Physikskript

Physik

Dr. Karin Olt ©K. Olt, 2008

Studienkolleg an der TUDarmstadt

Mechanik Erstes Semester:

Zweites Semester:

7 S.

1. Einführung

1.1 1.2 1.3 1.4

Teilgebiete der Physik Größen und Einheiten Vorsätze zur Größenveränderung Größenveränderung Messunsicherheit Messunsicherheit / Messfehler 7 S.

2. Die Kraft

2.1 2.2 2.3

Masse, Gewicht und Kraft Vektorielle Addition von Kräften Rollen und Flaschenzüge 9 S.

3. Das Drehmoment

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Definition und Berechnung Addition beliebiger Kräfte Auflagerkräfte Statik Das Fachwerk 5 S.

4. Kinematik

4.1 4.2

Gleichförmige Bewegung Bewegung Gleichmäßig beschleunigte beschleunigte Bewegung Bewegung 5 S.

5. Dynamik

5.1 5.2 5.3 5.4

Grundgesetz der Mechanik Newton’sche Axiome Reibung Die schiefe Ebene

A Anhang

3 S.

6.

Der Wurf

6.1 6.2

Der waagerechte Wurf Der schiefe Wurf

7.

Kreisbewegung

7.1 7.2

Begriffsbildung Kinematik und Dynamik bei der gleichförmigen Kreisbewegung Kreisbewegung

8.

Arbeit und Energie

8.1 8.2 8.3 8.4

Arbeit Energie Der Energieerhaltungssatz Energieerhaltungssatz Die Leistung

9.

Impuls

9.1 9.2

Impulserhaltung Stöße

B

Drehbewegung starrer Körper 9 S.

3 S.

6 S.

5 S.

B.1 Kinematik der Drehbewegung Drehbewegung B.2 Rotationsenergie Rotationsenergie und Trägheitsmoment B.3 Rotationsdynamik B.4 Rollende Körper 12 S.

C

Elektrostatik

C.1 C.2 C.3 C.4

Elektrische Ladungen Das elektrische Feld Das Elektrische Potential Potential Kondensatoren

VIII S.

A.1 Trigonometrie A.2 Vektorrechnung A.3 Addition von von Kräften im kartesischen Koordinatensystem Literatur:

Halliday Resnick Gerthsen Kneser Vogel Paul A. Tipler

Physics Physik Physik

Wiley Springer Spektrum

Formelsammlung: B.

Mirow:

„Physik-Formeln“, Sekundarstufe II Formeln und Tabellen

Dümmler Duden Paetec

Physik


Studienkolleg an der TUDarmstadt

Dieses Skript ist ausschließlich für den internen Gebrauch am Studienkolleg für ausländische Studierende an der TU Darmstadt bestimmt. Bildnachweis: Einzelne Abbildungen sind folgenden Lehrbüchern entnommen: Physik plus Deutsch 1 Paul A. Tipler

A. Friedrich / B. Liebaug Mechanik Physik

Liebaug-Dartmann Spektrum

Dank an Natalia Scholz-Wegele für wertvolle Vorschläge und für Graphiken in Kapitel 2.3 und Kapitel A. Dank an Dr. Sabine Gillmann für f ür sorgfältige sprachliche Durchsicht. Dank an Uta Helfrich für zahlreiche konstruktive Vorschläge.

©2008 Überarbeitung 2015 Überarbeitung Januar 2016 Überarbeitung Februar 2017

Karin Olt Karin Olt Karin Olt


Physik Kap.1 Einführung

1. Semester Studienkolleg an der TUDarmstadt

Mechanik 1. Einführung 1.1

Teilgebiete der Physik

Die Physik befasst sich mit den Erscheinungen der unbelebten Natur (abgesehen von der Biophysik). Der Physiker möchte die Gesetze der Natur erkennen. Typisches Vorgehen: Beschreibung von Vorgängen, Definition von Größen (= Eigenschaften), Suchen nach Gesetzmäßigkeiten, Aufstellen einer Hypothese, vielfältige Überprüfung  Entwickeln einer Theorie, Vorhersage von physikalischen Abläufen. Die Erscheinungen in der Natur sind ungeheuer vielfältig. Daher teilt man die Physik gerne in Teilgebiete ein, s.u. Interdisziplinäres Arbeiten ist aber sehr wichtig und modern geworden. Teilgebiete der Physik (Auswahl): Mechanik:

Kinematik, Dynamik, Arbeit und Energie, Impuls, Stöße, Rotationen, Statik, Schwingungen, Gravitation, Strömungen, Wellen, … Wärmelehre: ideales Gas, erster und zweiter Hauptsatz, Carnot’scher Kreispozess, kinetische Gastheorie, Entropie, … Elektrizitätslehre: el. Ladung, el. Feld, Stromstärke, Spannung, el. Widerstand, Wechselströme und Spannungen, elektromagnetische Wellen, … Optik: geometrische Optik, Wellenoptik, … Festkörperphysik: Festkörperphysik: Kristalle, Metalle, Halbleiter, Supraleitung, … Atomphysik: Bohr’sches Atommodell, Atommodell, Photonen, … Kernphysik: Radioaktivität, Kernteilchen, Kernkräfte, Elementarteilchen, … Astrophysik: Kosmologie, Sternaufbau, Sternaufbau, Sternentstehung, … Quantenphysik: Unschärferelation, Schrödingergleichung, Schrödingergleichung, Atome und Moleküle, … Relativitätstheorie: Bezugssysteme, Addition Ad dition von Geschwindigkeiten, LorentzTransformation, … 1.2

Größen und Einheiten

Zur Formulierung eines quantitativen physikalischen Zusammenhanges ist es unabdingbar, Objekten oder Vorgängen Werte zuzuordnen. So brauchen Sie z.B. zur Angabe der Länge einer Strecke Str ecke ein Längenmaß, zur Angabe einer zeitlichen Dauer ein Zeitmaß, zur Angabe von „Wärme“ ein Temperaturmaß, …. Bsp.: Länge eines Tisches: 2 m = 200 cm = 2000 mm = 0,002 km = 78,8 in = 6,56 ft

= 0,00124 mi = … Der Zahlenwert (= Maßzahl) alleine reicht nicht! Um den Wert einer Größe anzugeben, brauchen Sie Maßzahl und Einheit:

1




Wert der Größe = Maßzahl  Einheit !

Es folgt eine Liste von in der Physik gebräuchlichen Standardeinheiten (SIEinheiten). Bei der Angabe eines Wertes einer Größe (z. B. der Länge des Tisches) gibt man der Größe selbst auch gerne einen abkürzenden Buchstaben, der kursiv geschrieben wird. Die Einheiten werden dagegen gerade gedruckt. Bsp.: Länge des Tisches: l  2 m .

l bezeichnet die Größe (die Länge), 2 m bezeichnet den Wert der Größe (Maßzahl mal Einheit!), m bezeichnet die Maßeinheit. Die Bezeichnungen für die Größen sind nicht in allen Fällen einheitlich, die Maßeinheiten sind jedoch international genormt (SI-System: Système International d’Unités). Man hat sich auf folgende sieben Basiseinheiten geeinigt: Basisgrößen und Basiseinheiten: Größe

Größensymbol

Einheit

Einheitensymbol

Länge Zeit Masse el Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke

l, s, r, ... t m I T

Meter Sekunde Kilogramm Ampere Kelvin Mol Candela

m s kg A K mol cd



I L

Diese Basiseinheiten müssen möglichst präzise definiert sein, sie müssen möglichst unabhängig sein von Ort und Zeit, und sie sollten in allen Laboratorien möglichst gut zugänglich sein. Bsp.: Lange Zeit bildete das Urmeter, das nahe bei Paris 8 m unter der Erde bei

00 C aufbewahrt wird, die Definition des Meters. Seit 1960 war 1 Meter das 1650763,73-fache der Wellenlänge der von 86Kr beim Übergang vom Zustand 5d5 nach 2p10 ausgesandten Strahlung im Vakuum. Seit 1983 lautet die Definition: 1 m = der Lichtweg, der in

1 2,99792458  10 8

s im Vakuum

zurückgelegt wird.1 Dazu brauchen wir also auch die Definition Defi nition der Sekunde: 1 s = 9192631770 Perioden der Strahlung des 133Cs-Nuklids (Hyperfeinstruktur des Grundzustandes). Analog gibt es ein Standard – Kilogramm aus Platin und Iridium, das die Basiseinheit der Masse definiert. Dieses liegt wie das Urmeter im Bureau International des Poids et Mesures in Sèvres bei Paris. Weitere Prototypen liegen als Kopien davon in Laboratorien anderer Länder und werden regelmäßig unter großem Aufwand nach Frankreich gebracht und mit dem echten Standard verglichen. Alle weiteren Größen, die in physikalischen Gleichungen auftauchen, haben aus den Basiseinheiten zusammengesetzte SI-Einheiten. 1

Welche Geräte für Längenmessungen kennen Sie?

2




Bsp.: Geschwindigkeit = Weg / Zeit:  

s t

 25

km h

.

Was ist die Größe, der Zahlenwert, die Einheit, der Wert der Größe? Bsp.: Dichte

 eines

Einheit:    

Stoffes:  

m V

: Massendichte = Masse pro Volumen.

kg m³

Wasser hat die Dichte 1 g/cm³ = 1 kg/l = 1000 kg/m³. Bsp.: Winkel werden im Gradmaß (°) oder im Bogenmaß (rad)

angegeben. Dies sind keine „echten“ Einheiten, sondern machen nur kenntlich, dass es sich bei dem gegebenen Wert um einen Winkel handelt. Ist der Winkel im Bogenmaß, so ist definiert als Verhältnis von Kreisbogenlänge b zu Kreisradius r :

 

b r

:

1 rad ist der Winkel, der von einem Kreis mit Radius 1 m einen Kreisbogen der Länge 1 m ausschneidet. Die Umrechnung ins Gradmaß (Winkel  ) erfolgt proportional: 180      rad

Der Vollkreis ist 360° oder 2 rad. Rechenregeln:

1. Physikalische Größen können unbeschränkt multipliziert und dividiert werden, das Ergebnis ist wieder eine physikalische Größe. Die Einheiten sind dabei entsprechend zu multiplizieren. 2. Physikalische Größen können können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn es sich um Größen der gleichen Art (gleicher Dimension) handelt. (Wie viel sind 3 Äpfel + 4 Birnen?) Bsp.: 10 cm + 5 s ergibt keinen Sinn! (Wie 10 cm + 15 cm = 25 cm 10 cm  5 inch  10 cm  5  2,54 cm 22,7 cm (hier müssen alle Werte zunächst in eine gemeinsame Einheit umgerechnet werden) Einheiten der Dimension Dimension Länge Länge sind z.B. Meter, inch, feet, miles,… Einheiten der Dimension Zeit sind z.B.

Sekunde, Minute, Stunde, Tag,…

Einheiten der Dimension Winkel sind z.B. Grad: 10 = 1/360 des Vollkreises, 1´= 1/60 von 10 = 1 Bogenminute, 1´´ = 1/60 von 1´ = 1 Bogensekunde,… Physikalische Gesetze Gesetze sind unabhängig von von der Wahl der benutzten Einheiten!

3


1.3



Vorsätze zur Größenveränderung Größenveränderung

Häufig benötigt man bei der Angabe der Einheiten Zehnerpotenzen. Bsp.: l  3 mm  3  10 -3 m a  0,8 nm  0,8  10 -9 m

Die Vorsätze (Millimeter, Nanometer) geben an, mit welcher Zehnerpotenz die Einheit (hier das Meter) multipliziert werden muss. Dies passiert (meistens) in Vielfachen von 1000: Vorsätze für die Zehnerpotenzen: Vorsatz Symbol

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

Zehnerpotenz

da h k M G T P E

Vorsatz

Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico Femto Atto

1

10

10 2 103 10 6 10 9 1012 1015 1018

Symbol

Zehnerpotenz

d c m µ n p f a

10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18

Bsp.: Rechts ist das Prinzip eines Regenmessers dargestellt. Der Durchmesser des oberen Trichters beträgt D  20 cm, der Durchmesser des Messzylinders beträgt d  4 cm. Nach

einem kräftigen Regen wird in dem Messzylinder eine Wasserhöhe von h  12 cm gemessen. Wie groß ist dann die Niederschlagshöhe? gesucht: hoben : V oben  V unten Aoben  hoben  Aunten  hunten

 hoben 

Aunten Aoben

 hunten 

  r unten 2

  r oben 2

 hunten

2 cm 2 4 12 cm     12 cm  0,48 cm  4,8 mm 100 10 cm 2

Übung 1: Größen und Einheiten 1.4

Messunsicherheit Messunsicherheit / Messfehler

Bei der Messung von Größen kommt es immer zu Ungenauigkeiten und statistischen Schwankungen um den wahren Wert herum.

4




Mathematisch ist die Angabe 2 m = 200 cm = 2000 mm eine wahre Gleichung. In der Physik haben diese Werte jedoch eine unterschiedliche Bedeutung! 2000 mm bedeutet: Sie messen auf Millimeter genau (z.B. mit dem Zollstock oder Lineal…) 200 cm: auf Zentimeter genau 2 m: auf Meter genau (z.B. GPS, Google Earth…) Bsp.: Geben Sie 4895,8290 g

auf 1 kg genau, {5 kg} auf 1 mg genau, {4895,829 g} auf 1 g genau an! {4896 g} Dieses Vorgehen nennt man „runden“ : Lautet die Ziffer an der Stelle nach der letzten signifikanten Stelle 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird „aufgerundet“, d.h., die Ziffer an der letzten signifikanten Stelle wird um 1 erhöht. Ansonsten (bei Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 an der Stelle nach der letzten signifikanten) wird „abgerundet“, d.h. die Ziffer an der letzten signifikanten Stelle bleibt unverändert.2 Bsp.: Die Entfernung von Rabat nach Frankfurt beträgt (ungefähr) 2000 km. Das

Internet sagt 2175 km. Von Frankfurt nach Darmstadt sind es 39 km. Wie weit ist die gesamte Strecke von Rabat nach Darmstadt? Antw.: Bei der Rechnung wird mit allen vorhandenen vorhandenen Stellen gerechnet: 2175 km + 39 km = 2214 km Das Ergebnis soll anschließend mit einer „vernünftigen“ Stellenzahl angegeben werden: Genauigkeit 1000 km: (2214 km =) 2  10 3 km. Genauigkeit 100 km: (2214 km =) 2,2  10 3 km. Genauigkeit 10 km: (2214 km =) 2,21  10 3 km. Genauigkeit 1 km: (2214 km =) 2214 km. Bei der Addition wird mit allen Stellen gerechnet, aber das Ergebnis wird nur mit der absoluten Genauigkeit der absolut ungenauesten Eingangsgröße angegeben. Bei einer einzelnen Messunsicherheit: 



Messung

gibt

es

verschiedene

Ursachen

für

die

Systematische Fehler: das Messergebnis ist immer etwas zu klein (oder zu groß) (z.B. weil schief abgelesen wird; weil die Temperatur die Messung beeinflusst, weil ein Magnetfeld die Nadel ablenkt, weil das Messgerät falsch kalibriert ist…) Systematische Fehler müssen vermieden werden, damit die Messung reproduzierbar wird (z. B. in einem anderen Labor, mit anderen Menschen)! zufällige Fehler: das Messergebnis streut bei mehrfacher Messung um einen Mittelwert. Zufällige Fehler gibt es immer; sie sind unvermeidbar!

2

Hier gibt es eine Ausnahme beim „mathematischen Runden“: folgt nach der letzten signifikanten Stelle genau die Ziffer 5 oder eine 5 mit folgenden Nullen, dann wir d so gerundet, dass die Ziffer an der letzten signifikanten Stelle gerade ist. Wer diese Ausnahme ignoriert, rundet „kaufmännisch“.

5




Bei einer einzelnen Messung gilt als Faustregel für den Ablesefehler: Halber Skalenteil bei analogen Anzeigen, bzw. kleinster stabiler Stellenwert bei digitalen Anzeigen. Bsp.: Schieblehre:  x  0,05 mm

Die Messunsicherheit einer einzelnen Messung ist aber oft größer als der Ablesefehler. Die Genauigkeit bei der Messung einer Größe kann erhöht werden, indem man sie vielfach misst. Sei x die zu messende Größe und n die Anzahl ihrer Messung, so ergibt sich der statistische Mittelwert Mittel wert zu n

 x x 

i

i 1

.

n

Die Standardabweichung Standardabweichung  x berechnet sich zu n

  x  x 

i

 x 

i 1

n  n  1

2

.

3

Als Messergebnis gibt man dann dann an: x  x   x .

Häufig wird statt des absoluten Fehlers  x (mit Maßzahl und Einheit) der relative   x  oder prozentuale Fehler angegeben: x  x    100 % .  x  Will man eine Größe y messen, messen, die sich nur aus einzeln zu messenden Größen x 1, x 2 2, …, x n berechnen lässt: y  f ( x1 , x 2 ,  , x n ) , so ist der Mittelwert 3

Das ist der sogenannte mittlere Fehler des Mittelwertes

x . n

  x Häufig wird der mittlere Fehler der Einzelmessung mit  n

6



i

 x 

i 1

n  1

2

angegeben.




y  f ( x1 , x 2 ,  , x n ) .

Die Messunsicherheit lässt sich abschätzen durch Berechnung des maximal (minimal) möglichen Wertes, den y annehmen kann, wenn man die einzelnen Messgrößen um ihre Standardabweichu Stan dardabweichungen ngen vergrößert bzw. verkleinert: y groß ( klein )  f ( x1   x1 , x 2   x 2 , , x n  x n ) .

Damit wird das Ergebnis: y  y   y mit  y  max y groß  y ;  y  y klein 

Bsp.: Ein Läufer braucht für eine Strecke von s  5000 m t  23,00 min. Wie groß ist

seine Durchschnittsgeschwindigkeit? Berechnen Sie die Unsicherheit der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn die Zeitmessung auf 1 s und die Streckenmessung auf 1 m genau erfolgt. m  km    3,623188405   13,04347826 . t 23  60 s  s  h  s klein (5000  1) m  m  km   klein     3,619840695   13,0314265 . 23  60  1 s  t groß s  h  



s

 groß





5000 m 

s groß t klein



(5000  1) m 

m  km    3,626540971   13,05554749  23  60 - 1 s  s  h  km



 

(13,04  0,01)



 

(13,043  0,012)

h

 13,04

km h

km h

 13,043

 0,09 %. km h

 0,93

Bei der Multiplikation von zwei Werten wird mit allen Stellen gerechnet, das Ergebnis wird mit genauso vielen signifikanten Stellen angegeben, wie die Eingangsgröße mit der kleinsten Stellenzahl besitzt. Als Regel merken wir uns: Wir W ir geben das Messergebnis (oder Rechenergebnis) Rechenergebnis) bis zu der Stelle an, die unsicher wird; die Unsicherheit wird dann mit einer signifikanten Stelle angegeben. (oft wird die Unsicherheit auch mit 2 signifikanten Stellen angegeben, aber nicht mehr! Dann bekommt Ihre gesuchte Größe natürlich auch noch eine signifikante Stelle mehr.) Übung 1.4: Messunsicherheit

7



Physik Kap.2 Kraft

2. Die Kraft 2.1

Masse, Gewicht und Kraft

Die Masse: Die Masse ist eine jedem Körper innewohnende inhärente Eigenschaft (Maßeinheit: kg). Sie ist unabhängig von Raum und Zeit. Sie spüren Ihre Masse, wenn Sie in einem Wagen sitzen, der nach vorne beschleunigt. Dabei werden Sie nach hinten in den Sitz gepresst. Dieser Effekt tritt immer gleich stark auf, unabhängig davon, ob sich Ihr Wagen auf der Erde, auf dem Mond, auf dem Jupiter oder im Weltall bewegt! Das Gewicht ist sehr wohl abhängig vom Ort! Stellen Sie sich vor, sie stellen sich auf eine Personenwaage. Welchen Wert zeigt die Waage an: auf der Erde, auf dem Mond, auf dem Jupiter, im Weltall??1 Achtung: Ihre Masse ist überall dieselbe! In welcher Einheit gibt man Gewichte an? Definition des Gewichtes: Das Gewicht ist eine Kraft! Deshalb sagt man auch Gewichtskraft. Kräfte werden in Newton angegeben. Das Gewicht F G einer Masse m ist die Kraft, mit der die Masse m (gemessen in kg!) von der Erde wegen der Gravitation angezogen wird: F G  m  g . g ist die Fallbeschleunigung. Sie beträgt im Mittel auf der Erdoberfläche g  9,81

m s2

.

Definition der Kraft: Eine Kraft ist eine gerichtete Größe, auch vektorielle Größe oder Vektor genannt; sie hat also einen Wert und eine Richtung. Der Wert setzt sich (wie bei allen physikalischen Größen) aus einem Zahlenwert und der Einheit zusammen. Die international genormte Einheit für die Kraft ist das „Newton“: N. 1 Newton ist die Kraft, die einen starren Körper der Masse 1 kg innerhalb von 1 Sekunde von 0 m/s auf 1 m/s beschleunigt. Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit, die Geschwindigkeit ist die Änderung des Ortes mit der Zeit. S. Kap. 4: Kinematik.

1

1

Fallbeschleunigung auf dem Mond: g Mond  g Erde ( mMond 

1

81 6 m Jupiter  318  m Erde , r Jupiter  11  r Erde ,  g Jupiter  2,6  g Erde .

mErde , r Mond  0,27r Erde ); auf Jupiter:

1


Physik Kap.2 Kraft


Da das Meter, die Sekunde und das Kilogramm genormt sind, ist das Newton also eine aus Basiseinheiten zusammengesetzte SIEinheit (1 N  1

kg m s2

).

Für einen Kraftmesser sucht man einen physikalischen Effekt, der sich mit der einwirkenden Kraft wohldefiniert verändert: Schraubenfeder dehnt dehnt sich proportional zur einwirkenden einwirkenden Kraft (solange Vers.1: Die Schraubenfeder man sie nicht durch zu große Krafteinwirkung plastisch verformt und die Feder dadurch nicht mehr in ihre Ausgangslage zurückgelangt). Die Schraubenfeder als Kraftmesser sollte in Newton kalibriert sein. Hook’sches Gesetz: Die Auslenkung einer Feder ist proportional zur an der Feder angreifenden Kraft: F  D  s

F = Kraft, die an der Feder zieht, Einheit: N D = „Federkonstante“, die Einheit muss offensichtlich N/m sein, Feder, Einheit: m. s = Auslenkung = Auslenkung der Feder, Die Kraft, mit der die Feder am Objekt zieht, ist entgegengesetzt gleich groß. Daher schreibt man auch häufig F   D  s . Dann ist die Kraft gemeint, die auf den Körper wirkt! Reaktionsprinzip: Aktio = Reaktio: Wenn ein Körper A eine Kraft F auf einen Körper B ausübt, dann übt Körper B die Kraft  F auf Körper A aus.2 F und  F sind ein „Kräftepaar“, sie wirken aber auf verschiedene Körper!! 







 Kräfte

haben zwei physikalische Wirkungen: Die Beschleunigung und / oder die Verformung von Körpern.3

2.2

Vektorielle Addition von Kräften

Def.: Die Wirkungslinie einer Kraft ist eine Gerade, die den Kraftvektor enthält.

Für starre Körper im Gleichgewicht gilt: Die Wirkung einer Kraft ist unabhängig von der Lage ihres Angriffspunktes, solange er die Wirkungslinie W irkungslinie der Kraft nicht verlässt. Häufig greifen an einem Körper mehrere Kräfte an. Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf den Fall, dass alle Kräfte in einem Punkt angreifen oder dass sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt kreuzen.

2

Es gibt keine einzelne isolierte Kraft, sondern die „Aktion“ und die „Reaktion“ tritt immer als Paar auf, wirkt aber auf verschiedene Körper! 3 Wie messen wir Gewichtskräfte; wie messen wir Massen?

2



Physik Kap.2 Kraft

Vers.2: An einem Punkt greifen drei Kräfte an: Eine

Gewichtskraft und die Kräfte von zwei Kraftmessern. Die Summe der beiden Anzeigen der Kraftmesser sind größer als die Gewichtskraft! Da der Punkt, an dem sich die Kraftlinien kreuzen, aber in Ruhe ist, müssen sich in der Summe alle an dem Punkt angreifenden Kräfte gegenseitig aufheben! (Würde eine restliche Kraft übrigbleiben, würde diese den Punkt ja beschleunigen!) Bei der Addition der Kräfte muss ihr Betrag und ihre Richtung berücksichtigt werden!  Kräfte

addieren sich vektoriell!

Addition von Vektoren: Durch Parallelverschiebung der einzelnen Vektoren wird

sukzessive der Fußpunkt des einen Vektors an den Endpunkt des vorhergehenden gehängt. Die Reihenfolge ist beliebig. Der Vektor vom Fußpunkt des ersten zum Endpunkt des letzten Vektors ist die „Resultierende“: F res  F 1  F 2   F n . Diese resultierende Kraft mit Betrag und Richtung hat dieselbe Wirkung wie alle einzelnen Kräfte zusammen. 













Ist die an einem Körper angreifende resultierende Kraft F res  0 , so herrscht an dem Körper „Kräftegleichgewicht“. Er bleibt in Ruhe. (Genauer: Er behält seinen Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitsvektor bei.) Bsp.1: Schiefe Ebene: Wagen wird mit Seil || zur Schrägen

festgehalten. Welche Kräfte wirken auf den Wagen? (Die Gewichtskraft vertikal nach unten, die Stützkraft der Unterlage senkrecht zur Kontaktfläche und die Seilkraft. Häufig wird die Gewichtskraft zerlegt in eine Komponente parallel zur Schrägen: „Hangabtriebskraft“ G||  mg sin  und eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene: „Normalkraft“ G  mg cos  .) Bsp.2: Eine Straßenlaterne mit einem Gewicht von 20 N ist an zwei gleich langen

Drähten über der Straßenmitte aufgehängt. Die Drähte sind in gleicher Höhe an zwei Häusern befestigt, die 18 m auseinander stehen. Welche Spannkräfte treten in den Drähten auf, wenn die Drähte mit der Laterne in der Mitte 1,5 m durchhängen? 



F S 1



sin  

10 N

 F S 

F S

1,5 m



9 m 

2

 1,5 m 

9 m 2  1,5 m 2 1,5 m

2

,

F S 2 

F G  10 N  60,8 N .



F S 1 

F G 

F S 2

3


Physik Kap.2 Kraft


Übung 2: Masse, Gewicht, Addition von Kräften 2.3

Rollen und Flaschenzüge

Merke: Seile können nur Zugkräfte aufnehmen. Die Wirkungslinie der Seilkraft liegt immer in Seilrichtung. Im gesamten Seil wirkt von Anfang bis Ende überall dieselbe Zugkraft (= „Zugspannung“). a)

Feste Rolle Die Achse einer festen Rolle ist mit einem festen Gegenstand (z.B. einer Wand) fest verbunden. Über die Rolle wird ein Seil geführt. Der Einfachheit halber nehmen wir in der Regel ein masseloses Seil und eine masselose und reibungsfreie Rolle an.

Effekt: Die Zugspannung im Seil wird umgelenkt. Der Kraftangriffspunkt wird verändert. Der Betrag der Kraft ändert sich nicht. V:



F ? 

F ? 



F G

F G

Häufig ist es einfacher, an einem Seil nach unten (oder schräg) zu ziehen als eine Last senkrecht nach oben zu stemmen, denn dabei muss man auch noch ausbalancieren! Außerdem gilt Kraftweg = Lastweg. Lastweg. b)

Lose Rolle Die lose Rolle wird durch ein umlaufendes Seil geführt, sie hängt also „lose“ im Seil. An ihrer Achse greift eine Kraft (oft die Last nach unten) an.

Effekt: Die an der Achse der losen losen Rolle angreifende Kraft wird auf auf die beiden Seilstücke des um die Rolle laufenden Seils (vektoriell) aufgeteilt. Bei paralleler Anordnung (nur dann!) ist also die Kraft in den Seilstücken halb so groß wie die an der Rollenachse angreifende Kraft. (Nur) dann gilt: Kraftweg = 2 mal m al Lastweg!

4


Physik Kap.2 Kraft


Bsp.3:

V: Kraftprobe c)

Der Flaschenzug

Ein Flaschenzug ist eine Kombination aus festen und losen l osen Rollen. V: Einfachster Flaschenzug: 1 feste, 1 lose Rolle: Mit welcher Kraft muss man m an gegenhalten? Welche Kraft trägt die Decke? Verhältnis Kraftweg / Lastweg? V: Potenzflaschenzug: Das Seilstück an der losen Rolle mit der Last trägt die halbe Gewichtskraft der Last (wenn die Rollen masselos sind). Dieses hängen wir nun wiederum an eine lose Rolle, die in zwei Seilstücken hängt. D.h. diese beiden Seilstücke teilen sich die halbe Lastkraft  sie stehen unter einer Zugspannung von ¼ der Last. Dieses Seilstück befestigen wir nun wieder an der Achse einer losen Rolle, die diese ¼ –Kraft halbiert  1/8 der Last usw.4

F

Kraftweg = 2n mal Lastweg. Voraussetzung: parallele Anordnung der Seilstücke

G

Nachteile beim Potenzflaschenzug: Potenzflaschenzug:  Die Last kommt nicht oben an! (n = Zahl der losen Rollen).  Man braucht n Seile (n V: Klassischer Flaschenzug: Flaschenzug: Man verbindet n Rollen starr miteinander. Eine solche solche Rollenkombination nennt man „Flasche“. Die lose Flasche wird nicht an der Decke aufgehängt, sondern an der festen Flasche. Vorteile: Der klassische Flaschenzug braucht wenig Platz und nur ein Seil. 4

Da mit jeder losen Rolle die Kraft im Seil halbiert wird, ist die notwendige Kraft, die der Last G das Gleichgewicht hält, (½) n ·G, wenn n die Anzahl der losen Rollen ist, aber nur, wenn alle losen Rollen masselos sind und alle Seilstücke parallel verlaufen!

5



Physik Kap.2 Kraft

Achtung: Wenn die Rollen Eigengewichte haben, werden die losen Rollen vom Seil getragen, die festen Rollen von der Halterung! 

Bsp.4: Mit welcher Kraft F muss an dem Seil 2 gezogen

werden, damit Gleichgewicht herrscht, wenn die Last die Gewichtskraft F G  10,0 kN hat und jede Rolle F Rolle  500 N wiegt? Welchen Betrag hat die Seilkraft F 1 im Seil 1? Welche Kräfte wirken in den Punkten A, B und B und C ?

Seil 2

Seil 1

Lösung: Wenn wir eine Seilkraft berechnen wollen, müssen wir gedanklich das Seil durchschneiden. Diese Methode nennt man „freischneiden“: Wir identifizieren ein Objekt, an dem die gesuchte Seilkraft angreift. Wir legen eine geschlossene Hülle (Luftballon) um dieses Objekt, zeichnen es und zeichnen auch alle von außerhalb der Hülle angreifenden „äußeren Kräfte“. Diese Zeichnung ist das „Kraftbild“ für unser Objekt. Anhand dieses Kraftbildes stellen wir die Statik-Bedingung(en) auf: Vektorsumme aller äußeren Kräfte = 0: 5 F 1

F C

F A F

F

F Rolle F Rolle 5  F Rolle 6

2

F 1

F

F F Rolle 1

G

4 F 1  F Rolle 3  F Rolle 4

Objekt Rolle 5 + 6+ Last: 5 F 1  F Rolle5  F Rolle6  G  F 1 

F Rolle5  F Rolle 6  G 5

 2,20 kN

(1)

Objekt Rolle 2: das Seil 1 zieht 5 mal mit F 1 an der losen Flasche nach oben und einmal an der Rolle 2 nach unten, denn es ist ein Seil, in dem überall 6



Physik Kap.2 Kraft

dieselbe Zugkraft F 1 wirkt. Das Seil 2 zieht 2 mal mit F an der Rolle 2 nach oben: 2 F  F Rolle 2  F 1 F 

F Rolle 2  F 1 2





F Rolle 2 2

mit (1): 


 1,35 kN

Objekt Rolle 1: F A  F Rolle1  2 F  F Rolle 1  F Rolle 2 


 3,20 kN

F B  F  1,35 kN

Objekt Rolle 3+4: F C  F Rolle3  F Rolle4  4 F 1  9,80 kN

Probe: Welche Kraft trägt die Decke? Antwort: Antwort: Alle Gewichte plus die Kraft F : F A  F B  F C  F Rolle1  F Rolle2  F Rolle3  F Rolle 4  F Rolle5  F Rolle6  G  F ? 14,35  14,35 

Generell gilt bei allen Flaschenzügen (und überhaupt bei allen physikalischen Maschinen): Wenn wir uns eine Vorrichtung bauen, um Kraft zu „sparen“, dann müssen wir dafür mit dieser geringeren Kraft einen weiteren Weg zurücklegen. Das beschreibt die sogenannte „Goldene Regel der Mechanik“:

Das Produkt aus Kraft mal Weg liefert immer dasselbe Ergebnis. Das heißt: Will ich mit meiner Handkraft F Hand Gewichte G Last um die Strecke h hochheben, so muss ich mit meiner Hand die Strecke s Hand ziehen. Dabei gilt immer: G  h  F Hand  s Hand . Werden dabei mehrere Gewichte um unterschiedliche Strecken hi angehoben, dann steht auf der linken Seite der Gleichung die Summe der einzelnen Produkte:

 Gi  hi

 F Hand  s Hand

i

Übung 2.4: Rollen und Flaschenzüge Frage:

Wir haben gesehen, dass man durch Einsatz von Flaschenzügen Kraft sparen kann. Welche physikalischen Vorrichtungen fallen Ihnen noch ein, um Kraft zu sparen? (Tipp: schiefe Ebene, s. S. 3; Hebel)

7



Physik Kap.3 Drehmoment

3. Das Drehmoment 3.1 Definition und Berechnung Berechnung

Wir beschränken uns bei unserer Betrachtung der Statik auf starre Körper, d.h. ein physikalischer Körper verformt sich unter dem Einfluss von Kräften nicht (Idealisierung!) oder nur wenig. Greift an einem starren Körper eine Kraft an, die bezüglich einer Achse ein Drehmoment ausübt, so erfährt der Körper eine Winkelbeschleunigung um diese Achse, d.h. er beginnt, um diese Drehachse Drehachse zu rotieren. Definition des Drehmoments



:

y



F



F 

 

r

Drehpunkt 

Kraftangriffspunkt

A

x Hebelarm

Wirkungslinie der Kraft 

r 





 r  F , 



F  an dem starren Körper angreifende äußere Kraft r  Ortsvektor des Kraftangriffspunktes, Kraftangriffspunktes, der Ursprung liegt in der Drehac hse A. 

Einheit: Nm. M  r  F  sin   r  F   F  r   Kraft  Hebelarm,

M   Nm, aber keine Arbeit! 

In der Zeichnung zeigt der Drehmomentenvektor Drehmomentenvektor aus der Zeichenebene heraus:



 Soll

ein Körper in Ruhe bleiben, so müssen sich die Drehmomente aller Kräfte bezüglich einer (beliebigen) Drehachse gegenseitig aufheben.

1




Häufig muss man die Gewichtskraft von einzelnen Bauelementen berücksichtigen. Zur Vereinfachung der Behandlung ist der Schwerpunktsatz sehr nützlich: Der Schwerpunkt eines starren Körpers bewegt sich so, als wäre die gesamte Körpermasse m ges in ihm vereinigt und als würden alle äußeren Kräfte an ihm angreifen. Def.: Der „Massenschwerpunkt“ eines Körpers bestehend aus n Massenpunkten m1 , m2 , , mn liegt bei 

 x1   x 2   x n        m1  y1   m2  y 2    mn  y n         x  n  z 1   z 2   z n   S  1   m r    y S  ; das sind 3 Gleichungen! r S  m ges i 1 i i m1  m2  mn    z S  Handelt es sich um einen ei nen Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung1, so wird  x   x S  n     1 1 1 (3 Gln.!) r S  y dm  lim  mi r i    r dm      y S  m ges m 0 i 1 m ges m ges      n   z   z S  















i

Für homogene Körper ist der Massenmittelpunkt folglich auch der geometrische Mittelpunkt. Bei homogenen Stäben, Quadern … lässt man also die Gewichtskraft im Mittelpunkt des Körpers nach unten angreifen. Bsp.1: Ein homogener Balken hat das Gewicht G  12 N. Im Abstand d  70 cm von seinem Schwerpunkt entfernt wird ein Gewicht von F  9,0 N auf den

Balken gelegt. Wo muss man mit dem Finger den Balken unterstützen, damit er in der Waagerechten bleibt? Lösung: Nennen wir den Abstand zwischen Schwerpunkt und Finger r 1 , den Abstand zwischen dem Gewicht und dem Finger r 2 , mit r 1  r 2  70 cm, so muss an diesem „zweiseitigen Hebel“ gelten: G  r 1  F  r 2

 r 2  

G

 r 1 

4

 r 1 

 d  r 2  F 3 3 4 r 2  d  40 cm, r 1  30 cm. 7

Übung 3.1: Drehmoment, 3.1: Drehmoment, Schwerpunkt 3.2 Addition beliebiger Kräfte 1

D.h.

2

4

m sehr klein, n sehr groß.




Wir beschränken uns nun nicht mehr auf den Fall, dass sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt kreuzen. Die Lage der Wirkungslinien W irkungslinien der von außen angreifenden Kräfte muss berücksichtigt 2 werden! Greifen mehrere beliebige Kräfte an einem starren Körper an, so bildet man zunächst die Resultierende zweier beliebiger Kräfte. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden verläuft durch den Schnittpunkt der beiden erst gewählten Wirkungslinien. Analog addiert man sukzessive die weiteren Kräfte. 

Ein Kräftepaar ( F ,  F im Abstand a ) lässt sich nicht auf ein F Res zurückführen 





( F Res  0 !) . Es wirkt aber immer, und das unabhängig vom Bezugspunkt(!), ein

resultierendes Drehmoment M  F  a ! 

Zur Bestimmung der Resultierenden F Re s zweier Kräfte mit F 1  F 2 und F 1 || F || F 2 oder 



F 1  F 2 benutzt man einen Trick: Addiere die Kräfte  P und  P , die auf einer 







Wirkungslinie liegen, die die Kraftlinien von F 1 und F 2 kreuzt. Bilde nun F R1  F 1  P und F R 2  F 2   P  . Die Wirkungslinien von F R1 und F R 2 haben nun einen Schnittpunkt!  F Res . 





















Bsp.2: s. Bsp.1:

Wo liegt die Resultierende von G und F ? 



Lösung: Es gilt: r 1 y





P G r 2 r 1

und 

r 2 y



P F

G F

In Übereinstimmung mit Bsp.1. Übung 3.2: Addition 3.2: Addition beliebiger Kräfte 3.3 Auflagerkräfte

Warum fällt in Bsp.2 der Balken nicht herunter? Weil er durch den Finger gestützt wird! Jeder Körper, der sich in Ruhe befindet, muss abgestützt werden. Diese Stützen werden „Auflager“ genannt. 2

s. Hebelarm = Abstand Wirkungslinie –Drehachse

3




Auflagerkräfte sind die Kräfte, die von den Auflagern Auflagern auf den Körper ausgeübt ausgeübt werden. Arten von Auflagern: 1. Gelenk oder festes Lager: Der Körper kann sich um die Gelenkachse drehen. Die Auflagerkraft liegt in der Drehebene. Richtung: beliebig, d.h. F hat zwei unbekannte Komponenten. Abb.: Lager B. 

2. Gleitlager oder loses Lager: Das Lager ist parallel zu seiner Unterlage reibungslos verschiebbar.  Es kann nur Kräfte  zur Unterlage aufnehmen (Zug und Druckkräfte). Abb.: Lager A Lager A.. 3. Einspannung: Wie 1.: festes Lager, allerdings kann sich der Körper nicht um den Lagerpunkt drehen. Bsp.: eingemauerter Balken.  Zusätzlich zur Auflagerkraft (bel. Richtung wie in 1.) kann die Einspannung auch noch ein Drehmoment aufnehmen. Merke: 

Seile können nur Zugkräfte aufnehmen. F in Richtung des Seils. Genauso für Drähte, Fäden, … Stäbe können Zug– oder Druckkräfte aufnehmen, Balken können dazu noch Biegemomente aufnehmen. Frage: Frage: Welcher Art von Lager ist der Finger in Bsp.1? 3.4 Statik

Bei statischen Problemen spricht man dann von einem „statischen Gleichgewicht“, wenn ein physikalisches System in Bezug auf ein Bezugssystem ruht. D.h. seine Geschwindigkeit und seine Winkelgeschwindigkeit sind beide 0. Wenn dieser Zustand erhalten bleiben soll, darf der Körper also keine Beschleunigung erfahren. Um dies zu gewährleisten, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 1. Alle am betrachteten Körper angreifenden angreifenden äußeren Kräfte müssen müssen sich in der Vektorsumme zu null addieren (ansonsten würde der Körper in Richtung der resultierenden Kraft beschleunigt. S. Kap. 2.2 „Vektorielle Addition von Kräften“) 2. Alle bezüglich einer Drehachse an dem betrachteten Körper wirkenden Drehmomente müssen sich zu null addieren. Denn würde ein resultierendes Drehmoment übrig bleiben, würde der Körper ja beginnen, sich entsprechend zu drehen! 4




Häufig ist es praktisch, die Kräfte in kartesische Komponenten zu zerlegen. Die Richtung und Lage der x– der x– und und y– Achse bestimmen dabei dabei Sie selbst! Im dreidimensionalen Raum haben wir damit sechs Bedingungen für das Gleichgewicht eines starren Körpers! (3 für die Translation und drei für die Rotation.) In der Ebene bleiben drei Gleichgewichtsbedingungen: 2 für die Translation und 1 für die Rotation:

 F 

x , i



in x–Richtung Richtung = 0,  0 : Summe aller äußeren Kräfte in x–

i

 F 

y , i



äußeren Kräfte in y–Richtung y–Richtung = 0,  0 : Summe aller äußeren

i







M z , i  0 : Summe aller äußeren Drehmomente entlang einer beliebigen z– Achse =

i

0. Rezept zum Lösen statischer Probleme: 1) „Freischneiden“: Zeichne eine Grenze um das System, das im Gleichgewicht sein

soll. 2) Zeichne alle am System angreifenden äußeren Kräfte ein, das sind alle, die von

außerhalb des Schnittes wirken. Beachte Größe, Richtung und Angriffspunkt. Beispiele:  Gravitation greift im Schwerpunkt eines Körpers an, in dem seine gesamte Masse vereinigt gedacht werden kann  Kräfte, die über die Grenze Grenze kreuzende Seile, Stangen usw. übertragen übertragen werden. 3) Bed. 1):

Translation: Wähle geeignetes geeignetes Koordinatensystem Koordinatensystem für die drei drei Gleichungen.

4) Bed. 2):

Rotation: Wähle (neues) geeignetes geeignetes Koordinatensystem Koordinatensystem für die angreifenden Drehmomente (Ursprung am besten dort, wo die meisten Kräfte angreifen:  M  0 ). 



Bsp.3: Eine Leiter, die an beiden Enden Rollen besitzt, wird durch

ein Halteseil H an an der Wand festgehalten. Gesucht sind die Stützkräfte A Stützkräfte A,, B, und H , wenn die Leiter wie gezeichnet mit P  500 N belastet wird. H 

P

 250 N , 2 F A  H  cos 30  216,5 N ,

Lösung:

F B  P  H sin 30  625 N .

Bsp.4: Ein homogener Balken mit Gewicht W und Länge l hängt in einem

Scharnier an der Wand.

5




Über einen Draht, der an seinem anderen Ende sowie an der Wand im Abstand d oberhalb des Scharniers befestigt ist, wird der Balken so hoch gehalten, dass er einen Winkel  mit der Horizontalen einschließt. Zusätzlich hängt ein Gewicht w an einem Seil an seinem oberen Ende. Berechne die Spannung im Draht und die Kräfte, die das Scharnier auf den Balken ausübt. (Werte: W  60 N, w  40 N, l  300cm, .) d  200cm,   30 0

d

Bed.1): x  Richtung : F h  F S , x  0  F h  F S cos   0 

l

m

w

W



F v

w 





(1)

F h

W

y  Richtung : 

F S







F v  F S , y  W  w  0  F v  F S sin   W  w  0 

(2)

Bed.2): Rotation um oberen Punkt 3: W 

l 2

cos   F v  l cos   F h l sin   0

(3)

Da Seile (und Drähte) im Gegensatz zu Balken (und Stangen) nur Zug-Kräfte in Richtung des Seils aufnehmen können, gilt: d  l sin  d   tan  : K tan   (4) l cos 



l cos 

4 Gln. für 4 Unbekannte F S , F h , F v ,  .

(4´): (1’): (2’):

  arctan K  10,89 0 F h  F S cos  F v  W  w  F S sin 

(1’), (2’) in (3): W  W 2

3

l 2

cos   W  w  F S sin  l cos   F S cos  l sin   0 : l cos 

 W  w  F S sin   F S cos  tan   0

Rotation um unteren Punkt:  W 

6

l 2

cos   w  l cos   F S  l sin(   )  0 .


 F S 



W

2

w

sin   cos  tan 

 92,6 N

(1’):

F h  90.9 N

(2’):

F v  W  w  F S sin   82.5 N .

Übung 3.3: Statik 3.3: Statik 3.5 Das Fachwerk

Ein Fachwerk ist ein Gebilde aus Stäben, die an ihren Enden gelenkig miteinander verbunden sind und äußere Kräfte nur an den Verbindungspunkten angreifen (die Stäbe erfahren also nur Zug– oder Druckkräfte).4 Greift auch zwischen den Enden eines Stabes eine Kraft senkrecht zum Stab an, so müssen seine Enden auch Querkräfte aufnehmen. Ein Stab, der an seinen Enden reibungsfrei gelenkig gelagert ist und nur an diesen Enden Kräfte aufnimmt, ist nur dann im Gleichgewicht, wenn diese Kräfte in Richtung des Stabes liegen. In der Problemstellung ist oft nach einzelnen Stabkräften gefragt. Meistens ist es nötig, auch die Auflagerkräfte zu bestimmen. Bei den Stabkräften ist es üblich, Zugkräfte mit positivem, Druckkräfte mit negativem Vorzeichen anzugeben. D.h. in der Skizze zeichnet man alle Stabkräfte als Zugkräfte ein. Ergibt sich schließlich für eine Kraft ein negatives Resultat, so ist dieses eine Druckkraft. Methode 1 oder 2 führen meistens zum Ziel: Methode 1: Sukzessives Freischneiden von Knotenpunkten, an denen maximal zwei unbekannte Stabkräfte angreifen.   F x  0 ,  F y  0 . 







Methode 2: Lege einen Schnitt durch maximal drei Stäbe, die sich nicht in einem Punkt schneiden. Wende für eine Seite des Schnittes drei Mal den Momentensatz (  M  0 ) um drei Punkte an, die nicht auf einer Geraden liegen.5 Die Drehpunkte dürfen auch außerhalb des Fachwerks liegen! 



Stabkräfte 4, 5 und 6 des Bsp.5: Berechnen Sie die Stabkräfte mit P 1  150 N , P 2  300 N und P 3  300 N belasteten Fachwerks! 1.: Auflagerkräfte: 4

In Wirklichkeit sind die Stäbe meist starr miteinander verbunden, und es greifen auch Kräfte zwischen den Knoten an, z. b. Gewichtskräfte. Ob obige Vereinfachung zulässig ist, muss im E inzelfall entschieden werden. 5 Wenn die drei Drehpunkte auf einer Geraden liegen, liefert die dritte Gleichung keine neue Information mehr (es könnte dann immer noch eine resultierende Kraft geben, die durch die drei Punkte geht und das System beschleunigt).

7




wähle F VIII , y zeigt nach oben: wähle F I , x zeigt nach rechts, F I , y zeigt nach oben:

F I , x



F VIII , y

F I , y





M I  0 :

F VIII  4  P 1  1  P 3 sin 30  2  P 3 cos 30  1  P 2 sin 60  3

 F VIII  242,4 N.

 M



0: F I , y  4  P 1  3  P 3 sin 30  2  P 3 cos 30  1  P 2 sin 60  1 

VIII

 F I , y  317,4 N.







F x  0 :

F I , x  P 2 cos 60  P 3 cos 30

 F I , x  109,8 N.

2. Stabkräfte: Methode 1: Freischneiden von Knoten (Gelenken), alle Stabkräfte als Zugkräfte zeichnen F 1

Schneide Punkt I frei: F I , x  F 2  F I , y 

F 1 2

F 1 2

F I , x

 0,

0

F 2

 F 1   2 F I , y  448,9 N . F I , y

(Stab 1 ist ein Druckstab.) F 2  

F 1 2

 F I , x  F I , y  F I , x  207,6 N .

(Stab 2 ist ein Zugstab.) Schneide Punkt II frei:

8

F 2  F 4

 F 4  207,6 N ,

F 3  P 1  150 N

Stab 4 ist ein Zugstab. (Stab 3 ist ein Zugstab.)

F 3 F 2

F 4 P 1




Schneide Punkt III frei: F 1 2 F 1 2



F 5

 F 6 ,

2

 F 3 

F 5 2

F 6

 0  F 5   F 1  2 F 3  236,7 N . F 6 

F 1  F 5 2

F 1

 484,8 N .

F 3

F 5

Stab 5 ist ein Zugstab. Stab 6 ist ein Druckstab. Methode 2: Zerlege das Fachwerk in zwei Teile, dabei dürfen höchstens höchstens drei Stäbe durchgeschnitten werden. Schneide durch die Stäbe 4, 5 und 6 und betrachte den linken Teil. Ansatz: Alle Stabkräfte = Zugkräfte: F 6







M III  0 :

F 4  1  F I , x  1  F I , y  1  F 4  F I , y  F I , x  207,6 N.

 M 

V



F 4



 0 (der Drehpunkt ist beliebig!):

F 6  1  F I , y  2  P 1  1  F 6  P 1  2 F I , y  484,8 N. 

F 5

F I , x P 1 F I , y



M I  0 :

P 1  1  F 5  2  F 6  1  0

 F 5 

 P 1  F 6 2

 236,7 N.

Stäbe 4 und 5 werden auf Zug belastet, Stab 6 ist Druckstab! Übung 3.5: Fachwerk 3.5: Fachwerk

9



Physik Kap.4 Kinematik

4. Kinematik Kinematik: Beschreibung der Bewegung, durch  

∆r , r = Ortsvektor in einem von uns gewählten KOO - System Ortsänderung    Geschwindigkeit  Vektoren υ , Änderung des Ortes mit der Zeit a , Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit Beschleunigung  

Geschwindigkeit: Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum von t 1 bis 

 υ

(t1 , t 2 ) =

r (t 2 ) t2



− r (t 1 ) − t 1

t 2



=

∆r (t1 , t 2 ) 1 ∆t

:

y

 υ

(t 1 )  υ

( t 1 , t 2 )



r ( t 2 )



r ( t )

x

Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 1 : 

 υ

(t 1 ) = lim

t 2 →t 1

r ( t 2 ) t 2



− r ( t 1 ) − t 1



= lim

∆r ( t 1 , t 1 + ∆t ) ∆t

∆t →0



=

d r dt





υ





(t ) =

.

(t 1 ) = r (t 1 )

d  r (t ) dt

. 

zeigt immer in die Richtung von ∆r . Im Grenzübergang liegt υ daher tangential an der Bahnkurve. υ

Dimension der Geschwindigkeit: Strecke pro Zeit. Einheit: m/s; km/h; cm/min …  υ

y

Beschleunigung:



a

Momentanbeschleunigung zur Zeit t 1 : 



a (t 1 )

= lim

∆t →0

∆υ ( t 1 , t 1 + ∆t ) ∆t





=

d υ dt

⋅ 

(t 1 ) = υ (t 1 )



a ( t )

=

x

d  υ

dt

2

(t ) = 

d  r (t ) 2 dt

Einheit: [a ] =

1

Produkt eines Vektors mit einem Skalar:

 υ

.

m . s2





hat die Richtung von ∆r , den Betrag ∆r ⋅

1 ∆t

,

Einheit: Länge/Zeit = m/s 1








a zeigt immer in die Richtung von ∆υ ! Dies ist eine Vektorgleichung! D.h.   ∆υ muss nicht in Richtung von υ liegen! 



∆υ || υ :

geradlinige Bewegung (Erhöhung oder Verringerung des Geschwindigkeitsbetrages), Kap. 4.2.   Kreisbogen, Kreisbogen , der Geschwindigkeitsbetrag Geschwindigkeitsb etrag bleibt konstant, Kap. ∆υ ⊥ υ : 7.   Geschwindigkeits betrages, Kap. 6. 0° < ∠(∆υ ;υ ) < 90° : Kurve, Erhöhung des Geschwindigkeitsbetrages,   90° < ∠(∆υ ;υ ) < 180° : Kurve, Verringerung des Geschwindigkeitsbetrages, Kap. 6. 4.1 Gleichförmige Bewegung  υ

υ υ 0



(t ) = konst = υ 0 .

Bewegung entlang einer geraden Strecke. Die Position (der Ort) auf dieser Strecke wird auch häufig s oder x oder … genannt. υ 0

=

∆ x

für beliebige ∆t .

∆t ∆ x = υ 0 ⋅ ∆t .

x (t )

: Gerade mit Steigung υ 0 .

x

∆ x ∆t

Allgemeiner Zusammenhang x (t ) zwischen dem Ort x und der Zeit t : x (t )

= x 0 + υ 0 ⋅ t ,

x 0

= x(t = 0) .

Bsp.: Ein Autofahrer will die Anzeige seines Tachometers überprüfen. Zwischen den

Kilometersteinen 103,0 km und 104,5 km zeigt das Tachometer die konstante Geschwindigkeit 90 km/h an; er legt die Strecke in 62 Sekunden zurück. Wie groß ist der prozentuale Fehler in der Anzeige?

Lsg.: υ

=

∆υ

∆ x ∆t =

υ

=

104,5 km − 103 km 1500 m m km km = = 24,2 = 24,2 ⋅ 3,6 = 87,1 62 s 62 s s h h

υ Tacho

− υ

= 3,3% .

υ

Übung 4.1: Buch Dorn Bader: 

Gleichförmige Bewegung S. 14 - 23

4.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt: 2

t

t

Dr. Karin Olt ©K. Olt, 2008 

a



= konst. und



a



und υ sind kollinear, also



a



|| υ oder



a



↑↓ υ :

Der Körper bewegt sich entlang einer geraden Linie. 





Sein Geschwindigkeitsbetrag Geschwindigkeitsb etrag wird erhöht; die Richtung von υ bleibt konstant.    a ↑↓ υ : Sein Geschwindigkeitsbetrag wird verringert; die Richtung von υ bleibt  konstant bis υ = 0 , dann kehrt die Richtung von υ um und es ist wieder   a || υ . a

|| υ :

Die Richtung der Linie nennen wir wieder s oder x oder … . Wir definieren die positive Richtung. Nun können wir die Vektorpfeile über a und υ weglassen, a und υ können aber positive (in Richtung von + x ) oder negative (in Richtung von − x ) Werte haben. Es gilt a

=

∆υ für ∆t

beliebige ∆t .

υ

Im υ − t - Diagramm ist a die Steigung der Geraden. Wir lesen ab: υ (t ) = υ 0 + a ⋅ t . υ 0 = υ (t = 0 ) .

υ 0

t

Herleitung von x (t ) ohne Integralrechnung: Um den Zusammenhang zwischen dem Ort x und der Zeit t zu ermitteln, erinnern wir uns an die Gleichung x(t ) = x 0 + υ ⋅ t . Diese Gleichung gilt aber nur für konstantes υ ! In unserem Fall hat sich aber υ im Zeitraum von t = 0 bis t = t linear mit der Zeit geändert! Daher müssen wir in der Formel x(t ) = x 0 + υ ⋅ t den zeitlichen Mittelwert von υ einsetzen: υ

(0, t ) =

(t ) + υ 0

υ

2

x (t )

= x 0 +

x (t )

= x 0 +

. Und dieses nun in x (t ) :

(t ) + υ 0

υ

2

⋅ t .

2υ 0 + a ⋅ t ⋅ t 2

Mit υ (t ) = υ 0 + a ⋅ t ergibt sich nun  x (t )

x 0 , υ 0

x 0 , υ 0 , a

= x 0 + υ 0 ⋅ t +

1 2 a ⋅ t . 2

= Ort bzw. Geschwindigkeit für t = 0 , a = = Beschleunigung.

können sowohl positives als auch negatives Vorzeichen haben. 3




Die Funktion x (t ) ist eine Parabel. Herleitung von x (t ) mit Integralrechnung: υ

=

dx dt

 dx = υ dt  x (t )

t

 dx =  (

+ a ⋅ t ) dt

υ 0

x0

t = 0

( ) − x 0 = [υ 0 ⋅ t ] 0 + 

1 2 at 0  2

t

x t

t

( ) = x 0 + υ 0 ⋅ t +

x t

Bsp.: Sie sehen das Ort – Zeit – Diagramm

1 2 at . 2

x über

einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Beschleunigung. Wir W ir erkennen: x 0 = 0 . t

Wegen

υ

=

dx dt

ist die Steigung dieser Kurve

zur Zeit t gerade die Geschwindigkeit des Teilchens zu diesem Zeitpunkt. Für t = 0 ist υ = υ 0 . υ wächst linear mit der Zeit an. Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit ist die Beschleunigung:

a

=

d υ dt

. Sie ist in

diesem Beispiel konstant. Mathematik: x ( t )

= x0 + υ 0 ⋅ t +

(t ) =

dx

υ

a ( t )

=

dt d υ dt

1 2 a ⋅ t , 2

= υ 0 + a ⋅ t , = a = konst.

Versuch 1: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf der Luftkissenfahrbahn

4






Wie erzeugen wir eine geradlinige Bewegung mit a = konst. ? 



Erinnerung: Definition der Kraft über die Beschleunigung: F = m ⋅ a . Wir nehmen • konstante Masse m , F , • konstante Kraft  geradlinig: F in Richtung der Bewegung (+ oder –). • •

Wie erzeugen wir die konstante Kraft



F

?

• •

Schiefe Ebene, oder Luftkissenbahn Luftkissenb ahn horizontal austarieren, über Umlenkrolle Gewicht (Masse m2 ) an das Fahrzeug der Masse m1 anhängen. Zeige: x1 ∝ t 12 , υ

F G

∝ t 1

Messreihen: x1 / cm

t 1 / s

l / cm

Bestimme daraus die Beschleunigung a ! Zusammenhang der Graphen x1  t 12 und υ Übung 4.2: Buch Dorn Bader: 

t 2 / s

 t 1

/ ms

υ

?2

Gleichmäßig beschleunigte beschleunigt e Bewegung S. 24 – 29; S. 38 – 39; S. 42 – 44, S. 56 - 57

2

Wenn der Magnet erst nach einer Verzögerungszeit t V loslässt, lauten die Gleichungen für υ (t ) 1 ≥ t V . (Mathematisch folgt daraus und s (t ) : υ (t ) = a ⋅ (t − t V ) , s(t ) = a (t − t V )2 für t ≥ 2 1 2 .) Wenn wir s über t 2 auftragen, ergibt sich keine Gerade, die Steigung konvergiert s(t = 0) = at 2 V 2 1 1  t  ds (t ) = t V ist die Steigung 0, aber für t → ∞ gegen den konstanten Wert a : = a 1 − V  . Für t = 2 2 d (t ) 2  t  < t V ist s = 0 . für t < 5


6




Physik Kap.5 Dynamik

1. Semester Studienkolleg an der TUDarmstadt TUDarmstadt

5. Dynamik 5.1

Grundgesetz der Mechanik

Wir hatten bereits für die Statik den Begriff der Kraft definiert: Eine Kraft führt zu einer Deformation und / oder Beschleunigung eines Körpers. Für starre Körper ist die Deformation in der Regel vernachlässigbar.  Definitionsgleichung für die Kraft: Eine Kraft F beschleunigt einen Körper der Masse m mit der Beschleunigung a gemäß der Beziehung: 



F Re s  m  a 



„Grundgesetz der Mechanik“ Mechanik“

Einheiten: m   kg , a  

m , s2

 F  

kg m  N . s2

In unserem Luftkissenbahn–Versuch wurde die Gesamtmasse

mges mit

a

beschleunigt. Dazu war eine Kraft notwendig, die durch die anhängende Masse m2 verursacht wurde: mges  a  F  m 2  g . F  m2  g nennen wir die „Gewichtskraft“ des Massestückes m2 . Sie wird verursacht

durch die Erdanziehungskraft. Wenn wir den Faden, an dem m2 hängt, durchschneiden, so ist die einzige Kraft, die auf m2 wirkt, diese Anziehungskraft F F  m2  g von der Erde. Wegen des Grundgesetzes a  erfährt also die Masse m m  g m2 eine Beschleunigung nach unten: Sie fällt mit a  2  g herunter. Daher m2 nennen wir auch „Fallbeschleunigung“. „Fallbeschleunigung“.

g beträgt beträgt auf der Erdoberfläche im Mittel g  9,81

m . s2

Wir haben im Versuch gesehen, dass g von von mges und m2 unabhängig ist.

g ist ist an einem Ort konstant für alle Körper.

 

„Alle Körper fallen gleich schnell“, unabhängig von ihrer Masse und ihren sonstigen Eigenschaften. Wenn an einem Körper nur seine Gewichtskraft angreift, dann bewegt er sich im „freien „freien Fall“. Fall“. Wie groß ist g Mond , g Jupiter , g Weltraum ?

Übung 5.1: Buch Dorn●Bader: 5.2

Freier Fall und senkrechter Wurf S. 45 – 47, S. 52 – 53, S. 64

Newtonsche Axiome

1. Newtonsches Axiom: Trägheitsprinzip:

1




Ein Körper erfährt nur dann eine Beschleunigung, wenn eine äußere resultierende Kraft auf ihn wirkt. D.h. wenn F Res  0  a  0    konst . 









2. Newtonsches Axiom: Aktionsprinzip: Greift eine resultierende Kraft F Res von außen an einem 

Körper der Masse m an, so erfährt er eine Beschleunigung a: 

Kraft = Masse  Beschleunigung F Res  m  a , F Re s  resultierende, an m angreifende äußere 





Kraft. Ein Körper der Masse 1 kg, der mit 1 m s2 beschleunigt wird, erfährt die Kraft 1 N („ein Newton“). Kräfte gehorchen den Gesetzen der Vektoraddition.1 Die doppelte Masse erfährt bei gleicher Kraft die halbe Beschleunigung  „Träge Masse“ . Das zweite Newtonsche Axiom impliziert das erste: Für F Re s  0 ist a  0.  Statik 







3. Newtonsches Axiom: Reaktionsprinzip: Wenn ein Körper A eine Kraft F auf einen Körper B ausübt, dann übt Körper B die Kraft  F auf Körper A aus.2 Das Kräftepaar F und  F heißt „Kraft und Gegenkraft“ oder „Actio und Reactio“. Sie greifen nie am selben Körper an! Jetzt wird auch klar, warum im 1. und 2. Newton’schen Axiom immer nur von äußeren resultierenden Kräften die Rede ist: Ein Körper der Masse m erfährt eine Beschleunigung a  0 , wenn die Summe aller an ihm angreifenden Kräfte F  0 ist: a  Res . „Aller“ meint sowohl die äußeren als auch m mögliche innere Kräfte. Es ist die Regel, dass der Körper aus mehreren Teilen besteht, die untereinander Kräfte ausüben (z.B. über Seile, Stangen, Federn, Magnete, elektrische Ladungen, Massenanziehung, Reibung…). Hier kommt das Reaktionsprinzip ins Spiel: Wirkt Teil A des Körpers mit der Kraft F auf Teil B, so wirkt Teil B mit der Kraft  F auf Teil A. Beide Kräfte wirken auf denselben Körper (aber auf verschiedene Teile!). In der Summe aller Kräfte heben sich die inneren Kräfte also gerade weg, und F äußere . es bleibt F Res  





















1





Experimentell verifizieren! Es gibt keine einzelne isolierte Kraft, sondern die „Aktion“ und die „Reaktion“ treten immer als Paar auf, wirken aber auf verschiedene Körper!

2

2




Bsp.: An einem Federkraftmesser Federkraftmesser hängt eine Masse. Masse. Beide werden von der Erde angezogen. Eine Person hält den Federkraftmesser über ein Seil mit der Hand fest. Welche Kräfte wirken - an der Hand, - an dem oberen Seil (oben und unten), - am Kraftmesser (oben und unten), - am unteren Seil (oben und unten), - an der Masse (oben und unten), - an der Erde, wenn die Beschleunigung der Massen a) = 0, b) < g, nach unten, c) = g, nach unten ist? Rezept zum Lösen von Problemen der Dynamik: 1) Identifiziere den Körper, nach dessen Bewegung gefragt i st. 2) Betrachte die Umgebung, die Kräfte auf den Körper ausübt. 3) Wähle ein Koordinatensystem, mit Ursprung und Achsen in geeigneter Weise. 4) „Freischneiden“ des Körpers: Zeichne nur das Koordinatensystem, den Körper und alle auf ihn wirkenden äußeren Kräfte. 5) Benutze das 2. Newtonsche Axiom für jede der Vektorkomponenten von F und a . 



Teil 2

Bsp.: Zwei unterschiedliche Massen sind über ein masseloses Seil und über eine masselose reibungsfreie Rolle miteinander verbunden3. Wie groß ist die Seilkraft und die d ie Beschleunigung der Massen? 1) Körper: m1 2) Umgebung: Erdanziehung m1  g , Seilkraft S 3), 4) S  m1g 5) a1 y  (1) m1 m1 Für m2 gilt entsprechend: m2  m1 S  m2 g (2) a 2 y  a1 y  S S m 2

(2) in (1) einsetzen: (1) einsetzen: S S g    g m2 m1



S m1



S  2 g 

S m2

 2 g

m1m2 m1  m2

m1

x

m2

,4 m1  g

m2  g 3

Dieses Dieses Gerät Gerät heißt heißt „Ätwood’sche „Ätwood’sche Fallmaschine“ und dient dient der Bestimmung Bestimmung der Fallbeschleunigung = harmonisches Mittel von m1 g und m2 g: xharm  2

4

x1 x2 x1  x2

.

.

3




 2m 2  m  m1 a1 y   1  g  2  g m m m m   2 1 2  1 

Teil 1

In der Physik häufig auftretende Kräfte: Kraftgesetze:

F Feder F R

Feder:

F Feder   D  s,

s 

Auslenkung der Feder Feder aus der Gleichgewichtslage, D  Federkonstante Reibung: F R    F Stütz , F Stütz  Normalkraft

zwischen Körper und Unterlage,  Reibungskoeffizient F  mg ,

Erde:



F ist „nach unten“ gerichtet m  M F  G  Erde: , r 2 G  Gravitationskonstante, m  Masse des Satelliten,  Masse der Erde,  Abstand voneinander r  1 eQ Elektro- F El  ,  4 0 r 2

Satellit

Erde

statik:



Übung 5.2: Buch Dorn●Bader:



F El

 el. Feldkonstante, e  Ladung des Elektrons, Q  Ladung der positiven positiven Kugel, Kugel,  Abstand voneinander. r 

 0

Newton’sche Axiome S. 33 – 35, S. 44, S. 52 – 53

5.3 Reibung Bei den Reibungskräften unterscheiden wir zwischen Haftreibung F haft und Gleitreibung F gleit : F haft   haft  F Stütz , F gleit   haft

F haft ,max 

 haft

 F Stütz

F Stütz

 gleit  F Stütz

  gleit 5.

F Stütz ist die Normalkraft, die zwischen Körper und

Auflagefläche wirkt. Die Unterlage drückt mit F Stütz gegen den Körper. F Stütz steht immer  auf der Eis auf Eis: 0,05   , haft  0,15

5

 gleit

Gummi auf Festkörper: 1   , haft  4 4

(temperaturabhängig!),  0,02 (temperaturabhängig!),

 gleit

1




Kontaktfläche. Die Reibungskraft F R steht immer  auf F Stütz und ist der Bewegung entgegengerichtet.

5.4

Die schiefe Ebene

Bsp.: Ein Körper liegt auf auf einer schiefen Ebene s. Kapitel 2, S.3, Bsp.1) Diese wird nun soweit bis zu einem Winkel  rutsch angehoben, bis der Körper gerade zu rutschen r utschen anfängt. Wie groß ist  haft ? Wie bestimmt man  gleit ?

Übung 5.3+5.4: Buch Dorn●Bader:

Reibung + schiefe Ebene S. 12, S. 36 - 41

5


Physik Kap A Anhang


A Anhang

A.1

Trigonometrie

Definition von Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens: Gegeben sei ein Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius 1. (Die Mathematiker benutzen häufig keine Einheiten. Die Physiker brauchen immer Einheiten! Hier also: Der Radius beträgt 1 Längeneinheit.) Weiter legen wir ein x  y  Koordinatensystem mit seinem Ursprung in den Mittelpunkt des Einheitskreises. Nun betrachten wir einen beliebigen Punkt P auf dem Umfang des Einheitskreises.

P

P y 1

n i s

cos 

 Achse bzw.

Die Projektionen des Punktes P auf die

P x

x

 Achse seien P x bzw. P y .

Die Strecke OP ist die Hypotenuse in dem sich ergebenden rechtwinkligen Dreieck und hat die Länge 1. Zwischen  Achse und der Hypotenuse liegt der Winkel . Er wird von der x  Achse aus gegen gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt. gezählt. Die Strecke OP heißt „Ankathete“ des Winkels x

und ist der Cosinus von

:

OP x  cos  .

Die Strecke OP y oder P x P heißt „Gegenkathete“ des Winkels von

 :

und ist der Sinus

OP y  sin  .

Hat in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse nicht die Länge 1, sondern k , dann sind die Längen der Katheten auch k  sin bzw. k  cos  (das Dreieck ist um den Faktor k gestreckt):

I


Physik Kap A Anhang


Damit lauten die Definitionen in i n einem rechtwinkligen Dreieck: cos  

Def.:

sin   tan   cot  

Ankathete k

Hypotenuse Gegenkathete 

Hypotenuse sin Gegenkathete cos  1



k cos 

Ankathete

tan 

Bogenmaß Das Bogenmaß x gibt die Maßzahl der Länge des Bogens b im Einheitskreis ( r  1 ) b an. Für r  1 ist x  . Die Einheit des Bogenmaßes ist 1 rad ; dies wird aber häufig r weggelassen, wenn es keine Missverständnisse gibt. Im Vollkreis (  360 ) ist x folglich 2  1  2 rad. Zwischen dem Bogenmaß x und dem Gradmaß  x 2   .  360 180 A.2

besteht das Verhältnis

Vektorrechnung

Def.: Ein Def.: Ein Vektor ist ist definiert durch seinen Betrag und seine Richtung. Vektoren können parallel zu sich selbst verschoben werden (dabei ändern sich weder Betrag noch Richtung!). In der Mathematik ist der Betrag häufig nur ein Zahlenwert. In der Physik setzt sich der Betrag eines Vektors aus einem Zahlenwert, multipliziert mit der zugehörigen Einheit, zusammen. Wenn man Vektoren nach Betrag und Richtung auf ein Blatt Papier zeichnet, braucht man einen Maßstab: 1 cm ˆ x Einheiten. 1. Addition von Vektoren: 

c ab: 





Konstruktion: Verschiebe a und / oder b parallel zu sich selbst, so dass der Anfangspunkt des zweiten Vektors mit dem Endpunkt des ersten Vektors zusammenfällt. Der Summenvektor verläuft vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten. 





Zeige a  b  b  a (Kommutativgesetz). 



II

 n i s k


Physik Kap A Anhang



a b 

a 2  b 2  2ab cos(180   )




(Cosinussatz)

 a 2  b 2  2ab cos  

Dabei ist  der von a und b eingeschlossene Winkel (die Anfangspunkte von a und b müssen zur Bestimmung des eingeschlossenen Winkels zusammenfallen!). 













Zeige a  b  c  a  b  c (Assoziativgesetz). 







2. Subtraktion von Vektoren: 

c ba: 



Der Vektor  a  hat denselben Betrag und die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor a. 







 b  a  b   a  . 





Konstruktion: Parallelverschiebung, bis die Anfangspunkte von a und zusammenfallen. Der Vektor vom Endpunkt von a zum Endpunkt von b ist der Differenzvektor b  a . (   Endwert – Anfangswert.) 

b









3. Multiplikation eines eines Vektors Vektors mit einem Skalar: Skalar: 

b  k  a : 



Konstruktion: Der Vektor b hat den |k|-fachen Betrag wie der Vektor a . b hat dieselbe Richtung wie a für k  0 , b hat die entgegengesetz ent gegengesetzte te Richtung wie a für k  0 . 









4. Multiplikation zweier Vektoren a) Skalarprodukt: 

x  a  b : 

Das Ergebnis des Skalarproduktes zweier Vektoren ist eine skalare Größe, d.h. eine Größe mit einem Betrag aber ohne Richtung! 



Def.: a  b  a  b  cos  , 



ist der von a und b eingeschlossene Winkel, 

0     



Es gilt: a  b  b  a , a  k  b  k  a  b , 















III


Physik Kap A Anhang 






a  b  c  a  b  a  c (Distributivgesetz) 











b mit a  3,

Bsp.1: Gegeben seien seien die Vektoren a , 



a und b  



2



. Der Vektor c sei c  3b  2a . Wie groß sind c und der 







3 zwischen a und c ?

Winkel c2  c



b  4, Winkel zwischen





 c 2  3b  2a   9b 2  4a 2  2  2a  3b 2













 9  16  4  9  12  3  4  cos



3



 144  36  36  2  108

 c  108 .









a  c  cos   a  c  a  3b  2a  3  a  b  2a 2  3  3  4  cos 





 cos   0 





 90 







3

 29  0

ac 



b) Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt): 

c  a b : 



Das Ergebnis des Vektorproduktes zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. 



Def.: a  b  a  b  sin  ,





ist der von a und b eingeschlossene Winkel 

( 0    180 ), Richtung von c : c steht sowohl senkrecht auf a als auch senkrecht auf b ; a , b , c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. 













Konstruktion der Richtung: Zeige mit dem Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors vor dem Kreuz, mit dem rechten Zeigefinger in Richtung des Vektors hinter dem Kreuz; der ausgestreckte rechte Mittelfinger zeigt dann in die Richtung des Ergebnisvektors. 





Es gilt: a  b   b  a (das Kommutativgesetz gilt nicht!), 



  a  k b   k  a  b , und es gilt a  b  c   a  b  a  c (Distributivgesetz) 





a   b   a   b   a  b , 



























Bsp.2: Es sei





a b  a b 









( a , b  0 und a  b  0 ). Welchen Winkel 





schließen a und b ein? sin  cos sin  tan   1 cos   45 . 

IV


Physik Kap A Anhang


Vektoren in kartesischen ka rtesischen Koordinaten 

Bsp.3: Wie lautet der Ortsvektor OP des Punktes P (6;8) im kartesischen Koordinatensystem? Wie groß ist sein Betrag?   6   x  r  OP  6  e x  8  e y       .  8   y  





r  x 2  y 2  

36  64  10 .

Bsp.4: Gegeben sind sind zwei Punkte A( 2;3;1) und B ( 4;2;2) . Wie lauten die Vektoren 





Komponentenschreibweise? ise? Berechnen Sie a und b ! a  OA und b  OB in Komponentenschreibwe  2   4  











a    3 , b   2  .      1    2  

a

1. +2.

a x2  a y2  a z 2  14 , b  2 6 .

Addition bzw. Subtraktion von Vektoren:

a  a x e x  a y e y  a z e z 









b  b x e x  b y e y  b z e z 





 a x  b x   a x   b x        a  b  a x  b x e x  a y  b y e y  a z  b z e z   a y  b y    a y    b y  .        a z  b z   a z   b z  









3. Multiplikation eines eines Vektors Vektors mit einem Skalar: Skalar:

 ka x   a x      k  a  k  a x e x  a y e y  a z e z   ka x e x  ka y e y  ka z e z   ka y   k   a y  .      ka z   a z  













 2   1      Bsp.5: Gegeben sind die Vektoren F 1    2  N und F 2   4  N .       1   2  Berechnen Sie 2 F 1  3F 2 . 







 4   3   7 N        4 N 12 N 8 N         .         2   6   4 N 

V


Physik Kap A Anhang


Bsp.6: Gegeben sind die Punkte A(2;3;1) und B (1;2;3) . Wie lautet der Vektor 

c  AB in Komponentenschreibw Komponentenschreibweise? eise? 

  1   2    3        c  b  a   2     3   5  .        3   1   2  





4. Multiplikation zweier Vektoren a) Skalarprodukt: a  b  a x e x  a y e y  a z e z   b x e x  b y e y  b z e z  









 a x b x e x e x  a x b y e x e y  















 a x b x  a y b y  a z b z  a  b  cos 

.



Bsp.7: Bsp.7: Es soll der Winkel zwischen den Vektoren F 1  6 N  e x  8 N  e y und 





F 2  3 N  e x  4 N  e y  12 N  e z berechnet werden. 





  6   3       8  N    4  N  36  64 N  9  16  144 N  cos      0   12  50  6  3 N 2  8   4  N 2  0 N 2  cos     130 100  169 N 2   112,6 

Bsp.8: Bsp.8: Ein Vektor F vom Betrag 5 N bildet mit der x– und der y-Achse jeweils einen Winkel von 600. Mit der z–Achse schließt er einen spitzen Winkel ein ( 0    90 ). Wie lauten seine skalaren Komponenten? 

F  e x  5 N  1  cos60  2,5 N  F x 



F  e y  5 N  1  cos60  2,5 N  F y 

mit F 2  F x2  F y2  F z 2



F z 

25  2  2,52 N  2,5  2 N 3,54 N .

b) Vektorprodukt (Kreuzprodukt): a  b  a x e x  a y e y  a z e z   b x e x  b y e y  b z e z   a x e x  b x e x  a x e x  b y e y  



















 a y b z  a z b y e x  a x b z  a z b x e y  a x b y  a y b x e z 



e x

a x



 e y

a y



a z

e z



 a y b z  a z b y    b y    a x b z  a z b x   a b a b  b z  x y y x  b x

VI










Physik Kap A Anhang

Dies ist die  e x a x b x 

„Determinante“

der


dreireihigen

quadratischen

Matrix



   e y a y b y  .    e z a z b z  



Bsp.9: Bsp.9: Elektronen, die mit der Geschwindigkeit  in ein Magnetfeld mit der Flussdichte B eintreten, erfahren dort die d ie Lorentzkraft F L   e    B . 















Berechnen Sie die Lorentzkraft, wenn  und B die folgenden  2000   0   m   Komponenten besitzen:    2000  , B   0  T .  0  s      0,1  





Vs

( e  1,6  10 19 C , 1 T  1

m2

)

 200    1   V   F L  e    200   3,2  10 17  1  N  0 m      0  





F L steht senkrecht auf

Spezialfälle   B , 



 und B . 



 || B . 

Übung A: Vektoren A.3

Addition von Kräften im kartesischen Koordinatensystem Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus 2 (in der Ebene) bzw. 3 (im Raum) aufeinander senkrecht stehenden Achsen, die üblicherweise mit x–, y–, (und z–) Achse bezeichnet bezeichnet werden. x–, y– und z– Achse bilden ein Rechtssystem. Rechtssystem. Bei ebenen Problemen legt man x– und y– Achse (möglichst geschickt) in die Ebene hinein. Ein Vektor lässt sich in einem solchen Koordinatensystem auf zwei Arten beschreiben: a)

Kartesische Koordinaten: Angabe der Komponenten (bzw. Koordinaten; s.u.) des Vektors in x– und in y–Richtung.  A x  Schreibweise: A  A x  e x  A y  e y    .  A y  





e x und e y sind Einheitsvektoren (d.h. Vektoren des Betrages 1) in Richtung 



der entsprechenden Achsen. „Koordinaten“ des Vektors A x und A y sind skalare Größen und werden die „Koordinaten“ des 

A in kartesischen Koordinaten genannt.

VII


Physik Kap A Anhang


A x  e x und A y  e y sind vektorielle Größen und werden die „Komponenten“ 





des Vektors A in kartesischen Koordinaten genannt.

 4 N   , An einem Massenpunkt greifen gleichzeitig die Kräfte F 1   5 N     2 N   4 N  F 2    und F 3    an. Durch welche resultierende Kraft 3 N 1 N     

Bsp.10:







F Res kann man sie ersetzen?

 4   - 2   4   6 N   . F Re s  F 1  F 2  F 3    N    N    N   5 3 1 9 N         

b)







Polarkoordinaten: Angabe von Betrag und Richtung. Die Richtung wird dabei als Winkel in Bezug auf die x– Achse angegeben. Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt.

Im dreidimensionalen Raum braucht man zur eindeutigen Angabe eines Vektors drei drei Bestimmungsgrößen: a)

Kartesische Koordinaten: Koordinaten: Angabe der Komponenten des Vektors in x–, y– und z– Richtung.  A x  





Schreibweise: A  A x  e x  A y  e y  A z  e z   A y  . 





   A z 

b)

Polarkoordinaten (oder Kugelkoordinaten): Angabe von Betrag; Winkel zwischen x– Achse und Projektion des Vektors auf die x–y–Ebene; Winkel zwischen z– Achse und Vektor.

c)

Zylinderkoordinaten: Angabe vom Betrag der Projektion des Vektors auf die x–y–Ebene; Winkel zwischen x– Achse und Projektion des Vektors auf die x–y–Ebene; Höhe über der x–y–Ebene (zKomponente).1

1

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten VIII


Physik Kap.6 Wurf

2. Semester Studienkolleg an der TU Darmstadt

6. Der Wurf Wenn ein Körper geworfen wird, bewegt er sich nach dem Loslassen allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft. Er fällt also frei. Die einzige Kraft, die auf den Körper wirkt, ist seine Gewichtskraft F G  m  g , die wie die Beschleunigung g 





senkrecht nach unten zeigt (d.h. Richtung Erdmittelpunkt). Die Beschleunigung, die der Körper erfährt, ist also g . Dieser Wert ist zeitlich konstant, sowohl nach Größe m ( g  9,81 2 , solange wir in der Nähe der Erdoberfläche bleiben) als auch nach s Richtung. Daher gelten die Gleichungen aus dem Abschnitt „Kinematik“: „gleichmäßig beschleunigte Bewegung“ (s. Kap. 4.2, S. 3): 

a  konst. ,  t     a  t , 0 







r t   r 0   0  t  





1 2

a  t 2 . 

Achtung: Wir geben jetzt die Spezialbedingung Spezialbedingung a ||  oder a   auf! a und  dürfen nun beliebige Winkel einschließen! 









6.1



Der waagerechte Wurf 1

Um die Bewegung des Körpers zu beschreiben, brauchen wir ein Koordinatensystem. Wir legen z.B. den z.B. den Ursprung in den Abwurfpunkt, die  Achse in Abwurfrichtung und die y  Achse senkrecht nach unten, unten, s. Abbildung (in Richtung von g ). Dann lauten unsere Anfangswerte in obigen Gleichungen:  x 0   0  r 0       ,  y 0   0  



  x 0    0     0     0  ,  y 0     a x   0  a        konst.  a y   g  



Damit werden die Bewegungsgleichungen: Bewegungsgleichungen:

  x t     0   0   t     t    0    g   t ,  y       x t     0  1  0  r t         t     t 2 . 2  g   y t    0  



Wie lautet die Gleichung Gl eichung der Bahnkurve y ( x ) ?

1

Auch „horizontaler Wurf“ genannt. 1


6.2

Physik Kap.6 Wurf


Der schiefe Wurf

Wir definieren unser Koordinatensystem:  0  Ursprung = Abwurfpunkt, damit r 0    ,  0  

 Achse horizontal, in Wurfrichtung,  Achse senkrecht nach oben (das oben (das können wir frei wählen!). Jetzt haben wir auch für die Anfangsgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit 



0

  x 0   .    y 0  

Diese

x 0



y 0

0

Geschwindigkeitskomponenten

Anfangsgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit 







0

und den Abwurfwinkel



keine Einschränkung mehr: lassen

sich

durch

die

ausdrücken:

  0  cos  ,   0  sin  .

Jetzt können wir die di e Bewegungsgleichungen angeben:

 0    konst. , g   

a t    

  x t     0 cos    0          t ,  t  sin   g      y   0  x t     0 cos   1  0  2   t    r t         t .  sin    y t g  2    0    



t   



Bsp.: Ein Fußballspieler schießt den Ball unter einem Winkel von 37,0° zur Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20,0 m/s. a) Nach welcher welcher Zeit Zeit erreicht erreicht der Ball seinen seinen höchsten Punkt? y b) Wie hoch ist er dann? c) Wie lange ist er in der Luft?  0 d) Wie weit fliegt der Ball?  e) Mit welcher welcher Geschwindigkeit landet er auf dem Boden? In x  Richtung gilt: a x  0,  x   x 0   0  cos  , x0  0, x (t )  x 0   x 0  t

a y   g  9.81 sm ,  y   y 0  at   0 sin   gt , In y  Richtung gilt:   y 0  0, y (t )  y 0   0 sin   t  12 gt 2 a) Im höchsten Punkt gilt:  y  0: 2

0   0 sin   t hoch  t hoch 



0

sin 

 1.23 s

2 b) y max  y 0   0 sin   t hoch  12 gt hoch  7.38 m 

0

2 c) y (t Flug )  0   0 sin   t Flug  12 gt Flug  t Flug 

d) R  x (t Flug )  x 0   x 0  t Flug  

0

2

2 g

2 g

  0 sin   2  t hoch  2.45 s

  02 sin  cos   39.2 m

x


e)

Physik Kap.6 Wurf




(t Flug )   x 0   0  cos 



(t Flug )   y 0  g  t Flug   0 sin   2 0 sin    0 sin    y 0

x y



Ende



2 x



tan  Ende 

(t Flug )   y2 (t Flug )   0 cos 2   sin 2    0  20 m s 

y

(t Flug )

x (t Flug )





sin  cos 

 tan  



Ende

   37

Hinweis: Wenn Sie x (t ) nach t auflösen und dies in (t ) einsetzen, eliminieren Sie den Parameter t und erhalten die Flugkurve ( x ) .2

Übung 6: Buch Dorn●Bader:

2

x (t ) : t 

x  x 0  x 0



x

Waagerechter und schiefer Wurf. S. 58 - 64

 in y (t ) : y ( x ) 

 x 0



0

sin   x

 0

cos 

1

x 2

2

2  x 0

 g

 tan   x 

g 2  x 0

2

 x 2

 y ( x )  Ax 2  Bx : Parabel 3



Physik Kap.7 Kreisbewegung

7. Kreisbewegung Wir betrachten den Fall, dass ein Körper der Masse m auf einer Kreisbahn mit Radius r mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag  umläuft. Dabei ändert sich  natürlich ständig die Richtung des Geschwindigkeitsvektors  ! 7.1 Begriffsbildung

Definitionen:

 heißt

„Bahngeschwindigkeit“. Die Zeit für einen Umlauf nennen wir T  “Periode“. Die Anzahl der Umläufe pro Zeit nennen wir f  “Frequenz“. D.h. f 

1 T

. Statt der Frequenz f ist auch die

„Kreisfrequenz“ gebräuchlich, die nicht die Umläufe pro Zeit, sondern den umlaufenen Winkel  pro Zeit (im Bogenmaß!) misst. Da 1 Umlauf den Winkel 2 überstreicht, gilt also  

2  f 

2 T

.

Wenn unser Körper den Kreis in der Periode T einmal umläuft, legt er dabei die Strecke des Kreisumfanges 2 r zurück. Daher beträgt seine Bahngeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit   Wegen







r

2 r T

 2 f  r    r .

ds

ds dt  r  d     =Änderung des Winkels mit r dt dt



der Zeit nennt man

auch „Winkelgeschwindigkeit“.

Zusammenfassung: Größe r

Einheit m



m

s

s

T f

Hz  1 s -1 rad

7.2

Name Radius Bahngeschwindigkeit

s

Periode Frequenz

Kreisfrequenz  1 s Winkelgeschwindigkeit s

Zusammenhänge  

f 

2 r T 1

T  2 f

 

d dt





r

Kinematik und Dynamik bei der gleichförmigen Kreisbewegung

Frage: Welche Beschleunigung erfährt ein Körper, der mit Bahngeschwindigkeit  auf einem Kreis mit Radius r umläuft? 



Antw.: a  0 , da

  nicht



konstant! a 

d  dt

konstanter

.

Die beiden Dreiecke

1

Dr. Karin Olt ©K. Olt, 2009    12 



 1

  2    1 ,  2











t



1 d 







dt d  dt



 r1  r 2

  ( t 2 )

und

  r , r  . 1 1



r

 



r



1 



und r 1 r 2 r sind ähnlich,

denn:





2

  ( t 2 )

1

t

1 r





lim

r t 1 dr 1 r dt 



a a 

  ( t 1 )

  ( t 1 )



r (t 2 )

r (t 1 )

t 0









r

  . 2

r

2





( a ist konstant ).

r



a

ist immer zum Zentrum der Kreisbahn hin gerichtet „Zentripetalbeschleunigung“ (auch (auch „Radialbeschleunigung“ „Radialbeschleunigung“ genannt).3





( a )

–

Bsp.: Der Mond braucht für eine Erd-Umrundung 27,3 Tage. Nehmen Sie eine kreisförmige Bahn mit Radius 3,84  10 8 m an. Wie groß ist die Beschleunigung

des Mondes in Richtung Erde? a



2

r

a

,

 =

4 2 r T

2

Bahnumfang Umlaufzeit

 4 2 



2 r T



   2,72  10 3 2  = 2,78  10 -4  g  s  9 ,81    m 

3,84  10 8 m 60 s 2 27,3d  24dh  60hmin  min 



m

s2







Zu jeder Beschleunigung a gehört eine (resultierende) Kraft F Re s  m  a . Daher wirkt bei der gleichförmigen Kreisbewegung auf den Körper der Masse m die Kraft F Re s  F Z  m 

2



, die immer zum Kreismittelpunkt zeigt. Diese Kraft heißt

r „Zentripetalkraft“:

2

Zentripetalkraft F Z  m  m 

r

1

4

r

Masse des kreisenden Körpers Bahngeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn Radius der Kreisbahn

  liegt immer tangential zur Bahn:

2

Genau genommen ist

3





  

 





dr . dt

 s ,  s Kreisbogen. s  r für r  0. t 



Hat a eine Komponente in Richtung von  , dann ist  nicht konstant; diese Komponente heißt dann „Tangentialbeschleunigung“. 4 Durch Seil, Feder, Gravitation, el. Ladung...

2

 F Z




Beachten Sie: Die Zentripetalkraft ist zwar die Ursache für die Kreisbewegung des Körpers, hat selbst aber Ursachen: Die Zentripetalkraft ist die Resultierende aller von außen an dem Körper angreifenden Kräfte! Sie selbst ist also keine äußere Kraft!!! Zentrifugalkraft (oder Fliehkraft):

Häufig wird in diesem Zusammenhang von „Zentrifugalkraft“ oder „Fliehkraft“ gesprochen.

*

außenstehender Beobachter

Die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft ist eine „Trägheitskraft“ F * und zeigt nach außen (fugare = in die Flucht schlagen, verjagen). Sie hat denselben Betrag wie die Zentripetalkraft. Achtung: Die Fliehkraft existiert nur für einen Beobachter, der sich in dem rotierenden System befindet!: Trägheitskräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemen auf und haben keine Gegenkraft. 

Wenn das Bezugssystem selbst die Beschleunigung a Bezugssyst em hat, so wirkt auf einen Körper der Masse m in diesem Bezugssystem (neben allen weiteren sonst   vorhandenen äußeren Kräften) die Trägheitskraft F *   m  a Bezugssyst em . Übung 7: Buch Dorn●Bader:

Gleichförmige Kreisbewegung S. 95 – 102; 104; 105 – 117

3


2. Semester Studienkolleg Studienko lleg an der TU Darmstadt

Physik Kap.8 Arbeit und Energie

8. Arbeit und Energie Energie 8.1

Arbeit

Bislang betrachteten wir konstante Kräfte F , die auf eine Masse m wirken und zu einer konstanten Beschleunigung a führen. Die Geschwindigkeit υ (t ) des Teilchens zu jeder Zeit und seine Position waren dann einfach zu berechnen. Die Sache wird komplizierter, wenn F und damit auch a nicht mehr konstant, sondern eine Funktion des Ortes ist, wie z.B. bei der Gravitation oder der Feder. Definition der Arbeit: Wirkt eine konstante Kraft F auf ein Teilchen, das die Strecke s zurücklegt, so verrichtet die Kraft F an dem Teilchen die Arbeit W = F ⋅s . i Ist F eine Funktion des Ortes, so verrichtet F an dem Teilchen die Arbeit 













b

W

=



Fds . 



a

Einheit: 1 Nm = 1 J. 

i

W

=

F ⋅ ⋅ cosϕ ist die Kraftkomponente von F in Richtung von s . 

F ⋅ s ⋅ cosϕ ;

Es gibt verschiedene Formen der mechanischen Arbeit: Bsp.: a) Hubarbeit: Sie heben einen Körper der Masse m gegen gegen das Schwerefeld der Erde mit konstanter Geschwindigkeit um die Strecke ∆h = hb − ha nach oben. Dazu ist die Kraft F = m ⋅ g notwendig. F zeigt nach oben, der Streckenvektor s ebenfalls.  Die von der Kraft F an der Masse verrichtete Arbeit ist 



b

W Hub

=





F d s = m ⋅ g ⋅ ∆h . 

a

Beim langsamen Ablassen der Masse um die Strecke W Hub = − m ⋅ g ⋅ ∆h verrichtet!

∆h

wird

Die am Körper verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg von a nach nach b , es ist auch nicht notwendig, dass a und b genau übereinander liegen! Allein die Höhendifferenz ∆h = hb − ha ist relevant für die verrichtete Hubarbeit! Berechnen Sie W an an der schiefen Ebene! Wie verhalten sich F und und s im 1 Vergleich zum direkten Anheben? Was passiert für = 0 ? b) Reibungsarbeit: 1

Muskeln. Myosinköpfchen greifen an Aktinfilamenten an und verkürzen die Fasern. Starres Halten: Filamente rudern auf der Stelle  Energieverbrauch! (Würden sie nur starr angeklinkt, würden Skelettmuskeln erstarren, Beweglichkeit ginge verloren. Spektrum der Wissenschaft 2/2001, S. 38) 1




Wir ziehen eine Kiste der Masse M die Strecke s mit konstanter Geschwindigkeit über den Fußboden, der Gleitreibungskoeffizient sei µ gleit . Unser Kraftvektor schließt mit der Horizontalen den Winkel α ein. Wie groß ist die von der Kraft F N

= M ⋅

F an 

g − F sin α ,

F cos α = F R

= µ gleit ⋅ F N = µ gleit ⋅

 F cos α + µ gleit sin α

( M ⋅ g − F sin α )

= µ gleit ⋅ Mg

µ gleit

F = M ⋅ g ⋅

cos α + µ gleit sin α

.

b

W =



der Kiste verrichtete Arbeit?

µ gleit

 

F d s

=

F cos α ⋅ s

= M ⋅

g⋅

a

1 + µ gleit tan α

⋅s

.

c) Beschleunigungsarbeit: Wir nehmen an, dass die resultierende Kraft auf einen Körper der Masse m zeitlich zeitlich konstant ist. Der Körper wird also in der Richtung dieser Kraft 

beschleunigt bewegt mit der konstanten Beschleunigung



a

=

F m

. Wir

wollen die Arbeit berechnen, die diese Kraft an dem Körper entlang der Strecke s verrichtet. Die Anfangsgeschwindigkeit sei υ 0 und zeige in Richtung von a . Damit haben wir eine geradlinige gleichmäßig 



beschleunigte Bewegung mit den Gleichungen υ (t ) = a ⋅ t + υ 0 .

s (t ) =

1 2

at 2

Am Ende des Beschleunigungsvorganges ist

+ υ 0 ⋅ t

und

s(t E ) = s und

υ (t E ) = υ E .

Nun ist die verrichtete Arbeit 

W Beschl

=

=

=



F ⋅ s

1 2

=

m⋅a⋅s

= 2

m ⋅ (υ E − υ 0 )

1 ma ( at E2 2

+

+ υ 0 t E ) =

Ausdruckes

mυ 0 ⋅ at E 2

+ υ 0υ E − υ 0

  

1 2

F

verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung des

mυ 2 des

beschleunigten Körpers. Dieser Zusammenhang



0 und

F und υ 0 ! 



Endgeschwindigkeit Endgeschwindigkeit υ E = υ ist folglich W =

d) Spannarbeit an der Feder: 2

+

1  1 mυ 0 ⋅ (υ E − υ 0 ) = m ⋅  υ E 2 − υ 0υ E + υ 02 2  2

gilt auch für beliebige Richtungen von =

2

2

m(at E )

1  1 1  1  1  m ⋅  υ E 2 − υ 02  = mυ E 2 − mυ 02 = ∆ mυ 2  2  2 2  2  2 

Die von der Kraft

Für υ 0

1

1 2

mυ 2 .




Wir wollen eine Schraubenfeder zunächst aus der Nulllage x0 = 0 um die Strecke ∆ x1 bis auf die Position x1 = s1 ausdehnen ( s ist die Dehnung aus der Nulllage). Die dafür an der Feder angreifende Kraft F und der Streckenvektor s1 sind gleichgerichtet. Allerdings ist F hier nicht konstant! ( F = D ⋅ s , Hook’sches Gesetz.) Wir müssen also integrieren: 



s1

s1

s1

s1

s1

1  W 1 =  F d x =  Fdx =  ( D ⋅ x )dx = D ⋅  x dx = D ⋅  x 2  2 0 0 0 0 0 



=

1 2

Ds12 .

Anschließend dehnen wir die Feder noch weiter um ∆ x2 = x2 − x1 bis auf die Position x2 = s 2 aus. Dafür müssen wir die Spannarbeit W 2 verrichten: x2

x 2

x 2

x 2

x 2

1  W 2 =  F d x =  Fdx =  ( D ⋅ x )dx = D ⋅  x dx = D ⋅  x 2   2  x x x x x 



1

=

1 2

1

D (s 22

−

1

=

1

1

1 2

D( x 22

2

− x1

) .

s12 )

Für die verrichtete Spannarbeit bei der Dehnung einer Schraubenfeder gilt also (mit s = Dehnung aus der Nulllage): W Spann

 1 2  Ds  .  2 

= ∆

Insgesamt haben wir jetzt die Arbeit W ges

= W 1 + W 2 =

1 2

Ds12

+

1 2

D(s 22

2

− s1

) = 1 Ds22 2

verrichtet, so als hätten wir die Feder gleich in einem Schritt von x0 auf s = x2 = s2 ausgedehnt. 8.2

=

0 bis

Energie

Immer, wenn einem physikalischen System (positive) Arbeit zugeführt wird, ist diese Arbeit nicht verloren, sondern in irgendeiner Form in diesem System gespeichert. Das System kann diese „gespeicherte“ Arbeit wieder an andere Körper abgeben. Dieses „Arbeitsvermögen“ wird auch „Energie“ genannt. Die Größe „Energie“ hat daher dieselbe Dimension wie die „Arbeit“. Einheit: 1 J. Der „Energiesatz“ drückt diesen Sachverhalt mathematisch aus:

3




W = ∆ E

Bedeutung:

Die einem System zugeführte Arbeit W erhöht die Gesamtenergie des Systems um ∆ E .

Bsp.: a) Potentielle Energie (oder Lageenergie): Beim Anheben eines Körpers der Masse m um die Höhe ∆h im Schwerefeld der Erde wird Hubarbeit verrichtet. Der Körper gewinnt dadurch „potentielle Energie“. Wenn er losgelassen wird, wird diese Energie wieder frei: Der Körper kann nun seinerseits Arbeit verrichten! 

W Hub

= ∆ E pot =

m ⋅ g ⋅ ∆h

Bei der Berechnung der potentiellen Energie muss immer ein Nullpunkt für die Höhe ( h = 0 ) definiert werden. Da aber immer nur Änderungen von E pot eine Rolle spielen, hebt sich der Offset in der Differenzbildung wieder heraus. b) Innere Energie (oder Wärmeenergie): Die verschiedenen Energieformen können auch ineinander umgewandelt werden: Die oben besprochene Reibungsarbeit wird in eine andere Energieform überführt: Sowohl die Kiste als auch der Boden werden warm! Wärmeenergie wird auch innere Energie genannt. c) Kinetische Energie (oder Bewegungsenergie): Die oben besprochene Beschleunigungsarbeit wird vollständig in „Bewegungsenergie“ oder „kinetische Energie“ überführt: W Beschl

 1  mυ 2  .  2 

= ∆ E kin = ∆

Will man die kinetische Energie eines Körpers angeben, so muss man das Bezugssystem definieren, in dem υ = 0 gilt. Dort ist dann E kin

=

1 2

mυ 2 .

Der unter a) fallengelassene Körper verliert während des Falles potentielle Energie (h nimmt nimmt ab), dafür nimmt E kin zu (υ wird größer).  Potentielle

Energie wird in kinetische Energie umgewandelt!

d) Spannenergie: Ein an der gedehnten Feder festgehaltener Körper besitzt Arbeitsvermögen = Energie: Wird er losgelassen, so schnellt die Feder zurück, der anhängende Körper gewinnt kinetische Energie. Spannenergie ist auch eine Form von potentieller Energie (= Lageenergie). 4


Übung 8.1.+8.2: Buch Dorn Bader: 

8.3



Arbeit und Energie S. 74 – 77; S. 68 - 73

Der Energieerhaltungssatz

Wir haben gesehen, dass sich verschiedene Energieformen ineinander überführen lassen: potentielle  kinetische (das geht auch anders herum!), kinetische  Wärme (das geht andersherum nicht vollständig!) … Ein Erfahrungssatz lautet: Erhaltung der mechanischen Energie2: Die gesamte mechanische Energie E pot + E kin eines abgeschlossenen Systems (dem keine Energie von außen ab- oder zugeführt wird) bleibt erhalten: E ges

= E pot +

E kin

=

konst.

(Vergessen Sie bei E pot nicht eventuell vorhandene Spannenergien!) Spielen auch andere Energieformen eine Rolle, so gilt der allgemeine Energieerhaltungssatz :

Energie kann von einer Art in eine andere umgewandelt werden, aber sie kann nicht erzeugt oder vernichtet werden; die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System ist konstant. Welche Arten von Energie fallen Ihnen I hnen noch ein? Bsp.: Ein Zug fährt mit der konstanten Geschwindigkeit Geschwindigkeit υ 1 = 30 m s . Im Zug sitzt ein Fahrgast der Masse m = 80 kg . Der Fahrgast hat somit die kinetische Energie E 1

=

1 2

mυ 12

=

36000 J .

Er steht nun auf und beschleunigt innerhalb einer

Sekunde gleichmäßig in Fahrtrichtung von 0 m/s auf 1 m/s. Hierzu verrichtet er

die

Arbeit

W =

Geschwindigkeit jetzt E 2

=

1 2

mυ 22

=

38440 J .

1

2

2

mυ

υ 2 =

=

40 J .

31 m

s

Relativ

zum

Gleis

beträgt

seine

. Damit ist seine kinetische Energie

Die kinetische Energie des Menschen hat also um

2440 J zugenommen, obwohl er nur eine Arbeit von 40 J verrichtet hat. Ist der Energieerhaltungssatz verletzt?

2

Keine Reibung, denn Wärme ist keine „mechanische“ Energie! 5




Die Energiezunahme von 2440 J ist in Bezug auf das Gleis berechnet. Berechnen wir nun also auch die Arbeit der Kraft, die auf die Person wirkt, um sie zu beschleunigen: F = m ⋅ a ,

a

=

1 ms 1s

= 1m

s2

(Die Beschleunigung

∆υ

∆t

ist unabhängig vom

Bezugssystem!) F = 80 N . s

=

s Zug

+

sim Zug

= υ 1 ⋅ t +

1

2

at

,

2 s = 30 m + 0,5 m = 30,5 m . W ges = F ⋅ s = F ⋅ s Zug + F ⋅ sim Zug

t = 1 s ,

=

2400 J + 40 J

=

2440 J .

Arbeit des Menschen im Zug Arbeit des Zuges an dem Menschen

8.4

Die Leistung

Interessieren wir uns nicht nur für die Arbeit W , die eine Kraft an einem Körper verrichtet, sondern auch für die Zeit t , die dafür benötigt wird, so kommen wir zum Begriff der Leistung P : P

=

dW dt

, oder, wenn

P(t )

=

konst: W

=

P ⋅ t . Einheit: [P] = W = “1 Watt“ = 1 J/s.

Achtung: Verwechseln Sie nicht die Größe W (= (= „Arbeit“) und die Einheit W (1 Watt)! W att)! Übung 8.3+8.4: Buch Dorn Bader: 

6

Energieerhaltung, Leistung S. 65 – 67; S. 94; S. 118 – 120; 128; S. 78 - 79



Physik Kap.9 Impuls

9

Impuls

9.1 Impulserhaltung 

Def.: Der Impuls p eines Teilchens der Masse m und der Geschwindigkeit gegeben durch   1 p = m ⋅ υ .

 υ

ist

Das 2. Newtonsche Gesetzt lautet nun: 



d p

F Re s =

dt

d

=



dt 

= m⋅a

2

( m ⋅ υ )

(für konstante Masse).

Für ein System von n Teilchen mit den Massen m1 , m2 ,  , mn ist der Gesamtimpuls 

p ges : 







p ges = m1υ 1 + m2υ 2 +  + mnυ n = m ges

d dt

  + = m1 r 1

d

=

dt

dt



m ges





d  m1 r 1 + m2 r 2  + mn r n 

  dt 

  

m ges





r SP = m ges ⋅ υ SP



d p ges

   +  m r  m2 r n n = 2







3 ( m ges ⋅ υ SP ) = m ges ⋅ a SP = F Re s (bei konstanter Masse)



Das System bewegt sich also so, als würde die äußere Kraft F Re s im Schwerpunkt (SP ) des Systems angreifen und als wäre seine gesamte Masse in diesem Schwerpunkt vereinigt. Impulserhaltung: Impulserhaltung: 





d p ges

F Re s = 0 :

dt



=

0 : Greift an einem physikalischen System keine resultierende

äußere Kraft an, so bleibt sein Gesamtimpuls erhalten: 

p ges = konst (3 Gln!).



4



1

Wie

2

Diese Beziehung ist – im i m Gegensatz zu F Re s = m ⋅ a – auch in der Relativitätstheorie richtig, wenn

m=

υ

ist auch p abhängig vom Bezugssystem! 

m0

1− 3



. υ

c

2

2

Die inneren Kräfte heben sich bei der Summenbildung 





F i gegenseitig auf: z.B. übt die Masse mi die Kraft 

F auf die Masse m j aus. Wegen des Wechselwirkungsgesetzes übt dann die Masse m j die Kraft − F auf die Masse mi aus.  In der Summe heben sich die inneren Kräfte ( innerhalb des Systems) gegenseitig auf.

1



Physik Kap.9 Impuls





Die Gleichung F Re s

d p ges

=

dt

lässt sich auch über der Zeit integrieren: 

∆ pges =





F Re s dt .

Dieses Integral trägt die Bezeichnung „Kraftstoß“.  Kraftstoß

= Impulsänderung.

Bsp.: Rückstoß: Wir betrachten den -Zerfall von ruhendem habe

eine

Geschwindigkeit

von

Rückstoßgeschwindigkeit Rückstoßgeschwindig keit des Tochternuklids 





p ges = 0 = m



υ α α

 υ Th

=−

m

α

mTh

 υ α

+ m Thυ Th



υ Th

=

238

U→

234

1,4 ⋅ 10 234

4 Th + He ; das 7 m

s

.

-Teilchen



Berechne

die

Th .



Th 

4 234

⋅ 1,4 ⋅ 10

7

m

=

s

2,39 ⋅ 10 5

m s







p ges = p′ges = 0

Raketenantrieb: In der Raketenphysik ist m =: ∆m die ausgestoßene Masse, ihre Restmasse ist M . Sie fliegt vor dem Ausstoßen mit der Masse ( M + ∆m ) mit der Geschwindigkeit V vorwärts. Nach dem Ausstoß sei υ die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse ∆m relativ zum außenstehenden Beobachter ( υ < V ), die Masse M fliegt dann mit V + ∆V vorwärts:   Allgemein: p nach = p vor . ∆m ⋅ υ + M ⋅ (V + ∆V ) = ( M + ∆m) ⋅ V

M ⋅ ∆V = ∆m ⋅ (V − υ ) = ∆m ⋅ υ rel M ⋅ a = F Schub =


∆m ∆t

| / ∆t

⋅ υ rel

Impuls, Impulserhaltung S. 86 – 90; S. 93 - 94

9.2 Stöße Während eines Stoßes treten komplizierte Kräfte zwischen den Stoßpartnern auf. Fragen wir nur nach den Geschwindigkeiten der Partner nach dem Stoß, so können wir – da die Stoßkräfte im System der beiden Stoßpartner innere Kräfte sind – den

4

Neben Energie– und Impulserhaltung gibt es noch weitere Erhaltungssätze: z.B. el. Ladung, Drehimpuls…

2



Physik Kap.9 Impuls

Impulserhaltungssatz anwenden: Summe der Impulse der beiden Teilchen vor dem Stoß = Summe der Impulse der beiden Teilchen nach dem Stoß. Weiterhin unterscheiden wir zwischen elastischen und unelastischen Stößen5: Vollständig elastischer Stoß:

Die beim Zusammenstoß in Verformungsenergie umgewandelte kinetische Energie wird vollständig zurückverwandelt und als kinetische Energie an die Stoßpartner zurückgegeben.  Die kinetische Energie bleibt erhalten!

Unelastischer Stoß: Beim Zusammenstoß Zusammenstoß wird wird ein Teil der kinetischen Energie oder irreversibel in Verformungsenergie, Wärme, Schall… teilelastischer Stoß: verwandelt.  Die kinetische Energie bleibt beim unelastischen Stoß nicht erhalten. Vollständig Auch hier bleibt die kinetische Energie nicht erhalten. Im unelastischer Stoß: Gegensatz zu zu oben bewegen sich die beiden beiden Körper nach dem Stoß aber gemeinsam weiter! ( u1 = u 2 = u ) In der Realität gibt es keine vollständig elastischen Stöße. Häufig ist der „Verlust“ der kinetischen Energie aber so klein, dass er gegenüber der Gesamtenergie vernachlässigt werden kann. Im Folgenden werden die Gleichungen für die Geschwindigkeiten der beteiligten Körper nach dem Stoß hergeleitet, wenn die Massen und die Geschwindigkeiten vor dem Stoß bekannt sind: Gegeben:

m1 , m2 : Massen der stoßenden Körper,

: Geschwindigkeiten der Körper vor dem Stoß Gesucht: u1 , u 2 : Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß. Die Geschwindigkeiten sind vorzeichenbehaftet. ,

υ 1 υ 2

9.2.a)

Zentraler vollständig unelastischer Stoß

Zentraler Stoß bedeutet:

Vollständig unelastisch bedeutet:

Die Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Körper fällt mit der Richtung der Relativbewegung zusammen. Nach dem Stoß kleben die Körper zusammen: u1 = u2 = u , die Masse des Körpers nach dem Stoß beträgt m1 + m2 .

Impulserhaltung: m1υ 1 + m2υ 2 = (m1 + m2 ) ⋅ u



5

u=

m1υ 1 + m2υ 2 m1 + m2

.

Wird auch „inelastischer Stoß“ genannt.

3



Physik Kap.9 Impuls

Wie viel mechanische Energie geht „verloren“? Was passiert für m1 = m2 , υ 1 = −υ 2 = υ ? 9.2.b)

Zentraler vollständig elastischer Stoß

Hier gilt sowohl die Impulserhaltung (es wirken keine äußeren Kräfte) als auch die Energieerhaltung für die kinetische Energie: m1υ 1 + m2υ 2 = m1u1 + m2 u2

(1)

m1υ 12 + m2υ 22 = m1u12 + m2 u22

(2)

(1‘):

m1 (υ 1 − u1 ) = m2 (u2 − υ 2 )

(2‘):

m1 (υ 12 − u12 ) = m2 (u22 − υ 22 )

(2‘)/(1‘):

υ 1

(3)

+ u1 = u2 + υ 2

(1) und (3) sind (3) sind linear in den beiden Unbekannten u1 und u2 : Die Gleichungen (1) und (3‘):

u2 = υ 1 + u1 − υ 2

(1): in (1):

(1‘‘):

m1υ 1 + m2υ 2 = m1u1 + m2 (υ 1 + u1 − υ 2 )

auflösen nach u1 :

u1 (m1 + m2 ) = υ 1 (m1 − m2 ) + υ 2 (2m2 )



u1 =

υ 1

(m1 − m2 ) + 2m2υ 2 m1 + m2

.

(1) und (3) symmetrisch (3) symmetrisch in den Indizes 1 und 2 sind, Da die Gleichungen (1) und gilt analog:



u2 =

υ 2

(m2 − m1 ) + 2m1υ 1 m1 + m2

Was passiert für m1 = m2 ? Was passiert bei einem Stoß mit der Wand ( m2 Was passiert für m1 >> m2 ?

.

→ ∞ )?

Bsp.: Eine Stahlkugel ( m = 150 g ) stößt zentral und vollständig elastisch auf eine ruhende Glaskugel der Masse 50 g. Die Glaskugel bewegt sich nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit 9 m/s. Welche Geschwindigkeiten hat die Stahlkugel vor und nach dem Stoß? Aus der Gleichung für u2 folgt wegen υ 2 = 0 : υ 1

4

=

u2 (m1 + m2 )

2m1

=

9

m s

⋅

200 300

=

6

m s

,



Physik Kap.9 Impuls

und dann aus der Gleichung für u1 : u1 = υ 1

9.2.c)

(m1 − m2 ) m1 + m2

= u2

(m1 − m2 ) 2m1

= u2 ⋅

100 300

=

3 ms .

Schiefer vollständig elastischer Stoß

Auch hier gilt Impuls- und Energieerhaltung für die kinetische Energie. Da der Impuls eine vektorielle Größe ist, muss er nun in Komponenten zerlegt werden. Wir haben also drei Gleichungen in der Stoß-Ebene: Zwei Gleichungen für die Impulserhaltung und eine Gleichung für die Energieerhaltung. Nach dem Stoß haben wir aber vier Unbekannte: Die beiden Geschwindigkeiten der Teilchen sowie ihre Flugrichtungen. (Oder u1, x , u1, y , u2, x , u2, y .) Der „Streuwinkel“ nach dem Stoß (das ist die Ablenkung des eintreffenden Teilchens von seiner Flugrichtung) hängt vom Stoßparameter ab. (Das ist der Versatz der beiden Schwerpunkte in Flugrichtung.) Es ist also noch eine weitere Angabe notwendig, die uns die vierte Bedingung liefert.


Stöße S. 80 – 85; S. 94

5


Physik Kap.B Drehbewegung

B


Drehbewegung starrer Körper

Wir behandeln die Rotation starrer Körper  um eine im Raum feststehende Achse, oder  um eine Achse, die sich im Raum verschiebt, aber ihre Richtung nicht ändert (z.B. ein rollender Ball). B.1 Kinematik der Drehbewegung

Aus Kapitel 7 Kreisbewegung erinnern wir uns an folgende Begriffe: Bahngeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn Winkel (im Bogenmaß)

υ ϕ ω =

Es

d ϕ ϕ

Winkelgeschwindigkeit

dt gilt υ = ω ⋅ r , r ist der

Abstand des Punktes von der Drehachse.

Wir benötigen jetzt noch den Begriff der Winkelbeschleunigung:  (manchmal auch mit α bezeichnet, birgt aber Def.: Die Winkelbeschleunigung ω

die Gefahr der Verwechslung mit dem Winkel selber) ist definiert als Änderung der Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit:  = ω

d ω dt

=

d 2ϕ dt 2

.

Ein Punkt im Abstand r von von der Drehachse erfährt eine Beschleunigung in radialer Richtung, diese haben wir in Kap. 7 bereits als „Zentripetalbeschleunigung kennen gelernt: a r = a Z =

υ 2 r

= ω ⋅ r . 2

Wenn der Körper aber auch eine Winkelbeschleunigung besitzt, dann wird jeder Punkt des Körpers auch tangential beschleunigt: a t =

d υ dt

. = r ⋅ ω

Bsp .:.: Ein Schleifstein mit (Außen-) Radius 50 cm beginnt aus der Ruhe heraus mit einer Winkelbeschleunigung von 3 rad/s² zu rotieren. a) Welche Bahngeschwindigkeit hat ein Randpunkt nach 2 s? b) Welche tangentiale Beschleunigung erfährt ein Randpunkt? c) Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung nach 2 s? 1




a) υ = ω ⋅ r = (ω 0 + ω  ⋅ t ) ⋅ r = 3 m/s b) at = ω  ⋅ r = 1,5 m/s² c)

a Z =

υ 2 r

= ω ⋅ r = 18 m/s² 2

B.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment

Die Rotationsenergie eines starren Körpers, der um eine feste Achse rotiert, ist die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte des Körpers: E Rot =

1

2

miυ i2 =

i

Die Summe

1

2

2

2

i

 m r

2

i i

1

mi (r i ⋅ ω ) = ω 2 ⋅

 m r

2

i i

i

, die sich auf eine ganz bestimmte Drehachse bezieht, heißt

i

„Trägheitsmoment“ und wird mit J (oder auch I oder θ ) bezeichnet: Damit lautet die die Rotationsenergie: 1

E Rot =

Def.: Das Trägheitsmoment

gegeben durch

J

2

J ⋅ ω 2

eines Körpers bezüglich einer Drehachse A ist J =

 m r

2

i i

i

r i ist der

jeweilige Abstand des Massenelementes mi von der Drehachse.

Für homogene Körper der Dichte ρ mit kontinuierlicher Massenverteilung wird mi durch dm = ρ ⋅ dV ersetzt und statt der Summe wird das Volumenintegral über den ganzen Körper gebildet:



J = ρ ⋅ r 2 dV . V

Auch hier ist r der Abstand des jeweiligen Volumenelementes Drehachse. Tabelle von Trägheitsmomenten:

2

dV

von der




Steiner’scher Satz:

Bezeichnet J S das Trägheitsmoment eines starren Körpers der Masse m bezüglich bezüglich einer Drehachse S durch seinen Massenschwerpunkt, so berechnet sich das Trägheitsmoment J A desselben Körpers bezüglich einer zu S parallelen parallelen Drehachse A im Abstand d zu: zu: J A = J S + m ⋅ d 2

Beweis : S ist die Drehachse durch den SP , Massenschwerpunkt die 3




Drehachse A ist um die Strecke d parallel verschoben. In SP liegt das Koordinatensystem mit x– Achse Achse und y – Achse in der Drehebene; S und A stehen also senkrecht auf der x-y- Ebene. Die Achse A durchstößt die x-y- Ebene in (a | b ) ; es gilt also d 2 = a 2 + b 2 . Nun gilt für ein Massenelement dm am Ort ( x | y ) bzgl. der Drehachse S : r S 2 = x 2 + y 2 . Bzgl.

A

der

r A = ( x − 2

Drehachse 2 a ) + ( y − b )

gilt

für

dasselbe

Massenelement:

2

Somit ist das Trägheitsmoment bzgl. der Drehachse A:



 ( x − a )

K

K

J A = r A2 dm = =

 ( x

2

+ y )dm + 2

K



2

 (a

2

+ ( y − b) dm 2

+ b )dm − 2a x dm − 2b ydm 2

K

2





K



K



= m⋅ xSP = 0

= m⋅ y SP =0

2

= r S dm + d ⋅ m − 0 − 0 K

= J S + m ⋅ d

2

B.3 Rotationsdynamik

Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen dem an einem starren Körper angreifenden äußeren Drehmoment M und der daraus folgenden Winkelbeschleunigung ω  : An dem Massenelement m eines starren Körpers im Abstand r von der Drehachse soll innerhalb der Drehebene eine Kraft F angreifen. Nur die Kraftkomponente in Bewegungsrichtung verrichtet eine Arbeit. Da sich das Massenelement nur tangential bewegen kann, verrichtet auch nur die Tangentialkomponente F t der Kraft die Arbeit ∆W = F t ⋅ ∆s = F ⋅ sin Φ ⋅ r ⋅ ∆ϕ = M ⋅ ∆ϕ ,

mit M = = Drehmoment der Kraft bzgl. der Drehachse.

Diese Arbeit führt zur Zunahme der Rotationsenergie:

4




1  1 2  1 2 2 ∆W = ∆ E Rot = ∆ J ω  = J ⋅ (ω 2 − ω 1 ) = J (ω 2 + ω 1 ) ⋅ (ω 2 − ω 1 ) = J ⋅ ω ⋅ ∆ω 2  2  2

für

∆

<< ω

Damit wird 1

M ⋅ ∆ϕ = J ω ⋅ ∆ω ⋅

M ⋅ ω = J ⋅ ω ⋅ 

∆t

, lim ∆t →0

oder  M = J ⋅ ω

Bsp .1: Welches Drehmoment übt die Kraft F = 50 N bezüglich der Radachse auf das Rad aus, wenn der Punkt P 30 30 cm von der Achse entfernt ist? M = F ⋅ sin Θ ⋅ r = 50 ⋅ sin 15° ⋅ 0,3 Nm Nm = 3,88

Nm

Bsp.2 : Eine Masse m hängt hängt an einem masselosen Seil, das über eine Rolle mit Radius R und Masse M läuft. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung der Rolle und die tangentiale Beschleunigung eines Randpunktes. a) Dynamik:  M = J ⋅ ω

T ⋅ R =

1 2

, MR ⋅ ω 2

es ist

 = mRω  mg − T = ma t = mυ ) T = m( g − Rω

)= mR ( g − Rω

 = ω

1 2

2  MR ω

mgR

 M  + m  2 

=

R 2 

= 2 a t = R ⋅ ω

2mg

( M + 2m) R

m M + 2m

⋅g.

b) Wir zeigen, dass die Energieerhaltung gilt: 5




Angenommen, m fällt fällt aus der Ruhe um die Strecke y herunter: herunter: Energieänderung von m : ∆ E m, pot = − mgy

Die Geschwindigkeit ist υ = a ⋅ t , y =

υ =

1 2

2 y

 t =

at 2

a

2ay

∆ E m,kin =

1

m2

2

mυ = may = 2

2

M + 2m

∆ E m = ∆ E m, pot + ∆ E m,kin = −

g ⋅ y

mM M + 2m

gy

Energieänderung der Rolle: ∆ E R ,rot =

1 2

1

J ω 2 ,

J = MR 2 2

Die Winkelgeschwindigkeit ist  ⋅ t , ω = ω

ω =

2 y

t =

a

=

2 y

 R ⋅ ω

 2 yω

R

∆ E R ,rot = =

1 4

MR 2 ⋅

2 y

⋅

2mg

R ⋅ ( M + 2m ) R

mMyg M + 2m

 ∆ E ges = ∆ E m + ∆E R = 0 Def. des Drehimpulses L:

Der Drehimpuls L eines Massenpunktes bzgl. einer Drehachse ist definiert durch 





L = r × p 6

,








r ist ist der Abstand des Massenpunktes von der Drehachse, p = m ⋅ υ sein Impuls. Dann gilt weiter, auch für starre Körper: L = r ⋅ p t = mr υ t = mr 2ω = J ⋅ ω

Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße:  = J ⋅ M = J ⋅ ω

d ω dt

=

d dt

( J ⋅ ω ) ,

wenn es sich um einen starren Körper mit zeitlich konstantem Trägheitsmoment handelt.



M =

dL dt

Wenn an einem starren Körper kein resultierendes äußeres Drehmoment angreift, bleibt sein Drehimpuls konstant. Gegenüberstellung von linearen und Drehbewegungen

Lineare Bewegung

Drehbewegung

Ortsänderung

∆s

Drehwinkel

∆ϕ

Geschwindigkeit

υ

Winkelgeschwindigkeit

ω =

Beschleunigung

a=

Winkelbeschleunigung

 = ω

für a = konst :

d υ

dt υ = a ⋅ t + υ 0 s=

1

at 2 + υ 0 t + s 0

r d ω ω

dt  ⋅ t + ω 0 ω = ω

ϕ =

1

 t 2 + ω 0 t + ϕ 0 ω

Kraft

F

Drehmoment

2 M = r ⋅ F t

Masse

m

Trägheitsmoment

J = r 2 dm

Arbeit

dW = F ⋅ ds

Arbeit

dW = M ⋅ d ϕ

Kinetische Energie

E kin =

Rotationsenergie

E rot =

Leistung

Leistung

P = M ⋅ ω

Impuls

= F ⋅ υ dt p = m ⋅ υ

Drehimpuls

L = r ⋅ pt = J ⋅ ω

2. Newton’sches G.

F ext = m ⋅ a =

2. Newton’sches G.

 = M ext = J ⋅ ω

P=

2

 = konst : für ω

υ t

1 2

mυ 2

dW

dp dt



1 2

J ω 2

dL dt

B.4 Rollende Körper

7




Wir machen uns am Beispiel eines auf einer ebenen Fläche rollenden Rades mit Radius r , das nicht gleitet, die Rollbedingungen klar: Der Massenschwerpunkt des Rades bewegt sich mit υ S = r ⋅ ω

Damit gilt auch für die Beschleunigung: . a S = r ⋅ ω

Wenn sich das Rad um den Winkel Schwerpunkt um die Strecke s :

φ

(im Bogenmaß) dreht, bewegt sich der

s = r ⋅ φ

Die kinetische Energie eines Körpers lässt sich als Summe von zwei Teilen schreiben: 1. Kinetische Energie des Massenschwerpunktes: Massenschwerpunktes:

E kin, S =

2. Rotationsenergie bzgl. einer Drehachse durch den Schwerpunkt: E rot , S =

1 2 1 2

mυ S 2 2 J S ω

 kinetische Energie Energie eines rollenden Körpers: Körpers: E kin =

1 2

2

mυ S +

1 2

2

J S ω

Bsp .:.: Eine Kugel und ein Zylinder (mit gleicher Masse und Radius) liegen am oberen Ende einer schiefen Ebene. Beide beginnen gleichzeitig hinunterzurollen. Welcher Körper kommt zuerst unten an? Wir berechnen die Beschleunigung eines jeden Körpers. Methode a) mit Dynamik: Für den Schwerpunkt gilt in x –Richtung: F Re s = m ⋅ a S = mg sin φ − F R ,h : Außerdem gilt für die Winkelbeschleunigung ω  = F R , h ⋅ r . M = J S ⋅ ω

Und mit

8

 ⋅ r folgt: a S = ω



m ⋅ aS = mg sin φ −

 a S =

 J S ⋅ ω

r

= mg sin φ −

J S ⋅ aS 2

r

g sin φ J 1 + S 2 mr 5

Für die Kugel gilt daher:

a S , Kugel =

für den Zylinder:

a S , Zylinder =

Wegen


a S , Zylinder < a S , Kugel ist

7

g sin φ , 2 3

g sin φ .

die Kugel zuerst unten.

Methode b) mit Energiesatz: Im höchsten Punkt haben beide Körper die potentielle Energie E oben = mgh

Unten abgekommen haben sie diese potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt: E unten = E kin = mgh 1 2

1

mυ S 2 + J S ω 2 = mgh 2

Wegen υ S = ω ⋅ r ergibt sich hieraus υ S am unteren Ende der Ebene: υ S 2 =

2 gh 1+

J S mr 2

Da es sich um gleichmäßig beschleunigte Bewegungen Bewegungen handelt, ist υ S = a S ⋅ t und s =

 as =

υ S 2 2s

=

1 2

2

a S t

g h g sin ϕ ⋅ = J S s J S 1+ 1 + mr 2 mr 2

Übung B: Rotationen

9



Physik Kap.C Elektrostatik

C. Elektrostatik

Die Elektrostatik ist die Lehre von den Wirkungen ruhender elektrischer Ladungen. C.1 Elektrische Ladungen

Wenn wir verschiedene Materialien aneinander reiben, können wir feststellen, dass Körper, die vorher keine spürbare Kraft aufeinander ausübten, sich nun messbar anziehen oder abstoßen. Wir sagen, die Körper sind elektrisch geladen. Offensichtlich gibt es zwei Arten von Ladungen: Diese nennen wir „positiv“ und „negativ“. Wir stellen fest, dass sich gleichnamige Ladungen (gleiche Art der Ladung) gegenseitig abstoßen, ungleichnamige Ladungen (positiv und negativ) ziehen sich gegenseitig an. Bsp.: Der mit Seide geriebene geriebene Glasstab ist positiv geladen, (Definition!), der mit Fell geriebene Plastikstab ist negativ geladen. Die Ladungsmenge lässt sich mit einem Elektroskop sichtbar machen. Wenn man nun die Kraft misst, mit der sich zwei elektrisch geladene Körper abstoßen oder anziehen, so stellt man fest, dass die Kraft um so größer ist, je größer die Ladungen auf den Körpern sind (und zwar proportional), und dass die Kraft um so kleiner ist, je weiter die Körper voneinander entfernt sind (und zwar umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes): F el

∝

q1 ⋅ q2 r 2

,

qi sind die Ladungen der beiden Körper, r ist

ihr gegenseitiger Abstand.

Die Kraft ist abstoßend für q1 und sie ist anziehend für q1 ⋅ q2 < 0 .

q2

>

0 oder q1 und q2

<

0,

Für quantitative Messungen müssen wir die Einheit für die Ladung definieren: Die SI–Einheit für die elektrische Ladung ist das „Coulomb“:

[q] = C . Dieses ist aber eine abgeleitete Einheit. Die Basiseinheit im SI–System ist das Ampere, die Einheit für die elektrische Stromstärke: [ I ] = A .1 Der Zusammenhang lautet: ∆q =

 I dt

2

1

Def. des Ampere: Zwei parallele Drähte im Abstand 1 m, die in gleicher Richtung von einer Stromstärke von jeweils 1 A durchflossen werden, ziehen ziehen sich mit einer Kraft von 2 ⋅ 10−7 N an. 1




d.h. 1 C ist die Ladungsmenge, die bei einer Stromstärke von 1 A in 1 s durch einen beliebigen Querschnitt fließt. (Andersherum: Die Stromstärke gibt an, wieviel Ladung pro Zeit durch einen Querschnitt fließt.) Nun kommen wir zum quantitativen Zusammenhang der elektrischen Kraft, auch „Coulomb-Kraft“ genannt: F Coul

1

=

⋅

4πε 0

q1q2 r 2

.

Dieser Zusammenhang gilt genau genommen nur für Punktladungen. Bei ausgedehnten geladenen Körpern verschieben sich die elektrischen Ladungen wegen der gegenseitigen Kräfte auf der Oberfläche der Körper („Influenz“), so dass der Ladungsmittelpunkt in der Regel nicht im geometrischen Mittelpunkt liegt. Der Proportionalitätsfaktor

1 4πε 0

sieht umständlich aus, hat sich aber eingebürgert.

Quantitative Messungen haben für die „elektrische Feldkonstante“ ε 0 = 8,8542 ⋅ 10

−12

ε 0 den

Wert

As Vm

ergeben. Die Einheit 1 V (= ein Volt) ist die Einheit der Spannung. Auch 1 V ist eine abgeleitete SI–Einheit: 1 V = 1

W A

=1

J As

.

In unserem heutigen physikalischen Weltbild gibt es für frei vorkommende Ladungen eine kleinste, die so genannte „Elementarladung“ e : e = 1,6022 ⋅ 10 19 C . −

Erhaltung der Ladung: Elektrische Ladung kann nicht aus dem Nichts erzeugt werden. Sie kann auch nicht vernichtet werden. Eine positive und eine negative Elementarladung neutralisieren sich jedoch zur Gesamtladung null. In unseren Versuchen zur Coulomb–Kraft verschieben wir in ursprünglich elektrisch neutralen Körpern lediglich Ladungsträger, so dass es hinterher Bereiche mit negativem Ladungsüberschuss und andere Bereiche mit positivem Ladungsüberschuss gibt. Bsp.: In der Ebene Ebene befinden sich drei punktförmige elektrisch geladene Teilchen: q1 = −1 ⋅ 10 6 C , q2 = 3 ⋅ 10 6 C , q3 = −2 ⋅ 10 6 C , r 12 = 15 cm , r 13 = 10 cm , Θ = 30° . Welche Kraft wirkt auf q1 (Betrag und Richtung)? −

−

2

2

I = konst.: q = I ⋅ t .

−




F 12

=

F 1 x

=

1 4πε 0 F 12

+

q1q2

F 13

= 1,8 N

.

F 13 sin Θ = 2,1 N , F 1 y

= − F 13

cos Θ = −1,6 N .

⋅

r 12

 F 1 = F 1 x2

2

+

= 1,2

N,

F 1 y = 2,6 N , 2

α =

arctan

F 1 y F 1 x

= −36,6°

.

= Winkel zwischen x –Achse und gesuchter Kraft. Kraft. C.2 Das elektrische Feld

Wie kann es möglich sein, dass (weit) entfernte Teilchen Kräfte aufeinander ausüben? Wir sprechen hier von einem „elektrischen Feld“, das sich zwischen den Teilchen und auch im Raum um den Teilchen aufbaut. Dieses Feld ist der „Kraftüberträger“. Wir veranschaulichen uns das elektrische Feld als „Kraftlinien“. Bereits eine einzelne Ladung erzeugt ein elektrisches Feld um sich herum! Bringen wir eine Probeladung q in dieses Feld, so erfährt sie eine Kraft Kraf t F . 

Def.: Die elektrische Feldstärke E in einem Punkt des Raumes ist definiert als die 

Kraft pro Ladung, die eine Probeladung an dieser Stelle erfahren würde: 



E =

q

>

F e q

,

0.

Die Richtung der Feldstärke zeigt in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung. Wir erkennen, dass die Feldlinien von ⊕ nach laufen. Wenn wir Feldlinienbilder skizzieren, veranschaulichen wir ein starkes Feld durch eng liegende Feldlinien, bei schwacher Feldstärke liegen die Linien weiter auseinander.3 Feldlinien für eine unendlich große positiv geladene Platte

Feldlinien für eine negativ geladene Kugel

Frage: Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Abstand r von von einer punktförmigen Ladung? Bsp.: Zwei Zwei Ladungen q1 = 1 ⋅ 10 6 C und q2 = 2 ⋅ 10 6 C befinden sich 10 cm voneinander entfernt. An welcher Stelle auf der Verbindungslinie der beiden Ladungen ist die elektrische Feldstärke gleich null? −

3

−

„Viele Seile ziehen stärker als ein Seil“. 3


Abstand von q1 x 2

=

q2

(d − x )2

q1 (d 2

q1 := x : Dort muss gelten E 1 + E 2 

,

− 2dx + x

=

=

0. 



=

d = 10 cm . 2

)= q

2

x2 ,

(q1 − q2 ) x 2 − 2 q1dx + q1d 2 x1 / 2



=

0,

(q 2 − q1 )q1d 2 2(q1 − q 2 )

2q1 d ± 4q12 d 2

d ⋅

q1

±

q1

q1 q 2 − q2

+4

(

= ±

)

2 − 1 ⋅ d

[= −24 cm; ]

. =

4,14 cm

Was ist mit der anderen Lösung? Bsp.: Eine Eine positive Probeladung q0 befindet sich genau in der Mitte zwischen zwei identischen positiven Ladungen q . Welche Kraft wirkt auf die Probeladung? Ist das Gleichgewicht stabil oder instabil? Wie sieht das für eine negative Probeladung aus? Gauß’scher Satz

Für besondere Ladungsanordnungen mit speziellen Symmetrieeigenschaften kann man die elektrische Feldstärke nach dem Gauß’schen Satz ohne Integral berechnen. Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein: Finde eine geschlossene Oberfläche, die von den Linien der elektrischen elektrischen Feldstärke entweder a) überall senkrecht senkrecht durchstoßen wird, oder b) in manchen Bereichen genau senkrecht durchstoßen wird, und in den übrigen Bereichen die Feldlinien enthält. • Dort, wo die elektrischen Feldstärkevektoren die Fläche senkrecht durchstoßen, muss überall die gleiche elektrische Feldstärke herrschen (Symmetrie), ansonsten müssen wir doch integrieren. •

Dann gilt: E =

Dabei ist

Q ε 0 ⋅ A

Gauß’scher Satz

die Feldstärke an der Stelle der Hüllfläche, E steht ⊥ auf der Fläche A. ist die von der geschlossenen geschlossenen Hüllfläche eingeschlossene Ladung. 

E Q

ε 0 = 8,8542 ⋅ 10

A

−12

As Vm

el. Feldkonstante

geschlossene Hüllfläche, schließt Q ein; es geht nur der Teil der Fläche in die Formel ein, die von den elektrischen Feldlinien senkrecht durchstoßen wird!

4




Bsp.1: Bsp.1: Mit Q elektrisch elektrisch aufgeladene geladene Kugel: Lege als Hüllfläche eine Kugelschale im Abstand r konzentrisch konzentrisch um die geladene Kugel. Dann ist E ( r ) =

Q

Q

=

ε 0 ⋅ A

2

Q

=

ε 0 ⋅ 4π r

2

4πε 0 r

(vgl. Frage S. 3) Bsp.2:Mit Bsp.2: Mit Q elektrisch elektrisch aufgeladene große Metallplatte: Lege als Hüllfläche einen Quader symmetrisch um die Platte: E ( r ) =

Q ε 0 ⋅ 2 A

Übung C.1+C.2:

Q

,

A

ist die Flächenladungsdichte auf der Platte.

elektrische Ladung, Coulombgesetz, el. Feld. Feld.

C.3 Das elektrische Potential

Wir haben gesehen, dass im elektrischen Feld eine Kraft auf eine positive Probeladung q0 wirkt: F E = E ⋅ q0 . 



Wenn wir die Ladung q0 gegen diese Kraft unbeschleunigt von A nach B verschieben wollen, müssen wir an der Ladung Arbeit verrichten:



E A

B



A

 F d s , mit F = −q 

W el

=





0



.

⋅ E





W el

=

 

F ⋅ s



= − q0 ⋅ E ⋅ s

Ist nun noch W el

=

F ⋅ s

F || s , 



B

s

Ist die Feldstärke E überall gleich, so ist auch 

F

F konstant: 

.

so gilt:

= − q0 ⋅ E ⋅ s ⋅ cos 180° =

q0 ⋅ E ⋅ s .

Wenn wir unsere Kraft „abschalten“, wird unsere Probeladung von der Kraft des elektrischen Feldes beschleunigt und „fällt“ zurück. Dabei gewinnt sie kinetische

5




Energie.4 Wir sagen daher, dass wir durch unsere Arbeit W el die potentielle Energie E pot,el pot,el der Ladung q0 im Feld E erhöht haben: 5 W el = ∆ E pot,el pot,el. Auch hier (wie in der Mechanik) ist ∆ E pot,el pot,el zwischen den Punkten A und B unabhängig vom Weg, denn nur die Wegstücke mit F || d s tragen zur verrichteten Arbeit bei; für F ⊥d s ist W el = 0 ! 









Wir finden nun eine dritte Möglichkeit, die Kraftwirkung der Elektrostatik zu beschreiben: 1. Möglichkeit: Coulombkraft:

F Coul . 



2. Möglichkeit: Elektrisches Feld: E = 

F q0

.

Vorteil: Unabhängig

von

der

Probeladung. 3. Möglichkeit: Elektrisches Potential ϕ . Def. des elektrischen Potentials

Vorteil: Skalare Größe (kein Vektor!).

ϕ : ∆ϕ =

∆ pot,el

q0

:

Die Differenz des elektrischen Potentials zwischen zwei Punkten A und B ist ist die Änderung der potentiellen Energie pro Ladung bei Verschieben der Ladung von A nach B . ( q0 > 0 .) Legt man den Ort O fest, fest, für den berechnen6: ϕ P =

ϕ P kann

1 q0

⋅∆

ϕ O =

0 gilt,

E pot,el (O, P ) =

1 q0

so lässt sich

ϕ P für

P

⋅



alle anderen Orte P

P



−

q0 ⋅ E d s = 

−

O



E d s . 



O

positiv oder negativ sein.

Alle Orte mit ϕ = konst. liegen auf einer „Äquipotentialfläche“. Potential um eine Punktladung q : Konvention: ϕ = 0 für r → ∞ .

B

+



A +

+



d s 4

E kin ( A)

5

Vgl. ∆ E pot in der Mechanik Kap.8 S. 3

6

Häufig wird dieser Ort auf die Er de gelegt. Bei einzelnen Punktladungen wählt man in der Regel ϕ = 0 für

r → ∞ . 6

= W el .

E

Dr. Karin Olt ©K. Olt, 2009 r

r

1

q

 E d s = −  4πε 

ϕ ( r ) = −





∞

0

∞

r

q

= −

dr

 r

2

4πε 0

(

q

=−

q  1  r = ∞  r  4πε 0 r

⋅ −

4πε 0

∞

)

⋅ − dr ⋅ cos 180°

2

r

Bsp.: Eine Eine ebene kreisrunde Scheibe mit Radius a sei elektrische geladen mit der Ladungsdichte σ (= Ladung pro Fläche). Wie groß ist das elektrische Potential für einen beliebigen Punkt P auf der Achse der Scheibe im Abstand r vom vom Scheibenmittelpunkt? Ein Punkt auf der Scheibe im Abstand y vom vom Mittelpunkt liefert im Punkt P das das Potential *

d ϕ

dq

=

* 2

4πε 0 ⋅ r

+

y

,

2

dq * ist

die Ladung in einem Flächenelement.

Der ganze Ring mit Radius y liefert liefert dann das Potential d ϕ =

dq

4πε 0 ⋅ r 2

+

y

,

2

dq ist nun die Ladung im Kreisring der Fläche dy ⋅ 2π y : dq = σ ⋅ 2 ydy .

Die Beiträge aller Ringe sind nun aufzusummieren ( Integral): a

ϕ ( r ) =

 y =0

=

σ ⋅ 2π ydy

4πε 0

σ

2ε 0

r 2 + a 2



2

r

2

r

+ y

dz

2 z

=

a

σ

=



2ε 0

2

σ

2ε 0

⋅

ydy 2

r

0

[ z ]

Def. der elektrischen Spannung

2

r

+a

r 2

2

+ y

Substitution:

2

.

σ

=

2ε 0

⋅

[

r 2

+

a2

−

]

z = r 2 + y 2 dz = 2 ydy

r

U :

Die elektrische Spannung U zwischen zwischen zwei Punkten A und B ist ist definiert als die Differenz des elektrischen Potentials in diesen beiden Punkten: B

U = ϕ B

− ϕ A = −



A 

E d s



− (−

O

Für E = konst. und geraden Weg ist: 



B 

E d s ) = 

O

−





E d s = 

A

 

U = − E ⋅ s

W el ( A, B ) q0

.

.

Einheit von elektrischer Spannung und elektrischem Potential: 7




[U ] = [ϕ ] =

J C

=

J As

= “1 Volt“.

:= V

Die Einheit der elektrischen Feldstärke E lässt sich folglich f olglich auch ausdrücken durch 

[ E ] =

N C

=

V m

.(nachweisen!)

Bsp.: Eine Eine kleine Kugel mit Radius r hängt hängt innerhalb einer großen Hohlkugel mit Radius R (beides Leiter). Leiter). Die Kugeln tragen die Ladungen q bzw. bzw. Q . Wie groß ist die Spannung zwischen den beiden Kugeln? Vorbemerkung: Die Ladung Q der Hohlkugel sitzt auf der Außenseite der Kugel (Abstoßung zwischen den Ladungsträgern). Innerhalb der Hohlkugel kann sich kein elektrisches Feld aufbauen, da Feldlinien immer von einer positiven Ladung zu einer negativen Ladung laufen. Im Beispiel ist die Ursache des elektrischen Feldes im Inneren der Hohlkugel daher alleine die kleine Kugel mit der Ladung q und der Feldstärke E ( s ) =

q 7 . Damit wird 4πε 0 s 2

1

R

U = ∆ϕ = ϕ R

− ϕ r = −





E d s

r

 Für



=−

R

q

4πε 0

ds

s r

2

q

=

4πε 0

q 1 R =  s  r 4πε 0

 1   R

−

1 

 < 0.

r 

q>0 ist ist ϕ r > ϕ R für alle Q.

C.4 Kondensatoren Def.: Ein Kondensator besteht aus zwei isolierten Leitern, die dieselbe aber

entgegengesetzte Ladung q bzw. bzw. –q tragen. tragen.8

Def. der Kapazität C eines Kondensators:

Die Spannung U zwischen den beiden Leitern ist proportional zur Ladung q : q = C ⋅ U

.

Wegen q = C ⋅ U gibt die Kapazität an, wie viel Ladung q bei vorgegebener Spannung U auf die beiden Leiter fließt.

7

Die Ladung q induziert auf der Hohlkugel weitere Ladungstrennung: - q auf der Innenseite und + q zusätzlich auf der Außenseite. 8 Die Form der Leiter ist grundsätzlich egal. Bevorzugt werden wir uns aber mit Plattenkondensatoren beschäftigen. Gebräuchlich sind auch Zylinderkondensatoren und Kugelkondensatoren. 8




Einheit: [C ] =

C V

:= 1F

= „1 Farad“.

In der Praxis sind die Einheiten µF, nF, pF gebräuchlich. Kapazität eines Plattenkondensators der Fläche A (einer Platte!) und Plattenabstand d : C =

q U

.

Aus dem Abschnitt elektrische Spannung (s. S. 7) wissen wir, dass U = −  E d s = E ⋅ d . 



Die Ladung auf jeder Platte ist proportional zur Plattenfläche A und zur elektrischen Feldstärke E : q ∝ E ⋅ A . Es stellt sich heraus, dass gerade gilt: (s. Gauß’scher Satz) ε 0 ist wiederum die elektrische Feldkonstante.

q

= ε 0 ⋅ E ⋅ A

.9

Daraus folgt für die Kapazität C : C =

ε 0 ⋅ E ⋅ A

E ⋅ d

= ε 0 ⋅

A d

für den

Plattenkondensator.10 Bsp.:Reihenschaltung Bsp.: Reihenschaltung von Kondensatoren: Welche Kapazität hat der Ersatzkondensator (das ist ein Kondensator, der die drei einzelnen ersetzt und dieselbe Wirkung hat)? Die Spannung liegt an den äußeren Platten an. Durch Influenz werden auf den beiden mittleren Leiterstücken die Ladungen verschoben (s. gestrichelter Rahmen), insgesamt sind diese neutral. Es gilt:

9

U 1

,

+ U 2 + U 3 = U

Für die geladene Kugel wissen wir: E Kugel =

1

q 2

4πε 0 r

2

.  q = ε 0 ⋅ E ⋅ 4π r = ε 0 ⋅ E ⋅ A .

10

Tatsächlich wurde ε 0 nicht über die Coulombkraft gemessen, sondern über Kapazitäten von Kondensatoren:

ε 0 =

d q ⋅

.

A U 9



q

q

+

C 1

C 2



1

q

+

C 3 =

C ges <

C ges

q

= U =

1

+

C 1

1

C ges

1

+

C 2

C 3


,

usw. für mehrere Kapazitäten in Reihe.

C min !

Im E − Feld eines Kondensators gespeicherte Energie: 

Es kostet Arbeit, das elektrische Feld im Kondensator zu erzeugen. Dazu müssen Ladungen dq von der einen zur anderen Platte gebracht werden. Dies geschieht gegen die Kraft des elektrischen Feldes: 

dW el

=

 

F ⋅ s

E E = W el 

=



= − dq ⋅ E ⋅ s =



q

U ⋅ dq =

q

 C

dq ⋅ E ⋅ d = dq ⋅ U ,

1 q2

dq=

=

2 C

0

1 2

CU 2 .

Die Energiedichte (Energie/Volumen) im elektrischen Feld ist dann E E 

V

=

e E =

E E 

=



A ⋅ d

1 CU 2 ⋅ ε 0 2

2 C ⋅ d

=

ε 0

2

E 2

E = el. Feldstärk e .

Diese Beziehung gilt allgemein für jedes elektrische Feld! Bsp.: Ein Ein Kondensator der Kapazität C 1 wird bis zur Spannung U 0 aufgeladen. Dann wird die Spannungsquelle entfernt. Nun wird durch Schließen des Schalters S ein zweiter Kondensator C 2 am ersten angeschlossen. a) Welche Spannung stellt sich an diesem System ein? Die oberen und unteren Platten sind leitend verbunden. Sie liegen daher jeweils auf demselben Potential, die Ladung q0 verteilt sich auf die beiden Platten: q0 = q1 + q2 : q0

=

q1

+

 U =

q2

=

(C 1

q0 C 1 + C 2

+ C 2 ) ⋅ U

=

C 1 ⋅ U 0 C 1 + C 2

=

C 1 C 1 + C 2

⋅ U 0

b) Wie groß sind die gespeicherten Energien vor und nach Umlegen des Schalters? 10




Vorher:

 E v =

1 q02



2 C 1

.

Nachher: 1

 E n = 

2

U (C 1 2

)

+ C 2 =

1 2

(C 1 + C 2 )

C 12

(C 1 + C 2 )

2

Die Energie geht in Wärme elektromagnetische Wellen über.

2 0

U

=

1

q02

2 (C 1

+ C 2

(ohmscher

)

C 1

=

⋅  E v <  E v ! 

C 1

+ C 2

Widerstand)

und



in

Dielektrika: Ein Dielektrikum ist ein isolierender Stoff. Führt man in einen Plattenkondensator ein Dielektrikum ein, a) so erhöht sich bei angeschlossener konstanter Spannung die Ladung q auf den Platten. D.h. die Kapazität C D des Kondensators mit Dielektrikum ist größer als C ε r > 1 . ε r heißt „Dielektrizitätskonstante“. Sie ohne Dielektrikum: C D = ε r ⋅ C , ist dimensionslos. b) Trennt man vor Einbringen des Dielektrikums die Spannungsquelle Spannungsquelle vom Kondensator ab und hält somit q konstant, so sinkt die Spannung des Kondensators beim Einbringen des Dielektrikums: q

=

C ⋅ U = C D ⋅ U D

oder U D

=

U

< U

= ε r ⋅ C ⋅ U D



ε r ⋅ U D = U

.

ε r

Ausgewählte Werte für Dielektrizitätskonstanten: Dielektrikum

ε r

Dielektrikum

ε r

Vakuum Luft Papier Gummi Styropor Glas

1 1,00058 3,5 2,5–3,5 2,6 5–10

Porzellan Aceton Äthylalkohol Glycerin Wasser Keramiken

6,5 21 25,8 41 78 >100

Bsp.: Gegeben Gegeben sei ein Plattenkondensator der Fläche A und Plattenabstand d . Er wird auf die Spannung U 0 aufgeladen. Die Spannungsquelle wird anschließend entfernt. Nun wird ein Dielektrikum der Dicke d in in den Kondensator eingeführt. Berechnen Sie die im elektrischen Feld gespeicherte Energie mit und ohne Dielektrikum. Gibt es einen Unterschied?

11


Vorher:



 E v =

1



Nachher:  E n 

=

2 1 2

2

CU 0 =

2 D

C DU

1 2

=

ε 0 ⋅

A d

1 CU 02 2 ε r

2

⋅ U 0

=

. 1

 E v <  E v 

ε r



!

Das Dielektrikum wird in den Kondensator hineingezogen (der Experimentator muss es bremsen!). Es „fällt“ hinein aufgrund von Anziehungskräften zwischen den Ladungen auf den Platten und den induzierten Ladungsverschiebungen im Dielektrikum. Übung C.3+C.4:

12

Spannung und Kondensatoren

Physik



Aufgaben zu Kap. 1.2 Größen und Einheiten:

1.

Wie groß ist der Erdumfang? ( r = 6370 km)

2.

a)

Wieviele Atome befinden sich in 1 g Kohlenstoff

b)

(Avogadrokonstante

{ 5,02 ⋅ 10 22 } Wie lange dauert es, diese Teilchen zu zählen, wenn ich pro Teilchen 1 Sekunde brauche? { 5,02 ⋅ 10 22 s = 1,59 ⋅ 1015 a = 100000 ⋅ Alter des Universums} Wenn 5 Milliarden Menschen gleichzeitig zählen, wie lange dauert es dann? { 3,18 ⋅ 10 5 a} N A

a)

C 12 ?

=

23

6,02 ⋅ 10 , das ist die Anzahl der Teilchen in 1 mol.)

3.

Wie dick ist die Gummischicht, die während einer Autofahrt von 1 km von dem Autoreifen im Mittel abgerieben wird? Annahmen: Ein neuer Reifen hat 1 cm Profiltiefe, nach 60000 km km ist er abgefahren, hat also kein Profil mehr. {0,2µm}

4.

Was a) b) c) d)

ergibt 1,040 + 0,21342 1,58 ⋅ 0,03

1,4+2,53 2,34 ⋅ 10

2

+

4,93 ?

{1,253} {0,05} {3,9} {239}


Physik


Aufgaben zu Kap 2.3 Kraft:

2. Newton: 1.

Eine gegebene Kraft erzeugt bei Anwendung auf die Standardmasse von m1 1 kg eine Beschleunigung von 5 m/s². Wenn dieselbe Kraft auf einen Karton der Masse m2 angewendet wird, beträgt die Beschleunigung 11 m/s². Beide Körper sollen auf einer glatten Unterlage gleiten. a) Wie groß ist die Masse des Kartons? {0,5 kg} b) Wie groß ist die Kraft? {5 N}

2.

Eine Kraft von von 3 N bewirkt bei Anwendung Anwendung auf einen einen Körper unbekannter Masse eine Beschleunigung von 2 m/s². c) Wie groß ist die Masse des Körpers? {1,5 kg} d) Wie groß groß ist seine seine Beschleunigung, Beschleunigung, wenn wenn man die Kraft auf auf 4 N erhöht?{2,67 m/s²}

=

Federkonstante: 3.

Ein 110 110 kg schwerer Basketballspieler hängt regungslos am Rand Rand eines eines Basketballkorbes. Der vordere Rand wird durch das Gewicht 15 cm nach unten gebogen. Wir nähern den Rand durch eine Feder an und berechnen die Federkonstante. {7190 N/m}

4.

Ein 4 kg Beutel Bananen hängt ruhig an einer Federwaage Federwaage mit der Federkonstante D 300 N/m. Wie weit ist die Feder gedehnt? {13,1 cm} =

5.

Eine Feder mit der Federkonstante 400 N/m ist an an einem 3 kg Block befestigt, der auf einer horizontalen Druckluftunterlage liegt, so dass die Bodenreibung vernachlässigbar klein ist. Wie weit muss die Feder gedehnt werden, um den Block mit 4 m/s² zu beschleunigen? {3,0 cm}

Kräftegleichgewicht: 6.

Ein Bild mit einem einem Gewicht Gewicht von 8 N wird von zwei Drähten gehalten, gehalten, die mit der Horizontalen Horizont alen 60° bzw. 30° einschließen. einschl ießen. Wie W ie groß sind die di e Zugkräfte Zugkräft e in den Drähten? {6,93 N, 4 N}

7.

Ein Pferd Pferd weigert weigert sich, sich, einen einen Wagen zu zu ziehen ziehen und überlegt sich: „Aus dem dritten Newton’schen Axiom folgt, dass für jede Kraft, die ich auf den Wagen ausübe, der Wagen auf mich eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft ausübt. Damit ist die Gesamtkraft gleich null und ich werde den Wagen niemals beschleunigen können.“ Welchen Denkfehler hat das Pferd gemacht?“ Skizzen: a) Kräfte am Wagen b) Kräfte am Pferd, c) Kräfte am Pflaster


Physik


Aufgaben zu Kap. 2.4 Flaschenzüge:

Herr Listig (F L = 1000 N) fordert Opa Schlaumeier (F S = 600 N) zu einem Flaschenzugduell heraus. Wer gewinnt das Duell, wenn jeder seine Gewichtskraft als Zugkraft einsetzt? Reibung und Rollengewicht sind zu vernachlässigen.

Ein Affe (30 kg) hängt, wie auf dem Bild zu sehen, an einer losen Rolle, die über zwei feste Rollen mit einem Korb voller Bananen verbunden ist. Es herrscht Gleichgewicht. Der Affe nimmt nun eine Banane (150 g) aus dem Korb, die ihm allerdings dann herunterfällt. Als der Korb beginnt, sich nach oben zu bewegen, hält der Affe ihn fest und nimmt sich noch eine Banane. Diesmal gelingt es ihm, sie zu essen. Mit welcher Kraft muss der Affe den Korb jetzt festhalten?


Physik



Physik Aufgaben zu Kap. 3.1: Massenschwerpunkt


Aufgaben zuKap.3.1 Massenschwerpunkt: Massenschwerpunkt:

3.1 Ein Wassermolekül besteht aus einem Sauerstoffatom und zwei Wasserstoffatomen. Ein Sauerstoffatom hat die Masse 16 u (16 atomare Masseneinheiten), ein Wasserstoff die Masse 1 u. Die Wasserstoffatome haben einen Abstand von 96 pm (1 pm 10 12 m) vom Sauerstoffatom und bilden mit ihm einen Winkel von 104,5°. 104,5°. Berechnen Sie S ie die Lage des Schwerpunkte Schwe rpunktes s in dem Wassermolekül. {6,6 pm} =

3.2 Berechnen

Sie

Sperrholzplatte.

den

Schwerpunkt

der

−

homogenen  0,433   m} {  0 , 233  



Physik Aufgaben zu Kap. 3.4: Statik

Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zuKap.3.4 Statik:

3.1: Eine gleichförmige Bohle mit der Länge l = 3 m und der Masse m B = 35 kg liegt auf zwei Waagen, die sich jeweils in der Entfernung d = 0,5 m vom Ende der Bohle der befinden. a) Welche Kraft Kraft zeigen zeigen die Waagen an, wenn sich eine eine Studentin Studentin der Masse m = 45 kg auf das linke Ende der Bohle stellt? {61,3 N, 723,5 N} b) Ein Student Student stellt stellt sich nun a auf uf das linke Ende der Bohle, Bohle, dabei dabei zeigt zeigt die rechte Waage gerade die Kraft 0 an. Welche Masse hat der Student? {70 kg}

3.2: Sie halten ein Massestück der Masse 6 kg in der Hand. Ihr Unterarm bildet dabei mit dem Oberarm einen rechten Winkel. Nehmen Sie Ihren Unterarm plus Hand als einen Stab der Länge 30 cm und der Masse 1 kg an. a) Berechnen Sie die Kraft F B Ihres Bizeps (Muskel), der 3,4 cm vor dem Drehpunkt O im im Ellbogengelenk angreift. {563 N} b) Welche Kraft F A übt Ihr Oberarm auf das Ellbogengelenk aus und in welcher Richtung? {494 N abwärts}

3.3 Ein Ladenschild der Masse m = 20 kg soll an einem Ausleger befestigt werden. Der Stab des Auslegers ist 2 m lang und hat die Masse m0 = 4 kg. Der Draht, der den Ausleger am Herunterkippen hindert, ist 1 m über dem Stab an der Wand befestigt. a) Wie groß ist die Kraft im Draht? {483 N} b) Welche Kraft übt der Stab auf die Wand aus? {432 N gegen die Wand, 19,2 N nach unten}

3.4 Ein Rad der Masse m und mit Radius r steht auf einer horizontalen Unterlage und stößt an eine Kante der Höhe h ( h < r ). Das Rad soll mit einer horizontal an der Achse angreifenden Kraft F über über die Kante gezogen werden. Wie groß muss F mindestens sein?

{

h(2r − h ) r − h

mg }


Physik Aufgaben zu Kap. 3.4: Statik

3.5 Eine 5 m lange Leiter mit gleichmäßiger Massenverteilung lehnt gegen eine reibungsfreie Wand. Die Leiter wiegt 60 N. Das untere Ende der Leiter ist 3 m von der Wand entfernt. Welche Kraft übt der Boden auf die Leiter aus? {60 N nach oben, 22,5 N zu Wand}

3.6 Die 60 cm lange Stange hat ein Gewicht von 12 N. Das zweite Gewicht mit G2 = 21 N hängt in in 20 cm cm Entfernung Entfernung vom Drehpunkt D an der Stange. Wie groß muss G1 sein, damit das System im Gleichgewicht ist? Das Gewicht der losen Rollen kann vernachlässigt werden.



Physik Aufgaben zu Kap.4 Kinematik


Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Kap.4: Kinematik : Kap. 4.1: Gleichförmige Bewegung: 4.1 a) Ein Komet Komet bewegt bewegt sich sich auf auf die Sonne zu. Er wird wird erstmals in einer einer Entfernung 12 x A = 3 ⋅ 10 m von der Sonne entdeckt. Genau ein Jahr danach wird er bei x E

=

12

2,1 ⋅ 10 m Entfernung von der Sonne gesichtet. Berechnen Sie seine

Verschiebung und seine mittlere Geschwindigkeit. { − 9 ⋅ 10 m; – 28,5 km/s} Ein Flugzeug verlässt den Flughafen Flughafen in Frankfurt Frankfurt um 14:15 Uhr. Seine mittlere Geschwindigkeit beträgt 500 km/h. Wann landet es in dem 460 km entfernten Hamburg? 11

b)

4.2 Normalerweise benötigt Ihr Zug für die 30 km von Frankfurt nach Darmstadt 20 Minuten. Sie kommen planmäßig 15 Minuten vor Unterrichtsbeginn im Studienkolleg an. Heute gibt es eine Signalstörung. Dadurch kann Ihr Zug auf den ersten 12 km nur 60 km/h fahren. Kommen Sie zu spät? 4.3 Ein Läufer läuft 100 m in 12 s, wendet dann und joggt 50 m dieser Strecke in 30 s zurück. Berechnen Sie 

∆s

a)

seine mittlere Geschwindigkeit

b)

seinen mittleren Geschwindigkeitsbetrag



υ

=

∆t

,

{50 m / 42 s; 150 m / 42 s}



υ

=

∆s ∆t

.

4.4 Zwei Züge sind 75 km voneinander entfernt und fahren mit jeweils 15 km/h aufeinander zu. Ein Vogel fliegt mit 20 km/h ständig zwischen beiden Zügen hin und her, bis sie sich schließlich treffen. Wie weit ist der Vogel dann geflogen? {50km} 4.5 Der Ort eines Teilchens als Funktion der Zeit ist in der Abbildung aufgetragen. Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt 2 s? Wann ist die Geschwindigkeit am größten? Wann ist sie null? Ist sie irgendwann negativ?




4.6 Ein Segelboot besitzt zum Zeitpunkt t 1 die Koordinaten ( x1 | y1 ) = (110 m | 218 m ) . Nach 2 min besitzt es die Koordinaten ( x 2 | y 2 ) = (130 m | 205 m) . Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Bootes während dieser 2 Minuten. Sowohl in Komponenten als  0,167  m auch nach Betrag und Richtung. { m /s; -33°} -33°}  − 0,108  s ; 0,199 m/s;   4.7 Ein Pilot soll mit seinem Flugzeug genau nach nach Norden fliegen. Das Flugzeug hat gegenüber der Luft eine Geschwindigkeit von 200 km/h; es weht ein Westwind W estwind von 90 km/h. a) In welche Richtung muss der Pilot steuern? b) Wie schnell fliegt das Flugzeug relativ zum Boden?




Kap. 4.2: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

4.8 Der Gepard kann in nur 2 s von 0 auf 96 km/h beschleunigen. Die Corvette, eines der leistungsstärksten Autos, braucht von 0 auf 100 km/h 3,9 s. (Es gibt aber noch stärkere.) Berechnen Sie für beide die mittlere Beschleunigung und vergleichen Sie sie mit der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s². {13,3 m/s²0} 4.9 Ein Auto fährt aus dem Stand mit der konstanten Beschleunigung 8 m/s² an. a) Wie schnell ist es nach 10 s? {80 m/s} b) Wie weit ist es dann gefahren? {400 m} c) Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit in diesen ersten 10 s? {40 m/s} 4.10 Der Ort eines Teilchens ist durch die Funktion s = C ⋅ t 3 gegeben, wobei C eine Konstante mit der Maßeinheit m/s³ ist. Gesucht sind die Geschwindigkeit und die Beschleunigung als Funktion der Zeit. 4.11 Ein Auto bremst mit einer konstanten Verzögerung (Beschleunigung, die das Tempo verringert) von 5 m/s². Wie lang ist der Bremsweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von a) 15 m/s {22,5 m} b) 30 m/s? {90 m} 4.12 a) b)

Wie lange dauert der Bremsvorgang aus Aufgabe 4.11 b)? Wie weit fährt es in der letzten Sekunde vor dem Stillstand?

{6 s} {2,5 m}

4.13 Bei einem Crash-Test trifft ein Auto mit 100 km/h auf eine Betonmauer. Wie groß ist die Beschleunigung, wenn die Motorhaube um 75 cm zusammengequetscht wird? {-500 m/s², Menschen können nur bis zu 10 g heil überstehen.} 4.14 Ein Elektron in einer Kathodenstrahlröhre (z.B. alter Fernseher) wird aus der Ruhe 0,15 µs mit einer konstanten Beschleunigung von 5,33 ⋅ 1012 m

s

2

beschleunigt.

Anschließend fliegt es 0,2 µs mit konstanter Geschwindigkeit und wird daraufhin mit 13

− 2,67 ⋅ 10

m s

2

bis zum Stillstand abgebremst. Wie weit fliegt das Elektron?

{23,2 cm}




4.15 Ein Auto fährt mit 25 m/s durch die verkehrsberuhigte Zone vor einer Schule. Ein Polizeiwagen beschleunigt mit 5 m/s² aus dem Stand, als der Raser an ihm vorbeifährt. a) Wann holt die Polizei den Raser ein? {10 s} b) Wie schnell fährt der Polizeiwagen in dem Moment, als er den Raser überholt? {50 m/s} c) Wie weit sind dann beide Autos gefahren? {250 m} 4.16 d)

Wie schnell fährt der Polizeiwagen, wenn er noch 25 m hinter dem Raser ist? {(5,64 m/s); 44,4 m/s}


Physik Aufgaben zu Kap.5.1 Freier Fall


Kap. 5.1: freier Fall 5.1 Ein Stein wird senkrecht fallengelassen (aus der Ruhe heraus). Wie groß ist seine Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt?

5.2 Ein Stein wird mit m it der Anfangsgeschwindigkeit υ 0 15 m/s senkrecht hochgeworfen. a) Wie lange dauert es, bis der Stein seinen höchsten Punkt erreicht? {1,5 s} b) Wie hoch ist er dann? {11 m} c) Nach welcher Gesamtzeit ist er wieder unten? {3 s} Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen. =

5.3 Bei einem Konzert klettert Johannes auf einen Baum, um die Sänger besser sehen zu können. Leider hat er sein Fernglas vergessen. Martina wirft es ihm hoch; allerdings wirft sie zu fest. Es fliegt nach 0,69 s beim Steigen, und weitere 1,68 s später beim Fallen an Johannes’ ausgestrecktem Arm vorbei. a) Wie hoch sitzt Johannes? {8,02 m} b) Welche Anfangsgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit hatte das Fernglas? {15 m/s} c) Mit welcher Geschwindigkeit fällt es an Johannes’ Arm vorbei? {-8,24 m/s} 5.4 Während Sie in einem Fahrstuhl stehen, sehen Sie eine Schraube von der 3 m hohen Decke herabfallen. a) Wie lange fällt die Schraube, bis sie auf dem Boden des Fahrstuhls auftrifft, wenn der Fahrstuhl mit 4 m/s² nach oben beschleunigt? {0,659 s} 5.5 Als die Schraube sich löst, hat der Fahrstuhl eine Geschwindigkeit von 16 m/s nach oben und beschleunigt weiter nach oben. b) Wie weit steigt der Fahrstuhl, bis die Schraube den Boden berührt? Wie weit ist die Schraube dann gefallen (relativ zum Haus)? {11,4 m; 8,4 m nach oben} c) Wie groß sind die Geschwindigkeiten Geschwindigkeiten der Schraube und des Fahrstuhls kurz vor dem Auftreffen (rel. zum Haus)? {9,53 m/s nach oben; 18,6 m/s} d) Mit welcher Geschwindigkeit relativ zum Boden schlägt die Schraube auf? {-9,1 m/s}


Physik Aufgaben zuKap.5.2 – 5.4: Dynamik


Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Dynamik: Kap. 5.2: 2. Newtonsches Axiom

5.6 Ein Astronaut der Masse 68 kg schwebt 7,60 m von seinem Raumschiff entfernt im Weltall: Er zündet seine Rückstoßdüse, die 3 Sekunden lang eine konstante Kraft liefert. In den 3 s hat sich der Astronaut 2,25 m in Richtung Raumschiff bewegt. Welche Kraft hat die Düse? {34 N} 5.7 

Ein Teilchen der Masse 0,4 kg ist gleichzeitig zwei Kräften

F 1 =

 − 2    N und  − 4 

 − 2,6    N ausgesetzt. Das Teilchen wird dadurch aus der Ruhe vom 5 +   Koordinatenursprung aus beschleunigt. Geben Sie seinen Ortsvektor r und seinen  − 14,7   − 18,4   m;   m/s} Geschwindigkeitsvektor υ zum Zeitpunkt t = 1,6 s an! {   + 3,20   + 4,00  

F 2 =





5.8 Bei einem Schlittenrennen sollen Studenten die Schlitten ziehen. Dabei tragen sie Schuhe mit Spikes, die besser am Boden haften. Beim Start des Rennens zieht ein Student den Schlitten mit einer Kraft von 150 1 50 N unter unt er einem Winkel Winke l von vo n 25° 25 ° gegen die Horizontale an der Leine. (das Seil greife im Schwerpunkt an!) Die Masse des aus Schlitten und Leine bestehenden Körpers beträgt 80 kg. Seine Reibung am Boden kann vernachlässigt werden. Gesucht sind a) die Beschleunigung des Schlittens, {1,70 m/s²} b) die Normalkraft F N , die der Boden auf den Schlitten ausübt. {721 N} c) Welche maximale Kraft kann kann an der Leine ziehen, ohne dass sich der Schlitten vom Boden ablöst? {1,86 kN} 5.9 Ein Paket mit Gläsern rollt reibungsfrei eine Rampe hinunter. Ihre Höhe ist h = 1 m; sie schließt mit der Horizontalen den Winkel Θ ein. Wenn die senkrechte Geschwindigkeitskomponente beim Auftreffen des Paketes auf den Boden größer als 2,5 m/s ist, zerbrechen die Gläser (das entspricht einem freien Fall aus etwa 30 cm Höhe). Wie groß darf der Winkel {34,4°} {34,4°} Θ maximal sein, damit der Inhalt heil bleibt?




5.10 Während Ihr Düsenflugzeug die Startbahn entlangrollt, um für den Start zu beschleunigen, wollen Sie seine Beschleunigung messen. Dazu packen Sie Ihr YOYO aus, lassen lasse n es nach unten hängen und un d messen, dass es einen Winkel W inkel von 22° gegen die Vertikale bildet. a) Wie stark beschleunigt das Flugzeug? {3,96 m/s²} b) Wie groß ist die Zugkraft im Faden, wenn das Yo-Yo eine Masse Masse von von 40 40 g hat? {0,423 N} 5.11 a)

b) c) d)

e)

Eine Person der Masse 80 kg steht auf einer Personenwaage in einem Fahrstuhl. Die Waage zeigt die Kraft in N an. Was zeigt die Waage an, wenn der Fahrstuhl mit der Beschleunigung nach oben a beschleunigt wird; wenn der Fahrstuhl mit der Beschleunigung − a ′ nach unten beschleunigt wird; mit 20 m/s steigt, dabei aber mit 8 m/s² abgebremst wird? {145 N} Ein nach unten fahrender Fahrstuhl hält mit einer Beschleunigung (Verzögerung) von 4 m/s² an. Was zeigt die Waage dabei an, wenn die Person eine Masse von 70 kg hat? {967 N} Ein Mann steht steht auf einer Waage im Fahrstuhl, der nach oben beschleunigt. Die Waage zeigt 960 N an. Als er nun einen 20 kg schweren Kasten in die Hand nimmt, zeigt die Waage 1200 N an. Wie groß ist die Masse und das Gewicht des Mannes, wie groß ist die Beschleunigung des Fahrstuhls? {80 kg, 785 N; 2,19 m/s²}

5.12 Paul (Masse mP ) fällt von der Kante eines Gletschers. Er ist über ein Seil mit Steve (Masse m S ) verbunden. Sie rutschen reibungsfrei über das Eis. Berechnen sie die Beschleunigung von den beiden sowie die Zugkraft im Seil. Werte: Θ = 15° , a) m S = 78 kg, m P = 92 kg {0,660 g } b)

m S =

92 kg,

mP =

78 kg

{0,599 g }

5.13 Ein Astronaut schiebt mit der Kraft F A einen Kasten der Masse m1 . Dieser berührt aber einen zweiten Kasten der Masse m2 . Wie groß ist die Beschleunigung der Kästen? Mit welcher Kraft drücken die Kästen gegeneinander? Werte: F A = 12 N, a) {2,4 m/s²; 7,2 N} m1 = 2 kg, m2 = 3 kg b) {4,8 N} m1 = 3 kg, m2 = 2 kg




Kap. 5.3: Reibung

5.14 (s. Statik Nr. 5): Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient zwischen Boden und Leiter mindestens sein, damit die Leiter nicht wegrutscht? {0,375}

5.15 Eine 2 € Münze der Masse 7 g wird mit den de n Fingern mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 3,4 m/s über den horizontalen Fußboden geschnippt. Sie rutscht 2 m weit. Wie groß ist der Gleitreibungskoeffizient zwischen Boden und Münze? {0,29} 5.16 Zwei Kinder sitzen auf einem Schlitten und möchten (aus der Ruhe heraus) von ihren Eltern gezogen werden. Die Kinder haben zusammen die Masse 45 kg, der Schlitten 5 kg. Die Eltern ziehen mit 140 N an dem Seil, Sei l, das mit der d er Horizontalen Horizon talen 40° 4 0° einschließt. Der Haftreibungskoeffizient des Schlittens auf dem Schnee ist 0,2, der Gleitreibungskoeffizient 0,15. Wie groß ist die Reibungskraft des Bodens auf den Schlitten und die Beschleunigung der Kinder?{60,1 N; 0,94 m/s²; µ haft, max

=

0,27 }

5.17 m2 wurde so ausgewählt, dass m1 gerade noch nicht gleitet: m1 = 7 kg, m2 = 5 kg. Wie groß ist der Haftreibungskoeffizient zwischen Tisch und Block? Berechnen Sie die Beschleunigung der beiden Blöcke nach einem leichten Anstoß, wenn der Gleitreibungskoeffizient 0,54 beträgt. Welche Zugkraft herrscht dabei im Seil?{0,71; 1,0 m/s²; 44,1 N} 5.18 Ein Kinderwagen ( m K ) schlittert reibungsfrei über einen zugefrorenen See auf ein Loch zu. Ein Schlittschuhläufer (Masse m ) eilt ihm nach und bremst dann mit dem Reibungskoeffizienten µ gleit . Wie weit muss das Loch mindestens weg sein ( ∆x ), damit der Schlittschuhläufer bei einer Anfangsgeschwindigkeit anhalten kann? Mit welcher Kraft zieht er an dem Kinderwagen?

υ 0

rechtzeitig




5.19 Ein Kind der Masse mK sitzt auf einem Schlitten der Masse m S , der reibungsfrei über einen zugefrorenen See rutscht. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Schlitten und Kind ist µ haft , der Gleitreibungskoeffizient ist µ gleit . Wie groß darf die horizontale Kraft F höchstens sein, damit das Kind nicht auf dem Schlitten rutscht? Geben Sie die Beschleunigungen von Kind und Schlitten an, wenn F größer als eben berechnet ist.

5.20 Ein Auto fährt mit 30 m/s auf einer horizontalen Straße. Die Reibungskoeffizienten sind µ haft = 05 und µ gleit = 0,3 . Wie lang ist der Bremsweg, wenn das Antiblockiersystem (ABS) greift, d.h. die maximale Haftreibung wird optimal ausgenutzt, d.h. das Rutschen der Räder auf der Straße wird vermieden. Wie lang ist der Bremsweg, wenn das Auto kein ABS hat und mit rutschenden Reifen zum Stillstand kommt? {91,8 m; 153 m} 5.21 Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient zwischen Straße und Reifen eines Autos mit Allradantrieb sein, wenn es in 8 s von 0 auf 25 m/s beschleunigen soll? {0,32}

Kap. 5.4: Schiefe Ebene 5.22 Der Haftreibungskoeffizient zwischen Autoreifen und Straße betrage 0,7. Wie steil darf die Straße maximal sein, damit das Auto mit angezogenen Bremsen parken kann, ohne abzurutschen? abzurut schen? {35°} {35°}


Physik Aufgaben zu Kap. 6 Wurf


Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Wurf: Kap. 6.2: Schiefer Wurf:

6.1 Sie werfen eine Kreide unter 60° zur Horizontalen schräg nach oben. Skizzieren Sie die Bahnkurve und tragen Sie zu verschiedenen Zeitpunkten den Geschwindigkeitsvektor an. Ermitteln Sie daraus die Richtung des Beschleunigungsvektors Beschleunigungsvektors zu den verschiedenen Zeitpunkten! 6.2 Sie werfen die Kreide mit m it einer Anfangsgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit von 24,5 m/s unter unt er 36,9° gegen die Horizontale schräg nach oben. Ihre Freundin fängt die Kreide auf. a) Wie lange ist die Kreide in der Luft? {3 s} b) Wie weit weit steht Ihre Freundin Freundin von von Ihnen Ihnen entfernt, wenn sie die die Kreide in derselben Höhe auffängt, wie Sie sie abgeworfen haben? {58,8 m} 6.3 Ein Hubschrauber lässt 100 m direkt über einem Floß mit hungernden Menschen ein Versorgungspaket herunterfallen. Der Hubschrauber hat dabei eine Geschwindigkeit von 25 m/s und steigt unter un ter 36,9° zur Horizontalen Horizon talen nach oben. a) Wie lange ist das Paket in der Luft? {6,3 s} b) In welcher Entfernung von dem Floß trifft es auf dem Wasser auf? {126 m} c) Wo befindet befindet sich in diesem diesem Moment Moment der der Hubschrauber, Hubschrauber, wenn wenn er mit konstanter Geschwindigkeit weiter fliegt? d) Wann befindet sich das Paket im höchsten Punkt seiner Flugbahn? {1,53 s} {111,5 m} e) Wie hoch ist es dann über dem Wasser? f) Wie lange braucht es dann noch bis zum Auftreffen auf dem Wasser?{4,77 s} 6.4 Ein Dieb wird auf der Flucht über die Hausdächer von einem Polizisten verfolgt. Beide rennen mit 5 m/s. Um die Kluft von 4 m Breite und 3 m Höhe zum nächsten Dach zu überwinden, überwind en, springt sprin gt der Dieb unter 45° 45 ° schräg nach oben ab. Der Polizist springt horizontal ab. Wo landen beide?


Physik Aufgaben zu Kap. 6 Wurf

6.5 Ein Wildhüter mit einem Betäubungsgewehr möchte einen Affen schießen, der an einem Ast eines Baumes hängt. Der Jäger zielt genau auf den Affen. In dem Moment, als der Pfeil das Gewehr verlässt, lässt sich der Affe vom Baum fallen. Zeigen Sie, dass er unabhängig von der Geschwindigkeit des Pfeils getroffen wird. (Solange der Pfeil schnell genug ist, um die Entfernung bis zum Baum zu überbrücken.)




Physik

Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Kreisbewegung: Kap. 7: Kreisbewegung:

7.1 Ein Auto fährt mit 60 km/h nach Osten. Es fährt durch eine Kurve, und 5 s später fährt es mit 60 km/h nach Norden weiter. Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung des Autos. {17 km/h/s} 7.2 Skizzieren Sie das Bewegungsdiagramm eines schwingenden Fadenpendels und tragen Sie die Richtung der Beschleunigungsvektoren zu den verschiedenen Zeitpunkten ein. 7.3 Ein Satellit bewegt sich in der Nähe der Erdoberfläche auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Seine Beschleunigung ist 9,81 m/s², zum Erdmittelpunkt gerichtet. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Satelliten und die Zeitdauer für einen gesamten Umlauf. Der Erdradius ist 6370 km. {7,91 km/s; 84,4 min} Beschleunigte Bezugssysteme :

7.4 Im Laderaum eines Lieferwagens befindet sich eine große Kiste der Masse m, der Höhe h , mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge l . Welche Beschleunigung kann der Lieferwagen maximal fahren, bevor die Kiste umfällt?

{ g ⋅

l h

}


Physik Aufgaben Kap.8 Arbeit und Energie


Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Kap.8: Arbeit und Energie:

8.1 Ein Kran hebt einen LKW der Masse 3000 kg senkrecht hoch. Er zieht mit 31 kN. a) Welche Geschwindigkeit hat der LKW in in 2 m Höhe, wenn wenn er am Anfang still stand? {1,45 m/s} b) Welche Geschwindigkeit hat der LKW LKW in 2 m Höhe, wenn er sich sich am Anfang Anfang bereits mit 1 m/s nach oben bewegte? {1,73 m/s} c) Welche Arbeit verrichtet die Krankraft an dem LKW bei der Aufwärtsbewegung um 2 m? {62,0 kJ} d) Welche Arbeit verrichtet die Schwerkraft Schwerkraft an dem LKW LKW bei der Aufwärtsbewegung um 2 m? {-58,9 kJ} e) Wie stark hat sich sich die die kinetische Energie des LKW in Aufgabe a) und b) geändert? 8.2 In der Bildröhre eines Fernsehgerätes wird ein Elektron aus der Ruhe heraus durch eine elektrische Kraft beschleunigt. Nach 80 cm hat es eine kinetische Energie von 2,5 keV. Wie groß war die (konstante) elektrische Kraft? (Masse eines Elektrons: −31 me = 9,1095 ⋅ 10 kg, Umrechnung der Energieeinheiten: 1,6 ⋅ 10 −9 J =ˆ 1 eV) { 5 ⋅ 10 −16 N} 8.3 Ein Student zieht einen reibungsfrei gleitenden Schlitten der Masse 80 kg unter 20° 20 ° zur Horizontalen Horizont alen mit 180 N Kraft Kraf t 5 m weit. a) Welche Arbeit verrichtet der Student? {846 J} b) Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit Endgeschwindigkeit des Schlittens, wenn er aus aus der Ruhe startet. {4,6 m/s} c) Wie groß ist die Kraft des Studenten, wenn der Schlitten bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 2 m/s nach 5 m Strecke die Geschwindigkeit 4,5 m/s hat? {138 N} 8.4 Eine Kraft F x hängt wie gezeigt vom Ort x ab. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft an einem Teilchen der Masse 3 kg, das sich von x = 0 m nach x = 6 m bewegt? Wie schnell ist das Teilchen bei x = 6 m, wenn F x die einzige Kraft ist, die auf das Teilchen wirkt und wenn es aus der Ruhe startet?{25 J, 4,08 m/s}




8.5 Ein Block der Masse 4 kg liegt auf einer reibungsfreien Oberfläche am Ort x1 = −5 cm. Die Feder mit Federkonstante D = 400 N/m ist zusammengedrückt; wenn der Block bei x 2 = 0 ist, ist die Feder entspannt. a) Welche Arbeit verrichtet die Feder an dem Block, während er sich von x1 nach x2 bewegt? {0,5 J} b) Welche Geschwindigkeit hat er bei x 2 = 0 m?

{0,5 m/s}

8.6 Gegeben sind die Vektoren



a =

 3    m und  2 



b =

 4    m im kartesischen  − 3 

Koordinatensystem. Zeichnung! a) Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren über das Skalarprodukt. Skalarp rodukt. {70,6°} {70,6°} b) Berechnen Sie die Komponente von a in Richtung des Vektors b . {1,2 m} 



8.7 Ein Spediteur schiebt mit der horizontalen Kraft F=100 N eine Kiste eine Rampe hinauf, s. Abb. Berechnen Sie die Arbeit, die diese Kraft an der Kiste auf 5 m Weg verrichtet. Welche Möglichkeiten gibt es, das auszurechnen? {400 J} 8.8

 2    m verschoben. Während dieser  − 5   3  Bewegung wirkt auf das Teilchen die konstante Kraft F =   N. Zeichnung!  4  a) Wie groß ist die von der Kraft verrichtete Arbeit? {-14 J} b) Wie groß ist die Kraftkomponente parallel zur Verschiebung? {-2,6 N} Ein Teilchen wird längs des Vektors



s =



Kap. 8.3: Der Energieerhaltungssatz:

8.9 Zwei Skifahrer starten oben auf dem Berg am selben Punkt und fahren unten über dieselbe Ziellinie. Die schwere Piste führt direkt hinunter, die einfache Piste macht einen großen Umweg und ist dafür nicht so steil. Welcher von beiden hat an der Ziellinie die größere Geschwindigkeit, vorausgesetzt, beide haben nicht gebremst? Wer kommt zuerst an?




8.10 Eine Flasche der Masse 0,35 kg fällt von einem 1,75 hohen Regalbrett herunter. Wie groß ist die potentielle Energie des Systems Flasche – Erde am Anfang? Am Ende, kurz vor dem Auftreffen auf dem Boden? Wie groß ist da die kinetische Energie? {6,01 J} 8.11 Ein Fußballspieler steht auf dem Dach eines 12 m hohen Gebäudes. Gebäu des. Er schießt schieß t den Ball unter unte r 60° zur Horizontalen schräg nach oben. a) Wie hoch steigt der Ball über das Gebäude? {9,79 m} b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf dem Erdboden auf? {22,2 m/s} Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar.

8.12 Ein Fadenpendel (Masse m , Fadenlänge l ) wird um den Winkel Θ 0 ausgelenkt und aus der Ruhe heraus losgelassen. a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Masse durch den tiefsten Punkt? b) Wie groß ist die Zugspannung im Faden im tiefsten Punkt?

8.13 Ein Block der Masse 2 kg liegt auf einer reibungsfreien horizontalen Oberfläche. Eine um 20 cm zusammengedrückte Feder mit Federkonstante 500 N/m katapultiert ihn vorwärts. Nachdem der Block die Feder nicht mehr berührt, rutscht er eine Rampe mit Neigungswinkel 45° hinauf. a) Wie weit bewegt er sich auf der Rampe, bevor er wieder hinunterrutscht? {72 cm} b) Welche Geschwindigkeit hat der Block, bevor er die Rampe erreicht? {3,16 m/s} 8.14 Eine Feder mit Federkonstante D ist vertikal aufgehängt. An der entspannten Feder wird eine Masse m angebracht und aus der Ruhe losgelassen. Wie weit schwingt die Masse nach unten, bevor sie sich wieder nach oben bewegt?




8.15 In einer Achterbahn liegt der Startpunkt doppelt so hoch wie der höchste Punkt (Scheitelpunkt) des kreisförmigen Loopings. Unmittelbar bevor der Wagen in den Looping einfährt, verliert er durch eine Unebenheit im Gleis 25% seiner Geschwindigkeit. Schafft er den Looping trotzdem, ohne aus den Schienen zu fallen? 8.16 Zwei Massen m2 > m1 hängen an einem masselosen Seil, das über eine masselose, reibungsfreie Rolle geführt ist. Sie werden aus der Ruhe losgelassen. Welche Geschwindigkeit haben die beiden Massen, wenn m2 um die Strecke h gesunken gesunken ist? 8.17 Was passiert beim Fall einer Knetmasse-Kugel Knetmasse-Kugel auf den Boden? 8.18 Eine 4-kg-Kiste wird aus der Ruhe heraus mit 25 N über einen horizontalen Tisch 3 m weit geschoben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Kiste und Tisch ist 0,35. Welche kinetische Energie und welche Geschwindigkeit hat die Kiste nach den 3 m? {33,8 J; 4,11 m/s} 8.19 Ein Schlitten gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 4 m/s auf einer horizontalen schneebedeckten Fläche mit Gleitreibungskoeffizient 0,14. Nach welcher Strecke bleibt er stehen? 8.20 Ein Kind der Masse 40 kg rutscht aus der Ruhe eine 8 m lange lan ge Rutschbahn Rut schbahn hinunter, hinunte r, die di e 30° 30 ° gegen die Horizontale geneigt ist. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,35. Welche Geschwindigkeit hat das Kind am Ende der Rutschbahn? {5,56 m/s} 8.21 Eine Masse von 4 kg ist über ein Seil und eine Rolle mit einem 6 kg-Block verbunden, der auf einem Tisch mit Gleitreibungskoeffizient 0,2 liegt. Die Feder, D = 180 N/m, ist am Anfang um 30 cm zusammengedrückt. Wie schnell sind beide Körper nach dem Loslassen, wenn um 40 cm m2 hinabgesunken ist? {1,95 m/s} 8.22 Wenn Sie eine Treppe hinaufgehen, nimmt Ihre potentielle Energie im Schwerefeld der Erde zu. Woher W oher kommt diese Energiezunahme?




Kap. 8.4: Die Leistung:

8.23 Für den Antrieb einer Winde, die eine Ladung Steine des Gewichtes 800 N anhebt, wird ein Motor eingesetzt. Er kann die Steine in 20 s um 10 m hochheben. Welche Leistung muss der Motor mindestens liefern? {400 W}

8.24 Ein Auto der Masse 1000 kg fährt mit 100 km/h eine 10%-ige Steigung hinauf (d.h. für den Neigungswinkel gilt tan Θ =

∆h ∆ x

= 0,1 ).

Von der chemischen Energie, die beim

Verbrennen des Benzins frei wird, werden nur 15% in mechanische Energie des Autos übertragen. Der Rest geht in Form von Wärme „verloren“. Berechnen Sie die chemische Leistung des Motors bei dieser Bergfahrt (chem. Energie pro Zeit) und die freigesetzte Wärmeleistung. {182 kW, 155 kW}


Physik Aufgaben Kap.9 Impuls


Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Kap.9.1-2: Impulsänderung und –erhaltung: 9.1 Ein Geschoss wird vom Boden aus abgefeuert und würde in 55 m Entfernung wieder auftreffen. Im höchsten Punkt seiner Flugbahn zerplatzt es aber in 2 gleichschwere Bruchstücke, von denen eines die momentane Geschwindigkeit 0 in Bezug zur Erde hat, also senkrecht hinunter fällt. a) Wo landet das andere Bruchstück? Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand.{82,5 m} b) Wenn das Bruchstück, das senkrecht hinunterfällt, doppelt so schwer ist wie wie das andere, wo landet dann das leichtere Bruchstück? {2R } c) Wie sehen sehen Flugbahnen aus, wenn das eine Bruchstück nach dem Zerplatzen die halbe horizontale Anfangsgeschwindigkeit Anfangsgeschwindigkeit hat? 9.2 Auf einem Tisch legen Sie einen Zylinder auf ein Blatt Papier. Ziehen Sie das Papier nach rechts weg. Wie bewegt sich der Zylinder? 9.3 Pete (80 Kg) und Dave (120 kg) fahren in einem Ruderboot (60 kg) auf einem See. Pete sitzt im Heck, Dave sitzt 2 m vor ihm. Als das Boot still steht, möchten sie die Plätze tauschen. Wie weit bewegt sich das Boot dabei auf dem Wasser? Vernachlässigen Sie die Reibungskräfte zwischen Wasser und Boot. {0,308 m vorwärts} 9.4 Ein Keil der Masse m2 liegt auf einer Waagschale. W aagschale. Ein kleiner Block der Masse m1 rutscht den Keil reibungsfrei hinunter. Was zeigt die Waage dabei an? Prüfen Sie Ihr Ergebnis auf Plausibilität, z.B. für  Θ = 0° und Θ = 90° 9.5 Eine Astronautin muss das defekte Sonnensegel ihres Raumschiffs ersetzen. Sie montiert es ab und will es nun in den freien Weltraum schubsen. Die Astronautin hat 60 kg Masse, das Sonnensegel 80 kg. Zunächst befindet sie sich bezüglich des Raumschiffs in Ruhe. Nach dem Wegdrücken bewegt sich das Segel mit 0,3 m/s bezüglich des Raumschiffs. a) Wie schnell bewegt sich die Astronautin? {-0,4 m/s} b) Welche kinetische Energie besitzt das System Astronautin – Segel hinterher? Wo kommt die her? {8,4 J} 9.6




Ein Eisenbahnwaggon der Masse 14000 kg rollt auf einem Güterbahnhof mit 4 m/s unter einem Getreidesilo durch. Dabei fallen 2000 kg Getreide auf den Waggon. Bis zum Ziel sind es jetzt noch 500 m. a) Wie lange braucht der Waggon dafür? Vernachlässigen Sie Reibungsverluste. {143 s} b) Durch ein kleines Loch im Boden verliert der Waggon pro Sekunde 10 kg Getreide. Wie lange braucht er jetzt bis zum Ziel? {143 s} 9.7 Eine 40-kg-Skateboarderin hat zwei 5-kg-Hanteln in den Händen. Das Board hat 3 kg Masse; am Anfang ist das Mädchen in Ruhe. Sie wirft die Hanteln nun nacheinander nach hinten ab. Unmittelbar nach jedem Wurf fliegt jede Hantel mit 7 m/s relativ zum Mädchen nach hinten. a) Wie schnell ist sie nach dem ersten Wurf? {0,66 m/s} b) Wie schnell nach dem zweiten? {1,39 m/s} c) Wie schnell ist sie, wenn sie gleich am Anfang beide Hanteln gleichzeitig mit 7 m/s (relativ zum Skateboard, nach dem Abwurf) nach hinten schleudert? {1,32 m/s}

9.8 Ein ruhender Thorium-227-Kern zerfällt in einen Radium-223-Kern und ein AlphaTeilchen der Masse 4u. Die kinetische Energie des α -Teilchens ist 6,00 MeV. Welche kinetische Energie hat der Radium-Kern? {0,108 MeV}

Kraftstoß:




9.9 Ein geübter Karate-Kämpfer kann mit der flachen Hand einen Betonblock zerschlagen. Berechnen Sie die mittlere Kraft zwischen Hand und Block aus folgenden Annahmen: Masse der Hand: 0,7 kg, Geschwindigkeit beim Auftreffen: 5,0 m/s, gleichmäßige Abnahme der Geschwindigkeit bis auf υ Hand = 0 auf 6 mm Weg. Tipp : Berechnen Sie Kraftstoß, Stoßzeit und daraus die mittlere Kraft. {1,46 kN} 9.10 Ein Auto mit einem 80-kg-Dummy fährt mit 90 km/h gegen eine Wand („Crash-Test“). Schätzen Sie die Kraft ab, mit der der Sicherheitsgurt beim Auto gegen den Körper drückt. Nehmen Sie dafür an, dass die Motorhaube um 1 m zusammengedrückt wird und dass die Bremsverzögerung konstant ist. {25 kN} 9.11 Sie schlagen schlage n einen Golfball Golf ball der Masse Mas se 45 g unter 13° zur Horizontalen 200 m weit. Der Kontakt zwischen Schläger und Ball erfolgt auf 2 cm Weglänge. Berechnen Sie den Kraftstoß, die Stoßzeit und die mittlere Kraft zwischen Schläger und Ball. {3,01 Ns; 0,598 ms; 5,03 kN}

Raketenantrieb: 9.12 Das untere Ende eines Seiles der Masse m S und der Länge l 0 berührt eine Waagschale. Sie lassen los, und das Seil beginnt zu fallen. a) Berechnen Sie die Kraft Kraft zwischen Waage und Seil, wenn das Seil gerade zur Hälfte auf der Waage angekommen ist.

3

{ m S g } 2

b) Was zeigt die Waage an, kurz bevor das oberste Seilende auftrifft; nachdem das ganze Seil angekommen ist? { 3m S g , m S g } auf der Waage liegende Seil mit der Masse m ; drücken Tipp : Bezeichnen Sie das auf Sie die Differenz zwischen der Kraft der Waage F N und der Gewichtskraft des bereits liegenden Seils durch die Impulsänderung des gerade auf die Waage auftreffenden Seilstücks ∆m aus. Die Auftreffgeschwindigkeit υ rel bekommen Sie aus der Fallstrecke.




9.13 Die Saturn-V-Rakete des Apollo-Mondprogramms hatte eine Anfangsmasse von 6 m0 = 2,85 ⋅ 10 kg, davon waren 27% Nutzlast. Bei einer Brennrate von dm dt

= 13,84 ⋅ 10

a) b) c)

d)

3

kg/s lieferte sie einen Schub von 34 ⋅ 10 6 N. Berechnen Sie

Ausströmgeschwindigkeit υ rel , {2,46 km/s} die Brenndauer bis zum Brennschluss, {150 s} die Beschleunigung beim Abheben und bei Brennschluss (nehmen Sie an, dass immer noch die Erdbeschleunigung g nach nach unten wirkt), {2,14 m/s²; 34,3 m/s²} die Endgeschwindigkeit Endgeschwindigkeit der Rakete. {ca. 6300 km/h}

Kap. 9.2: Stöße: unelastisch: 9.14 Ein Kollege wirft einer 60-kg-Astronautin, die relativ zum Raumschiff ruht, 3 kg schweres Werkzeug mit 4 m/s Geschwindigkeit bzgl. des Raumschiffs zu. Sie fängt es auf. Berechnen Sie a) die Geschwindigkeit der Astronautin, nachdem sie das Werkzeug aufgefangen aufgefangen hat. {0,19 m/s} b) die kinetische Energie vor und nach dem Auffangen. {24 J; 1,14 J} c) den Kraftstoß, den das Werkzeug auf die Astronautin ausgeübt hat. {11,4 Ns} 9.15 Sie schießen mit einer Gewehrkugel in einen Holzklotz; die Kugel bleibt stecken. Der Klotz ist als Pendel an der Decke aufgehängt und schwingt durch den Stoß um die Höhe h nach nach oben. Berechnen Sie aus dieser Höhe und den beiden beteiligten Massen die Geschwindigkeit der Gewehrkugel vor dem Eindringen in das Holz. 9.16 Sie schießen noch mal wie in Aufgabe 9.15 auf die Kiste, aber diesmal ist sie leer, und die Kugel kommt hinten mit halber Anfangsgeschwindigkeit heraus. Wie hoch schwingt die Kiste jetzt (die beiden Massen sind bekannt)?

elastisch: 9.17 Ein 4-kg-Block bewegt sich mit 6 m/s nach rechts und stößt elastisch gegen einen 2kg-Block, der sich mit 3 m/s ebenfalls nach rechts bewegt. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Stoß. {4 m/s; 7 m/s}



9.18 Ein Neutron der Masse m N und Geschwindigkeit

υ N


stößt zentral und elastisch mit

einem ruhenden Kohlenstoffkern der Masse mC zusammen. a) Welche kinetische Energie haben die beiden Teilchen nach dem Stoß? b) Welchen Bruchteil seiner anfänglichen Energie hat das Neutron danach verloren? {28,4%} Tipp : Berechnen Sie zunächst die beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Es ist mC = 12 ⋅ m N .


Physik


Aufgaben zu Anhang A2 Vektorrechnung:

A.1: Eine Person läuft 3 km nach Osten und anschließend 4 km nach Norden. Berechnen {5km, 53,1°} 53,1°} Sie ihre Verschiebung. A.2: Sie laufen von Punkt A 3 km genau Richtung Rich tung Westen West en und anschließend anschl ießend unter unt er 60° gegen Ostrichtung gemessen 4km Richtung Nordosten. Wie hätten Sie auf direktem Weg zum Ziel gelangen können? {3,61 km, 74°gegen Westen nordwestlich}



Physik Aufgaben Kap.B Drehbewegung

Die Abbildungen sind Tipler, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Verlag, entnommen. Aufgaben zu Kap.B.1 Kinematik der Drehbewegung:

B.1 Eine CD rotiert mit 3000 U/min. Wie W ie hoch ist ihre Winkelgeschwindigkeit in rad/s?{314 rad/s} B.2 Eine CD, die in den Player eingelegt wird, wird in 5,5 s auf 500 u/min beschleunigt. a) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung Winkelbeschleunigung unter unter der Annahme, dass sie sie konstant ist. {9,52 rad/s²} b) Wie viele Umdrehungen vollführt die CD in diesen 5,5 s? {22,9} c) Welche Strecke hat ein Punkt auf dem Rand ( r = 6 cm) in diesen 5,5 s zurückgelegt? {8,64} d) Welche Bahngeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit hat ein Punkt i) mit Radius r = 2,4 cm bei 500 U/min {126 cm/s} ii) mit Radius r = 6 cm bei 200 U/min? {126 cm/s} Aufgaben zu Kap.B.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment:

B.3 Ein Körper besteht aus vier miteinander verbundenen Teilchen, die wie abgebildet angeordnet sind und sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Symmetrieachse drehen. a) Berechnen Sie die Rotationsenergie. b) Welches Trägheitsmoment hat der Körper bezüglich einer Drehachse, die parallel zur Symmetrieachse durch die beiden Massen m1 und m2 verläuft? B.4 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes der Länge l und und der Masse m um um eine Achse, die senkrecht zum Stab durch ein Stabende verläuft. Die Dicke des Stabes sei vernachlässigbar. vernachlässigbar.

{

1 3

ml

2

}

B.5 Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Stabes bzgl. der Achse y ’, die durch den Massenschwerpunkt verläuft.

{

1 12

ml 2 }

B.6 Ein zylinderförmiges Schwungrad der Masse 100 kg hat den Innenradius 25 cm und den Außenradius 40 cm. Es dreht sich mit 30.000 U/min. Wir nehmen an, dass seine Energie ein Fahrzeug antreiben kann. Wie weit kann ein solches Fahrzeug fahren, wenn bei 70 km/h durch Luftwiderstand und Reibung 10 kW verloren gehen?{106,75 km}




B.7 Ein homogener dünner Stab der Länge l und der Masse m ist ist frei drehbar an seinem Ende reibungsfrei aufgehängt. Er wird zu Beginn horizontal ausgelenkt und dann losgelassen. 3g

a)

Mit welcher Winkelgeschwindigkeit geht er durch den tiefsten Punkt?

{

b)

Welche Kraft wird dann auf das Lager ausgeübt?

{

c)

Welche Anfangswinkelgeschwindigkeit Anfangswinkelgeschwindigkeit muss der Stab haben, damit er bis nach oben in die vertikale Lage durchschwingt?

l 5 2

mg }

3g

{

}

l

}

B.8 Über einem Brunnen befindet sich eine Seilwinde, mit der man einen Eimer ablassen und wieder heraufziehen kann. Die Trommel der Winde hat die Masse mTrommel und den Radius r ; sie soll als Hohlzylinder betrachtet werden. Der Eimer der Masse m Eimer hängt an einem Seil der Masse m Seil der Länge l . In dem Moment, in dem der Eimer ganz oben ist, lassen Sie die Kurbel los und der Eimer fällt am Seil nach unten. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Eimers, nachdem er die Strecke d < l heruntergefallen ist. Aufgaben zu Kap.B.3 Rotationsdynamik:

B.9 Sie heben das Hinterrad Ihres Fahrrades in die Luft, so dass es sich frei drehen kann. Die Kette zieht mit 18 N an dem Ritzel mit Radius 7 cm. Betrachten Sie das Rad als Ring mit Radius 35 cm und 2,4 kg Masse. Welche Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit hat das Rad nach 5 s, wenn es zu Beginn in Ruhe war? {21,4 rad/s} B.10 a) Welche Winkelbeschleunigung hat der Stab aus Aufgabe 10.7 unmittelbar nach dem Loslassen?

3 g

1

mg }

2 l

}

b)

Wie groß ist die Auflagerkraft in diesem Moment?

c)

Auf dem Mittelpunkt des Stabes liegt ein sehr kleiner leichter Kieselstein der Masse m K . Mit welcher Kraft drückt er auf den Stab unmittelbar nach dem Loslassen?

{

{

{

1 4

4

m K g }




B.11 Ein Körper der Masse m hängt hängt an einem masselosen Seil, das um eine reibungsfrei gelagerte Umlenkrolle mit Radius r und Trägheitsmoment J läuft. Berechnen Sie die Zugkraft im Seil und die Beschleunigung des Körpers. B.12 Berechnen Sie für das dargestellte Problem die Beschleunigung der beiden Körper und die beiden Seilkräfte F S ,1 und F S , 2 . Die Umlenkrolle hat den Radius r und das Trägheitsmoment J ; der Körper 1 gleitet reibungsfrei auf der Oberfläche; das Seil rutscht nicht über die Rolle (es ist „schlupffrei“).

 ω

B.13 a) Ein Automotor produziert bei einer Drehzahl von 3700 U/min ein maximales Drehmoment von 675 Nm. Berechnen Sie seine zugehörige maximale Leistung. {262 kW} b) Wie groß groß ist das Drehmoment Drehmoment eines Motors, der bei 5200 U/min U/min 450 PS Leistung liefert? (1PS = 735,5 W) {608 Nm} Aufgaben zu Kap.B.4 Rollende Körper:

B.14 Eine Bowlingkugel hat 11 cm Radius und 7,2 kg Masse. Ihre Geschwindigkeit beträgt 2 m/s, als sie eine schiefe Ebene hinaufrollt (Kugelrückführung). Berechnen Sie, in welcher Höhe h die Kugel ihre Bewegungsrichtung umkehrt. {28,5 cm} B.15 Beim Billard trifft ein Queue eine Kugel horizontal in der Höhe x oberhalb ihres Massenschwerpunktes. Geben Sie x in Abhängigkeit vom Kugelradius r an, wenn die Kugel von Anfang an nicht rutschen soll.

{

2 5

r }

B.16 Eine homogene Kugel der Masse m und und mit Radius r rollt rollt eine um den Winkel α gegen die Horizontale geneigte schiefe Ebene hinab. Berechnen Sie die Beschleunigung der Kugel und die Reibungskraft zwischen Kugel und Ebene. {

5 7

g sin α ;

2 7

mg sin α }

B.17 Ein Zylinder rollt eine Ebene mit Neigungswinkel 50° hinab. Welchen minimalen Wert hat der Haftreibungskoeffizient, für den der Zylinder ohne zu gleiten rollt? {0,40}



B.18 Ein Ring rollt eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel Neigungswinkel a)

Wie groß ist die Reibungskraft?

b)

Welchen Maximalwert hat

tan α ,


hinab. {

1 2

mg sin α }

damit der Ring nicht rutscht?

{ 2 µ haft }

B.19 Eine Bowlingkugel wird so geworfen, dass sie mit 5 m/s auf der Bahn aufsetzt ohne zu rotieren, d.h. sie rutscht zunächst. Der Gleitreibungskoeffizient betrage 0,08. a) Nach welcher Zeit beginnt sie zu rollen? {1,82 s} b) Wie weit ist sie bis dahin gerutscht? {7,80 m} Welche Geschwindigkeit hat die Kugel, wenn sie zu rollen beginnt?

d)

Wie groß groß ist die kinetische kinetische Gesamtenergie Gesamtenergie der Kugel, Kugel, wenn sie zu zu rollen beginnt?

{

5

c)

{

5 14

7

υ 0 }

mυ 02 }


Physik Aufgaben Kap.C Elektrostatik


Aufgaben zu Kap.C.1 Elektrische El ektrische Ladungen: C.1 Zwei gleiche, leitende Kugeln, die eine mit der Ladung +q , die andere ungeladen, werden miteinander in Kontakt gebracht. a) Wie groß ist die neue Ladung auf jeder Kugel? {0,5 q } b) Während die Kugeln Kugeln in Kontakt sind, sind, wird wird ein negativ geladener Stab in die Nähe der ersten Kugel gebracht, so dass sie die Ladung 2q trägt. Welche Ladung hat dann die andere Kugel? { -q } C.2 Zwei gleiche Kugeln werden durch Influenz aufgeladen und dann getrennt. Kugel 1 hat also die Ladung +q und und Kugel 2 die Ladung –q . Eine dritte Kugel ist ungeladen. Sie wird nun mit Kugel 1 in Kontakt gebracht und dann von ihr getrennt. Anschließend wird sie mit Kugel 2 in Kontakt gebracht und auch wieder getrennt. Welche Ladungen sitzen am Ende auf den Kugeln? { 0,5q, -0,25q, -0,25q } C.3 In einem Wasserstoffatom beträgt der mittlere Abstand zwischen Proton und Elektron 5,3 ⋅ 10 −11 m. a) Berechnen Sie die elektrostatische Anziehungskraft Anziehungskraft zwischen beiden. { 8,2 ⋅ 10 −8 N} b) c)

Wie groß ist die Beschleunigung des Elektrons? ( me ≈ 10 −30 kg) { 8 ⋅ 10 22 m/s²} Berechnen Sie das Verhältnis von elektrostatischer Kraft zu Gravitationskraft. { 2,3 ⋅ 10 39 }

C.4 Drei Punktladungen befinden sich auf der x –Achse: q 1 im Koordinatenursprung, q 2 2 bei x = 2 m m und q 0 x>2 m. m. 0 bei a) Berechnen Sie die Gesamtkraft der Ladungen q 1 und q 2 q 0 2 auf 0 (allgemein). b) Was ergibt sich für q1 = 25 nC, q 2 = −10 nC, q0 = 20 nC, x = 3,5 m? m ? {-0,432 µN} µ N} c) Wie lautet das Ergebnis für x = 1 m? {6,29 µN} C.5 q1 = 25 nC befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems, q 2 = −15 nC liegt in

(2 m|0 m) und q 0 = 20 nC hat die Koordinaten (2 m|2 m). Berechnen Sie die { 4,84 ⋅ 10 −7 N; –34,9°}

resultierende Kraft auf q0 . Kap. C.2 Das elektrische Feld:

C.6 a) Welchen Wert hat die elektrische elektrische Feldstärke in einem einem Punkt, Punkt, in dem eine −4 Ladung q = 5 nC eine Kraft von 2 ⋅ 10 N erfährt? { 4 ⋅ 10 4 N/C} b)

Welche Kraft erfährt ein Elektron in einem Feld der Feldstärke 4 ⋅ 10 4 N/C? { − 5,4 ⋅ 10 −15 N}




C.7 q1 = 8 nC befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems, q 2 = 12 nC liegt in

(4 m|0 m). a) Berechnen Sie elektrische Feldstärke im Punkt (7 m|0 m) {13,5 N/C} b) Berechnen Sie elektrische Feldstärke im Punkt (3 m|0 m) {–100 N/C} c) An welchem Punkt auf der x– Achse Achse ist die elektrische Feldstärke gleich null? {1,8 m} d) Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Punkt (0 m|3 m)? {11,2 N/C; 108°}

C.8 Eine Ladung + q befindet sich bei x = + a , die Ladung − q befindet sich bei x = −a . a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke auf der x –Achse für x>a. b) Wie lautet die Feldstärke für x → ∞ ? C.9 Nebenstehend sind die Feldlinien von zwei geladenen leitenden Kugeln gezeigt. Welche Ladung tragen sie? { q1 = q 2 > 0 }

C.10 Ein Elektron tritt in ein homogenes elektrisches Feld der Feldstärke 1000 N/C mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 2 ⋅ 10 6 m/s in Richtung der Feldlinien ein. Nach welcher Strecke kommt es zur Ruhe? {1,14 cm} C.11 Ein Elektron tritt in ein homogenes elektrisches Feld der Feldstärke 2000 N/C (vertikal nach unten gerichtet) mit einer horizontalen Anfangsgeschwindigkeit von 6 10 m/s ein. a) Vergleichen Sie die elektrische Kraft auf auf das Elektron mit seiner Gravitationskraft. { 3,6 ⋅ 1013 } b) Um wie viel wurde das Elektron in vertikaler Richtung abgelenkt, nachdem es sich 1 cm in x– Richtung Richtung bewegt hat? {1,76 cm} C.12 Welches Drehmoment wirkt auf einen elektrischen Dipol mit Dipolmoment ℘ = q ⋅ l = 0,02 ⋅ e ⋅ nm , der mit dem homogenen E-Feld mit Stärke 3 ⋅ 10 3 N/C einen Winkel von Θ = 20° bildet? { 3,28 ⋅ 10 −27 Nm} C.13 Gegeben ist ein elektrisches Feld E = 200 N/C, das für x>0 in +x –Richtung zeigt, für x<0 in –x –Richtung. Wir denken uns wie abgebildet eine zylindrische Oberfläche mit Radius 5 cm und der Länge 20 cm.


a)


Wie groß ist der nach außen gerichtete elektrische Fluss durch die gesamte geschlossene Oberfläche? ( Φ ges = E ⋅ d A = E n ⋅ dA ) {3,14 Nm²/C}





A

b)






A

Wie groß ist die Gesamtladung innerhalb der geschlossenen Oberfläche? {27,8 pC}

C.14 In der Abb. ist eine unendlich ausgedehnte Ebene mit der Flächenladungsdichte σ =

Q A

= 4,5 nC/m² in

der Ebene x = 0 gezeichnet. Parallel dazu liegt bei x = 2 m eine unendlich ausgedehnte Ebene mit der Flächenladungsdichte σ = −4,5 nC/m². Berechnen Sie das elektrische Feld bei x = 1,8 m und bei {508 N/C; 0} x = 5 m. C.15 Eine Kugelschale vom Radius 3 m trägt die Oberflächenladungsdichte σ = 3 nC/m². Eine Punktladung q=250 nC nC liegt auf der y– Achse Achse bei y = 2 m. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke auf der x– Achse Achse bei x=2 m m und x=4 m. m. {281 N/C, N/ C, 45°; 45°; 290 N/C, –50 N/C}

C.16 Berechnen Sie das elektrische Feld a) außerhalb; b) innerhalb einer homogen geladenen Vollkugel mit Radius r K und der Gasamtladung q ; die Ladungsdichte ist ρ =

q V

Lösung:

;V

= Kugelvolumen. Kugelvolumen.

C.17 Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Abstand r von einer unendlich langen q λ Linienladung der Ladungsdichte λ = ? { } l 2πε 0 r




C.18 Die elektrische Feldstärke über der Erdoberfläche beträgt im Mittel 100 N/C und zeigt senkrecht nach unten. Welche Ladung trägt die Erde? { − 4,53 ⋅ 10 5 C} C.19 Eine Kugelschale hat den Radius 30 cm und wird elektrisch aufgeladen. Wie stark kann sie aufgeladen werden, bevor es zum Durchschlag in der umgebenden Luft kommt? Die Durchschlagfestigkeit von Luft beträgt etwa 3 ⋅ 10 6 V/m. { 3 ⋅ 10 −5 C} Kap. C.3: Elektrisches Potential und elektrische Spannung:

C.20 Ein konstantes elektrisches Feld der Stärke 10 V/m zeigt in die positive x– Richtung. Richtung. Wie groß ist das Potential Φ( x ) , wenn Φ(0) = 0 ist? Wie lautet die Lösung, wenn das E– Feld Feld wieder in x– Richtung Richtung zeigt, aber linear mit x ansteigt: ansteigt: E = 10

V m

2

⋅ x ?

C.21 Wie groß ist das elektrische Potential im Abstand von 0,529 ⋅ 10 −10 m von einem Proton? Welche potentielle Energie hat das Elektron in diesem Abstand? (Angabe in eV und in J?) {27,2 V; −18 –27,2 eV; − 4,35 ⋅ 10 J; da das Elektron aber bereits 13,6 eV an kinetischer Energie besitzt, sind nur noch 13,6 eV an Ionisierungsenergie notwendig.} C.22 Bei der Energiegewinnung durch Kernspaltung fängt ein 238U -Kern ein Neutron ein und spaltet dann z.B. in einen Barium-Kern (Ladung 56 e ) und einen Krypton-Kern (Ladung 36 e ). ). Berechnen Sie die potentielle elektrische Energie in diesem System in eV, wenn wir die beiden Teilchen als punktförmig annehmen mit einem Kernabstand von 14,6 ⋅ 10 −15 m. {199 MeV} C.23 Im kartesischen Koordinatensystem liegt eine Punktladung von 5 nC in (0|0), (0|0), eine weitere Punktladung, ebenfalls 5 nC, liegt bei (8 cm|0) cm|0).. Ermitteln Sie das elektrische Potential bei (4 cm|0) cm|0) und und bei (0|6 cm cm ). {2,25 kV; 1,20 kV} ). C.24 Auf der x– Achse Achse befindet sich im Ursprung eine Ladung q 1, bei x=a befindet sich eine Ladung q 2 2. Ermitteln Sie das Potential an einem beliebigen Punkt auf der x– Achse. C.25 Ein elektrischer Dipol hat eine positive Ladung +q bei bei x=a und und eine negative Ladung –q bei x=–a . Berechnen Sie das elektrische Potential auf der x– Achse Achse für x>>a , ausgedrückt durch das Dipolmoment ℘ = 2qa .

{

1

℘

4πε 0 x

2

}




C.26 Eine Kugel mit Radius 6 cm wird mit 80 nC geladen. Sie wird mit einem dünnen langen Draht mit einer weiteren zunächst ungeladenen Kugel mit Radius 2 cm verbunden. Welche Ladung stellt sich auf den beiden Kugeln ein? Wie groß ist die Feldstärke auf beiden Kugeloberflächen? Wie groß ist das Potenzial an beiden Kugeloberflächen? {60 nC; 20 nC; 150 kV/m; 450 kV/m; 8,99 kV} Kap. C.4: Kondensatoren: C.27 a) Vier gleiche Ladungen q befinden befinden sich im Unendlichen. Berechnen Sie die Arbeit, die verrichtet werden muss, um diese vier Ladungen nacheinander in die vier Eckpunkte eines Quadrates der Seitenlänge a zu a zu bewegen.

{

4+

2 q

4πε 0

2

a

}

b) Wieviel Arbeit ist erforderlich, um eine fünfte Ladung q in in die Mitte des Quadrates zu bringen? c) Wieviel Energie ist nun in diesem System gespeichert?

{ {

4 2 q

2

4πε 0 a

4+5 2 q 4πε 0

}

2

a

}

C.28 Wie groß ist der Radius eines kugelförmigen Leiters mit der Kapazität 1 F? { 8,99 ⋅ 10 9 m} C.29 Eine Kugel mit Kapazität C 1 trägt die Ladung 20 µC. Wie groß ist ihre Kapazität C 2 , wenn die Ladung auf 60 µC erhöht wird? { C 2 = C 1 } C.30 Ein Plattenkondensator hat quadratische Platten der Seitenlänge 10 cm im Abstand 1 mm. a) Welche Kapazität hat der Kondensator? {88,5 pF} b) Welche Ladung wird von einer Platte auf die andere übertragen, wenn der Kondensator auf 12 V geladen wird? {1,06 nC} c) Wie groß müssten die Platten sein, damit damit der Kondensator 1 F Kapazität hätte? {10,6 km} C.31 a) Leiten Sie die Formel für die Kapazität eines Zylinderkondensators Zylinderkondensators her. {

2πε 0 ⋅ l

 r 2   r  1 

}

ln

b) Wie ändert sich die Kapazität, Kapazität, wenn die Spannung am Zylinderkondensator von von 20 V auf 80 V erhöht wird? {gar nicht!}




C.32 Ein Kondensator der Kapazität 15 µF wird auf 60 V geladen. Welche Energie ist dann in ihm gespeichert? {0,027 J} C.33 Ein Kondensator mit quadratischen 14 cm breiten Platten im Abstand 2 mm wird auf 12 V geladen. a) Welche Ladung hat der Kondensator? {1,04 nC} b) Welche Energie ist in ihm gespeichert? {6,24 nJ} Die Batterie zum Aufladen wird nun abgetrennt. c) Wieviel Energie Energie ist nun notwendig, notwendig, um die Platten bis auf 3,5 mm auseinanderzuziehen? auseinanderzuziehen? {4,68 nJ} d) Welche Spannung liegt jetzt zwischen den beiden Platten an? {21 V} e) Welche Kapazität Kapazität hatte der Kondensator Kondensator zu zu Beginn, welche nach dem Auseinanderziehen? {86,7 pF; 49,6 pF} C.34 Ein ungeladener 6-µF-Kondensator wird an eine 9-V-Batterie angeschlossen. Welche Ladung fließt über die Batterie? {54 µC} C.35 Nach dem Schließen des Schalters werden die beiden Kondensatoren geladen. a) Auf welchem welchem Potential Potential liegen liegen die Leiterstücke? (Wählen Sie das Potential am negativen Pol der Spannungsquelle zu null.) {12 V; 0 V} b) Welche Ladung tragen die Kondensatorplatten? {72 µC; 144 µC} c) Wieviel Ladung ist über die Spannungsquelle geflossen? {216 µC} d) Durch welche Ersatzkapazität könnte man die beiden Kapazitäten der zwei Kondensatoren ersetzen? {18 µF} C.36 Nach dem Schließen des Schalters werden die beiden Kondensatoren geladen. a) Welche Ladung tragen die Kondensatorplatten? {48 µC} b) Wieviel Ladung ist über die Spannungsquelle geflossen? {48 µC} c) Durch welche Ersatzkapazität könnte man die beiden Kapazitäten der zwei Kondensatoren ersetzen? {4 µF} d) Auf welchem Potential liegen die Leiterstücke? (Wählen Sie das Potential am negativen Pol der Spannungsquelle Spannungsquelle zu null.) {12 V; 0 V; 4 V} C.37 Die beiden geladenen Kondensatoren aus Aufgabe C.36 werden vorsichtig von der Batterie und voneinander getrennt und dann so zusammengeschaltet, dass die gleichnamig geladenen Pole auf derselben Seite liegen. a) Welche Ladung und welcher Spannungsabfall stellt sich auf den Kondensatoren ein?{32 µC; 64 µC; 5,33 V}


b)



Vergleichen Sie die Energien, die in den Kondensatoren gespeichert sind, vor und nach dem Umstecken. {288 µJ; 256 µJ; Wärme, Abstrahlung}

C.38 a) Wie lautet die Ersatzkapazität der Kondensatorschaltung? {} b) Welche Ladungen und Spannungsabfälle stellen sich auf / an den Kondensatoren ein, wenn die Spannung {4V; 2V; 12 µC; 8 µC; 4 µC} U = 6 V beträgt? c) Wieviel Energie ist in jedem Kondensator gespeichert? {24 µJ; 8 µJ; 4 µJ} C.39 Ein 88,5-pF-Kondensator wird mit einem Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätszahl ε rel = 2 gefüllt. a) Welche Kapazität hat er jetzt? {177 pF} b) Wieviel Ladung kann er jetzt speichern, wenn er an 12 V angeschlossen wird? {2,12 nC} C.40 Der Kondensator aus Aufgabe C.39 wird ohne Dielektrikum an 12 V angelegt. Dann wird er von der Spannungsquelle getrennt, und das Dielektrikum ( ε rel = 2 ) wird eingeführt. Welchen Wert haben dann: q , U und und C ? {1,06 nC; 6 V; 177 pF} C.41 Ein Plattenkondensator besitzt quadratische Platten der Länge 10 cm im Abstand 4 mm. a) Welche Kapazität hat der Kondensator? {22,1 pF} b) Welche Kapazität hat er, wenn sein Spalt vollständig mit einem Dielektrikum mit {44,2 pF} ε rel = 2 gefüllt ist? c) Welche Kapazität hat er, wenn die Maße des Dielektrikums 10 cm ⋅ 10 cm ⋅ 3 mm ( ε rel = 2 ) betragen? {35,4 pF} C.42 Zwei Plattenkondensatoren mit C 1 = C 2 = 2 µF sind parallel an eine 12-V-Batterie angeschlossen. a) Wie groß ist die Ladung auf jedem Kondensator? {24 µC} b) Wie groß ist die gesamte gespeicherte Energie? {288 µJ} Die Batterie wird nun abgetrennt, und der Zwischenraum des zweiten Kondensators wird vollständig mit einem Dielektrikum mit ε rel = 2,5 gefüllt. c) Wie groß ist nun die Spannung an jedem Kondensator? {6,86 V} d) Und die Ladung? {13,7 µC; 34,3 µC} e) Wieviel Energie ist jetzt insgesamt in den Kondensatoren gespeichert? {165 µJ} C.43 Ermitteln Sie für die Kondensatoren aus Aufgabe C.42 die Ladungen und die in den Kondensatoren gespeicherte Gesamtenergie, wenn das Dielektrikum bei angeschlossener Spannungsquelle Spannungsquelle in den zweiten Kondensator eingeführt wird. {24 µC, 60 µC; 504 µJ}

Physikskript

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