physic_traducido.pdf

Formulario Esencial Esenc ial de F´ısica General Genera l

Por J.C.A. Wevers

c 1995, 2005

J.C.A. Wevers

Version: April 14, 2005

Querido lector: Este documento contiene 108 páginas aginas con muchas ecuaciones de f´ısica. Se escribió para estudiantes avanz avanzado adoss de licencia licenciatur turaa y de posgrad posgradoo en f´ısica. ısica. El libro libro busca busca ser una refere referenci nciaa corta corta para para cualquiera que trabaja en f´ısica ısica y frecuentemente frecuentemente necesita encontrar una ecuación. on. Esta, y la versión on en Holandés es del documento, puede ser obtenida directamente del autor, Johan Wevers ([email protected] ). Este

puede

ser

tambien

obtenido

en la WWW. Desde la dirección: on: tambien pueden encontrar versiones en Postscript http://www.xs4all.nl/~johanw/index.html, donde tambien y PDF. Si encuentra cualquier error o tiene algún un comentario, por favor perm´ perm´ıtame saberlo. sab erlo. Estoy siempre abierto a las recomendaciones y correcciones posibles al formulario de f´ısica. This document document is copyrigh copyrightt by J.C.A. Wever Wevers. s. All rights are reserved. reserved. Permission Permission to use, copy copy and distribute this unmodified document by any means and for any purpose except except profit purposes is hereby hereby granted. Reproducing Reproducing this document document by any means, means, included, included, but not limited to, printing, printing, copying copying existing prints, publishing publishing by electronic or other means, implies full agreement agreement to the above non-profitnon-profit-use use clause, unless upon explicit explicit prior written permission of the author. This document is provided by the author “as is”, with all its faults. Any express or implied warranties, including, but not limited to, any implied warranties of merchantability, accuracy, or fitness for any particular particular purpose, are disclaimed. disclaimed. If you use the information information in this document, document, in any way, way, you do so at your own risk. El formulario de fisica fue realizado mediante los programas teTEX y LATEX versi version on 2.09. 2.09. It can A be possible that your L TEX version has problems problems compiling the file. The most probable source source of problems problems would be the use of large bezier curves and/or emTEX specials in pictures. If you prefer prefer the notation in which vectors are typefaced in boldface, uncomment the redefinition of the vec command in the TEX file and recompile the file.

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Johan Wevers

c 1995, 2005

J.C.A. Wevers

Version: April 14, 2005

Querido lector: Este documento contiene 108 páginas aginas con muchas ecuaciones de f´ısica. Se escribió para estudiantes avanz avanzado adoss de licencia licenciatur turaa y de posgrad posgradoo en f´ısica. ısica. El libro libro busca busca ser una refere referenci nciaa corta corta para para cualquiera que trabaja en f´ısica ısica y frecuentemente frecuentemente necesita encontrar una ecuación. on. Esta, y la versión on en Holandés es del documento, puede ser obtenida directamente del autor, Johan Wevers ([email protected] ). Este

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en la WWW. Desde la dirección: on: tambien pueden encontrar versiones en Postscript http://www.xs4all.nl/~johanw/index.html, donde tambien y PDF. Si encuentra cualquier error o tiene algún un comentario, por favor perm´ perm´ıtame saberlo. sab erlo. Estoy siempre abierto a las recomendaciones y correcciones posibles al formulario de f´ısica. This document document is copyrigh copyrightt by J.C.A. Wever Wevers. s. All rights are reserved. reserved. Permission Permission to use, copy copy and distribute this unmodified document by any means and for any purpose except except profit purposes is hereby hereby granted. Reproducing Reproducing this document document by any means, means, included, included, but not limited to, printing, printing, copying copying existing prints, publishing publishing by electronic or other means, implies full agreement agreement to the above non-profitnon-profit-use use clause, unless upon explicit explicit prior written permission of the author. This document is provided by the author “as is”, with all its faults. Any express or implied warranties, including, but not limited to, any implied warranties of merchantability, accuracy, or fitness for any particular particular purpose, are disclaimed. disclaimed. If you use the information information in this document, document, in any way, way, you do so at your own risk. El formulario de fisica fue realizado mediante los programas teTEX y LATEX versi version on 2.09. 2.09. It can A be possible that your L TEX version has problems problems compiling the file. The most probable source source of problems problems would be the use of large bezier curves and/or emTEX specials in pictures. If you prefer prefer the notation in which vectors are typefaced in boldface, uncomment the redefinition of the vec command in the TEX file and recompile the file.

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Johan Wevers

Contents Contenido

I

Constantes fisicas

1

1 Mec´ anica 1.1 1.1 Cine Cinem´ m´ atic a tica a de una una part part´´ıcul ıculaa pun puntu tual al en en un un sis siste tema ma de coo coord rden enad adas as fijo fijo . . . . 1.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Din´ Din´ a micaa pun amic puntual tual de un sist sistem emaa de coord oorden enad adas as fijo fijo . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3.11 Fuerza erza,, (an (angula gular) r)m mom omen enttum y ener energg´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Campos de fuerza conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 1.3.3 Gravit Gravitaci aci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Ecuaciones de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 El teorema virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 1.4 La din´ din´ amica de amica de una una part part´ıcula ıcula pun puntal tal en un un sistem sistemaa coorde coordenad nado o en mo movim vimien iento to 1.4.1 Fuerzas aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 1.4 .2 No Nota taci ci´ oń para tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 1.5 Din´ Din´ amica amica de una colección de masas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 El centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 1.6 Din´ Din´ amica de cuerpos pos r´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Dependencia con el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Calculo Calculo variacion variacional, al, mec´ anica de Hamilton y Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Calculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.7.22 Me Mec´ c´ anica de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Movimien Movimiento to alrededo alrededorr del equilibrio, equilibrio, linealiz linealizaci´ aci´ on . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 1.7 .4 Espaci Espacion on de fase fase,, ecuac ecuaci´ i´ on de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.5 Funciones generadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9

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11 11 11 12 12 12 12 13 13 14 14 15

2 Electricidad y Magnetismo 2.1 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 2.2 Fuerza y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Trasformaciones de norma . . . . . . . . . . . . 2.4 2.4 Ener Energg´ıa de un cam campo elec lectrom tromag agn nétic e tico o . . . . . 2.5 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 2.5. 2.5.11 Onda Ondass elec electr trom omag agn nétic e ticas as en el vac´ ac´ıo . . 2.5. 2.5.22 Onda Ondass elec electr trom omag agn nétic e ticas as en la mater ateria ia . 2.6 Multipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Corrientes eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Campos depolarizadados . . . . . . . . . . . . . 2.9 Mezclas de materiales . . . . . . . . . . . . . . I

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II

Formulario de f´ısica, J.C.A. Wevers

3 Relatividad 3.1 Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Las transformaci´ on de Lorentz . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Corrimiento al azul o al rojo . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 El tensor de tension-energia y el tensor de campo . . 3.2 Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Geometr´ıa de Riemannian, el tensor de Einstein . . 3.2.2 El elemento de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Las orbitas planetarias y el corrimiento del perihelio 3.2.4 La trayectoria de un foton . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Cosmolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 17 18 18 18 18 19 20 21 21 21

4 Oscilaciones 4.1 Oscilaciones arm´ onicas . . . . . . . . . . 4.2 Oscilaciones mecanicas . . . . . . . . . . 4.3 Oscilaciones eléctricas . . . . . . . . . . 4.4 Ondas en conductores largos . . . . . . . 4.5 Conductores y trasformadores acoplados 4.6 Péndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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23 23 23 24 24 24 24

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25 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28

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31 31 31 31 32 32 32 33 33 33 34 35 35 36 37

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5 Ondas 5.1 La ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Soluciones a la ecuaci´ on de onda . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ondas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 la soluci´ on general en una dimensión . . . . . . 5.3 El método de la fase estacionaria . . . . . . . . . . . . 5.4 Funciones de Green para problemas de valores iniciales 5.5 Gu´ıas de onda y cavidades resonantes . . . . . . . . . 5.6 Ecuaciones de ondas no lineales . . . . . . . . . . . . . ´ 6 Optica 6.1 La desviaci´ on de la luz . . . . . ´ 6.2 Optica geométrica paraxial . . 6.2.1 Lentes . . . . . . . . . . 6.2.2 Espejos . . . . . . . . . 6.2.3 Planos principales . . . 6.2.4 Magnificaci´ on . . . . . . 6.3 Metodos matriciales . . . . . . 6.4 Aberraciones . . . . . . . . . . 6.5 Reflexi´ on y transmisión . . . . 6.6 Polarizaci´ on . . . . . . . . . . . 6.7 Prismas y dispersi´ on . . . . . . 6.8 Difracci´ on . . . . . . . . . . . . 6.9 Efectos ópticos especiales . . . 6.10 Interferómetro de Fabry-Perot . 7 F´ısica estad´ıstica 7.1 Grados de libertad . . . . 7.2 La funci´ on de distribución 7.3 Presi´ on en un muro . . . . 7.4 La ecuación de estado . . 7.5 Colisiones entre moléculas

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. . . . . . de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Formulario Esencial de F´ısica General por J.C.A. Wevers traduccion por Vicente Torres Z´ u˜ niga

III

7.6 Interacci´ on entre moléculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Termodin´ amica 8.1 Introducci´ on matemática . . . . . . . . . . . . 8.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Thermal heat capacity . . . . . . . . . . . . . 8.4 Las leyes de la termodinámica . . . . . . . . . 8.5 funciones de estado y relaciones de Maxwell . 8.6 Procesos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Trabajo m´ aximo y m´ınimo . . . . . . . . . . . 8.8 Transiciones de fase . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Potencial termodin´ amico . . . . . . . . . . . . 8.10 Mezclas ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11 Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . 8.12 Bases estad´ısticas para la termodinámica . . 8.13 Aplicaciones a otros sistemas termodinamicos

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9 Fen´ omenos de transporte 9.1 Introducci´ on matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Leyes de la conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Ecuaci´ on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Caracterización de flujos por números adimensionales . 9.5 Flujo tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Teoria del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Capas de la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 flujo de capas de fronteras . . . . . . . . . . . . 9.7.2 Temperatura de capas de fronteras . . . . . . . . 9.8 Conductancia del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10 Auto organización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 F´ısica cu´ antica 10.1 Introccidu´ on a la f´ısica cuántica . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Radiaci´ on de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 El efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Difracci´ on de electrones . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 funci´ ones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Operadores en f´ısica cu´ antica . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 La ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 El efecto t´ unel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 El oscilador arm´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 Angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 El formalismo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12 f´ısica atómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12.1 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12.2 Ecuaciones de valores propios . . . . . . . . . . . 10.12.3 interacion de orbita-spin . . . . . . . . . . . . . . 10.12.4 Reglas de selecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13 Interraci´ on con campos electromagneticos . . . . . . . . 10.14 Teor´ıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14.1 Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo 10.14.2 Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo

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55 55 55 55 55 55 56 56 56 57 57 57 57 58 58 59 59 59 60 60 60 61 61 61

IV


10.15 Sistemas de N-part´ıculas 10.15.1 General . . . . . . 10.15.2 Moléculas . . . . . 10.16 estad´ıstica cuántica . . .

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11 F´ısica de Plasmas 11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Colisiones el´ asticas . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 La interacci´ on de Coulomb . . . . . . 11.3.3 La interacci´ on del dipolo inducido . . 11.3.4 El centro de masa del sistema . . . . . 11.3.5 Luz esparcida . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Termodin´ amica en equilibrio y reversibilidad 11.5 Colisiones inel´ asticas . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Tipos de colisiones . . . . . . . . . . . 11.5.2 Sección efectiva . . . . . . . . . . . . . 11.6 Radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 La ecuaci´ on de trasporte de Boltzmann . . . 11.8 Modelos radiativos de colisi´ on . . . . . . . . . 11.9 Ondas en plasmas . . . . . . . . . . . . . . .

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12 F´ısica del estado s´ olido 12.1 E structura cristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 E nlace cristalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Vibraciones cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Una capa con un tipo de a´tomo . . . . . . . . . . . 12.3.2 Una capa con dos tipos de átomos . . . . . . . . . 12.3.3 Fonones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Capacidad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Campo magnético en el estado sólido . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Electrón libre en un gas de Fermi . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Thermal heat capacity . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.2 Conducci´ on eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.3 El efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4 Conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 B andas de Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 S uperconductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1 Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2 El efecto Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.3 Cuantizaci´ o n del flujo en un anillo superconductor 12.8.4 Interferencia cuántica microscópica . . . . . . . . . 12.8.5 La ecuación de London . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.6 El modelo BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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62 62 62 63

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65 65 65 66 66 67 67 67 67 68 68 68 69 69 70 71 71

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73 73 73 74 74 74 74 75 76 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 80 80 80 81 81 81 81

Formulario Esencial de F´ısica General por J.C.A. Wevers traduccion por Vicente Torres Z´ u˜ niga

V

13 Teor´ıa de grupos 83 13.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.1.1 Definici´ on de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.1.2 La tabla de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.1.3 Elementos subgrupos y clases conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.1.4 Isomorfismo y homomorfismo; representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.1.5 Representaci´ on reducibles e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2 El fundamental del teorema de ortoganilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.1 El lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.2 El teorema fundamental de ortoganilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.3 Car´ acter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.3 La relaci´ on con la mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.3.1 Representations, energy levels and degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.3.2 Breaking of degeneracy by a perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.3.3 La construccin de una base de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.4 The direct product of representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.5 Clebsch-Gordan coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.6 Symmetric transformations of operators, irreducible tensor operators . . . . . . 87 13.3.7 The Wigner-Eckart theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.4 C ontinuous groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.4.1 The 3-dimensional translation group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 13.4.2 The 3-dimensional rotation group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 13.4.3 Properties of continuous groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 13.5 The group SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 13.6 Aplicaciones de la mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 13.6.1 Modelo de vectores en la adicción del momento angular . . . . . . . . . . . . . 90 13.6.2 Operadores tensoriales irreducibles, elecmentos de matriz y reglas de selección 90 13.7 Aplicaciones de f´ısica de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 14 F´ısica nuclear 14.1 Fuerzas nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 La forma del núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Decaimiento radiactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Esparcimiento y reacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Modelo cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Modelo mecánico cuá ntico para esparcimiento n-p . . . . . . . . 14.4.3 Conservaci´ o n de la energ´ıa y momentum en reacciones nucleares 14.5 Dosimetr´ıa de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15 Teor´ıa de campo cu´ antico & f´ısica de part´ıculas 15.1 Operadores de creación y aniquilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Campos clásicos y cu´ anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 El marco de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Campo escalar real en el marco de interacció n . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Parti´ culas cargadas de esp´ın-0, conservació n de la carga . . . . . . . . . . . . 15.6 Funciones de campo para part´ıculas de esp´ın- 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Cuantizaci´ on de campos de esp´ın- 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Cuantizaci´ o n del campo electromagné tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9 Interacci´ on de campos y la matriz S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.10 Divergencias y renormailizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.11 Clasificaci´ on elemental de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.12 Violaci´ on P y violación CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13 El modelo est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13.1 La teor´ıa electrodé bil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13.2 Rompimiento espontáneo de la simetr´ıa: el mecanismo de Higgs . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 . 93 . 94 . 94 . 95 . 95 . 95 . 96 . 96

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

99 . . 99 . . 99 . . 100 . . 100 . . 101 . . 101 . . 102 . . 103 . . 104 . . 105 . . 105 . . 107 . . 107 . . 108 . . 108

VI


15.13.3 Cromodin´ amica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 15.14 Integrales de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 15.15 Unificaci´ on y gravedad cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 16 Astrof´ısica 16.1 Determinación de distancias . . . . . 16.2 B rillos y magnitudes . . . . . . . . . 16.3 Radiaci´ on y estelar atmosferas . . . 16.4 Composición y evolución de estrellas 16.5 Energ´ıa producida en estrellas . . . . The

. . . . .

∇-operator

Las unidades en el Sistema Internacional

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111 111 111 112 112 113 114 115

Constantes f´ısicas Nombre N´ umero π N´ umero e Constande de Euler

Simbolo π e γ = lim

n→∞

 n

Valor 3.14159265358979323846 2.71828182845904523536 1/k

k=1



− ln(n)

Unidad

= 0.5772156649

1.60217733 10−19 6.67259 10−11 1/137 2.99792458 108 8.854187 10−12 4π 10−7 8.9876 109

·

C m3 kg−1s−2

·

m/s (def) F/m H/m Nm2 C−2

h ¯h = h/2π µB = e¯h/2me a0 Ry λCe = h/m e c λCp = h/m p c µH

6.6260755 10−34 1.0545727 10−34 9.2741 10−24 0.52918 13.595 2.2463 10−12 1.3214 10−15 9.1045755 10−31

Js Js Am2 ˚ A eV m m kg

Constante de Stefan-Boltzmann Constante de Wien Constante Molar Constante de Avogadro Constante de Boltzmann

σ kW R N A k = R/N A

5.67032 10−8 2.8978 10−3 8.31441 6.0221367 1023 1.380658 10−23

Wm−2 K−4 mK J mol−1 K−1 mol−1 J/K

Masa del electron Masa del Proton Masa del Neutron Masa del elementaria Magneton nuclear

me mp mn mu = µN

9.1093897 10−31 1.6726231 10−27 1.674954 10−27 1.6605656 10−27 5.0508 10−27

kg kg kg kg J/T

Diametro del Sol Masa del Sol Periodo de rotación del Sol Radio de la Tierra Masa de la Tierra Periodo rotacional de la Tierra Periodo orbital de la Tierra Unidad astronomica A˜ no luz Parsec Constante de Hubble

D M  T  RA M A T A Tropical year AU lj pc H

1392 106 1.989 1030 25.38 6.378 106 5.976 1024 23.96 365.24219879 1.4959787066 1011 9.4605 1015 3.0857 1016 (75 25)

m kg days m kg hours days m m m km s−1 Mpc−1

Carga elemental Constante gravitcional Constante de estructura finas Velocidad de la luz en el vac´ıo Permitividad del vac´ıo Permiabilida del vac´ıo (4πε 0 )−1

e G, κ α = e 2 /2hcε0 c ε0 µ0

Constante de Planck Constante de Dirac Magneton de Bohr Radio de Bohr Constante de Rydberg Longitud de onda de un electrón de Longitud de onda de próton de Compton Masa reducida de un átomo de H

1

1 12 12 m( 6 C)

·

≈

·

·

·

· ·

· · · ·

·

·

·

· · · ·

≈

·

· · ±

·

· · · ·

·

·

·

· ·

2

Formulario esencial de f´ısica General por J.C.A. Wevers

Chapter 1

Mec´ anica 1.1 1.1.1

Cinem´ atica de una part´ıcula puntual en un sistema de coordenadas fijo Definiciones

La posici´ on r, la velocidad v y la aceleración a son definidas por: r = (x,y,z), v = (x, ˙ y, ˙ ˙z), a = (¨ x, ¨ y, ¨ z ). Por consiguiente: s(t) = s 0 +

 |

|

v (t) dt ;

r(t) = r0 +



v (t)dt ;

v (t) = v0 +



a(t)dt

Cuando la aceleración es constante, encontramos: v(t) = v0 + at y s(t) = s 0 + v0 t + 21 at2 . Para los vectores unitarios en la dirección respecto a la orbita et y paralelos respecto a en tenemos:

⊥

et =

v dr = v ds

||

v e˙t = en ; ρ

en =

e˙t e˙t

| |

Para la curvatura k y el radio de curvatura ρ encontramos:





det d2r dϕ  k = = 2 = ; ds ds ds

1.1.2

Coordenadas polares

ρ =

1 k

||

Las coordenadas polares son definidas por: x = r cos(θ), y = r sin(θ). De tal modo, para el sistema ˙eθ , e˙θ = θ ˙ er de vectores unitarios: e˙r = θ

−

˙eθ , a = (¨r rθ˙2 )er +(2˙rθ˙ + rθ) ¨ eθ . La velocidad y la aceleración son derivados de: r = rer , v = r ˙ er + rθ

−

1.2

Movimiento relativo

Para el movimiento de un punto D a un punto Q, tenemos: rD = rQ + ˙ ω = θ.

 ω

× vQ con QD  = rD − rQ y ω2

¨  significa que la cantidad en un sistema de codinadas en movimiento. En Luego se obtiene: α = θ. un sistema en movimiento se tiene: v = vQ + v  +  ω r  y a = aQ + a  +  α r  + 2 ω v  +  ω ( ω r  ) with  ω ( ω r  ) = ω 2r n

× ×

1.3 1.3.1

×

−

×

×

× ×

Din´ amica puntual de un sistema de coordenadas fijo Fuerza, (angular)momentum y energ´ıa

La segunda ley de Newton relaciona la fuerza de un objeto y la aceleración resultante de un objeto donde el momentum es dado por 3

4


p = m  v: p d(mv ) dv dm  r, v, t) = d = = m + v F ( dt dt dt dt  accion = F  reaccion . La tercera ley de Newton es dada por: F

m=const

=

ma

−

˙ = F  v . Para la emerg´ıa total W , la energ´ıa cinética T y la Para la potencia P tenemos: P = W ˙ energ´ıa potencial U tenemos: W = T + U ; T ˙ = U tal que T = 21 mv 2 .

·

 es: S  = ∆ el impulso S p =

−



F dt 2

El trabajo A, realizado por una fuerza , es A =

2

 ·   ds = F

1

F cos(α)ds

1

˙   y La torca τ es relacionada a el momento angular  L: τ = L =  r F ;  r p = m  = mr 2 ω. La siguiente ecuación es valida: L =   v r, L

×

×

× | |

τ =

− ∂U ∂θ

Luego, las condiciones del equilibrio mec´ anico son:



 F i = 0 y



τi = 0.

La fuerza de fricci´ on es usualmente proporcional a la fuerza perpendicular a la superficie, excepto cuando el movimiento comienza, cuando el umbral tiene que ser superado: F fric = f F norm et .

·

1.3.2

·

Campos de fuerza conservativa

 cons = Una fuerza conservativa puede ser escrita como el gradiente de un potencial: F   palabras, F = 0. Para tal campo de fuerza encontramos que:

∇ ×

−∇ U . En otras

r1

 ·

 ds = 0 F

⇒

U = U 0

 − ·

 ds F

r0

Es decir, el trabajo realizado por un campo de fuerza conservativa no depende de la trayectoria, solamente depende del punto inicial y el punto final del movimiento.

1.3.3

Gravitaci´ on

La ley de gravitación newtoniana es (en GRT se utiliza κ en lugar de G): 2 er −G mr1m 2 Luego, el potencial gravitatorio es dado por V = −Gm/r. Por la ley de Gauss tenemos que: ∇ 2 V =

 g = F

4πG.

1.3.4

Ecuaciones de orbitas

Si V = V (r) podemos derivar de la ecuación de Lagrange para φ la conservación de impulso angular:

L

∂ ∂V = =0 ∂φ ∂φ

⇒ dtd (mr2 φ) = 0 ⇒ Lz = mr 2φ = constant

Para la posici´ on radial como función del tiempo puede escribirse:

 dr dt

2

=

− − L2 m2 r 2

2(W V ) m

5

Cap´ ıtulo 1: Mec´ anica

La ecuación angular es entonces: r

φ

− φ0 =

   0

mr2 L

− − L2 m2 r2

2(W V ) m





−1 r

dr

−2

field

=

arccos 1 +

1 r 1 r0

− r1

0

+ km/L2z



 Si F = F (r): L =constante, si F es conservativa: W =constante, si F

⊥ v entonces ∆T = 0 y U = 0.

Ecuaciones de Kepler para orbitas En un campo de fuerzas F = kr −2 , Las orbitas son secciones cónicas con el origen de la fuerza en uno de los focos (primera ley de Kepler). La ecuación de la orbita es:

con  =

r(θ) =

 1 + ε cos(θ

L2 ; Gµ2 M tot

ε2 = 1 +

− θ0)

, or: x2 + y 2 = (

2W L2 2 =1 G2 µ3 M tot

− a ;

− εx)2

a =

 1

−

ε2

=

k 2W

a Es la mitad de la longitud a lo largo del eje de la orbita el´ıptica en caso de la orbita sea cerrada. La mitad de la longitud del eje corto es b = a. ε es la excentricidad de la orbita. Las orbitas con una misma excentricidad, ε, son iguales en forma. Ahora, sólo 5 tipos de orbitas son posibles:

√

1. k < 0 y ε = 0: un c´ırculo. 2. k < 0 y 0 < ε < 1: una elipse. 3. k < 0 y ε = 1: una parábola. 4. k < 0 y ε > 1: una hipérbola, con concavidad dirigida hacia el centro de la fuerza. 5. k > 0 y ε > 1: una hipérbola, con concavidad dirigida en sentido al centro de la fuerza. Otras combinaciones no son posibles: La energ´ıa total en un campo de fuerza repulsiva es siempre positiva, de modo que ε > 1. Si la superficie entre la orbita cubierto entre t 1 y t 2 y el foco C alrededor de que el planeta se mueve como A(t1 , t2 ), la segunda ley de Kepler es A(t1 , t2 ) =

LC (t2 2m

− t1)

La tercer ley de Kepler es, con T el periodo y M tot la masa total de el sistema: T 2 4π2 = a3 GM tot

1.3.5

El teorema virial

El teorema virial para una part´ıcula es:

mv · r = 0 ⇒ T  =

    − · 1 2

 r = F

1 2

r

dU dr

= 21 n U if U =

 

− rkn

Generalizando, el teorema virial para una colección de part´ıculas es:

T  = − 21



particulas

 i ri + F

·



pares

 ij rij F

·



Asi mismo, estas últimas preposiciones pueden escribirse como: 2E kin + E pot = 0.

6


1.4 1.4.1

La din´ amica de una part´ıcula puntal en un sistema coordenado en movimiento Fuerzas aparentes

La fuerza total en un sistema coordinado en movimiento puede ser encontrado al sustraer las fuerzas   = F  F  app . Identificamos como fuerzas aparentes aparentes que actúan en el marco de referencia: F a las siguientes:

−

1. Transformaci´ on del origen: F or =  α = 2. Rotación: F

−maa

−m α × r 

−2m ω × v  cf = mω 2rn  = −F  cp ; 4. Fuerza centrifuga: F 3. Fuerza de Coriolis: F cor =

1.4.2

 cp = F

− mvr

2

er

Notaci´ on para tensores

Por medio de la transformación de las ecuaciones de Newton para el movimiento x α = xα (x) resulta en: dxα ∂x α d¯ xβ = ; dt ∂ ¯ xβ dt La regla de la cadena nos muestra que: d dxα d2 xα d = = 2 dt dt dt dt Luego:



∂x α d¯ xβ ∂ ¯ xβ dt



∂x α d2 x ¯β d x ¯β d = + ∂ ¯ xβ dt2 dt dt

d2 xα ∂x α d2 x¯β ∂ 2 xα d¯ xγ = + dt2 ∂ ¯ xβ dt2 ∂ ¯ xβ ∂ ¯ xγ dt

De este modo, la ecuación newtoniana para el movimiento m Se transfoma en: m



  d¯ xβ dt

d2 xα = F α 2 dt

β γ d2 xα α dx dx + Γβγ dt2 dt dt

Las fuerzas aparentes son tomadas desde el origen: Γ α βγ

1.5.1

∂x α ∂ ¯ xβ

d ∂x α ∂ ∂x α d¯ xγ ∂ 2 xα d¯ xγ = = dt ∂ ¯ xβ ∂ ¯ xγ ∂ ¯ xβ dt ∂ ¯ xβ ∂ ¯ xγ dt

Por tanto:

1.5

 



= F α

dxβ dxγ . dt dt

Din´ amica de una colecci´ on de masas puntuales El centro de masa

 dado por v La velocidad del centro de masa R es rm =

˙  − R. Las coordenadas del centro de masa son:



miri mi

En un sistema de dos part´ıculas, las coordenadas del centro de masa se escribe como:  m1r1 + m2r2 R = m1 + m2

7


Con r = r1

− r2, la energ´ıa cinética se convierte en: T = 21 M totR˙ 2 + 21 µr˙2, con la masa reducida µ es

1 1 1 = + µ m1 m2 El movimiento adentro y afuera de centro de masa puede ser separado: dado por:

˙  L τa fuera ; afuera =  p = m  vm ;

1.5.2

˙  L τa dentro adentro = 

 ext = mam ; F

 12 = µu F

Colisiones

Consideremos que existe un sistema coordenado y una posición arbitraria C, tenemos: p  = mvm 1 2 es constante, y T = 2 mvm es constante. Los cambios en la velocidad relativa son descritos por:  = ∆  C = CB  S  ,   =constante y  S p = µ(vaft vbefore). Obtenemos ∆L p S L w.r.t. B es constante.

−

1.6

×



Din´ amica de cuerpos r´ıgidos

1.6.1

Momento de inercia

El momento angular en un sistema de coordenadas movimiento es dado por:   = I ω + L   Ln donde I es el momento de inercia con respecto al eje central, que es dado por: I =



miri

2

;

T  = W rot = 21 ωI ij eiej = 21 Iω2

i

o, en el caso continuo:

m I = V

desarrollando tenemos: Li = I ij ωj ;



2 r n dV

I ii = I i ;

=



2

r n dm

I ij = I ji =

−



mk xi xj

k

El teorema de Steiner es: I w.r.t.D = I w.r.t.C + m(DM )2 sie el eje si el eje C es paralelo al eje D; es decir C D.



Objeto

I

Objeto

I

Cilindro hueco

I = mR 2

Cilindro masivo

I = 21 mR2

Disco, su eje de giro es atravesz del disco

I = 41 mR2

Halter

I = 21 µR2

Esfera hueca

I = 32 mR2

Esfera masiva

I = 52 mR2

⊥ through end Rectangle, axis  b thr. m

I = 31 ml2

⊥ a traves c.o.m. Rectangulo, eje ⊥ plano a traves. c.o.m.

Barra, eje

1.6.2

I =

1 2 12 ml

I =

1 2 12 m(a

Barra, eje

+ b2 )

I = ma 2

Ejes principales

Cada cuerpo r´ıgido cuenta con, al menos tres, ejes principales; los cuales están perpendiculares uno al otro. Para un eje principal tenemos: ∂I ∂I ∂I = = = 0 so Ln = 0 ∂ω x ∂ω y ∂ω z Por lo anterior tenemos: ω˙ k =

−aijk ωiωj con a ijk = I i I −k I j

≤ I 2 ≤ I 3 .

si I 1

8

1.6.3


Dependencia con el tiempo

Para una torca τ obtenemos:   d L = τ  dt

τ  = I θ¨ ;

− ω × L 

 definida por: T  = F   La torca T es d.

×

1.7 1.7.1

Calculo variacional, mec´ anica de Hamilton y Lagrange Calculo variacional

Comenzamos con: b

δ

 L

(q, q, ˙ t)dt = 0 with δ (a) = δ (b) = 0 and δ

a

  du dx

=

d (δu) dx

Las ecuaciones de Lagrange pueden ser derivadas:

L

L

d ∂ ∂ = dt ∂ q ˙i ∂q i

Cuando hay condiciones adicionales aplicadas a los problemas variacionales δJ (u) = 0 de un tipo K (u) =constante, el nuevo problema se convierte: δJ (u) λδK (u) = 0.

−

1.7.2

Mec´ anica de Hamilton



T (q ˙i) − V (q i ). El Hamiltoniano es dado por : H = L L − U = 21 m(r˙2 + r2 ˙φ2) − U (r, φ).

El Lagrangiano es dado por: = En 2 dimensiones tenemos: = T



˙q i pi

− L.

Si empleamos coordenadas canoicas las ecuaciones de Hamilton son las ecuaciones de movimiento del sistema: dq i ∂H dpi ∂H = ; = dt ∂p i dt ∂q i

− Las cordenadas so canicas si cumplen con: { q i , q j } = 0, { pi , pj } = 0, {q i , pj } = δ ij donde {, } es el bracket de Poisson :

{A, B} =

 i

∂A ∂B ∂q i ∂p i

−

∂A ∂B ∂p i ∂q i



El Hamiltoniano de un oscilador armónico es H (x, p) = p 2 /2m + 21 mω 2 x2 . Con nuevas coordenadas (θ, I ), Obtenidas por la trasformaci´ on canica x = 2I/mω cos(θ) y p = 2Imω sin(θ), con el inversa θ = arctan( p/mωx) and I = p 2 /2mω + 21 mωx2 se obtiene: H (θ, I ) = ωI .

− √



−

el Hamiltoniano de una part´ıcula cargada con carga q en un campo electromagnético externo es:

− 

1 H = p 2m

 q A

2

+ qV

Este Hamiltoniano puede ser derivado del Hamiltoniano de una part´ıcula libre H = p2 /2m con las transformaciones  p  p q  A y H H qV . Esta es una elegante forma de un punto de vista relativistico: ésto es equivalente a la transformación del momentum de cuatro vectores pα pα qAα . Una transformación de norma sobre los potenciales Aα corresponde con una transformación canónica, que hacen las ecuaciones de Hamilton de movimiento para el sistema.

→ −

→ −

→ −

9


1.7.3

Movimiento alrededor del equilibrio, linealizaci´ on

Para sistemas naturales alrededor del equlibrio las siguientes ecuaciones son validas:

  ∂V ∂q i

=0 ;

V (q ) = V (0) + V ik q iq k with V ik =

0

  ∂ 2 V ∂q i ∂q k

0

Con T = 21 (M ik ˙q i ˙q k ) se recibe un conjunto de ecuaciones M ¨ q + V q = 0. If q i (t) = ai exp(iωt) es sustituida, este conjunto de ecuaciones tiene soluciones si det(V ω2 M ) = 0. Esto conlleva a un aT V ak problema de eigen-frecuencias: ωk2 = Tk . Si el equilibrio es estable se tiene: k that ω k2 > 0. La ak M ak solucion general es una superposici´ on de eingen-vibraciones.

−

∀

1.7.4

Espacion de fase, ecuaci´ on de Liouville

En el espacio fase se tiene:

∇=

   i

∂ , ∂q i

∂ ∂p i

i

Si la ecuación de continuidad, ∂ t  +

so

∇ · v =

 i

∂ ∂H ∂q i ∂p i

−

∂ ∂H ∂p i ∂q i



∇ · (v ) = 0 Obteniendo, esto puede ser escrito como: {, H } + ∂∂t = 0

Para una cantidad arbitraria A se tiene: dA ∂ A = A, H + dt ∂t

{

}

El teorema de Liouville puede ser escrito como: d = 0 ; dt

1.7.5

or:



pdq = constante

Funciones generadoras

Comenzando con una transformación de coordenadas:



Qi = Q i (q i , pi , t) P i = P i (q i , pi , t)

podemos derivar el siguientes ecuaciones de Hamilton por medio de un nuevo hamiltoninano K : dQi ∂K = ; dt ∂P i

dP i = dt

∂K − ∂Q i

Ahora, una distinci´ on entre los cuatro casos se puede realizar: 1. If p i ˙q i

− H = P iQi − K (P i, Qi, t) − dF 1(q dti , Qi, t) , de modo que tenemos: pi =

2. If p i ˙q i

∂F 1 ; ∂q i

P i =

∂F 1 − ∂Q ; i

K = H +

∂ F 1 ∂t

− H = −P ˙ iQi − K (P i, Qi , t) + dF 2 (q dti , P i , t) , las coordenadas siguen que: pi =

∂F 2 ; ∂q i

Qi =

∂F 2 ; ∂P i

K = H +

∂ F 2 ∂t

10


−

3. If p˙ iq i

− H = P iQ˙ i − K (P i, Qi , t) + dF 3 ( pdti , Qi, t) , las coordenadas siguen que: q i =

−

4. If p˙ iq i

3 − ∂F ; ∂p i

P i =

∂F 3 − ∂Q ; i

K = H +

∂ F 3 ∂t

− H = −P i Qi − K (P i, Qi, t) + dF 4( pdti, P i , t) , las coordenadas siguen que: q i =

4 ; − ∂F ∂p i

Qi =

∂F 4 ; ∂p i

K = H +

Las funciones F 1 , F 2 , F 3 y F 4 son llamadas funciones generadoras .

∂ F 4 ∂t

Chapter 2

Electricidad y Magnetismo 2.1

Las ecuaciones de Maxwell

Los campos electromagnéticos clásicos pueden ser descritos por medio de las ecuaciones de Maxwell . Las que pueden se escritas de modo diferencial e integral:

 ·  ·  ·  ·

 n )d2 A = Q libre,incluido ( D

 ∇ · D = ρ libre  0 ∇ · B =  ∇ × E  = − ∂ ∂tB  ∇ × H  = J  libre + ∂ ∂tD

 n )d2 A = 0 ( B

 ds = E

− dΦ dt

 ds = I libre,incluido + dΨ H dt

Para un flujo se tiene: Ψ =



 n )d2 A, Φ = (D

·



 n )d2 A. (B

·

 la polarizaci´  el campo eléctrico E  dependen Para la intensidad del desplazamiento eléctrico D, on P y de uno del otro de acuerdo con: np20      D = ε p 0 /Vol, ε r = 1 + χe , con χ e = 0 E + P = ε 0 εr E , P = 3ε0 kT  , la magnetización M  y la densidad del flujo magnético B  La intensidad del campo magn´ etico H dependen uno del otro de acuerdo con:



     B = µ 0 (H + M ) = µ 0 µr H , M =

2.2



m/Vol, µ  r = 1 + χm , con χ m =

µ0 nm20 3kT

Fuerza y potencial

La fuerza y el campo eléctrico entre dos cargas puntuales es descrito por:  12 = F

  = F E Q

Q 1 Q2 er ; 4πε0 εr r2

La fuerza de Lorentz es la fuerza que es experimentada por una part´ıcula carga que se mueve a trav´ es de un campo magnético. El origen de esta fuerza es una trasformación relativistica de la fuerza de  L = Q(v B  ) = l(I  B  ). Coulomb: F

×

×

El campo magnético en un punto P que resulta de una corriente el´ ectrica es dado por la ley de Biot-Savart , conocida también como la ley de Laplace. Aqu´ı, d l  I y r points from d l to P :



 P = dB

µ0 I  dl er 4πr 2

×

Si la corriente es dependiente del tiempo, se debe tomar en cuenta el tiempo de retardo: la sustitución I (t) I (t r/c) debe ser aplicada.

→ −

Los potenciales están dados por: V 12 =

2

 − ·

 ds y A =  1 B  E 2

1

11

× r.

12


Aqu´ı, existe libertad para aplicar una trasformaci´ on de norma (conocida en ingles como gauge trans formaci´ on). Los campos pueden ser derivados de los potenciales mediante:  = E



−∇V − ∂ ∂tA ,

 v Desarrollando se obtiene la relaci´ on: c2 B = 

2.3

 B =

∇ × A

× E  .

Trasformaciones de norma

Los potenciales de los campos electromagnéticos se les aplican una transformación de norma:

 

  = A  A

− ∇f

V  = V +

∂ f ∂t

 y B  no cambian. Esto ´ As´ı los campos E resulta en una transformación canónica del hamiltoniano. Entonces, los grados de libertad permanecen. Dos comunes normas son:  1 ∂V = 0. Esto ´  1. Norma de Lorentz: A + separaThis las ecuaciones diferenciales para A y c2 ∂t ρ   . V : V = , A = µ0 J ε0

∇ · −

−

 0. If ρ = 0 y J  = 0 obteniendo V = 0 y siguiendo A de  ∇ · A =

2. Norma Coulomb:

2.4

 0. A =



Energ´ıa de un campo electromagn´ etico

La densidad de energ´ıa de un campo electromagnético es: dW = w = dVol



HdB +



EdD

La densidad de energ´ıa puede ser expresada en los potenciales y las corrientes de la siguiente manera: wmag =

2.5 2.5.1

1 2

 ·

 A  d3 x , wel = J

1 2



ρV d3 x

Ondas electromagn´ eticas Ondas electromagnéticas en el vac´ıo

−f (r, t) presenta una solución general, con c = (ε0µ0)−1/2: f (r, t − |r − r  |/c) 3  Ψ(r , t) = d r 4π|r − r  |  (r, t) = J  (r ) exp(−iωt) y A(  r, t) = A(  r ) exp(−iωt) con: Si este es escrito como: J µ r − r  |) 3  1 r − r  |) 3   exp(ik |  exp(ik |   ) = ( ) ) = ) A(r J r 4π |r − r | d r , V (r 4πε ρ(r |r − r | d r La ecuación de onda

Ψ(r, t) =









Una derivaci´ on v´ıa una expansión multipolar muestra que para la energ´ıa radiante es invariante, si d, λ r: 2 dP k2  i k· r 3  = J ⊥ (r )e d r dΩ 32π2 ε0 c







13

Cap´ıtulo 2: Electricidad y Magnetismo

La densidad de energ´ıa de una onda electromagn´ etica de un dipolo vibrante a una distancia larga es: p20 sin2 (θ)ω 4 sin2 (kr 2 2 4 16π ε0 r c

w = ε 0 E 2 =

2

2

4

0 sin (θ)ω − ωt) , wt = p32π 2 ε r 2 c4 0

, P =

ck4 p 2 12πε 0

||

 : S  = E  H  = cWev . La irradiancia La energ´ıa irradiada puede ser derivada del vector de Poynting S  t . La presi´ es el promedio temporal del vector del Poynting: I = S on de radiación p s es descrita  por p s = (1 + R) S /c, donde R es el coeficiente de reflexión.

| |

| |

2.5.2

×

Ondas electromagn´ eticas en la materia

La ecuación de onda en la materia, con c mat = (εµ)−1/2 es la velocidad de la luz en la materia, son:

∇ − 2

∂ 2 εµ 2 ∂t

−



µ ∂  E = 0 , ρ ∂t

∇ − 2

∂ 2 εµ 2 ∂t

−



µ ∂  B = 0 ρ ∂t

 = E exp(i( dado, despu´ es de la sustituci´ on de la onda monocromática plana: E k r B exp(i( k r ωt)) la relación de la dispersión:

· − ωt)) y B =

· −

k 2 = εµω 2 +

iµω ρ

El primer término aparece debido a la corriente de desplazamiento, la segunda forma de la corriente de conductancia. Si k es escrito en la forma k := k  + ik , se tiene que: k = ω



1 2 εµ

   1+

1+

1 (ρεω)2

and k  = ω



1 2 εµ

 −  1+

1+

1 (ρεω)2

 = E exp( k n r ) exp(i(k n r ωt)). Si el material Este resultado muestra una onda amoritiguada: E es un buen conductor, si la onda se desvanece después de una longitud de onda, aproximadamente, µω k = (1 + i) . 2ρ

− ·

·−



2.6

Multipolos

Porque

1 r 

|r − |

1 = r

∞

    0

r r

l

P l (cos θ) el potencial puede ser escrito como: V =

Q 4πε

Para los términos de menor orden resulta en:

 n

kn rn

• Monopolo: l = 0, k0 = ρdV • Dipolo: l = 1, k1 = r cos(θ)ρdV • Quadrupolo: l = 2, k2 = 21 (3zi2 − ri2 )

 i

⊕

1. El dipolo eléctrico: el impulso dipolar: p =  Qle , donde e va de hasta  y W = p E out . Q 3 p r   out Campo electrico: E p . la torca es: τ =  p E 3 4πεr r2

− ·



≈

· −



 ext , p · ∇)E , y F  = (

×

 √

 = ( 2. El dipolo magnético: el impulso dipolar: si r A:  µ =  I (A e⊥ ), F µ 2 mv⊥  out µ = , W =  µ B 2B µ 3µ r   out Campo magnetico: B = µ . El momento es: τ =   µ B 4πr 3 r2

||

− ×

−



· −



×

×

· ∇)B out

14

2.7


Corrientes el´ ectricas

∂ρ  = 0. La corriente electrica es dada La ecuación de continudad para cargas eléctricas es: + J ∂t por: dQ  n )d2 A I = = (J dt

∇·

 ·

 = E/ρ,  donde ρ es la resistividad . Para la mayoria de los conductores: J dΦ Si el flujo encerrado en un conductor cambia esto resulta en un voltaje inducido V ind = N . Si la dt corriente fluyendo a través un conductor cambia, esto resulta en una auto inductancia que se opone dI al cambio original: V autoind = L . Si el conducto encierra un flujo Φ tal que : Φ = LI . dt

−

−

La inducci´ on magnética con una espira es aproximadamente: B =

√ l2µN+ I 4R2 donde l es la longitud,

R el radio y N es el numero de espiras. la energ´ıa contenida dentro de la espira es dada por W = 21 LI 2 y L = µN 2 A/l.

La capacitancia es definida por: C = Q/V . Para un capacitor o condensador se tiene: C = ε 0 εr A/d donde d es la distancia entre las placas y A la superficie de una de las palcas. La intensidad del campo eléctrico entre la placa es E = σ/ε0 = Q/ε0 A donde σ es la carga superficial. La cantidad energ´ıa acumulada es determinada por medio de W = 21 CV 2 . La corriente a través de una capacitancia es dV dada por I = C . dt

−

Para la mayor´ıa de las resistencia PTC es aproximadamente: R = R0 (1 + αT ), donde R0 = ρl/A. Para un NTC es: R(T ) = C exp( B/T ) donde B y C depende únicamente del material.

−

Si la corriente fluye a través de dos diferentes conductores conectados x y y, el área de contacto se calienta o se enfr´ıa, dependiendo de la dirección de la corriente: el efecto Peltier . El calor generado o removido es determinado por: W = Πxy It. Este efecto puede ser amplificado mediante semiconductores.

− T 0). Para una conexión

El voltaje térmico entre dos metales dos metales es descrito por: V = γ (T de Cu-Konstantane se tiene: γ 0.2 0.7 mV/K.

≈

−

En una red eléctrica con corrientes estacionarias, Las ecuaciones de Kirchhoff se pueden aplicar: para un nodo se tiene: I n = 0, a lo largo de un camino cerrado, se obtiene: V n = I n Rn = 0.



2.8

 

Campos depolarizadados

Si un material dieléctrico es colocado en un campo eléctrico o magn´ etico, la intensidad del campo dentro de afuera del material cambiara porque el material se polarizara o magnetizara. Si el medio  0 or B  0 tiene una forma elipsoide y uno de sus ejes principales es paralelo con el campo externo E entonces la despolarización es un campo homogéneo.  − E  0 = − N ε0P  dep = H  mat − H  0 = −N M  H  dep = E  mat E

N es dependiente solamente en la forma de el objeto colocado en el campo, con 0 ≤ N ≤ 1. Para unos cuantos casos de un elipsoide, se tiene: un plato delgado: N = 1, a long, una barra delgada: N = 0, una a esfera: N = 31 .

15

Cap´ıtulo 2: Electricidad y Magnetismo

2.9

Mezclas de materiales

El desplazamiento de promedio de la electricidad en un material que es inhomog´ eneo en una escala −1 φ 2 (1 x) mesoscopica es dado por: D = εE = ε ∗ E donde ε ∗ = ε 1 1 donde x = ε 1 /ε2 . Φ(ε∗ /ε2) Para una esfera se encuentra que: Φ = 31 + 32 x. De este modo se tiene:

   

−

 

  i

φi εi

−1

≤ ε∗ ≤

 i

φi εi

−



16


Chapter 3

Relatividad 3.1 3.1.1

Relatividad especial Las transformaci´ on de Lorentz

Las trasnformación de Lorentz (x  , t ) = (x  (x, t), t (x, t)) deja la ecuación de onda invariante, si c es invariante: ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 1 ∂ 2 + + = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t 2

−

−

Esta transformación tambine puede ser utilizada cuando ds 2 = ds2 se requiere. La forma general de la trasnfomración de Lorentz es descrita por: 

x = x +

(γ

− 1)(x · v )v − γvt |v|2

donde γ =

− · 



, t = γ t

x v c2

1

 − 1

v 2 c2

La diferencia de velocidades v  entre dos observadores se trasforma de acuerdo: 

v =

  − ·   v1 v2 c2

γ 1

−1

v2 + (γ

−

·

v1 v2 1) 2 v1 v1

− γv1



Si la velocidad es paralela al eje x, se tiene que y  = y, z  = z : x = γ (x t = γ

x = γ (x + vt ) x  v , t = γ t + 2 c

− vt) , xv t− 2 c



 

Si v = vex , entonces: px = γ



px

−

β W c





v =

,

v2 1

− v1

− v 1c2v2

W  = γ (W

− vpx )

,

Con β = v/c el campo eléctrico de una carga en movimiento se obtiene:  = E

Q (1 β 2 )er 4πε 0 r2 (1 β 2 sin2 (θ))3/2

−

−

El campo electromagnético se trasforma de acuerdo con:   = γ (E  + v E

× B )



  = γ B  B

,

− v ×c2



 E

Longitud, masa y tiempo se trasforman siguiendo las siguientes ecuaciones: ∆ tr = γ ∆t0 , m r = γ m0 , lr = l 0 /γ , con 0 the quantities in a co-moving reference frame and r the quantities in a frame moving with velocity v w.r.t. it. The proper time τ is defined as: dτ 2 = ds 2 /c2 , so ∆τ = ∆t/γ . For energy 17

18


and momentum holds: W = mr c2 = γW 0 , W 2 = m20 c4 + p2 c2 . p = mr v = γm 0 v = Wv/c2 , and  = d pc = W β where β = v/c. The force is defined by F p/dt. vectores de dimension cuatro tienene la propiedad que su modulo es independiente del observador: sus componentes pueden cambiear despues de una trasformacion de cordenadas, pero su modulo. Las diferecias de dos vectores de dimension cautro resulta αtamvien en un vector de dimension cuatro. dx La velocidad de estos vectores es descrita por U α = . La relacion con la velocidad “normal” dτ ui := dxi /dt es: U α = (γu i ,icγ ). Para particulas con una masa en reposo, diferente de cero, obtenemos: U α U α = c2 , para particulas con una masa en reposo cero ( de modo que v = c) se tiene: U α U α = 0. Los vectores de dimension cuatro para una energia y un momentum son descritos por: pα = m 0 U α = (γp i ,iW/c). Asi: pα pα = m20 c2 = p 2 W 2 /c2 .

−

−

3.1.2

−

Corrimiento al azul o al rojo

Existen tres causas para que se presente el corrimiento al azul o al rojo:

−



f  v cos(ϕ) 1. Movimiento: con ev er = cos(ϕ) siguiendo: = γ 1 . f c Este puede ser derivar tanto en un corrimiento hacia el rojo o un corrimiento hacia el azul, tambien a la direccion del movimiento.

·

⊥

2. Corrimiento Gravitational:

∆f κM = 2 . f rc

3. Corrimieto al rojo debido a la expansion del universo, por lo que se presentan la radiación de fondo cosmica: λ0 R0 = . λ1 R1

3.1.3

El tensor de tension-energia y el tensor de campo

El tensor de tension-energia es descrito por: T µν = (c2 + p)uµ uν + pgµν +

1 F µα F ν α + 41 gµν F αβ F αβ 2 c



Las leyes de la conservacion pueden ser escritas como: magnetic es: F αβ =

∂A β ∂x α

∇ν T µν = 0.



El el tensor de campo electro-

− ∂∂xAβα

  con A µ := (A,iV/c) y J µ := (J,icρ). Las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas como: ∂ ν F µν = µ0 J µ , ∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0 Las ecuaciones de movimiento para una particula carga en un campo EM se trasforma con el tensor de campo: dpα = qF αβ uβ dτ

3.2 3.2.1

Relatividad general Geometr´ıa de Riemannian, el tensor de Einstein

Los principios de teor´ıa de relatividad general son:

19

Cap´ıtulo 3: Relatividad

1. El postulado geometrico: free falling particles move along geodesics of space-time with the proper time τ or arc length s as parameter. For particles with zero rest mass (photons), the use of a free parameter is required because for them holds ds = 0. From δ ds = 0 the equations of motion can be derived: β γ d2 xα α dx dx + Γ =0 βγ ds2 ds ds



≡

2. El principio de equivalencia : inertial mass gravitational mass with a curved space-time were particles move along geodesics.

⇒ gravitation is equivalent

3. Por la eleccion adecuada de un sistema de coordenadas es posible hace la metrica localmente plan en cada punto x i : gαβ (xi ) = η αβ :=diag( 1, 1, 1, 1).

− µ El tensor de Riemann es defindo como: Rναβ T ν := ∇α ∇β T µ −∇ β ∇α T µ , donde la derivada covariante es dada por: ∇ j ai = ∂ j ai + Γijk ak y ∇j ai = ∂ j ai − Γkij ak . Aqui, Γijk =

g il 2



∂g lj ∂ glk + ∂x k ∂x j

−

∂ gj k ∂x l



, para espacios euclidianos esto se reduce a: Γ ijk =

∂ 2 x ¯l ∂x i , ∂x j ∂x k ∂ ¯ xl

µ son los simbolos de Christoffel . Para tensores de segundo orden se tiene: [ α , β ]T ν µ = R σαβ T ν σ + σ Rναβ T σµ , k aij = ∂ k aij Γlkj ail +Γ ikl alj , k aij = ∂ k aij Γlki alj Γlkj ajl y k aij = ∂ k aij +Γ ikl alj +Γ jkl ail . α α σ σ Entonces, se obtiene: Rβµν = ∂ µ Γα ∂ ν Γα Γα σν Γβµ . βν βµ + Γ σµ Γβν

∇

−

∇ −

−

−

−

∇ ∇

∇

µ El tensor de Ricci es la contración del tensor de Riemann: Rαβ := Rαµβ , which is symmetric: Rαβ = Rβα . The Bianchi identities are: λ Rαβµν + ν Rαβλµ + µ Rαβνλ = 0.

∇ ∇ ∇ α El tensor de Einstein es: Gαβ := Rαβ − 21 g αβ R, donde R := Rα es el escalar de Ricci , para el 2 que: ∇ β Gαβ = 0. Con el principio variacional δ (L(gµν ) − Rc /16πκ) |g |d4 x = 0 para variaciones gµν → gµν + δg µν las the ecuaciones de campo de Einstein pueden obtenerse:





Gαβ =

8πκ T αβ c2

, el cual tambien puede escribirse como Rαβ =

8πκ (T αβ c2

− 21 gαβ T µµ)

Para espacios vac´ıos este es equivalente a Rαβ = 0. La ecuacion Rαβµν = 0 presenta una sola solución en el espacio plano. Las ecuaciones de Einstein son diez independientes ecuaciones, las que son de segundo orden en gµν . Por ello, La ecuaci´ on de Laplace de la gravitación newtoniana puede obtenerse al establecer: gµν = η µν + hµν , donde h 1. En el caso estacionario, este resulta en 2 h00 = 8πκ/c2 .

| | 

∇

T αβ − 21 gαβ R + Λgαβ = 8πκ c2

La forma más general de la ecuación de campo es: Rαβ

donde Λ es la constante cosmologica . Esta constante desempe˜ na un papel importante en los modelos de expansión del universo.

3.2.2

El elemento de l´ınea

El tensor de métrica en un espacio euclidiano es dado por: gij =

 k

∂ ¯ xk ∂ ¯ xk . ∂x i ∂x j

En general se tiene: ds2 = gµν dxµ dxν . En relatividad especial se convierte ds2 = dy2 + dz 2 . Esta métrica, η µν :=diag( 1, 1, 1, 1), es llamada lametrica de Minkowski .

−

−c2dt2 + dx2 +

La metrica de Schwarzschild externa se aplica en el vació exterior de una distribución esférica de masa, y es descrita por: 2

ds =

−

2m 1+ r



2

2

− 

c dt + 1

2m r

−1

dr2 + r2 dΩ2

20


Aqui, m := Mκ/c2 es la masa geométrica de un objeto con masa M , y dΩ2 = dθ 2 + sin2 θdϕ2 . Esta métrica es singular para r = 2m = 2κM/c2 . Si un objeto es más peque˜ no que su horizonte de evento 2m, lo que implica que su velocidad de escape es > c, esto es denominado un hoyo negro. El l´ımite newtoniano de esta métrica es descrito por: ds2 =

−(1 + 2V )c2dt2 + (1 − 2V )(dx2 + dy2 + dz2)

−

donde V = κM/r es el potencial gravitacional newtoniano. En relatividad, la componente de gµν es asociada con los potenciales y las derivadas de de g µν con una intensidad de campo. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son utilizadas para resolver ciertos problemas con la métrica de Schwarzschild cerca de r = 2m. Son definidos por:

• r > 2m:

     

• r < 2m:

• r = 2m:

 −  −  −  −

u =

v

=

u =

v

=

   

   

r 2m

r 1exp cosh 4m

r 2m

1exp

   

   

t 4m

r t sinh 4m 4m

1

r r t exp sinh 2m 4m 4m

1

r r exp cosh 2m 4m

t 4m

aqu´ı, las coordenadas de Kruskal son singulares, que es necesario para eliminar la singularidad de las coordenadas.

El elemento de l´ınea en estas coordenadas es dado por: 2

32m3 −r/2m 2 e (dv r

− du2) + r2 dΩ2 La linea r = 2m corresponde a u = v = 0, el limite x0 → ∞ con u = v y x0 → −∞ with u = −v. Las coordenadas Kruskal son u ńicamente singulares en la hipérbola v 2 − u2 = 1, esto corresponde con r = 0. Sobre la linea dv = ±du holds dθ = dϕ = ds = 0. ds =

−

Para una métrica exterior una rotatoria, cargada mase esférica, la métrica de Newman se aplica: 2

ds

=

−  1

2mr e2 r2 + a2 cos2 θ

−



−

2

2

c dt

2

2

 − 2

(2mr e )a sin θ r +a + r2 + a2 cos2 θ 2

2

r2 + a2 cos2 θ r2 2mr + a2 e2

−

2

2

sin θdϕ +



(r2 + a2 cos2 θ)dθ2 − − − 2a(2mr − e2 ) sin2 θ(dϕ)(cdt)



dr2

r2 + a2 cos2 θ

donde m = κM/c2, a = L/Mc y e = κQ/ε0 c2 . Un hoyo negro rotario tiene un horizonte de evento con R S = m +

√ − 



√ m2 − a2 − e2.

Cerca del hoyo negro rotatorio un arrastre ocurre porque gtϕ = 0. Para la métrica de Kerr (e = 0, a = 0) se obtiene que dentro de la superficie R E = m + m2 a2 cos2 θ (de ergosfera) las part´ıculas no pueden estar en reposo.



3.2.3

Las orbitas planetarias y el corrimiento del perihelio

 

Para encontrar una orbita planetaria, el problema variacional δ ds = 0 debe ser resuelto. Este es equivalente al problema δ ds 2 = δ gij dxi dxj = 0. Sustituyendo por la métrica de Schwarzschild para la orbita planetaria: du d2 u du m +u = 3mu + 2 2 dϕ dϕ dϕ h

    

21

Cap´ıtulo 3: Relatividad

donde u := 1/r and h = r 2 ϕ ˙ =constante. El término 3mu no esta presente en la solución clásica . κM h 2 Este término puede en el caso clasico tambien encontrado de un potencial V (r) = 1+ 2 . r r

−

 

La ecuación orbital deriva r = constante como solución, o puede, después de dividir por du/dϕ, ser resuelto por medio de la teoria de pertubacines. En el orden cero, esto resulta en una orbita el´ıptica: u0 (ϕ) = A + B cos(ϕ) con A = m/h2 y B una constante arbitraria. En el primer orden, este se convierte: B 2 B 2 u1 (ϕ) = A + B cos(ϕ εϕ) + ε A + cos(2ϕ) 2A 6A



−

−



donde ε = 3m2 /h2 es peque˜ no. El perihelio de un planeta es el punto en el que r es m´ınimo, o u m´ aximo. Este es el caso si cos(ϕ εϕ) = 0 ϕ 2πn(1 + ε). Para el corrimiento del perihelio se tiene que: ∆ϕ = 2πε = 6πm2 /h2 por orbita.

−

3.2.4

⇒ ≈

La trayectoria de un foton

Para la trayectoria de un foton (y para cada part´ıcula con masa en reposo igual a cero) obteniendo ds2 = 0. Sustituyendo la métrica externa de resulta en la siguiente ecuación de orbita: du dϕ

3.2.5



d2 u +u dϕ2



− 3mu

=0

Ondas gravitacionales

Comenzando con la aproximación g µν = η µν + hµν para campos gravitacinales debiles y la definici´ on   ν hµν = hµν 21 ηµν hα se sigue que h = 0 en la condici´ o n de norma ∂h /∂x = 0 es satisfecho.  α µν µν Para ésto, se sigue que la perdida de energ´ıa de un sistema mec´ anico, si la las velocidades son c y las longitudes de onda el tamaño del sistema, es dado por:

−





dE = dt con Q ij =

3.2.6



−

G 5c5

  i,j

d3 Qij dt3

2

− 31 δ ij r2 )d3x el momento cuadrupular de masa.

(xi xj

Cosmolog´ıa

Si para el universo se asume como un sistema completo: 1. Existe un tiempo coordinado global que act´ ua como x0 de un sistema de coordenadas gaussiano, 2. Los espacion tridimensionales son isotropitos para ciertos valores de x 0 , 3. Cada punto es equivalente a cada otro punto para un x 0 fijo. Entonces la metrica Robertson-Walker puede ser derivada para la linea de elementos: ds2 =

−c2dt2 +

r02

R2 (t) k r2 1 4r02

− 

(dr2 + r2 dΩ2 )

Para el factor de escala R(t) la ecuación siguiente puede ser derivada: ¨ 2R R˙ 2 + kc 2 + = R R2

−

8πκp + Λ and c2

R˙ 2 + kc 2 8πκ Λ = + 2 R 3 3

donde p es la presión y  la densidad de el universo. Si Λ = 0 puede ser derivada para el par´ ametro de deaceleraci´ on q : ¨ RR 4πκ q = = 3H 2 R˙ 2

−

22


˙ donde H = R/R is es la constante de Hubble . Existe una medición de la velocidad con que las galaxias se alejan una de la otra, y tiene un valor de (75 25) km s−1 Mpc−1 . Esto brinda tres posibles condiciones para el universo (aqu´ı, W es la cantidad total de energ´ıa del universo):

≈

±

· ·

1. Universo parabolico: k = 0, W = 0, q = 21 . La velocidad de expanción del universo t . The hereto related densidad critica es  c = 3H 2 /8πκ.

→∞

2. Universo hiperbólico: k = permanece positiva siempre.

− 1, W

< 0, q <

1 2.

→ 0 si

La velocidad de expansion del universo

3. Universo eliptico: k = 1, W > 0, q > 21 . La velocidad del universo se convierte negativa despu´ es de un tiempo: el universo comienza a colapsarse.

Chapter 4

Oscilaciones 4.1

Oscilaciones arm´ onicas

ˆ i(ωt±ϕ) La forma general de una oscilación armónica es: Ψ(t) = Ψe

ˆ ≡ Ψcos(ωt ± ϕ),

ˆ es la amplitud . Una superposicin de varias oscilaciones armonicas con la misma frecuencia donde Ψ resulta en una distinta oscilación armonica:



ˆ i cos(αi Ψ

i

con: tan(β ) =

 

ˆ i sin(αi ) Ψ

i

ˆ i cos(αi ) Ψ

ˆ2 = and Φ

Para oscilaciones armónicas tenemos:

  ˆ 2i + 2 Ψ

i

i

4.2

ˆ ± ωt) = Φcos(β ± ωt)

j>i

ˆ iΨ ˆ j cos(αi Ψ

i

− αj )



x(t) dn x(t) x(t)dt = y = (iω)n x(t). n iω dt

Oscilaciones mecanicas

Para una construccion con un resorte con constante C paralela al amortiguamiento k que es conectado ˆ cos(ωt) es aplicada se tiene la ecucion a la masa M , para la que una fuerza periodica F (t) = F de movimiento m¨ x = F (t) k x˙ C x. Con amplitudes complejas, esto se convierte mω2 x = F Cx ikωx. Con ω 02 = C/m siguiendo:

−

− −

−

x = donde δ =

ω ω0

m(ω02

−

−

F F , y para la velocidad se tiene: x = ˙ 2 ω ) + ikω i Cmδ + k

√

˙ llamada la impedancia del sistema. La cualidad de el − ωω0 . La cantidad Z = F /x es √ Cm

sistema es dada por Q =

k

.

´ La frecuencia con m´ınima Z es llamada frecuencia de velocidad de resonancia . Esto es igual a ω0 . En la curva de resonancia Z / Cm es graficada contra ω/ω0 . El ancho de la curva es caracterizado por los puntos donde Z (ω) = Z (ω0 ) 2. En estos puntos se tiene: R = X y δ = Q−1 , y el ancho es 2∆ωB = ω 0 /Q.

| | √ | | | | | |√

±

La rigidez de un sistema oscilatorio es dado por F/x. La amplitud de la frecuencia de resonancia ωA es la frecuencia donde iωZ es m´ınima. Ello para el caso que ω A = ω 0

 − 1

1 2 2Q .

La frecuencia de amortiguamiento ωD es una medición para el tiempo en que un sistema oscilatorio 1 llega al reposo. Lo que es dado por ωD = ω0 1 . Un amortiguamiento d´ ebil (k 2 < 4mC ) 4Q2 termina con la oscilación después de T D = 2π/ω D . Para un amortiguamiento cr´ıtico la oscilaci´ on 2 2 (k = 4mC ) presenta ω D = 0. Una oscilaci´ on con amortiguamiento fuerte (k > 4mC ) cae como (Si k2 4mC ) x(t) x0 exp( t/τ ).

 −



≈

−

23

24


4.3

Oscilaciones el´ ectricas

La impedancia es dada por: Z = R + iX . El ańgulo de fase es ϕ := arctan(X/R). La impedancia de una resistencia es R, de un condensador 1/iωC y de un auto inductor iωL. La cualidad de la bobina es Q = ωL/R. La impedancia total en el caso de contar con varios elementos es : 1. Conexi´ on en serie: V = I Z , Z tot =



Z i , Ltot =

i



Li ,

i

1 = C tot

 i

1 Z 0 , Q = , Z = R(1 + iQδ ) C i R

2. Conexi´ on en paralelo: V = I Z , 1 = Z tot Aqui, Z 0 =





i

1 1 , = Z i Ltot

L y ω 0 = C

 i

1 , C tot = Li



C i , Q =

i

R R , Z = Z 0 1 + iQδ

1 √ LC .

êff ˆ El poder suminstrado por una fuente es: P (t) = V (t) I (t), so P t = V I eff cos(∆φ) 1 ˆ ˆ 1 ˆ2 1 ˆ2 = 2 V I cos(φv φi ) = 2 I Re(Z ) = 2 V Re(1/Z ), donde cos(∆φ) es el factor de trabajo.

·

−

4.4

 

Ondas en conductores largos

Estos cables son en una trasferencia de señal, e.g. un cable coaxial. Para ellos se tiene: Z 0 = La velocidad de trasmisi´ on es dada por v =

4.5



dx dx . dL dC



dL dx . dx dC

Conductores y trasformadores acoplados

Para dos bobinas cercanas el flujo es: si Φ 12 es la parte del flujo originado de I 2 a través de la bobina dos que esta cercana a la bobina uno, Luego se tiene Φ 12 = M 12 I 2 , Φ21 = M 21 I 1 . Para los coeficientes de inducción mutuos M ij se tiene: M 12 = M 21 := M = k

≤ ≤



L1 L2 =

N 1 Φ1 N 2 Φ2 = I 2 I 1

∼ N 1N 2

donde 0 k 1 es el factor de acoplamiento . Para una trasformacion es k completa se obtiene: V 1 I 2 iωM L1 N 1 = = = V 2 I 1 iωL 2 + Rload L2 N 2

−

4.6

 ≈−

≈ 1.

A una carga

−

P´ endulos

El tiempo de oscilación T = 1/f , y para diferentes tipos de péndulos es dado por:

   

• Resorte oscilatorio: T = 2π m/C si la fuerza es dada por F = C · ∆l. • Péndulo f´ısico: T = 2π I/τ con τ la fuerza del momento y I el momento de inercia. la constante de torsión y I el momento de • Péndulo de torsión: T = 2π I/κ con κ = πr2lm 4 ∆ϕ inercia.

• Péndulo matemático: T = 2π

l/g con g la aceleración gravitatoria y l la longitud del péndulo.

Chapter 5

Ondas 5.1

La ecuaci´ on de onda

La forma general de la ecuación de onda es: 2

u = 0, escrito de otro modo:



2

2

2

2

∇2 u − v12 ∂ ∂tu2 = ∂ ∂xu2 + ∂ ∂yu2 + ∂ ∂zu2 − v12 ∂ ∂tu2 = 0 donde u is the disturbance and v la velocidad de propagacion . En general podemos escribir: v = f λ. Por definición encontramos: kλ = 2π y ω = 2πf . En principio, existen dos clases de ondas: 1. Ondas longitudinales: Para las que tenemos  k v

  u. 2. Ondas trasversales: Para las que tenemos  k  v ⊥ u. La velocidad de fase es dada por v ph = ω/k . La velocidad de grupo es dada por:

− 

dω dvph vg = = v ph + k = v ph 1 dk dk

k dn n dk

donde n es el indice de refración del medio. Si v ph no depende de ω tenemos: vph = v g . En un medio dispersivo posible que v g > vph o v g < vph , y v g vf = c 2 . Si deseamos trasmitir información mediante una onda, e.g. por modulaci´ on de una onda EM, la información viaja con la velocidad velocity at with a change in the electromagnetic field propagates. Esta velocidad es frecunetemente igual a la velocidad de grupo.

·

Para algunos medios, la velocidad de propagaci´ on sigue la forma:



• Ondas de presion en un liquido o un gas: v = κ/, donde κ es el modulo de compresion. • Para ondas de presion en un gas tenemos tambien: v = γp/ = γRT/M . • Ondas de presion en un una barra delgada y solida de diametro << λ: v = E/ • Ondas en una cuerda: v = F span l/m



•

 

 

  

gλ 2πγ 2πh Ondas en la superficie de un liquido: v = + tanh 2π λ λ donde h es la profundidad de liquido y γ es la tensión superficial. Si h

5.2 5.2.1

Soluciones a la ecuaci´ on de onda Ondas planas

En n dimensiones una onda plana armónica es definida: n

n

u(x, t) = 2 u ˆ cos(ωt)

 i=1

25



sin(ki xi )

 λ tenemos: v ≈ √ gh.

26


La ecuación del movimiento armonico de una onda plana es: u(x, t) = u ˆ cos( k x

· ± ωt + ϕ)

Si las ondas son reflejadas en el final de un resorte esto resulta en un cambio de fase. Si un extremo es fijo el cambio de fase es igual a π/2 respecto a la onda reflejada, con la condición de frontera u(l) = 0. Una pared libre no presenta un cambio de fase de la onda reflejada, con condiciones de frontera (∂u/∂x)l = 0. Si un observador se encuentra en movimiento w.r.t. y una onda presenta una velocidad vobs , el f observara un cambio de frecuencia: conocido como efector Doppler . Este es descrito por: = f 0 vf vobs . vf

−

5.2.2

Ondas esfericas

Cuando se presenta simétrica esférica, la ecuación de onda homogénea es dada por: 1 ∂ 2 (ru) v 2 ∂t 2

2

=0 − ∂ ∂r(ru) 2

con la solución general: u(r, t) = C 1

5.2.3

f (r

− vt) + C 2 g(r + vt) r

r

Ondas cilindricas

Cuando se presenta simetr´ıa cil´ındrica, la ecuación de onda homogénea se convierte en: 1 ∂ 2 u v 2 ∂t 2

−

1 ∂ r ∂r

  r

∂u ∂r

=0

Esta es una ecuación de Bessel, con soluciones que pueden ser escritas como funcione sde Hankel. Para valores lo suficientemente grandes de r estos son aproximados por: u(r, t) =

5.2.4

√ uˆr cos(k(r ± vt))

la soluci´ on general en una dimensi´ on

Starting point is the equation: N



∂ 2 u(x, t) ∂ m = b m ∂t 2 ∂x m m=0



u(x, t)

donde bm IR. Sustituyendo u(x, t) = Aei(kx−ωt) obtenemos dos suluciones ωj = ωj (k) como relaciones de dispersion. La solución general es:

∈

∞

u(x, t) =

 

−∞

i(kx−ω1 (k)t)

a(k)e

i(kx−ω2 (k)t)

+ b(k)e



dk

Porque en general las frecuencias ω j son no lineales en k existe una dispersión y la solución u ńicamente puede ser escrita como la suma de funciones dependiendo exclusivamente de x vt: la trasformación del frente de onda.

±

27

Cap´ ıtulo 5: Ondas

5.3

El m´ etodo de la fase estacionaria

Usualmente las integrales de Fourier de la sección previa no pueden ser calculadas exactamente. Si ωj (k) IR el método de fases estacionarias puede ser aplicado. Asumiendo que a(k) es únicamente una funci´ on de variación lenta de k, pudiendo establece que las partes del eje k donde la fase de kx ω(k)t cambia rápidamente pudiendo no dar una contribución a las integrales porque los exponentes oscilan rápidamente. Las unicas areas que contribuyen significativamente a la integral son áreas con una fase d estacionaria, determindada por (kx ω(k)t) = 0. Ahora la siguiente aproximación es posible: dk

∈

−

−

   ≈ 

∞



N

a(k)ei(kx−ω(k)t) dk

5.4

d ω(ki ) dki2

i=1

−∞

2π 2

exp

−

i 41 π + i(ki x



− ω(ki)t)

Funciones de Green para problemas de valores iniciales

Este método es preferible si las soluciones se desv´ıan significativamente de las soluciones estacionarias, como puntos de excitación. Comenzando con la ecuación de onda en una dimensión, con 2 = ∂ 2 /∂x 2 ∂Q(x, x , 0)    obteniendo: si Q(x, x , t) es la solucion con valores iniciales Q(x, x , 0) = δ (x x ) y = 0, ∂t  ∂P (x, x , 0) y P (x, x , t) la solución con valores iniciales P (x, x , 0 ) = 0 y = δ (x x ), entonces ∂t la soluci´ on de la ecuación de onda con condiciones iniciales arbitrarias f (x) = u(x, 0) and g(x) = ∂u(x, 0) es descrita por: ∂t

∇

−

−

∞

u(x, t) =



∞







f (x )Q(x, x , t)dx +

−∞



g(x )P (x, x , t)dx

−∞

P y Q son llamados los propagadores . Ellos son definidos por: Q(x, x , t) =

1 2 [δ (x

− x − vt) + δ (x − x + vt)] 1 if |x − x | < vt 2v 0 if |x − x | > vt

P (x, x , t) =



Posteriormente se obtiene la relación: Q(x, x , t) =

5.5

∂P (x, x , t) ∂t

Gu´ıas de onda y cavidades resonantes

Las condiciones de frontera para un conductor perfecto pueden ser derivada de las ecuaciones de  Maxwell. Si n es un vector unitario a la superficie, apuntando de 1 a 2, y K es la densidad de corriente superficial, as´ı, tenemos:

⊥

 2 n (D  2 n (B

× (E  2 − E  1) = 0 × (H  2 − H  1) = K   (x, t) = E  (x, y)ei(kz−ωt) y B(  x, t) En una gu´ıa de onda se tienen por la simetr´ıa esf´ erica: E B  (x, y)ei(kz−ωt) . De esto podemos deducir que, si B z y E z no son ≡ 0: B x = εµω2i− k2 k ∂ ∂xB z − εµω ∂ ∂yE z B y = εµω2i− k2 k ∂ ∂yBz + εµω ∂ ∂xEz E x = εµω2i− k2 k ∂ ∂xE z + εµω ∂ ∂yBz E y = εµω2i− k2 k ∂ ∂yE z − εµω ∂ ∂xB z · ·

− D 1) = σ − B 1 ) = 0

 

Ahora podemos distinguir entre tres casos:

 

n n

 

 

=

28


≡ 0: Los modos Magnéticos Trasversales (MT). Condiciones de frontera: E z |surf = 0. ∂ Bz 2. E z ≡ 0: Los modos Eléctricos Trasversales (ET). Condición de frontera: = 0. 1. Bz

∂n



surf

Para los modos ET y MT se encuentra que es un problema de valores propios para con condiciones de frontera:



∂ 2 ∂ 2 + 2 ∂x 2 ∂y



ψ =

−γ 2ψ con eigenvalores

γ 2 := εµω 2



E z resp. B z

− k2

Ello da una solución descrita ψ con eigenvalores γ 2 : k = εµω 2 γ 2 . Para ω < ω , k es imaginario y la onda es amortiguada. Entonces, ω es llamada la frecuencia de corte . En conductores rectangulares la siguiente expresion puede ser obtenida para la frecuencia de corte para los modos ETm,n de MTm,n: λ =

−

2



(m/a)2 + (n/b)2

3. E z y Bz son cero en todas partes: El modo electromagnético trasversal(TEM). Entonces se tiene: k = ω εµ y vf = v g , justo como si no existiera la gu´ıa de onda. Entonces k IR, de tal modo que no existe una frecuencia de corte.

± √

∈

En una cavidad rectangular tridimensional con fronteras a, b y c los números de onda posibles son: n1 π n2 π n3 π kx = , ky = , kz = Lo que resulta en las frecuencias posibles f = vk/2π en la a b c cavidad: v n2x n2y n 2z f = + 2 + 2 2 a2 b c Para una cavidad cúbica, con a = b = c, los n´ umeros de modos posibles de oscilación N L para ondas longitudinales son: 4πa3 f 3 N L = 3v 3 Porque ondas trasversales tienen dos posibles polarizaciones, teniendo : N T = 2N L .



5.6

Ecuaciones de ondas no lineales

La ecuación de Van der Pol establece que: d2 x dt2

− εω0(1 − βx2 ) dx + ω02 x = 0 dt

βx2 puede ser ignorada poara valores muy pequennos de la amplitud. Sustituyendo por x

 ± −

∼ eiωt

se tiene: ω = 21 ω0 (iε 2 1 21 ε2 ). El orden maas pequenno de inestabilidades crece como 21 εω0 . Mientras x crece, el segundo término se hace grande y disminuye el crecimiento. Las oscilaciones en una escala de tiempo ω0−1 pueden existir. Si x se expande como x = x (0) + εx(1) + ε2 x(2) + Y es sustituido, se obtiene, ademaas periodica, t´ erminos seculares εt. Si se asume que existe escalas n de tiempo τ n , 0 τ N con ∂ τ n /∂t = ε y si el término secular se establece cero se obtiene:

∼ ≤ ≤

· ··

∼

d dt

  1 2

dx dt

2

+

1 2 2 2 ω0 x



= εω 0(1

2

− βx )

  dx dt

2

Esta es la ecuación de energ´ıa. La energ´ıa es conservada si el lado izquierdo de la ecuación anterior es cero. Si x 2 > 1/β , el lado derecho de la ecuación cambia de signo y se incrementa la energ´ıa, cambio de un decremento de energ´ıa. Este mecanismo limita el crecimiento de las oscilaciones.

29

Cap´ ıtulo 5: Ondas

La ecuación de Korteweg-De Vries es dada por: ∂u ∂ u + ∂t ∂x

3

∂ u + b2 3 − au ∂u ∂x ∂x

=0

      non−lin

dispersive

Esta ecuaci´ on es por ejemplo un modelo para onda ionicas-acusticas en un plasma. Para esta ecuación, existen soluciones con la forma de solitones: u(x con c = 1 + 31 ad y e 2 = ad/(12b2).

−d − ct) = cosh2(e(x − ct))

30


Chapter 6

´ Optica 6.1

La desviaci´ on de la luz

Cuando un rayo de luz atraviesa una interface se desvia, según la ley de Snell: ni sin(θi ) = n t sin(θt ), donde n es el ´ındice de refracci´ on de un material y θi es el ángulo de incidencia entre el rayo y la normal a la superficie, mientras que θt es el ángulo de transmisión en el medio. La razón entre velocidades y ´ındices de refracción es: n2 λ1 v1 = = n1 λ2 v2

≤

Si ∆n 1, el cambio de fase de la luz es ∆ ϕ = 0, si ∆n > 1 tenemos: ∆ϕ = π. La refracci´ on de la luz en un material es causada por la dispersión de la luz por los átomos. Lo cual es descrita por el oscilador: n e e2 f j n2 = 1 + 2 ε0 m j ω0,j ω2 iδω



− −

donde ne es la densidad electrónica y f j es la rigidez del oscilador , para el que se tiene :



f j = 1.

j

De aqui se obtiene: vg = c/(1+ (ne e2 /2ε0 mω2 )). De esto la ecuación de Cauchy puede ser derivada: n ak 2 n = a 0 + a1 /λ . En general, es posible expandir n como: n = . λ2k



k=0

Para una onda electromagn´ etica en general tenemos que: n =

√ εrµr.

El camino, seguido por un rayo de luz en un material puede ser encontrado por medio del principio de Fermat : 2

δ

2

  dt = δ

1

1

n(s) ds = 0 c

2

 ⇒ δ

n(s)ds = 0

1

la función n(s) es conocida como el camino ´ optico, la cual es la base de fenómenos de óptica geométrica y f´ısica.

6.2

´ Optica geom´ etrica paraxial

6.2.1

Lentes

La fórmula de lentes de Gauss puede ser deducida del principio de Fermat con las aproximaciones cos ϕ = 1 y sin ϕ = ϕ. Para la refracción en una superficie esf´ erica con radio R se tiene: n1 v

||

− nb2 = n1 −R n2

||

donde v es la distancia al objeto y b es la distancia de la imagen. Aplicando dos veces este resultado en: 1 1 1 = (nl 1) f R2 R1

−



31

−



32


donde n l es el ´ındice de refracción de las lentes, f es la longitud focal, además R 1 y R 2 son el radio de curvatura de ambas superficies. Para una lente doblemente cóncava tenemos R 1 < 0, R2 > 0, para una lente doblemente convexa tenemos R 1 > 0 y R 2 < 0. Entonces se tiene: 1 1 = f v

− 1b

D := 1/f es llamado poder dióptrico de una lente. Para una lente con espesor d y diámetro D se tiene una buena aproximació n: 1/f = 8(n 1)d/D2 . Para dos lentes colocadas en una l´ınea con una distancia d se tiene: 1 1 1 d = + f f 1 f 2 f 1 f 2 En estas ecuaciones los siguientes signos son utilizados para la refracción de una superficie esférica, como en un rayo de luz entrante:

−

−

Cantidad R f v b

6.2.2

+ Superficie c´ oncava Lente convergente Real objeto Im´ agenes virtuales

−

Superficie Convexa Lente divergente Objeto virtual Imagen real

Espejos

Para imágenes formadas por espejos tenemos: 1 1 1 2 h 2 = + = + f v b R 2

 −  1 R

1 v

2

donde h es la distancia perpendicular entre el punto donde el rayo de luz alcanza al espejo y el eje óptico. Aberraciones esféricas pueden reducirse evitando el uso de espejos esféricos. Un espejo esférico no presenta aberración esférica para rayos de luz paralelos con el eje óptico y es entonces que tales espejos son frecuentemente usados para telescopios. Los signos empleados son: Quantity R f v b

6.2.3

+ Espejo cóncavo Espejo cóncavo Objeto real Imagen real

−

Espejo convexo Espejo convexo Objeto virtual Imagen virtual

Planos principales

Los puntos nodales N de una lente son definidos en la figura a la derecha. Si la lente es inmersa por el mismo medio en ambos lados, los puntos nodales son los mismos como los puntos principales H. El plano al eje óptico a traves del los puntos principales son llamados los planos principales . Si la lente es descrita por una matriz mij m´ as que la distancia h1 y h2 a las fronteras de las lentes, obteniendo:

⊥

h1 = n

6.2.4

−

m11 1 , m12

h2 = n

−

m22 1 m12

Magnificaci´ on

La magnificaci´ on lineal es definida por: N =

− vb

La magnificaci´ on angular es definida por: N α =

syst − ααnone

N1

  

O N2

´ Cap´ıtulo 6: Optica

33

donde αsys es el tamaño de la imagen retinal con el sistema óptico y αnone el tamaño de la imagen retinal sin el sistema. Adelante se tiene: N N α = 1. Para un telescopio se tiene: N = f objectivo/f ocular . El numero f es definido por f /Dobjectivo .

·

6.3

Metodos matriciales

Un rayo de luz puede ser descrito por un vector ( nα,y) con α el ángulo eje óptico y y la distancia al eje óptico. El cambio del rayo de luz interaccionando con el sistema óptico se puede obtener utilizando una multiplicaci´ on matricial: n2 α2 n1 α1 = M y2 y1

     

donde Tr(M ) = 1. M es un producto de matrices elementales. Las que son: 1 l/n

1. Trasferencia a lo largo de la longitud l: M R =

0 1

2. Refracion de un superficie con un poder dióptico D: M T =

6.4



−D

1 0

1



Aberraciones

Las lentes no brindan una imagen perfecta. Algunas de las causas de la imperfección de las imágenes son causadas por: 1. Aberraci´ on crom´ atica es causada por el hecho que n = n(λ). Esta puede ser parcialmente corregida con una lente compuesta, tales que cada lente lente cuente con diferentes funciones ni (λ). Utilizando N lentes se hace posible obtener la misma f para N longitudes de onda. 2. Aberraci´ on esf´ erica es causada por los efectos de segundo orden que son usualmente ignorados; una superficie esf´ erica no crea una lente perfecta. Los rayos entrantes que están alejados del eje óptico se pueden desviar más. Esta aberraci´ on (como todas las siguientes) se puede disminuir interponiendo antes de la lente un diafragma de pequeña apertura, con lo cual se asegura que los rayos sean paraxiales. 3. Coma es causada por el hecho que los planos principales de una lente son únicamente planos cerca del eje principal. M´ as all´ a del eje óptico son curvos. Esta curvatura puede ser tanto positiva como negativa. 4. Astigmatismo: Para cada punto de un objeto que no se encuentra en el eje óptico la imagen es un elipse, porque el espesor de la lente no es el mismo en todas partes. Se puede identificar facilmente pues produce dos focos elipticos ortogonales a dos distancias de la lente estudiada. 5. Curvatura de campo puede ser corregida por el ojo humano. 6. Distorsion provoca aberración cerca de los alrededores de la imagen. sta puede ser corregida por medio de una combinación de lentes positivas y lentes negativas.

6.5

Reflexi´ on y transmisi´ on

Si una onda electromagnética alcanza un medio transparente parte de la onda se reflejara al mismo ángulo que el ángulo de incidencia, y una parte se refractara al ángulo que predice la ley de Snell.  Existe una diferencia entre el vector de campo E de la onda o w.r.t. respecto a la superficie. Donde los coeficientes de reflexi´ on r y de transmisión t son definidos como:

⊥ 

  ≡

r

E 0r E 0i



  ≡

, r⊥

E 0r E 0i

  ≡

, t ⊥

E 0t E 0i



  ≡

, t⊥

E 0t E 0i

⊥

34


donde E 0r es la amplitud de reflejada y E 0t la amplitud trasmitida. Entonces las ecuaciones de Fresnel son: r =

t =

−

tan(θi θt ) tan(θi + θt )

,

r⊥ =

2sin(θt ) cos(θi ) sin(θt + θi) cos(θt θi )

,

−

−

sin(θt θi ) sin(θt + θi )

t⊥ =

2sin(θt ) cos(θi ) sin(θt + θi )

−

Con esto, se obtiene que: t⊥ r⊥ = 1 y t  + r = 1. Si el coeficiente de reflexión R y el de transmisión T son definidos con θ i = θ r , en la normal, se tiene:

R

≡ I I ri

t) ≡ I I ti cos(θ cos(θi)

and T

 se deduce posteriormente: R + T = 1. Un caso particular es r  = 0. Esto sucede si el con I = S ángulo entre los rayos reflejado y transmitido es 90 ◦. De la ley de Snell se obtiene: tan(θi ) = n. Este ángulo es denominado ´ angulo de Brewster . La situación con r ⊥ = 0 no es posible fisicamente.

| |

6.6

Polarizaci´ on

La polarizaci´ on es definida como: P =

−

I p I max I min = I p + I u I max + I min

Donde la intensidad de la luz polarizada es dada por I p y la intensidad de la luz no p olarizada es dada por I u . I max y I min son las intensidades máxima y el m´ınima cunado la luz atraviesa un polarizador. Si la luz polariza atraviesa un polarizador dicroico (como un filtro Polaroid comercial) se aplica la ley de Malus : I (θ) = I (0)cos2 (θ) donde θ es el ángulo del eje óptico del polarizador. El estado del rayo de luz puede ser descrito por los par´ ametros de Stokes : comenzando con cuatro filtros que trasmiten, cada uno, la mitad de la intensidad. El primero es independiente de la polarizaci´ on, el segundo y el tercero son polarizadores lineales con los ejes de transmisión horizontales y a +45◦ , mientras que el cuarto es un polarizador circular que es opaco para estados L. Por lo que se tiene S 1 = 2I 1 , S 2 = 2I 2 2I 1 , S 3 = 2I 3 2I 1 y S 4 = 2I 4 2I 1 .

−

−

−

El estado de un rayo de luz polarizado puede ser tambi´ en descrito por medio del vector de Jones :  = E



E 0x eiϕx E 0y eiϕy



 = (1, 0), para el estado vertical P E  = (0, 1), el estado R Para el estado horizontal P tenemos: E 1 1  =  es E es 2 2(1, i) y el estado L es E = 2 2(1, i). El cambio de estado de un haz de luz despu´  2 = M E  1 . Para algunos tipos de de pasar por la componente óptica puede ser descrito como E componentes ópticas la matriz de Jones M es descrita por:

√ −

√

·


35 1 0 0 0

Polarizador lineal horizontal:

0 0 0 1

Polarizador lineal vertical:

1 2

−45◦

1 4 -λ placa,

eje rápido vertical

1 4 -λ plate,

eje rápido horizontal

eiπ/4

Polarizador circular derecho homogéneo

1 1

1 1

1 0

0 i

eiπ/4

1 0 0 i

1 2

1 i i 1

1 i

1 2

Polarizador circular izquierdo homogéneo

6.7

1 1 1 1

1 2

Polarizador lineal a +45◦ Polarizador lineal a

       − −   −   − −  i 1

Prismas y dispersi´ on

Un rayo de luz atravesando un prisma es refractado dos veces y adquiere un desviación de la dirección original δ = θ i + θi + α w.r.t. la direcci´ on incidente, donde α es el ángulo apex, θ i es el ángulo entre el ańgulo incidente y la l´ınea perpendicular a las superficie y θ i es el ángulo entre el rayo que sale del prisma y la l´ınea perpendicular a la superficie. Donde θ i varia. Existe un ángulo δ que hace m´ınino. Para un ´ındice de refracción del prisma obtenemos: 



n =

sin( 12 (δ min + α)) sin( 12 α)

La dispersi´ on de un prisma es definida por: D =

dδ dδ dn = dλ dn dλ

Donde el primer factor depende de la forma y el segundo depende de la composición del prisma. Para el primer factor tenemos: 2sin( 12 α) dδ = dn cos( 12 (δ min + α)) Para luz visible usualmente tenemos dn/dλ < 0: para pequeñas longitudes de onda son más fuertes que para longitudes grandes. El ´ındice de refracción en esta área puede ser aproximado por la fórmula de Cauchy.

6.8

Difracci´ on

La difracción de Fraunhofer ocurre cuando la fuente se encuentra alejada. La difracción de Fraunhofer de la luz atravesando múltiples rejillas es descrita por: I (θ) = I 0

  · sin(u) u

2

sin(N v) sin(v)



2

donde u = πb sin(θ)/λ, v = πd sin(θ)/λ. N es el número de rejillas, b el ancho de la rejilla y d la distancia entre rejillas. La máxima intensidad es dada por d sin(θ) = kλ.

36


La difracción a través de una apertura esférica con radio a es descrita por: I (θ) = I 0



J 1 (ka sin(θ)) ka sin(θ)



2

El patrón de difracción de una apertura rectangular a una distancia R con longitud a en la dirección x y b en la dirección y es descrita por: I (x, y) = I 0

   sin(α ) α

2

sin(β  ) β 

2

donde α  = kax/2R y β  = kby/2R. Donde los rayos X son difractados por un cristal colocado en una posición de máxima intensidad relaci´ on de Bragg : 2d sin(θ) = nλ donde d es la distancia entre las capas inter atómicas del cristal. Cerca de la fuente, el modelo de Fraunhofer es invalido porque ignara la dependencia angular de las ondas reflejadas. Esto es descrito por la oblicuidad o el factor de inclinaci´ on , que describe la 1 direccionalidad de las emisiones secundarias: E (θ) = 2 E 0 (1 + cos(θ)) donde θ es el ángulo w.r.t. el eje óptico. ´ La difracci´ on limita la resoluci´ on de cualquier sistema óptico. Esto es el ángulo m´ınino ∆θmin entre dos rayos incidentes provenientes de puntos alejados para los que los patrones de refracción pueden ser detectados separadamente. Para una rejilla circular se tiene: ∆θmin = 1.22λ/D donde D es el di´ ametro de la rejilla. Para la rejilla se tiene: ∆θmin = 2λ/(N a cos(θm )) donde a es la distancia entre dos picos y N el n´ umero de picos. La diferencia m´ınima entre dos longitudes de onda que están separadas en un patrón de difracción en un m´ ultiplo de la geometr´ıa de la rejilla es descrita por ∆λ/λ = nN donde N es el n´ umero de l´ıneas y n el orden del patrón.

6.9

Efectos ´ opticos especiales

  si la polarizabilidad P de  • Birrefringencia y dicro´ısmo. D no es paralelo con el vector E un

material no es igual en todas direcciones. Hay al menos tres direcciones, los ejes principales , en que son paralelos. Esto resulta en tres ´ındices de refracción n i que pueden ser utilizados para construir un elipsoide de Fresnel. En caso que n2 = n 3 = n 1 , que sucede, por ejemplo, en un cristal trigonal, hexagonal y tetragonal donde hay un eje óptico en la dirección de n1 . Rayos incidentes pueden ahora ser separados en dos partes: la onda ordinaria que esta linealmente polarizada al plano a través de la dirección y del eje óptico. La onda extraordinaria que esta linealmente polarizada en el plano que forma la dirección de la trasmisión y el eje óptico.



⊥

El dicro´ısmo es causado también por una diferente absorción de las ondas ordinarias y extraordinarias en algunos materiales, tal es el caso de las filtros polarizadores Polaroid. Las im´ agenes dobles ocurren cuando el rayo incidente hace un ángulo con el eje óptico: la onda extraordinaria será refractada; en contraste, la ordinaria no será trasmitida.

• Retardadores: compendasadores y placas de longitud de onda. La luz incidente tendré el mismo corrimiento de ∆ϕ = 2πd(|n0 − ne |)/λ0 si un cristal uniaxial es cortado de modo que

el eje óptico es paralelo con el plano frontal. Aqu´ı, λ0 es la longitud de onda en el vac´ıo n0 y ne son los los ´ındices de refracci´ on para la onda ordianaria y extraordinaria. Para una lámina de cuarto de onda tenemos: ∆ϕ = π/2.

• El efecto Kerr: los materiales isotropicos y transparentes son birrifriguentes bajo un campo  . La diferencia en el ´´ındice de refracción en eléctrico. En este caso, el eje óptico es paralelo a E 2 las dos direcciones es descrita por: ∆n = λ 0 KE , donde K es la constante de Kerr del material. Cuando los electrodos tienen una longitud efectiva  y son separados por una distancia d, el retardo es: ∆ϕ = 2πKV 2 /d2 , donde V es el voltaje aplicado.


37

• El efecto

Pockels o el efecto electro-óptico lineal puede ocurrir en 20 tipos sim´ etricos de cristales (de un total de 32 clases), los cuales carecen de centro de simetr´ıa. Además pueden ´ exhibir efectos de Optica No-Lineal de segundo orden; por ejemplo, generaci´ on de segundo arm´ onico óptico, el cual consiste en la conversión de una radiación láser ω a otra láser 2ω. Adicionalemten, estos cristales son tambi´ en piezoeléctricos : su polarizaci´ on cambia cuando se   aplica una presión o viceversa: P = pd + ε0 χE . El retardo en una celda de Pockels es ∆ϕ = 2πn30 r63 V /λ0 donde r 63 es el elemento 6-3 de el tensor electro-óptico.

• el efecto Faraday: La luz polarizada que atraviesa un material con longitud d y al que un campo magnetico es aplicado, causa que la el vector de polarizaci´ on rote un ángulo β = V Bd donde V es la constante de Verdet . ˘ • La radiación de Cerenkov aparece cuando una part´ıcula cargada con v q > vf . La radiación emitida dentro de un cono con ángulo de abertura α con sin(α) = c/c medium = c/nvq .

6.10

Interfer´ ometro de Fabry-Perot

Para un interferómetro de Fabry-Perot se tiene en general: T + R + A = 1 donde T es el factor de transmisión, R el factor de reflexión y A el factor de absorci´ on. Si F es escrito como F = 4R/(1 R)2 se obtiene que la distribuci´ on de intensidad:

−

− 

I t = 1 I i

A

1

−R

2

1 1 + F sin 2 (θ)

El término [1 + F sin 2 (θ)]−1 := (θ) es llamado la la funci´ on de Airy .

A

     Fuente



Lente

d

√ F

Pantalla Ente enfocadora

F es definida como

El ancho de los picos a la mitad de la altura es dado por γ = 4/ F . La fineza = 21 π F . La máxima resolución es dada por ∆f min = c/2nd .

F

√

38


Chapter 7

F´ısica estad´ıstica 7.1

Grados de libertad

Una molécula constituida por n átomos presenta s = 3n grados de libertad. Existen tres grados translacionales de libertad, una molécula lineal tiene s = 3n 5 grados vibracionales de libertad y una molécula no lineal s = 3n 6. Una molécula lineal tiene dos grados rotacionales de libertad y una molécula no lineal tres.

−

−

Debido a que los grados de libertad vibracional cuentan tanto para energ´ıa cinética y energ´ıa potencial es que se deben contar dos veces. As´ı, para moléculas lineales esto resulta en un total de s = 6n 5 grados. el n´ umero cambia para moléculas no lineales en s = 6n 6. La energ´ıa promedio de una molécula en equilibrio termodinámico es E tot = 21 skT . Cada grado de libertad de una mol´ ecula posee en principio la misma energ´ıa: el principio de equipartici´ on .



−



−

La energ´ıa rotacional y la energ´ıa vibracional de una molécula son: W rot =

¯h2 l(l + 1) = Bl(l + 1) , W vib = (v + 21 )¯hω0 2I

≈

Los niveles vibracionales son excitados si kT ¯hω, los niveles rotaciones de un molécula hetronuclear son excitados si kT 2B. Para moléculas homonucleares se aplicación adicionales reglas de selección, asi los niveles rotacionales est´ an bien acoplados si kT 6B.

≈

7.2

≈

La funci´ on de distribuci´ on de energ´ıa

La forma general de la funcion distribuciOn de velocidades en equilibrio es P (vx , vy , vz )dvx dvy dvz = P (vx )dvx P (vy )dvy P (vz )dvz con

·

·

P (vi )dvi =

1

√ exp α π

 √  

−  vi2 α2

dvi

donde α = 2kT/m es la velocidad m´ as probable de una part´ıcula. La velocidad promedio es descrita por v = 2α/ π, y v 2 = 23 α2 . La distribuci´ on en función del valor absoluto de la velocidad es dado por: dN 4N 2 mv 2 = 3 v exp dv α π 2kT

 

− 

√

La forma general de la función de distribución de energ´ıa se convierte: c(s) P (E )dE = kT

  E kT

1 2

s−1

exp

donde c(s) es una constante de normalización, dada por: 1. Par s: s = 2l: c(s) =

1 (l

− 1)! l

2 2. Impar s: s = 2l + 1: c(s) = √ π(2l − 1)!! 39

− 

E dE kT

40

7.3


Presi´ on en un muro

El n´ umero de moléculas que colisionan contra un muro con una superficie A en un tiempo τ es descrito por: ∞ π 2π

    3

d N =

nAvτ cos(θ)P (v,θ,ϕ)dvdθdϕ

0

0

0

De este se tiene que el flujo de part´ıculas sobre el muro: Φ = 41 n v . Para la presi´ on en el muro se tienen: 2mv cos(θ)d3 N 2 d3 p = , so p = n E Aτ 3



 

7.4

La ecuaci´ on de estado

Si las fuerzas intermoleculares y el volumen de las moléculas se pueden despreciar, para los gases, mediante p = 32 n E y E = 23 kT se obtiene:

   

pV = n s RT =

1 N m v2 3



Aqu´ı, ns es el numero de part´ıculas molares y N es el numero total de part´ıculas dentro de un volumen V . Si el volumen y las fuerzas intermoleculares no pueden ser despreciadas la ecuación de Van der Waals puede obtenerse: an 2 p + 2s (V bns ) = ns RT V





−

Existe una isoterma con un punto horizontal de inflexió n. En la ecuaci´ on de Van der Waals esto corresponde con la temperatura, presi´ on y volumen cr´ıticos y de un gas. Este es l´ımite superior del ara de coexistencia entre l´ıquido y vapor. Mediante dp/dV = 0 y d 2 p/dV 2 = 0 obtenemos: T cr =

8a a , pcr = , V cr = 3bns 27bR 27b2

Para el punto critico se tiene: pcr V m,cr /RT cr = 83 , que difiere del valor de 1, obtenido de la ley general. Escalando en las cantidades criticas, con p ∗ := p/p cr , T ∗ = T /T cr y V m∗ = V m /V m,cr con V m := V /ns obteniendo: 3 p∗ + V m∗ 31 = 38 T ∗ (V m∗ )2



 − 

El comportamiento de los gases es igual sin importar una reducción en la cantidad: la ley de estados correspondientes . Una expansi´ on virial es empleada para una observación más exacta: p(T, V m ) = RT



1 B (T ) C (T ) + + + V m V m2 V m3

 ·· ·

La temperatura de Boyle T B es la temperatura para la que el segundo coeficiente virial es 0. En un gas de Van der Waals, esto sucede a T B = a/Rb. La temperatura de inversi´ on T i = 2T B. La ecuación de estado para sólidos y l´ıquidos es: V = 1 + γ p ∆T V 0

−

1 κT ∆ p = 1 + V

  ∂V ∂T

1 ∆T + V p

  ∂V ∂p

T

∆ p

41

Cap´ ıtulo 7: F´ ısica estad´ ıstica

7.5

Colisiones entre mol´ eculas

La probabilidad de colisi´ on de una part´ıcula en un gas que es traslada sobre una distancia dx es descrito v1 por nσdx, donde σ es secci´ on efectiva . El camino libre medio se puede escribir como  = con nuσ u m 1 u = v12 + v22 la velocidad relativa entre las particulas. Si m1 m2 obteniendo: = 1+ , v1 m2 1 1 as´ı  = . Si m1 = m2 tenemos:  = . Esto significa que el promedio de tiempo entre dos nσ nσ 2 1 colisiones es dado por τ = . Si las moléculas son, aproximadamente, esferas duras, la secci´ on nσv efectiva es: σ = 41 π(D12 + D22 ). La distancia promedio entre dos moléculas es 0.55n−1/3. Colisiones entre moléculas y peque˜ nas part´ıculas en una solución resulta en el movimiento Browniano. Para el movimiento promedio de una part´ıcula con radio R puede ser derivado que : x2i = 31 r2 = kTt/3πηR.







√

 

 √

Un gas es llamado un gas de Knudsen si  las dimensiones del gas, algo que puede ocurrir facilmente a presiónes bajas. La condicion de equilibrio para un recipiente que tie un hoyo con la superficie A en eel que tien que  A/π es: n1 T 1 = n2 T 2 . Junto con la ley de gas general se tiene: p1 / T 1 = p 2 / T 2 .

√





√

√

Si dos planos se mueven uno a lo largo del otro a una distancia d con velocidad w x la viscosidad η es Awx dada por: F x = η . El perfil de velocidad entre los planos en tal caso es w(z) = z wx /d. Puede d ser derivado que η = 31  v donde v es la velocidad térmica .







−

dQ T 2 T 1 La conducción del calor es un gas sin movimiento es descrito por: = κA , que resulta dt d en un perfil de temperatura T (z) = T 1 + z(T 2 T 1 )/d. Puede ser derivada que κ = 31 C mV n v /N A . Also holds: κ = C V η. Una mejor expresi´ on para κ puede ser obtenido con la correccion Eucken : κ = (1 + 9R/4cmV )C V η con un error <5%.

−



·

7.6

Interacci´ on entre moléculas

Para interacción dipolar entre moléculas se puede encontrar que U 1/r6 . Si la distancia entre moléculas se aproxima al diámetro molécular D una fuerza repulsara entre los electrones aparece en la nube electrónica. Tal fuerza puede ser descrita por U rep exp( γr) o V rep = +C s /rs con 12 s 20. Esto resulta en el potencial de Lennard-Jones para fuerzas intermoleculares:

∼ − ∼ −

≤ ≤

U LJ = 4

     − D r

12

D r

6

≈

con un m´ınimo  a r = rm . Lo anterior resulta en: D 0.89rm . Para los coeficientes de Van der Waals a y b y las cantidades criticas se tiene: a = 5.275N A2 D3 , b = 1.3N A D3 , kT kr = 1.2 y V m,kr = 3.9N A D3 .

∞

Un modelo más simple para fuerzas intermoléculares asume un potencial U (r) = para r < D, U (r) = U LJ for D r 3D and U (r) = 0 for r 3D. De modo que la energ´ıa potencial de una

≤3D ≤

molécula : E pot =



≥

U (r)F (r)dr.

D

con F (r) la distribución espacial en coordenadas esféricas, que para una distribución homogenea se escribe: F (r)dr = 4nπr 2 dr. Algunas reilaciones matemáticas u ´ tiles son: ∞



∞

n −x

x e

0

dx = n! ,



2n −x2

x e

0

√

(2n)! π dx = , n!22n+1

∞



2

x2n+1 e−x dx = 21 n!

0

42


Chapter 8

Termodin´ amica 8.1

Introducci´ on matem´ atica

Si existe una relacion f (x,y,z) = 0 entre tres variables, podemos escribir: x = x(y, z), y = y(x, z) y z = z(x, y).La diferencial total dz de z es : dz =

    ∂z ∂x

∂z ∂y

dx +

y

dy

x

Al utilizar en la notación dx y dy obtneemos que:

  ·  ·   ∂x ∂y

∂y ∂z

z

∂z ∂x

x

=

y

−1

Porque dz es una direncial total se tiene que dz = 0.

Una función homogenea de gradom obedece a: εm F (x,y,z) = F (εx,εy,εz). Para tales funciones el teorema de Euler se puede aplicar: mF (x,y,z) = x

8.2

•

∂F ∂F ∂F +y +z ∂x ∂y ∂z

Definiciones

    −     −

1 El coeficiente de presión isocorica: β V = p 1 V

• La compresibilidad isotermica: κT = • El coeficiente volumetrico: γ p = V 1

∂p ∂T

∂V ∂T

• La compresibilidad adiabatica: κS =

1 V

V

∂V ∂p

T

∂V ∂p

S

p

Para un gas ideal encontramos: γ p = 1/T , κ T = 1/p and β V =

8.3

Thermal heat capacity

     

• El calor especifico a constante X es: C X = T

∂S ∂T

X

• El calor especifico a presion constante: C p =

∂H ∂T

p

• El calor especifico a volumen constante: C V = 43

∂U ∂T

V

−1/V .

44


−

Para un gas ideal se tiene: C mp C mV = R. Posteriormente, si la temperatura es suficientemente alta para termalizar todos los grados de rotacion rotacional y vibracional internos, obteniendo: C V = 21 sR. He aqui que C p = 21 (s + 2)R. Para esta razon obtenemos γ = (2 + s)/s. Para una menor T , necesitamos unicamente considerar los grados de libertad termicos. Para un gas de Van der Waals gas: C mV = 21 sR + ap/RT 2. En general tenemos: C p

−

  · 

∂p C V = T ∂T

∂V ∂T

V

=

p

    − ≥ T

∂V ∂T

2

p

∂p ∂V

Porque (∂p/∂V )T es siempre < 0, lo siguiente es siempre valido: C p expansion es 0, C p = C V , y tambien a T = 0K.

8.4

0

T

≥ C V .

Si el coeficiente de

Las leyes de la termodin´ amica

La ley cero establece que el calor se transmite de zonas de temperatura alta hacia zonas de temperatura baja. La primera ley es la conservación de energ´ıa. Para un sistema cerrado tenemos: Q = ∆U + W , donde Q es el calor total añadido, W es el trabajo neto realizado y ∆U es la diferencia de energ´ıa. Su forma diferencial es: d Q = dU + d W , donde d significa que no es diferencial de una cantidad de estado. Para procesos cuasiestaticos tenemos: d W = pdV . De este modo, para un proceso reversible: d Q = dU + pdV . Para un sistema abierto (en flujo) la primera ley es: Q = ∆H + W i + ∆E kin + ∆E pot . Podemos extraer una cantidad de trabajo W t del sisstema o añadir W t = W i al sistema.

−

La segunda ley establece: para un sistema cerrado que existe una cantidad aditiva S , llamada entrop´ıa, la forma diferencial de esta cantidad es: dQ dS T Cuando los procesos son exclusivamente reversibles tenemos: dS = d Qrev /T . As´ı, la diferencia de entrop´ıa despues de un proceso reversible es:

≥

2

S 2

As´ı, para un ciclo reversible encontramos: Asi, tenemos en un cliclo irreversible:



− S 1 =



 1

d Qrev T

d Qrev = 0. T

d Qirr < 0. T

La tercera ley de termodinámica (Nernst) es: lim

T →0

  ∂S ∂X

=0

T

→

→

De aqu´ı, podemos concluir que la capacidad temica de calor 0 cundo T 0; as´ı, la temperatura de cero absoluto no puede ser alcanzada por enfriaminto en un número finito de etapas.

8.5

funciones de estado y relaciones de Maxwell

Las cantidades de estado y sus diferenciales son: Energ´ıa interna: Entalp´ıa: Energ´ıa libre: Entalp´ıa libre de Gibbs:

U H = U + pV F = U T S G = H T S

− −

− − − −

dU = T dS pdV dH = T dS + V dp dF = SdT pdV dG = SdT + V dp

45

Cap´ ıtulo 8: Termodin´ amica

De este punto podemos derivar las relaciones de Maxwell:

  −            −  ∂T ∂V

=

S

∂p ∂S

∂T ∂p

,

V

∂V ∂S

=

S

∂p ∂T

,

p

=

V

∂S ∂V

∂V ∂T

,

T

=

p

∂S ∂p

T

Desde la diferencial neta y las definicioes de C V y C p , podemos derivar que:

 

∂p T dS = C V dT + T ∂T

− T

dV and T dS = C p dT

V

  ∂V ∂T

dp

p

Tenemos para un gas ideal: S m = C V ln

  T T 0

+ R ln

V V 0

+ S m0 and S m = C p ln

 −   T T 0

R ln

p p0

 + S m0

Las ecuaciones de sHelmholtz son:

   −   ∂U ∂V

∂p = T ∂T T

Para una superficie expandida: d W rev = mos:

p ,

V

− T

= V

T

  ∂V ∂T

p

−γdA, donde γ es la tenison superficial. De donde observa-

γ =

8.6

∂H ∂p

    ∂U ∂A

=

S

∂F ∂A

T

Procesos t´ ermicos

La eficencia η de un proceso es: η =

Work done Heat added

El factor de enfriamiento ξ en un proceso es: ξ =

Cold delivered Work added

Proceso adiabatico reversible

−

Para un proceso adiabatico se tiene: W = U 1 U 2 . Para procesos adiabaticos reversibles se tiene la ecuaci´ on de Poisson: con γ = C p /C V obteniendo que pV γ = constante. Tambi´ en, tenemos: T V γ −1 = γ 1−γ constante y T p = constante. En Diagramas p-V las adaibataas muestran mayor pendiente que las isotermarmas, porque γ > 1. Proceso isobarico Aqu´ı, tenemos: H 2

− H 1 =



2 C dT . 1 p

Para un proceso isobarico reversible: H 2

− H 1 = Qrev.

El proceso extrangulado

Este también es llamado el efecto Joule-Kelvin es una expanción adiabatica de un gas a trav´ es de un material poroso o una pequeña abertura. Aqui H es una cuantidad conservada, y dS > 0. En general, se presenta un cambio de temperatura. La cantidad que es importante en el efect es el coeficiente de extrangulamiento: αH =

  ∂T ∂p

H

=

   −

1 ∂V T C p ∂T

V

p

La inversion de temperatura es la temperaura donde una expanción adiábatica de gas se mantiene a la misma temperatura. Si T > T i el gas se calienta, si T < T i el gas se enfria. T i = 2T B, para T B : [∂ ( pV )/∂p]T = 0. Se produce el proces de extrangulamiento, por ejemplo, en los refrigeradores. El proceso de Carnot El sistema realiza un ciclo con dos isotermas y dos adibatas:

46


1. Expanci´ on isotermica a T 1 . El sistema absorbe calor Q 1 del resorvorio. 2. expanci´ on adiabatica con una temperatura que cae a T 2 . 3. Compresi´ on isotermica a T 2 , removiendo Q 2 del sistema. 4. Compresi´ on adiabatica a T 1 . La eficiencia en un proceso de Carnot es: η = 1

− ||QQ21|| = 1 − T T 21 := ηC

La eficiencia de Carnot η C es la máxima eficiencia que una máquina térmica puede operar. Cuando el proceso es aplicado en orden inverso y el sistema desarrolla trabajo W el factor de enfriamiento es descrito por: Q2 Q2 T 2 ξ = = = W Q1 Q2 T 1 T 2 El proceso Stirling

−

| |

| | | |−| |

−

en el proceso de Stirling’ existen 2 isotermas y 2 isocoricas. La eficiencia en el caso idela es la misma que el ciclo de Carnot.

8.7

Trabajo m´ aximo y m´ınimo

Considere un sistema que cambia del estado 1 a un estado 2, con la temperatura y presión de los alrededores dada por T 0 y p 0 . El m´ aximo trabajo que puede ser obtenido de este camibo es, cuando todo el proceso es reversible:

− U 2) − T 0(S 1 − S 2) + p0(V 1 − V 2 ). 2. Sistema abierto: W max = (H 1 − H 2 ) − T 0 (S 1 − S 2 ) − ∆E kin − ∆E pot . El trabajo minimo necesaro para alcanzar cierto estado es: W min = −W max . 1. Sistema cerrado: W max = (U 1

8.8

Transiciones de fase

Las transiciones de fase son isotermicas e isobaricas, de modo que dG = 0. Cuando las fases son β indicadas por α, β y γ se tiene: Gα m = G m y rβα α β ∆S m = S m S m = T 0

−

donde r βα es la transición de fase por el calor β para la fase α y T 0 es la transición de temperatura. Lo que resulta: rβα = r αβ y r βα = rγα rγβ . Entonces

−

S m =

  ∂G m ∂T

p

as´ı G tiene una torcedura en el punto de transici´ on. En un sistema de dos fases la ecuació n de Clapeyron es valida: α β dp S m S m rβα = = β α α dT V m V m (V m V mβ )T

− −

−

Para un gas ideal se encuentra para la l´ınea de vapor a una distancia del punto cr´ıtico: p = p0 e−rβα/RT Existe otra transición de fase con rβα = 0. Para estos ocurre unicamente una discontinuidad en la segunda derivada de G m . Esta transición de segundo orden aparecen en fen´ omenos de organización . Un cambio de fase de tercer orden, con e.g. [ ∂ 3 Gm /∂T 3] p non continuous arises e.g. when ferromagnetic iron changes to the paramagnetic state.

47

Cap´ ıtulo 8: Termodin´ amica

8.9

Potencial termodinámico

Cuando el n´ umero de part´ıculas dentro del sistema cambia el numero se convierte en una tercera cualidad del estado. Porque la adicci´ on de materia usualmente toma lugar una constante p y T , G es la cualidad relevante. Si un sitema existe de mas componentes este se convierte:

Donde µ =

  ∂G ∂n i

V obtenemos:



−SdT + V dp +

dG =

µi dni

i

es llamado el potencial termodinámico. Esto es una cualidad parcial . Para

p,T,n j c

V =

c

     ∂V ∂n i

ni

i=1

:=

nj ,p,T

ni V i

i=1

donde V i es el volumen parcial de la componente i. el siguiente da: V m

=

xi V i

i

0 =

xi dV i

i

donde xi = n i /n es la fracción molar de la componente i. El volumen molar de una mezcla de dos componentes puede ser una l´ınea cóncava en un diagrama V -x2 : la mezcla contrae el volumen . Los potenciales termodin´ amicos no son independientes en una sitemas de fases múltiples. Se puede derivar que ni dµi = SdT + V dp, esto da una constante p y T : xi dµi = 0 (Gibbs-Duhmen).

 i



−

i

Cada componente tiene tantas µ’s como fases. El numero de parámetros libres en un sistema con c componenete y p diferentes fases es dado por f = c + 2 p.

−

8.10

Mezclas ideales

Para una mezcla de n componentes se tiene (el ´ındice U mixture =



 − 

ni U i0 , H mixture =

i

0

es el valor para la componente pura):

niH i0 , S mixture = n

i

donde para gases ideales se tiene: ∆S mix =

nR



xi S i0 + ∆S mix

i

xi ln(xi ).

i

Para potenciales termodinámicos se tiene: µi = µ 0i + RT ln(xi ) < µ0i . Una mezcla de dos l´ıquidos es raramente ideal: esto es usualmente sólo en el caso para componentes qu´ımicamente relacionados o isotopos. In spite of this holds Raoult’s law for the vapour pressure holds for many binary mixtures: pi = x i p0i = y i p. Here is xi the fraction of the ith component in liquid phase and yi the fraction of the ith component in gas phase. Una solucion de una componente en otra tiene como consecuencia el aumento en el punto de ebullicion ∆T k y un decremento de el punto de congelacion ∆ T s . Para x 2 1 tenemos: ∆T k =

RT k2 x2 , ∆T s = rβα

 2

s − RT x2 rγβ

with r βα the evaporation heat and rγβ < 0 the melting heat. For the osmotic pressure Π of a solution 0 holds: ΠV m1 = x 2 RT .

8.11

Condiciones de equilibrio

Cuando un sistema evoluciona hacia el equilibrio el unico cambio que es posible son aquellos para los que se tiene: (dS )U,V 0 o (dU )S,V 0 o (dH )S,p 0 o (dF )T,V 0 o (dG)T,p 0. En equilibrio β γ α para cada componente se tiene: µi = µ i = µ i .

≥

≤

≤

≤

≤

48

8.12


Bases estad´ısticas para la termodinámica

El n´ umero de posibilidades P para distribuir N part´ıculas en n posibles niveles de energ´ıa, cada uno con una degeneración en el doblamiento g es llamado la probabilidad termodinámica y es dado por: P = N !

 i

gini ni !

La más probable distribución, que con el máximo valor para P , es el estado de equilibrio. Cuando la ecuaci´ on de Stirling, ln(n!) n ln(n) n es utilizada, se encuentra que para un sistema discreto la distribuci´ on de Maxwell-Boltzmann. Los números de ocupación en equilibrio son dados por:

≈

−

N ni = g i exp Z

−  W i kT

La suma del estado Z es una normalizacion constante, descrita por: Z =



−

gi exp( W i /kT ). Para

i

un gas ideal se tiene: Z =

V (2πmkT )3/2 h3

La entrop´ıa puede ser definida como: S = k ln(P ) . Para un sistema termodinamico el equilibrio es: U S = + kN ln T



Z + kN N

≈

U + k ln T

Para un gas ideal, con U = 23 kT tenemos: S = 25 kN + kN ln

8.13



  Z N N !

V (2πmkT )3/2 N h3



Aplicaciones a otros sistemas termodinamicos

La termodinamica puede ser aplicada a otros sistemas, aparte del gas ideal. Para realizarlo el término d W = pdV debe de ser remplazda con el término correcto de trabajo, como d W rev = F dl para el estiramiento de un alambre, d W rev = γdA para la expansion de una burbuja de jabón, o d W rev = BdM para un sistema magnetico.

−

−

−

Un agujero negro (rotatorio y no cargado electricamente) tiene una temperatura de T = ¯hc/8πkm. Este tiene una entropia de S = Akc3 /4¯hκ donde A es el area de su horizonte de eventos. Para un hoyo negro tipo Schwarzschild A es igual a A = 16πm2 . El teoirema de area de Hawkings establece que dA/dt 0.

≥

Aqui, el tiempo de vida del agujero negro es

∼ m3.

Chapter 9

Fen´ omenos de transporte 9.1

Introducci´ on matem´ atica

Una relaci´ on importante es: si X es una cantidad de un elemento de volumen que viaja de una posición r a r + dr en un tiempo dt, la diferencial total dX es descrita por: dX =

∂X ∂ X ∂ X ∂ X dx + dy + dz + dt ∂x ∂y ∂z ∂t dX ∂X = + (v dt ∂t

Se puede escribir en general to: d dt

De aqu´ı también se obtiene:

⇒



dX ∂X ∂ X ∂ X ∂ X = v x + v y + vz + dt ∂x ∂y ∂z ∂t

· ∇)X .

∂ Xd V = ∂t 3



3

Xd V +



X (v n )d2 A

·

donde el volumen V es rodeado por la superficie A. Algunas propiedades del operador

·

div(φv ) = φdivv + gradφ v div(u v ) = v (rotu ) u (rotv ) div gradφ = 2 φ

×

∇

·

− ·

×

rot(φv ) = φrotv + (gradφ) v 2 rot rotv = grad divv v 2 2 2 2 v ( v1 , v2 , v3 )

∇ ≡ ∇

−∇ ∇

∇

∇ son:

rot gradφ =  0 div rot v =0

Aqu´ı, v es un campo vectorial arbitrario φ un campo escalar arbitrario. Algunos teoremas integrales importantes son: Gauss:

 ·  ·  ·  ·  × 

2

  ×  ·

Stokes para un campo escalar: Stokes para el campo vectorial: Esto resulta en: Ostrogradsky:

(φ et )ds = (v et )ds =

(n

9.2



gradφ)d2 A

(n

(rotv n )d2 A

(rotv n )d2 A = 0 2

  

v )d A =

(φ n )d2 A =

Aqu´ı, la superficie orientable

(divv )d3 V

(v n )d A =

(rotv )d3 A

(gradφ)d3 V

d2 A es limitada por la curva de Jordan

Leyes de la conservaci´ on

ds.

Sobre un volumen se presentan dos tipos de fuerzas:  0 sobre cada elemento de volumen. Por la gravedad tenemos: f  0 = g . 1. La fuerza f 2. Fuerzas de superficie actuando u ńicamente sobre los márgenes:  t. Para los que se tiene:  t = n T , donde T es el tensor de stress . 49

50


separar en una parte p I representando las tensiones normales y la parte T representando la shear stresses: T = T + p I, donde I es el tensor unitario. Donde los aspectos de la viscosidad pueden ser ignorados, obteniendo: divT= grad p. T podemos

−

Donde el flujo de la velocidad es v en la posición r permaneciendo en la posición r + dr: v (dr ) =

v (r )

 ·     − 

+

 

translation

dr (gradv )

rotation, deformation, dilatation

La cantidad L:=gradv puede ser separada en una parte simetrica D and y una parte antisimétrica W . L = D + W con 1 ∂v i ∂ vj 1 ∂v i ∂ vj Dij := + , W ij := 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x j ∂x i



Donde la rotación o vorticidad  ω = rotv es introducida, dando: W ij =   velocidad de rotacion local: dr W = 21 ω dr.

·

Para un liquido newtoniano tenemos: con el shear stress τ por:



T

1 2 εijk ωk .

 ω representa la

×

= 2η D. Aqui, η es la viscosidad dinamica. Este es relacionado τ ij = η

∂v i ∂x j

Para medios compresibles podemos establecer: T = (η  divv )I + 2η D. Por acoplar(igualar) la presión mecánica y termodinámica se obtiene:: 3η  + 2η = 0. Si la viscosidad constante, se tiene: div(2 D) = 2 v + grad divv .

∇

Las leyes de conservación de masa, momentum y energ´ıa para medios continuos pueden ser escritos tanto de modo integral como de modo diferencial. Las que son:

Notaci´ on integral:

  ·   ·    · −  ·  ·  ·

∂ 1. Conservaci´ on de la masa: ∂t

d3 V +

∂ 2. Conservaci´ on del momentum: ∂t ∂ ∂t

3. Conservaci´ on de la energia:

(v n )d2 A = 0

3

vd V +

2

v (v n )d A =

( 12 v 2 + e)d3 V +

f 0 d V +

 ·

n T d2 A

( 12 v 2 + e)(v n )d2 A =

 0 )d3 V + (v f

( q n )d2 A +

3

(v n T)d2 A

Notaci´ on diferencial: 1. Conservaci´ on de la masa:

∂ + div (v ) = 0 ∂t

·

2. Conservaci´ on del momentum: 

∂v + (v ∂t

· ∇)v = f  0 + divT = f  0 − grad p + divT

ds de 3. Conservaci´ on de la energia: T =  dt dt

= −div q + T : D − p d dt

Aqu´ı, e es la energia interna por unidad de masa E/m y s es la entrop´ıa por unidad de masa S/m. q = κ  T es el flujo de calor. Obteniéndose: 

−∇

p =

∂e =− − ∂E ∂V ∂ 1/

so C V =

  ∂e ∂T

V

,

T =

and C p =

∂E ∂e = ∂S ∂s

  ∂h ∂T

p

51

Cap´ ıtulo 9: Fen´ omenos de transporte

con h = H/m la entalp´ıa por unidad de masa. De éste se puede derivar las ecuaciones de Navier-Stokes para un medio incomprensible, viscoso y conductor de calor: divv = 0 ∂v  + (v )v = g grad p + η 2v ∂t ∂T + C (v )T = κ 2 T + 2η D : D C ∂t  con C la capacidad térmica. La fuerza F sobre un objeto con un flujo, cuando los efectos son limitados por las fronteras, pueden ser obtenidazas utilizando la ley de momentum. Si una superficie A rodea un objeto se tiene en la frontera:  = F

9.3

·∇ ·∇

− ∇

− 

·

∇

[ pn + v(v n )]d2 A

Ecuaci´ on de Bernoulli

Comenzando con la ecuación de momentum podemos encontrar un medio no viscosos con un flujo estacionario, con (v grad)v = 21 grad(v 2 ) + (rotv ) v Y la ecuación potencial g =

·

×

−grad(gh) que:

1 2 2v

+ gh +



dp = constant along a streamline 

Para fluidos comprensibles: 21 v 2 + gh + p/ =constante a lo largo de la l´ınea de flujo. Si además se tiene rotv = 0 y la entrop´ıa es igual en cada l´ınea de flujo obteniendo 21 v 2 + gh + dp/ =constante en todas partes. Para fluidos incomprensibles se tiene: 21 v 2 + gh + p/ =constante en todas partes. Para un gas ideal con constante C p y C V se tiene, con γ = C p /C V :



1 2 2v

+

γ p c2 = 21 v 2 + = constant γ 1  γ 1

−

−

Con una velocidad potencial definida por v = gradφ teniéndose para un flujo no estacionario: ∂φ 1 2 + 2 v + gh + ∂t

9.4



dp = constante en todas partes 

Caracterizaci´ on de flujos por n´ umeros adimensionales

La ventaja de números adimensionales es que permiten elaborar modelos experimentales: uno debe emplear los n´ umeros adimensionales que son importa tantees para un experimento espec´ıfico igual para el modelo y la situación real. Uno puede tambi´ en deducir funciones sin resolver la ecuación diferencial. Algunos n´ umeros adimensionales son: ωL v a Fo = ωL 2 ν Pr = a

Strouhal: Sr = Fourier: Prandtl:

v2 gL vL Péclet: Pe = a Lα Nusselt: Nu = κ Froude:

Fr =

v c vL Reynolds: Re = ν v2 Eckert: Ec = c∆T Mach:

Ma =

Aqu´ı, ν = η/ es la viscosidad cinematica , c es la velocidad del sonido y L es la longitud caracteristica del sistema. α Seguido de la ecuación para el trasporte de calor κ∂ y T = α∆T y a = κ/c es coeficiente de difusión térmica. Estos n´ umeros pueden ser interpretados de la siguiente forma:

52


• Re: (fuerza inerciales estacionarias)/(fuerzas viscosas) • Sr: (fuerzas inerciales no estacionarias)/(fuerzas inerciales estacionarias) • Fr: (fuerzas inerciales estacionarias)/(gravitación) • Fo: (conducción de calor)/( cambio no estacionario en la entalpia) • Pe: (transporte convectivo del calor)/(conductancia del calor) • Ec: (disipación viscosa)/( trasporte convectivo del calor) • Ma: (velocidad)/(velocidad del sonido): objetos moviéndose más rápido que aproximadamente Ma = 0,8 produce ondas de choque que se propaga con un ángulo θ con la velocidad del objeto. Para este ángulo se tiene Ma= 1/ arctan(θ).

• Pr y Nu estan relacionados para materiales espec´ıficos. Ahora, la ecuación adimensional de Navier-Stokes se trasforma, con x = x/L, v  = v/V , grad = Lgrad, 2 = L 2 2 and t  = tω:

∇

∇

Sr

9.5

∂v  + (v  ∂t 

2

· ∇ )v  = −grad p + Frg + ∇Rev



Flujo tubular

Para un tubo el flujo es: es laminar si Re< 2300 con dimensión de longitud en el diámetro del tubo, y turbulento si Re es más grande. Para un flujo laminar incompresible a trav´ es de una l´ınea, un tubo circular presenta un circular un perfil de velocidad: dp 2 − 4η1 dx (R − r2 )

v(r) = R

Para un flujo del volumen se tiene: Φ V =



v(r)2πrdr =

0

dp 4 − π8η dx R

La longitud de entrada L e es dado por: 1. 500 < ReD < 2300: Le /2R = 0.056ReD 2. Re > 2300: Le /2R

≈ 50

√

4R3α π dp Para el trasporte de un gas a una presión baja (un gas de Knudsen) se tiene: Φ V = 3 dx 2 Para el flujo pequeño Re se tiene: p = η v y divv = 0. Para la fuerza total sobre una esfera con radio R en un flujo entonces se tiene: F = 6πηRv. Para una Re grande, se tiene para la fuerza sobre una superficie A: F = 21 C W Av2 .

∇

9.6

∇

Teoria del potencial

La circulación Γ es definida como: Γ =

 ·

(v et )ds =



·

2

(rotv ) nd A =



( ω n )d2 A

·

Para un medio no viscoso, si p = p() y todas las fuerzas son conservativas, el teorema de Kelvin puede ser derivado: dΓ =0 dt Para flujos no rotacionales un potencial de velocidad v = gradφ puede introducido. En el caso incompresible se tiene de la conservaci´ on de la masa 2 φ = 0. Para un flujo bidimensional una

∇

53

Cap´ ıtulo 9: Fen´ omenos de transporte

funci´ on de flujo ψ(x, y) puede ser definido: con ΦAB la cantidad de liquido fluyendo a trav´ es de la curva s entre los puntos A y B: B

ΦAB =

B

 ·

(v n )ds =

A

Y las definiciones vx = ∂ψ/∂y, vy = obtiene:



(vx dy

− vy dx)

A

− ∂ψ/∂x obteniendo: ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ + = ∂x 2 ∂y 2

− ψ(A).

ΦAB = ψ(B)

En general se

−ωz

En coordenadas polares se tiene: vr =

1 ∂ψ ∂φ = , vθ = r ∂θ ∂r

1 ∂φ = − ∂ψ ∂r r ∂θ

Para una fuente de flujo ocon una potencia Q en (x, y) = (0, 0) se tiene: φ = vr = Q/2πr, v θ = 0.

−

Q ln(r) so that 2π

−

Para un dipolo de intensidad Q en x = a y una intensidad Q en x = a se sigue de la superposici´ on: φ = Qax/2πr 2 donde Qa es la intesidad del dip olo. Para un vértice se obtiene: φ = Γθ/2π.

−

Si un objeto es rodeado por un flujo principal con v = vex y es tan grande como Re, los efectos de la viscosidad son limitados por la frontera, obteniéndose: F x = 0 y F y = Γv. La declaración de que F x = 0 es la paradoja de d’Alembert y origina de la de la negación de los efectos de la viscosidad. The lift F y is also created by η because Γ = 0 due to viscous effects. Henxe rotating bodies also create a force perpendicular to their direction of motion: the Magnus effect .

−



9.7 9.7.1

Capas de la frontera flujo de capas de fronteras

≈ √ ≈

 ⊥

Si para el espesor de una capa de frontera se tiene: δ L obteniendo: δ L/ Re. Con v∞ la velocidad del principal flujo se sigue para la velocidad v y la superficie: vy L δv ∞ . La ecuación de Blasius para la capa de fronteras es, con v y /v∞ = f (y/δ ): 2f  + f f  = 0 con condiciones de frontera f (0) = f  (0) = 0, f  ( ) = 1. Para lo que se tiene: C W = 0.664 Re−1/2 . x

∞

El teorema de momentum de Von Karman para la capa de la frontera es:

d dv τ 0 (ϑv2 ) + δ ∗ v = dx dx 

donde el desplazamiento del espesor δ ∗ v y el espesor del momentum ϑv 2 es dado por: ∞

2

ϑv =

 − (v

0

∞

vx )vx dy ,

∗

δ v =

 −   (v

vx )dy and τ 0 =

0

∂v x ∂y

The boundary layer is released from the surface if 12ηv∞ . δ 2

9.7.2

∂v x η ∂y

−

y=0

= 0. This is equivalent with y=0

Temperatura de capas de fronteras

 L holds:

If the thickness of the temperature boundary layer δ T



1. If Pr 2. If Pr

dp = dx

≤ 1: δ/δ T ≈ √ Pr. √  1: δ/δ T ≈ Pr. 3

54

9.8


Conductancia del calor

Para una conductancia no estacionaria del calor en una dimension sin flujo se tiene: ∂T κ ∂ 2 T = +Φ ∂t c ∂x 2 donde Φ es un termino que representa a la fuente. Si Φ = 0 las soluciones para oscilaciones armónicas donde x = 0 son: T T ∞ x x = exp cos ωt T max T ∞ D D

− −



−  



−

con D = 2κ/ωc. en x = πD la varicion de temperatura es un fase contraria con la superficie. La solucion unidimensional para Φ = 0 es 1 T (x, t) = exp 2 πat

√

−  x2 4at

Esto es matemáticamente equivalente al problema de difusión: ∂n = D ∂t

∇2n + P − A

donde P es la producción y A es la descarga de part´ıculas. La densidad de flujo J =

9.9

−D∇n.

Turbulencia

La escala de tiempo de las variaciones de velocidad de la turbulencia τ t es del orden de: τ t = τ Re/Ma2 con τ la escala de tiempo molecular. Para la velocidad de las particulazas, se tiene: v(t) = v + v  (t) with v  (t) = 0. La ecuación de The Navier-Stokes ahora se convierte en:

√





 ∂ v  ∇ p + ν ∇2 v  + div SR + (v  · ∇) v  = − ∂t





−  

donde SR ij =  vi vj es el tensor de stress de turbulencia. La suposici´ on de Boussinesq es: τ ij =    vi vj . Estableciendo que, analogon a medios Newtonianos: SR = 2ν t D . Cerca de las fronteras se tiene: ν t = 0, lejos de las fronteras se obtiene: ν t ν Re.

−  9.10



≈

Auto organizaci´ on

dω ∂ω = + J (ω, ψ) = ν 2 ω dt ∂t Con J (ω, ψ) el Jacobiano. As´ı si ν = 0, ω es conservado. Posteriormente, la energ´ıa cinética /mA y la entrop´ıa V son conservadas: con v = ( kψ)

∇

Para una (semi) bidimensional flujo se tiene:

∇×

∞

2

∼ (∇ψ)

E

 ∼ E

∞

∼ (∇ ψ)

(k, t)dk = constant , V

0

2

2

 ∼ E

k 2 (k, t)dk = constante

0

Para este se obtiene que en dos dimensiones el flujo de energ´ıa es de grandes valores de k: mayores estructuras se convierten para grandes que se expanden. En flujos de tres dimensiones es justo lo opuesto.

Chapter 10

F´ısica cu´ antica 10.1

Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica

10.1.1

Radiaci´ on de cuerpo negro

La ley de Planck para una distribución de energ´ıa emitida por un cuerpo negro es: w(f ) =

8πhf 3 1 c3 ehf/kT

,

−1

w(λ) =

8πhc 1 λ5 ehc/λkT

−1

La ley de Stefan-Boltzmann para la densidad del poder neto puede ser derivada de esta fórmula: P = AσT 4 . La ley de Wien para el máximo puede ser también derivada de esta expresión: T λmax = kW .

10.1.2

El efecto Compton

Para una longitud de onda de luz esparcida, la luz es considerada compuesta por part´ıculas, podemos obtener: h λ = λ + (1 cos θ) = λ + λC (1 cos θ) mc

−

10.1.3

−

Difracci´ on de electrones

La difracci´ on de electrones en un cristal puede ser explicada asumiendo que las part´ıculas tienen un carácter ondulatorio con longitud de onda λ = h/p. Esta longitud de onda es llamada longitud de onda de Broglie.

10.2

funci´ ones de onda

El carácter ondulatorio de las part´ıculas es descrito por las función de onda ψ. Esta función de onda es descrita en un espacio normal o en un espacio de impulso. Ambas definiciones son transformaciones de Fourier reciprocas:

 √

1 Φ(k, t) = h

−ikx

Ψ(x, t)e

 √

1 dx y Ψ(x, t) = h

Φ(k, t)eikx dk

Estas ondas son definen a una particula, con una velocidad de grupo v g = p/m y energia E = ¯hω. La funci´ on de onda puede ser interpretada como una medición de probabilidad P para encontrar una part´ıcula en alguna posición (Born): dP = ψ 2 d3 V . El valor de expectación f de la cantidad f de un sistema es dado por:

||

f (t) =



∗

 

3

Ψ f Ψd V ,

f p(t) =

   || 



Φ∗ f Φd3 V p

La que se puede escribir también como f (t) = Φ f Φ . La condici´ on de normalización para funciones de onda sigue de: Φ Φ = Ψ Ψ = 1.

 |   | 

55

56

10.3


Operadores en f´ısica cu´ antica

En macanica cuantica, las cantidades clasicas son trasformadas como operadores. Estos operadores son hermitianos porque sus valores propios son reales:



ψ1∗ Aψ2 d3 V

=



ψ2 (Aψ1 )∗ d3 V

Cuando u n es una función propia de los valores propios de la ecuación AΨ = aΨ para valores propios an , Ψ puede ser expandido en base a una función de valores propios: Ψ = cn un . Si estas bases son

 | 

 n

tomadas como ortonormales, se tiene para los coeficientes: cn = un Ψ . Si el sistema es en un estado descrito por Ψ, la oportunidad de encontrar el valor propio a n cuando medimos A es dado por cn 2 en la parte discrita del espectro y cn 2 da en la parte continúa del espectro entre a y a + da. La matriz de elementos A ij es dado por: Aij = ui A uj . Porque (AB)ij = ui AB uj = ui A un un B uj

| |

Obteniendo:

| n

| |  | |   | n |  | | 



 | | 

 |

un un = 1.

La dependencia en el tiempo de un operador es dado por (Heisenberg): dA ∂A [A, H ] = + dt ∂t i¯h

≡

−

con [A, B] AB BA el conmutador de A y B. Para operadores hermitianos el comunmutador siempre es complejo. Cuando [A, B] = 0, los operadores A y B tiene un conjunto común de funciones propias. Al aplicar esto a p x y x de forma que obtenemos (Ehrenfest): md2 x t /dt2 = dU (x)/dx .





El primer orden de aproximación F (x)

−



t ≈ F (x), con F = −dU/dx representa la ecuación clásica.

Antes de la adición de los operadores en la mecánica cuántica, que son el producto de otros operadores, ellos deben ser hechos simétricos: un producto clasico AB se trasforma en 21 (AB + BA).

10.4

El principio de incertidumbre

|

Si la incertidumbre ∆A in A es definada como: (∆A)2 = ψ Aop que: ∆A ∆B 21 ψ [A, B] ψ

·

≥ |  |

− A |2 ψ

| |

  −  = A2

A

2

se tiene

· ≥ 21 ¯h, y porque [x, px] = i¯h es decir: ∆ px ·∆x ≥ 21 ¯h, y ∆Lx ·∆Ly ≥ 21 ¯hLz .

De lo que se obtiene: ∆E ∆t

10.5

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger

− ∇

∇

El operador de impulso es descrito por: pop = i¯h . El operador de posici´ on es: xop = i¯h p . El operador de energ´ıa es dado por: E op = i¯h∂/∂t. El hamiltoniano de una part´ıcula con masa m, la energ´ıa potencial U y la energ´ıa total E es dada por: H = p 2 /2m + U . De Hψ = Eψ se obtiene la ecuaci´ on de Schr¨ odinger : 2

¯h − 2m ∇2ψ + U ψ = Eψ = i¯h ∂ψ ∂t ´ La combinaci´ on lineal de las soluciones de esta ecuación resulta en la solución general. Esto es para una dimensión: iEt ψ(x, t) = + dE c(E )uE (x)exp ¯h

  

La densidad de corriente J es descrita por: J = La ley de conservación da:

∂P (x, t) = ∂t

¯h (ψ∗ ψ 2im

−∇J (x, t)

− 

∇ − ψ∇ψ∗ )

57

Cap´ıtulo 10: F´ ısica cu´ antica

10.6

Paridad

P

−

El operador de paridad en una dimensión es descrito por ψ (x) = ψ( x). Si la funci´ on de onda es dividida en funciónes pares e impares, puede ser expandida en funciónes propias de : ψ(x) = 21 (ψ(x) + ψ( x)) + 12 (ψ(x)

  −   − −  par: ψ

+

P

ψ( x))

impar: ψ

[ , H ] = 0. Las funciónes ψ + = 21 (1 + )ψ(x, t) y ψ − = 21 (1 de Schrödinger. Luego, la paridad es conservada.

10.7

P

P

−

−P )ψ(x, t) ambos satisfacen la ecuación

El efecto t´ unel

∞

La función de onda de una part´ıcula en un potencial de barrera con altura de x = 0 a x = a es dado por ψ(x) = a −1/2 sin(kx). Los niveles de energ´ıa es dado por E n = n 2 h2 /8a2 m. Si la función de onda con energ´ıa W se encuentra con el potencial de pozo de W 0 > W la función de onda será, improbable en el caso clásico, no-cero dentro del potencial del pozo. Si 1, 2 y 3 son las áreas en el frente, dentro y detrás del potencial de pozo, se obtiene: ψ1 = Aeikx + Be−ikx ,





ψ2 = C eik x + De−ik x ,

ψ3 = A eikx

con k 2 = 2m(W W 0 )/¯h2 y k 2 = 2mW . Utilizando las condiciones de frontera requiri´ endose continuidad: ψ = continuo y ∂ψ/∂x = continuos en x = 0 y x = a dando B , C y D y A  expresada en A. La amplitud T de la onda trasmitida es definida por T = A 2 / A 2 . Si W > W 0 y 2a = nλ = 2πn/k obteniéndose: T = 1.

−

| | | |

10.8

El oscilador arm´ onico

Para un oscilador arm´ onico se obtiene: U = 21 bx2 y ω 02 = b/m. El hamiltoniano H es dado por: H = con A =

p2 + 21 mω 2x2 = 21 h ¯ ω + ωA† A 2m



1 2 mωx

ip + √ 2mω

†

y A =



ip − √ 2mω

1 2 mωx

A = A† no es hermitiano. [A, A† ] = h ¯ y [A, H ] = h ¯ ωA. A es llamado operador de ascenso, A† es un operador de descenso. HAuE = (E ¯hω)AuE . Hay una funci´ on propia u 0 para la que se tiene: 1 Au0 = 0. La energia en este estado basal es 2 ¯hω: el punto de energ´ıa cero. Para la función propia normalizada se tiene:



−

un =

n

  √ √ 1 n!

A† ¯h

u0 con u0 =

 −  4

mω exp π¯h

mωx2 2¯h

con E n = ( 12 + n)¯hω.

10.9

Momento angular

Para el operador de momentun angular L tenemos: [Lz , L2 ] = [Lz , H ] = [L2, H ] = 0. Sin embargo, c´ıclicamente obtenemos: [Lx , Ly ] = i¯hLz . No se pueden conocer todos los componentes de L al mismo tiempo con la misma exactitud. Para L z se tiene: Lz =

∂ i¯h = ∂ϕ

−



∂ i¯h x ∂y

−

−

∂ y ∂x



58


Los operadores de escalera L± son definidos por: L± = L x iLy . Ahora tememos: L2 = L+ L− + L2z ¯hLz . Entonces, ∂ ∂ L± = ¯he±iϕ + i cot(θ) ∂θ ∂ϕ

±

−

±

−¯hL+ siguiendo: Lz (L+Y lm) = (m + 1)¯h(L+Y lm). De [L− , Lz ] = ¯hL− siguiendo: Lz (L− Y lm ) = (m − 1)¯h(L−Y lm ). De [L+ , Lz ] =



De [L2 , L± ] = 0 siguiendo: L2 (L± Y lm ) = l(l + 1)¯h2 (L± Y lm ).

Porque L x y Ly son hermitianos ( ésto implica L†± = L ∓ ) y L±Y lm 2 > 0 continuando: l(l + 1) m2 m 0 l m l. Entonces, se obtienen que l tiene que ser integral o medio integral. Valores integrales medio impares dan una solución ψ y son por ello descontados.

|

− ≥ ⇒ − ≤ ≤

10.10

|

−

Spin

Los operadores de spin son definidos por su relación de conmutació n: [S x , S y ] = i¯hS z . Porque los operadores de spin no actúan en el espacio f´ısico (x,y,z) La único de una funció n de onda no es un criterio aqu´ı: tan bien valores integrales de mitad impar son permitidos para el spin. Porque [L, S ] = 0 spin y operadores de momento angular no tienen un conjunto común de funciónes propias.   = 1 ¯h Los operadores de spin son dados por S σ, con 2

 σ x =

  0 1 1 0

,  σ y =



0 i

−i 0



,  σ z =



1 0

0 1

−



Los estados propios de S z son llamados spinors : χ = α + χ+ + α− χ− , donde χ+ = (1, 0) representa el estado con el spin ¡¡hacia arriba¿¿ ( S z = 21 ¯h) y χ− = (0, 1) representa el estado con spin ¡¡hacia abajo¿¿ (S z = 21 ¯h). Luego, la probabilidad de encontrar el spin ¡¡hacia arriba¿¿ despu´ es de una medida es da por α+ 2 y la oportunidad de encontrar el spin ¡¡hacia abajo¿¿ es dada por α− 2 . Por su puesto manteniendo α+ 2 + α− 2 = 1.

− | |

| |

| | | |

 debido a su spin, dado por M  = El electr´ on tendrá un momento dipolar magnético intr´ınseco M  egS S/2m, con gS = 2(1 + α/2π + ) la razón giromagnética. En la presencia de un campo  B.  La ecuaci´ magnético externo es descrita por la energ´ıa potencial U = M on de Schrödinger, entonces, se convierte (porque ∂χ/∂xi 0):

−

·· · ≡

i¯h

− ·

∂χ(t) egS ¯h  = σ Bχ(t) ∂t 4m

·

 = Bez existen dos valores propios para este problema: χ± para E = con σ = ( σ x ,  σ y ,  σz ). Si B egS ¯hB/4m = ¯hω. As´ı en general la solución es dada por χ = (ae−iωt , beiωt ). De ello podemos derivar: S x = 21 ¯h cos(2ωt) y S y = 21 ¯h sin(2ωt). Entonces el spin precesa alrededor del eje z con ´ una frecuencia 2ω. Esto causa la separación Zeeman normal delineas espectrales.

±

 

±

 

El operador de potencial para dos part´ıculas con spin V (r) = V 1 (r) +

± 21 ¯h es descrito por:

1   (S 1 S 2 )V 2 (r) = V 1 (r) + 21 V 2 (r)[S (S + 1) ¯h2

·

− 23 ]

´ Esto hace imposible que dos estados pueden existir a la vez: S = 1 (triplete) o S = 0(singlete).

10.11

El formalismo de Dirac

Si los operadores para p y E son sustituidos en la ecuación relativistica E 2 = m 20 c4 + p2 c2 , la ecuaci´ on de Klein-Gordon se presenta:

∇ − 2

1 ∂ 2 c2 ∂t 2

−

m 20 c2 ¯h2



ψ(x, t) = 0

59


El operador



− m20c2/¯h2 puede ser separado: 2

∇−

1 ∂ 2 c2 ∂t 2

−

m 20 c2 = ¯h2



∂ γ λ ∂x λ

−



m 20 c2 ¯h2

∂ m 2 c2 γ µ + 02 ∂x µ ¯ h



donde las matrices de Dirac γ son dadas por: γ λ γ µ + γ µ γ λ = 2δ λµ. De ésto encontramos que podemos derivar que la γ es hermitiano 4 4, las matrices son dadas por:

×

γ k =



0 iσk

−iσk 0



, γ 4 =



I 0

0 I

−



Con esto, la ecuación de Dirac se convierte:



∂ m 2 c2 γ λ + 02 ∂x λ ¯ h



ψ(x, t) = 0

donde ψ(x) = (ψ1 (x), ψ2 (x), ψ3 (x), ψ4 (x)) es un spinor.

10.12

f´ısica at´ omica

10.12.1

Soluciones

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas, si el potencial de energ´ıa es una funci´ on exclusivamente de r puede ser escrita como: ψ(r,θ,ϕ) = R nl (r)Y l,ml (θ, ϕ)χms , con Y lm =

C lm m √ P l (cos θ)eimϕ 2π

Para un átomo o un ion con un electrón se tiene: Rlm (ρ) = C lm e−ρ/2 ρl L2l+1 n−l−1 (ρ) con ρ = 2rZ/na0 , y con a0 = ε 0 h2 /πme e2 . El L ji es asociado con las funciónes de Laguere y el P lm es asociado con los polinomios de Legendre: |m|

P l

|m|

(x) = (1

− x2)m/2 dxd |m|



(x2

− 1)l



, Lm n (x) =

La paridad de estas soluciones es ( 1)l . Las funciónes son 2

−

10.12.2

( 1)m n! −x −m dn−m −x n e x (e x ) (n m)! dxn−m

−

−

n−1



(2l + 1) = 2n2 -degeneradas.

l=0

Ecuaciones de valores propios

Las ecuaciones de valores propios para un átomo o ion con un electrón son: Ecuaci´ on

Valor propio

Intervalo

H op ψ = Eψ

E n = µe 4 Z 2 /8ε20 h2 n2

LzopY lm = Lz Y lm

Lz = m l ¯h

L2opY lm = L2 Y lm

L2 = l(l + 1)¯h2

≥1 −l ≤ ml ≤ l

S zop χ = S z χ

S z = m s ¯h

ms =

2 S op χ = S 2 χ

S 2 = s(s + 1)¯h2

s =

n

l
± 12

60


10.12.3

interacion de orbita-spin

 = L +  M  . el momento total de un c magnetico de un electron El momento total es descrito por J  = M  L + M  S = (e/2me )(L + g   es entonces M S S ) donde gS = 2.0023 es la razon giromagnetica del 2 2 2 2  S  = L + S 2 + 2Lz S z + L+ S − + L− S + . J como los numeros electron. Obteniendo: J = L + S + 2L cuanticos j con valores posibles j = l 12 , con 2 j + 1 posibles componentes z (mJ j, .., 0,..,j ). Si  L.  la energia de interracion entre S y L es pequenna puede ser declarse que: E = E n +E SL = E n +aS puede ser derivado entonces que: E n Z 2 α2 a = 2 ¯h nl(l + 1)(l + 21 )

−

±

·

∈ {−

}

·

| |

Después de la corrección relativistica esto se convierte:

|E n |Z 2α2 E = E n + n



3 4n

−

1 j +

1 2



La fineza de estructura en espectros atómicos aparece de ésto. Con gS = 2 continuando para el  av = (e/2me)g¯hJ  , donde g es el factor de Landé: promedio del momento magnético: M

−

g = 1 +

 J  S j ( j + 1) + s(s + 1) =1 + 2 J 2 j( j + 1)

·

− l(l + 1)

Para átomos con más de un electrón ocurre la siguiente limitación:

− }

1. Acoplamiento L S : para a´tomos péquennos la interacción electrostática es dominante y el estado puede ser caracterizado por L,S,J,mJ . J L S ,...,L + S 1, L + S y mJ J,...,J 1, J . La notaci´ on espectrosc´ opica para esta interacción es: 2S +1 LJ . 2S + 1 es la multiplicidad de los estados degenerados.

{−

−

∈ {| − |

−

}

−

∈

·

2. Acoplamiento j j: Para átomos grandes la interacción electrostática más peque˜ na que L i si la interacción de un electrón. El estado es caracterizado por ji ...jn , J , mJ donde solamente la ji de sub-capa, que no es llenada completamente, es tomada en cuenta. La diferencia de energ´ıa para átomos grandes cuando son colocados en un campo magnetico es: ∆E = gµ B mJ B donde g es el factor de Landé. Para una transición entre dos estados singletes la l´ınea se divide en tres partes, para ∆mJ = 1, 0 + 1. Esto resulta en un efecto Zemman normal. A altas S La l´ınea se divide en m´ as partes: El efecto Zeeman anómalo.

−

Interacci´ on con el spin del n´ ucleo da la estructura hiperfina.

10.12.4

Reglas de selecci´ on

 r l1 m1 . La conservación Para la transición dipolar la matriz de elementos presenta: p0 l2 m2 E de momento angular demanda que para la transición de un electrón se tiene ∆l = 1.

∼ |

| · |

− ±

| ±

Para un átomo donde acoplamiento L S es dominante por lo que se tiene: ∆S = 0 (pero no estrictamente), ∆L = 0, 1, ∆J = 0, 1 excepto para transiciones J = 0 J = 0, ∆mJ = 0, 1, pero ∆mJ = 0 es prohibido si ∆J = 0.

±

−

→

±

Para un átomo donde j j donde el acoplamiento es dominate, de este modo tenemos: para el salto de electrones, excepto ∆l = 1, también: ∆ j = 0, 1, y para todo slos otros electrones: ∆ j = 0. Para el atomo en conjunto se tiene: ∆J = 0, 1 pero no J = 0 J = 0 transisiones y ∆mJ = 0, 1, pero ∆mJ = 0 es prohibida si ∆J = 0.

10.13

±

±

±

→

±

Interraci´ on con campos electromagn´ eticos

El hamiltoniano de un electrón en un campo electromagn´ etico es descrito por: H =

1  2 ( p + eA) 2µ

2

2

¯h 2 e 2 A − eV − eV = − 2µ ∇ + 2µe B · L + 2µ

61


donde µ es la masa reducida del sistema. El t´ ermino A2 puede usualmente ser despresiado,  excepto para campos realmente fuertes o movimientos macroscópicos. Para B = B ez es descrito por 2 2 2 2 e B (x + y )/8µ.

∼

  = A  Cuando la trasformación de norma A f , V  = V + ∂f/∂t es aplicada a los potenciales de las funciónes de onda es tambi´ en trasformado de acuerdo a ψ  = ψeiqef/¯h con qe la carga de la part´ıcula. Porque f = f (x, t), esto es llamado una trasformaci´ on de norma local , en contraste con una trasformación de norma global que puede ser siempre aplicado.

−∇

10.14

Teor´ıa de perturbaciones

10.14.1

Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo

Para resolver la ecuación (H 0 + λH 1 )ψn = E n ψn se debe encontrar una función propia de H = H 0 + λH 1 . Supongamos que φ n es un conjunto completo de funciones propias de un hamiltoniano no perturbado H 0 : H 0 φn = E n0 φn . Porque φ n es un conjunto completo: ψn = N (λ)

   φn +

cnk (λ)φk

=n k

(1)

(2)

 

Cuando c nk y E n son expandidos en λ: cnk = λc nk + λ2 cnk + (1) (2) E n = E n0 + λE n + λ2 E n +

···

·· ·

(1)

 | | 

y estos es colocado en la ecuación de Schrödinger el resultado es: E n = φn H 1 φn y φm H 1 φn c(1) si m = n. El segundo orden de corrección de la energ´ıa es dado por: nm = 0 E n0 E m φk H 1 φn 2 φk λH 1 φn E n(2) = . As´ ı el primer orden da: ψ = φ + φk . n n 0 E n0 E k E n0 E k0

 | |   − | | | | − =n k





|

=n k

−

| 

En caso que los niveles sean degenerados la última ecuación no es valida. En tal caso un conjunto de funciones ortonormales φ ni es escogido para cada nivel n, de modo que φmi φnj = δ mn δ ij . Ahora ψ es expandido como:

 | 

ψn = N (λ)

 

αi φni + λ

i

(1)

  (1)

cnk

k =n

β i φki +

i

 · · ·

0 0 E ni = E ni + λE ni es aproximado por E ni := E n0 . Sustituyendo en la ecuaci´ on de Schrödinger y (1) tomando el producto punto con φ ni dando: αi φnj H 1 φni = E n αj . Normalizaci´ on requiere que

| | αi

2

 i

= 1.

 | | 

i

10.14.2

Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo

De la ecuación de Schrödinger i¯h y la expansión ψ(t) =

∂ψ(t) = (H 0 + λV (t))ψ(t) ∂t

 −    | |   iE n0 t ¯h

cn (t)exp

n

λ continuado: c(1) n (t) = i¯h

t



φn V (t ) φk exp

0

(1)

φn con c n (t) = δ nk + λcn (t) + i(E n0

− E k0)t ¯h



dt

···

62


10.15

Sistemas de de N-part´ N-part´ıculas

10.1 10.15. 5.1 1

Gene Genera rall

Part´ Part´ıculas idénticas enticas son indistin i ndistinguibl guibles. es. Para la l a funci´ fu nción on de onda total de un sistema de particulas identicas indestiguibles se tiene: 1. Part´ Part´ıculas con spin integrado tipo mitad impar (Fermiones): ψtotal debe ser simétrico etrico intercambiable en sus coordenadas (espaciales y de spin) s pin) de cada par de part´ part´ıculas. El principio de Pauli Pauli resulta resulta de esto: dos fermiones fermiones no pueden pueden existir existir en un estado identico porque entonces entonces ψtotal = 0. 2. Part´ Part´ıculas con spin integrado (Bosones): ψtotal debe ser simétrico etrico w.r.t. intercambiable en las coordenadas (espacial y de spin) de cada par de part´ıculas. ıculas. Para un sistema de dos electrones existen dos posibilidades para la función de onda espacial. Cuando a y b son los números umeros cuánticos anticos del electrón on uno y dos obteniendo: ψS (1, (1, 2) = ψ a (1)ψ (1)ψb (2) + ψa (2)ψ (2)ψb (1) , ψA (1, (1, 2) = ψ a (1)ψ (1)ψb (2)

− ψa(2)ψ (2)ψb (1)

Porque las particulas no se aproximan una a la otra la energ´ energ´ıa de repulsión on en ψ en ψ A en el estado esta do es más as pequeño. no. La siguiente función on de onda del spin son posibles: χA = χS =

 

1 2

√ 2[χ 2[χ

(1)χ− (2) + (1)χ

(2)χ− (1)] − χ+(2)χ

ms = 0

χ+ (1)χ (1)χ+ (2) ms = +1 1 2[χ+ (1)χ (1)χ− (2) + χ+ (2)χ (2)χ− (1)] ms = 0 2 2[χ χ− (1)χ (1)χ− (2) ms = 1

√

−

Porque la función on de onda total debe ser anti-sim´ a nti-sim´ etrica etrica se obstine: ψtotal = ψ = ψ S χA o ψ total = ψ = ψ A χS . Para N Para N part par t´ıculas ıcu las la l a funci´ fu nción on espacia es pacia simétrica etrica es dada dad a por: p or: ψS (1,...,N (1,...,N ) =



ψ(all permutaciones de 1..N 1..N ))

La función on de onda anti-sim´ a nti-sim´ etrica etrica es dada por el determinante ψ determinante ψ A (1,...,N (1,...,N ) =

10.15.2

√ 1N ! j )| |uE ( j) N ! i

Mol´ eculas eculas

La funci´ on o n de onda de una átomo atomo a y b son φa y φb . Si los los dos dos atomos a´tomos se aproximan uno al otro existen existen dos posibilidades: posibilidades: la funci´ on de onda total se aproxima a la función on on de enlace con energ´ energ´ıa 1 total menor ψB = 2 2(φ 2(φa + φ b ) o se aproxima a una función on de repulsión on con energ´ıa ıa máxima axima 1 ψAB = 2 2(φ 2(φa φb ). Si una molécula-orbita ecula-orbitall es sim´ etrica etrica w.r.t. el eje de conexi´ conexión, on, como una combinaci´ on de dos orbitales s que son llamados orbitales σ, on σ , de otro modo son llamados orbitales π, π , como la combinación on de dos orbitales p a lo largo de dos ejes. ψ H ψ La energ´ıa ıa de un sistema es: E = = . ψψ La energ´ıa ıa calculada calcul ada con este método etodo siempre es Mayor que Mayor que la energ´ıa ıa real r eal si ψ es unicamente u ´ nicamente una aproximaci´ on on para la solución on de H de H ψ = Eψ E ψ . Tambi´ También, en, si exiten m´ as as funciónes ones a escoger, la función on que da la más as baja energ´ energ´ıa es la mejor mejor aproximaci aproximaci´ón. o n. Aplic Aplican ando do esto esto a la funci funci´ on oń ψ = ci φi encontramos: (H (H ij ES ) c = 0. Esta ecuaci´ on o n tiene una soluci´ on o n unica u ´ nica si el determinante el determinante secular ij ij ij i H ij ES = 0. Aqu´ ı, ı , H ij ij ij ij ij = φi H φj y S ij ij = φi φj . αi := H ii ii es la integral de Coulomb y β ij := H ij ij := H ij la integral de intercambio. S ii ii = 1 y S ij ij es la integral de traslape.

√ −

√

 | |  |

| −

|

−

 | | 

 | 



La primera aproximación on en la teor´ teor´ıa molecular-orbital es la colocación on de ambos electrones de un enlace qu´ qu´ımico en un enlace orbital: ψ(1, (1, 2) = ψB (1)ψ (1)ψB (2). (2). Esto Esto resulta resulta en una gran densi densidad dad de electrones entre los nucleones y entonces una repulsión. Una mejor aproximaci´ on on es: ψ (1, (1, 2) = C 1 ψB (1)ψ (1)ψB (2) + C 2 ψAB (1)ψ (1)ψAB (2), con C con C 1 = 1 y C 2 0.6.

≈

En algunos átomos, atomos, tales como C, C , son so n energ´ ener géticamente eticamente más adecuados para formar orbitales que son combinaciones lineales de estados s, p y d. Existen tres modos de hibridizacion en C:

63

Cap Ca p´ıtul ıt ulo o 10: F´ ısica ısi ca cu´ cu ´ antica antica

√

1. hibridos SP: ψ SP: ψ sp = 21 2(ψ 2(ψ2s ψ2pz ). Existen Existen dos orbitales orbitales hibridos hibridos que son colocados colocados en una ◦ linea a 180 . Para los orbitales 2px y 2py permanecen.

± √ + c ψ / 3 + c



− √ √

2. hibridos SP2 : ψsp = ψ2s (c1 , c2 ) ( 2/3, 0), 0), ( 1/ 6, 1/ 2) 1 2pz + c 2 ψ2py , donde (c 2 , ( 1/ 6, 1/ 2) . Los tres orbitales SP estan en un plano, con ejes de simetria que estan al angulo ángulo de 120◦. 2

− √ − √ }

∈ {

3. hibridos SP3 : ψsp = 21 (ψ2s ψ2pz ψ2py ψ2px ). Los cuatro cuatro orbitales SP3 de un tetrahedro ◦  con ejes de simetria a un ángulo angulo de 109 28 .

±

3

10.16 10. 16

±

±

Estad Estad´ ´ıstic ıstica a cu´ antica antica

Cuando un sistema en un estado no presenta la máxima cantidad de información on sobre ese sistema, este puede ser descrito por la matriz de densidad ρ densidad ρ.. Si la probabilidad del sistema en el estado ψ i es descrita descrita por a por a i , podemos escribr para el valor esperado a de A: A : a = ri ψi A ψi .

 

Cuando ψ Cuando ψ es expandido en la base ortonormal φk como: ψ(i) =

{ }

A =



 k

(Aρ) Aρ)kk = Tr(Aρ Tr(Aρ))

|| i

(i)

ck φk , tenemos:

k

 |  |

donde ρ donde ρlk = c ∗k cl . ρ es el hermitiano, con Tr(ρ Tr(ρ) = 1. Luego tenemos ρ tenemos ρ = = ri ψi ψi . La probabilidad de encontrar el valor propio a propio a n cuando medimos A medimos A es es descrito por ρ por ρnn su usamos una base de vectores propio propioss de A de A para φk . Para la dependiencia de tiempo tenemos(en el el punto de vista de los operadores de Schrödinger odinger no so explicitamente dependientes del tiempo):

{ }

ih ¯

dρ = [H, ρ] dt

Para un sistema macroscópico opico en equilibrio tenemos [H, [ H, ρ] = 0. Cuando todos los estados cuánticos anticos con la misma energ´ energ´ıa, son igual de probables: P i = P ( P (E i ), podemos obtener la distribución: on: P n (E ) = ρ nn =

e−E n /kT Z

con el la suma de estados estados Z =



e−E n /kT

n

−

Las cantidade cantidadess termodin´ termodin´ amicas amicas estan relacionada relacionadass con estas definicones definicones por medio de: F = kT ln(Z ln(Z ), ), ∂ U = H = pn E n = ln(Z ln(Z ), ), S = k P n ln(P ln(P n ). Para Para un estado estado mixto mixto de M M estados ∂kT ∂k T n n ortonormales con probabilidad 1/M 1 /M se tiene: S = = k ln(M ln(M ). ).

 



− 

−

La funci´ funci´ on on de distribución on para los estados estados internos internos para un sistema sistema en equilibrio equilibrio t´ ermico ermico es la funci´ on mas probable. Esta función on on puede ser encontrada al tomar el máximo de la función on que dada el n´ umero de estados con la ecuación umero on de Stirling: ln(n ln(n!) n ln(n ln(n) n, y las condiciones nk = N y



≈

−

 k

nk W k = W . W . Para indistigibles indistigibles part´ part´ıculas que obendecen obendecen al principio principio de exclusi´ exclusi´ on on de Pauli el

k

n´ umero de possibles estados son: umero P =

 k

gk ! nk !(g !(gk nk )!

−

Esto es laestadistica laestadistica de Fermi-Dirac . Para part´ıculas ıculas indistiguibles que no obedecen no obedecen al principio de exclusion de los números umeros de estado posibles son: P = N ! N !

 k

gknk nk !

Esto es la estadisitica estadisitica de Bose-Einstein . Asi las funcio funciones nes de distrib distribuci uci´ oń que explican como las on part´ part´ıculas se disponen en estados de más as de una part´ıcula ıcula k que son cada gk veces degenerrados dependen del spin de las part´ıculas. ıculas. Estas son:

64


1. Estadistica Estadistica de Fermi-Dira Fermi-Dirac: c: spin entero. entero. nk with ln(Z ln(Z g ) =

 −

gk ln[1 + exp((E exp((E i

gk ∈ {0, 1}, n k = Z N g exp((E exp((E k − µ)/kT ) /kT ) + 1

/kT )]. − µ)/kT )].

gk ∈ IN , n k = Z N g exp((E exp((E k − µ)/kT ) /kT ) − 1

2. Estadistica Estadistica de Bose-Einstein: Bose-Einstein: spin (2n+1)/2. (2n+1)/2. nk with ln(Z ln(Z g ) =

gk ln[1

exp((E i − µ)/kT )]. /kT )]. − exp((E



Aqui, Z Aqui, Z g es la suma del estado canonico mayor y µ el µ el potencial pote ncial qu´ qu´ımico. Encontramos Encontram os que nk = N = N ,, y para ello ello tenenem tenenemos: os: lim µ = E F , La energ´ıa ıa de Fermi. N N es el número umero total de part´ part´ıculas. de T → T →0

aqu´ aqu´ı, la se puede deducir la distribuci´ on on de The Maxwell-Boltzmann, usando el l´ımite E ımite E k N nk = exp Z

−  E k kT

with Z =

− µ  kT : kT :

 −  gk exp

k

E k kT

Con la energ´ energ´ıa de Fermi, La estadistica de Fermi-Dirac y Bose-Einstein pueden escribirse como: 1. Estadisitica de Fermi-Dirac: Fermi-Dirac: nk =

exp((E exp((E k

2. Estadisitica Estadisitica de Bose-Einstein: Bose-Einstein: nk =

−

exp((E exp((E k

gk . E F )/kT ) /kT ) + 1

−

gk E F )/kT ) /kT )

− 1.

Chapter 11

F´ısica de Plasmas 11.1

Introducci´ on

El The grado de ionizaci´ on α de un plasma es definido por: α =

ne ne + n0

donde ne es la densidad electrónica y n0 es la densidad de las part´ıculas neutras. Si un plasma contiene u ´ nicamente carga negativa en los iones, el término α no esta bien definido. La probabilidad de un part´ıcula a colacionar con otra es dado por: dP = nσdx, donde σ es la secci´ on efectiva . La frecuencia de colisi´ on ν c = 1/τ c = nσv. El camino libre medio es determinado por λv = 1/nσ. El rate coefficient K es definido por K = σv . El n´ umero de colisiones por unidad de tiempo y volumen entre dos part´ıculas de clase uno y clase dos determinado por n 1 n2 σv = Kn1 n2 .

 

 

El potencial de un electrón es descrito por: V (r) =

−e

4πε0 r

exp

−  r λD

with λD =



ε0 kT e T i 2 e (ne T i + ni T e )

 ≈

ε0 kT e ne e2

porque la carga es envuelta en el plasma. Aqu´ı, λD es la longitud de Debye . Para distancias < λD el plasma no puede ser asumido como quasi-neutral. Desviaciones del cambio de la neutralidad por movimiento térmico es compensando por oscilaciones con la frecuencia ωpe =



ne e2 me ε0

La distancia de la aproximación más cercana cuando dos part´ıculas con cargas iguales colacionan en una desviación de π/2 es 2b0 = e 2 /(4πε 0 12 mv 2 ). Un plasma “puro” es definido como el plasma que −1/3 presenta: b0 < ne λD Lp . Aqu´ı L p := ne / ne es la longitud del gradiente de el plasma.

 

11.2

| ∇ |

Transporte

Tiempos de relajación son definidos como τ = 1/ν c . Comenzando con σm = 4πb20 ln(ΛC ) y con 1 2 2 mv = kT puede encontrarse que:

√ √

4πε20 m2 v 3 8 2πε 20 m(kT )3/2 τ m = = ne4 ln(ΛC ) ne4 ln(ΛC ) Para la trasferencia de momentum entre electrones e iones se tiene para una distribución de velocidades maxwelliana: 6π 3ε20 me (kT e )3/2 6π 3ε20 mi (kT i )3/2 τ ee = τ , τ = ei ii ne e4 ln(ΛC ) ni e4 ln(ΛC )

√ √

√ √

≈

La energ´ıa en el tiempo de relajación para part´ıculas idénticas es igual al tiempo de la relajacion del moemntum. Porque para colisiones e-i la trasferencia de energ´ıa es únicamente 2me /mi este es E proceso lento. Aproximadamente se tiene: τ ee : τ ei : τ ie : τ ie = 1 : 1 : mi /me : m i /me .



∼

La relajación para interacciones e-o es mucho mas complicada. Para T > 10 eV se tiene aproximada−2/5 mente: σeo = 10−17 ve , para menores energ´ıas esto puede ser diez veces menor. 65

66


La resistividad η = E/J de un plasma es dada por:

√ √

e2 me ln(ΛC ) ne e2 η = = me ν ei 6π 3ε20 (kT e )3/2 Los coeficiente de difusión D es definida por medio del flujo Γ por  Γ = nvdiff = D n. La ecuación de continuidad es ∂ t n + (nvdiff ) = 0 ∂ t n = D 2 n. Encontramos que D = 31 λv v. Una primitiva estimaci´ on resulta τ D = Lp /D = L2p τ c /λ2v . Para Plasmas magnetizados λv debe ser reemplazado  = neµE  = e(ne µe + ni µi )E  con por el radio de ciclotrón. En campos eléctricos también se tiene J µ = e/mν c la movilidad de las part´ıculas. La razón de Einstein es:

∇

⇒

− ∇

∇

D kT = µ e Porque un plasma es eléctricamente neutro, electrones e iones están fuertemente acoplados y no se difunden independientemente. El coeficiente de difusi´ on ambipolar Damb es definido por  Γ =  Γi =  Γe = Damb ne,i . De esto se tiene que

−

∇

Damb =

kT e /e 1/µe

− kT i/e ≈ kT eµi e − 1/µi

En un campo magnético externo B0 las part´ıculas pueden moverse en órbitas espirales con el radio de ciclotr´ on ρ = mv/eB0 y con frecuencia de ciclotró n Ω = B 0 e/m. La orbita helicoidal es perturbada por colisiones. Un plasma es llamado magnetizado si λ v > ρe,i . As´ı, los electrones son magnetizados si me e3 ne ln(ΛC ) ρe = < 1 λee 6π 3ε20 (kT e )3/2 B0 Magnetizaci´ on de solamente los electrones es suficiente para confinar razonablemente el plasma, porque ellos se encuentra acoplados a los iones por la neutralidad de la carga. En caso de un coe B.  Combinando las dos ecuaciones de Maxwell estacionarias para el ficiente magnético: p = J campo B estas forman las ecuaciones ideales de magneto-hidrodinámica. Para un campo B uniforme: p = nkT = B 2 /2µ0.

√ √

∇

×

En ambos campos magnético y eléctrico están presentes electrones e iones que se mueven en la misma  = E r er + E z ez y B = B   B deriva   B  )/B 2 direcci´ on. Si E ez el E resulta en una velocidad u = (E z y la velocidad en el r, ϕ plano es r(r,ϕ,t) ˙ = u + ˙ρ(t). 

×

11.3

Colisiones el´ asticas

11.3.1

General

×

El ańgulo de esparcimiento de una part´ıcula en la interacci´ on con otras part´ıculas, como muestra la figura a la derecha es: ∞

χ = π

− 2b

 

ra

r2

1

dr 2

− br2 − W (r) E 0

Las part´ıculas con un parámetro de impacto entre b and b + db, se mueven a trav´ es de un anillo imaginario con dσ = 2πbdb dejando el área de esparcimiento en un ángulo s´ olido dΩ = 2π sin(χ)dχ. La secci´ on efectiva diferencial es entonces definida como:





b

   

dσ b ∂b I (Ω) = = dΩ sin(χ) ∂χ

ra b  

ϕ

χ M

67

Cap´ ıtulo 11: F´ısica de Plasmas

Para una energ´ıa potencial W (r) = kr −n se obtiene: I (Ω, v)

∼ v−4/n .

O

Para energ´ıas bajas, (1 eV), σ presenta un m´ınimo de Ramsauer . Este aparece de la interferencia de la materia con las ondas detrás del objeto. I (Ω) para ángulos 0 < χ < λ/4 es mas grande que el valor clásico.

11.3.2

La interacci´ on de Coulomb

Para la interacció n de Coulomb se obtiene: 2b0 = q 1 q 2 /2πε 0mv02 , as´ı W (r) = 2b0 /r. Se tiene b = b 0 cot( 12 χ) y b ∂b b20 I (Ω = = sin(χ) ∂χ 4sin2 ( 12 χ) Porque la influencia de la part´ıcula desaparece en r = λD obteniéndose: σ = π(λ2D b20 ). Porque dp = d(mv) = mv 0 (1 cos χ) una sección efectiva relacionada con la transferencia de momento σ m es dada por:

−

−

σm =

 − (1

cos χ)I (Ω)dΩ

= 4πb20 ln



1 sin( 12 χmin )



= 4πb20 ln

  λD b0

:= 4πb20 ln(ΛC )

4

) ∼ ln(v v4

donde ln(ΛC ) es el logaritmo de Coulomb. Para esta cantidad se tiene: Λ C = λD /b0 = 9n(λD ).

11.3.3

La interacci´ on del dipolo inducido

 , muestra un potencial V y una energ´ıa W en un La interacción del d´ıpolo inducido, con p = αE campo dipolar se describe as´ı: V (r) =

con b a =

·

p er , W (r) = 4πε 0 r2

 4

2e2 α obteniéndose: χ = π (4πε 0 )2 12 mv02

αe2 − 8πε|e| 0pr2 = − 2(4πε 2 4 0) r ∞

− 2b

  −

dr

b2 b4a + r2 4r4 Si b ba la carga puede alcanzar al átomo. Las fuerzas nucleares repulsivas previenen que suceda. Si el ańgulo de dispersión es varias veces 2π se le denomina capturado. La secci´ on eficaz para captura 2 σorb = πb a es denominado el limite Langevin, y es la estimación menor para la sección eficaz. ra

r2

1

≥

11.3.4

El centro de masa del sistema

Si las colisiones de dos part´ıculas con masas m1 y m2 con esparcimiento en el centro de masa del sistema por un ángulo χ son comparadas con el esparcimiento bajo el ángulo θ en el sistema del laboratorio es: m2 sin(χ) tan(θ) = m1 + m2 cos(χ) La pérdida de energ´ıa ∆E de una part´ıcula incidente es: ∆E = E

11.3.5

1 2 2 m2 v2 1 2 2 m1 v1

=

2m1 m2 (1 (m1 + m2 )2

− cos(χ))

Luz esparcida

El esparcimiento de luz por electrones libres es llamado esparcimiento de Thomson. El esparcimiento es libre de los efectos colectivos si kλD 1. La sección eficaz σ = 6.65 10−29 m2 y



·

∆f 2v = sin( 12 χ) f c

68


Esto da para una energ´ıa de esparcimiento E scat nλ40 /(λ2 λ20 )2 con n la densidad. Si λ λ0 esto es denominado esparcimiento de Rayleigh. El esparcimiento de Thomson es un limite del esparcimiento de Compton, que es descrito por λ λ = λC (1 cos χ) with λC = h/mc Bo se emplean efectos relativistas porque no son importantes.

∼

−

11.4

−



−

Termodin´ amica en equilibrio y reversibilidad

La ley de radiación de Planck y la velocidad de distribucion de Maxwell aseguran el equilibrio de un plasma cuando: 8πhν 3 1 ρ(ν, T )dν = 3 c exp(hν/kT )

−

√

2πn dν , N ( E, T )dE = E exp 1 (πkT )3/2

− 

E dE kT

“ Balance detallado” significa que el número de reacciones en una direcció n es igual al n´ umero de reacciones en la dirección opuesta, porque ambos procesos tienen la misma probalidad si se corrige para el espacio de fase. Para la reacción

 

→ ←

XΘadelante

adelante

 

Xatras

atras

El plasma en equilibrio presenta reversibilidad microsc´ opica : ηâdelante =

ηâtras

atras

adelante

Considerando la distribuci´ on de velocidad maxwelliana: ηˆx =

nx h3 e−E gx (2πmx kT )3/2

kin

/kT

donde g es el peso estad´ıstico para el estado y n/g := η. Para electrones se tiene g = 2, Para estados excitados usualmente se tiene g = 2 j + 1 = 2n2 . Con ello encontramos que para el balance de Boltzmann, X p + e −



n pB g p E p E 1 = exp n1 g1 kT e

−

→ X+1 + 2e−: ←



→ X1 + e − + (E 1 p ): ←

y para el balance de Saha, X p + e − + (E pi )

n pS n+ h3 1 ne = + exp g p g1 ge (2πme kT e )3/2

  E pi kT e

Porque el n´ umero de part´ıculas del lado izquierdo y del lado derecho de la ecuación es diferente, permanece un factor de g /V e . Este factor causa el llamado salto de Saha . Para reversibilidad microscópica podemos derivar que para la razon de coeficientes K ( p, q, T ) := σv pq se obtine: g p ∆E pq K (q,p,T ) = K ( p, q, T )exp gq kT

 

 

11.5

Colisiones inel´ asticas

11.5.1

Tipos de colisiones

La energ´ıa cinética puede ser separa en una parte of y otra parte in del centro de masa del sistema. La energ´ıa in el centro de masa del sistema es permite que se presentan reacciones. Esta energ´ıa es descrita por: m1 m2 (v1 v2 )2 E = 2(m1 + m2 ) Algunos tipos importantes de colisiones inel´ asticas en f´ısica de plasmas son:

−

69


1. Excitaci´ o n: A p + e − 2. Decaimiento: A q

→ Aq + e − ←

→ A p + hf ←

3. Ionizaci´ on y recombinacion de tres particulas: A p + e − 4. Recombinaci´ on radiactiva: A+ + e−

→ A p + hf ←

→ A+ + 2e− ←

→ A p + 2hf → AB + + e− 6. Ionizaci´ on asociativa: A∗∗ + B ← → Ar + + Ne + e− 7. Ionizaci´ on Penning: b.v. Ne∗ + Ar ← → A + B+ 8. Transferencia de carga: A+ + B ← → A + A+ 9. trasferencia resonante de carga: A + + A ← 5. Emisi´ on estimulada : Aq + hf

11.5.2

Secci´ on efectiva

La colisi´ on entre un electrón y un átomo puede aproximarse por una colisión entre un electrón y uno e los electrones del átomo. Resultando en: dσ πZ 2 e4 = d(∆E ) (4πε0 )2 E (∆E )2 2 4

Continuando para la transmisión p

πZ e ∆E q,q+1 → q : σ pq (E ) = (4πε 2 2 0 ) E (∆E )

pq

Para la ionizaci´ on del estado p se obtiene una aproximación buena: σ p = Para la transferencia resonante de carga se obtiene: σex =

11.6

4πa20 Ry

A[1 B ln(E )]2 1 + CE 3.3

−



1 E p

−



1 ln E

1.25βE E p

Radiaci´ on

En equilibrio se obtiene para el proceso de radiación: n p A pq + n p B pq ρ(ν, T ) = n q Bqp ρ(ν, T )

         emission

stimulated emission

absorption

→ q , y es descrito por: 8π2 e2 ν 3 |r pq |2 A pq = with r pq = ψ p |r |ψq  3¯hε0 c3 Para el átomo de hidrogeno se tiene: A p = 1.58 · 108 Z 4 p−4.5 , con A p = 1/τ p = Aqu´ı, A pq es elemento de matriz de la transmisión p

 q

A pq . La intensidad

I de una linea es descrito por I pq = hf A pq n p/4π. Los coeficientes de Einstein B son dados por: B pq =

c3 A pq B pq gq and = 3 8πhν Bqp g p

Una linea espectral es ensanchada por varios mecanismos: 1. Porque los estados tienen un vida finita. El tiempo de vida natural de un estado p es dado por τ p = 1/ A pq . Del principio de incertidumbre se tiene que: ∆(hν ) τ p = 21 ¯h, esto nos da



·

q

1 ∆ν = = 4πτ p

 q

A pq

4π

 más que el ensanchamiento debido a los siguientes

El ancho natural de l´ınea es usualmente dos mecanismos:



70


2. El ensanchamiento Doppler es causado por el movimiento térmico de las part´ıculas: ∆λ 2 = λ c



2 ln(2)kT i mi

Este ensanchamiento resulta en una l´ınea de perfil tipo gaussiano: kν = k 0 exp( [2 ln2(ν ν 0 )/∆ν D ]2 ), con k el coeficiente de absorción o de emisión.

− √

−

3. El ensanchamiento Stark es causado por el campo eléctrico de los electrones:



ne ∆λ1/2 = C (ne , T e ) para la linea H-β : C (ne , T e )



2/3

≈ 3 · 1014 ˚A−3/2 cm−3.

El ensanchamiento natural y el ensanchamiento Stark resultan en un perfil de Lorentz en la l´ınea espectral : kν = 21 k0 ∆ν L /[( 21 ∆ν L )2 + (ν ν 0 )2 ]. La forma total de la l´ınea es la convoulción del perfil de Gauss y de Lorentz y se le denomina un perfil de Voigt .

−

→

 

El nuumero de transiciones p q es dado por n p B pq ρ y por n pnhf σa c = n p(ρdν/hν )σa c donde dν es el ancho de l´ınea. Por siguiente, para la seccion efectiva del proceso de absorción: σa = B pq hν/cdν . La radiaci´ on de fondo en un plasma es originada por dos procesos: 1. radiaci´ on de enlaces libres, originaria de la precombinación radiativa. La emisi´ on es descrita por: C 1 zi ni ne hc εfb = 2 1 exp ξ fb (λ, T e ) λ λkT e kT e

 − − 

√

con C 1 = 1.63 10−43 Wm4 K1/2 sr−1 y ξ el factor Biberman .

·

2. radiaci´ on libre-libre, originaria de la aceleración de part´ıculas en campos EM de otras part´ıculas: C 1 zi ni ne εf f = 2 exp λ kT e

√

11.7

−  hc λkT e

ξ f f (λ, T e )

La ecuaci´ on de trasporte de Boltzmann

Se asume que existe una función de distribución F para el plasma que:

·

F (r, v, t) = F r (r, t) F v (v , t) = F 1 (x, t)F 2 (y, t)F 3 (z, t)F 4 (vx , t)F 5 (vy , t)F 6 (vz , t) dF ∂F Entonces el BTE es: = + dt ∂t

∇r · (Fv ) + ∇v · (Fa ) =

  ∂F ∂t

coll−rad

∇·

·∇

∇·

Asumiendo que v no depende de r y a i no depende de v i , Se obtine r (Fv ) = v F y v (Fa ) = a v F . Esto es cierto en campos magnéticos, también. Porque ∂ai /∂x i = 0. La velocidad es parada en un velocidad termica vt y una velociad de deriva w.  La densidad total es dada por n = F dv y vF dv = n w. 

·∇





La ecuación de balance puede ser obtenida por medio de método de un momento: 1. Balance de masa:



⇒

(BTE)dv

2. Balance de momentum: 3. Balance de energ´ıa:



∂n + ∂t



 = ∇ · (nw)

  ∂n ∂t

cr

⇒ mn ddtw + ∇T + ∇ p = mn a  +  R

(BTE)mv dv

5 + p∇ · w +  ∇ ·  q = Q ⇒ 32 dp 2 dt

(BTE)mv 2 dv

71


 

 +   ) es el promedio de la aceleración,  Aqu´ı, a = e/m(E w B q = 21 nm vt 2vt el flujo de calor, mvt2 ∂F  un término de Q = dv el término de la fuente para la producción de energ´ıa, R es r ∂t cr fricci´ on y p = nkT la presion.

 

×

  

2

(ne + zi ni ) − e 24πε 0 λD i Para la conductancia electrica en un plasma se emplea la conservación de momentum, if w e  wi :    = E  − J × B + ∇ pe η J Una derivaci´ on termodinámica nos permite obtener la presión total: p = nkT =



pi

ene

En un plasma donde solamente se presentan colisiones elásticas e-a son importantes la función de distribuci´ on de energ´ıa es la distribuci´ on de Druyvesteyn : N (E )dE = Cne

  −    3/2

E E 0

3me m0

exp

2

E E 0

dE

with E 0 = eEλv = eE/nσ.

11.8

Modelos radiativos de colisi´ on

Estos modelos son las ecuaciones de primer momento para estados excitados. Se asume valida la quasi-estacinaridad de los estados, donde p>1 [(∂n p/∂t = 0) ( (n p w  p ) = 0)]. Lo que resulta en:

  ∂n p>1 ∂t

cr

∀

∂n 1 =0 , + ∂t

∇ · (n1w 1 ) =

∧ ∇·

  ∂n 1 ∂t

∂n i , + ∂t

cr

∇ · (niw i ) =

  ∂n i ∂t

cr

Con soluciones n p = r p0 n pS + r p1 n pB = b pn pS . Obteniendose para todos los niveles de colision que δb p := b p 1 = b 0 p−x Ry/E pi y 5 x 6. Para sitemas en ESP, donde solamente se eff with p eff = presentan colisones de excitación y des-excitación entre niveles p y p 1 es tomado en cuenta x = 6. Incluso en plasmas lejos del equilibrio, los niveles excitados alcanzan eventualmente el ESP, De este modo una cierta densidad en el nivel puede calcularse.



−

≤ ≤

±

Para encontrar las densidades de población de un nivel inferior en el caso estacionario podemos comenzar con un equilibrio microsc´ opico: Number of populating processes of level p = Number of depopulating processes of level p , When this is expanded it becomes:

                                 ne

nq K qp + ne

q
q>p

coll. excit.

q>p

coll. deexcit.

ne n p

11.9

nq Aqp + n2e ni K + p + ne ni αrad =

nq K qp +

coll. recomb.

rad. recomb

rad. deex. to

K pq + nen p

K pq + n p

q
q>p

coll. deexcit.

coll. excit.

A pq + ne n p K p+

q
coll. ion.

rad. deex. from

Ondas en plasmas

La interacción de ondas electromagnéticas en plasmas resulta en el esparcimiento y absorción de energ´ıa. Para ondas electromagneticas con número de onda complejo k = ω(n+ iκ)/c en una dimension, encontramos: E x = E 0 e−κωx/c cos[ω(t nx/c)]. El ´ındice de refracción n es dado por:

−

k c n = c = = ω vf

 1

2

− ωωp2

72


  B0ez + Be ˆ i(kz−ωt) Para disturbios en la dirección z en un plasma frió, homogéneo, magnetizado: B = i(kz−ωt) y n = n 0 + n ê ( campos E externos son probados) siguiendo, con las definiciones α = ω p /ω y 2 2 2 β = Ω/ω y ω p = ω pi + ωpe :

 =   , with  J σE  σ = iε 0 ω

   α2s

s

−iβ s 1 − β s2 1 1 − β s2

1

− β s2 iβ s 1 − β s2 1

0

0 0

0

1

  

E

donde la suma es tomada sobre las especies de part´ıculas s. El tensor dielectrico , con la propidad:    k (  E )= 0

· E·

    es dado por  = I σ/iε0 ω.

E

−

Con las definiciones S = 1 siguiendo:

−

 s

α2s , D = 1 β s2

−

  =

E

 

S iD 0

 s

α2s β s , P = 1 1 β s2

−

−iD S 0

0 0 P

 

−



α2s

s

−

Los valores propios de esta matriz hermitiana son R = S + D, L = S D, λ 3 = P , con los vectores propios er = 21 2(1, i, 0), el = 21 2(1, i, 0) y e3 = (0, 0, 1). er es conectada con un campo rotatorio derecho para que iE x /E y = 1 y el es conectada con un campo rotatorio izquierdo para el que  iE x /E y = 1. When k haciendo un ángulo θ con B encontramos:

√

√ −

−

tan2 (θ) =

P (n2 R)(n2 L) S (n2 RL/S )(n2 P )

−

−

−

−

donde n es el ´ındice de refracción. Para esto las siguientes soluciones puede ser obtenidas: A. θ = 0: transmisi´ on en la direcci´ on z. 1. P = 0: E x = E y = 0. Esto describe una onda con polarizacion lineal longitudinal. 2. n2 = L: onda polarizada circularmente a la izquierda. 3. n2 = R: onda polarizada circularmente a la derecha. B. θ = π /2: trasmisi´ on

⊥ el

campo B.

1. n2 = P : el modo ordinario: E x = E y = 0. This is a transversal linear polarized wave. 2. n2 = RL/S : el modo extraordinario: iE x /E y =

−D/S , una onda polarizada el´ıpticamente. Frecuencias de resonancia son frecuencias para las que n2 → ∞, as´ı vf = 0. Para estos se tiene: tan(θ) = −P/S . Para R → ∞ esto da la frecuencia de resonancia de ciclotrón ω = Ωe , para L → ∞ la frecuencia de resonancia ciclotrón de iones ω = Ωi y para S = 0 obteniéndose para el modo extraordinario: mi Ω2i m 2i Ω2i Ω 2i = 1 1 α2 1 me ω 2 m2e ω 2 ω2

 −   −  − 

frecuencias de corte son frecuentcias para las que n 2 = 0, as´ı v f R = 0 o L = 0.

→ ∞. Para estos se tiene: P = 0 o

En el caso que β 2 1 encuentrazos a las ondas de Alfvén propagándose paralelas a las l´ıneas de campo. Con la velocidad Alfvén Ωe Ωi 2 vA = 2 2 c ωpe + ωpi



continuando: n =



1 + c/vA , y en el caso v A

 c: ω = kvA.

Chapter 12

F´ısica del estado s´ olido 12.1

Estructura cristalina

Una capa es definida por tres vectores de traslaci´ on ai , de modo que la composición atómica sea     = u 1a1 + u2a2 + u3a3 idéntica en cada punto r y r = r + T , donde T es un vector de traslación: T with ui IN . Una capa puede ser construida de celdas primitivas. Como una celda primitiva puede ser un paralepipedo, con volumen V cell = a1 (a2 a3 )

∈

| ·

× |

Porque la capa tiene una propiedad f´ısica estructural que están conectadas con la capa que tiene el mismo periodo (despreciando efectos de frontera): ne (r +  T ) = n e (r ) Esta periodicidad es adecuada para un uso del análisis de Fourier: n(r ) es expandido:

  

n(r ) =

 r ) nG exp(iG

·

G

con nG =

1 V cell

 r )dV n(r )exp( iG

− ·

cell

 el vector reciproco de capa . Si G es  escrito como G =  v 1 G es b1 + v2 b2 + v3 b3 con vi  para los vectores bi , ciclamente: ai+1 ai+2  bi = 2π ai (ai+1 ai+2 )

×

·

∈ IN , se tiene

×

 El conjunto de vectores G determinan la difracción de Röntgen: un máximo en la radiación reflejada       ocurre si: ∆k = G con ∆k = k k . As´ı: 2 k  G = G2 . De lo anterior se obtiene para planos de capas paralelas (refracción de Bragg) para el máximo se tiene: 2d sin(θ) = nλ.

−

·

La zona de Brillouines definada como una celda de Wigner-Seitz en la capa reciproca.

12.2

Enlace cristalino

Podemos distinguir entre cuatro clases de enlaces: 1. Enlace de Van der Waals 2. Enlace iónico 3. Enlace covalente o homopolar 4. Enlace metálico Para el enlace del NaCl la energ´ıa por molécula es calculada por medio de: E = energ´ıa cohesiva (NaCl) energ´ıa de iotización (Na) + afinidad electrónica (Cl) La interacción en un enlace covalente depende de las orientaciones de spin de los electrones que constituyen el enlace. La energ´ıa potencial para dos spines paralelos es mayor que la energ´ıa potencial de dos spines anti-paralelos. En consecuencia, para la energ´ıa potencia para dos spines anti-paralelos tiene algunas veces un m´ınimo. En tal caso el enlace no es posible. 73

74


12.3

Vibraciones cristalinas

12.3.1

Una capa con un tipo de ´ atomo

En este modelo las vibraciones cristalinas sólo son interacciones cercanas al vecindario son tomadas en cuenta. La fuerza en el átomo s con masa M puede entonces ser escrito como: F s = M

d2 us = C (us+1 dt2

− us) + C (us−1 − us) −

Asumiendo que todas las soluciones tineen la misma dependencia en el tiempo exp( iωt) resultado en: Mω 2 us = C (us+1 + us−1 2us)

−

−

±

Entonces se puede postular: us±1 = u exp(isKa) exp( iKa). Lo que da: us = exp(iKsa). Sustituyendo en las dos últimas ecuaciones en la primera resulta en un sistema de ecuaciones lineales, que tiene una única soluci´ on si su determinante es 0. lo que da: ω2 =

4C 2 1 sin ( 2 Ka) M

nicamente vibraciones con una longitud de onda dentro de la primera Zona de Brillouin tiene un significado f´ısico. Este requiere que π < Ka π.

−

≤

La velocidad de grupo de estas vibraciones da: dω vg = = dK



Ca 2 cos( 12 Ka) . M

Y es 0 en la frontera de la Zona de Brillouin. Aqu´ı, hay a onda estacionaria.

12.3.2

Una capa con dos tipos de a ´tomos ω

Ahora la solución es: ω 2 = C



1 1 + M 1 M 2

 ±   C

 1 1 + M 1 M 2

− 2

2

4sin (Ka) M 1 M 2

Conectada con cada valor de K hay dos valores de ω, como puede observarse en la grafico. La l´ınea superior describe la rama óptica, mientras que la l´ınea inferior la rama ac´ ustica. En la rama óptica, ambos tipos de iones oscilan en fases opuestas, en la rama ac´ ustica ellos oscilan en la misma fase. Esto resulta en un momento dipolar inducido mucho mayor para oscilaciones ópticas, y también una mayor emisi´ on y absorción de radiación. En conclusión cada rama presenta tres direcciones de polarización, una longitudinal y dos trasversales.

12.3.3

 

2C M 2 2C M 1

0

 K

π/a

Fonones

La excitación mecánica cuántica de una vibración cristalina con una energ´ıa ¯hω es denominada fonon . Fonones puede ser vista como cuasi-part´ıculas: con colisiones, ellos se comportan como part´ıculas con momentum ¯hK . Su momentum total es 0. Cuando ellos colisionan, Su momentum no necesita ser conservado: para un proceso normal se tiene: K 1 + K 2 = K 3, para un umklapp proceso se tiene: K 1 + K 2 = K 3 + G. Porque fonones no tienen spin ellos se comportan como bosones.

75

Cap´ ıtulo 12: F´ısica del estado sólido

12.3.4

Capacidad t´ ermica

La energ´ıa total las vibraciones del cristal pueden ser calculadas por la multiplicación de cada modo con su energ´ıa y sumando todas las ramas K y polarizaciones P , esto es: U =

 K



    

¯hω nk,p =

P

Dλ (ω)

λ

¯hω exp(¯ hω/kT )

− 1 dω

Para una polarizaci´ on λ. La capacidad térmica es luego: ∂U C lattice = = k ∂T

(¯ hω/kT )2 exp(¯ hω/kT ) D(ω) dω (exp(¯hω/kT ) 1)2

λ

−

La relaci´ on de dispersión en una dimensión es: D(ω)dω =

L dK L dω dω = π dω π vg

En tres dimensiones se aplica las condiciones de frontera periódica para un cubo con N 3 celdas primitivas y un volumen L 3 : exp(i(K x x + K y y + K z z)) exp(i(K x (x + L) + K y (y + L) + K z (z + L))).

≡

Porque exp(2πi) = 1 hay solo una posibilidad si: K x , K y , K z = 0;

± 2πL ; ± 4πL ; ± 6πL ; ... ± 2NL π

 en el volumen (2π/L)3 in K -space, o: Asi hy solo un valor permitido para K

 

3

L 2π

=

V 8π 3

 por unidad de volumen en un espacio K  , para cada polarizacion y cada permitiendo valores de K rama. El numero total de estados con un vector de onda < K es: N =

 

3

L 2π

4πK 3 3

Para cada polarizaci´ on. La densidad de estados para cada polarización es, de acuerdo al modelo de Einstein: dN V K 2 dK V dAω D(ω) = = = 3 2 dω 2π dω 8π vg El modelo de Debye para la capacidad calor´ıfica térmica es una aproximación de baja temperatura que es válida arriba de 50K. Aqu´ı, u ńicamente los fonones acústicos se toman en cuenta (tres polarizaciones), y se asume que v = ωK , independientemente de la polarización. Para esto se obstine: ´ D(ω) = V ω 2 /2π2 v 3 , donde v es la velocidad. Esto da:

 



≈

U = 3



ωD



D(ω) n ¯hωdω =

 0

V ω2 ¯hω 2 3 2π v exp(¯ hω/kT )

−

3V k2 T 4 dω = 1 2π2 v 3 ¯h3

xD

 0

x3 dx . ex 1

−

Here, x D = ¯hωD /kT = θ D /T . θD is the Debye temperature and is defined by: ¯hv θD = k

1/3

  6π2 N V

→ ∞ para T → 0 se tinee de eel:

donde N es el número de celdas primitivas. Porque x D ∞

  

T U = 9N kT θD

3

0

x3 dx 3π4 N kT 4 = ex 1 5θD

−

∼ T 4

and C V =

12π 4N kT 3 3 5θD

∼ T 3

En el modelo de Einstein para la capacidad térmica calorifica se considera únicamente fonones de una frecuencia, una aproximación para fonones ópticos.

76


12.4

Campo magn´ etico en el estado sólido

La siguiente gráfica presenta la magnetización contra la intensidad de campo para diferentes tipos de magnetismo: M  M sat ferromanetismo

∂M χm = ∂H

paramagnetismo

 H

0    

    diamagnetismo    

12.4.1

Diel´ ectricos

El origen mecánico cuántico del diamagnetismo es la presesión de Largor del spin del electrón. Comenzando con una órbita circular del electrón en el átomo con dos electrones, existe una fuerza de Coulomb F c y una fuerza magnética en cada electrón. Si la parte magnética de la fuerza no es lo suficientemente fuerte para deformar significativamente las orbitas se tiene: F c (r) ω = mr 2

±

eB ω = ω 02 m

±

eB (ω0 + δ ) m

⇒ ω =

 

±

ω0

eB 2m



2

+

eB = ω 0 ± ωL · · · ≈ ω0 ± 2m

Aqu´ı, ω L es la frecuencia de Larmor . Un electrón es acelerado, mientras que el otro es desacelerado. Existe una corriente neta que resulta en un momento magnético  µ. La corriente circular es dada por 2 2 2 I = ZeωL /2π, y µ = IA = Iπ ρ = 3 Iπ r . Si N es el n´ umero de átomos en el cristal se  obtiene para la susceptibilidad, con M =  µN :

−



 

χ =

12.4.2



µ0 M = B

2

− µ0N6mZe

Paramagnetismo

 r2

 = Comenzando con la separación de los niveles de energ´ıa en un campo magnético: ∆U m  µ B mJ gµ B B, y con una distribución f m exp( ∆U m /kT ), encontramos para el momento magnético promedio µ = f m µ/ f m . Despu´ es de la linearización y porque mJ = 0, J = 2J + 1 and m2J = 32 J (J + 1)(J + 21 ) siguiendo ésto:



 

∼

 

χ p =

Esto es la ley de Curie law , χ p

12.4.3

− ·

−





µ0 M µ0 N µ µ0 J (J + 1)g 2 µ2B N = = B B 3kT



∼ 1/T .

Ferromagnetismo

Un comportamiento ferromagnético como un paramagneto arriba de la temperatura critica T c . Para  E = λµ0 M .  De aqu´ı el describir ferromagnetismo un campo BE paralelo con M es postulado: B tratamiento es análogo al caso paramagnético:

− 

µ0 M = χ p (Ba + BE ) = χ p (Ba + λµ0 M ) = µ 0 1

λ

C M T

µ0 M C = que es laley de Weiss-Curie . Ba T T c Si B E es estimada de este modo resulta en valores de alrededor de 1000 T. Esto es claramente irreal y siguiere un mecanismo diferente. Un enfoque mecánico cuántico de los postulados de Heisenberg Para esto se tiene para el ferromagneto: χF =

−

77


 i S  j de la interacción entre dos átomos vecinos: U = 2J S µ   BE . J es una integral superpuesta dando: J = 3kT c /2zS (S + 1), con z el numero de vecindades. Una distinción entre dos casos puede ahora realizarse:

−

· ≡ − ·

1. J > 0: S i y S j convirtiéndose en paralelo: el material es un ferromangetico. 2. J < 0: S i and S j convirti´ endose en anti-paralelo: el material es anti-ferromagnetico. La teor´ıa de Heisenberg predice ondas de spin cuantizadas: magnones. Comenzando de un modelo con sólo las vecindades más cercanas interactuando se puede escribir: U =

−2J S  p · (S  p−1 +  S p+1) ≈  µ p · B p with

La ecuación de movimiento para los magnones se convierte:

 p = B

−2J (S  p−1 +  S p+1 ) gµ B

 2J dS  p = S dt ¯h

× (S  p−1 +  S p+1)

De aqu´ı el tratamiento es análogo a los fonones: postulando ondas viajeras de el tipo  S p = u exp(i( pka ´ ωt)). Esto resulta en un sistema de ecuaciones lineales con solución: ¯hω = 4JS (1

−

− cos(ka))

12.5

Electr´ on libre en un gas de Fermi

12.5.1

Thermal heat capacity

La soluci´ on con periodo L de la ecuación de dimensión Schrödinger es: ψn (x) = A sin(2πx/λn) con nλn = 2L. De lo que se tiene E =

¯h2 nπ 2m L

 

2

En una capa lineal el unicos numeros cuanticos importantes son n y m s . El nivel de Fermi es el nivel lleno mas alejado del estado base, que tiene la la energ´ıa de Fermi E F . Si n F es numero cuantico del nivel de Fermi, puede ser expresado como: 2nF = N asi, E F = ¯h2 π2 N 2 /8mL. En tres dimensiones se tiene: kF =

1/3

  3π 2 N V

El n´ umero de estados con energ´ıa

≤

3π2 N V

V E es entonces: N = 2 3π

dN V y la densidad de estados se convierte: D(E ) = = 2 dE 2π

2/3

      √

¯h2 y E F = 2m

2m ¯h2

2mE ¯h2

3/2

.

3/2

E =

3N . 2E

la capacidad calor´ıfica de los electrones es aproximadamente 0.01 veces el valor clásico esperado 23 N k. Esto es causado por el principio de exclusión de Pauli y la distribución de Fermi-Dirac: u ńicamente electrones dentro de un intervalo de energ´ıa k T de el nivel de Fermi son excitado térmicamente. Existe una fracción T /T F excitada térmicamente. La energ´ıa interna entonces se convierte en:

∼

≈

≈ N kT T T F

U

and C =

∂U ∂T

≈ N k T T F

Un an´ alisis de masas revela: C electrons = 21 π2 NkT/T F T . Junto con la dependencia T 3 del la capacidad calor´ıfica de los fonones, la capacidad térmica de los metales es descrito por: C = γT +AT 3 .

∼

78

12.5.2


Conducci´ on eléctrica

 = mdv/dt = ¯hd La ecuación de movimiento para los portadores de carga es: F k/dt. La variaci´ on  h. Si τ es el tiempo de colisión caracter´ıstica de los de  k es descrita por δ  k =  k(t)  k(0) = eEt/¯  , con µ = eτ/m la movilidad electrones, δ  k permanece estable si t = τ . Entonces tenemos: v = µE de los electrones.

−

−

 

 = nqv = σ E  = E/ρ = neµ   . Porque para el tiempo de La corriente en un conductor es dado por: J E colisión se tiene: 1/τ = 1/τ L + 1/τ i , donde τ L es el tiempo de colisión con fonones en la capa y τ i el tiempo de colisión con las impurezas seguido de la resistividad ρ = ρL + ρi , con lim ρL = 0. T →0

12.5.3

El efecto Hall

⊥

Si un campo magnético es aplicado en la dirección de la corriente los portadores de carga serán empujados a un lado por la fuerza de Lorentz. Esto resulta en un campo magn´ etico al flujo  = Jex y B  = Bez maas E y /E x = µB. El coeficiente Hall en la direcció n de la corriente. Si J es definido por: RH = E y /J x B, y RH = 1/ne si J x = neµE x . el voltaje Hall es descrito por: V H = Bvb = IB/neh donde b es el ancho de el material y h la altura.

⊥

−

12.5.4

Conductividad t´ ermica

Con  = v F τ el camino libre medio de los electrones de κ = 31 C v : κelectrons = π 2 nk2 T τ /3m. de este se tiene para la raz´ on de Wiedemann-Franz : κ/σ = 31 (πk/e)2 T .



12.6

Bandas de Energ´ıa

En la aproximaci´ on del amarre fuerte se asume que ψ = eikna φ(x na). De lo que se concluye para la energ´ıa: E = ψ H ψ = E at α 2β cos(ka). As´ı esto da un coseno superimpuesto en un la energ´ıa atómica, que es frecuentemente aproximado por un oscilador armónico. Si se asume que el electr´ on es libre, podemos postular: ψ = exp(i k r ). Esto es una onda viajera. La onda puede ser descompuesta en dos ondas estacionarias:

   | | 

−

− −

·

− −

ψ(+) = exp(iπx/a) + exp( iπx/a) = 2 cos(πx/a) ψ( ) = exp(iπx/a) exp( iπx/a) = 2i sin(πx/a)

−

−

La densidad de probabilidad ψ(+) 2 es alta cerca de los átomos de la red y bajo entre ellos. La densidad de probabilidad ψ( ) 2 es peque˜ na cerca de los átomos de la red y alta entre ellos. De ah´ı, la energ´ıa de ψ (+) es también más peque˜ na que la energ´ıa de ψ)( ). Supongamos que U (x) = U cos(2πx/a), mas el bandgapes descrito por:

| | | − |

−

1

E gap =

 |

U (x) ψ(+) 2

0

12.7

| − |ψ(−)|2



dx = U

Semiconductores

Las estructuras de bandas y las transiciones entre ellos de un semiconductor directo e indirecto son mostradas en las figuras abajo. Aqu´ı se puede despreciar la diferencia de momentun por la absorción de un fotón. Para un semiconductor directo una transición de la banda de valencia es también posible si la energ´ıa de los fotones absorbidos es más peque˜ na que la banda de separación: luego, el fotón es absorbido también.

79


E conducción banda 

E



• 

•



  ωg   

  ω   

Ω

◦

◦

Transici´ on directa

Transici´ on indirecta

Esta diferencia tambi´ en se puede observar en un espectro de absorción : absorción

absorción



 . ... . . .. ... .  ..  ....  .. E g + ¯hΩ

 E

¯hωg

Semiconductor directo

 E

Semiconductor indirecto

As´ı semiconductores indirectos, como Si y Ge, no pueden emitir ninguna luz y entonces no son ventajosos para fabricar láseres. Cuando la luz es absorbida se tiene:  kh =  ke , E h ( kh ) = E e ( ke ), ∗ vh = ve and m h = me si la banda de conducción y la banda de valencia tienen la misma estructura.

−

−

−

En lugar de la masa normal del electrón debemos emplear la masa efectiva dentro de arreglo; la cual definimos como: −1 F dp/dt dK d2 E 2 ∗ m = = = ¯h = ¯h a dvg /dt dvg dk2

 

con E = ¯hω y v g = dω/dk y p = ¯hk.

≈

−

Con la función de distribución f e (E ) exp((µ E )/kT ) para el electrón y f h (E ) = 1 los huecos de densidad de estasdos es dado por: 1 D(E ) = 2π2

   − 2m∗ ¯h2

− f e(E ) para

3/2

E

E c

con E c la energ´ıa al l´ımite de la banda de conductancia. De este se tiene para las concentraciones de los huecos p y los electrones n: ∞

n =



  −     − 

De (E )f e (E )dE = 2

E c

Para el producto np obtenemos: np = 4

kT 2π¯h2

m∗ kT 2π¯h2

3/2

3

m∗e mh exp

exp

µ

E c kT

E g kT

Para un semiconductor intr´ınseco (sin impurezas) tenemos: ni = p i , para un tipo n tenemos: n > p y en un tipo p tenemos: n < p. Un exciton es una unión de un par electrón–hueco, rotando uno al otro como en un p ositronio. La energ´ıa de excitación de un exciton es más pequeña que en el bandgap porque la energ´ıa de un exciton es menor que la energ´ıa de un electrón libre e un hueco libre. Esto causa un pico en l absorci´ on y justo debajo de E g .

80


12.8

Superconductividad

12.8.1

Descripci´ on

Un superconductor es caracterizado por su resistencia cero si ciertas cantidades son pequeñas en comparaci´ on con valores cr´ıticos: T < T c , I < I c and H < H c . El modelo BCS predice para la temperatura de transición T c : 1 T c = 1.14ΘD exp U D(E F )





−

mientras que en los experimentos se encuentra que H c aproximadamente: H c (T )

≈ H c(T c)

−  1

T 2 T c2

.

Dentro de un supercondutor el campo magnetico es 0: que es el efecto Meissner . Exiten supercondutores tipo I y tipo II. Porque el efecto Meissner Implicas que un superconductor  = µ0 M  . Esto desencadena para es un perfecto diamagnetico holds en el estado supercondutor: H el superconductor tipo I, para el tipo superconductor II esto soolo holds un cierto valor H c1 , Para valores mas grandes de H el superconductor es un estado vortex to a value H c2 , que puede ser 100 veces H c1 . Si H se convierte en más grande que H c2 el superconductor se convierte en un normal conductor. Como lo muestra la figura de abajo. µ0 M

µ0 M





       

H c

·

 ··   ···  ·· 

 H

 H

H c1

Type I

H c2

Type II

La transición del estado superconductor es un estado de transición de segundo orden termodinámico. Esto significa que existe un doblez en el diagrama T S y una discontinuidad en el diagrama C X T .

−

12.8.2

−

El efecto Josephson

Para el efecto Josephson consideramos dos superconductores, separados por un aislante. La función de onda en un superconductor es ψ 1 , en el otro ψ 2 . La ecuación de Schrödinger en ambos superconductores es igual: ∂ψ 1 ∂ψ 2 i¯h = ¯hT ψ2 , i¯h = ¯hT ψ1 ∂t ∂t ¯hT es el efecto del acoplamiento de los electrones, o la transferencia a través del aislante. La función de onda de los electrones son escritas como ψ1 = n1 exp(iθ1 ) and ψ2 = n2 exp(iθ2 ). Porque un par de Cooper exite entre two electrones, se tiene: ψ n. De esto se obtine, si n 1 n2 :

√ ∼ √

∂θ 1 ∂θ 2 ∂n 2 = and = ∂t ∂t ∂t

√

≈

− ∂n∂t1

El efecto Josephson resulta en una corriente de densidad a través del aislante, dependiendo de la diferencia de fase como: J = J 0 sin(θ2 θ1 ) = J 0 sin(δ ), where J 0 T . Con un voltaje AC cruzando la interfase, La ecuación de Schrödinger se escribe:

−

i¯h

∂ψ 1 = ¯hT ψ2 ∂t

− eV ψ1

∼

and i¯h

∂ψ 2 = ¯hT ψ1 + eV ψ2 ∂t

81




Obteniendo: J = J 0 sin θ2

− θ1 −



2eV t . ¯h

Existiendo una oscilación con ω = 2eV/¯h.

12.8.3

Cuantizaci´ on del flujo en un anillo superconductor

 = qψ ∗vψ = nq [¯h  θ q  Para la densidad de corriente en general se obtiene: J A] m  0 y J  = 0, siguiendo: ¯h  θ = q   θdl = θ 2 θ1 = 2πs with s IN . Para el efecto Meissner, B = A   n )dσ = (B,  n )dσ = Ψ follows: Ψ = 2π¯hs/q . The size of a flux quantum Porque: Adl = (rotA, follows by setting s = 1: Ψ = 2π¯h/e = 2.0678 10−15 Tm2 .

 

12.8.4 De θ 2

∇ − ⇒ ∇ −



∇



·

∈

Interferencia cu´ antica microsc´ opica

, asi − θ1 = 2eΨ/¯h siguiendo para dos uniones paralelas: δ b − δ a = 2eΨ ¯h

  

J = J a + J b = 2J 0 sin δ 0 cos

12.8.5

eΨ ¯h

Encontrando un máximo sieΨ/¯h = sπ.

La ecuaci´ on de London

 postulado: Una densidad de corriente en un superconductor proporcional a un potencial vectorial A es

−A

 = J donde λ L =

µ0 λ2L



 = or rotJ

ε0 mc2 /nq 2 . De lo que se encuentra:

−B

µ0 λ2L

 B/λ  2 . ∇2B = L

 El efecto Meissner es la solución de esta ecuación: B(x) = B 0 exp( x/λL ). Campos magnéticos que exponencialmente disminuyen.

12.8.6

−

El modelo BCS

El modelo BCS puede explicar superconductividad en metales. (hasta este momento no contamos con una explicaci´ on para superconductividad a temperaturas más altas que altas T c ). Lattice = red Un nuevo estado base donde los electrones se comportan como fermiones independientes es postulado. Debido a la interacci´ on con la red de estas de estas suedo-particulas exhiben una atracci´ on mutua. Esto causa la combinación de dos electrones de spin opuesto. En un par de Cooper . Los causantes de que en el estado base exista un diagmanetismo perfecto La conductividad infinita es más dif´ıcil de explicar porque un anillo con una corriente contin´ ua no esta en real equilibrio: un estado con corriente cero tiene una menor energ´ıa. La cuantización del flujo previene transiciones entre estos estados. La cuantización del flujo es relacionada a la existencia de una función de onda de muchas part´ıculas coherente. Un flujo cuántico es el equivalente alrededor de 104 electrones. Luego, si el flujo tiene que cambiar un flujo cuántico aparecerá una transición de muchos electrones, que es muy improbable, o el sistema debe aumentar los estados donde el flujo no es cuantizado, as´ı ellos tienen una mayor energ´ıa. Esto es también poco improbable. Algunas relaciones matemáticas utilices son: ∞

 0

xdx π2 = , eax + 1 12a2

−∞

x2 dx π2 = , (ex + 1)2 3

∞

∞

Y, cuando

∞



−

n

( 1) =

n=0

1 2 siguiendo:



sin( px)dx =

0

∞

 0

∞



cos( px)dx =

0

x3 dx π4 = ex + 1 15

1 . p

82


Chapter 13

Teor´ıa de grupos 13.1

Introducci´ on

13.1.1

Definici´ on de un grupo

G es un grupo para el operador • si: 1. ∀ A,B∈G ⇒ A • B ∈ G : G es cerrado. 2. ∀ A,B,C ∈G ⇒ (A • B) • C = A • (B • C ): G obedece a la ley asociativa . 3. ∃ E ∈G de modo ∀A∈G A • E = E • A = A: G tiene unelemento unitario. 4. ∀ A∈G ∃A ∈G de modo A • A−1 = E : Cada elemento en G tiene un inverso. −1

si también se presenta: 5. A,B∈G A B = B

∀

13.1.2

⇒ •

• A el grupo es llamado Abeliano o conmutativo.

La tabla de Cayley

Cada elemento aparece solamente una vez cada fila y columna de la tabla de Cayley tabla de multiplicaci´ on: porque EA i = A −1 k (Ak Ai ) = A i cada Ai Aparece una vez. Existen h posiciones en cada fila y columna cuando hay h Elementos en el grupo, as´ı cada elemento aparece una sola vez.

13.1.3

Elementos subgrupos y clases conjugadas

B es conjugado para A si X∈G tal que B = XAX −1 . Entonces A es entonces conjugado para B porque B = (X −1 )A(X −1 )−1 . Si B y C son conjugados para A, B es tambien conjugado con C .

∃

G que es tambien un grupo w.r.t. la misma operación.

Un subgroupo es un una sub-colección de

Una clase conjugada es la máxima colección de elementos conjugados. Cada grupo puede ser dividido en una clase conjugada. Algunos teoremas:

• Todas las clases son completamente desacopladas. • E es una clase en si mimsa: por cada otro elemento en esta clase podemos tener: A = X EX −1 = E .

• E es la unica clase que es tambien un subgrupo porque todas las otras clase no tienen el elemento unidad.

• En un grupo abeliano es una clase separada. La interpretación f´ısica de las clases: elementos de un grupo son usualmente operadores simétricos que mapean un objeto simétrico en si mismo. Elementos de una clase son entonces de la misma clase de operaciones. Lo opuesto no necesariamente debe de ser cierto. 83

84


13.1.4

Isomorfismo y homomorfismo; representaciones

Dos grupos son isomorficos si ellos tienen el misma tabla de multiplicación. El mapeo del grupo a 2 , de modo que la tabla de multiplicación permanece igual, es un mapeo homomorfico.

G

G1

Una representaci´ on es un homomorfico mapeo de un grupo a un grupo de matrices cuadradas con la matriz de multiplicación usual como un operador combinado. Esto es simbolizado por Γ. Los siguiente desemboca en: Γ(E ) = II , Γ(AB) = Γ(A)Γ(B) , Γ(A−1 ) = [Γ(A)]−1 Para cada grupo existen tres posibilidades para una representaci´ on: 1. Una representaci´ on cerrada : todas las matrices son diferentes.

→ det(Γ(A)). 3. La representaci´ on idéntica: A → 1. 2. La representaci´ on A

Unarepresentaci´ on equivalente es obteneida por desarrolar una transformación de una base unitaria:  −1 Γ (A) = S Γ(A)S .

13.1.5

Representaci´ on reducibles e irreducibles

Si la misma transformación unitaria puede realizarse a todas las matrices de una representación Γ en la misma estructura de bloque la representación es llamada reducible : Γ(A) = Esto es escrito como: Γ = Γ (1)



Γ(1) (A) 0 (2) 0 Γ (A)



⊕ Γ(2). Si ésto no es posible la representación es llamada irreducible .

El n´ umero de representaciones iguales, el número de representaciones irreducibles iguala al número de clases conjugadas.

13.2

El fundamental del teorema de ortoganilidad

13.2.1

El lema de Schur

Lemma: Cada matriz que conmuta con todas las matrices de una representaci´ on irreducible es constante II , donde II es la matriz unitaria. Lo opuesto es (por su puesto) tambi´ en cierto.

×

G

Lemma: Si existe una matriz M de modo que para dos representaciones irreducibles de grupo , γ (1) (Ai ) y γ (2) (Ai ), se obtiene: Mγ (1) (Ai ) = γ (2) (Ai )M , m´ as que representaciones equivalentes, o M = 0.

13.2.2

El teorema fundamental de ortoganilidad

Para un conjunto de represntaciones inequivalnetes, irreducibles y unitarias; se obtiene, si h es el n´ umero de elementos en el grupo y  i es la dimension de la i th ¯ representación:



R∈G

(j)

Γ(i)∗ µν (R)Γαβ (R) =

h δ ij δ µα δ νβ i

85

Cap´ıtulo 13: Teor´ıa de grupos

13.2.3

Car´ acter

El car´ acter de una representaci´ on es dado por la traza de la matriz y es entonces invariante para la base de trasformaciones: χ(j) (R) = Tr(Γ(j) (R)) También se obtiene, con N k el n´ umero de elementos en la clase conjugada:



χ(i)∗ (C k )χ(j) (C k )N k = hδ ij

k

n



Teorema:

2i = h

i=1

13.3

La relaci´ on con la mec´ anica cu´ antica

13.3.1

Representations, energy levels and degeneracy

Considere un conjunto de trasformación de simetria x  = Rx que deja al Hamiltonino invariante. Estas transformaciones son un grupo. Un operador isomorfico en la función de onda es: P R ψ(x ) = ψ(R−1 x ). Esto es considerado una rotaci´ on activa . Estos operadores conmutan con : P R = P R , y deja el elemento de volumen sin cambio: d(Rx ) = dx.

H

H

H H

P R es un grupo de simetria de un un sistema f´ısico. Que causa degeneració n: si ψ n es una solución de ψn = E n ψn que tambien presenta: (P R ψn ) = E n (P R ψn ). Una degeneració n que no es el resultado de una simetria es lalmado una degeneraci´ on accidental .

H

H

(n)

Assumiendo que hay una degeneración n veces a E n : se puede un conjunto ortonormal ψν , ν = 1, 2, . . . , n . La

(n) función P R ψν

n

es el mismo subspacio:

(n) P R ψν

=



ψκ(n) Γ(n) κν (R)

κ=1 (n)

G

donde Γ es una representación irreducible, unitario del grupo simtrico del sistema . Cada n corresponde a otro nivel de energia. Podemos derivar matematica representaciones irreducibles de grupos de simetr´ıa y etiquetar el nivel de energia con un número cuántico. Una elección fija de Γ (n) (R) (n) define la funciones base ψ ν . De este modo podemos tambien etiquetar cada base de funciones con un numero cuantico. Particle in a periodical potential: the symmetry operation is a cyclic group: note the operator describing one translation over one unit as A. Then: = A, A2 , A3 , . . . , Ah = E . The group is Abelian so all irreducible representations are one-dimensional. For 0 p h 1 follows:

G {

} ≤ ≤ −

Γ( p) (An ) = e2πipn/h

 

2πp 2π Si definimos: k = mod , asi: P A ψ p (x) = ψ p (x ah a Bloch : ψk (x) = u k (x)eikx , con u k (x a) = u k (x).

−

− a) = e2πip/hψ p(x), ello da el teorema

±

13.3.2

Breaking of degeneracy by a perturbation

H

G

Suppose the unperturbed system has Hamiltonian 0 and symmetry group 0 . The perturbed system (n) has = 0 + , and symmetry group (R) is an irreducible representation of 0 , it is 0 . If Γ (n) also a representation of but not all elements of Γ in 0 are also in . The representation then (n) (n ) (n ) usually becomes reducible : Γ = Γ Γ . . .. The degeneracy is then (possibly partially) removed: see the figure below.

H H V

G ⊂ G ⊕

G

1

2

⊕

G

G

G

n = dim(Γ(n ) ) n = dim(Γ(n ) ) 1

1

2

n

2

n = dim(Γ(n ) ) 3

3

H0

Spectrum

Spectrum

H

86

Formulario esencial de f´ısica General por J.C.A. Wevers (n)

Teorema: El conjunto de n funciones degeneradas ψν con energia E n es un vase para un irreducible representation de dimension  n Γ(n) del grupo de simetria.

13.3.3

La construccin de una base de funciones

Cada funci´ on F en el espacio de configuración puede ser reestructurada en clases de simtria : F = n

j



f κ(j)

j=1 κ=1

Los siguientes operadores extraen las clases de simetria:

  j h

(j)

Esto es expresado como: f κ



(j) Γ(j)∗ κκ (R)P R F = f κ

R∈G

(j) es la parte de F que trasforma de acuerdo a la κ th ¯ fila de Γ .

F puede ser tabien expresado en la funciones base ϕ: F =



(aj)

cajκ ϕκ

(j)

. The functions f κ

are in

ajκ

general not transformed into each other by elements of the group. However, this does happen if cjaκ = c ja . Theorem: Two wavefunctions transforming according to non-equivalent unitary representations or according to different rows of an unitary irreducible representation are orthogonal: (i) (j) (i) (i) ϕκ ψλ δ ij δ κλ , and ϕκ ψκ is independent of κ.

 |

13.3.4

∼

 | 

The direct product of representations

Consider a physical system existing of two subsystems. The subspace D(i) of the system trans(i) forms according to Γ (i) . Basefunctions are ϕκ (xi ), 1 κ i . Now form all 1 2 products (1) (2) (1) (2) ϕκ (x1 )ϕλ ( x2 ). These define a space D D .

≤ ≤

⊗

×

These product functions transform as: (2)

(2)

P R (ϕ(1) x1 )ϕλ (x2 )) = (P R ϕ(1) x1 ))(P R ϕλ (x2 )) κ ( κ ( In general the space D (1)

⊗ D(2) can be split up in a number of invariant subspaces: Γ(1) ⊗ Γ(2) = ni Γ(i)

 i

A useful tool for this reduction is that for the characters hold: χ(1) (R)χ(2) (R) =



ni χ(i) (R)

i

13.3.5

Clebsch-Gordan coefficients (i) (j)

(aκ)

With the reduction of the direct-product matrix w.r.t. the basis ϕ κ ϕλ one uses a new basis ϕ µ These base functions lie in subspaces D (ak) . The unitary base transformation is given by: ϕ(ak) = µ

  κλ

(j)

(j)

ϕ(i) κ ϕλ (iκjλ akµ)

and the inverse transformation by: ϕ(i) κ ϕλ =

akµ

|

ϕ(aκ) (akµ iκjλ) µ

|

|



(i) (j)

|

(ak)

In essence the Clebsch-Gordan coefficients are dot products: ( iκjλ akµ) := ϕk ϕλ ϕµ



.

87


13.3.6

Symmetric transformations of operators, irreducible tensor operators

Observables (operators) transform as follows under symmetry transformations: A = P R AP R−1 . If a (j) set of operators Aκ with 0 κ j transform into each other under the transformations of holds:

≤ ≤

G

−1 P R A(j) κ P R =



(j) A(j) ν Γνκ (R)

ν

(j)

If Γ(j) is irreducible they are called irreducible tensor operators A (j) with components A κ . An operator can also be decomposed into symmetry types: A =

 jk

a(j) κ =

  j h

(j)

ak , with:



−1 Γ(j)∗ κκ (R) (P R AP R )

R∈G

H  |H| 

∀

Theorem: Matrix elements H ij of the operator which is invariant under A∈G , are 0 between states which transform according to non-equivalent irreducible unitary representations or according (i) (i) to different rows of such a representation. Further ϕκ ψκ is independent of κ. For = 1 this becomes the previous theorem.

H

This is applied in quantum mechanics in perturbation theory and variational calculus . Here one tries (i) to diagonalize . Solutions can be found within each category of functions ϕκ with common i and κ: is already diagonal in categories as a whole. Perturbation calculus can be applied independent within each category. With variational calculus the try function can be chosen within a separate category because the exact eigenfunctions transform according to a row of an irreducible representation.

H

13.3.7

H

The Wigner-Eckart theorem

 (i) |

(j)

(k)

Theorem: The matrix element ϕλ Aκ ψµ can only be = 0 if Γ(j) Γ(k) = . . . this is the case holds (if Γ (i) appears only once, otherwise one has to sum over a):

|





⊗

⊕ Γ(i) ⊕ . . ..

If

(j) (k) (i) (j) (k) ϕ(i)  λ | Aκ |ψµ  = (iλ| jκkµ)ϕ A ψ

Este teoriama puede ser utilizado para determinar reglas de selección: la probabiliad de una transison dipolar es descrita por ( es la dirección de polarización de la radiación): P D =

8π2 e2 f 3 r12 2 with r12 = l2 m2  r l1 m1 3¯hε0 c3

| |



|· |



Further it can be used to determine intensity ratios: if there is only one value of a the ratio of the matrix elements are the Clebsch-Gordan coefficients. For more a-values relations between the intensity ratios can be stated. However, the intensity ratios are also dependent on the occupation of the atomic energy levels.

13.4

Continuous groups

∞

∞

Continuous groups have h = . However, not all groups with h = are continuous, e.g. the translation group of an spatially infinite periodic potential is not continuous but does have h = .

∞

88

13.4.1 13.4.1


The 3-dimensi 3-dimensional onal translati translation on group group

−

For the translation of wavefunctions over a distance a holds: P a ψ(x) = ψ( ψ (x a). Taylor expansion expansion near x near x gives: dψ( dψ(x) 1 2 d2 ψ(x) ψ(x a) = ψ( ψ (x) a + a +... dx 2 dx2 ¯h ∂ Because the momentum operator in quantum mechanics is given by: px = , this can be written i ∂x as: ψ (x a) = e−iapx /h¯ ψ(x)

−

−

−

−

13.4.2 13.4.2

The 3-dimens 3-dimensional ional rotation rotation group group

This group is called SO(3) because a faithful representation can be constructed from orthogonal 3 matrices with a determinant of +1.

×3

For an infinitesimal rotation around the x-axis x -axis holds:

≈

P δθ x,y,z ) δθx ψ (x,y,z)

− 

ψ(x, y + zδθ zδ θx , z

yδθ x ) ∂ ∂ = ψ(x,y,z) x,y,z ) + zδθ zδ θx yδθ yδ θx ∂y ∂z iδθ i δθ x Lx = 1 ψ(x,y,z) x,y,z ) h ¯

−

−

¯h Because Because the angular momentum momentum operator is given by: Lx = i So in an arbit arbitrary rary direc directio tion n holds: holds:



∂ z ∂y



−

ψ(x,y,z) x,y,z )



∂ y . ∂z

 )/ P α,n = exp( iα( iα(n J )/h ¯) P a, ia(n p )/h ¯) a, n = exp( ia(

− −

Rotati Rotations ons:: Translations:

· ·

J x , J y and J z are called the generators generators of the 3-dim. 3-dim. rotation rotation group, px , py and pz are called the generators of the 3-dim. translation group. The commutation rules for the generators can be derived from the properties of the group for multiplications: translations are interchangeable px py py px = 0. Rotations are not generally interchangeable: consider a rotation around axis n in the xz-plane xz -plane over an angle α angle α.. Then holds: P α,n = P = P −θ,y P α,x α,x P θ,y θ,y , so:

↔

−



iα( n·J )/ ) /h ¯ e−iα( = eiθJ y /h¯ e−iαJ x /h¯ e−iθJ y /h¯

If α and θ are very small and are expanded to second order, and the corresponding terms are put  = J x cos θ + J z sin θ, it follows from the αθ term: J x J y J y J x = i¯ equal with  with n J i hJ h ¯ J z .

·

13.4.3 13.4.3

−

Properties Properties of contin continuous uous groups groups

The elements R( p1 ,...,pn ) depend continuously on parameters p1 ,...,pn . For the translation translation group group this are e.g. anx , an y and anz . It is demanded demanded that the multiplicati multiplication on and inverse inverse of an element element R depend continuously on the parameters of R of R.. The statement that each element arises only once in each row and column of the Cayley table holds also for continuous groups. The notion conjugacy class for continuous groups is defined equally as for discrete discrete groups. The notion represent representation ation is fitted by demanding demanding continuity continuity:: each matrix element element depends continuously on p on p i (R). Summation Summation over all group elements elements is for continuous continuous groups replaced by an integratio integration. n. If f ( f (R) is a function defined on , e.g. Γαβ (R), holds:

G



f ( f (R)dR := dR :=

G

 · · · 

f ( f (R( p1 ,...,pn ))g ))g (R( p1 ,...,pn ))dp ))dp1

p1

pn

· · · dpn

89

Cap Ca p´ıtul ıt ulo o 13: Teor´ Teor´ıa de grupos gr upos

Here, g Here, g((R) is the density the density function .





Because of the properties of the Cayley table is demanded: f ( f (R)dR = f ( f (SR) SR )dR. dR. This This fixe fixess   g (R) except except for a consta constant nt factor. factor. Define Define new variabl ariables es p by: SR( SR ( pi ) = R( pi ). If one one writ writes es:: dV := dp := dp 1 dpn holds: dV g (S ) = g( g (E )  dV

···

dV dV Here, is the Jacobian the Jacobian : = det  dV dV 

 

∂p i , and g and g (E ) is constant. ∂p j

For the translation group holds: g (a) = constant constant = g = g(( 0) because g because g((an )d a = g( g ( 0 )d a and da = da. This leads to the fundamental orthogonality theorem:



(j ) (i)∗ Γµν (R)Γαβ (R)dR = dR =

G

and for the characters characters hold:



(i)∗

χ

(j )

(R)χ

(R)dR = dR = δ δ ij ij

G

dR

G



dR

G

Compact groups groups are groups with a finite group volume:

13.5 13.5



1 δ ij ij δ µα µα δ νβ νβ i

The The grou group p SO SO(3 (3))

 G

dR <

∞.

One can take 2 parameters parameters for the direction of the rotational rotational axis and one for the angle of rotation rotation ϕ. ϕ . The parameter parameter space is a collection collection points ϕ points ϕn within a sphere with radius π radius π.. The diametrical points on this sphere are equivalent because R n,π = Rn,− . n,−π Another way to define parameters is by means of Eulers of Eulers angles . If α, α , β and β and γ are γ are the 3 Euler angles, defined as: 1. The spherical spherical angles angles of axis 3 w.r.t. xyz are θ, ϕ := β := β,, α. Now a rotation around axis 3 remains possible. 2. The spherical spherical angles of the the z -axis w.r.t. 123 are θ are θ,, ϕ := β := β,, π

− γ .

then the rotation of a quantum mechanical system is described by:  )/ iε( n·J ) /h ¯ ψ e−iαJ z h¯ e−iβJ y /h¯ e−iγJ z /h¯ ψ. So P So P R = e−iε( .

→

All irreducible representations of SO(3) can be constructed from the behaviour of the spherical harmonics Y monics Y lm l m l and for a fixed l: l : lm (θ, ϕ) with

− ≤ ≤

P R Y lm lm (θ, ϕ) =



(l)

Y lm lm (θ, ϕ)Dmm (R) 



m



D(l) is an irreducible irreducible representatio representation n of dimension 2l 2 l + 1. The character of D of D (l) is given by: l

(l)

χ (α) =



m=−l

l

e

imα

sin([l sin([l + 21 ]α) =1+2 cos(kα cos(kα)) = sin( 12 α) =0 k



In the performed derivation α is the rotational angle around the z -axis. -axis. This expression expression is valid for all rotations over an angle α angle α because because the classes of SO(3) are rotations around the same angle around an axis with an arbitrary arbitrary orientation. orientation. Via the fundamental orthogonality theorem for characters one obtains the following expression for the density function function (which (which is normalized normalized so that g that g (0) = 1): g (α) =

sin2 ( 12 α) ( 12 α)2

90


With this result one can see that the given representations of SO(3) are the only ones: the character of another representation χ  would have to be to the already found ones, so χ  (α)sin2 ( 12 α) = 0 α χ (α) = 0 α. This is contradictory because the dimension of the representation is given by χ  (0).

⇒

⊥

∀

∀

Because fermions have an half-odd integer spin the states ψ sms with s with s = 21 and m and m s = 21 constitute a 2-dim. space which is invariant under rotations. A problem arises for rotations over 2 π:

±

ψ

1 2

ms

→ e−2πiS /h¯ ψ z

1 2

ms

= e−2πims ψ

1 2

=

ms

−ψ

1 2

ms

→ ±

Sin embargo, en SO(3) tenemos: Rz,2 II . Porque Porque cantidades cantidades observables observables pueden z, 2π = E . As´ı E ser siempre escrita como φ ψ o φ A ψ , y bi-lineales en los estados, ellos no cambian de signo si el estado lo hace. Cuando cambia el estado cambia de signo las cantidades observables cambian.

 |   | | 

La existencia de esto medio-impares representaciones es conectada con las propiedades topologicas de SO(3): el grupo de dos veces coherencia a trav´ es es de la identificaciónR onR0 = R = R2π = E .

13.6

Aplicaciones Aplicaci ones de la l a mec´ anica anica cu´ antica antica

13.6.1 13.6.1

Modelo Modelo de de vect vectore oress en la la adicci adicci´ ´ on del momento angular on

Si dos subsistemas tienen un momento angular, los numeros cuanticos j1 y j2 los unicos posibles valores para el momento angular total son J = j1 + j2 , j1 + j2 1,..., j j1 j2 . Este puede ser derivado derivado de la teor´ teor´ıa de grupos como sigue: de χ de χ (j ) (α)χ(j ) (α) = nj χ(J ) (α) continuando: 1

−

2

| − |

J

D(j

1

)

⊗ D(j ) = D (j +j ) ⊕ D(j +j −1) ⊕ ... ⊕ D(|j −j |) 2

1

2

1

2

1

2

Las estados estados pueden pueden ser caracterizad caracterizados os por los números umeros cu´ anticos en dos modos: con j anticos con j1 , m1 , j2 , m2 y con j1 , j2 , J , M . Los coeficientes de Clebsch-Gordan, paa SO(3) son llamados los coeficientes de Wigner , pueden ser escogidos reales , de tal modo: ψj j JM = ψj m j m ( j1 m1 j2 m2 J M )

 

1 2

1

1 2

|

2

m1 m2

ψj

1

m1 j2 m2

=

ψj

j JM ( j1 m1 j2 m2

1 2

JM

13.6.2 13.6.2

|J M ) M )

Operadores Operadores tensor tensoriale ialess irreduci irreducibles bles,, elecmen elecmentos tos de matriz matriz y regla reglass de selecci´ on on

Algunos ejemplos del comportamiento de operadores bajo SO(3) 1. Supongamos Supongamos j j = 0: obteniendo la representaci´ on on identica con j = 1. Este Este estado estado es descri descrito to (0) −1 (0) por un operador escalar escalar . Porque Porque P P R A0 P R = A 0 este operador es invarian invariante, te, por ejemplo, ejemplo,   e.g. el en hamiltoniano de un átomo atomo libre. Se obtiene: J M J M δ MM MM δ JJ JJ .



|H|  ∼





 = (Ax , Ay , Az ). Las componentes 2. Un operador vectorial : A componentes cartesianas cartesianas de un trasformac trasformaci´ ión on vectorial son equivalentes como las componentes cartesianas de r, por definici´ definici´ on. on. As´ As´ı para rotaciones alrededor del eje z se tiene: D(Rα,z ) =

 

cos α sin α 0

− sin α cos α 0

0 0 1

 

El operador de trasformac trasformaci´ ión on tiene la misma matriz de elementos w.r.t. P R ψ y P R φ: P R ψ P R Ax P R−1 P R φ = ψ Ax φ , y χ( χ (Rα,z ) = 1+ 2 cos cos(α). De acuerdo cono la ecuación on para caracteres esto significa que se debe escoger la base de operadores que trasformen Y 1m (θ, ϕ). Por lo que se cambia a componentes esféricas: ericas:



|



|

(1)

A+1 =

| |

− √ 12 (Ax + iAy ),

(1)

(1)

A0 = Az , A−1 =

√ 12 (Ax − iAy )

91


3. Un tensor cartesiano de rango 2: T ij es una cantidad que trasforma bajo rotaciones como U i V j ,  y V  son vectores. As´ı T ij trasforma como P R T ij P −1 = T kl Dki (R)Dlj (R), también donde U R (1)

⊗

(1)

(2)

(1)

⊕

⊕

 kl

(0)

D D = D D D . Los nueve componentes pueden ser separados en tres subespacios invariantes con dimensión 1 (D(0) ), 3 (D(1) ) y 5 (D(2) ). La nueva base de operadores son:  V ,  as´ı: D(0) . I. Tr(T ) = T xx + T yy + T zz . Trasformando como el escalar U II. Las tres componentes antisimetricas Az = 21 (T xy  V ,  as´ı: D(1) . U

·

− T yx ), etc.

×

Estas trasforman al vector

III. Los cinco componentes independientes de el tensor simetrico y sin traza S : S ij = 21 (T ij + T ji ) 31 δ ij Tr(T ). These transform as D (2) .

−

Reglas de selecci´ on para transiciones de dipolo  + 2S )/2m.  Operadores de dipolo como D (1) : operador de dipolo eléctrico es er, de un magneto es e(L (1)



Para el teorema de Wigner-Eckart se sigue: J  M  Aκ JM = 0 excepto D (J ) es la parte de D (1) D(J ) = D(J +1) D(J ) D(|J −1|) . Ello significa que J  J + 1, J, J 1 : J  = J o J  = J 1, excepto J  = J = 0.

⊕



⊕

|

|  ∈{

| − |}

±

⊗

Ecuaci´ on de Land´ e para la divisi´ on an´ omala Zeeman De acuerdo con el modelo de Landé la interacción entre un momento magnético con un campo  en J  porque L  y S  preceden alrededor J  . Esto magn´ etico es determinado por la proyecci´ on de M tambi´ en puede ser entendido de el teorema de Wigner-Eckart: La matriz de elemtnos de todos los  operadores vectoriales muestran una cierta proporcionalidad. Para un operador arbitrario A encontramos:    αjm = αjm A J αjm αjm  J  αjm αjm  A j( j + 1)¯h2



13.7

| |

 

| · |



| |



Aplicaciones de f´ısica de part´ıculas

La f´ısica de un sistema que no cambia después de una transformaci´ on ψ  = eiδ ψ donde δ es una constante. esto es una trasformaci´ on de norma global : la fase de la funci´ on de onda cambia en todas partes en la misma proporción.  φ at igual que E  y B:  trasformaciones de norma Existe cierta libertad al escoger los potenciales A y  y B  (Vea el cap´ıtulo 2 y 10). La solución ψ de la ecuación de de los potenciales no se cambian E Schrödinger con los potenciales trasformados es: ψ = e−iqf (r,t) ψ. Esta es una transformaci´ on de norma local : La fase de la función de onda cambia en cada posición.  φ son tambi´ Mientras que la f´ısica del sistema no cambia si A y en trasformados. Esto es establecido como principio de gu´ıa: el “ derecho de existencia ” del campo electromagn´ etico es permitido en la invariancia de la norma local .

×

Las trasformaciones de norma del campo EM forma un grupo: U(1), unitario de matrices 1 1. La separación de la carga en el exponente es esencial al permitir un campo de norma para todas las part´ıculas, independientemente de su carga. Este concepto es generalizado: part´ıculas tienen una “carga especial” Q. Los elementos de grupo ahora son P R = exp( iQΘ).

−

Otros campos de fuerza, diferentes al electromagnético, pueden también ser entendidos de este modo. La interacción débil junto con la interacci´ on electromagnética también pueden ser descritas por un campo de fuerza que trasforma acorde a U(1) SU(2), y consiste de un foton y tres vectores bosonicos intermediarios . El color de la fuerza es descrito por SU(3), y tiene un campo de norma que existe en los ocho tipos de gluones.

⊗

92


 Θ),  donde Θn son constantes reales y En general el grupo de elementos es descrito por P R = exp( iT T n operadores (generadores), como Q. Las reglas de conmutación son dadas por [T i, T j ] = i cijk T k .

− ·

 k

Los c ijk son las constantes de estructura del grupo. Para SO(3) estas constantes son c ijk = ε ijk , aqu´ı εijk es el tensor antisimtrico completo con ε 123 = +1. Estas constantes pueden ser encontradas con la asistencia del producto de elementos de grupo, porque es cerrado, dando:           iΘ· e T eiΘ ·T e−iΘ·T e−iΘ ·T = e−iΘ ·T . La expansi´ on de Taylor es acondicionada igual Θn Θm - términos resulta en la reglas de conmutación.

G







El grupo SU(2) presenta tres parámetros libres: porque es unitario hay cuatro condiciones reales sobre cuatro parámetros complejos, y el determinante tiene que ser +1, por lo que permanecen tres parámetros libres. Cada matriz unitaria U puede ser escrita como: U = e−iH . Aqui, H es la matriz hermintiana. Para lo que se tiene: det(U ) = e−iTr(H ) . Para cada matriz de SU(2) se tiene Tr( H )=0. Cada hermitiano sin traza 2 2 puede ser escrita como una combinación lineal de 3 matrices de Pauli σ i . Asi, estas matrices son una elección para los  . operadores de SU(2). Podemos escribir: SU(2)= exp( 12 iσ Θ)

×

{

−

· }

En una abstracción, podemos considerar un grupo isomorfico donde únicamente las reglas de conmutación son confederados para los operadores T i : [T 1 , T 2] = iT 3 , etc. En fisica elemental de part´ıculas el T i puede ser interpretado como el operador de isospin . Part´ıculas elementales pueden ser clasificadas en multipletes de isospin, hay representaciones irreduccibles de SU(2). La clasificación es:

≡ la representaron idéntica: e−iT · Θ = 1 ⇒ T i = 0 2. El doblete isospin ≡ la representación de SU(2) en 2 × 2 matrices. 1. El singlete isospin

El grupo SU(3) presenta ocho parámetros libres. (El grupo SU(N ) tiene N 2 1 parámetros libres). El hermitiano, operador es sin traza son tres subgrupos SU(2)en el e1e2 , e1e3 y el e2e3 plano. Ello da nueve matrices, las que no todas son linealmente independientes. Tomando una combinación lineal se obtienen ocho matrices.

−

En la densidad de Lagrange para la fuerza de color se tiene que sustituir

∂ ∂x

D ∂ := → Dx − ∂x

8



T i Aix

i=1

Los términos de tercer y cuarto orden en A muestran que el campo de color interactúa consigo mismo.

Chapter 14

F´ısica nuclear 14.1

Fuerzas nucleares 9 8 7 E 6 (MeV)5 4 3 2 1 0

La masa de n´ ucleo se puede expresar como: M nucl = Z mp + N mn

↑

− E bind/c2

La energ´ıa de atracción por nucleon se observa en la figura al lado derecho. En 56 la parte superior es de 26 Fe, El más estable de los n´ ucleos. Con las constantes a1 a2 a3 a4 a5

= = = = =

15.760 17.810 0.711 23.702 34.000

MeV MeV MeV MeV MeV

0

40

80

120 160 A

→

200

240

y A = Z + N , en el droplet o en el modelo colectivo del n´ ucleo la energ´ıa de atracción E atraccion es dada por: E atraccion Z (Z 1) (N Z )2 2/3 = a 1 A a2 A a3 a4 + a5 A−3/4 2 1/3 c A A Estos términos aparecen debido a:

−

− −

−

−

1. a1 : Energ´ıa de atracción de una fuerza nuclear fuerte, aproximadamente

∼ A.

2. a2 : Corrección de superficie: cerca del superficie del núcleo se presente menor atracción. 3. a3 : Repulsi´ on de Coulomb entre los protones. 4. a4 : Término de Asimetr´ıa: un exceso de protones o neutrones muestra una menor energ´ıa de atracci´ on 5. a5 : Efecto Pair off: núcleos con un número par de protones o neutrones son más estables, porque grupos de dos protones o neutrones tienen una menor energ´ıa. Por lo que se tiene:

−

Z par, N par:  = +1, Z impar, N impar:  = 1. Z par, N impar:  = 0, Z impar, N par:  = 0. El potencial de Yukawa puede ser derivado si la fuerza nuclear es aproximada, considerando como un intercambio de piones virtuales: W 0 r0 r U (r) = exp r r0

− 

−

· ≈ ¯h, E γ = m0c2 y r 0 = c∆t seguidamente: r0 = ¯h/m0c.

Con ∆E ∆t

En el modelo de capas (shell model ) del n´ ucleo se asumen que un nucleon se mueve en un campo promedio de otros nucleones. Luego, existe una contribuci´ on del acoplamientos de los orbitales de 1   spin L S : ∆V ls = 2 (2l +1)¯hω. Asi cada nivel (n, l) es fraccionado en dos , con j = l 12 , donde el estado con j = l + 12 tiene la energ´ıa más peque˜ na. Justamente, esto es lo opuesto para los electrones,

∼ ·

±

93

94


− − ≤ ≤

lo que es una indicación que la interacción L S no es electromagn´ etica. La energ´ıa de oscilador 3 arm´ onico tridimensional es E = (N + 2 )¯hω. N = nx + n y + n z = 2(n 1) + l donde n 1 es el principal n´ umero del oscilador. Porque l m l y ms = 21 ¯h hay 2(2l + 1) sub-estados que existen independientemente de los protones y neutrones. Esto es lo que origina a los llamados n´ umeros m´ agicos : n´ ucleos donde cada estado en el nivel exterior están particularmente llenos y estables. Este es el caso si N o Z 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 .

∈ {

14.2

−

±

≥

}

La forma del n´ ucleo

Una esfera, de radio R = R 0 A1/3 , es la primera aproximación de un n´ ucleo. Aqui, R0 1.4 10−15 m, constante para todos los núcleos. Si el radio nuclear medido incluyendo la distribuci´ on de carga se obtiene R0 1.2 10−15 m. La forma de los n´ ucleos oscilatorios puede describirse por medio de harm´ onicos esféricos:

≈

≈

·

·

 

R = R0 1 +



alm Y lm (θ, ϕ)

lm

l = 0 gives rise to monopole vibrations, density vibrations, which can be applied to the theory of neutron stars. l = 1 gives dipole vibrations, l = 2 cuadrupolo, with a2,0 = β cos γ y a2,±2 = 21 2β sin γ donde β es el factor de deformación y γ el parámetro de forma. El momento multipolares dado por µl = Zerl Y lm (θ, ϕ). La paridad de el momento electrico es Π E = ( 1)l , del momento magnético ΠM = ( 1)l+1 .  L = e L y  M  S = g S e S  . Existen dos contribuciones al momento magnético: M 2mp 2mp

√

−

−

donde gS es la raz´ on de spin-giromagnético. Para los fotones se tiene g S = 5.5855 y para neutrones gS = 3.8263. Las componentes z del momento magnético son dadas por M L,z = µ N ml y M S,z = gS µN mS . El momento magn´ etico resultante es relacionado con el spin nuclear I de acuerdo con   M = g I (e/2mp )I . La componente z es entonces M z = µ N gI mI .

−

14.3

Decaimiento radiactivo

˙ = λN . Esto da para El n´ umero de de núcleos decayendo es proporcional al número de núcleos: N el n´ umero de n´ ucleos N : N (t) = N 0 exp( λt). El tiempo de vida media siguiendo de τ λ = ln(2). El promedio de tiempo de vida de un núcleo es τ = 1/λ. La probabilidad que N núcleos decaen dentro de un intervalo de tiempo es descrito por la distribución de Poisson:

−

−

P (N )dt = N 0

1 2

λN e−λ dt N !



Si un n´ ucleo puede decaer en más de dos estados finales se obtiene: λ = λi . As´ı la fracci´ on de decaimiento en el estado i es λ i / λi . Existen cinco tipos de decaimiento radiactivo natural:



1. decaimiento α: El n´ ucleo emite un n´ ucleo de He2+ . Porque el n´ ucleo tiende a ordenarse en grupos de 2p+2n esto puede considerarse como tonelaje de un núcleo de He2+ a través de una barrera de potencial. La probabilidad P del efecto túnel es P =

amplitud de entrada 1 = e−2G with G = amplitud de salida ¯ h

  2m

[V (r)

− E ]dr

G es denominda como el factor Gamow . 2. decaimiento β . Aqu´ı un protón cambia en un neutron o viceversa: p+ n0 + W+ n0 + e+ + ν e , y n0 p+ + W− p+ + e− + ν e .

→

→

→

→

3. Captura de un electrón electr´ on: aqu´ı, un proton en el núcleo captura un electr´ on (usualmente de la capa K del átomo).

95

Cap´ıtulo 14: F´ ısica nuclear

4. Fisi´ on espont´ anea: los compuestos del núcleo se separan en partes. 5. decaimiento γ : aqu´ı el n´ ucleo emite un foton altamente energético. El decaimiento constanter es dado por 2l P (l) E γ E γ R λ = 10−4l 2 ¯hω (¯ hc) ¯hc

 ∼

∼

donde l es el número cuántico para el momento angular y P el poder radiativo. Usualmente el decaimiento constante de momentos multipolares eléctricos es mayor que los momentos mul2 tipolares magnéticos. La energia de el foton es E γ = E i E f T R , con T R = E γ /2mc2 la energ´ıa de retroceso, que puede usualmente se despreciada. La paridad de la radiación emitida es Πl = Π i Πf . Con I el n´ umero cuántico de momentos angulares del núcleo, L = ¯h I (I + 1),  i I  f  i +  utilizando la siguiente regla de selecci´ on: I ∆l I I f .

− −

·

| − | ≤ ≤ |



|

14.4

Esparcimiento y reacciones nucleares

14.4.1

Modelo cin´ etico

Si un haz con intensidad I alcanza un blanco con densidad n y longitud x ( esparcimiento de Rutherford) el número de esparcimiento R por unidad de tiempo es igual a R = Inxσ. De esto se sigue que la intensidad del haz decrece como dI = Inσdx. Esto resulta en I = I 0 e−nσx = I 0 e−µx .

−

dσ R(θ, ϕ) = 4πnxI dΩ

Porque dR = R(θ, ϕ)dΩ/4π = I nxdσ se tiene:

Si N particulas son esparcidas en un material con una densidad n se tiene: dσ Para colision es de Coulomb obtenemos: dΩ

14.4.2



= C

∆N dσ = n ∆Ω∆x N dΩ

Z 1 Z 2 e2 1 2 4 8πε 0 µv0 sin ( 12 θ)

Modelo mec´ anico cu´ antico para esparcimiento n-p

El estado inicial es un haz de neutrones movi´ endose a lo largo del eje z con función de onda ψinit = eikz y densidad de corriente J init = v ψinit 2 = v . A distancias largas para el punto de esparcimiento se tiene aproximadamente una función de onda esférica ψ scat = f (θ)eikr /r donde f (θ) es la amplitud de esparcimiento . La función de onda total es descrita por

|

|

ψ = ψin + ψscat = eikz + f (θ)

eikr r

El flujo de part´ıculas esparcidas es v ψscat 2 = v f (θ) 2 dΩ. De ésto se obtienen que σ(θ) = f (θ) 2 . La funci´ on de onda de part´ıculas entrantes pueden se expresadas como una suma de funciones de onda de momentos angulares: ψinit = eikz = ψl

|

|

|

|

|



|

l

El par´ ametro de impacto se relación con el momento angular con L = bp = b¯hk, as´ı bk muy peque˜ na energ´ıa solamente part´ıculas con l = 0 son dispersadas, asi ψ = ψ 0 +



ψl and ψ0 =

l>0

sin(kr) kr

Si el potencial es aproximadamente rectangular se obtiene: ψ0 = C sin2 (δ 0 ) La sección efectiva es entonces σ(θ) = so σ = k2



sin(kr + δ 0 ) kr

σ(θ)dΩ =

4π sin2 (δ 0 ) k2

≈ l. A una

96


¯h2 k2 /2m A una energ´ıa muy pequeña se obtiene: sin (δ 0 ) = W 0 + W 2

con W 0 la profundidad de una barrera de potencial. A altas energ´ıa se obtiene: σ =

14.4.3

4π k2



sin2 (δ l )

l

Conservaci´ on de la energ´ıa y momentum en reacciones nucleares

Si una part´ıcula P 1 colisiona con una part´ıcula P 2 que es en reposo w.r.t. el sistema del laboratorio y las otras part´ıculas son creadas, as´ı

→

P 1 + P 2



P k

k>2

La energia total Q ganada o requerida es descrita por Q = (m1 + m2

−



mk )c2 .

k>2

La energ´ıa cinética m´ınima T de P 1 en el sistema del laboratorio para iniciar la reacción es T =

m1 + m2 + Q 2m2

−



mk

Si Q < 0 existe una energ´ıa umbral.

14.5

Dosimetr´ıa de radiaci´ on

Cantidades radiométricas determinan la magnitud de la fuente de radiación. Cantidades radiométricas est´ an relacionadas a la transferencia de energ´ıa entre la radiación y la materia. Los parámetros que describen la relacion entre entre estos son denominados par´ ametros de interaccion . La intensidad de un haz de particulas de una sustancia decrese de acuerdo con I (s) = I 0 exp( µs). La desaceleración de una part´ıcula pesada es descrita por la ecuaci´ on de Bethe-Bloch :

−

dE ds

2

∼ vq 2

La fluention es descrita por Φ = dN/dA. El flujo es dado por φ = dΦ/dt. La perdida de energia es definida por Ψ = dW/dA, y la densidad de flujo de energ´ıa: ψ = dΨ/dt. El de coeficiente de absorción es dado por µ = (dN/N )/dx. El coeficiente de absorci´ on de masa es µ/. La dosis de radiaci´ on X es la cantidad de carga producida por la radiación por unidad de masa, con unidades C/kg. Una unidad vieja es el R¨ ontgen: 1Ro= 2.58 10−4 C/kg. Con el coeficiente de energ´ıa-absorción µ E obtniendo: dQ eµE X = = Ψ dm W

·

donde W es la energ´ıa requerida para desunir un carga elemental. La dosis absorbida D es dada por D = dE abs /dm, con unidades Gy=J/kg. Una vieja unida es el ˙ Puede ser derivado que rad: 1 rad=0.01 Gy. El tiempo de dosis es definido como D. D =

µE Ψ 

El Kerma K es una cantidad de energ´ıa cinética producida por part´ıculas secundarias que son producidas por la unidad de masa de un objeto irradiado. El equivalente de dosis H es un peso promedio de la dosis absorbida por el tipo de radiación, donde por cada tipo de radiación los efectos en material biológico se emplea un factor de peso. Estos factores de peso son llamados factores de cualidad. Su unidad es Sv. H = QD. Si la absorci´ o n es no es distribuida equitativamente, los factores de peso w por órgano se necesitan emplear: H = wk H k . Para algunos tipos de radiación tenemos:



97

Cap´ıtulo 14: F´ ısica nuclear

Tipo de radiaci´ on Radiaci´ on Röntgen, gamma β , electrones, mesones Neutrones térmicos Neutrones rápidos Protones α, productos de fisión

Q 1 1 3 to 5 10 to 20 10 20

98


Chapter 15

Teor´ıa de campo cu´ antico & f´ısica de part´ıculas 15.1

Operadores de creaci´ on y aniquilaci´ on

Un estado con muchas part´ıculas puede ser descrito por un conjunto de números: n1 n2 n3 . Donde el estado base está dado por 000 . Esta es una completa descripción porque las part´ıculas son indistinguibles. Los estados ortonormales son:

|

···

| ···

∞

n1 n2 n3

n1n2n3 · · ·|

··· =



δ ni ni 

i=1

El vector de estado dependiente del tiempo es Ψ(t) =



cn

1

n2 ··· (t)

n1 n2 ···

|n1 n2 ···

Los coeficientes c pueden ser interpredados del siguiente modo: cn n ··· 2 es la probabilidad para encontrar n1 part´ıculas con momento  k1 , n2 part´ıculas con momento  k2 , etc., y Ψ(t) Ψ(t) = 2 cni (t) = 1. La expansi´ on de los estados en el tiempo es descrita por la ecuacion de Schrödinger

|

|

1

2

|



|

i

|



d Ψ(t) = H Ψ(t) dt

|



|



donde H = H 0 + H int. H 0 es el hamiltoniano para part´ıculas libres donde cni (t) 2 permanece constante, H int es la interación del hamiltoniano y puede aumentar o disminuir en c 2 a costa de los otros.

|

|

Todos los operadores que pueden cambiar el número de posición pueden ser expandidos en operadores a y a † (a daga). a es el operador de aniquilaci´ on y a † el operador de craci´ on , además: ni |n1 n2 · · · ni − 1 ··· ·· · ni ··· = √ √ ·· · ni ··· = ni + 1 |n1n2 ·· · ni + 1 ··· Como los estados están normalizados, a |0 = 0 y a( ki )a† ( ki )|ni  = n i |ni. As´ı, aa † es el operador de a( ki ) n1 n2 a† ( ki ) n1 n2

| |

posicion. Se obtienen las siguientes reglas de conmutación: [a( ki ), a( kj )] = 0 ,

[a† ( ki ), a† ( kj )] = 0 ,

De tal modo, para part´ıculas sin esp´ın se tiene: H 0 =

 i

15.2

[a( ki ), a† ( kj )] = δ ij

a† ( ki )a( ki )¯hωki

Campos clásicos y cuánticos

Comenzando con un campo real Φ α (x) (campos complejos pueden ser separados en una parte real y una parte imaginaria), la densidad de Lagrange es una función de la posición x = (x, ict) a través de los campos: = (Φα (x), ∂ ν Φα (x)). El lagrangiano es dado por L = (x)d3 x. Utilizando el

L L

L

99

 L

100


 L

principio variacional δI (Ω) = 0 y con la integral I (Ω) = (Φα , ∂ ν Φα )d4 x la ecuación del campo puede ser derivada: ∂ ∂ ∂ =0 α ∂ Φ ∂x ν ∂ (∂ ν Φα )

L −

L

El campo conjugado es análogo al momento en mecánica clásica; luego, se define como: Πα (x) =

L

∂ ∂ ˙Φα

Con esto, la densidad del hamiltoniano se convierte en

H(x) = Πα ˙Φα − L(x).

La cuantización de un campo clásico es análogo a la cuantización mecánica de una masa puntual: Las funciones de campo son consideradas como operadores obedeciendo ciertas reglas de conmutación: [Φα ( x), Φβ (x  )] = 0 ,

15.3

[Πα (x), Πβ (x  )] = 0 ,

[Φα ( x), Πβ (x  )] = iδ αβ (x

− x  )

El marco de interacci´ on

Algunas formulaciones equivalentes de la mecánica cuántica son posibles: 1. El marco de Schrödinger: estados dependientes del tiempo, operadores independientes del tiempo. 2. marco de Heisenberg: estados independientes del tiempo, operadores dependientes del tiempo. 3. marco de interacci´ on: estados dependientes del tiempo, operadores dependientes del tiempo. El marco de interacción puede ser obtenido del marco de Schrödinger por medio de una transformación unitaria: Φ(t) = eiH ΦS (t) and O(t) = e iH OS e−iH El ´ındice

S

|

|

S 0



S 0

denota el punto de vista de Schrödinger. Del que obtenemos: i

15.4

S 0



d Φ(t) = H int(t) Φ(t) dt

|



|



y i

d O(t) = [O(t), H 0 ] dt

Campo escalar real en el marco de interacci´ on

Es sencillo de encontrar que, con M := m 20 c2 /¯h2 , tenemos: ∂ ∂ Φ(x) = Π(x) and Π(x) = ( ∂t ∂t

∇2 − M 2)Φ(x) Del que obtenemos que Φ obedece la ecuación de Klein-Gordon ( − M 2 )Φ = 0. Con la definici´ on 2 2 2 2   k0 = k + M := ω k y la notación k · x − ik0 t := kx la solución general de esta ecuación es: 1 1 i 1  ikx + a† ( √ Φ(x) = √ a( k )eikx + a† ( k )e−ikx , Π(x) = √ k )e−ikx 2 ωk −a(k )e 2ω V V k 

   k

  





 k

El campo de operaciones contenido en un volumen V , que es empleado como factor de normalización. Usualmente lo podemos tomar en el l´ımite V .

→∞

En general se tiene que el término con e−ikx , que es la parte de la frecuencia positiva, tambien es la parte de creacion. En contraste, la parte de la frecuencia negativa es la parte de aniquilacion. El coefienciente debe ser conjugado con el hermitiano porque Φ es hermitiano también. Dado que Φ tiene sólo una componente que puede ser interpretada como un campo que describe una part´ıcula con esp´ın cero. Luego, por las reglas de conmutación obtenemos [Φ(x), Φ(x )] = i∆(x x ) con 1 ∆(y) = (2π)3



sin(ky) 3 d k ωk

−

Cap´ ıtulo 15:

101

Teor´ ıa de campo cu´ antico & f´ ısica de part´ ıculas

∆(y) es una función impar que es invariante bajo la trasformación de Lorentz apropiada (no es el ´ reflejo). Esto es consistente con el resultado encontrado previamente [Φ(x, t, Φ(x  , t)] = 0. En general, obtenemos que ∆(y) = 0 en el exterior del cono de luz. Asi las ecuaciones obedecen el postulado de localidad. La densidad de Lagrange es descrita por: (Φ, ∂ ν Φ) = 21 (∂ ν Φ∂ ν Φ + m2 Φ2 ). El operador de energ´ıa es: H = (x)d3 x = ¯hωk a† ( k )a( k)

L

−

 H

15.5

  k

Part´ıculas cargadas de esp´ın-0, conservaci´ on de la carga

L = −(∂ ν Φ∂ ν Φ∗ + M 2ΦΦ∗). El teorema de Noether conecta una simetria continua de L y una ley de conservaci´ on aditiva. α  α  α α Suponiendo que L ((Φ ) , ∂ ν (Φ ) ) = L (Φ , ∂ ν Φ ) y existe una transformación continua entre Φ α α α α α La densidad del lagrangiano de las particulas con esp´ın-0 es:

yΦ

como Φ

= Φ + f (Φ). Se obtiene ∂ ∂x ν



L

∂ f α ∂ (∂ ν Φα )



=0

⇒

Esta es una ecuación de continuidad una ley de conservación. La cantidad conservada depende de la simetr´ıa. La densidad del Lagrangiano anterior es invariante para el cambio de fase Φ Φeiθ : una norma global de trasformación. La cantidad conservada es la densiad de corriente J µ (x) = ie(Φ∂ µ Φ∗ Φ∗ ∂ µ Φ). Debido a que esta cantidad es cero para campos reales, un campo complejo debe describir part´ıculas cargadas. Cuando este campo es cauntizado el campo de operadores es dado por

−

→

−

  √ √

1 Φ(x) = V

 k

1 a( k )eikx + b† ( k )e−ikx 2ωk



†

, Φ (x) =

  √ √ 1 V

1 a† ( k )eikx + b( k )e−ikx 2ωk

 k



Donde el operador de energ´ıa es decrito como: H =

 

¯hωk a† ( k )a( k ) + b† ( k )b( k)

 k



y el operador de carga es: Q(t) =

 − i

J 4 (x)d3 x

⇒ Q =



e a† ( k )a( k)

 k



− b†( k )b( k )

Del cual se llega a que a† a := N + ( k ) es un operador del número de ocupación para part´ıculas con †  una carga positiva y b b := N − (k ) es el operador del número de ocupación para part´ıculas con carga negativa.

15.6

Funciones de campo para part´ıculas de esp´ın- 12

El esp´ın es definido por el comportamiento de las soluciones de ψ de la ecuació n de Dirac. Un campo escalar Φ tiene la propiedad de que si obedece la ecuación de Klein-Gordon, el campo rotado ˜ Φ(x) := Φ(Λ−1 x) también obedece esta ecuación. Λ denota las rotaciones cuadri-dimensionales: las trasformaciones de Lorentz propias. Estas pueden ser escritas como:  ˜ Φ(x) = Φ(x)e−in·L con Lµν =

Para µ

−



∂ i¯h xµ ∂x ν

−

∂ xν ∂x µ



≤ 3, ν ≤ 3 estas son rotaciones, para ν = 4, µ = 4 estas son trasformaciones de Lorentz.

102


˜ Un campo rotado ψ˜ obedece a la ecuación de Dirac si la siguiente condición se presenta: ψ(x) = −1 −1 D(Λ)ψ(Λ x). Esto resulta en la condición D γ λ D = Λλµγ µ .  Encontramos: D = ein·S con S µν = i 21 ¯hγ µ γ ν . Entonces:

−

˜ ψ(x) = e −i(S +L) ψ(x) = e−iJ ψ(x) Entonces las soluciones a la ecuación de Dirac están dadas por: p· x±Et) ψ(x) = u r± ( p )e−i(

Aqu´ı, r indica la dirección del esp´ın, y es el signo de la energ´ıa. Con la notación v r ( p ) = u r− ( p ) y u r ( p ) = u r+ ( p ) podemos escribir para el producto interno de estos espinores:

±



ur+( p )ur+ ( p ) =

E δ rr M

−





, ur− ( p )ur− ( p ) =

E δ rr M





, ur+ ( p )ur− ( p ) = 0

Porque del factor E /M no es una invariante relativista. Un producto interno que es invariante bajo transformaciones de Lorentz está definido por ab := a † γ 4 b, donde a := a † γ 4 es una fila de espinores. De donde se obtiene: 

ur ( p )ur ( p ) = δ rr





, v r ( p )v r ( p ) =



p )v r ( p ) = 0 −δ rr , ur ( Combinaciones del tipo aa resultan en una matriz de 4 × 4: 2 2 iγ λ pλ + M − −iγ λ pλ − M r r u ( p )u ( p ) = , v r ( p )v r ( p ) = 



2M

r=1



2M

r=1

La densidad lagrangiana que resulta de la ecuación de Dirac y contando con la energ´ıa de normalizaci´ on correcta es: ∂ (x) = ψ(x) γ µ + M ψ(x) ∂x µ

L

−

y la densidad de corriente es J µ (x) =

15.7





−ieψγ µψ.

Cuantizaci´ on de campos de spin- 12

La soluci´ on general para los operadores de campo es, para este caso: ψ(x) = y ψ(x) =

  √  



  √  



M V

M V

p 

p 

1 E

1 E

cr ( p )ur ( p )eipx + d†r ( p )v r ( p )e−ipx

r

c†r ( p )ur ( p )e−ipx + dr ( p )v r ( p )eipx

r

Aqu´ı, c† y c son los operadores de creación y aniquilaci´ on, respectivamente, los operadores para la creaci´ on de electrones d † y d de aniquilaci´ on de positrones. El operador de energ´ıa está dado por: 2

H =

 

c†r ( p )cr ( p )

E p

p 

r=1

p )d†r ( p ) − dr (



Para prevenir que la energ´ıa de los positrones sea negativa, los op eradores deben ob edecer las reglas de anti-conmutación, en lugar de las reglas de conmutación: [cr ( p ), c†r ( p )]+ = [dr ( p ), d†r ( p )]+ = δ rr δ pp , para todos los anti comutadores que son 0. 







Cap´ ıtulo 15:

103


Los operadores de campo obedecen [ψα (x), ψβ (x )] = 0 , [ψα (x), ψβ (x )] = 0 , [ψα (x), ψβ (x )]+ =





−iS αβ (x − x )

∂ con S (x) = γ λ M ∆(x) ∂x λ Las reglas de anti-conmutación proporcionan, además la definici´ on de la energ´ıa positiva, también el principio de exclusión de Pauli y la estad´ıstica de Fermi-Dirac porque c†r ( p )c†r ( p ) = c†r ( p )c†r ( p ), † 2 obteniéndose: cr ( p) = 0. Con esto se afirma la imposibilidad de la creación de dos electrones con el mismo momento y esp´ın. Este es el principio de exclusión. Otro modo de observar este hecho es que N r+ ( p ) 2 = N r+ ( p ): los operadores de ocupación tienen solamente valores propios de 0 y 1.

{

{

−

}

}

Para evitar las contribuciones del vac´ıo a la energ´ıa y la carga, se introduce el producto normal . La expresi´ on para la densidad de corriente ahora es J µ = ieN (ψγ µ ψ). Este producto se obtiene de las siguientes maneras:

−

• Expandiendo todos los campos de los operadores de creación y aniquilación, • Manteniendo todos los términos que no tienen operadores de aniquilación, o que están del lado derecho de los operadores de creación,

• En todos los demás términos se debe intercambiar los factores de modo que que los operadores de aniquilaci´ on estén del lado derecho. Por un intercambio de dos operadores de fermiones y agregando un signo negativo, no por intercambio de dos operadores de bosones. Asumiendo en adelante que todos los comuntadores son cero.

15.8

Cuantizaci´ on del campo electromagn´ etico

Comenzando con la densidad de Lagrange

ν ∂A ν L = − 12 ∂A ∂x µ ∂x µ

se sigue que para los operadores de campo A(x): A(x) =

√ 1V

4

 √    k

1 2ωk

am ( k )m ( k )eikx + a† ( k )m ( k )∗ e−ikx

m=1



Los operadores obedecen [am ( k ), a†m ( k )] = δ mm δ kk . Todos los dem´ as comuntadores son 0. m est´ a dado por la dirección de polarizacion del foton: m = 1, 2 dando polarizacion trasversal, m = 3 polarización longitudinal y m = 4 fotones polarizados temporalmente. Obteniéndose: 



[Aµ (x), Aν (x )] = iδ µν D(x

− x)



|

with D(y) = ∆(y) m=0

A pesar del hecho de que A4 = iV es imaginario en el caso clásico, A4 es todav´ıa definido como hermitiano, porque de otro modo el signo de la energ´ıa es incorrecto. Al cambiar la definición del producto interno en la configuración del espacio, los valores de expectación para A1,2,3 (x) IR y para A4 (x) son imaginarios.

∈

Si los potenciales satisfacen la condición de norma de Lorentz ∂ µ Aµ = 0 los operadores E y B derivados de estos potenciales cumplirán con las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, se presentan problemas con las reglas de conmutación. Ahora, se demanda solamente a los estados permitidos, por lo que se tiene ∂A + µ Φ =0 ∂x µ ∂A µ Esto resulta en: = 0. ∂x µ

| 

 

De esto resulta que (a3 ( k ) a4 ( k )) Φ = 0. Con una transformación de norma local se puede obtener   N 3 (k ) = 0 y N 4 (k ) = 0. Sin embargo, esto solamente aplica a un campo EM libre, para estados intermedios en interacciones longitudinales, pueden existir fonones longitudinales y temporales. Estos fonones son responsables por el potencial de Coulomb estacionario.

−

| 

104


15.9

Interacci´ on de campos y la matriz S

La matriz de dispersión S (scattering) describe una realcion con el estado inicial y final de una interaccion: Φ( ) = S Φ( ) . Si se integra la ecuación de Schrödinger:

| ∞ 

| −∞ 

t

 −∞  −

|Φ(t) = |Φ(

)

i

|



H int(t1 ) Φ(t1 ) dt1

−∞

Y se aplica la teoria de pertubaciones, se puede encontrar que: ∞

 −  ·· ·  {H

( i)n S = n! n=0

T

∞

int (x1 )

4

 ≡

4

· · ·Hint(xn)} d x1 ·· · d xn

S (n)

n=0

Aqui, el operador T significa un producto ordenado temporal : los terminos en tal clase de productos deben ser ordenados en incrementos de tiempo de derecha a izquierda de modo que el t´ ermino mas novel actué primero . La matriz S es descrita por: S ij = Φi S Φj = Φi Φ( ) .

 | |   | ∞

La densidad Hamiltoniana de interacción para las interaciones entre el campo electromagnetico y el campo electrón positron es: int(x) = J µ (x)Aµ (x) = ieN (ψγ µ ψAµ )

H − − Cuando es expandido como: H int = ieN (ψ + + ψ− )γ µ (ψ+ + ψ − )(A+ µ + Aµ )





ocho términos aparecen. Cada término corresponde a un posible proceso. El término ieψ + γ µ ψ+ A− µ + − + actua sobre Φ da transiciones donde Aµ crea un foton, ψ aniquila un electrón y ψ aniquila ´ un positrón.Unicamente términos con el número correcto de part´ıculas en el estado inicial y final contribuyen a los elementos de la matriz Φi S Φj . Posteriores factores en int pueden crear y posteriormente aniquilar part´ıculas: las part´ıculas virtuales .

| 

 | | 

H

La expresión para S (n) contiene productos ordenados temporalmente de productos normales. Esto puede ser escrito como una suma de productos normales. Los operadores aparentes describen los cambios m´ınimos necesarios para cambiar el estado inicial en el estado final. Los efectos de las part´ıculas virtuales son descritos por las funciones de (anti)conmutaci´ on. Algunos productos ordenados por tiempo son:

{

}

= N Φ(x)Φ(y) + 21 ∆F (x

− y) 1 F − y) T ψα (x)ψβ (y) = N ψα (x)ψβ (y) 2 S αβ (x F T {Aµ (x)Aν (y)} = N {Aµ (x)Aν (y)} + 21 δ µν Dµν (x − y) Here, S F (x) = (γ µ ∂ µ − M )∆F (x), D F (x) = ∆F (x)|m=0 and T Φ(x)Φ(y)

∆F (x) =

{

}



    

−

1 (2π)3

eikx 3 d k ω k

if x 0 > 0

1 (2π)3

e−ikx 3 d k ω k

if x 0 < 0

El término 21 ∆F (x y) es llamado la contracció n de Φ(x) y Φ(y), y es el valor de expectación de los productos ordenados en el tiempo en estado base. El teorema de Wick da una expresión para los productos ordenados en el tiempo de un número arbitrario de operadores de campo. La representación gráfica de estos procesos son llamados diagramas de Feynman . En la representación x cada diagrama describe un numero de procesos. Las funciones de contracción pueden también ser escritas como:

−

F

∆ (x) = lim

−2i

→0 (2π)4



eikx k 2 + m2

4

− i

d k

F

and S (x) = lim

−2i

→0 (2π)4



−

iγ µ pµ M 4 eipx 2 d p p + M 2 i

−

En la expresión para S (2) esto lleva a términos como δ ( p +k p k  ), lo cual significa que la energ´ıa y el momento se conservan. Sin embargo, las part´ıculas virtuales no obedecen la relación entre energ´ıa y momento.

− −

Cap´ ıtulo ıtul o 15: 15 :

15.10 15.10

105

Teor´ Teor´ ıa ıa de d e campo cu´ c u´ antico ant ico & f´ ısica ısi ca de part´ ıcula ıc ulass

Diver Divergen gencia ciass y reno renorm rmail ailiza izaci´ ci´ on on

Sucede que órdenes ordenes más as altos contribuyen infinitamente infinitamente a los términos. erminos. Esto es porque sólo la suma p + p + k del cuadrimoment cuadrimomentoo de las part´ part´ıculas virtuales virtuales es fija. Una integraci´ integraci´ on o n sobre uno de ellos se vuelve . En la repres represen entac taci´ i´ on-x on-x esto puede entenderse porque el producto de dos funciones que contienen singularidades tipo δ δ no est´ a bien definido. Esto se resuelve resuelve descontando descontando todos los diagramas divergentes en una renormalización on de e y M . M . Se asume asume que un elect electr´ r´ on, on, si no hay un campo camp o elec e lectrom tromagn´ agnético, etic o, tendr´ te ndr´ıa ıa una u na masa M 0 y una carga e carga e 0, distintas a la masa M masa M y y a la carga e observadas. En la densidad de Hamilton y Lagrange del campo libre electrón-positrón, on, se tiene M tiene M 0 . Entonces se obtiene, con M = M 0 + ∆M ∆ M ::

∞

)(γ µ ∂ µ + M 0 )ψ(x) = −ψ(x)(γ )(γ µ ∂ µ + M ) M )ψ (x) + ∆M ∆ M ψ (x)ψ(x) Le−p(x) = −ψ(x)(γ y Hint = ieN = ieN ((ψγ µ ψAµ ) − i∆eN ( eN (ψγ µ ψAµ ).

15.1 15.11 1

Clas Clasifi ifica caci ci´ on o ń elemental eleme ntal de part´ part´ıculas ıcul as

Las part´ part´ıculas elementales pueden clasificarse de la siguiente manera: 1. Hadrones: Formados por quarks, pueden agruparse como: I. Bariones: Formados por tres quarks o por tres antiquarks. II. Mesones: Formados por un quark y un antiquark. 2. Leptones: e± , µ ± , τ ± , ν e , ν µ , ν τ τ , ν e , ν µ , ν τ . 3. Camp Cam p o cu´ c u´ antic ant ico: o: γ , W± , Z0 , gluones, gluones, gravitones gravitones (De existir). existir). En el siguiente sigui ente cuadro cuad ro se muestra un resumen de part pa rt´´ıculas y antipart antipa rt´´ıculas: ıculas : Part´ıcula ıcul a u d s c b t e− µ− τ − ν e ν µ ν τ τ γ gluon W+ Z graviton

esp´ın ın (¯h) B 1/2 1/3 1/2 1/3 1/2 1/3 1/ 2 1 /3 1/2 1/3 1 / 2 1/ 3 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0

L 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

T 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T3 1/ 1 /2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

S 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

C 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B∗ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−

carga (e (e) +2 /3 1/3 1/3 +2 /3 1/3 +2 /3 1 1 1 0 0 0 0 0 +1 0 0

− − −

− − −

(MeV) m0 (MeV) 5 9 17 5 1350 4500 173000 0.511 105.658 17 77 . 1 0(?) 0(?) 0(?) 0 0 80 220 91 18 7 0

antip antipart art.. u d s c b t e+ µ+ τ + ν e ν µ ν τ τ γ gluon W− Z graviton

Aqu´ı, ı, B es e s el e l número umero bariónico onico y L es el número umero letptónico. onico. Sabemos Sabemos que hay tres diferente diferentess números umeros lept´ onicos, onicos, uno para e, µ e, µ y τ , τ , que se conservan cada uno. T es el isoesp iso esp´´ın, donde T 3 es la proyección on del isoesp´ isoesp´ın en el tercer tercer eje, C es el encanto encanto (charmness), (charmness), S es la extra neza (strangeness) (strangeness) y B ∗ es el fondo (bottomness). (b ottomness). Las antipart´ antipart´ıculas tienen números umeros cuanticos con el signo opuesto excepto pra el isoesp isoe sp´´ın T. La composici´ compos ición on de (anti)quarks de los hadrones es determinada por el siguiente cuadro, junto con la masa en MeV en su estado base:

106


π0 π+ π− K0 K0 K+ K− D+ D− D0 D0 F+ F−

1 2

√ 2(uu+dd) ud du sd ds us su cd dc cu uc cs sc

134.9764 139.56995 139.56995 497.672 497.672 493.677 493.677 1869.4 1869.4 1864.6 1864.6 1969.0 1969.0

J/Ψ Υ p+ p− n0 n0 Λ Λ Σ+ Σ− Σ0 Σ0 Σ−

cc bb uud uud udd udd uds uds uus uus uds uds dds

3096.8 9460.37 938.27231 938.27231 939.56563 939.56563 11 1115.684 1115.684 1189.37 1189.37 1192.55 1192.55 1197.436

Σ+ Ξ0 0 Ξ Ξ− Ξ+ Ω− Ω+ Λc+ ∆2− ∆2+ ∆+ ∆0 ∆−

dds uss uss dss dss sss sss udc uuu uuu uud udd ddd

1197 1197..436 436 131 3144.9 131 3144.9 132 3211.32 132 3211.32 167 6722.45 167 6722.45 228 2855.1 123 2322.0 123 2322.0 123 2322.0 123 2322.0 123 2322.0

Dos estados de esp´ esp´ın pueden existir en cada quark. As´ As´ı, los mesones y bosones tienen esp´ esp´ın 0 o 1 en el estado base, mientras que los bariones son fermiones con esp´ esp´ın 21 o 23 . Exsiten Exsiten estados exitados exitados con 1 alta L alta L intern interna. a. Los neutrinos neutrinos tienen una helicidad de 2 mientras que los antineutrions tiene solo un 1 posible valor,+ 2 .

−

Los n´ umeros umeros cuánticos anticos están an regidos por las leyes de conservación, on, éstas estas pueden derivarse desde las simetr´ simetr´ıas en la densidad de Lagrange: La conservación on de leyes aditivvas desencadena las simetr´ simetr´ıas continuas, pero las leyes conservativas multiplicativas multiplicativas generan las l as simetr´ simetr´ıas discretas. Las Leyes Las Leyes de conservaci´ on geométrica et ricas s son son invariantes ante las trasformaciones de Lorentz y la operacion CPT. stas son: 1. Masa/energi Masa/energia, a, porque las leyes leyes de la naturaleza naturaleza son invarian invariantes tes para las traslacione traslacioness en el tiempo. 2. Momento, Momento, porque las leyes leyes de la naturaleza son invarian invariantes tes ante para traslaciones traslaciones en el espacio. espacio. 3. Mome Momento nto angular, angular, porque las leyes leyes de la naturaleza naturaleza son invariant invariantes es ante rotaciones. rotaciones. Las Leyes Las Leyes de conservacion dinamicas son invarian invariantes tes ante la operacion CPT. Las que son: 1. La carga electrica, electrica, porque las ecuaciones ecuaciones de Maxwell Maxwell son invarian invariantes tes ante trasformacione trasformacioness de norma. 2. La carga de color se conserva. conserva. 3. El Isoesp Iso esp´´ın, porque QCD es invariante invariante ante rotaciones en el espacio T. 4. El numero de bariones y leptones se conserva conserva pero no ante una simetria SU(5) SU(5) de las leyes de la naturaleza. 5. Algunos Algunos tipos de quarks no se conserv conservan an ante la interacci´ interacci´ on on de color. 6. Paridad se conserva excepto para interacciones débiles. ebiles. Las part´ part´ıculas elementales pueden ser clasificadas en tres familias: lept lepton ones es

quar quarks ks

anti antile lept pton ones es

anti antiqu quar arks ks

+

1st generacion

e− ν e

d u

e ν e

d u

2nd generacion

µ− ν µ

s c

µ+ ν µ

s c

3rd generacion

τ − ν τ τ

b t

τ + ν τ τ

b t

Los quarks existen en tres colores, pero como los quarks están confinados an confinados estos estos colores no pueden ser detectados detectados directame directamente. nte. La fuerza de color no decrece decrece con la distancia. La energia potencial potencial puede ser lo suficientemente suficientemente intensa para crear un par quark-antiquark cuando ésta esta trata de separar un (anti)quark de un hadrón. on. Lo que resulta en dos hadrones y no en un quark libre.

Cap´ ıtulo ıtul o 15: 15 :

15.1 15.12 2

107

Teor´ Teor´ ıa ıa de d e campo cu´ c u´ antico ant ico & f´ ısica ısi ca de part´ ıcula ıc ulass

Viol Violac aci´ i´ on on P y violaci´ viol ación on CP

Se encontró que la interacción on débil ebil viola la simetr´ıa-P, ıa-P, incluso inclu so la simetr´ıa-CP ıa-CP no se conserva. conser va. Algunos Alguno s procesos que violan viol an la l a simetr´ simetr´ıa-P pero conservan la combinaci´ on on CP son: 1. Decaimien Decaimientoto-µ µ: µ− hacen los diestros.

→ e− + ν µ + ν e. Los electrones zurdos aparecen más as de 1000× de lo que lo

2. Decaimien Decaimientoto-β β de esp es p´ın-pol ın- polari arizad zadoo 60 Co: 60 Co 60 Ni + e− + ν e . Se crean más as electrones con esp´ esp´ın paralel p aralelo o al Co que q ue con c on esp es p´ın antiparal a ntiparalelo: elo: (parallel (parall el antiparallel)/(total)=20%.

→

−

3. No hay conexión on con el neutrino: el decaimiento de la part´ part´ıcula Λ a través es de: Λ 0 0 Λ n + π también en tiene estas propiedades. propie dades.

→

→ p+ + π− y

Se encontró que la simetr´ simetr´ıa-CP es violada viola da por el decaimiento de Kaones neutros. stos son los estados m´ as as bajos posible posibless con un quark quark s, de manera manera que pueden pueden decaer decaer sólo olo bajo la interacción on débil eb il 0 0 (d´ ebilmente). ebilmente). Se mantiene lo siguiente: C K = η K donde η es un factor de fase. Adem´ Además as se 0 0 0 0 mantiene P K = K porque K y K tienen una paridad intr´ intr´ınseca de 1. De lo anter anterior ior se sigue que K0 y K0 no son valores propios de CP: CP K0 = K0 . Las combinaciones combinaciones lineales lineales

| 

|  |  −|  − |  |  √ √ |K01 := 21 2(|K0 + |K0) y |K02 := 21 2(|K0  − |K0) son valores propios de CP: CP|K01  = +|K01  y CP |K02  = −|K02. Una base base de de K01 y K02 es práctica actica si se 0 describen interacciones débiles. ebiles. Para interacciones de color es práctica actica una base de K y K0 porque entonces el número umero u− u es constan constante. te. El postulado postulado de expans expansi´ i´ on debe usarse para decaimientos on débil eb iles es:: |K0 = 21 (K01|K0 + K02|K0) La probabilidad de encontrar un estado final con CP= −1 es 21 | K02 |K0 |2 , la probab probabilid ilidad ad del 1 0 0 2 decaimiento CP=+1 es 2 | K1 |K | .

 

 

La relación on entre los valores propios de masa de los quarks (inacentuados) y los campos que surgen en las la s corrientes cor rientes débiles(acentuadas ebiles (acentuadas)) es ( u , c , t ) = (u,c,t), u,c,t), y:

        d s b

=

1 0 0 1 0 0

0 cos θ2 sin θ2

0 sin θ2 cos θ2

0 cos θ3 sin θ3

0 sin θ3 cos θ3

− −

    −     1 0 0 0 1 0 0 0 eiδ

cos θ1 sin θ1 0

d s b

sin θ1 cos θ1 0

0 0 1

 

el ´ angulo de Cabibbo: Cabibbo : sin(θ sin(θC ) ≈ 0.23 ± 0.01. ≡ θC es el ´

θ1

15.13

El modelo modelo est´ est´ andar andar

cuando se tiene que hacer la densidad de Lagrange que describe un campo invariante para transformaciones locales de norma de cierto grupo, se realiza la transformacion ∂ ∂x µ

→ DxDµ = ∂x∂ µ − i h¯g Lk Akµ

Aqu´ Aq u´ı los lo s L k son los generadores generadores del grupo de norma norma (las “cargas”) y los A kµ son los campos de norma. g es la constante constante de acoplamient acoplamiento o apropiada. La densidad de Lagrange para para un campo escalar es ahora: a = 21 (Dµ Φ∗ Dµ Φ + M 2 Φ∗ Φ) 41 F µν F aµν

L −

−

a a y los l os tensores de campo están an dados por: F µν = ∂ µ Aν

a m − ∂ ν ν Aµa + gclm Aµl Aν .

108


15.13.1

La teor´ıa electrod´ ebil

La interacción electrodébil surge de la necesidad de mantener la densidad de Lagrange invariante bajo transformaciones locales de norma del grupo SU(2) U(1). Debido a que la interacción débil no conserva la paridad, los estados de esp´ın zurdos y diestros se tratan de manera diferente. Si la quinta matriz de Dirac se define como:

⊗

γ 5 := γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 =

 − 

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

 

0 1 0 0

las soluciones zurdas y diestras de la ecuación de Dirac para la del neutrino est´ an dadas por: ψL = 21 (1 + γ 5 )ψ

y ψR = 21 (1

− γ 5)ψ

Sucede que las soluciones del neutrino siempre son zurdas mientras que las del antineutrino son siempre diestras. La hipercarga Y , para quarks dada por Y = B + S + C + B∗ + T , está definida por: Q = 21 Y + T 3

⊗

as´ı que [Y, T k ] = 0. El grupo U(1)Y SU(2)T se toma como asimétrico para la interacción débil porque los generadores de este grupo conmutan. Los multipletes se clasifican de la siguiente manera: e− R

ν eL e− L

uL dL

uR

dR

T

0

1 2

1 2

0

0

T 3

0

− 21

0

0

Y

−2

4 3

− 23

1 2

− 21 −1

1 2

1 3

 µ (x) Ahora, un campo Bµ (x) está conectado con el grupo de norma U(1) y 3 campos de norma A est´ an conectados con SU(2). La densidad de Lagrange total (menos los términos de campo) para el campo electrón-fermi´ on es ahora:

L0,EW

=

µ

−(ψν e,L, ψeL)γ µ

ψeR γ



∂ µ

−



∂ µ

 1 g ( 2i ¯ h

−

g  1 i A σ) µ (2 ¯h

−2)Bµ

·



−

 1 g i Bµ 2 ¯ h

  ·− − ψν e,L ψeL

( 1)

ψeR

Aqu´ı, 21 σ son los generadores de T , y

−1 y −2 son los generadores de Y .

15.13.2

Rompimiento espont´ aneo de la simetr´ıa: el mecanismo de Higgs

Todos los leptones carecen de masa en las ecuaciones anteriores.Su masa probablemente se genera por rompimiento espont´ aneo de la simetr´ıa . Esto significa que las ecuaciones din´ amicas que describen el sistema, tienen una simetr´ıa que el estado base no tiene. Se asume que existe un doblete de isoesp´ın de campos escalares Φ con cargas eléctricas +1 y 0 y potencial V (Φ) = µ2 Φ∗ Φ + λ(Φ∗ Φ)2 . Sus antipart´ıculas tienen cargas 1 y 0. Los términos extra en resultan de estos campos, H = µ (DLµ Φ)∗ (DL Φ) V (Φ), son globalmente simétricos en el grupo U(1) SU(2). De aqu´ı, el estado con la energ´ıa más baja se corresponde con el estado Φ ∗ (x)Φ(x) = v = µ 2 /2λ =constante. El campo puede escribirse (donde ω ± y z son bosones Nambu-Goldstone que pueden transformarse y eliminarse, y mφ = µ 2) como:

−

−

L

−

⊗

√

Φ=

   Φ+ Φ0

=

 √

iω + (v + φ iz)/ 2

−

 | | 

y 0Φ0 =



 √

0 v/ 2

L

Cap´ ıtulo 15:

109


 √ 1

Como este valor de expectación es = 0 la simetr´ıa SU(2) se rompe pero la simetr´ıa U(1) no. Cuando los campos de norma, en la densidad de Lagrange resultante se separan, se obtiene: W µ−

=

Z µ

=

Aµ

=

2(A1µ + iA2µ ) , W µ+ =

2

1 2

√

2(A1µ

gA 3µ

− iA2µ )

− gBµ ≡ A3 cos(θ ) − B sin(θ ) W µ W µ g 2 + g 2

 

g  A3µ + gB µ g2

+

g 2

≡ A3µ sin(θW) + Bµ cos(θW )

donde θW es llamado el ´ angulo de Weinberg . Para este ángulo, se cumple que: sin2 (θW ) = 0.255 0.010. Las relaciones para las masas del quanta del campo pueden obtenerse de los términos restantes: gg  M W = 21 vg y M Z = 21 v g 2 + g 2 , y para la carga elemental se cumple que: e = = g 2 + g 2 g  cos(θW ) = g sin(θW ) Experimentalmente se ha encontrado que M W = 80.022 0.26 GeV/c2 y M Z = 91.187 0.007 GeV/c2 . De acuerdo con la teor´ıa débil, estos valores deber´ıan ser: M W = 83.0 0.24 GeV/c2 y M Z = 93.8 2.0 GeV/c2 .

±





±

±

±

15.13.3

±

Cromodin´ amica Cu´ antica

Las part´ıculas con color interact´ uan porque la densidad de Lagrange (Lagrangiano) es invariante para las transformaciones del grupo SU(3) de la interacción de color. Se pueden distinguir dos tipos de part´ıculas:  = 0. 1. part´ıculas “Blancas”: no tienen carga de color, el generador T  son matrices de 3 2. part´ıculas “Coloreadas”: los generadores T anticolores.

× 3.

Existen tres colores y tres

La densidad de Lagrange para part´ıculas coloreadas está dada por

LQCD = i



Ψk γ µ Dµ Ψk +

k



Ψk M kl Ψl

k,l

a − 41 F µν F aµν

Los gluones permanecen sin masa porque esta densidad de Lagrange no contiene part´ıculas sin esp´ın. Se puede introducir un término de masa porque quarks zurdos y diestros ahora pertenecen al mismo multiplete. Este término se puede introducir en la forma M kl = m k δ kl .

15.14

Integrales de trayectoria

El desarrollo en el tiempo de un sistema en Mecánica Cu´ antica se puede describir tambi´ en, además de con la ecuación de Schrödinger, con una integral de trayectoria (Feynman): 



ψ(x , t ) =



F (x , t , x , t)ψ(x, t)dx

donde F (x , t , x , t) es la amplitud de probabilidad de encontrar un sistema al tiempo t en x  si éste estaba en x al tiempo t. Entonces, 



      

F (x , t , x , t) =

exp

iS [x] ¯h



d[x]

donde S [x] es una integral de acción: S [x] = L(x, ˙x, t)dt. La notación d[x] significa que la integral tiene que hacerse sobre todas las posibles trayectorias [x]:



d[x] := lim

n→∞

1 N

∞

n

−∞

dx(tn )

 

110


donde N es una constante de normalización. Para cada trayectoria se asigna una amplitud de probabilidad exp(iS/¯h). El l´ımite clásico se puede encontrar considerando δS = 0: el promedio de la exponente se elimina, excepto donde donde éste es estacionario. En teor´ıa del campo cuántico, la probabilidad de la transici´ on de un operador de campo Φ(x, ) a Φ (x, ) está dada por

−∞



F (Φ (x,

∞), Φ( x, −∞)) =

con la integral de acción S [Φ] =

∞

   exp

iS [Φ] d[Φ] ¯h

 L

(Φ, ∂ ν Φ)d4 x

Ω

15.15

Unificaci´ on y gravedad cuántica

La intensidad de la fuerza var´ıa con la energ´ıa y las constantes de acoplamiento. El modelo SU(5) predice unificación completa de las fuerzas electromagnéticas, fuerza deb´ıl y la interacción de color a una energ´ıa de 10 15 GeV. También predice 12 bosones extra, que se acoplan a los leptones y quarks, los cuales son responsables del decaimiento del protón, con canal dominante p + π0 +e + , con un tiempo de vida promedio del protón de 1031 años. Este modelo no ha sido probado experimentalmente.

→

Los modelos de supersimetr´ıa asumen una simetr´ıa entre bosones y ferminones y predice patrones para las part´ıculas conocidas con spin que difiere de 21 . El modelo supersimétrico SU(5) predice unificación a 1016 GeV y un tiempo de vida promedio del protón de 1033 años. Los canales de decaimiento principales en la teor´ıa son p + K+ + ν µ y p+ K0 + µ+ .

→

→

La gravedad cuántica sólo tiene un rol en la interacci´ on de part´ıculas a la escala de Planck, donde 19 λC RS : mPl = hc/G = 3 10 GeV, t Pl = h/mPl c2 = hG/c5 = 10−43 segundos y r Pl = ct Pl 10−35 m.

≈



·



≈

Chapter 16

Astrof´ısica 16.1

Determinaci´ on de distancias

El método de paralaje es el más para determinar la distancia en el espacio. El paralaje es la diferencia angular entre dos mediciones de la posición de un objeto desde diferentes puntos de vista. Si el paralaje anual es dado por p, la distancia R del objeto es determinado por R = a/ sin( p), donde a es el radio de la orbita terrestre. El paralaje de conglomerados es utimlizado para determinar la distancia de un grupo de estrallas utilizando su movimiento con un fondo fijo. La velocidad tangencial v t y la velocid radial v r de las estrellas en el cielo es dado por vr = V cos(θ) ,

vt = V sin(θ) = ωR

ˆ donde θ es el ángulo entre la estrella y el punto de convergencia y R la distancia en parsec. Esto resulta, con v t = v r tan(θ), en: R =

vr tan(θ) ω

⇒

1 ˆ R = p

dondew p es el paralaje en arcos de segundo. El paralaje es descrito por 4.74µ p = vr tan(θ)

-5 -4 M -3 -2 -1

 

Type 1

Type 2

0 1

RR-Lyrae 0,1 0,3 1

3 10 30 100

P (days)

→

con µ es el movimimiento de la estrella  /años. Un método para determinar la distancia de objetos que estan más alejados, como galaxias y conglomerados de estrellas, usando el periodo de brillo ralacionado con las Cefeidas. Esta relacion es mostrada en la figura anterior para diferentes tipos de estrellas.

16.2

Brillos y magnitudes

El brillo es la eneriga radiada total por unidad de masa. La Tierra recibe s 0 = 1.374 kW/m2 del Sol. De aqu´ı, el brillo del Sol es descrito por L  = 4πr 2 s0 = 3.82 1026 W. El cual es también descrito: ∞

L =

2 4πR

·



πF ν dν

0

donde πF ν es el flujo de radiacion monocromatico. En la posicion de un observador es πf ν , con f ν = (R/r)2 F ν si la absorción es ignorada. Si A ν es la fracción de flujo que alcanza la superficie de la Tierra, el factor de transmision es dado por R ν y la superficie del detector es dado por πa2 , entonces el brillo aparente b es descrito por: ∞

b = πa 2



f ν Aν Rν dν

0

La magnitud m es definida: b1 = (100) b2

1 5

(m2 −m1 )

111

= (2.512)m

2

−m1

112


−

porque el ojo humano percibe la luz en una intensidad logaritmica. De donde se tiene m2 m1 = 2.5 10 log(b1 /b2 ), o: m = 2.5 10 log(b) + C . En base al patr´ on, cuando El brillo aparente de una estrella está a una distancia de 10 pc (10 parsec) es llamada brillo abosoluto B: B/b = (ˆr/10)2 . La magnitud absoluta es dada por M = 2.5 10 log(B) + C , o: M = 5 + m 5 10 log(ˆ r). Donde la −4 absorici´ on interestelar de 10 /pc es tomada en cuenta cuando se encuentra:

·

− ·

− ·

M = (m

− ·

− 4 · 10−4rˆ) + 5 − 5 ·10 log(ˆr)

Cuando un detector registra toda la radiacion emitida por una fuente, podemos medior la magnitud bolometrica absoluta . Si la correcci´ on bolometrica B C es descrita por BC = 2.5

·10 log



flujo de energ´ıa recibida flujo de energ´ıa detectado



= 2.5

·10 log

    f ν dν f ν Aν Rν dν

− BC donde M V es la magnitud visual. De modo tal que: L M b = −2.5 ·10 log + 4.72 L

teniendo: M b = M V

 

16.3

Radiaci´ on y estelar atmosferas

La energ´ıa de radiación atravesando una superficie dA es dE = I ν (θ, ϕ)cos(θ)dνdΩdAdt, donde I µ es la intensidad monocromatica [Wm−2 sr−1Hz−1 ]. Donde no hay absorci´ on la cantidad I ν es independiente de la distancia a la fuente. La ley de Planck para un cuerpo negro: 3

I ν (T )

≡ Bν (T ) = 4πc wν (T ) = 2hν c2

1 exp(hν/kT )

−1

El transporte de radiación a trav´ es de una capa puede ser escrita como: dI ν = ds

−I ν κν + jν



Aqu´ı, jν es el coeficiente de emision y κν el coeficiente de absorci´ on . ds es el espesor de la capa. El espesor ´ optico τ ν de la capa es dado por τ ν = κ ν ds. La capa es opticamente delgada si τ ν 1, la capa es opticamente gruesa si τ ν 1. para una atmosfre estelar en LTE tenemos: jν = κ ν Bν (T ). De este modo encontramos:





I ν (s) = I ν (0)e−τ ν + Bν (T )(1

16.4



− e−τ ) ν

Composici´ on y evoluci´ on de estrellas

La estructura de una estrella es descrita por las siguientes ecuaciones: dM (r) dr dp(r) dr L(r) dr dT (r) dr rad dT (r) dr conv

   

= 4π(r)r2 =

− GM (rr)(r) 2

= 4π(r)ε(r)r2 = =

L(r) κ(r) , − 34 4πr 2 4σT 3 (r) T (r) γ − 1 dp(r) , p(r)

γ

dr

(Eddington), or (transporte convectivo de energ´ıa)

De este modo, para estrellas como el Sol, el plasma constituyente puede ser descrito como un gas ideal: (r)kT (r) p(r) = µmH

113

Cap´ıtulo 16: Astrof´ ısica

donde µ es la masa molecular, la que se puede aproximar muy bien por: µ =

 1 = 3 nmH 2X + 4 Y + 21 Z

donde X es la fracción de masa de H, Y la fraccion de masa de He y Z la fracción de masa de los otros elementos. De modo que se obtiene: κ(r) = f ((r), T (r), composition) y ε(r) = g((r), T (r), composición ) La convección puede ocurrir cuando la estrella cumple el criterio de Schwartzschild:

    dT dr

<

conv

dT dr

rad

de otro modo, la transferenci de energ´ıa se debe a la radiación. Para estrella en equilibrio cuasihidrostaticos usamos la aproximación r = 21 R, M (r) = 21 M , dM/dr = M/R, κ  y ε T µ (esta u ´ ltima suposici´ on sólo es validad para estrealla en la secuencia principal). Para cadenas tipo pp tenemos µ 5 y para cadenas de tipoo CNO tenemos µ = 12. Esto puede ser obtenido de L M 3 : 8 la realcion entre masa y brillo. Desde dónde se llega: L R4 T eff . Esto resulta en la ecuación para la principal secuencia en el diagrama Hertzsprung-Russel:

∼

≈

∼

10

16.5

log(L) = 8

∼

∼ ∼

·10 log(T eff ) + constante

Energ´ıa producida en estrellas

4 The net reaction from which most stars gain their energy is: 4 1 H He + 2e+ + 2ν e + γ . This reaction produces 26.72 MeV. Two reaction chains are responsible for this reaction. The slowest, speed-limiting reaction is shown in boldface. The energy between brackets is the energy carried away by the neutrino.

→

1. The proton-proton chain can be divided into two subchains: 1 3 H + p+ → 2 D + e+ + ν e , and then 2 D + p He + γ .

→

I. pp1: 3 He +3 He

→ 2p+ + 4 He. There is 26.21 + (0.51) MeV released. II. pp2: 3 He + α → 7 Be + γ i. 7 Be + e− → 7 Li + ν , then 7 Li + p+ → 24 He + γ . 25.92 + (0.80) MeV. ii. 7 Be + p+ → 8 B + γ , then 8 B + e + → 24 He + ν . 19.5 + (7.2) MeV. Both 7 Be chains become more important with raising T .

2. The CNO cycle. The first chain releases 25.03 + (1.69) MeV, the second 24.74 + (1.98) MeV. The reactions are shown below.

 15 O + e+ → ↑

14

N + p+

→



−→ 12  → N+p → α+ C ↓ 13 12 + C + p → N + γ ↓ 13 N → 13 C + e + + ν ↓ 14 13 + ← C + p → N + γ ←−  15

15

N + ν

15

O + γ

+

15

N + p+

→ 16O + γ ↓ 17 16 + O + p → F + γ ↓ 17 F → 17 O + e+ + ν ↓ 14 17 + → O+p α+ N

114

The

∇ operator

∇-operator

The

In cartesian coordinates (x,y,z) holds:

∇ = ∂x∂ ex + ∂y∂ ey + ∂z∂ ez

∂f ∂ f ∂ f , gradf =  f = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

∇

2

∂a x ∂ ay ∂ az div a =  a = + + , ∂x ∂y ∂z rot a = 

∇ × a =



∂a z ∂y

−

∂ ay ∂z

  ex +

2

2

∇2f = ∂ ∂xf 2 + ∂ ∂yf 2 + ∂ ∂zf 2

∇·

∂a x ∂z

−

∂ az ∂x

  ey +

∂a y ∂x

−

∂ ax ∂y



ez

In cylinder coordinates (r,ϕ,z) holds:

∇ = ∂r∂ er + 1r ∂ϕ∂ eϕ + ∂z∂ ez

, gradf =

∂f 1 ∂f ∂ f er + eϕ + ez ∂r r ∂ϕ ∂z 2

2

2

div a =

∂a r a r 1 ∂a ϕ ∂ az + + + , ∂r r r ∂ϕ ∂z

1 ∂ f ∂ f + 2 + 2 ∇2f = ∂ ∂rf 2 + 1r ∂f ∂r r ∂ϕ 2 ∂z

rot a =



∂ az ∂r

1 ∂a z r ∂ϕ

−

∂ aϕ ∂z

  er +

∂a r ∂z

−

  eϕ +

∂a ϕ a ϕ + ∂r r

−

1 ∂a r r ∂ϕ



ez

In spherical coordinates (r,θ,ϕ) holds:

∇

=

gradf = div a = rot a =

∇2f

=

∂ 1 ∂ 1 ∂ er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂f 1 ∂f 1 ∂f er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂a r 2ar 1 ∂a θ aθ 1 ∂a ϕ + + + + ∂r r r ∂θ r tan θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂a ϕ aθ 1 ∂a θ 1 ∂a r ∂ aϕ + er + r ∂θ r tan θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ ∂r ∂a θ a θ 1 ∂a r + eϕ ∂r r r ∂θ ∂ 2 f 2 ∂f 1 ∂ 2 f 1 ∂f 1 ∂ 2 f + + + + ∂r 2 r ∂r r2 ∂θ 2 r2 tan θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ 2

 

 

−



−

−

−

a ϕ r



eθ +

General orthonormal curvelinear coordinates (u,v,w) can be obtained from cartesian coordinates by the transformation x = x(u,v,w). The unit vectors are then given by: eu =

1 ∂ x 1 ∂x 1 ∂ x , ev = , ew = h1 ∂u h2 ∂v h3 ∂w

where the factors h i set the norm to 1. Then holds: gradf = div a = rot a =

2

∇ f

=

1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f eu + ev + ew h1 ∂u h2 ∂v h3 ∂w 1 ∂ ∂ ∂ (h2 h3 au ) + (h3 h1 av ) + (h1 h2 aw ) h1 h2 h3 ∂u ∂v ∂w 1 ∂ (h3 aw ) ∂ (h2 av ) 1 ∂ (h1 au ) ∂ (h3 aw ) eu + ev + h2 h3 ∂v ∂w h3 h1 ∂w ∂u 1 ∂ (h2 av ) ∂ (h1 au ) ew h1 h2 ∂u ∂v 1 ∂ h2 h3 ∂f ∂ h3 h1 ∂f ∂ h1 h2 ∂f + + h1 h2 h3 ∂u h1 ∂u ∂v h2 ∂v ∂w h3 ∂w

 



−

−

 

 

 





−



 



physic_traducido.pdf

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