APLICACIONES, CAPITULO 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HAGA EL PLANTEAMIENTO DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Y RESUELVA EL SISTEMA DE ECUACIONES QUE SE ORIGINE CON AYUDA DE UN SOFTWARE CAS. 1. Una empresa desea adquirir una flotilla de 24 vagones para transportar 250000 galones de uno de sus productos químicos. Los carros-tanque están disponibles en tres diferentes capacidades: para 6000 gal, 8000 gal y 18000 gal. ¿Cuántos carros tanque de cada tipo debe adquirir la empresa para satisfacer sus necesidades? (Proporcione todas las soluciones posibles). Si los carros-tanque con capacidades de 8000 y 18000 galones se pueden adquirir en el extranjero a un costo unitario de $30000 y $55000 USD respectivamente, mientras que los carros-tanque de 6000 gal solo se pueden adquirir con una compañía nacional a un costo de $24000 USD; ¿cuál es la mejor elección de compra para la empresa?. 2. Una compañía elabora 5 productos. Cada uno ha de ser procesado en 5 departamentos diferentes de A a E. La tabla adjunta indica el número de horas que se necesitan para fabricar una unidad de cada producto en cada departamento. También indica el número de horas de producción disponibles a la semana en cada departamento.
Departamento
1
Producto 2 3 4
A B C D E
3 5 2 4 2
4 3 5 4 5
2 4 3 5 5
1 2 6 4 5
5
Horas disponibles por semana
4 1 4 3 4
1150 1050 2200 1700 2000
Determine las cantidades a fabricar de cada producto para que se utilicen los cinco departamentos a su máxima capacidad.
AJUSTE DE CURVAS: POLINOMIOS INTERPOLANTES. Suponga que se tienen n puntos distintos ( , ), ( , ), … , ( , ). Es posible encontrar un polinomio único de grado n-1 o menor que se ajuste a los datos, es decir, que pase por los n puntos. Por ejemplo para construir una función que interpole a los tres puntos (1, 3), (2, 4), (3, 7) se propone = ( )=
+
+
el polinomio propuesto es de segundo grado por que originalmente se tienen 3 puntos. Además en este polinomio x e y son las coordenadas de cada punto conocido mientras
que los son los coeficientes por determinar, es decir serán las incógnitas del sistema que se genere. Ahora bien, el primer punto (1, 3) nos indica que si en el polinomio propuesto hacemos = 1 entonces y debe tomar el valor de 3, así es como se genera la primera ecuación: +
(1) +
(1) = 3
Al utilizar y agregar la información de los otros dos puntos se completa el sistema de ecuaciones: + +2 +3 cuya solución es
= 4,
= −2,
+ =3 +4 =4 +9 =7
= 1.
Por lo que el polinomio interpolante debe ser ( ) = 4 − 2 +
. Álgebra Lineal, 8ª edición (página 78) Bernard Kolman y David R. Hill Prentice Hall
3. Se está llevando a cabo un estudio para determinar la relación entre la fuerza de fricción que actúa hacia arriba y la velocidad de caída de un paracaidista. Se llevan a cabo algunos experimentos para obtener la siguiente información sobre la velocidad v (medida en metros por segundo) y la fuerza de rozamiento F (medida en Newtons). v (m/s) F (N)
10 50
20 153
30 293
40 464
Encuentre un polinomio interpolante que se ajuste a los datos experimentales y úselo para estimar el valor de la fuerza de rozamiento cuando v = 50 m/s.
CÁLCULO DE DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA. Un modelo sencillo para estimar la distribución de temperatura en una placa cuadrada da lugar a un sistema de ecuaciones lineales. Para construir el sistema lineal adecuado, utilizamos la información siguiente. La placa cuadrada está perfectamente aislada por arriba y por debajo, por lo que el único flujo de calor es a través de la placa misma. Cada lado se mantiene a una temperatura constante, pero esta puede ser diferente en cada lado. Para aproximar la temperatura en un punto interior de la placa, utilizamos como regla el promedio de las temperaturas de sus cuatro puntos circunvecinos, oeste, norte, este y sur. Por ejemplo al utilizar la regla mencionada para estimar la temperatura de los cuatro
puntos interiores, igualmente espaciados, de la placa que se muestra en la figura se obtienen las ecuaciones:
= = =
o equivalentemente
4 − − = 160 − + 4 − = 140 − + 4 − = 60 − − + 4 = 40
= Con solución
= 65° ,
= 60° ,
= 40° ,
= 35° . Álgebra Lineal, 8ª edición (página 79) Bernard Kolman y David R. Hill Prentice Hall
4. Determine la temperatura de los nueve puntos interiores que se muestran en la placa de la figura. Suponga que la placa está perfectamente aislada por arriba y por debajo y que cada lado se mantiene a una temperatura constante.
FLUJO DE TRÁFICO (ANÁLISIS DE REDES). Las redes compuestas de ramas y nodos se utilizan como modelos en campos tan variados como la economía, el análisis de tránsito vehicular y la ingeniería eléctrica. El principio básico para el análisis de estos modelos es sencillo: se asume que el flujo total hacia un nodo es igual al flujo total que sale de él. Por ejemplo para el nodo de la figura Flujo que sale = Flujo que entra + = 25 Bajo este principio cada nodo genera una ecuación lineal y si un diagrama contiene varios nodos entonces el análisis de cada uno de ellos arrojará como resultado un sistema de ecuaciones lineales. Estudie la red mostrada a continuación y su respectivo sistema.
+ = 20 + 20 = + = 10 + 10 + 10 = + 10 = Este sistema soluciones.
tiene
infinito
1 2 3 4 5 número
de
Fundamentos de Álgebra Lineal, 6ª edición (página 33) Ron Larson y David C. Falvo Cengage Learning
5. La figura adjunta muestra el flujo de tráfico en el centro de una ciudad durante las horas pico de un día hábil. Cada avenida puede aceptar hasta 1500 vehículos por hora sin congestionarse, mientras que la capacidad máxima de cada calle es de 1000 vehículos por hora. El flujo de tráfico se controla con semáforos instalados en cada crucero. Sugiera dos posibles patrones de flujo que garanticen que no habrá congestionamiento.
