Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática MA1210 Cálculo I
Contenidos: Problemas sobre recta tangente y normal. Derivada como razón de cambio. Razones de cambio ca mbio relacionadas. relacionadas.
PRÁCTICA #5 I. En la figura se muestra la circunferencia de ecuación x 2 y 2 10 y las rectas tangentes en los puntos 3,1 y 1,3 y
1. Verifique que esas rectas son perpendiculares.
2. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es horizontal?
x
II. En la siguiente figura se presenta la curva de ecuación tangentes a ella en los puntos 2,1 y 2,1 .
x 2 y 2
3 y las rectas
3. Determine la ecuación de cada una de las rectas y verifique que se intersecan en el punto 0, 3 .
y
x
4. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es paralela a y =2x?
1
III. Resuelva los siguientes ejercicios: 5. Considere la función f : D f IR definida por f ( x )
6. 7.
8. 9.
2 x . Determine la x 3
4 ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 2, . 5 Considere la función f : 0, IR definida por f x 2 x3 5 x 1 . Determine el punto donde la recta tangente a f es paralela a la recta x y 3 . Considere la función f : D f IR definida por f ( x ) x3 9 x 1 . Determine los puntos que pertenecen al gráfico de esta función, para los cuales la pendiente de la recta tangente en esos puntos es paralela a la recta 5 y 15 x 4 . 1 Determine el punto de la curva dada por f ( x) x 4 x 3 x 2 donde la recta 2 tangente es perpendicular a la recta x 3 y 1 . Encuentre el valor de la constante k para que la función f definida por f ( x) x 3 k x 2 3 tenga recta tangente y x 3 en x 1 .
10. Halle los puntos en que las rectas y 3x 4 4x 3 - 12x 2 20 son paralelas al eje x.
tangentes
a
la
curva
2 11. Halle el punto donde la recta tangente a la parábola y x 7 x 3 es paralela a la recta 5x y - 3 0 . 12. Determine la ecuación de la parábola y x 2 bx c que es tangente a la recta y = x en el punto (1, 1). 13. Determine las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva y x 3 2x 2 4x 3 en el punto (-2, 5). 14. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y 3 x - 1 en el punto (1, 0). 15. Verifique que las curvas y 4x 2 2x 8 y y x 3 x 10 son tangentes entre sí en el punto (3, 34). ¿Sucederá lo mismo en el punto (-2, 4)? 2 16. Encuentre las constantes a, b y c tales que las curvas f(x) x ax b y
g(x) cx x 2 sean tangentes entre sí en el punto (1, 0). 17. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva x 2 xy y 2 10 , donde la pendiente de la recta tangente es igual a 1. 18. Considere la curva definida implícitamente mediante la ecuación
x
2
3
y
2
2
2.
Determine los puntos de la curva donde la recta tangente es paralela a la recta y = x+3. 19. Halle la ecuación de la recta normal a la curva x y x y en el punto (3, 1). 20. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 y 2 25 en el punto (3,4). 2
21. Halle los dos puntos donde la curva x 2 xy y 2 7 interseca al eje x y verifique que las rectas tangentes a la curva en esos puntos son paralelas. 22. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x 5 y 5 2 xy 0 en (1, 1). 23. Determine los puntos en los que la gráfica de la ecuación 4 x 2 y 2 8 x 4 y 4 0 tiene rectas tangentes horizontales. 24. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva cuya ecuación es x 2 xy y 2 7 ,
donde la pendiente de la recta tangente es igual a
4 . 5
25. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x 2 2 xy 2 3 y 4 6 en (1,-1). 26. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 2 x 3 3 x 2 en (1, -2). 27. Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y 4 4 x 4 6 xy en el punto (1, 2). 28. Determine las coordenadas de los puntos de la curva de ecuación 2 2 x y 4 x 2 y 4 0 , en los cuales la recta tangente es horizontal.
IV. Resuelva los siguientes problemas: 29. La función de posición de una partícula en movimiento en una recta horizontal está dada por st 16t 2 80t 1 . (Se supone unidades de medición adecuadas). a. Calcule la velocidad media de la partícula entre t 1 y t 2 . 1 3 b. Calcule la velocidad instantánea de la partícula en t y t . 2 2 c. Determine la posición s cuando la velocidad v es cero. d. ¿Cuál es la aceleración de la partícula en t 0 y t 2 ?. ¿Varía en algún instante la aceleración?. ¿Se mantiene constante la velocidad en algún intervalo de tiempo?. 30. Un modelo para la producción de células sanguíneas es la función P(x)
Ax B xm
donde x es el número de células presentes, A, B y m son constantes positivas. a. Hallar la tasa de producción de sangre R( x) = P`( x) y determine los valores de x tales que R( x) = 0. b. Hallar la razón a la cuál cambia R( x) respecto a x. 31. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV = c, donde c es una constante. En determinado instante el volumen del gas es 600 cm³, la presión es 150KPa y crece a una razón de 20 KPa/min. ¿Con qué velocidad disminuye el volumen en este momento?. 3
32. Un globo esférico diminuto se inserta en una arteria obstruida por un coágulo y se infla a una tasa de 0.002π mm³ /min. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el radio es r = 0.005 mm?. 33. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función P(t) 500 1
4t donde t se mide en horas. Hallar 50 t 2
a qué ritmo está creciendo la población aproximadamente cuando han pasado 120 minutos. 34. La velocidad del fluido sanguíneo V está dada por: V
PR 2 donde R es el radio 4Lk
del vaso sanguíneo y P, L y k son constantes físicas relacionadas con la presión. Cuando se excava nieve en medio del aire frío, una persona con historial médico de dificultades cardiacas puede desarrollar angina (dolor de pecho) debido a la contracción de los vasos sanguíneos. Para contrarrestarlo, puede tomar una tableta de nitroglicerina, que dilata los vasos sanguíneos. Suponga que después de tomar una tableta de nitroglicerina, el radio de un vaso sanguíneo se dilata a razón de 0.0025 mm/ min en un lugar en el vaso sanguíneo donde el radio es R= 0.02 mm. Encuentre la razón de cambio de la velocidad de la sangre. 35. Cuando la basura orgánica se vacía en un estanque, el proceso de oxidación que se lleva a cabo reduce el contenido en el estanque; sin embargo, después de cierto tiempo, la naturaleza regresa el contenido de oxígeno a su nivel natural. Supóngase que el porcentaje de contenido de oxígeno t días después de tirar la t 2 10t 100 con 2 t 20t 100
basura orgánica en el estanque está dado por P(t) 100
respecto de su nivel normal. ¿Aproxime qué tan rápido cambia el contenido de oxígeno en el estanque 20 días después de vaciar la basura orgánica?. 36. Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa disminución en el tamaño de ésta. Si la población t minutos después de agregado t el agente es Q(t) Q 0 , donde Q representa la cantidad inicial. 0 t 1 a. Determine la razón de cambio de la población al tiempo t si la población inicial es de 106 bacterias. b. ¿Después de qué periodo de tiempo la población ha disminuido a 98 unidades? 37. El volumen de un tumor canceroso esférico está dado por V(x) x 3 donde x es 6 el diámetro del tumor, el cuál varía en el tiempo t medido en días. Un médico estima que el diámetro está creciendo a razón de 0.4 mm por día en el momento en que el diámetro es de 10 mm. ¿A qué velocidad está cambiando el volumen del tumor en ese momento?. π
4
38. En una comunidad particular, una cierta epidemia se propaga en tal forma que x meses después de iniciarse, el número de personas infectadas es P(x)
30x 2 1 x 2
2
medido en miles de personas. ¿A qué razón se propaga la epidemia pasadas 2 semanas?. 39. Los ictiosaurios son un grupo de reptiles marinos con forma de pez y comparables en tamaño a los delfines. Se extinguieron durante el periodo Cretáceo. Basándose en el estudio de 20 esqueletos fósiles, se descubrió que la longitud del cráneo S ( x) (en cm) y la longitud de la espina dorsal B( x) (en cm) de los ejemplares estaban relacionadas mediante la igualdad S(x) 1,162 B(x)0,993 , donde x es la edad del fósil. Determine una fórmula para el crecimiento del cráneo.
http://www.ecuadorciencia.org/blog.asp?id=6526
40. Un equipo de investigación médica determina que t días después del inicio de una epidemia, N(t) 10 t 3 5t t personas estarán infectadas. Aproxime la razón a la que se incrementa la población infectada en el noveno día. 41. La Ley de los gases para un gas ideal a temperatura absoluta T (en Kelvins) y la presión P (en atmósferas), con un volumen V (en litros) es: PV nRT , donde n es el número de moles del gas y R 0,0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante
P = 8.0 atm y aumenta a razón de 0,1
V = 10 L y disminuye a razón de 0,15
atm
min
,
L
. Aproxime la razón de cambio de T min con respecto al tiempo, en ese instante, si n 10mol . 42. Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación PV 1,4 C , donde C es una constante. En cierto instante el volumen es 400 cm3 y la presión es 80 kPa y disminuye a 10
kPa
min en ese momento?.
¿Con qué velocidad aumenta aproximadamente el volumen
5
43. Una población de 500 bacterias crece en número de acuerdo con la expresión: 4t , donde t se mide en horas. Pt 5001 2 50 t a. Compare el ritmo (rapidez) con que crece aproximadamente la población al inicio del proceso, a las 2 horas y a las 4 horas. b. Compare el número de bacterias que hay aproximadamente a las 0 horas, a las 2 horas y a las 4 horas. c. ¿Por qué no hay el doble de bacterias a las 4 horas que a las 2 horas? 44. Si R representa la reacción del organismo a cierto estímulo de intensidad x , la sensibilidad S se define como el valor absoluto del cambio de reacción con respecto a x . Un ejemplo es aquel en que cuando aumenta la brillantez x de una fuente luminosa, el ojo reacciona disminuyendo el área R , de la retina (expuesta 40 24 x 0 , 4 a la luz). La fórmula empírica R , describe la dependencia entre R 1 4 x 0 , 4 y x , donde R se expresa en milímetros cuadrados y x en las unidades adecuadas de brillantez. a. Escriba una fórmula para la sensibilidad. b. Calcule aproximadamente la sensibilidad para los siguientes valores de brillantez: 0.01, 0.1, 1, 5, 10, 100. 45. Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será 20 P(t) 10 (t 1) 2 miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será c(p) 0,8 p 2 p 139 unidades cuando la población sea de p miles. ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 año?. dc dc dp Sugerencia: dt dp dt
V. Resuelva los siguientes problemas: 46. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una velocidad constante de 500 millas por hora cuando pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumente la distancia del avión a la estación cuando aquel está a 2 millas de ésta. 47. Un niño está de pie en un sitio fijo elevando una cometa. La cometa se mantiene a una altura de 30 pies por encima de las manos del niño, a medida que se desplaza paralelamente al terreno a razón de 10pies/seg. Cuando la cometa se halla a 50 pies de distancia del niño, ¿con qué rapidez suelta éste la cuerda de la cometa?. 6
48. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 metros, éste aumenta a una rapidez de 50 cm s . ¿A qué rapidez aumenta el área del círculo formado por dicha onda? 49. A un depósito cilíndrico de base circular y 5m de radio, le está entrando agua a razón de 25 m3 por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua. 50. Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 metros por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 metros del muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm s . ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle? 51. Una escalera de 5m de longitud descansa contra un muro que es perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m s , ¿a qué velocidad desciende el extremo de la escalera cuando éste está a 3 metros del suelo? 52. Un cubo de hielo se derrite de modo que su arista decrece 2 centímetros cada hora. ¿Con qué velocidad disminuye su volumen en el instante en que su arista mide 10 milímetros?. 53. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto "invertido" y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 metro la superficie sube a razón de 1 cm min . ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente? 54. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba (desde el suelo). Suponiendo que el sentido de la velocidad es positiva hacia arriba y que la posición instantánea está dada por st 20t 5t 2 . a. Halle la velocidad instantánea de la piedra al término de 1s . b. Halle la velocidad instantánea de la piedra al término de 3s . 55. El radio de la base de un cono circular recto disminuye a razón de 4 cm min y la altura aumenta a razón de 6 cm min . Encuentre la velocidad con la que cambia el volumen cuando la altura es de 12cm y el radio es de 6cm. 56. El radio de la base de un cilindro circular recto de altura h=10 cm está aumentando a razón de 3 cm min . Calcule la rapidez a la que está aumentando el volumen del cilindro cuando el radio de su base sea r 5cm.
7
57. Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9m y radio de la base 2m. En t 0 comienza a llenarse el depósito con agua a razón de 10 m 3 h . Determine la velocidad a la que está subiendo el nivel del líquido en el depósito.
Ejercicios tomados de:
Alfaro, M. (2007). Apuntes de Cálculo Diferencial e Integral. UCR. Mondrus, A. (2003). Ejercicios de Cálculo I: Área de la Salud. UCR. Serie Cabécar. Poblete, V. Matemática en la Salud. Stewart, J. Cálculo en una Variable. Cuarta Edición. Prácticas de años anteriores MA1210. Universidad de Costa Rica.
Respuestas: 1. Son perpendiculares. 1 Pendientes: -3, 3 2. 0, 10 y 0, 10 3. y 2 x 3 , y 2 x 3 4. 2, 1 y 2, 1 6 x 8 5. y 25
6. (1, - 2) 7. (2, - 9) y (- 2, 11) 3 45 8. , 2 32
9. k = 2 10. (0, 20), (- 2, - 12) y (1, 15) 11. (1, -3) 12. y x 2 x 1 13. Tangente: y = 5. Normal x = - 2 14. Recta tangente vertical x = 1 15. No 27. Tangente: y
16. a = - 3, b = 2, c = 1 10 10 10 10 y 17. , , 3 3 3 3 18 - 2 18 18 2 18 y 18. , , 5 3 5 5 3 5
-5 x 6 3 3 x 25 20. y 4 21. 7 ,0 , 7 ,0 , m 2
19. y
22. y = x 23. (1, 0) y (1, - 4) 24. (1, -2) y (-1, 2) 25. y = - 4 x + 3 26. y
9 x 1
4
14x 12 - 13x 41 Normal: y 13 14
28. (2, 0) y (2, - 2) 29. a. 32 b. 64 y 32 c. 99 d. 32, no, no.
A(B x m mx m ) B dR P(B x m ) 2 QA(B x m mx m ) m , x , b. m 1 dx (B x m ) 2 (B x m ) 4 Con P A(mx m 1 m 2 x m 1 ), Q 2mx m 1 (B x m ).
30. a. R(x)
8
38. 11,52 miles de personas/mes
31. 80 cm 3 /min 32. 20 mm/min 33. 32 bacterias / h P
34.
39. dS 1,153866 [B(x)] 0,007 dB dx
dx
40. 2435 personas / día 41. 0,2436 K/min
mm 3 /min
40000LK 35. 0,37 porciento/ día 106 36. a. Q`(t) b.12,25 min 2 (t 1) 37. 20π mm 3 /día
cm3
42. 35,71 min
43. a. 40 bact / h, 31,55 bact / h y 15,61 bact / h b. 500 bacterias, 574 bacterias y 621 bacterias. c. La cantidad de bacterias aumenta pero cada vez más lento. 44. a. S
54,4
1 4x 0,4 2 x 0,6
22 unid/año 13 46. 250 3 mi h 47. 8 pies/seg 2 48. 30000 cm
45.
π
49. 1 m
s
s
b. 323, 32.2, 2.2, 0.28, 0.11, 0.005 (aproximadamente). 50. 1m s
55. 120
51. 8 m 5 s
cm
3
min 3
56. 300 cm min 5 57. 2 m h
3 52. 6 cm h 53. 625 cm 3 min 54. a. 10 m b. 10 m
s
s
9
