´ Demostraci´ Demostracion o´ n de Algunos Teoremas del Algebra de Boole F. Enr´ Enr´ıquez, ıquez, Ingenier´ıa ıa Electr onica ´ y Control, EPN
aplicacion o´ n Abstract—El siguiente trabajo preparatorio es una aplicaci´ ´ a los teoremas de Algebra de Boole, en el que se comprobara´ su validez mediante compuertas compuertas logicas o´ gicas y su uso en las tablas de verdad. Los teoremas que se tratar´ trataran a´ n son los de Redundancia, Absorci´ Absorcion o´ n y De Morgan, todos estos con su respectivo teorema dual. Entre otras aplicaciones mediante Leyes Fundamentales y Proposiciones Elementales se simplificar´ simplificara´ expresiones para luego representarlas con compuertas l´ logicas. o´ gicas.
Circuito para comprobar el dual Teorema de Redundancia
˜ UN CIRCUITO III. C ON COMPUERTAS A-O-N, DISE NE ´ L OGICO QUE PERMITA VERIFICAR VERIFICAR EL TEOREMA DE ´ : A BSORCION X+X.Y=X
´ I. I NTRODUCCION
E
STE documento es la preparaci´ preparacion o´ n para la parte pr´ practica a´ ctica de la compro comprobac baci´ i´on o n de los los dife difere rent ntes es Teorm eormea eass del del ´ Algebra Alge bra de Boole. Boole. Esta comprobaci´ comprobaci´on on se la realizar´a mediante ante el uso de las diferent diferentes es compue compuerta rtass l´ogicas ogicas,, de igual igual forma el comportamiento dual de los teoremas que se obtiene cambia cambiando ndo compue compuerta rtass AND AND y OR. OR. La simpli simplifica ficaci ci´on o´ n de expresiones algebr´ algebraicas a´ icas es una herramie herramienta nta fundamental fundamental de los Sistemas Sistemas Digitale Digitaless ya que esta simplifcaci simplifcaci´on o´ n permite su representacin con compuertas A-O-N, NAND, OR.
Circuito para comprobar el Teorema de Absorci on o´ n
A. Compruebe el dual de esta funci´ on
X(X+Y)=X
˜ UN CIRCUITO II. C ON COMPUERTAS A-O-N, DISE NE ´ L OGICO QUE PERMITA VERIFICAR VERIFICAR EL TEOREMA DE R EDUNDANCIA: X+X.Y =
X + Y
Circuito para comprobar el dual Teorema de Abosrci´on on
˜ UN CIRCUITO IV. IV. C ON COMPUERTAS A-O-N, DISE NE ´ L OGICO QUE PERMITA VERIFICAR VERIFICAR EL TEOREMA DE D E M ORGAN : X.Y
= X + Y
Circuito para comprobar el Teorema de Redundancia
A. Compruebe el dual de esta funci´ funcion ´
X(X + Y ) =
XY
Circuito para comprobar el Teorema de De Morgan
A. Compruebe el dual de esta funci´ funcion ´ X + Y
= XY
PREPARATORIO DE SISTEMAS DIGITALES NO 4
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Circuito que representa la funci´on F con compuertas NAND
Circuito para comprobar el dual Teorema de De Morgan
´ : V. DADA LA F UNCI ON F=X.Z+Y.Z + X.Y.Z
A. Simplifique y exprese la funci´ on resultante con compuertas A-O-N
F=X.Z+Y.Z + X.Y.Z
= Z (X + XY ) + Y Z F = Z [(X + X )(X + Y )] + Y Z F = XZ + Y Z + Y Z F = XZ + Y (Z + Z ) F = XZ + Y F
Circuito que representa la funcion ´ F
B. Simplifique y exprese la funcion ´ resultante con compuertas NOR
F=XZ+Y F=(Y+Z)(Y+X) F=(Y + Z )(Y + X ) F
= Y + Z + Y + X
´ F con compuertas NOR Circuito que representa la funcion
C. Simplifique y exprese la funci´ on resultante con compuertas NAND
F=XZ+Y F=XZ + Y F
= XZ Y
D. Simule los literales de los circuitos anteriores y comprobar que se obtiene la misma tabla de verdad
Documento adjunto X
Y
Z
F
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1 1 1
Tabla de verdad a cumplirse en la funci´on F
VI. C ONCLUSIONES Toda funci´on algebraica puede ser representada mediante compuertas l´ogicas A-O-N o sus compuestas. ´ Los diferentes teoremas del Algebra de Boole al igual que los principios y leyes nos permiten tener una mayor facilidad de simplificaci´on de las diferentes funciones lo´ gicas. Todo teorema posee su principio de dualidad, es decir tiene su complemento en cual se obtiene cambiado ceros por unos, compuertas AND por OR.
R EFERENCES [1] Ing. Carlos Novillo,Docente de la EPN, Sistemas Digitales, 1ra ed.QuitoEcuador.
