Pertemuan 3
GRUP GR UP PE RMU RM UTASI DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pendahuluan
Pertemuan ketiga ini akan dibahas grup permutasi, yaitu grup dari fungsi-fungsi bijektif pada himpunan berhingga. Target pertemuan ketiga adalah: a. dapat membentuk grup permutasi b. menjelaskan sifat-sifat grup permutasi c. menentukan order elemen dalan grup permutasi d. menentukan dan membuktikan sifat-sifat order suatu elemen e lemen
B. Gr up Permutasi Permutasi
Jika diberikan himpunan berhingga A 3 = {1, 2, 3}, cobalah dibuat fungsi bijektif yang mungkin !
(1) 1•
(123) •1 •2 •3
2• 3•
1• 2• 3•
(12) •1 •2 •3
1• 2• 3•
•1 •2 •3
Lengkapilah fungsi bijektif lainnya. Berapa banyak fungsi bijektif dari A 3 ke A3? Definisi : permutasi Fungsi bijektif dari himpunan n symbol ke himpunan itu sendiri disebut permutasi. perm utasi.
Pengant ar Struk St ruk tur Al jabar jabar
7
Pertemuan 3
Jika An = {1, 2, 3, …, n } maka suatu fungsi berikut : 1 → f(1) = j1 2 → f(2) = j2 3 → f(3) = j3 M
M
n → f(n) = jn merupakan permutasi jika f bijektif dan j i
∈ An untuk i = 1, 2, 3, …, n
Permutasi tersebut disajikan dengan notasi dua baris berikut ini :
1 j1
2
3
L
j2
j3
L
jn n
Jika kita himpun fungsi-fungsi bijektif dari A 3 ke A3, didapatlah himpunan permutasi, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Kalian masih ingat operasi komposisi fungsi? Catatan : operasi komposisi (23) °(132) misalnya, ditulis dengan (132).(23) = (12) (1)
(12)
(1)
(1)
(12)
(12)
(12)
(1)
(13)
(13)
(132)
(23)
(23)
(13) (13)
(23) (23)
(123) (132)
Cobalah lengkapi table
(123) (132)
Cayley di samping, selanjutnya tentukan
(123)
elemen identitasnya, dan
(132)
tentukan pula invers
(123) (123) (132) (132)
(123)
semua elemen dalam S3.
Ingat : komposisi fungsi mempunyai sifat asosiatif Jadi, S3 terhadap komposisi fungsi merupakan grup, yang selanjutnya disebut grup permutasi.
Pengant ar Struk tur Aljabar
8
Pertemuan 3
Jika A1 = {1} maka banyaknya fungsi bijektif dari A 1 ke A1 adalah 1 = 1! , yaitu (1) sehingga S 1 = { (1) } Jika A2 = {1, 2} maka banyaknya fungsi bijektif dari A 2 ke A2 adalah 2 = 2!, yaitu (1) , (12), sehinga dipunyai S 2 = {(1), (12)} Jika A3 = {1, 2, 3} maka banyaknya fungsi bijektif dari A 3 ke A3 adalah 6 = 3!, sehingga diperoleh S 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} Jika A4 = {1, 2, 3, 4} maka berapa banyak fungsi bijektif dari A 4 ke A4? Sebutkan elemen-elemen dalam S 4. Secara umum, jika An = {1, 2, 3, ….., n} maka banyaknya fungsi bijektif dari An ke An adalah n!, sehingga banyaknya anggota S n juga n! . Cobalah kerjakan beberapa latihan soal berikut : Jika f = (1436), g = (253) maka tentukan : i. f.g ; ii. g.f; iii. Fungsi bijektif h sehingga f.h = g; -1
iv. fungsi k sehingga k.f = g; v. f.g.f ; vi. g.f.g
-1
C. Or der atau Per iode Suatu Elemen dalam Gr up Definisi :
Misalkan G suatu grup dan m suatu bilangan bulat positif maka: a. a
m
− a b.
c. a
Catatan : a
0
m
= a o a o a oL
m
oa
= (a −1 ) m
sebanyak m faktor −1 dengan a adalah invers dari a
=e
dengan e elemen identitas
= a + a + a + L + a = ma jika grup G dengan operasi penjumlahan
Teorema
Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan-bilangan bulat, maka
∀a ∈ G berlaku : (i)
am oan
= a m+ n dan (ii) (a m ) n = a mn
Pengant ar Struk tur Aljabar
9
Pertemuan 3
Bukti:
(i)karena m dan n merupakan bilangan bulat maka terdapat lima kemungkinan : Keadaan I
: m dan n keduanya bilangan bulat positif
Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan
m
>
n
Keadaan IV : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m < n Keadaan V : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m = n Beberapa kemungkinan di atas dibuktikan sebagai contoh, sedangkan keadaan yang lain silakan dibuktikan sebagai latihan mahasiswa, demikian juga untuk teorema poin ii. :
•
Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif, maka m = − p & n = -q untuk suatu p dan q bilangan-bilangan bulat positif.
= a − p o a − q = ( a −1 ) p o (a −1 ) q = (1a −41 o4a 4−1 o4a4−12o4a −41 o4K 4o a43−1 ) o (1a −41 o4a 4−1 o4a4−12o4a −41 o4K 4o a43−1 )
a m oa n
sebanyak p faktor
sebanyak q faktor
= (1a −41 o4a 4−1 o4a4−12o4a −41 o4K 4o a43−1 ) sebanyak p+q faktor = (a −1 ) p+q = a − p −q = a m+n
•
Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan
m
> n,
maka n = -q dengan q bilangan bulat positif maka m>q.
Pengant ar Struk tur Aljabar
10
Pertemuan 3
a
m
oa
n
= a m oa − q = a m o (a −1 ) q −1 −1 −1 −1 −1 o a ) o (a o a o a o a oK o a ) = (1a 4o a4o4a 2o a4oK 4 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 sebanyak m faktor
sebanyak q faktor
−1 −1 −1 −1 −1 −1 o a ) o ( a o a ) o (a o a o a o a oK o a ) 1 4 4 4 2 4 4 43 14 2 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
=
( a o a o a o a oK
e
sebanyak m−1 faktor
=
sebanyak q−1 faktor
(a o a o a o a oK
o a) o e 1 4 4 4 2 4 4 43
sebanyak m−q faktor
=
( a o a o a o a oK
o a) 1 4 4 4 2 4 4 43
sebanyak m−q faktor
= a m −q = a m+n Contoh :
v
Perhatikan grup permutasi S 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}, maka : (12).(12) = (13).(13) = (23).(23) = (1); [(123).(123)](123) =(132).(123) = (1), 2
2
2
2
3
berarti bahwa : (12) = (13) = (23) = (1); (123) = (132) dan (123) = (1),
v
Jika diberikan n sehingga
α = (1364) ∈ S6, maka tentukan bilangan bulat positif terkecil
αn = (1) : 1
2
3
4
5
6
α α2 = α.α
3
2
6
1
5
4
6
2
4
3
5
1
α3 = α2α = αα2
4
2
1
6
5
3
α4 = α3α = αα3= α2α2
1
2
3
4
5
6
Tampak bahwa α = (1) dan tidak ada bilangan bulat m positif m < 4, hingga α = (1). Jadi 4 adalah bilangan 4 bulat positif terkecil, α = (1) 4
selanjutnya :
Ø coba tentukan bilangan bulat m sehingga (132) m = (1). Ø Tentukan (123)5; (123) -5; (132)6
Pengant ar Struk tur Aljabar
11
Pertemuan 3
Ø Bagaimana kalian menentukan (1235) 3; [(236)(15)]4 Ø Tentukan bilangan bulat terkecil k, sehingga [(236)(15)] k = (1) Definisi : order (periode) elemen suatu grup dan order grup
1. Diberikan G adalah grup dan a
∈
G, order atau periode dari a ditulis
p(a), didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil katakan k , k
sedemikian sehingga a = e, dengan e = elemen identitas dalam G. DKL.: p(a) = k ⇔ k bilangan bulat positif terkecil, sehingga a = e. k
2. Jika G grup dengan m buah elemen maka dikatakan G berorder m, dinotasikan o(G) = m. dengan kata lain order suatu grup G adalah banyaknya elemen dalam G. Catatan : jika tidak ada bilangan positif terkecil k ∋ a = e, maka dikatakan p( a) = 0. k
Teor ema : -1
Jika p(a) = k maka p(a ) = k Bukti : sebagai latihan mahasiswa Contoh : 0
Z5 = {1, 2, 3, 4} = himpunan bilangan bulat modulo 5 selain 0, terhadap 0
pekalian modulo 5 merupakan grup. Tentukan order setiap elemen dalam Z 5 . Jawab :
§ Jelas p(1) = 1 § 22 = 4, 23 = 3, 24 = 1, jadi p(2) = 4 § Karena 2-1 = 3 maka p(3) = 4 § 42 = 1, maka p(4) = 2
Pengant ar Struk tur Aljabar
12
Pertemuan 3
Tugas Mandiri : Latihan Soal : I. Tentukan order setiap elemen dalam grup berikut : 0
1. Z11 = {1, 2, 3, ….., 10 } = grup dari bilangan bulat modulo 11 selain 0 2. G = {1, -1, i, -i} terhadap operasi perkalian biasa 3. S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} 4. Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = grup dari bilangan bulat modulo 6 II. Jika diketahui α = (1 3 5 2) dan i. αβα ; -1
ii. periode
β = (1 5 7 9) maka tentukan :
α dan β;
iv. Tentukan grup yang dibentuk oleh
iii. β ; -1
α
Pengant ar Struk tur Aljabar
13
