PENERAPAN_KONSEP_VEKTOR

Nomor Topik Bahasan 5.3 ´Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalahµ

Menu Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi

Media Pr Presentasi esentasi Pembelajaran Matematika Kelas XII ( Semester Sem ester Genap Genap ) Program Studi Ilmu Alam

Contoh Soal

leh: Teopilus Malatuni O

Uji Kompetensi

( SMA Negeri 1 Kaimana )

Referensi Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

L a n ju t

Akhir

Keluar

MATEMATIKA KELAS XII

Petunjuk Belajar

Contoh Soal

Media Pre Media Presen Pres Pr esen sentas enta tasi sii Pe Pemb Pembel Pem mbel belaja elaj ajar ajaran aran ran an iin ini ni dib ibua ibu uat uat de deng ngan an menggunakan meng me nggu guna naka kan n sallah sa sa salah satu satu tu ap apli lika kasi si da dari ri ke kelu luar arga ga Microsoft Micro Mi croso soft ft Off ffice ffic ice e ya yait itu u Microsoft Micr Mi cros oso oft Off ffice ffi ice PowerPo Poiint 2003. 200 003 3. Da Dala Dalam lam pe peng ngop oper eras asia iann nnya ya dilengkapi dilen dil engk gkap apii deng de dengan nga an tomboltomb to mbol ol-tombol -to tomb tombol mbol ol na navi viga gasi si y yang ya ang an ng g sa sang ngat at si sim simp m mpel pel pe ell yan ang g berada bera be rad da di pa di pan panel el se seb sebe b bela ela el lah ah kir irii ((M (Men Me enu) nu u)) dan di ba bar bar ba bagi bagian gian an bawah; bawa ba wah h; sehingga seh se hin ing gga memu me memudahkan muda dahk hkan an p pema pe em maka aka kaii un untu untuk tuk me meng nggu guna naka nakan kann kanny nnya nya, ya, a,, kka kare arrena ena semua semua kenda ken kendali dali li pen pengop peng pe ngop gopera oper erasia eras asia sian ian n di dila dilak dil laku akukan kuka ukan kan n me mela lalu luii tomboltom to mbo boll-tombol -to tomb tombol mbol ol navigasi navi na viga gasi si tersebut.. Mi tersebut Misa Misaln salnya lnya ya un untu tuk k mel elih eliihat iha hat att c cont co on ntoh to oh h soa oal oal la akuk ak ku uka kan k klik kl liik k pada pada tombol Con tombol nto nt toh Soal. Soal. Begitu juga de deng dengan ngan an p pili pi ili lih liha h han an top opi opik lainnya, lai ain nny nya, a, And A Anda nda a ha hany nya a me mela laku kukan kuka kan nk klik kl liik k pa pada pada da j jud jud ju udul dul to topi pik k ses sesuai sesu se suai uai ai pi pili liha han n dalam dala da lam m setiap tombol. setiap tombol. Un Untu Untuk tuk men enam ampi pillka kan n sli lide de b beri be erriku iku kuttny nya a klik pada pada tomb to tombol mbol ol La Lanj njut ut at atau au un untu tuk k ke kem kemb m mbal bali ba alilii ke sli lide lid de de di di de depa panny nnya a pi pilih lih tombol tomb to mbol ol Balik.. Ji Balik Jika Jika ka A And Anda An nda da a te telah tel elah lah ah men menam ampilk pilkan an su suat suatu sua atu tu u to topi pik k ma maka ka an anim imasi asi dari dari topi to topik pik k da dalam lam to tomb mbol ol di seb sebel sebe se bela elah lah ah h ki kiri kirrii ak akan an mu muncu ncull yan yang yang g mengindikasimengind men gindika ikasi sikan bahwa topik terse kan seb but s seda se ed dan ang aktif. aktif . Dalam uraian materi materi terd te terdapat rdap apat at gambargamb ga mbar ar -gambar -ga gamb gambar mbar ar an anim imas imasi asii seba sebagai sebagai gai vi visu visua sual sualis alis lisasi isas asii da dar dari rrii ko kon konsep nse sep p yan yang ang g disampaikan. disa di sam mpa paik ikan an. Untuk meli lih lihat an anim imas ima asi asi tte ter ers sebu se eb but ut klik pada pada sem se sembarang mba barran ang g tte tem emp pat pa at dalam slide. slide. Ka Kat Kata (k (kal (kalim aliimat al imat) at) b berw be errwar wa arna rn na a dan dan bergaris baw bergaris awah awah ah me erup er rup upa aka kan n liin ink nk sila lah lahka kan kan klli lik ik pada kata atau atau kalimat ter kalimat tersebu sebutt unt untuk untu uk k me melih lihat at isinya. isiny isi nya a.

Uji Kompetensi

Sem Se Semoga mog oga a me edi ed dia in ini ini be berm rman anfa faat at ba bag bagi g gii mer erek eka a ya yang yan ang ng g menggunakanmeng me nggu guna nakan kannya.. Sal nya Salam Sala Sa lam am m hangat! hanga ha ngat! t!

Referensi

Teopilus Malatuni

´Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalahµ


Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

Standar

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus dicapai setelah menyelesaikan topik ini adalah: Standar 

Petunjuk Standar Kompetensi

Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Kompetensi

Merancang dan menggunakan model matematika program linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Pendahuluan 

Uraian Materi Contoh Soal



Menggunakan sifatsifat-sifat -sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah; Menggunakan sifatsifat-sifat -sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

Uji Kompetensi Referensi Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

Pendahuluan Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar k ata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar skal ar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran besa ran ini adalah: Skalar Skalar : Besaran Besaran yang yang hanya hanya mempu mempunya nyaii nilai saja saja (menunj (menunjukka ukkan n suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.

Petunjuk

Vektor ektor : Besaran Besaran yang yang mempu mempunya nyaii besar (nilai (nilai)) dan arah. arah. Biasany Biasanya a Standar digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, Kompetensi kecepatan, percepatan dan sebagainya. Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Uraian

Materi

Silahkan

pilih Materi yang ingin disampaikan (dipelajari): A.

Notasi

B.

Aljabar

C.

Vektor Basis

D.

Vektor Posisi P osisi

E.

Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

F.

Perkalian Silang Vektor

Uraian Materi

G.

Sudut

Contoh Soal

H.

Contoh Soal

Menu Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan

Vektor Vektor

antara Dua Vektor di Ruang (R3)


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



A. Notasi

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu. gambar 1

B u


Vektor

A

Vektor sering dinotasikan dinotasikan dengan dengan huruf latin kecil. Misalnya: u, u, atau u . Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor. vektor. u = AB ; A = titik titik pangka pangkall dan B = titik ujung Arah anak panah = arah vektor Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. x y

2

Uraian Materi

 Untu Untuk k vekt vektor or di bida bidang ng (R ) : u = (x, y) atau u =

Contoh Soal

Uji Kompetensi

 Untu Untuk k vekt vektor or di ruan ruang g (R (R3) : u = (x, y, z) atau u =

x y z


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



B. Aljabar Vektor Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.  Dua vektor vektor dikat dikatakan akan sama sama jika besar dan arahnya sama. (Lihat gambar 2).


gambar 2

u Dua

 Suat Suatu u vek vekto tor r v dikatakan invers dari vektor u vektor u jika jika berlaku u + u + v = 0 ; 0 adalah vektor nol. Jadi dua vektor saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. (Lihat gambar 3).

=

v

vektor yang sama

gambar 3

u

v =

-u

Dua

vektor yang saling invers (berlawanan) (berlawanan)

Uraian Materi 

Contoh Soal

Penjumlahan Vektor Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan Uji aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil Kompetensi jumlah (resultante) dari vektor u vektor u dan dan v , perhatikan ilustrasi dalam gambar 4 dan 5. Referensi Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar


gambar 5

gambar 4


u

u

Menu Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal

Uji Kompetensi

v

v Dengan

aturan segitiga:

Dengan

aturan jajargenjang:

 Tempatk empatkan an titik titik pangkal pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u vektor u ;

 Tempatkan empatkan titik titik pangkal pangkal vektor vektor v sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u vektor u ;

 Vektor ( r ( u + u + v ) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u vektor u dengan dengan titik ujung vektor v .

 Bentukla Bentuklah h jajarg jajargenj enjang ang dengan dengan sisisisi yang sejajar dengan u dan u dan v ;  Vektor ( r ( u + u + v ) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u vektor u .


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar




Pengurangan Vektor Vektor

Pengurangan vektor u vektor u dengan dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u vektor u dengan invers vektor v . ´Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalahµ

gambar 6

v

u - v = u + (- v v )

- v v

- v v

Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal

Uji Kompetensi

v -

v

v

u =

v

+ (-u)

u

-u

u 

-u

u

Menu Petunjuk

gambar 7

Hasil Kali Vektor dengan Skalar

Misalkan vektor u vektor u dan dan sebuah bilangan real (skalar) m. Hasil kali m dengan vektor u vektor u (m (mu u ) adalah penggandaan vektor vektor u u sebanyak sebanyak m dan arah mu mu sama sama dengan arah vektor u vektor u .

gambar 8

3u 2u

-2u -2 u

u


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar


C. Vektor Basis Vektor basis : Vektor Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.


gambar 9

gambar 10

Vektor Basis dalam Bidang (R 2)

Vektor Vektor Basis dalam Ruang (R 3) Z

Y

Menu (0,0,1) k (0,0,1)

Petunjuk (0,1) j (0,1)

Standar Kompetensi

O

(1,0) i (1,0)

X

(1,0,0) i (1,0,0)

O

Y (0,1,0) j (0,1,0)

X Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam R2.

Vektor i , j , dan k merupakan vektor basis dalam R3.

i : vektor vektor satuan satuan searah searah sumbu sumbu X+

i : vektor vektor satuan satuan sear searah ah sumbu sumbu X+ j : vektor vektor satuan satuan sear searah ah sumbu sumbu Y+

j : vektor vektor satuan satuan searah searah sumbu sumbu Y+

k : vektor vektor satuan satuan sear searah ah sumbu sumbu Z+


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



D. Vektor Posisi Vektor Posisi : Vektor yang berpangka berpangkall pada pada titik titik pangkal pangkal koordinat koordinat.. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan. gambar 11

Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

Vektor Vektor Posisi dalam Bidang Bi dang (R2) Y

Menu Petunjuk

gambar 12

Z R(x,y)

y j

zk

r Standar Kompetensi

X

xi

O

xi

Pendahuluan Uraian Materi

Titik R(x,y) R(x,y) adalah adal ah vektor posisi dalam m R2 yaitu: OR dala r = (x,y)

Contoh Soal

Uji Kompetensi

R(x,y,z)

r

=

X Titik R(x,y,z) R(x,y,z) adalah vektor posisi OR dalam R3 yaitu:

xi + y j

Panjang dari r : r : | r | !

Y

y j

O

x



Vektor Vektor satuan dari r : r : e =

r |r |

y

r = (x,y,z) Panjang dari r : r :

=

xi + y j + zk

x2



y2


| r | ! Balik

Lanjut La



z2

Awal Aw

Akhir

Keluar


OU =

u dan u dan OV = v adalah vektorvektor posisi.

gambar 13

Z


U(u1,u2, u3)

u

Menu

UO + OV

=

-u + u + v

V(v1,v2, v3) O

Standar Kompetensi

Uraian Materi

=

= v ± ±

Petunjuk

Pendahuluan

UV

=

v

Y

v1 ± u1 v2 ± u2 v3 ± u3

Jika dinyatakan dengan kombinasi linear maka:

X

UV

u

= v ± ±

u = (v1 ± u1)i + (v2 ± u2) j + (v3 ± u3)k

Contoh Soal

Uji Kompetensi

Jarak atau panjang panjang vektor UV adalah: | UV | ! (v1  u1 )2



( v2  u2 )  (v3  u3 )2


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik) Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar. Didefinisikan: gambar 14 u.v = |u || ||v | Cos U U = sudut antara u dan u dan v

Jika: 0 o e U  90 o

u Menu U

gambar 15

Z

Uji Kompetensi Referensi

90 o  U e 180 o

maka u.v < 0

u.v = (u1i + u2 j + u3k ).(v1i + v2 j + v3k ) (0,0,1) k (0,0,1)

Contoh Soal

maka u.v = 0

Misalkan vektor u vektor u = (u1i + u2 j + u3k ) dan vektor v = (v1i + v2 j + v3k ). Perkalian titik kedua vektor adalah:


U = 90 o v


maka u.v > 0

(1,0,0) i (1,0,0)

O

=

Y (0,1,0) j (0,1,0)

X

u1v1 + u2v2 + u3v3 atau secara geometris:

u.v = |u || ||v | Cos U

i .i = | i || i | Cos 0 o = 1 analog, maka: i .i = j . j j = k .k = 1 i . j j = | i || j | Cos 90 o = 0 ( j = j .k = k .i = 0 0 (i B j ) analog, maka i . j Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar


F. Perkalian Silang Vektor Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.


gambar 16

Didefinisikan:

u x v

u x v = |u || ||v | Sin U

v

U = sudut terkecil antara u dan u dan v

U

Menu

Arah u x v ditentukan berdasarkan arah putaran tangan kanan.

u

v

U

Petunjuk

v x

u

u

Standar Kompetensi gambar 17

Pendahuluan

i x i = j x j = k x k = 0


Uji Kompetensi

||i | Sin 0 o = 0 analog, 0 analog, maka: i x i = |i ||

Z

(0,0,1) k (0,0,1) (1,0,0) i (1,0,0)

X

O

Y (0,1,0) j (0,1,0)

i x j = |i || j | Sin 90 o = 1 || j

( i B j )

Berdasarkan definisi maka: i x j = k

j x k = i

k x i = j

j x i = -k

k x j = -i

i x k = - j


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah cara Sarrus. Vektor u Vektor u = (u1i + u2 j + u3k ) dan vektor v = (v1i + v2 j + v3k ).

i

j

u x v = u1

u2

v1

v2

i

j

u3

! u1

u2

v3

v1

v2


(±)

j

u3

u1

u2

v3

v1

v2

(±)

(+)

(+)

(+)

u x v = ( u2v3i + u3v1 j + u1v2k ) ± ( u2v1k + u3v2i + u1v3 j )


(±)

i

u x v =

¨ u2 v 3  u3 v 2 ¸ © ¹ © u3 v1  u1v 3 ¹ © u v u v ¹ 2 1 º ª 1 2

Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar


G. Sudut antara Dua Vekto Vektorr di Ruang (R3) gambar 18

Z


u

K F O E

Menu

Y


sudut antara vektor satuan i dengan vektor u vektor u .

F

sudut antara vektor satuan j dengan vektor u vektor u .

K

sudut antara vektor satuan k dengan vektor u vektor u .

Jika u = u1i + u2 j + u3k maka : Cos E

!

X gambar 19

C Z

Pendahuluan

Contoh Soal O

Uji Kompetensi

X

U

K !

yB(b1,b2,b3)

u.i u i u.k u k

u1 u

!

!

Cos F

!

u. j u j

!

u2 u

u3 u

Vektor a Vektor a = a1i + a2 j + a3k dan A(a1,a2,a3) vektor b = b1i + b2 j + b3k maka y sudut antara kedua vektor:

b

Uraian Materi

Referensi

E

a Y

Cos U

!

Cos U

!

a.b | a || b | a1b1  a2b 2 2

a1 Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

 a2

2

 a3

Lanjut La

2

 a3b 3

2

. b1

Awal Aw

 b2 Akhir

2

 b3

2

Keluar



Contoh Soal 1. Diketah Diketahui ui koordina koordinatt P(2, P(2, 3, 5) dan dan Q(1, Q(1, 5, 2) a) Nyatakan komponen dari PQ b) Nyatakan Nyatakan PQ sebagai kombina kombinasi si linear vektor vektor basis b) Hitung panjang PQ Penyelesaian: a) PQ = PO + OQ = - p + q = q - p ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨  1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ ! PQ © 5 ¹  © 3 ¹ ! © 2 ¹ ©2¹ ©5¹ ©  3¹ ª º ª º ª º

Z

Menu

yP(2,3,5)

Petunjuk p

Standar Kompetensi

yQ(1,5,2) O

q

Y

Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal

Uji Kompetensi

b) Bila Bila din dinya yata takan kan sebag sebagai ai kombinasi linear vektor basis, maka:

X

PQ = -i + 2 j ± ± 3k

2 2 2 c) |PQ| ! (1  2)  (5  3 )  ( 2  5)

|PQ| ! ( 1)2  22  ( 3)2 |PQ| ! 1


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu Petunjuk

Contoh Soal 2. Tentukan besar sudut sudut antara antara vektor vektor u u = 3i ± ± 2 j + j + k dengan k dengan sumbusumbu koordinat. Penyelesaian: Misalkan: E sudut antara vektor u vektor u dengan dengan sumbu X F sudut antara vektor u vektor u dengan dengan sumbu Y vektor u dengan dengan sumbu Z K sudut antara vektor u | u |!

32

Standar Kompetensi

Cos E

!

Pendahuluan

Cos F

!

Uraian Materi

Cos K Contoh Soal

!



( )2

u1

|u| u2

|u| u3

|u|

3

!

!

!

2 1 !

14

!

2



14 1

14

!

14

3 14 14 !





E

2 14 14

14 14



K

!



!

¨ 3 14 ¸ ¹ arc cos© © 14 ¹ ª º

F

!

!

36,7o

¨ 2 14 ¸ ¹ arc cos©  © 14 º¹ ª

¨ 14 ¸ ¹ arc cos© © 14 ¹ ª º

!

!

122,3o

74,5o


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Contoh Soal 3. Diket Diketahu ahuii vekt vektor or a a = (±1, 0, 2) dan b = (±3, 0, 1). Tentukan Tentukan besar sudut antara vektor a vektor a dan b. Penyelesaian: Misalkan: U adalah sudut antara vektor a vektor a dan b.

Menu

sU

!

Cos U

!

a.b

| a || b |

Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi

C

U !

 1(3)  0(0)  2(1)

(1)2 5 5. 10



02

!



22 . (3)2

5 5 2

1 !

2

2





02



12

¨ 1 ¸ 2¹ ª 2 º

U ! arc cos©

!

45o

Jadi besar sudut antara vektor a vektor a dan b = 45o

Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar


Contoh Soal 4. Diten Ditentu tukan kan vekto vektor r a a = ±3i ±3i + + 2 j ± ± 2k dan k dan b = i ± ± 4 j + j + 3k 3k . Hitunglah a x b.


Penyelesaian: i axb= 3 1

Menu

j 2

4

k 2 3

(±)


!

i 3 1

(±)

j 2

4

k i j 2 2 3 3 1 4

(±)

(+)

(+)

(+)

2(3)i + + (-2)1 j +(-3)(-4) (-2)((-4) 4)i + (-3)3 j ) j +(-3)(-4)k k )) ± ( 2(1)k + k + (-2) i + j ) a x b = ( 2(3)i =

± 2 j + ± 9 j ) j ) ( 6i 6i ± j + 12k 12k )) ± ( 2k + k + 8i 8i ±

=

(6 ± 8)i + i + (± 2 + 9) j + j + (12 (12 ± 2)k 2)k

=

± 2i + i + 7 j + j + 10k 10k

Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



U ji

Kompetensi

1. Vektor a r a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a vektor a adalah .... a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 ) d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -2, -9, 6 )

Menu Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

U ji

Kompetensi

1. Vektor a r a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a vektor a adalah .... a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 ) d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Jawaban Anda salah Coba lagi?

Lihat

jawaban

Petunjuk Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

U ji

Kompetensi

1. Vektor a r a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a vektor a adalah .... a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 ) d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Jawaban Anda benar Lihat

jawaban?



Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar




U ji

Kompetensi

1. Vektor a r a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a vektor a adalah .... a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 ) d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 ) Penyelesaian: Misalkan titik ujung vektor a vektor a adalah (a1, a2, a3) maka: ¨ 5 ¸ © 7 ¹ ©  2¹ ª º

!

¨ a1  3 ¸ © ¹ a  (2) 2 ©© ¹¹  4 a ª 3 º



®a1  3 ! 5  a1 ! 8 ± ¯ a2  2 ! 7  a2 ! 5 ± °a3  4 ! 2  a3 ! 2

Jadi titik ujung vektor a vektor a adalah (8, 5, 2)



Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar




U ji

Kompetensi

± 6k . Tentukan 2. Diket Diketahu ahuii vekt vektor or u u = ± 2i + i + 4 j ± Tentukan besar sudut antara vektor u vektor u dengan dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian: Misalkan: E sudut antara vektor u vektor u dengan dengan sumbu X vektor u dengan dengan sumbu Y F sudut antara vektor u K sudut antara vektor u vektor u dengan dengan sumbu Z | u |!

(2)2

Cos E

u1

!

Cos F

!

Cos K

!


|u| u2

|u| u3

|u|

 !

!

!

42 



(6)2

2 2 14 4

2 14 

!

2 14

!

56

14  14 14 7

!

6

!





!



F

3 14 14

E

!



2 14 !

¨ 14 ¸¹ © arc cos  © 14 ¹ ª º

¨ 14 ¸ ¹ arc cos© © 7 ¹ ª º K

!

!

!

105,5o

57,7o

¨ 3 14 ¸ ¹ arc cos©  © ¹ 14 ª º

!

143,3o


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



U ji

Kompetensi

3. Posisi sebuah sebuah pesawat pesawat pada pada waktu t jika disimulasikan disimulasikan dalam ruang ruang ditentukan oleh vektor (t, 2t, ±t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B. Penyelesaian:


Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, ±1) Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, ±2) 2 Jarak A dan B: | AB |! (2  1)

 (4

 2)2



(2  (1))2

!

6

Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah 6 satuan panjang.

Contoh Soal


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

U ji

Kompetensi

4. Diten Ditentu tukan kan vekto vektor r a a = (4, (4, ± 2, 1), 1), b = (±2, 3, ±2), dan c = (±1, 4, 3) . Hitunglah a x (b (b + c ). Penyelesaian: ¨  2 ¸ ¨  1 ¸ b + c = © 3 ¹  © 4 ¹ ©  2¹ © 3¹ ª º ª º


i

a x ( b+c ) =

4

3

!

j 2 7

¨  3 ¸ © 7¹ © 1¹ ª º k 1 1


Uji Kompetensi Referensi

!

(±)

Pendahuluan

i 4

3 (±)

j 2 7

k

i

1 1

4

j 2

3

7

(±)

(+)

(+)

(+)

(-2)1i + + 1(-3) j + 4(7)k )) ± ( (-2)(-3)k + k + 1(7)i + i + 4(1) j ) j ) j + 4(7)k a x ( b+c ) = ( (-2)1i =

( ± 2i ± ± 3 j + j + 28k 28k )) ± ( 6k + k + 7i 7i + + 4 j ) j )

=

( ± 2 ± 7)i + i + ( ± 3 ± 4) j + j + (28 (28 ± 6)k 6)k

=

± 9i ± ± 7 j + j + 24k 24k

=

( ± 9, ± 7, 24 )

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu

Referensi 

Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, K alkulus alkulus dan Geometri nalitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999. Analitis,



Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur A Analitik Ruang , Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.



Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SM A, Jilid 3A, Erlangga, Jakarta, 2004.



Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar



Menu Petunjuk

Biodata Tim Nama : Teopilus Malatuni, S.Pd. NIP : 132 225 903 Pek eker erjaa jaan n : Gu Guru ru SMA SMA Ne Nege geri ri 1 Kaima Kaimana na,, Provinsi Irian Jaya Jay a Barat Tugas : Mengajar Mata Pelajaran Matematika, Teknologi Informasi & Komunikasi Alamat Alam at : Ja Jala lan n Vet eter eran an,, Kom Kompl plek ekss SMAN SMAN 1 Kai Kaima mana na 98 98654 654 Telp/Fa elp/Fax x : Kantor (0957) 21016; Rum Rumah ah (0957) (0957) 21312; 21312; HP 08134403994 081344039940 0 E-mail : teo_malatuni@telkom om..net

Standar Kompetensi Pendahuluan Uraian Materi Contoh Soal

Uji Kompetensi

Nama : Ani Juniati NIP :  Peke ekerjaa rjaan n : Sta Staff Adm Admini inistra strasi si SMA Neg Negeri eri 1 Kaimana Kaimana,, Provinsi Irian Jaya Jay a Barat Tugas : Menangani dan mengop ope era rassikan kom omp puter pada bagian Tata Tata Usaha Alamat : Jal ala an Pedesaan Ka Kaimana Telp/Fa elp/Fax x : Kantor (0957) 21016; Rum Rumah ah (0957) (0957) 21740; 21740; HP 08134404304 081344043041 1 E-mail : [email protected]


Balik

Lanjut La

Awal Aw

Akhir

Keluar

PENERAPAN_KONSEP_VEKTOR

Recommend Documents