Predavanja_Metoda_pomaka

METODA POMAKA Metoda pomaka je metoda proračuna statički neodređenih sustava u kojoj su nepoznanice translacijski i rotacijski pomaci odabranih točaka nosača koje nazivamo čvorovima. Čvor - točka u kojoj se spajaju dva ili više štapova, ili kraj štapa Y

F1

F2

q

1

2

4

3

6

5

X

Svaki čvor u ravnini ima tri neovisna pomaka:

Ui - pomak čvora i na pravcu osi X Vi - pomak čvora i na pravcu osi Y Φ i - zaokret poprečnog presjeka u čvoru i oko osi Z Svi štapovi koji su kruto spojeni u jednom čvoru imaju u njemu jednake pomake.

i j

ϕil

ϕij

l

ϕij = ϕik = ϕil = Φ i

ϕik k

−

Točna metoda pomaka: sva tri pomaka čvora uzimaju se kao nepoznanice

−

Inženjerska metoda pomaka (približna metoda pomaka): broj nepoznanica se smanjuje jer se zanemaruju uzdužne deformacije ravnih grednih elemenata. Metoda je pogodna za konstrukcije kod kojih deformacije nastaju dominantno od savijanja.

Stupanj kinematičke neodređenosti sustava: ukupan broj međusobno neovisnih pomaka U inženjerskoj metodi pomaka nepoznanice su: − −

kutovi zaokreta slobodnih (nepridržanih) čvorova neovisni translacijski pomaci (ako ih ima)

Vedrana Kozulić

Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka

1

Oblik deformirane konstrukcije Prije početka analize statički neodređenih sustava metodom pomaka, potrebno je imati predodžbu o očekivanom ponašanju konstrukcije pod djelovanjem zadanog opterećenja. Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir sa zglobnim osloncima

a)

b)

c)

M

M

M

slučajevi opterećenja a) i b):

- simetrični deformacijski oblici i dijagrami momenata - za analizu su potrebne četiri varijable pomaka: zaokreti u oslonačkim točkama i na svakom kraju horizontalne grede

slučaj opterećenja c):

- antisimetrični deformacijski oblik i dijagram momenata - za analizu je potrebno pet varijabli pomaka: četiri zaokreta čvorova i horizontalni pomak gornje grede

Vedrana Kozulić


2

Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir s upetim osloncima

a)

b)

c)

M

M

M

Osnovne razlike u odnosu na nosač sa zglobnim osloncima: • Budući da nema zaokreta u osloncima, broj nepoznatih pomaka se reducira za dva • Kako bi bio ispunjen uvjet da je zaokret u osloncu jednak nuli, na svakom stupu se javlja

promjena zakrivljenosti odnosno točka infleksije • Dodatno ograničenje pomaka na osloncima povećava cjelokupnu krutost konstrukcije, te

su općenito pomaci točaka manji

Vedrana Kozulić


3

Princip metode pomaka Razmatra se konstrukcija na crtežu a). A

P

A

B

P

M

C

B

M

M1

A

P B

C

C

(a)

(b) svi čvorovi su upeti

(c)

M2

čvor B se otpušta

−

Zamislimo da su postavljene veze koje spriječavaju zaokrete u svim čvorovima (crtež b) → svaki element sustava se ponaša kao obostrano upeta greda.

−

Javljaju se momenti upetosti M

−

Otpušta se veza u čvoru B koja spriječava zaokret

−

U čvoru B javlja se neravnoteža momenata

−

Čvor B se zaokreće sve dok se ne postigne ravnotežni položaj (crtež c)

−

Zaokretom čvora B postignuta je ravnoteža momenata u tom čvoru, ali se istovremeno javljaju dodatni momenti u čvorovima A i C. Time je neuravnoteženi moment u čvoru B preraspodijeljen na ostale dijelove konstrukcije.

Konačne vrijednosti momenata dobivaju se superpozicijom momenata za stanje spriječenih pomaka čvorova (stanje pune upetosti) i momenata za stanje slobodnih pomaka:

M =M+m Postupak proračuna statički neodređenih sustava metodom pomaka: 1)

razmatranjem geometrije konstrukcije i opterećenja koje na nju djeluje, identificiraju se nepoznati pomaci čvorova koji će biti osnovne varijable u analizi;

2)

korištenjem svojstava krutosti pojedinih elemenata konstrukcije, formuliraju se jednadžbe koje povezuju djelujuće opterećenje i pomake čvorova s momentima na krajevima štapova;

3)

iz uvjeta ravnoteže momenata u čvorovima dobiva se sustav jednadžbi čije rješenje predstavlja tražene pomake čvorova;

4)

uvrštavanjem vrijednosti pomaka čvorova u jednadžbe krutosti formirane u 2), određuju se momenti na krajevima štapova;

5)

reakcije, poprečne sile i uzdužne sile nalaze se korištenjem uvjeta ravnoteže pojedinih elemenata ili dijelova konstrukcije.

Vedrana Kozulić


4

Konvencija o predznacima i označavanje Identifikacija štapova kao elemenata konstrukcije koji spajaju čvorove:

m

i

j

Konvencija o predznacima: Momenti savijanja na krajevima štapa, kutovi zaokreta krajeva štapa i relativni pomak jednog kraja štapa u odnosu na drugi kraj uzimaju se kao pozitivni ako imaju smjer suprotno od kretanja kazaljke na satu. KUT ZAOKRETA ČVORA

+

y

ϕj i

ϕi

j

x

POMACI KRAJEVA ŠTAPA

+ i

+

j

ψ

δi

δj

ψ i

MOMENTI SAVIJANJA NA KRAJEVIMA ŠTAPA

+

Mij

j

POPREČNE SILE NA KRAJEVIMA ŠTAPA

Mji

+

i

j

j

i

Tij

Lij

Tji

Lij

Tij = Tji =

M ij + M ji L ij

MOMENTI SAVIJANJA U ČVORU

Mil

l

i

+

Mij

j

Mik k

Sile na kraju štapa – sile kojima čvor djeluje na kraj štapa; Sile u čvoru – sile kojima kraj štapa djeluje na čvor. Označavanje momenata:

M ij označava moment na štapu ij u čvoru i M ji označava moment na štapu ij u čvoru j

Vedrana Kozulić


5

Proračun unutarnjih sila Ukupne sile na krajevima štapa mogu se dobiti superpozicijom partikularnih rješenja. Prvo partikularno rješenje: određivanje momenata savijanja na obostrano upetom štapu za zadano opterećenje (momenti upetosti M AB i M BA , crtež b) Drugo partikularno rješenje: određivanje sila na krajevima neopterećenog štapa koji na krajevima ima pomake - zaokrete krajeva štapa ( ϕ A i ϕB ) i njihov relativni pomak (δ) (crtež c). a)

P1

P2

A

δ

ϕB

MBA B

ϕA TBA

MAB TAB

b) MAB

P1

MBA

P2

A

B

c) ϕB

A

δ

mBA B

ϕA tBA

mAB tAB

Konačne vrijednosti momenata na krajevima štapa (crtež a) dobivaju se:

M AB = M AB + m AB ;

M BA = M BA + m BA

Pomaci krajeva štapa su nepoznate veličine koje će se naknadno odrediti.

Vedrana Kozulić


6

Sile na krajevima štapa od pomaka čvorova. Koeficijenti krutosti. Sile na krajevima neopterećenog štapa za stanje slobodnih pomaka čvorova su poprečne sile ( t AB i t BA ) i momenti savijanja ( m AB i m BA ). x ϕB

A

δ

mBA B

ϕA tBA

mAB tAB L

Štap između čvorova A i B za ravnotežno stanje zadovoljava diferencijalnu jednadžbu: 2 E I d v2 = M dx

Moment na udaljenosti x od kraja A može se napisati kao: M = −m AB − t AB x 2 Rješavanjem jednadžbe E I d v2 = − m AB − t AB x dobiva se veza između momenta savijanja na dx kraju štapa ( m AB ) i pomaka na krajevima štapa ( ϕ A , ϕB i δ):

m AB =

4 EI 2 EI 6 EI ϕA + ϕB + 2 δ L L L

Analognim postupkom se dobiva izraz i za moment na drugom kraju štapa:

m BA =

4 EI 2 EI 6 EI ϕB + ϕA + 2 δ L L L

Općenito, za štap koji spaja čvorove i i j, analitički izrazi za momente na krajevima štapa su: m ij = a ij ⋅ ϕi + b ij ⋅ ϕ j + c ij ⋅ δ m ji = b ji ⋅ ϕi + a ji ⋅ ϕ j + c ji ⋅ δ

Relativni pomak krajeva štapa:

δ = v ij − v ji - razlika apsolutnih pomaka krajeva štapa okomitih na os štapa Koeficijenti koji uspostavljaju vezu između momenata na krajevima štapa i pomaka zovu se koeficijenti krutosti: 4 EI 2 EI 6 EI ; ; a ij = a ji = b ij = b ji = c ij = c ji = 2 L L L a ij → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u čvoru i dok je istovremeno spriječen zaokret čvora j

Vedrana Kozulić


7

b ij → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u čvoru j dok je istovremeno spriječen zaokret čvora i

Štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan

Za zglobnu vezu na kraju (i) štapa (i)-(j): i

m ij = a ij ⋅ ϕi + b ij ⋅ ϕ j + c ij ⋅ δ = 0

j

→ ϕi = −

(bij ⋅ ϕ j + cij ⋅ δ) a ij

Uvrštavanjem izraza za ϕi u izraz za m ji dobiva se: ⎛ ⎛ b ij c ij ⎞ b ij2 ⎞ ⎟⋅δ ⎜ m ji = a ji − ⎟ ⋅ ϕ j + ⎜ c ji − ⎜ ⎜ a ij ⎟ a ij ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a cji = a ji −

b ij2

c cji = c ji −

;

a ij

b ij c ij a ij

m ji = a cji ⋅ ϕ j + c cji ⋅ δ Koeficijenti krutosti:

a cji =

3 EI L

→ m ji =

Vedrana Kozulić

;

c cji =

3 EI L2

3 EI 3 EI ⋅ϕj + 2 ⋅δ L L


8

Momenti upetosti To su momenti koji se javljaju na upetim krajevima štapa usljed zadanog opterećenja. Mogu se odrediti pomoću diferencijalne jednadžbe elastične linije nosača: 2

EI d v2 = M dx Npr. greda opterećena koncentriranom silom na udaljenosti a od kraja A. P

MAB

MBA

A

B a

VA

b L

VB

P

MAB

M

x

VA

Diferencijalna jednadžba elastične linije nosača je: 2

EI d v2 = − M AB + VA x − P ( x − a ) dx Rješavanjem jednadžbe dobiva se:

M AB = +

Pa b 2 L2

M BA = −

Pa 2 b L2

Sličnim postupkom dobilo bi se: M

P

MBA B

x

VB

Za djelovanje koncentrirane sile u sredini raspona:

a=b= L 2

→

M AB = +

PL ; 8

M BA = −

PL 8

Analognim postupkom, za jednoliko distribuirano opterećenje q: q L2 q L2 ; M BA = − M AB = + 12 12 Greda koja je na jednom kraju upeta a na drugom slobodno oslonjena Mba

Mab A

Vedrana Kozulić

B

Za poznatu veličinu aktivnog krajnjeg momenta M ab moment na upetom kraju iznosi: 1 (prijenosni moment) → M ba = M ab 2


9

Momenti upetosti usljed pomaka oslonaca Usljed pomicanja oslonca, greda se rotira kao kruto tijelo (rotacija ψ ). Ako se oslonac A slegne za veličinu δ: A

Mba

Mab

ψ= δ L

B

ψ

δ

slijedi: M ab = M ba = −

L

6 EI δ 6 EI =− ψ 2 L L

Ako se oslonac B slegne za veličinu δ: Mba

Mab A

ψ= δ L

B

ψ

δ

slijedi: M ab = M ba =

L

6 EI δ 6 EI = ψ L L2

Momenti upetosti za štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan i

q

j

M ijc = a ij ⋅ ϕiu + M ij = 0

M jic = b ji ⋅ ϕiu + M ji = M ji − Za štap konstantnog poprečnog presjeka: 4 EI 2 EI ; b ij = ; b ij = b ji a ij = L L

→

b ji a ij

=

1 2

ϕiu = −

⇒

M ij a ij

M ij ⋅ b ji

⇒

a ij c

M ji = M ji −

1 M 2 ij

Npr. za jednoliko raspodjeljeno opterećenje q: c

Mba

q A

B

Momenti upetosti za obostrano upeti štap: q L2 q L2 ; M ba = − M ab = + 12 12

L

→

Vedrana Kozulić

q L2 1 q L2 − 12 2 12 q L2 =− 8

c M ba =−

c M ba


10

Za opterećenje koncentriranom silom u polovini raspona: Momenti upetosti za obostrano upeti štap: PL PL ; M ba = − M ab = + 8 8

c

Mba

P A

B L/2

L/2

PL 1 PL − 8 2 8 3 PL =− 16

c M ba =−

Pomaci oslonaca:

→

c M ba

c M ba =

3 EI δ 3 EI = ψ L L2

c

Mba

A

ψ

B

δ

L

c

Mba A

δ

B

ψ

c =− M ba

3 EI δ 3 EI =− ψ 2 L L

L

Vedrana Kozulić


11

TABLICA MOMENATA UPETOSTI

Mij

Mji

q

Mij j

i

q j

i

L

Mij

L

Mji

2

q L /8

Mij

2

q L /8

q L2 q L2 M ij = ; M ji = − 12 12

j

i

L/2

Mij

P j

i

L/2

L/2

Mji

P L/4

q L2 ; M ji = 0 8

Mij

Mji

P

Mij

M ij =

L/2

Mij P L/4

M ij =

Vedrana Kozulić

PL PL ; M ji = − 8 8

M ij =


3P L ; M ji = 0 16

12

Uvjeti ravnoteže Izrazi za ukupne veličine momenata savijanja na krajevima štapa (i)-(j): M ij =

4 EI 2 EI 6 E I δ ij + M ij ϕi + ϕj + L ij L ij L ij L ij

M ji =

4 EI 2 EI 6 E I δ ij ϕj + ϕi + + M ji L ij L ij L ij L ij

Uvodeći oznaku za fleksijsku krutost štapa k ij i zaokret štapa kao krutog tijela ψ ij : k ij =

EI ; L ij

ψ ij = −

δ ij

L ij

može se pisati:

M ij = 4 k ij ϕi + 2 k ij ϕ j − 6 k ij ψ ij + M ij M ji = 4 k ij ϕ j + 2 k ij ϕi − 6 k ij ψ ij + M ji Nepomični sustavi: translacijski pomaci imaju zanemariv utjecaj na rezne sile Pomični sustavi:

translacijski pomaci su bitni; oni su funkcija neovisnih translacijskih pomaka

Uvjeti ravnoteže momenata u čvorovima nepomičnog konstruktivnog sustava Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):

∑ M ij = 0

→

( j)

∑ (m ij + M ij ) = 0

( j)

m ij −

moment na kraju (i) štapa (i)-(j) za stanje slobodnih pomaka

M ij −

moment upetosti na kraju (i) štapa (i)-(j)

→

∑ (a ij ⋅ ϕi + b ij ⋅ ϕ j + c ij ⋅ δij ) = − ∑ M ij

( j)

( j)

Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su vrijednosti zaokreta čvorova. Momenti na krajevima štapova su:

M ij = m ij + M ij

Konačne poprečne sile na krajevima štapova: Tij = Tij0

M ij + M ji + L ij

Tji = Tji0

M ij + M ji + L ij

j

i

Tij0

Tji0

Uzdužne sile N ij - određuju se iz uvjeta ravnoteže čvorova ili dijelova konstrukcije.

Vedrana Kozulić


13

Primjer: GREDNI NOSAČ PREKO TRI OSLONCA - jedan neovisni kut zaokreta Momenti upetosti:

2

q

3

1

EI

EI

ϕ2

L

2

qL M 21 = − 12

2

qL =− 12

M12

qL = 12

M 23

qL = 12

L

2

2

M 32

Momenti na krajevima štapova: 2

M12 = 2

EI qL ⋅ ϕ2 + L 12

M 23 = 4

EI qL ⋅ ϕ2 + L 12

2

M 21 = 4

EI qL ⋅ ϕ2 − L 12

M 32 = 2

EI qL ⋅ ϕ2 − L 12

2

2

∑ M 2 = 0 → M 21 + M 23 = 0

Jednadžba ravnoteže čvora (2): 4

EI q L2 q L2 EI ⋅ ϕ2 + 4 ⋅ ϕ2 = − L 12 12 L

Jednadžba ravnoteže cijelog sistema ima oblik: 8 2

M12

Slijedi:

qL = 12

EI ⋅ϕ = 0 L 2

⇒

2

2

qL M 21 = − 12

,

ϕ2 = 0

,

M 23

qL = 12

2

,

M 32 2

T12 =

Poprečne sile:

qL =− 12 2

qL qL − 12 12 + q L = q L T12 = L 2 2

M12 + M 21 0 + T12 L

Dijagrami unutrašnjih sila: Mx

2

qL /12

2

Tx

2

qL /12

qL /12 M12

Vedrana Kozulić

2

M21

qL /24

M23

2

qL /24

qL/2 +

M32


qL/2 −

+

qL/2

− qL/2

14

Primjer: GREDNI NOSAČ OPTEREĆEN POMAKOM OSLONCA Nosač ima konstantnu fleksijsku krutost EI = 25.0 ⋅103 kNm2 . Usljed diferencijalnog slijeganja tla nastaje pomak oslonca 4 u odnosu na oslonce 1, 2 i 3 za 30 mm. 4

1 2

3

EI 6.0 m

δ4 = 30 mm

6.0 m

6.0 m

Momenti upetosti: M12 = 0 , M 21 = 0 , M 23 = 0 , M 32 = 0 3

M 34 = M 43 = − 6 ⋅ 25.02⋅10 ⋅ (−0.03) = 125 kNm 6 .0

Momenti na krajevima štapova:

M12 = 2

EI ⋅ϕ L12 2

M 21 = 4

EI ⋅ϕ L12 2

M 23 = 4

EI EI ⋅ ϕ2 + 2 ⋅ϕ L 23 L 23 3

M 32 = 4

EI EI ⋅ ϕ3 + 2 ⋅ϕ L 23 L 23 2

M 34 = 4

EI EI ⋅ ϕ3 + M 34 = 4 ⋅ ϕ + 125 L 34 L 34 3

M 43 = 2

EI EI ⋅ ϕ3 + M 43 = 2 ⋅ ϕ + 125 L 34 L 34 3

Jednadžba ravnoteže čvora (2):

∑ M 2 = 0 → M 21 + M 23 = 0 8

Jednadžba ravnoteže čvora (3):

EI EI ⋅ ϕ2 + 2 ⋅ϕ = 0 L L 3

∑ M 3 = 0 → M 32 + M 34 = 0 2

EI EI ⋅ ϕ + 8 ⋅ ϕ3 = −125 L 2 L

Rješenje sustava jednadžbi: ϕ2 =

Vedrana Kozulić

125 L 30 E I

; ϕ3 = −

500 L 30 E I

⇒ ϕ 2 = 0.001 ; ϕ3 = −0.004


15

Slijedi:

M12 = 8.3 kNm , M 21 = 16.7 kNm , M 23 = −16.7 kNm , M 32 = −58.3 kNm M 34 = 58.3 kNm , M 43 = 91.6 kNm 4

1 2

3

EI 6.0 m

8.3

δ4 = 30 mm

6.0 m

16.7

6.0 m

58.3

91.6

Mx

vx

Vedrana Kozulić


16

Jednadžbe ravnoteže kod pomičnih konstruktivnih sustava Pomični sustavi - sustavi s neovisnim translatornim pomacima 1) Uvjeti ravnoteže momenata Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):

∑ M ij = 0

→

( j)

∑ (m ij + M ij ) = 0

( j)

2) Dodatne jednadžbe ravnoteže broj dodatnih jednadžbi ravnoteže = broj neovisnih translatornih pomaka čvorova Dodatne jednadžbe dobivaju se iz uvjeta ravnoteže pogodno odabranih dijelova konstrukcije. Npr., za portalni okvir opterećen horizontalnim opterećenjem: P

B

MBA

C

VB HB

MCD

HA

MDC

VC HC

h

A

MAB

D

VA

HD VD

iz uvjeta ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB i oko točke C na stupu CD dobiva se:

H A h = M AB + M BA , H D h = M CD + M DC Iz uvjeta ravnoteže horizontalnih sila za cijeli okvir slijedi jednadžba: P = HA + HD =

M AB + M BA M CD + M DC + h h

Ista jednadžba bi se dobila i iz uvjeta ravnoteže sila u horizontalnom smjeru dijela konstrukcije prikazanog na crtežu (jednadžba posmičnih sila): P

B

C TBA

P = TBA + TCD =

Vedrana Kozulić

TCD

M AB + M BA M CD + M DC + h h


17

Umjesto jednadžbi posmičnih sila, dodatne jednadžbe formiraju se i korištenjem principa virtualnih pomaka. Primjena principa virtualnih pomaka za kruto tijelo: •

spriječe se svi neovisni translatorni pomaci

•

na spojevima štapova i čvorova ubacuju se zglobovi

•

oslobađa se pojedina veza koja spriječava translatorne pomake - dio konstrukcije pretvara se u mehanizam

•

dobivenom mehanizmu daje se virtualni pomak W ∗ = 1 , čvorovi se pomiču translatorno

•

formira se jednadžba virtualnog rada; rad vrši vanjsko opterećenje i momenti na krajevima štapova

Jednadžba virtualnog rada predstavlja uvjet ravnoteže dijela konstrukcije. Za k-ti neovisni translatorni pomak jednadžba virtualnog rada glasi:

∑ [(M ij + M ji ) ⋅ ψ ij (k ) + Fm ⋅ δ m (k ) + ∫ q( x ) ⋅ δ x (k ) ⋅ dx + Pi ⋅ δ i ] = 0 ψ ij (k ) −

zaokret štapa (i)-(j) pri virtualnom pomaku

Fm − δ m (k ) − Pi −

koncentrirana sila na štapu pomak točke na pravcu sile koncentrirana sila u čvoru

∫ q( x ) ⋅ δ x (k ) ⋅ dx

− rad kontinuiranog opterećenja na štapu

Sumacija se vrši preko svih štapova i čvorova koji imaju pomake uzrokovane virtualnim ∗

pomakom Wk = 1 . Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su: - vrijednosti zaokreta čvorova ϕ - vrijednosti neovisnih translatornih pomaka čvorova W

Vedrana Kozulić


18

Primjer ravninskog pomičnog sustava bez kutova zaokreta (nema nepoznanica ϕ, samo translatorni pomak W)

Jednokatni okvir s krutom prečkom izložen djelovanju horizontalne sile W=1

kruta prečka

2

H

3

EI → ∞

EI

ψ12

h

EI

1

ψ34 h

4

L

Nema savijanja prečke (nema rotacijskih pomaka); jedan nezavisni translatorni pomak W horizontalni pomak čvora 2 = horizontalni pomak čvora 3 ⇒ ψ12 = ψ 34 = ψ 1 Za pomak W u pozitivnom smjeru globalne osi X je: ψ = − ⋅ W h Momenti upetosti su jednaki nuli. Momenti na krajevima štapova: M12 = M 21 = M 34 = M 43 = −6

EI 6 EI ⋅ψ = + 2 ⋅W h h ∗

Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku W = 1 glasi: ∗

∗

(M12 + M 21 ) ⋅ ψ12 + (M 34 + M 43 ) ⋅ ψ 34 + H ⋅1 = 0 4⋅

6 EI h

2

1 ⋅ W ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ = −H ⎝ h⎠

Jednadžba ravnoteže sustava ima oblik:

24 E I ⋅ W = H h3 ⇒

⇒

3

W = H⋅h 24 E I

M12 = M 21 = M 34 = M 43 =

H⋅h 4 Hh 2L

H h/4

H h/4

−

H h/4 +

Mx

h/2

H h/4

Vedrana Kozulić

+

Tx H h/4

H/2


H/2

19

Pomični sustavi s kutovima zaokreta Primjer 1:

Odrediti dijagram momenata za F = 100 kN. F 1

3

EI

2

EI

4.0

2EI

4

3.0

Nepoznanice su:

3.0

- kut zaokreta čvora 2, ϕ2 - horizontalni translacijski pomak grede 1-2-3, W

Svi momenti upetosti su jednaki nuli

⇒ M ij = m ij

Veza između momenata na krajevima štapa i pomaka za obostrano upetu gredu: m ij = 4 k ij ϕi + 2 k ij ϕ j − 6 k ij ψ ij m ji = 4 k ij ϕ j + 2 k ij ϕi − 6 k ij ψ ij

gdje je ψ ij = −

δ ij

L ij

kut zaokreta grednog elementa kao krutog tijela; δ ij = v ij − v ji

v ij i v ji su komponente pomaka čvorova (i) i (j) elementa (i)-(j) na pravcima okomitim na njegovu os. Za jednostrano upetu gredu sa zglobom u čvoru (j) je:

m ij = 3 k ij ϕi − 3 k ij ψ ij

Vedrana Kozulić


20

∗

Plan pomaka zglobne sheme za W = 1 : W=1

1 ψ12

5/4

1

.

3/4

ψ32

ψ42

∗

∗

v12 ( W ) = 0

v 21 ( W ) = −

3 v 23 ( W ) = − 4 ∗

v 32 ( W ) = 0

∗

v 24 ( W ) = −

3 4

∗

∗

∗

∗

∗

∗

v ( W ) − v 32 ( W ) −3 4−0 1 ψ 23 ( W ) = − 23 =− = L 23 3 4 ∗

∗

v 42 ( W ) = 0

∗

v12 ( W ) − v 21 ( W ) 0 − (− 3 4) 1 =− =− L12 3 4

∗

ψ12 ( W ) = −

5 4

v 42 ( W ) − v 24 ( W ) 0 − ( − 5 4) 1 =− =− L 24 5 4

∗

ψ 24 ( W ) = − ∗

∗

Pomak i kut zaokreta pri translacijskom pomaku W = 1 : ∗

v ij = v ij ( W ) ⋅ W i

Pomak i kut zaokreta pri općem pomaku W:

∗

v ij ( W ) i ψ ij ( W ) ∗

ψ ij = ψ ij ( W ) ⋅ W

Proračunski koeficijenti fleksijske krutosti: k12 =

EI 1 1 EI 1 1 2EI 1 2 = , k 23 = = , k 24 = = L12 E I 3 L 23 E I 3 L 24 E I 5

Momenti na krajevima grednih elemenata kao funkcije kuta zaokreta ϕ2 i pomaka W: 3 4

1 4

M 21 = 3 k12 ϕ 2 − 3 k12 ψ12 = 3 k12 ϕ 2 + k12 W = ϕ 2 + W 3 4

1 4

M 23 = 3 k 23 ϕ 2 − 3 k 23 ψ 23 = 3 k 23 ϕ 2 − k 23 W = ϕ 2 − W 3 2

8 5

3 5

3 2

4 5

3 5

M 24 = 4 k 24 ϕ 2 − 6 k 24 ψ 24 = 4 k 24 ϕ 2 + k 24 W = ϕ 2 + W M 42 = 2 k 24 ϕ 2 − 6 k 24 ψ 24 = 2 k 24 ϕ 2 + k 24 W = ϕ 2 + W

Uvjet ravnoteže momenata u čvoru 2:

∑ M 2 j = M 21 + M 23 + M 24 = 0

18 3 ϕ2 + W = 0 5 5

⇒

( j)

∗

Druga jednadžba - jednadžba virtualnog rada na pomacima pri virtualnom pomaku W = 1 :

{

}

3 4

∗ ∑ M ik ψ ik ( W ) + F ⋅ = 0

{M Vedrana Kozulić

(ik ) ∗

21

∗

∗

}

ψ12 ( W ) + M 23 ψ 23 ( W ) + (M 24 + M 42 ) ψ 24 ( W ) + F ⋅


3 =0 4

21

→

{(ϕ

2

1 4

) ( )+ (ϕ

+ W⋅−

1 4

1 4

) [( 1 4

− W⋅ +

2

⇒

8 5

3 5

)(

ϕ2 + W +

4 5

3 5

)] ( )}+ F ⋅

ϕ2 + W ⋅ −

1 4

3 4

=0

3 17 − ϕ2 − W + 75 = 0 5 40

Sustav jednadžbi za određivanje ϕ2 i W je: 18 3 ϕ + 5 2 5 3 17 ϕ + 5 2 40

W=0 W = 75

Rješenje sustava: ϕ2 = −

500 13

= −38.462

W=

3000 13

= 230.769

Veličine momenata na krajevima grednih elemenata:

M 21 = ϕ 2 + 14 W = 19.23 kNm M 23 = ϕ 2 − 14 W = −96.15 kNm M 24 = 85 ϕ 2 + 53 W = 76.92 kNm M 42 = 54 ϕ 2 + 53 W = 107.69 kNm Momentni dijagram: 19.23

76

.92

96.15

10

Vedrana Kozulić

7.6

Mx 9


22

Primjer 2:

Odrediti dijagram momenata savijanja za okvirnu konstrukciju. EI = konst. W P

B

W P

B

C

C

ψAB

ψCD

L

A

D L/2

Nepoznanice su:

A

D

L/2

- kutovi zaokreta čvorova B i C, ϕB i ϕC - horizontalni translacijski pomak grede B-C, W

Usljed translacijskog pomaka W, vertikalni elementi imaju zaokrete: ψ AB = ψ CD = − W L Momenti upetosti:

M AB = 0 , M BA = 0 , M CD = 0 , M DC = 0 M BC =

PL PL , M CB = − 8 8

Momenti na krajevima štapova: M AB =

2 EI 6 EI ⋅ ϕB + 2 ⋅ W L L

M BA =

4 EI 6 EI ⋅ ϕB + 2 ⋅ W L L

M BC =

4 EI 2 EI PL ⋅ ϕB + ⋅ ϕC + L L 8

M CB =

4 EI 2 EI PL ⋅ ϕC + ⋅ ϕB − L L 8

M CD =

3 EI 3 EI ⋅ ϕC + 2 ⋅ W L L

M DC = 0

Jednadžba ravnoteže čvora B:

∑ M B = 0 → M BA + M BC = 0 PL 8 EI 2 EI 6 EI ⋅ ϕB + ⋅ ϕC + 2 ⋅ W + =0 8 L L L

Jednadžba ravnoteže čvora C:

(1)

∑ M C = 0 → M CB + M CD = 0 PL 2 EI 7 EI 3 EI ⋅ ϕB + ⋅ ϕC + 2 ⋅ W − =0 8 L L L

(2) ∗

Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku W = 1 :

(M AB + M BA ) ⋅ ψ ∗AB + M CD ⋅ ψ ∗CD = 0

Vedrana Kozulić


23

ψ ∗AB = ψ ∗CD = − 1 L

→ −

M AB + M BA M CD − =0 L L

Ili, iz uvjeta ravnoteže sila u smjeru pomaka: B

C

M AB + M BA M CD + =0 L L

∑ Fx = 0 : TBA + TCD = 0 →

TBA

TCD

6 EI 3 EI 15 E I ⋅ ϕ + ⋅ ϕ + ⋅W = 0 B C L2 L2 L3

⇒

(3)

Rješenje sustava jednadžbi (1)-(2)-(3) je: ϕB = −

P L2 P L2 P L3 9 P L2 P L2 P L3 = −0.0256 ; ϕC = = 0.0227 ; W= = 0.00568 EI EI EI 352 E I 44 E I 176 E I

Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti pomaka u izraze za momente na krajevima greda, slijedi: M AB = −

3 PL 12 P L 12 P L = −0.017 P L ; M BA = − = −0.068 P L ; M BC = = 0.068 P L 176 176 176

M CB = −

15 P L 15 P L = −0.085 P L ; M CD = = 0.085 P L ; M DC = 0 176 176 P

0.068 PL

0.085 PL

0.068 PL

0.085 PL

Msr 0.173 PL

M HA

HD

0.017 PL

VA

0.085 P

0.017 PL

0.017 PL

0.483 P

VD

Reakcije oslonaca Uvjet ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB: H A L = M AB + M BA

→ HA =

M AB + M BA = 0.085 P L

Uvjet ravnoteže momenata oko točke D za cijeli okvir: M VA L + M AB − P L = 0 → VA = P − AB = 0.483 P 2 2 L

Moment u sredini raspona:

M sr = VA L + M AB − H A L → M sr = 0.173 P L 2

Vedrana Kozulić


24

Predavanja_Metoda_pomaka

Recommend Documents