Polinómio Interpolador de Lagrange.docx

- Polinómio Interpolador de Lagrange

Dados n+1 pontos dado por:

o polinómio de interpolação de Lagrange é

Assim, o polinómio de Lagrange toma a forma:

Exemplo: X f(x)

X0 f0

X1 f1

X2 f2

X3 f3

O polinómio de Lagrange pode ser utilizado para pontos irregularmente espaçados. Assim, para este caso a equação toma a seguinte forma:

É de notar que esta equação é formada por quatro pontos, no entanto, o grau do polinómio é de ordem três. No numerador, cada termo é constituído, como um produto de fatores lineares da forma omitindo um xi em cada termo. O valor omitido é usado para formar o denominador substituindo x em cada fator do numerador. Cada termo é multiplicado por fi correspondente ao xi omitido nos fatores do numerador. Para a formulação de polinómios de Lagrange de outras ordens seguese o mesmo esquema de raciocínio. A resolução aritmética deste processo é bastante vagarosa pelo que um programa computacional que implemente o método facilita esta tarefa. Uma interpolação polinomial quando passa pelos pontos usados na sua construção não fornece os valores corretos quando é usada para interpolação, pelo que é do nosso interesse avaliar o erro de interpolação.

em que pertence ao intervalo que contém . Esta expressão do erro é bastante interessante, mas não é de grande utilidade já que a função f é geralmente desconhecida e assim não é possível saber as (n+1) derivadas. No entanto, se se trata r de uma função ‘suave’ um polinómio de baixo grau adapta-se satisfatoriamente, por outro lado, uma função ‘não suave’ apresentará elevados erros de interpolação.