Universidad de San Carlos de Guatemala
Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media, EFPEM Profesorado en Enseñanza de la Física y la Matemática Departamento de Física Curso: Física 3 Catedrático: n!" #u!o $s%aldo &alazar #ernández 'u(iliar: PEM )l*aro Marcelo +ara Miranda &alón D" &á-ados, de .:// a 00:// Péndulo de torsión
Considere Consid ere un cuerpo cuerpo rí!id rí!idoo e(tenso e(tenso cuya cuya masa es 1orizontal sin fricción"
, el cual cual descansa descansa so-re so-re un plano plano
&upon!a 2ue el centro de masas de dic1o o-eto es Por otro lado, dic1o o-eto está soldado a una *arilla 2ue permanece en posición *ertical" El punto donde la *arilla está unida al o-eto rí!ido es el punto de apoyo, denotado mediante +a separación entre el
y
es "
+a *arilla está 1ec1a de al!4n material elástico 2ue se puede retorcer"
1
5amos a trazar un rayo de referencia 2ue una al
y
5amos a rotar al o-eto rí!ido respecto al de tal forma 2ue el sufra una rotación" El án!ulo 2ue se descri-e allí será llamado 6amplitud an!ular7 y la denotaremos mediante " El si!uiente di-uo muestra al o-eto rí!ido *isto desde arri-a"
2
Cuando se realiza esa rotación, se está retorciendo la *arilla" En ese instante, la *arilla sufre un momento de torsión má(imo, al cual denotaremos como " +a *arilla reacciona pro*ocando un momento de torsión con la misma ma!nitud pero en sentido opuesto" &i denotamos mediante 8letra !rie!a 69appa7 al coeficiente de torsión de la *arilla, *eremos 2ue la ma!nitud del momento de torsión má(imo está dado mediante:
Cuando soltamos al sistema, la *arilla se desenrosca y se *uel*e a enrollar en sentido contrario" El punto de prue-a pasa por el punto de e2uili-rio, y lue!o, pasa 1asta alcanzar el ne!ati*o de la amplitud an!ular, esto es " +a *ista superior del o-eto rí!ido será la 2ue aparece en esta ilustración:
+ue!o, si la ener!ía mecánica del sistema se conser*a 8esto es cuando no 1ay fricción en el sistema, el punto de prue-a *uel*e a pasar por el P"E" y re!resa a la amplitud an!ular" ; así sucesi*amente, empieza un mo*imiento armónico, en el cual la *arilla se entorc1a y desentorc1a< se *uel*e a entorc1ar en sentido contrario, y se desentorc1a< y así una y otra *ez" Este es otro tipo de mo*imiento armónico, cuya frecuencia an!ular es:
3
Donde
es el momento de inercia del o-eto rí!ido respecto al
&e puede calcular este *alor, conociendo el momento de inercia respecto al aplicando el teorema de ees paralelos:
y lue!o,
Conociendo la frecuencia an!ular, se puede calcular con ella la frecuencia, por medio de la ecuación:
Por lo 2ue al despear la frecuencia:
; el período:
'1ora *eamos al!unos eemplos: 1.
Considere un disco rí!ido cuyo radio es , y cuya masa es de , el cual descansa so-re una mesa 1orizontal sin fricción" Está soldado a una *arilla elástica cuyo coeficiente de torsión es " +a *arilla permanece *erticalmente suspendida, y el punto de soldadura está a del centro del disco" &e 1ace rotar el disco a tra*=s del plano 1orizontal, y manteniendo como centro de rotación el , retorciendo con ello la *arilla, 1asta un án!ulo de " &e le suelta para 2ue el sistema empiece a oscilar, desentorc1ando la *arilla, y *ol*i=ndose a entorc1ar, una y otra *ez"
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Calcule: a" -" c" d"
+a frecuencia an!ular 2ue ad2uiere el sistema oscilante" +a frecuencia" El período de las oscilaciones" El tor2ue má(imo 2ue se aplica al sistema"
5ista a=rea de la fi!ura:
Datos: Masa del disco: >adio del disco:
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&eparación entre el
y el
:
Coeficiente de torsión de la *arilla: 'mplitud an!ular:
ncó!nitas: Momento de inercia respecto al
:
Momento de inercia respecto al
:
Frecuencia an!ular: Frecuencia: Período: ?or2ue má(imo: Planteamiento: Primero, se calcula el momento de inercia respecto al &a-emos 2ue la fórmula para el disco es:
sustituyendo *alores y operando se tiene:
+ue!o, se calcula el momento de inercia respecto al
6
&ustituimos *alores y operamos:
Con este *alor ya se puede calcular la frecuencia an!ular:
Despu=s, calculamos la frecuencia:
7
; por 4ltimo, determinamos el período:
El má(imo tor2ue 2ue sufre la *arilla al ser retorcida está dada mediante:
@" Considere una -arra del!ada y rí!ida de de lar!o, y de de masa" el cual descansa so-re una mesa 1orizontal sin fricción" Está soldada a una *arilla elástica cuyo coeficiente de torsión es " +a *arilla permanece *erticalmente suspendida, y el punto de soldadura está a
del centro de la -arra" &e 1ace rotar la -arra a tra*=s del
plano 1orizontal, y manteniendo como centro de rotación el
, retorciendo con ello la
*arilla, 1asta un án!ulo de " &e le suelta para 2ue el sistema empiece a oscilar, desentorc1ando la *arilla, y *ol*i=ndose a entorc1ar, una y otra *ez"
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Calcule: a" -" c" d"
+a frecuencia an!ular 2ue ad2uiere el sistema oscilante" +a frecuencia" El período de las oscilaciones" El tor2ue má(imo 2ue se aplica al sistema"
Datos: Masa de la -arra rí!ida: +on!itud de la -arra rí!ida: &eparación entre el
y el
:
Coeficiente de torsión de la *arilla elástica: 'mplitud an!ular:
ncó!nitas: Momento de inercia respecto al
:
Momento de inercia respecto al
:
Frecuencia an!ular: Frecuencia: Período: ?or2ue má(imo: 5ista a=rea
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Planteamiento: Primero, se calcula el momento de inercia respecto al &a-emos 2ue la fórmula para una -arra del!ada es:
&ustituyendo *alores y operando se tiene:
+ue!o, se calcula el momento de inercia respecto al
&ustituimos *alores y operamos:
Con este *alor ya se puede calcular la frecuencia an!ular:
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Despu=s, calculamos la frecuencia:
; por 4ltimo, determinamos el período:
El má(imo tor2ue 2ue sufre la *arilla al ser retorcida está dada mediante: 3.
'1ora, supon!a 2ue en lu!ar de un disco o de una -arra lar!a, tenemos un *olante en forma de anillo cuya masa es , y con radio de " ; 2ue en lu!ar de una *arilla *ertical elástica, está unido a un resorte 8como los resortes de los anti!uos reloes de cuerda cuyo coeficiente de torsión es " &upon!a 2ue el ee del resorte coincide con el centro del anillo" &e le retuerce un án!ulo de , y se suelta para 2ue el sistema oscile" Calcule: a" +a frecuencia an!ular 2ue ad2uiere el sistema oscilante" -" +a frecuencia" c" El período de las oscilaciones" d" El tor2ue má(imo 2ue se aplica al sistema" 11
Datos: Masa del anillo: >adio del anillo: &eparación entre el
y el
:
Coeficiente de torsión de la *arilla elástica: 'mplitud an!ular:
ncó!nitas: Momento de inercia respecto al
:
Momento de inercia respecto al
:
Frecuencia an!ular: Frecuencia: Período: ?or2ue má(imo:
5ista a=rea
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Planteamiento: Primero, se calcula el momento de inercia respecto al &a-emos 2ue la fórmula para un anillo es:
&ustituyendo *alores y operando se tiene:
+ue!o, se calcula el momento de inercia respecto al
&ustituimos *alores y operamos:
5ea 2ue en este caso el P"' y el C"M coinciden, por lo cual el momento de inercia respecto al P"', resulta i!ual al momento de inercia respecto al C"M" Con este *alor ya se puede calcular la frecuencia an!ular:
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Despu=s, calculamos la frecuencia:
; por 4ltimo, determinamos el período:
El má(imo tor2ue 2ue sufre la *arilla al ser retorcida está dada mediante:
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