ELASTIČNA LINIJA Elasti č čna n a linija nosač a ili progibna linija nosa č a je uzdužna os štapa (težišna linija nosa ča) u deformiranom (savijenom) obliku. Elasti č čnu n u (progibnu) liniju nosa č a možemo odrediti na 3 na čina: - analitički - grafoanalitički - grafički
Deformacija ravnog nosača pri savijanju Uvjet krutosti:
najveća deformacija nosa ča ne smije biti ve ća od unaprijed zadane vrijednosti
F
Pod opterećenjem uzdužna os nosača iskrivljava u ravnini djelovanja optere ćenja.
se
Deformacija nosača pri ravnom savijanju:
q A
ϕB
B
.
x, u wB ϕB
z, w - poprečni presjeci pomiču se i istodobno zaokreću oko neutralne osi - pri tome ostaju okomiti na savijenu os štapa
Elastična linija ili progibna linija nosača – deformirana (savijena) uzdužna os nosača Progib nosača w(x) - pomak težišta presjeka u smjeru okomitom na nedeformiranu os štapa Kut zaokreta ϕ(x) - kut za koji se neki presjek zaokrene u odnosu na svoj prvobitni položaj
pomak u u smjeru osi nosača znatno je manji od pomaka w pa se može zanemariti
za h << L (visina poprečnog presjeka je znatno manja od duljine nosa ča) utjecaj poprečne sile se može zanemariti Ako je h/L<1/10 onda je utjecaj popre čne sile na deformaciju nosača <3%.
Vedrana Kozulić
Tehnič ka ka mehanika 2 – Elastič na na linija
1
Diferencijalna jednadžba elasti čne linije ravnog nosa ča za slučaj čistog savijanja: 2
d w dx tgϕ =
E I = konst.
dw dx
⇒
→
EI
pretpostavka malih progiba: tgϕ ≈ ϕ
→ ϕ( x ) =
dw ( x ) dx
ϕ = dw dx
M
= −E I
2
d w dx
T=
dM dx
dT q=− dx
Vedrana Kozulić
2
=− M
2
= −E I
3
d w dx
= EI
3
4
d w dx
4
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
2
Analiti čk a metoda određ ivanja elasti čn e linije nosač a •
Uzastopno neposredno integriranje diferencijalne jednadžbe elasti čne linije
•
M(x) izraziti kao funkciju optere ćenja q i apscise presjeka x
•
Konstante integracije odrediti iz rubnih uvjeta
Promatrajmo jednu gredu:
Mx
M
w
x M
M
E·Iy = konst.
x
+
M
My(x)=Mx=M
M
z 2
d w dx
2
=−
Mx
E ⋅ Iy
E ⋅ Iy
dw E ⋅ Iy ⋅ dx
2
Vedrana Kozulić
1 E ⋅ Iy
Rubni uvjeti: w
dx
= −M ⋅ x + C
x E ⋅ I y ⋅ w = −M ⋅ 2
w=
⋅d
2
+ C⋅x + D
2
= −M x
(vidimo ih iz skice progibne linije)
1) x=0, w=0 → D=0 2) x=L, w=0 → C=M·L/2
⎡ M ⋅ x 2 M ⋅ L ⎤ M ⋅ L2 ⎡ x x 2 ⎤ ⎢− 2 + 2 ⋅ x ⎥ = 2 ⋅ E ⋅ I ⎢ L − 2 ⎥ L ⎦ ⎣ ⎦ y ⎣
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
(jednadžba elastične linije)
3
Primjer: Elastična linija nosača sa zglobom u polju
U presjeku u kojemu se nalazi zglob elasti čna linija nije glatka krivulja.
= wd ϕl ≠ ϕd
- progibi spojenih dijelova nosača su jednaki:
wl
- kutovi zaokreta presjeka lijevo i desno od zgloba su razli čiti: M
C
A ϕlC
MA
B
x
ϕB
wC ϕdC
FA
FB
x I
II
a
b
z
M
MA − +
M
Jednadžba elastične linije nosača: w (x ) =
w (x) =
M 6 b E I y
M 6 b E I y
(3 a x 2 − x 3 )
⎡ ⎤ (a + b) 2 ( b − 2a ) 2 3 ( x − a )⎥ , ⎢3 a x − x + b ⎣⎢ ⎦⎥
,
0≤x≤a
a
≤ x ≤ (a + b)
Npr. progib u to čki C: wC
M
= w (a ) =
6 b E I y
(3 a ⋅ a
2
− a )= 3
M a3 3 b E I y
Deriviranjem opće jednadžbe elastične linije dobiva se:
ϕ( x ) =
dw dx
=
M 6 b E I y
⎡ (a + b) 2 ( b − 2a ) ⎤ 2 ⎢6 a x − 3 x + ⎥ b ⎢⎣ ⎥⎦
Kut zaokreta presjeka lijevo od zgloba C:
ϕ IC = ϕl (a ) =
M a2 2 b E I y
Kut zaokreta presjeka desno od zgloba C:
ϕ IIC = ϕ d (a ) = Vedrana Kozulić
M 6 b E I y
⎡ 2 (a + b) 2 ( b − 2a ) ⎤ ⎢3 a + ⎥ b ⎣⎢ ⎦⎥
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
4
Grafoanaliti čk a metoda određ ivanja pomaka nosač a Ne određuje se jednadžba elasti čne linije nosača. Određuju se progibi i kutovi zaokreta u jednom ili više karakteristi čnih presjeka nosača (npr. maksimalni progib ili maksimalni kut zaokreta). Grafoanalitička metoda se zasniva na matematičkoj analogiji diferencijalnih jednadžbi: 2
EI
d w dx
EI
d2w dx
2
d 2M dx
2
= −M
→
= −q
→
2
= −M
↔
2
d M dx
2
= −q
diferencijalna jednadžba elasti čne linije nosača
diferencijalna jednadžba koja povezuje moment savijanja i opterećenje
Ovu su analogiju prvi razradili Mohr i Maxwell pa se još naziva Mohr-Maxwell-ova analogija. Fiktivni nosač – nosač jednake duljine i krutosti kao stvarni nosa č Fiktivno opterećenje:
q = M,
M - dijagram momenta savijanja konstruiran na stvarnom nosaču
- fiktivni moment savijanja M : moment savijanja na fiktivnom nosaču zbog fiktivnog opterećenja q - fiktivna poprečna sila T : poprečna sila na fiktivnom nosaču od fiktivnog opterećenja q Predznak fiktivnog opterećenja:
Pozitivni dijagram momenata savijanja na stvarnome nosa ču – pozitivno fiktivno opterećenje na fiktivnom nosaču usmjereno prema dolje Fiktivni nosač nema iste oslonce kao stvarni nosač:
Fiktivni nosač bira se tako da na fiktivnom nosaču bude T = 0 i M kojima je ϕ = 0 i w = 0 na stvarnom nosaču.
Vedrana Kozulić
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
=0
u istim presjecima u
5
2
d M
(1)
dx
E⋅I⋅
(2)
= −q
2
2
d w dx
= −M
2
Fiktivno opterećenje: q = M 2
Dif. veza između fiktivnog opt. i fiktivnog mom.: 2
d M
(3)
dx
d M dx
2
= −q
= −M
2
Uspoređujući jednadžbe (2) i (3), slijedi: E⋅I⋅
2
d w dx
E⋅I⋅
2
d w dx
2
=
=
2
dx
2
d M dx
2
d M
2
“Polazna” diferencijalna jednadžba elasti čne linije
2
(Sada možemo dobivenu diferencijalnu jedn. elasti čne linije dva puta integrirati)
E⋅I⋅
dw dx
= dM + C
pri čemu je:
E⋅I⋅
dw dx
=T+C
(jedn. kuta nagiba tangente na elastičnu liniju)
dx
E⋅I⋅w = M + C⋅x + D
dM dx
=T
(jedn. elastične linije)
C i D su integracijske konstante koje ovise o uvjetima oslanjanja fiktivnog nosa ča. Ako je fiktivni nosač učvršćen tako da je T = 0 odnosno M = 0 u onim presjecima gdje je ϕ=w’=0 odnosno w=0 , tada će konstante C i D biti jednake 0. w′ = 0 T = 0 C = 0 w =0 M=0 D=0
Vedrana Kozulić
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
6
Izrazi E ⋅ I ⋅ dw = T + C i dx
E⋅I⋅w = M + C⋅x + D
uz
C=D=0 postaju:
ϕ=
dw dx
w=
=
Kut nagiba tangente na elastičnu liniju (kut zaokreta) u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnoj poprečnoj sili na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača.
T E⋅I
Progib u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnom momentu savijanja na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača.
M E⋅I
Odabir fiktivnog nosača:
STVARNI NOSAČ
STVARNI NOSA
FIKTIVNI NOSAČ
FIKTIVNI NOSAČ
M=0 T=0
w=0 ϕ=0
M=0 T=0
M=0 T=0
w=0 ϕ ≠ 0
w=0 ϕ ≠ 0
w=0 ϕ=0
w=0 ϕ=0
STVARNI NOSAČ
M=0 T=0
Vedrana Kozulić
M=0 T=0
M=0 T=0
w=0 ϕl = ϕd = 0
w=0 ϕ ≠ 0
w=0 ϕ=0
STVARNI NOSAČ
FIKTIVNI NOSAČ
M=0 T=0
w=0 ϕ=0
w=0 ϕ=0
w=0 ϕ ≠ 0
w=0 ϕ ≠ 0
FIKTIVNI NOSAČ
M=0 T=0
M=0 T=0
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
M=0 Τl = Td = 0
M=0 T=0
M=0 T=0
7
Primjer: Gerberov nosač STVARNI NOSAČ
FIKTIVNI NOSAČ
Postupak određivanja progiba i kutova zaokreta grafoanaliti čkom metodom: 1) konstruiranje dijagrama momenata savijanja stvarnog nosa ča M 2) odabir fiktivnog nosača 3) kontinuirano fiktivno opterećenje u obliku dijagrama momenta savijanja stvarnog nosača zamjenjuje se koncentriranim silama u težištu pojedinih dijelova dijagrama M i numerički jednakima površini pojedinih dijelova dijagrama. 4) određivanje M i T u zadanom presjeku 5) određivanje traženog progiba i kuta zaokreta na stvarnom nosa ču prema izrazima: w=
M EI
,
ϕ
=
T EI
Primjeri rastavljanja dijagrama momenata savijanja stvarnog nosa ča na jednostavnije likove za koje znamo površinu i položaj težišta:
h1
h3 l /2
h2
h1 h3 l /2
h1
T 1/3l
h1 2/3l
2/3l
T h2
1/3l 1/3l 1/3l
1/3l
h3
T h3
T
l /2
T
h2
T
l /2
h2
l /2
l /2
l /2
l /2
kvadratna parabola
površina A = 2/3 h 3l Vedrana Kozulić
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
8
h1 a
h2
h1
h2
b
l
l h1 T 2/3l
T
h2 1/3l
2/3l
1/3l T
T
2/3l
h2
h2
1/3l
2/ 3b 1/ 3b
kvadratna parabola
h1
površina A = 1/3 hl
h T
h2 l
1/4l
3/4l l
h1
T 1/3l
2/3l
h2
T
2/3l
Vedrana Kozulić
1/3l
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
9
Promatrajmo jednu konzolu:
E·I = konst.
q
wmax=f=? L M
q⋅L
2
2
ϕmax=?
q= M
Φ
¼L
3
q⋅L 6 3
q⋅L 3 ⋅L= 4 6
M =Φ⋅
M
3
⋅L=
T E⋅I
w=
M E⋅I
T
¾L
2
q⋅L Φ=1⋅ 3 2
ϕ=
q⋅L 6
T=Φ=
4
q⋅L 8
⋅ 3 ⋅L= 4
3
q⋅L 6⋅E⋅I
ϕ max =
T E⋅I
=
= f =
M E⋅I
q⋅L = 8⋅E⋅I
w max
4
Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·I = konst. ϕA
ϕB
½L
½L
M
ϕ=
2 ⋅ L q L + 8 8 2
A
2
A=B=
ϕA =
Vedrana Kozulić
1 q⋅L ⋅ 2 8
TA E⋅I
⋅L⋅ 2 3 3
=
q⋅L 24 ⋅ E ⋅ I
q= M
T E⋅I
B
3
=
q⋅L 24
ϕB =
TB E⋅I
3
q⋅L =− 24 ⋅ E ⋅ I
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
10
Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·I = konst. ϕA
ϕB
½L
½L
M
w=
+ q ⋅ LL
22
A
8 8
Φ2
Recimo da želimo odrediti progib u sredini raspona:
B
q= M
Φ1 2
Φ1 = ML/2
q⋅L 8
⋅L⋅1 2 2
3
=
q⋅L 32
Φ2 =
=A⋅ L −Φ ⋅ L −Φ ⋅ L = 2
1
6
4
2
L q ⋅ (L / 2) ⋅ 2 8 4
5⋅q ⋅L 384
M E⋅I
w
L/2
2
=
⋅2 3
3
=
q⋅L 96
ML/2 E⋅I
4
=
5 q⋅L ⋅ 384 E ⋅ I
Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·I = konst. B A a
b
ϕB
L M F⋅a
-
a/3
F⋅a ⋅b L
+ q= M B=
L/3
Vedrana Kozulić
TB E⋅I
=−
L 2
ϕ=
T E⋅I
B
F⋅a ⋅L 1 L ⋅ ⋅ 2 3 L
ϕB =
a≤
− F ⋅ a ⋅ a ⋅ 1 ⋅ a = F ⋅ a ⋅ (L2 − a 2 ) 2 3 L 6⋅L
2 F⋅a L 6⋅L⋅E⋅I
(
− a2 )
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
11
Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·I = konst. B A w L a b a≤ 2 L q= M
M
F⋅a ⋅b
F ⋅⋅ a A
w L/ 2
+
L
-
wL/2 =
L/3 ML/2
= B⋅
Vedrana Kozulić
L 2
B
L/2
a/3
−
F⋅a L 1 L ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 6
=
F⋅a ⋅ L2 6⋅L
(
= ML/2 E⋅I
−a
2
(
ML/ 2 2 2 F⋅a = 3⋅ L − 4⋅a E⋅I 48 ⋅ E ⋅ I 2
)⋅ L2 − F ⋅ a48⋅ L
Tehnič ka mehanika 2 – Elasti č na linija
)
= F ⋅ a ⋅ (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) 48
12
PRIMJER: Za nosač prikazan na slici treba odrediti progib i kut zaokreta u presjeku B. M
B
A ϕBl
C
wB
x
ϕBd
l
l
z Φ1
M
M
B
C
A
+
FB l /3
2l /3
M
Φ2
2l /3
Φ1 = Φ 2 =
FC
l /3
M l 2
Fiktivne ležajne reakcije: FC
= − FB = 1 Φ1 ⋅ 2 ⋅ 2 l = 4 Φ1 = l
3
3
2 M l 3
Fiktivne poprečne sile u presjeku B: M l 2
TB lijevo
= Φ1 =
TB desno
= Φ1 − FB =
M l 2 M l − M l = − 2 3 6
Kutovi zaokreta u presjeku B:
ϕB lijevo = ϕB desno =
TB l EI TB d EI
=
M l 2E I
=−
M l 6EI
Fiktivni moment savijanja u presjeku B: 2
M l 2 M l 2 ⋅ l = M = Φ1 ⋅ l = 3 2 3 3 Progib u presjeku B: wB
Vedrana Kozulić
=
M EI
=
2
M l 3E I
Tehnič ka mehanika 2 – Elastič na linija
13
Nosači promjenjive krutosti
E·I ≠ konst.
F I1
I1
I2 >I1
I2 Sada reduciramo momentni dijagram tako da po volji odaberemo I0:
M
2
d w
M*
dx
za I0 = I1 M
*
=M⋅
M
I0 I
=M⋅
I1 I1
*
=M⋅
I0 I
=M⋅
I1 I2
2
M ⋅ E ⋅ I0 E⋅I 2
d w
=M
M E ⋅ I0 ⋅ =− E ⋅ I E ⋅ I0
dx
2
=M⋅
I0 I
= M*
*
=− M E ⋅ I0
Grafoanalitički postupak određivanja progiba i kutova zaokreta provodi se na isti na čin kao i kod nosača nepromjenjive krutosti koriste ći sljedeće izraze: q = M* w
