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PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

PRACTICA MEC-3263 Problema

Determinar el rendimiento del sistema, dimensionar dimensionar los pares cilindricos y conicos y el eje II

Datos: 1er par (1-2): DB1 ≔ 300 ―

20000 H ≔ 14.5 α≔ t1 ≔ 5 Mt1 ≔ 4700 iT ≔ 5

2do par (3-4): i2 ≔ 2.5 δ ≔ 105°

2

DB3 ≔ 300

⋅

α= 14.5 A3 ≔ 8 t2 ≔ 1 w4 ≔ 30

2

−1

Solucion -Analisis 1er par

Relacion de transmision i1 ≔

iT i2

i1 = 2

Numero de revoluciones del piñon n1 ≔ iT ⋅ w4

AUX. MAURICIO MAURICIO LAGUE LAGUE CONDARCO CONDARCO

1432.39 n1 =

Página 1


FNI

Numero de golpes:

60 ⋅ n1 ⋅ H W 1 ＝ ――― 10

W 1 = 1718.873

6

Millones de golpes

Presion de rodadura

32

k1 ＝

W 1

1 3

⎛ DB1 ⎞ 2 ⋅ ⎝ 100 ⎠

k1 = 24.04

2

Relacion ancho diametro

1.6 ⋅ Mt1 ⋅ 1 + i1 bndn2 ≔ ―――――― = 1935.486 k1 ⋅ i1 ⋅ sin α ⋅ cos α

3

Asumiendo los siguientes siguientes valores: A1 ≔ 30 z1 ≔ 22 β1 ≔ 10

El modulo normal sera: 3

m' n ≔

6 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ bndn2 ⋅ cos β1

A1 ⋅ z1

m' n = 4.95

2

Se eligira un modulo normalizado de: mn ≔ 5

DIN780 SERIE 1

Calculo de sobredimensionamiento: sobredimensionamiento: ncho: iametro primitivo del piñon:

bn ≔ A1 ⋅ mn = 150 z1 ⋅ mn 115.17 dn1 ≔ ―― =

cos β1


3

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FNI

Por lo tanto tenemos: 2

bn ⋅ dn1 = 1989.61

3

2

SD ≔

bn ⋅ dn1 − bndn2 bndn2

⋅ 100 = 2.8

Este valor es menor a 10% por lo tanto el modulo normalizado es correcto Tambien tenemos: z1 ⋅ mn d01 ≔ ―― cos β1

d01 = 111.7

b ≔ bn ⋅ cos β1

b = 147.72

Diametro primitivo primitivo de la rueda 2 d02 ≔ d01 ⋅ i1

d02 = 223.39

Volumen del rueda 2 V 2 ≔

2

4

⋅ d02 ⋅ b

V 2 = 5.79⋅ 10

6

3

Peso de la rueda 2 γacero ≔ 7.85⋅ 10

−6

―

3

G2 ≔ V 2 ⋅ γacero

G2 = 45.45

velocidad angular de la rueda n2 ≔

w2 ＝

n1 i1 π ⋅ n2

30

716.2 n2 =

w2 = 75

1

Acelereacion angular de la rueda: w2 w�2 ≔ ― t1


w�2 = 15

1 2

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Momento de inercia de masa de la rueda: 2 1 ⎛ G2 ⎞ ⎛ d02 ⎞ I G2 ≔ ⋅ ― ⋅ ― 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

I G2 = 0.02891

⋅

⋅

2

Momento torsor absorbido por la rueda: M G2 ≔ I G2 ⋅ w�2

M G2 = 0.43

⋅

Potencia absorbida por la rueda M G2 ⋅ w2 N G2 ＝ ――

N G2 = 0.32

N 1 ≔ Mt1 ⋅ n1

N 1 = 69.14

N GT ≔ N G2 + 0.02 ⋅ N 1

N GT = 1.7

102

Potencia de entrada

Potencia perdida total:

Por lo tanto la potencia en la rueda 2 sera: N 2 ≔ N 1 − N GT

N 2 = 67.44

Rendimiento del primer par η1 ≔

N 2 N 1

η1 = 0.9754

DIMENSIONES DEL PIÑON Y LA RUEDA CILINDRICA PIÑON CILINDRICO 1

Numero de dientes:

z1 = 22

Modulo normalizado:

mn = 5

Modulo frontal:


mn ms ≔ ―― cos β1

5.08 ms =

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ncho frontal:

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b1 ≔ b

b1 = 147.72

iametro primitivo: iametro de cabeza:

111.7 d01 = dk1 ≔ d01 + 2 ⋅ mn

dk1 = 121.7

d f1 ≔ d01 − 2.4 ⋅ mn

99.7 d f1 =

h1 ≔ 2.2 ⋅ mn

h1 = 11

hk1 ≔ mn

hk1 = 5

h f1 ≔ 1.2 ⋅ mn

h f1 = 6

tn ≔

tn = 15.71

iametro de pie: ltura del diente: ltura de cabeza: ltura de pie: aso normal: aso frontal:

istancia entre centros:

⋅ mn

tn ts ≔ ―― cos β1

t1 = 5000

d01 + d02 a0 ≔ ――

167.55 a0 =

2

⋅

RUEDA CILINDRICA 2

Numero de dientes:

z2 ≔ i1 ⋅ z1

Modulo normalizado: Modulo frontal:

z2 = 44 mn = 5

ms ≔

mn

cos β1

ms = 5.08

147.72 b1 =

Ancho frontal: frontal:

223.39 d02 =

Diametro primitivo: Diametro de cabeza:

dk2 ≔ d02 + 2 ⋅ mn

dk2 = 233.39

Diametro de pie:

d f2 ≔ d02 − 2.4 ⋅ mn

d f2 = 211.39


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ltura del diente:

h2 ≔ 2.2 ⋅ mn

h2 = 11

ltura de cabeza:

hk2 ≔ mn

hk2 = 5

h f2 ≔ 1.2 ⋅ mn

h f2 = 6

aso normal:

tn ≔

tn = 15.71

aso frontal:

tn ts ≔ ―― cos β1

ltura de pie:

⋅ mn

15.95 ts = a0 = 167.55

istancia entre centros:

-Dimensionado del par conico (2do par)

La potencia y el numero de revoluciones del piñon 3 sera el mismo que el de la rueda 2, ademas la dureza brinell del piñon 3 es la misma que la del piñon 1 y de igual forma la vida util N 3 ≔ N 2 = 67.44 n3 ≔ n2 = 716.2

Momento torsor del piñon 3

N 3 M t3 ＝ 97400 ⋅ ― n3

M t3 = 9168.63

⋅

Angulos de cono

⎛ sin δ ⎞ atan ――― δ1 ≔ ⎝ i2 + cos δ ⎠

23.32 δ1 =

δ 2 ≔ δ − δ1

δ2 = 81.68

Numero de golpes del piñon 3

60 ⋅ n3 ⋅ H W 3 ＝ ――― 10


6

W 3 = 859.44

MG

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Presion de rodadura del 2do par 2 32 ⎛ DB3 ⎞ k2 ＝ ― ⋅ ― 1 ⎝ 100 ⎠

W 3

30.29 ― k2 =

2

3

Relacion ancho diametro

2 ⋅ M t3 ⋅ i2 ⋅ cos δ1 + cos δ2 b3dm32 ≔ ――――――――― k2 ⋅ i2 ⋅ sin α ⋅ cos α 2437.84 b3dm32 =

3

Asumiendo: z3 ≔ 21

ms ≔

3

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ b3dm32 ―――――― 2 A3 ⋅ z3 − A3 ⋅ sin δ1

ms = 9.86

Se normalizara segun norma DIN780 SERIE 1 ms ≔ 10

Calculo de sobredimensionamiento: sobredimensionamiento: b3 ≔ A3 ⋅ ms = 80

Ancho: Diametro primitivo del piñon:

d03 ≔ z3 ⋅ ms = 210

Diametro medio del piñon:

178.34 dm3 ≔ d03 − b3 ⋅ sin δ1 =

Por lo tanto tenemos: 2

b3 ⋅ dm3 = 2544.311

3

2

SD ≔

b3 ⋅ dm3 − b3dm32 b3dm32

⋅ 100 = 4.37 .37

Este valor es menor a 10% por lo tanto el modulo normalizado es correcto


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FNI

Tambien tenemos: d03 Ra ≔ ――― 2 ⋅sin δ1

265.29 Ra = Ra

3

= 88.43

b3 <

Ra

3

CUMPLE

DETERMINACION DEL RENDIMIENTO DEL SEGUNDO PAR

Diametro primitivo de la rueda conica d04 ≔ i2 ⋅ d03

d04 = 525

Diametro interioir de la rueda: di4 ≔ d04 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin δ2

di4 = 366.68

Diametro medio de la rueda dm4 ≔ d04 − b3 ⋅ sin δ2

445.84 dm4 =

El volumen de la rueda sera: 2

V 4 ≔

⋅ b3 ⋅ cos δ2 ⋅ d04 + d04 ⋅ di4 + di4 12

2

= 1.83⋅ 10

6

3

El peso especifico del acero es: Peso de la rueda G4 ≔ V 4 ⋅ γacero = 14.33

Momento de inercia masico: 2 1 ⎛ G4 ⎞ ⎛ dm4 ⎞ ⋅ = 0.04 I G4 ≔ ⋅ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠


⋅

⋅

2

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Aceleracion de la rueda w4 1 w�4 ≔ ― = 30 ― 2 t2

Por lo tanto tenemos: M G4 ≔ I G4 ⋅ w�4 = 1.09

M G4 ⋅ w4 N G4 ＝ ――

⋅

N G4 = 0.32

102

Las perdidas en los rodamientos seran: N C4 ≔ 0.02 ⋅ N 3 = 1.35

La potencia perdida es: N P4 ≔ N G4 + N C4 = 1.67

La potencia en la rueda sera: N 4 ≔ N 3 − N P4 = 65.77 N 4 = 65.77

Finalmente el rendimiento sera:

η2 ≔

N 4 N 3

η2 = 0.975

Rendimiento total del sistema ηT ≔ η1 ⋅ η2 ηT = 0.9512


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DIMENSIONES DEL PIÑON Y LA RUEDA CILINDRICA PIÑON CONICO 3

Numero de dientes:

z3 = 21

Modulo normalizado:

ms = 10

Modulo medio:

Modulo interioi:

mm ≔ ms −

b3 ⋅ sin δ1 z1

2 ⋅ b3 ⋅ sin δ1 mi ≔ ms − ―――― z1

mm = 8.56

mi = 7.12

Angulo de cono: cono:

δ1 = 23.32

Ancho:

b3 = 80

Diametro primitivo: Diametro interioir:

d03 = 210 di3 ≔ d03 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin δ1

Diametro medio:

di3 = 146.67 dm3 = 178.34

Radio de cono:

Ra = 265.29

Angulo de cabeza cabeza y raiz:

⎛ 2 ⋅sin δ1 ⎞ γ1 ≔ atan ――― z3 ⎝ ⎠

γ1 = 2.16

Angulo de corte: corte:

β1 ≔ δ1 − γ1

β1 = 21.16

z4 ≔ i2 ⋅ z3

z4 = 52.5

RUEDA CONICA 4

umero de dientes: odulo normalizado:

ms = 10

odulo medio: mm = 8.56


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FNI

Modulo interioi:

mi = 7.12

Angulo de cono: cono:

δ2 = 81.68

Ancho:

b3 = 80

Diametro primitivo: Diametro interioir:

d04 = 525

di4 ≔ d04 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin δ2

di4 = 366.68

Diametro medio: dm4 = 445.84

Radio de cono: Ra = 265.29

Angulo de cabeza cabeza y raiz: Angulo de corte: corte:

atan γ2 ≔

⎛ 2 ⋅sin δ2 ⎞ ⎝

z4

⎠

β2 ≔ δ2 − γ2

γ2 = 2.16

β2 = 79.53

DISEÑO DEL EJE II Ra = 265.29 a0 = 167.55 j ≔ 0.05 ⋅ Ra + 10

= 23.26

B ≔ 30 b1 = 147.72

73.47 b' 3 ≔ b3 ⋅ cos δ1 = L I ≔ 2 ⋅ j + b1 = 194.25 L II ≔ 2 ⋅ j + b' 3 = 120


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CALCULO DE LAS FUERZAS ACTUANTES PIÑON CONICO

2 ⋅ M t3

Fuerza tangencial:

F u3 ≔

Fuerza axial:

F a3 ≔ F u3 ⋅ tan α ⋅ sin δ1

F a3 = 1032.151

F r3 ≔ F u3 ⋅ tan α ⋅ cos δ1

F r3 = 2394.839

Fuerza radial:

dm3

F u3 = 10083.589

RUEDA CILINDRICA

Fuerza tangencial: Fuerza axial:

Fuerza radial:

F u2 ≔

2 ⋅ M t3 d02

F u2 = 8049.78

F a2 ≔ F u2 ⋅ tan β1

F a2 = 3115.326

F u2 ⋅ tan α F r2 ≔ ――― cos β1

F r2 = 2232.279

Las longitudes seran

L1 ≔

L2 ≔

B + L I

2 L I + B

2

= 112.13

= 112.13

B + L II L3 ≔ ―― = 75

2


L ≔ L1 + L2 + L3 = 299.25

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FNI

DIAGRAMA DE FUERZAS ACTUANTES EN EL EJE

PLANO XZ

ΣM A ＝ 0

F u3 ⋅ L − R Bx ⋅ L1 + L2 + F u2 ⋅ L1 ＝ 0 F u2 ⋅ L1 + F u3 ⋅ L R Bx ≔ ――――― L1 + L2

ΣF x ＝ 0

R Bx = 17480.827

R Ax − F u2 + R Bx − F u3 ＝ 0 R Ax ≔ F u2 − R Bx + F u3


R Ax = 652.542

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FNI

DIAGRAMA DE MOMENTOS

L1 = 112.13 L2 = 112.13 L3 = 75

Tramo

L1 + L2 = 224.25 L = 299.25

0 < z ≤ 112.13

M' x z ≔ R Ax ⋅ z Tramo

112.13 < z ≤ 224.25

M'' x z ≔ R Ax ⋅ z − F u2 ⋅ z − 112.13 Tramo

224.25 < z ≤ 299.25

M''' x z ≔ R Ax ⋅ z − F u2 ⋅ z − 112.13 + R Bx ⋅ z − 224.25

M x z 300000 200000 100000 0

0

30

60

90

12 0

15 0

1 80

2 10

2 40

27 0

3 00

-100000 -200000

z

-300000 -400000 -500000 -600000 -700000 -800000


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Los momentos en las secciones seran: M xA ≔ 0

N ⋅ mm

M x2 ≔ M x 112.13 = 73169.56

N ⋅ mm

M xB ≔ M x 224.25 = −756208.71 N ⋅ mm M x3 ≔ M x 299.26 = 0

N ⋅ mm

PLANO YZ

dm3 rm3 ≔ ― = 89.17

d02 r02 ≔ ― = 111.7

2

ΣM A ＝ 0

F r3 ⋅ L + F a3 ⋅ rm3 + R By ⋅ L1 + L2 − F r2 ⋅ L1 − F a2 ⋅ r02 ＝ 0

R By ≔

ΣF x ＝ 0

2

− F r3 ⋅ L − F a3 ⋅ rm3 + F r2 ⋅ L1 + F a2 ⋅ r02 L1 + L2

R By = −938.324

R Ay + F r3 + R By − F r2 ＝ 0 R Ay ≔ − F r3 − R By + F r2


R Ay = 775.764

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DIAGRAMA DE MOMENTOS

0 < z < 112.13

Tramo

M' y z ≔ R Ay ⋅ z

112.13 < z ≤ 224.25

Tramo

M'' y z ≔ R Ay ⋅ z − F r2 ⋅ z − 112.13 + F a2 ⋅ r02

224.25 < z ≤ 299.25

Tramo

M''' y z ≔ R Ay ⋅ z − F r2 ⋅ z − 112.13 + F a2 ⋅ r02 + R By ⋅ z − 224.25

M y z 600000 540000 480000 420000 360000 300000 240000 180000 120000 60000 0

0

30

60

90

1 20

1 50

180

2 10

2 40

27 0

3 00

z

Los momentos en las secciones seran: M yA ≔ 0

N ⋅ mm

M y2 ≔ M y 112. 112.13 135 5 = 4349 434951 51.5 .5 N ⋅ mm M yB ≔ M y 224. 224.26 26 = 2716 271630 30.4 .42 2

N ⋅ mm

M y3 ≔ M y 299.25 = 92041.471 N ⋅ mm


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MOMENTOS RESULTANTES 2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ M xA + M yA

M A = 0

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾ M x2 + M y2

441063 63.0 .03 3 M 2 = 4410

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ M xB + M yB

803513 13.9 .973 73 M B = 8035

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾ M x3 + M y3

M 3 = 92041. 41.47

M A ≔ M 2 ≔

M B ≔ M 3 ≔

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

CALCULO DE LOS DIAMETROS

Los diametros en las secciones A y B se calcularan por resistencia a la torsion: Para un eje de st50 se tiene: τtadm ≔ 40

d A ≔

d2 ≔

3

3

‾‾‾‾‾‾ 16 ⋅ M t3 ―― ⋅ τtadm ‾‾‾‾‾‾‾ 32 ⋅ M 2 ⋅ σbadm

d B ≔

3

‾‾‾‾‾‾‾ 32 ⋅ M B ⋅ σbadm

‾‾‾‾‾‾ 16 ⋅ M t3 d3 ≔ ―― ⋅ τtadm 3

2

σbadm ≔ 60

2

d A = 48.56

d2 = 42.15

d B = 51.48

d3 = 48.56

Los diametros normalizados seran: d A ≔ 50 d2 ≔ 55 d B ≔ 60 d3 ≔ 55


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