PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA E INCORPORANDO PÉRDIDAS USANDO BÚSQUEDA TABÚ
AUGUSTO CÉSAR RUEDA MEDINA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA MAESTRÍA EN INGENIERÍA ELÉCTRICA PLANEAMIENTO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA PEREIRA 2008
PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA E INCORPORANDO PÉRDIDAS USANDO BÚSQUEDA TABÚ
Trabajo de Grado para Optar al Título de Magíster en Ingeniería Eléctrica
AUGUSTO CÉSAR RUEDA MEDINA
Director M. Sc. ANTONIO HERNANDO ESCOBAR ZULUAGA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA MAESTRÍA EN INGENIERÍA ELÉCTRICA PLANEAMIENTO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA PEREIRA 2008
Calificación: ______________________
____________________________ M. Sc. Alberto Ocampo V. Presidente del Jurado.
___________________________ M. Sc. Alejandro Garcés Ruiz Jurado.
___________________________ M. Sc. Carlos Alberto Ríos Porras Jurado.
___________________________ M. Sc. Antonio H. Escobar Zuluaga Director.
A Dios. A mi madre Emelia, mi padre Alfredo, mi hermana Luisa, mi sobrina Valentina y mi novia Johanna.
AGRADECIMIENTOS Mis profundos agradecimientos: •
A Dios por sus constantes bendiciones.
•
Al M.Sc. Antonio H. Escobar Zuluaga por su orientación en el desarrollo de este trabajo.
•
Al Ph. D. Ramón A. Gallego Rendón por sus recomendaciones y apoyo.
•
A mi madre por esmerarse en mi formación.
•
A mi padre por su constante ayuda.
•
A mi hermana porque siempre ha creído en mí.
•
A mi novia por su inagotable cariño.
•
A mis amigos por compartir una parte de sus vidas conmigo.
•
Al Grupo de Planeamiento en Sistemas Eléctricos por su respaldo académico.
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A la Universidad Tecnológica de Pereira y al Programa de Ingeniería Eléctrica porque me han dado los elementos necesarios para desarrollarme profesionalmente.
•
A Marisol, secretaria de la Maestría en Ingeniería Eléctrica, por su siempre amable colaboración.
TABLA DE CONTENIDO 1
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 12
2 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA ESTÁTICO DE PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN ................................................ 19 2.1 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA ESTÁTICO ............................................................................ 21 2.1.1 Modelo de Transportes .................................................................................................................. 22 2.1.2 Modelo Híbrido no Lineal.............................................................................................................. 23 2.1.3 Modelo Híbrido Lineal .................................................................................................................. 26 2.1.4 Modelo DC..................................................................................................................................... 27 2.1.5 Modificaciones en el Modelo Básico ............................................................................................. 29 2.1.6 Modelo Lineal Disyuntivo.............................................................................................................. 31 2.1.7 Modelo Básico Incluyendo Pérdidas Técnicas .............................................................................. 33
3 TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ESTÁTICO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN....................................................... 35 3.1 ALGORITMOS HEURÍSTICOS CONSTRUCTIVOS ......................................................................... 35 3.1.1 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan el Modelo de Transportes .................................. 36 3.1.2 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan el Modelo DC..................................................... 38 3.1.3 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan Modelos Mixtos.................................................. 42 3.2 MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN CLASICA....................................................................................... 44 3.3 MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN COMBINATORIAL ...................................................................... 46 3.3.1 Simulated Annealing ...................................................................................................................... 46 3.3.2 Algoritmos Genéticos..................................................................................................................... 47 3.4 OTRAS TÉCNICAS DE SOLUCIÓN ................................................................................................... 48
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BÚQUEDA TABÚ ...................................................................................................... 49 4.1 ASPECTOS BÁSICOS DE BÚSQUEDA TABÚ.................................................................................. 50 4.1.1 Configuración Inicial..................................................................................................................... 50 4.1.2 Generación del Vecindario ............................................................................................................ 52 4.1.3 Selección del Mejor Vecino............................................................................................................ 53 4.1.4 Actualización de la Estructura Tabú.............................................................................................. 53 4.2 ESTRUCTURAS DE MEMORIA EN BÚSQUEDA TABÚ................................................................. 54 4.2.1 Memoria de Corto Plazo................................................................................................................ 54 4.2.2 Memoria de Largo Plazo ............................................................................................................... 56 4.3 ESTRATEGIAS APLICADAS EN BÚSQUEDA TABÚ ..................................................................... 60 4.3.1 Oscilación Estratégica................................................................................................................... 60 4.3.2 Path Relinking................................................................................................................................ 60
5 APLICACIÓN DE BÚSQUEDA TABÚ AL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN....................................................... 61 5.1 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA A TRAVÉS DE BÚSQUEDA TABÚ ................................................ 61 5.1.1 Estrategias de Partida del Algoritmo de Búsqueda Tabú.............................................................. 61 5.1.2 Memoria de Corto Plazo................................................................................................................ 61 5.1.3 Memoria de Largo Plazo ............................................................................................................... 63
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5.2 EL PROBLEMA DE LA ESTRUCTURA DE VECINDAD ................................................................. 65 5.3 IMPLEMANTACIONES ESPECIALIZADAS EN EL ALGORITMO DE BÚSQUEDA TABÚ ........ 67 5.3.1 Implementación del Path Relinking ............................................................................................... 67 5.3.2 Criterio de Parada......................................................................................................................... 69 5.3 IMPLEMANTACIÓN DEL ALGORITMO DE BÚSQUEDA TABÚ.................................................. 69
6 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA EXPANSIÓN DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA......... 71 6.1 MODELAMIENTO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA TOTAL ..................................................................................... 73 6.2 MODELAMIENTO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA INDIVIDUALMENTE PARA CADA BARRA DE CARGA .. 75
7 LOCALIZACIÓN E INCORPORACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN EN EL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN ...................... 77 7.1 PÉRDIDAS TÉCNICAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN ........................................................... 78 7.1.1 Pérdidas Técnicas por el Efecto Resistivo de los Conductores en las Líneas de Transmisión ...... 78 7.1.2 Otras Pérdidas Técnicas en el Sistema de Transmisión ................................................................ 81 7.2 LOCALIZACIÓN DE PÉRDIDAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN ........................................... 82 7.3 INCORPORACIÓN DE LAS PÉRDIDAS EN EL PROCESO DE PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE LA TRANSMISIÓN ...................................................................................................... 83
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PRUEBAS Y RESULTADOS ................................................................................... 88 8.1 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN BÁSICO Y CENTRALIZADO...................................... 89 8.1.1 Sistema Garver............................................................................................................................... 89 8.1.2 Sistema IEEE24 ............................................................................................................................. 89 8.1.3 Sistema Sur Brasil.......................................................................................................................... 90 8.1.4 Sistema Colombiano ...................................................................................................................... 93 8.2 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA ............ 94 8.2.1 Sistema Garver............................................................................................................................... 94 8.2.2 Sistema IEEE24 ............................................................................................................................. 95 8.2.3 Sistema Sur Brasil.......................................................................................................................... 96 8.2.4 Sistema Colombiano ...................................................................................................................... 99 8.3 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN INCORPORANDO PÉRDIDAS DEL SISTEMA ....... 100 8.3.1 Sistema Garver............................................................................................................................. 100 8.3.2 Sistema IEEE24 ........................................................................................................................... 101 8.3.3 Sistema Sur Brasil........................................................................................................................ 101 8.3.4 Sistema Colombiano .................................................................................................................... 103 8.4 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA E INCORPORANDO PÉRDIDAS DEL SISTEMA ..................................................................................... 105 8.4.1 Sistema Garver............................................................................................................................. 105 8.4.2 Sistema IEEE24 ........................................................................................................................... 106 8.4.3 Sistema Sur Brasil........................................................................................................................ 106 8.4.4 Sistema Colombiano .................................................................................................................... 109 8.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................................................... 110 8.5.1 Comparación con otros resultados reportados............................................................................ 110 8.5.2 Comparación entre resultados bajo los diferentes planteamientos manejados en este estudio... 112 8.5.3. Aumento de la inversión incluyendo pérdidas respecto al planeamiento básico y centralizado 119
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................... 120
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9.1 CONCLUSIONES ............................................................................................................................... 120 9.2 RECOMENDACIONES...................................................................................................................... 121
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 122
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LISTA DE FIGURAS Figura 3.1. Algoritmo de Garver..................................................................................... 37 Figura 3.2. Algoritmo de Mínimo Esfuerzo.................................................................... 40 Figura 3.3. Algoritmo de Mínimo Corte de Carga.......................................................... 42 Figura 3.4. Algoritmo de Villasana-Garver. ................................................................... 44 Figura 3.5. Aplicación del punto de recombinación. ...................................................... 47 Figura 4.1. Mecanismo de Búsqueda Tabú..................................................................... 50 Figura 4.2. Algoritmo de Búsqueda Tabú con una única configuración de partida. ...... 51 Figura 4.3 Algoritmo de Búsqueda Tabú con k configuraciones de partida.................. 52 Figura 4.4. Movimiento de Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo. ..................... 55 Figura 4.5. Implementación simple de intensificación en Búsqueda Tabú. ................... 58 Figura 4.6. Implementación simple de diversificación en Búsqueda Tabú. ................... 59 Figura 5.1. Diversificación con memoria de largo plazo basada en hechos recientes.... 65 Figura 5.2. Formación de listas de líneas candidatas a adición o retiro.......................... 66 Figura 5.3. Ilustración del proceso de diversificación-intensificación. .......................... 68 Figura 5.4. Diagrama de flujo de la metodología Búsqueda Tabú ................................. 70 Figura 7.1. Flujo de potencia en una línea de transmisión.............................................. 78 Figura 7.2. Función objetivo incorporando las pérdidas del sistema de transmisión ..... 84 Figura 7.3. Distribución de las pérdidas de la línea k-m. ................................................ 86 Figura 8.1. Resultados para el sistema Garver.............................................................. 112 Figura 8.2. Resultados para el sistema IEEE24. ........................................................... 114 Figura 8.3. Resultados para el sistema sur Brasil con redespacho................................ 115 Figura 8.4. Resultados para el sistema sur Brasil sin redespacho................................. 117 Figura 8.5. Resultados para el sistema colombiano. ..................................................... 118 Figura 8.6. Porcentaje de aumento del costo de inversión incluyendo pérdidas con relación al plan básico y centralizado................................................................... 119
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LISTA DE TABLAS Tabla 8.1. Plan de expansión básico y centralizado para el sistema Garver. ................ 89 Tabla 8.2. Plan de expansión básico y centralizado para el sistema IEEE24................ 90 Tabla 8.3. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema sur Brasil con redespacho. .......................... 91 Tabla 8.4. Plan de expansión básico y centralizado para el sistema sur Brasil con redespacho. ............................................................................................................. 91 Tabla 8.5. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema sur Brasil sin redespacho. ........................... 92 Tabla 8.6. Plan de expansión básico y centralizado para el sistema sur Brasil sin redespacho. ............................................................................................................. 92 Tabla 8.7. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema colombiano.................................................. 93 Tabla 8.8. Plan de expansión básico y centralizado para el sistema colombiano.......... 94 Tabla 8.9. Plan de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema Garver........................................................................................................ 95 Tabla 8.10. Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema IEEE24. ..................................................................................................... 96 Tabla 8.11. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil con redespacho........ 97 Tabla 8.12. Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil con redespacho.......................................................................... 97 Tabla 8.13. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil sin redespacho......... 98 Tabla 8.14. Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil sin redespacho........................................................................... 98 Tabla 8.15. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema colombiano. ............................. 99 Tabla 8.16. Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema colombiano. ............................................................................................. 100 Tabla 8.17. Plan de expansión incorporando pérdidas para el sistema Garver. ............ 101 Tabla 8.18. Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema IEEE24. ....... 101 Tabla 8.19. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho. ...................... 102 Tabla 8.20. Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho. ........................................................................................................... 103 Tabla 8.21. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento incorporando pérdidas para el sistema colombiano. ............................................ 104 Tabla 8.22. Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema colombiano. . 104
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Tabla 8.23. Plan de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema Garver. ......................................................................................... 105 Tabla 8.24. Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema IEEE24. ......................................................................... 106 Tabla 8.25. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho........................................................................................... 107 Tabla 8.26. Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho. ............................................ 107 Tabla 8.27. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil sin redespacho............................................................................................ 108 Tabla 8.28. Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil sin redespacho............................................... 109 Tabla 8.29. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema colombiano. .......................................................................................................... 109 Tabla 8.30. Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema colombiano. ............................................ 110 Tabla 8.31. Comparación con otros resultados reportados............................................ 111 Tabla 8.32. Resultados obtenidos para el sistema Garver. ............................................ 112 Tabla 8.33. Resultados obtenidos para el sistema IEEE24............................................ 113 Tabla 8.34. Resultados obtenidos para el sistema sur Brasil con redespacho. .............. 115 Tabla 8.35. Resultados obtenidos para el sistema sur Brasil sin redespacho. ............... 116 Tabla 8.36. Resultados obtenidos para el sistema colombiano. .................................... 118
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Capítulo 1 1 INTRODUCCIÓN En las últimas décadas el sector eléctrico ha cambiado drásticamente con respecto a su estructura, regulación y operación; de hecho, el sector eléctrico ha sido privatizado y reestructurado en muchos países alrededor del mundo. La estructura tradicional integrada verticalmente por los sistemas de generación, transmisión y distribución se ha modificado y, en lugar de esta, distintas empresas se han establecido tomando cada una de ellas estas funciones. La principal razón para este cambio se encuentra en la expectativa causada por la competencia; la cual sugiere que este ambiente conllevará a una reducción en los precios de la electricidad, mejoramiento de la calidad del servicio así como el surgimiento de nuevas tecnologías, aunque en pocos casos han surgido comportamientos estratégicos elevando considerablemente los precios sobre los costos marginales [1]. El sistema de transmisión es uno de los componentes más grandes del sistema eléctrico. Puesto que en el nuevo esquema el sistema de transmisión entrega el ambiente propicio para la competencia entre los participantes del mercado de energía, el planeamiento de la expansión de los sistemas de transmisión debe ser llevado de manera adecuada y oportuna de tal forma que se maximice el beneficio social total. En el antiguo modelo la expansión de la transmisión típicamente era planeada, financiada y construida como parte de un plan de recursos integrado verticalmente, el cual buscaba el plan de inversión total que minimizara los costos con cierto nivel de confiabilidad. En el nuevo escenario han cambiado los objetivos del planeamiento de la expansión de la transmisión; el movimiento del mercado a un ambiente desregulado ha incrementado la incertidumbre con relación a la recuperación de los costos de inversión; se ha potenciado la posibilidad de que se presenten costos encallados, algunas partes de la red de transmisión serán usadas en forma diferentes a como habían sido originalmente planeadas o históricamente usadas y algunas restricciones del sistema serán usadas con más frecuencia y con más significado económico. Por lo tanto, el planeamiento de la transmisión en un entorno económicamente competitivo es claramente un tema de alta complejidad. Específicamente el planeamiento de la expansión de la transmisión está orientado hacia los siguientes objetivos: •
Proveer acceso a generación de bajo costo para todos los consumidores sin ningún tipo de discriminación.
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•
Promover y facilitar la competencia entre todos los participantes del mercado de energía.
•
Promover un ambiente justo del lado del suministro de energía para todos los generadores así como del lado de la demanda para todos los consumidores.
•
Proveer una red de transmisión segura, desde el punto de vista eléctrico.
Las incertidumbres se pueden clasificar en dos tipos: de tipo aleatoria y no aleatoria. Las de tipo aleatoria son derivadas de aquellos parámetros que son repetibles y tienen una distribución de probabilidad conocida. Por lo tanto, estas incertidumbres pueden ser obtenidas de observaciones pasadas. Dentro de estas se encuentra la incertidumbre en la demanda. Las de tipo no aleatoria son consecuencia de parámetros que no son repetibles y por lo tanto su análisis estadístico no puede ser realizado a partir de observaciones pasadas. En esta clasificación se encuentra la incertidumbre en la generación. Debido a que los métodos de modelamiento de incertidumbre aleatorias y no aleatorias son diferentes, éstas deben ser identificadas claramente antes de empezar con el proceso de planeamiento. Por otra parte, cuando la potencia activa fluye a través del sistema de transmisión se presentan pérdidas que disminuyen la eficiencia del sistema. Básicamente las pérdidas técnicas aparecen por las siguientes razones: •
Pérdidas por el efecto resistivo de los conductores.
•
Pérdidas en el hierro y el cobre de los transformadores.
•
Pérdidas por efecto corona.
Se han utilizado varios métodos para determinar dónde ocurren exactamente las pérdidas técnicas del sistema con el fin de asignar apropiadamente los costos asociados a ellas, sin embargo, desde el punto de vista práctico, el costo asociado a las pérdidas totales es asumido por productores y consumidores, siguiendo alguna fórmula. Algunos procedimientos de asignación de estos costos son los siguientes: •
Procedimientos pro rata (PR): las pérdidas son asignadas a generadores y consumidores en proporciones iguales (50% a dada categoría).
•
Procedimientos marginales: las pérdidas son asignadas a los consumidores y generadores a través de coeficientes de pérdidas generales obtenidos de un flujo de carga. Con este método pueden presentarse pérdidas con signo negativo, lo que se interpretaría como subsidios.
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•
Procedimientos marginales no subsidiados: Difiere del anterior método en que se evitan pérdidas con signos negativos. Esto se logra calculando coeficientes de pérdidas diferentes tanto para generadores como para consumidores.
El modelamiento de este problema implica el manejo de variables que lo hacen típico de la programación no lineal entera mixta (PNLEM), presentando además un fenómeno de explosión combinatorial de las soluciones, dada la gran cantidad de posibles configuraciones factibles que se pueden presentar. Esto implica que el esfuerzo computacional empleado para resolverlo mediante una búsqueda exhaustiva crece de manera exponencial con el tamaño del problema. Los problemas de este tipo son denominados NP (no polinomiales); algunos problemas NP son especialmente difíciles y son denominados NP-completos (caso del problema del planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión). Para los problemas NP no existen algoritmos de solución conocidos que resuelvan el problema en tiempos de cómputo polinomiales. El concepto de polinomial es respecto al número de variables involucradas en el problema; por lo tanto, en un problema de este tipo, el tiempo de solución puede alcanzar valores prohibitivos, para sistemas de gran tamaño, con las máquinas disponibles en la actualidad. El problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión consiste en hallar las líneas y/o transformadores que deben ser adicionados al sistema con el mínimo costo de inversión satisfaciendo la demanda futura, atendiendo restricciones técnicas y económicas, a partir de una configuración inicial, datos de generación, datos de demanda y especificaciones de los parámetros que conforman el sistema. Este problema puede ser dividido en planeamiento de largo plazo, mediano plazo o de corto plazo. Según el tratamiento dado al período de estudio, el problema puede ser clasificado como estático o dinámico. El problema es estático si se busca la configuración de circuitos en un solo año en el horizonte de planeamiento; en este caso quien planea está interesado en determinar “qué”, “cuántos” y “dónde” deben ser instalados los circuitos adicionales [2]. Por otro lado, si se divide el período de planeamiento en intervalos de tiempo de menor tamaño, y se propone una estrategia de expansión óptima a través del período de planeamiento global, el problema de planeamiento es dinámico y quien planea, además de buscar “qué”, “cuántos” y “dónde” deben ser instalados los nuevos elementos, debe determinar “cuándo” realizar las nuevas adiciones [3]. De acuerdo al procedimiento que se siga para obtener el plan de expansión, las técnicas de optimización se pueden clasificar en exactas y aproximadas: •
Técnicas exactas. Las técnicas exactas pueden hallar el plan de expansión óptimo a través de un procedimiento de cálculo que resuelve la formulación matemática del problema. A causa de la imposibilidad de considerar todos los aspectos del planeamiento de la expansión de la transmisión, el plan obtenido es el óptimo solo bajo grandes simplificaciones y para problemas de baja y en algunos casos de
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mediana complejidad, esto es, problemas con bajo número de nodos y de circuitos candidatos a adición y que no presenten gran número de nodos aislados. •
Técnicas aproximadas. Dentro de las técnicas aproximadas se encuentran varios tipos de heurísticas, meta-heurísticas y técnicas especiales. Éstas van paso a paso generando, evaluando y seleccionando opciones de expansión, con o sin la ayuda de quien realiza el planeamiento. Teóricamente, estas técnicas renuncian, por lo menos desde el punto de vista teórico, a encontrar la solución óptima y generalmente encuentran soluciones subóptimas. Por lo tanto, son atractivas para la solución de problemas de alta complejidad, empleando esfuerzo computacional razonable y entregando planes de expansión subóptimos de muy buena calidad en los cuales incidentalmente podría estar el plan óptimo.
En la literatura especializada se encuentran numerosos autores que han abordado el problema de planeamiento de la expansión de la transmisión. Los avances en esta área se potencian en gran medida por los mejoramientos en las capacidades de los sistemas de cómputo y por la implementación de nuevos o mejorados algoritmos de optimización. Dentro de estos se pueden distinguir los modelos clásicos de optimización matemática, como técnicas de programación lineal: Garver [4], Kaltenbatch, Peshon y Gehrig [5], Villasana, Garver y Salon [6]; programación dinámica: Dusonchet y El-Abiad [7]; programación no lineal: Youssef y Hackam [8] y programación entera mixta: Lee, Hocks y Hnyilicza [9], Haffner, Monticelli, Garcia, Mantovani y Romero [10], Bahiense, Oliveira, Pereira y Granville [11]. También han sido usadas técnicas de optimización como Bernders: Pereira, Pinto, Cunha y Oliveira [12], Romero y Monticelli [13], Binato, Pereira y Granville [14] y descomposición jerárquica: Romero y Monticelli [15], además de técnicas de descomposición con otras aproximaciones resolviendo el problema con un algoritmo de Branch and Bound [16]. Una de las primeras aproximaciones heurísticas para resolver el problema de la expansión de la transmisión fue propuesta por Fischl y Puntel [17]. Ellos introdujeron el concepto de “red contigua” (adjoin network) combinado con el modelo de flujo de carga DC para producir los cambios de susceptancia necesaria para minimizar los costos de inversión. Un procedimiento heurístico común es localizar circuitos adicionales usando análisis de sensibilidad. Algunas de estas técnicas se relacionan estrechamente con parámetros eléctricos utilizando procedimientos para remover sobrecargas. Otros usan el análisis de sensibilidad con respecto al corte de carga u otro índice del comportamiento del sistema, por ejemplo, el criterio de mínimo esfuerzo usado por Monticelli, Santos Jr, Pereira, Cunha, Parker y Praça [18], o con respecto a la susceptancia cuando se usa un flujo de carga DC (ver [19]). Todos ellos empiezan desde un plan el cual mejoran después de muchas evaluaciones sucesivas obteniendo una solución cuasi-óptima. Se han realizado procedimientos basados en el flujo a través de redes ficticias o de capacidad ilimitada ([4] y [6]) en los cuales se garantiza que el modelo matemático usa toda la capacidad de los circuitos reales primero. Estos procedimientos combinan técnicas
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heurísticas con programación lineal y con algoritmos de optimización matemática para resolver el problema. Los avances en sistemas computacionales con procesamiento en paralelo han facilitado la solución de problemas complejos en poco tiempo de cómputo. Existe una gran variedad de algoritmos apropiados para la implementación en paralelo, por ejemplo, los algoritmos genéticos. Aplicaciones sobre algoritmos genéticos para el planeamiento de la expansión de la transmisión han sido desarrolladas por: Yoshimoto, Yasuda y Yokohama [20], Gallego, Monticelli y Romero [21], Escobar, Gallego, Romero y de Oliveira [22]. Otra metodología utilizada para la solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión es búsqueda tabú. Ésta se basa en estrategias de intensificación y diversificación a partir de una o varias configuraciones iniciales que puede ser obtenida de manera aleatoria o por un algoritmo inicializador. Trabajos que usan esta metodología han sido expuestos en [23]. El planeamiento de la expansión también ha sido resuelto usando modelos orientados a objetos [24], teoría de juegos [25], simulated annealing [26], teoría difusa [27] y GRASP [28]. En [29] se hace una comparación entre las principales características de tres métodos de optimización para el planeamiento de la transmisión: simulated annealing, algoritmos genéticos y búsqueda tabú, y en [3] fue propuesta una aproximación híbrida para resolver este problema. La mayoría de las investigaciones en planeamiento de la transmisión reportadas son llamadas planeamiento básico y centralizado porque no consideran incertidumbres en la demanda, es decir, el plan de expansión óptimo es determinado considerando solamente una cantidad fija de demanda. La literatura sobre planeamiento considerando incertidumbre en la demanda como parte del proceso de expansión es casi inexistente; investigaciones al respecto se encuentran en [30] y [31]. El estudio de las pérdidas en el sistema de transmisión básicamente se ha centrado en determinar su localización dentro del sistema para determinar “quién debe pagar por ellas”. De acuerdo a la forma como se trate la no linealidad de la expresión de pérdidas, se han propuesto diferentes métodos para su localización, produciendo igualmente diferentes resultados. Algunos de estos desarrollos se exponen en [32] y [33]. En este trabajo se considerará que las inversiones se hacen al comienzo del periodo de análisis (modelamiento estático del problema) y se pretende determinar cuanto, dónde y qué inversión debe ser hecha de tal forma que se minimice el valor presente del costo de inversión y se satisfaga la demanda futura. El modelo usado difiere del tradicional en dos aspectos: considera incertidumbre en la demanda y utiliza un modelo DC modificado que incluye las pérdidas técnicas de potencia activa.
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Tradicionalmente los modelos para el planeamiento de la expansión de la transmisión han considerado la demanda como una variable estática a pesar de que depende de factores demográficos, políticos, sociales y económicos lo que hace imposible determinar de manera exacta su valor en el futuro. En este trabajo se utilizará un modelo en el que se considera la incertidumbre en la demanda en cada nodo del sistema de potencia. En diversos estudios la localización de pérdidas se ha enfocado en proveer un mecanismo claro de competencia entre los participantes del mercado de energía, sin embargo no se conoce un trabajo donde se incluyan las pérdidas técnicas, dentro del proceso de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión. En este trabajo se plantea una forma alternativa de solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión considerando las pérdidas técnicas del sistema, más sin considerar la forma como se distribuyen sus costos. A través de este enfoque, se realizarán pruebas para analizar si esto afecta el plan de expansión. La complejidad del problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión esencialmente está dada por su tamaño (número de nodos y posibles líneas y/o transformadores a ser instalados), no linealidades existentes, cantidad de adiciones que deben ser realizadas al final del proceso y cantidad de nodos aislados del sistema. Los sistemas a tratar en este estudio son: Garver (6 nodos y 15 corredores posibles para adición), IEEE24 (24 nodos y 41 corredores posibles para adición), sur Brasil (46 nodos y 79 corredores posibles para adición) y Colombia (93 nodos y 155 corredores posibles para adición), los cuales han sido casos de estudio en diversas investigaciones mostrados en la literatura especializada. La estructura de este trabajo es la siguiente: En el capítulo 2 se presenta el modelamiento matemático del problema estático de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión. Se muestran los modelos básicos de transportes, híbrido no lineal, híbrido lineal, DC y lineal disyuntivo, además de una modificación relacionada con la inclusión de generadores artificiales en todas las barras con carga necesaria para el desarrollo de algunas técnicas en el planeamiento de la expansión de la transmisión. Los principales métodos usados en la solución del problema estático de la expansión de sistemas de transmisión se muestran en el capítulo 3; estas técnicas, propuestas por varios autores, se pueden agrupar en algoritmos heurísticos constructivos, métodos de optimización clásica y métodos de optimización combinatorial. Las características esenciales del algoritmo de Búsqueda Tabú son expuestas en el capítulo 4. Allí se presentan los aspectos básicos del algoritmo, sus estructuras de memoria y algunas estrategias aplicadas en su desarrollo. El capítulo 5 se dedicó a la presentación de las características fundamentales de funcionamiento del algoritmo Búsqueda Tabú aplicado al problema de planeamiento de la
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expansión de sistemas de transmisión. Allí se comentan las estrategias de partida del algoritmo, la aplicación del mismo a través de memoria de corto y largo plazo, se explica el problema de la estructura de vecindad, se hace una breve descripción de la integración de estrategias a través del path relinking y se sugieren algunos criterios de parada del algoritmo. La incertidumbre en la demanda en el planeamiento de la expansión de la transmisión puede ser considerada según el modelamiento mostrado en el capítulo 6. En esta parte se presentan dos formas de hacer esto usando el modelo DC: considerando la incertidumbre en la demanda total del sistema y considerándola individualmente para cada barra de carga. En el capítulo 7, además de mostrar las principales causas de pérdidas de potencia activa y de comentar sobre estudios de la forma como estas pueden localizarse dentro del sistema de transmisión, se plantea una forma alternativa de solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión considerando las pérdidas del sistema, más sin contemplarlas de forma directa dentro del modelo. El capítulo 8 se destinó al registro y análisis de los resultados obtenidos en la etapa de pruebas de este trabajo. Se muestran parámetros y respuestas de los casos de prueba elegidos para el planeamiento estático básico y centralizado, planeamiento considerando incertidumbre en la demanda individualmente para cada barra de carga y dos nuevas estrategias de planeamiento:1) incorporando pérdidas técnicas por efecto resistivo de las líneas de transmisión y 2) una mezcla entre planeamiento con incertidumbre en la demanda y planeamiento con pérdidas por efecto resistivo de los conductores. Finalmente, el capítulo 9 contiene las conclusiones sobre el trabajo realizado y las recomendaciones para trabajos futuros.
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Capítulo 2Equation Section 2 2 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA ESTÁTICO DE PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN El problema de la expansión de las capacidades de generación y de transmisión de los sistemas de energía eléctrica constituye un problema de optimización de gran complejidad en función de diversos factores entre los cuales se destacan los siguientes: 1.
Es necesario considerar una visión a largo plazo para que los inversionistas se puedan beneficiar de las economías de escala que son usuales en los equipos de transmisión, y que pueden también estar presentes en algunas inversiones de generación, tales como las centrales hidroeléctricas. Adicionalmente a esto, el tiempo necesario para la construcción de sistemas de generación de gran tamaño, como en el caso de grandes centrales hidroeléctricas, hace que sea necesario decidir sobre su construcción mucho antes de que estas se vuelvan necesarias para el sistema.
2.
Las inversiones en transmisión y en generación presentan dependencias temporales y espaciales que requieren ser analizadas en forma simultánea en el espacio y en el tiempo. Así mismo es necesario analizar, simultáneamente, todo el sistema en un horizonte de largo plazo.
3.
Se requiere analizar simultáneamente las características técnicas, económicas y ambientales de las inversiones.
4.
Existen incertidumbres asociadas a los valores previstos para el comportamiento de la demanda, de los recursos hídricos (responsables del 63.6% de la producción nacional de energía eléctrica [XM, Capacidad de Generación del Sistema Eléctrico Colombiano, 2007]) y del costo y disponibilidad de otras fuentes primarias de energía (gas natural, carbón, derivados del petróleo y fuentes alternativas) en el horizonte de planeamiento.
Considerando los aspectos anteriores dentro del planeamiento de la transmisión y generación de energía eléctrica, este resulta ser un problema de optimización de difícil solución en función del elevado número de variables (continuas y enteras), del tipo de
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variables (técnicas y económicas) y del número de restricciones (lineales y no lineales), el cual ha sido tradicionalmente simplificado a través del desacoplamiento entre el planeamiento de la transmisión y de la generación, siendo necesario resolver el segundo antes que el primero, utilizando en éste una representación aproximada de las inversiones en la transmisión. Otra simplificación que se utiliza es la de no involucrar variables económicas relacionadas con mercado de energía en el modelo de planeamiento de la expansión del sistema eléctrico y en su lugar usar índices o valores puntuales. De otro lado, los sistemas de transmisión han sido tradicionalmente planeados usando modelos estáticos que analizan sólo un horizonte de planeamiento y consideran que todas las inversiones son realizadas en el mismo instante de tiempo. Como se puede deducir, el problema de planeamiento está aún siendo estudiado conservando el desacople entre el planeamiento de la generación y de la transmisión. Adicionalmente, el estudio del planeamiento estático no está aún concluido y se siguen presentando nuevas alternativas para su solución, sin embargo, la implementación de esquemas no regulados exige avanzar hacia un nuevo tipo de planeamiento integrado que maneje de forma acoplada la expansión de la capacidad en generación y transmisión, los costos de operación en generación y transmisión y los aspectos económicos relacionados con el mercado de electricidad. De manera similar a lo que ocurre con las empresas involucradas en la industria de la electricidad, en el ámbito académico se están produciendo cambios rápidos y dramáticos que están conduciendo al desarrollo de trabajos de alto nivel técnico pero de bajo nivel en el aspecto económico o trabajos bien sustentados en los aspectos económicos pero construidos sobre una base técnica deficiente. Se hace necesario entonces proponer metodologías que permitan incorporar los aspectos económicos a revaluados modelos de planeamiento de la generación y la transmisión que actúen de forma acoplada y que además permitan involucrar el tiempo como una nueva variable, lo que nos conduce necesariamente al planeamiento dinámico de la expansión. El problema del planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión, al igual que en cualquier problema de optimización en ingeniería, se soluciona a través de la implementación de dos etapas: •
Modelamiento matemático. Consiste en la representación matemática exacta o simplificada de un problema de la vida real a través de una formulación matemática.
•
Técnica de solución. La técnica de solución elegida debe ser conveniente al modelamiento del problema. Existen diversas técnicas que, según sus características, se pueden reunir en tres grupos: algoritmos heurísticos constructivos, métodos de optimización clásica y métodos de optimización combinatorial.
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En este capítulo se presentará el modelamiento matemático del problema estático de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión.
2.1 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA ESTÁTICO El problema de planeamiento estático de la expansión de los sistemas de transmisión de energía eléctrica es una simplificación del problema dinámico para el cual, se considera un único horizonte de planeamiento. En este caso, se debe determinar la localización y el tipo de inversión que debe ser realizada para que el valor presente del costo total de operación e inversión sea mínimo para el período de tiempo considerado. En el planeamiento estático se asume que todas las inversiones se realizan en el mismo instante del tiempo y al comienzo del horizonte de planeamiento. El problema de planeamiento de la expansión de las capacidades de generación y transmisión de los sistemas de energía eléctrica puede ser representado por el siguiente problema de optimización:
min z = c( x) + d ( y ) s.a.: A( x) ≥ b E ( x) + F ( y ) ≥ h
(2.1)
donde x representa las variables de inversión (decisiones respecto a las capacidades de generación y transmisión); c(x) representa el costo asociado a las decisiones de inversión; A( x) ≥ b representa las restricciones asociadas a las decisiones de inversión (restricciones financieras, cronograma de construcciones, límites físicos de instalación, etc.); y representa las variables de operación del sistema (decisiones respecto al nivel de generación en barras, corte de carga, flujos en las líneas y transformadores, etc.); d(y) representa el costo asociado a las decisiones de operación; E ( x) + F ( y ) ≥ h representa las restricciones asociadas a las decisiones de operación (que dependen a su vez de las decisiones de inversión realizadas).
A través de la formulación del problema dada en (2.1) y utilizando definiciones adecuadas para la función objetivo z = c( x) + d ( y ) y para las restricciones A( x) ≥ b y E ( x) + F ( y ) ≥ h , es posible representar una variada gama de problemas de expansión de capacidades, desde el problema de planeamiento estático de la transmisión ([34] y [15]) hasta el planeamiento dinámico integrado al sistema eléctrico ([35] y [36]).
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2.1.1 Modelo de Transportes La primera propuesta exitosa de modelamiento de sistemas de transmisión fue el modelo de transportes. Debido a los inconvenientes de convergencia presentes en el proceso de solución incorporando un modelo riguroso como el AC, Garver en [4] propone un modelo relajado que considera únicamente la primera ley de Kirchhoff. A través del modelo de transportes se busca una configuración que produzca el menor costo de inversión en el plan de expansión satisfaciendo las condiciones de operación del sistema respetando solamente la primera ley de Kirchhoff y los límites operación de los circuitos y los generadores. Evidentemente, esta es una representación menos próxima al problema de la vida real ya que no considera la segunda ley de Kirchhoff como otros modelos, por ejemplo el DC, pero permite encontrar configuraciones atractivas además de representar el inicio de un desarrollo investigativo en el planeamiento de la transmisión sugiriendo la utilización de modelos separados para los subproblemas de operación e inversión. Actualmente, este modelo y la técnica de solución propuesta por Garver son utilizados tanto en algoritmos principales como en algoritmos de construcción de configuraciones iniciales en el proceso de búsqueda de la solución del problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión. El problema de planeamiento de sistemas de transmisión toma la siguiente forma a través del modelo de transportes: min v = ∑ cij nij (i, j )
s. a.: Sf + g = d f ij ≤ (nij + nijo ) fij 0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero f ij irrestricto
donde: v : Inversión debido a adiciones de circuitos en el sistema.
cij : Costo de un circuito en el camino i-j.
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(2.2)
nij : Número de circuitos adicionados en el camino i-j. S : Matriz de incidencia de ramas del sistema.
f : Vector de flujos cuyos elementos f ij representan el flujo total en el camino i-j.
g : Vector de generación cuyos elementos g i representan el nivel de generación en la barra de generación i. d : Vector de demanda cuyos elementos d i representan la demanda en la barra de carga i.
nijo : Número de circuitos en la configuración base en el camino i-j.
f ij : Flujo máximo permitido para un circuito en el camino i-j. g : Vector de máxima capacidad de generación en las barras de generación. nij : Vector del número máximo de adiciones permitidas en el camino i-j. A pesar de que la formulación propuesta por Garver en [4] es diferente a la mostrada en (2.2), estas son en esencia equivalentes. En (2.2) las restricciones Sf + g = d representan el conjunto de ecuaciones correspondientes a la primera ley de Kirchhoff, por lo tanto, se plantea una por cada nodo del sistema. Las restricciones fij ≤ (nij + nijo ) fij representan la capacidad de transmisión de
los circuitos (líneas y/o transformadores). Las demás restricciones corresponden a límites de capacidad de generadores y al máximo número de circuitos permitido para adición en el camino i-j. Por último, los flujos en los circuitos pueden tomar cualquier valor real y el número de circuitos a adicionar se restringe a valores enteros.
2.1.2 Modelo Híbrido no Lineal Este modelo, inicialmente propuesto en [8], plantea lo siguiente: se deben satisfacer las dos leyes de Kirchhoff en la parte del sistema donde hay circuitos de la configuración base; la otra parte del sistema debe satisfacer únicamente la primera ley de Kirchhoff. Así pues, este modelo es una mezcla entre el modelo de transportes y el modelo DC tomando ventajas de ambas formulaciones. Por un lado, el modelo de transportes presenta excelente desempeño en redes no conexas, pero las soluciones que permite hallar pueden estar muy alejadas de la solución óptima del modelo DC. Por otra parte, el modelo DC contempla las dos leyes de Kirchhoff para todo el sistema, pero puede presentar dificultades en redes inconexas. Con
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la mezcla de estos dos modelos se puede encontrar soluciones más cercanas a la solución óptima del modelo DC con la ventaja de trabajar eficientemente en las partes inconexas del sistema. La formulación matemática del modelo híbrido no lineal mostrada a continuación es diferente en contexto y estructura a la presentada en [8], sin embargo, son fundamentalmente iguales. min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: Sf + g = d f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
f ij ≤ (nij + nijo ) fij 0≤ g ≤ g
(2.3)
0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3 donde:
γ ijo : Susceptancia equivalente a los circuitos existentes en el camino i-j. γ ijeq : Susceptancia equivalente de los circuitos adicionados en el camino i-j durante el proceso de optimización. Ω1 : Representa el conjunto de circuitos existentes en la configuración base. Ω2 : Representa el conjunto de circuitos correspondientes a los nuevos caminos. Ω3 : Representa el conjunto de nodos que hacen parte de la configuración base.
θ j : Magnitud del ángulo de la tensión de los nodos existentes en la configuración base. En (2.3) el conjunto de ecuaciones Sf + g = d representan la primera ley de Kirchhoff en
cada barra del sistema. Las ecuaciones fij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θ i − θ j ) = 0 corresponden a la
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segunda ley de Kirchhoff en aquellos caminos donde hay por lo menos un circuito en la configuración base. Las demás restricciones son exactamente iguales a las del modelo de transportes Finalmente los ángulos θ j pueden tomar cualquier valor real y las susceptancias equivalentes γ ijeq pueden tomar valores discretos. Otra forma del modelo híbrido no lineal, resultado de algunas manipulaciones algebráicas, se muestra en (2.4). min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: S 2 f 2 + B1θ1 + g = d
θi − θ j ≤ φij fij ≤ f ij nij
∀ ( i, j ) ∈ Ω1 ∀ ( i, j ) ∈ Ω2
0≤ g ≤ g
(2.4)
0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
∀ ( i, j ) ∈ Ω2
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3 donde: S2 : Matriz de incidencia de ramas de la parte del sistema que no tiene circuitos en la configuración base (circuitos que pertenecen a Ω2 ). f 2 : Vector de flujos de los circuitos que pertenecen a Ω2 . B1 : Matriz de susceptancias de los circuitos de la configuración base (circuitos que pertenecen a Ω1 ).
θ1 : Vector de ángulos en los nodos que hacen parte de la configuración base.
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2.1.3 Modelo Híbrido Lineal Una forma alternativa al modelo anterior es el modelo híbrido lineal. Este modelo puede ser más fácil de resolver porque presenta una relación lineal entre las variables. En este modelo las nuevas adiciones en los caminos donde ya existen circuitos y donde no existen deben satisfacer únicamente la primera ley de Kirchhoff. Esto es equivalente a tener dos redes superpuestas donde la red original existente en la configuración base debe cumplir las dos leyes de Kirchhoff y los nuevos circuitos adicionados deben cumplir solamente la primera ley de Kirchhoff. El modelo híbrido lineal es el siguiente: min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: Sf ' + So f o + g = d
f ijo − γ ijo (θ i − θ j ) =0
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
fijo ≤ f ij nijo
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
fij' ≤ f ij nij
∀ ( i, j ) ∈ Ω
(2.5)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero f ij irrestricto
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3 donde: So : Matriz de incidencia de ramas de la parte del sistema existente en la configuración base. f o : Vector de flujos de los circuitos existentes en la configuración base. S : Matriz de incidencia de ramas de todo el sistema.
f ' : Vector de flujos en los circuitos adicionados.
θ j : Ángulos de fase de los nodos que están conectados al sistema eléctrico en la configuración base.
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Otra formulación equivalente resultado de un manejo algebráico hecho a partir de (2.5) se muestra en (2.6).
min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: Sf ' + Boθ o + g = d
θi − θ j =φ ij
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
fij' ≤ f ij nij
∀ ( i, j ) ∈ Ω
(2.6)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero f ij irrestricto
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3 donde: Bo : Matriz de susceptancias formada por los circuitos existentes en la configuración base.
θ o : Vector de ángulos de fase de los nodos conectados al sistema eléctrico en la configuración base.
2.1.4 Modelo DC Este modelo, considerado como ideal en planeamiento de sistemas de transmisión, es una generalización del flujo de carga DC que está desarrollado en [37]. En este modelo todos los nodos del sistema deben satisfacer la primera ley de Kirchhoff y todos los lazos existentes deben satisfacer la segunda ley de Kirchhoff. A continuación se muestra la formulación matemática del modelo DC:
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min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: Sf + g = d f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θ i − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤ g ≤ g
(2.7)
0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto donde:
γ ijo : Susceptancia equivalente de los circuitos existentes en el camino i-j.
γ ij : Susceptancia de un circuito en el camino i-j. γ ijeq : Susceptancia equivalente de los circuitos adicionados en el camino i-j. Las expresiones (2.8) y (2.9) pueden usarse para eliminar las incógnitas γ ijeq ó nij de la formulación matemática del modelo DC.
γ ijeq nij = γ ij
φ ij =
f ij
γ ij
(2.8)
(2.9)
La siguiente formulación, consecuencia de algunas operaciones algebráicas, es equivalente a (2.7):
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min v = ∑ cij nij (i, j )
s. a.: Bθ + g = d ∀ ( i, j ) ∈ Ω1
θi − θ j ≤ φij
γ ijeq θi − θ j ≤ γ ijeq φ ij
∀ ( i, j ) ∈ Ω2
(2.10)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto θ j irrestricto donde:
B : Matriz de susceptancias del sistema.
θ : Vector de ángulos de tensión en nodos del sistema.
2.1.5 Modificaciones en el Modelo Básico Para el desarrollo de algunas técnicas en el planeamiento de la expansión de la transmisión a veces es necesario realizar modificaciones en el modelo básico. La modificación más común es la inclusión de generadores artificiales en todas las barras con carga. Las nuevas variables rk que representan la generación artificial se incorporan en la función objetivo y en las restricciones asociadas a los nodos con demanda. En los modelos de transportes, híbrido y DC modificados (2.11), (2.12) y (2.13) respectivamente, Γ representa el conjunto de todos los nodos k en donde existe demanda y α es un parámetro de penalización.
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2.1.5.1 Modelo de Transportes Modificado
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k ∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d fij ≤ (nij + nijo ) f ij 0≤r ≤d
(2.11)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero f ij irrestricto 2.1.5.2 Modelo Híbrido Modificado
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk (i , j )
k∈Γ
s. a.: Sf + g + r = d f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
f ij ≤ (nij + nijo ) fij 0≤r ≤d
(2.12)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3
30
2.1.5.3 Modelo DC Modificado
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θ i − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤r ≤d
(2.13)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto
2.1.6 Modelo Lineal Disyuntivo El modelo lineal disyuntivo, analizado en [38] y propuesto por varios autores, es una versión lineal del modelo DC. La transformación del problema se realiza incorporando al modelo un parámetro M de valor muy grande permitiendo la separación de los términos cuadráticos, formados por variables binarias y reales, en relaciones lineales. El modelo lineal disyuntivo tiene la siguiente forma:
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min v = ∑ cij yij + α ∑ rk (i , j )
k∈Γ
s. a.: So f o + S1 f 1 + g + r = d f ijo − γ ijo (θi − θ j ) = 0
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
f ij1 − γ ij1 (θi − θ j ) ≤ M (1 − yij ) f ij1 − γ ij1 (θi − θ j ) ≥ − M (1 − yij )
(2.14)
fijo ≤ f ij fij1 ≤ f ij yij 0≤r ≤d 0≤ g ≤ g yij ∈ {0,1} ∀ ( i, j ) ∈ ΩΓ ; fijo , f ij1 , θ j irrestrictos donde: yij : Variable binaria igual a 1 si es adicionado el circuito en el camino i-j, caso contrario es igual a 0. So : Matriz de incidencia de ramas de los circuitos existentes en la configuración base con flujos f o . S1 : Matriz de incidencia de ramas de los circuitos candidatos considerados como viarables binarias y con flujos f 1 .
γ ijo : Susceptancia equivalente de los circuitos existentes en la configuración base en el camino i-j. Las restricciones So f o + S1 f 1 + g + r = d representan la primera ley de Kirchhoff. La segunda ley de Kirchhoff expresada mediante las restricciones de tipo fijo − γ ijo (θi − θ j ) = 0 ,
se plantea por cada camino en donde existe circuito en la configuración base. La segunda ley de Kirchhoff también está representada en el modelo para cada circuito candidato a adición a través de las restricciones de tipo fij1 − γ ij1 (θi − θ j ) ≤ M (1 − yij ) y fij1 − γ ij1 (θi − θ j ) ≥ − M (1 − yij ) que en realidad son iguales a fij1 − γ ij1 (θi − θ j ) ≤ M (1 − yij ) .
32
2.1.7 Modelo Básico Incluyendo Pérdidas Técnicas En el capítulo 7 se explica en detalle una propuesta para la incorporación de las pérdidas técnicas del sistema en el proceso de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión. El modelamiento correspondiente a esta propuesta se obtiene haciendo una modificación al modelo básico en la primera ley de Kirchhoff y aumentando la capacidad de generación del sistema. De esta forma, en (2.15), (2.16) y (2.17) d N representa el vector de demandas, donde cada elemento del vector corresponde a la demanda en cada nodo del sistema más la componente de las perdidas de potencia que se asocian a dicho nodo, de acuerdo con el procedimiento que se explica en el capítulo 7.la demanda en cada nodo (si la tuviese) más las pérdidas asociadas a cada uno de ellos y Δ g representa el incremento de la capacidad que debe ser realizado en los nodos de generación con el propósito de suplir las perdidas de potencia, en el caso de planeamiento sin redespacho. En el caso de planeamiento con redespacho este valor es igual a cero, ya que el sistema tiene holgura en las capacidades de generación. 2.1.7.1 Modelo de Transportes Considerando Pérdidas Técnicas
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k ∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d N fij ≤ (nij + nijo ) f ij 0≤r ≤d 0 ≤ g ≤ g + Δg 0 ≤ nij ≤ nij nij entero f ij irrestricto
33
(2.15)
2.1.7.2 Modelo Híbrido Considerando Pérdidas Técnicas
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d N
f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0
∀ ( i, j ) ∈ Ω1
f ij ≤ (nij + nijo ) fij 0≤r ≤d
(2.16)
0 ≤ g ≤ g + Δg 0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto ∀j ∈ Ω3 2.1.7.3 Modelo DC Considerando Pérdidas Técnicas
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d N
f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤r ≤d
(2.17)
0 ≤ g ≤ g + Δg 0 ≤ nij ≤ nij nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto
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Capítulo 3Equation Section 3 3 TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ESTÁTICO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Muchos métodos han sido propuestos para resolver el problema de planeamiento de la transmisión, el cual puede ser formulado como un problema de optimización combinatorial. Para problemas de gran escala los más eficientes pueden ser los denominados algoritmos híbridos, que consisten en la combinación de técnicas metaheurísticas con métodos clásicos de optimización. En el presente capítulo se hará una sinopsis de los principales métodos propuestos por varios autores: algoritmos heurísticos constructivos, métodos de optimización clásica y métodos de optimización combinatorial.
3.1 ALGORITMOS HEURÍSTICOS CONSTRUCTIVOS En el nacimiento de la investigación sobre el problema de planeamiento de la transmisión se crearon los algoritmos heurísticos constructivos. Éstos son procedimientos paso a paso guiados por criterios de sensibilidad o índices de desempeño que encuentran buenas propuestas de expansión del sistema eléctrico. En cada paso del algoritmo se adiciona uno o varios circuitos culminando el proceso cuando el conjunto de adiciones satisface las condiciones de operación del sistema eléctrico. Como se mencionó en el capítulo 2, existen diversas formas de modelar matemáticamente el problema del planeamiento de la transmisión; así mismo, existen varios algoritmos heurísticos diferenciados por el tipo de modelo que utilizan y el criterio de sensibilidad adoptado. La primera metodología heurística aproximada desarrollada fue la de Garver [4]. La solución encontrada con este algoritmo es óptima para el modelo de transportes; su desempeño es liviano computacionalmente con relación a la calidad de la respuesta y su implementación no presenta dificultad. Villasana, Garver y Salon presentan en [6] una modificación al algoritmo propuesto por Garver que utiliza el modelo híbrido. Se han desarrollado muchos algoritmos heurísticos que utilizan el modelo DC ([18], [39] y [40] entre otros). De estos métodos se pueden destacar los siguientes:
35
•
El algoritmo de mínimo esfuerzo [18]. En este, un indicador de sensibilidad identifica el circuito que produce la mayor reducción de sobrecargas del sistema al ser adicionado.
•
El algoritmo de mínimo corte de carga [39]. Su filosofía es similar a la del método de mínimo esfuerzo; la diferencia radica en que el circuito a adicionar identificado por el indicador de sensibilidad produce reducción en el corte de carga del sistema, es decir, los problemas de infactibilidad son traducidos en cortes de carga.
3.1.1 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan el Modelo de Transportes Garver en [4] sugirió por primera vez utilizar el modelo de transportes para la solución del problema de la expansión de la transmisión. Su trabajo fue de gran importancia en los sistemas de potencia porque desarrolló el primer algoritmo introduciendo técnicas diferentes a las usadas en el análisis de operación de sistemas eléctricos. Además, inició la etapa de investigación utilizando los algoritmos heurísticos constructivos. 3.1.1.1 Algoritmo de Garver
El algoritmo de Garver [4] usa el modelo de transportes para solucionar el problema de la expansión de la transmisión. Este modelo asume la siguiente forma: min v = ∑ cij nij (i , j )
s. a.: Sf + g = d fij ≤ (nij + nijo ) fij
(3.1)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij nij entero fij irrestricto
Como se indicó en el capítulo 2, este modelo considera solo la segunda ley de Kirchhoff y los límites de flujos en los circuitos, es decir, este es un modelo relajado con relación a los modelos híbrido y DC al no considerar la segunda ley de Kirchhoff. De lo anterior se deduce que la solución encontrada mediante el algoritmo de Garver no es necesariamente una solución factible para los modelos híbrido y DC.
36
La naturaleza discreta de los valores nij hacen que el problema (3.1) sea un PLEM; no obstante, si se admiten valores de nij no necesariamente enteros, (3.1) se vuelve un problema más simple que tiene las características de un problema de programación lineal (PL). El algoritmo de Garver mostrado aquí consiste en resolver (3.1) admitiendo valor reales de nij . De esta forma se identifica el camino que conduce mayor flujo de potencia, el cual representa la alternativa de adición más atractiva. El proceso se repite incorporando a la configuración actual ( nijo ) uno o más circuitos en el camino más atractivo. El proceso termina cuando no exista en la solución del PL trayectorias candidatas para adición de circuitos, es decir, cuando el PL entregue los valores de nij iguales a cero. En la figura 3.1 se muestra el algoritmo de Garver. Figura 3.1.
Algoritmo de Garver.
Asumir la configuración base n ijo como la configuración actual.
Resolver el PL del problema (3.1) para la configuración actual.
¿Son todos los n ij iguales a cero? No
Sí
El proceso termina porque se ha enconrado una buena configuración factible para el modelo de transportes.
Calcular los flujos en todos los nuevos circuitos adicionados por el PL, (n ij diferentes de cero), a través de la relación fijv = nij fijmax.
Adicionar a la configuración actual un circuito en el camino con mayor fijv.
El algoritmo presentado puede ser modificado para obtener otras versiones un poco diferentes. Algunas alternativas son:
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1. Incorporar a la configuración base la parte entera de todos los circuitos con valor nij ≥ 1, después de la solución del primer PL. v
2. En vez de adicionar un circuito en el camino con mayor valor de f ij , hacerlo en el camino con mayor valor de nij . v
3. Elegir como candidato a adición el camino con mayor valor de f ij , pero en lugar de adicionar un circuito, adicionar un número igual a la parte entera de nij . 4. Cuando se haya obtenido una solución factible, incorporar un proceso iterativo donde se retiren los circuitos innecesarios (Fase II).
3.1.2 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan el Modelo DC El modelo DC es considerado en planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión como el modelo ideal porque se ha considerado como la representación más adecuada para este problema. A pesar de esto, es importante mencionar que las soluciones entregadas por este modelo requieren de un refuerzo en las etapas posteriores del estudio para lo cual deben probarse a través de modelos más exactos como el flujo de carga AC, pero que este no se utiliza en el planeamiento de la transmisión principalmente por las dificultades que presenta en la convergencia del modelo para sistemas no conexos. En esta parte se exponen las principales características de dos algoritmos que utilizan el modelo DC; ellos son: el algoritmo de mínimo esfuerzo y el algoritmo de mínimo corte de carga. 3.1.2.1 Algoritmo de Mínimo Esfuerzo
El algoritmo de mínimo esfuerzo [18] utiliza el mismo principio de adición de un circuito en cada paso. La diferencia básica está en el tipo de modelo utilizado y en el índice de sensibilidad que guía la construcción del plan de expansión. En cada paso se resuelve un problema de flujo de carga, solucionando el siguiente problema: Bθ = P
(3.2)
siendo P el vector de inyecciones líquidas de potencia y B la matriz de susceptancias del sistema formada por los circuitos de la configuración actual. A través de la relación (3.3) y utilizando los valores de θ obtenidos de (3.2) se puede calcular los flujos de potencia en el sistema.
38
fij = (θi − θ j ) γ ijeq
(3.3)
Conocidos los flujos de potencia a través del sistema de potencia se pueden identificar los circuitos sobrecargados. El indicador de sensibilidad sugiere el circuito candidato a adición que disminuya en mayor medida el corte de carga del sistema. Para el algoritmo de mínimo me esfuerzo el indicador ( SI ij ) puede asumir las siguientes formas: 2 1 θi − θ j ) γ ij ( 2
(3.4)
2 1 θi − θ j ) γ ij cij ( 2
(3.5)
SI ijme = − ó SI ijmec = −
en donde cij es el costo de adición de un circuito en el camino i-j. Un tema que puede presentar inconvenientes en la obtención de los valores de θ es la presencia en la configuración del sistema de nodos aislados. Generalmente problemas como este no tienen solución y para aplicar el índice de sensibilidad propuesto en el algoritmo de mínimo esfuerzo se requieren los valores de θ en todos los nodos. Una red ficticia que une nodos inconexos con valores de circuitos reducidos (por ejemplo: nij = 0.001) soluciona este problema. Para obtener los mismos resultados de (3.2) a través de la utilización de algoritmos de PL la formulación matemática cambia como es mostrado en (3.6). min w = ∑ ri s.a.: Bθ + g + r = d 0≤ g ≤ g 0≤r≤d θ j irrestricto Un resumen del algoritmo de mínimo esfuerzo es presentado en la figura 3.2.
39
(3.6)
Figura 3.2.
Algoritmo de Mínimo Esfuerzo.
Asumir la configuración base nijo como la configuración actual.
Resolver el PL del problema (3.6) para la configuración actual.
¿Se han eliminado las sobrecargas del sistema? No
Sí
Se ha encontrado una configuración factible. Pasar a la Fase II. Fase II: Ordenar los circuitos adicionados en decrecientemente con relación a sus costos y eliminar aquellos que no produzcan sobrecargas en el sistema.
Calcular los indicadores de sensibilidad usando (3.4) o (3.5) y ordenarlos en forma descendente.
Adicionar a la configuración actual un circuito en el camino indicado por el primer elemento de la lista de índicadores de sensibilidad.
3.1.2.2 Algoritmo de Mínimo Corte de Carga
Este algoritmo usa el modelo DC. La sobrecarga en los circuitos permitida en el algoritmo de mínimo esfuerzo para solucionar los problemas de operación del sistema pierde validez en el algoritmo de mínimo corte de carta; en lugar de esto, el problema de convergencia se soluciona permitiendo racionamientos. En otras palabras, se admiten cortes de carga representados en generadores artificiales. Como en los anteriores algoritmos, en este se adiciona un circuito en cada paso con la guía de un indicador de sensibilidad. El proceso termina cuando las adiciones hechas satisfacen el sistema de tal forma que no se presenta corte de carga. El PL que se resuelve en cada paso de este algoritmo (3.7) tiene una restricción adicional con relación a (3.6) que limita el flujo en los circuitos manteniéndolo dentro de sus límites de operación.
40
min w = ∑ ri s.a.: Bθ + g + r = d
θi − θ j ≤ φ ij
(3.7)
0≤ g ≤ g 0≤r≤d
θ j irrestricto mc
El indicador de sensibilidad para el método de mínimo corte de carga ( SI ij ) es el mostrado en (3.8) o (3.9). SI ijmc = − (θi − θ j )(π i − π j )
(3.8)
SI ijmc = − (θi − θ j )(π i − π j ) cij
(3.9)
ó
donde πj son las variables duales asociadas a las restricciones Bθ+g+r=d y θj son los ángulos de tensión de las barras del sistema calculados de la solución de (3.7). Al igual que en el método de mínimo esfuerzo, en el método de mínimo corte de carga puede ser problemática la presencia de nodos aislados. La solución es similar a la usada con el anterior método expuesto, se crea una red ficticia que una los nodos aislados del sistema formada por circuitos con valores muy pequeños (usualmente nij = 0.001). Además, se permite que la abertura angular en estos circuitos se superior a la de los circuitos normales (por ejemplo: | θi − θj | ≤ 10 φ ij ). A continuación se muestra un resumen del algoritmo de mínimo corte de carga:
41
Figura 3.3.
Algoritmo de Mínimo Corte de Carga.
Asumir la configuración base nijo como la configuración actual.
Resolver el PL del problema (3.6) para la configuración actual.
¿Se han eliminado los cortes de carga del sistema? No
Sí
Se ha encontrado una configuración factible. Pasar a la Fase II. Fase II: Ordenar los circuitos adicionados en decrecientemente con relación a sus costos y eliminar aquellos que no produzcan cortes de carga.
Calcular los índices de sensibilidad usando (3.8) o (3.9) y ordenarlos en forma descendente.
Adicionar a la configuración actual un circuito en el camino indicado por el primer elemento de la lista de índices de sensibilidad.
3.1.3 Algoritmos Heurísticos Constructivos que usan Modelos Mixtos Muchos algoritmos que utilizan el modelo DC modificado, llamados modelos mixtos, se han utilizado en diferentes investigaciones (algoritmo de Villasana-Garver [6], Algoritmo de red marginal de Levi-Calovic [40] y el método CHOPIN [41] entre otros). En cada uno de ellos el indicador de sensibilidad cambia y la solución que entregan satisface las restricciones del modelo DC. Seguidamente se expondrán los aspectos más relevantes del algoritmo de Villasana-Garver.
42
3.1.3.1 Algoritmo de Villasana-Garver
El modelamiento matemático de este algoritmo utiliza dos redes superpuestas, una llamada red actual y otra llamada red artificial. La idea esencial de este algoritmo es resolver el problema operativo usando solamente los circuitos de la red actual; los circuitos artificiales serán usados únicamente en caso de que los circuitos existentes sean insuficientes para resolver el problema. En síntesis, en el modelo utilizado en el algoritmo de Villasana-Garver se satisface las dos leyes de Kirchhoff para la red actual y solamente la primera ley de Kirchhoff para la red artificial. Por lo tanto, el modelo es un híbrido entre el modelo DC (para la red actual) y el modelo de transportes (para la red artificial). El PL que debe ser resuelto en cada paso del algoritmo se presenta en (3.10). min v = ∑ cij nij s.a.: Sf + B1θ1 + g = 0
θi − θ j ≤ φ ij ∀(i, j ) ∈ Ω1 fij ≤ f ij nij ∀(i, j ) ∈ Ω
(3.10)
0≤ g ≤ g nij ≥ 0 fij irrestricto
θ j irrestricto donde S es la matriz de incidencia de ramas de la red actual y artificial, fij es el flujo a través del camino artificial i-j, B1 es la matriz de susceptancias de los circuitos existentes en la configuración actual, θ1 es el vector de ángulos de tensión de los nodos que están conectados al sistema eléctrico a través de circuitos en la configuración actual, nij es el número de circuitos artificiales que deben ser adicionados adecuada operación del sistema y Ω1 representa el conjunto de todos los caminos en que existen circuitos en la configuración actual. En cada paso del algoritmo propuesto en [6] se sugiere adicionar un circuito en el camino identificado por el circuito artificial que transporta mayor flujo de potencia. Con esta adición se actualiza la configuración actual cambiando la estructura de la matriz B1. Además se debe adicionar a la formulación matemática la restricción | θi − θj | ≤ φ ij asociada al nuevo circuito presente en la red actual. El algoritmo de Villasana-Garver se resume en la figura 3.4.
43
Figura 3.4.
Algoritmo de Villasana-Garver.
Asumir la configuración base, sin ninguna adición, como la configuración actual y construir el problema (3.10) para esa configuración.
Resolver el PL del problema (3.10) para la configuración actual.
¿Son todos los n ij iguales a cero?
Sí
No
Se ha encontrado una configuración factible para el modelo DC. Pasar a la Fase II. Fase II: Ordenar los circuitos adicionados en decrecientemente con relación a sus costos y eliminar aquellos que no produzcan cortes de carga.
Calcular la inversión actual, que es la suma de los costos adicionados más la inversión entregada por el PL.
Calcular los índices de sensibilidad usando (3.8) o (3.9) y ordenarlos en forma descendente.
Adicionar a la configuración actual un circuito en el camino ficticio que conduce el mayor flujo de potencia.
3.2 MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN CLASICA La principal herramienta encontrada durante el afán por hallar solución el modelo DC (3.11) durante los años 80 fue la técnica de descomposición matemática de Benders. En [15], [42] y [12] se exponen aplicaciones relacionadas con la utilización de la descomposición de Benders para el problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión.
44
El problema es resuelto explorando la descomposición natural del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión la cual permite su subdivisión en dos partes: •
Subproblema de inversión. En este se escoge un plan de expansión candidato y se calculan los costos de inversión asociados al mismo.
•
Subproblema de operación. Donde es probado el plan de expansión candidato en términos de una adecuada atención de la demanda.
A grandes rasgos, en el desarrollo del método se obtiene la solución global mediante procesos iterativos utilizando las soluciones separadas de los subproblemas de operación e inversión. El trabajo hecho por Romero y Monticelli [15] fue meritorio porque reportó el hallazgo de soluciones óptimas para sistemas de pequeño y mediano tamaño, Garver de 6 nodos y 15 líneas y Sur Brasil de 46 nodos y 79 líneas; pero, a pesar de la expectativa causada, el método mostró ineficiencia en sistemas de gran tamaño como el Norte-Nordeste Brasil de 87 nodos y 183 líneas.. La metodología propuesta en [15] propuso la utilización de un esquema de descomposición jerarquizado compuesto por tres fases: la primera fase resuelve el problema de planeamiento de la expansión de la transmisión usando descomposición de Benders en la cual el subproblema de operación se soluciona utilizado el modelo de transportes, relajando la restricciones de integralidad de las variables de inversión. En la segunda fase la red es modelada utilizando un modelo híbrido. Finalmente, en la última fase se utiliza el modelo DC y se resuelve el subproblema de operación usando un algoritmo de programación lineal y el subproblema de inversión es solucionado usando un algoritmo de enumeración implícita [12]. Otro algoritmo que manifestó relevancia en la solución del problema de la expansión de la transmisión es el de Branch and Bound. Trabajos como [43], [44] y [45], los dos primeros usando el modelo de transportes y el tercero usando el modelo lineal disyuntivo, evidenciaron el desempeño de este algoritmo. Una vez mostrada la ineficacia de las técnicas de descomposición para resolver sistemas de gran tamaño, la siguiente tendencia en investigación se orientó hacia los métodos de optimización combinatorial, ya que permiten la solución de problemas de gran tamaño, obtienen soluciones muy próximas al óptimo global y emplean tiempos de cómputo razonables.
45
3.3 MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN COMBINATORIAL Las técnicas de optimización combinatorial se han convertido en herramientas usadas para resolver problemas de optimización de gran tamaño en los que las técnicas clásicas fracasan. Entre ellas se encuentran el Simulated Annealing, los Algoritmos Genéticos y la Búsqueda Tabú, para las cuales se mencionarán sus principios básicos a continuación. Además de las técnicas mencionadas, en los últimos años se han desarrollado métodos inspirados en la conducta colectiva o comportamiento social de grupos biológicos en la naturaleza, como lo son los métodos de Colonia de Hormigas y Cúmulo de Partículas. También han aparecido métodos basados en reglas heurísticas como Scatter Search y Vecindario Variable que están siendo aplicados a problemas de optimización.
3.3.1 Simulated Annealing La idea original que dio lugar al Simulated Annealing es el algoritmo de Metrópolis, el que a su vez está basado en el método de Montecarlo, con el cual se estudian las propiedades de equilibrio en el análisis del comportamiento microscópico de los cuerpos. La técnica se fundamenta en el proceso físico de calentamiento de un sólido, seguido por un enfriamiento hasta lograr un estado cristalino con una estructura perfecta. Durante este proceso, la energía libre del sólido es minimizada. A una temperatura T, en el estado con nivel de energía Ei, se genera el estado siguiente j a través de una pequeña perturbación. Si la diferencia de energía Ej – Ei es menor o igual a cero, el estado j es aceptado. Si la diferencia de energía es mayor que cero, el estado j es aceptado con una probabilidad dada por (3.11), donde kB es la constante de Boltzmann. Si la disminución de la temperatura es hecha de manera paulatina, el sólido puede alcanzar el estado de equilibrio en cada nivel de temperatura. Ei − E j
e
k BT
(3.11)
El Simulated Annealing aplica la simulación de la secuencia de estados en el proceso de enfriamiento para la solución de problemas de minimización. El costo de la configuración se asocia a la energía y T corresponde al parámetro de control. A partir del estado i con costo f(i), se genera el estado j con costo f(j). El criterio de aceptación determina si el nuevo estado es aceptado; para esto se calcula la probabilidad según:
⎧⎪ 1 Prob. Acep. j = ⎨ f(i)− f(j) ⎪⎩e T
46
si f(j) ≤ f(i) si f(j) > f(i)
(3.12)
Con esta estrategia se evita el quedar atrapado en mínimos locales. Inicialmente cuando T es grande, se permiten nuevas configuraciones que deterioren la función objetivo. A medida que disminuye la temperatura, la probabilidad de aceptar soluciones peores que la que se tiene es cada vez menor. Presenta la desventaja de que se requieren tiempos de cálculo elevados para encontrar la solución óptima o una de calidad similar para problemas de gran tamaño, en cuyo caso puede aplicarse usando procesamiento paralelo.
3.3.2 Algoritmos Genéticos Los algoritmos genéticos son una metaheurística basada en los mecanismos de selección natural. Estos algoritmos fueron propuestos por Holland [46] en la década de 1970. Un algoritmo genético simple tiene los operadores de selección, recombinación y mutación aplicados para imitar el proceso de selección de la naturaleza en el que los individuos se van adaptando al medio que habitan. Se trabaja con poblaciones, donde un individuo representa una configuración solución para el problema. Cada componente del individuo se denomina gen y corresponde a una variable del problema. La forma como se codifique el problema para representar una configuración solución por medio de un individuo es determinante para el éxito del algoritmo genético. La selección permite elegir las configuraciones de la población actual que tienen derecho a participar en la formación de los nuevos individuos de la siguiente generación. El operador de selección determina cuántos hijos le corresponden a cada configuración padre, de acuerdo a las características del padre en términos de su función objetivo o de la función de adaptación; siendo la selección proporcional, en la que el número de descendientes es proporcional a la función de adaptación, el criterio más usado en la selección. La recombinación se aplica a las configuraciones seleccionadas, donde se intercambia el material genético de dos configuraciones padre, para generar entonces dos hijos. Se define aleatoriamente un punto de recombinación, sobre el cuál se intercambia la información del lado izquierdo del primer padre con la del segundo padre, de tal forma que un hijo contendrá la configuración del primer padre al lado izquierdo del punto de recombinación y la configuración del segundo padre al lado derecho del punto de recombinación, tal como se muestra en la figura 3.5. La recombinación descrita es de un solo punto, pudiéndose implementar la recombinación multipunto. Figura 3.5. X1
X2
X3
X4
X5
Aplicación del punto de recombinación. X6
X7
X8 X1
X2
X3
Y
Y
Y
Y
X4
4
Y
5
Y
6
Y
7
Y
8
Punto de Recombinación
Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
Y
5
Y
6
Y
7
Y
8
47
1
2
3
X5
X6
X7
X8
El operador de mutación se aplica después de la recombinación siguiendo una probabilidad de acuerdo a la tasa de mutación definida para el proceso. Teóricamente la mutación se hace para cada gen de la configuración. En el caso en que se aplique la mutación a un elemento del individuo, el valor de la posición correspondiente se cambia; si la codificación del problema es binaria; en el caso de que el valor de la posición sea uno se cambia para cero y si el valor de la posición es cero se cambia para uno.
3.4 OTRAS TÉCNICAS DE SOLUCIÓN En la literatura especializada se encuentran numerosos autores que han abordado el problema de planeamiento de la expansión de la transmisión. Los avances en esta área se potencian en gran medida por los mejoramientos en las capacidades de los sistemas de cómputo y por la implementación de nuevos o mejorados algoritmos de optimización. El planeamiento de la expansión también ha sido resuelto usando modelos orientados a objetos [24], teoría de juegos [25], teoría difusa [27], GRASP [28] y cúmulo de partículas (Partículas Swarm) [47] entre otras. Otras técnicas de optimización como colonia de hormigas o sistema inmune artificial también pueden se usadas para resolver el problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión.
48
Capítulo 4Equation Section 4 4 BÚQUEDA TABÚ Búsqueda Tabú [48] es una técnica de optimización combinatorial que proviene de la inteligencia artificial y usa conceptos de memoria adaptiva y exploración sensible. Esta técnica resuelve problemas del tipo (4.1): min f(x) s.a. x ∈ X
(4.1)
donde f es una función general, lineal o no lineal, y X es un conjunto de restricciones que también pueden ser lineales o no. Las variables x pueden ser de naturaleza continua, entera o mixta. La exploración sensible de Búsqueda Tabú se basa en la idea de que una mala decisión hecha por una estrategia produce más información que una buena selección hecha de forma aleatoria. Búsqueda Tabú implementa una estrategia de búsqueda local para explorar de forma eficiente el espacio alrededor de una configuración. Cada solución tiene asociado un conjunto de soluciones vecinas llamada vecindad. Con la estructura de vecindad dada, la búsqueda local permite pasar a la mejor configuración vecina, o en el caso de que la configuración actual sea la mejor, se pasa a la que menos degrada la solución actual, donde se aplica nuevamente búsqueda local sobre la nueva vecindad en busca de la solución óptima. Debido a que en cada paso se deben analizar todos los vecinos (o un conjunto reducido que sigue siendo grande), Búsqueda Tabú es un método de alto costo computacional. Un algoritmo de Búsqueda Tabú completo utiliza técnicas de exploración y de memoria avanzadas, como lo son: memoria de corto y largo plazo, estrategias de intensificación, diversificación, oscilación estratégica, path relinking y lista de configuraciones de élite, entre otras. La figura 4.1 muestra el módulo básico de funcionamiento del algoritmo Búsqueda Tabú.
49
Figura 4.1.
Mecanismo de Búsqueda Tabú. Configuración obtenida con una heurística constructiva.
Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo usando intensificación y oscilación estratégica.
Configuración después Búsqueda Tabú/intensificación.
Diversificación: obtenida haciendo modificaciones significativas en la configuración o usando path relinking. Configuración después de diversificación (terminada para un nuevo proceso Búsqueda Tabú/intensificación).
El mecanismo de implementación de Búsqueda Tabú/intensificación y de diversificación, de manera cíclica, constituye la base fundamental de funcionamiento de un algoritmo Búsqueda Tabú.
4.1 ASPECTOS BÁSICOS DE BÚSQUEDA TABÚ 4.1.1 Configuración Inicial La configuración inicial puede ser obtenida aleatoriamente, por medio de un algoritmo constructivo o alguna técnica heurística que utilice índices de sensibilidad. Una configuración aleatoria puede tener la ventaja de que evita una convergencia prematura, pero una configuración inicial de mala calidad conduce a un esfuerzo computacional mayor. Una buena configuración inicial encontrada usando un constructivo puede estar en una región promisoria. Existen dos tipos de algoritmos Búsqueda Tabú que utilizan los mecanismos de Búsqueda Tabú/intensificación y diversificación presentados en la figura 4.1. La diferencia básica entre ellos consiste en que, en el primero, el proceso es iniciado usando una sola configuración; en el segundo, el proceso se inicia con k configuraciones. En la figura 4.2 se presenta el algoritmo Búsqueda Tabú con una sola configuración de partida. En este la configuración inicial es sometida a un proceso Búsqueda Tabú/intensificación. Durante este proceso, las p mejores configuraciones obtenidas son
50
almacenadas. En el paso siguiente, se selecciona la configuración almacenada de mejor función objetivo, la cual es sometida a un proceso de diversificación-Búsqueda Tabú/intensificación, implementado de manera semejante a la mostrada en la figura 4.3. Durante el proceso de Búsqueda Tabú/intensificación, cada vez que se obtiene una configuración con pequeño corte de carga, se compara su función objetivo con la de las almacenadas; si es mejor, se substituye la de peor función objetivo. El número de configuraciones substituías es limitado a p. En el caso que se obtengan más de p configuraciones con mejor función objetivo, se substituye alguna de las p anteriormente almacenadas. De las configuraciones almacenadas, se seleccionan las mejores para formar la lista élite, la cual será empleada en el proceso de diversificación. El proceso finaliza cuando todas las k configuraciones almacenadas ya han sido estudiadas. Figura 4.2.
Algoritmo de Búsqueda Tabú con una única configuración de partida.
Proceso de Búsqueda Tabú/Intensificación Inicio
1
Sustituye posición 3
Nota: Cada configuración analizada tiene derecho a almacenar hasta p configuraciones descendientes.
2 Proceso de diversificación Búsqueda Tabú/Intensificación 3
Sustituye
k
Posiciones de memoria que contiene las mejores configuraciones que serán analizadas
En la figura 4.3 se presenta con mayor detalle el algoritmo para el caso de k configuraciones de partida. En esta figura, en el nivel I, se muestra un conjunto de k configuraciones iniciales para iniciar el algoritmo Búsqueda Tabú.
51
Figura 4.3
Algoritmo de Búsqueda Tabú con k configuraciones de partida.
Nivel I Nivel II Proceso de Búsqueda Tabú/Intensificación Configuración 1
Nota: Cada configuración analizada tiene derecho a almacenar hasta p configuraciones descendientes.
Sustituye posición 2
Configuración 2
Sustituye posición 1
Configuración 3 Proceso de diversificación Búsqueda Tabú/Intensificación
Configuración k Posiciones de memoria que contiene las mejores configuraciones que serán analizadas
4.1.2 Generación del Vecindario Un vecino de una configuración X es una configuración X’ obtenida a partir de X por medio de una transición simple. Siendo que en la mayoría de los casos el vecindario N(X) puede ser muy grande lo que implica un elevado esfuerzo de cómputo en el proceso de búsqueda local, se debe reducir el número de vecinos a un conjunto N’(X) más pequeño que N(X), redefiniendo el vecindario. Se tienen diferentes formas de reducir el vecindario: • Tomar un número determinado de configuraciones seleccionadas aleatoriamente del conjunto N(X). • Aspiración adicional. Se utiliza algún criterio como puede ser la reducción de la función objetivo hasta cierto valor. Cuando se encuentra una configuración que cumpla la condición, se evalúan otras configuraciones adicionales. Se debe fijar un número mínimo y máximo de configuraciones a ser analizadas.
52
• Lista de reducción de candidatos de élite. Se selecciona un conjunto de configuraciones vecinas con atributos particulares, las cuales son llamadas configuraciones de élite.
4.1.3 Selección del Mejor Vecino Se evalúa cada vecino, se determina su función objetivo y se verifica si cumple las restricciones del problema a resolver, para determinar la factibilidad de la configuración vecina. Los vecinos son clasificados en una lista de acuerdo al valor de la función objetivo y el proceso selecciona el mejor candidato. El primer candidato de la lista (de mejor función objetivo) es seleccionado si el movimiento efectuado para pasar de la configuración actual a la configuración vecina no se encuentra prohibido (estado tabú) y si es factible; este modo de selección se denomina selección agresiva la cual imita las características de un algoritmo goloso. Si el mejor vecino de la lista de candidatos esta clasificado como tabú por el proceso de optimización, el criterio de aspiración permite que sea seleccionado a pesar de la prohibición si la configuración analizada mejora la configuración incumbente (mejor solución encontrada hasta el momento por el proceso). Si en el vecindario generado no existe ninguna configuración que mejora la función objetivo, entonces es seleccionada la mejor de las peores pero que no haya sido clasificada como tabú durante el proceso de optimización. Esta estrategia evita que se quede atrapado en óptimos locales.
4.1.4 Actualización de la Estructura Tabú Búsqueda Tabú usa una estructura que tiene la misma codificación de la configuración X, para almacenar la información de los atributos que han cambiado o que han permanecido sin cambio alguno en el proceso de búsqueda. Esta información se almacena en las memorias de corto y largo plazo, las cuales pueden tener un criterio de almacenamiento fijo o variable a lo largo del proceso dependiendo del comportamiento de la búsqueda. Esto es lo que constituye la memoria adaptiva. La memoria usada en Búsqueda Tabú puede ser explícita o por atributos. La memoria explícita almacena la información completa de configuraciones élite (configuraciones de buena calidad) encontradas durante la búsqueda. La memoria basada en atributos almacena la información de los atributos que cambian al pasar de una configuración a otra, presentando como ventajas la facilidad de almacenamiento, manipulación y verificación. Con esto, se evita regresar a configuraciones ya visitadas, lo cuál es ventajoso; pero también se podrían dejar de visitar regiones no visitadas que tengan atributos prohibidos de aquellas ya exploradas.
53
4.2 ESTRUCTURAS DE MEMORIA EN BÚSQUEDA TABÚ 4.2.1 Memoria de Corto Plazo En la memoria de corto plazo los elementos del vector X que han cambiado recientemente son clasificados como prohibidos o en estado tabú durante un número determinado de iteraciones. Este número es almacenado en la memoria de corto plazo y es conocido como Status Tabú. Varias posiciones de la configuración X pueden estar prohibidas y el Status Tabú puede o no ser variable a lo largo del proceso, siendo una característica que previene el ciclaje haciendo que el proceso de búsqueda sea inteligente. Cuando el mejor vecino es seleccionado, la posición de la configuración X que fue cambiada se prohíbe durante k iteraciones y a las posiciones restringidas se les diminuye el estado tabú en una iteración. La figura 4.4 muestra una iteración del algoritmo Búsqueda Tabú que usa memoria de corto plazo considerando que una iteración inicia con la configuración actual, evalúa todas las configuraciones candidatas y selecciona la mejor como la nueva configuración actual. En la parte A de la figura 4.4 se generan todas las configuraciones candidatas En la parte B se activa la lista tabú. Podrán ser generadas una o varias listas tabú dependiendo del problema y del nivel de sofisticación del algoritmo La lista tabú puede ser operada de dos maneras: •
Una implementación continua que no elimine automáticamente una configuración candidata que posea atributos prohibidos; así, configuraciones de este tipo son penalizadas en la función objetivo (o su equivalente) en C para que se vuelvan poco atractivas.
•
Una implementación discreta en donde toda configuración con atributos prohibidos es eliminada automáticamente. En este último caso, se debe eliminar el bloque D y de la salida de C debe regresar directamente al bloque A. El número k de iteraciones que un atributo permanece prohibido es denominado status tabú y el tamaño de k puede variar en cada lista y durante el proceso, produciendo algoritmos con diferentes tipos de desempeño.
En el bloque C se implementa el denominado criterio de aspiración cuya finalidad es proporcionar mayor flexibilidad al proceso. En este caso una configuración que posee atributo(s) prohibido(s) puede tener la prohibición anulada si esa configuración satisface un criterio de aspiración. Con lo anterior se intenta relajar la “rigidez” de la lista tabú que almacena atributos prohibidos. Una configuración candidata de excelente calidad puede tener un atributo prohibido porque comparte ese atributo con una configuración ya visitada en el pasado reciente. Así, la lista tabú, al prohibir regresar de nuevo configuraciones visitadas en el pasado reciente, puede también prohibir visitar configuraciones nuevas de
54
excelente calidad. Esta característica es atenuada parcialmente con el criterio de aspiración que elimina la prohibición de una configuración candidata, si la misma tiene un valor de función objetivo de excelente calidad. Figura 4.4.
Movimiento de Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo. Evaluación de la Lista de Candidatos Tomar una configuración de la lista de configuraciones vecinas la cual se llamará configuración candidata.
A
B
No
Prueba Tabú Identificar el atributo o los atributos de la configuración actual que fueron modificados para generar la configuración candidata. ¿Los atributos identificados están clasificados como tabú?
Sí
C E Evaluación Tabú sin Penalización Calcular la función objetivo sin penalización o considerando una pequeña penalización. Sí
F
Prueba de Aspiración ¿El valor de la función objetivo de la configuración candidata es mejor que el de la incumbente?
No
Actualización de la mejor configuración candidata Si el valor de la función objetivo configuración candidata es el mejor entre los ya evaluados, almacenar esta información..
D
Evaluación Tabú con Penalización Calcular la función objetivo con una alta penalización.
G No
H Prueba de fin Fueron evaluadas todas las configuraciones candidatas generadas.
Sí
Pasar a la mejor configuración encontrada Pasar de la configuración actual a la mejor configuarición candidata encontrada.
Existen varias formas de definir el criterio de aspiración y la manera más rígida de definirlo es la siguiente: si una configuración candidata produce una función objetivo mejor que la incumbente (la mejor configuración ya encontrada) entonces se debe eliminar la prohibición de almacenar esa configuración candidata en el bloque F.
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En el bloque E de la figura 4.4 se realiza la evaluación de la función objetivo para cada configuración candidata. En el bloque F se almacena la mejor configuración candidata encontrada; en el bloque G se verifica si todas las configuraciones candidatas ya fueron analizadas y en H se realiza la transición en la cual, la configuración actual es sustituida por la mejor configuración candidata encontrada.
4.2.2 Memoria de Largo Plazo El desempeño del algoritmo de Búsqueda Tabú puede incrementarse al usar estrategias basadas en la información que se va almacenando en la memoria de largo plazo durante el trascurso del proceso. El uso de la memoria de largo plazo no requiere de tiempos considerables para obtener beneficios en la aplicación de las estrategias asociadas. A menudo las mejorías se presentan en tiempos relativamente cortos, lo que hace que los esfuerzos para llegar a la solución final sean más pequeños (ver [49]). Algunas estrategias relacionadas con la memoria de largo plazo son: • Memoria basada en frecuencia. • Estrategia de intensificación. • Estrategia de diversificación. 4.2.2.1 Memoria Basada en Frecuencia
La memoria basada en frecuencia almacena la información del número de veces que un atributo en una configuración fue escogido para generar o participar en la formación de nuevas configuraciones. Existen dos tipos de memoria basada en frecuencia: • Frecuencia de transición: que guarda el número de veces que un atributo fue retirado o adicionado para formar nuevas configuraciones. • Frecuencia de residencia o permanencia: que guarda el número de veces que un atributo permanece en las nuevas configuraciones. La información de la memoria basada en frecuencia puede ser utilizada para aplicar estrategias de intensificación o diversificación basándose en la frecuencia de permanencia de un atributo, penalizando o incentivando configuraciones con determinados atributos.
56
4.2.2.2 Estrategia de Intensificación
La estrategia de intensificación se basa en la modificación de las reglas de elección para favorecer movimientos en la búsqueda de nuevas configuraciones, utilizando la información acumulada en el proceso de búsqueda [50]. En otras palabras, lo que se hace es cambiar la forma como se construye el conjunto reducido de candidatos N’(X). Con esto se puede regresar a regiones atractivas para realizar una búsqueda más intensa. La intensificación tiene como objetivo reducir el número de alternativas ha ser evaluadas para concentrarse en regiones determinadas. Puede ser implementada de formas diferentes: • Eliminando o incorporando nuevos vecinos en la configuración actual, comúnmente considerando configuraciones de élite o configuraciones que tengan esos atributos como vecinos. • Modificando la caracterización de la configuración vecina, lo que se obtiene al redefinir el vecindario N(X). • Retornando a regiones atractivas para hacer una búsqueda más intensa en la vecindad. • Realizando intensificación por descomposición, donde se agregan restricciones sobre atributos, estructuras o partes del problema para disminuir el espacio de búsqueda. En la intensificación regresando a las regiones atractivas, mostrada en la figura 4.5, la parte más importante es el bloque B identificado como estrategia de selección de configuraciones de élite. Este bloque identifica la estrategia que debe ser implementada para encontrar un conjunto de configuraciones de élite en cada una de ellas, para lo cual identifica una región promisoria. Así, a partir de cada una de las configuraciones de élite almacenadas en la lista, se debe implementar un nuevo proceso de búsqueda de excelentes configuraciones, guiado por una estrategia de Búsqueda Tabú de memoria de corto plazo como muestra el bloque D. Existen tres estrategias para encontrar las k configuraciones de élite que deben ser almacenadas en la lista en el bloque B que son mostradas a continuación: 1.
Introducir alguna forma de diversificación para encontrar y almacenar configuraciones significativamente diferentes, borrar toda la memoria de corto plazo y reinicializar el proceso a partir de la última configuración almacenada.
2.
Formar y mantener una lista de tamaño especificado y adicionar una nueva configuración como último elemento de la lista solamente si ella es mejor que alguna configuración ya almacenada. El último elemento de la lista siempre es la primera selección para reiniciar la búsqueda. En este caso es necesario almacenar la
57
memoria de corto plazo de la última configuración almacenada para evitar regresar a visitar esa configuración. 3.
Una tercera variante consiste en construir y mantener en forma ordenada una lista con las k mejores configuraciones encontradas durante un número determinado de iteraciones. Después el proceso es reiniciado durante un número de iteraciones especificado, con la peor configuración y usando una búsqueda tabú probabilística para evitar regresar a la misma configuración. Durante este proceso, cualquier configuración que sea mejor que la peor de la lista debe ser incorporada en la lista, sustituyendo la peor configuración y debe ser colocada en forma ordenada en la lista de acuerdo con el valor de su función objetivo. Figura 4.5.
Implementación simple de intensificación en Búsqueda Tabú. Usar Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo A
Usar una estrategia de selección de configuraciones élite Generar y almacenar una lista de k configuraciones de élite (entre 5 y 30 configuraciones de élite). B
Cuando la posibilidad de encontrar nuevas configuraciones de excelente calidad usando memoria de corto plazo disminuye de un nivle deseado Parar si se ha logrado el límite de iteraciones o si la lista de configuraciones de élite está vacía. En caso contrario, seleccionar una configuración élite de la lista y eliminar esa configuración de la lista. C
Reiniciar Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo a partir de la configuración élite seleccionada Si las nuevas configuraciones satisfacen le exigencia de la estretegia de selección entonces adicionar esas configuraciones en la lista (sustituyendo otras si la lista está llena) D
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4.2.2.3 Estrategia de Diversificación
La estrategia de diversificación consigue llevar la búsqueda a nuevas regiones. Se basa en la idea de que la modificación de las reglas de selección tiene como consecuencia la selección de atributos que no fueron utilizados frecuentemente. Se cambia la forma como se construye el conjunto de vecindad N(X), incorporando vecinos constituidos por atributos que fueron poco usados. De este modo, al agregar estos nuevos atributos en las configuraciones, la búsqueda se traslada a nuevas regiones probablemente no visitadas. Al utilizar la diversificación se pueden encontrar mejoras significativas, tal y como se muestra en [50]. La mayoría de algoritmos que implementan diversificación usan memoria de largo plazo basada en frecuencia de transición, pero también se puede usar la memoria de largo plazo basada en la permanencia. La figura 4.6 muestra una estrategia simple de diversificación que mantiene una memoria basada en frecuencia sobre todo el pasado del proceso. Figura 4.6.
Implementación simple de diversificación en Búsqueda Tabú. Usar Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo
Almacenar la memoria basada en frecuencia de los atributos de las configuraciones visitadas
Cuando la tasa de surgimiento de nuevas configuraciones excelentes disminuye por debajo de un valor especificado implementar el vínculo siguiente.
Usar Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo (almacenando también la memoria de frecuencia) hasta encontrar un óptimo local.
Penalizar aquellos atributos que son activados frecuentemente (multiplicando el factor de penalización por la frecuencia relativa). Si el límite de iteraciones es excedido, finalizar
Continuar aplicando penalización hasta que se encuentre una configuración mejor que su predecesor. Entonces, eliminar la penalización.
Se han obtenido mejoras significativas aplicando Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo según el esquema de la figura 4.6. Los óptimos locales obtenidos con esta técnica pueden ser usados después para una secuencia de diversificaciones.
59
4.3 ESTRATEGIAS APLICADAS EN BÚSQUEDA TABÚ 4.3.1 Oscilación Estratégica Esta estrategia se aplica cuando se llega a un nivel crítico, en el que el algoritmo básico de Búsqueda Tabú pararía. Consiste en cambiar las reglas de selección de las configuraciones vecinas candidatas, para saltar el nivel crítico y luego pasar nuevamente al criterio de selección normal. El proceso es repetido produciendo un movimiento oscilatorio alrededor del nivel crítico. Una forma de emplear la oscilación estratégica es permitiendo temporalmente configuraciones infactibles o en el caso que se permita la infactibilidad penalizando la función objetivo, y reduciendo la penalización para las configuraciones infactibles. La oscilación estratégica permite una interacción entre la diversificación y la intensificación. Teniendo una configuración infactible, se usa Búsqueda Tabú de corto plazo para encontrar una configuración factible, luego se hace un proceso de intensificación aceptando configuraciones factibles, seguido de una diversificación para caer en una región infactible, reiniciando el proceso.
4.3.2 Path Relinking La estrategia de path relinking permite generar una nueva configuración partiendo de configuraciones de buena calidad (configuraciones de élite) encontradas durante el proceso de búsqueda. La estrategia pretende conectar configuraciones élite, empezando de una de ellas y generando una trayectoria que llegue a otra de estas configuraciones, denominadas como configuraciones guía. Path relinking es utilizado para generar configuraciones atractivas después de iniciar un proceso de intensificación o diversificación y es considerado como uno de los mecanismos más eficientes del método. Un ejemplo simple de la implementación de path relinking sería copiando una parte de los atributos de una configuración élite en otra configuración élite, teniendo cuidado con las posibles infactibilidades generadas. En [51] se comenta el manejo de path relinking a partir de la configuración base y las configuraciones guía aplicando Búsqueda tabú de la forma normal, pero induciendo a la selección de atributos presentes en las configuraciones guía frente a aquellos que no lo están.
60
Capítulo 5Equation Section 5 5 APLICACIÓN DE BÚSQUEDA TABÚ AL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Búsqueda Tabú es un algoritmo que se usa ampliamente en el campo de la investigación operacional. Al respecto existen muchas publicaciones de carácter general, entre las cuales pueden ser citadas [52], [53] y [48]. En esta sección se presenta la característica fundamental de funcionamiento del algoritmo de Búsqueda Tabú aplicado al problema de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión.
5.1 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA A TRAVÉS DE BÚSQUEDA TABÚ 5.1.1 Estrategias de Partida del Algoritmo de Búsqueda Tabú El proceso de optimización es iniciado con una configuración inicial que puede ser obtenida aleatoriamente o, mejor aún, puede ser obtenida por una modificación del algoritmo de Garver [4], por ejemplo. Esta configuración es sometida a un proceso de Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo seguido de intensificación (Búsqueda Tabú/intensificación), cuyo mecanismo de funcionamiento será presentado posteriormente. Seguidamente, el proceso de Búsqueda Tabú/intensificación debe realizar un proceso de diversificación intentando llevar el proceso de búsqueda a las regiones atractivas y aún no visitadas. Después de realizada la diversificación la configuración actual está lista para un nuevo proceso Búsqueda Tabú/intensificación. Este proceso puede ser repetido de manera cíclica hasta que sea satisfecho un criterio de parada.
5.1.2 Memoria de Corto Plazo Un algoritmo de Búsqueda Tabú puede ser implementado simplemente usando la estrategia de corto plazo. La memoria de corto plazo usa básicamente la información de atributos de configuraciones que fueron modificadas recientemente. Esta información es conocida como “memoria basada en hechos recientes” (recency). La idea de esta estrategia es considerar
61
todos los atributos seleccionados en el pasado reciente como prohibidos; por lo tanto, todas las configuraciones candidatas que posean alguno de los atributos prohibidos (tabú-activos) son excluidas de la formación del conjunto de configuraciones vecinas para ser evaluadas. La idea básica de la memoria basada en hechos recientes es evitar volver a configuraciones ya visitadas y a aquellas configuraciones que comparten los atributos tabú-activos. Esta última parte puede representar un problema ya que pueden ser eliminadas configuraciones muy atractivas. El criterio de aspiración resuelve parcialmente esta limitación. En el problema de planeamiento de sistemas de transmisión, los atributos pueden ser los circuitos que hacen parte de una configuración. Así, por ejemplo, un circuito que es adicionado en la configuración debe permanecer prohibido de ser retirado en las próximas k configuraciones que sean generadas, siendo k un número entero seleccionado. De igual manera, un circuito que es retirado de la configuración actual debe permanecer prohibido de ser adicionado en las próximas k configuraciones. Es evidente que en esta implementación deben existir dos listas de atributos prohibidos. Existe un último aspecto importante en el algoritmo de Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo: la disminución del tamaño de configuraciones candidatas que deben ser analizadas. Para ilustrar este hecho se tiene: •
N(x) las configuraciones candidatas definidas por el criterio o la estructura de vecindad,
•
N"(x) un subconjunto reducido de N(x) obtenido usando algún criterio de reducción de configuraciones candidatas y
•
N'(x) los elementos de N"(x) que no están prohibidos por la lista tabú.
Entonces, para el problema tratado, planeamiento de sistemas de transmisión, se pueden definir, por ejemplo, N(x) como todas las configuraciones que pueden ser obtenidas a partir de la configuración actual de la siguiente forma: adicionando un circuito, retirando un circuito o intercambiando dos circuitos (adicionando un circuito y retirando otro circuito previamente adicionado). Para un sistema real esta definición de vecino significa que N(x) tendría varios millones de configuraciones candidatas, y como la evaluación de cada configuración candidata requiere de la solución de un problema de PL, es evidente que esta definición de vecino resulta poco práctica, ya que requiere de la solución de cientos o miles de PL’s para realizar un simple paso del algoritmo de Búsqueda Tabú. Una forma de resolver este problema es la de redefinir la vecindad, con lo cual se busca disminuir el número de vecinos estudiados sin perder la generalidad del problema, tomando para ello conceptos de optimización. Búsqueda Tabú Resuelve el problema anterior de una forma más eficiente encontrando un subconjunto reducido N"(x) de N(x), por ejemplo del orden de algunas decenas. Búsqueda Tabú posee cuatro estrategias para realizar este proceso de reducción de configuraciones candidatas: aspiración “plus”, formación de una lista reducida de configuraciones
62
candidatas de élite, filtros sucesivos y estrategia de cambio acotada. Basados en la segunda estrategia, se han implementado formas muy eficientes de reducción de configuraciones candidatas cuyos detalles serán presentados más adelante.
5.1.3 Memoria de Largo Plazo 5.1.3.1 Memoria Basada en Frecuencia
La memoria basada en frecuencia consiste básicamente en almacenar la información del número de veces en que un atributo ha sido seleccionado para generar o participar en la formación de nuevas configuraciones. Así, existen dos tipos de memoria basadas en frecuencia: la frecuencia de transición y la frecuencia de residencia o permanencia. Esta información basada en frecuencia puede ser utilizada para penalizar o incentivar configuraciones formadas con determinados atributos. En el problema de planeamiento de sistemas de transmisión es posible almacenar la información del número de veces en que un circuito es adicionado o retirado en la formación de las configuraciones en el proceso Búsqueda Tabú (frecuencia de transición). De igual manera, también es posible almacenar el número de veces en que un circuito permanece adicionado en configuraciones consecutivas o el número de configuraciones en que un circuito participa con adición (frecuencia de residencia). 5.1.3.2 Estrategia de Intensificación
Aparte de la estrategia de selección de configuraciones de élite mostrada en el capítulo 4, existe otro tipo de intensificación: la técnica de intensificación por descomposición. Esta consiste en imponer nuevas restricciones sobre atributos, estructuras o partes del problema buscando disminuir el espacio de configuraciones del problema. Así, en el problema de planeamiento de sistemas de transmisión, en algún momento del proceso de Búsqueda Tabú (por ejemplo después de terminar un Búsqueda Tabú de memoria de corto plazo), se puede usar intensificación por descomposición a través de una de las siguientes formas: •
•
Fijando, en el valor cero, el número de circuitos candidatos que nunca fueron adicionados en las configuraciones visitadas (o aquellos que fueron poco seleccionados), esto es, eliminando un conjunto de circuitos como candidatos a adición (reducción del número de candidatos). Incorporando en la configuración base aquellos circuitos que aparecen en todas las configuraciones élite. En este caso, el número de circuitos que debe ser incorporado en cada camino candidato debe ser el menor que aparece entre las configuraciones de élite seleccionadas para implementar la intensificación y se debe permitir la adición de nuevas líneas en estos caminos.
63
•
Fijando estructuras completas de alguna configuración élite. Por ejemplo, si para atender una gran demanda es necesario adicionar un conjunto de líneas, que están formando una especie de bloque constructivo, entonces toda esa estructura puede ser incorporada a la configuración base.
Las tres propuestas anteriores pueden ser implementadas en conjunto o separadamente, en la estrategia de intensificación por descomposición. Todas esas estrategias buscan disminuir el número de alternativas para exploración y permiten concentrar la búsqueda en un número reducido de alternativas. Así, esta estrategia de intensificación por descomposición produce un efecto que puede ser denominado de implosión combinatorial en contraste con la explosión combinatorial. 5.1.3.3 Estrategia de Diversificación
La estrategia de diversificación se proyecta para conducir el proceso de búsqueda a regiones nuevas y atractivas. Esta estrategia es implementada cambiando la definición de vecindad o de configuraciones candidatas N(x), incorporando “vecinos” constituidos por atributos que han sido poco usados. En esta parte pueden utilizarse las estructuras de memoria usadas en intensificación o en la memoria de corto plazo, pero con criterios de duración modificados. Las estrategias de diversificación pueden también usar una forma de memoria de largo plazo basado en hechos recientes intentando incrementar el estado tabú de los atributos de las configuraciones visitadas. Una versión sencilla de esta metodología se presenta en la figura 5.1.
64
Figura 5.1.
Diversificación con memoria de largo plazo basada en hechos recientes. Usar Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo (Usar un estado tabú k de tamaño moderado donde k es el número de iteraciones en que un atributo pernanece moderado).
¿La evolución del proceso es insignificante?
No
Sí
Iniciar (y preservar) un estado tabú k grande (memoria de largo plazo basada en hechos recientes).
Sí
¿Fue satisfecho un criterio de aspiración fuerte?
No
Sí
¿Todos los candidatos son tabú (o el número de movimientos ejecutados fue suficiente)?
No
5.2 EL PROBLEMA DE LA ESTRUCTURA DE VECINDAD Búsqueda Tabú es un procedimiento que guía un algoritmo de búsqueda local para buscar el espacio de soluciones además de la simple optimalidad local. Esto se consigue a través de una búsqueda agresiva, seleccionando el mejor de los movimientos en cada paso. Búsqueda Tabú se basa en procedimientos determinísticos y no en procedimientos aleatorios, como en el caso de Simulated Annealing, GRASP y Algoritmos Genéticos. Búsqueda Tabú hace uso de estrategias especiales de búsqueda empleando diferentes tipos de memoria y seleccionando el mejor de los movimientos en cada iteración. En estas circunstancias, la estructura de vecindad deberá restringir el número de líneas candidatas, ya que una estructura con muchos vecinos es costosa desde el punto de vista del tiempo de computación requerido para evaluar cada una de las alternativas, que en este caso sería de
65
un PL por cada elemento de la lista analizado. Así, para mejorar este aspecto, se emplean estrategias de listas de candidatos con la finalidad de restringir el número de soluciones examinadas en cada iteración. Las líneas candidatas deberán ser seleccionadas de manera cuidadosa; de esta forma, reglas eficientes para generar las listas de candidatos son críticas en este proceso. Con base en estas características, se implementa una estructura de vecindad que permite identificar los nuevos vecinos; este proceso de selección de los vecinos se realiza a través de listas élites de líneas candidatas. Existen entonces dos tipos de listas para el corte de carga de la configuración candidata mayor o menor de un límite establecido. Así, si la configuración analizada tiene un corte de carga mayor que el límite establecido, la lista será formada por líneas que serán adicionadas/intercambiadas, en caso contrario, cuando el corte de carga es inferior al límite, la lista será formada por líneas candidatas a ser retiradas/intercambiadas; este procedimiento para la formación de estas listas está soportada en métodos aproximados [4], [18] que permiten identificar las líneas más atractivas a adición o retiro. En la figura 5.2 se resume la forma en que estas listas pueden ser creadas. Figura 5.2.
Formación de listas de líneas candidatas a adición o retiro.
¿La configuración candidata tiene corte de carga mayor que el límite establecido?
No
Sí Lista de adición. Creada con métodos aproximados o índices de sensibilidad.
Lista de retiro. Creada con métodos aproximados o índices de sensibilidad.
Las listas élite de líneas candidatas son utilizadas tanto en la etapa de Búsqueda Tabú/intensificación como en la etapa de diversificación, efectuando procedimientos de entrada/intercambio o retirada/intercambio de líneas. Además de estas listas, existen algunos vecinos que son seleccionados de manera aleatoria, tanto en la etapa de Búsqueda Tabú/intensificación como en la de diversificación.
66
5.3 IMPLEMANTACIONES ESPECIALIZADAS EN EL ALGORITMO DE BÚSQUEDA TABÚ 5.3.1 Implementación del Path Relinking El path relinking proporciona una integración muy útil de las estrategias de intensificación y diversificación. Este enfoque se basa en explorar trayectorias que conectan soluciones élite para generar nuevas soluciones, iniciando desde una de estas soluciones llamada solución inicial, y generando una trayectoria en la vecindad que conduce hasta otras soluciones, denominadas soluciones guía. Así, por ejemplo, es posible generar una o varias configuraciones conectando una configuración de la población y una configuración élite. En el algoritmo de Búsqueda Tabú implementado, el procedimiento path relinking se ha empleado como una de las estrategias de diversificación; la otra estrategia es basada en frecuencia. La selección entre estos dos tipos de diversificación se efectúa de manera aleatoria, es decir, se selecciona un número aleatorio en el intervalo [0 - 1]. Si este número es menor o igual a 0.1 el procedimiento seleccionado es el de path relinking, en caso contrario, es seleccionada la estrategia basada en frecuencia. En el procedimiento diversificación-intensificación, por ejemplo, suponga que la configuración 3 de la figura 5.3 es seleccionada para ser analizada. Primero se selecciona el tipo de diversificación, en este caso se seleccionó path relinking; entonces, ya que la configuración 3 es escogida como configuración inicial, tiene que ser seleccionada una configuración guía. La configuración guía es seleccionada entre algunas de las soluciones élite almacenadas durante el proceso.
67
Figura 5.3.
Ilustración del proceso de diversificación-intensificación.
Proceso de Búsqueda Tabú/Intensificación Inicio
1
Sustituye posición 3
Nota: Cada configuración analizada tiene derecho a almacenar hasta p configuraciones descendientes.
2 Proceso de diversificación Búsqueda Tabú/Intensificación 3
Sustituye
k
Posiciones de memoria que contiene las mejores configuraciones que serán analizadas
La forma más simple de hacer path relinking es identificando el número de posiciones en la configuración donde existen adiciones diferentes en las dos configuraciones sometidas a path relinking. Por lo tanto, asumiendo una de las configuraciones como referencia, se copia una parte de las posiciones diferentes que están presentes en la otra configuración y así, se genera una nueva configuración, que correspondería a la configuración de referencia con algunos de sus atributos modificados usando la otra configuración. De esta forma se obtiene una nueva configuración potencialmente atractiva. El path relinking puede ser empleado en procesos de intensificación o diversificación, o sea, si el número de posiciones diferentes presentes en la configuración guía, que serán copiadas en la configuración referencia, es pequeño y de poco impacto, entonces la configuración queda en una región muy próxima a donde estaba; en esta circunstancia la configuración obtenida puede ser usada en intensificación. En el caso en que el número de posiciones copiadas de la configuración guía para la configuración referencia sea grande, entonces se obtiene una configuración en una nueva región y distante de la región donde se encontraba, lo que quiere decir que la configuración así obtenida puede ser utilizada para diversificación.
68
5.3.2 Criterio de Parada En el método de búsqueda tabú se emplean tres criterios de parada: •
Por máximo número de iteraciones (donde cada iteración corresponde a un PL).
•
Por máximo número de diversificaciones.
•
Cuando las k configuraciones almacenadas en la matriz de trabajo hubiesen sido analizadas, o sea, las k posiciones del vector asociado a las configuraciones tengan señal de revisión.
5.3 IMPLEMANTACIÓN DEL ALGORITMO DE BÚSQUEDA TABÚ En la figura 5.4, se presenta el diagrama de flujo de la metodología Búsqueda Tabú usada en el planeamiento de redes de transmisión. Esta metodología esta constituida básicamente por dos grandes procesos, denominados diversificación e intensificación, que forman la base fundamental del algoritmo. El algoritmo inicia con un proceso de intensificación, en este se realiza una búsqueda detallada entre los vecinos más próximos con base en listas de los mejores candidatos y con una estructura de vecindad que permite la entrada - intercambio de líneas o salida de líneas. Después de un número de PL’s en el cual no se obtiene mejoría en la solución, este proceso finaliza. En el proceso de diversificación se selecciona la configuración de mejor función objetivo y, sin estudio previo, en esta se efectúa un proceso de diversificación que permite visitar regiones vecinas e iniciar en estas un nuevo proceso de intensificación.
69
Figura 5.4.
Diagrama de flujo de la metodología Búsqueda Tabú Datos
DIVERSIFICACIÓN
Inicializar (configuración inicial)
Nd = 0
Diversificar se basa en los valores de frecuencia.
Calcular el valor de la F.O.
Nota: Nd: Número de diversificaciones Ni: Número de intensificaciones
Nd = Nd + 1
Sí No
Seleccionar una configuración élite y realizar con esta path relinking.
¿jfl > 0?
Configuración actual
INT ENSIFICACIÓN
Ni = 0
Ni = Ni + 1 De las configuraciones almacenadas seleccionar aquella con mejor F. O. y que no hubiese sido analizada anteriormente.
kcont = 0
No
¿Corte de carga > límite?
No Sí Sí
¿T odas las configuraciones almacenadas fueron analizadas?
Lista de entrada
Lista de salida
Analizar cada caso y ordenar
Selccionar un elemento de la lista
La configuración acutal tiene mejor F. O. con relación a las anteriormente almacenadas; entonces, sustituir la peor configuración.
¿La mejor opción es tabú?
¿F.O. < incumbente?
Sí
Sí
No
No
¿F.O. < incumbente?
Sí Cerrar las listas tabú
No
¿Ni > nint?
Sí
Actualizar la incumbente y la solución actual
Imprimir resultados
PARAR
Disminuir el contador de las listas tabú en 1.
ΔV = F. O.(i+1) - F.O.(i)
Actualizar la lista tabú
No Actualizar listas tabú
kcont = kcont + 1
Sí Intercambia elemennto si ΔV ≤ 0
No ¿kcont < 0?
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¿ΔV < Incumbente?
Sí Actualizar listas tabú
Actualizar solución actual
Capítulo 6Equation Section 6 6 MODELAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA EXPANSIÓN DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA La reestructuración del sistema eléctrico ha dirigido el planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión hacia nuevos objetivos en los que se ha incrementado la incertidumbre con relación a la recuperación de los costos de inversión, se ha potenciado la posibilidad de que se presenten costos encallados, se ha creado la necesidad de utilizar algunas partes de la red de transmisión en forma diferente a como habían sido originalmente planeadas o históricamente usadas y se han usado algunas restricciones del sistema más a menudo y con más significado económico. Existen marcadas diferencias en el planeamiento de la expansión de los sistemas de transmisión antes y después de los cambios introducidos en el sistema de potencia. Al respecto, se puede mencionar que las principales diferencias son: cambios en los objetivos [54] y [55] y cambios en las incertidumbres, siendo estas últimas mucho mayores en el nuevo esquema [1] y [5]. Específicamente el planeamiento de la expansión de la transmisión ahora está orientado hacia los siguientes objetivos: •
Proveer acceso a generación de bajo costo para todos los consumidores sin ningún tipo de discriminación.
•
Promover y facilitar la competencia entre todos los participantes del mercado de energía.
•
Promover un ambiente justo del lado del suministro de energía para todos los generadores así como del lado de la demanda para todos los consumidores.
•
Proveer una red de transmisión robusta frente a las incertidumbres.
Las incertidumbres se pueden clasificar en dos tipos: aleatoria y no aleatoria. Las de tipo aleatoria son derivadas de aquellos parámetros que son repetibles y tienen una distribución de probabilidad conocida; por lo tanto, medidas de estas incertidumbres pueden ser
71
obtenidas de observaciones pasadas. Dentro de estas está la incertidumbre en la demanda. Las incertidumbres de tipo no aleatoria son consecuencia de parámetros que no son repetibles y por lo tanto su análisis estadístico no puede ser hecho a partir de observaciones pasadas; en esta clasificación cae la incertidumbre en la generación. Debido a que los métodos de modelamiento de incertidumbres aleatorias y no aleatorias son diferentes, éstas deben ser identificadas claramente antes de empezar con el proceso de planeamiento. En los sistemas de potencia bajo el nuevo esquema aparecen entonces incertidumbres aleatorias en: •
la demanda,
•
los costos de generación y en las ofertas de los generadores,
•
la potencia y las ofertas de productores independientes de potencia,
•
transacciones en el mercado de energía,
•
disponibilidad de generadores, líneas y otras partes del sistema;
Además aparecen incertidumbres no aleatorias en: •
generación,
•
instalación, cierre o reemplazo de partes del sistema de transmisión y generación,
•
costos de la expansión del sistema de transmisión,
•
reglas del mercado.
La mayoría de las investigaciones en planeamiento de la transmisión reportadas se enmarcan dentro del planeamiento básico y centralizado porque no consideran incertidumbres en la demanda, es decir, el plan de expansión óptimo es determinado considerando solamente una cantidad fija de demanda. La literatura sobre planeamiento considerando incertidumbre en la demanda como parte del proceso de expansión es casi inexistente; investigaciones al respecto se encuentran en [30]. En [56] se plantea un método para escoger el mejor plan de expansión del sistema de transmisión considerando criterios de confiabilidad probabilísticos, contemplando incertidumbres en los elementos del sistema de transmisión. Allí se usan técnicas de Monte Carlo considerando la confiabilidad de la red donde la incertidumbre de la demanda es parte del proceso. En el presente capítulo se muestra el modelamiento del problema estático del planeamiento de la expansión de la transmisión con un tratamiento diferente. El problema de la incertidumbre en la demanda es manejado como una variación en un
72
intervalo con posibles valores de demanda equiprobables considerando el plan de expansión válido si la demanda tiene un valor en dicho intervalo. Este modelamiento ha sido usado en [30] para resolver el problema del planeamiento de la expansión de la transmisión a través de un algoritmo genético especializado. La formulación que se muestra en [30] dos secciones se apoya básicamente en dos ideas fundamentales: 1. Frecuentemente, en el planeamiento con demanda determinística, se resuelven problemas de corte de carga con la adición de líneas muy caras que resultan ser insignificantes en el proceso de expansión a largo plazo; por lo tanto, con los datos actualizados en el planeamiento a corto plazo, se puede verificar que si la demanda esperada es menor a la que fue diagnosticada para el problema de largo plazo, los nuevos respaldos no serían necesarios. 2. Este modelamiento es una forma muy simple de generalizar el planeamiento determinístico; si se considerara el intervalo de variación de demanda igual a cero, entonces se entraría en un planeamiento con demanda determinística. Con los modelos que se muestran en las siguientes secciones, el plan de expansión resultante atiende todos los mínimos requisitos de demanda presentando inversiones bajas con relación a los planes de expansión determinísticos. En las siguientes secciones se mostrarán dos formas de considerar la incertidumbre en la demanda usando el modelo DC. Cabe mencionar que esta consideración también puede ser usada en modelos más relajados como el híbrido y el de transportes.
6.1 MODELAMIENTO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA TOTAL El siguiente es el modelo matemático del problema del planeamiento de la expansión de la transmisión considerando la incertidumbre en la demanda total del sistema y usando el modelo DC modificado:
73
min v = ∑ cij nij + α ∑ ri − β z (i , j )
s. a.: Sf + g + r − zd m = 0 f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤ g ≤ g 0≤r ≤d
(6.1)
max
DTmin DTmax ≤ z ≤ DTm DTm 0 ≤ nij ≤ nij nij entero, γ ijeq discreto, f ij irrestricto, θ j irrestricto donde DTmin : Demanda total mínima. DTmax : Demanda total máxima. DTm : Demanda total para el planeamiento básico y centralizado.
d m : Vector de demanda promedio para todos los nodos de carga. d max : Vector de demanda máxima para todos los nodos de carga.
β : Parámetro que maximiza la demanda suplida en el sistema. z : Demanda total del sistema. Los demás elementos del modelo fueron definidos en el capítulo 2. El valor del parámetro α es elegido de acuerdo a características del problema, como por ejemplo el tamaño y la topología. Si los parámetros α y β tienen el mismo valor, entonces un incremento de un valor unitario de potencia podría ser resuelto por un generador artificial sin cambiar la función objetivo. Como el propósito es satisfacer la demanda solamente con generadores reales, entonces se debe escoger un valor de α
74
significativamente grande con relación a β . De acuerdo a pruebas realizadas, α = 10β presenta resultados satisfactorios [57].
6.2 MODELAMIENTO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA INDIVIDUALMENTE PARA CADA BARRA DE CARGA El problema del planeamiento de la expansión de la transmisión asume la siguiente forma al considerar la incertidumbre individualmente para cada barra de carga del sistema y usando el modelo DC modificado: min v = ∑ cij nij + α ∑ ri − δ ∑ di (i , j )
s. a.: Sf + g + r − d = 0 f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤ g ≤ g 0≤r ≤d
(6.2)
max
d min ≤ d ≤ d max 0 ≤ nij ≤ nij nij entero, γ ijeq discreto, f ij irrestricto, θ j irrestricto
donde
δ : Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema. di : Demanda en cada nodo de carga i. d min : Vector de demanda mínima para todos los nodos de carga. d : Vector de demanda del sistema.
Los demás elementos del modelo fueron definidos en la sección anterior y en el capítulo 2.
75
La principal diferencia entre los dos modelos presentados (6.2) y (6.1) es que en (6.2) la demanda en cada nodo del sistema di es optimizada independientemente entre los valores
d min y d max mientras que en (6.1) la demanda es optimizada de forma global. El parámetro δ maximiza la demanda para cada nodo de carga y su valor debe ser escogido adecuadamente para que di sea lo más alto posible. Según pruebas, un adecuado valor de δ es δ = α 10 , igual que el valor de β en el modelo anterior [57].
76
Capítulo 7Equation Section 7 7 LOCALIZACIÓN E INCORPORACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN EN EL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN Cuando la potencia activa fluye a través del sistema de transmisión se presentan pérdidas que disminuyen la eficiencia del sistema. Básicamente las pérdidas técnicas aparecen por las siguientes razones: •
Pérdidas por el efecto resistivo de los conductores.
•
Pérdidas en el hierro y el cobre de los transformadores.
•
Pérdidas por el efecto corona.
Estas pérdidas se pueden formular matemáticamente para ser integradas dentro de los modelos desarrollados para la solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión; de acuerdo a las simplificaciones realizadas sobre estas expresiones, se pueden obtener modelos que pueden ser lineales o no y con diferentes niveles de complejidad. Además, las pérdidas de potencia activa se pueden considerar en la formulación de forma individual, por grupos o de manera completa, según el interés que se tenga por desarrollar un modelo próximo a la realidad, el cual puede estar determinado por la complejidad de la técnica de solución a utilizar y/o por los equipos de cómputo disponibles. En el problema de planeamiento de la expansión de la transmisión involucrando las funciones de pérdidas directamente dentro del modelo y de acuerdo a la forma en que se trate la no linealidad de estas expresiones [58], se hace necesaria la implementación de técnicas de solución especializadas. En [59] se propone una formulación modificada del problema de la expansión de la transmisión incluyendo en la función objetivo y en las restricciones de operación del modelo, las pérdidas de potencia activa por calentamiento de los conductores al fluir la corriente a través de ellos (pérdidas por efecto resistivo), además de las pérdidas por el efecto corona. Otra investigación relacionada se expone en [60], en ella se utiliza la técnica de programación cuadrática considerando solamente las pérdidas de potencia por el efecto resistivo en las líneas de transmisión.
77
Las pérdidas también pueden ser consideradas sin adherirlas directamente al modelo a través de formas alternativas de solución. En este capítulo, además de mostrar las principales causas de pérdidas y de comentar sobre estudios de la forma como estas pueden localizarse dentro del sistema de transmisión, se plantea una forma alternativa de solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión considerando las pérdidas del sistema, más sin contemplarlas de forma directa dentro del modelo.
7.1 PÉRDIDAS TÉCNICAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN 7.1.1 Pérdidas Técnicas por el Efecto Resistivo de los Conductores en las Líneas de Transmisión Considérese una línea de transmisión del sistema de potencia representada por la impedancia serie zkm conectada entre los nodos k y m y las reactancias paralelo (shunt) bkm ( sh ) , conforme se muestra en la figura 7.1. El flujo de potencia compleja saliendo del nodo k en dirección al nodo m está dado por la ecuación (7.1). Figura 7.1.
Flujo de potencia en una línea de transmisión.
Ek k
Em m
zkm=rkm+jxkm Ikm
Imk jbkm(sh)
∗ S km = Pkm − jQkm = Ek∗ I km
jbkm(sh)
(7.1)
Ahora, la corriente que fluye por la línea es:
I km =
Ek − Em + jbkm ( sh ) Ek zkm
78
(7.2)
Entonces, se tiene que: ⎡ E − Em ⎤ ∗ = Ek∗ ⎢ k + jbkm ( sh ) Ek ⎥ S km ⎣ zkm ⎦ 2 ∗ V E E ∗ S km = k − k m + jbkm ( sh )Vk2 zkm zkm ∗ S km = ( g km + jbkm + jbkm ( sh ) ) Vk2 − ( g km + jbkm ) VkVm ( cos θ km − jsenθ km )
(7.3)
donde:
g km =
rkm 2 r + xkm
(7.4)
bkm =
− xkm 2 r + xkm
(7.5)
2 km
2 km
Ek = Vk θ k
(7.6)
Em = Vm θ m
(7.7)
θ km = θ k − θ m
(7.8)
Separando las partes real e imaginaria de la expresión (7.3) se obtienen las expresiones (7.9) y (7.10) que corresponden a la potencia activa y reactiva saliendo desde el nodo k hacia el nodo m respectivamente. Pkm = ℜ {S km } = g kmVk2 − bkmVkVmsenθ km − g kmVkVm cos θ km
(7.9)
Qkm = ℑ{S km } = − ( bkm + jbkm ( sh ) ) Vk2 + bkmVkVm cos θ km − g kmVkVmsenθ km
(7.10)
y
De manera similar se pueden obtener los flujos de potencia activa y reactiva saliendo del nodo m en dirección al nodo k: Pmk = g kmVm2 + bkmVkVmsenθ km − g kmVkVm cos θ km
y
79
(7.11)
Qkm = − ( bkm + jbkm ( sh ) ) Vk2 + bkmVkVm cos θ km + g kmVkVmsenθ km
(7.12)
En sistemas de potencia es posible considerar las siguientes aproximaciones: bkm ≈
−1 xkm
(7.13)
Vk ≈ Vm ≈ 1
(7.14)
Además, se puede tomar el primer término de la expansión en series de Taylor para las funciones sen(θ km ) y cos(θ km ) : sen(θ km ) ≈ θ km
(7.15)
cos(θ km ) ≈ 1
(7.16)
Utilizando estas suposiciones la ecuación del flujo de potencia activa desde el nodo k hasta el nodo m puede reescribirse de la siguiente forma: Pkm =
1 (θ k − θ m ) xkm
(7.17)
La expresión (7.17) es la restricción relacionada con la segunda ley de Kirchhoff en el modelo DC (mostrado en el capítulo 2). Ahora, tomando los dos primeros términos de la expansión en series de Taylor para la función cos(θ km ) , es decir, aproximando esta función a la expresión (7.18), es posible obtener (7.19), que es otra forma de representar el flujo de potencia activa entre los nodos k y m. cos(θ km ) ≈ 1 −
2 θ km
2
(7.18)
⎛ θ2 ⎞ Pkm = g km − g km ⎜1 − km ⎟ − bkmθ km 2 ⎠ ⎝
Pkm =
g km 2 θ km − bkmθ km 2
(7.19)
La simplificación (7.18) se puede usar de igual manera para el flujo de potencia activa que sale desde el nodo m hacia el nodo k:
80
Pmk =
g km 2 θ km + bkmθ km 2
(7.20)
Las pérdidas de potencia activa en la línea k-m PL ( km ) están dadas por la suma de los flujos de potencia Pkm y Pmk , esto es: PL ( km ) = Pkm + Pmk
(7.21)
2 PL ( km ) = g kmθ km
(7.22)
La expresión (7.22) representa las pérdidas de potencia activa en la línea k-m por el efecto resistivo de los conductores, llamadas por muchos autores pérdidas óhmicas del sistema.
7.1.2 Otras Pérdidas Técnicas en el Sistema de Transmisión Otro tipo de pérdidas que han sido consideradas dentro de lo modelos de planeamiento de la expansión de la transmisión son las pérdidas por el efecto corona [59] y [61]. Las pérdidas de energía por el efecto corona y sus consecuencias económicas han sido objeto de estudio por casi medio siglo. El efecto corona es la existencia de iones en un fluido como el aire ante la presencia de un campo eléctrico. Los electrones son separados de los átomos del aire y finalmente, los iones positivos creados son absorbidos por el conductor. Este fenómeno causa pérdidas de energía en las líneas de transmisión y genera ruido audible e interferencia en líneas de comunicación cercanas. Este fenómeno también genera componentes tóxicos como óxidos. El efecto corona se presenta tanto en las líneas de transmisión AC como en las DC. El estudio de las pérdidas por el efecto corona tienen una alta dependencia con las condiciones ambientales. Las pérdidas por efecto corona aún en condiciones climáticas favorables son muy difíciles de evaluar de manera confiable debido a la alta dependencia con factores estadísticos. La mayor cantidad de estas pérdidas en proyectos de extra alta tensión se presentan por fugas en los aisladores. Según algunos estudios [12], bajo condiciones climáticas desfavorables con presencia de lluvia, las pérdidas por efecto corona son proporcionales al logaritmo de la rata de lluvia. A medida que la lluvia decrece y los conductores se secan, las pérdidas por efecto corona también decrecen. Los transformadores también representan pérdidas en el sistema de potencia. Las pérdidas en los transformadores se pueden dividir en dos grupos: 1. Pérdidas en el cobre. Estas pérdidas son debidas a la resistencia de los conductores de los devanados del transformador.
81
2. Pérdidas en el hierro. Las pérdidas en el hierro pueden dividirse en dos grupos: pérdidas por histéresis magnética y pérdidas por corrientes de Foucault o corrientes parásitas. Los transformadores del sistema de transmisión son normalmente incluidos en los análisis de flujo de potencia. Sin embargo, hay varias situaciones que requieren de una metodología de análisis independiente para lograr un mejor ajuste a las condiciones del sistema. Hay tres casos que requieren diferentes metodologías para el cálculo de las pérdidas originadas por los transformadores. Estas situaciones se refieren a transformadores que son parte de las plantas de generación, transformadores ubicados entre el sistema de transmisión y distribución y transformadores que sirven a grandes consumidores. Usualmente el sistema de generación se considera hasta el lado de alta del transformador de la planta de generación y las pérdidas se vuelven parte de los costos de operación del generador de energía y no parte del sistema de transmisión. Aunque esto también depende de dónde la legislación determina la ubicación de los medidores de potencia del generador. Los transformadores ubicados entre el sistema de transmisión y distribución tienen pérdidas características que son función de la carga que está siendo atendida. Los transformadores que sirven a grandes consumidores tienen la misma característica con la diferencia de que se conectan a un solo consumidor.
7.2 LOCALIZACIÓN DE PÉRDIDAS DEL SISTEMA DE TRANSMISIÓN Dentro del marco económico, en un sistema bajo el nuevo esquema desregulado, a los generadores y a las cargas (demandas) se les debe implementar mecanismos justos de asignación de pérdidas y costos por la participación en éstas, donde a cada fuente de pérdidas le sean asignadas las mismas de forma proporcional. El objetivo fundamental de estos mecanismos es mejorar el desempeño en los intercambios comerciales de energía a través del cálculo y localización de pérdidas en cada parte del sistema. Los métodos desarrollados en este campo encierran una gran variedad de técnicas que pueden ser clasificadas en tres grupos diferentes: métodos de asignación proporcional (proportional sharing) [62], métodos pro-rata [63] y métodos incrementales (localización marginal y localización marginal no subsidiada) [64]. Las técnicas usadas para localización de pérdidas en el sistema, a excepción de los métodos incrementales que usan conceptos económicos, pueden eventualmente ser utilizadas dentro del proceso de planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión, puesto que los procedimientos de cálculo y localización de las pérdidas desarrollados en este campo se apoyan básicamente en flujos de potencia DC o AC que requieren solo de la configuración y especificaciones de la red. Sin embargo, desde le punto de vista práctico, estos métodos
82
se usan simplemente para dividir las pérdidas totales entre productores y consumidores determinando así la forma de atribuir los costos por las mismas siguiendo alguna fórmula o procedimiento; esto no interesa en el proceso de planeamiento de la transmisión puesto que en él importa solo la magnitud y ubicación de las pérdidas en cada parte del sistema y no quien las produce ni en qué proporción.
7.3 INCORPORACIÓN DE LAS PÉRDIDAS EN EL PROCESO DE PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN DE LA TRANSMISIÓN La propuesta para la introducción de las pérdidas en el proceso de solución del problema de planeamiento de la expansión de la transmisión tiene similitud con la primera etapa del método de localización de pérdidas pro-rata [63] y [33]. El método pro-rata, en su primera fase, asigna las pérdidas en proporciones iguales (50%) entre generadores y consumidores de acuerdo a las expresiones (7.23) y (7.24). La diferencia básica entre el método que se propone en este trabajo y el método pro-rata es que en el método propuesto simplemente se calculan las pérdidas de las líneas de transmisión y se dividen en partes iguales en cada extremo de ellas pero no hace uso de (7.23) y (7.24). LGi =
L PGi 2 PG
(7.23)
LDi =
L PDi 2 PD
(7.24)
donde
LGi : Pérdidas asignadas el generador i. LDj : Pérdidas asignadas a la demanda j. PGi : Potencia activa entregada por el generador en el nodo i. PDj : Potencia activa demandada en el nodo j. PG : Potencia activa total generada. PD : Potencia activa total demandada. L : Pérdidas de potencia activa totales en el sistema de transmisión.
83
Un cálculo para determinar las pérdidas de las líneas de transmisión puede ser hecho en la etapa de evaluación de la función objetivo del algoritmo implementado para la solución del problema de la expansión de la transmisión. En esta etapa intermedia, el proceso de estimación de las pérdidas se puede hacer como se muestra en la figura 7.2. Figura 7.2.
Función objetivo incorporando las pérdidas del sistema de transmisión Evaluación de la función objetivo (sin pérdidas) Se obtienen los flujos en todas las líneas del sistema de transmisión, además de otros resultados.
A
Cálculo de las pérdidas del sistema de transmisión Pueden considerarse uno o varios tipos de pérdidas del sistema de transmisión.
B
Incorporación de las pérdidas al sistema de transmisión Las pérdidas calculadas se incorporan al modelo como nuevas cargas.
Evaluación de la función objetivo (con pérdidas) Se obtienen los nuevos flujos en todas las líneas del sistema de transmisión, además de otros resultados.
C
D
En el bloque A de la figura 7.2 se realiza la evaluación de la función objetivo sin consideración de formulaciones relacionadas con pérdidas. Así, por ejemplo, utilizando el modelo DC modificado mostrado en el capítulo 2, este bloque correspondería a la solución del PL (7.25).
84
min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤r ≤d
(7.25)
0≤ g ≤ g 0 ≤ nij ≤ nij
nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto Apoyándose en la información entregada por el bloque A, en el bloque B se realiza el cálculo de las pérdidas del sistema de transmisión. Las pérdidas en esta parte se pueden considerar en forma separada de acuerdo al fenómeno que las genera o en forma total calculándolas independientemente y sumando los valores obtenidos. Por ejemplo, si se considerase únicamente las pérdidas por el efecto resistivo de los conductores en el sistema de transmisión, se pueden calcular las pérdidas en cada línea de acuerdo a la expresión (7.22). Las pérdidas calculadas en el bloque B se incorporan al sistema asumiéndolas como nuevas cargas (bloque C). El total de las pérdidas en cada línea se distribuye entre sus extremos en partes iguales como se muestra en la figura 7.3.
85
Figura 7.3.
Distribución de las pérdidas de la línea k-m.
k
m
PL(km)
PL(km) 2
2
Finalmente, en el bloque D se calcula de nuevo la función objetivo. Siguiendo con el ejemplo para el bloque A, el nuevo modelo DC modificado a resolver sería el (7.26). min v = ∑ cij nij + α ∑ rk k∈Γ
(i , j )
s. a.: Sf + g + r = d N
f ij − ( γ ijo + γ ijeq ) (θi − θ j ) = 0 f ij ≤ (γ ijo + γ ijeq )φij 0≤r ≤d
(7.26)
0 ≤ g ≤ g + Δg 0 ≤ nij ≤ nij
nij entero
γ ijeq discreto f ij irrestricto
θ j irrestricto El elemento introducido en la restricción relacionada con la primera ley de Kirchhoff en (7.26) es el vector de la nueva carga d N cuyos elementos representan la demanda en cada nodo (si la tuviese) más las pérdidas asociadas a él según la expresión (7.27).
PLk =
1 ∑ PL( km) 2 m∈Ωk
donde
PLk : Pérdidas asociadas al nodo k.
86
(7.27)
Ω k : Conjunto de líneas unidas al nodo k. La nueva carga d N es calculada de acuerdo a (7.28).
d N = d + PLk
(7.28)
Otro elemento introducido en este modelo es el aumento en la capacidad de generación Δg , requerido para que el sistema pueda suplir las pérdidas. Su valor puede ser determinado simplemente estimando un valor de forma tal que se le de flexibilidad al método de solución, o puede dársele facultad al mismo método para que lo identifique según las pérdidas que debe asumir cada generador en el propósito de minimizar el efecto en el costo inversión. Con los resultados del PL resuelto en el último bloque de la figura 7.2 se sigue el proceso de solución del problema de planeamiento de la expansión. Así, si la técnica de solución que se estuviese implementando fuera Búsqueda Tabú, los resultados de este PL servirían, por ejemplo, para definir una nueva estructura de vecindad.
87
Capítulo 8Equation Section 8 8 PRUEBAS Y RESULTADOS El problema tratado en este trabajo es el de planeamiento estático de la expansión de la transmisión utilizando el modelo DC modificado. Para tal fin se utilizó la técnica de optimización combinatorial Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo, como se describe en la sección 5.1.2, y una estrategia simple de diversificación a través de memoria basada en frecuencia de residencia o permanencia, como se explicó en la sección 5.1.3.1. En la selección de la estructura de vecindad se usaron los índices de sensibilidad de mínimo esfuerzo (3.5) y mínimo corte de carga (3.9) mostrados en el capítulo 3. Los casos de prueba elegidos son: Garver, IEEE24 (24 nodos y 41 corredores posibles para adición), sur Brasil (46 nodos y 79 corredores posibles para adición) y Colombia (93 nodos y 155 corredores posibles para adición), los cuales han sido casos de estudio en diversas investigaciones mostradas en la literatura especializada. El caso de prueba de Garver se utilizó en su versión sin redespacho, es decir, en donde la generación total del sistema es exactamente igual a la demanda total del mismo. El caso de prueba sur Brasil se usó en dos versiones, una sin redespacho y otra en donde la generación total es mayor a la demanda total (con redespacho). Para el manejo de la incertidumbre en la demanda se utilizó el modelo que la considera individualmente para cada barra de carga, de acuerdo a la sección 6.2. Para la incorporación de las pérdidas del sistema de transmisión se usó la metodología propuesta en la sección 7.3, contemplando las pérdidas por el efecto resistivo de los conductores. El programa computacional se realizó en un equipo con procesador AMD Athlon Core Duo de 1.7 GHz y memoria RAM de 1GB. El lenguaje utilizado para la implementación de los algoritmos es Fortran 77; para la solución de los problemas de programación lineal de los modelos DC e híbrido se utilizó el paquete de cómputo de la Universidad de Stanford, MINOS 5.4, también desarrollado en Fortran 77. En este capítulo se describen las pruebas realizadas y se muestran los resultados obtenidos en cada caso de prueba bajo las distintas formas en que se realizó el planeamiento; además, se hacen comparaciones, en donde es posible, con los resultados reportados por otros autores y entre los hallados en este trabajo. El planeamiento considerando pérdidas según la propuesta descrita en el capítulo 7, con o sin incertidumbre en la demanda, no tiene investigaciones reportadas por cuanto no será posible hacer comparaciones con otros resultados.
88
8.1 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN BÁSICO Y CENTRALIZADO 8.1.1 Sistema Garver Son muchos los trabajos en planeamiento de la expansión de la transmisión que utilizan el sistema de Garver dentro de sus casos de prueba [21], [29] y [3], siendo su primera presentación en [4]. Este sistema tiene 6 nodos y 15 corredores en los cuales se puede adicionar como máximo 5 circuitos. Los resultados mostrados en la tabla 8.1 se obtuvieron en una fase de Búsqueda Tabú/intensificación con memoria de corto plazo. Esta configuración no tiene corte de carga y su costo de inversión es de 110,000 US$. En el capítulo 5 se explica la forma en que se puede aplicar el algoritmo de Búsqueda Tabú al planeamiento de la expansión de la transmisión. La participación en el algoritmo de los parámetros que a continuación se muestran durante la Búsqueda Tabú/Intensificación con memoria de corto plazo, aplicada para este sistema de prueba, fue comentada allí.
•
Máximo número de iteraciones = 100.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 7.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 5 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α en el modelo 2.13) = 1. Tabla 8.1.
Plan de expansión básico y centralizado para el sistema Garver. Corredor Circuitos
n3-5 1
n4-6 3
8.1.2 Sistema IEEE24 Otro caso de prueba típico utilizado en sistemas de potencia es el IEEE24. Este sistema tiene 24 nodos y 41 corredores en los cuales se puede adicionar hasta 5 circuitos. Los parámetros de este sistema se pueden consultar en [5]. A continuación se muestran los parámetros usados en el algoritmo de Búsqueda Tabú/Intensificación con memoria de corto plazo para este sistema de prueba.
•
Máximo número de iteraciones = 10,000.
89
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 5 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α en el modelo 2.13) = 2. Tabla 8.2.
Plan de expansión básico y centralizado para el sistema IEEE24. Corredor Circuitos
n6-10 1
n7-8 2
n10-12 n14-16 1 1
En el proceso de Búsqueda Tabú/intensificación se obtuvo la configuración sin corte de carga de la tabla 8.2, que presenta un costo de inversión de 152,000 US$.
8.1.3 Sistema Sur Brasil 8.1.3.1 Sistema Sur Brasil con Redespacho
El sistema sur Brasil, a diferencia de los dos anteriores, es un sistema de prueba real. Este sistema tiene 46 nodos y 79 corredores en donde se pueden instalar circuitos sin restricción sobre el número máximo; en planeamiento de la expansión de la transmisión es considerado como un problema de mediano tamaño. Los datos de este sistema se pueden consultar en [65]. En el algoritmo de Búsqueda Tabú en un proceso de intensificación con memoria de corto plazo se usaron los parámetros mostrados a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 30 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
Con este algoritmo se obtuvo la configuración mostrada en la tabla 8.3, con un costo de inversión de 77,617x103 US$, la cual resultó la mejor de todas las que no presentan corte de carga.
90
Tabla 8.3.
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema sur Brasil con redespacho. Corredor Circuitos
n20-23 1
n20-21 2
n42-43 1
n46-6 1
n5-6 2
No habiéndose encontrado la mejor configuración reportada para este sistema, se utilizó la memoria de largo plazo usando información guardada del proceso de Búsqueda Tabú/intensificación con memoria de corto plazo. Se facilitó la creación de nuevas configuraciones a través de la penalización de atributos con base en la frecuencia de residencia o permanencia. Así, se incentivó aquellos circuitos que poco participaron durante la etapa inicial de intensificación modificando el valor dado por el indicador de sensibilidad. El algoritmo de Búsqueda Tabú/intensificación se ejecutó entonces de nuevo con los parámetros que se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 13.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 20 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
Aplicada la estrategia descrita, el algoritmo entregó la propuesta de inversión factible de la tabla 8.4. El costo de inversión de esta configuración es 72,870x103 US$, que es la mejor solución sin corte de carga conocida para este problema. Tabla 8.4.
Plan de expansión básico y centralizado para el sistema sur Brasil con redespacho.
Corredor Circuitos
n2-5 1
n13-20 1
n20-23 1
n20-21 2
n42-43 1
n46-6 1
n5-6 2
8.1.3.2 Sistema Sur Brasil sin Redespacho
La diferencia entre los sistemas de prueba sur Brasil con y sin redespacho es el valor total de la generación del sistema; mientras que para el primero la generación es mayor que el total de la demanda, para el segundo es exactamente igual a ella. Los parámetros para la etapa inicial de Búsqueda Tabú/intensificación utilizados para este caso se muestran a continuación.
91
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 15 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
El algoritmo entregó la propuesta de inversión con corte de carga de 0 MW de la tabla 8.5. El costo de inversión de esta configuración es 170,969x103 US$. Tabla 8.5.
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema sur Brasil sin redespacho.
Corredor Circuitos
N4-9 1
n20-21 1
n42-43 2
n46-6 1
n19-25 1
n31-32 1
n28-43 1
n24-25 2
n5-6 2
De igual forma que para el caso anterior, sistema sur Brasil con redespacho, fue necesario utilizar la memoria de residencia para motivar la entrada de nuevas configuraciones. Los parámetros que permitieron encontrar la solución de la tabla 8.6 son:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 12.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 13 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
Tabla 8.6. Corredor Circuitos
Plan de expansión básico y centralizado para el sistema sur Brasil sin redespacho. n20-21 1
n42-43 2
n46-6 1
n19-25 1
n31-32 1
n28-30 1
n26-29 3
n24-25 2
n29-30 2
n5-6 2
El costo de inversión de la configuración hallada en este proceso se muestra en la tabla 8.6 es 154,420x103 US$, la cual no tiene corte de carga.
92
8.1.4 Sistema Colombiano Otro sistema de prueba real considerado en este trabajo es el colombiano, el cual es considerado como de gran tamaño y mediana complejidad. Se utilizó en su versión reducida a 93 barras y 155 ramas candidatas para adición de circuitos. Los datos de este sistema pueden hallarse en [3]. Los parámetros para la etapa inicial de Búsqueda Tabú/intensificación utilizados para el sistema colombiano se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 40,000
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 20 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
Al aplicar el algoritmo de Búsqueda Tabú a este caso de prueba con lo parámetros anteriores se obtuvo como mejor configuración sin corte de carga la mostrada en la tabla 8.7, con un costo de inversión de 878,799.1x103 US$. Tabla 8.7. Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento básico y centralizado para el sistema colombiano. n43-88 2 n55-62 1 n67-68 2
n57-81 1 n66-69 2 n62-73 1
n27-89 1 n9-69 2 n45-81 1
n8-67 1 n60-69 2 n64-74 1
n15-18 1 n31-60 1 n54-56 1
n30-65 1 n19-22 1 n19-82 1
n57-84 1 n19-58 1 n82-85 1
n55-84 2 n27-29 1 n68-86 1
n56-57 1 n19-66 1
n59-67 2 n29-64 1
Usando información registrada durante la primera fase de intensificación, específicamente la residencia o permanencia de atributos en las configuraciones visitadas, se realizó otra fase de intensificación con los parámetros que se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 45,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
93
•
Corte de carga referencia = 30 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 4.
El algoritmo entregó la propuesta de inversión factible de la tabla 8.8. El costo de inversión de esta configuración es 560,002x103 US$, que presenta corte de carga de 0 MW y, según recientes investigaciones, tiene una alta probabilidad de ser la óptima. Tabla 8.8. Corredor Circuitos Corredor Circuitos
n43-88 2 n50-54 1
Plan de expansión básico y centralizado para el sistema colombiano. n15-18 1 n62-73 1
n30-65 1 n54-56 1
n30-72 1 n72-73 1
n55-57 1 n19-82 2
n55-84 1 n82-85 1
n56-57 1 n68-86 1
n55-62 1
n27-29 1
n29-64 1
8.2 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA Usando el modelo con incertidumbre en la demanda para cada barra de carga, como se expuso en la sección 6.2, se realizó el planeamiento de la expansión de la transmisión para los mismos casos de prueba del planeamiento básico y centralizado. El valor de incertidumbre en la demanda en cada uno de los casos fue de +/–5%. Los sistemas sur Brasil con y sin redespacho y el sistema colombiano fueron tratados de la misma forma que se hizo en el planeamiento básico y centralizado: usando información de permanencia de atributos registrada durante una primera etapa de Búsqueda Tabú/intensificación para, en una nueva etapa, obligar la búsqueda en nuevas regiones.
8.2.1 Sistema Garver La propuesta de inversión de la tabla 8.9 se halló usando el algoritmo de Búsqueda Tabú con memoria de corto plazo de igual forma que se hizo en el planeamiento básico y centralizado, más con las modificaciones necesarias en el modelo DC. Los siguientes valores son los parámetros usados.
•
Máximo número de iteraciones = 100.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 7.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 3 MW.
94
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 1.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ en el modelo 6.2) = 0.1.
Tabla 8.9.
Plan de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema Garver. Corredor Circuitos
n3-5 1
n4-6 3
El plan de expansión propuesto presenta costo de inversión de 110,000 US$ y no tiene corte de carga.
8.2.2 Sistema IEEE24 Para el algoritmo de Búsqueda Tabú en el proceso de intensificación basado en memoria de corto plazo, se utilizaron los parámetros que se presentan abajo.
•
Máximo número de iteraciones = 10,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 20 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α ) = 2.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.2.
Fueron varias las propuestas sin corte de carga obtenidas, algunas de ellas son diferentes a pesar de tener igual costo de inversión. En la tabla 8.10 se presentan las principales propuestas de expansión halladas.
95
Tabla 8.10.
Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema IEEE24.
Propuesta Costo de inversión (US$) Configuración n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n14-16=1, n17-18=1 1a 144,000 n2-6=1, n7-8=2, n13-14=1 1b 144,000 n7-8=2, n6-7=1, n13-14=1 1c 144,000 n =1, n6-10=1, n7-8=3, n14-16=1 2 140,000 1-5 n2-6=1, n7-8=2, n14-16=1 3a 136,000 n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n14-16=1 3b 136,000 n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n13-14=1 4 132,000 n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n14-16=1 5 124,000
8.2.3 Sistema Sur Brasil En este caso el proceso de solución también se ejecutó en dos fases: primero se realizó una Búsqueda Tabú/intensificación con memoria de corto plazo almacenando la frecuencia de residencia o permanencia de los atributos (circuitos) en las configuraciones visitadas y luego se hizo una búsqueda similar pero incentivando a través de penalizaciones la exploración en una nueva vecindad. 8.2.3.1 Sistema Sur Brasil con Redespacho
Los parámetros empleados en la primera etapa de Búsqueda Tabú/intensificación se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 30 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Después de la etapa inicial de intensificación, el algoritmo entregó la propuesta de inversión de la tabla 8.11 considerada como la mejor entre todas las propuestas factibles obtenidas. El costo de inversión de esta configuración es 75,772x103 US$ y no tiene corte de carga.
96
Tabla 8.11. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil con redespacho. Corredor Circuitos
n17-19 1
n20-23 1
n20-21 2
n42-43 1
n46-6 1
n26-29 1
n5-6 2
Puesto que no se logró una propuesta aceptable se utilizó información registrada en la fase inicial de Búsqueda Tabú/intensificación de la misma forma que se hizo en el planeamiento básico y centralizado. Los nuevos parámetros del algoritmo fueron:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 12.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 25 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Las mejores configuraciones sin corte de carga halladas durante esta nueva etapa del proceso de solución se muestran en la tabla 8.12. Tabla 8.12. Propuesta
1 2 3
Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil con redespacho. Costo de inversión (103 US$) 70,215 69,330 63,163
Configuración n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n31-32=1, n5-6=2 n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n5-11=1, n46-6=1, n5-6=2 n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n5-6=1
8.2.3.2 Sistema Sur Brasil sin Redespacho
Los parámetros usados para la primera fase de Búsqueda Tabú/intensificación se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
97
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Con estos valores se halló la configuración sin corte de carga de la tabla 8.13 que servirá, junto con los datos de frecuencia de residencia almacenados, para una nueva fase de intensificación. El costo de inversión de esta propuesta es 168,189x103 US$. Tabla 8.13. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil sin redespacho. Corredor Circuitos
n17-19
n20-21
n42-43
n14-5
n46-6
n25-32
n31-32
n28-31
n28-30
n27-29
n24-25
n29-30
n5-6
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Para la segunda fase de intensificación los parámetros del algoritmo son:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 12 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
En la tabla 8.14 se registraron los mejores resultados sin corte de carga logrados. Tabla 8.14. Propuesta
Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema sur Brasil sin redespacho.
1
Costo de inversión (103 US$) 145,232
2
142,348
Configuración n20-21=1, n42-43=2, n14-15=1, n46-6=1, n19-25=1, n31-32=1, n28-30=1, n26-29=2, n24-25=2, n29-30=1, n5-6=2 n20-21=1, n42-43=2, n46-6=1, n19-25=1, n31-32=1, n28-30=1, n26-29=2, n24-25=2, n29-30=1, n5-6=2
98
8.2.4 Sistema Colombiano Usando los parámetros que se muestran a continuación se realizó la primera etapa de Búsqueda Tabú/intensificación, hallando como mejor configuración la que se muestra en la tabla 8.15. Dicho plan de expansión no tiene corte de carga y presenta un costo de inversión de 782,172.1x103 US$.
•
Máximo número de iteraciones = 40,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.15. Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda para el sistema colombiano. n43-88 2 n1-59 1 n27-29 1 n45-81 1
n27-89 1 n59-67 2 n29-64 1 n72-73 1
n2-83 2 n3-71 1 n34-70 1 n19-82 4
n15-18 3 n9-69 1 n54-63 2 n83-85 1
n37-61 1 n60-69 2 n48-63 2 n82-85 1
n19-61 1 n16-18 1 n67-68 1 n19-86 1
n45-50 1 n47-54 1 n39-43 1 n68-86 3
n30-65 1 n18-20 1 n21-22 1 n90-91 1
n30-72 1 n18-22 1 n28-29 1
n55-84 1 n19-22 3 n62-73 1
Con los siguientes parámetros se hizo una nueva fase de Búsqueda Tabú/intensificación usando la frecuencia de residencia de los atributos en las configuraciones visitadas almacenada durante la anterior etapa. Los mejores resultados obtenidos, con corte de carga de 0 MW, aparecen en la tabla 8.16.
•
Máximo número de iteraciones = 45,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 13.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
99
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.16. Propuesta
Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda para el sistema colombiano.
1
Costo de inversión (103 US$) 486,247
2
430,009
3
423,629
Configuración n43-88=2, n15-18=1, n30-72=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n60-69=1, n27-29=1, n19-66=1, n29-64=1, 62-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=2, n15-18=1, n30-72=1, n55-84=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
8.3 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN INCORPORANDO PÉRDIDAS DEL SISTEMA Para los sistemas de prueba se aplicó el procedimiento para incorporar las pérdidas técnicas por causa de la resistencia de los conductores (pérdidas óhmicas) que se expuso en el capítulo 7. El sistema sur Brasil y el sistema colombiano requirieron de un tratamiento similar al hecho en las pruebas anteriores. En ellos se realizaron dos etapas de intensificación, almacenando información de frecuencia de largo plazo en la primera para ser usada promoviendo la búsqueda en nuevas regiones en la segunda.
8.3.1 Sistema Garver A pesar de que el sistema Garver sin redespacho no se usó en este trabajo cabe mencionar que este sistema, dado que su generación total es exactamente igual su demanda total, no puede ser manejado introduciéndole pérdidas sin realizar una corrección al valor máximo de cada generador (ver sección 7.3), puesto el sistema no tendría capacidad para suplir las pérdidas por lo que el proceso de solución siempre entregaría configuraciones infactibles. Otra solución al déficit de generación para suplir pérdidas es usar este sistema en su versión con redespacho, es decir, cuando el total de la generación es mayor que el total de la demanda del sistema. En el proceso de solución se usaron los parámetros que se muestran a continuación.
100
•
Máximo número de iteraciones = 100.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 13.
• •
Máximo número de vecinos a generar = 5. Corte de carga referencia = 4 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 1.
Se obtuvo como mejor configuración la de la tabla 8.17, la cual no presenta corte de carga y tiene un costo de inversión de 140,000 US$. Tabla 8.17.
Plan de expansión incorporando pérdidas para el sistema Garver. Corredor Circuitos
n1-5
n2-3
n2-6
n3-5
2
1
2
1
8.3.2 Sistema IEEE24 Con los parámetros que se muestran abajo se obtuvieron como mejores propuestas las configuraciones de la tabla 8.18, las cuales no tienen corte de carga.
•
Máximo número de iteraciones = 10,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 2.
Tabla 8.18. Propuesta 1 2 3
Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema IEEE24. Costo de inversión (US$) 188,000 182,000 168,000
Configuración n6-10=1, n7-8=2, n10-12=1, n14-16=1, n16-17=1 n6-7=1, n7-8=2, n10-12=1, n14-16=1, n20-23=1 n6-10=1, n7-8=2, n10-12=1, n13-14=1
8.3.3 Sistema Sur Brasil Dado que en el sistema sur Brasil sin redespacho la generación total es exactamente igual a la demanda total, este no puede ser manejado introduciéndole pérdidas sin aumentar el
101
valor máximo de los generadores, puesto que el sistema no tendría capacidad para suplirlas y el método de solución entregaría siempre soluciones infactibles. Por otro lado, aprovechando que se cuenta con los datos del sistema sur Brasil con redespacho, el planeamiento de la transmisión incorporando las pérdidas no será hecho para el caso en que este sistema no tiene redespacho. 8.3.3.1 Sistema Sur Brasil con Redespacho
Parámetros para la primera etapa de Búsqueda Tabú/intensificación con memoria de corto plazo:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 15 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
En la tabla 8.19 se muestra la mejor configuración sin corte de carga lograda durante la primera etapa de intensificación. Esta propuesta tiene costo de inversión de 106,878x103 US$. Tabla 8.19.
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho.
Corredor Circuitos
n2-5
n13-18
n20-23
n33-34
n20-21
n42-43
n14-15
n5-11
n46-6
n28-30
n26-29
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
Para la siguiente fase de intensificación se utilizaron los siguientes parámetros:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 11.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 18 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
102
n5-6
2
En la tabla 8.20 se registraron las mejores configuraciones encontradas. Las propuestas 1 y 2 tienen corte de carga de 0 MW. Tabla 8.20.
Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho.
Propuesta
1
Costo de inversión (103 U S$) 94,134
2
89,799
3*
86,006
Configuración n13-18=1, n20-23=1, n33-34=1, n20-21=2, n42-43=1, n14-15=1, n46-6=1, n26-29=1, n5-6=2 n13-18=1, n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n5-11=1, n46-6=1, n26-29=1, n24-25=1, n5-6=2 n4-9=1, n18-20=1, n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n26-29=1, n5-6=2
* Esta configuración presenta un corte de carga de 1.564 MW.
8.3.4 Sistema Colombiano Igual que sucede con los sistemas Garver y sur Brasil sin redespacho, los datos del sistema colombiano con que se cuenta tienen el total de la generación exactamente igual al total de la demanda, es decir, son para el caso en que no hay redespacho; esto imposibilita, como se mencionó antes, la formación de planes de expansión factibles al incorporar en el proceso de solución las pérdidas del sistema. Dado que no hay datos del sistema colombiano con redespacho y que las pérdidas del sistema de transmisión representan aproximadamente entre el 2 y 5% del total de la generación [66], se modificaron los datos existentes del sistema colombiano aumentando 2.5% a cada generador. Los siguientes son los parámetros para la primera etapa de Búsqueda Tabú/intensificación para el sistema colombiano (generación aumentada 2.5%):
•
Máximo número de iteraciones = 40,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 30 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
Con los anteriores parámetros se halló la configuración de la tabla 8.21, la cual tiene un costo de inversión de inversión de 895,837x103 US$ y no presenta corte de carga.
103
Tabla 8.21.
Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento incorporando pérdidas para el sistema colombiano.
Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos
n43-88 2 n55-57 1 n19-22 1 n64-74 1
n57-81 2 n55-84 1 n19-58 1 n54-56 1
n74-89 1 n59-67 2 n27-29 1 n19-82 1
n8-67 1 n55-62 1 n19-66 1 n82-85 1
n15-18 1 n66-69 2 n29-64 1 n68-86 1
n45-54 1 n9-69 2 n67-68 2
n30-64 1 n60-69 2 n62-73 1
n30-72 1 n31-60 1 n45-81 1
Con los datos de memoria de largo plazo almacenados durante la primera fase y usando los parámetros que se muestran abajo, se realizó una nueva Búsqueda Tabú/intensificación, obteniendo como mejores resultados sin corte de carga los que se muestran en la tabla 8.22.
•
Máximo número de iteraciones = 45,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 13.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 30 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
Tabla 8.22. Propuesta
Planes de expansión incorporando pérdidas para el sistema colombiano.
1
Costo de inversión (103 US$) 591,440
2
579,780
3
567,759.9
Configuración n43-88=2, n15-18=1, n45-50=1, n30-64=1, n30-72=1, n57-84=1, n55-84=2, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n62-73=1, n64-74=1, n54-56=2, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=2, n27-89=1, n15-18=1, n30-65=1, n30-72=1, n57-84=1, n55-84=2, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n55-57=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n64-74=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
104
8.4 PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISIÓN CON INCERTIDUMBRE EN LA DEMANDA E INCORPORANDO PÉRDIDAS DEL SISTEMA Finalmente, se aplicó el algoritmo de Búsqueda Tabú considerando una incertidumbre en la demanda de +/–5% para cada barra de carga (capítulo 6) e incorporando las pérdidas por el efecto resistivo de los conductores dentro del proceso de planeamiento (capítulo 7). Al igual que en las pruebas anteriores, para la mayoría de los casos se realizó inicialmente un proceso de Búsqueda Tabú/intensificación con memoria de largo plazo en el que se almacenó la frecuencia de permanencia de atributos en las configuraciones exploradas (memoria de largo plazo) para usarla en una nueva etapa de intensificación promoviendo la búsqueda en regiones no visitadas.
8.4.1 Sistema Garver El planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando en el proceso de solución las pérdidas por el efector resistivo de los conductores para el sistema de Garver sin redespacho entregó como mejor configuración sin corte de carga la que se muestra en la tabla 8.23. Este plan de expansión tiene un costo de inversión de 130,000 US$. Tabla 8.23.
Plan de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema Garver. Corredor Circuitos
n2-6
n3-5
n4-6
1
2
2
Los parámetros para el algoritmo de Búsqueda Tabú son los que se muestran a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 100.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 3 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 1.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.1.
105
8.4.2 Sistema IEEE24 Usando el algoritmo de Búsqueda Tabú en un proceso de intensificación con memoria de corto plazo y utilizando los parámetros siguientes se hallaron como mejores planes de expansión sin corte de carga los de la tabla 8.24.
•
Máximo número de iteraciones = 10,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 3.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.3.
Tabla 8.24.
Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema IEEE24.
Propuesta Costo de inversión (U S$) 1 152,000 2 144,000 3 136,000
Configuración n6-10=1, n7-8=2, n10-12=1, n14-16=1 n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n13-14=1 n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n14-16=1
8.4.3 Sistema Sur Brasil 8.4.3.1 Sistema Sur Brasil con Redespacho
Los parámetros para la primera fase de intensificación del algoritmo Búsqueda Tabú para este caso son los siguientes:
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 15.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
106
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.25. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho. Corredor Circuitos
n20-23
n20-21
n14-15
n5-11
n46-6
n31-32
n28-31
n46-11
n2-3
n5-6
n9-10
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
El plan de expansión de la tabla 8.25 no presenta corte de carga y tiene costo de inversión de 99,419x103 US$. Una vez ejecutado el algoritmo en una segunda fase de intensificación y con los parámetros que se muestran abajo, se hallaron como mejores configuraciones sin corte de carga las de la tabla 8.26.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 15 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.26.
Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil con redespacho.
Propuesta
1
Costo de inversión (103 U S$) 73,884
2
67,319
Configuración n18-20=1, n20-23=1, n20-21=1, n5-11=1, n46-6=1, n2-3=1, n5-6=2 n20-23=1, n20-21=1, n5-11=2, n46-6=1, n2-3=1, n5-6=2
8.4.3.2 Sistema Sur Brasil sin Redespacho
A continuación se muestran los parámetros para la primera fase de intensificación del algoritmo de Búsqueda Tabú:
107
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.27. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil sin redespacho. Corredor Circuitos Corredor Circuitos
n14-22 1 n26-29 1
n20-23 1 n46-11 1
n20-21 2 n24-25 1
n42-43 1 n29-30 1
n14-15 2 n40-41 1
n46-6 1 n2-3 1
n25-32 1 n5-6 2
n28-30 1 n9-10 1
El plan de expansión de la tabla 8.27 tiene costo de inversión de 173,045x103 US$ y corte de carga 0 MW. En otra fase de intensificación con los parámetros mostrados a continuación, se hallaron como mejores las configuraciones sin corte de carga de la tabla 8.28.
•
Máximo número de iteraciones = 30,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 15 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
108
Tabla 8.28.
Planes de expansión con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema sur Brasil sin redespacho.
Propuesta
1
Costo de inversión (103 U S$) 151,756
2
149,363
3
145,207
Configuración n20-21=2, n42-43=2, n14-15=1, n46-6=1, n31-32=1, n28-31=1, n26-29=3, n15-16=1, n46-11=1, n24-25=1, n29-30=1, n40-41=1, n2-3=1, n5-6=2, n9-10=1 n20-21=1, n42-43=2, n14-15=1, n46-6=1, n19-25=1, n31-32=1, n26-29=1, n46-11=1, n24-25=1, n40-41=1, n2-3=1, n5-6=2, n9-10=1 n20-21=2, n42-43=1, n14-15=1, n5-11=1, n46-6=1, n25-32=1, n31-32=1, n27-29=1, n26-29=1, n24-25=1, n2-3=1, n5-6=2, n9-10=1
8.4.4 Sistema Colombiano Los parámetros usados en la primera fase de Búsqueda Tabú/intensificación y la configuración sin corte de carga hallada con menor costo de inversión, el cual es de 950,320x103 US$, se muestra a continuación.
•
Máximo número de iteraciones = 40,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 14.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 25 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4.
Tabla 8.29. Mejor configuración en la primera etapa de intensificación del planeamiento con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema colombiano. Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos Corredor Circuitos
n43-88 2 n55-62 1 n19-22 4 n21-22 2
n57-81 1 n66-69 1 n27-64 1 n28-29 1
n8-67 3 n9-69 3 n27-29 1 n62-73 1
n2-83 1 n60-69 3 n19-66 1 n45-81 2
109
n15-18 4 n16-21 1 n34-70 1 n64-74 1
n55-84 1 n31-60 2 n8-71 1 n19-82 1
n59-67 1 n18-20 1 n54-63 3 n68-86 4
n3-71 2 n18-22 1 n67-68 4
En la segunda fase de intensificación se usaron los parámetros que se muestran abajo. La tabla 8.30 muestra las mejores configuraciones sin corte de carga logradas.
•
Máximo número de iteraciones = 45,000.
•
Número de iteraciones durante las cuales un atributo permanece tabú = 13.
•
Máximo número de vecinos a generar = 5.
•
Corte de carga referencia = 10 MW.
•
Penalización para los generadores ficticios ( α )= 4.
•
Parámetro que maximiza la demanda suplida en cada nodo del sistema ( δ ) = 0.4. Tabla 8.30. Propuesta
Planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas para el sistema colombiano.
1
Costo de inversión (103 US$) 513,194
2
450,576
Configuración n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n30-72=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n30-72=1, n55-84=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
8.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS En esta sección se hará un análisis comparativo de los resultados obtenidos mostrando las diferencias básicas entre ellos para el planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión bajo los tratamientos abordados en este trabajo. Para los casos de prueba usados considerando incertidumbre en la demanda se harán comparaciones con los resultados reportados por otros autores. Por otro lado, no se podrán comparar los resultados del planeamiento contemplando pérdidas del sistema a través de metodología desarrollada en este trabajo, sea incluyendo incertidumbre en la demanda o no, puesto que no hay trabajos reportados que manejen este tema de la misma forma.
8.5.1 Comparación con otros resultados reportados Los planes de expansión hallados para el planeamiento básico y centralizado son esencialmente los mismos expuestos en las investigaciones que abordan este problema de la
110
misma forma. Estos es apreciable en trabajos como [21], [29] y [3] entre otros, donde se ha han hecho amplios estudios sobre el tema. La tabla 8.31 contiene los resultados del planeamiento con incertidumbre en la demanda hallados en este trabajo y que coinciden con los mostrados en [30] y/o [31]. El resto de los planes de expansión obtenidos en cada caso de prueba bajo este enfoque pueden ser consultados en la sección 8.2. Tabla 8.31. Sistema
Comparación con otros resultados reportados.
Plan de expansión Hallado en este trabajo Reportado por otros autores
Garver
n3-5=1, n4-6=3
IEEE24
1a: n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2,
IEEE24 IEEE24 IEEE24 IEEE24
1b: n2-6=1, n7-8=2, n13-14=1 1c: n7-8=2, n6-7=1, n13-14=1 2a: n2-6=1, n7-8=2, n14-16=1 2b: n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1,
IEEE24
3: n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n14-
n14-16=1, n17-18=1
Costo de inversión (US$)
n3-5=1, n4-6=3 ([30] y [31])
110,000
n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n13-14=1 ([31])
144,000
n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n14-16=1 ([31])
136,000
n14-16=1
Sur Brasil con redespacho Colombia
16=1 n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n5-6=1
n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n14-16=1 ([30] y [31]) n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n5-6=1 ([30] y [31])
n43-88=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n60-69=1, n27-29=1, n19-66=1, n29-64=1, 62-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
n43-88=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n60-69=1, n27-29=1, n19-66=1, n29-64=1, 62-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 ([31])
124,000 63,163x103 430,009x103
Como puede observarse en la tabla 8.31, en casi todos los sistemas de prueba usados se hallaron los resultados reportados en [30] y [31]. En el caso del sistema IEEE24 no se halló la misma configuración reportada en [31] para el costo de inversión de 144000 US$, pero sí se encontraron tres configuraciones alternas con igual valor. El planeamiento de la expansión sistemas de transmisión que incorpora pérdidas del sistema según lo expuesto en el capítulo 7 con o sin incertidumbre en la demanda no tiene resultados reportados, por cuanto no se podrán hacer comparaciones al respecto.
111
8.5.2 Comparación entre resultados bajo los diferentes planteamientos manejados en este estudio 8.5.2.1 Sistema Garver
En la tabla 8.32 se presentan los planes de expansión factibles con menor costo de inversión obtenidos para el sistema Garver. Tabla 8.32.
Resultados obtenidos para el sistema Garver.
Tipo de Plan de expansión planeamiento Básico y n3-5=1, n4-6=3 centralizado Con incertidumbre n3-5=1, n4-6=3 en la demanda Incorporando n1-5=2, n2-3=1, n2-6=2, n3-5=1 pérdidas óhmicas ** Con incertidumbre en la demanda e n2-6=1, n3-5=2, n4-6=2 incorporando ** pérdidas óhmicas ** Resultados no reportados antes.
Figura 8.1.
Resultados para el sistema Garver.
112
Costo de inversión (US$) 110,000
110,000 140,000 ** 130,000 **
Como puede verse en la figura 8.1, todos los planes de expansión bajo lo tipos de planeamiento manejados para el sistema Garver concuerdan en tener adición en el corredor 3-5. Los planes de expansión para el planeamiento básico y centralizado y planeamiento con incertidumbre en la demanda son exactamente iguales. Además, se observa que para este caso los efectos de las pérdidas e incertidumbre en la demanda no actúan de la misma forma, es decir, no afectan exactamente los mismos corredores. Ahora, cuando se consideran las pérdidas por efecto resistivo en los conductores según la propuesta del capítulo 7, se incrementan los costos en 27.7% y 18.18% sin y con incertidumbre en la demanda respectivamente con relación al plan básico y centralizado. Esto significa que el incremento en el costo, por introducir las pérdidas, es parcialmente reducido al considerar la incertidumbre en la demanda. En este caso el 34.36% del aumento del costo por pérdidas es eliminado nuevamente al considerar incertidumbre en la demanda. 8.5.2.2 Sistema IEEE24
En la tabla 8.33 se presentan los planes de expansión factibles con menor costo de inversión obtenidos para el sistema IEEE24. Tabla 8.33.
Resultados obtenidos para el sistema IEEE24.
Tipo de Plan de expansión planeamiento Básico y n6-10=1, n7-8=2, n10-12=1, n14-16=1 centralizado n1-5=1, n6-10=1, n7-8=2, n14-16=1 Con incertidumbre en la demanda n6-10=1, n7-8=2, n10-12=1, n13-14=1 Incorporando ** pérdidas óhmicas Con incertidumbre n6-10=1, n7-8=1, n10-12=1, n14-16=1 en la demanda e ** incorporando pérdidas óhmicas ** Resultados no reportados antes.
113
Costo de inversión (US$) 152,000
124,000 168,000 ** 136,000 **
Figura 8.2.
Resultados para el sistema IEEE24.
Para el sistema IEEE24 todos los tipos de planeamiento usados en este trabajo coinciden en que tienen adiciones en los corredores 6-10 y 7-8; adiciones en los corredores 10-12 y 1416 se repiten en por lo menos tres de ellos, tal y como se ve en la figura 8.2. En este sistema de nuevo se observa que la inclusión de pérdidas y la incertidumbre en la demanda no afectan exactamente los mismos corredores. En este caso de prueba, cuando se considera incertidumbre en la demanda, los costos se reducen en 18.42% con relación al plan de expansión básico y centralizado. Con relación a este mismo plan de expansión, cuando se incorporan pérdidas por el efecto resistivo de los conductores, los costos se incrementan 10.52% cuando no hay incertidumbre en la demanda y se reducen coincidencialmente en la misma cantidad cuando esta sí se considera. Para este sistema, el sobrecosto del plan de expansión incluyendo pérdidas se reduce al 100% al considerar la incertidumbre en la demanda. 8.5.2.3 Sistema Sur Brasil con Redespacho
En la tabla 8.34 se presentan los planes de expansión factibles con menor costo de inversión obtenidos para el sistema sur Brasil con redespacho.
114
Tabla 8.34.
Resultados obtenidos para el sistema sur Brasil con redespacho.
Tipo de planeamiento Básico y centralizado Con incertidumbre en la demanda Incorporando pérdidas óhmicas
Plan de expansión
n2-5=1, n13-20=1, n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n5-6=2 n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n46-6=1, n5-6=1
63,163
n13-18=1, n20-23=1, n20-21=2, n42-43=1, n5-11=1, n46-6=1, n26-29=1, n24-25=1, n5-6=2
89,799 **
**
Con incertidumbre n20-23=1, n20-21=1, n5-11=2, n46-6=1, n2-3=1, n5-6=2 ** en la demanda e incorporando pérdidas óhmicas ** Resultados no reportados antes. Figura 8.3.
Costo de inversión (103US$) 72,870
67,319 **
Resultados para el sistema sur Brasil con redespacho.
Para este sistema, específicamente en los corredores 20-23, 20-21, 42-43, 46-6 y 5-6, se proponen adiciones para por lo menos tres de los tipos de planeamiento manejados; el resto de trayectorias para adición propuestas, a excepción de las 5-11, no son comunes para más de un tipo de planeamiento (figura 8.3). A pesar de que en este sistema la correlación entre los corredores afectados por la inclusión de pérdidas y por la consideración de la
115
incertidumbre en la demanda no es completa, se observa que tienen más corredores en común que en los dos sistemas anteriores. Al considerar incertidumbre en la demanda se presenta una reducción en los costos de inversión del 13.32% con relación al plan de expansión básico y centralizado. Cuando se consideran pérdidas del sistema por el efecto resistivo de los conductores se presentan aumento del 23.23% y reducción del 7.61% en los costos de inversión sin y con incertidumbre en la demanda respectivamente, con respecto al plan de expansión básico y centralizado. Nuevamente el incremento en el costo al incorporar pérdidas es eliminado al considerar la incertidumbre en la demanda. 8.5.2.4 Sistema Sur Brasil sin Redespacho
En la tabla 8.35 se presentan los planes de expansión factibles con menor costo de inversión obtenidos para el sistema sur Brasil sin redespacho. Tabla 8.35. Tipo de planeamiento Básico y centralizado Con incertidumbre en la demanda
Resultados obtenidos para el sistema sur Brasil sin redespacho. Plan de expansión
n20-21=1, n42-43=2, n46-6=1, n19-25=1, n31-32=1, n28-30=1, n26-29=3, n24-25=2, n29-30=2, n5-6=2, n20-21=1, n42-43=2, n46-6=1, n19-25=1, n31-32=1, n28-30=1, n26-29=2, n24-25=2, n29-30=1, n5-6=2 ** No aplica
Incorporando pérdidas óhmicas n20-21=2, n42-43=1, n14-15=1, n5-11=1, n46-6=1, Con incertidumbre n25-32=1, n31-32=1, n27-29=1, n26-29=1, n24-25=1, en la demanda e n2-3=1, n5-6=2, n9-10=1 incorporando ** pérdidas óhmicas ** Resultados no reportados antes.
116
Costo de inversión (103US$) 154,420
142,348 ** No aplica 145,207 **
Figura 8.4.
Resultados para el sistema sur Brasil sin redespacho.
En la tabla 8.35 y en la figura 8.4 no aparecen resultados relacionados al planeamiento considerando pérdidas para el caso en el que este sistema no tiene redespacho, dado que se cuenta con los datos del mismo cuando sí lo tiene. En la figura 8.4 se observa que siete de los corredores donde se propone adición de circuitos (20-21, 42-43, 46-6, 31-32, 26-29, 2425 y 5-6) son comunes para los tres tipos de planeamiento posibles para este sistema; el resto de los corredores son comunes para uno o dos de ellos. Si se considera incertidumbre en la demanda, la mejor propuesta de planeamiento hallada resulta ser 7.82% menos costosa que en el plan básico y centralizado. Cuando se incorporan las pérdidas por el efecto resistivo de los conductores se disminuye en 5.97% el costo de inversión con relación al plan de expansión básico y centralizado. Esto indica que, a pesar de incluir pérdidas en el sistema, el costo de inversión es menor si se considera la incertidumbre en la demanda. 8.5.2.5 Sistema Colombiano
En la tabla 8.36 se presentan los planes de expansión factibles con menor costo de inversión obtenidos para el sistema colombiano.
117
Tabla 8.36.
Resultados obtenidos para el sistema colombiano.
Tipo de planeamiento
Plan de expansión
Básico y centralizado
n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n30-72=1, n55-57=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1 n43-88=2, n15-18=1, n30-72=1, n55-84=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n19-82=2, n82-85=1 n68-86=1
Con incertidumbre en la demanda
Costo de inversión (103US$)
560,002
423,629 **
Incorporando pérdidas óhmicas (sistema con 2.5% más de generación)
** n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n55-57=1, n55-84=1, n56-57=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n64-74=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
567,759.9 **
Con incertidumbre en la demanda e incorporando pérdidas óhmicas
n43-88=2, n15-18=1, n30-65=1, n30-72=1, n55-84=1, n55-62=1, n27-29=1, n29-64=1, n50-54=1, n62-73=1, n54-56=1, n72-73=1, n19-82=2, n82-85=1, n68-86=1
450,576 **
**
**
** Resultados no reportados antes. Figura 8.5.
Resultados para el sistema colombiano.
En la figura 8.5 se observa que 13 de los 18 corredores donde se propone adición de circuitos son comunes para las cuatro formas de realizar planeamiento de la transmisión consideradas. Estos corredores son: 48-88, 15-18, 30-65, 55-84, 55-62, 27-29, 29-64, 5054, 62-73, 54-56, 19-82, 82-85 y 68-86. En este caso la mayoría de los corredores son
118
comunes para los planes de expansión considerando incertidumbre en la demanda e incluyendo pérdidas. Observando las figuras 8.1, 8.2, 8.3 y 8.5 se puede deducir que en la medida que el sistema crece las coincidencias entre estos planes de expansión son mayores. Cuando se considera incertidumbre en la demanda se presenta una disminución del 24.35% con relación al plan básico y centralizado. Ahora, cuando se incorporan pérdidas por efecto resistivo sin y con incertidumbre en la demanda, se produce un aumento del 1.39% y una disminución del 19.54% respectivamente también con relación al plan de expansión básico y centralizado. Igual que para los sistemas IEEE24 y sur Brasil con redespacho, el total del sobre costo introducido por la inclusión de pérdidas es reducido al considerar la incertidumbre en la demanda.
8.5.3. Aumento de la inversión incluyendo pérdidas respecto al planeamiento básico y centralizado En las tablas (8.32), (8.33), (8.34) y (8.36) es evidente que incluir pérdidas afecta el plan de la expansión de la transmisión aumentando el costo de inversión respecto al planeamiento básico y centralizado. En la figura 8.6 se muestra este incremento en términos porcentuales para cada caso de prueba estudiado. Figura 8.6.
Porcentaje de aumento del costo de inversión incluyendo pérdidas con relación al plan básico y centralizado.
119
Capítulo 9 9 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 9.1 CONCLUSIONES En este trabajo se propuso una metodología para introducir las pérdidas técnicas del sistema en el planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión sin manejar las expresiones no lineales que las caracterizan directamente dentro del modelo. Esto proporcionó una gran ventaja desde el punto de vista de la complejidad del método usado para resolver el problema técnico del planeamiento, traduciéndose en menor tiempo de desarrollo y menor esfuerzo computacional. Con la intensión de tener resultados más próximos a la realidad y que cumplan con los objetivos del planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión, se propuso un método que incorpora las pérdidas técnicas del sistema de transmisión dentro del proceso de solución el cual fue probado a través del algoritmo de Búsqueda Tabú. Sin embargo, esta metodología puede ser usada con algoritmos heurísticos constructivos, métodos de optimización clásica y otros métodos de optimización combinatorial como, por ejemplo, algoritmos genéticos y simulated annealing. Además, en este trabajo se contempló la característica estocástica de la demanda considerándola como una variable que puede tomar valores entre dos límites y no como un valor fijo como tradicionalmente ha sido manejada en el llamado planeamiento básico y centralizado, lo que proporcionó mayor flexibilidad en las propuestas de inversión permitiendo encontrar varias soluciones con topologías y costos diferentes. Por primera vez se resolvió el problema de planeamiento de la expansión de la transmisión considerando incertidumbre en la demanda a través de algoritmo de Búsqueda Tabú. Se verificó que este algoritmo también puede ser usado en el planeamiento de la transmisión considerando incertidumbre en la demanda al comparar los resultados obtenidos con los reportados en otras investigaciones. Además, puesto que la metodología para incorporar pérdidas técnicas en el proceso de planeamiento de la expansión de la transmisión propuesta en este trabajo es nueva, se entregan resultados no antes reportados que pueden servir de referencia en investigaciones posteriores que se realicen bajo el mismo criterio. En los sistemas de prueba de pequeño tamaño estudiados, Garver e IEEE24, los mejores planes de expansión para el caso en que se considera incertidumbre en la demanda y el caso en que se incorporan las pérdidas del sistema no afectan exactamente los mismos corredores. A medida que el sistema aumenta de tamaño se hace mayor la correlación entre
120
los corredores entregados por los dos tipos de planeamiento; esto se puede observar en los sistemas sur Brasil y Colombia. En la mayoría de los sistemas estudiados se reduce el aumento en el costo de inversión generado por la introducción de las pérdidas técnicas cuando se considera incertidumbre en la demanda, inclusive eliminándola por completo en los sistemas reales sur Brasil y Colombia. El costo de inversión presenta aumento al incluir las pérdidas técnicas para los sistemas estudiados: Garver, IEEE24, sur Brasil y Colombia en 27.7%, 10.52%, 23.3% y 1.39% respectivamente. Ahora, considerando la característica estocástica de la demanda, las pérdidas se redujeron en 34.36% para el sistema Garver y 100% para los demás sistemas.
9.2 RECOMENDACIONES El manejo dado a la demanda para considerar la incertidumbre presente en ella, sugiere que cualquiera de los valores que puede tomar dentro del intervalo definido tiene una distribución uniforme, es decir, todos estos valores son equiprobables. En los sistemas reales la demanda tiene tendencia a aumentar y difícilmente a diminuir, sin presentar entonces una distribución uniforme. Considerando esto, se podría hacer un estudio más completo para considerar la incertidumbre en la demanda, dando mayor probabilidad de ocurrencia a los valores de demanda cercanos al límite superior del intervalo definido para ella. El manejo de la incertidumbre en la demanda hecho en este trabajo fue a través de un modelo que la considera individualmente para cada barra de carga. En trabajos futuros se podría usar el modelo que considera la incertidumbre en la demanda total del sistema con y sin inclusión de las pérdidas técnicas del sistema. En el modelo propuesto para incluir las pérdidas técnicas se hacen modificaciones al modelo básico. Una de estas modificaciones consiste en el aumento en la generación máxima en un valor Δg . En este trabajo este valor es constante para todos los generadores del sistema. En trabajos futuros podría dársele facultad al método de solución del problema de planeamiento para que determine el valor de Δ g i para cada generador i de manera independiente. En este trabajo se consideraron las pérdidas técnicas originadas por el efecto resistivo de los conductores. En trabajos futuros se podría utilizar la metodología propuesta incluyendo otro tipo de pérdidas con expresiones aún con mayor grado de no linealidad, como por ejemplo las pérdidas en los transformadores y/o las pérdidas por el efecto corona.
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