Universidad Autó Autó nóma de Baja Ba ja Califórnia Facultad de Ingeniería, a, Arquitectura y Disenñ Disenñ ó
Plan de estudios !""#$! Asignatura %etódós numericós
%etódó &uler , &uler mejóradó y 'unge (utta)
INTRODUCCIÓN A contnuación se hablara de la realización de la práctca de laboraorio de méodos numéricos la cual raara del méodo de EULER, EULER MEJORAO ! RU"#E $U%%A en el cual ambién incluimos la &orma de pro'ramación del méodo(
COMPETENCIA emosrar el mane)o dominio del len'ua)e * + del enorno de desarrollo de la herramiena ue se utlizará para la elaboración de los pro'ramas, as- como ue se &amiliarice con la &orma de enre'a de las práctcas(
FUNDAMENTOS(METODO DE EULER) Método de Euler
El méodo de Euler rara .ez se utliza en la práctca para obener la solución apro/imada de un problema de .alor inicial, pero se esudia por su simplicidad en la deri.ación de la &órmula + de la deerminación del error( Los méodos de orden superior utlizan las mismas écnicas, pero el ál'ebra ue reuieren es mucho más complicada( *on el méodo de Euler se obtene una solución apro/imada de un problema de .alor inicial como el ue se muesra en la ecuación 012, en un con)uno 3nio de punos(
012
4ara empezar, se deermina la malla 56, 1, ((( , "7 de paso h, donde 6 8 a + " 8 b( En esos punos es donde se .a a obener la apro/imación de la solución( 4ara deerminar la &órmula del méodo, se pare de un desarrollo de %a+lor de la &unción solución +02, alrededor de un puno de la malla, i, suponiendo ue la &unción +02 posee deri.adas primera + se'unda contnuas en 0a, b29
0:2
E.aluando esa e/presión en 8 i;1, para cualuier i, se tene9
0<2
4ero como i;1= i 8 h, resula9
0>2
*omo +02 sats&ace la ecuación di&erencial, en partcular es +?0 i2 8 &0i, +i2, enonces reemplazando en la &órmula 0>2 resula9
0@2
i se elimina de la &órmula anerior el érmino del error, se puede escribir9
0B2
Resulando as- la &órmula del méodo de Euler para apro/imar la solución en un puno de la malla, eniendo una apro/imación en el puno inmediao anerior( *omo la condición en el puno a del problema de .alor inicial da el .alor inicial +0628 a, se tene enonces la solución apro/imada en odos los punos de la malla( i se llaman +i 8 +0i2, se tene enonces la &órmula de Euler dada en la &órmula 0C29
ALGORITMO:
PROCEDIMIENTO ejemplo1: ECUACION dy/d!"#$y%1 &'!1 '! *!'+' ,,,+ Pl-.e-mo0 l- e2-,3. de E2le4 25l,6-.do lo0 d-o0 ,.,,-le0: y'%1! y'%*7('8y') y1! y'%* ("'#$y'%1) y1! %('+')("(1)#$()%1)
y1!%('+')("#1%1) !%('+')(91") !#'+ y1!y(1+')! ;+;'''
y1%1! y1%*7(18y1) y"! y1%* ("1#$y1%1) y"!;+;%('+')("(1+')#$(;+;)%1) y"!;+;%('+')("+1#1$+"%1) !;+;%('+')(91'+1) !;+;#'+' y"!y(1+1)!$+<='
y"%1! y"%*7("8y") y$! y"%* (""#$y"%1) y$!$+<='%('+')("(1+1)#$($+<=')%1) !$+<='%('+')("+"#11+<%1) !$+<='%('+')(9<+;<) !$+<='#'+;";" y$!y(1+1)! $+;>'>
y$%1! y$%*7($8y$) y;! y$%* ("$#$y$%1) y;!$+;>'>%('+')("(1+1)#$($+;>'>)%1) !$+;>'>%('8')("+$#1'+;1""%1) !$+;>'>%('+')(9>+11"") !$+;>'>#'+$1" y;!y(1+")!$+111
1+' 1+1 1+1 1+"
y ;+;'' $+<=' $+;>'> $+11
FUNDAMENTOS(METODO DE EULER ME?ORADO ) Ese méodo se basa en la misma idea del méodo anerior, pero hace un re3namieno en la apro/imación, omando un promedio enre cieras pendienes( La &órmula es la si'uiene9
onde
4ara enender esa &órmula, analicemos el primer paso de la apro/imación, con base en la si'uiene 'rá3ca9
En la 'rá3ca, .emos ue la pendiene promedio
corresponde a la pendiene de la reca bisecriz de
la reca an'ene a la cur.a en el puno de la condición inicial + la Dreca an'eneD a la cur.a en el puno
donde
es la apro/imación obenida con la primera &órmula de Euler( inalmene,
esa reca bisecriz se raslada paralelamene hasa el puno de la condición inicial, + se considera el .alor de esa reca en el puno
como la apro/imación de Euler me)orada(
ALGORITMO:
PROCEDIMIENTO
ECUACION: ($y#y)/"
y'!1+" y1!1+"
*!'+$
y1p!y'%*/"@7('8y')%7(18y1) 1!'%* y1p!(1+")%('+$/")@7((#$(1+")(')#1+")/")%7((#$(1+")('+$)#1+")/")!'+=$= y1!y1p y'!y1 1!'+$%'+$!'+ y1p!(1+")%('+$/")@7((#$(1+")('+$)#1+")/")%7((#$('+=$=)('+)#'+=$=)/")!'+'<'
FUNDAMENTOS( METODO DE RUNGE BUTTA )
'+$ '+
y '+=$= '+'<'
La Ecuación i&erencial Ordinaria (EDO) e.e4-l de primer orden es9 El método Runge-Kua de orden 4 es la &orma de los méodos de Run'e=$uFa de uso más comGn + asmismo más e/acos para obener soluciones apro/imadas de ecuaciones di&erenciales( La solución ue o&rece ese méodo, es una abla de la &unción solución, con .alores de H yI correspondienes a .alores espec-3cos de H I(
Es por eso ue uno de los reuisios para ese méodo es especifcar el intervalo de x ( %ambién se reuiere de9 = Una ecuación dierencial de primer orden ( +8 &0/,+2 La condición inicial , es decir, el .alor de y en un puno conocido '( +0/62 8 +6 El método de Runge-Kua de 4º orden consise en deerminar consanes apropiadas de modo ue una &órmula como9
coincida con un desarrollo de %a+lor hasa el érmino h>, es decir, hasa el uino érmino( Las ecuaciónes del método de Runge-Kua de 4º orden son las si'uienes9
donde9
ALGORITMO:
PROCEDIMIENTO(METODO DE RUNGE BUTTA )
,!1
!'
y!1
CONCLUSION
en esa práctca miramos como se calcula un .ecor el cual nos da las apro/imaciones de una solución de ecuaciones di&erenciales eso mediane una 'ra3ca, as- mismo cumplimos el ob)et.o de la práctca, pro'ramando + obeniendo esos .alores como apro/imaciones al resulado de las ecuaciones(
