presef

Planteamiento del problema Meto Me todo dolo log g´ıa DDrawable -Vine RRegular -Vine Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa

DC- Vine para los principal principales es ´ındi ındices ces burs burs´ ´ atiles del atiles Mundo Danna Lesley Cruz Reyes

Profesora-Invest Profes ora-Investigadora igadora de la universidad univer sidad Santo Tomás as Estudiante del Doctorado en Estad´ Estad´ıstica de la universidad Nacional de Colombia.


1 Planteamiento

del problema

Me todol olog og´´ıa 2 Met Copulas Vine El modelo

3

DDrawable-Vine

4

RRegular -Vine CCannico -Vine Selecci´ on on del modelo

5

Bib ibliliog ogra raff´ıa


Planteamiento del problema •

Existen estructuras multivariadas en datos que poseen:

•

Diferentes distribuciones marginales,

•

•

•

Dependencias no simétricas etricas entre algunos pares de variables. Dependencias con colas pesados entre algunos pares de variables. Estos no se pueden modelar con distribuciones param´ paramétricas etricas estándar, andar, tales como la distribuci´ distr ibución on de Gauss multivariante.

La funci´ on on c´ opula permite modelar dependencias opula independientemente de sus distribuciones marginales. No obstante, los modelos cópula opula multivariados no permiten diferentes tipos de dependencia entre pares de variables.



Existen estructuras multivariadas en datos que poseen:

•

Diferentes distribuciones marginales,

•

•

•

Dependencias no simétricas etricas entre algunos pares de variables. Dependencias con colas pesados entre algunos pares de variables. Estos no se pueden modelar con distribuciones param´ paramétricas etricas estándar, andar, tales como la distribuci´ distr ibución on de Gauss multivariante.

La funci´ on on c´ opula permite modelar dependencias opula independientemente de sus distribuciones marginales. No obstante, los modelos cópula opula multivariados no permiten diferentes tipos de dependencia entre pares de variables.



•

•

•

•

[Joe(1996)] Joe(1996)] genera genera la construcci´ on on de distribuci´ on on de probabilidad multivariada por medio de bloques, llamada pair-copulas. [Bedford(2001a)] y [Bedford(2001b) [Bedford(2001b)]] realiz´ o una construcción on por medio de un árbol, arb ol, denominada denomi nada c´ opula vine. opula [Koller(2009)] Koller(2009)] present´ present´ o en su libro la teor´ teor´ıa básica asi ca de model mo delos os gr´ gráfico afi coss prob probab abiil´ısti ıs tico cos. s. [Aas(2009)] Aas(2009)] utiliz´ utiliz´ o esta construcci´ on on para determinar c´ opulas opulas multivariadas como la c´ opula gausiana, Gumbel y Clayton. opula [Haff(2010) Haff(2010)]] y [Stober(2013)] öber(2013)] presentan algunos ejemplos sobre los casos que se puedan utilizar la construcci´ on on de un árbol arb ol y una forma factorizada. factoriza da.

Planteamiento del problema Metodolog´ıa DDrawable -Vine RRegular -Vine Bibliograf´ıa

•

•

•

•

El n´ umero de c´ opulas que se pueden representar por medio de un grafo se presentan en [Haff(2010)] [Frees(2010)] proponen el uso de funciones c´ opula en análisis de regresi´ on multivariado a modelos de variables latentes. [Parsa(2012)] ofrece una alternativa usando funciones c´ opulas en análisis de regresi´ on multivariado, donde tiene la posibilidad de proporcionar un mejor ajuste a los datos observados [Sto¨ber(2013)] y [Xaver(2013)] en sus tesis doctorales del a˜ no 2013, propone un análisis multivariado basado en c´ opulas utilizando modelos gráficos probabil´ısticos y redes bayesianas.


Copulas Vine

Definition Una copula bivariada (o 2-copula) es una 2-subcopula cuyo dominio es I 2 . Equivalentemente, una copula es una funci´ on C , desde I 2 a I con las siguientes propiedades. 1. Para toda u, v en I . C (u, 0) = 0 = C (0, v ) C (u, 1) = u

y

C (1, v ) = v

Esto se conoce como las condiciones de frontera para copulas 2. Para todo u1 , u2 , v1 , v2 en I tal que u1 ≤ u2 y v1 ≤ v2 C (u2 , v2 ) − C (u2 , v1 ) − C (u1 , v2 ) + C (u1 , v1 ) ≥ 0.


Copulas Vine

Teorema on de distribuci´ on Teorema de Sklar Sea F (y1 , y2 ) una funci´ multivariada con marginales F 1 (y1 ), F 2 (y2 ); entonces existe una c´ opula C tal que F (y1 , y2 ) = C (F 1 (y1 ), F 2 (y2 ); θ)

donde θ es el parámetro de la c´ opula llamado parámetro de dependencia, el cual mide la dependencia entre las distribuciones marginales. [ Trivedi & Zimmer(2007) ].


C (u1 , u2 ; θ )

Nombre

Frank

−1

θ θ (u− + u − − 1) 1 2

Clayton −1 θ

log



1+

Copulas Vine

θ

(e−θu1 −1)(e−θu2 −1) e−θ −1



1θ Gumbel exp(−(˜ uθ ˜θ ˜j = − log(uj ) 1 +u 2 ) ), donde u

φ(t)

Rango de θ

θ−1 (t−θ − 1)

(0, ∞)

− log



(e−θt −1) e−θ −1

(− log(t))θ



(−∞, ∞) [1, ∞)

Cuadro: Algunas c´ opulas Arquimedianas y sus generadores.


Copulas Vine

Cada familia se designa por un número para resumir la notaci´ on (0 = indep.) •

Cópulas El´ıpticas • •

•

Cópulas Arquimedianas • • • •

•

family = 1 Cópula Gaussiana family = 2 Cópula t-Student family family family family

= = = =

3 4 5 6

Cópula Clayton Cópula Gumbel Cópula Frank Cópula Joe

Cópulas Arquimedianas dos par´ ametros • • • •

family = 7 Cópula Clayton - Gumbel (BB1) family = 8 Cópula Joe-Gumbel (BB6) family = 9 Cópula Joe-Clayton (BB7) family = 10 Cópula Joe-Frank (BB8)


Copulas Vine


Cópulas Arquimedianas • • •

•

family = 23 Cópula Clayton rotada 90 grados family = 24 Cópula Gumbel rotada 90 grados family = 26 Cópula Joe rotada 90 grados


family family family family

= = = =

27 28 29 30

Cópula Clayton - Gumbel (BB1) rotada 90 grados Cópula Joe-Gumbel (BB6) rotada 90 grados Cópula Joe-Clayton (BB7) rotada 90 grados Cópula Joe-Frank (BB8) rotada 90 grados


Copulas Vine


Cópulas Arquimedianas • • •

•

family = 33 Cópula Clayton rotada 270 grados family = 34 Cópula Gumbel rotada 270 grados family = 36 Cópula Joe rotada 270 grados


family = 37 Cópula Clayton - Gumbel (BB1) rotada 270 grados family = 38 Cópula Joe-Gumbel (BB6) rotada 270 grados family = 39 Cópula Joe-Clayton (BB7) rotada 270 grados family = 40 Cópula Joe-Frank (BB8) rotada 270 grados


Copulas Vine

C´ opulas rotadas Las c´ opulas arquimedianas rotadas capturan dependencias negativas: Si (U 1 , U 2 ) ∼ C 90o entonces (1 − U 1 , U 2 ) ∼ C 0o . Las c´ opulas de supervivencia son cópulas rotadas 180o 0 degrees

90 degrees

180 degrees

270 degrees

6 . 0 u

6 . 0 u

6 . 0 u

6 . 0 u

0 . 0

0 . 0

0 . 0

0 . 0

0.0

0.4 u1

0.8

0.0

0.4 u1

0.8

0.0

0.4 u1

0.8

0.0

0.4 u1

0.8


Copulas Vine

C´ opulas Vine El fin es lograr representar la función de densidad f (x1 , . . . , x n ) como un producto de pares de densidades de cópulas y de densidades marginales.1 n−1 n−1

f (x1 , . . . , x n ) =



n

ci,j |i1 ,...,ik (F (xi |xi ), F (x j |x j ))

j =1 i=1



f k (xk )

k=1

Este tipo de descomposici´ ones llamada una D-vine, ya que esta expresión se puede representar por medio de una gráfica con una secuencia de árboles anidados no dirigidos, llamada vine, donde las aristas indican los indices usados para la cópula condicional. 1

Tomado de [Kramer(2011)]


Copulas Vine

El modelo

La construcci´ on del modelo con un árbol regular consiste en asociar el conjunto de nodos N = N 1 , . . . , Nd −1 y el conjunto de aristas E = {E 1 , . . . , Ed −1 } por medio de la arista opula c j (e),k(e)|D(e) tal que: e = { j (e), k (e)|D(e)} en E i con una c´ n−1

f (x1 , . . . , xn ) =



i=1 e∈E i

n

cj (e),k(e)|D(e) (F (xj (e) |xD(e) ), F (xj (e) |xD(e) ))

 k=1

f k (x


DDrawable -Vine Por ejemplo, para n = 3, se tiene el siguiente grafo: 1

12

12

2

13|2

23

3

23

f (x1 , x2 , x3 ) = f 3 (x3 )f 2 (x2 )f 1 (x1 )(marginales)

× c12 (F 1 (x1 ), F 2 (x2 ))c23 (F 2 (x2 ), F 3 (x3 ))(Par no condicionales) × c13|2 (F 1|2 (x1 |x2 ), F 3|2 (x3 |x2 ))(Par condicional)



12

12

2

13|2

23

3

23





12

12

2

13|2

23

3

23




RRegular -Vine 13

1

12

2

3

34

4

15

5

f (x1 , x2 , x3 ) = f 5 (x5 )f 4 (x4 )f 3 (x3 )f 2 (x2 )f 1 (x1 )(marginales)

× c12 c13 c14 c34 (Par no condicionales)


RRegular -Vine 13

1

12

2

3

34

4

15

5


× c12 c13 c14 c34 (Par no condicionales)


RRegular -Vine 12

2, 3|1

13

1, 4| 3

34

3, 5| 1

15


× c12 c13 c14 c34 × c23|1 c14|3 c35|1


RRegular -Vine 12

2, 3|1

13

1, 4| 3

34

3, 5| 1

15


× c12 c13 c14 c34 × c23|1 c14|3 c35|1


RRegular -Vine

2, 3| 1

24|13

1, 4|3

45|13

3, 5| 1


× c12 c13 c14 c34 × c23|1 c14|3 c35|1 × c24|13 c45|13


RRegular -Vine

2, 3| 1

24|13

1, 4|3

45|13

3, 5| 1


× c12 c13 c14 c34 × c23|1 c14|3 c35|1 × c24|13 c45|13


RRegular -Vine regular

2, 4|1, 3

2, 5|1, 3, 4

4, 5|1, 3


× × × ×

c12 c13 c14 c34 c23|1 c14|3 c35|1 c24|13 c45|13 c25|134


RRegular -Vine regular

2, 4|1, 3

2, 5|1, 3, 4

4, 5|1, 3


× × × ×

c12 c13 c14 c34 c23|1 c14|3 c35|1 c24|13 c45|13 c25|134


CCannico-Vine 3 13

1

14

4

13 2, 3|1

12

2, 4|1

2

12 23|1

14

3, 4|12

24|1

f (x1 , x2 , x3 , x4 )

=

Aristas en T1 Aristas en T1 Aristas en T1          f 4 (x4 )f 3 (x3 )f 2 (x2 )f 1 (x1 ) × c12 c13 c14 × c23|1 c23|1 × c34|12          Nodos en T1

Nodos en T2


CCannico-Vine 3 13

1

14

4

13 2, 3|1

12

2, 4|1

2

12 23|1

14

3, 4|12

24|1

f (x1 , x2 , x3 , x4 )

=

Aristas en T1 Aristas en T1 Aristas en T1          f 4 (x4 )f 3 (x3 )f 2 (x2 )f 1 (x1 ) × c12 c13 c14 × c23|1 c23|1 × c34|12          Nodos en T1

Nodos en T2


Dada una densidad n−dimensional, es posible descomponerla en productos de las densidades marginales y densidades de la cópula bivariada, representando esta descomposici´ on con un conjunto anidado de árboles que cumplen una condici´ on de proximidad.

Condici´ on de proximidad Si dos nodos en el j + 1 árbol están unidos por una arista, la correspondiente arista en el j −ésimo árbol comparten un nodo.


Selecci´ on del modelo ´ Modelo=Arbol+C´ opula+Parámetros.

Datos

1

2

3

4


Selecci´ on del modelo ´ Modelo=Arbol+C´ opula+Parámetros.

Datos

1

2

3

4


Selecci´ on del modelo ´ Modelo=Arbol+C´ opula+Parámetros. 1

2

3

4



2

3

4


Selecci´ on del modelo ´ Modelo=Arbol+C´ opula+Parámetros. Normal

1

Calyton

3

2

Gumbel

4


Selecci´ on del modelo ´ Modelo=Arbol+C´ opula+Parámetros. Normal

1

Calyton

3

2

Gumbel

4



Normal ρ = ρ0

2

Gumbel, λ = λ0

Calyton, θ = θ0

3

4



Normal ρ = ρ0

2

Gumbel, λ = λ0

Calyton, θ = θ0

3

4


Los principales ´ındices burs´ atiles del mundo Se consideraron algunos de los ´ındices mundiales más grandes del mundo: •

El ´ındice Standard & Poor’s 500 de Estados Unidos S&P500 (ˆGSPC )

•

El ´ındice Nikkei de Jap´ on(ˆN 225)

•

El ´ındice SSE de China (ˆSSEC )

•

El ´ındice DAX de Alemania (ˆGDAXI )

•

El ´ındice CAC20 de Francia (ˆF C H I )

•

El ´ındice FTSE 100 de Inglaterra s (ˆF T S E )


0.0

0.4

0.8

0.0

0.4

0.8

0.0

0.4

0.8

6 . 0

^GSPC

0 . 0 6 . 0

^N225

0 . 0 6 . 0

^SSEC

0 . 0 6 . 0

^GDAXI

0 . 0 6 . 0

^FCHI

0 . 0 6 . 0

^FTSE

0 . 0

0.0

0.4

0.8

0.0

0.4

0.8

0.0

0.4

0.8


En R, la función BiCopVuongClarke de [Clarke(2007)] y [Vuong(1989)] determina que familia se ajusta mejor, compara las c´ opulas dos en dos y le asigna +1 si se ajusta y −1 si no se ajusta. Al final, se elije la que tenga mayor puntaje, por ejemplo para ˆF C H I y ˆF T S E : > BiCopVuongClarke(worldindices[,5],worldindices[,6], familyset=c(1:10,13,14,16:20)) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 16 17 18 19 20 Vuong 13 13 -11 4 0 -13 13 2 2 -9 -11 3 -13 13 1 2 -9 Clarke 13 16 -12 6 2 -12 13 4 1 -8 -12 4 -12 8 2 -4 -9

> BiCopSelect(worldindices[,5],worldindices[,6], familyset=c(1:10,13,14,16:20))$family [1] 2

opula t-Student. Por tanto la elecci´ on es la C´


Se selecciona un Cvine siguiendo la metodolog´ıa de [Czado C(2012)] tal que la raiz del nodo ˆF C H I enlazada con ˆN 225, ˆF T S E , ˆGSPC , ˆGDAXI y ˆSSEC


Tree 1

^FTSE

t,0.78 ^SSEC

SBB7,0.13 ^GDAXI

t,0.82 ^FCHI

BB7,0.19

SBB7,0.51


Tree 2

^FCHI,^GSPC

^FCHI,^GDAXI

^FCHI,^FTSE I,0

^FCHI,^N225 I,0


Tree 3

^N225,^SSEC|^FCHI

^N225,^GDAXI|^FCHI I,0

^N225,^FTSE|^FCHI I,0

^N225,^GSPC|^FCHI


Tree 4

^FTSE,^GSPC|^FCHI,^N225

^FTSE,^SSEC|^FCHI,^N225

^FTSE,^GDAXI|^FCHI,^N225


Tree 5

^GSPC,^SSEC|^FCHI,^N225,^FTSE

^GSPC,^GDAXI|^FCHI,^N225,^FTSE


Reference I Aas, C. C. A. F. H. B., K. (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance, Mathematics and Economics 44, 182–198. . Bedford, R. M. C., T. (2001a). Probability density decomposition for conditionally dependent random variables modeled by vines. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32, 245–268. . Bedford, R. M. C., T. (2001b). Vines - a new graphical model for dependent random variables. Annals of Statistics 30(4), 1031–1068. .


Reference II Clarke, K. (2007). A simple distribution-free test for nonnested model selection. Political Analysis (15), 347–363. Czado C, M. A., Schepsmeier U (2012). Maximum likelihood estimation of mixed c-vines with application to exchange rates. Statistical Modelling 12(3), 229–255. Frees, E. (2010). multivariate regression using copulas. University of Wisconsin .


Reference III Haff, K. F. A., I. Aasa (2010). on the simplified pair-copula construction simply useful or too simplistic? Journal of Multivariate Analysis 101(5), 1296 – 1310. . Joe, H. (1996). families of m-variate distributions with given margins and m(m-1)/2 bivariate dependence parameters. Distributions with Fixed Marginals and Related Topics. . Koller, F. N., D. (2009). Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques (Adaptive Computation and Machine Learning Serie). The MIT press.


Reference IV Kramer, U., N. Schepsmeier (2011). introduction to vine copulas. NIPS Workshop . Parsa, S., R. Klugman (2012). copula regression. Casualty actuarial society . Sto¨ber, A. (2013). Regular vine copulas with the simplifying assumption, time-variation, and mixed discrete and continuous margins . Ph.D. thesis, Technische Universität Mu ¨nchen.

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