Teoria eori a de num˘arare arar e a lui P`olya olya – Explicat¸ii ¸ii suplimenta supl imentare re ¸si si exercit exer cit¸ii ¸ii –
1
No¸iuni ¸ tiuni preliminare
[Cont¸inutul ¸inutul acestei sect¸iuni ¸iuni este, ˆın mare ma re parte, p arte, descris ˆın slideslide-urile urile cursulu cursuluii 5] 5] O n-permutare este un aranjament a1 , . . . , an al elementelor mult¸imii ¸imii sas e 3-permut 3-p ermut˘˘ari: ari: {1, . . . , n}. De exemplu, exist˘a ¸sase
1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1. Un aranjament a1 , . . . , an reprezint˘a ¸si si funct func ¸ia ¸t ia π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} pentru care π(i) = ai pentru i ∈ {1, . . . , n}. Pentru a evident¸ia ¸ia acest fapt, putem scrie 1
...
n
↓
...
↓
a1 , . . . an . Vom nota cu S cu S n mult¸imea ¸imea tuturor n tuturor n-permut˘ -permut˘ arilor. Reamintim faptul c˘a, arilor. a, num˘arul arul de n de n-permut˘ -permut˘ ari ari al unei mult¸imi ¸imi cu n cu n elemente este n! n ! Un ciclu este o funct¸ie f ¸ie f : {v1 , v2 , . . . , v p } → {v1 , . . . , v p } astfel ast fel ˆıncˆ ınc ˆat f at f ((v1 ) = v2 , f ( f (v2 ) = v 3 , . . . , f , f ((v p ) = v 1 . Alternativ, putem spune c˘a f f este funct¸ia ¸ia care mapeaz˘a v1 → v2 → . . . → v p → v1 , ¸si si s˘a o ilustr˘am am grafic ca pe un poligon regulat regulat cu n cu n vˆarfuri, arfuri, ˆın felul urm˘ator: ator: v1
v p
v2 vi+1
vi
Reprezent˘ am am acest ciclu cu notat¸ia ¸ ia (v (v1 , . . . , v p ). Lungimea ciclului ciclului este p. Observ˘ am am c˘a acest ciclu poate fi reprezentat ˆın p feluri diferite: (v1 , . . . , v p ) = (v2 , v3 , . . . , v p , v1 ) = . . . = (v p , v1 , . . . , v p−1 ). Dac˘a {v1 , . . . , v p } este o mult¸ime ¸ime ordonat˘a astfel ˆıncˆat v at v 1 este elementul cel mai a a ciclului. mic, atunci (v (v1 , . . . , v p ) se nume¸ nume ¸ste ste reprezentarea canonic˘ De exemplu: 1
1. (4, 3, 1) este un ciclu de lungime 3 care reprezint˘a funct¸ia 4 → 3 → 1 → 4. Reprezentarea canonic˘a a acestui ciclu este (1, 4, 3). 2. (2) este un ciclu de lungime 1 care reprezint˘a funct¸ia 2 → 2. Orice permutare poate fi scris˘a ca o compozit¸ie de cicluri disjuncte: o astfel de scriere se nume¸ste reprezentare ciclic˘ a (vezi Cursul 4). De exemplu:
3, 5, 2, 4, 1, 6 = (1, 3, 2, 5)(4, 6) .
aranjament
structur˘ a ciclic˘ a
sunt reprezent˘ari diferite ale aceleia¸si permut˘ a ri. Partea stˆang˘a a egalit˘a¸tii reprezint˘ a permutarea ca pe un aranjament, iar partea dreapt˘a ca pe o compozit¸ie de cicluri. Tipul unei n-permut˘ ari este lista [λ1 , λ2 , . . . , λn ] unde λi este num˘arul de cicluri de lungime i ˆın structura lui ciclic˘a. De exemplu, tipul lui 3, 5, 2, 4, 1, 6 = (1, 3, 2, 5)(4, 6) este [0, 1, 0, 1, 0, 0] deoarece are λ2 = 1 cicluri de lungime 2, ¸si λ4 = 1 cicluri de lungime 4. Compozit ¸ia permut˘ arilor
Permut˘arile sunt funct¸ii, iar funct¸iile pot fi compuse. Scriem π1 ◦ π 2 pentru compozit ¸ia permut˘ arilor π 1 ¸si π 2 . De exemplu, dac˘a π 1 = 2, 4, 3, 1 ¸si π 2 = 4, 3, 2, 1 atunci 1
2
3
4
1
2
3
4
π1 ◦ π2 = 2, 4, 3, 1 ◦ 4, 3, 2, 1 = 1, 3, 4, 2. ˆIn general, rezultatul unei compozit¸ii se calculeaz˘a astfel:
p1 , p2 , . . . , pn ◦ q 1 , q 2 , . . . , qn = pq , pq , . . . , pq . 1
2
n
Puterile π m unei n-permut˘ ari π pentru ˆıntregi ne-negativi m sunt definite
recursiv astfel:
• π0 = 1, 2, . . . , n = (1)(2) . . . (n)
(permutarea identitate)
• π1 = π a m > 1. • πm = π ◦ π m−1 dac˘ De exemplu, dac˘a π = 2, 3, 4, 1 = (1, 2, 3, 4) atunci:
• π0 = 1, 2, 3, 4 = (1)(2)(3)(4) • π1 = 2, 3, 4, 1 = (1, 2, 3, 4) • π2 = 3, 4, 1, 2 = (1, 3)(2, 4) • π3 = 4, 1, 2, 3 = (1, 4, 3, 2) • π4 = 1, 2, 3, 4 = π 0 ; ˆın general π m = π m mod 4 2
Grupuri de permut˘ ari
Un grup de permut˘ ari este o mult¸ime G de n-permut˘ ari cu propriet˘a¸tile urm˘ atoare: ˆ ınchidere: Dac˘ a a, b ∈ G atunci a ◦ b ∈ G. asociativitate: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c pentru tot¸i a, b, c ∈ G identitate: Exist˘ a e ∈ G astfel ˆıncˆat e ◦ a = a ◦ e = a pentru tot¸i a ∈ G. Elementul e se nume¸ste identitate au element neutru al lui G. invers˘ a: Pentru orice a ∈ G exist˘ a b ∈ G astfel ˆıncˆat a ◦ b = b ◦ a = e. Elementul b se nume¸ste inversul lui a.
Permut˘ ari ca simetrii Permut˘arile lui C n sunt simetrii care sunt rotat¸ii cu multipli de 360 ◦ /n ale unui poligon regulat cu n noduri. De exemplu, simetriile rotat¸ionale ale unui p˘atrat formeaz˘ a mult¸imea C 4 care poate fi ilustrat˘a astfel: 1
2
2
3
3
4
4
1
4
3
1
4
2
1
3
2
1 2 3 4 rotat¸ ie cu 0 ,
,
,
2 3 4 1 rotat¸ie cu 90 ,
◦
,
3 4 1 2 rotat¸ie cu 180
,
,
◦
,
,
◦
4 1 2 3 rotat¸ie cu 270 ,
,
,
◦
Permut˘arile grupului diedral D n sunt simetriile rotat¸ionale C n ale unui poligon regulat cu n noduri ˆımpreun˘a cu permut˘arile care descriu simetriile ˆın jurul tuturor axelor posibile de simetrie. E exemplu, D 4 poate fi ilustrat astfel: 1
2
2
3
3
4
4
1
4
3
1
4
2
1
3
2
(1)(2)(3)(4)
(1,2,3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4,3,2)
3
2
2
1
1
4
4
3
4
1
3
4
2
3
1
2
(1,3)(2)(4)
(1,4)(2,3)
(1)(3)(2,4)
3
(1,4),(2,3)
Set 1 de exercit ¸ii 1. Calculat¸i compozit¸iile urm˘atoare de permut˘ari: (a) 2, 3, 6, 5, 1, 4 ◦ 1, 6, 5, 4, 3, 2 (b) (2, 3, 6, 5, 1, 4) ◦ (1, 6, 5, 4, 3, 2) (c) (1, 2, 3, 4) ◦ (1, 2, 3, 4) 2. Cˆ ate elemente au grupurile ciclice determinate de permut˘arile urm˘atoare: (a) π1 = (1, 2, 6)(3, 5, 4)? (b) π2 = (1, 2)(3, 4, 5)(3, 7, 8, 9, 10)? (c) π3 = (1, 5)(2, 4)(3, 6, 7)? 3. Care sunt elementele grupului ciclic π dac˘a (a) π = (1, 3, 5, 4)(2, 6) (b) π = (1, 3, 4)(2, 5) 4. Calculat¸i inversele urm˘atoarelor permut˘ari: a) 2, 3, 5, 4, 1 c) (1)(2, 4, 6)(3, 7, 5)
b) (2, 3, 5, 4, 1)(6, 7, 8) d) 3, 2, 4, 1, 5, 8, 7, 6
5. Dac˘a π ∈ S n atunci π este un grup. 6. S˘ a se determine grupul de simetrii al vˆarfurilor unui cub 8 4
7 3
5 1
6 2
Observat ¸ ie: Problema aceasta se bazeaz˘a pe detect¸ia r˘ asucirilor cubului
care aduc nodurile sale ˆın acelea¸si pozit¸ii. 8 4
7 3
5 1
6 2
4
Aceste r˘asuciri formeaz˘a un grup de permut˘ari, care este grupul de simetrii al vˆarfurilor cubului: G = { (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8), (3)(5)(1, 8, 6)(2, 4, 7), (3)(5)(1, 6, 8)(2, 7, 4), (2)(8)(1, 3, 6)(4, 7, 5), (2)(8)(1, 6, 3)(4, 5, 7), (1)(7)(4, 5, 2)(3, 8, 6), (1)(7)(4, 2, 5)(3, 6, 8), (4)(6)(1, 3, 8)(2, 7, 5), (4)(6)(1, 8, 3)(2, 5, 7), (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7, 8), (1, 3)(2, 4)(5, 7)(6, 8), (4, 3, 2, 1)(8, 7, 6, 5), (1, 4, 8, 5)(2, 3, 7, 6), (1, 8)(4, 5)(2, 7)(3, 6), (5, 8, 4, 1)(6, 7, 3, 2), (3, 4, 8, 7)(2, 1, 5, 6), (3, 8)(4, 7)(2, 5)(1, 6), (7, 8, 4, 3)(6, 5, 1, 2), (3, 4)(5, 6)(1, 7)(2, 8) (4, 8)(2, 6)(1, 7)(3, 5) (8, 7)(1, 2)(3, 5)(4, 6) (1, 5)(3, 7)(2, 8)(4, 6) (1, 4)(6, 7)(2, 8)(3, 5) (2, 3)(5, 8)(4, 6)(1, 7) } G are 24 elemente. ( |G| = 24.) 7. Determinat¸i grupul de simetrii al nodurilor unui tetraedru regulat.
2
Color˘ ari. Rezumat al rezultator importante
O colorare a unei mult¸imi de n elemente { 1, 2, . . . , n} este o funct¸ie c : { 1, 2, . . . , n} → K unde K = {k1 , . . . , km } este o mult¸ime de m elemente pe care le numim culori .
• Fiecare colorare c poate fi reprezentat˘a ca o permutare cu repetit¸ie c(1), c(2) . . . , c(n). Exist˘ a m n color˘ ari diferite ale unei mult¸imi cu n elemente. De exemplu colorarea c : { 1, 2, 3, 4} → {r, g} care mapeaz˘a 1 → r, 2 → g, 3 → r, 4 → r este reprezentat˘a ca r,g,r,r.
• Pentru o n-permutare π ¸si o mult¸ime de color˘ari C , definim π ∗ : C → C astfel: π∗ (c) = c dac˘ a c (i) = c(π(i)). Deci π ∗ (c1 , . . . , cn ) = cπ (1) , cπ(2) , . . . , cπ(n) . De exemplu, dac˘a π = (1, 2, 3, 4) = 2, 3, 4, 1 atunci π∗ (r,g,r,r) = g,r,r,r. 5
Observat¸ii preliminare:
• Dac˘a G este un grup de permut˘ari atunci relat¸ia ∼ G definit˘a de c1 ∼ G c 2 dac˘a exist˘a π ∈ G astfel ˆıncˆat c 2 = π ∗ (c1 ) este o relat¸ie de echivalant¸a˘ pe mult¸imea C . Dac˘ a c1 ∼G c2 , spunem c˘a c1 ¸si c2 sunt echivalente (sau nediferent¸iabile ) ˆın raport cu G. De exemplu, mult¸imea
{g , g , g , r, g,g,r,g, g,r,g,g, r,g,g,g} este format˘a din color˘ari care sunt nediferent¸iabile ˆın raport cu C 4 .
• ˆIn general, vrem s˘a determin˘am cˆate color˘ari poti fi diferent¸iate de c˘atre un grup de permut˘ a ri. Acest num˘ar coincide cu num˘ arul claselor de echivalent¸a˘ determinate de relat¸ia de echivalent¸a˘ ∼ G . De acum ˆıncolo presupunem implicit c˘a:
• C este mult¸imea tuturor color˘arilor unei mult¸imi de n obiecte cu m culori. • G este un grup de permut˘ari.
Not ¸iuni auxiliare Dac˘a π ∈ G ¸si c ∈ C atunci Mult ¸imea invariant˘ a a lui π ˆın C este C π = { c ∈ C | π ∗ (c) = c }. Stabilizatorul lui c ˆın G este G c = { π ∈ G | π ∗ (c) = c }. Clasa de echivalent¸a ˘ a lui c ˆın raport cu relat¸ia ∼ G este c = { π∗ (c) | π ∈ G }. c¯ se nume¸ste ¸si orbita lui c ˆın raport cu act¸iunea grupului G. Rezultatul 1
|Gc | · | c| = | G| pentru tot¸i c ∈ C . c = {π ∗ (c) | π ∈ G}, exist˘a m Demonstrat ¸ ie: Fie c¯ = { c1 , . . . , cm }. Deoarece ¯ permut˘ ari distincte π1 , . . . , πm ∈ G astfel ˆıncˆat πi∗ (c) = c i . Fie P = {π1 , . . . , πm } ¸si f : P × Gc → G, f (πi , π) := πi ◦ π. Pentru a demonstra c˘a |Gc | · |c¯| = |G| este suficient de demonstrat c˘a f este bijectiv˘ a deoarece, ˆın acest caz, avem
|G| = | P × Gc | = | P | · |Gc | = m · |Gc | = | Gc | · m = | Gc | · | c¯|. Pentru a demonstra acest lucru, trebuie demonstrat c˘a pentru fiecare σ ∈ G exist˘a o singur˘a pereche de permut˘ari (πi , π) ∈ P × Gc astfel ˆıncˆat π i ◦ π = σ. 6
Fie σ ∈ G o permutare arbitrar˘a . Atunci σ∗ (c) = ci = πi∗ (c) pentru un 1 ≤ i ≤ m, deci (πi−1 ◦ σ)∗ (c) = (π−1 )∗ (σ∗ (c)) = π i∗ (ci ) = c, deci π i−1 ◦ σ ∈ G c . Prin urmare, putem alege π = πi−1 ◦ σ ∈ Gc ¸si πi ◦ π = πi ◦ (πi−1 ◦ σ) = (π1 ◦ πi−1 ) ◦ σ = σ. Apoi, trebuie demonstrat c˘a aceast˘a reprezentare a lui σ este unic˘a . Dac˘ a ∗ ∗ ∗ σ = π i ◦ π = π i ◦ π pentru (πi , π), (πj , π ) ∈ P × Gc atunci σ (c) = πi (π (c)) = πi∗ (c) = c i ¸si σ ∗ (c) = π j∗ (π ∗ (c)) = π j∗ (c) = c j , deci c i = c j ¸si prin urmare i = j. Rezult˘ a c˘ a π i = π j , de unde tragem concluzia c˘a π = π j−1 ◦ σ = π i−1 ◦ σ = π . A¸sadar, aceast˘a reprezentare a lui σ este unic˘a. Rezultatul 2: Lema lui Burnside
Fie N num˘arul de clase de echivalent¸a˘ ale lui ∼ G . Atunci 1 |G| π
N =
|C π |.
∈G
Demonstrat ¸ ie:
1 |G|
|C π | =
π ∈G
1 |G|
1 = |G| =
c
=
[π ∗ (c) = c] =
π ∈G c∈C
|Gc | =
c∈C
c∈c
c∈C
1 c
1 |G|
[π ∗ (c) = c]
c∈C π ∈G
1 c
1 = N.
c
Cum putem determina num˘ arul N al claselor de echivalent¸˘ a a lui ∼ G ?
Pentru a afla N , trebuie s˘a calcul˘am ¸si s˘a m˘ asur˘ am m˘arimile mult¸imilor invariante C π pentru π ∈ G. Cum putem determina num˘arul de elemente ale lui C π ˆın prezent¸a a m culori?
Dac˘a c este invariant sub act¸iunea lui π atunci toate obiectele permutate de c˘atre un ciclu al lui π trebuie s˘a aib˘a aceea¸si culoare.
Dac˘a π are k cicluri distincte, num˘arul de color˘ari invariante sub act¸iunea lui π este | C π | = m k , unde m este num˘arul de culori.
De exemplu
|C (1,2,3,4) | = m, | C (1,2)(3,4) | = m 2 , |C (1,3)(2)(4) | = m 3 ¸si | C (1)(2)(3)(4) | = m 4 .
7
Set 2 de exercit ¸ii 1. Cˆ ate color˘ari diferite cu 5 m˘argele pot fi formate folosind 3 tipuri diferite de m˘argele, dac˘a lu˘ am ˆın considerare: (a) Toate rotat¸iile ¸si simetriile ˆın jurul unei axe? (b) Doar rotat¸iile? (c) Doar o simetrie ˆın jurul unei axe? 2. S˘ a se indice simetriile configurat¸iei urm˘atoare
¸si s˘ a se calculeze num˘arul de color˘ari diferite ale acesteia cu (a) o culoare. (b) 2 culori. (c) 3 culori. 3. ˆIn cˆate feluri diferite putem colora fet¸ele unui cub cu (a) 2 culori? (b) 3 culori? Sugestie. Un cub are 6 fet¸e care pot fi distinse marcˆ andu-le cu numerele
de la 1 la 6, ˆın felul indicat ˆın figura urm˘ atoare. (Liniile punctate sunt axe care trec prin centrele fet¸elor opuse.) 1 5 2
4 3
6
Grupul G de simetrii al fet¸elor cubului const˘a din 6-permut˘arile urm˘atoare: (a) Permutarea identitate (1)(2)(3)(4)(5)(6). (b) Multipli de rotat¸ii de 90◦ ˆın jurul axelor punctate: 8
ˆIn jurul axei 1-6: . . . ˆIn jurul axei 2-4: . . . ˆIn jurul axei 3-5: (1, 4, 6, 2)(3)(5), (1, 6)(2, 4)(3)(5), (1, 2, 6, 4)(3)(5) (c) Multipli de rotat¸ii de 120◦ ˆın jurul axelor ce trec prin colt¸uri opuse ale cubului (Sunt 4 axe de acest tip): ... ... ... ... (d) Rotat¸ii de 180◦ ˆın jurul axelor prin mijloacele muchiilor opuse (sunt 6 axe de acest tip): (1, 2)(3, 5)(4, 6) (1, 5)(2, 4)(3, 6) (1, 4)(2, 6)(3, 6) (1, 3)(2, 4)(5, 6) (1, 6)(2, 3)(4, 5) (1, 6)(2, 5)(3, 4) ˆIn final, rezult˘a un grup de 24 elemente, ¸si aplic˘am lema lui Burnside.
2.1
Index ciclic
Presupunem c˘a x 1 , . . . , xn sunt n variabile distincte. Un monom este o expresie de forma p · x1 x2 . . . xn unde p este un num˘ar. 1
2
n
• Indexul ciclic al unui grup G este polinomul P G (x1 , x2 , . . . , xn )
P G (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
sum˘ a de monoame p · x11 x22 . . . xn
n
|G|
unde p is este num˘arul de permut˘ari din G care au 1 cicluri de lungime 1, 2 cicluri de lungime 2, ..., n cicluri de lungime n. Observat¸i c˘a 1 + 2 + . . . + n = n.
• Dac˘a π este o permutare cu i cicluri de lungime i pentru 1 ≤ i ≤ n atunci π∗ (c) = c dac˘a ¸si numai dac˘a fiecare ciclu al lui π are elementele colorate la fel ⇒ |C π | = m m . . . m 1
2
n
⇒ Lema lui Burnside spune c˘a N = P G (m , m , . . . , m).
9
2.2
Formula de num˘ arare a lui P´ olya
Aceast˘ a formul˘a este util˘a pentru rezolvarea problemelor de colorare de tipul urm˘ ator: S˘ a se determine num˘ arul a (n
ari distincte ˆın raport cu per,n ,...,n ) de color˘ mut˘ arile unui grup de simetrii G, dac˘a suntem constrˆan¸si s˘a folosim culoarea y 1 de exact n 1 ori, culoarea y 2 de exact n 2 ori, . . . , ¸si culoarea y m de exact n m ori. (Observat¸i c˘a n 1 + n2 + . . . + nm = n. 1
2
m
P´ olya a descoperit o formul˘a de calcul direct al polinomului F G (y1 , y2 , . . . , ym ) =
a(n
1
,...,n
n1 n2
m
) y1
n y2 . . . ym
m
n1 +n2 +...+n
m
Acest polinom se nume¸ste inventar de modele de colorare , iar formula de num˘arare a lui P´olya este
m
F G (y1 , y2 , . . . , ym ) = P G
m
yi ,
i=1
i=1
m
2
yi , . . . ,
yin .
i=1
Set 3 de exercit ¸ii 1. Cˆ ate zaruri distincte pot fi produse dac˘a se folosesc 3 culori pentru colorarea fet¸elor, ¸si fiecare culoare este folosit˘a pentru a colora 2 fet¸e? 2. Benzenul este o hidrocarbur˘a cu 6 atomi de carbon plasat¸i ˆın vˆarfurile unui hexagon regulat, ¸si 6 atomi de hidrogen, fiecare legat la cˆate un atom de carbon. Dou˘a molecule sunt izomeri dac˘a sunt formate din acela¸si num˘ar ¸si tip de atomi, dar au structuri diferite. (a) Cˆa¸t i izomeri se pot obt¸ine dac˘a se ˆınlocuiesc 2 atomi de hidrogen cu 2 atomi de clor ˆın benzen? (b) Cˆa¸t i izomeri se pot obt¸ine dac˘a ˆın molecula de benzen se ˆınlocuiesc 2 atomi de hidrogen cu 2 atomi de clor, ¸si alt¸i 2 atomi de hidrogen cu 2 atomi de brom? 3. Naftalina este o hidrocarbur˘a cu 10 atomi de carbon aranjat¸i ˆın o structur˘a dublu-hexagal˘ a ca ˆın figura de mai jos, ¸si 8 atomi de hidrogen legat¸i de atomii de carbon de la pozit¸iile marcate cu numerele de la 1 la 8.
10
(a) Naftolul se obt¸ine ˆınlocuind un atom de hidrogen cu un grup hydroxil (OH). Cˆ a¸t i izomeri de naftol se pot produce? (b) Tetrametilnaftalina se obt¸ine ˆınlocuind ˆın molecula de naftalin˘a 4 atomi de hidrogen cu grupuri de metil (CH 3 ). Cˆ a¸ti izomeri de tetramethylnaftalin˘ a se pot produc?
11
