Operadores matemáticos 1.
∴ A=
2
–
1
= 0 – (–1) = 1
Si: P # Q = 3P 2 + P
Calcula: 4 # [5 # (4 # (5 # .........)] A) 52 D) 46
B) 48
C) 50 E) 13
3.
Se define:
además: Cambiando de variable la segunda componente E = 4 # (5 # (4 # (5 # ........)) ) k
E = 4#k E = 3(4 2 ) + 4
2.
Si:
→
Halla:
=
a
A) 0 D) 2
2
–
B) – 1
x +4 x +2
11 7
3a − 5
A) 5/3 D) 1
B) 5/2
CO E rof: PACH Evaluando
C) 7/2 E) 4/3
EP= 52
a a +4
x +1 = x 2 − 1
Calcula: A =
=
x
a +2
=
11 7
=
11 7
7 a + 28 = 11 a + 22
1 C) 1 E) 3
Reduciendo términos
Evaluando para x =1
→
2
= 12 − 1 = 0
x=0
→
1
= 0 2 − 1 = −1
∴
a =
6 4
a =
2+4 2+ 2
3a − 5 =
1
=
→
a=2
1+ 4 5 = 1+ 2 3
-1-
4.
b
6.
b b a 2 +b2
a
Si: a ⊗ b =
Se define: a ∗ b = a 2 + 2a + b 0 , halla: E = 5 ∗ (7 ∗ (9 ∗ ....( 2005 ∗ 2007)))
Calcula: 81 ⊗ 64 A) 25 D) 36
B) 5
A) 5
C) 6 E) 7
B)
C) 6
35
D) 7
E) 8
a ∗ b = a 2 + 2a + 1
Se observa que
Dando forma a las componentes, tenemos
Elevando al cuadrado la expresión
81 ⊗ 64 = 3 4 ⊗ 4 3
E 2 = 5 ∗ ( 7 ∗(9∗ ....( ∗ 2007 ))) 2005
Entonces 81 ⊗ 64 = 3 2 + 4 2 = 5
k
2
E = 5∗k
5.
E 2 = 5 2 + 2(5) + 1
Se define: m−n ; m≠n m ∆ n = m2 − n2 0; m=n
7.
es el valor de “x”?
además: A * =
B) 1
C) – 3 P E) 2 rof :
1 ; m≠n m∆n = m + n 0; m=n
Reduciendo
156 A°
Determina CO uno de los valores de A. E PACH A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
Evaluando A* =
Efectuando la expresión
156 A°
→
A * ⋅ A ° = 156
A(A + 1)[A(A + 1) + 1] = 156
5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (−2 ∆ 3)]
A(A + 1)[A(A + 1) + 1] = 12(13)
− 2≠ 3
5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ 1] 1 =1
Comparando
5∆x=2∆0 5≠x
-2-
A(A + 1) = 12 A(A + 1) = 3(4)
2≠ 0
1 1 = 5+x 2
→
x = −3
E=6
Si: A * = A 2 + A ; A ° = A 2 + A + 1
Si 5 ∆ x = 2 ∆ [ 1 ∆ (−2 ∆ 3) ] , donde x ≠ 5. ¿Cuál
A) 0 D) 3
→
De ahí
A=3
8.
Si: (a + 3) ∗ (b − 2) = 3a 2 + b
8 10 Calcula: ÷ 3 5
Halla: 5 * 12 A) 26 D) 56
B) 87
C) 202 E) 41
2 9
A)
B)
9 2
9 2
C)
D) 8
1 8
E) 9
Dando forma a las componentes Analizando por partes
5 ∗ 12 = (2 + 3) ∗ (14 − 2)
Entonces 5 ∗ 12 = 3(2 2 ) + 14 = 26
9.
•
8 8 ×7 × 6 = 3 3 × 2×1
→
8 = 8 × 7 3
•
10 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 5 5 × 4 × 3 × 2×1
→
10 = 9 × 7 × 4 5
•
9 9 × 8 = 2 2 × 1
Sabiendo que: a 2 − 1 ; si : a > b ao b= b 2 − a ; si : b > a
Simplifica: 5 o 4 o 17 A) 12 D) 16
8 3 10 5
C) 24 E) 20
Pr
Analizando por partes
CO E of: PACH
2 17 − 4
11.
5 > 13
→
9 8 ×7 = 9× 4 = 8 2 9 × 7 × 4
Si:
E = 5 o 13
E = 52 − 1
E = 24
a =
a+2 ; si “a” es par 3
a =
a+3 ; si “a” es impar 2
Halla: E = (3 ) + 10.
9 = 9 × 4 2
Reemplazando y simplificando
B) 14
E = 5 o 4 o 17 = 5 o 4 < 17
→
Si: " b" factores
a a (a − 1)(a − 2)...... = b b(b − 1)(b − 2)....(2)(1)
A) 4 1 D) 3
3 (2 ) 5
B) 2
C) 5 E)
4 5
-3-
13. Si: a o b = 2b 2 − 3a Calcula:
Efectuando 3+3 E= 2
2+ 2 3 3 + 5+3 2
E= A) 3 D) 4
4 E=3 + 4
→
E = 3 +1
3o 3 o
E=4
3 o ........ ; E > 0
B) 21
C) 1 E) 6
Elevando al cuadrado E 2 = 3 o 3 o 3 o 3 o ........ E
12.
2
E = 3oE
Si: a = a2 −1
Calcula:
+ 3 −
3
A) 64 D) 81
2
B) 18
Entonces
2
3
9 = E2
14.
A) 8 D) 19
B) 9
C) 11 E) 20
Por definición 25 ∆ 9 = 2 25 + 3 9 = 10 + 9 = 19
= a+6
+ 3 −
2
2
15.
Si:
→
E=9
a o b = 4a – 5b a ∆ b = 7a – 3b
Halla: (3 o 2) ∆ (4 o 3) A) 10 D) 11
-4-
E=3
Si: x ∆ y = 2 x + 3 y
E = ( 3 + 3 − 3 )2 E = 32
→
CO 25 ∆ 9 Halla: Pr E of: PACH
−1 = a + 5 a
E=
E 2 = 2E 2 − 3(3)
=a+5
a
a
Por definición
2
C) 36 E) 9
a = a2 −1
Por definición
Piden
=a+5
a
B) 9
C) 15 E) 6
Analizando por partes
Efectuando
• 3 o 2 = 4(3) − 5(2)
→
3 o2 = 2
• 4 o 3 = 4(4 ) − 5(3)
→
4 o3 = 1
E = (3 o 2) ∆ (4 o 3)
Reemplazando
•
3
=
3−5 2
→
3
= −1
•
4
=
4−6 2
→
4
= −1
Entonces
E = 2 ∆1
E=
E = 7(2) − 3(1)
3
–
4
= –1 – –1 = 0
E = 11
18. Si: x ∇ y =
16.
A)
1 xy
D)
y x
Por definición
C)
x y
E)
xy x+y
Pr
Si: a
Halla: A) 5 D) 0
3
a−5 ; si a es impar = 2 a − 6 ; si a es par 2
–
B) – 20
C) – 25 E) 32
6 2
Dando forma
8 o 3 = 2(4) o
Entonces
8 o 3 = 4 − 4(6) = −20
19. Si: a ♥ b = a 2 − ab Halla: “x” en: (x + 2) ♥ (x – 1) = 4x A) – 6 D) 2
Evaluando
B) – 3
C) 6 E) – 2
(x + 2) ♥ (x – 1) = 4x
(x + 2)2 − (x + 2)(x − 1) = 4 x x 2 + 4 x + 4 − (x 2 + x − 2) = 4 x
4 B) 10
A) – 12 D) 30
CO E of: PACH
1 1 1 1 ∇ = = = xy 1 x y 1 1 x y xy
17.
q = p − pq 2
Halla: 8 o 3
1 1 1 ∇ , halla x y xy
B) xy
Si: 2p o
C) – 2 E) 2
Reduciendo términos
x=6
-5-
20.
Si:
a ∗ b = 3a + 2b + b 2
22.
a # b = a 2 − ab + b 2
Si: a ∗ m = m + a
Halla: P = 1 ∗ 1 + 2 ∗ 4 + 3 ∗ 9 + 4 ∗ 16 + 5 ∗ 25 + .....
Halla “x” en:
16 términos
2#x=0∗x
A) 1 D) – 2
B) 0
A) 136 D) 240
C) 2 E) – 1
B) 272
C) 144 E) 360
Se observa que los términos son de la forma 2#x=0∗x
Evaluando
x ∗ x 2 , entonces
2 2 − 2x + x 2 = 3(0) + 2x + x 2
a∗ m = m +a ↓
Reduciendo términos →
4 = 4x
x =1
↓
x ∗x2 = x2 + x
x ∗ x 2 = 2x
→
Luego P = 1 ∗ 12 + 2 ∗ 2 2 + 3 ∗ 3 2 + 4 ∗ 4 2 + ..... 16 términos
21.
P = 2 + 4 + 6 + 8 + .....
Si:
16 términos
1 ∆ A = A 2 − 2B B
→
P = 16 (17)
P = 272
Calcula: 2 ∆ 3 A) 81 D) 64
B) 80
Interpretando la definición ( )4
1 ∆ A = A 2 − 2B B ( ) −1 ( )4
1 Entonces 2 ∆ 3 = 3 4 − 2 = 80 2 ( ) −1
-6-
CO E f: PACH 23. Si:
C) 72 P E) 55ro
x∗y=
Halla “Z”, si: A) 10 D) 20
Evaluando
x−y x + 2y Z ∗ 3=5 ∗1
B) 15
C) 18 E) 25
Z ∗ 3=5 ∗1 Z−3 5 −1 = Z − 2(3) 5 − 2(1)
Z−3 4 = Z−6 3 3Z − 9 = 4 Z − 24
→
Z = 15
24.
Si: a 2 + b 2 = (a
Halla “x”, si: (x + 2) A) 2 y 1
26.
b) + 2a 2 = (2x – 1)
B) 2 y
4 3
3
2 E) 4 y − 3
Se deduce que Evaluando
=x+2
x
C) 3 y 1
D) 5
Si:
Halla:
2
A) 0 D) – 1
B) 1 C) 2 E) más de una es correcta
b = a(a − 2) + b 2
a
(x + 2)
2 = (2x – 1)
3
(x + 2)x + 2 2 = (2x − 1)(2x − 3) + 3 2 x 2 + 2x + 4 = 4 x 2 − 8 x + 12
Entonces
Si:
x + 3 = x2 − 3
Calcula:
1
+
A) 6 D) 15
Pr
2
= x −1
Evaluando para →
2
2
=1
2
=1
2
= −1
CO E of: PACH
2
27.
B) 11
+3=x+2 x
x=2
25.
2
x
−4 x = 4/3 −2 x =2
=x+2
x
3x 2 − 10 x + 8 = 0 x
x = x2 + 3
Por definición
Reduciendo términos 3x
x = x2 + 3
y
Según el problema anterior, calcula:
C) 13 E) 1
17 A) 8 D) 2
+
26
B) 7
C) – 1 E) – 5
Evaluando valores para x x = −2
→
1
= (−2)2 − 3 = 1
x = −1
→
2
= (−1)2 − 3 = −2
∴
1
+
2 x = −4
= –1
Evaluando para x = 17
→
17
x = 26
→
26
2
= 16
17
=4
17
= −4
= 25
26
=5
26
= −5
2
= (−4) − 3 = 13 2
-7-
Por lo tanto, una de las soluciones será 17
28.
+
26
= 4 + (– 5) = – 1
29.
Se define: p ∗ q =
de x =
30 ∗ 42 es: (2 ∗ 6) ∗ (12 ∗ 20)
A) 10 D) 13
Si: a
b
c
=
a3 + b2 + c a+b+c
a
b
c =
c 2 + b2 + a a+ b+c
1 − 1
x
A) 2 D) – 2
x
B) 12
C) 7 E) 11
Analizando por partes • 30 ∗ 42 =
Halla “x”, si:
2
2pq , entonces el valor p+q
1 3 = 15
B) 2 ó – 2
C) 1 ó – 1 E) 1
• 2∗6 =
2(30)(42) 30 + 42
2(2)(6) 2+6
• 12 ∗ 20 =
2(12)(20) 12 + 20 x=
Reemplazando
→
30 ∗ 42 = 35
→
2∗6 = 3
→
12 ∗ 20 = 15
35 3 ∗ 15
Efectuando
2
1 − 1
x
x
1 15
3 =
Pero
CO P E 2 2 3 2 1 +x +2 1 +x +3 1ro − = f: PACH 2+ x +1 1+ x + 3 15
3 ∗ 15 =
x=
Entonces
x2 + 3 x2 + 4 1 − = x+3 x+4 15
x2 − x 2
x + 7x + 12
=
1 15
2
2
30.
Si:
2(3)(15) =5 3 + 15 35 5
x = 2x 2 − 3x − 13
15x − 15x = x + 7x + 12
Reduciendo términos
además
Donde
-8-
3
x
−2
x−2=0
→
Halla: P
x=2
1 + 2 − 0 3 + −1
7 x 2 − 11x − 6 = 0 7x
P=
A) 14 B) – 14 C) 13 D) – 13 E) – 8
→
x =7
32.
Si:
Analizando por partes 2
•
1 = 2(1 ) − 3(1) − 13
→
1 = −14
•
2 = 2(2 2 ) − 3(2) − 13
→
2 = −11
•
0 = 2(0 2 ) − 3(0) − 13
→
0 = −13
•
3 = 2(3 2 ) − 3(3) − 13
→
3 = −4
∴
P = 1
P=
1 2 1 1 3
2 4 2 3 2
3 3 3 2 4
4 1 4 4 1
Halla “x”, en: (x * 1) * 2 = (3 * 4) * 1
• − 1 = 2(−1) 2 − 3(−1) − 13 →
Reemplazando
∗ 1 2 3 4
−1 = −8
−14 − 11 + 13 −12 = =1 −4−8 − 12
= −14
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) no hay solución posible
De la tabla (x * 1) * 2 = (3 * 4) * 1 4 3
Operaciones en tablas (x * 1) * 2 = 3 31.
Dada la tabla:
3
→
x*1=3 • a b c
a c b a
b b c c
c Pa r of: a b
33.
a b c d
B) b C) c E) no hay solución posible
De la tabla (x • a) • b = (a • b) • c b
(x • a) • b = no hay solución posible
a
Si:
Además se sabe que: (x • a) • b = (a • b) • c Halla “x”. A) a D) a ó b
x=4
CO E PACH a c d e a b
b d e a b ec
c e a b c d
d a b c d e
e b c d e a
¿Cuál es elemento neutro? A) a B) b C) c D) d E) e -9-
35.
Si:
Empleando el criterio de la intersección
a
b
c
d
e
a
c
d
e
a
b
b
d
e
a
b
c
c
e
a
b
c
d
d
a
b
c
d
e
e
b
c
d
e
a
4 14 18 22
4 5 6 Halla: 7
5 18 23 28
6 22 28 34
8
A) 48 D) 51
B) 50
C) 54 E) 38
Se observa que el elemento neutro es “d”. De la tabla se deduce que ∴7 34.
a
b = ab − 2
8 = 7(8) − 2 = 54
Dada la siguiente tabla: ∗ m n p q
Calcular: E =
A)
q n
D)
p q
m q p m n
n p m n q
p m n q p
q n q p m
Pr
(m ∗ n) ∗ (p ∗ q) (q ∗ p) ∗ m
B)
q m
36.
Si: 1 3 5 7
θ 1 2 3
CO E of: PACH
2 5 8 11
3 7 11 15
Halla: (3 θ 5) θ (2 θ 3)
C)
p m
E)
p n
A) 261 D) 287
B) 253
C) 249 E) 276
Analizando los elementos de la primera columna
De la tabla
E=
(m ∗ n) ∗ (p ∗ q) (q ∗ p) ∗ m
E=
p∗p p∗m
q E= m
- 10 -
θ
1
2 2
1
2
2
3
5 3
3
4
4
a+1
a+1
5 2
3
7
a
2a+1
3
…
b
7
…
…
2
aθb
Luego los elementos de la última fila 1°
2°
…
las preguntas 38 y 39. b
2a + 1 ; 3a + 2 ; ......... ; (a θ b) a+1
a+1
t b = (a + 1)b + [2a + 1 − (a + 1)]
Donde
38. De la tabla anterior, ¿cuál es el elemento inverso de “c”? A) a D) d
B) b
C) c E) falta datos
aθb
a θ b = ab + a + b
Del cual se deduce
∴ (3 θ 5) θ (2 θ 3) = 23(11) + 23 + 11 = 287 23 θ 11
Primero ubicamos “c” en la columna de entrada, luego en el cuerpo de la tabla el elemento neutro de este; para luego emplear el criterio del rebote, es decir ∗
37.
Dada la operación (*) ∗ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
A) a D) d
d d c b a
Buscamos una columna y fila igual a la columna y fila de entrada a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
a
b
d
d
c
b
a
a
a
b
b
b
a
c
d
d
d d c
c
Calcula E =
a
b
b
a
c −1 = c
∴
(a −1 ∗ a) ∗ (b −1 ∗ c )
(c − 1 ∗ d ) ∗ d − 1 O C Prc E tabla del problema 37. C) of: PACH E) no tiene
B) b
b
c
39.
¿Cuál es el elemento neutro?
a
iguales
∴
e=a
iguales
A)
b a
D)
c b
B)
C)
c a
E) no se puede
Ubicamos todos los elementos neutros en la tabla para luego utilizar el rebote, tal como se indica en el esquema
a
a
a
b c NOTA: Se corrigieron los elementos de la tabla de la pregunta 37 para desarrollar respectivamente
d c
, según la
d
b
c
d
a a a
a −1 = a
b −1 = b c −1 = c d −1 = d
- 11 -
Reemplazando
E=
(a ∗ a) ∗ (b ∗ c ) (c ∗ d ) ∗ d
E=
a∗d b∗d
→
De la tabla E=
d c
( 4 666 ) 4 = 2 2
→
4 666 = 2
40. De acuerdo a la tabla adjunta, qué número falta en el recuadro, si se cumple que: ( 4 6 ) www = 2
A) 2 D) 4 ó 6
2 4
2
4
6
4 2
2 4
6 4
6
6
6
2
B) 4
4 8
→
=2
w=8
42. De acuerdo a las tablas adjuntas, determina qué número falta en el recuadro: ∆ 1 2 3
C) 6 E) cualquiera
1 3 2 3
2 3 1 2
∇ 3 2 1
3 2 1 1
3 1 1 2
2 1 2 3
1 2 3 3
[ ( 3 ∆ 2 ) ∇ 111 ] ∆ [ 1 ∇ ( 2 ∇ 2 ) ] = 2
De la tabla ( 4 6 ) ww = 2 4 ww = 2 4
2 =2
Pr →
A) 1 D) 4O
B) 2
C) 3 E) 5
EC of: PACH w=2
De la tabla [ ( 3 ∆ 2 ) ∇ 111 ] ∆ [ 1 ∇ ( 2 ∇ 2 ) ] = 2 2
41. De acuerdo a la tabla adjunta, qué número falta en el recuadro, si se cumple que: ( 4 666 ) 4 = 2 1 2
1
2
4
8
4 8
8 1
2 8
2 4
4 8
2 2
8 4
4 1
1 2
2 3
Se reduce
( 2 ∇ 111 ) ∆ 3 = 2 1
→
2 ∇ 111 = 1 2 ∇ 3 =1 ∴
A) 8 D) 1
- 12 -
B) 4
C) 2 E) ninguno
w=3
43. Se define la operación * en el conjunto M={a; b; c; d} mediante la siguiente tabla de doble entrada: ∗
a
b
c
d
a b
c d
b a
a b
b c
c d
a b
b c
c d
d a
Halla el valor de “x” en la siguiente igualdad a∗b=x∗c A) a D) d
B) b
• −1 ∗ − 1 = (−1)(−1) + (−1) + (−1) = −1
x
• −2 ∗ 1 = (−2)(1) + (−2) + 1 y
45.
= −3
Si:
C) c E) otro valor
De la tabla
a ∗ b = ab + a + b
Por definición
∗ 2 1
2 4 –3
1 6 –1
Calcula: (4 * 40) + (3 * 13) a∗b=x∗c =x∗c
b
→
x=b
b
A) –14 B) –17 C) –13 D) –12 E) –15
CO E of: PACH Por analogía
44. Con los elementos del conjunto A = {−2 ; − 1 ; 0 ;1 ; 2} se define Plar operación: a ∗ b = ab + a + b , entonces el valor de “x” e “y”
en el cuadro de la figura adjunta es: ∗
–2
–2 –1
–1
0
1
2 ∗ 2 =1 2 3 − 2(2) 2 ∗ 1 =6 2 3 − 2(1) 1 ∗ 2 = −3 13 − 2(2)
2
y x
0 1 2 A) x = 1 ; y = −2
Se deduce
a ∗ b = a 3 − 2b
B) x = −2 ; y = −1 C) x = −1 ; y = −3 D) x = 1 ; y = 3
∴ ( 4 ∗ 40 3 ∗ 13 ) + ( ) = −16 + 1 = −15 −16 θ 1
E) otros valores - 13 -
46.
Sea las operaciones: Calculando el elemento neutro #
a
b
c
d
@ a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b c
b d
d a
a d
c b
b c
a a
b c
c d
d
d
c
b
a
d
a
d
b
∗
8
10
1
5
d b
8
5
8
10
1
10
8
10
1
5
c
1
10
1
5
8
5
1
5
8
10
Si x = b # c , determina el valor de:
iguales
iguales
( c # x ) @ (b # a)
Calculando los inversos respectivos A) a D) d
B) b
C) c E) – 1
→
Por dato x = b # c
x=a
E = ( c # x ) @ (b # a)
Reemplazando
E = ( c # a ) @ (b # a) d
→
10
1
5
5
8
10
1
10
8
10
1
5
1
10
1
5
8
5
1
5
8
10
8 −1 = 1 10 −1 = 10 1−1 = 8 5 −1 = 5
10
E=d
Pr
8
Entonces (( x −1 @ 5 )@ 8 −1 )@1 = 10 −1
b
E=d@b
∗ 8
CO E of: PACH
47. Se define en A = {1, 5, 8, 10}, la operación matemática “@” mediante:
(( x −1 @ 5 )@1)@1 = 10 8
( x −1 @ 5 )@1 = 8 5
x −1 @ 5 = 5 10
x −1 = 10 → x = 10
@ 8
8 5
10 8
1 10
5 1
10 1
8 10
10 1
1 5
5 8
5
1
5
8
10
Calcula x, si: (( x −1 @ 5 )@ 8 −1 )@1 = 10 −1 donde a −1 elemento inverso de a.
A) 9 D) 6
- 14 -
B) 10
C) 7 E) 5
Huánuco, 24 de enero de 2014
