Universidad Politécnica de Victoria Victoria Ingeniería Mecatrónica Ecuaciones dinámicas para un péndulo doble Asignatura:
Modelado y Simulación de sistemas Equipo:
Arriaga Espinoza Karla Victoria Victoria Ávila Alba Jonathan García Chávez Sergio Hernández Barrera Oscar Herrera González José Roberto Morales Navarro Ángel Guillermo Nájera Arias Ramiro Josué Ramírez Vázquez Guillermo Francisco Rojo Martínez Luis Ángel Trejo Ramos Christian Alejandro Profesor:
Dr. Dr. Roger Miranda Colorado Ciudad Victoria, Tamaulipas, Febrero de 2014
Ecuaciones dinámicas para un péndulo doble
Índice 1. RESUMEN
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2. OBJETIVO
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3. DESARROLLO TEÓRICO
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4. SIMULACIONES
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5. CONCLUSIÓN
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Ecuaciones dinámicas para un péndulo doble
Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5.
Péndulo doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . Gráfica 1. Condiciones iniciales: q1=4o q2=3o . . . Gráfica 2. Condiciones iniciales: q1=10o q2=11o . Gráfica 3. Condiciones iniciales: q1=30o q2=30.5o
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Ecuaciones dinámicas para un péndulo doble
1. RESUMEN En el presente reporte se detalla el problema resuelto en clase, el cual consistió en encontrar las ecuaciones dinámicas de un péndulo doble. Además se agregan las simulaciones realizadas en Simulink y Matlab en las cuales se logró observar el movimiento que realizaban ambos péndulos y las respectivas gráficas que representan la oscilación.
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2. OBJETIVO Analizar el problema del péndulo doble resuelto en clase, así como realizar la simulación de dicho sistema y observar el comportamiento del movimiento de ambas masas.
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3. DESARROLLO TEÓRICO El problema resuelto consistió en un péndulo doble (Figura 1) el cual cuenta con dos masas ubicadas entre las coordenadas x y y. Teniendo como concepto principal que las coordenadas generalizadas son el con junto mínimo de variables linealmente independientes que describen a un sistema, se tomaron como coordenadas los ángulos θ de inclinación de cada masa, nombrándolos «q1» y «q2».
Figura 1: Péndulo doble.
Después, se definieron las ecuaciones para las coordenadas de X y Y en ambas masas del sistema, tomando en cuenta la ley de el seno y el coseno en un triángulo rectángulo (ecuaciones 1 y 2). Esto con motivo de que en ambas razones trigonométricas se cuenta con una ecuación para cada una que, si se despeja correctamente, se puede encontrar el valor deseado de alguna variable que va desde el valor de la hipotenusa, los ángulos o la magnitud de los lados de dicho triángulo.
senθ =
cateto opuesto a θ hipotenusa
(1)
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cosθ =
cateto adyacente a θ hipotenusa
(2)
En el caso de encontrar el valor de la componente en x para cada masa, se utilizó la ley del seno ya que dicha componente se ubica como cateto opuesto al ángulo θ . En el caso de la componente en y para cada masa, se utilizó la ley del coseno por encontrarse ésta adyacente al ángulo. Si se despejan las ecuaciones anteriores quedan de la siguiente manera (ecuaciones 3 y 4).
cateto opuesto = hipotenusa ∗ senθ
(3)
cateto adyacente = hipotenusa ∗ cosθ
(4)
Al hacer el análisis con el sistema a resolver, las componentes x y y para cada masa quedaron de la siguiente manera: x1 = l1 senθ 1 = l1 senq1 y1 = −l1 cosθ 1 = −l1 cosq1 x2 = l1 senθ 1 + l2 senθ 2 = l1 senq1 + l2 senq2 y2 = −l1 cosθ 1 − l2 cosθ 2 = −l1 cosq1 − l2 cosq2
En seguida, se debe calcular la norma del vector 1 y del vector 2, la cual se define como el vector transpuesto por el vector y que es necesario que las componentes x y y se encuentren derivadas ( x˙, y˙). Por lo tanto al hacer la operación de la norma se obtiene lo siguiente:
x˙ y˙
˙2 ( x˙ y˙) = x˙2 + y
(5)
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Las componentes x1,y1,x2 y y2 al derivarlas quedan como se muestra a continuación:
x˙1 = l1 q˙1 cosq1 y˙1 = l1 q˙1 senq1 x˙2 = l1 q˙1 cosq1 + l2q˙2 cosq2 y˙2 = l1 q˙1 senq1 + l2q˙2 senq2
Al realizar la suma obtenida de la norma (ecuación 5) con cada una de las masas y sus respectivas componentes, se obtienen las siguientes ecuaciones. En m1: ˙21 = (l1 q˙1 cosq1 )2 + (l1 q˙1 senq1)2 = l21 q˙21cos2 q1 + l21 q˙21sen2 q1 x˙21 + y Y al factorizar el resultado ˙21 = l21 q˙21(cos2 q1 + sen2 q1 ) x˙21 + y donde se sabe que cos2 q1 + sen2 q1 = 1
Por lo tanto: ˙21 = l21 q˙21 x˙21 + y
En m2: ˙22 = ( l1 q˙1 cosq1 + l2 q˙2cosq2 )2 + (l1 q˙1 senq1 + l2 q˙2 senq2 )2 x˙22 + y
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Al elevar los coeficientes al cuadrado x˙22 = l21 q˙21 cos2 q1 + 2l1 l2 q˙1 q˙2cosq1 cosq2 + l22q˙22 cos2 q2 y˙22 = l21 q˙21sen2 q1 + 2l1 l2 q˙1 q˙2 senq1 senq2 + l22 q˙22 sen2 q2
Sumando ambas componentes y factorizando ˙22 = l21q˙21 cos2 q1 + 2l1 l2 q˙1 q˙2 cosq1 cosq2 + l22 q˙22 cos2 q2 + l21 q˙21 sen2 q1 + x˙22 + y 2l1 l2 q˙1 q˙2 senq1senq2 + l22 q˙22 sen2 q2
˙22 = l21 q˙21(cos2 q1 + sen2 q1 ) + l22 q˙22(cos2 q2 + sen2 q2 )+ x˙22 + y 2l1 l2q˙1 q˙2 (cosq1 cosq2 + senq1 senq2 )
En donde la función trigonométrica cosxcosy + senxseny = cos( x − y) cosq1 cosq2 + senq1senq2 = cos(q1 − q2 )
Por lo tanto ˙22 = l21 q˙21 + l22 q˙22 + 2l1 l2 q˙1 q˙2 cos(q1 − q2 ) x˙22 + y
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En seguida se obtiene la ecuación de la energía cinética (ecuación 6) y la energía potencial (ecuación 7) de todo el sistema, eso significa que se tomará en cuenta tanto la masa 1 como la masa 2.
1 1 T = m1 ||V 1 ||2 + m2 ||V 2 ||2 2 2 1 1 = m1 l1 q˙21 + m2 (l21 q˙21 + l22 q˙22 + 2l1 l2 q˙1 q˙2 cos(q1 − q2 )) 2 2 Factorización 1 2
(6)
1 2
= (m1 + m2 )l21q˙21 + m2 l22 q˙22 + m2 l1 l2 q˙1 q˙2 cos(q1 − q2 ))
U = −m1 gl1 cosq1 − m2 g(l1cosq1 + l2 cosq2 )
(7)
= −(m1 + m2 )gl1 cosq1 − m2 gl2 cosq2 Con la información anterior se obtuvo el lagrangiano, el cual se desarrolló de la siguiente manera: L =
1 2
1
(m1 + m2 )l21 q˙21 + m2 l22q˙22 + m2 l1 l2 q˙1 q˙2 cos(q1 − q2 ) 2 +(m1 + m2 )gl1 cosq1 + m2gl2 cosq2
(8)
En seguida se obtuvo el parcial del Lagrangiano con respecto a q˙ 1 y q˙2 . ∂ L = (m1 + m2 )l21 q˙1 + m2 l1 l2 q˙2 cos(q1 − q2 ) ˙ ∂ q 1
∂ L ∂ q ˙2
= m2 l22 q˙2 + m2 l1 l2 q˙1 cos(q1 − q2)
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Ahora se obtiene la derivada con respecto al tiempo de la parcial del lagrangiano con respecto a q˙1 y q˙2 . d ∂ L dt ∂ q˙ 1
= m2 l22 q¨2 + m2 l1l2 q¨1cos(q1 − q2)
−m2 l1 l2 q˙1 (q˙1 − q˙2 )sen(q1 − q2 ) d ∂ L dt ∂ q˙ 2
= m2 l1 l2 q¨1 cos(q1 − q2 ) + m2l22 q¨2
−m2 l1 l2 q˙1 (q˙1 − q˙2 )sen(q1 − q2 ) Ahora se calcula el parcial del Lagrangiano con respecto a q 1 yq2 . ∂ L ∂ q1
= −m2 l1 l2 q˙1 q˙2sen(q1 − q2) − (m1 + m2 )gl1 senq1 ∂ L ∂ q2
= m2 l1 l2 q˙1 q˙2 sen(q1 − q2 ) − m2 gl2 senq2
A partir de las ecuaciones anteriormente desarrolladas, se obtiene:
(m1 + m2 )l21 q¨1 + m2 l1 l2q¨2 cos(q1 − q2 )+ m2 l1 l2 q˙22sen(q1 − q2 )+(m1 + m2 )gl1 senq1 = 0 m2 l1 l2 q¨1 cos(q1 − q2 ) + m2 l22 q¨2 − m2 l1 l2 q˙21 sen(q1 − q2 ) + m2gl2 senq2 = 0
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4. SIMULACIONES En este apartado se muestra la simulación del sistema del péndulo doble. La señal de salida Q(s) representará la posición que tiene el péndulo en base a una señal de entrada F(s) de un impulso unitario. Se variarán parámetros como la masa y la fricción para observar cómo reacciona el sistema. En la siguiente figura (figura 2) se muestra un diagrama de bloques el cual representa el modelo matemático del sistema, en él se tiene una entrada F(s) y Q(s) como se describió anteriormente.
Figura 2: Diagrama de bloques del sistema.
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Para realizar las simulaciones se consideró una masa (m1)= 10kg, m2= 12kg, L1 y L2 = 0.7m. A continuación se muestran tres gráficas obtenidas con diferentes condiciones iniciales de q1 y q2.
Figura 3: Gráfica 1. Condiciones iniciales: q1=4 o q2=3o
Figura 4: Gráfica 2. Condiciones iniciales: q1=10 o q2=11o
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Figura 5: Gráfica 3. Condiciones iniciales: q1=30 o q2=30.5o
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5. CONCLUSIÓN A partir de este problema se puede concluír que mientras más sea la cantidad de coordenadas generalizadas en un sistema, las ecuaciones y operaciones a realizar para obtener las ecuaciones dinámicas del mismo, también aumentan. Sin embargo se debe seguir tomando en cuenta identidades trigonométricas así como operaciones básicas de álgebra para obtener éxito en la resolución del mismo. También se puede destacar que la masa 1 del sistema no sufre reacción alguna si se tiene una masa 2, y es la segunda la que sufre dichas reacciones que afectan finalmente las gráficas obtenidas de su movimiento.
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