plasticnost

1

12. TEORIJA PLASTIČNOSTI 12.1. Uvod u probleme plastičnosti Područje mehanike kontinuuma koje se bavi izučavanjem naponsko-deformacijskih stanja materijala s plastičnim ponašanjem naziva se «teorija plastičnosti». Osnovna pretpostavka opće prihvaćena u teoriji plastičnosti jest da odgovor materijala na vanjsko opterećenje ne ovisi o vremenu t, odnosno o brzini deformacije. Bolje rečeno, ako takva ovisnost i postoji ona je malena i može se zanemariti. Teorija plastičnosti se razvijala na dva različita nivoa i to matematički i fizikalni. Matematička teorija plastičnosti razmatra probleme na nivou materijalnog kontinuuma, dok fizikalna teorija plastičnosti proučava plastično deformiranje na mikrorazini tj na razini molekularne rešetke. U primjenjenoj inženjerskoj praksi mi se bavimo matematičkom teorijom plastičnosti. Zadatak matematičke teorije plastičnosti jest da eksperimentalne podatke o plastičnom ponašanju materijala formulira pomoću matematičkih jednadžbi. Ova se dakle teorija zasniva na pretpostavkama i hipotezama koje se temelje na rezultatima eksperimenata. Razvoj teorije plastičnosti započinje u drugoj polovici devetnaestog stoljeća. Francusti istraživač Tresca je na temelju eksperimenata definirao jedan od važnih kriterija prelaska materijala iz elastičnog u plastično područje (1864). Nešto kasnije (1870) Saint Venant je dao fizikalno tumačenje Trescina uvjeta plastičnog popuštanja materijala za slučaj ravninskog stanja naprezanja, dok je Levy isto značenje proširio na stanje naprezanja u prostoru. Početkom dvadesetog stoljeća publiciran je niz značajnih radova iz teorije plastičnosti. Meñu njima su svakako najvažniji radovi: Von Misesa, Henckya, Prandtla i Reussa na osnovi kojih je formulirana opća teorija plastičnosti idealno plastičnih materijala. Punu afirmaciju teorije plastičnosti doživjela je pedesetih godina prošlog stoljeća kada je došlo do poopćavanja pojedinih razmatranja i odgovarajuće matematičke formulacije zadaća plastičnosti. U tom razvoju važnu ulogu imale su poznate škole Prandtla i Reussa u SAD-u, te Iljušina i Kačanova u SSSR-u.

12.2. Eksperimenti o plastičnom deformiranju Mehanička, elastična i plastična svojstva materijala odreñuju se uglavnom jednosmjernim testovima na tlak ili vlak odnosno pritisak ili rastezanje. Pri tome se bilježi ovisnost izmeñu sile koja djeluje na uzorak i ukupnog pomaka na uzorku. To je poznati ( F-∆l  )   dijagram. Djeljenjem sile F sa početnom površinom poprečnog presjeka uzorka Ao dobiva se konvencionalno ili tehničko naprezanje σ  početnom duljinom l  o, a djeljenjem pomaka ∆l  o dobiva se konvencionalna prosječna deformacija ε dakle imamo:

σ  o=

F  Ao

i

εo= ∆l 

l  o

(12.1)

Prema tome (σ  o-ε) dijagram jest ovisnost konvencionalnog naprezanja σ o o prosječnoj deformaciji εo. Za razliku od konvencionalnog naprezanja, stvarno naprezanje se dobiva djeljenjem sile F  s trenutnom površinom poprečnog presjeka uzorka A. Budući da je zbog Poissonovog efekta kod rastezanja štapa A uvjke manji od Ao, to je u slučaju rastezanja uzorka stvarno naprezanje uvjek veće od konvencionalnog (slika 1.12).

2

σ stvarno naprezanje

B B' T

M

E

σT

σE

L'

konvencionalno naprezanje

L

σM

P

σL' σL

σP C 0

εp

εe

ε

Sl. 12.1. Dijagram rastezanja čelika Gdje su: -

granica proporcionalnosti σ  p - naprezanje do kojeg je deformacija linearno proporcionalna s naprezanjem.

-

granica elastičnosti σ  E - naprezanje do kojeg se materijal ponaša elastično sa E  zanemarivim trajnim plastičnim deformacijama.

-

granica popuštanja (tečenja) σ  T - naprezanje kod kojeg materijal počinje popuštati T  (teći), tako da deformacije rastu bez prirasta naprezanja.

-

granice nosivosti ili čvrstoća σ  - naprezanje pri kojemu je tangenta na konvncionalni M  M  (σ  o-εo) dijagram horizontalna (ekstrem) što predstavlja maksimalno konvencionalno naprezanje.

-

granice loma σ  L - naprezanje prilikom sloma uzorka u konvencionalnom smislu F  L/σ  o.

-

'  granice loma σ  L - naprezanje prilikom sloma uzorka ili stvarno naprezanje u trenutku sloma σ  L'=F  L/A.

Iz dijagrama (12.1.) se vidi da se uzorak u točki T  deformira pri konstantnoj sili odnosno naprezanju. Nakon točke T  naprezanje ponovo raste zbog ojačanja odnosno očvršćenja materijala (strain hardening). U točki M  naprezanje postiže maksimum. Nakon točke M  konvencionalno naprezanje opada radi pojave plastičnog grla ili omekšanja (strain softening), dok stvarno naprezanje raste sve brže, jer se kontrakcija presjeka brzo povećava. Kod rastezanja čeličnog uzorka treba spomenuti da se svojstva plastičnosti smanjuju sa većem postotkom ugljika u čeliku (slika 12.2.)

3

σ

visoki postotak C

srednji postotak C

mali postotak C

ε

Sl. 12.2. Prikaz ( σ-ε) dijagrama čelika s različitim udjelom ugljika

12.2.1. Ciklički testovi i Bauchingerov efekt Čelik kao jedan od najplastičnijih materijala koji se koriste u graditeljstvu i industriji pokazuje slične karakteristike u području rastezanja i pritiska. Slično se ponašaju i ostali metali s izraženim plastičnim svojstvima. Na slici (12.3.) prikazani su dijagrami rastezanja i pritiska čelika i drugih metala sa izraženim plastičnim svojstvima. +σ čelik

metali

σT -ε

+ε σT

-σ

Sl. 12.3.  Dijagram rastezanja i pritiska čelika i drugih metala

4

Čelik kao i neki drugi metali pri uzastopnim cikličkim opterećenjima pokazuje posebno svojstvo vezano uz granicu popuštanja i početak plastičnog tečenja što je prvi otkrio Bauchinger i po njemu nazvano « Bauchingerov efekt  ». Ovo svojstvo se očituje u sljedećem. Ako se čelični uzorak čiji dijagram vidimo na slici (12.4.) rasteretimo u točki koja je viša od početne granice popuštanja σT+ i ponovo opteretimo u istom smjeru materijal će pokazati novu veću granicu popuštanja σ T1+. Dakle  T1σ+>σT+. Meñutim ako se materijal nakon rasterećenja optereti u suprotnom smjeru, dakle pritisne popuštanje ili tečenje materijala σTzapočet će u točki koja ima manju vrijednost u odnosu na σ T+. Dakle σT-<σT+. Opisano svojstvo predstavlja Bauchingerov efekt. Zbog očvršćivanja materijala i zbog Bauchingerovoa efekta stalno se mijenja granica popuštanja materijala. Ova pojava se dobro vidi na dijagramu jednosmjernog cikličkog testa mekanog plastičnog čelika slika (12.4.).

+σ

+

σ+T1

+

σT

0

-ε

-

σT1

σT3 σT2

σT3

σT4+

+ε

ε+

ε-

-σ Sl. (12.4.) Ponašanje elastoplastičnog materijala pri cikličkom testu

12.3. Logaritamske i stvarne deformacije Do granice  popuštanja materijala, stvarni i konvencionalni dijagram rastezanja materijala se gotovo ne razlikuju. Tek u području opterećenja za koje je naprezanje σ  veće od naprezanja na granici popuštanja nastaju značajnije razlike izmeñu tih naprezanja. U tom se slučaju ukupna deformacija može prikazati kao suma elastičnog i plastičnog dijela

ε=εel  +εpl 

(12.2)

U modeliranju konstrukcija radi veće sigrunosti se zahtjeva da plastične deformacije budu male ili da ih uopće nema pa je: (12.3) εij=εijel  U području plastičnog oblikovanja materijala, gdje se često zahtjeva da predmeti ili konstrukcije budu trajno deformirane vrijedi:

5

εij=εijpl

εijpl>>εijel

(12.4)

Uglavnom nakon prelaska granice popuštanja nastaju  velike deformacije i velike promjene početnih duljina, tako da računanje naprezanja i deformacija u odnosu na početne dužine i poprečne presjeke ne daje sliku stvarnog ponašanja materijala. Stoga je potrebno deformacije računati u odnosu na trenutne duljine uzorka: dε'=

dl  l 

(12.5.)

što definira prirast deformacije u odnosu na prirast duljine uzorka dl  i trenutne duljine uzorka l. Ta veličina predstavlja prirast stvarne ili prirodne deformacije. l 

dl  l   +  l  ∆l   = ln(1+ εo ) ε'= ∫ = ln =ln  o l  l  l  o   o  l  0

(12.6.)

Prirodna deformacija ili stvarna deformacija se još  naziva i logaritamska deformacija. Izraz (12.6.) predstavlja vezu izmeñu konvencionalne deformacije εo i stvarne ε' preko prirodnog logaritma. Na sličan način se stvarno naprezanje σ izražava preko konvencionalnog naprezanja σo. Polazi se od činjenice da se pri plastičnom deformiranju ne mjenja volumen uzorka pa vrijedi:

V=Ao l  o=A l  odnosno

Ao/A=l/l  o

(12.7.)

Pomoću (12.1.) imamo:

F A

l 

o σ= F  = = σ  o l  A Ao A o

(12.8.)

Budući da je l=l  što uvrstimo u (12.8.) daje: o+∆l 

   l + ∆l   = σ  o(1+εo) l    o 

o σ=σ  o 

(12.9.)

Isto tako pri plastičnom deformiranju nema prirasta volumena pa vrijedi za V=A l 

dV=A dl+l dA=0

(12.10.)

iz čega se dobije:

dA

=−

dl  = − d  ε  ' l 

(12.11.)

Dalje koristimo činjenicu da je sila funkcija naprezanja i površine poprečnog presjeka F=σA. Sila raste za vrijeme deformacija uzorka zbog ojačanja materijala, a nakon toga opada zbog

6

postupnog smanjivanja poprečnog presjeka. U odreñenom momentu doseže maksimum pri kojem je prirast sile jednak nuli dF=0.

dF=σ'dA+Adσ'=0

odnosno

' dA σ  d  = ' σ 

(12.12.)

Kombiniranjem izraza (12.11.) i (12.12.) dobivamo:

dσ'=σ'dε' 

(12.13.)

čime je uspostavljena veza izmeñu stvasrnih naprezanja i stvarnih deformacija pri rastezanju elastoplastičnih uzraka. Analogno logaritamskoj duljinskoj deformaciji pri jednosmjernom rastezanju možemo definirati i logaritamsku volumensku deformaciju u obliku:

dV  = dε '  V  V 

(12.14.)

εV  '=ln V 

(12.15.)

odakle analogno (12.6.) slijedi:

V  o

pri čemu je Vo-početni volumen, a V  -trenutni volumen. Neka je V  o=l  xo l  yo l  zo i V=l  x l  y l  z tada je prema (12.15.):  x l   y l  z  = ε , + ε , + ε , εv'=ln  l   l l l  x y z  xo yo zo   

(12.16.)

Budući da u plastičnom području nema promjene volumena vrijedi: pl 

dV       =0 V    

(12.17.)

pl  pl  dεV  =dεxpl  +dεypl  +dεz  =0

(12.18.)

Temeljem izraza (12.16.) imamo:

U slučaju jednosmjernog naprezanja vrijedi: pl  , što uvršteno u (12.18.) daje dεxpl  =dεypl  =-νpl  dεz  pl  pl  dεV  =(1-2νpl  )dεz  =0

(12.19.)

odakle slijedi Poissonov koeficijent u plastičnom području u iznosu:

νpl  =0.5 U elastičnom području poissonov koeficijent se kreće u iznosu od 0<νel  <0.5.

(12.20.)

7

12.4. Idealizacija elastoplastičnog ponašanja Stvarni (σ-ε) dijagrami ponašanja materijala su vrlo složeni da bi se mogli direktno primjeniti u analitičkoj ili numeričkoj obradi problema plastičnosti. Da bismo olakšali analizu plastičnog deformiranja materijala stvarni se dijagram zamjenjuje njegovom idealizacijom, pri čemu idealizirani dijagram zadržava bitne značajke stvarnih dijagrama. Dijagram na slici (12.5) predstavlja idealizaciju ponašanja «kruto-idealnoplastičnog  » materijala, dok dijagram na slici (12.6.) predstavlja idealizaciju ponašanja «elasto» materijala. idealnoplastičnog  σ

m

σT

0

F

ε

Sl. (12.5.) Idealni dijagram kruto-idealnoplastičnog  materijala σ

m

σT

F

E 1

0

ε

Sl. (12.6.) Idealni dijagram elasto-idealnoplastičnog  materijala Dijagram na slici (12.7.) predstavlja idealizaciju ponašanja “ kruto-linearnoočvrščujućeg  ” materijala, dok dijagram na slici (12.8.) predstavlja idealizaciju ponašanja “elasto” materijala. linearnoočvrščujućeg 

8

σ

E

1

F m

σT

ε Sl. (12.7.) Idealni dijagram kruto-linearnoočvrščujućeg  materijala 0

σ

E2 1

E2

F m

σT

E1

E1+E2 1

ε

0

Sl. (12.8.) Idealni dijagram elasto-linearnoočvrščujućeg  materijala Dijagram na slici (12.9.) predstavlja idealizaciju ponašanja elasto-linearnoočvrščujećeg materijala pri cikličkom opterećenju sa izloženim Bauchingerovim efektom. +σ

-ε

0

+ε

-σ

Sl. (12.9.) Idealni ciklički dijagram elastično-linearnoočvrščujućeg  materijala

9

12.5. Plastično deformiranje pri jednoosnom naprezanju Temeljem prethodno izloženog kao i laboratorijskih testova provedenih na raznim materijalima u elastičnom i plastičnom području mogu se postaviti sljedeće pretpostavke: -ukupna deformacija se može rastaviti na električni (povratni dio) i plastični (nepovratni dio) dakle:

εu=εp+εe

(12.21.)

-za većinu materijala se može reći da posjeduje granicu popuštanja odnosno tečenja kao razdjelnicu elastičnog i plastičnog ponašanja. Kad naprezanje dosegne granicu popuštanja započinje plastično deformiranje tijela. -materijal je idealnoplastičan ako pri konstantnom naprezanju σ=σ  deformacija stalno raste. T  Kažemo da u tom slučaju materijal popušta ili teče.

(elastično stanje deformacija) σ<σ  T  (plastično stanje deformacija)                   σ=σ  T  Prilikom rasterećenja materijal se ponaša linearno elastično.

Materijal je elastoplastičan s očvrščenjem ako nakon prelaska granice popuštanja deformacije rastu samo pri porastu naprezanja. Pri tome radi plastičnog deformiranja raste i granica popuštanja pa i ovdje vrijedi: (elastično područje) σ<σ  T  (plastično područje)                     σ=σ  T  U ovom slučaju granica popuštanja nije konstanta nego ovisi o razini plastične deformacije, dakle

σ  =σ  (εp) T  T 

(12.24.)

Prilikom rasterećenja materijal se ponaša linearno, kao i pri ponovnom opterećenju do razine σ  T koje odgovara novoj povećanoj granici popuštanja. Pri promjeni predznaka deformacije kada se preñe iz rastezanja u pritisak ili tlak, neki materijali kao čelik pokazuju Bauchingerov efekt koji je prethodno opisan. Pri plastičnom deformiranju ne mijenja se volumen tijela iz čega slijedi da je Poissonov koeficijent ν=0.5.

12.6. Plastično deformiranje pri višesmjernom naprezanju Općenito se postavlja pitanje ponašanja materijala u plastičnom području u uvjetima višesmjernih stanja naprezanja. Zbog teškoća oko izvoñenja višesmjernih eksperimenata, pokušalo se zaključke o deformiranju prenijeti iz jednosmjernog stanja naprezanja. Paralelnim eksperimentalnim i teorijskim analizama se došlo do slijedećih postavki: -dok je materijal u elastičnom području ne važe  konstitutivne relacije i veze izmeñu naprezanja i deformacije utemeljene u teoriji plastičnosti

10

-prelaz iz elastičnog u plastično područje definira se kriterijima popuštanja odnosno plohama popuštanja ili plohama tečenja -unutar plastičnog područja definirana su odgovarajuće veze izmeñu naprezanja i deformacija koje na najbolji način uvažavaju ponašanje materijala u uvjetima višesmjernog plastičnog ponašanja materijala do sloma. Ukupna se deformacija i kod višesmjernog stanja naprezanja može rastaviti na elastični i plastični dio pa vrijedi (12.25.) εij=εijel  +εijpl  Prilikom plastičnog deformiranja nema promjene volumena kao kod elastičnog deformiranja, pa je hidrostatički dio tenzora deformacije jednak nuli. p εkk  =0

(12.26.)

12.7. Ploha popuštanja U slučaju jednosmjernog sloma materijala, kriterij popuštanja se lako definira pomoću parametra kao što je granica popuštanja materijala σ  T. Meñutim u slučaju višesmjernog stanja naprezanja postoji gotovo beskonačan broj različitih kombinacija opterećenja i uvjeta početka plastičnog deformiranja, pa govorimo o kriterijima popuštanja i plohama popuštanja. Ulogu koju pri jednosmjernom naprezanju ima granica popuštanja, pri višesmjernom naprezanju ima skalarna funkcija ili funkcija popuštanja koja ovisi o naprezanju σ  ij i parametru plastičnosti k  koji može biti i funkcija očvrščivanja materijala, dakle:

F=f(σ     F(σ  ij,k)     ili ij,k)=0

(12.27.)

Opća jednadžba (12.27.) u prostoru naprezanja u kojem je definirano 6 komponenti naprezanja predstavlja zatvorneu plohu koja se zove « ploha popuštanja ». Stanje napreznaja u čestici opterećenog tijela odreñeno je jednom točkom u prostoru naprezanja. Ako je točka naprezanja unutar plohe tečenja F<0 materijal je u   elastičnom području. U slučajuF=0 materijal popušta odnosno teče. F>0 nije realno moguće. U slučaju izotropnih materijala bez karakteristika očvrščenja (idealni elastoplastični materijal bez očvršćenja) ploha popuštanja ima oblik:

F(σ  ij)=0

(12.28.)

Ona ovisi samo o tenzoru naprezanja i svi su smjerovi jednako vrijedni pa funkcija naprezanja ne ovisi o smjerovima nego samo o veličinama glavnih naprezanja, pa se u prostoru glavnih naprezanja ploha popuštanja može napisati u obliku:

F(σ  1,σ  2,σ  3)=0

(12.29.)

F(I  1,I  2,I  3)=0

(12.30.)

Odnosno:

11

Gdje su: I  1,I  2,I  3 - invarijente tenzora naprezanja. Eksperimentalna iskustva pokazuju da je efekt hidrostatičkog dijela tenzora naprezanja na plastične deformacije zanemariv tako da se može ispustiti, pa novi kriterij popuštanja ovisi samo o invarijantama devijatora neprezanja.

F(I  2',I  3')=0

(12.31.)

Gdje su: I  druga i treća invarijanta devijatora neprezanja. 2',I  3' 

1 2

I  2'= S  ij S  ij

i

1 S  S S  I  '= 3 3 ij jk  kl 

(12.32.)

Ili u prostoru glavnih vrijednosti devijatora naprezanja:

1 2 2 2 I  '  (S  S  S  = + + 2 2 3 ) = (S  1 S  2 + S  2 S  3 + S  3 S  1) 2 1 1 3 3 3 = I  '  (S  3 1 + S  2 + S  3 ) = S  1 S  2 S  3 3

(12.33.)

Druga i treća invarijanta devijatora naprezanja mogu se napisati i preko invarijanta tenzora naprezanja u obliku

1 2 = I  '  (I − 3I  2 2 ) 3 1 1 3 I  '  (2I  = 3 1 − 9I  1 I  2 + 27I  3 ) 27 

(12.34.)

ili preko glavnih naprezanja kao:

1 2 2 2 [ I  '  (σ  = 2 1 − σ  2 ) + (σ  1 − σ  3 ) + (σ  3 − σ  1) ] 6  1 (σ  1 + σ  2 + σ  3 )⋅ 27  2 [2(σ  1 σ  2 + σ  2 σ  3 + σ  3 σ  1 ) − 9(σ  1σ  2 + σ  2 σ  3 + σ  3 σ  1 )]

I  = σ  3 '  1 + σ  2 + σ  3 +

(12.35.) Funkcija popuštanja za izotropne materijale može se prikazati u trodimenzionalnom prostoru glavnih naprezanja σ  1,  σ  2 i  σ  3 kao što je prikazano na slici (12.10.)

12

r 

n

σ3

hidrostatička os 1= 2= 3

σ σ σ 1

A

r 

1

1

n i= 3 , 3 , 3

ρ  no

σ2 σno r 

r 

n3

r 

n2

r 

r 

τ  no

e3

e2

r 

0

r 

n1

e1

π ravnina

σ1

Sl. 12.10. – prikaz vektora naprezanja u π ravnini (devijatorska ravnina) Cilj je vektor totalnog naprezanja u trodimenzionalnom prostoru glavnih naprezanja prikazati putem devijatorske π ravnine koja je definirana sa

σ  1+σ  2+σ  3=0

(12.36.)

Devijatorska ravnina se još zove i oktaedarska ravnina jer s osima σ  1, σ  2 i σ  3 zatvara jednake kuteve n1=n2=n3=cosα=cosβ=cosγ= 1 . Takoñer sve ravnine paralelne s π ravninom su 3

oktaedarske ili devijatorske ravnine. Ploha popuštanja F(σ  u krivulji 1,σ  2,σ  3)=0 siječe ravninu π  koja se zove krivulja popuštanja ili tečenja. Vektor naprezanja koji ide od ishodišta do točke A možemo napisati u obliku

1 (σ  ρ  no= 1 e 1+σ  2 e 2+σ  3 e 3) 3 r 

r 

r 

r 

(12.37.)

gdje su glavna naprezanja komponente vektora ρno u prostoru glavnih naprezanja. Ako taj τ  vektor proiciramo  na hidrostatičku os i na ravninuπ  dobit ćemo vektore σ  no , od kojih no i r 

r 

τ  je σ  ravninu. Sada se no projekcija na devijatorsku π  no projekcija na hidrostatičku os, a r 

r 

vektor ukupnog naprezanja ρ  no može napisati r 

r 

ρ  no= σ  no + τ  no r 

r 

(12.38.)

13

Vektori σ  no su meñusobno okomiti jer se hidrostatička os poklapa s normalom na π  no i τ  ravninu. r 

r 

Apsolutna vrijednost naprezanja

σ  no iznosi:

1 (  1 (σ  σ  e 1+ e 2+ no n = 1 e 1+σ  2 e 2+σ  3 e 3) no = ρ  r 

r 

r 

r 

r 

r 

r 

3

3

e 3) r 

1 1 = 1 (σ  1+σ  2+σ  3)=σ  o= I  3 3

(12.39.)

Apsolutna vrijednost naprezanja τ  no je: 2 2 τ  − σ  no = ρ  no no

(12.40.)

što na temelju izraza (12.37.) i (12.39.) iznosi:

τ  no =

1 2 2 '  2 2 [ ] (σ  ) ( ) σ  σ  σ  ( σ  σ  ) − + − + − = I  2 1 2 1 3 3 1 9 3

(2.42.)

sada se vidi da projekcija vektora totalnog naprezanja na hidrostatički pravac odgovara srednjem normalnom naprezanju odnosno hidrostatičkom dijelu tenzora naprezanja, a projekcija vektora totalnog naprezanja na π  ravninu odgovara devijatorskom dijelu tenzora naprezanja.

12.8. Trescin kriterij popuštanja Tijekom 1864 francuski istraživač Tresca postavio je kriterij popuštanja izotropnog idealnoplastičnog materijala koji se temelji na maksimalnim posmičnim naprezanjima. Prema tom kriteriju materijal počinje popuštati (teći) kod maksimalno posmično naprezanje dosegne graničnu vrijednost. U slučaju triju glavnih naprezanja poredanih tako da je σ 1>σ2>σ3, maksimalno posmično naprezanje je

τ  max=(σ  1-σ  3)/2

(12.43.)

budući materijal popušta kad je τ  max=k=τ  T imamo za sve moguće smjerove maksimalnih posmičnih naprezanja:

σ  1-σ  2=±2k ,  σ  2-σ  3=±2k ,  σ  1-σ  3=±2k 

(12.44.)

Šest jednadžbi oblika (12.44.) odreñuju šest ravnina koje oblikuju šesterostranu prizmu u prostoru glavnih naprezanja. Ta prizma predstavlja plohu popuštanja čiji je presjek s π  ravninom pravilan šesterokut (sl. 12.12.), a os prizme se poklapa s hidrostatičkom osi u prostoru glavnih naprezanja (sl. 12.11.)

14

σ3 hidrostatièka os

σ1= σ2=σ3

σ2

presjek s π ravninom

σ1 Sl. 12.11. Ploha popuštanja prema Tresci

σ3 a)

σ2

b)

+σT -σT

+σT

σ1

-σT σ1

σ2

Sl. 12.12. Prikaz uvjeta popuštanja a) u π ravnini i  b) u 1σ-σ2 ravnini Vrijednost parametra k može se odrediti na temelju pokusa čistog posmika k=τ  ili pokusom T  jednosmjernog naprezanja. U ovom slučaju je

σ  , τ  /2= k=τ  max=σ  T  max=σ  max/2= σ  T  T 

(12.45.)

Funkciju popuštanja materijala u ovom slučaju možemo napisati u obliku: 2 2 2 2 2 2 F=[(σ  ][(σ  ][(σ  ]=0 1-σ  2) -4k  2-σ  3) -4k  3-σ  1) -4k 

(12.46.)

Jednadžba se tijekom rješavanja raspada u 6 jednadžbi tip (12.44.). Moguće je izraz (12.46.) prikazati i preko invarijante devijatora naprezanja u obliku: 3 2 2 2 4 6  4I  -27I  -36k  I  +96k  I  =0 2'  3'  2'  2'-64k 

(12.47.)

15

12.9. Misesov kriterij popuštanja Tijekom 1913 Von Mises je objavio kriterij popuštanja izotropnog   idealnoplastičnog materijala koji se bazira na potencionalnoj energiji promjene oblika. Gotovo u isto vrijeme su to objavili Huber i Hencky, pa se nekad u nazivu koristi (Mises-Huber-Hencky) kriterij popuštanja. Budući da je druga invarijanta devijatora naprezanja odlučujuća u promjeni oblika tijela, Mises je svoj kriterij formulirao preko I  u obliku: 2'  2 2 F(σ  =0 ij)= I  2'=k ili    I  2' - k 

(12.48.)

Što u razvijenoj formi izgleda 2 2 2 2 1 S  2 =0 = (σ  ijS  ij-k  1 −σ  2) +(σ  1 −σ  3) +(σ  3 −σ  1) −6k  2

(12.49.)

Gornji izraz predstavlja valjkastu plohu u σ  1,σ  2,σ  3 prostoru naprezanja (Sl. 12.13). Kako izraz (12.49) vrijedi općenito, vrijedi i u slučaju  jednosmjernog naprezanja na vlak pa je:

σ  ,   σ  1=σ  T  2=0,   σ  3=0 što daje k=σ  /3 T 

1 2 2 2 [ σ  T  + σ  T ] = k  6 

(12.50.)

Sad se Misesov kriterij popuštanja može izraziti kao 2 2 I  /3=k  2'= σ  T 

Odnosno razvijeno:

(12.51.)

2 2 2 2 (σ  k  1 −σ  2 ) +(σ  1 −σ  3 ) +(σ  3 −σ  1 ) = 6 

(12.52.)

ili 2 2 2 2 ( ) σ  − + − + − = (σ  σ  ) (σ  σ  ) σ  σ  2 1 2 1 3 3 1 T 

(12.53.)

kako se vidi iz prethodnog izraza vrijedi 2 2 6k  =2σ  T 

(12.54.)

odakle odredimo parametar plastičnosti k  kao: 2 2 k  = σ  /3       k= ⁄ √3 σ  T  T 

(12.55.)

Ako se koristimo pokusom čistog smicanja za odreñivanja parametra plastičnosti k  imamo:

1 2 2 2 2 2 2 [ 4τ  , τ  =k , T  T  + τ  T  + τ  T ] = k  6 

k=τ  =σ  /2 T  T 

(12.56.)

Ovdje vidimo da ovisno o vrsti pokusa dobivamo različite vrijednosti za parametar  plastičnosti k  . U slučaju pokusa na rastezanje Misesova kružnica je opisana Trescinim šesterokutom, dok je u slučaju pokusa na čisto smicanje Misesova kružnica upisana Trescinim šesterokutom (sl.12.14.).

16 σ3 hidrostatička os

σ1= σ2=σ3

σ2

presjek s π ravninom

σ1

Sl. 12.13. Ploha popuštanja prema von Missesovu kriteriju σ3

a)

σ2

b)

Misses Misses (jednosmjerni vlak)

+σT Tresca

-σT

Tresca Misses (čisti pomak)

σ1

+σT

σ1

-σT

σ2

Sl. 12.14. Misesova i Trescina krivulja u π ravnini i σ 1,σ2 ravnini Nadai je 1937 godine postavio vezu izmeñu oktaedarskog posmičnog naprezanja i devijatora naprezanja u obliku = 2 I  τ  okt  ' 3 2

(12.57.)

2 2 2 2 2 = 2 σ  = I  = τ  '  okt  k  T  2 9 3 3

(12.58.)

odnosno

iz čega je

τ  okt =

2 σ  = T  k  3 3

(12.59.)

tako da se Misesov kriterij plastičnosti može tumačiti na način da plastifikacija materijala počinje kad oktaedarsko posmično naprezanje dosegne kritičnu veličinu.

17

12.10.

Mohr-Coulombov kriterij popuštanja

Ovaj kriterij postavio je Coulomb 1773 godine radeći pokuse na nemetalima, a posebno na geološkim materijalima tlu i stijeni. Prema ovom kriteriju materijal popušta kad maksimalno posmično naprezanje τ  u bilo kojem preseku dosegne kritičnu vrijednost. U ovom slučaju uspostavljena je ovisnost posmičnog naprezanja o normalnom naprezanju za razliku od prethdna dva kriterija. Matematička formulacija ovog kriterija izražena je u obliku

τ = c - σ tgφ

(12.60.)

Gdje su: σ  - normalno tlačno naprezanja koje se uzima sa znakom plus, c - posmična čvrstoća kad nema normalnog naprezanja ili kohezije materijala, a φ-kut unutarnjeg trenja materijala. Izraz (12.60.) predsavlja pravac odnosno tangentu na najveću Mohrovu kružnicu trosmjernog stanja prema slici 12.15. τ σ φ

τ

-σ

φ

-σ1

cxctgφ

c

σ

-σ2 -(σ1+σ3)/2 -σ3

Sl. (12.15.) Grafički prikaz Mohr-Coulombova kriterija popuštanja Pomoću slike (12.15.) vodeći računa da je σ  1>σ  2>σ  3 jednakost (12.60.) se može prikazati preko glavnih naprezanja u obliku: + σ  σ  − σ   1  σ  = c −  − 1 3 + 1 3 sinϕ  ϕ  (σ  tg  1 − σ  3 )cosϕ  2 2   2 

(12.61.)

a daljnje sreñivanje daje:

= 2 c cos ϕ  (σ  1 − σ  3 ) − (σ  1 + σ  3 )sinϕ 

(12.62.)

Na sličan način se može dobiti još 5 takvih jednadžbi koje zajedno sa (12.62.) glase:

σ  ) −σ  ) = ±2 c cosϕ  1(1+ sinϕ  2 (1−sinϕ 

) −σ  ) =±2 c cosϕ  σ  2(1+sinϕ  3(1−sinϕ  σ  ) −σ  ) = ± 2 c cosϕ  3 (1+ sinϕ  1 (1− sinϕ 

(12.63.)

18

Gornjih šest jednadžbi predstavljaju šest ravnina koje se meñusobno sijeku tako da u prostoru glavnih naprezanja tvore nepravilnu šesterostranu piramidu kojoj se os poklapa sa hidrostatičkim pravcem (sl.12.16.). Mohr-Coulombova teorija popuštanja se dobro potvrñuje kod krtih i geoloških materijala. σ3 hidrostatička os

σ1= σ2=σ3

nepravilni šesterokut

σ2

φ  tg  c

presjek s π ravninom

x

c

σ1

Sl. (12.16.) Ploha popuštanja prema Mohr-Coulombovu kriteriju Konusni oblik plohe popuštanja posljedica je uključivanja normalnih naprezanja u matematičku formulaciju ovog kriterija. Ako stavimo σ  1=σ  2=σ  3 u jednakost (12.62.), iz koje neposredno slijedi

σ  1=σ  n=c ctgφ, što znači da se vrh piramide popuštanja nalazi na hidrostatičkoj osi na udaljenosti od π  -ravnine za iznos c ctgφ.

12.11.

Drucker-Pragerov kriterij popuštanja

Drucker i Prager su 1952 predložili jednu modifikaciju Misesova kriterija popuštanja i prilagodili ga Mohr-Coulombovu kriteriju, unijevši u njega i hidrostatički dio tenzora naprezanja. Time je napravljeno pojednostavljenje Morh-Coulombova kriterija u smislu matematičke formulacije. Kriterij koji su predložili Drucker i Prager izgleda:

αI  =β  1+ I  1'

(12.64.)

Ovaj uvjet popuštanja predstavlja plohu u obliku kosog stošca čija se os u ravnini σ  1,σ  2,σ  3 poklapa s hidrostatičkom osi i koji je opisan oko Mohr-Coulombove piramide sl. (12.17).

19

-σ3 hidrostatička os

σ1= σ2=σ3

+σ1

-σ2

c

φ  tg 

presjek s π ravninom

x

c

+σ2 -σ1

+σ3

Sl. (12.17.) Ploha popuštanja prema Drucker-Pragerovu kriteriju U presjeku s π  ravninom Drucker-Pregerov i Mohr-Coulombov kriterij izgledaju prema slici (12.18).

-σ3 Drucker-Prager 

Mohr-Coulomb

-σ1

-σ2

Sl. (12.18.) Prikaz Drucker-Preger i Mohr-Coulombova kriterija u π ravnini Uvoñenjem odgovarajućih invarijanti naprezanja u Drucker-Prugerov kriterij (12.64.) dobivamo izraz:

α(σ  1 + σ  2 + σ  3 )+

1 2 2 2 (σ  [ 1 − σ  2 ) +[σ  2 − σ  3 ] + (σ  3 −σ  1 ) ] = β  6 

(12.65.) gdje su α i β  parametri koji ovise o c i φ iz Mohr-Coulombova kriterija i oni iznose: 6ccosϕ  2sinϕ  = β  α= i (12.66.) 3(3± sinϕ  3(3 ± sinϕ  ) ) Iz gornjih izraza se vidi dvoznak gdje se primjenjuje jedan ili drugi. Ako Drucker-Pragerov stožac dodiruje Mohr-Coulombovu priznu izvan (opisan) onda se koristi minus (-). Ako je meñutim Drucker-Pragerov stožac upisan Morh-Coulombovoj piramidi onda se koristi plus (+). I ovaj kriterij se uspješno koristi kod krtih i geoloških materijala kao i Mohr-Coulombov. I jedan i drugi kriterij pored devijatorskog uključuju i hidrostatički dio tenzora naprezanja.

20

12.12. Zakonitost popuštanja materijala s očvršćenjem U prethodne četiri točke promatrali smo kriterije popuštanja idealno elasto-plastičnih materijala bez očvršćenja. Vidjeli smo da svaka napregnuta točka unutar plohe popuštanja predstavlja elastično stanje, a svaka napregnuta točka na plohi popuštanja predstavlja početak  plastičnog toka, odnosno početak plastične deformacije bez ojačanja. Kod takovih materijala naprezanje ne raste iznad nivoa neprazanja koji odgovara granici popuštanja odnosno inicijalnoj plohi popuštanja. To znači da kod idealnih elastoplastičnih materijala naprezanje ne ovisi o tijeku plastične deformacije. Ovo nije realni materijal jer najveći broj grañevinksih materijala ponaša se tako da pokazuju porast naprezanja tijekom plastičnog deformiranja. To povećanje naprezanja iznad nivoa inicijalnih plastičnih deformacija naziva se očvršćenje ili ojačanje materijala. Pri tome treba ralikovati dva modela očvršćenja: izotropni i kinematički. Izotropni model očvršćenja materijala podrazumjeva širenje inicijalne plohe popuštanja jednoliko u svim smjerovima odnosno koncentrično oko redišta inicijalne plohe. Ovaj model očvršćenja odgovara materijalima kod kojih uvjet popuštanja ne ovisi o hidrostatičkom dijelu tenzora naprezanja. Kinematički model očvršćenja materijala podrazumijeva stalnu translaciju inicijalne plohe popuštanja   pri porastu opterećenja uz zadržavanje početnog oblika. Ovaj model očvršćenja odgovara materijalima koji pokazuju Bauschingerov efekt. Modeli oba načina očvršćivanja materijala u prostoru glavnih naprezanja prikazani su na sl. (12.19.).

σ3

σ3 b)

a) inicijalna krivulja

prirast opterećenja

prirast opterećenja 0

0

σ1

σ2

σ1

inicijalna krivulja

σ2

Sl. (12.19.) Modeli očvršćivanja: a) izotropni, b) kinematički Ako je opća funkcija popuštanja za idealno plastični materijal data u obliku F(σ  ij)=0, tada funkcija popuštanja za materijal sa očvršćenjem izgleda p F(σ  ij, εij ,k)=0

(12.67.)

p Gdje su: σ  - je ij - komponente tenzora naprezanja, εij -komponente plastičnih deformacija, k  parametar očvršćenja. Razvoj plohe popuštanja s osobinama očvršćenja zavisi o naprezanju na granici popuštanja koji je funkcija parametra očvršćenja.

21

Za odeñivanje parametra očvršćenja razvila su se dva pravca i to: preko “ plastičnog rada” i preko “plastične deformacije”. Plastični rad se definira kao umnožak naprezanja i plastične deformacije što u inkrementalnoj formi izgleda: p p dW  = dεij pσ  ij = dεij S  ij

(12.68.)

p ukupni plastični rad se dobiva integriranjem inkrementalnog plastičnog rada dW  duž stvarne deformacije počevši od inicijalnog stanja i on odgovara radu očvršćenja:

εp p P  = ∫  W  S  dε ij ij

;

εi

(εiip = 0)

(12.69.)

U slučaju primjene hipoteze o plastičnom radu za odreñivanje parametra očvršćenja imamo p F(σ  ) ij)= f (W 

(12.70.)

A u slučaju primjene hipoteze o plastičnoj deformaciji za odreñivanje parametara očvršćenja imamo:

F(σ  εp ) ij ) = h(d 

2 ' p ' p 12 d  ε = [(dεij )(dεij )] 3 p

(12.71.)

gdje je d  ε p ekvivalentna plastična deformacija. Za sada nema eksperimentalnih potvrda koje zagovaraju neke prednosti izmeñu ovih hipoteza u odreñivanju parametara očvršćivanja. Štoviše u slučaju Von Misesova kriterija popuštanja obje hipoteze daju iste rezultate.

12.13. Druckerovi postulati i stabilnost materijala Očvršćenje materijala pri jednosmjernom stanju naprezanja tumači se prirastom naprezanja tijekom prirasta plastične deformacije. Meñutim u slučaju trosmjernog stanja naprezanja, očvršćenje materijala nije lako i jednostavno opisati. Drucker je 1951 godine to utemeljio svojim poznatim postulatom pod nazivom «druckerov postulat  » koji opisuje prirast plastičnog rada. Druckerov postulat se sastoji od dvije tvrdnje: a)

za vrijeme porasta opterećenja pri pojavi plastične deformacije dodatna naprezanja vrše pozitivan rad

b)

za vrijeme kompletnog ciklusa opterećenja i rasterećenja dodatno naprezanje vrši nenegativan rad, ako su prilikom opterećenja nastale plastične deformacije

ove tvrdnje se mogu grafički ilustrirati kao na slici (12.20.).

22

B

2 σ  ij

C

1 σ  ij

F2

A 0 σ  ij

0 F

1

Sl. (12.20.) Ilustracije Druckerova postulata 0 0 Pretpostavimo napregnutu točku A unutar elastičnog područja σ  ij gdje vrijedi F(σ  ij )<0. Dodamo li ovom naprezanju dodatno naprezanje tako da doñemo do točke B koja leži na inicijalnoj plohi popuštanja F  i vrijednost 1(σ  ij)=0 u slijedećem koraku ćemo doseći točku C  2 naprezanja σ  ij na novoj plohi popuštanja F  2(σ  ij)=0.   Prema Druckerovoj tvrdnji   b) rad po zatvorenom ciklusu opterećenja i rasterećenja je nenegativan pa vrijedi

0 (σ  σ  − ∫ ij ij )dεij ≥ 0

(12.72.)

Ovdje znak “=” odgovara ciklusu opterećenja i rasterećenja u elastičnom području dakle 0 e (σ  σ  ) dε − =0 ij ij ij ∫ 

(12.73.) Budući da se ukupna deformacija sastoji od elastičnog i plastičnog dijela, tada se jednakost (12.72.) može pisati u obliku: 0 p (σ  σ  ) dε − ∫ ij ij ij ≥ 0

(12.74.)

Kako je izbor točke A proizvoljan neka se on poklopi sa točkom B na imaginarnoj plohi popuštanja F  1 i neka je razmak izmeñu F  1 i F  2 infinitezimalan tada (12.74.) postaje: p dσ  ij ⋅ dεij ≥ 0

(12.75.)

što predstavlja osnovnu nejednolikost u području plastičnosti i definira tzv. stabilne materijale (sl. 12.21.).

23

σ

σ

σ

dσ>0

dσ<0

dε>0

dε>0

dσ>0 dε>0

dσdε>0

ε a) stabilan materijal

dσdε<0

dσdε>0

b) stabilan materijal

ε

ε c) nestabilan materijal

Sl. (12.21.) Ilustracije stabilnih materijala U skladu sa slikom (12.21.) stabilan materijal ima pozitivan prirast plastičnog rada, a nestabilan materijal ima negativan prirast plastičnog rada.

12.14. Pravila popuštanja i plastični potencijal Na temelju Druckerova postulata moguće je izvesti tri značajna teorema i to: teorem o koveksnosti plohe popuštanja, teorem o maksimumu rada plastičnog deformiranja i teorem o gradijentu prirasta plastične deformacije.

12.14.1. Pravilo o konveksnosti plohe popuštanja Ploha popuštanja je svugdje koveksna (ispupčena) ili u najmanju ruku ravna što slijedi iz p izraza (12.75.) koji pokazuje skalarni umnožak dvaju vektora dσ  ij i dεij koji mora biti nenegativan što znači da kut izmeñu njih nesmije biti tup ( φ<π/2). Ako je ploha popuštanja koveksna sl. (12.22.) ovo je uvjek zadovoljeno uz dodatni uvjet okomitosti vektora dεijp na plohu popuštanja. U slučaju konkavne plohe popuštanja Dreckerov postulat nije zadovoljen.

24

dσij

φ

dεij dεij φ

dσij

a) koveksna ploha popuštanja

b) konkavna ploha popuštanja

Sl (12.22) Ilustracija teorema o koveksnosti plohe popuštanja

12.14.2. Pravilo o maksimumu rada pri plastičnom deformiranju Izraz (12.74.) možemo napisati u obliku: p 0 p ≥ σ  dε σ  dε ij ij ∫ ij ij ∫ 

ili

p 0 p σ  dε ≥ σ  dε ij ij ij ij

(12.76.)

iz čega se vidi da je prirast rada od stvarnog naprezanja na prirastu proizvoljne plastične deformacije veći ili jednak prirastu rada bilo kojeg elastičnog naprezanja na istom prirastu plastične deformacije.

12.14.3. Pravilo o gradijentu plastične deformacije Već je spomenuto da Druckerov postulat o nenegativnom prirastu plastičnog rada može biti zadovoljen jedino ako je ploha popuštanja konveksna i ako je kut izmeñu vektora prirasta naprezanja i vktora prirasta plastične deformacije oštar odnosno φ<90. Ispunjenje tog uvjeta dεijp okomit na plohu popuštanja. S druge strane može biti osigurano jedino ako je vektor  imamo funkciju više varijabli F=F(σ  ij) čiji gradijent mora biti okomit na plohu koju ta funkcija odreñuje što je poznato iz matematike. Iz tog zaključujemo da je dεijp okomit na ∂σ  plohu popuštanja i paralelan s gradijentom ( ∂F/  ij )

dεijp=dλ

∂F  ∂σ  ij

(12.77.)

Izraz (12.77.) predstavlja opće pravilo popuštanja gdje je dλ - koeficijent proporcionalnosti, derivacija skalarne funkcije komponenta naprezanja ili funkcija plastičnog ∂F  / ∂σ  ij potencijala. dλ najčešće nije konstanta nego ovisi o povjesti plastične deformacije, odnosno o očvršćenju materijala.   Kod općeg pravila popuštanja (12.77.) inkrement plastične

25

dεijp nebi bio deformacije je direktno proporcionalan gradijentu naprezanja. Kada vektor  paralelan sa ∂F  kako je prikazano na sl. (12.23.a) u točki B, onda bi bilo moguće / ∂σ  ij dσ  odabrati vektor  ij tako da kut φ bude veći od π/2 što nebi bilo u skladu s Druckerovim postulatom.

dεijp

π/2<φ dσij

B

φ dεijp φ

dσij

dεijp

∂F  ∂σ 

F2(σij)

φ

A

n2 υ1

dσij

dεijp

υ1 F1(σij) a) regularni prirast plastične deformacij

dεijp

b) prirast plastične deformacije u singularnoj točki

Sl. (12.23.) Vektor plastične deformacije u regularnim i neregularnim točkama Analogno izrazu (12.77.) u slučaju postojanja singularne točke sl. 12.23.b na mjestu presjecišta dviju glatkih krivulja F  1(σ  ij)=0 i F  2(σ  ij)=0 imamo pravilo popuštanja u obliku

∂F  ∂F  1 2 + λ  2 ∂σ  ∂σ  ij ij

p d  ε  1 ij = λ 

(12.78.)

općenito vektor plastične deformacije leži unutar kuta koji zatvaraju dvije normale n 1 i n2 u singularnoj točki C  . Generalno gledano u jednoj točki se može sijeći m hipar ploha tada u njoj vrijedi opće pravilo popuštanja p

m

∂F  k  ∂σ  ij

d  ε  ij = ∑ λ  k  =1 k 

(12.79.)

12.15. Veze izmeñu naprezanja i deformacija u plastičnom području Nakon što započne popuštanje materijala ukupna deformacija može se prikazati kao suma elastičnog i plastičnog dijela u obliku e p d  ε  ε  ε  i j = d  ij + d  ij

(12.80.)

Inkrement elastične deformacije dεije može se prikazati kao rastav na hidrostatički i devijatorski dio u obliku

26

dεij e =

dS  (1 − 2νν ij + δ dσ  2µ E  ij kk 

(12.81.)

gdje su: E, µ,ν –elastični moduli mateijala Pokazali smo meñutim da je inkrement plastične deformacije proporcionalan gradijentu naprezanja preko funkcije plastičnog potencijala u obliku

dε ij p = dλ

∂F  ∂σ  ij

(12.82.)

U slučaju kad je funkcija naprezanja   združena s Misesovim kriterijem popuštanja tada je F(σ  i imamo: ij)=I  2' 

'  ∂F  ∂I  = 2 = S  ij ∂σ  ∂σ  ij ij

(12.83.)

tada jednakost (12.82.) postaje

dεij p = dλ S  ij

(12.84.)

što predstavlja poznatu «Prandtl-Reussovu » jednadžbu za plastične deformacije koja se rabi u mnogim znanstvenim radovima. Ova jednadžba daje dobre rezultate za čelik, dok se za druge materijale njezina podudarnost stalno ispituje. Sada se kompletna inkrementalna relacija izmeñu naprezanja i deformacija u plastičnom području može napisati u obliku:

dεij =

dS  (1 − 2 µ  ) ∂F  ij δij dσ  + kk + dλ 2µ E  ∂σ  ij

(12.85.)

ili uvažavajuće Misesov kriterij popuštanja:

d  ε  ij =

dS  (1 − 2µ  ) ij + ⋅ δ ⋅ d  S  σ  λ  kk + d  ij 2µ  E  ij

(12.86.)

što je poznato pod nazivim «kompletna Prandtl-Reussova jednadžba». U mnogim problemima plastičnosti, elastične su deformacije male u odnosu na plastične i mogu se zanemariti, te se uvodi relacija

dεij = dλ S  ij

(12.87.)

Ispuštena je i oznaka za plastičnost “p” jer se gornje deformacije smatraju ukupnim. To je poznata “Levy-Misesova jednadžba”. U gornjim jednadžbama ostaje neodreñen parameter dλ

27

koji nije konstanta nego ovisi o karakteristikama očvršćenja materijala, odnosno povjesti plastične deformacije. Da bismo odredili dλ kvadriramo jednadžbu (12.84.) i dobivamo p p 2 = d  ε  ε  λ  d  S  i j d  ij ij S  ij

(12.88.)

p p d  ε  ε  i j d  ij = d  λ  S  ij S  ij

(12.89.)

odakle dobivamo

uvoñenjem izraza: σ  T = σ  ek =

3 i S  ij S  ij 2

p p d  = d  ε  ε  ek  =

2 p p d  ε  ε  ij d  ij 3

(12.90.)

kao efektivnog naprezanja i efektivne plastične deformacije u jednadžbu (12.89.) dobivamo

3 dε p dλ = 2 σ  T 

(12.91.)

pa prethodna Prandtl-Reossova jednadžba postaje p dS  (1 − 2µ  ) 3 ε  ij ε  δ  σ  + d  d  + S  ij = ij E  ij kk  2µ  2 σ  T 

(12.92.)

12.16. Matrična formulacija jednadžbe teorije plastičnosti Prirast ukupne deformacije možemo prikazati kao sumu prirasta elastičnog i plastičnog dijela u obliku

{dε} = {dε e }+ {dε p }

}- vektor prirasta elastične deformacije, a ε  gdje su: {d  deformacije. e

(12.93.) p {d  }ε 

vektor prirasta plastične

Za elastični dio prirasta deformacije vrijedi e {d  } = [E  ε  ] {d  σ  } −1

gdje je [E]- matrica elastičnih konstanti čiji eksplicitni oblik izgleda

(12.94.)

28

+2 λ   λ    λ  [E  ]=   0  0   0

0 0 0 λ  + 2 µ  λ  0 0 0  + 2µ  0 0 0  λ  0  µ  0 0  0 0 0 0 0 µ  0   0 0 0 0 µ   λ 

λ 

(12.95.)

-gdje su λ i µ poznati Lamieovi koeficijenti Budući se plastični dio deformacije može izraziti u obliku

∂F  p ε  λ  {d  } = d  ∂{σ  }

(12.96.)

gdje je {σ  - skalarna funkcija naprezanja, a dλ - parametar popuštanja. }- vektor naprezanja, F  Uvrštenje izraza (12.96.) i (12.94.) u (12.93.) dobivamo

]−1 {dσ  {dε} = [E  } + dλ

∂F  } ∂{σ 

(12.97.)

U svrhu odreñivanja elastoplastične relacije izmeñu deformacija i naprezanja potrebna je dodatna jednadžba koja slijedi iz kriterija popuštanja

{σ  }, ε p , K = 0 F 

(12.98.)

diferenciranjem izraza (12.98.) dobivamo T 

T 

 ∂F    ∂F   ∂F  p { } { } dF  d  d  dk  = + + =0 σ  ε    p ∂ { } ∂ { } ∂ σ  ε  K     

(12.99.)

ili u obliku

{A}T {dσ  }− adλ = 0

(12.100.)

gdje su:

 ∂F ∂F  ∂F   ...  ∂σ   ∂σ  11 ∂σ  22 31 

{A}T = 

 ∂F   ∂F   1 p a= − +  p  {d  ε } dK   { } λ  ε  d  K  ∂ ∂     T 

Na taj način (σ-ε) relacija u elastoplastičnom području izgleda:

(12.101.)

29

     ε   d  11  d    ε  22      d  ε  33     ε  d   12  =  d    ε  23    ε   d   31   0        ∂F  ∂F  ∂F  ∂F  ∂F  ∂F   ∂σ  ∂σ  ∂σ  ∂σ  ∂σ  ∂σ   11 22 33 12 23 31

∂F    ∂σ  11  ∂F     d  σ  ∂σ  11  22    ∂F  σ  22   d  ∂σ  33   d  σ  33  ∂F     ⋅  d  σ  12   ∂σ  12   d  σ  23 ∂F     d  σ    31  ∂σ  23    d  ∂F  λ    ∂σ  31   −a   (12.102.)

Gornja jednakost predstavlja opću (σ-ε) relaciju u elastoplastičnom području koja je primjenjiva uz uporabu nekog od kriterija popuštanja. Lako se vidi da je “ a” jednako nuli za idealno plastičan materijal ili se može izraziti kao funkcija plastičnog očvršćenja materijala ili preko efektivne plastične deformacije, što je opisano u predhodnim poglavljima. Jednadžba (12.102.) se skraćena može pisati u matričnoj inkrementalnoj formi:

] − E  ]{dε} {dσ  } = [E  p {dε} = [E  el 

(12.103.)

]=[E]-[E  gdje je [E  el  p] elastoplastična matrica.

]{A}{A} [E  ] / a + {A} [E  ]{A} [E ] = [E  T 

p

T 

−1

(12.141.)

Vidi se iz (12.103.) da je matrična veza izmeñu naprezanja i deformacija u području plastičnosti poznata ako znamo maticu elastičnosti [E], vektor {A}, koji slijedi iz zakona popuštanja i parametara “a” koji slijedi zakon očvršćenja materijala.