1
5. FUNKCIJE 1. Odredite podru č je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom 3x 4 + 1 f(x f(x) = . x3
≠ 0 → x ≠ 0 → D( f ) = R\ {0}
x3
3
Funkcija je neparna, jer je f(-x)=-f(x). 3 4 f ( x) = 3 x + x− f′( x) = 3 − 3 x−
4
+ 1x≠ 0 →
3 − 3 x
−4
nema č naka auka lto
=0
x4
=1
= ±1 stacionarne točke f′′( x) = 12 12 x−5 ≠ 0 f ′′(1) = 12 > 0 → min(1, 4) jer je f(1)=4 f ′′( −1) = −12 < 0 → max( −1, −4) , jer je f(-1)=-4 x1,2
nema toč.infl. y
Vertikalna asimptota V.A. je 4 4 3 x + 1 3x + 1 = +∞, lim = −∞, x = 0 , jer je lim x → 0 + x →0− x 3 x3 Kosa y = k x + l : k = lim
x → +∞
f( x) x
= lim
x → +∞
3 x4 + 1 x4
k = lim
x → −∞
x →+∞
x
f( x) x
= lim
x → −∞
4
3x
x
7.5 5 2.5
=3 -4
⎛ 3 x 4 + 1 ⎞ − 3 l = lim ( f ( x ) − k x ) = lim ⎜ x ⎟= 3 x → +∞ x → +∞ x ⎝ ⎠ 1 3 x 4 + 1 − 3x 4 = lim = lim 3 = 0 3 x →+∞
-2
4
0
-2.5
y = 3x
x
x →−∞
4
-10
=3 0
x
K. A.
2. Odredite podru č je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom f(x) = x ln ln 2 x .
x> 0
D( f) = 0, ∞
N.T.
f ′( x) = ln 2 x + x ⋅ 2 ln x ⋅ ln
2
x+ 2 ln x= 0
1
x
-7.5
⎛ 3 x 4 + 1 ⎞ − 3 l = lim ( f ( x ) − k x ) = lim ⎜ x ⎟= 3 x → −∞ x → −∞ ⎝ x ⎠ 3 x 4 + 1 − 3 x 4 1 = lim = lim 3 = 0 3 x →−∞
2
-5
x
+1
10
xln 2 x= 0
ln x= 0
x= 1
= ln 2 x + 2 ln x
x ln x(ln x+ 2)
=0
ln x = 0 , ln x + 2 = 0
x
2
= 1 i x = e −2
stacionarne točke 1 1 ln x + 1 f′′( x) = 2 ln x⋅ + 2 ⋅ = 2 x x x
x= e−
ln x+ 1 = 0
1
T.I.
2 ln 2
ln x → 0x+ 1
lim ( x ln 2 x ) = (0 ⋅ ∞) = lim
V.A.
→0x+
= lim x = → 0x+ −1 x2
x 1 ln x →x0 + 1
= −2 lim x = −2 lim x = 0 → nema V.A.,a ni H.A. ni K.A. →x0 + −1 →x0 +
= −2 lim
x2
x o, e −2
e−2
e−2 , e −1
e−1
e −1 ,1
1
1, ∞
f ′( x )
+
0
-
-
-
0
+
f ′′( x )
-
-
-
0
+
+
+
n i m Konv.
x a m
f ( x )
Konk.
Konk.
T.I.
Konv.
Max(e −2 , 4e −2 ), Min(1, 0) y 0.8 0. 8 0.6 0. 6 0.4 0. 4 0.2 0. 2
0.5
0
1
1.5
2
x
3. Odredite podru č je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom: f(x) = x - ln(x +1) .
x+ 1 > 0
x> −1
f ′( x ) = 1 − f ′′( x ) =
1
=
D( f) =
−1 , ∞
x
f′( x) = 0 → x= 0
x + 1 x + 1 1 x + 1 − x ( x + 1) 2
=
= lim ln x →+∞
x + 1
N.T.
stacionarna točka
lim ( − x ln( x+ 1)) = +∞
Vertikalna asimptota:.
e x
= x → x= 0
′′f( )x> 0 → Mi(n0, 0)
( x + 1) 2
Horizontalna asimptota.
ln( x+ 1)
x →− 1+
→ x= −1 je V.A.
lim f ( x) = lim ( x− ln( x+ 1)) = lim (ln e x − ln( x+ 1)) = → +x∞
→ +x∞
→ +x∞
= +∞ nema H.A, a može se vidjeti da nema ni K.A.
3 y 5 4 3 2
0
1 -1
1
2
3
4
x
5
4. Odredite područ je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom: 3 x -4 f(x) = . (x -1)3
D( f ) = R \ {1} f ′( x ) =
x 3 − 4 = 0
N.T.
x=34
= 1,58
3 2 ( x− 1)3
4 − x2 − ( x3 − 4) ⋅ 3( x− 1) 2 =3 ( x − 1) 6 ( x − 1) 4 4 − x2 = 0 stac. točke x = ±2 1,2
f′( x) = 0 f ′′( x ) = 6
+ x −8 ( x − 1)5
x 2
f′′( x) = 0
x
1,2
=
1 2
( −1 ±
x1 = −3,37
−∞, −2
33
)
x2
= 2,37
−2,1
1, 2
2, ∞
f ′( x )
-
+
+
-
f ( x )
⎛ ⎝
Min ⎜ −2,
T.I.
4⎞
⎟ , Max ( 2, 4 )
9⎠
x = 1
Vertikalna asimptota: Horizontalna asimptota:
lim
x →+∞
8
x 3 − 4 ( x − 1)
3
= lim
x →−∞
x3 − 4 ( x − 1)
3
= 1 y = 1 H.A.
y
6 4 2
-4
0
-2 -2 -4
2
4
6
8
x
4 5. Odredite područ je definicije, nultočke, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom: 1 f(x) = x ln(e + ) . x
e+
1
x
e x +1
>0
x
1) e x + 1 > 0 i x
>0
⎡ 1 ⎤ D( f ) = R \ ⎢ − , 0 ⎥ ⎣ e ⎦
x> −
N.T.
1
e e+
>0
2) e x + 1 < 0 i x
ili
i x> 0 1
x
=1
x< −
x=
1 1− e
1
e
<0
i x< 0
= −0,58
1 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ln V.A. + = +∞ → = − x e x ⎜ ⎜ x ⎟ ⎟ x →−1/ e − e ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 1⎞ ln ⎜ e + ⎟ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 1 x ⎠ lim ⎜ x ln ⎜ e + ⎟ ⎟ = lim ⎝ u x = 0 nema V.A. = lim =0 →0x+ → 0x+ 1 1 ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ →0x+ e+
Vertikalna asimptota:
lim
x
x
1 = lim ln ⎛⎜ e + ⎞⎟ = 1 x →+∞ ⎝ x ⎠ ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ l = lim ⎜ x ln ⎜ e + ⎟ − x ⎟ = lim ⎜ x ⎜ ln ⎜ e + ⎟ − 1⎟ ⎟ = x →+∞ ⎝ x ⎠ ⎠ x →+∞ ⎝ ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 1⎞ ln ⎜ e + ⎟ − 1 1 1 x ⎠ lim ⎝ = lim =
Kosa asimptota:
1
x →+∞
x →+∞
x k
k
e+
1
e
x
1 1 ⎛ ⎞ 1 = lim ln ⎛⎜ e + ⎞⎟ = 1 , l = lim ⎜ x ln ⎛⎜ e + ⎞⎟ − x ⎟ = x →−∞ x →−∞ ⎝ x ⎠ ⎠ ⎠ e ⎝ ⎝
y = x +
1
e
K.A.
5 6. Odredite područ je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom x2 - 1 f(x) = . x2 e
D( f ) = R
funkcija je parna
x 2
Nultočke:
f ′( x ) =
2 x⋅ e x
2
−1 = 0
x1,2
= ±1
− ( x2 − 1) ⋅ ex ⋅ 2 x 4 − 2 x3 = 2 x 2
( ) e x
f′( x) = 0
2
e
4 x − 2 x3
=0
x1
2
= 0, x2,3 = ± 2
stac. točke
−∞, − 2
− 2, 0
0, 2
f ′( x )
+
-
+
-
f ( x )
Min ( 0, −1) ,
⎛ ⎝
Max ⎜ − 2,
Horizontalna asimptota:
-4
lim
x →+∞
⎞ , 2 ⎟ e ⎠ 2 x − 1 1
2
1⎞ ⎛ 2 ⎟ e ⎠ ⎝ 2 x −1 = lim x = 0
Max ⎜ 2,
x →−∞
e x y
-2
2, ∞
0
e
y = 0
2
2
4
x
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
7. Odredite područ je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom x3 + 4 f(x) = (x + 1)3 Rješenje: D ( f ) =
{−1} ,
N.T. x =
3
⎛ 4⎞ −4 , Max ( −2, 4 ) , Min ⎜ 2, ⎟ , y = 1 H.A. ⎝ 9⎠
y
6
8
x = −1 , V.A. 6
4
2
-4
-2
2
0
4
x
-2
8. Odredite podru č je definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom ln 2 x f(x) = x
D( f ) = 0, ∞ f ′( x ) =
N.T.
− ln 2 x
2ln
x = 1
2ln x− ln
2
x i ln x= 2
ln x= 0
=0
ln
x1 = 1, x2
2
x= 0
ln x(2 − ln x) = 0
= e2
stac.točke
2
V.A. lim
ln x
x → 0 +
x
= +∞ → x = 0
2
H.A.
lim
→+∞ x
ln x
= lim
x
→+∞ x
2 ln x ⋅
1
x
= 2 lim
→+∞ x
1
ln x
= 2 lim
x
1, e2
0,1
→+∞ x
1
= 0 y = 0 x
e2 , ∞
f ′( x )
-
+
-
f ( x)
7
9. Odredite prirodnu domenu, nulto čku, asimptote, te skicirajte graf funkcije: 1 f(x) = 2arccos x -1 1
x − 1
≤1
x − 1
≥1
a) za x − 1 ≥ 0
x −1 ≥ 1
b) za x − 1 ≤ 0
x − 1 ≤ −1
→ x ≥ 2 ili → x ≤0
D ( f ) = 〈−∞,0] ∪ [ 2, ∞〉 1
= 1 x − 1 = 1 x = 2 x − 1 Horizontalna asimptota: 1 1 π lim 2 arccos = lim 2 arccos = 2 arccos 0 = 2 ⋅ = π x →+∞ 2 x − 1 x →−∞ x −1 f (0) = 2arccos( −1) = 2 π 6 y
Nultočka:
y
= π
5 4 3 2 1
-4
-2
0
2
4
x
8 10. Odredite prirodno podru č je definicije, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom: 7-4x f(x) = ln(x -1) + 2(x - 1)2
x− 1 > 0
D( f) = 1, ∞
2 −4 ⋅ 2( x− 1) 2 − (7 − 4 x) ⋅ 4( x−1) 1 2 x− 2 + 7 − 4 x x −4 f ′( x ) = + = − = 4( x− 1) 4 ( x− 1) 3 ( x− 1) 3 x− 1 x− 1 f′( x) = 0 x2 − 4 = 0 x = −2 ∉ D, x = 2 stac. točka
1
2 x( x− 1)
− ( x2 − 4) ⋅ 3( x − 1) 2 − x2 − 2 x + 12 f ′′( x ) = = ( x − 1) 6 ( x − 1) 4 ⎛ 2, − 1 ⎞ ′′(2)f= 4 > 0 ⎜Min 2 ⎟ ⎝ ⎠ točka infleksije f′′( x) = 0 x2 + 2 x− 12 = 0 x = 1 + 13 2
⎛ x →1+ ⎝
Vertikalna asimptota: lim ⎜ ln( x − 1) +
⎞ ⎟ = +∞ 2( x − 1) 2 ⎠ 7 − 4 x
x
= 1 V.A.
Nema ni horizontalne ni kose asimptote. y 5 4 3 2 1 x
0
1
2
3
4
5
-1 -2
11. Odredite prirodnu domenu, to čke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom: x-2 f(x) = x2 + 2 2
+2>0 x 2
f ′( x ) = f′( x) = 0
D( f ) = R
+ 2 − ( x − 2) x 2
+2
x= −1
N.T.
x − 2 = 0
x=2
2 x 2 x 2
2 2 + 2 = x + 2 − x + 2 x = 2 x+ 2 3 ( x 2 + 2 ) x 2 + 2 ( x 2 + 2 ) 2
stac.točka
9
〈−∞, −1〉
〈−1, ∞〉
f ′( x )
-
+
f ( x )
Horizontalna asimptota: x − 2 Desna: lim =1 2 x →+∞ x + 2 Lijeva:
lim
x →−∞
x − 2
=
x 2 + 2
y sup st .
( −1, − 3 )
=1 −y − 2 = −1 y2 + 2
= lim
x = − y
Min
y →+∞
y
= −1
y
3 2 1
-4
0
-2
2
x
4
-1 -2 -3
12. Odredite prirodnu domenu, to čke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom -
f(x) = xe
D( f ) = R \ {0}
1 x2
funkcija je neparna
1
1
1
2
2
⎛2⎞ − ⎛ 2⎞ f′( x) = e x+ x e x⋅ ⎜ 3 ⎟ = e x⎜1 + 2 ⎟ ≠ 0 ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ −
−
2
f′( x)
i
>0
Funkcija nema ekstrema i funkcija raste na cijeloj domeni. 1
−
V.A. K.A.
x e = lim
−
x 2
lim
x → 0 +
x →0 −
f ( x )
1
x e= 0 x2
1
k
= lim
l
⎛ − ⎞ e −1 = lim ( f ( x ) − k x ) = lim ⎜⎜ x e x − x ⎟⎟ = lim = x x x →+∞ →+∞ →+∞ 1 ⎝ ⎠
x →+∞
= lim e
−
nema
x 2
x →+∞
x
=1 −
1
1
x 2
2
x
−
= lim
x →+∞
e
1
x 2
⋅
2
x 1
3
= lim
x →+∞
−2 e
−
1
x 2
=
−2 =0 ∞
x − 2 x y Ista se kosa asimptota dobiva kad se ra čuna limes x → −∞.
y
=x
10 2 1.5 1 0.5
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
-1 -1.5 -2
13. Odredite prirodnu domenu, točke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom x2 f(x) = ln x ln x ≠ 0 f ′( x) =
f′( x) = 0
→ x≠ 1 i x > 0 2 xln x − x2 ⋅ 2
ln x
=
2ln x− 1 = 0
x (2 ln x − 1) ln 2 x
ln x=
1
x=
2
0,1
1, e
f ′( x)
-
-
f ( x )
2
V.A.
1 x
D( f ) = 0,1 ∪ 1, ∞
lim
→0x+
ln
=0 x
e,∞
i
lim
→1x−
ln
Nema ni horizontalne ni kose asimptote.
stac. točka
+
2
x
e
2
x
= −∞, lim x
→1x+
ln
in
x
= +∞, x
→
(
x =1
e, 2e
)
11 y 10
7.5
5
2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
-2.5
-5
-7.5
-10
14. Odredite prirodnu domenu, to čke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom ln x f(x) = x x> 0
D( f) = 0, ∞ 1
f ′( x) =
′′f ( )x =
x
x
− ln x ⋅
x 3ln x − 8
N.T.
2 x
=
2 − ln 2x x
V.A.
ln x= 2
x= e
⎛ ⎝
Max⎜ e2 ,
2
4 x ln x lim x → 0 + x
x =1
1
f′′( e2 ) < 0
5
ln x = 0
2
stac. točka
2⎞
⎟
e⎠
= −∞ x = 0 1
H.A.
lim
→+∞ x
2 ⎛∞⎞ = ⎜ ⎟ = lim x = lim = 0 y = 0 x →+∞ x 1 x ⎝ ∞ ⎠ →+∞ x
ln x
2 x
y 1 0.75 0.5 0.25
0 -0.25 -0.5 -0.75 -1
2
4
6
8
10
12
14
x
12 15. Odredite prirodno podru č je definicije, nultočke, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom: f(x) = x 2 - x
x2
− x≥ 0
x1
= 0, x2 = 1 − x= 0
2
x
Nultočke:
Kosa asimptota:
k1
x →+∞
l1
= lim
(
l2
= lim
(
x →−∞
x →∞
y= − x+
x1 = 0, x2
=1
y=kx+l
x2 − x
= lim
D( f ) = 〈−∞ ,0 ] ∪ [1, ∞〉
x2 − x
= 1, k 2 = lim
x →+∞
x
= 1,
x
− x − x2 1 = x − x + x = lim x →−∞ x2 − x − x 2 2 2 1 x − x− x 2 = − x − x − x = lim x →∞ 2 x2 − x + x 2
x
)
2
)
1
za x→ −∞
2
y = x−
i 3
1 2
za x → ∞
y
2.5 2 1.5 1 0.5
-2
0
-1
1
2
3
x
16. Odredite prirodno podru č je definicije, nultočke, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom: f(x) = x- 2Arctg x
D( f ) = R f ′( x ) = 1 − f ′′( x ) =
2
=
x 2 − 1
1 + x 1+ x 2 2 x(1 + x ) − ( x2 − 1) ⋅ 2 x 2
x− 1 = 0
2
2
(1 + ) 2
2
=
4x
(1 + x ) 2
2
1
x= −1,
f′′( x) = 0
x= 1 stac. točke
2
x= 0
T.I.
⎛ −1, −1 + π ⎞ ⎛1,1 − π ⎞ ′′(1) f> 0 ⎜Max ⎟ ⎜Min 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ funkcija je neparna f(− x) = − x− 2 Arctg( − x) = −( x− 2 Arctgx) ′′(−1)f < 0
13 Kosa asimptota:
− 2x
Arctgx = lim ⎛⎜ 1 − 2
Arctgx ⎞
k 1
= lim →+∞
l1
= lim ( x − 2 Arctgx − x ) = −2 lim Arctgx = −2 ⋅
⎝ − 2x Arctgx ⎛ = lim ⎜ 1 − 2 k 2 = lim x →−∞ x →−∞ x ⎝ x →+∞
x
x
x →+∞
⎟ = 1, ⎠ Arctgx ⎞ =1 ⎟ x ⎠
x
x →+∞
π = −2 lim Arctgx = −2 ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ = π x →−∞ ⎝ 2⎠ K.A. y = x− π y = x+ π
π
2
= −π
l2
4
y
3 2 1 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1 -2 -3 -4
17. Odredite prirodno podru č je definicije, nultočke, lokalne ekstreme, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom x3 + 2 x2 + 7 x - 3 f(x) = . 2 x2
D( f ) = R \ {0} f ′( x ) =
(3 x2
N.T.
x ≈ 0,4
+ 4 x + 7) (2 x2 − 4 x ( x3 + 2 x2 + 7 x − 3) 4
f ′( x) = 0
4
x
→ ( x −1) ( x2 + x − 6) = 0
x1
=
2 x 4 −14 x 2 +12 x 4
4
x
= 1, x2 = −3, x3 = 2
=
( x −1) ( x 2 2
+ x − 6) 3
stac. točke
−∞, −3
−3,0
0,1
1, 2
2, ∞
f ′( x )
+
-
+
-
+
f ( x )
⎛ ⎝
Max ⎜ −3, −
11 ⎞
⎛ 7⎞ ⎛ 27 ⎞ , Max ⎜1, ⎟ , Min ⎜ 2, ⎟ ⎟ 6⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎠
x
14 Asimptote:
Vertikalna asimptota: x = 0 Kosa asimptota: y= k x+ l
x3 + 2 x2 + 7 x− 3
k = lim
2 x 3
x →+∞
=
1 2
3 2 3 ⎛ x3 + 2 x2 + 7 x− 3 1 2 ⎞ x + 2 x + 7 x− 3 − x − x ⎟ = lim =1 l = lim ⎜ 2 2 x →+∞ x →+∞ 2 2 2 x x ⎝ ⎠
y =
1 2
x + 1 . Ista se asimptota dobiva za
→ −∞.
y 4
2
x -4
-2
2
0
4
-2
-4
18. Odredite prirodno podru č je definicije, lokalne ekstreme, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom ⎛ 1⎞ f(x) = x - 6 ln ⎜ 1 - ⎟ ⎝ x⎠
1−
1
x − 1
>0
D ( f ) =
x
x − 1 > 0
x − 1 < 0
x > 0
>0
x < 0
ili
x > 1
x < 0
−∞,0 ∪ 1, ∞
f ′( x ) = 1 − 6
1 1−
f′( x) = 0
1
x 2 x
⋅
1
x2
=1− 6
− x− 6 = 0
1
x( x − 1) x1
=
− x −6 x( x − 1)
x 2
= −2
x2
=3
stac. točke
−∞, −2
−2,0
1, 3
3, ∞
f ′( x)
+
-
-
+
f ( x )
15
⎛ ⎝
Max ⎜ −2, −2 − 6ln x = 0,
Vertikalne asimptote:
3⎞ ⎛ 3,3 − 6ln 2 ⎞ , Min ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ 3⎠ ⎝
x =1
jer je lim f ( x) = − ∞
i
x → 0−
lim f ( x) = ∞
x →1+
y= kx+ l
Kosa asimptota:
⎛ ⎛ 1⎞⎞ ln ⎜1 − ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ x ⎠ ⎟ = 1 k = lim ⎜ 1 − 6 x →+∞ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
l
⎛ 1 ⎞ = lim ⎜ x − 6 ln ⎛⎜1 − ⎞⎟ − x ⎟ = 0 x →+∞ ⎝ x⎠ ⎠ ⎝
y
= x.
Ista se asimptota dobiva za x → −∞.
y 10 7.5 5 2.5 x -4
-2
2
4
-2.5 -5 -7.5 -10
19. Odredite prirodnu domenu, to čke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije 1
f(x) = e
1- x
D(f) = R \ {1}
f ′( x ) = e
1 1- x
⋅
1 (1 − x) 2
≠0
nema ekstrema
2
1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 3−2 1-x 1-x 1x e e + ⋅ = ⋅ f ′′( x ) = e ⋅ ⎜ 2 ⎟ (1 − x )3 (1 − x ) 4 ⎝ (1 − ) ⎠ 1
f′′( x) = 0 Za
x<
Za
x>
3 − 2 x= 0 3 2 3 2
x=
3 2
točka infleksije
′′f ( )x > 0
funkcija je konveksna
′′f ( )x < 0
funkcija je konkavna
16 1
lim e
Vertikalna asimptota:
1-x
x →1−
1
∞
=e =∞
lim e
= e −∞ = 0
1-x
x →1+
=1
Desna vertikalna asimptota 1
Horizontalna asimptota:
lim e
1
1-x
x →+∞ y
= lim e
1-x
x →−∞
= e0 = 1
=1
y
5 4 3 2 1 x -4
-2
2
4
6
8
-1
20. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije
D( f ) = R \ {0} f ′( x ) =
f ′′( x ) =
arctg
1
f(x) = arctg
≠0
1 ⎛ 1⎞ ⋅⎜− 2 ⎟ = − 2 ≠ 0 1 x ⎠ x +1 1+ 2 ⎝ ( x
+ 1)
2
x
.
nema nultočaka
1
x 2
1
f ′( x) < 0
i
→ funkcija pada na D.
f ′′( x ) = 0 za x= 0 ∉ D( f)
2
Vertikalna asimptota: lim arctg x →0 −
Horizontalna asimptota: 1 1 lim arctg = lim arctg x →+∞ x →−∞ x
1
x
=−
π
2
1 lim arctg x →0 + x
=
nema točke infleksije
π
nema V.A.
2
y
= 0,
y
=0
π
2 x
0
− 21. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije Zbog arcsin
-1 ≤ e x
D( f ) = 〈−∞,0] e x
≤1, R( f )
1 1− e
2 x
⋅ xe ≠ 0
2
f(x) = arcsine .
a zbog ex π = 〈0, ⎤⎥ 2⎦
≠ 0 → nema nultočaka
f′( x) =
x
π
nema ekstrema
0 < e x
≤ 1 → e −∞ = 0 e0 = 1
17
e
x
1− e
2 x
f ′′( x ) =
+e ⋅
2 e2 x
x
2 1 − e2 x
1 − e2 x
Na D je f ′( x ) > 0
e x
=
(1 − e ) 1 − e 2 x
≠0
nema točaka infleksije
f ′′( x) > 0 → funkcija je konveksna
→ funkcija raste lim arc sin e x
Horizontalna asimptota:
2x
x →−∞
=0
y
=0.
y 2 1.75 1.5
π
1.25
2
1 0.75 0.5 0.25 x -5
-4
-3
-2
-1
22. Odredite podru č je definicije i asimptote funkcije f(x) = ln
1- x
. Odredite intervale rasta i 1+ x pada funkcije, ispitajte konveksnost, konkavnost funkcije te skicirajte njen graf. 1 − x 1 + x
1 − x > 0
>0
1 + x > 0
1− x < 0
ili
1+ x < 0
x < 1 i x > −1 1 − x
Nultočka:
f ′( x ) =
x > 1 i x < −1 →∅
1+
=1 x = 0 1 + x 2 x −(1 + x) − (1 − x)
1−
⋅
(1 + )x 2
x
=−
1−
f′( x) < 0 na D → pada na D(f). 4 x f ′′( x ) = − (1 − 2 ) 2 f′′( x) = 0 → x= 0
točka infleksije
f′′( x) > 0
na
−1,0 funkcija je konveksna
f′′( x) < 0
na
0,1
funkcija je konkavna
Vertikalne asimptote: x = − 1, x = 1
2
≠ 0 nema ekstrema
x
D( f ) =
−1,1
18 y 6 4 2
-1
0
-0.5
0.5
x
1
-2 -4 -6
23. Odredite podru č je definicije i asimptote funkcije f(x) = ln
2+x
. Odredite intervale rasta i 2-x pada funkcije, ispitajte konveksnost i konkavnost funkcije te skicirajte nje graf. Rješenje: D(f)=
−2,2 , N.T. x = 0, V.A. x = -2, x =2, f raste na D, na −2,0 je
konkavna, na 0,2 konveksna-. 24. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f(x) = (ln2x) 2 . D(f) = 0, ∞
f′( x) = 2(ln 2 x) ⋅ 1
f ′′( x ) = 2 x f′′( x) = 0
2 x = 1
Nultočke: 1
=
⋅ x − ln 2 x x 2
2ln 2 x
f′( x) = 0
x
=2
x=
1 2 ln 2 x= 0
2 x= 1
x=
1 − ln 2 x
1 − ln 2 x = 0
x2 ln 2 x = 1
x=
e
točka infleksije
2
f ′( x )
2 -
1 e , 2 2 +
f ′′( x )
+
+
-
f ( x )
0,
1
2 x= e
konveksna ⎛1 ⎞ Min ⎜ ,0 ⎟ ⎝2 ⎠
e 2
,∞ +
konkavna
1 2
19 y 5 4 3 2 1 x 1
0
2
3
4
5
25. Odredite prirodno podru č je definicije, nultočke, lokalne ekstreme, točke infleksije i asimptote funkcije zadane formulom: 8-4x f(x) = (x-1)2 D(f) = R \ {1}
N.T.
8 − 4 x = 0
x=2
x− 3 −4( x− 1) 2 − (8 − 4 x) ⋅ 2( x− 1) 4 = f ′( x ) = ( x − 1) 4 ( x − 1)3 stac. točke f′( x) = 0 x− 3 = 0 x= 3 ( x− 1)3 − ( x− 3) ⋅ 3 ⋅ ( x− 1) 2 −2 x+ 8 =4 f ′′( x ) = 4 6 ( x − 1) ( x − 1) 4 f′′( x) = 0
′′(3)f> 0
−2 x+ 8 = 0
⎛ −8⎞ ⎜ 4, 9 ⎟ ⎝ ⎠
x= 4
(3, − 1) Min
Vertikalna asimptota: Horizontalna asimptota: 8 − 4 x lim y =0 x →∞ ( x − 1) 2
točka infleksije
y 15
x = 1
12.5
=0
10 7.5 5 2.5 x -4
-2
2
4
6
8
2
26. Odredite a, b, c∈ , tako da funkcija f(x) =
a x + bx + c
ima horizontalnu asimptotu x2 - 4 y = - 1 i minimum u T(0,1) . Skicirajte graf tako dobivene funkcije.
20
lim
a x 2 + bx + c
x →∞
f ′( x ) =
= a → a = −1 ( zbog y = - 1 ) x2 - 4 ( −2 x + b) ( x2 − 4) − ( − x2 + b x + c) ⋅ 2 x − 4)2 ′(0) f =0 →
f ( x ) =
- x 2 + bx + c x2 - 4
( x 2
Zbog Min(0,1) je:
f (0) = 1 f( x) =
−
2 2
−4 −4
→ f( x) =
(b−4) = 0 =b 0 c c = −4 =1 −4 4 + x 2 V.A 4 − x 2
i
x = −2, x = 2
y 4
2
x -4
-2
2
4
-2
-4
27. Odredite a, b, c∈ , tako da funkcija f(x) =
x2 - x + c x2 + a x + b
ima vertikalne asimptote
x = -1 i x = 3 i ekstrem za x = 0 . Skicirajte graf tako dobivene funkcije.
x
2
+ a x + b = ( x + 1) ( x − 3) = x 2 − 2 x − 3 → a = −2, b = −3
f ′( x ) =
(2 x − 1) ( x2
− 2 x − 3) − ( x2 − x + c) (2 x − 2) − x2 − 6 x − 2 xc + 3 + 2 c = ( 2x− 2 x− 3) 2 ( 2x − 2 x− 3) 2
′(0) f = 0 → 3+ 2 = c0 f ( x ) = f ′( x ) =
x
2
2
−
−x−
− 2 x− 3) 2 x 3 + 9 x 2 + 9 f ′′( x ) = 2 ( x − 2 x − 3) 3 1 ⎛ 0, 1 ⎞ ′′(0) =f − < 0 ⎜ Max ⎟ 3 ⎝ 2⎠ ( x
3 2
3
2 − 2 x − 3 2 − 6 x+ 3 x+ 3 − 3 2
=c −
2
x2 − x−
3 2
=0
x
1,2
− x2 − 3 x = 2 ( x − 2 x− 3) 2
=
1± 7
nultočke
2
− x2 − 3 x= 0
x1 = 0,
x2
2
4
= −3
y
4
2
x -6
-4
-2
-2
6
21
′′(−3)f=
1
⎛ −3, 8 ⎞ ⎜ Min9 ⎟ ⎝ ⎠
>0
48 Vertikalna asimptota: Horizontalna asimptota:
x = −1, x y = 1
=3
⎛ ⎝
1⎞
f(x) = x ln ⎜ e +
28. (a) Odredite domenu i asimptote funkcije
⎟.
x⎠
(b) Odredite vrijednosti parametara a i b za koje funkcija g(x) = a ln x + bx 2 + x ima stacionarne točke x = 1 i x = 2 . Ispitajte ima li funkcija u tim točkama lokalne ekstreme.
(a)
e+
1
x
e x +1
>0
D( f ) =
x
−∞, −
1
e
>0
e x +1 > 0
1)
2)
x > 0 x > 0
e x +1 < 0 x < 0 x < −
1 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ln + = ∞ → = − x e x ⎜ x ⎟ ⎟ 1 ⎜ e x →− − ⎝ ⎝ ⎠⎠ e ⎛ 1⎞ Kosa asimptota: k = lim ln ⎜ e + ⎟ = 1 x →∞ ⎝ x ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ − x 2 ⎟ 1⎞ ⎛ 1 ⎠ ln ⎜ e + ⎟ − 1 e+ ⎝ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ 1 x ⎠ x = lim l = lim ⎜ x ln ⎜ e + ⎟ − x ⎟ = lim ⎝ = x →∞ x →∞ 1 1 e ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ x →∞ − 2 lim
x
g ( x ) = a l n x + b x2 + x g′(1) = 0
→
e
∪ 0, ∞
Vertikalna asimptota:
(b)
1
y
=x+
1
e
x
g′( x ) = a ⋅
1 x
+ 2b x +1
′g(2) = 0 →
a+ 2 b+ 1 = 0
1 2
1 2 2 1 2 b=− , a=− g ( x ) = − ln x − x + x 6 3 3 6 2 1 1 2 1 1 g′( )x = − ⋅ − x+ 1 g ′′( x ) = ⋅ 2 − 3 3 3 3 1 ⎛ 5⎞ ′′(1) g> 0 ′′(2) =g − < 0 1, ⎟ ⎜Min 6 ⎝ 6⎠ 1
29. Ispitati tok i nacrtati graf funkcije f(x) = e x
V.A.
2
-4x +3
.
a+ 4 b+ 1 = 0
2 4⎞ ⎛ − ln 2 + ⎟ Max ⎜ 2, 3 3⎠ ⎝
22
x2
− 4 x+ 3 = 0 1
′f( )x = e
x− 4 +x3
2
f′( x) = 0
x1
= 1, x2 = 3
D( f ) =
{1,3}
, nultočaka nema
1
−(2 x − 4) −x + 2 ⋅ 2 = 2 e x− 4 +x3 ⋅ 2 2 ( x − 4 x+ 3) ( x − 4 x+ 3) 2 − x+ 2 = 0 x= 2 stac. točka 2
−∞,1
1, 2
2,3
3, ∞
f ′( x )
+
+
-
-
f ( x )
⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ e⎠
Max ⎜ 2,
Vertikalne asimptote: 1
1
x− 4 + x3
2
lim e
x →1−
= e∞ = ∞ , lim e
2
= e −∞ = 0, lim e
2
x− 4 + x3
x →1+
1
lim e
= e −∞ = 0
x =1
lijeva V.A.
= e∞ = ∞
x
=3
desna V.A.
1
x− 4 +x 3
2
x → 3−
x → 3+
x− 4 +x 3
Horizontalna asimptota:
1
3
y
1
5
x 2 − 4 x + 3
lim e
x →∞
= e =1 0
y
=1 4
3
2
1
x -2
2
4
6
1 x2
30. Odredite podru č je definicije i asimptote funkcije f(x) = -e . Odredite intervale rasta i pada funkcije, ispitajte konveksnost, konkavnost i skicirajte graf. D(f) =
{0}
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ Asimptote: V.A. x = 0 jer je lim ⎜ −e ⎟ = lim ⎜ −e ⎟ = −∞ ⎟ x →0 − ⎜ ⎟ x → 0 + ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 H.A. y = −1 jer je lim ⎜ −e x ⎟ = lim ⎜ −e x ⎟ = −e = −1 ⎟ x →−∞ ⎜ ⎟ x →+∞ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 2⎞ 2 ⎛ x x f′( x) = − e ⎜ − 3 ⎟ = e ⋅ 3 x ⎝ ⎠ 2
2
2
2
2
2
23 za
f ′ < 0 → funkcija pada
x < 0
x < 0
za
1
1
1
2
2
2
f ′ < 0 → funkcija raste
2 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 6⎞ 2 f′′( x) = e ⎜x − 3 ⎟ ⋅ 3 + e ⎜x − 4 ⎟ = − e ⋅x 6 (2 + 3 x ) > 0 → funkcija je konkavna x ⎝ x⎠ x ⎝ x⎠ y 2 1 x -4
-2
2
4
-1 -2 -3 -4 -5
31. Odredite podru č je definicije, nultočku, ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom ⎛ 1⎞ f(x) = arctg ⎜ 1 + ⎟ . ⎝ x⎠ D(f) =
{0}
1+
N.T.
1
=0
x = −1
1 ⎛ 1⎞ ⋅ − = − f ′( x ) ≠ 0 → nema ekstrema 2 ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 1 + + x x ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ 1 + ⎜1 + ⎟ ⎝ x ⎠ 4 x + 2 1 ′′ ( ) 0 4 2 0 T.I. = + = = − f ′′( x ) = f x x x (2 x 2 + 2 x + 1) 2 2 π ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ π lim arctg ⎜1 + ⎟ = − lim arctg ⎜ 1 + ⎟ = x → 0− x → 0+ 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 2 π π ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ lim arctg ⎜ 1+ ⎟ = lim arctg ⎜ 1+ ⎟ = arctg 1 = H.A. y= x →+∞ 4 4 ⎝ x ⎠ x →−∞ ⎝ x⎠
f ′( x ) =
1
y 1.5 1 0.5 x -3
-2
-1
1 -0.5 -1 -1.5
2
3
24 32. Odredite podru č je definicije, nultočku, ekstreme, točku infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom x-2 f(x) = arctg . x-1 D(f) =
{1}
N.T.
1
f ′( x ) =
⋅ 2
x − 1 − x + 1
⎛ x − 2 ⎞ ⎟ ⎝ x − 1 ⎠ −(4 x − 6) f ′′( x ) = (2 x 2 − 6 x + 5) 2 1+ ⎜
lim arctg
x − 2
x–2=0
( x− 1)
2
=
x=2 1
2 x − 6 x+ 5 2
f′′( x) = 0
= arctg ( −∞) = −
π
4 x− 6 = 0
lim arctg
x →1− 2 −1 π x − 2 x −2 lim arctg = lim arctg = arctg 1 = x →+∞ 4 x − 1 x →−∞ x −1 x →1+
f ′( x ) ≠ 0
x=
x − 2
−1
→ nema ekstrema 3 2
točka infleksije
= arctg ∞ = y
=
π
4
π
2 horizontalna
asimptota
33. Odredite podru č je definicije, nultočke, intervale rasta i pada, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom 1 4 f(x) = ln( x 2 - x +1) . 3 3 1 3
x2 −
x1,2 x1
4
x+ 1 > 0
3 = 2 ± 4 −3
= 1 x2 = 3
x2
− 4 x+ 3 > 0
= 2 ±1 D( f ) =
N.T. 1 2 4 x − x+ 1 = 1 x2 − 4 x = 0 3 3 1 4⎞ ⎛2 ′f( )x= −x ⎟ ⎜ 1 2 4 3 3⎠ x − x + 1 ⎝ 3 3
−∞,1 ∪ 3, ∞ x1
= 0 x2 = 4
25
f′( x) = 0
Asimptote: V.A. x = −3
2 3
x−
4 3
=0
x = 2 ∉ D( f )
nema stac. točaka
−∞,1
3, ∞
f ′( x )
-
+
f ( x )
x = −1
H.A. i K.A. nema
34. Odredite podru č je definicije, nultočke, intervale rasta i pada, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom: 1 - log 2 x f(x) = 1 + log 2x Domena:
x> 0
i 1 + log 2 x≠ 0
Nultočka:
1 − log 2 x= 0
log 2 x≠ −1 log 2 x= 1
x≠
1 2
x= 2
D( f ) = 0, ∞
⎧1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩2⎭
26
1−
f ( x ) = 1+
ln x ln 2 ln x
ln 2 − ln
=
ln 2 + ln
ln 2
1
1
− (ln 2 + ln x) − (ln 2 − ln x)
2ln2 x = − 2 (ln 2 + ln ) 2 x(ln 2 + ln x) f′( x) < 0 ∀ x∈ D( f ) → f pada na D( f ) ln 2 − ln x 1 Asimptote: V.A. lim = ∞ x = 1 2 x → ln 2 + ln x
f ′( x ) = x
2
lim
x → 0
ln 2 − ln x ln 2 + ln x
−
1
= lim x = −1 x →0
1
x nije V.A. H.A.
lim
x →∞
ln 2 − ln x ln 2 + ln x
= −1
y
= −1
35. Ispitaj tok i nacrtaj graf funkcije: f(x) = Arcsin(1- ex ) .
-1 ≤ 1- e x
Domena:
1 − e x
≤1
0 < e x
−∞ < x ≤ ln 2
=1 x = 0 1 −e x x ′(f )x= ⋅ (− e) = <0 2 x x2 x 1 − (1 − e ) 2e − e
Nultočka:
=0
≤2
e x
(e
− 2) 2e − e
x
x
2 x
<0 →
H.A. sin(1Arc e x ) =
lim
x →−∞
y =
sin1 Arc=
π
2
(lnf 2) =
sin( −1) = − Arc
( −∞ f )=
sin1 = Arc
π
2
π
2
= −∞, ln 2]
ex
funkcija pada na D(f), nema
ekstrema
′′( )f = x
D( f )
π
2
f je konkavna
