PLAXIS Versi 8 Manual Dasar Teori
DAFTAR ISI DAFTAR ISI
1
Pendahuluan........... Pendahuluan......................... ............................ ........................... ........................... ............................ ............................ .................1-1 ...1-1
2
Teori deformasi......................... deformasi....................................... ............................ ........................... ........................... ..........................2-1 ............2-1 2.1 Persamaan dasar dari dari deformasi kontinum ........................... ........................................ ................. ....2-1 2-1 2.2 Diskretisasi elemen hingga ........................... ......................................... ............................ ...........................2-2 .............2-2 2.3 Integrasi implisit dari model plastisitas diferensial....................... diferensial................................2-3 .........2-3 2.4 Prosedur iterasi global.......................... global........................................ ........................... ........................... .......................2-5 .........2-5
3
Teori Teori aliran aliran air tanah ........................... ......................................... ............................ ............................ ...........................3-1 .............3-1 3.1 Persamaan dasar dari aliran STATIS ........................... ......................................... ..........................3-1 ............3-1 3.2 Diskretisasi elemen hingga ........................... ......................................... ............................ ...........................3-2 .............3-2 3.3 Aliran dalam elemen antarmuka .......................... ........................................ ............................ ....................3-4 ......3-4
4
Teori konsolidasi...................... konsolidasi................................... ........................... ........................... ........................... ............................4-1 ..............4-1 4.1 Persamaan dasar dari konsolidasi .......................... ....................................... ........................... ................... .....4-1 4-1 4.2 Diskretisasi elemen hingga ........................... ......................................... ............................ ...........................4-2 .............4-2 4.3 Konsolidasi elastoplastis............. elastoplastis ........................... ........................... ........................... ............................ .................. ....4-4 4-4
5
Formulasi Formulasi elemen elemen .......................... ........................................ ........................... ........................... ........................... ......................5-1 .........5-1 5.1 Fungsi interpolasi untuk elemen garis.......................... garis........................................ ..........................5-1 ............5-1 5.2 Fungsi interpolasi untuk elemen segitiga .......................... ........................................ .....................5-3 .......5-3 5.3 Integrasi numeriK dari elemen garis ........................... ......................................... ...........................5-4 .............5-4 5.4 Integrasi numeriK dari elemen segitiga ........................... ........................................ ......................5-5 .........5-5 5.5 Turunan dari fungsi bentuk ........................... ......................................... ............................ ...........................5-6 .............5-6 5.6 Perhitungan matriks kekakuan elemen.................................... elemen................................................. ............... ..5-7 5-7
6
Referensi Referensi ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ...................6-1 .....6-1
Lampiran A - Proses perhitungan Lampiran B - Simbol
i
MANUAL DASAR TEORI
ii
PLAXIS Versi 8
PENDAHULUAN 1
PENDAHULUAN
Dalam Manual Dasar Teori ini diberikan latar belakang dari teori dan metode numerik yang menjadi dasar dari peogram PLAXIS. Manual ini memuat beberapa bab mengenai teori deformasi, teori aliran air tanah dan teori konsolidasi, serta formulasi elemen hingga yang berkaitan dan aturan integrasi untuk berbagai jenis elemen yang digunakan dalam PLAXIS. Dalam Lampiran A diberikan prosedur perhitungan secara global untuk analisis deformasi. Manual ini masih memiliki karakteristik dari edisi sebelumnya. Karena itu, manual ini belum lengkap dan akan dilengkapi di masa mendatang. Informasi lebih lanjut tentang latar belakang teori dan metode numerik dapat ditemukan dalam literatur yang diberikan dalam Bab 6. Untuk informasi yang mendetil mengenai tegangan, regangan, pemodelan konstitutif dan jenis model tanah yang digunakan dalam program P LAXIS, pembaca dapat mengacu pada Manual Model Material.
1-1
MANUAL DASAR TEORI
1-2
PLAXIS Versi 8
TEORI DEFORMASI 2
TEORI DEFORMASI
Dalam bab ini persamaan dasar untuk deformasi statis dari massa tanah diformulasikan dalam kerangka kerja mekanika kontinum. Pembatasan dilakukan pada deformasi yang dianggap kecil. Hal ini memungkinkan sebuah formulasi yang mengacu pada geometri awal yang belum terdeformasi. Deskripsi kontinum didiskretisasi menurut metode elemen hingga.
2.1 PERSAMAAN DASAR DARI DEFORMASI KONTINUM
Keseimbangan statis dari suatu kontinum dapat diformulasikan sebagai : LT σ + p = 0
(2.1)
Persamaan ini menghubungkan turunan ruang dari enam buah komponen tegangan, yang disusun dalam vektor σ , menjadi tiga buah komponen tegangan yang tersusun dalam vektor p vektor p.. LT adalah transpos dari operator diferensial, yang didefinisikan sebagai:
⎡∂ ⎢ ∂ x ⎢ LT = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢
0
0
∂ ∂ y
0
0
∂ ∂ z
∂ ∂ y ∂ ∂ x 0
∂ ⎤ ∂ z ⎥⎥ ∂ 0 ⎥ ⎥ ∂ z ∂ ∂ ⎥⎥ ∂ y ∂ x ⎦⎥ 0
(2.2)
Selain persamaan keseimbangan, hubungan kinematis dapat diformulasikan sebagai : ε = L ⋅ u
(2.3)
Persamaan ini menyatakan enam buah komponen regangan yang tersusun dalam vektor ε , seperti turunan ruang dari tiga buah komponen perpindahan yang tersusun dalam vektor u, dengan menggunakan operator diferensial L L yang telah didefinisikan sebelumnya. Hubungan antara Pers. (2.1) dan (2.3) dibentuk oleh hubungan konstitutif yang menyatakan perilaku material. Hubungan konstitutif, yaitu hubungan antara perubahan tegangan dan perubahan regangan, dibahas secara ekstensif dalam Manual Model Material. Hubungan tersebut secara umum diulangi disini untuk melengkapi :
& = M ⋅ ε & σ
(2.4)
Kombinasi Pers. (2.1), (2.3) dan (2.4) akan menghasilkan persamaan diferensial parsial ordo-dua untuk perpindahan u. Namun demikian tidak digunakan kombinasi secara langsung, melainkan persamaan keseimbangan tersebut diformulasikan kembali dalam "bentuk lemah" (weak (weak form) form) menurut prinsip variasi Galerkin (lihat juga Zienkiewicz, 1967) :
2-1
MANUAL DASAR TEORI uT ⋅ ( L LT ⋅ σ + p + p)) ⋅ dV = 0 ∫ δ u
(2.5)
Dalam formulasi ini δ u menyatakan variasi perpindahan yang secara kinematis dapat diterima (kinematically (kinematically admissible). admissible). Dengan menerapkan teorema Green untuk integrasi parsial pada suku pertama dalam Pers. (2.5) akan diperoleh : δ ε T ⋅ σ dV = ∫ δ u uT ⋅ p dV + ∫ δ u uT ⋅ t dS ∫ δ ε
(2.6)
Persamaan ini menerapkan batas integrasi dimana terdapat batas traksi. Ketiga komponen dari batas traksi disusun dalam vektor t . Pers. (2.6) disebut sebagai persamaan kerja virtual. virtual. Terbentuknya kondisi tegangan σ dapat dapat dianggap sebagai proses yang meningkat secara bertahap : σ i = σ i-1 +
Δσ
Δσ = ∫ σ & dt
(2.7)
Dalam hubungan ini, σ i menyatakan kondisi tegangan aktual yang tidak diketahui dan σ i-1 menyatakan kondisi tegangan sebelumnya yang telah diketahui. Peningkatan tegangan Δσ adalah perubahan tegangan yang diintegrasikan pada peningkatan waktu yang kecil. Jika Pers. (2.6) ditinjau sebagai kondisi aktual i, maka tegangan σ i yang tidak diketahui dapat dieliminasi dengan menggunakan Pers. (2.7) : i-1 δ ε T ⋅ Δσ dV = ∫ δ u δ ε T ⋅ σ i-1 uT ⋅ pi dV + ∫ δ u uT ⋅ t i dS – ∫ δ ε dV ∫ δ ε
(2.8)
Perlu diperhatikan bahwa seluruh besaran yang muncul dalam Pers. (2.1) hingga (2.8) merupakan fungsi dari posisi dalam ruang tiga dimensi.
2.2 DISKRETISASI ELEMEN HINGGA
Sesuai dengan metode elemen hingga, sebuah kontinum dibagi menjadi sejumlah elemen (volumetrik). Setiap elemen memiliki sejumlah titik nodal. Setiap titik nodal mempunyai sejumlah derajat kebebasan yang berkaitan dengan nilai diskret dari variabel yang tidak diketahui dalam permasalahan nilai batas yang akan diselesaikan. Dalam kasus teori deformasi ini, derajat kebebasan berkaitan dengan komponen perpindahan. Di dalam sebuah elemen, u diperoleh dari nilai diskret dari titik nodal dalam sebuah vektor v dengan fungsi interpolasi yang tersusun dalam matriks N matriks N : : u = N ⋅ v
(2.9)
Fungsi interpolasi dalam matriks N matriks N sering sering disebut sebagai fungsi bentuk. Substitusi dari Pers. (2.9) ke dalam hubungan kinematis (2.3) menghasilkan : ε = L ⋅ N ⋅ v = B ⋅ v
2-2
(2.10)
PLAXIS Versi 8
TEORI DEFORMASI Dalam hubungan ini, B ini, B adalah adalah matriks interpolasi regangan, yang memuat turunan ruang dari fungsi interpolasi. Pers. (2.9) dan (2.10) dapat digunakan dalam bentuk bervariasi, bentuk peningkatan maupun maupun bentuk perubahan. Pers. (2.8) sekarang dapat diformulasikan kembali dalam bentuk diskret berikut :
∫ ( B δ v) Δσ dV = ∫ ( N δ v) p dV + ∫ ( N δ v) T
i
T
T
i
∫(
)
T
i-1
t dS − B δ v σ dV (2.11)
Perpindahan diskret dapat ditempatkan di luar integral :
∫
T
T δ v B
Δσ
∫
∫
i
t
∫
dV = δ vT N T p dV + δ vT N T t dS − δ vT BT σ i-1 dV
(2.12)
Karena Pers. (2.12) berlaku untuk setiap variasi perpindahan yang secara kinematis dapat diterima, δ vT , persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :
∫
B
T
Δσ
∫
T
i
∫
T
∫
T
i i -1 dV = N p dV + N t dS − B σ dV
(2.13)
Persamaan di atas merupakan kondisi keseimbangan yang dielaborasi dalam bentuk diskret. Suku pertama di sebelah kanan bersama dengan suku kedua menyatakan vektor gaya eksternal saat ini, dan suku terakhir menyatakan vektor reaksi internal dari langkah sebelumnya. Perbedaan antara vektor gaya eksternal dan vektor reaksi internal harus diseimbangkan oleh sebuah peningkatan tegangan, Δσ . Hubungan antara peningkatan tegangan dan peningkatan regangan umumnya tidaklah linier. Karena itu, peningkatan regangan umumnya tidak dapat dihitung secara langsung, dan prosedur iterasi global diperlukan untuk memenuhi kondisi keseimbangan (2.13) untuk seluruh titik material. Prosedur iterasi global akan dibahas dalam Bab 2.4, dan perhatian pertama-tama akan akan dipusatkan pada integrasi tegangan (secara (secara lokal).
2.3 INTEGRASI IMPLISIT DARI MODEL PLASTISITAS DIFERENSIAL
Peningkatan tegangan, Δσ , diperoleh dengan mengintegrasi perubahan tegangan sesuai dengan Pers. (2.7). Untuk model plastisitas diferensial, peningkatan tegangan dapat dituliskan secara umum sebagai berikut : – Δε p) Δσ = De ⋅ (Δε –
(2.14)
Dalam hubungan ini De menyatakan matriks kekakuan elastis dari material untuk peningkatan tegangan saat ini. Peningkatan regangan Δε diperoleh dari peningkatan perpindahan Δv dengan menggunakan matriks interpolasi regangan B, B, serupa dengan matriks dalam Pers. (2.10). Untuk perilaku material yang elastis, peningkatan regangan plastis Δε p adalah nol. Sedangkan untuk perilaku material yang plastis, peningkatan regangan plastis dapat ditulis, menurut Vermeer (1979), sebagai berikut :
2-3
MANUAL DASAR TEORI i -1 i ⎡ ⎛ ∂ g ⎞ ⎛ ∂ g ⎞ ⎤ ⎟⎟ + ω ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ Δ ε = Δλ ⎢ ( 1 − ω ) ⋅ ⎜ ⎜ ⎢ ⎝ ∂σ ⎠ ⎝ ∂σ ⎠ ⎥⎦ ⎣ p
(2.15)
Dalam persamaan ini Δλ adalah peningkatan dari faktor pengali plastis dan ω adalah sebuah parameter yang mengindikasikan jenis integrasi waktu. Untuk ω = 0 integrasi disebut eksplisit dan untuk ω = = 1 integrasi disebut implisit. Vermeer (1979) telah menunjukkan bahwa penggunaan integrasi implisit (ω = 1) mempunyai beberapa kelebihan utama, karena integrasi ini mengatasi kebutuhan akan pembaharuan tegangan untuk bidang leleh dalam kasus transisi dari perilaku elastis ke plastis. Selain itu, dapat dibuktikan bahwa integrasi implisit, di bawah kondisi tertentu, akan menghasilkan matriks diferensial ∂ε / ∂σ yang simetris dan positif, yang berpengaruh baik bagi prosedur iterasi. Karena kelebihan-kelebihan utama ini, maka pembahasan disini akan dibatasi hanya pada integrasi implisit dan integrasi waktu jenis lainnya tidak akan disinggung. Karena itu, untuk ω = = 1 Pers. (2.15) dapat direduksi menjadi : i
⎛ ∂ g ⎞ p Δ ε = Δλ ⋅ ⎜ ⎜ ∂σ ⎟⎟ ⎝ ⎠
(2.16)
Substitusi Pers. (2.16) ke dalam Pers. (2.14) dan kemudian ke dalam Pers. (2.7) akan menghasilkan :
⎛ ∂ g ⎞ ⎟⎟ ⋅D ⋅ ⎜⎜ σ = σ – Δλ D σ ∂ ⎝ ⎠ i
tr
e
i
dengan :
i-1 + D + De⋅Δε σ tr = σ i-1
(2.17)
Dalam hubungan ini σ tr adalah vektor tegangan penolong, yang disebut sebagai tegangan elastis atau tegangan coba-coba, yang merupakan kondisi tegangan baru saat meninjau perilaku material yang murni linier elastis. Peningkatan dari faktor pengali plastis Δλ , seperti yang digunakan dalam Pers. (2.17), dapat diselesaikan dari kondisi dimana kondisi tegangan yang baru telah memenuhi kondisi leleh : f (σ i) = 0
(2.18)
Untuk model hardening yang plastis sempurna dan linier, peningkatan dari faktor pengali plastis dapat dapat dituliskan sebagai :
( ) tr
Δλ =
f σ
d + h
(2.19)
dimana :
2-4
PLAXIS Versi 8
TEORI DEFORMASI σ
⎛ ∂ f ⎞ ⎟⎟ d = ⎜⎜ σ ∂ ⎝ ⎠
tr
⎛ ∂ g ⎞ ⋅ D ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂σ ⎠
i
e
(2.20)
Simbol h menyatakan parameter hardening, yang bernilai nol untuk model plastis sempurna dan bersifat konstan untuk model hardening linier. Dalam kasus hardening linier, kondisi tegangan yang baru dapat diformulasikan sebagai :
( )
f σ
tr
i
⎛ ⎞ tr i ⋅ D ⋅ ⎜⎜ ∂ g ⎟⎟ σ = σ − d + h ⎝ ∂σ ⎠ e
(2.21)
Kurung "〈〉" disebut sebagai "kurung McCauley", yang memiliki perjanjian berikut : x〉 = 0 untuk x ≤ 0 〈 x
dan
x〉 = x x untuk x > 0 〈 x
2.4 PROSEDUR ITERASI GLOBAL
Substitusi dari hubungan antara peningkatan tegangan dan peningkatan regangan, yaitu = M ⋅ Δε , ke dalam Pers. (2.13) akan menghasilkan : Δσ = M i
i −1
ex
in
K i ⋅ Δvi = f – f
(2.22)
Dalam persamaan ini K adalah matriks kekakuan, Δv adalah vektor peningkatan perpindahan, f perpindahan, f ex dan f in ex adalah vektor gaya eksternal dan f in adalah vektor gaya internal. Notasi atas ( superscript ) i menyatakan nomor langkah. Namun, karena hubungan antara peningkatan tegangan dan peningkatan regangan umumnya adalah non-linier, maka matriks kekakuan tidak dapat diformulasikan secara eksak sebelumnya. Karena itu, prosedur iterasi global diperlukan untuk memenuhi baik kondisi keseimbangan maupun hubungan konstitutif. Proses iterasi global dapat dituliskan sebagai berikut : i
j −1
ex
in
K j ⋅ δ v j = f – f
(2.23)
Notasi-atas j j menyatakan nomor iterasi. δ v merupakan sebuah vektor yang memuat perpindahan sub-peningkatan ( sub-incremental sub-incremental displacements), displacements), yang memberikan kontribusi terhadap peningkatan perpindahan dari langkah i : n
Δv = ∑ δ v j i
j =1
(2.24)
dimana n adalah jumlah iterasi dalam langkah i. Matriks kekakuan K , seperti yang digunakan dalam Pers. (2.23), menyatakan perilaku material secara pendekatan. Semakin akurat matriks kekakuan, semakin sedikit jumlah iterasi yang diperlukan untuk mencapai keseimbangan dalam toleransi tertentu.
2-5
MANUAL DASAR TEORI Dalam bentuknya yang paling sederhana, K menyatakan respon linier elastis. Dalam kasus ini matriks kekakuan dapat diformulasikan sebagai : K = ∫ BT ⋅ De ⋅ B dV
(matriks kekakuan elastis)
(2.25)
dimana D dimana De adalah matriks kekakuan elastis dari material menurut hukum Hooke dan B dan B adalah matriks interpolasi regangan. Penggunaan matriks kekakuan elastis akan menghasilkan prosedur iterasi yang handal selama kekakuan material tidak meningkat, bahkan saat menggunakan model plastisitas yang tidak terasosiasi. Teknik khusus seperti kontrol panjang busur (Riks, 1979), relaksasi berlebih dan ekstrapolasi (Vermeer & Van Langen 1989) dapat digunakan untuk meningkatkan kinerja proses iterasi. Selain itu, prosedur peningkatan ukuran langkah otomatis, seperti diperkenalkan oleh Van Langen & Vermeer (1990), dapat digunakan untuk meningkatkan penggunaan aplikasi dalam praktek. Untuk model material dengan perilaku linier dalam daerah elastis, seperti model Mohr-Coulomb model Mohr-Coulomb standar, standar, penggunaan matriks kekakuan elastis secara khusus lebih diinginkan, karena matriks kekakuan hanya perlu untuk dibentuk dan didekomposisi sebelum langkah perhitungan pertama. Prosedur perhitungan ini dirangkum dalam Lampiran A.
2-6
PLAXIS Versi 8
TEORI ALIRAN AIR TANAH 3
TEORI ALIRAN AIR TANAH
Dalam bab ini akan dibahas teori dari aliran air tanah yang digunakan dalam PLAXIS. Sebagai tambahan terhadap penjelasan aliran tanah secara umum, pembahasan akan difokuskan pada formulasi elemen hingga.
3.1 PERSAMAAN DASAR DARI ALIRAN STATIS
Aliran dalam suatu media yang berpori dapat dijelaskan oleh hukum Darcy. Dengan meninjau aliran dalam suatu bidang x-y bidang x-y yang yang vertikal, berlaku persamaan berikut : q x = -k x ⋅
∂φ ∂
q y = -k y ⋅
∂φ ∂ y
(3.1)
Persamaan tersebut menyatakan bahwa debit spesifik, q, tergantung dari koefisien permeabilitas, k , dan gradien dari tinggi tekan air tanah. Tinggi tekan, φ , didefinisikan sebagai : p / γ w φ = y – p /
(3.2)
dimana y dimana y adalah adalah posisi atau elevasi vertikal, p adalah p adalah tegangan dalam air (fluida) pori (bernilai negatif untuk tekan) dan γ w adalah berat isi dari air pori. Pada aliran statis, kondisi yang berkesinambungan berlaku :
∂q x ∂q y = 0 + ∂ x ∂ y
(3.3)
Pers. (3.3) menyatakan bahwa tidak terdapat aliran yang masuk maupun keluar di dalam sebuah bidang elementer, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Ilustrasi dari kondisi kondisi yang berkesinambungan berkesinambungan (continuity (continuity condition) condition)
3-1
MANUAL DASAR TEORI 3.2
DISKRETISASI ELEMEN HINGGA
Tinggi tekan air tanah pada setiap elevasi di dalam sebuah elemen dapat dinyatakan dalam nilai pada titik nodal dari elemen tersebut : (ξ , η ) = N ⋅ φ e φ (
(3.4)
dimana N dimana N adalah adalah vektor dengan fungsi interpolasi dan ξ serta serta η adalah adalah koordinat lokal di dalam elemen. Sesuai Pers. (3.1), debit spesifik didasarkan pada gradien dari tinggi tekan air tanah. Gradien ini dapat ditentukan dengan menggunakan matriks B, B, yang mengandung turunan ruang dari fungsi interpolasi. Untuk menyatakan aliran pada tanah yang jenuh (di bawah garis freatik) maupun pada tanah tak jenuh (di atas garis freatik), sebuah fungsi reduksi K r diterapkan dalam hukum Darcy (Desai, 1976; Li & Desai, 1983; Bakker, 1989) : q x = - K K r ⋅ k x ⋅
∂φ ∂
q y = - K K r ⋅ k y ⋅
∂φ ∂ y
(3.5)
Fungsi reduksi mempunyai nilai sebesar 1 di bawah garis freatik (tegangan air pori bersifat kompresif atau tekan) dan mempunyai nilai yang lebih rendah di atas garis freatik (tegangan air pori bersifat tarik). Dalam zona transisi di atas garis freatik, nilai dari fungsi semakin berkuran hingga mencapai nilai minimum sebesar 10-4. Dalam zona transisi, fungsi dinyatakan dengan menggunakan hubungan logaritma-linier berikut : K r = 10
−4 h / hk
10-4
≤ K r ≤ 1
atau log ( K K r ) = – [4⋅h / hk ]
10
(3.6)
dimana h adalah tinggi tekan tekanan dan hk adalah tinggi tekan tekanan dimana fungsi reduksi telah mencapai nilai minimum sebesar 10-4. Dalam PLAXIS, hk mempunyai nilai pra-pilih sebesar 0.7 m (tidak tergantung dari satuan panjang yang dipilih). Dalam formulasi numerik, debit spesifik, q , dituliskan sebagai : K r ⋅ R ⋅ B ⋅ φ e q = - K
(3.7)
dimana :
⎡ q x ⎤ q = ⎢ ⎥ ⎢⎣q y ⎥⎦
3-2
dan
⎡k x 0 ⎤ ⎥ R = ⎢ 0 ⎢⎣ k y ⎥⎦
(3.8)
PLAXIS Versi 8
TEORI ALIRAN AIR TANAH
1
0.1
0.01
) g o l ( r K
0.001
0.0001
0.00001 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
h/hk
(a)
1
0.8
0.6 r K
0.4
0.2
0 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
h/hk
(b) Gambar 3.2 Penyesuaian permeabilitas permeabilitas di antara zona (a) (a) jenuh dan (b) tak jenuh r ( K K = rasio dari permeabilitas terhadap permeabilitas jenuh)
3-3
MANUAL DASAR TEORI e
Dari debit spesifik dalam titik integrasi, q , debit pada titik nodal Q dapat diintegrasikan sesuai dengan : Q
e
= -∫ BT ⋅ q
⋅ dV
(3.9)
dimana BT adalah transpos dari matriks B. Pada tingkat elemen, berlaku persamaan berikut : Q
e
= K e ⋅ φ e
dengan
K e = ∫ K r ⋅ BT ⋅ R ⋅ B dV
(3.10)
Pada tingkat global, kontribusi dari seluruh elemen ditambahkan dan kondisi batas (baik pada tinggi tekan air tanah ataupun pada debit) diterapkan. Hal ini menghasilkan sejumlah n buah persamaan dengan n buah variabel yang tidak diketahui : Q = K ⋅ φ
(3.11)
dimana K adalah matriks aliran global dan Q memuat debit yang ditentukan yang diberikan oleh kondisi batas. Dalam kasus garis freatik tidak diketahui (permasalahan aliran tak terkekang), digunakan metode Picard untuk menyelesaikan sistem persamaan secara iteratif. Bagian yang linier diselesaikan dalam bentuk peningkatan (incremental ( incremental form) form) dan proses iterasi dapat diformulasikan sebagai : j-1 j-1 j-1 – K j-1 K j-1 ⋅ δφ j = Q – K ⋅ φ j-1
j-1 + δφ j φ j = φ j-1
(3.12)
dimana j j adalah nomor iterasi dan r adalah vektor tak seimbang (unbalance (unbalance vector ). ). Dalam setiap iterasi, peningkatan tinggi tekan air tanah dihitung dari ketidakseimbangan dalam debit pada titik nodal dan ditambahkan pada tinggi tekan aktif. Dari distribusi tinggi tekan air tanah yang baru, debit spesifik dihitung dengan menggunakan Pers. (3.7), yang dapat diintegrasikan kembali ke dalam debit pada titik nodal. Proses ini dilanjutkan hingga norma atau panjang dari vektor tak seimbang, yaitu kesalahan dalam debit pada titik nodal, lebih kecil daripada kesalahan yang ditoleransi.
3.3
ALIRAN DALAM ELEMEN ANTARMUKA
Elemen antarmuka diperlakukan secara khusus dalam perhitungan air tanah. Elemenelemen ini dapat diaktifkan maupun dinonaktifkan. Saat elemen dinonaktifkan, terjadi hubungan penuh terhadap derajat kebebasan tekanan air pori. Saat elemen antarmuka diaktifkan, maka tidak terjadi aliran dari sisi elemen antarmuka ke sisi lainnya (saringan kedap air).
3-4
PLAXIS Versi 8
TEORI KONSOLIDASI 4
TEORI KONSOLIDASI
Dalam bab ini akan ditinjau teori konsolidasi yang digunakan dalam PLAXIS. Selain deskripsi umum dari teori Biot untuk konsolidasi terhubung (coupled (coupled consolidation), consolidation), perhatian difokuskan pada model tanah tingkat lanjut dalam analisis konsolidasi (konsolidasi elastoplastis).
4.1
PERSAMAAN DASAR DARI KONSOLIDASI
Persamaan pengatur ( governing governing equation) equation) dari konsolidasi yang digunakan dalam PLAXIS mengikuti teori Biot (Biot, 1956). Hukum Darcy untuk aliran fluida dan perilaku elastis dari butiran tanah juga digunakan dalam asumsi. Formulasi didasarkan pada teori regangan kecil. Menurut prinsip dari Terzaghi, tegangan dibedakan menjadi tegangan efektif dan tekanan air pori : σ = σ ′ + m ⋅ ( p p stabil + p + pberlebih)
(4.1)
σ = (σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx )T dan m = (1 1 1 0 0 0) T
(4.2)
dimana :
σ adalah adalah vektor tegangan total, σ ′ memuat tegangan efektif, pberlebih adalah tekanan air pori berlebih dan m adalah vektor yang berisi nilai satu untuk komponen tegangan normal dan nol untuk komponen tegangan geser. Solusi statis ( steady state solution) solution) pada akhir dari proses konsolidasi dinotasikan sebagai p stabil . Di dalam P LAXIS, p stabil didefinisikan sebagai : p stabil = Σ Mweight ⋅ pmasukan
(4.3)
dimana pmasukan adalah tekanan air pori yang dihitung dalam program masukan berdasarkan garis freatik atau berdasarkan perhitungan aliran air tanah. Perhatikan bahwa di dalam P LAXIS tegangan yang bersifat kompresif atau tekan dianggap negatif, dan berlaku juga terhadap tegangan efektif maupun tekanan t ekanan air pori. Pada kenyataannya, akan lebih tepat untuk menggolongkan p menggolongkan pberlebih dan p dan p stabil sebagai tegangan pori daripada tekanan. Namun demikian, istilah tekanan air pori tetap digunakan, walaupun akan mempunyai nilai positif untuk tegangan tarik. Persamaan konstitutif dituliskan dalam bentuk peningkatan. Dengan menotasikan &' dan peningkatan regangan sebagai ε & , maka peningkatan tegangan efektif sebagai σ persamaan konstitutif adalah adalah :
&' = M ⋅ ε & σ
(4.4)
& xx ε & yy ε & zz γ & xy γ & yz γ & zx )T ε & = ( ε
(4.5)
dimana :
4-1
MANUAL DASAR TEORI dan M dan M menyatakan menyatakan matriks kekakuan material.
4.2
DISKRETISASI ELEMEN HINGGA
Untuk menerapkan pendekatan elemen hingga, digunakan notasi standar berikut : u = N ⋅ v
p = N ⋅ p
n
ε = B ⋅ v
(4.6)
dimana v adalah vektor perpindahan titik nodal, pn adalah vektor tekanan air pori, u adalah vektor perpindahan menerus (continuous (continuous displacement vector ) di dalam sebuah elemen dan p p adalah tekanan air pori (berlebih). Matriks N memuat fungsi interpolasi dan B dan B adalah adalah matriks interpolasi regangan. Secara umum fungsi interpolasi untuk perpindahan dapat berbeda dari fungsi interpolasi untuk tekanan air pori. Dalam P LAXIS, namun demikian, fungsi yang sama digunakan untuk perpindahan dan tekanan air pori. Dimulai dari persamaan peningkatan keseimbangan (incremental (incremental equilibrium equation) equation) dan dengan menerapkan pendekatan elemen hingga di atas, akan diperoleh : σ dV = ∫ N T df dV + ∫ N T dt dS + r 0 ∫ BT d σ
(4.7)
r 0 = ∫ N T ⋅ f 0 dV + ∫ N T ⋅ t 0 dS – ∫ BT σ 0 dV
(4.8)
dengan :
dimana f adalah gaya massa (body (body force) force) akibat berat sendiri dan t menyatakan menyatakan traksi permukaan. Secara umum vektor gaya residual, r 0, akan bernilai nol, tetapi solusi dari langkah beban sebelumnya mungkin tidaklah akurat. Dengan menambahkan vektor gaya residual maka prosedur perhitungan akan dapat melakukan koreksi dengan sendirinya. Suku dV mengindikasikan integrasi terhadap volume dari massa (body ( body)) yang ditinjau dan dS mengindikasikan mengindikasikan integrasi permukaan. Dengan memisahkan tegangan total menjadi tekanan air pori dan tegangan efektif, serta dengan menerapkan hubungan konstitutif, maka akan dihasilkan persamaan keseimbangan titik nodal : K dv K dv + L d p
n
= df n
(4.9)
dimana K dimana K adalah adalah matriks kekakuan, L kekakuan, L adalah adalah matriks penghubung dan df n adalah vektor peningkatan beban :
4-2
K = ∫ BT ⋅ M ⋅ B dV
(4.10a)
L = ∫ BT ⋅ m ⋅ N dV
(4.10b)
df n = ∫ N T df dV df dV + ∫ N T dt dS dt dS
(4.10c)
PLAXIS Versi 8
TEORI KONSOLIDASI Untuk melakukan formulasi permasalahan aliran, digunakan persamaan kontinuitas (continuity equation) equation) dalam bentuk berikut : (γ w ⋅ y – y – p p stabil – p – p)) / γ w – mT ⋅ ∇T R ∇ (γ
∂ε ∂ p + n / K / K w ⋅ = 0 ∂t ∂t
(4.11)
dimana R dimana R adalah adalah matriks permeabilitas :
⎡k x 0 ⎤ ⎥ R = ⎢ 0 ⎢⎣ k y ⎥⎦
(4.12)
dan n adalah porositas, K w adalah modulus bulk dari fluida dalam pori dan γ w adalah berat isi dari fluida dalam pori. Persamaan kontinuitas ini mengikutsertakan perjanjian tanda bahwa p bahwa p stabil dan p dan p dianggap dianggap positif untuk tegangan tarik. Karena solusi statis ( steady state) state) didefinisikan oleh persamaan : (γ w ⋅ y – y – p p stabil ) / γ w = 0 ∇T R ∇ (γ
(4.13)
maka persamaan kontinuitas mempunyai bentuk berikut :
∇T R ∇ p / γ w + mT ⋅
∂ε ∂ p – n / K / K w ⋅ = 0 ∂t ∂t
(4.14)
Dengan menerapkan diskretisasi elemen hingga dengan menggunakan prosedur Galerkin dan mengikutsertakan kondisi batas yang ditentukan akan diperoleh : - H H ⋅ p
n
+ L
T
⋅
d v dt
– S ⋅
d p n dt
= q
(4.15)
dimana : H = ∫ (∇ N )T ⋅ R ⋅ ∇ N / / γ w dV
S =
/ K w ⋅ N T N dV N dV ∫ n / K
(4.16)
dan q adalah suatu vektor yang berkaitan dengan aliran keluar yang ditentukan pada daerah batas. Namun dalam PLAXIS Versi 8 tidak dimungkinkan untuk mempunyai batas dengan aliran keluar tertentu yang tidak nol. Batas selalu tertutup atau terbuka dengan tekanan air pori berlebih nol. Karena itu q = 0. Dalam kenyataan, modulus bulk dari air sangat tinggi sehingga kompresibilitas dari air dapat diabaikan jika dibandingkan dengan kompresibilitas tanah. Dalam PLAXIS, modulus bulk dari fluida dalam pori dihitung secara otomatis menurut persamaan (lihat juga Manual Manual Acuan) berikut : K w / n =
3 ⋅ (ν u −ν )
(1 − 2 ⋅ν u ) ⋅ (1+ν )
⋅ K skeleton
(4.17)
4-3
MANUAL DASAR TEORI dimana ν u mempunyai nilai pra-pilih 0.495. Nilai ini dapat diubah dalam program Masukan berdasarkan parameter B dari Skempton. Untuk material terdrainase dan material yang baru saja diaktifkan, modulus bulk fluida dalam pori diabaikan. Persamaan keseimbangan dan kontinuitas dapat dinyatakan dalam suatu blok persamaan matriks berikut :
⎡ d v ⎡ K L ⎤ ⎢ dt ⎢ ⎥⋅⎢ ⎢ T − S ⎥ ⎢ ⎢⎣ L ⎥⎦ ⎢ d p n ⎢ ⎣ dt
⎤ ⎡ d f n ⎤ ⎥ v ⎡ ⎤ 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ dt ⎢ ⎥ = + ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 H ⎢ ⎥ p ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ n⎦ ⎢ ⎥ ⎥ q ⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥ ⎦
(4.18)
Sebuah prosedur integrasi lengkah-demi-langkah yang sederhana digunakan utnuk menyelesaikan persamaan ini. Dengan menggunakan simbol Δ untuk notasi peningkatan tertentu ( finite finite increments), increments), integrasi akan menghasilkan :
⎡ K L ⎢ ⎢ T * ⎢⎣ L − S
⎤ ⎡ Δv ⎤ ⎡0 ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢Δ p ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ n⎦
⎤ ⎥ Δt ⋅ H ⎥ ⎦ 0
⎡ v 0 ⎤ ⎡ Δ f n ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎢ *⎥ ⎢ p ⎥ Δ ⋅ t q ⎣ n0⎦ ⎢⎣ n⎥ ⎦
(4.19)
+ α ⋅ Δ q
(4.20)
dimana : *
S * = α ⋅ Δt ⋅ H + S
q
n
= q
n0
n
dan v0 serta pn0 menyatakan nilai-nilai pada awal dimulainya sebuah langkah waktu. Parameter α adalah koefisien integrasi waktu. Pada umumnya, koefisien integrasi α dapat bernilai dari 0 hingga 1. Dalam PLAXIS digunakan kondisi implisit penuh dengan nilai α = = 1.
4.3
KONSOLIDASI ELASTOPLASTIS ELASTOPLASTIS
Pada umumnya, saat model material yang non-linier digunakan, diperlukan iterasi untuk mendapatkan solusi yang benar. Akibat terjadinya plastisitas atau perilaku kekakuan yang bergantung pada tegangan, persamaan keseimbangan tidak perlu dipenuhi dengan menggunakan teknik yang dijelaskan sebelumnya. Karena itu, persamaan keseimbangan diperiksa disini. Pers. (4.9) yang merupakan persamaan keseimbangan tidak digunakan, melainkan dituliskan dalam bentuk sub-peningkatan ( sub-incremental sub-incremental form form) berikut : K ⋅ δ ⋅ v + L ⋅ δ ⋅ p
n
= r n
(4.21)
dimana r n adalah vektor gaya residual. Peningkatan perpindahan total Δv adalah penjumlahan dari sub-peningkatan sub-peningkatan δ v dari seluruh iterasi dalam langkah saat ini :
4-4
PLAXIS Versi 8
TEORI KONSOLIDASI r n = ∫ N T ⋅ f dV + ∫ N T ⋅ t dS t dS – ∫ BT ⋅ σ dV
(4.22)
dengan : f = f 0 + Δ f
dan
t = t 0 +
Δt
(4.23)
Dalam integrasi pertama dianggap bahwa σ = = σ 0, yaitu tegangan pada awal dimulainya suatu langkah. Iterasi selanjutnya digunakan berdasarkan tegangan saat ini yang dihitung dari model konstitutif yang digunakan.
4-5
MANUAL DASAR TEORI
4-6
PLAXIS Versi 8
FORMULASI ELEMEN 5
FORMULASI ELEMEN
Dalam bab ini fungsi interpolasi dari elemen hingga yang digunakan dalam PLAXIS akan dijelaskan. Setiap elemen memuat sejumlah titik nodal. Setiap titik nodal mempunyai sejumlah derajat kebebasan yang berkaitan dengan nilai diskret dari parameter yang tidak diketahui dalam permasalahan nilai batas batas yang akan diselesaikan. diselesaikan. Pada kasus teori deformasi, derajat kebebasan berkaitan dengan komponen perpindahan, sedangkan dalam kasus aliran air tanah derajat kebebasan adalah tinggi tekan air tanah. Untuk permasalahan konsolidasi, derajat kebebasan berkaitan baik dengan komponen perpindahan dan tekanan air pori (berlebih). Selain penjelasan fungsi interpolasi, dibahas pula jenis integrasi numerik terhadap elemen yang digunakan dalam PLAXIS.
5.1
FUNGSI INTERPOLASI UNTUK ELEMEN GARIS
Dalam sebuah elemen, perpindahan u = (u (u x u y)T diperoleh dari nilai diskret titik nodal dalam sebuah vektor v = (v (v1 v2 … vn)T dengan menggunakan fungsi interpolasi yang disusun dalam matriks N matriks N : : u = N ⋅ v
(5.1)
Karena itu, fungsi interpolasi N digunakan digunakan untuk melakukan interpolasi nilai di dalam sebuah elemen berdasarkan nilai-nilai yang diketahui pada titik-titik nodalnya. Fungsi interpolasi juga dinotasikan sebagai fungsi bentuk. Pertama, mari kita tinjau sebuah elemen garis. Elemen garis adalah basis dari elemen geogrid, elemen pelat dan beban merata. Saat posisi lokal, ξ , dari sebuah titik (umumnya merupakan sebuah titik tegangan atau sebuah titik integrasi) yang telah diketahui, komponen perpindahan u dapat dituliskan sebagai : n
u(ξ ) =
∑ N i(ξ ) ⋅ vi
i =1
(5.2)
dimana : vi
=
nilai titik nodal,
N i(ξ )
=
nilai dari fungsi bentuk pada titik nodal i pada posisi ξ ,
u(ξ )
=
nilai hasil pada posisi ξ dan dan
n
=
jumlah titik nodal pada tiap elemen.
5-1
MANUAL DASAR TEORI
Gambar 5.1 Fungsi bentuk untuk elemen elemen garis dengan 3 buah titik nodal Dalam grafik diatas, diberikan sebuah contoh dari elemen garis dengan 3 buah titik nodal, yang kompatibel terhadap elemen segitiga dengan 6 buah titik nodal dalam PLAXIS, karena segitiga dengan 6 buah titik nodal memiliki tiga buah titik nodal pada tiap sisinya. Fungsi bentuk N i memiliki sifat sedemikian rupa sehingga fungsi tersebut bernilai satu pada titik nodal i dan bernilai nol pada titik nodal lainnya. Untuk elemen garis dengan 3 buah titik nodal, dimana titik nodal 1, 2 dan 3 masing-masing berada pada ξ = = -1, 0 dan 1, fungsi bentuk diberikan sebagai berikut : N 1
=
-½ ⋅ (1 – ξ ) ⋅ ξ
N 2
=
(1 + ξ ) ⋅ (1 – ξ )
N 3
=
½ ⋅ (1 + ξ ) ⋅ ξ
(5.3)
Gambar 5.2 Fungsi bentuk untuk elemen elemen garis dengan 5 buah titik nodal
5-2
PLAXIS Versi 8
FORMULASI ELEMEN Saat menggunakan elemen segitiga dengan 15 buah titik nodal, terdapat lima buah titik nodal pada setiap sisinya. Untuk elemen garis dengan 5 buah titik nodal, dimana titik nodal 1 hingga 5 masing-masing berada pada ξ = -1, -½, 0, ½ dan 1, fungsi bentuk adalah :
5.2
N 1
=
-(1 – ξ ) ⋅ (1 – 2⋅ξ ) ⋅ ξ ⋅ (-1 – 2⋅ξ ) / 6
N 2
=
4 ⋅ (1 – ξ ) ⋅ (1 – 2⋅ξ ) ⋅ ξ ⋅ (-1 – ξ ) / 3
N 3
=
(1 – ξ ) ⋅ (1 – 2⋅ξ ) ⋅ (-1 – 2⋅ξ ) ⋅ (-1 – ξ )
N 4
=
4 ⋅ (1 – ξ ) ⋅ ξ ⋅ (-1 – 2⋅ξ ) ⋅ (-1 – ξ ) / 3
N 5
=
(1 – 2⋅ξ ) ⋅ ξ ⋅ (-1 – 2⋅ξ ) ⋅ (-1 – ξ ) / 6
(5.4)
FUNGSI INTERPOLASI UNTUK ELEMEN SEGITIGA
Untuk elemen segitiga terdapat dua buah koordinat (ξ ( ξ dan dan η ). ). Selain itu digunakan juga koordinat penolong ζ = 1 – ξ – η . Untuk elemen segitiga dengan 15 buah titik nodal, fungsi bentuk dapat dituliskan sebagai berikut (lihat penomoran lokal dari titik nodal yang ditunjukkan dalam Gambar 5.3) : N 1
=
ζ ⋅ (4⋅ζ – ζ – 3) / 6 – 1) ⋅ (4⋅ζ – – 2) ⋅ (4⋅ζ –
N 2
=
ξ ⋅ (4⋅ξ – – 1) ⋅ (4⋅ξ – – 2) ⋅ (4⋅ξ – – 3) / 6
N 3
=
η ⋅ (4⋅η – – 1) ⋅ (4⋅η – – 2) ⋅ (4⋅η – – 3) / 6
N 4
=
4 ⋅ ζ ⋅ ξ ⋅ (4⋅ζ – – 1) ⋅ (4⋅ξ – – 1)
N 5
=
4 ⋅ ξ ⋅ η ⋅ (4⋅ξ – – 1) ⋅ (4⋅η – – 1)
N 6
=
4 ⋅ η ⋅ ζ ⋅ (4⋅η – – 1) ⋅ (4⋅ζ – – 1)
N 7
=
– 1) ⋅ (4⋅ζ – – 2) ⋅ 8/3 ξ ⋅ ζ ⋅ (4⋅ζ –
N 8
=
ζ ⋅ ξ ⋅ (4⋅ξ – – 1) ⋅ (4⋅ξ – – 2) ⋅ 8/3
N 9
=
η ⋅ ξ ⋅ (4⋅ξ – – 1) ⋅ (4⋅ξ – – 2) ⋅ 8/3
N 10 10
=
ξ ⋅ η ⋅ (4⋅η – – 1) ⋅ (4⋅η – – 2) ⋅ 8/3
N 11 11
=
ζ ⋅ η ⋅ (4⋅η – – 1) ⋅ (4⋅η – – 2) ⋅ 8/3
N 12 12
=
η ⋅ ζ ⋅ (4⋅ζ – – 1) ⋅ (4⋅ζ – – 2) ⋅ 8/3
N 13 13
=
32 ⋅ η ⋅ ξ ⋅ ζ ⋅ (4⋅ζ – – 1)
N 14 14
=
32 ⋅ η ⋅ ξ ⋅ ζ ⋅ (4⋅ξ – – 1)
N 15 15
=
32 ⋅ η ⋅ ξ ⋅ ζ ⋅ (4⋅η – – 1)
(5.5)
5-3
MANUAL DASAR TEORI
Gambar 5.3 Penomoran lokal dan penempatan posisi titik titik nodal Serupa dengan fungsi di atas, untuk elemen dengan 6 buah titik nodal fungsi bentuk adalah sebagai berikut :
5.3
N 1
=
ζ ⋅ (2⋅ζ – ζ – 1)
N 2
=
ξ ⋅ (2⋅ξ – – 1)
N 3
=
– 1) η ⋅ (2⋅η –
N 4
=
4 ⋅ ζ ⋅ ξ
N 5
=
4 ⋅ ξ ⋅ η
N 6
=
4 ⋅ η ⋅ ζ
(5.6)
INTEGRASI NUMERIK DARI ELEMEN GARIS
Untuk memperoleh integral dari suatu garis atau bidang tertentu, integral secara numerik diestimasi sebagai berikut : 1
k
∫ F (ξ ) d ξ ≈ ∑ F (ξ )⋅ w i
ξ = −1
i
(5.7)
i=1
dimana F dimana F (ξ i) adalah nilai dari fungsi F fungsi F pada pada posisi ξ i, dan wi adalah faktor bobot untuk titik i. Digunakan total sebanyak k titik sampel. Dua buah metode sering digunakan dalam PLAXIS, pertama adalah integrasi Newton-Cotes, dimana titik-titik ξ i dipilih pada posisi dari titik nodal, dan kedua adalah integrasi Gauss, dimana jumlah titik yang lebih sedikit pada lokasi khusus dapat digunakan untuk memperoleh akurasi yang tinggi. Posisi dan faktor bobot dari kedua jenis integrasi ini masing-masing diberikan dalam Tabel 5.1 dan Tabel 5.2. Perhatikan bahwa jumlah dari faktor bobot adalah sebesar 2.
5-4
PLAXIS Versi 8
FORMULASI ELEMEN Tabel 5.1 Integrasi Newton-Cotes 2 titik nodal 3 titik nodal 4 titik nodal 5 titik nodal
ξ i ±1 ±1, 0 ±1, ±1/3 ±1, ±1/2, 0
wi 1 1/3, 4/3 1/4, 3/4 7/45, 32/45, 12/45
Tabel 5.2 Integrasi Gauss 1 titik 2 titik 3 titik 4 titik 5 titik
ξ i 0.000000… ±0.57735…(±1/√3) ±0.774596…(±√0.6) 0.000000… ±0.861136… ±0.339981… ±0.906179… ±0.538469… 0.000000…
wi 2 1 0.55555…(5/9) 0.88888…(8/9) 0.347854… 0.652145… 0.236926… 0.478628… 0.568888…
Dengan menggunakan integrasi Newton-Cotes, dapat diperoleh hasil integrasi secara eksak dari fungsi polinomial dengan satu ordo lebih rendah dari jumlah titik yang digunakan. Untuk integrasi Gauss, sebuah fungsi polinomial dengan derajat 2⋅k – – 1 dapat diintegrasikan secara eksak dengan menggunakan k buah buah titik. Untuk elemen antarmuka dan elemen geogrid, PLAXIS menggunakan integrasi NewtonCotes, sedangkan untuk elemen balok dan integrasi dari beban pada batas digunakan integrasi Gauss.
5.4
INTEGRASI NUMERIK DARI ELEMEN SEGITIGA
Seperti pada elemen garis, integrasi numerik dapat diformulasikan terhadap elemen segitiga sebagai berikut : k
ξ d η η ≈ ∑ F (ξ i, η i) ⋅ wi ∫∫ F (ξ , η ) d ξ d i =1
(5.8)
PLAXIS menggunakan integrasi Gauss untuk elemen segitiga. Untuk elemen dengan 6 buah titik nodal, integrasi didasarkan pada 3 buah titik sampel, sedangkan untuk elemen dengan 15 buah titik nodal, digunakan 12 buah titik sampel. Posisi dan faktor bobot dari titik integrasi diberikan dalam Tabel 5.3 dan 5.4. Perhatikan bahwa, berbeda dengan elemen garis, jumlah dari faktor bobot adalah 1.
5-5
MANUAL DASAR TEORI Tabel 5.3 Integrasi 3-titik untuk elemen dengan 6 titik nodal Titik 1, 2 & 3
ξ i 1/6
η i 1/6
ζ i 2/3
wi 1/3
Tabel 5.4 Integrasi 12-titik untuk elemen dengan 15 titik nodal Titik 1, 2 & 3 4..6 7..12 5.5
ξ i 0.063089… 0.249286… 0.310352…
η i 0.063089… 0.249286… 0.053145…
ζ i 0.873821… 0.501426… 0.636502…
wi 0.050845… 0.116786… .082851…
TURUNAN DARI FUNGSI BENTUK
Untuk menghitung komponen regangan Cartesius dari perpindahan, seperti yang diformulasikan dalam Pers. (2.10), turunan perlu diperhitungkan terhadap sistem sumbu global ( x, x, y, y, z ). ). ε = Bi ⋅ vi
(5.9)
dimana :
⎡ ∂ N i ⎢ ∂ x ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 B = ⎢ i ⎢ ∂ N i ⎢ ∂ y ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ N i ⎢ ⎣ ∂ z
0
∂ N i ∂ y 0
∂ N i ∂ x ∂ N i ∂ z 0
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂ N i ⎥ ⎥ ∂ z ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂ N i ⎥⎥ ∂ y ⎥ ∂ N i ⎥ ⎥ ∂ x ⎦ 0
(5.10)
ξ , η , ζ ). Di dalam elemen, turunan dihitung sesuai sistem koordinat lokal ((ξ ). Hubungan antara turunan lokal dan global melibatkan matriks Jacobi, J Jacobi, J : :
⎡ ∂ N i ⎤ ⎡ ∂ x ⎢ ∂ξ ⎥ ⎢ ∂ξ ⎢ ⎥ ⎢ N ∂ ⎢ i ⎥ = ⎢ ∂ x ⎢ ∂η ⎥ ⎢ ∂η ⎢ ∂ N ⎥ ⎢ ∂ x i ⎢ ⎥ ⎢ ς ∂ ⎢⎣ ∂ς ⎣⎢ ⎦⎥
5-6
∂ y ∂ z ⎤ ⎡ ∂ N i ⎤ ⎡ ∂ N i ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ x ⎥ ∂ξ ∂ξ ⎥ ∂ x ⎢ ∂ N ⎥ ∂ y ∂ z ⎥ ⎢⎢ ∂ N i ⎥⎥ ⋅ = J ⋅ ⎢ i ⎥ ∂η ∂η ⎥ ⎢ ∂ y ⎥ ⎢ ∂ y ⎥ ⎥ ⎢ ∂ N i ⎥ ∂ y ∂ z ⎢ ∂ N i ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ς ∂ς ⎦⎥ ⎣ ∂ z ⎦ ⎣ ∂ z ⎦
(5.11)
PLAXIS Versi 8
FORMULASI ELEMEN Atau dalam bentuk invers :
⎡ ∂ N i ⎤ ⎡ ∂ N i ⎤ ⎢ ∂ξ ⎥ ⎢ ∂ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ N ⎥ N ∂ − 1 ⎢ i ⎥ = J ⋅ ⎢ i ⎥ ⎢ ∂η ⎥ ⎢ ∂ y ⎥ ⎢ ∂ N ⎥ ⎢ ∂ N i ⎥ ⎢ i⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂ z ⎦ ⎢⎣ ∂ς ⎥⎦
(5.12)
∂ξ , dan lain-lain, dapat dengan mudah diturunkan dari fungsi bentuk Turunan lokal ∂ N / i ∂ξ elemen, karena fungsi bentuk diformulasikan dalam koordinat lokal. Komponen Jacobi diperoleh dari perbedaan pada koordinat titik nodal. Invers matriks Jacobi, J Jacobi, J -1, diperoleh dengan melakukan invers secara numerik terhadap J terhadap J . Komponen regangan Cartesius sekarang dapat dihitung dengan penjumlahan dari kontribusi seluruh titik nodal adalah :
⎡ε xx ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ yy ⎥ ⎢ε zz ⎥ ⎢ ⎥= ⎢γ xy ⎥ ⎢γ yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣γ zx ⎥⎦
⎡v x ,i ⎤ ∑ B i ⋅ ⎢⎢v y ,i ⎥⎥ i ⎢⎣v z ,i ⎥⎦
(5.13)
dimana vi adalah komponen perpindahan dalam titik nodal i. Untuk analisis regangan bidang, komponen regangan dalam arah- z secara definitif adalah nol, yaitu ε zz = γ yz = γ zx = 0. Untuk analisis axi-simetri, berlaku kondisi ε zz = u x / r dan γ yz = γ zx = 0 (r (r = = radius atau jari-jari).
5.6
PERHITUNGAN MATRIKS KEKAKUAN ELEMEN
Matriks kekakuan elemen, Κ e, dihitung dengan integral (lihat juga Pers. (2.25)) : e
K
= ∫ BT ⋅ D e ⋅ B dV
(5.14)
Integral diestimasi dengan integrasi numerik seperti dijelaskan pada Bab 5.3. Pada kenyataannya, matriks kekakuan elemen terdiri dari sub-matriks K ije dimana i dan j adalah titik nodal lokal. Proses perhitungan dari matriks kekakuan elemen dapat diformulasikan sebagai berikut : e
K ij
=
∑ B k
T i
⋅ D e ⋅ B j ⋅ wk
(5.15)
5-7
MANUAL DASAR TEORI
5-8
PLAXIS Versi 8
REFERENSI 6
REFERENSI
[1]
Aubry D., Ozanam O. (1988), Free-surface tracking through non-saturated models. Proc. 6th International Conference on Numerical Methods in Geomechanics, Innsbruck, pp. 757-763.
[2]
Bakker, K.J. (1989), Analysis of groundwater flow through revetments. Proc. 3 rd International Symposium on Numerical Models in Geomechanics. Niagara Falls, Canada. pp. 367-374.
[3]
Bathe, K.J., Koshgoftaar M.R. (1979), Finite element free surface seepage analysis without mesh iteration. Int. J. Num. An. Meth. Geo, Vol. 3, pp. 13-22.
[4]
Biot, M.A. (1956), General solutions of the equations of elasticity and consolidation for porous material. Journal of Applied Mechanics, Vol. 23, No. 2.
[5]
Brinkgreve, R.B.J. (1994), Geomaterial Models and Numerical Analysis of Softening. Disertasi. Delft University of Technology.
[6]
Desai, C.S. (1976), Finite element residual schemes for unconfined flow. Int. J. Num. Meth. Eng., Eng., Vol. 10, pp. 1415-1418.
[7]
Li, G.C., Desai C.S. (1983), Stress and seepage analysis of earth dams. J. Geotechnical Eng., Vol. 109, No. 7, pp. 946-960.
[8]
Riks, E. (1979), An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems. Int. J. Solids & Struct. Vol. 15, 15, pp. 529-551.
[9]
van Langen, H. (1991), Numerical analysis of soil-structure interaction. Disertasi. Delft University of Technology.
[10] van Langen, H., Vermeer P.A. (1990), Automatic step size correction for nonassociated plasticity problems. Int. J. Num. Meth. Eng. Vol. 29, pp. 579-598. [11] Vermeer, P.A. (1979), A modified initial strain method for plasticity problems. In: Proc. 3rd Int. Conf. Num. Meth. Geomech. Balkema, Rotterdam, pp. 377-387. [12] Vermeer, P.A., De Borst R. (1984), Non-associated plasticity for soils, concrete and rock. Heron, Vol. 29, No. 3. [13] Vermeer, P.A., Van Langen H. (1989), Soil collapse computations with finite elements. Ingenieur-Archiv 59, pp. 221-236. [14] Zienkiewicz, O.C. (1967), The finite element method in structural and continuum mechanics. McGraw-Hill, London, UK.
6-1
MANUAL DASAR TEORI
6-2
PLAXIS Versi 8
LAMPIRAN A - PROSES PERHITUNGAN LAMPIRAN A - PROSES PERHITUNGAN Proses perhitungan elemen hingga berdasarkan matriks kekakuan elastis
Baca data masukan K = = ∫ BT ⋅ De ⋅ B dV
Bentuk matriks kekakuan
i → i + 1
Langkah baru
i
i-1
+ Δ f ex
Bentuk vektor beban baru
f = f ex ex
Bentuk vektor reaksi
f = B T ⋅ σ i-c 1 dV in
Hitung ketidakseimbangan
Δ f
Atur ulang peningkatan perpindahan
Δv = 0
∫
i
= f ex – f in
Iterasi baru
j → j + j + 1
Selesaikan perpindahan
δ v = K = K -1 ⋅ Δ f
Perbaharui peningkatan perpindahan
j-1 + δ v Δv j = Δv j-1
Hitung peningkatan regangan
= B ⋅ Δv ; δε = B = B ⋅ δ v Δε = B
Hitung tegangan :
Elastis
+ De ⋅ Δε σ tr = σ c + D
Keseimbangan
σ eq = σ c
i -1
i, j -1
+ D + De ⋅ δε
( ) tr
Konstitutif
i, j
σ c = σ tr −
f σ d
⋅ D e ⋅
∂ g ∂σ
∫
Bentuk vektor reaksi
f = B T ⋅ σ i,c j dV in
Hitung ketidakseimbangan
Δ f
i
= f ex – f in | Δ f |
Hitung kesalahan
e =
Pemeriksaan akurasi
jika e > etolerated → iterasi baru
Perbaharui perpindahan
i
| f ex |
vi = vi-1 + Δv
Tulis data keluaran (hasil) Jika tidak diselesaikan → langkah baru Selesai
A-1
MANUAL DASAR TEORI
A-2
PLAXIS Versi 8
LAMPIRAN B - SIMBOL LAMPIRAN B - SIMBOL
B
:
Matriks Matriks interpolasi regangan
De
:
Matriks kekakuan elastis dari material yang menyatakan hukum Hooke
f
:
Fungsi leleh
f
:
Vektor beban
g
:
Fungsi potensial plastis
k
:
Permeabilitas
K r
:
Fungsi reduksi permeabilitas
K
:
Matriks kekakuan
K
:
Matriks aliran
L
:
Operator diferensial
L
:
Matriks penghubung
M
:
Matriks kekakuan material
N
:
Matriks dengan fungsi bentuk
p
:
Tekanan air pori (negatif untuk tekan)
p
:
Vektor gaya massa (body forces vector )
q
:
Debit spesifik
Q
:
Vektor dengan debit pada titik nodal
r
:
Vektor tak seimbang
R
:
Matriks permeabilitas
t
:
Waktu
t
:
Traksi pada batas
u
:
Vektor dengan komponen perpindahan
v
:
Vektor dengan perpindahan titik nodal
V
:
Volume Volume atau ruang
w
:
Faktor bobot
γ
:
Berat isi atau berat volume
ε
:
Vektor dengan komponen regangan
λ
:
Faktor pengali plastis
ξ η ζ :
Koordinat lokal
σ
:
Vektor dengan komponen tegangan
φ
:
Tinggi tekan air tanah
ω
:
Konstanta integrasi (eksplisit : ω = = 0; implisit : ω = = 1)
B-1
MANUAL DASAR TEORI
B-2
PLAXIS Versi 8
