Kuliah Ke-13 nte egr gra al Lipat Li pat Tig Tiga a 16.7 Int Koordi rdina natt Sil Silin inde derr dan dan Koordi Koor dina natt Bola Bol a 16.8 Koo
Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akan dapat menentukan integral lipat tiga, baik dalam koordinat siku-siku, dalam koordinat silinder dan dalam koordinat bola.
Prasyarat: Prasyarat : Prasyarat yang diperlukan adalah pengetahuan tentang integral lipat dua pada daerah umum dan pada koordinat polar. 1
Inte In tegr gral al Li Lipa patt Ti Tiga ga Untuk fungsi tiga variabel. Anal Analog og den denga gan n inte integr gral al lip lipat at dua, dua, int integ egra rall lipa lipatt tiga tiga pada pada daerah
B = {( x, y, z ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s}
Jika fu fungsi f ko kontinu pada daerah B, ma maka b d s
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dzdydx B
a c r
Teorema Fubini juga berlaku.
2
Hitung: Jawab:
3
Seperti halnya integral lipat dua, integral lipat tiga dapat juga berlaku pada daerah umum E . 1. Jenis I E = {( x, y , z ) | ( x, y ) ∈ D, u1 ( x, y ) ≤ z ≤ u 2 ( x, y )}
Jadi
⎡u 2 ( x , y ) ⎤ ⎢ f ( x, y, z )dz ⎥ dA. ⎢ ⎥ ⎣ u1 ( x , y ) ⎦
∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫ ∫ E
D
Daerah D dapat berupa (Ingat integral lipat dua): 1). Segiempat, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }. 2). Daerah jenis I, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, g 1( x) ≤ y ≤ g 2( x)}. 3). Daerah jenis II, D = {( x,y) | c ≤ y ≤ d , h1( y) ≤ x ≤ h2( y)}. 4
E = {( x, y, z ) | ( x, y ) ∈ D, u1 ( x, y ) ≤ z ≤ u2 ( x, y )}
5
Contoh: Hitung
dimana E adalah daerah di bawah bidang pada kuadran pertama
6
7
8
2. Jenis II E = {( x, y, z ) | ( x, z ) ∈ D, u1 ( x, z ) ≤ y ≤ u 2 ( x, z )} D dapat berupa (1), (2) dan (3) seperti di jenis I.
9
Contoh:
Hitung dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh dan bidang y = 8
10
11
12
3. Jenis III E = {( x, y , z ) | ( y, z ) ∈ D, u1 ( y , z ) ≤ x ≤ u 2 ( y, z )} D dapat berupa (1), (2) dan (3) seperti di Jenis I.
13
Contoh:
Hitung volume daerah yang terletak di belakang bidang dibatasi oleh
dan di depan bidang yz yang dan
14
15
16.8 Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola.
Koordinat Silinder Dalam koordinat silinder, titik P( x,y,z ) dikonversi ke titik P(r ,θ, z ). z
P(r, θ, z)
θ
r
z
y
x
16
Misal f kontinu pada E dan E = {( x, y, z ) | ( x, y ) ∈ D, u1 ( x, y ) ≤ z ≤ u 2 ( x, y )} dengan D diberikan dalam koordinat polar oleh D = {(r , θ ) | α ≤ θ ≤ β , h1 (θ ) ≤ r ≤ h2 (θ )}
⎡h2 (θ ⎤ ⎢ f ( x, y, z )dz ⎥ dA ⎢ ⎥ ⎣ h1 (θ ⎦
∫∫∫ f ( x, y, z )d V = ∫∫ ∫ E
D
dikonversi dari koordinat siku - siku ke koordinat silinder sebagai berikut : β h2 (θ ) u 2 ( r cosθ , r sin θ )
∫∫∫ f ( x,y,z )d V = ∫ ∫ E
∫ f (r cosθ , r sin θ , z )rdzdrd θ
α h1 (θ ) u1 ( r cosθ , r sin θ ) 17
Contoh:
Hitung
dimana E adalah daerah di
bawah bidang serta di antara silinder
dan di atas bidang xy dan
Jawab:
18
19
Contoh: Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Jawab:
20
z
Koordinat Bola
z
Perhatikan ∆ OPP’ : z = ρ cos φ r = ρ sin φ
φ
P( x, y, z ) = P(ρ , θ, φ)
ρ
O x
θ
r
z
y
P’’ x
y
P’( x, y, 0)
21
Perhatikan ∆ OP' P' ' : x = r cos θ
; karena r = ρ sin ϕ , maka
= ρ sin ϕ cos θ y = r sin θ ; karena r = ρ sin ϕ , maka = r sin ϕ cos θ ρ 2 = r 2 + z 2
φ
; ∆ OPP'
x 2 + y 2 + z 2 = 144 244 3
; r 2 = x 2 + y 2
(∆ OP' P' ' )
Persamaan Bola dengan ρ jari - jari bola
ρ : jarak titik asal ke P. θ : sudut antara sumbu - x dengan OP'. ϕ : sudut antara sumbu - z positif dengan OP. ρ ≥ 0,0 ≤ ϕ ≤ π . E = {( ρ , θ , ϕ ) | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β , δ ≤ ϕ ≤ γ }
22
Dalam Koordinat Polar :
d A = r d θ dr Dalam Koordinat Bola (Keterangan pada halaman 489)
∆Vijk = ∆ ρ ( ρ i ∆ϕ )( ρ i sin ϕ k ∆θ ) {
tinggi
144 4 244 4 3
Luas Ala s
d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d θ d ϕ Jadi, konversi dari koordinat siku-siku ke koordinat bola γ β b
∫∫∫
∫∫∫
E
δ α a
f ( x, y, z )d V =
f ( ρ sinϕ cosθ , ρ sinϕ sinθ , ρ cosϕ ) ρ 2 sinϕ d ρ d θ d ϕ 23
Contoh:
Hitung dimana E adalah setengah bola bagian atas
Jawab:
24
25
Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola
Jawab:
26
27
28
Tugas 1.
Hitung
∫∫∫
12 xy 2 z 3 d V
E
dengan E = {( x, y, z ) | −1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 3,0 ≤ z ≤ 2}
Tugas 2.
Misalkan E adalah daerah pada oktan pertama yang dibatasi y 2 + z 2 = 1, y = x dan x = 0. Hitunglah
∫∫∫ zd V. E
Tugas 3.
Gunakan integral lipat tiga untuk mencari volume benda pejal yang dibatasi silinder x2 + y2 = 9 dan bidang z = 1 dan x + z = 5.
29
Tugas 4. Misalkan E terletak dalam silinder x 2 + y 2 = 16 dan di antara bidang − bidang z = -5 dan z = 4. Hitung
∫∫∫
x 2 + y 2 d V.
E
Tugas 5. Hitung
∫∫∫
( x 3 + xy 2 )d V, dengan E adalah benda pejal di oktan pertama
E
yang terletak di bawah paraboloid z = 1 − x 2 − y 2 .
Tugas 6. Hitung
∫∫∫ yd V, dengan E adalah benda pejal yang terletak diantara silinder E
silinder x 2 + y 2 = 1 dan x 2 + y 2 = 4, di atas bidang - xy dan di bawah bidang z = x + 2.
30
