Polymath Guía

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GUÍA PARA USO DE POLYMATH – Departamento de I.Q. – UdeA

POLYMATH 5.1 Junio 2 2004 Departamento de Ingeniería Química Universidad de Antioquia Guía preparada por Aída Luz Villa

El programa fue desarrollado con la cooperación de The CACHE Corporation, The University of Connecticut, Ben Gurion University of the Negev and The University of Michigan. El proyecto fue iniciado por: Leroy F. Stutzman. POLYMATH 1.0 fue programado por Paul D. Babcock; POLYMATH 2,3 y 4 fueron programados por Orit Shacham. POLYMATH 5.0 fue rediseñado y programado por Michael Elly. POLYMATH es un programa creado para uso académico y profesional. Este programa permite aplicar técnicas de análisis numérico, presentándose los resultados se presentan en forma grafica. Las principales opciones de POLYMATH son: LEQ: para solucionar ecuaciones lineales. El sistema de ecuaciones lineales se debe ingresar en forma de matriz. NLE: para solucionar ecuaciones algebraicas no lineales. DEQ: solución de sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. REG: para analizar y realizar regresiones. Calculate: permite evaluar expresiones explícitas. Units: convierte unidades seleccionadas. Const: se puede encontrar constantes de Ingeniería y científicas. Setup: para modificar parámetros de algoritmos de solución numérica. 1. Solución de ecuaciones lineales, LEQ.

Este programa permite resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, donde estas se ingresan en forma de un vector. Se pueden ingresar sistemas hasta con 64 ecuaciones lineales. Se deben entrar la matrix de coeficientes y el vector de constantes. Cada ecuación (fila) es indicada por un número, y cada columna por el nombre de una variable (x1, x2, ..., xn, b). Después de ingresar los datos (coeficientes y constantes), de cambiar el nombre de las columnas, y de escoger el número de ecuaciones lineales correspondiente, el sistema de ecuaciones se soluciona seleccionando Program/Solve, o la fecha. El programa proporciona el valor de las variables. 2. Solución de ecuaciones no lineales, NLE.

Se solucionan sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. El sistema sis tema puede contener hasta 100 ecuaciones simultáneas no lineales (implícitas) y ecuaciones de soporte (explícitas) Solo se pueden encontrar raíces reales (no complejos). Es importante antes de solucionar el sistema de ecuaciones, verificar que no se presenten problemas de sintaxis. NLE: ecuación algebraica no lineal (implícita). EE: ecuación algebraica explícita. AÍDA LUZ VILLA de P.


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Comments: Esta columna de comentarios no es usada por POLYMATH para el calculo

numérico. ?: Muestra una ventana con la lista de variables definidas e indefinidas. Si aparece luz roja en el semáforo, significa que está incompleto el problema, por ejemplo que faltan definiciones o el estado inicial. Si aparece luz verde, es porque el problema está listo para ser resuelto. Solve with: se selecciona el algoritmo preferido para resolver el sistema de ecuaciones. Ingreso de ecuaciones y de estimados iniciales dentro del programa. Existen dos tipos de ecuaciones: ecuaciones que requieren solución simultánea iterativa (ecuaciones implícitas) y ecuaciones donde una de las variables puede ser expresada como una función explícita de otras variables y constantes. Las ecuaciones implícitas se deben escribir de la forma: f(x) = una expresión = 0. Donde ‘x’ es el nombre de la variable, y f(x) es una expresión que será igual a cero en la solución. Las ecuaciones explícitas se debe escribir de la forma: x = una expresión. La expresión puede contener constantes, variables implícitas y variables explícitas previamente calculadas. Al elegir “Add NLE”, se debe ingresar el nombre de la variable implícita en el paréntesis de f( ), la expresión después del igual y los comentarios, si se desea. Se ingresan las ecuaciones explícitas con “Add EE”, el nombre de una variable y la expresión. Antes de resolver el sistema de ecuaciones, se deben haber definido todas las variables; es decir, todas las variables deben aparecer en el lado izquierdo de la ecuación implícita o explicita. Para resolver el sistema de ecuaciones, se debe dar un estimado inicial de las variables desconocidas. Si los estimados iniciales están próximos a la solución, entonces habrá más posibilidad de que la solución converja. Si hay dos o más ecuaciones implícitas, para la selección de los valores iniciales se deben realizar consideraciones físicas, de tal forma que se determine un rango en el que deba variar; para el estimando del valor inicial se puede suponer el valor medio del rango en el que puede variar el parámetro. Los valores seleccionados como condiciones iniciales no deben llevar a funciones indefinidas; por ejemplo, f(xa) = 1/(xa – xb) es indefinida en xa = xb; f(xb) = log(1 – xb) es indefinida cuando xb ≥ 1. Las ecuaciones se pueden ingresar en cualquier orden. En el sistema de ecuaciones se pueden tener solo ecuaciones explícitas, o combinación de ecuaciones explícitas e implícitas. Ejemplo 1: 1.a Solo ecuaciones explícitas. Cálculo del volumen molar (V, L/gmol) y el factor de

compresibilidad de la ecuación de Van Der Waals. Presión en atm y temperatura en K. P = R*T/(V-b)-a/V^2 a = (27/64)*(R^2*Tc^2/Pc) b = R*Tc/(8*Pc) R = 0.08206, Tc = 405.5, Pc=111.3 Calcular V para P = 56 y T = 450, V(min) = 0.4, V(max) = 1 1.b Una ecuación implícita y dos ecuaciones explícitas. Calculo de la temperatura de

ebullición (K) de una mezcla binaria, con presiones de vapor de los componentes P1

AÍDA LUZ VILLA de P.


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(mm Hg) y P2 (mm Hg) con composiciones en la fase líquida x1 = 0.1 y x2 = 0.9, para 36 ≤ T ≤ 70ºC (1) f(T) = x1*P1 + x2*P2 – 760 (2) log(P1) = 6.85221 - 1064.63/(T + 232.0) (3) log(P2) = 6.87776 - 1171.53/(T + 224.366) Escribiendo P1 y P2 como ecuaciones explícitas: P1 = 10^(6.85221-1064.63/(T+232.0)) P2 = 10^(6.87776-1171.53/(T+224.366)) Para un sistema con una ecuación no lineal el programa requiere el intervalo en el cual se puede encontrar la raíz. 1.c Dos ecuaciones implícitas y varias ecuaciones explícitas. Determinar CA1 y V de la

siguientes ecuaciones: k*CA1^2 = v*(CA0-CA1)/V k*CA2^2 = v*(CA1-CA2)/V k = 0.075; v = 30; CA0 = 1.6 y CA2 = 0.2*CA0. Estimados iniciales: CA1(0)=1 y V(0)=300. f(CA1) = k*CA1^2 – v*(CA0 - CA1)/V f(V) = k*CA2^2 – v*(CA1-CA2)/V 1.d Variables restringidas. Considere la siguiente ecuación:

f(x1) = x1/x2 - 5 ln(0.4*x2/x3) + 4.45977 = 0 Donde x2 =1 - x1; x3 = 0.4 - 0.5*x1 y los valores de x1, x2 y x3 son restringidos: x1>0, por consideraciones físicas; x2 y x3 deben ser positivos, debido a la restricción de la función ln. Escribiendo las ecuaciones de x2 y x3 en forma implícita: f(x2) = x2 + x1 –1 = 0 f(x3) = x3 + 0.5*x1 – 0.4 = 0. Se debe escoger en el método de solución “constrained” y luego escribir las ecuaciones implícitas, teniendo en cuenta seleccionar para x1 “positive” y para x2 y x3 ““always positive”. “Any value”: significa no restringido, “positive” significa que debe ser positivo en la solución solamente y “always positive” significa que debe ser positiva siempre a través de toda la solución de las ecuaciones. 2.1 Algoritmos de solución.

Hay cuatro algoritmos disponibles para la solución de ecuaciones no lineales basados en el método de Newton-Raphson (NR), que utiliza una serie de Taylor truncada de los valores de la función para obtener un mejor estimado de las variables desconocidas. El máximo de iteraciones que se pueden realizar son 150; sin embargo, las iteraciones terminan cuando se alcance la tolerancia determinada, que por defecto es 1x10 -7 Se puede encontrar información sobre los métodos utilizados para la solución de las ecuaciones en: Press, W.H., P.B. Flannery, S.A. Teukolsky and W.T. Vetterling, Numerical Recipes, 2nd Ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1992.



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2.2 Reporte de la solución.

Se presenta el título del problema como fue ingresado por el usuario, la fecha en la cual fue obtenida la solución, los valores de todas las variables y los valores de las funciones de las ecuaciones implícitas, los cuales deben estar próximos a cero. Si el programa no puede encontrar una solución, entonces, aparece un mensaje de error. En el reporte también se presentan las ecuaciones originales, como fueron ingresadas originalmente. Las ecuaciones no linelaes (implícitas) y las ecuaciones explícitas se agrupan por separado. Se presentan también los comentarios asociados con cada ecuación, si estos fueron adicionados; información relacionada con los parámetros y la localización donde se almacena el archivo. 2.3 Problemas al solucionar al ecuaciones no lineales.

Si la flecha no se muestra después de finalizar el ingreso de la información del problema, es porque el problema no está completamente definido; esto puede deberse a que: existan variables que no se hallan definido aún; se utilicen letras o números con símbolos similares, por ejemplo el número uno (1) y la letra l, o faltan los límites donde se puede hallar las raíces de la variable. Si aparece el mensaje que la solución no converge, se puede deber a: - El algoritmo seleccionado no permite resolver el problema. Los más complejos son los métodos “Constrained” y “safebroyd”. - El sistema contiene ecuaciones que son altamente no lineales. Se pueden hacer no lineales, por ejemplo eliminando la división por términos desconocidos. - Los estimados iniciales están muy lejos de la solución. - La tolerancia del error es muy pequeño. - El problema no tiene solución, lo cual puede deberse a errores en la definición de este. 3. Ecuaciones diferenciales, DEQ.

Este programa permite solucionar sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. El sistema puede contener hasta 100 ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas explícitas. Add DE : para ingresar una ecuación diferencial. Add EE : para adicionar una ecuación algebraica explícita. ? : abre ventana que muestra una lista de variables definidas e indefinidas. ⇒ : Integra el sistema de ecuaciones. Esta opción se presenta solamente cuando se ha ingresado un conjunto válido de ecuaciones, incluidas los valores iniciales y finales de las variables. Table: crea una tabla conteniendo los valores de todas las variables como función de la variable independiente. Graph: se crea una grafica de los valores integrados de las variables diferenciales versus la variable independiente. Report : se presenta un reporte que contiene los valores inicial, final, máximo y mínimo de todas las variables, una lista de las ecuaciones del sistema y alguna información adicional. Indep Var: nombre de la variable independiente. Solve with: selecciona el algoritmo preferido de solución. Inicial value: valor inicial de la variable independiente. Final value: valor final de la variable independiente. En la base de la ventan aparecen el número de ecuaciones diferenciales y auxiliares y la información relacionada con los mensajes de error. AÍDA LUZ VILLA de P.


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3.1 Ingreso de la ecuación al programa:

El sistema de ecuaciones puede contener dos tipos de ecuaciones: ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y ecuaciones algebraicas explícitas donde una de las variables pueden ser expresada como función explícita de otras variables y constantes. Las ecuaciones diferenciales se deben entrar en la siguiente forma: d(x)/d(t) = una expresión, donde t es una variable independiente y x es una variable dependiente. Las ecuaciones algebraicas auxiliares se pueden entrar en la forma x = una expresión. La expresión puede contener cualquier combinación de constantes y variables. Las ecuaciones auxiliares deben ser secuenciales (no simultáneas). Las condiciones iniciales tiene que ser especificadas para todas las variables definidas por las ecuaciones diferenciales, como también la variable independiente. Antes de resolver un conjunto de ecuaciones, se deben definir todas las variables, así cada una de estas deben aparecer en el lado izquierdo de las ecuaciones implícitas o explícitas. Ejemplo 2:

2.a Se desean integrar las siguientes ecuaciones: d(A)/d(t)= - k 1*A d(B)/d(t)= k 1*A – k 2*B d(C)/d(t)= k 2*B desde t = 0 donde A(0)=1, B(0)=0 y C(0)=0 (valores iniciales) hasta t=3, con los valores de las constantes k 1=1 y k 2=2. 2.b Determinar los flujos molares de los reactivos A y B en un reactor PFR de 100 L, donde se lleva a cabo la reacción A ← → 2B. -1 k A = 2.7 min , k C = 1.2 mol/L, f A0 = 10 mol/min, CT0= 0.1 mol/L dfA/dV = rA, dfB/dV = rB, -rA = kA*(CA-CB^2/KC), fB = 2*(fA0 –fA), fT = 2*fA0 – fA, CA = CT0*fA/fT, CB = CT0*fA/fT, CB = CT0*fB/fT, rB = -2rA.

3.2 Algoritmos de integración

Hay seis algoritmos numéricos disponibles. Para sistemas de ecuaciones no rígidas, se recomienda el algoritmo Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45). El algoritmo monitorea el error estimado de la integración y reduce o aumenta el tamaño del paso de la integración para mantener el error por debajo de un umbral especificado. Los sistemas de ecuaciones rígidos son aquellos cuyo progreso de integración es muy lento. Estos sistemas contienen variables que cambian (disminuyen) ampliamente en el tiempo. Para estos sistemas, se deben utilizar otros algoritmos, como el de Barder y Deufhand, STIFFBS, y el de Rosenbrock, STIFF. Otros algoritmos son los de orden superior de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF56) y el de Burlirsch-Stoer (BS). 3.3 Reporte de solución.

Aparece el título del problema tal como fue ingresado por el usuario, la fecha cuando se obtuvo la solución y una tabla mostrando los valores mínimo, máximo y final para todas las variables. También se muestra un reporte con las ecuaciones originales, tal como fueron ingresadas por el usuario y el nombre del algoritmo de integración que se usó en la solución. AÍDA LUZ VILLA de P.


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Las ecuaciones diferenciales y algebraicas explícitas son agrupadas por separado. La información adicional incluye los comentarios asociados con las diferentes ecuaciones, información relacionada con los parámetros, y la localización donde el archivo del problema se almacena. Adicional al reporte, se puede obtener los resultados en forma de grafica o de tabla. En la grafica, la variable independiente de integración, se muestra en el eje x. 3.4 Problemas al solucionar las ecuaciones diferenciales.

Si la flecha no está activa después de ingresar todas las ecuaciones, esto se puede deber a: - Aún existen variables indefinidas. - No se han ingresado los valores inicial y/o final para la variable independiente. Definiciones circulares de variables explícitas no son permitidas. Este mensaje aparece cuando una (o más) variables están definidas como función de otras variables, la cual a su vez es una función de la primera variable. Se debe tener en cuenta que las ecuaciones implícitas no se pueden utilizar en este programa. División por cero en el punto inicial. Si los valores iniciales de unas variables deben ser ceros y esto hace que se tornen indefinidas algunas ecuaciones, entonces, se utiliza como valor inicial un número muy pequeño. En la presentación grafica de los resultados, algunas de las curvas aparecen no suaves.

Esto se puede deber a la utilización de intervalos muy amplios, si este es el caso se puede aumentar el número de puntos del rango de integración. El progreso de la integración es muy lenta (mensaje de error “Too many steps...”) Este problema se puede deber a: - Algoritmo inapropiado de integración. Puede suceder que el problema es muy rígido y se está utilizando un algoritmo para no-rígido (non-stiff) tal como RKF45. - La relación entre el intervalo de integración y la tolerancia del error es muy grande. Para lograr una solución precisa de acuerdo a lo establecido por la tolerancia de error, se requieren pasos muy pequeños, lo cual puede ocasionar muchos pasos para cubrir todo el intervalo. Se puede aumentar la tolerancia del error si se quiere una solución más exacta o reducir el intervalo para la integración. - Hay errores en la definición del problema. Se puede revisar por ejemplo, las ecuaciones, los valores numéricos y las unidades de las constantes. 4. Datos de tabla

Es usada para entrar, manipular y almacenar datos numéricos. Los datos son almacenados en columnas donde cada columna tiene asociado un nombre (variable): Los datos almacenados pueden ser: i) ajustados a una línea recta o varios tipos de c urvas y ecuaciones usando técnicas de regresión lineal, polinomial y no-lineal; ii) analizados, mediante interpolación, diferenciación, integración y el cálculo de varios estadísticos; iii) graficados. 4.1 Ingreso y manipulación de datos. En

la parte superior de la tabla, que contiene por defecto 300 filas y 30 columnas, se encuentra el nombre de la columna, que por defecto empiezan por C01 a C30. Cuando se entren los datos es importante no dejar ninguna fila vacía.; ya que filas vacías (en particular la primera fila) pueden causar que POLYMATH no identifique las columnas en regresión y/o análisis.


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Los nombres de las columnas se pueden cambiar con Column/Column name y el nombre debe comenzar con una letra, y puede contener letras y dígitos. Los contenidos de una columna se pueden definir como función de columnas previamente definidas: Column/Column definition, teniendo en cuenta que la definición de la columna debe contener los nombre de las columnas previamente definidas. Las columnas también se pueden manipular, marcando una columna y presionando el botón derecho del ratón. Para realizar regresiones, análisis o graficas, se hace la selección apropiada en la base de la tabla. Ejemplo 3

Tabla 1. Datos de presión de vapor y temperatura de benceno. Temperatura, T (ºC)

Presión, P (mm Hg)

-36.7 -19.6 -11.5 -2.6 7.6 15.4 26.1 42.2 60.6 80.1

1 5 10 20 40 60 100 200 400 760

Se van a ajustar los datos a la ecuación de Riedel: Log(P) = A + B/T + C*log(T) + D*T^2 T es la temperatura en Kelvin; A, B, C y D son los parámetros que se deben calcular por regresión múltiple lineal. Se le dará los nombres de las columnas tC y PmmHg. Con la opción Column/Column definition, se crearán logP (log(P)), Trec (1/T), logT (log(T)) y T2 (T^2). Los nombres de las columnas que fueron definidas como función de otras columnas aparecen en color azul y subrayadas. 5. Regresión 5.1 Regresión lineal múltiple.

Esta parte del programa ajustará una función lineal de la forma: y(x1, x 2, ..., x n) = a 0 + a1*x1 + a 2*x2 + ... + a n*xn , donde a 0, a1, ..., an son parámetros de regresión, de un conjunto de N valores tabulados de x 1, x2, ..., x n (variables independientes) versus y (variable dependiente). El número de datos debe ser mayor que n+1 (N ≥ n+1). El programa calcula los coeficientes a 0, a1, ..., an mediante la minimización de la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los datos calculados y los datos para y. Para realizar una regresión múltiple lineal, seleccionar la opción "Multiple linear" de “regression”. Se debe seleccionar la variable dependiente de la regresión, las variables independientes para la regresión (indicadas por x 1, x 2, ... ,xn en la ecuación de la regresión). Se pueden seleccionar varias variables, presionando la tecla Ctrl mientras presiona el botón izquierdo del ratón.



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Si se marca la opción “Trough origin”, el parámetro independiente (a 0) será cero en el modelo de la regresión. La opción “Graph”, mostrará los puntos calculados y los datos. Residuals: muestra una grafica de desviaciones entre los datos y los valores calculados de la variable dependiente (errores, residuales). Store model in column: almacena el modelo de regresión y los parámetros calculados en la próxima columna vacía. Report: se muestra un reporte del modelo de regresión los valores numéricos y los intervalos de confidencia de los parámetros y algunos estadísticos adicionales y otra información. ⇒ : para realizar la regresión y los cálculos adicionales. Ejemplo 4. Escoger

el ejemplo 4, en “Data Table”, “heat of hardening”. Seleccionar Regression/Multiple Linear; como variable dependiente a “hard_heat y Xpc1, Wpc2, Wpc3 y Wpc4 como variables independientes. El término independiente debe ser cero. Escoger también las opciones “Residual” y “Graph”. En el reporte aparecen el modelo de la regresión y los valores de los parámetros (incluyendo el 95% del intervalo de confidencia). Para que los resultados de la regresión sean estadísticamente validos, el intervalo de confidencia debe ser mucho menor (o al menos menor) que los valores de los parámetros respectivos (en valor absoluto). Adicionalmente, aparecen el coeficiente de correlación (R^2), el coeficiente ajustado de determinación múltiple (R^2 adj), la raíz cuadrada promedio de la desviación (Rmsd) y la varianza. Estas indicaciones miden la desviación entre los valores calculados y los datos de la variable dependiente, y se pueden usar para comparar varios modelos que representan la misma variable dependiente. R^2 y R^2 adj deben estar cerca de uno y Rmsd y la varianza deben ser pequeños. La grafica de residuales muestra la diferencia entre los valores calculados y los valores medidos de la variable dependiente como función de los valores medidos. Si el modelo de regresión representa los datos correctamente, los residuales son distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea err = 0 con un promedio de cero. 5.2 Regresión no lineal múltiple.

Se ajusta una función no lineal de la forma: y = f (x 1, x2, …, xn, a0, a1, a2, …, am) Donde a0, a1, …, an son parámetros de la regresión para el conjunto de valores de N tabulados de x 1, x2, …, xn (variables independientes) versus y (variable dependiente). El número de puntos deben ser mayor que m + 1 (así N ≥ m + 1). Para llevar a cabo la regresión se debe entrar el modelo, los valores iniciales estimados para los parámetros del modelo. Se puede seleccionar obtener el grafico de los puntos calculados y los datos, los residuales; almacenar el modelo en las columnas; el reporte que contiene el modelo, los intervalos de confianza y los parámetros, además de otra información adicional. Para modelos moderadamente no lineales, el programa encontrará los mejores valores de los parámetros, aunque los estimativos iniciales sean pobres; para modelos altamente no lineales, se requieren buenos estimativos de los valores iniciales. Los estimativos iniciales deben siempre ser realístico para el fenómeno físico que se está describiendo. Para situaciones difíciles, puede ser útil linealizar o simplificar el modelo y usar la regresión múltiple lineal para determinar los parámetros que pueden ser usados como estimativos iniciales para la regresión no lineal.



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El programa usa los algoritmos de Levenberg-Marquardt (LM) para encontrar los valores de los parámetros, los cuales minimizan la suma de los cuadrados del error. La técnica LM usualmente converge muy rápidamente. Cuando la convergencia no es rápida, se sugiere analizar los datos estadísticos para verificar lo correcto del número de parámetros del modelo. Si hay más parámetros en el modelo de los realmente necesitados, el intervalo de confianza del 95% para la mayoría de los parámetros tenderá a ser mayor que el parámetro mismo. Ejemplo 5. Calculo

de los parámetros de la ecuación de Antoine. Escoger el ejemplo 2 que aparece en “Data table”, Regresión/nonlinear; entrar el modelo: logP = A + B/(TC + C), con valores iniciales A = 6, B = -1000, C = 200. 5.3 Calidad de los modelos de regresión.

Los indicadores estadísticos y las diferentes graficas proporcionados por el programa pueden ser usados para determinar la calidad de los modelos de regresión y comparar entre varios modelos. - Grafica: de los valores calculados y medidos de la variable dependiente. Si se muestran diferentes tendencias esto usualmente indica que el modelo es inapropiado. Si la diferencia entre los valores medidos y calculados es grande, pero no se observa una tendencia clara, esto indica que hay error experimental excesivo y no pueden ser modelados exactamente. - Grafica de residuales: muestra la diferencia entre los valores calculados y medidos de la variable dependiente como función de los valores medidos. Si el modelo de regresión representa los datos correctamente, los residuales son distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de err = 0 con un promedio de cero. Si los residuales muestran una tendencia clara, esto indica que se está usando un modelo inapropiado (por ejemplo, una línea recta en vez de un polinomio). Si hay un punto donde el error es mayor, en valor absoluto, que en el resto de los puntos esto puede indicar que el punto debe ser removido. - Intervalo de confidencia: para que el modelo sea estable y estadísticamente valido, los intervalos de confidencia deben ser mucho más pequeños (o al menos más pequeños) que los valores respectivos de los parámetros (en valor absoluto). Un modelo inestable puede proporcionar derivadas muy inexactas y resultados absurdos para rangos aun pequeños de extrapolación. Para un modelo inestable un pequeño cambio en los datas (por adición o remoción un dato, por ejemplo) puede permitir grandes cambios de los valores de los parámetros. - R^2 y R^2adj: los coeficientes de correlación son frecuentemente usados para juzgar si el modelo representa correctamente los datos, implicando que si el coeficiente de correlación es cercano a uno el modelo es correcto. Sin embargo, hay ejemplos donde el coeficiente de correlación es cerca a uno, pero el modelo es inapropiado. Por lo tanto estos parámetros deben ser usados para comparar varios modelos que representan la misma variable dependiente. Varianza y Rmsd: se recomienda usar estos parámetros para comparar varios modelos que representan la misma variable dependiente. Un modelo con valores pequeños de la varianza y Rmsd representan más adecuadamente los datos experimentales que un modelo con valores grandes de estos parámetros.



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Es usado principalmente cuando los datos tabulados no pueden ser representados satisfactoriamente por un modelo. En este programa se interpola, diferencia, integra y grafica datos para los cuales no hay un modelo de regresión disponible. Sin embargo, si se dispone de un modelo, lo más conveniente es usarlo. Además, si los datos contienen regiones suaves y no suaves, se recomienda separar dichas regiones antes de indicar el análisis. En cualquier caso, no se recomiendan extrapolaciones de los datos y en ninguna de las opciones del programa se permiten estas. En esta ventana aparecen las siguientes opciones: Interpolación: calculo de los valores de las variables dependientes para un valor específico de la variable independiente. Diferenciación: calculo de la derivada de la variable dependiente para un valor específico de la variable independiente. Integración: calculo de la integral de la variable dependiente para una región especifica de la variable independiente. Variable independiente : selecciona la (s) variable (s) independiente (s) para el análisis. Variable dependiente: selecciona la variable dependiente para el análisis. Resolver con: selecciona el método de solución. Flecha: realiza el análisis. También es presentado el número de puntos de datos incluidos en el análisis (N ≤ número). 5.4 Análisis de datos.

Se selecciona primero el nombre de la variable independiente y de la variable dependiente. Luego de especificar el valor de la variable independiente, se calcula el valor de la variable dependiente. El valor de la variable independiente debe caer dentro de la región donde son disponibles los datos. Los algoritmos disponibles para la interpolación son: función racional (RATINT), spline cúbico (SPLINT) y lineal (LINEAR). Para curvas no suaves con formas irregulares (líneas quebradas con bordes agudos) la interpolación lineal es la mejor. Con funciones que se puedan representar con curvas suaves y formas muy regulares, se debe usar la interpolación RATINT. Entre estos dos casos extremos, la interpolación SPLINT, da los valores más exactos. 5.4.1 Interpolación:

Para encontrar la primera derivada de una variable dependiente con respecto a una variable independiente, se debe seleccionar primero el nombre de la variable independiente y el nombre de la variable dependiente. Después de especificar el valor de la variable independiente, se calcula el valor de la primera derivada. Los algoritmos disponibles para la interpolación son: Linear (STANDA), polinomio de Lagrange (LAGRANGE) y spline cúbico (SPLINE). Para curvas no suaves con formas irregulares (líneas quebradas con bordes agudos) la aproximación lineal es la mejor. Con las funciones que se puedan representar con curvas suaves y formas muy regulares, se debe usar la aproximación LAGRANGE. Entre estos dos casos extremos, la interpolación SPLINE, da los valores más exactos. 5.4.2 Diferenciación.

Para encontrar la integral de una variable dependiente sobre un rango de una variable independiente, se debe seleccionar primero el nombre de la variable dependiente e independiente. Después de especificar los límites superior e inferior para 5.4.3 Integración.



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la variable independiente se calcula la integral (área bajo la curva) sobre el área especificada. Los algoritmos disponibles para la interpolación son: aproximación de polinomio ortogonal de Gauss-Legendre (GAULEG), regla de Simpson (QSIMNP y SIMPSON) y aproximación spline cúbico (SPLINE). Para datos que pueden ser representados con una función suave con una forma muy regular, la aproximación SPLINE puede ser utilizada. Ejemplo 6

6.a Ejemplo 3 de “Data Table”, “Heat Capacity”. 6.b Calcular el volumen de un reactor flujo pistón requerido para lograr una conversión de 0.7 de una reacción cuyos datos de conversión y velocidad de reacción se muestran en la tabla 2; el flujo molar del reactivo límite es de 5 mol/s. Tabla 2. Datos de conversión y velocidad de reacción. X

-rA (L.s/mol)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.85

0.0053 0.0052 0.005 0.0045 0.004 0.0033 0.0025 0.0018 0.00125 0.001

Se debe seleccionar primero el nombre de la variable independiente y luego la (s) variable (s) dependiente (s). Si se selecciona “Draw Markers” se grafican los puntos y/o “Connected” para dibujar la línea que conecta los puntos de los datos. Seleccionando la flecha o presionando F se obtiene la grafica. 5.5 Preparar grafica.

- Edición de graficas.

Las graficas se pueden editar, usando “Curves”, “Xaxis” y “Yaxis” o presionando el botón derecho en el ratón. Las opciones disponibles son: Max Y axis: cambia el límite superior del eje Y. Min Y axis: cambia el límite inferior del eje Y. Max X axis: cambia el límite superior del eje X. Min X axis: cambia el límite inferior del eje X. Scatter connected : muestra la curva conectando los datos . Draw. Points: muestra los datos calculados o almacenados. Auto scale: determina si el programa automáticamente cambia la escala cuando el usuario remueve/adiciona curvas. Curves and Functions: esta opción es para remover variables y adicionar funciones graficadas a las curvas. Title: adiciona o cambia el título de la grafica. Subtitle: adiciona o cambia el subtítulo de la grafica. Inverse grid lines: muestra las líneas de la grafica. Legend box: la localización de la caja de la leyenda se puede modificar. AÍDA LUZ VILLA de P.

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Adicionalmente, se pueden variar el formato de los títulos en los ejes X y Y, cambiar el grosor de las líneas y de las curvas y cambiar el tamaño de los puntos. 6. Calculadora: permite entrar una expresión para ser evaluada.

Opciones:

More: permite abrir una ventana extendida de la calculadora. On top: permite mantener la ventana de la calculadora en la parte superior de todas las ventanas en POLYMATH. Solve: para resolver la expresión. Borrador : borra toda la expresión que aparece en la caja. History: se muestran todas las expresiones anteriores y los resultados calculados. Se puede copiar o borrar las expresiones. Variables: se muestran las variables definidas y los valores asignados. Options: se pueden realizar cambios en el tipo de letra de las expresiones, cambio en el formato de los números presentados en la solución. Rules: se muestra una lista de operaciones aritméticas válidas y funciones intrínsecas. Una expresión puede contener números, operadores aritméticos, funciones intrínsecas y variables locales previamente definidas. Se puede utilizar la notación científica. La calculadora reconoce “E” o “e” o “*10^”. 7. Convertidor de unidades. Las unidades que permite convertir son: Unidades de longitud : m, cm, mm, nanometro, pulgada, milla, yarda,

pie, micrón,

angstrom Unidades de masa : Kg, g, mg, lb, ton (metrica), ton (larga), ton (corta) 2 2 2 2 2 Unidades de área : m , ft , cm , mm , in . 2 2 Unidades de energía: joule, kilo-joule, erg, cal, hphr, liter atm, kwh, Btu, ft-lb, kg m /s Unidades de temperatura: Centígrados, Fahrenheit, Kelvin, Rankine Unidades de diferencia de temperatura: ∆ºC, ∆ºF, ∆ºK, ∆ºR. Unidades de presión: pascal, kilo-pascal, mm Hg (torr), atm, bar, psi [ lb-f/sq in],in Hg 2 2 Unidades de fuerza: newton, kg, lb, poundal, dyne, g cm/s , kg m/s Unidades de potencia : watt, kilo-watt, joule/sec, cal/sec, Btu/sec, hp (metrico), hp

(British), ft lbf/sec

3

3

3

Unidades de volumen: m , cm , L, ft , galón imperial, gal (U.S.), barril (aceite).

8 Constantes útiles: Condiciones atmosféricas a nivel del mar:

Temperatura, presión, densidad del aire,

viscosidad del aire. Ciencias de la tierra: distancia media de la tierra al sol, masa del sol, masa de la tierra. Constantes fundamentales de la Física: Constante de Avogadro, constante de Boltzman,

velocidad de la luz, carga elemental, masa del electrón, constante de Faraday, constante de Planck, constante de Rydberg, radio de Bohr, constante Newtoniana, constante de gravitación, permitividad en el vacío, permeabilidad en el vacío, aceleración gravitacional estándar, constante de Stefan-Boltzmann, constante universal de los gases. Constante de los gases: (disponible en las siguientes unidades): ft * lbf / (pound mole * R), atm * ft^3 / (libra.mole * R), J / (Kmol * K), cm-Hg * m^3 / (Kmol K), erg/ (gmol * K), l * atm / (gmol * K), atm * cm^3 / (gmol * K), J / (gmol * K), Btu / ( poundmole * R), gram-calorie / (gmol * K), libra* ft^3 / (lbmol * R) Matemáticas: Pi, constante de Euler.



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Propiedades del aire: masa molecular, constante de gases, capacidad calorífica, relación

de capacidades caloríficas, viscosidad. Propiedades del agua: Masa molecular, constante de gases, capacidad calorífica, relación de capacidades caloríficas, punto triple de temperatura. Volumen de gas ideal. Factores de conversión de transferencia de calor. Factores de conversión de transferencia de masa. Factores de conversión de termodinámica. 9 Setup:

Varios parámetros generales del programa y de los algoritmos de solución numérica se pueden ajustar. Con la opción “Reset all”, todos los parámetros toman sus valores de defecto. Se puede modificar los parámetros de las tablas, graficas, logaritmos de las ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales ordinarias, regresiones no lineales. 10. Conceptos generales

A menudo es más conveniente ajustar una curva a una línea recta o ajustar una función lineal a una forma transformada de los datos originales, que realizar una regresión no lineal con el modelo original de regresión no lineal. Por ejemplo, si los datos originales satisfacen la relación y = a*x^b, entonces las transformaciones xt = log(x) y yt = log(y) será de utilidad. Ya que log(y) = log (a) + b*log(x), entonces los datos transformados darán una línea recta al graficar yt versus xt, con pendiente igual a b e intercepto igual a log(a). La opción de definición de columna puede ser convenientemente usada para crear las columnas de variables transformadas. 10.1 Transformaciones de funciones.

Tabla 3. Algunas transformaciones útiles. Relación original Transformada x (xt) de datos y = a*e^bx xt =x y = a*b^x xt = x y = a + b/x xt = 1/x y = x/(a + b*x) xt = 1/x

Transformada y (yt) Relación linealizada yt = ln(y) yt = ln(a) + b*x yt = ln(y) yt = ln(a) + b*ln(x) yt = y yt = a + b*xt yt = 1/y yt = a*xt + b

El número total de filas y columnas pueden ser modificadas en setup. Los formatos de la tabla (colores, alineaciones, tipo de letra) no son salvados cuando se salve el problema en un archivo. Solamente se salva el contenido de las celdas y las fórmulas. 10.2 Curvas y funciones.

Para adicionar curvas a la grafica, que contenga la variable “x” como variable independiente, se marca la opción “Functions” y se entra en la caja de diálogo la expresión requerida. Las funciones, al igual que las variables, pueden ser activadas, “on” o no, “off”. Las curvas derivadas pueden ser construidas de otras curvas existentes, escogiendo el botón “Add” cuando la opción “Scatters” está marcada.



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10.3 Variables y expresiones:

Los nombres de las variables deben comenzar con una letra y puede contener caracteres numéricos o letras o “_.”. No hay límite e la longitud del nombre de las variables o en el número de estas. Los nombres de las variables son sensitivos a la letra mayúscula o minúscula. Caracteres especiales como $, &, #, @, etc. no son permitidos. Una expresión puede contener números, operadores aritméticos, funciones intrínsecas y variables locales previamente definidas. Se puede utilizar la notación científica. La calculadora reconocerá “E” o “e” o “*10^”. POLYMATH no permite el uso de subíndices o superíndices. Los argumentos de las funciones deben estar encerradas en paréntesis. Los argumentos deben ser expresiones u otras funciones. 10.4 Funciones disponibles:

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • •

• • •

abs ( ) = valor absoluto. arccos ( ) = coseno trigonométrico inverso, con resultado en radianes. arccosec ( ) = cosecante trigonométrico inverso, con resultado en radianes arccosech ( ) or arcsech ()= cosecante inverse hiperbólica. arccosh ( ) = coseno inverso hiperbólico arccotan ( ) = cotangente trigonométrico inverso, con resultado en radianes arccotanh ( ) = tangente inverso hiperbólica arcsec ( ) = secante trigonométrico inverso, con resultado en radianes arcsin ( ) = seno trigonométrico inverso, con resultado en radianes arcsinh ( ) = seno inverso hiperbólico arctan ( ) = tangente trigonométrico inverso, con resultado en radianes arctanh ( ) = tangente inverso hiperbólica cbrt ( ) = raíz cúbica. cos ( ) = coseno trigonométrico con argumento en radianes. cosec ( ) = cosecante trigonométrico con argumento en radianes. cosech ( ) = cosecante hiperbólico. cosh ( ) = coseno hiperbólico. cotan ( ) = cotangente trigonométrico con argumento en radianes. coth ( ) = cotagente hiperbólico. exp ( ) = exporencial (e^x ) erf ( ) = function error exp10 ( ) = exporencial de 10 (10^x ) exp2 ( ) = exporencial de 2 (2^x ) fact ( N ) = factorial de la parte entera del número N (este solo opera en un número) frac ( ) = parte fraccional. int ( ) = parte entera. ln ( ) = logaritmo natural a la base e log ( ) = logaritmo a la base 10. psi ( ) = función psi rand ( ) = Muestra un número aleatorio entre 0-1. se debe probar un parámetro como 1 ó 2 para esta función. round ( ) = redondea valor. sec ( ) = secante trigonométrica con argumento en radianes. sech ( ) = secante hiperbólica.


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GUÍA PARA USO DE POLYMATH – Departamento de I.Q. – UdeA • • • • • • •

sign ( ) = retorna + 1 ó 0 ó -1 sin ( ) = seno trigonométrico con argumento en radianes. sinh ( ) = seno hiperbólico. sqr ( ) = cuadrado. sqrt ( ) = raíz cuadrada. tan ( ) = tangente trigonométrica con argumento en radianes. tanh ( ) = tangente hiperbólica.

Todas las funciones se deben dar en letras minúsculas. Las funciones trigonométricas requieren que su argumento esté en radianes. Las funciones trigonométricas inversas dan sus resultados en radianes. 11. Referencias

- Mordechai Shacham, Michael B. Cutlip and Michael Elly, Polymath 5.1, “Help”, 2000, - http://www.polymath-software.com - H. Scott Fogler. Elementos de Ingeniería de las Reacciones Químicas, Prentice Hall, México, Tercera edición, 41-47, 179-181, 2001.


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