INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI FISIKA
FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem. 2- 2016/2017
SOLUSI
PR#3 : Distribusi Fermi Dirac
Catatan: Bilamana diperlukan berbagai berbagai konstanta elementer silakan dilengkapi sendiri. Memahami pengaruh terbedakan-tak terbedakan, terbedakan, fermion dan boson.
1. Misalkan sebuah kotak memiliki 5 status berbeda yang diperoleh sebagai solusi Pers . Schrodinger untuk partikel tunggal. Andaikan (agar mudah) tingkat energi semua status tersebut adalah 0. Tuliskan fungsi partisi kanonik kanonik sistem ini jikalau kotak kotak tsb berisi partikel-partikel yg tak saling berinteraksi (klasik), jikalau: a. hanya 1 partikel. (bobot:4) b. Berisi2 partikel yg terbedakan. (bobot:4) c. Berisi 2 boson identik (bobot:4) d. Berisi 2 fermion identik (bobot:4) e. Dalam dalam kasus b,c dan d kita tidak boleh menerapkan rumus
! Jawab:
layak dipakai? (bobot:4)
!
, kapankah aproksimasi
0 − − − − ∑= ⋯− 1 1 ⋯1 ⋯ 1 5
a. Untuk 1 partikel tunggal, Hamiltonian sistem ini
Dengan H: hamiltonian (untuk kasus ini 1 sistem partikel), dan diketahui H=0 untuk semua status. Jadi fungsi partisi kanoniknya kebetulan sama dengan total jumlah status yang tersedia.
,
,
b. dengan adalah status keadaan partikel ke-j, ; energi partikel dengan status . Karena kedua partikel terbedakan maka berarti : -partikel pertama bisa menempati 5 status keadaan berbeda, dan untuk setiap status partikel-1 ini, - partikel kedua bisa menempati 5 status st atus keadaan berbeda juga. Sehingga total ada 5*5 kombinasi status keadaan sistem 2 partikel ini , masing-masing tetap memiliki energi total =0+0=0
, −, −, −, −, ∑,= ⋯ 25 ! ,
Fungsi partisi kanonik sistem ini :
Perhatikan tidak ada faktor Karena Karena partikel terbedakan dan jumlahnya sangat sedikit.
c. Jika berisi 2 boson identik, maka : - ada 5 cara berbeda untuk menempatkan kedua boson tsb di status yang sama , - untuk yg boson berada di status berbeda ada sebanyak : boson pertama : 5 status berbeda, untuk tiap boson ini, maka boson kedua bisa menempati (5-1=4) status yg beda dari yang pertama. Jadi total ada sebanyak 5x4 = 20 kombinasi. Akan tetapi karena boson tida k terbedakan, maka pertukaran status antara dua boson (misal boson 1 di status-1 boson 2 di status 2, lalu ditukar menjadi boson 2 di stat us 1 dan boson 1 di status 2) tidak akan bisa dibedakan. Akibatnya secara keseluruhan ada sebanyak: (5x4)/2 = 10 status keadaan sistem 2 boson yg masing-masing bosonnya beda statusnya.
Total berarti ada sebanyak 5 + 10 = 15 status sistem 2 boson ini.
−, −, −, −, ,∑= ⋯ 15 3,5 5,3 !
Catatan: i. berbeda dengan soal (b), maka misalnya status
jadi hanya dihitung 1 kali.
ii. tidak ada faktor Sebab faktor tak terbedakan sudah diperhitungkan dalam penjumlahan di atas! d. Jika berisi 2 fermion identik, maka : - kedua fermion harus menempati status keadaan berbeda (aturan Pauli!), sehingga fermion pertama : 5 status berbeda, untuk tiap fermion ini, maka fermion kedua bisa menempati (5-1=4) status yg beda dari yang pertama. Jadi total ada sebanyak 5x4 = 20 kombinasi. Akan tetapi karena fermion tidak terbedakan, maka pertukaran status antara dua fermion tidak akan bisa dibedakan. Akibatnya secara keseluruhan ada sebanyak: (5x4)/2 = 10 status keadaan sistem 2 fermion yg masing-masing fermionnya beda statusnya. Total berarti ada sebanyak 10 = 10 status sistem 2 fermion ini.
−, −, −, −, ,∑= ⋯ 10 √
Keberlakukan distribusi Boltzmann dan limit klasik
2. Panjang gelombang thermal didefinisikan sebagai
, selanjutnya dapat didefisinikan
volume kuantum sebagai . Formulasi klasik (statistik Boltzmann) bisa dipakai jikalau jumlah status keadaan yg tersedia jauh di atas jumlah partikel (N), hal ini juga bisa dinyatakan sebagai jarak antar par tikel jauh lebih besar dari panjang gelombang thermal, atau jika V : volume sistem maka:
≫
a. Anggap udara hanya terdiri dari gas N 2 (carilah data massanya). Pada kondisi STP (standard temperature and pressure), hitunglah berapakah volume kuantum terkait N 2 ini. (bobot:7) b. Anggap gas N 2 berlaku sebagai gas ideal, hitunglah V/N. Bandingkan hasilnya dengan dan berilah pendapat Anda tentang boleh/tidak-nya memakai distribusi Boltzmann. (bobot:7) c. Kondisi keberlakuan distribusi Boltzmann agak tidak berlaku jikalau
≈
. Anggaplah kerapatan gas
N2 tidak berubah terhadap temperatur, dan gas tidak berubah fasa. Pada suhu berapakah distribusi Boltzmann ini tidak boleh kita pakai? (bobot:6) Jawab: a. massa N2 m= 28 sma= 4.676x10 -26kg T=25 C= 298 K, dan P=1 atm = 10 5 Pa
maka
√ √ . .∗. 5,9310 ∗− 1. 8110− − 1 . 3 810 → 10 298 4.110− ≈ 10 ≈
Sehingga volume kuantum
b. Sebagai gas ideal berlaku
Jelas terlihat bahwa V/N >> vQ , tepatnya
, sehingga pada suhu STP (suhu kamar) jarak antar
molekul S2 sangat berjauhan dibandingkan panjang gelombang termalnya. Maka tidak diperlukan perlakuan kuantum (hal ttg tak terbedakan dll). Cukup menggunakan distribusi Maxwell Boltzmann. c. Jika dianggap kerapatan N 2 tidak berubah terhadap suhu, maka ketika pada temperatur:
berarti hal ini akan terjadi
≈ √ 2 ℎ ℎ 2 ∗ 0,6
Jadi baru pada suhu sangat rendah sekali (0.6K) kita tidak bisa memakai distribusi Maxwell Boltzmann. Tentu saja jauh sebelum itu N 2 sudah berubah menjadi cairan. Menghitung tingkat Fermi 3. Hitunglah tingkat Fermi (dalam eV) dan temperatur Fermi untuk kasus-kasus : a. elektron bebas dalam logam platinum (Pt), jikalau data untuk Pt adalah: rapat ma ssa 21,45 gr/cm3, nomor massa 195. Tiap atom Pt menyumbang 1 elektron bebas. (bobot:10) b. nukleon berat (inti atom berat) Uranium 238. Jikalau data untuk inti atom adalah sbb:
1,23 ,
- jari-jari neutron adalah S =1/2 (bobot:10)
, A: nomor massa atom. Anggap inti atom bulat. Spin proton dan
Jawab:
ℏ + 21,45∗ ∗610 6,610 6, 6 10 − 9, 1 10 − 6. 3 10 2 9,5610− 5,98 29,110− 9,53∗ ∗ 6, 6 10 10 19 610 1.381023 43 43 43 238 1,2310− 1,9510− 1,2210 ≈ − 1,6710 Tingkat fermi :
, dengan S= bilangan spin, n : rapat partikel/volum.
a. Untuk elektron bebas di logam, dengan rapat massa,
massa atom/mol dan
bilangan Avogadro,
maka rapat partikel
Karena tiap
atom menyumbang 1 elektron bebas, maka rapat elektron bebas adalah Bilangan kuantum spin elektron S=1/2 dan massa elektron
Temperature Fermi-nya
, maka :
6,93x104 K
b. Volume inti nukleon
Rapat inti
Karena massa proton hampir sama dengan neutron, maka massa partikel penyusun inti atom . Ada dua jenis Fermion di inti yaitu proton dan neutron, untuk masing-masing S=1/2, sehingga banyak keadaan untuk masing-masing 2S+1=2. Karena proton dan neutron jelas terbedakan maka total multiplisitasnya 2*2=4, sehingga 2S’+1=4 untuk dipakai di ti ngkat Fermi:
− 6. 3 10 6 21,62710− 6∗ ∗ 1,22104 4.4610− 27.9 2ℏ 2′1 .. 3,2310
Temperature Ferminya
4. Menghitung Density of states Fermion dan keadaan ground state Pandang sekumpulan N elektron bebas dengan spin S=1/2 yang tidak saling berinteraksi dalam kotak dengan volume V=LxLxL. Energi tiap elektron diberikan oleh :
Dengan
ℏ ,, 2
, , 1,2,3, ….
Dan
Ω
(mengapa nx=0 tidak ikut?) a. Menggunakan data ini turunkanlah banyaknya keadaan tersedia untuk energi < E, . (bobot:4) b. Menggunakan (a) turunkanlah fungsi rapat keadaan yg menyatakan banyaknya keadaan pada energi E. (bobot:2) c. Jika menyatakan fungsi distribusi Fermi Dirac, tuliskanlah ungkapan bagi N yaitu banyaknya total elektron, dinyatakan dalam dan . Selanjutnya hitunglah N tsb untuk keadaan T=0. (bobot:4)
∑l n1−
Selanjutnya pergunakanlah dan dalam menjawab soal berikut ini: d. Selanjutnya gunakan hasil (c) tsb untuk mendapatkan tingat Fermi E F sebagai fungsi n=N/V. (bobot:2) e. Hitung juga energi rata-rata pada keadaan ground state U0 dinyatakan dengan EF.. (bobot:4) f. Untuk Fermion berlaku (p:momentum; ):
Ubahlah penjumlahan menjadi terhadap energi E, dan buktikan bahwa untuk Ground State berlaku hubungan PV = 2/3 U 0 (bobot:4)
ΩE 2 ℏ/ / 1 4 1 2 2 Ω 8 3 6 ℏ 6 ℏ / 2 / 4 ℏ / / 2 4 ℏ / ∞ ∫ −−1 1 10 <> 0 { 0 0 2 / ∫ ∫ 2 ℏ /
JAWAB: a. Banyak keadaan dengan energi
Volume 1/8 bola di kuadran 1 dengan jari-jari R:
b. Rapat keadaan dengan energi E :
Jikalau untuk setiap keadaan, terdapat degenerasi
, maka :
c. Fungsi distribusi FD menyatakan okupansi rata-rata energi level E, sedangkan banyaknya keadaan tersedia di level E tsb, maka total partikelnya adalah:
menyatakan
Bentuk fungsi distribusi FD adalah :
Dengan
. Untuk T=0, maka
Dengan dikenal sebagai tingkat Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang masih berisi Fermion pada ground state. Sehingga untuk T=0, untuk e lektron S=1/2 maka :
d. Dari (c ) maka dengan n=N/V :
2
3 ℏ
ℏ 3/ 2 / 1 2 / / ∫ ∫ 2 ℏ / 5 ℏ 1 2 5 ℏ 35 → 35 3 2ℏ ∞ ∑l n1− ∑ ln1− ≈ ∫ ln1− < 0 − − ln(1 ) ln(1 ) ≈ 0 / 2 ∫ 2 ℏ ∫ 2 2 2 2 2 2 ℏ 3 5 15 ℏ 2 2 115 2 ℏ/ / 23 → 23 5 ℏ ln 1 2 3 + [1 − ⋯] 3 2 ln, e. Energi rata-rata pada ground state U 0:
Selanjutnya ratio :
f. Untuk Fermion berlaku : Dengan
Pada kondisi ground state (T=0), untuk
:
Memakai ungkapan bagi U 0 sebelumnya :
Langkah demi langkah berbagai sifat Fermion pada suhu rendah 5. Fungsi partisi grand kanonik diberikan oleh :
Untuk kasus Fermion berlaku :
Dimana
adalah fungsi Fermi dan g : degenerasi.
a. Tunjukkan bahwa energi rata-rata gas Fermion ideal U dapat dituliskan sebagai: (bobot:5)
Jawab:
− ℎ √ 2 → 3 − √ 2ℎ 12 − 32 1 32 → 3 2
Dengan
Sehingga :
Tetapi
, sehingga:
b. Selanjutnya, tunjukkanlah bahwa U dapat diaproksimasi oleh : (bobot:5)
3 5 ln1 2 ln1 ⋯
Jawab: Memakai definisi fungsi Fermi :
l n Γ 1 1 6ln 1 ⋯ / / l n 3/2 3/21 4 l n / Γ3/21 1 6ln/ ⋯ 3√ 1 8 ln1 ⋯ / 8l15n √ π 1 58 ln1 ⋯ √ Γ Γ 1 Γ Γ 1 Γ ∗ Γ √ Γ 1 Γ ∗ √ √ 2 ln 1 58 ln1 ≈ 2 ln1 5 1 1 1 5 1 8 ln1 5 8 ln 8 ln ≈ 2 ln1 5 1 1 ⋯ 2 ln1 1 ⋯ 5 8 ln 8 ln 5 2 ln 3 5 ln1 2 ln1 ⋯ ≈ 1 12 3 5 5 1 12 ⋯. Telah dipakai definisi Fungsi gamma
, dan sifat fungsi gamma
dan
, sehingga
, sehingga
Sehingga:
Sehingga:
c. Di kuliah telah dibuktikan pada suhu rendah (tidak perlu ground state), maka
Pakailah (b) di atas dan aproksimasi ini untuk menunjukkan bahwa energi Fermion pada suhu rendah dapat dinyatakan sebagai: (bobot:5)
Jawab: Kita pakai
≈ 1 12 → ln ≈ 1 12 3 5 ln1 2 ln1 ⋯ 3 ≈ 5 1 12 1 2 ln1 ⋯ 1ln 1 12 − ≈ 1 6 ≈ ⋯. 3 3 5 ≈ 5 1 12 1 2 ⋯ 5 1 12 ⋯ ln → 1 ln ln / / ln ln 3 5 ≈ 5 1 12 ⋯. ≈ 2 ln1 1 ⋯ 5 2 ln 2 1 2 ln 5 ln1 2 ln ⋯ ln 1 5 1 2 ln1 ⋯ ln ≈ 1 12
Untuk aproksimasi ln z, substitusikan ke (b):
Kita aproksimasi suku :
Sehingga:
d. Pakailah definisi energi bebas Helmhotz
, tunjukkan bahwa: (bobot:5)
Jawab:
Sedangkan
Sehingga :
Maka :
e. Pakailah hasil (d) tersebut untuk membuktikan pada suhu rendah, fungsi energi bebas Helmhotz dapat dinyatakan sebagai (bobot:4)
Jawab: Kita pakai hasil sebelumnya :
Maka A menjadi:
Seperti sebelumnya (lihat c), maka dengan
1ln ≈ ⋯. 2 3 ≈ 1 12 1 5 1 2 ⋯ 1 12 5 5 . . 3 5 ≈ 5 1 12 ⋯. Dan
Maka :
//&&&&&&&&MARET2017&&&&&&&&&&
