TEMA 15 PRINCIPIOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL La Electrónica se divide en dos grandes campos: la Electrónica analógica y la Electrónica digital. La Electrónica digital ha adquirido una gran importancia gracias a los enormes avances producidos en el terreno de la integración de componentes en un solo chip y a las extraordinarias características de los mismos. Los circuitos digitales se emplean en todo tipo de sistemas de control industrial, procesos de datos y otros muchos equipos como los dispositivos de seguridad, equipos de navegación, electrodomésticos, etc. Los sistemas digitales se construyen a partir de una serie de elementos que se basan en los principios del álgebra de Boole, estos elementos son las llamadas puertas lógicas, que son circuitos electrónicos que tienen unas entradas en las que se presentan unos valores eléctricos llamados valores lógicos, de forma que a la salida aparece otro valor, también lógico, resultado de realizar la operación que determina la puerta con los valores de entrada. Los sistemas digitales trabajan con señales digitales, que a diferencia de las analógicas, son cuantificadas, tienen mayor facilidad para ser transmitidas, procesadas y almacenadas y mayor inmunidad al ruido. Además son señales binarias, es decir, sólo toman dos estados diferenciados llamados nivel lógico alto (1) y nivel lógico bajo (0). Estas señales binarias constituyen const ituyen la unidad mínima de información digital digital (bits).
1. ÁLGEBRA DE BOOLE El álgebra de Boole es la base matemática de la electrónica digital que se debe al filósofo y matemático George Boole, que en 1854 publicó las Leyes de pensamiento en las que se fundan las teorías t eorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. El álgebra de Boole es un conjunto de operaciones matemáticas entre variables binarias (sólo pueden tomar dos valores, 0 ó 1). 1) . Las operaciones básicas del álgebra de Boole son: Suma lógica, lógica, representada por + , a+b Producto lógico, representado por · , a·b Complementación o negación, representado por a ’ ó .
1.1. Axiomas Las operaciones del álgebra de Boole cumplen una serie de axiomas que dividiremos en tres grupos: PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE o
Propiedad conmutativa: a+b=b+a a·b=b·a
o
Propiedad asociativa: a + b + c = a + (b + c) = (a ( a + b) + c a · b · c = a · (b · c) = (a · b) · c
o
Propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c a + b · c = (a + b) · (a + c)
POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE o
Idempotencia: a+a=a a·a=a
o
Elemento neutro: a+0=a a·1=a
o
Dominio del 0 y del 1: a+1=1 a·0=0
o
Complementario: a+ =1 a· =0
o
Doble complementación: =a
LEYES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE o
Ley de absorción: a+a·b=a a · (a + b) = a
o
Leyes de Morgan: ( )= · =( + )
2. PUERTAS LÓGICAS Las puertas lógicas son dispositivos electrónicos que aceptan una o varias señales de entrada en forma binaria y realizan una operación aritmética lógica sobre ellas, para producir una señal de salida apropiada en función de la operación de que se trate. Se trata de circuitos electrónicos digitales integrados cuyo funcionamiento se adapta a las operaciones operac iones y postulados del álgebra de Boole. Se identifican con un símbolo gráfico y cada una de ellas tiene asociada una tabla de verdad donde se indica el estado de la función de salida dependiendo de los estados de las variables de entrada. Las puertas lógicas se dividen en dos grandes grupos: básicas y especiales. especiale s.
2.1. Puertas lógicas básicas Son aquellas que realizan las operaciones del álgebra de Boole. Se corresponden con puertas que integran los circuitos digitales reales. rea les.
PUERTA OR
Corresponde a la operación de suma lógica, signo +. F = a + b La salida será 1 cuando alguna de las entradas sea 1, y sólo será 0 cuando todas las entradas sean 0. Se suelen fabricar de dos entradas, aunque las hay con más.
PUERTA AND
Corresponde a la operación oper ación de producto lógico, signo ·. F = a · b La salida será 1 cuando en todas las entradas haya un 1, y valdrá 0 en el resto de casos. Se suelen fabricar de dos, tres o cuatro entradas.
PUERTA NOT
Corresponde a la operación de negación lógica, F = Son puertas de una sola entrada y la salida corresponde a la negación o complementación del estado de la entrada. También se conoce como “inversor”.
2.2. Puertas lógicas especiales Son las puertas lógicas que derivan de las anteriores y tienen gran importancia en la fabricación de circuitos integrados.
PUERTA NOR
Es el resultado de colocar en serie una puerta OR y un inversor. F = El estado de la salida será el resultado de realizar la suma de las entradas y después negarla. Si al menos una de las entradas es 1, la salida será 0. Se suelen fabricar de dos, tres, cuatro o cinco entradas.
PUERTA NAND
Es el resultado de colocar en serie una puerta AND y un inversor. F = El estado de la salida será el resultado de realizar el producto de las entradas y después negarlo. La salida sólo será 0 cuando todas las entradas sean 1. Se suelen fabricar de dos, tres, t res, cuatro, ocho, doce o trece entradas.
PUERTA XOR
También conocida como “OR exclusiva”.
Esta función función equivale a F =
PUERTA XNOR
También conocida como “OR exclusiva”.
Esta función función equivale a F =
3. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS Una función lógica es una variable binaria cuyo estado depende a su vez de otras variables binarias relacionadas por medio de operaciones lógicas. Por ejemplo, el estado de una lámpara activada por tres tr es interruptores en serie. Existen tres formas fundamentales de representar una función lógica.
3.1. Expresión algebraica Se trata de una expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las variables binarias por medio de operaciones básicas: suma lógica, producto lógico y negación. Por ejemplo: F(a,b,c) =
3.2. Tabla de verdad Se basa en confeccionar una tabla en la que aparezcan todos los valores posibles de la salida para cualquier c ualquier combinación de las variables que forman la función función lógica.
3.3. Formas canónicas Se trata de una representación algebraica de la función lógica en la que cada término debe contener todas las variables (negadas o sin negar) de que consta la función. Esta función algebraica puede representarse como: co mo: Primera forma canónica MINTERM (Suma de productos): Ecuación estructurada como una suma de términos en forma de productos de las diferentes variables que intervienen en la función. Cada término de esta forma canónica da una salida de 1. Las variables que intervienen en la expresión aparecerán negadas si su valor es 0 y sin negar si s i su valor es 1. Ejemplo: F= Segunda forma canónica MAXTERM (Producto de sumas): Ecuación estructurada como un producto de términos en forma de suma de las diferentes variables que intervienen en la función. Cada término de la forma canónica maxterm da una salida de 0. Las variables que intervienen en la expresión aparecerán negadas si su valor es 1 y sin negar si su valor es 0. Ejemplo: F=
3.4. Paso de forma no canónica a forma canónica Si tenemos una función no canónica, expresada como suma de productos, podemos convertirla en canónica multiplicando cada término por la suma de la variable que le falte alte negada y sin negar ( ). Si tenemos una función no canónica, expresada como producto de sumas, podemos convertirla en canónica sumándole a cada término el producto de la variable que le le fal falte te negada y sin sin negar ( ).
4. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS La implementación de una función lógica consiste en realizar el interconexionado con puertas lógicas (logigrama) para formar el circuito digital que cumpla la ecuación de dicha función, en cualquiera de sus formas de representación. Para un menor coste económico, mayor eficacia y menos posibilidades de error, se implementa la expresión más simplificada, que necesitará menos puertas lógicas y menos interconexiones. En la práctica se tiende a homogeneizar los circuitos digitales en un solo tipo de puertas que suelen ser las puertas universales (NAND o NOR). Cualquier función lógica que relacione variables binarias con las operaciones suma, producto y negación, se puede implementar sólo con puertas de uno de estos dos tipos. t ipos.
5. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS Las funciones lógicas empleadas en los sistemas digitales se traducen, en la práctica, en una serie de circuitos cuya complejidad estará relacionada con el número de términos y variables de la expresión lógica. Se debe buscar la máxima sencillez, que obviamente se conseguirá utilizando el mínimo número de puertas lógicas que realicen la función deseada, para, una vez hallada esta función mínima u óptima, realizarla con puertas universales. Esto se conoce como minimización o simplificación de funciones lógicas. Existen varios métodos de simplificación.
5.1. Simplificación algebraica algebraica Consiste en la aplicación de las leyes y teoremas del álgebra de Boole para reducir la función lo máximo posible. Sus resultados son muy variables y no asegura que la expresión final sea mínima, por lo que se emplea poco y nunca para simplificar funciones complejas.
5.2. Mapas de Karnaugh El mapa de Karnaugh soluciona los inconvenientes del método algebraico obteniendo la expresión reducible mínima de una función lógica. Es realmente una forma gráfica de representar la tabla de verdad. Este método se puede utilizar para funciones de dos a seis variables, siendo su uso práctico para funciones de dos a cinco variables. Está constituido por una cuadrícula en forma de encasillado (mapa de Karnaugh) cuyo número de casillas depende del número de variables de entrada, respondiendo a la relación 2n casillas, siendo n el número de variables de entrada. Cada una de las casillas representa las distintas combinaciones adyacentes de las variables que puedan existir, para reducirlas a un solo so lo término. Dos casillas que tienen un lado común dentro de la tabla, sus términos canónicos son adyacentes (cambia el estado de una sola variable). También son adyacentes la última y primera fila y la última últ ima y primera columna. Nunca en diagonal. Con la tabla de verdad de la función lógica se sitúan en el mapa de Karnaugh todas las formas canónicas que se seleccionan para expresar la función en minterms o maxterms. Así, por ejemplo, cuando la forma canónica es minterm, se sitúa en la tabla un 1 dentro de la casilla de aquellos términos que tengan como salida 1, dejando en blanco las casillas que tengan como salida 0. En el caso de que existan combinaciones con términos indefinidos (X), estos términos se representarán siempre, pero sólo se utilizarán cuando interese.
Una vez situados los minterms o maxterms agrupamos los términos adyacentes siguiendo las siguientes reglas: Hay que agrupar todos los términos (los que no sean indefinidos) procurando conseguir grupos del máximo número de casillas. cas illas. Los agrupamientos serán de uno, dos, cuatro u ocho término contiguos (siempre en potencias de dos) según los ejes coordenados, pero nunca en ejes diagonales. Un término canónico puede intervenir en distintos grupos. Los términos indefinidos (X) pueden usarse para completar un grupo si nos interesa las veces que haga falta. fa lta. Los agrupamientos conseguidos serán los términos que expresarán la función lógica en forma irreducible, eliminando de cada grupo las variables que cambien de valor en los términos que forman el grupo.
La función lógica simplificada se representará como suma de productos (minterms) o producto de sumas (maxterms) de las variables que no cambien de valor. Estas variables se representarán negadas si no coinciden con la salida y sin negar si coinciden con ésta.
Este procedimiento de simplificar no es único, pudiéndose obtener por tanto varias formas irreducibles de la misma función.
5.3. Tablas de Quine-McCluskey El mapa de Karnaugh se vuelve prácticamente irresoluble a partir de seis variables, y es entonces cuando se utiliza este método. El método consiste en una serie de tablas que, utilizando la representación binaria equivalente de cada uno de los términos que componen la función a simplificar, expresada siempre bajo la forma minterm, tratan de encontrar las relaciones de similitud existentes entre dichos términos para, así, poderlos reducir aplicando la misma ley que en los mapas de Karnaugh. Este método no va a ser estudiado en clase debido a su complejidad y a no estar dentro del temario de la asignatura.
