STATIČKI NEODREĐENI SUSTAVI Statički određeni sustavi:
s=0
Statički određeni sustav je konstruktivni sustav koji ima minimalno potreban broj veza da bi bio geometrijski nepromjenljiv. Sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti samo iz uvjeta ravnoteže. Statički neodređeni sustavi:
s<0
Statički neodređeni sustav je konstruktivni sustav koji ima više od minimalno potrebnog broja veza da bi bio geometrijski nepromjenljiv. Sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.
jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav C
B A
dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
1
Statički određeni sustavi
Statički neodređeni sustavi SUSTAVI S PREKOBROJNIM VANJSKIM VEZAMA
Konzolna greda
Obostrano upeta greda
Gerberov nosač
Kontinuirana greda
Okvir sa zategom
SUSTAVI S PREKOBROJNIM UNUTARNJIM VEZAMA
Ojačana greda
Luk sa zategom
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
2
Određivanje stupnja statičke neodređenosti pomoću formule:
s = 3n d + 2n č − n š − 2 n z1 − 4 n z 2 − 6 n z3 − K − n l s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava n d - broj diskova; n č - broj čvorova; n š - broj štapova; n l - broj ležajnih veza; n zi - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)
s = 0 : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav s < 0 : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav s > 0 : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam)
Primjer 1:
B
A
C E
D
F
Analiza 1.
Analiza 2.
Vedrana Kozulić
G
broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj ležajnih veza
nd = 2 n č = 2 (točke F i G) nš = 5 n z1 = 1 (točka B)
Broj stupnjeva slobode:
s = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 5 − 2 ⋅1 − 3 = 0
broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj dvostrukih zglobova broj trostrukih zglobova broj ležajnih veza
nd = 7 nč = 0
Broj stupnjeva slobode:
s = 3 ⋅ 7 − 2 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 − 6 ⋅1 − 3 = 0
nl = 3
nš = 0 n z1 = 2 (točke D i E) n z 2 = 2 (točke F i G) n z3 = 1 (točka B) nl = 3
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
3
Primjer 2: F1
q
F2
F3
s = 3n d + 2n č − n š − 2 n z1 − 4 n z 2 − 6 n z3 − K − n l n d = 2 ; n č = 0 ; n š = 0 ; n z1 = 1 ; n l = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 9 s = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 − 9 = −5 pet puta statički neodređen sustav (ima 5 veza više od minimalno potrebnog broja)
Metode proračuna vanjskih i unutrašnjih sila za statički neodređene sustave: •
metoda sila
•
metoda pomaka
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
4
METODA SILA Postupak: 1. Određivanje stupnja statičke neodređenosti zadanog sustava (m): prepoznavanjem ili pomoću formule 2. Konstruiranje osnovnog sustava: presijecanjem viška vanjskih i/ili unutarnjih veza 3. Raskinute veze se nadomještaju odgovarajućim silama ili momentima: X1, X2, …, Xm 4. Formiranje sustava jednadžbi neprekinutosti (kompatibilnosti): rješenje sustava su sile i/ili momenti u raskinutim vezama X1, X2, …, Xm 5. Određivanje dijagrama unutrašnjih sila na zadanom statički neodređenom sustavu
Osnovni sustav je statički određen sustav koji se iz zadanog sustava dobiva prekidanjem veza (vanjskih i/ili unutarnjih). Prekida se onoliko veza koliki je stupanj statičke neodređenosti m.
Kod odabira osnovnog sustava treba: →
paziti da ne nastane mehanizam
→
paziti da se ne prekine previše vanjskih veza (MORAJU OSTATI MINIMALNO TRI VANJSKE VEZE)
Konačne vrijednosti unutarnjih sila N, T i M na zadanom sustavu: m
N = N v + ∑ Xi ⋅ n i i =1
m
T = Tv + ∑ X i ⋅ t i i =1
m
M = M v + ∑ Xi ⋅ mi i =1
N v , Tv , M v
unutarnje sile na osnovnom sustavu od vanjskog opterećenja
n i , t i , mi
unutarnje sile na osnovnom sustavu od sile X i = 1
Dakle, uvijek se proračunava osnovni sustav koji je statički određen a zatim se vrši superpozicija sila od zadanog vanjskog opterećenja i od sila u prekobrojnim vezama.
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
5
ZADANI SUSTAV
OSNOVNI SUSTAV
X1 X1
X1
X1
X2 X1
X3 X2
X1
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
X3
X1
X1
X1
X2
X2
6
Jednadžbe kontinuiteta (jednadžbe kompatibilnosti)
Postavlja se uvjet da ukupni pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile u prekobrojnoj vezi na osnovnom sustavu bude jednak mogućem pomaku na zadanom sustavu, a to znači da bude jednak nuli. Jednadžba kompatibilnosti za 1 × statički neodređeni sustav:
X1 ⋅ f11 + f1v = 0 Jednadžbe kompatibilnosti za 2 × statički neodređeni sustav: X1 ⋅ f11 + X 2 ⋅ f12 + f1v = 0 X1 ⋅ f 21 + X 2 ⋅ f 22 + f 2 v = 0 Za konstrukciju koja ima m prekobrojnih veza može se napisati sustav jednadžbi kontinuiteta: m
∑ X j ⋅ f ij + f i v = 0
(i = 1, 2, 3, . . . , m)
j=1
Vrijedi:
f ij = f ji
f ij - pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile Xi uzrokovan silom X j = 1 f i v - pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile Xi uzrokovan vanjskim djelovanjem
Ukupni pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile u prekobrojnoj vezi i na osnovnom sistemu sastoji se od pomaka usljed vanjskog opterećenja ( f i v ) i pomaka usljed sila X j ( X j ⋅ f ij , j = 1 , 2 , ... , m ). Koeficijenti u jednadžbama kompatibilnosti određuju se prema izrazima: f ij =
fi v =
∫
(s )
∫
(s )
ni ⋅ n j EA
ti ⋅ t j
∫
ds + k
GA
(s )
ni ⋅ Nv ds + k EA
∫
(s )
ds +
mi ⋅ m j
∫
(s )
t i ⋅ Tv ds + GA
∫
(s )
EI
ds
mi ⋅ M v ds EI
Ako se zanemare utjecaji uzdužne i poprečne sile, koeficijenti imaju jednostavniji oblik: f ij =
fi v =
Vedrana Kozulić
∫
(s )
∫
(s )
mi ⋅ m j EI
ds
mi ⋅ M v ds EI
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
7
Umjesto analitičke integracije, radi se grafička integracija po Vereščaginu: MV T
∫
A(MV)
(s )
M v ⋅ mi ds = 1 ⋅ A(M v ) ⋅ m i (s T ) EI EI
s a
b
A(M v ) → površina dijagrama momenata od vanjskog opterećenja
mi
m i (s T ) → ordinata momentnog dijagrama mi na mjestu težišta površine A(M v ) mi(sT)
s
a
b
Složeni dijagrami se prikazuju zbrojem dvije ili više funkcija: ψ1
MV =
d
e
c
x
ψ2
ψ3
+
c
+
d x
x
x
e
L
ϕ1
mi b a
ϕ2 b
= x
L
+ x
L
L
0
0
a
x
∫ M v (x ) ⋅ mi (x ) dx = ∫ [(ψ1 + ψ 2 + ψ 3 ) ⋅ (ϕ1 + ϕ2 )] dx
L
∫ M v (x ) ⋅ mi ( x ) dx = 0
Vedrana Kozulić
(
cL ⎛ b 2a ⎞ d L ⎛ 2b a ⎞ 2eL ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −b+a 2 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 3 2 2
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
)
8
PRIMJER: Odrediti dijagram momenata savijanja na jednostrano upetoj gredi duljine L, opterećenoj jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q. (Modul elastičnosti E i moment tromosti I konstantni su po cijeloj duljini grede.) y
q A
x B
EI L
Nepoznate sile u pridržajnim vezama:
By, Ax, Ay, MA
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ M = 0
Uvjeti ravnoteže:
→ zadani sustav je jedanput statički neodređen Osnovni sustav 1: konzola q
Uvjet neprekinutosti:
B
A
X1
f11 ⋅ X1 + f1v = 0 q
X1. f11
+ f1v
X1
=
q X1
Vertikalni pomaci slobodnog kraja grede: L m (x) 1
M v (x) dx EI
f1v = ∫
0
f11 =
Vedrana Kozulić
L m 2 (x) 1
∫
0
EI
dx
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
9
Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sustavu: y
y
q
x X1 = 1.0
L
x
L
m1 Mv
2
qL /2
L
m1 ( x ) = L − x
f1v
M v (x) = −
q (L − x ) 2 2
( )
⎛ 1 qL2 ⎞ 3 4 1 =− ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⋅ L ⎟⎟ ⋅ L = − 1 qL EI ⎝3 2 8E I ⎠ 4
f11 =
1 ⎛1 1 3 ⎞ ⎛2 ⎞ ⋅ ⎜ ⋅ L ⋅ L⎟ ⋅ ⎜ L⎟ = L EI ⎝2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3E I
X1 = −
qL4 8EI
f1v = 3 = 3 qL f11 8 L 3E I
Momenti savijanja na zadanom statički neodređenom sustavu: M
2
qL /8
M ( x ) = M v ( x ) + X1 ⋅ m1 ( x ) 2
2
5L/8
Vedrana Kozulić
Mmax= 9qL /128
q(L − x ) M(x ) = − + 3 q L ⋅ (L − x ) 2 8
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
10
Osnovni sustav 2: prosta greda X1
Jednadžba kontinuiteta:
q
f11 ⋅ X1 + f1v = 0
L
q
+
X1
X1. f11
=
X1
q
f1v
Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sustavu: X1 = 1.0
q L
L
m1
Mv
1
2
qL /8
Kutovi zaokreta:
m12 ( x ) 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛2 ⎞ dx = L ⋅ ⎜ ⋅ 1 ⋅ L ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ 1⎟ = E I E I 2 3 3 E I ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0
L
f11 = ∫
( )
L m (x) 1
M v (x) ⎛ qL2 ⎞ dx = 1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ ⋅ L ⎟⎟ ⋅ − 1 ⋅ 1 = − 1 qL3 EI EI ⎝3 8 2 24 E I ⎠
f1v = ∫
0
3
X1 = −
f1v f11
qL 24 E I 1 2 = = qL L 8 3E I
Momenti savijanja na zadanom statički neodređenom sustavu:
M( x ) = M v ( x ) + X1 ⋅ m1 ( x )
M
2
qL /8
1 2 q L2 M (0) = 0 + q L ⋅ (−1) = − 8 8 2
5L/8
Vedrana Kozulić
Mmax= 9qL /128
M ( L 2) =
q L2 1 2 1 q L2 + q L ⋅ (− ) = 8 8 2 16
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
11
KONTINUIRANI NOSAČI
0
1
i−1
i
i+1
n
1
i−1
i
i+1
n
Osnovni sustav (1): 0
X1
Xi−1
Xi
Xi+1
Osnovni sustav (2): X1 X1
Xi−1
Xi−1
Xi
Xi
Xi+1
0
Xi+1
n
Osnovni sustav čini niz prostih greda. Nepoznati su momenti savijanja nad osloncima:
M1 = X1 , M 2 = X 2 , . . . , M n −1 = X n −1
Vedrana Kozulić
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
12
Primjer: Dva puta statički neodređen nosač F1
q 0
F2
1
2
L1
q
3
L2 X1
F3
F1
X1
L3 X2
X2 F 2
F3
m1 1
m2 1
Mv
Ukupni moment savijanja u proizvoljnom presjeku nosača:
M = M v + X1 ⋅ m1 + X 2 ⋅ m 2 Jednadžbe kontinuiteta (kompatibilnosti) su: X1 ⋅ f11 + X 2 ⋅ f12 + f1v = 0 X1 ⋅ f 21 + X 2 ⋅ f 22 + f 2 v = 0 gdje je: 3
f11 = ∫
0
2
2
3 m ⋅m 3 m m1 2 dx ; f 22 = ∫ dx ; f12 = f 21 = ∫ 1 2 dx EI EI EI 3
f1v = ∫
0
Vedrana Kozulić
0
0
3 m ⋅M m1 ⋅ M v v dx ; f 2 v = ∫ 2 dx EI EI 0
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
13
Za kontinuirani nosač s više polja: F1
i−2
i−1
i
Li−2, i−1 Xi−2
Xi−2
Li−1, i
Xi−1
Xi−1
F2
i+1
Li, i+1 Xi
Li+1, i+2 Xi+1
Xi
i+2
X i+1
Xi+2
Xi+2
mi−2 1
mi−1 1
mi 1
mi+1 1
mi+2 1
U svakoj jednadžbi kompatibilnosti javljaju se samo tri nepoznata momenta. Jednadžba kompatibilnosti za i-ti ležaj: X i −1 ⋅ f i,i −1 + X i ⋅ f i,i + X i +1 ⋅ f i,i +1 + f iv = 0 ↓ Clapeyronova jednadžba za kontinuirani nosač (jednadžba triju momenata) Koeficijenti f ij u jednadžbi kompatibilnosti koja pripada i-tom ležaju: f i , i −1 =
Vedrana Kozulić
L i −1, i 6EI
;
f i,i =
L i −1, i + L i , i +1 3E I
;
f i , i +1 =
Tehnička mehanika 2 – Metoda sila
L i , i +1 6EI
14
