETII ) = P [Aceptar H / H es
falsa]
β = P ( ETII ) = P [Rechaza H 1 / H 1 es
verdadera] Región Crítica o Región de Rechazo.- Es la región que contiene a los valores para los cuales se rechaza la hipótesis H y se denota por RC o RR. Región de aceptación.- Es la región que contiene los valores para los cuales no se rechaza H , es decir H es aceptada. Se denota por R.A. Graficando tipo de prueba ubicando RA y RR Prueba de cola izquierda.- Si la región de rechazo esta a la izquierda del punto critico C.
1-α
α RR
RR RA RR Los niveles de significancia más usados son: α = 0.05 y 0.01 Pasos de una prueba de Hipótesis 1.- Formulación de la hipótesis H y H de acuerdo a la probabilidad. 2.- Especificación del nivel de significación. 3.- Selección de la estadística de prueba. 4.- Establecimientos de los criterios de decisión. 5.- Realización de cálculos. 6.- Toma de decisiones. 1
Prueba de hipótesis sobre una media poblacional Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida.- Cuando σ 2 es conocida y el tamaño de muestra es “grande” y la estadística de prueba a considerarse es:
σ
1-α
Prueba de dos colas.- Si la región de aceptación es un intervalo cerrado entre los puntos critico C y C 2
X − µ σ
6 −5 1
RA
=0.05
α
Ζ =
Ζ =
α RR
n (0,1)
Dado x =6; σ = 1 y η =4 pruebe la µ α =0.05 =5 Si el nivel de significancia es: Solución: H : µ = 5 H : µ 5 1
RA
4
1
=1
η
=2
2
n (0,1)
, 2 ∈ RC
H Se rechaza ó sea que
µ
5
Gráficamente
1
1-α
η
Ejemplo 1:
Prueba de cola derecha.- Si la región de rechazo esta a la derecha del punto critico C.
α/2
X − µ
Ζ =
0.95
. RA
α/2 Ejemplo 2:
0.05 Z= 1.65 RR
ESTADISTICA GENERAL
En una prueba de aptitud académica, las personas que han concluido sus estudios secundarios deberían tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por una investigación anterior sobre el caso, su σ era de 8,6 puntos y si 45 personas que concluyeron estudios secundarios son elegidos al aleatoriamente y alcanza un promedio de 73.2; pruebe la hipótesis: µ = 76.7 contra la hipótesis alternativa de que ν 76 .7 , con un nivel de significancia de 0,01. Solución: H : µ = 76.7 ptos α = 0.01 H : µ 76.7 ptos 1 −α = 0.99 1 Ζ =
x − µ
σ
Ζ =
Cuando no se conoce la varianza poblacional .- En este caso el procedimiento es el mismo, solo cambia la estadística por: t =
x − µ
; t(n-1) (t de studen con n-1
s
n(0,1)
η
grados de libertad)
η
73.2 − 76 .7 8 .6
Caso B:
45
∈ RR ( H
Ζ = −2.73
Ejemplo 1:
= −2.73
se rechaza y
se acepta H ) 1
Grafica RR 0.1
RA 0.99
Z=-2.33 Ejemplo 3:
De una población normal, constituida por la edad de 500 personas adultas que participan en un programa de lucha contra la drogadicción, se extrajo una muestra aleatoria de 16 edades. Se sabe que la σ = 10 años, pero suponemos desconocida la media. Con α = 0.05 ; pruebe la hipótesis de que la media poblacional es igual a 49 años.
Un estudio relativo a 28 familias de la urb. Laderas arrojó un ingreso familiar medio durante 2001 de S/. 6548.00 con σ de S/. 6000.00, frente a la alternativa de que no fue S/. 6000.00, use un nivel de significancia del 5%, s = S/.952.00 Solución: H : µ = S / .6000.00 H : µ ≠ S / .6000.00 1
X = S / .6548.00
α = 0.05
s = S/.952.00
n=28 t =
x − µ s
η
⇒
t
=
6548 − 6000 952
28
=
3.07
Como el pto 3,07 ∈ RR ⇒ se rechaza es decir µ ≠ S / .6000.00
Las muestras son: RR Solución:
RA
RR
62 43 60 49 72 56 45 46 37 56 41 43 36 45 56 49
H
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0.025
0.95
t = -2.052
0.025 t = 2.052
Ejemplo 2:
En una muestra aleatoria de 10 sacos de arroz extra, se obtuvo: X =9.4kg . con S =1.8kg . ¿contiene esta muestra suficiente evidencia para indicar que el peso medio es menor que 10 Kg. de arroz, a un nivel de significancia de 0.10?
Se realizó una encuesta con el fin de estudiar las prácticas sanitarias dentales y las actitudes, de cierta población, de 300 adultos entrevistados, 123 dijeron que regularmente se sometían a una revisión dental dos veces al año. Pruebe la hipótesis nula para P= 0.50 Solución: Si α no indico ⇒ elegimos α = 0.05
H : P = 0.50 H : P ≠ 0.50 1
n=300 (es una muestra grande)
Solución P =
P − P 123 = 0.41 ⇒ Ζ = 300 P (1 − P ) / η
Ζ =
0.41 − 0.50 0.50(1 − 0.50) / 300
= −3.12
Decisión:
0.025 - 1.96 RR
0.95 RA
0.025 1.96 RR
se rechaza y se puede concluir por tanto que el 50% de la población no se hace una revisión dental dos veces al año. H
Prueba de hipótesis para la proporción poblacional: P La prueba de hipótesis acerca de la proporción “P” de elementos con cierto atributo en una población y es de la forma: H : P ≠ P
H : P = P H : P P 1
ó H 1 : P P
Su formula es: Ζ =
P − P P (1 − P ) / η
Donde P= pˆ =
x η
(Proporción muestral ); n (0,1) si n≥30
Ejemplo 2:
El porcentaje de artículos buenos producidos por un cierto proceso es solo el 90%. Se elige una muestra aleatoria de 625 artículos en un cierto momento y se encuentran que 550 son buenos. Si usted desea rechazar una hipótesis verdadera no más de una vez en 100 ¿concluiría que el porcentaje de artículos buenos producidos por el mencionado proceso es exagerado? Solución:
Ejemplo 1: Ejemplo 3:
ESTADISTICA GENERAL
Los directivos de un determinado programa de televisión pretenden modificar si, por lo menos, un cuarto de los que tienen Tv. No ven el programa regularmente. Una investigación encomendada a una especialización mostró que de 400 familias entrevistadas, 80 ven el programa regularmente. En base a estos datos ¿Cuál debe ser la decisión de los productores? α
=
5%
Solución:
2.-Se ha dado la siguiente información H0 : U ≤ 10 H1 : U > 10 La media muestral es 12 y el tamaño de la muestra es 36. La desviación estándar de la población es 3. Utilice el nivel de significancia de 0.02. 3.-Una muestra de 36 observaciones se selecciona de una población normal. La media muestral es 21 y la desviación estándar de la muestra es 5. Efectúe la siguiente prueba de hipótesis utilizando el nivel de significancia de 0.05. H0 : U ≤ 20 H1 : U > 20 4.-Una muestra de 64 observaciones se selecciona de una población normal. La media muestral es 215 y la desviación estándar de la muestra es 15 realice la siguiente prueba de hipótesis utilizando el nivel de significancia de 0.03. H0 : U ≥ 220 H1 : U < 220
ACTIVIDAD Nº 11
Para los ejercicios del 1al 4 responda a las siguientes preguntas: a) ¿Es ésta una prueba de una o dos colas? b) ¿Cuál es la regla de decisión? b) ¿Cuánto vale la magnitud estadística de prueba? d) ¿ Cuál es su decisión respecto a H 0 e) ¿Cuál es el valor de p? interprete el resultado. 1.-Se ha dado la siguiente información H0 : U = 50 H1 : U ≠ 50 La media muestral es 49 y el tamaño de la muestra es 36. La desviación estándar de la población es 5. Utilice el nivel de significancia de 0.05
5.-La gerencia del banco de crédito está planeando basar los cargos a las cuentas corrientes en el saldo diario promedio, el gerente de cuentas preferenciales desea probar la hipótesis de que las cuentas tienen un promedio de $ 312.00 . Selecciona una muestra de 200 cuentas, dando una media de $ 298.10 con s= $ 97.30 con α = 0.01
6.- En una reunión informativa para una oficina corporativa, el gerente del hotel Presidente de Chimbote, reportó que el número promedio de habitaciones alquiladas por noche es de por lo menos 212. Es decir U ≥ 212. Uno de los funcionarios corporativos considera que esta cifra puede estar algo sobrestimada. Una muestra de 150 noches produce una media de 201.3 habitaciones y una desviación estándar de 45.5 habitaciones. si estos resultados sugieren que el gerente
ESTADISTICA GENERAL
ha inflado su reporte será amonestado severamente. A un nivel de 1% ¿ Cuál es el destino del Gerente.? 7.- Una encuesta realizada por la Asociación Nacional de Estudiantes Colegiados mostró que los estudiantes de las universidades de la nación gastan en promedio más de $75.00 mensuales en entrenamiento. Si usted puede hallar evidencias para confirmar esta afirmación, podría utilizarla para solicitar a su casa ayuda monetaria adicional. De los 100 estudiantes que tomo como muestra usted halla una media de % 80.23 con una desviación estándar de $45.67 ¿ A un nivel de significancia del 2%, se encuentra justificación para la solicitud? 8.- Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis de que las ventas por mes promedian $12000. Diez meses seleccionados como muestra reportan una media de $ 11277 y una desviación estándar de $ 3772. Si se utiliza el valor α del 5%. ¿ Qué puede concluir acerca de la impresión que tiene el distribuidor sobre las condiciones del negocio? 9.-Una encuesta realizada en 1982 reveló que el 78% de quienes respondieron consideraron que estaban mejor financieramente que sus padres. Una encuesta mas reciente encontró que 370 de las 500 personas quienes respondieron pensaron que sus fortunas financieras eran mejores que la de sus padres. ¿Esto sugiere un descenso en la proporción de personas que consideran que están financieramente más estables de lo que estaban sus padres? Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 1%. 10. Los directi8vos de un programa de televisión pretender modificar si, por lo menos, un cuarto de los que tienen televisor no ven el programa regularmente. Una investigación encomendada a una empresa especializada mostro que, de 400 familias entrevistadas, 80 ven el programa regularmente. En base a estos datos
¿Cuál debe ser la decisión de los productores? Α = 5% 11.-de una lista de 2000 Clientes de un Banco Comercial se seleccionó una muestra aleatoria para obtener opinión acerca del servicio. En la muestra se halló que 215 no tenían quejas del servicio, 25 tienen quejas y 10 no opinan al respecto. Tradicionalmente el 5% tenían quejas del servicio, sin embargo se cree que ahora este porcentaje aumentó. ¿Cuál es la situación actual si se quiere una probabilidad de 0.05 de cometer error de tipo I? 12.-En la industria cervecera, los salarios mensuales, siguen una distribución normal con media de $ 600.00 y la desviación estándar $ 40.00. Una compañía cervecera, que emplea a 44trabajadores, les paga un promedio de $ 550.00 al mes. Al nivel de significación del 0.01, se puede decir que la compañía , paga salarios inferiores en el medio.? 13.-en un experimento realizado con un nuevo tranquilizante, se determinó el pulso cardiaca de 12 pacientes antes de administrárseles y una vez más cinco minutos después, se descubrió que su pulso cardiaco se redujo en promedio en 7.2 pulsaciones, con una desviación estándar de 1.8 .Suponiendo que las pulsaciones tienen un nivel de significación de 0.05 se puede concluir que el promedio este tranquilizante reducirá el pulso cardiaco de un paciente en menos de 9.0 pulsaciones 14.- Una industria lechera está estudiando la posibilidad de cambiar sus envases de lata por otro tipo de envases . Pero el cambio no se hará , a no ser que por lo menos 70% de sus clientes lo prefieran. Se hizo una encuesta a 200 de sus clientes, 120 de ellos están a favor del cambio. Hará el cambio de envases a un nivel de significación del 0.05
ESTADISTICA GENERAL
Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales 1.-Tienes una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal. Prueba la siguiente hipótesis al nivel de significancia de 0.01. Indica claramente el valor de la estadística de prueba y la decisión tomada.
H0: x = y H1: x ≠ y nx = 45, ny = 60, x = -2.1, y = -1, x = 2, y = 8 2.-El Ministerio de Vivienda ha encargado un estudio a una empresa del mercado sobre el precio de las viviendas nuevas en dos distritos de Lima: A y B. La empresa encargada de realizar el estudio ha recogido información sobre el precio del m2 de 45 viviendas de promotoras distintas seleccionadas al azar en el distrito A y de 40 viviendas, también elegidas aleatoriamente en las promociones de vivienda nueva existente, en el distrito B. En la muestra aleatoria de viviendas del distrito A, el precio medio del m2 ha resultado ser de 980 soles con una desviación estándar de 90 soles, mientras que en la muestra B, el precio del m2 y la desviación estándar son respectivamente de S/. 950 y 70 soles. ¿Puede aceptarse que en los dos distritos no hay diferencia en el precio del m2 de las viviendas diferencia en el precio de nueva construcción parea un nivel de significación del 5%? ¿Proporciona estos datos evidencia suficiente como para fundamentar la opinión del investigador al nivel de significancia del 5%? 3.-. Una agencia de publicidad realizó un estudio para comparar la efectividad de un anuncio en el radio en dos distritos. Después de difundir dicho aviso, se realizó una encuesta telefónica con 600 personas seleccionadas al azar, que viven en cada uno de los distritos resultando proporciones 20% y 18% respectivamente. Verificar, al nivel de significación del 5%, si son iguales las proporciones de personas que escucharon dicho aviso en los
dos distritos mediante una prueba unilateral SOLUCIÓN PRUEBA DE INDEPENDECIA CHI- CUADRADO
Es un procedimiento de contrastación que utiliza para determinar la dependencia ( relación o asociación ) o independencia entre dos variables categóricas. Los datos pueden disponerse en una tabla de doble entrada llamada Tabla de Contingencia de r filas y k columnas. Pasos a seguir: 1.- Formulación de Hipótesis: H0 : Existe independencia entre las características. H1 : No existe independencia entre las características. 2.- Nivel de significancia: α = 0.05 ó α = 0.01 3.- Estadística de prueba: r k ( f ij – eij )2 X2 = ∑ ∑ ---------- --- i=1 j=1 eij
X2
Donde: V = (r-1)(k-1) grados de libertad f i xf j e ij = ------- ; c= √ X02/(n+ X02) coeficiente n Contingencia. f ij : frecuencia observadas eij : frecuencia esperadas.
________ 4.-Si X02 ≤ X2(1 – α), v se acepta H0 Si X02 > X2(1 – α), v se rechaza H0 5.- Cálculos: 6.- Decisión:
ESTADISTICA GENERAL
4.- Establecimiento de los criterios de decisión
EJEMPLO 01: Se ha realizado una
Tipo de unión
La madre considera a su nueva pareja como Un Un Un verdadero segund ami padre o padre go 60 60 55
total
175 Matrim onio 55 56 87 198 Unión de hecho 115 116 142 373 total encuesta entre madres que han establecido una nueva relación de pareja. Se ha preguntado a las mujeres acerca de la relación entre sus hijos y sus nuevas parejas y se ha obtenido los siguientes datos:
Se pide: a) Realizar una prueba de Hipótesis para conocer si la percepción de las madres sobre las relaciones de sus hijos y su nueva pareja depende del tipo de unión , con un nivel de confianza del 95 %. b) Calcular e interpretar el coeficiente de contingencia para medir el grado de asociación entre las variables. Solución : 1.-Formulación de Hipótesis H0: La percepción de las madres sobre las relaciones de sus hijos y su nueva pareja es independiente del tipo de unión. H1: La percepción de las madres sobre las relaciones de sus hijos y su nueva pareja dependen del tipo de unión. 2.- Nivel de significancia α = 0.05 3.- Estadística de prueba: 2 3 ( f ij – eij )2 X2 = ∑ ∑ ---------- --- i=1 j=1 eij
X2
Donde: r = 2, k = 3 V = (r-1)(k-1) grados de libertad V = 2
1 – α = 0.95 ; α= 0.05 y el punto Xt2= X20.95,2 =5.99 Si X20.95,2 ≤ 5.99; se acepta H 0 Si X20.95,2 > 5.99 ; se rechaza H 0
Tipo de unión
La madre considera a su nueva pareja como Un Un Un verdadero segund amigo padre o padre 60 60 55 (54) (54.4) (66.6) 55 56 87 (61) (61.6) (75.4)
Matri monio Unión de hecho f j 115 116 142 f i xf j e ij = ------- ; e 11 = 175x115/373 =54 n e 12 = 175x116/373 = 54.4 e 13 = 175x142/373 = 66.6 e 21 = 198x115/373 = 61.0 e 22 = 198x116/373 = 61.6 e 23 = 198x142/373 = 75.4
fi
175 198 373
Hallando X 20 X20 = (60-54)2 /54 +(60-54.4) 2 /54.4+… + (87-75.4) 2 / 75.4 = 6.15 6.- Decisión Como X20 = 6.15 > 5.99, rechazamos H 0, lo que quiere decir que la percepción de la madre sobre las relaciones de sus hijos y su nueva pareja dependen del tipo de
ESTADISTICA GENERAL
unión ( la asociación obtenida en la muestra es significativa) b) Calculando el coeficiente de contingencia 2 0
nivel de educación del padre ? Use α = 0.05.
2 0
c= √ X /(n+ X ) = √ 6.15/ (6.15+373) =0.13 GUÍA DE TRABAJO Nº12 PRUEBA DE INDEPENDECIA CHI- CUADRADO 1.- Se selecciona una muestra de 800 votantes y se les califica de acuerdo a su nivel de ingresos como : bajo, medio, alto, y según su opinión a una reforma impositiva en : a favor, en contra, sin decisión. Las frecuencias observadas se dan en la siguiente tabla:
Son independientes la opinión de los votantes y su nivel de ingresos. Use α = OPINIÓN A favor En contra Sin decisión 0.05
INGRESOS BAJO MEDIO ALTO 200 130 70 60 60 80 40 60 100
2. –Se realizó un estudio para determinar si el tamaño de la familia depende del nivel de educación del padre. La muestra se clasificó de acuerdo al nivel de educación y al número de hijos, en la siguiente tabla : Nivel de Educación
Primaria Secundaria Superior
Número de hijos 01 20 50 12
2
3
4
18 25 6
12 18 4
14 16 8
5 a más 30 24 12
Con estos datos ¿ Se puede inferir que el tamaño de la familia es independiente del
3.-Con la finalidad de averiguar si las bajas notas finales obtenidas en el curso de estadística general es producto de las pocas horas dedicadas al estudio del curso durante el ciclo, se obtuvo la siguiente información : Horas dedica das al curso [ 0 –3 ) [ 3 –6 ) [ 6 –9 ) Total
[ 0-5)
[5-10)
[10-15)
[15 -20)
Total
25 20 15 60
15 10 8 33
8 11 15 34
1 3 10 14
49 44 48 141
Prueba la hipótesis correspondiente, Use α = 0.05
4.-Una encuesta para evaluar la política educativa del ramo se llevó a cabo con 218 padres de familia de 3 estratos sociales A, B y C de una pequeña comunidad. Ante la pregunta ¿ Esta usted de acuerdo con la política educativa del ministerio ? se obtuvieron las siguientes respuestas : Respuesta SI NO Total
A 22 50 72
Estrato B 24 42 66
Realice la prueba de hipótesis correspondiente. Use α = 0.05.
Total C 20 60 80
66 152 218
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