UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO EL CÁLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB
• APLICACIONES AL CALCULO DIFERENCIAL o o o o o o o o
FUNCIONES LIMITES DERIVACION MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES SUMAS DE RIEMANN INTEGRACION APLICACIONES DE LA INTEGRAL SERIES
Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta Goyzueta
MATLAB Ma Marca rca regis trada por The MathWorks MathWorks,, Inc. Inc.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON MATLAB Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la variable independiente le corresponde siempre un único valor de la variable dependiente. Por lo tanto, se dice que una relación es una función cuando de cada elemento de su dominio sale una y solo una flecha hacia algún elemento del codominio o conjunto imagen. Es decir cuando cada elemento del dominio está relacionado una y solo una vez, con algún elemento del codominio. Una función
f : A → B
Es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B. Para nosotros, A y B, serán, en general, conjuntos numéricos. Para reconocer que una relación no es función alcanza con observar si un mismo elemento del dominio se relaciona con dos o más elementos del codominio o conjunto imagen, por ejemplo:
Dominio de una función El dominio de una función son todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. Es decir son todos los elementos del conjunto de partida de los cuales sale una flecha. A éstos elementos se los pueden llamar preimagenes y se los designa con la letra x Recordemos que el conjunto de partida se representa gráficamente como el eje horizontal (eje x ). Otra forma de definir el dominio de una función es decir que es el conjunto de puntos o elementos de A para los que la función existe, en símbolos se expresa dom f = A.
Rango Rango o im agen de una funció n El rango o imagen de una función son todos los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Es decir son todos los elementos del conjunto de llegada que reciben una o más de una flecha. A éstos elementos se los puede llamar imágenes y se los designa con la letra y. Al conjunto de llegada se lo representa gráficamente como el eje vertical y se lo suele llamar eje y .
Representación Representación de una funció n Las funciones se pueden representar de diversas maneras: Por medio de un gráfico, el gráfico de una función f : A → B como el conjunto de pares ordenados
( x, y ) ,
donde x es un elemento del
dominio e y es un elemento del codominio de la función. En la representación gráfica el dominio se encuentra sobre el eje horizontal y el codominio e conjunto imagen se encuentra sobre el eje vertical Mediante una tabla de valores. En las tablas de valores tenemos el listado de todos los pares ordenados ( x, y ) que se relacionan.
HORA 0 TEMPERATURA 9
2 8.5
4 8
6 7
8 5.5
10 6
12 8
14 12
16 12
18 6
20 4.4
22 4
FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON MATLAB Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la variable independiente le corresponde siempre un único valor de la variable dependiente. Por lo tanto, se dice que una relación es una función cuando de cada elemento de su dominio sale una y solo una flecha hacia algún elemento del codominio o conjunto imagen. Es decir cuando cada elemento del dominio está relacionado una y solo una vez, con algún elemento del codominio. Una función
f : A → B
Es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B. Para nosotros, A y B, serán, en general, conjuntos numéricos. Para reconocer que una relación no es función alcanza con observar si un mismo elemento del dominio se relaciona con dos o más elementos del codominio o conjunto imagen, por ejemplo:
Dominio de una función El dominio de una función son todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. Es decir son todos los elementos del conjunto de partida de los cuales sale una flecha. A éstos elementos se los pueden llamar preimagenes y se los designa con la letra x Recordemos que el conjunto de partida se representa gráficamente como el eje horizontal (eje x ). Otra forma de definir el dominio de una función es decir que es el conjunto de puntos o elementos de A para los que la función existe, en símbolos se expresa dom f = A.
Rango Rango o im agen de una funció n El rango o imagen de una función son todos los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Es decir son todos los elementos del conjunto de llegada que reciben una o más de una flecha. A éstos elementos se los puede llamar imágenes y se los designa con la letra y. Al conjunto de llegada se lo representa gráficamente como el eje vertical y se lo suele llamar eje y .
Representación Representación de una funció n Las funciones se pueden representar de diversas maneras: Por medio de un gráfico, el gráfico de una función f : A → B como el conjunto de pares ordenados
( x, y ) ,
donde x es un elemento del
dominio e y es un elemento del codominio de la función. En la representación gráfica el dominio se encuentra sobre el eje horizontal y el codominio e conjunto imagen se encuentra sobre el eje vertical Mediante una tabla de valores. En las tablas de valores tenemos el listado de todos los pares ordenados ( x, y ) que se relacionan.
HORA 0 TEMPERATURA 9
2 8.5
4 8
6 7
8 5.5
10 6
12 8
14 12
16 12
18 6
20 4.4
22 4
La tabla representada contiene las temperaturas registradas durante un día. En la mayoría de los casos las tablas sólo aportan una información parcial sobre la función. Por medio de una fórmula que relaciona la variable dependiente (habitualmente la expresamos con la letra y ) con la variable independiente (habitualmente la expresamos con la letra x ). El volumen V de un cubo cuya arista mide x metros es igual a:
V ( x) = x
3
Mediante la descripción detallada del comportamiento de cierta variable con respecto de otra variable. Por ejemplo: “Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la temperatura bajó con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba a 60ºC. Luego fue enfriándose con más lentitud. A los 20 minutos después de haberla sacado estaba a 30ºC, temperatura de la cual no bajó pues era la temperatura que había en la cocina.” La temperatura del agua a lo largo del tiempo es una función.
Funciones pares Una función f es par si para todo valor del dominio se verifica que: f ( x ) = f
(−x) ,
es decir
imágenes iguales de preimágenes opuestas. Geométricamente la representación gráfica de las funciones pares nos da funciones simétricas a sí misma respecto del eje de ordenadas (eje y), sería una simetría axial con respecto al eje y
Funciones impares Una función f es impar si para todo valor del dominio se verifica que:
f
( −x) = − f ( x) .
Geométricamente la representación gráfica de las funciones impares nos da funciones simétricas a si misma respecto del punto de intersección de los ejes de coordenadas, sería una simetría central respecto del origen (0,0). Simplificando podemos decir que una función es impar cuando elementos opuestos del dominio se relacionan con elementos opuestos del codominio. Toda función puede ser representada como una suma de sus componentes par e impar donde :
f par =
1
⎡ f ( x ) + f ( − x ) ⎤⎦ ∧ 2⎣
fimpar =
1
⎡ f ( x) − f ( − x) ⎦⎤
2⎣
Propiedades
∧ par = par = impar impar ∧ par impar ∧ impar = par
par
Composición de funciones Dadas dos funciones f y g , la composición g o f
= g ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
es la función que le asigna a cada x el resultado de aplicar g a
f ( x ) . Para que esta secuencia pueda realizarse, realizar se, se
necesita que f esté definida en x y que g esté definida en
[ f ] f ( x ) . f o g
La función compuesta de g con
f es la función
= f ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ . Es decir que a un elemento del dominio de la
función g le aplicamos el vínculo de dicha función, obteniendo
g ( x ) . A continuación a g ( x ) le aplicamos el vínculo de la función f y obtenemos f ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ :
Tenemos que tener en cuenta que se aplica primero la función g y luego la función f . Por lo tanto, podemos verificar que
f o g y g o f son funciones diferentes. La condición que debe darse para que exista función compuesta es que las imágenes de la primera función pertenezcan al dominio de la segunda componente, es decir, el conjunto imagen de la primer función debe estar incluido o ser igual al dominio de la segunda función. El dominio máximo de g o f no coincide, en general, con el dominio máximo de f : tenemos la relación Dom( g o f ) ⊆ Dom( f ) Luego:
• •
El dominio máximo de g o f es x ∈ Dom( f ) I f El dominio máximo de
∈ Dom( g ) f o g es x ∈ Dom( g ) I g ∈ Dom( f )
Propiedades de la composición de funciones • Asoc iativ a: h o ( g o f ) = (h o g ) o f • Conmutativa: No se verifica como puede verse en los ejemplos anteriores. g o f ≠ f o g • Si f es una función cualquiera, se verifica que f o I = I o f = f • ( f + g ) o h = ( f o h ) + ( g o h ) •
( f ⋅ g ) o h = ( f
o h) ⋅( g o h)
Función inversa o recíproca
Dada una función f : A → B , donde A es el dominio y B es el conjunto imagen. La inversa de dicha función se obtiene cambiando el dominio por el conjunto imagen (codominio) y se expresa como:
f −1 : B → A Pero también se debe obtener el nuevo vínculo, que se calcula despejando la variable independiente:
y = f ( x ) = 2 x + 1 ⇒
y − 1
2
=x ⇒
f
−1
( x) =
La representación gráfica de dos funciones inversas nos da gráficos simétricos respecto de la recta y = x
Propiedades de la funció n inversa • •
f −1 o f = f o f −1 = I = X ( f o g ) −1 = ( g −1 o f −1 )
1 2
x−
1 2
Funcion es Especiales Función Valor absoluto
Función signo
Función parte entera
⎧ x x ≥ 0 = ⎨ ⎩− x x < 0 ⎧1 x > 0 ⎪ y = sgn ( x ) = ⎨0 x = 0 ⎪−1 x < 0 ⎩
Domf
x ∈ IR
Rngf
y ∈ [ 0, ∞[
Domf
x ∈ IR
Rngf
y ∈ {−1,0,1}
y = x = k
Domf
x ∈ IR
Rngf
y∈Z
y = x
∧ k ≤ x < k + 1
COMANDOS MADLAB ue
COMANDO >> clc >> clear all >> symvar(S) >> find sym(S) >> ezplot(S) >> ezplot(S,[xmin,xmax]) >> collect(S) >> collect(S, ‘v’) >> expand(S) >> factor(S) >> simple(S) >> sympli fy(S) >> pretty(S) >> subs(S, old, new) >> compos e(F,G) >> finverse(F)
ACLARACION limpia la ventana de comandos de Matlab borra todas las variables y funciones del espacio de trabajo de Matlab respectivamente. Devuelve la variable independiente de la expresión simbólica S. Genera una gráfica de S, donde se supone que S es una expresión de una variable; la variable independiente suele variar entre –2 y 2 . Genera una gráfica de S, donde se supone que S es una expresión de una variable; la variable independiente suele variar entre xmin y xmax. Agrupa términos semejantes de S Agrupa términos semejantes de S respecto a la variable independiente ‘v’ Realiza una expansión de S Intenta factorizar S Simplifica la forma de s a una forma más corta, si es posible. Simplifica usando las reglas de simplificación de Maple Exhibe S en una salida que semeja la tipografía usada en matemáticas. Substitución simbólica en una expresión o matriz simbólica Halla la funcion compuesta de G con F o viceversa Halla la funcion inversa de F
Graficar las siguientes funciones en el entorno simbólico: f( x) = x
y =
>> syms x y >> y=x*((2^ x-1)/(2^x+1)) >> ezplo t(y) >> grid on
2 x − 1 2 x + 1
x + 2
4 − x 2
(
+ In x3 − x
2
x y + xy − 2 y − 2 = 0
2 2
x y
− x2 − y = 0
y = 2 cos ( 2 x ) + 1
)
>> syms x y >> ezplo t((x+2)/(4-x^ 2)+log(x^ 3-x)) >> grid on >> axis([-2 6 -6 10])
>> syms x y >> x^ 2*y+x*y-2*y-2 ans = x^2*y+x*y-2*y-2 >> ezplot(ans) >> grid on
>> syms x y >> x^ 2*y^ 2-x^ 2-4*y^2+1 ans = x^2*y^2-x^2-4*y^2+1 >> ezplot(ans) >> grid on
>> syms x y >> f=abs(2*cos(2*x)+1); >> ezplo t(f) >> grid on
Graficar las siguientes funciones en el entorno numérico: >> x=linsp ace(0,3,200); 1 y = >> p lot (x,1./(x-1).^2) 2 ( x − 1) >> ylim([-2 100]), box off >> grid on
y =
>> x=linsp ace(-4,4,111); >> y = 1./x; >> plot(x, y,'k','lin ewidth',2) >> axis([-4 4 -10 10]) >> grid on
1 x
Se obtiene gráfico con :
el
y = sen ( x ) − cos
mismo
(
2 x
)
>> x = -4:0.1:4; >> plot(x', y) >> plot(x, y') >> plot(x', y') >> ylim([-10 10]), box o ff >> grid on
>> x=-2*pi: .1:2*pi; >> y=sin(x)-cos(sqrt(2)*x); >> plo t(x,y,'k','lin ewidth',2) >> axis ligh t >> grid on >> xlabel('eje x') >> ylabel('eje y')
− 2 y = e x sen ( x )
>> x=0:0.01:5; >> y=sin(x.*exp(-x.^2)); >> plot(x, y,'k','lin ewidth',2) >> ylim([-0.1 0.5]), box of f >> grid on
Genere un vector de tiempos uniforme desde t=0 hasta t=1, de 1000 muestras. Construya una función seno de amplitud 1 y frecuencia 5Hz, una función exponencial decreciente con constante de tiempo igual a 100ms las dos sobre esa base. Genere una tercera función producto de las dos anteriores
>> Tinicial=0; >> Tfin al=1; >> Npoi nts =1000; >> step=(Tfinal-Tinicial)/Npoin ts; >> t=Tinic ial:step:Tfinal-step; >> y 1=1*sin(5*2*pi*t); >> tau=200e-3; >> y2=exp(-t/tau); >> y3=y2.*y1; >> plot(t,y1,t,y2,t,y3) >> xlabel('Tiempo'), >> ylabel('Tension') >> grid on
Graficar las siguientes funciones dadas en forma implicita: >> syms x y 2 2 ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 5 >> f='(x-2)^2+(y-3)^2-5'; >> ezplot(f,[-1,5,0,6]) >> grid on
2
2
⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 5 ⎟ =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x 2
9
+
y2
4
=1
Para esto:
y = ± 4 −
x
2
4 2 x 9
+ 2 y 2 + xy = 9
>> syms x y >> z=(x/2).^2+(y/5).^2-1; >> ezplot (z) >> grid on
>> x=-3:0.1:3; >> y1=sqr t(4-4/9*x.^ 2); >> y2=-sqr t(4-4/9*x.^ 2); >> plot(x,y1) >> hold on >> plot(x,y2) >> axis equal >> grid on
>> syms x y >> ezplot('x^2+2*y^2+x*y-9 ');
>> grid on Usando Matlab, podemos observar esa curva, a través de los comandos meshgrid y contour en la forma
>> x = li nsp ace(-6,6,150); >> y = linspace(-6,6,150); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z=X.^2+2*Y.^2+X.*Y; >> cont our (X,Y,Z,[9 9]);
Esta curva también puede representarse como una curva de nivel (o contorno de nivel) de
f ( x, y ) = x
2
+ 2 y 2 + xy , cuando f ( x, y ) = 9 . Es decir, una rebanada de la superficie f(x, y).
Aquí aparecen dos instrucciones nuevas. Por una parte mesgrid nos permite llenar dos matrices X y Y como copias de los vectores x y y , y con esto, generamos sobre el cuadrado [ −6, 6]×[ −6, 6] una colección de nodos o puntos interiores sobre los cuales evaluamos la función. Por otra parte, esta la instrucción contour esta nos permite “rebanar” a la superficie f ( x, y ) = a la altura z = 9 .
Hallar el rango de las siguientes funcio nes
( (
y = sen log x −
x +1
))
>> syms x y >> y=sin(log(x-sqrt(x+1))) >> axis ([1.3 6 -1.2 1.3]) >> grid o n >> ezplot(y)
Rpta : y ∈ [ −1,1]
y =
>> syms x y >> y=(4*x^2-1)/abs(2*x+1) >> ezplot(y) >> grid o n
4 x 2 − 1 2 x + 1
Rpta : y ∈ [ −2, ∞ ]
y =
x
>> syms x y
2
>> y=(x^2)/(2*x^2+x+1) >> ezplot(y) >> grid on
2
2 x + x + 1
⎡ 4⎤ ⎣ 7 ⎥⎦
Rpta : y ∈ ⎢0,
⎛ ⎝
y = sen ⎜ x
2
>> syms x y >> y=abs(sin(sqrt(x^2+x)))+1 >> ezplot(y) >> grid o n
+ x ⎞⎟ + 1 ⎠
Rpta : y ∈ [1, 2]
>> syms x y >> y=abs(cos(x))+sin(abs(x)) >> ezplot(y) >> grid o n
y = cos ( x ) + sen x
Rpta : y ∈ ⎡ −1, 2 ⎤
⎣
⎦
Graficar las siguientes funciones por tramos, explicitando los dominios cerrados y abiertos Hay varias por mas de graficar una función por tramos, aquí vemos algunas.
⎧⎪ sen ( x ) sen ( x ) ≥ 0 y = ⎨ sen( x ) < 0 ⎪⎩0
>> x=0:(6*pi/1000):6*pi; >> y=sin(x); >> y=y.*(y>0); >> plot (x,y); >> xlabel('eje x'); >> ylabel('eje y'); >> grid on >> axis([0,6*pi,-0.4,1.2])
⎧ 2 + sen ( x ) − 10 ≤ x ≤ −5 ⎪ ⎪ x y = ⎨e −5< x < 2 ⎪ 2 ⎪⎩ In x + 1 2 ≤ x ≤ 10
>> x=-10:.1:-5; >> y=2+sin(x); >> z=-5:.1:2; >> t=exp(z); >> u=2:.1:10; >> v=log(u.^2+1); >> plot(x,y,z,t,u,v) >> ylim([-0.5 8]) >> xli m([-11 11]) >> grid on >> xlabel('x'), ylabel('f(x)')
(
f( x )
⎧ x 2 ⎪ = ⎨1 ⎪2 − x ⎩
)
x<0
0 ≤ x <1 x ≥1
>> x=-2:0.01:3; >> linspace(-2,3,3000); >> y=(x.^2).*(x<0)+1.*((0<=x)&(x<1))+(-x+2).*(1<=x); >> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función d efinida a trozos') >> hold on >> plot(0,1,'bo','linewidt h',6) >> plot(1,1,'bo','linewidt h',6) >> plot(0,0,'co','linewidt h',6)
f( x )
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪ = ⎨ 32 x 2 − 6 0 ≤ x ≤ 4 ⎪3 x>4 ⎪⎩ 2 x
>> x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y=(1).*(x<0)+(3/2*x.^2-6).*((0<=x)&(x<4))+(6).*(4<=x); >> plot(x,y, '.') >> grid on >> hold on >> plot(0,1,'co', 0,-6,'bo' , 4,18,'bo ', 4,6,'co' ,'lin ewidt h',3.2)
Gg
Graficar las siguientes funci ones especiales Para graficar, primero generamos una tabla de valores en el dominio que queremos dibujar la función. Aquí se esta definiendo el limite inferior en cualquier valor menor a cero (etc., -100,-20,-2) y el limite superior en cualquier valor mayor que uno (3, 20, 100, etc). Ahora definimos la función, multiplicando cada trozo por el índice lógico que describa el lugar donde queremos dibujarlo y dibujamos
f( x) = x
>> x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y=(-x).*((-5<=x)&(x<0))+(x).*((0<=x)&(x<=5)); >> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función valo r absolut o')
f( x )
= sgn ( x )
>> x=-5:0.01:5; >> linspace(-5,5,5000); >> y1=(-1).*((-5<=x)&(x<0))+(0).*(0==x)+(1).*((0
> plot(x,y1,'.'),grid on ,title('Funcio n sig no') >> hold on >> plot(0,-1,'co',0,1,'co',0,0,'bo','linewidth',3.5) >> axis('equal')
>> x=-2:0.01:3; >> linspace(-2,2,2000); >> y= (-2).*(( -2 <=x)&(x<-1))+(-1).*((-1<=x)&(x<0))+(0).*((0<=x)&(x<1))+…
f ( x )
= x
(1).*((1<=x)&(x<2))+(2).*((2<=x)&(x<3))+(3).*(x==3);
>> plot(x,y,'.') >> grid on >> title('Función parte entera') >> axis on >> xlim([-3 3]), box o ff >> ylim([-2.1 3.1]), box off >> hold on >> plot(-2,-2,'bo', -1,-1,'bo', 0,0,'bo', 1,1,'bo', 2,2,'bo', 3,3,'bo','linewidth',2.7) Para la parte entera seleccionamos un dominio, en nuestro caso
[ −2,3] y
desarrollamos la parte entera según su definición:
y = x = k
∧ k ≤ x < k +1 ⇒
⎧−2 −2 ≤ x < −1 ⎪ −1 −1 ≤ x < 0 ⎪ ⎪0 0 ≤ x < 1 y = x = ⎨ 1 ≤ x < 2 ⎪1 ⎪2 2 ≤ x < 2 ⎪ x = 3 ⎩3
en este dominio
Calcul ar la funci ón inversa de f ( x) = x 2 − 4
Gráficamente:
La función cuadrática no es inyectiva, pero si descomponemos su dominio en dos trozos separados por el vértice de la parábola:
⎧⎪ f 1 ( x) = x 2 − 4 si x < 0 f ( x ) = x − 4 = ⎨ ⎪⎩ f 2 ( x) = x 2 − 4 si x ≥ 0 2
en cada uno de ellos, la función si es inyectiva y podremos calcular su inversa:
y
= x 2 − 4
⇒ x = y 2 − 4
⇒
y
=± x+4
y, hablando con mayor propiedad, la inversa será:
⎫⎪ ⎬ si x ≥ 4 −1 f 2 ( x) = + x + 4 ⎪ ⎭ f 1−1 ( x) = − x + 4
El códig o Matlab para esto es: >> syms x y ; >> f=x^2-4; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-4 4 -5 6]) >> subplot(312) >> ezplo t(h) >> axis ([-5 6 -1 4]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplot (f,[0,6]) >> hold on >> ezplo t (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-5 6 -5 6]) >> pretty(h) retty(h) Warnin g: fin verse(x^2-4) is not uni que.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
1/2 (4 + x)
;
Encontrar la función inversa de f ( x) = x 2 − 6 x + 4.
Gráficamente:
El vértice de la parábola es el punto de abscisa x = 3 que será el que nos descompone el dominio en trozos de forma que en cada uno de ellos la función es inyectiva:
⎧⎪ f 1 ( x) = x 2 − 6 x + 4 si x < 3 f ( x) = x − 6 x + 4 = ⎨ ⎪⎩ f 2 ( x) = x 2 − 6 x + 4 si x ≥ 3 2
Calculamos su inversa: 2
y = x − 6 x + 4 y, despejando:
y =
⇒ x = y2 − 6 y + 4 ⇒ y2 − 6 y + (4 − x) = 0
6 ± 36 − 4(4 − x) 2
=
6 ± 2 9 − (4 − x) 2
= 3 ± 5 + x
En consecuencia,
⎫⎪ ⎬ si x ≥ −5 1 f 2− ( x) = 3 + 5 + x ⎪ ⎭ f 1−1 ( x ) = 3 − 5 + x
El comando Matlab >> syms x y ; >> f=x^ 2-6*x+4; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-0 6 -6 8]) >> subplot(312) >> ezplo t(h) >> axis ([-6 5 3 7]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplo t(f,[3,12]) >> hold on >> ezplot (h,[-6,15]) >> ezplot(y-x,[ -6 8]) >> grid on >> axis ([-6 8 -6 8]) >> pretty(h) Warnin g: fi nverse(x^2-6*x+4) is no t un ique. > In C:\MATLAB6p5\toolb ox\symbol ic\@sym\finverse.m at line 43 1/2 3 + (5 + x)
Observe el mensaje de advertencia en la salida del código Matlab, esto se debe a que las funciones graficadas no tienen inversa única. Otras funciones tienen inversa única como las siguientes:
Hallar la inversa de las siguientes fun ciones f( x)
⎛ x − 1 ⎞ = 2sen ⎜ ⎟ +1 ⎝ x + 1 ⎠
>> syms x y ; >> f=2*sin((x-1)/(x+1))+1; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-6 6 -1.5 3.5]) >> subplot(312) >> ezplo t(h) >> axis ([-1.5 4 -1.5 8]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplo t(f) >> hold on >> ezplo t (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-1 3 -1.5 4]) >> pretty(h)
>> pretty(h) 1 + asin (-1/2 + 1/2 x) - -----------------------1 + asin(-1/2 + 1/2 x)
x
−x
(10 ) − (10 ) y = +1 x −x (10 ) + (10 ) >> syms x y ; >> f= (10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)+1; >> h=finverse(f); >> subplot(311) >> ezplot(f); >> grid on >> axis ([-2 2 -0.5 2.5]) >> subplot(312) >> ezplo t(h) >> axis ([-0.5 2.5 -2 2]) >> grid on >> subplot(313) >> ezplo t(f) >> hold on >> ezplo t (h) >> ezplot(y-x) >> grid on >> axis ([-1.5 2 -1.5 2]) >> pretty(h)
pretty(h) x log(- ------) -2 + x 1/2 ------------log(10)
Componer las siguientes funcion es Si f ( x )
=
x + 1 x − 1
y g( x )
=
3 x 2 − 1 x − 3
f o g
, hallar
∧ g o f
>> syms x
f =
>> f=(x+1)/(x-1) >> g=(3*x^2-1)/(x-3)
(x+1)/(-1+x) g=
>> h1=compose(g,f) >> h2=compose(f,g)
(3*x^2-1)/(x-3) h1 =
>> gof=simpli fy(h1) >> fog=simpli fy(h2)
(3*(x+1)^2/(-1+x)^2-1)/((x+1)/(-1+x)-3) h2 =
>> pretty(gof) >> pretty(fog)
((3*x^2-1)/(x-3)+1)/(-1+(3*x^2-1)/(x-3)) gof = -(x^2+4*x+1)/(x-2)/(-1+x) fog = (3*x^2-4+x)/(-x+2+3*x^2)
Dadas las funciones f ( x ) =
1 x( x − 1
y g ( x) =
x 2 x 2 + 1
, calcular las funciones f o g
>> syms x
f =
>> f =1/(x*sqrt (x-1)) >> g=x^2/(x^2+1)
1/x/(-1+x)^(1/2) g=
>> h3=compose(f,g)
x^2/(x^2+1)
>> h4=compose(g,f) >> gof=simpli fy(h3)
h3 = 1/x^2*(x^2+1)/(-1+x^2/(x^2+1))^(1/2)
>> fog=simpli fy(h4)
h4 =
>> pretty(gof) >> pretty(fog)
1/x^2/(-1+x)/(1/x^2/(-1+x)+1) gof =
∧ g o f
1/x^2*(x^ 2+1)/(-1/(x^ 2+1))^(1/2) fog = 1/(1-x^2+x^3) También se puede utilizar la orden subs para calcular la composici ón de dos funciones, ya que la variable x puede substituirse por un valor num érico o por una expresi ón simbólica. Dadas las funciones f ( x ) = x Define variable Define las funciones Calcula composici ón Calcula composici ón
2
+ 5 x + 3 y g ( x ) = cos ( 2x + 1) , calcular las funciones f o g ∧ g o f
>> syms x >> f=x^ 2+5*x+3 >> g=co s(2*x+1) >> fog =subs(f,x,g) >> gof =subs(g,x,f)
f = x^2+5*x+3 g= cos(2*x+1) f o g = cos(2*x+1)^2+5*cos(2*x+1)+3 gof = cos(2*x^2+10*x+7)
Explicitar las siguientes funciones:
⎛ x + 1 ⎞ x 2 − 2 x + 1 Dadas la función f ⎜ calcular f ( x ) ⎟= ⎝ x − 2 ⎠ x 2 − 3 x + 4 Define variable >> syms x Define función >> f_original=(x^2-2*x+1)/(x^2-3*x+4); >> u=(x+1)/(x-2); Cambio de variable Despeja x >> equis=finv erse(u); Reemplaza en f >> f _de_u=subs(f_origi nal,x,equis); simplifica >> f_de_x=simplify(f_de_u) >> pretty(u) Escribe en formato >> pretty(equis) MAPLE >> pretty(f_de_x)
f_de_x = (4+4*x+x^2)/(8-x+2*x^2)
La funci ón es: f ( x ) =
2 x + 4 x + 4
2 x 2 − x + 8
Al ejecutar la orden simplify , el programa efect úa una serie de procesos de simplificaci ón y, de entre los resultados obtenidos, escoge uno. Si la simplificaci ón presentada por la orden simplify no es satisfactoria, podemos pedirle al programa, mediante la orden simple , que nos muestre los resultados de todas las simplificaciones efectuadas. Observa el siguiente ejemplo:
>> syms x >> f=x^ 2+2*x+1 2 f = x + 2 x + 1 no se modifica. Sin embargo, utilizando simple f= Con
simplify la
expresi ón
x^2+2*x+1 >> simplify(f) ans = x^2+2*x+1
>> simp le(f) simplify: x^2+2*x+1 radsimp: x^2+2*x+1 combine(trig): x^2+2*x+1 factor: (x+1)^2 expand: x^2+2*x+1 combine: x^2+2*x+1 convert(exp): x^2+2*x+1 convert(sincos): x^2+2*x+1 convert(tan): x^2+2*x+1 collect(x): x^2+2*x+1 ans = (x+1)^2
Graficar paso a paso >> syms x >> f1=x^2; >> u=x+3; >> f2 =subs(f,x,u); >> f3=4*f2; >> f4=f3-2; >> subplot(221) >> ezplot(f1,[-8,8]) >> grid on >> subplot(222) >> ezplo t(f1) >> hold on >> ezplot(f2,[-8,8]) >> grid on >> subplot(223) >> ezplo t(f1) >> hold on >> ezplo t(f2) >> ezplot(f3,[-5,-1]) >> grid on >> subplot(224) >> ezplo t(f1) >> hold on >> ezplo t(f2) >> ezplo t(f3) >> ezplot(f4,[-5,-1]) >> grid on
f ( x)
4( x
3)
2
2 partiendo
de f ( x) = x 2
Partimos de la función cuadrática Sumamos 3 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje a la izquierda. Multiplicamos por 4 la función: dilatamos a lo largo del eje y . Restamos 2 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje hacia abajo 12 x − 18 1 Graficar paso a paso f ( x) = partiendo de f ( x) −3 x + 5 x Se trata de representar:
f ( x ) = −4 +
x 3
unidades
y 2
unidades
2 2 1 = −4 + ⋅ −3 x + 5 3 −x + 5
3
>> x=-2:0.01:5; >> y1=1./x; >> y2=-1*y1; >> y3=1./(5/3-x); >> y4=2/3* y3; >> y5=-4+y4 ; >> plot(x,y1, '--',x,y2, '--',x,y3, '-.',x,y4, '-.',x,y5, '-' ) >> ylim([-15 10]), box off >> grid o n >> legend('y1','y2','y3','y4','y5') Partimos de f ( x)
1
x Multiplicamos la variable por −1 : calculamos la simétrica respecto del eje y 5 5 Sumamos unidades a la variable: trasladamos unidades a lo largo del eje x a la izquierda. 3 3 Multiplicamos por 2/3 la función: contraemos a lo largo del eje y . Restamos 4 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia abajo.
LA CALCULADORA DE FUNCIONES Con la sentencia funtool se accede a una calculadora de funciones en la que se recogen la mayoría de los comandos que hemos visto y que, por tanto, sirve para manipular de forma interactiva funciones reales de una variable real. La calculadora consta de tres ventanas: dos ventanas graficas y una con el teclado. En cada instante la calculadora mostrara dos funciones f (x) y g(x) en las ventanas graficas. El resultado de la mayoría de las operaciones se guarda en f (x) borrando el contenido anterior.
>> funtool
En las casillas etiquetadas por ’f = ’ y ’g = ’ se puede introducir, en cualquier momento, la función que uno desee escribiendo la correspondiente expresión. La casilla ’x = ’ puede cambiarse para especificar un nuevo dominio. La casilla ’a = ’ puede modificarse para introducir un nuevo valor del parámetro a. Todos las teclas de la fila superior son operaciones que afectan solo a la función f (x). Son los siguientes:
df/dx int f simple f num f den f 1/f finv
Derivada de f(x). Integral de f(x). Simplifica la expresión, si es posible. Extrae el numerador de una expresión racional. Lo mismo, pero ahora el denominador. Cambia f ( x) by 1 /f ( x). Cambia f por su funci ón inversa
Obviamente, las operaciones int f y finv pueden fallar si la correspondiente expresi ón simbólica no existe o no puede expresarse en t érminos de funciones elementales. La segunda fila de teclas sirve para trasladar y escalar la funci ón f por el par ámetro a. Las operaciones posibles son:
f+a f-a f*a f/a f^a f(x+a) f(x*a)
Reemplaza f(x) por f(x) + a. Reemplaza f(x) por f(x)-a. Reemplaza f(x) por af (x). Cambia f ( x) por f ( x) /a. Cambia f ( x) por f ( x)ˆa.
Reemplaza f(x) por f(x + a). Reemplaza f(x) por f(a*x)
La tercera fila de teclas son operaciones en las que intervienen las dos funciones f(x) y g(x). Las operaciones son:
f+g f-g f*g f/g f(g) g=f swap
Reemplaza f(x) por f(x) + g(x). Reemplaza f(x) por f(x) - g(x). Reemplaza f(x) por el producto f(x)*g(x) Reemplaza f(x) por f(x)/g(x). Reemplaza f(x) por la composición f(g(x)). Reemplaza g(x) por f(x) Intercambia f(x) y g(x).
Las primeras tres teclas de la cuarta fila sirven para manejar la colecci ón de funciones de la calculadora. Por defecto, la calculadora de funciones incluye una selecci ón de interesantes ejemplos. La tecla Insert añade la funci ón activa en ese momento a la colecci ón. La tecla Cycle nos permite recorrer una por una las funciones de la colecci ón. La tecla Delete elimina la funci ón activa de la colecci ón. La tecla Reset reestablece los valores por defecto de f , g, x, a y la colecci ón de funciones. La tecla Help presenta estas breves instrucciones de ayuda en ingles.
La tecla Demo propone un curioso problema. Se puede generar la funci ón sen( x), sin tocar el teclado, usando solo el rat ón? La demostraci ón resuelve el problema reiniciando la calculadora con Reset y luego pulsando 9 veces el rat ón. Si eres capaz de resolver el problema con menos pulsaciones de rat ón, por favor, env ía tu soluci ón a [email protected] . Finalmente, la tecla Close apaga la calculadora, cerrando las tres ventanas que la componen.
Dadas f ( x) = x
2
+ x + 1 y g ( x) = tg ( sen ( x ) ) − sen ( tg ( x ) ) , graficar las funciones f o g ∧ g o f g o f
3 5
f o g
− x Para f ( x ) = 5e
⎛g⎞ = 3sen ( 2 x ) graficar ( f ⋅ g )( x ) ∧ ⎜ ⎟ ⎝ f ⎠( x )
y g( x ) 3 5
− x h( x) = 15e
sen ( 2 x )
h( x )
(
Para la función f ( x ) = x sen ( 2 x ) dibujar la grafica de f x + 1
(
f x + 1
2
)
2
)
∧
3
= e 5
3 x 5
sen ( 2 x )
f ( x) + 5 f ( x ) + 5
TRABA JO PRÁCTICO VII ANALISIS DE FUNCIONES CON MATLAB Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo numérico 1 2 3 4
y = ln(x 2 ) + ln x y = x −
y = y =
x
2 x 6− 4 x e 2
2 x + 3 2
x x − 1
5
− x 3 + 3 x 2 + 4 x − 12
y =
⎛ x 2 ⎞ ⎟ 10 y = ctgh ⎜⎜ ⎟ − 1 x ⎝ ⎠ ⎛ x 2 − 1 ⎞ ⎟ 11 y = sh ⎜⎜ ⎟ x − 2 ⎝ ⎠
10 x + 5
6
y =
7
y=
8
y = x x 2 + 4
4
3
x + x + 2 x − 4 x − 1 x + 1
2− x
+
(
2+ x
)
y = lg 2 (1 + x )
9
2
12 y = − cos ( x ) ⎡⎣ x − sec ( x )⎤⎦
Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo simbólico 1 2
y = sen
1 x
y = (1 + x )
3
y =
4
2
5
x
y
2 x
8
y =
2 − sen ( 3 x )
9
y = sen ( x ) + x
15
16 y =
( x − 1) = x
3
f ( x ) = x − 1 − x + 2
2
x − x
+ x + 2 − 1
x x −1 e
(
)
⎛ x 2 − 3 x + 2 ⎞ ⎟ 18 y = ch ⎜⎜ 2 ⎟ x x + + 3 2 ⎝ ⎠ f ( x ) = x + x + 2 + x − 3
2
( x − 6 ) y = x ( x − 4 )
11
1
2 2 4 17 y x − 4 = x
10 x ( x − 1) y = x 2 − 4
2 − x
y=
2 12 f ( x ) = x − 3 − 2 + 1
19
6
x − 1 f ( x ) = 3
2 13 f ( x ) = 2 − 3 − x − 1 + 6
20
y = sgn x
7
2 f ( x ) = x − 1
14 y = x3 sen ( 3 x ) ∧ [ −10,10]
21
x f ( x ) = x + − 1 3
(
2
)
(
− 4 x − sgn x2 + 2 x
( )
sen 3 x2
⎛ x 2 − 3x ⎞ 2 y = sgn ⎜ ⎟+ x ⎜ x + 1 ⎟ ⎝ ⎠
y = e
log 4+ 7 x 2
∧ [ −4, 2]
Para las siguientes funciones explicitar las funciones y hallar f o g ∧ g o f 1
f( x − 2 )
=
x + 5 ∧ g⎛ x ⎞ = x + 2 x ⎜ ⎟
3
3
⎝2⎠
2 3
f⎛ x −1 ⎞ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠
=
3 x3 + 1 x
f −1( x −1) =
3
+1
3x + 5
∧ g⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟ x − 6
5
⎝ x⎠
x + 1
x+5 ∧ g −1⎛ 1 ⎞ = x − 1 ⎜ ⎟ x−5 ⎝ x ⎠
6
f⎛ x −1 ⎞ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ f⎛ x −1 ⎞ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠
=
3 x3 + 1 x
=
3
+1
3x + 5 ∧ g⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟ x − 6
3 x 2 + x − 2 x − 1
5 x + 3 f −1⎛ x −1 ⎞ = ⎜ x + 2 ⎟ 4 x − 5 ⎝ ⎠
⎝ x⎠
∧ g⎛ 1 ⎞ = ⎜ x⎟ ⎝ ⎠
∧ g −1( x ) =
3 x 2 + 25 x
2
− 36
x
1 + x 2
)
Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares de forma grafica: 1 2
y =
2 x + 2− x
y = In ⎜
4
⎛ x + 1 + 1 ⎞ y = In ⎜ ⎜ x − 1 + 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠
x
⎛ ⎝
y = In ⎜ x + 1 + x2
⎞ ⎟ ⎠
⎛ 3 − x ⎞ ⎟ ⎝ 3 + x ⎠
3
5
y = 5 x + 5− x
6
y =
(
)
2
sen ( x ) − x cos ( x ) In ( x )
Graficar las siguientes cur vas dadas de forma implícita 1 2 3
x
3
+ y3 − 6 xy = 0
1 2
x + y
1 2
x 4 + y 4 3 2
x + y
3 2
100
100
4
( x − 1)
1 2
5
( sen ( x ))
= 4 x2
6
2 ( y − x + 3) = 4 − x2
=a
=2
3 2
+ ( y + 1)
y
y
3
=1
= cos ( x ) + y
7
xy
xe
2
− xy = 0 ∧ [ −10,10]
8 9
2
( x − 2) = 1
x99 + y99
=4
Graficar las sigui entes fun ciones por tramos
1
⎧ x x < −1 ⎪ 0≤ x<2 y = ⎨1 ⎪ 2 ⎩− x x ≥ 2
4
2
⎧ x + 3 [ − 5, −1] ⎪⎪ 2 y = ⎨ 2 x ]−1, 2] ⎪ ⎪⎩12 − 2 x ]2,5]
5
3
⎧−1 ⎪ ⎪2 ⎪ y = ⎨ 2 x ⎪ x − 1 ⎪ 2 x ⎪ ⎩ x − 2
]− 5,0] ]0,1[ ]1, 2[ ]2,3[
6
⎧ 1 − x x < −1 ⎪⎪ y = ⎨1 − x 2 − 1 ≤ x < 1 ⎪ x ≥1 ⎪⎩ x − 1 ⎧ x 2 − 9 [−5, −3] ⎪ ⎪ y = ⎨ x + 3 -2 ]−3,5 ] ⎪ 2 ⎪⎩ x − 10 x + 26 ]5, 7 ] ⎧ 2 − x ⎪ ⎪1 − x ⎪ y = ⎨ x ⎪ ⎪ x − 1 ⎪ x − 2 ⎩
[−2, −1[ [ −1, 0[ [0,1[ [1, 2[ [2,3[
Graficar la parte par y la parte impar de las siguientes funci ones
7
8
9
⎧ 1 − x x < −1 ⎪⎪ y = ⎨1 − x2 − 1 ≤ x < 1 ⎪ x ≥1 ⎪⎩ x − 1 ⎧ x 2 + 3 x − 2 [0, 2] ⎪ ⎪ 2 y = ⎨ x − x + 1 ] 2,3[ ⎪ [3, 5] ⎪⎩5 − x ⎧ 2 − x ⎪ ⎪⎪ x 2 -1 y = ⎨ ⎪ x 2 ⎪ 2 ⎪⎩ x + 1
[ −7, − 2[ [ − 2,0[ [0, 2[ x=2
Para las siguientes fun cion es graficar paso a paso
1
f ( x) =
1
− ( x − 3)3 − 2 partiendo de f ( x) = x3 4
f ( x ) = 2
2
−3 x + 2 Partiendo de f ( x)
= 4 ⋅ 2 2 x − 4 Partiendo de
x
x
3
f ( x )
4
4 f ( x) = −3log3 (2 x ) Partiendo de f ( x) = log3 x
f ( x) =
5
8 x − 17 2 x − 5
f ( x) = 2
Partimos de f ( x) =
1 x
Con la ayuda de la calculadora de funcio nes graficar: 1
f
π ⎞ ⎛ = 2e−2 x g = cos ⎜ 2 x + ⎟ h = f ⋅ g 4⎠ ⎝
4
2
f
= In ( x ) g = 3 − e− ( x +1) h = f ⋅ g
3
f
= 2− x
∧
x
≤ 2 h = f ( x ) ⋅ f (2 − x )
f
=
5
⎛ x ⎞ = sen ⎜ − 1⎟ h = f ⋅ g ⎝2 ⎠ f = sen ( x ) g = 2cos ( x ) h = f + g
6
f
= 2− x
x−2 g
∧
x
≤ 2 h = f ( x) ⋅ f (−x)
CALCULO DE LIMITES CON MATLAB El concepto de límite es un concepto básico y un instrumento principal del Análisis Matemático, ya que muchos problemas importantes de la Matemática y de otras ciencias dependen de él. Sin los límites, el sistema de los números reales estaría seriamente incompleto. La teoría de límites es el aparato que permite estudiar sistemáticamente las cantidades variables que aparecen en los diferentes fenómenos de la naturaleza y los procesos tecnológicos. Las ideas de límite y continuidad son muy importantes en la aplicación de las matemáticas a problemas económicos. Numerosos resultados de la Matemática y la Economía son válidos solamente para funciones continuas. Euler, uno de los más grandes matemáticos de todas las épocas, escribió que “todo el análisis infinitesimal gira alrededor de las cantidades variables y sus funciones”. Con los precedentes sobre la teoría de funciones y gráficas, trasladamos a este capítulo el estudio de aspectos interesantes e importantes de la teoría de límites de funciones.
y
f(x)
L
Idea intuitiva El límite de f ( x) es L “si puede lograrse que f ( x) esté tan 0
próximo a L como se desee, siempre que se tomen valores de x lo suficientemente próximos a x 0”. (Ver la figura).
x
x0 Figura 2.1
Definición épsilon-delta Sea f ( x) una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a El límite de f ( x) cuando
x tiende a a es L , y se escribe
Operaciones con expresion es infinitas FORMAS DETERMINADAS
(+∞) + a = +∞
(+∞ )·(± a) = ±∞
(+∞) + (+∞ )= +∞
(+∞ )·(+∞) = +∞
(−∞) + a = −∞
(−∞ )·(± a) = −∞
(−∞) + (−∞ )= −∞
(−∞ ) + ( −∞ ) = m ∞
−(−∞) = +∞ a
±∞
=0 a
0
±∞ 0
=±∞
=± ∞ si
0
±∞
(+∞)( +∞) = +∞ (+∞)( −∞) = 0 (+∞)( + a ) = +∞
⎧⎪a (+∞) = +∞ a >1 ⎨ ⎪⎩a (−∞) = 0 ⎧⎪a( +∞) = 0 0 < a <1 ⎨ ⎪⎩a( −∞) = +∞
(+∞)( − a ) = 0
=0
a≠0
FORMAS INDETERMINADAS
0 0
∞ ∞
±∞·0
∞−∞
1∞
∞0
00
Límites l aterales Se ha estudiado el concepto de límite de una función f cuando x tiende a a , tanto por valores mayores que a , como por valores menores que a . Definamos límites laterales de una función en un punto. Para valores mayores que a , debemos exigir: 0 < x − a < δ y para valores menores que a ,
0
Límite lateral derecho Se dice que f tiene límite lateral derecho, cuando x tiende a a , si para todo ε >0 existe δ >0 tal que si 0 < x − a < δ entonces, f ( x ) − L Notación:
< ε .
lim f ( x ) = L x→a+
Se define análogamente límite lateral izquierdo y se denota:
lim f ( x ) = L x→a−
El límite de la función en a no existe, porque los límites laterales son diferentes. Se cumple:
Teorema
y
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) x→a+ x→a−
x→a
Para que exista el límite de una función f en un punto a, los límites laterales alrededor de dicho punto tienen que ser iguales.
L1
Infinitos e infinitésimos L2
0
x0
x
Figura 2.4
En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función, cuando la variable independiente toma valores cada vez mayores (o cada vez menores) y en estos casos, determinar si la función se aproxima a un valor determinado. Existen algunos problemas en los que interesa estudiar el comportamiento de una función que, cuando la variable independiente x se acerca a a , la función toma valores cada vez mayores (o cada vez menores), o se acercan a cero.
Límite finito cuando la variable independiente tiende hacia infinito
y
Dada la función f , definida en el intervalo ( a ; +
el límite de f cuando x tiende a + ∞ es L, si para todo número positivo ε , existe un M > 0, tal que si x > M, entonces f ( x ) − L < ε Notación: lim f ( x) = L .
L+ ⌧ L L-
∞), se dice que
x →+ ∞
⌧
De manera similar se define el límite cuando x tiende a - ∞ , para el cual se utiliza la notación: lim f ( x) = L . x →− ∞
0
M X Figura 2.5
x
Todas las propiedades del límite en un punto, estudiadas anteriormente, son válidas también para los límites en el infinito.
Comandos simbólicos para limites COMANDO >> limit(F,x,n) >> limi t(F,x,n,’right’ ) >> limit(F,x,n,’left’)
ACLARACION Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n. Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n por la derecha. Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n por la izquierda.
Calcul ar los sigui entes límites y mostrar el valor de forma grafica: x − 5 L = lim x →5 ( x + 4 )3
L= 0
>> syms x; >> f=(x-5)/(x+4)^3; >> L=limit(f,x,5) >> ezplo t(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(5,0,'ko','linewidth',3.2) >> grid on 2 2 L = lim − 2 x → 2 3 x − 6 2 x − 5 x + 2
>> syms x; >> f=2/(3*x-6)-2/(2*x^2-5*x+2); >> L=limit(f,x,2) >> ezplo t(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(2,4/9,'ko','linewidth',3.2) >> grid on L = lim x →3
x 2 − 2 x + 6 −
x2 + 2 x − 6
2 x − 4 x + 3
L= 4/9
L= -1/3
>> syms x; >> f=(sqrt(x^2-2*x+6)-sqrt(x^2+2*x-6))/(x^2-4*x+3); >> L=limit(f,x,3) >> ezplo t(f,[-6,6]) >> hold on >> plot(3,-1/3,'ko','linewidth',3.2) >> grid on L = lim x →∞
3 x 2 + x + 2 x 2 x + 3 x
>> syms x; >> f=( 3*x^ 2+sqrt(x)+2*x)/(x^ 2+3*x); >> L=limi t(f,x,inf) >> ylim([0 3.5]), box off; >> ezplot(f,[-2,1000]) >> hold on >> plot(700,3,'ko','linewidth',3) >> grid on Ggg
L= 3
Calcular los seguintes limites: 1 − ctg 3 ( x )
L = lim 3 π x → 2 − ctg ( x ) − ctg ( x )
L= 3/4
4
>> syms x; >> f=( 1-(1/tan(x))^3)/(2-(1/tan(x))- (1/tan(x))^3 ); >> L=limit(f,x,pi/4) >> ezplo t(f,[-2,3]) >> hold on >> plot(pi/4,3/4,'ko','linewidth',3) >> grid on
⎛ 1 ⎞ ⎛ π x2 ⎞ π x2 L = lim ⎜ ⎟ sen ⎜⎜ 2 x + 1 ⎟⎟ + 2 x →∞ ⎝ x 2 + 1 ⎠ ⎝ ⎠ 2 x + 1
L= 1/2*pi
f= inline('sin(pi*x.^2./(2*x+1))./(x.^2+1)+pi*x.^2./(2*x.^2+1)');
>> fplot (f,[-1,100]) >> syms x >> f=sin(pi*x^2/(2*x+1))/(x^2+1)+pi*x^2/(2*x^2+1); >> L=limi t(f,x,inf) >> hold on >> plot(90,pi/2,'ko','li newidth' ,3) >> ylim([0 2]), box o ff; >> grid on x3 + 1) sen ( x ) ( L = lim = x → 0
log x
>> syms x >> f=((x^3+1)/log(abs(x)))*sin(x) >> L= limit(f,0) >> ezplo t(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(0,0,'ko', 0,0,'ko','linewidth',3) >> grid on
L = lim = x → 0
1 3 x 1 x
3
L=
+1
NaN
−1
>> syms x >> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1) >> L= limit(f,0) >> syms x >> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1) >> L_der=limit(f,x,0, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,0, 'left') >> ezplo t(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(0,-1,'ko', 0,1,'ko','linewidth',3) >> ylim([-4 4]), box o ff; >> grid on
L_der = 2 L_izqu = -1
En este ultimo limite si lo evaluamos directamente , el resultado es L=NAN, esto quiere decir que el limite no existe por lo que se debe tomar limites laterales y efectivamente se ve que los limites laterales no son iguales
L_der =
3
x − 1
L = lim x →1 x − 1 + x − 1 2
3
>> syms x; >> f=abs(x^ 3-1)/(abs(x-1)+(abs(x-1))^ 2); >> L_der=limit(f,x,1, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,1,'left') >> ezplo t(f,[-5,5]) >> hold on >> plot(1,3,'ko','linewidt h',3) >> grid on L =
lim ⎡ x2 + sgn x2 −1 − 1 ⎤ ± ⎣ ⎢ ⎦⎥ x →− 2
)
(
>> syms x; >> f= x^ 2+(abs(abs(x^ 2-1)-1))/(abs(x^ 2-1)-1) >> L_der=limit(f,x,-sqrt(2), 'right') >> L_izqu=limit(f,x,-sqrt(2),'left') >> ezplo t(f,[-3,3]) >> hold on >> plot(-sqrt(2),1,'ko', -sqrt(2),3,'ko','linewidth',3 ) >> grid on L = lim = x →1
x 2 sgn ⎡( x − 1) x + 2 ⎤
⎣
⎦
x − 1 − x
L_izqu = 3
L_der = 1 L_izqu = 3
L_der = -1
>> syms x;
>> f= (x^2*(abs((x-1)*sqrt(x+2))/ ((x-1)*sqrt(x+2)))/(abs(x1)-abs(x)))
>> L_der=limit(f,x,1, 'right') >> L_izqu=limit(f,x,1, 'left') >> ylim([-5 5]), box o ff; >> ezplo t(f,[-2,2]) >> hold on >> plot(1,-1, 'ko', 1,1, 'ko', 'li newidth',3) >> grid on Para este ultimo caso tener en cuenta sgn ( x ) =
L_izqu = -1
x x
=
x x
TRABAJO PRÁCTICO VIII CALCULO DE LÍMITES CON MATLAB Calcular los siguientes limites: 3 x 20 + 2 x14 − 5
1
8 = L = lim 7 x →1 4 x 23 − x15 − 3
2
− 2x +1 1 = L = lim 2 24 x →1 x50 − 2 x + 1
x →5 1 − 3 3 − x − 1
3
4
5
L = lim x → 0 L = lim x → 2
(
x
2
− x − 20
)
(
20
x3 − 12 x + 16
L = lim x →3
3 − x
(
x →0
2
6
L = lim x → 2 3 x3 + 19 −
7
⎛ 2 ⎞ x − 8 ⋅ ⎜ x + x + 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ = 1 L = lim 3 3 x →∞ x ⋅ x + 1
x +5
= 18
8
9
10
L = lim x →∞
3 3
=0
2
2
=−
x − x + 12 x + 1
x →0
x x
−2 − 2
x →∞
x
16
x → 0 x 2 In x
+ 3tg ( x ) x
=
2 3
x →∞ ⎜ ⎝ 2 x
x →− 1+
24 L = lim
x →∞
+ x + 1 ⎟⎠
6
(
x 2 arctg
( x ) − π ) = −2
1 + sen ( x ) − cos ( x )
x → 0 1 + sen ( px ) − cos ( px )
−
2 x − arcsen ( x )
x → 0 2 x + arctg ( x )
1 3 2
27 L = lim
2 x − 2 x
x → 2 x 2
3
2 14 L = lim ⎛⎜ 3 x − x + 1 ⎞⎟1− x = 0 2
=2
−9 x + 3 x − 2 7 =− 6 x + 1
23 L = lim
26 L = lim
e
6
( 2 x + 1) = 64 4 x →∞ 3 ( 3 x + 1) 81
( −1 ) = −2
+ 1 − cos ( x )
31
21 L = lim
25 L = lim
arctg x −1
x + 1 2
=4
3
x 3
1
⎡ x + 2 − 2 x +1 + x⎤ = − 1 ⎣ ⎦ 4
tg (2 x ) − sen ( 2 x )
11 L = lim
3
=
⎛ 3 x3 + 6 x2 − 16 − x ⎞ 1 ⎟= 22 L = lim ⎜ x →∞ ⎜ x 2 + 2 x + 1 − x 2 − x ⎟ 3 ⎝ ⎠
x + 5 + 4 x + 6 − 2 x 3 3
2 x3 + x 2 + 1
x →∞
x + 1
3 L = lim x 2 x →∞
13 L = lim
x +4
3 7
L = lim x →∞
12 L = lim
5 3
x
20 L = lim
2
x + 3 −
)
1 + 7 x 3 5 x + 1 − 1
19 L = lim
2
96
2 ⎡ 5 ⎤ 2 1 − x ⎢ 1 ⎞ 4⎥⎛ − x ⎥ ⎜ 5 ⎟ = 150 18 L = lim ⎢ 2 x →− 1 ⎢ x − 2 x + 1 ⎥ ⎝ 1 + x ⎠ ⎣ ⎦
7
2 x − 8 x + 12
3 4
3 x + 2 x − 5
x →1
⎛3⎞ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
)
=−
17 L = lim x + 7 − x + 3 = − 1 2 10
10
3
2 x x − 1 − 6
3 2
= 10
x 2 + x5
= −3
⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 1⎟ ⎜ + + − − + =1 16 L = lim x x x x x⎟ x→0⎜ x ⎝ ⎠
100
x
5 (1 + x ) − (1 + 5 x )
2 − x − 1
15 L = lim
28
− 5x + 6
=
=
1 p
1 3
= −2
⎛1−cos( x) ⎛ 1 ⎞ cos( 3 x) −cos(2x) ⎞ 5 lim ⎜ cos⎜ ⎟ + ⎟⎟ =− 2 tg x x x→0⎜ ( ) ⎝ ⎠ x ⎝ ⎠ 2
1 x ⎞ x
⎛ a x + b ⎟ = 1 L = lim ⎜ x → 0 ⎜ a x + b x ⎟ ab ⎝ ⎠ 2
2
3
2
x − 2 x − 4 x + 8
L = lim x → 2
x − 2
⎛ x + 2 x − 1 L = lim ⎜ ⎟⎟ = 1 2 ⎜ x →∞ 2 x − 3 x − 2 ⎝ ⎠ x
L = lim x →1
=0
⎡ 1 ⎤ lim ⎢ sen (x−1) + x⎥ =∞ + 2 x→1 ⎢ ⎥⎦ ⎣( x −1) L = lim x x →0
2
x →0
x →∞
2 x + x − 2 + 1
L = lim
=e
⎛1⎞ ⎟ ⎝ x ⎠
L = lim
e + s e n( x )
2
( x − 1)2
x
x →±∞ 5 x 2
x →+∞ x 2
( 2 ) − 2sen ( x )
4 ⎡cos ( x ) − cos2 ( x ) ⎤
⎦
lim
1
L = lim
−
x
x → 0 a x
− bx
L = lim
1 +e x
−
L = lim
=
6 5
=∞
c − d
x p − 1
x →1 x q
−1
1
e x − e x
x →0 1 e x
+1
x
x
x →0 x − sen 2 ( x )
− 3x + 4
2 x3
L = lim
sen ( 2 x ) + 2sen x
e + sen ( x ) − 1
6 x 2 + 2 x + 1
L = lim
e + cos ( x )
⎣
4 x − 1
=0
x + x − 2
x →1
senx
x →0
3
x →±∞
⎡ ( x + 2)( x + 2) ( x) x ⎤ L = lim ⎢ ⎥=0 x →∞ ⎢ ( x + 1) 2( x +1) ⎥ ⎣ ⎦ L = lim
)
(
x
L = lim
− x2 + 3x − 3 =4 x − 1
x →0
x sen ⎜ L = lim
3
2 L = lim 3 x + sgn x − 1 − 1 = 0
1 1+ In sen ( x )
1 ⎞ x
2
3
⎛ x + 1 ⎞ ⎜ x − 2 ⎟⎟ − 5 ⎝ ⎠
lim x sgn ⎜
x → 5
CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB La Tangente a una curva en un p unto Si alguien -que de todo hay - nos preguntara que es la tangente a una curva en un punto, nosotros, pensando quizás en el caso de la circunferencia de la figura, podríamos responder que es la recta que corta a la curva en ese único punto... No nos quedara entonces mas remedio que admitir que la segunda recta del dibujo no será tangente a la sinusoide y que, en cambio, si lo será la tercera a la parábola La cuestión se resuelve así: Como se observa en la figura, la recta secante a la grafica de la función y = f ( x ) en los puntos A[ x0 , f ( x0 ) ], y B [ x1 , f ( x1 ) ] es la recta que pasando por A tiene por pendiente: f ( x1 ) − f ( x0 ) tg (α ) = m AB = x1 − x0 Al valor ∆ x se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) el incremento de la función. Por otro lado, la tangente en el punto A parece ser la recta a la que tenderían las secantes en A y B cuando el punto B tendiera a confundirse con el A . Por todo ello, se define formalmente la tangente a la función y = f ( x ) en el punto A[ x0 , f ( x0 ) ] como la recta que pasando por dicho punto tiene por pendiente:
m = lim = x → x0
f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 − x0
En el supuesto de que tal limite exista. Interesa observar que si donde pone x1 ponemos x0 + ∆x , y donde figura f ( x1 ) ,escribimos f ( x0 + ∆x ) , la pendiente de la tangente vendrá dada por:
m = lim = ∆ x → x0
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆ x
∆f ∆x →0 ∆x
= lim
Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y = f ( x ) en el intervalo [ a, b ] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
TVM [ a, b] =
f ( b ) − f ( a ) b−a 2
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f ( x ) = 3 − x en el intervalo [0,2]
TVM [ 0, 2] =
f ( 2 ) − f ( 0 )
2−0
=
Tasa de variación inst antánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
−1 − 3 2
= −2
La tasa de variación media en el intervalo [ a, a + h ] sería
f ( a + h ) − f ( a ) h
.
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir: f ( x + h ) − f ( x )
lim =
h →0
h
A este valor se le llama la derivada de la función y = f ( x ) en el punto a y se designa por f ' ( a ) , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. f ( x + h ) − f ( x ) f ' ( a ) = lim = h h →0 Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a .
Interpretación geométric a de la derivada La tasa de variación media de una función f en [ a, a + h ] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a + h . Si h tiende a cero, el punto a + h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la cur va. Por lo tanto:
(
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto a, f ( a )
)
Función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f ' ( x ) se llama la función derivada de f y se denota por f ' .
Comandos simbólicos para la derivada de una función Se usa la función diff para determinar la derivada simbólica de una expresión simbólica. Hay cuatro formas de usar la función diff para realizar una derivación simbólica:
COMANDO >> diff(f) >> diff(f,’t’) >> diff(f,n) >> dif f(f,’t’,n)
ACLARACION Devuelve la derivada de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión. Devuelve la derivada de la expresión f respecto de la variable t. Devuelve la de orden n de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión. Devuelve la derivada de orden n de la expresión f respecto a la variable t.
**La función diff, puede diferenciar (de acuerdo a sus argumentos) si debe realizar derivación simbólica o numérica.
eee eee
Calcul ar la prim era derivada de:
⎛ 1 3 x3 + 3sen ⎜ x ⎜⎜ ⎝ y = 5x −4 5−e derivada =
>> syms x; >> f=(x^ 3+3*sin(x^ (1/3)))/(5-exp(5*x+4)); >> derivada=diff(f,x,1) >> pretty(derivada)
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
(3*x^2+cos(x^(1/3))/x^(2/3))/(5-exp(5*x+4))+5*(x^3+3*sin(x^(1/3)))/(5-exp(5*x+4))^2*exp(5*x+4)
y =
2
1− x
1+ x2
1
−
⎛ ⎝
⎞ ⎠
1+ x2 ⎜ x + 1+ x2 ⎟
>> syms x; >> f=sqrt ((1-x^ 2)/(1+x^ 2))-1/((sqrt(1+ x^ 2))*(x+sqrt(1+ x^ 2 ))) >> derivada=diff(f,x,1); >> deriv ada_simpl ific ada=simpl e(derivada) >> pretty(derivada_simplifi cada)
deriv_simplific = (-2*x+(1-x^2)^(1/2))/(1+x^2)^(3/2)/(1-x^2)^(1/2)
⎛ b + a cos x ⎞ ⎟ ⎝ a + b cos x ⎠
y = arccos ⎜
>> syms x a b; >> f= acos((b+a*cos(x))/(a+b*cos(x))) >> derivada=diff(f,x,1); >> deriv ada_simpl ific ada=simpl e(derivada) >> pretty(derivada_simplifi cada)
derivada_simplifi cada = -i*sin(x)*(-b^2+a^2)^(1/2)/(a+b*cos(x))/(-1+cos(x)^2)^(1/2) y ' = −
ddd
b 2 − a 2 sgn ( sen x ) a 2 − b 2 a + b cos x
Calcul Calcul ar la derivada derivada de orden superio r: Hallar
y
( 2 ) si: y =
sen( x )
5 − e5 x
>> syms x; >> f=(sin(x))/(5-exp(5*x)); >> der_2=diff (f,x,2) >> pretty(der _2)
der_2 = -sin(x)/(5-exp(5*x))+1 -sin(x)/(5-exp(5*x))+10*cos(x)/(5 0*cos(x)/(5-exp(5*x)) -exp(5*x))^^ 2*exp(5*x)+50 2*exp(5*x)+50*sin(x)/(5*sin(x)/(5-exp(5*x)) exp(5*x))^^ 3*exp(5*x)^ 3*exp(5*x)^2+ 2+ 25*sin 25*sin (x)/(5-e (x)/(5-exp(5*x))^2*exp(5*x) xp(5*x))^2*exp(5*x)
Hallar
y
( 2 ) si:
⎛ 1 − 1 − x2 ⎞ ⎟ + In ⎜ y = 2 ⎜ 1 + 1 − x 2 ⎟ x ⎝ ⎠ derivada_simplifi cada_2 cada_2 = arccos x
1
>> syms x; >> f= acos (x)/x+0.5* (x)/x+0.5*log log ((1-sqrt ((1-sqrt (1- x^2)) x^ 2))/(1 /(1+sqr +sqrt(1t(1- x^ 2))) 2))) >> segunda_derivada= diff(f,x,2); >> derivada_simplifi cada_2= cada_2=simpl simpl e(segunda_derivada) e(segunda_derivada) >> p retty(derivada_simpl retty(derivada_simpl ificada_2)
(x+2*acos(x)*(1-x^2)^ (x+2*acos(x)*(1-x^2)^ (1/2)) (1/2))*x/(1 *x/(1-x^ -x^ 2)^(1/2)/(1 2)^(1/2)/(1+(1+(1-x^ x^ 2)^(1/2))^ 2)^(1/2))^2/( 2/(-1+ -1+(1-x^2)^ (1-x^2)^ (1/2)) (1/2))^^ 2
Hallar y
( 50 ) si: 2
y = x sen ( x )
derivada_simplifi cada_50 cada_50 = 2450*sin(x)+100*x*cos(x)-x^2*sin(x)
Fff
>> syms x; >> f= x^2*sin(x); >> derivada_5 deriv ada_50= 0= diff (f,x,50); (f,x,50); >> derivada_simplificada_50=simple(derivada_50) >> pretty(derivada_simplifi cada_50 cada_50))
Hallar y', y'' Si
arctg
y x
= ln x 2 + y 2
>> syms x y d y; >> f= atan(y/x)-0.5*log(x^2+y^2); >> derivada= diff(f)+ dy *diff(f,y); *diff(f,y); >> y_pri ma=solve(derivada, ma=solve(derivada, 'dy') >> pretty(y_prima) >> segunda_deriv=diff(y_prima)+ segunda_deriv=diff(y_prima)+dy*diff(y_pri dy*diff(y_pri ma,y); ma,y); >> y_segunda=subs(segunda_deriv ,dy,y_prim ,dy,y_prim a) >> simplificando=simplify(y_segunda) >> pretty(simplificando)
y_prima = (y+x)/(x-y) y_segunda = 1/(x-y)-(y+x)/(x-y)^2+(y+x)/(x-y)*(1/(x-y)+(y+x)/(x-y)^2) simplificando = 2*(x^2+y^2)/(x-y)^3 Hallar y', y'' Si
⎧ x = arctg ( t ) ⎪ ⎨ 2 ⎪⎩ y = In 1 + t
(
y_prima = 2*t y2prima = 2+2*t^2
)
>> syms t; >> x= atan(t); y=log(1+t^2) ; >> dx= diff (x,t); (x,t); >> dy=diff(y,t); >> y_prima=dy/dx >> pretty(y_prima) >> y2pri ma=diff(y_prima,t)/dx; ma=diff(y_prima,t)/dx; >> pretty(y2prima)
TRABAJO PRÁCTICO IX CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB Calcul Calcul ar las sigui enetes enetes derivadas 1 2 3
4
5 6
7
8
9
y = 3b 2 arctg y =
x b − x
3 56 ( 2 x − 1)
−
7
− (3b + 2 x ) bx − x 2 1 6
24 ( 2 x − 1)
−
1
⎛ x 2 + 2 x + 1 ⎞ ⎛ 2x ⎞ 1 y = ln ⎜ arctg ⎜ + ⎟ ⎜ x2 − 1 ⎟⎟ 4 2 ⎜⎝ x 2 − 2 x + 1 ⎟⎠ 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ x2 ⎞ x 2 e − arcsen ⎜ e− ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ln ⎛ 1 − e−2 x2 ⎞ y = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 x2 − 1− e
y ' = x 2
2 xe−
1 4 x + 1
⎛ − x2 ⎞ arcsen ⎜ e ⎟ ⎝
y' = −
1− e
−2 x 2
⎠
3
y ' =
sen x ⎛ cos5 x
y ' = cos x
(
)
⎞ 15 y = + cos x ⎟ + ( sen x ⋅ cos x + x ) ⎜ ⎟ 48 6 ⎜⎝ 3 4 ⎠ ⎛4 ⎞ ⎛ 4 1 + x4 ⎞ 1 ⎜ 1 + x 4 + x ⎟ 1 ⎟ − arct g ⎜ y = ln 4 4 ⎜ 1 + x 4 − x ⎟ 2 ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sen 3 x cos x ⎛ cos2 x 1 ⎞ 1 3 + ⎟ − ( sen y = sen x cos cos x − x ) ⎜ ⎜ 3 2 4 ⎟⎠ 16 ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ 1 + 23 x ⎞ 1 − 3 x ⎜ ⎟ + 3 ar ctg ⎜ y = ln ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ 2 3 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ 1 + x + x ⎠
(
(
13
8
2 ( 2 x − 1)
1 1 ⎛ 2 x − 1 ⎞ 2 In (1 + x )1 In x − x + 1 + arctg ⎜ ⎟ 2 6 3 ⎝ 3 ⎠
1
5
)( )
)
2
2
Hallar y ' ' si ax + 2b x ⋅ y + cy cy + 2d x + 2e y + k = 0
(
) (
)
14 Hallar y ' ' si sen y − x 2 − In y − x2 + 2 y − x2 − 3 = 0
1 + x3
1 4
1 + x 4
2
4
y ' = sen x cos x
y ' =
−1
(1 − x ) 3 x
y ' =
)
2 3 3 2 x y + x −1 Hallar y ' ' si In x + yx − 5 = e
(
y ' =
)
(
1 6
3
⎛ ⎞ 8 x 1 − x 2 x 4 − 6 x2 + 1 ⎜ ⎟ = − 8x y arctg 10 ⎜ 2 2⎟ ⎜ x 4 − 6 x 2 + 1 − 16 x 2 1 − x2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ b + a cos x + b2 − a2 senx ⎞ ⎛ a−b x⎞ 2 ⎜ ⎟ = + y In arctg arc tg 11 ⎜⎜ a + b tg 2 ⎟⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ( a + b) cos x ⎝ ⎠ a −b ⎝ ⎠ 12
b − x
x 2 − 1
y ' =
5
40 ( 2x − 1)
1
y =
x
y ' = 4 x
y ' =
−8 x 2 1 + x 2
b2 − a 2 + 1 a + b cos ( x )
⎛ y+ x⎞ ⎟ ⎝ x2 ⎠
y '' = 6 ⎜ y '' =
ctte 3
( bx + cy + e )
y '' = 2
y '' = 0
x
15 Hallar y ' ' si:
2
2
2
2
x − y x + y
−
y
+e
=4
⎧⎪ x = a ⎣⎡ sen ( t ) − t cos ( t )⎤⎦ 16 Hallar y ' ' si ⎨ ⎪⎩ y = a ⎣⎡cos ( t ) + tsen ( t )⎦⎤ ⎧ ⎛ t ⎞ x In = ⎜ tg 2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 17 Hallar y' ' '( x ) si: ⎨ ⎪ y = arctg ⎛⎜ sen ( t ) − cos ( t ) ⎞⎟ ⎜ sen ( t ) + cos ( t ) ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ Hallar y ' ' '( x )
18
Hallar y
19
Hallar
20
Hallar
21
Hallar
(n )
y
si:
(n ) y
y
y '' = − d3y dx
⎧ ⎛ ⎛ t ⎞ ⎞ = x In ⎪ ⎜ tg ⎜ 2 ⎟ ⎟ + cos ( t ) − sen ( t ) si: ⎨ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎪ y = sen ( t ) + cos ( t ) ⎩ y =
si: y
x + x + 1
d2 y dx2
2
x − 7 x + 6 3
y
.
(n )
2a t sen3t
= cos ( 2t )sen ( t )
sen( t )
⎡⎣cos( t ) − sen ( t ) ⎤⎦ cos3 (t )
7 28 ⎤ (− 1)n n! ⎡ − 15 = + + ⎢ ⎥ 20 ⎣ ( x − 1)n+1 ( x + 3)n +1 ( x − 2)n+1 ⎦
= xn x
y
( n ) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 L ( 2n + 1) x 2n
(50) = −2 n−3 e−2x ⎡−8x3 + 12nx2 − 6n n − 1 x + n n − 1 n − 2 ⎤ ( ) ( ) ( )( )
( n ) si: y = x3e−4 x
( 20 ) si:
=
3
1
y
2 2 x
y = x e
⎣
⎦
y
( 20 ) = 220 e 2 x x 2 + 20 x + 95
(
)
n 22
Hallar
y
( n ) si: y = e x cos x ( )
23
Hallar
y
( n ) si: y = ⎡e( a +1) x + 1⎤ e x
⎣⎢
y
⎦⎥
( n ) = 2 2 e x cos ⎛ x + n π ⎞ ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝ ( n) ( a+1) x +1⎤ex y = (a+ 2)n ⎡e ⎣⎢ ⎦⎥
ANA LISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATL AB El cálculo de mínimos relativos de funciones no lineales se hace, con MATLAB, mediante la función:
>> fminsearch(funci on,x0) >> [x,fvalor] =fminsearch(funcio n,x0)
>> fminsearch(@fun,x0,options,p1,p2,...)
funcion es el nombre de una función que evalúa la función f(x). Puede ser - un objeto inline o bien una referencia a una m-funcion fun.m: @fun , x0 es un valor "próximo" al mínimo que se busca Devuelve el minimizador encontrado, x , y el valor de la función en x (si el algoritmo no converge, x=NaN) options permite dar valores a una serie de parámetros que intervienen en el cálculo. Ver documentación de MATLAB para más detalles. Si no se necesita, poner una matriz vacía: [] en su lugar. p1,p2,... son parámetros que serán pasados como argumentos a la mfunción fun.m cuando sea llamada
La búsqueda de mínimos absolutos en un intervalo acotado de funciones escalares se hace mediante
>> fminbnd (funcio n,x1,x2)
>> [x,fvalor] =fminbnd (funcion ,x1,x2) >> fminbnd(@fun,x1,x2,options,p1,p2,...) >> [x,fval] = fminb nd(fun,x1,x2,opcion es)
>> [x,fval,exitflag] = fmin bnd(fun ,x1,x2,opci ones)
funcion es el nombre de una función que evalúa la función f(x). Puede ser - un objeto inline o bien una referencia a una m-funcion fun.m: @fun, x1, x2 son los extremos del intervalo Devuelve el minimizador,x , y el valor de la función en x mismo significado que en los casos anteriores En este caso en fval se devuelve el valor de la función fun evaluada en la solución x En el parámetro exitflag la función devuelve un valor que describe la condición de salida de fminbnd: exitflag > 0 indica que la función converge a la solución exitflag = 0 indica que se ha excedido el máximo número de evaluaciones de la función exitflag < 0 indica que no se ha encontrado solución
Para calcular el máximo de una función y = f ( x ) en un intervalo [ a, b ] , hay que calcular el mínimo de la función y = − f ( x ) en el mismo intervalo
Hallar el mínimos absoluto para la sigu iente funcion : f( x ) = sen ( In ( x ) ) f= >> f=inlin e('sin(log (x))'), Inline function: >> syms x; f(x) = sin (log(x)) >> x min=fmin search(f,1) >> ezplo t(f) xmin = >> ymin=subs(f,x,xmin) 0.2079 >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) ymin = >> grid on
-1.0000
( )
Hallar el mínimo absoluto p ara la siguiente funci on: f( x ) = sen x2 In ( x ) ∧ [ 0, π ] f= >> f=inl ine('sin(x^ 2).*log(x)'); >> syms x; >> xmin=fmi nbnd (f,0,pi) >> ezplot(f,[0,pi]) >> ymin=subs(f,x,xmin) >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) >> grid on
Inline function: f(x) = sin(x^2).*log(x) xmin = 2.2006 ymin = -0.7820
Hallar el mínimo absoluto p ara la siguiente funci on: f( x ) = x3 − x en [ −2, 2 ] f= >> f=inline('x^3-x'); >> syms x; >> xmin= fminbnd(f,-1,1) >> ezplo t(f,[-2,2]) >> ymin=subs(f,x,xmin) >> hold on >> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3) >> ylim([-8 4]), box o ff; >> grid on
Inline function: f(x) = x^ 3-x xmin = 0.5774 ymin = -0.3849
( )
Hallar un máximo relativo p ara la siguiente funci one: f( x ) = sen x 2 In ( x ) ∧ [ 0, π ] xmax = >> f=inlin e('-sin(x^ 2).*log(x)'); >> g=inl ine('sin(x^ 2).*log(x)'); >> syms x; >> x max=fminbnd (f,0,pi) >> ezplot(g,[0,pi]) >> ymax=-subs(f,x,xmax) >> hold on >> plot(xmax,ymax,'ko', 'li newidth',3) >> grid on
1.4586 ymax = 0.3205
Hallar los mínimo s y máximos para la siguiente funcio ne: f( x ) = 8 x −3 − 6 x −1 >> f=inline('-(8/x^3-6/x)'); xmin = >> g=inline('8/x^3-6/x'); 2.0000 >> syms x; fval_1 = >> [xmin,fval_1] = fminbnd(g,-5,5) -2.0000 >> [xmax,fval] =fminbnd(f,-5,5) xmax = >> fval_2=-fval -2.0000 >> ezplo t(g,[-5,5]) >> hold on fval = >> plot(xmin,fval_1,'ko', -2.0000 xmax,fval_2,'ko','linewidth',3) >> grid on
fval_2 = 2.0000
Hallar los mínimo s y máximos para la siguiente funcio ne: f( x ) = x 2 − 9 x min1 = >> f=inline('-(abs(x^2-9))'); >> g=inlin e('abs(x^ 2-9)'); >> syms x; >> [xmin1,fval_1] = fminbnd(g,-4,0) >> [xmin2,fval_2] = fminbnd(g,0,4) >> [xmax,fval] =fminbnd(f,-3,3) >> fval_3=-fval >> ezplo t(g,[-5,5]) >> hold on >> pl ot(xmin1,fval_1,'ko', xmin2,fval_2,'ko', xmax,fval_3,'ko','linewidth',3)
>> grid on
-183016/61005 fval_1 = 23/233852 xmin2 = 183016/61005 fval_2 = 23/233852 xmax = -1/30023997515331 fval = -9 fval_3 = 9
Graficar indicando, intersecciones con el eje x, puntos máximos, mínimos y de inflexión INSTRUCCION Define variable Define función Calcula 1ra derivada Calcula 2da derivada
f ( x ) =
COMANDO >> syms x; >> f=(x^ 2-3*x+2)/(x^2+3*x+2)'; >> y_1=diff(f); >> y_2= diff(f,2); >> y_prima =simpl ify(y_1)
Simplifica las derivadas
>> y_segund a = simp lify(y_2)
x 2 − 3 x + 2 x 2 + 3 x + 2
RESPUESTA
y _pr im a = 6*(x^2-2)/(x^2+3*x+2)^2 y _seg un da = -12*(x^3-6*x-6)/(x^2+3*x+2)^3 intersec_x =
Intersección_eje_x
>> intersec_x=solve(f)
[ 1] [ 2] pto_critico =
Puntos críticos
>> pto_critico=sol ve(y_prima)
[ 2^(1/2)] [ -2^(1/2)] 3562/1251 -1781/1251 + 884/3117i -1781/1251 - 884/3117i
>> p_i=solve(y_segunda) P_I en formato numerico >> numeric (ans) Puntos de inflexión
AQUÍ TERMINA EL ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS, AHORA TENEMOS QUE GRAFICAR , PARA ESTO:
Encuentra valores de y
Grafica
>> p1=2^(1/2); >> p2=-2^(1/2) ; >> p3=3562/1251; >> y_1=subs(f,x,p1) >> y_2=subs(f,x,p2) >> y_3=subs(f,x,p3)
y_1 = -34/1155
y_1 = -0.0294
y_2 = -1155/34
y_2 = -33.9706
y_3 = 852/10151
y_3 = 0.0839
>> subplot(211) >> ezplo t(f,[-6,8]) >> ylim([-60 60]), box off; >> grid on >> subplot(212) >> ezplo t(f,[-1,9]) >> ylim([-0.5 0.5]), box off; >> grid on
Graficar indicando , intersecciones con el eje x, puntos máximos, mínimos y de inflexión y _pr ima = >> syms x; >> f=x^ 3-9*x^ 2+15*x+3; 3*x^2-18*x+15 >> y_1=diff(f); y_segunda = >> y_2= diff(f,2); >> y_prim a =simpl ify(y_1) 6*x-18 >> y_segund a = simp lify(y_2) pto_critico = >> pto_critico =solve(y_prim a) [ 1] >> p_i=solve(y_segunda) [ 5] >> eje_x=solve(f); p_i = >> intersec_x=numeric 3 (eje_x)
>> p1=1; >> p2=5; >> p3=3; >> y_1=subs(f,x,p1) >> y_2=subs(f,x,p2) >> y_3=subs(f,x,p3)
Intersec_x = 6.6913 + 0.0000i -0.1801 - 0.0000i 2.4889 - 0.0000i y_1 = 10 y_2 = -22 y_3 = -6
>> ezplo t(f,[-1,7]) >> ylim([-25 12]), box off; >> grid on
TRABAJO PRÁCTICO X
3 2 f( x ) = x − 9 x + 15 x + 3
ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB Utilizando los comandos fminbnd, fminsearch mostr ar claramente en la grafica los maximos y minimos r elativos y absolutos de las siguientes funciones: 1
f( x ) = x ⋅ sen ( x )
∧ [π , 2π ]
10
f( x ) = cos ( In ( x + 1) )
19 f( x ) = x x + 3
2
f( x ) = sen ( x ) −
11
2 f( x ) = x3e 4 − x
20 f( x ) = x 4 − x
3
f ( x ) = cos ⎜
12
f ( x ) =
4
f( x ) = 2− x sen ( x )
13
f ( x ) =
5
f( x ) = 2 x − x 2
14
f( x ) = 2 x 2 − 8 x + 5
3 23 f x = x + 2 ( ) x
6
f( x ) = In x 2 − 1 +
∧ [ −3, 3]
15
f( x ) = x 2 − x
2 24 f( x ) = x +
7
f( x ) = cos ( x ) − cos 2 ( x )
∧ [ −π , 2π ]
16
f( x ) = x 2 − 8 − 2
25 f ( x ) =
8
f( x ) = sen3 ( x ) − cos3 ( x)
∧ [ −π , 2π ]
9
f( x ) = sen ( x ) − sen ( 2 x )
∧ [ 0, 2π ]
sen ( 3 x )
∧ [ −π , π ]
3
⎛ π ⎞ ⎟ ∧ [ −5, 5] ⎝ x ⎠
(
∧ [ −π , π ] ∧ [ −2, 2 ]
)
1 x 2 − 1
17
f ( x ) = f ( x ) =
18
sen ( 3x ) sen ( x )
∧ [0, π ]
x + 2
21
f ( x ) =
In ( x ) x
12
22 f( x ) = x3 + x − 1
x − 2
2
x − x − 2
26
x − 5 x 2 + 10 x + 9
1 x
2
4 x 2
x + 4 6 x f ( x ) = 3 + 2 x + 3
4 2 27 f( x ) = 3 x − 6 x
x 2 − 10 x + 9
Graficar las siguientes funci ones, indi cando, intersecciones con el eje x, punt os máximos, mínimos y de inflexión x f( x ) = 2 xe −
1
f( x ) = 2 x3 − 3 x 2 − 12 x + 8
7
2
f( x ) = 3 x5 − 20 x3
8
f( x ) =
3
f( x ) = 6 x5 − 10 x3 + 2
9
f ( x ) =
4
f( x ) = 3 x5 − 25 x3 + 60 x
10
f( x ) = x 8 − x 2
5 6
f( x ) = ( x − 1)
(
f( x ) = 2 + x
2
2
3
( x + 2)
)e
− x2
11 12
f ( x ) = f ( x ) =
2 x3
−x
2
x 3
2
x − 1
2 x3 − 5 x 2 + 4 x 2 x − 2 x + 1
2 + x − x 2 1 − 2 x + x
2
CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB
13
2 f( x ) = e8 x − x −14
14
f( x ) =
15
2 f( x ) = ( x + 1) In ( x + 1)
16
f( x ) = 3 ( x − 2 ) + 3 ( x − 4 )
17
f( x ) = 2 x + 2 − 33 ( x + 1)
18
⎛ x 2 ⎞ f( x ) = ⎜ 2 + ⎟e2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
1 2
x − 1
(
)
+ In x 2 − 1
2
x
2
2
En MATLAB se utiliza la función in t para integrar la expresión simbólica f . Esta función intenta encontrar la expresión simbólica F tal que diff(F)=f. Es posible que la integral (o antiderivada) no exista en forma cerrada o que Matlab no pueda obtener la integral. En estos casos la función devolverá la expresión sin evaluarla. La función in t puede usarse de las siguientes formas: Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por >> int (S) omisión. Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable t. >> int (f,’t’) >> int (f,a,b) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión, evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas. >> int (f,’t’ , a,b) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable t, evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas. >> int (f,’m’,’n’) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión, evaluada en el intervalo [m,n], donde m y n son expresiones simbólicas. Retorna un valor de doble precisión para x, If X is already a double precision >> double(x) array, DOUBLE has no effect. Para evitar posibles problemas, es recomendable especificar la variable independiente en la derivación y en la integración simbólica.
(
)
7
Calcul ar la siguiente integral I = ∫ 2 x3 + 1 x 2 dx >> syms x; >> integrando=(2*x^ 3+1)^7*x^2; >> resultado=in t(integrando); >> pretty(resultado) Esta última expresión es equivalente a I =
1 48
(
8
)
2 x3 + 1 solo que aquí la expresión es desarrollada
completamente.
Calcul ar la siguiente integral I = ∫
x 2
x + 1
dx
>> syms x; >> resultado=int(x/(x^2+4)); >> pretty(resultado) Calcul ar la siguiente integral I = ∫
e x
4 + 9e 2 x
dx
>> syms x; >> in tegrand o=exp(x)/(4+9*exp(2*x)); >> resultado=in t(integrando); >> pretty(resultado) Calcul ar la siguiente integral I = ∫
1/6 atan(3/2 exp(x))
arctg ( x ) x
2
dx
>> syms x; >> in tegrando=atan(x)/x^2; >> resultado=in t(integrando); >> pretty(result ado) Calcul ar la siguiente integral I = ∫ e x sen ( x ) dx >> syms x; pretty(simpl e(int(exp(x)*sin(x))))
- 1/2 exp(x) (co s(x) - sin(x))
Calcul ar la siguiente integral I = ∫
6 x 2 + 22 x − 23
( 2 x − 1) ( x + x − 6) 2
>> syms x;
log (2 x - 1) - log (x + 3) + 3 log (x - 2)
>> result2 = int((6*x^2 + 22*x - 23) / ((2*x - 1)*(x^2 + x - 6)));
>> pretty(result 2) Calcul ar la siguiente integral I = ∫
x + 1 3
2
x − x − 2 x
dx
dx
1/2 log(x) - 2/3 log(x + 1) + 1/6 log (x - 2)
>> syms x; pretty(int((x-1)/(x^3-x^2-2*x))) 12dx
Calcul ar la siguiente integral I = ∫
( 2 x − 1)
( 4x
2
− 4x − 8
3
)
>> syms x; >> integ=12/((2*x-1)*sqrt(4*x^2-4*x8)^3);
>> resultado=int(integ); >> pretty(result ado) Calcul ar la siguiente integral I = ∫
2
x dx x 2 + 4 x − 5
>> syms x; >> integ=(x^2)/sqrt(4*x^2+4*x-5); >> resultado=int(integ); >> pretty(result ado) Calcul ar la siguiente integral I = ∫
( x + 3) dx x 2 3 x 2 + 2 x + 1
>> syms x; >> integ=(x+3)/((x^2)*sqrt(3*x^2+2*x+1)); >> resultado=int(integ); >> pretty(result ado)
Calcul ar la siguiente integral I = ∫
cos ( x ) dx sen
2
( x ) − 6 sen ( x) + 5
>> syms x; >> integrando=cos(x)/((sin(x))^2-6*sin(x)+5); >> resultado=in t(integrando); - 1/4 log(sin (x) - 1) + 1/4 log (sin(x) - 5) >> result_simplificado=simplify(resultado) >> pretty(result_simplificado) x + 2a a − x dx Calcul ar la siguiente integral I = ∫ x + a a + x >> syms x a; >> int egrando=((x+2*a)/(x+a))*sqrt((a-x)/(a+x)); >> resultado=int (integrando); >> pretty(result ado)
TRABAJO PRÁCTICO XI CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLA B Calcular las siguientes integrales indefinidas: 1 2
∫ ( x ∫
xdx 2
16
− 1) x 2 − x + 1 dx
n
17
( x − a )n +1 ( x − b )n−1
∫
x − 2
3
I =
4
⎛ x3 1− x ⎞ ⎜ ⎟ dx + I = ∫ ⎜ x 2 + 1 x ⎟ ⎝ ⎠
5
I =
7
I =
∫
I =
∫
9
I =
10
I =
11
12
dx
dx x ⋅ 3 x (1 + 3 x )
2
( x − 1) ( x2 − 2 x + 5) x + 2
2
dx
⋅
2 x + 3 3 x 2 + 11x + 10 a−x
∫
14
I =
I =
∫
∫ 1 − e x
a− x
x
dx
( ctgx + In( senx) ) dx x
x − x 2 − 1
dx
21
I =
23
1 x − 1
∫ x
32 I = ∫
dx
x +1
dx
(
x2 + 9 2
)(
2 − sen( x ) 3 + sen( x )
)
4
dx
cos ( x ) dx
⎛ x3 + 2 ⎞ 1 33 I = ∫ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ x − dx x ⎝ x ⎠ ⎛ x 34 I = ∫ ⎜ arcsenx + ⎜ 1 − x 2 ⎝
I =
∫
)
x + 9
3
+2 dx
I =
4 + e dx
35 I = ∫
4 e x dx
36
x
∫ ∫ ∫
3 x + 2 x − 3
1 + x8 11
dx
dx
24 25
I =
26
27
∫
I =
I =
I =
∫ ∫4
∫
I =
∫
37 I = ∫ 38 I = ∫
x
−1 ⎛ x ⎞ I = tgh ⎜ ⎟ dx ⎝a⎠
28
∫ ( a + b ) + ( a − b ) x2 x5
(
tan ( x )dx
I =
dx
∫
6e4 x
dx
I = e I =
∫
20
22
⎛ x3 1− x ⎞ ⎟ dx I = ∫ ⎜ + ⎜ x 2 + +1 x ⎟ ⎝ ⎠
13
15
dx
1 + x3 + (1 + x3 )3
∫
∫
19
I =
∫ x6 + 1
31 I = ∫ x3 + 1 2 x4 + 8 x
⎞ ⎟dx ⎟ ⎠
3
x 2
∫
18
I =
dx
7
∫ (1 − x4 )2
I =
8
x x − 1 x − x + 1
x
6
dx
2
I =
a+x x
dx
I =
40
I =
tgh ( x )dx x 2
∫ x8 + a
29
I = sen
∫
22
30
∫
37
I = cos
dx
( x ) dx ( x ) dx
42
I = I =
( x + 1) dx ( x 2 + 2 x) x 2 + 2 x x 2 − 1 2
x 1 + 3 x + x
x + 2a
I =
44
I =
I =
a−x
∫ x + a ∫
∫
43
45
)
x + 1
dx
2
4
dx
∫ x 4 + x 2 + 1 dx
39
41
( sec
9999
x 3 + 4 x + 1
dx x 4 + 1
(2x) dx 5 sen ( x ) tg ( x ) sen
x+a
⎛ ⎝
dx
⎞ ⎠ dx
2 x + 2ax ⎟
aIn ⎜ x + a +
( x + a )
2
dx
cos ( x) 1− sen( 2x) + 2cos2 ( x)
∫ ∫
∫
x5
1 − x 2
⎛ 1+ x ⎞ ⎟ dx ⎝ 1 − x ⎠
In ⎜
sen ( 2 x ) + 3cos ( x )
9 + 4sen ( x ) − cos
⎛ ⎝
2
⎞ ⎠ dx
In ⎜ x + x + 1 ⎟ 2 x + 1
2
( x)
dx
NOTACION SIGMA (SUMATORIAS) CALCULO DE AREAS POR SUMATORIAS Y SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB Sumatorias En la integral definida usaremos sumas de muchos números. Para expresar tales sumas en forma compacta es conveniente utilizar la notación de sumatoria ∑ Por ejemplo dado un conjunto de n
números {a1, a2, a3,..., an } , el símbolo
∑ ak Representa la suma indicada o sumatoria. Es decir:
k =1
n
∑ ak =1 +a2 + a3 + L + an
k =1
La letra griega Sigma Mayúscula ∑ denota la sumatoria y ak representa el k-ésimo término. La letra k se llama índice de sumatoria o variable de sumatoria y adquiere los valores enteros positivos sucesivos. Los enteros 1 y n denotan los valores extremos del índice de sumatoria.
Propiedades de sumatorias Si ak = c ∀ k ⇒
n
n
∑ c = nc
n
n
k =1 n
k =1
k =1
k =1
n
n
∑ ( ak − bk ) ∑ ak − ∑ bk
∑ ( ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
k =1 n k =1
k =1 n
∑ cak = c ∑ ak
k =1
∀ c ∈ IR
k =1
Sumas telescópicas n
n
∑ ⎡⎢⎣( k + 1)2 − k 2 ⎤⎥⎦ = ( n + 12 ) −1
∑ ( ak +1 − ak ) = an+1 − a1
k =1
k =1
Sumas especiales n
∑
k = 1+ 2 + 3 +L+ n =
⎡ n ( n + 1) ⎤ = + + + L + = k 1 2 3 n ∑ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ k =1 3
3
3
3
∑
2
k =1 n
n
n ( n + 1)
3
2
2
2
2
2
k = 1 + 2 + 3 +L+ n =
n ( n + 1) ( 2n + 1)
6
k =1
2
n
∑
4 4 4 4 4 k = 1 + 2 + 3 + L+ n =
(
)
3 2 n ( n + 1) 6n + 9n + n − 1
k =1
30
Suma de Riemann Sea f definida en un intervalo cerrado [ a, b ] en la cual puede haber valores positivos y negativos e incluso no necesita ser continua. Sea P cualquier división de [ a, b ] en subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) de la forma [ x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , . . . [ xn −1 , xn ] donde n es un entero positivo por medio de los puntos a = x0 < x1 < x3 < L < xn = b y sea ∆ x = xk − xk −1 una suma de Riemann de f ( x ) para P, es una expresión R p de la forma R p = Donde xk es un numero de [ xk −1, xk ] ∧ k = 1, 2, 3, 4, K n
n
∑ f ( xk ) ∆xk .
k =1
Comandos de matlab Realiza una suma simbólica, A+B Entrega el resultado de la sumatoria de la expresión simbólica S respecto a la variable simbólica v de a hasta b.
>> symadd(A,B) >> symsum(S,v,a,b)
>>rsums(f)
Aproxima el valor de una integral definida para f desde 0 hasta 1 o desde a hasta b por sumas de Riemann
>> rsums(f,a,b) >> rsums(f,[a,b]) Hallar la suma de: S= S= S= S=
Solución Analítica 10 10 (10 + 1) = = 55 k ∑
10
∑ k k =1 10
∑
k
k =1 10
∑ k
4
k = 2 10
∑
2
k =1
2
2k ( k − 5)
S= S= S=
k =1
Solución Matlab
10
∑ k =1 10
2 k =
10 (10 + 1)( 20 + 1)
∑k −1 = k =1 10
∑
4
6 10(11)( 6000) +9000+10-1 30
2k ( k − 5) = 2
k =1
10
∑
k =1
2
k −10
= 385
-1 = 25332
10
∑
k = 220
>>S=symsum(k,1,10);
S= 55
>>S=symsum(k^2,1,10);
S= 385
>>symsum(k^4,1,10);
S= 25,332
>> symsum(2*k*(k-5),1,10);
ans = 22
k =1
ss
Hallar la suma de: S =
3
2k
∑ ( k + 1)
k = 0
El programa solicita una ecuación de sumatoria y retorna un valor numérico equivalente al resultado de la sumatoria. k que representa el índice en la sumatoria, la variable g sirve para almacenar la ecuación que se pide evaluar. Solución Analítica Solución Matlab >> syms g k; 20 21 22 23 16 + + + = S = >> g = input('introduzca la función a evaluar:'); 0 + 1 1+1 2 + 1 3 + 1 3 La entrada es (2 ^ k)/( k + 1) S= 16/ 3 >> S = symsum(g,0,3)
Calculo de áreas con sumatorias La definición de la integral definida esta íntimamente relacionada con las áreas de ciertas regiones en un plano coordenado. Se puede calcular fácilmente el área de una región si la misma está acotada por rectas. Por ejemplo, el área de un rectángulo es el producto de longitud y su anchura. El área de un triángulo es la mita del producto de una de sus alturas por la base correspondiente, etc. El área debe satisfacer cinco propiedades: 1. El área de una región plana es un número real no negativo 2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado esta en unidades cuadradas, por ejemplo pies cuadrados o centímetros cuadrados. 3. Regiones congruentes tienen áreas iguales. 4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta, es la suma de las áreas de las dos regiones. 5. Si una región esta contenida en una segunda región, entonces el área de la primera región es menor o igual al de la segunda.
Cuando consideramos una región con frontera curva, el problema de asignar un área es significativamente más difícil. Sin embargo hace más de 2000 años, Arquímedes proporcionó la clave de la solución. Él dijo considérese una sucesión de polígonos inscritos que aproximen a la región curva con precisión cada vez mayor. Arquímedes fue mas allá considerando también polígonos circunscritos, demostró que se obtiene el mismo valor para el área del circulo de radio 1 si se inscriben o circunscriben polígonos.
Área de polígonos inscritos (Área menor) Sea R una región de un plano coordenado acotado por las rectas verticales x = a ∧ x = b por el eje x y por la gráfica de una función f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [ a, b ] , como f ≥ 0 para todo x en [ a, b ] , ninguna parte de la gráfica está debajo del
eje x . Sea n un entero positivo arbitrario, se divide el intervalo [ a, b ] en n b−a subintervalos de la misma amplitud . Esto se hace escogiendo n
números x0 , x1, x2,..., xn con a = x0 ∧ b = xn . b−a Para k = 1, 2, 3,..., n . Si la amplitud se denota por ∆ x , entonces para cada k , ∆ x = xk − xk −1 y n
xk = xk −1 + ∆ x . Como f es continua en cada subintervalo [ xk −1 , xk ] , f alcanza un mínimo en algún número mk del subintervalo. Para cada k se construye un rectángulo de anchura ∆x y una
altura igual a la distancia mínima f ( m k ) del eje x a la gráfica de f , como se ilustra en la figura. El área del k-ésimo rectángulo es f ( m k ) ∆x . La frontera de la región formada por todos estos rectángulos es el polígono rectangular inscrito correspondiente a la subdivisión de [ a, b ] en n subintervalos iguales. El área de este polígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos componentes, es decir, A ( R ) =
n
∑ f ( mk ) ∆xk
k =1
Donde f ( m k ) es el mínimo (altura mínima) de f en [ xk −1 , xk ] , si n es muy grande y si ∆x es muy pequeño, entonces la suma de las áreas de los rectángulos debe ser casi igual al área total R. Si A denota el área de R entonces la diferencia
A ( R ) −
n
∑ f ( mk ) ∆xk ,
es el área de la región no
k =1
sombreada que se encuentra bajo la gráfica de f y arriba del polígono rectangular inscrito. Este se puede considerar como el error que se comete al usar el área del polígono rectangular para estimar el área de A. Se ve que el error se hace tan pequeño como se desee escogiendo rectángulos de anchura ∆ x muy pequeña
Área por medio de polígonos circunscritos (Área mayor)
Considérese un rectángulo representativo con base [ xk −1 , xk ] y altura f ( m k ) (ver figura). Su área es la unión S n de los rectángulos que forman un polígono circunscrito para la región S . El área A ( S n ) se calcula en analogía con el calculo del área usando polígonos inscritos. El número M k es la altura en [ xk −1 , xk ] en el que f ( x ) alcanza su valor máximo (el punto xk del subintervalo) n
⇒ A ( Sn ) = ∑ f ( xk ) ∆x
A ( R k ) = f ( M k ) ∆x
k =1
Ejemplos Calcular el área bajo la curva f( x ) = 16 − x 2 en [ −3,3 ] , dividiendo en 6 subintervalos. Solución analítica. Si se divide el intervalo [ −3,3 ] en 6 subintervalos iguales, entonces la longitud de delta x de cada b − a 3 − ( −3) = = 1 , con a = −3 ∧ b = 3 , subintervalo es n
A =
6
n
∑ f ( mk )∆xk = 1⎡⎣ f ( −3) + f ( −2) + f ( −1) + f ( 1) + f ( 2) + f ( 3) ⎤⎦
k =1
= 1[ 7 +12 + 15 + 15 + 12 + 7] = 1[ 68] = 68 Solución en Matlab, creamos una función denominada Areapol a la cual le pasamos como parámetro la formula a evaluar, el intervalo y el valor de n respectivamente, cabe señalar que para este caso se utilizaron las propiedades de la sumatoria. El programa lee del teclado la formula, y los valores extremos de la curva en cuestión así como el valor de los subintervalos
function Areapol(f,a,b,n) syms k ; deltax = (b - a)/n; u = subs(f,'x',deltax*k); s1=symsum(u*deltax,1, n); disp(s1); >> syms x; Escribimos en la línea de comandos la sentencia para llamar a la >> f = 16-x^2; función >> Areapol(f,-3,3,6) = La respuesta es 5 Calcular el área bajo la curva f( x ) = x 2 en [ 0, 2 ] , con n = 10 Para la solución analítica, tenemos el intervalo: ∆ x = A( Sn ) =
b−a n
=
2−0 10
= 0.2
10
∑ f ( xk )∆x = ∆x ⎡⎣ f ( x1) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 ) + f ( x5 ) +L+ f ( x10 ) ⎤⎦
k =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 0.2 ⎡⎢( 0.2) + ( 0.4) +( 0.6) + ( 0.8) +( 1) +( 1.2) +( 1.4) +( 1.6) +( 1.8) +( 2) ⎤⎥ ⎣ ⎦ = 0.2[ 0.04 + 0.016 + 0.36+ 0.64+ 1+ 1.44+ 1.96+ 2.56 + 3.24 + 4] = 3.08 Solución en Matlab con la función Areapol creada anteriormente. (se calcula del mismo modo salvo por el valor >> syms x; f = x^2; Areapol(f,0,2,10) de m k que usa como mínimo el polígono inscrito y el valor
M que usa el polígono circunscrito como máximo. k
La respuesta es
=
3.0800 1
Hallar el área bajo la curva f( x ) = x3 + 1 Divida el intervalo [0, 3] en 30 subintervalos de 4 longitud ∆ x =
3 n
=
3 30
= 0.1 considerando el correspondiente polígono circunscrito S 30 .
Para la solución analítica. El área del k-ésimo rectángulo es Por lo que
0.0001 3 ⎡1 ⎛ 0.001 3 ⎞ 3 ⎤ k +1⎟ 0.1= k + 0.1 ( 0.1k ) +1⎥ 0.1= ⎜ 4 ⎣4 ⎦ ⎝ 4 ⎠ A( Sn ) = f ( x1 ) ∆x1 + f ( x2 ) ∆x2 + f ( x3 ) ∆x3 + L+ f ( x30 ) ∆x30 f ( xk ) ∆x = ⎢
30
Utilizando las propiedades de la sumatoria y las formulas para las sumas especiales tenemos:
0.0001 3 30 0.0001 30 3 A( Sn ) = f ( xk )∆xk = k + 0.1 = k + 3 4 4 k =1 k =1 k =1 k =1
∑
30
∑
∑
∑
2
0.0001( 216,225) 0.0001 ⎡ 30 +1⎤ 21.6225 = + = + = + 3 = 8.41 30 3 3 4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 4 4
>> syms x; f = ((x^3)/4) + 1; >> Areapol(f,0,3,30) ans = 8.4056
Solution Matlab La respuesta es
Ejemplos Evalúe la suma de Rieman para f( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [-1, 2] usando los puntos de la partición, con la separación equidistante, -1< -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 con el punto de muestra xk Como el punto medio del i-ésimo intervalo. R p =
6
∑ f ( xk )∆xk = ∆x ⎡⎣ f ( −0.75) + f ( −0.25) + f ( 0.25) + f ( 0.75) + f (1.25) + f ( 1.75)⎤⎦
k =1
= 0.5[1.5625 + 1.0625+ 1.0625+ 1.5625+ 2.5625+ 4.0625] = 5.9375 Solución con Matlab, creamos la función Sriemann, a la cual le function Sriemann(f,a,b) enviamos como parámetro la suma a evaluar y el intervalo. Primero xmed = (b - (b-1))/2; calculamos la distancia entre los puntos equidistantes para j=1; encontrar el valor de xk como los puntos medios de cada for i=a:xmed:b-xmed subintervalo, los sustituimos en la función y almacenamos los u(j) = subs(f,'x',i+(xmed/2)); resultados en el vector u , luego sumamos los elementos del vector j=j+1; end para multiplicarlo con el valor de ∆ xk y así tenemos el valor de la s1=sum(u)*xmed; suma, luego mandamos a graficar la suma. disp(double(s1)); rsums(f,a,b) Escribimos en la línea de comandos la siguiente sentencia >> syms x; >> Sriemann(x^2 + 1,-1,2); La función rsums de MATLAB, crea la grafica de la suma de Riemann en forma interactiva, donde pueden hacerse las modificaciones necesarias para visualizar el comportamiento de esta para diferentes valores.
La respuesta es
= 5.9375
Calcular el área de f( x ) = 4 − x en [-4,4] Con la función Sriemann, >> syms x; escribimos en la línea de >> Sriemann( 4-abs(x) ,-4,4); comandos La respuesta del = programa 16 Respuesta de la ventana grafica
2.006920
La respuesta correcta
16
Calcular el área de f( x ) = 2 x en [0,4] Con la función Sriemann, >> syms x; escribimos en la línea de >> Sriemann(2*sqrt(x),0,4); comandos La respuesta del = programa 10.7045 Respuesta de la ventana 2.667514 grafica La respuesta correcta
Rpta :32/3
Calcular el área de f( x ) = x3 en [-1,1] Con la función Sriemann, >> syms x; >> Sriemann(x^3,,1); La respuesta es = 0.2188
Rpta :
1 2
Como se ve este calculo no es exacto esto depende de la longitud de ∆ x = xk − xk −1 Recuerde que en la función Areapol es la ecuación de la curva a evaluar, el intervalo es [ 0, 2 ] , y 10 es el numero de subintervalos ( n ) en los que dividimos la curva. Concluimos que si ∆ xk se hace muy pequeño tendiendo al cero y si n se hace muy grande tendiendo a infinito tenemos el valor más exacto para el área buscada. Si usted quiere, realice varias pruebas utilizando esta función e incremente n en cada una de ellas para verificar la proximidad del área al valor de A(Sn )=2.67
TRABAJO PRÁCTICO XII SUMATORIAS Y CÁLCULO DE AREAS POR SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB Hallar la suma de: 1000
1 2
⎛ k + 1 ⎞ S = ∑ In ⎜ ⎟ ⎝ k + 3 ⎠ k =1 S =
300
1
∑
2 k =1 4k
S =
3
S =
4
−1
2000
k + 2
∑
k =1 k ( k + 1) 2
1000
5
k
S=
106
⎛
1
⎞
∑ arctg ⎝⎜ 1 + k + k 2 ⎠⎟
k =1
2
k
∑ 4k 2 − 1
6
S =
k =1
1020
∑
k = 0
2k + 3k 5k
Calcular el área de las regiones por sumatorias 1
f( x ) = 10 − x 2 en [1, 3]
A = 34/3
4
f( x ) = x 2 − x 3 en [ −1, 0 ] ,
A = 7/12
2
f( x ) = 3x 2 + 5 x + 2 en [ 2, 4] ,
A = 90
5
f( x ) = 4 x3 + 2 x en [ 0, 3] ,
A = 90
3
f( x ) = x 2 − 2 x + 3 en [ −2,1]
A = 15
6
f( x ) = 3 + x + x3 en [ −1, 2 ]
A = 57/4
Estimar el área de las regiones por sumas de Riemann 3
1
f( x ) = ( x − 1)
2
f( x ) = 3x − 3x −
2
en [3,8 ] 4 3 x en [ 0,1] 3
A =
2385
A =
1
4 6
⎡
π π ⎤
3
f ( x ) = cos ( x ) en ⎢ − , ⎥ ⎣ 2 2⎦
4
y = 3x
2
∧ y = −1 − 3x 2 en [ 0,3] ,
A = 2
A = 57
En los últimos tres ejemplos desarrollados observe que la respuesta generada por el programa Sriemann, y la respuesta generada en la ventana grafica son diferentes explicar a que se debe esto.
En los problemas siguientes use MATLAB para calcular la suma de Riemann con los datos que se dan, cree la función que da la solución y grafique. 1 f( x ) = x − 1 con la partición p : 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7 y los correspondientes puntos muestras x1 = 3, x2 = 4 x3 = 4.75, x4 = 6, x5 = 6.5
2
f ( x ) = −
x
2
+ 3 con
la
partición
p : −3 < −1.3 < 0 < 0.9 < 2 y
los
correspondientes
puntos
muestras x1 = −2, x 2 = −0.5 x3 = 0, x4 = 2
3
f( x ) = x 3 − 5 x 2 + 2 x + 8 + 3 con
la partición x1 = 0.5, x2 = 1.5 x3 = 2.5, x4 = 3.6, x5 = 5 y los
correspondientes puntos muestras p : 0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5 x
2
+ x ∧ [ −2,2] Se divide en ocho subintervalos iguales, xi es el punto medio. 4 f( x ) = 2 5 f( x ) = 4 x3 + 1 ∧ [ 0,3] Se divide en seis subintervalos iguales, xi es el punto extremo derecho.
CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS APLICACIONES CON MATLAB n
Sea f ( x ) una función definida en un intervalo cerrado [ a, b ] , si existe lim ∑ f ( xk ) ∆xk , entonces, p →∞ k =1
b
decimos que f ( x ) es integrable en [ a, b ] . Además ∫ f( x ) dx se denominada integral definida de f ( x ) a b
desde a hasta b , y está dada por:
∑ f (Wk )∆xk ∫ f( x )dx = plim →∞ k
a
Entonces, si existe la integral definida de f ( x ) entre a y b (o de “ a ” a “ b ”), entonces se dice que b
f ( x ) es integrable en
[ a, b ] y que la integral
∫ f( x )dx existe, al proceso de determinar el número a
representado por el límite se llama evaluar la integral. El símbolo
∫
en la definición es el símbolo de integral y se usa para indicar la relación entre las
integrales definidas y las sumas de Riemann. Los números a y b se llaman extremos(o límites) de integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior. La expresión f ( x ) que aparece a la derecha del símbolo de integración se llama integrando. Y el símbolo diferencial dx esta relacionado con el incremento ∆ xk de una suma de Riemann de f ( x ) . Se notara que hemos modificado la noción de nuestro análisis del área realizado anteriormente, ahora permitimos de que f ( x ) puede ser negativa en parte o todo [ a, b ] , utilizamos particiones con subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y se permite que xi sea cualquier punto del ib
ésimo subintervalo. Ahora precisemos la relación entre la integral definida y el área.
∫ f( x )dx que da
a
el área con signo de la región encerrada entre la curva f ( x ) y el eje x en el intervalo [ a, b ] , queriendo decir que asocia un signo positivo a las áreas de partes que están por arriba del eje x y se asocia un signo negativo a las partes que están abajo del eje x . Esto es: b
∫ f( x )dx = area arriba-area abajo a
Propiedades de la integral Definida b
1. Al definir
∫ f( x )dx ,
implícitamente supusimos que a < b , con las propiedades siguientes
a a
eliminamos esa restricción.
∫ f( x )dx = 0
a
∧
b
a
a
b
∫ f( x )dx = −∫ f( x)dx b
2. Si f ( x ) es continua en [ a, b ] y f ( x ) ≥ 0 para todo x en [ a, b ] , entonces, la integral
∫ f( x )dx es
a
el área bajo la curva entre a y b . Análogamente si a < c < b , entonces las integrales
c
b
∫ f( x )dx y ∫ f( x )dx a
son las áreas bajo la curva entre a y c y entre c y b , respectivamente.
c
Entonces. b
c
b
a
a
c
∫ f( x )dx = ∫ f( x )dx + ∫ f( x)dx
3. Comparación. Si f ( x ) y g( x ) son integrables en [ a, b ] , si f( x ) ≤ g( x ) para toda x en [ a, b ] , entonces b
b
a
a
∫ f( x )dx ≤ ∫ g( x )dx
4. Acotamiento. Si f ( x ) es integrable en [ a, b ] y m ≤ f( x ) ≤ M para toda x en [ a, b ] , entonces b
m (b − a ) ≤
∫ f( x )dx ≤ M (b − a )
a
5. Linealidad. Si f ( x ) y g( x ) son integrables en [ a, b ] , y que k es una constante entonces kf ( x ) y f + g son integrables, esto es: b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
∫ kf( x )dx = k ∫ f( x )dx ∧ ∫ ⎡⎣ f( x) ± g( x ) ⎤⎦ dx = ∫ f( x) dx ± ∫ g( x) dx
6. Valor medio para integrales. Sea f ( x ) continua en [ a, b ] . El valor medio(o promedio) f ( x ) de f ( x ) en [ a, b ] es f( x ) =
1 b−a
b
∫ f( x )dx
a
7. Simetría a. Si f ( x ) es función par, entonces
a
a
−a
0
∫ f( x )dx = 2∫ f( x )dx a
b. Si f ( x ) es una función impar, entonces
∫ f( x )dx = 0
−a
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea f ( x ) continua en el intervalo cerrado [ a, b ] y sea x un punto (variable) en ( a, b ) . Entonces x d ⎛
⎞ ⎜ ∫ f( t )dt ⎟ = f ( x ) ⎟ dx ⎜ ⎝0 ⎠ Segundo teorema fundamental del cálculo. El primer teorema fundamental del cálculo, proporciona la relación inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque no es aparente esta relación nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Esta herramienta se denomina el segundo teorema fundamental del cálculo, y lo aplicaremos con mucha más frecuencia que el primer teorema.
Sea f ( x ) continua e integrable en [ a, b ] , y sea F cualquier antiderivada de f ( x ) en [ a, b ] . Entonces b
∫ f( x )dx = F (b ) − F ( a )
a
No toda función es integrable en un intervalo [ a, b ] , por ejemplo la función no acotada
⎧⎪ 1 x ≠ 0 f ( x ) = ⎨ x2 no es integrable en el intervalo [-2, 2], puede demostrarse que para esta función no ⎪⎩1 x = 0 acotada la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente grande. Por lo tanto el límite de la suma de Riemann no existe en [-2, 2]. Teorema de integrabilidad. Si f ( x ) es continua y acotada en [ a, b ] , excepto en un número finito de puntos, entonces f es integrable en [ a, b ] . En particular, si f es continua en todo el intervalo [ a, b ] , es integrable en todo [ a, b ] . Como consecuencia de este teorema, las funciones siguientes son integrables en todo el intervalo cerrado [ a, b ] . • Funciones polinomiales • Funciones seno y coseno • Funciones racionales, con tal que el intervalo [ a, b ] no contenga puntos en donde el denominador sea cero.
Aplicaciones de la integral definida Área de una curva acotada por los ejes. Considérese la región R acotada por las gráficas de y = f ( x ) , x = a , x = b y y = 0 . Nos referimos a R como la región bajo y = f ( x ) entre x = a , x = b . Su área esta dada por: b
A ( R ) =
∫ f( x )d x
a
Área entre dos curvas. Considérese las curvas y = f ( x ) y y = g( x ) con g( x ) ≤ f ( x ) en a ≤ x ≤ b . Ellas determinan la región que se muestra en la figura Note que f( x ) − g( x ) da la altura, aun cuando la grafica de g( x ) este por debajo del eje x . El área esta dada por: b
A ( R ) = ⎡ f( x ) − g( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫
a
Comandos de Matlab
>>rsums(f) >> rsums(f,a,b) >> rsums(f,[a,b]) rr
Aproxima el valor de una integral definida para f desde 0 hasta 1 o desde a hasta b por sumas de Riemann Aproxima la integral desde a hasta b ya sea un calculo numérico o simbólico Se puede modificar a gusto el numero de subdivisiones del intervalo de integración moviendo el cursor (a derecha o izquierda) que aparece en la base de la ventana grafica.
1
2
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I = ∫ e−5 x d x 0
Calculo de la integral Resultado numérico
>> syms x >> f= exp(-5*x^2) >> I=int(f,0,1) >> double(I)
f = exp(-5*x^2) I= 1/10*erf(5^(1/2))*5^(1/2)*pi^(1/2)
ans = 0.3957
La aproximación por >> rsums exp(-5*x^2) sumas de Riemann
2
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I = ∫ xe x dx 0
Calculo de la integral
Resultado La aproximación por sumas de Riemann
>> syms x >> f= x*exp(x) >> I2=int(f,0,2) >> double(I2) I= exp(2)+1 ans = 8.3891 >> rsums('x.*exp(x)',[1,2]) 0.5
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I =
2 ∫ cos ( x ) dx 0
Calculo de la integral
Resultado
>> syms x >> f= cos(x^2) >> I2=int(f,0,0.5) >> double(I2) ans = 0.4969
La aproximación por sumas de Riemann
>> rsums('cos(x^2)',[0,1])
es definidas
1
Para la integral I = ∫
x
2 0 x + 1
dx
Su Solución >>y=x/(x^2+1) >>int(y,0,1) ans= 1/2*log(2)
El resultado en forma numérica: >>numeric(ans) ans = 0.3466
Para mas decimales: >>vpa(ans,6) ans = .346574
Calcular las siguientes integrales definidas x − 4d x
>> syms x; >> double(int(x*sqrt(x^2 - 4),2,5))
ans = 32.0780
sen ( x ) dx
>> syms x; >> double(int(abs(sin(x)),0,2*pi))
ans = 4
2 x − 4
>> syms x; >> double(int(sqrt(x^2 - 4) / x,2,4))
ans =
>> syms x; >> double(int(x*sin(x)/(1+(cos(x)) ^2),0,pi))
ans = (pi)^2/4
>> syms x; >> double(int(x^2/(1+x^3)^3,2,3))
ans =
>> syms x; >> double(int(abs(x^2+x-6),-4,4))
ans =
5
I =
∫
2
2 2π
I =
∫
0 4
I =
∫
x
2 π
I =
dx
x sen ( x )
∫ 1 + cos2 ( x ) dx
1.3697
0 3
I =
∫
x
2
(
2 1 + x 4
I =
∫
x + x − 6 d x
>> syms x; >> double(int(1/(1+x^2),-inf,inf))
dx
∫ 1 + x2
−∞ ∞
I =
)
dx
2
−4 ∞
I =
3
3
∫
xe
− x 2
>> syms x; >> double(int(abs(x)*exp(-x^2),-inf,inf))
dx
−∞
I =
>> syms x; >> double(int(((1-x^3)^(1/3))/x^5,-1,1))
1 3 1 1− x 3
∫
(
−1
)
x
5
dx
>> syms x;
π
I =
2
∫ cos ( x )
6sen ( x ) − sen
2
( x )dx
>> int(cos(x)*sqrt(6*sin(x) sin(x)^2),0,pi/2)
352/190783
109/3 ans = 355/113 ans = 1 ans = 0/0 ans =
-5^(1/2)-9/2*asin(2/3)+9/4*pi
= 1.5487
0
∞
I =
∫e
− ax
ans = cos ( bx ) dx
0
>> syms x a b; >> int(exp(-a*x)*cos(b*x),0,inf) >> pretty(ans)
limit(-(a*exp(-a*x)*cos(b*x)-b*exp(-a*x)*sin(b*x)-a)/(a^2+b^2),x = inf)
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x 4 − 2 x3 + 2 en [ −1, 2 ] ans = 5.1000 >> syms x; >> f =(x^4 -2*x^3 + 2); >> disp(double(int(f,-1,2)))
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y =
x
2
3
− 4 , el eje x , x = −2 y x = 3 ans =
>> syms x; >> f =-1*((x^2)/3 - 4); >> disp(int(f,-2,3))
145/9
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x3 − 3x 2 − x + 3 , x = −1 y x = 2 ans = >> syms x; >> f =x^3 - 3*x^2 - x +3; >> disp((int(f,-1,1) - int(f,1,2)))
23/4
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x 4 y y = 2 x − x 2 Creamos una función denominada Area2c y le mandamos como parámetro las dos curvas a evaluar. En esta función encontramos los puntos de intersección de las curvas que ocuparemos como límites de integración y evaluamos mediante puntos de muestra si g( x ) ≤ f ( x ) para hacer g( x ) − f ( x ) function Area2c(f,g) a = solve(f - g); % Calcula los puntos de intersección m=double(subs(f, a(1)+0.1)); % Evalúa un punto muestra incluido en el intervalo n=double(subs(g, a(1)+0.1)); if m < n % verifica el mayor valor para restarlo con el menor disp(int(g - f, a(1), a(2))); else disp(int(f - g, a(1), a(2))); end E la línea de comandos la >> syms x; sentencia para llamar a la >> f = x^4; función >> g = 2*x - x^2; >> Area2c(f,g) La respuesta es:
ans= 7/15
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y 2 = 4 x y 4 x − 3 y = 4 Creamos la función llamada Area2c1 a partir de la función Area2c creada anteriormente con la variante que ahora las rebanadas se hicieron horizontales en función de y, en la cual le mandamos solamente las dos curvas. Dentro de la función se realizan el resto de procedimientos necesarios para esta evaluación function Area2c1(f,g) % Esta función calcula el área entre dos curvas que se intersecan en dos % puntos comunes. %encuentra los puntos de intersección de las curvas
[x,y]=solve(g,f); f = solve(f, 'x'); %para integrar horizontalmente despejamos x en ambas curvas g = solve(g, 'x'); , m=double(subs(f, y(1)+0.1)); %evaluamos un punto incluido en el ……………………………………………%subintervalo por cada curva
Escribimos desde la ventana de comandos la sentencia La respuesta es:
n=double(subs(g, y(1)+0.1)); if m < n %Evalua el valor más grande de x para restarlo al más pequeño disp(double(int(g - f, y(1), y(2)))); else disp(double(int(f - g, y(1), y(2)))); end >> syms x y; >> Area2c1(y^2 - 4*x, 4*x - 3*y - 4) ans= 125/4
Momentos y centros de masa En esta sección se presentan métodos para calcular los momentos y centros de masa de una lamina (una placa plana y delgada). Supóngase que dos masas de tamaños m1 ∧ m2 se colocan en un sube y baja a distancias respectivas d 1 y d 2 del punto de apoyo en los lados opuestos. El sube y baja se equilibrará si y solo si d1 ⋅ m1 = d2 m2 . Un buen modelo matemático para esta situación se obtiene de reemplazar este sube y baja por un eje coordenado horizontal que tenga su origen en el punto de apoyo. El producto de la masa de una partícula por su distancia desde un punto (brazo de palanca) se denomina momento de la partícula con respecto a ese punto. Y mide la tendencia de la masa a producir una rotación alrededor de ese punto. Sea “l” una recta de coordenada y S un conjunto de n partículas de masas m1, m2 , m3,K, mn localizadas en los puntos de coordenadas x1, x2 , x3,K, xn respectivamente. m = ∑ i =1 mi Sea la masa total. n
•
El momento de S con respecto al origen es M = ∑ i =1 xi ⋅ mi
•
El centro de masa de S es el punto con coordenada x tal que
n
n
x =
M m
∑ xi ⋅ mi
= i =1n
∑ mi
i =1
= mx = ∑ k =1 mk xk n
El número m ⋅ x en la definición anterior se puede considerar como el momento de una partícula de masa m colocada en el punto con coordenada x . Sea f ( x ) una función continua y no negativa en [ a, b ] . Si una lámina homogénea con densidad superficial
δ
tiene la forma de la región bajo la gráfica de f entre a y b , entonces b
•
La masa de la lámina es m = δ ∫ f ( x ) dx a
•
Los momentos M y y M x de la lámina son M x =
δ
b
b
2
∫
∫
⎡ f ( x ) ⎦⎤ d x y M y = δ x ⋅ f ( x ) dx 2 ⎣ a
•
a
El centro de masa ( gravedad) de la lámina , el punto P ( x, y ) tal que m y = M x y m x = M y b
∫
δ
Resolviendo tenemos:
x =
M y m
=
x ⋅ f ( x ) dx
a b δ
δ
∧
y=
∫ f ( x ) dx
a
Mx m
=
b
2
⎡ f ( x ) ⎤⎦ dx 2 ∫⎣ a
b
∫ f ( x ) dx
δ
a
Las coordenadas del centro de masa dependen sólo de la forma de la lámina y no de su densidad
Ejemplos Hallar las coordenadas del centroide de la región acotada por y = x 2 + 1 x = 0 , x = 1 y y = 0 Creamos la función centrom( ); a la cual le mandamos como parámetro la curva y los puntos en donde es acotada la lámina. Como resultado tenemos el punto P ( x, y ) mandamos a graficarlo. function centrom(f, a, b)
% Calcula centro de masa de lamina homogenea con densidad rho = 1
syms x; m = int(f,a,b); % Calcula la masa de la lamina Mx = 1/2*int(f^2,a,b); % Calcula los momentos Mx y My My = int(x*f,a,b); v(1) = My/m; % Calcula el centro de masa v(2) = Mx/m; disp(v); c =['y = ',char(f)]; u=-2:.01:2; %Grafica el centro de masa y la región de la lámina plot(u,double(subs(f,'x',u))),title('Centro de masa de una lamina'), text(b+0.5,subs(f,'x',b)+0.5,c); axis([-5,5,-5,5]), text(double(v(1)),double(v(2)),'*'); line([-5 0; 5 0], [0 -5; 0 5],'LineStyle','-'); line([a, a]', [0, subs(f,'x',a)]', 'color', 'r'); line([b, b]', [0, subs(f,'x',b)]', 'color', 'r'); Escribimos desde la >> syms x; ventana de comandos >> centrom(x^2 + 1, 0, 1) La respuesta es:
ans= [ 9/16, 7/10]
Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x 2 y y = x Para hacer la programación mas sencilla, creamos la función denominada centroide() a la cual le mandamos como parámetro las dos curvas y los límites de integración function centroide(f,g,a,b) % Esta funcion calcula el centroide entre las curvas %f(x) y g(x)
syms x; f = solve(f, 'y'); % Se deja la funcion dependiendo %de x g = solve(g, 'y'); % Verifca si f(x)>g(x) y realiza la resta
if double(subs(f, 'x', a+0.1)) < double(subs(g, 'x', b+0.1))
s = g - f; s1= g^2 - f^2; else s = f - g; s1= f^2 - g^2; end
% Calcula el centroide
v(1) = int(x*s,a,b)/int(s,a,b); v(2) = 1/2*int(s1,a,b)/int(s,a,b); disp(v); %Grafica el centro de masa y la región de la lámina hold on; for i=a:.01:b; line([i, i]', [subs(g,'x',i), subs(f,'x',i)]', 'color', 'y'); end u=a -1: .01: b+1; plot(u,real(subs(f,'x',u))), title('El centroide de la región se representa con un * '), plot(u,real(subs(g,'x',u))), axis([-1,3,-3,3]), line([-3 0; 3 0], [0 -3; 0 3],'LineStyle','-'); text(b+0.5,subs(f,'x',b)+0.5,['y = ',char(f)]); text(b+0.5,subs(g,'x',b)+1.5,['y = ',char(g)]); text(double(v(1)),double(v(2)),'*'); Escribimos desde la ventana >> syms x y; de comandos la sentencia >> centroide(y - x^3, y-sqrt(x), 0, 1) La respuesta es:
[ 12/25, 3/7]
TRABAJO PRÁCTICO XIII CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MATLAB Calcule las integrales definidas y compare cada uno de los resultados con su aproximación por sumas de Riemann y explique por que estos resultados en algunos casos no son iguales 1
1
I =
∫
In (1 + x )
2 0 1 + x π
2
3
I =
xsen ( x )
∫
01 1
I =
+ cos2 ( x )
4
x
∫ (1 + x )2 dx =
8
1 x
6
5
)
∫ arctg (
π / 3
π + 2
6
4
x − 1 dx =
∫
2
7
I =
⎡
16π 3
sec ( x ) sec ( x ) + csc ( x )
∫ ⎢⎣( x
5
+ x3 + x
−2
=
( 65 − x4 )
I =
π / 6
2
1/ 6
I =
1
e−2
dx
∫
In ( 2 )
dx =
xe
0 2
I =
dx =
16
π
)
−2 3
d x =
π
12
⎤ ⎥⎦
1 + x 4 + 3 dx = 12
1/ 2
1023
8
12300
I =
⎡ ⎤ ⎛ 1 + x ⎞ + + cos sen x In 3 x 4 ( ) ( ) ⎜ 1 x ⎟ ⎥ dx = 4 ∫ ⎢⎣ − ⎠ ⎝ ⎦ −1/ 2
Calcular las siguientes integrales impropias ∞
1
I =
∫
∞
dx
(
0 a
2
+b
2
)( b
2
+x
2
)
2
I =
1
dx
∫ x4 + 5x3 + x 2 + x + 1
3
I =
∫3
dx 5
2
4
−1 x − 1 x − 1
1
Implemente una función en Matlab que evalúe el área limitada por las curvas
1 2 3 4
( ),
y = In x 2
y = 3x − x y = x
2
2
y = In ( 4 )
y
A = ( 4 − eIn ( 4 ) )
x=e
A =
y y = x 2 − x
A =
2 x = 4 y x + y = 6
8 3 1 3
( 28
7 − 62
)
⎛ 729 ⎞ ⎟ ⎝ 256 ⎠
xy = 1 , x − xy = 3 , x − xy = 1 , xy = 3
A = In ⎜
Utilizando la propiedad de suma de áreas graficar y calcular el área limitada por las curvas 3
y y = 4
y y = 8 − x
3
y =
, y = − x 2 y x = 3 x = 1
4
x y = 2 , x + y = 4 y x = 2 x = 1
1
3 y = x + x − 4 , y = x
2
y = x − 2
1 − x
2
,
y = x
2
Implemente una función en Matlab que evalúe el área limitada por las curvas
1
y = x 2 , y = 4 x al rededor del eje x
2
y =
x−
1 x
, x = 1 x = 4 y = 0 alrededor del eje x
V =
2048
π
15
⎛ ⎝
V = π ⎜ In ( 4 ) +
3⎞
⎟
2⎠
3
3 y = x + x , x = 1 x = 0 al rededor del eje y
4
y =
5
y = 3x , y = 4 − 6 x
4 − x 2 , y = 1 x = 0 x = 3 al rededor del eje x 2
2
alrededor del eje y
V =
16
π
15
V = 2π 3 V =
8
π
9
Elabore un programa que pueda calcular el área de una curva que se encuentra dividida en dos regiones, una arriba y otra abajo del eje x, y validar el caso cuando el valor del área sea positiva y cuando sea negativa para realizar el negativo del área, ya que no puede haber área negativa. Nótese que podríamos haber escrito esta área como una integral utilizando el símbolo del valor absoluto. 2
I =
∫
3 2 x − 3x − x + 3 dx
−1
En los siguientes problemas encuentre el centroide de la región acotada por las curvas dadas, para esto, puede utilizar las funciones de Matlab mostradas anteriormente haciendo los cambios que considere pertinentes. Por otro lado puede plantear otra funcion en Matlab, Haga un grafico, utilice simetría cuando sea posible. ⎛ 1 3⎞ ⎜ , ⎟ ⎝ 2 2⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎜ , ⎟ ⎝ 4 8⎠
1
y = x 2 − 4 , y = 2 x − x 2
2
y = x , y = x − x
3
2 y = In ( x ) , y = 4 y = 4 − 4 x
4
2 y = x , y = 4 x
5
2 2 x − 4 y = 0 , x − 16 y = 24
6
x − 2 y + 8 = 0 , yx + 3 y + 5 = 0 x = 4 x = −2
7
2 2 y = x − 2 x − 3 , y = 6 x − x − 3
( 2,1)
8
y = sen ( x ) , y = 0 x = π x = 0
⎛ π π ⎞ ⎜2,8⎟ ⎝ ⎠
9
2 2 y = 20 x , x = 20 y
( 9,9 )
2
2
(14.61,3.15 ) ⎛ 16 64 ⎞ ⎜ 15 , 21 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4⎞ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ 88 50 ⎞ ⎜ 39 , 39 ⎟ ⎝ ⎠
SUCESIONES Y SERIES CON MATLAB Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Se puede denotar una sucesión por a1, a2 , a3,K,an
∨ {a n }
SUCESION TERMINO N-SIMO DESARROLLO DE 4 TERMINOS 1234 n ⎧ n ⎫ ⎨ ⎬ 2345 n +1 ⎩ n + 1⎭ 2n 1438 ⎧ 2n ⎫ ⎨ ⎬ 3n + 1 27513 ⎩ 3n + 1 ⎭ 1 ⎧ 1 ⎫ 1 3 7 15 1− ⎨1 − n ⎬ 2 4 8 16 2n ⎩ 2 ⎭ Límites de Sucesiones. Una sucesión {an } puede tener la propiedad de que cuando n aumenta, an se acerca a algún número real L ; es decir, an − L ≈ 0 para n grande.
Una sucesión {an } tiene el límite L , o converge a L , lo cual se denota por lim {an } = L , si para n →∞
cada número positivo ε existe un número positivo N tal que n ≥ L ⇒ an − L < ε Si no hay un número finito L al que converja una sucesión, se dice que la sucesión no tiene límite o diverge. La coordenada x de cualquier punto es siempre un entero positivo Para cualquier ε > 0 , los puntos ( n, an ) se encuentran entre las rectas L = ±ε , para n suficientemente grande. La expresión lim {an } = ∞ no significa que el límite existe n →∞
sino que los números {an } crecen sin acotación alguna cuando n aumenta. De la misma forma existe lim {an } = −∞ significa que {an } n →∞
decrece sin acotación alguna cuando n aumenta.
Sucesiones Monótonas. Se dice que una sucesión es monótona si sus términos sucesivos no decrecen, es decir, a1 ≤ a2 ≤ L ≤ an ≤ L a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an ≥ L O bien si no crecen Una sucesión es acotada si existe un número real positivo U tal que ak ≤ U para todo k .
n ⎧ n ⎫ 1 2 3 4 Por ejemplo, la sucesión ⎨ ,L Es ⎬ = , , , ,L , + + n 1 2 3 4 5 n 1 ⎩ ⎭ monótona (sus términos van creciendo) y acotada (porque
k k + 1
< 1 para todo k ). Observe que cualquier número U ≥ 1
es una cota de la sucesión. Sin embargo, si k < 1 , entonces k no es una cota, ya que k <
k k + 1
para k suficientemente
grande. La expresión sucesión monótona se usa para describir una sucesión no decreciente o no creciente, además es importante señalar que “no es necesario que las sucesiones {an } y {bn } sean monótonas inicialmente; basta que lo sean a partir de cierto punto, es decir, para n ≥ k . Debemos agregar también que “ la convergencia o divergencia de una sucesión no depende del carácter de los términos iniciales, sino de lo que ocurra para n grande”.
Ejemplos
⎧⎪ 3n2 + 2 ⎫⎪ Calcular el límite de la sucesión ⎨ 2 ⎬ ⎪⎩ 5n − 2n + 1⎭⎪
{
Calcular el límite de la sucesión 1 + ( 0.1)n ⎧ 5n ⎫ Calcular el límite de la sucesión ⎨ 2n ⎬ ⎩e ⎭ ⎧⎪ cos2 n ⎫⎪ Calcular el límite de la sucesión ⎨ n ⎬ ⎪⎩ 3 ⎪⎭ ⎧⎪ e n ⎫⎪ Calcular el límite de la sucesión ⎨ 4 ⎬ ⎩⎪ n ⎭⎪
}
>> clc; >> clear all; >> syms n; >> f = (3*n^2 + 2) / (5*n^2 - 2*n + 1); >> result = limit(f,n,inf); >> disp(result) >> syms n; >> funcion = 1+(0.1)^n; >> result1=limit(funcion,n,inf); >> disp(result1) >> syms n; >> f=(5*n) / (exp(2*n)); >> result1 = limit(f,n,inf); >> disp(result1) >> syms n; >> funcion = cos(n)*cos(n) / 3^n; >> result2 = limit(funcion,n,inf); >> disp(result2) >> syms n; >> funcion1= (exp(n)) / n^4; >> result3 = limit(funcion1,n,inf); >> disp(result3)
result= 3/5 result= 1 result= 0 Result2= 0 Result3= inf
Series Infinitas Sea {an } una sucesión infinita. La expresión a1 + a2 + a3 + L + an + L Se denomina serie infinita o, simplemente serie Esta serie se expresa también con notación de sumatoria como:
∑ an
∞
∨
∑ an
n =1
La variable de sumatoria es n . Cada número ak es un término de la serie y an es el n-simo término.
Tipos de Series
o
o
o
a 2 n −1 a + ar + ar + L + ar + L es convergente y su suma es si r < 1 1 − r es divergente si r ≥ 1
Serie geométrica.
1
1
1
2
3
n
Serie Armónica. Es la serie infinita divergente 1 + + + L + Serie P. 1 +
1 p
2
1
+
3
p
1
+L+
n
y diverge si p ≤ 1 .
p
∞
+L =
1
∑ n p . Donde p
∞
+ L = ∑ n =1
1 n
es una constante, y converge si p > 1
n =1
Criterios de convergencia Las dos preguntas fundamentales que surgen al estudiar las series infinitas generales son:
La serie converge? y o si converge ¿cuál es su suma? Podríamos sugerir el uso de la computadora para responder las preguntas siendo ésta nuestra herramienta de apoyo. Pero hay que dejar bien claro que: una computadora no puede sustituir los criterios matemáticos para la convergencia y divergencia de una serie infinita. Un ejemplo de esto, es la serie armónica la cual diverge muy lentamente siendo necesario más de 272 millones de términos para comprobar que la suma parcial S n crece sin límite. Dadas las limitaciones en cuanto al número de dígitos que maneja una computadora, en algún momento dado nos enviaría valores repetidos para S n que incorrectamente nos harían pensar que está convergiendo. o
Por lo que es necesario tener una buena comprensión sobre los criterios de convergencia o divergencia que se basan en un análisis del n-ésimo término. Dichos criterios se aplican solo para determinar si la serie converge o diverge, no para calcular la suma .
Se consideran criterios para series de términos positivos, es decir series en las que an ≥ 0 para todo n . •
Criterio del n-ésimo término para la divergencia . Si infinita ∑ an es divergente.
∑ an y ∑ bn son series infinitas tales que ai = bi
para todo i > k , donde k es un entero positivo, entonces ambas series convergen o ambas divergen. Si ∑ an es una serie convergente, ∑ bn divergente y c ≠ 0 , entonces
• Si •
o
o
•
∑ [ an + bn ] diverge. ∑ cbn diverge.
Criterio básico de Comparación. Sean o
o
•
lim an ≠ 0 entonces la serie
n →∞
∑ an y ∑ bn
dos series de términos positivos.
Si ∑ bn converge y an ≤ bn para todo entero positivo n , entonces ∑ an es convergente. Si ∑ bn diverge y an ≥ bn para todo entero positivo n , entonces ∑ an es divergente.
Criterio de la suma acotada. Una serie ∑ an de términos no negativos converge si y solo sí sus sumas parciales están acotadas por arriba.
•
Criterio de la Razón. Si
∑
a an una serie de términos positivos tal que lim n +1 = L n →∞ an
o
Si L < 1 , la serie es convergente
o
Si L > 1 o bien lim
an +1
n →∞ an
o
•
= ∞ , la serie es divergente.
Si L = 1 , hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o divergente.
Criterio de la Integral. Sea f una función continua, positiva, no creciente, definida en el intervalo [1, ∞ ] y suponga que ak = f ( k ) para todo entero positivo k . Entonces la serie infinita
∑ ak : ∞
o
Converge si y solo sí la integral impropia
∫ f( x ) dx converge. 0
∞ o
Diverge si
∫ f( x ) dx es divergente. 0
Series Alternantes Es una serie en las que el signo de sus términos va alternándose entre positivo y negativo, y tienen la forma siguiente: a1 − a2 + a3 − a4 L + an − L ∀ n Criterios de Convergencia •
Criterio de la serie alternante. Sea a1 − a2 + a3 − a4 L Una serie alternante con an > an +1 > 0 Si lim an = 0 , entonces la serie converge. Además, el error cometido al usar la suma S n de n →∞
•
los primeros n términos para aproximar la suma S de la serie no es mayor que an +1 . Criterio de Convergencia Absoluta. Si ∑ an converge, entonces ∑ an converge.
•
Criterio del cociente absoluto. Si
∑ an una
serie de términos no nulos tal que
a lim n +1 = L n →∞ an o
Si L < 1 , la serie es convergente
o
Si L > 1 o bien lim
n →∞
o
an +1 an
= ∞ , la serie es divergente.
Si L = 1 , hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o divergente.
Series de Potencias Sea x una variable. Una serie de potencias en x es una serie de la forma: ∞
∑ an xn = a0 + a1x + a2 x2 + L + an xn + L
n =1
Donde cada an es un número real.
El intervalo de convergencia Es el conjunto de todos los números para los que converge una serie de potencias. El intervalo de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo de uno de los siguientes tres tipos:
• • •
El único punto x = 0 . Un intervalo ( − R , R ) incluyendo posiblemente a uno o ambos extremos. Toda la recta real.
Representación de funciones por series de potencias Se puede usar una serie de potencias para definir una función f cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Para cada x en este intervalo, se define f como la suma de la serie: o sea f( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + L + an x n + L ∞
Entonces se dice que f está representada por la serie de potencias o que
∑ an xn
es una
n =1
Representación en serie de potencias de f ( x ) Serie de Maclaurin para f ( x ) alrededor de x = 0
Si f es una función tal que f( x ) = ∑ an x n para todo x en un intervalo abierto ( − R , R ) entonces (n) ( n) f ∞ f 0 f ' f '' f ''' ( ) n ( 0) ( 0) 2 ( 0) 3 ( 0) n f( x ) = ∑ x = f( 0 ) + x+ x + x +L+ x n! 1! 2! 3! n!
n =0
Serie de Taylor para f ( x ) alrededor de x = a Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo ( a − R, a + R ) . La serie de Taylor (n) ( n) f ∞ f a f ' f '' f ''' ( ) (a) ( a) ( a) ( a) n n 2 3 f( x ) = ∑ ( x − a ) = f( a ) + (x − a) + ( x − a) + ( x − a) +L+ ( x − a) n! 1! 2! 3! n! n =0
Comandos Matlab En esta sección haremos uso del comando symsum que forma parte de las funciones de la librería de matemática simbólica de MATLAB. Su función consiste en realizar la sumatoria simbólica y su sintaxis es la siguiente: Matlab dispone de una función que nos permitirá aproximar funciones mediante series de Taylor o de Maclaurin. Para determinar el polinomio de Taylor de una función f , de orden n en el punto x = a , Matlab cuenta con la función taylor, cuya sintaxis es:
>> taylor( f,n,v ) >> taylor( f,n,v,a )
Devuelve el polinomio de Maclaurin de orden (n-1) como una aproximación a la función f , donde f es una expresión simbólica que representa a una función y v especifica la variable independiente en la expresión. v puede ser una cadena o una variable simbólica. Determina la serie de Taylor en el número a como la aproximación a la función f . El argumento a puede ser un valor numérico, un símbolo o una cadena que representa un valor numérico o uno desconocido.
Nótese que, si desea el polinomio de orden n , en la función taylor se indica n + 1, que es el número de términos de que consta dicho polinomio.
Hallar la suma de las series:
S =
1 45
+
1 56
+L+
1
( n + 3)( n + 4) 8
S = 0.8 + 0.08 + 0.008 + L +
10 S = 1 +
1 2
S =
2
+
1 2
3
∞ ⎡
+L+
1 n
2
7 2 ⎤ + ⎢ ∑ n ( n + 1) 3n−1 ⎥ ⎦ n =1 ⎣
+L
n
+L
+L
>> clear all; >> syms n; >> sum1 = symsum(1 /( (n + 3) * (n + 4)),n,1,inf); >> disp(sum1) >> clear all; >> syms n; >> sum2 = symsum(8/10^n,n,1,inf); >> disp(sum2) >> syms n; >> sum3 = symsum(1 / n^2,n,1,inf); >> disp(sum3) >> syms n; >> sum4= symsum(7 / (n*(n + 1)) + 2 / (3^(n - 1)),n,1,inf); >> disp(sum4)
sum1 = 1/4
sum2 = 8/9 sum3 = 1/6*pi^2 sum4 = 10
gg Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = ( x + 1) sen 2 ( x ) de orden 14 en el origen >> syms x serie = >> f=(x+1)*sin(x^2); >> serie=taylor(f,15,x) x^2+x^3-1/6*x^6-1/6*x^7+1/120*x^10+1/120*x^11-1/5040*x^14 >> pretty(serie)
Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = cos ( x ) de orden 9 en el origen >> syms x; T= >> f = cos(x); >> T= taylor (f, 10, x) 1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6+1/40320*x^8 >> pretty(T)
Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = xe −2 x de orden 15 en el origen >> syms x; >> f = x*exp(-2*x); >> T= taylor (f, 16, x); >> pretty(T)
Matlab dispone de otra función para obtener el polinomio de Taylor. Se trata de la función taylortool que nos abre una ventana grafica donde aparece la grafica de la función y del polinomio de Taylor. Ademas, permite ir cambiando el orden del polinomio, el punto x = a , etc, manipulando adecuadamente los correspondientes "botones". La ventana gr afica se >> taylortool
Aproximar la función f( x ) = ( x + 1) sen 2 ( x ) por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0 >> taylortool('(x+1)*sin(x^2)') Cambiando el valor de n
⎞ 2 Aproximar la función f( x ) = In ⎛ ⎜ x + x + 1 ⎟ por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0 ⎝ ⎠ >>
taylortool('log(x+sqrt(x^2+1))')
Cambiando el valor de n
Aproximar la función f( x ) = x 2 sen ( x ) por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0 >> taylortool('x^2*sin(x)') Cambiando el valor de n
4 x + 3 x − 2 Aproximar la función f( x ) = sen ( 3 x ) + x 2 cos ( 3 x ) Aproximar la función f ( x ) = por 2 x + 6 x − 11 por medio de su polinomio de Taylor alrededor medio de su polinomio de Taylor alrededor de de x = 3 x = −2
( )
Aproximar la función f( x ) = 2 cos 2x 2 + 1 por
Aproxima
medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 1
(
f( x ) = sen ( x ) cos3 ( x ) − cos ( x ) sen3 ( x )
medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 2
Aproximar la función f( x ) = 3sen ( x ) + cos ( 3x + 1) por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 2
)
Aproximar f( x ) = cos x 2 − 1 + cos( x 2 + 1 por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 2
TRABAJO PRÁCTICO XIII CALCULO SUCESIONES Y SERIES CON MATLAB Calcular el límite de las sucesiones
1
⎧ 3n4 + sen2 ( 1 ) In (1 + 1 ) ⎫ ⎪ n n ⎪ ⎨ ⎬=3 2 π n + 2 cos n ) ( 4n +1 ) ⎪⎭ ⎪⎩ (
4
2
⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ −3 1 6 ⎜ ⎟ − n ⎨ ⎜n ⎬=e n n ⎟ 2 ⎪⎩ ⎝ n + 3 n + 3 ⎠⎪ ⎭
5
3
⎧ 2 ⎪⎪ 3n + 1 ⎨ ⎪ n2 − 2 ⎩⎪
6
(
(
⎫
) ⎡⎣1 − cos ( 1n )⎤⎦ ⎪⎪ = 3 ⎬ ⎛ ⎞ 1 ) In ⎜⎝1 + n ⎟⎠ ⎪⎭⎪ 2 2
Hallar la suma de las siguientes series
por
⎧ 3− n n + 2 ⎫ ) 1 ⎪3 ( ⎪ ⎨ ⎬=− 8n − 4 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎧ −( n +1) ⎫ ⎪ ( n + 1) e ⎪ ⎨ ⎬=0 −n ne ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ n ⎧ ⎡ n ⎤⎫ ⎪⎪ ⎢ 2 ⎞4 ⎥⎪ ⎪ π 1 2 ⎛ ⎡ ⎤ + − + n arctgh n 1 1 ( )⎦ ⎢ ⎨ ⎣ ⎜ n ⎟ ⎥⎬ = 8 e ⎝ ⎠ ⎥⎪ n ⎪ ⎢ ⎣ ⎦ ⎭⎪ ⎩⎪
( )
