INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO ZACATENCO
INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN
Control de Procesos II
Practica 1: Sintonización de un controlador PD 9AV1 Becerril Ortega Luis Dueñas Ramos Eduardo Salazar Hernández Julio !sar
"itular "itular de la #ateria: #ateria: #$ en $ %air Lozano Hernández
“La técnica al servicio de la patria”
Método de Ziegler y Nichols en Lazo Cerrado o de la Oscilaciones sostenidas.
Este método solamente puede aplicarse cuando un proceso a lazo cerrado, como el que se muestra en la Fig. 1, presenta una respuesta que oscile continuamente, como la que se muestra en la Fig. 2, para un valor específico de su ganancia a lazo abierto, es decir, el sistema a lazo cerrado tiene una ganancia crítica, la cual corresponde con el límite de estabilidad del sistema a lazo cerrado.
Figura 1.- Lazo cerrado
Figura 2.- Oscilaciones sostenidas
Tanto la ganancia crítica (cr! como el periodo crítico ("cr! pueden ser determinados en forma e#perimental, a partir de los cuales los par$metros del controlador pueden fi%arse seg&n la Tabla 1 ' 2. dicionalmente, si se conoce la funci)n de transferencia del proceso los valores de la ganancia ' del periodo críticos podr$n ser obtenidos te)ricamente utilizando el criterio de estabilidad de *out+-uritz.
Tabla 1 .-Parámetros del controlador
Tabla 2 .-Parámetros del controlador
l igual que en el primer método, los par$metros determinados a través de la tabla servir$n como inicio a partir de los cuales se a%ustar$n los mismos +asta lograr la respuesta deseada. E%emplo "ara un sistema de control como el que se muestra en la Fig. /, se desea utilizar el método de oscilaci)n continua para definir la funci)n de transferencia del controlador ' sus par$metros, tal que se garantice que la respuesta a lazo cerrado no presente error ante el escal)n ' que su tiempo de establecimiento sea menor o igual a / seg.
Figura 3.- Sistema de control.
0oluci)n omo se dispone de la funci)n de transferencia del proceso es posible utilizar el método el riterio de Estabilidad de *out+-uritz para verificar si el sistema a lazo cerrado tiene o no una ganancia crítica a la cual logre oscilar continuamente. "ara ello se utiliza la ecuaci)n característica a lazo cerrado que se muestra en la Ec. .2.
partir de dic+o valor de ganancia crítica es posible obtener las soluciones de la E3 para esa ganancia ' con ello se obtendría el " cr tal como se muestra a continuaci)n.
on dic+os valores de cr ' de " cr se utiliza la Tabla .4 para determinar los valores iniciales del controlador, los cuales se a%ustar$n +asta lograra la respuesta deseada.
omo se solicita error cero al escal)n el sistema a lazo abierto debe ser de Tipo 5 por lo que se debe a6adir un polo en el origen, lo cual solamente se logra al a6adir el "5 o el "57. 0e intenta primero verificar si la respuesta con el "5 cumple también con las restricciones de respuesta transitoria, para lo cual se muestra en la Fig. 4 la simulaci)n de la respuesta ante el escal)n con ' sin controlador.
Figura 4.- Resuesta a una entrada escal!n "sin controlador # un P
%$ l introducir el controlador "5 se logra satisfacer la restricci)n de error pero la respuesta transitoria desme%ora considerablemente, por lo cual se intenta a%ustar el valor de los par$metros del controlador. En principio se intenta disminuir el efecto integral aumentando el valor del tiempo integral, lo cual se puede observar en la Figura 8.
Figura &.- 'ariaci!n del Ti.
El aumento del T i me%ora la respuesta transitoria pero no lo suficiente, por lo que se intenta a%ustar la ganancia proporcional disminu'endo su valor, tal como se observa en la Fig. 9.
Figura (.- 'ariaci!n de la ganancia roorcional.
TEOREMA ROUTH-HUR!TZ
El teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cu$l semiplano (izquierdo o derec+o! del plano comple%o est$n localizadas las raíces del denominador de la funci)n de transferencia de un sistema: ' en consecuencia, conocer si dic+o sistema es estable o no. 0i tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos est$n en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, ' si +a' un mínimo de un polo en el semiplano derec+o, el sistema es inestable. el criterio b$sico de ostia El criterio se refiere a la funci)n de transferencia en lazo cerrado del sistema. "ara aplicar el criterio a un sistema descrito por su funci)n de transferencia en lazo abierto, +a' que incluir la realimentaci)n +aciendo; Gbc ( S )=
G(S) 1
+G (S )
El criterio de *out+-uritz también se utiliza para el trazado del lugar de las raices. En este caso, dic+o procedimiento de an$lisis estudia la funci)n de transferencia del sistema en bucle abierto 1<=>ba(s!? (siendo la ganancia variable del sistema!. 0u ob%etivo es determinar los puntos de corte del 3d* con el e%e imaginario. 7ic+os puntos
marcan el límite de estabilidad del sistema, dic+o en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derec+o comple%o ' por lo tanto el sistema se vuelve inestable. omo es evidente, tras la aplicaci)n del criterio de *out+-uritz, los resultados obtenidos quedar$n en funci)n de la ganancia , lo cual nos indicar$ a partir de qué valores de el sistema pasar$ de estable a inestable (ganancia límite!. "RACT!CA # 7ado el siguiente sistema;
Figura ).- *iagrama a blo+ues del sistema.
Funci)n de transferencia de Tc(s!@*(s!;
"*A"ABE* CB ABT*A37A* "7 "ara la funci)n de transferencia, utilizar el método de sintonizaci)n de DieglerBic+ols, (oscilaciones sostenidas!. 5. 55. 555. 5.
7eterminar la ganancia ' el periodo crítico utilizando *out+-uritz. 7eterminar la ganancia ' el periodo crítico utilizando sustituci)n directa. plicar una entrada escal)n a la entrada. plicar el polinomio de ézier como entrada
!$ Ro%th-H%r&itz. "ara obtener la ganancia ' el periodo crítico con *out-uritz debemos desarrollar nuestro polinomio para obtener las diferentes e#ponenciales de G0H.
Figura a%.- Sustituci!n de ,alores en el olinomio caracterstico.
Figura .- Resultado del m/todo de Rout0ritz
*esultado numérico del método;
Figura 5.- Resultado del ,alor má6imo antes de la estabilidad
0ustitu'endo el valor m$#imo en >c tenemos la gr$fica de oscilaciones sostenidas.
Figura17.- 8rá9ica de las oscilaciones sostenidas con el m/todo Rout-urit .
!!$
'%stit%ci(n directa.
"ara realizar el c$lculo por sustituci)n directa solo tendremos que realizar la sustituci)n de G0H por G%H. on este cambio podremos separar la parte real ' la parte imaginaria de nuestro denominados de la F. de T. tomando en cuenta solo la parte real para obtener nuestro resultado.
Figura b% .- Sustituci!n de :s; or :<; en el olinomio caracterstico # acomodo en reales e imaginarios.
Figura 11.- *e los imaginarios obtenemos las soluciones de :;.
El valor que se toma de es el valor m$s cercano a cero del lado de los negativos en este caso es; .8I88J2. El valor de se sustitu'e en la ecuaci)n de los reales donde se despe%a >c que ser$ el valor de la ganancia crítica que permita la oscilaci)n del sistema.
Figura 12.- Sustituci!n de 8c en la 9unci!n de trans9erencia.
on lo que la gr$fica obtenida es la siguiente;
Figura 13.- 8rá9ica de las oscilaciones sostenidas con el m/todo de sustituci!n directa.
7e esta gr$fica podemos obtener el valor del periodo crítico que es la diferencia que +a' entre cresta ' cresta o valle ' valle de la gr$fica.
Figura 14.- Obtenci!n del eriodo crtico.
Figura 1&.- 8anancia crtica # Periodo crtico.
$lculo de controladores 7e acuerdo a la f)rmula de los controladores "57
K con base en método de sintonizaci)n de DieglerBic+ols la funci)n de transferencia de los controladores son las siguientes;
Figura 1(.-Funci!n de trans9erencia de los controladores
!!!$ Res)%esta a %n escal(n a la entrada 0e simula la entrada de un escal)n
Figura 1).- Resuesta del control P*.
0e aprecia c)mo el sistema logra alcanzar la entrada en un tiempo largo pero con un offset ma'or al 2L.
Figura 1.- Resuesta del control P$*.
0e aprecia c)mo el sistema logra alcanzar la entrada en un tiempo mu' largo reduciendo el offset a menos de .8L pero con un sobre impulso también mu' grande.
!!$A)licar el )olino*io de +ézier co*o entrada
Figura 15.- =ntrada del olinomio de >/zier como entrada con un control P$*
Figura 27.- Resuesta en Simulin?.
0e aprecia c)mo aun con una buena sintonizaci)n de un control "57 es casi imposible seguir la entrada.
CONCLU'!ONE'
:=l control P$* es uno de los controladores más conocidos en la industria or su simlicidad # su sencillez de sintonizaci!n +ue se resumen en tablas@ en determinados rocesos con este tio de controlador es e9icaz ara mitigar el error de la salida con resecto la entradaA ero como se 0a demostrado en el desarrollo de la resente ráctica +ue aBn el controlador sea bien sintonizado or un m/todo reciso como el de sustituci!n directaA en rocesos donde el olinomio caracterstico es de un orden ma#or este tio de controlador ierde sus ,enta
/zier le es imosible seguirlo. Por lo +ue a0ora serán e,aluadas otras con9iguraciones ara el contralor. Para el caso de estudio del controlador P* está claro +ue rocesos con orden suerior uede seguir la entrada ero con un o99-set ma#or al 27C +ue imlicara el aumento de la ganancia oniendo en riesgo la estabilidad del sistema; +ecerril Ortega L%is
:=n esta ráctica udimos traba
en un tiemo mu# rolongadoA como or e
:Se uede concluir con base a los datos # a las grá9icas obtenidas +ue los controladores P$* son alicables # con9iables s!lo ara algunos rocesos en la +ue la 9unci!n de trans9erencia no sea de orden suerior de tercer ordenA #a +ue como se ,io en este caso en el cual el sistema es de orden +uinto el controlador P* se tarda muc0o en estabilizarse. *ado +ue en la industria se encuentran comBnmente los controladores P$* se uede decir +ue no siemre son mu# con9iablesA el usarlos deenderá del sistema a emlear ero +uizá en sistemas más comle
C(digo0 clear: clc: s'ms s Tv T1 T2 T4 T8 >c v 1 / t 2 T/ >c1 disp(MFuncion de transferencia de Tc(s!@*(s!;M! T*?(>cNvN1N/!@(((TvNs<1!N((T1NT2N(sO2!<((T1cNvN1N/!!: prett'(T*! disp(M7esarrollo del "olinomio caracteristico;M! "ol?e#pand((((TvNs<1!N((T1NT2N(sO2!<((T1cNvN1N/!!!: prett'("ol! Lsignaci)n de valores Tv?.2: T1?/: T2?1: T4?4: T8?1: v?/: 1?1: /?.P: t?.8: disp(M0ustitucion de valores en el polinomio;M! "ol?e#pand((((TvNs<1!N((T1NT2N(sO2!<((T1cNvN1N/!!!: prett'("ol! disp(Malculo de >cM! disp(MQetodo de *out+-uritz;M! ?12@8: ?J1@8: ?1P2@8: 7?144@8: E?49@8: F?((9N>c!@8!<1: *-?R E: 7 FS:
prett'(*-! c1?(NN7!@(!: c2?(NENF!@(!: d1?(c1N7Nc2!@(c1!: d2?(c1NF!@(c1!: e1?(d1Nc2c1Nd2!@(d1!: f1?(e1Nd2!@(e1!: *-T?Rc1 c2 : d1 d2 : e1 : f1 S: prett'(*-T! disp(M7e la primera columna se buscan los valores de >c para evitar los cambios de signoM! disp(M0e despe%a >c en las ecuaciones de la primera columna ' se selecciona el vqlor mas altoM! d2?vpa(d1!: e2?vpa(e1!: f2?vpa(f1!: 71?solve(d2,>c! E1?solve(e2,>c! F1?solve(f2,>c! disp(Malor ma#imo antes de la inestabilidadM! ma#?E1(2! L>anancia critica 1 >c?4.//49/9/I98JI42P/8JP94P/818J2: disp(MFuncion de transferencia con la ganancia critica obtenida del metodo de *out+-uritzM! Funt?tf(R >cNvN1N/S,R12@8 J1@8 1P2@8 144@8 49@8 (9@8!N>c<1S! figure (1! step(Funt! title(MAscilaci)n sostenida 1M! Lalculo de la >c en la frecuencia disp(MQetodo de sustituci)n directaM! s?%N:
q?e#pand((((TvNs<1!N((T1NT2N(sO2!<((T1c1NvN1N/!!!: prett'(q! *e?real(q!: prett'(*e! disp(M7e los imaginarios buscamos los valores de que satisfasca 5maginarios?M! disp(Mector de imaginariosM! im?R12@8 1P2@8 49@8 S LAptencion de las raices format long disp(Mvalor raizM! rot?roots(im! disp(M0ustituci)n de En la ecuacion de los realesM! ?rot(4! *ea?vpa((J1@8!NO4!((144@8!NO2!<((9@8!N>c1!<1: *el?solve(*ea,>c1! format L>anancia critica 2 >cs?4.//49/9/I98JI4294/9/4J11J419J: disp(MFuncion de transferencia con la ganancia critica obtenida del metodo de sustituci)n directaM! Funt2?tf(R >csNvN1N/S,R12@8 J1@8 1P2@8 144@8 4 9@8 (9@8!N>cs<1S! figure (2! step(Funt2! title(MAscilaci)n sostenida 2M! Lontrolador "7 s'ms p td disp(MCna vez obtenida la grafica de oscilaciones sotenidas se tine el valor de;M!
disp(M"eriodo criticoM! "c?12.4 disp(M>anancia criticaM! c?>c p?.9Nc: td?.128N"c: "?tf(R pS,R 1S! 7?tf(RpNtd S,R 1S! 5?tf(R 1S,R.8N"c S! Lontrol "7 disp(Mfuncion de transferencia del controlador "7M! >con?parallel(",7!: num>?R vN1N/S: den>?R 7 E (9@8!<1S: >pos?tf(num>,den>! "roc?series(>pos,>con!: disp(Mfuncion de transferencia a lazo cerradoM! Fb?feedbac("roc,1! figure(/! step(Fb! title(M*espuesta de control "7M! Lontrol "57 disp(Mfuncion de transferencia del controlador "57M! >con1?parallel(",5!: >con?parallel(>con1,7!: "roc2?series(>pos,>con!: disp(Mfuncion de transferencia a lazo cerradoM! Fb2?feedbac("roc2,1! figure(4! step(Fb2! title(M*espuesta de control "57M!