PÉNDULO Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.
PÉNDULO SIMPLE Se denomina así a todo cuerpo de masa m (de pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos ltimas condiciones no son reales sino ideales! pero todo el estudio que reali"aremos referente al péndulo# se facilita admitiendo ese supuesto.
PÉNDULO FÍSICO Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera# habremos cons constr trui uido do un pénd péndul ulo o físic físico. o. $or $or esto esto## todo todoss los los pénd péndul ulos os que que se nos nos prese present ntan an (colum (columpio pios# s# péndul péndulo o de reloj# reloj# una l%mpara l%mpara suspen suspendid dida# a# la plomad plomada) a) son péndul péndulos os físicos.
Oscilación – Amplitud – Per!d! " Frecuencia# Frecuencia# & continuaci'n estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilaci'n de los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo. aremos preiamente los si*uientes conceptos+
Longitud del péndulo (L) es la distancia entre el punto de suspensi'n y el centro de *raedad del péndulo. Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco &,). Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria reali"ada desde una posici'n extrem extremaa hasta hasta oler oler a ella# ella# pasand pasando o por la otra otra extrem extremaa (arco (arco &,&). &,&). &n*ul &n*ulo o de amplitud o amplitud (alfa) es el %n*ulo formado por la posici'n de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas.
Período o tiempo de oscilación doble (T) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilaci'n doble. Tiempo de oscilación simple (t) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilaci'n simple. Elongación (e). istancia entre la posici'n de reposo - y cualquier otra posici'n. Máxima elongación distancia entre la posici'n de reposo y la posici'n extrema o de m%xima amplitud. !recuencia ("). Es el nmero de oscilaciones en cada unidad de tiempo.
f/nmero de oscilaciones0tiempo
$elación entre %recuencia " peri!d! 1 / período! f / frecuencia
Supon*amos un péndulo que en 2 se*. 3umple 45 oscilaciones. En consecuencia+ 45 oscilaciones se cumplen en 2 se*.# por lo que 2 osc. se cumple en 1/2045 se* (periodo) . -bsérese que+ el período es la inversa de la frecuencia.
En sm&!l!s#
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Le"es del p+ndul!#
Le# de las masas
Suspendamos de un soporte (por ejemplo+ del dintel de una puerta) tres hilos de coser de i*ual lon*itud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes. $or ejemplo+ una piedra# un tro"o de hierro y un corcho. Saquémoslo del reposo simult%neamente. 6erificaremos que todos tardan el mismo tiempo en cumplir las oscilaciones# es decir# que todos 7an y ienen8 simult%neamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas+
Le" de masas# Las tres m%s de la fi*ura son distintas entre si# pero el periodo (1) de oscilaci'n es el mismo. (12/19/1:)
Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su masa y de su naturaleza.
Le" del Isócr!n!# ispon*amos dos de los péndulos empleados en el experimento anterior. Separémoslos de sus posiciones de equilibrio# de tal modo que los %n*ulos de amplitud sean distintos (pero no mayores de ; o < *rados). ejémoslo libres+ comien"an a oscilar# y notaremos que# también en este caso# los péndulos 7an y ienen8 al mismo tiempo. e esto sur*e la llamada Ley del isocronismo (i*uales tiempos)+ Para pe$ue%os ángulos de amplitud& los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes, o también+ El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas. La comprobaci'n de esta ley exi*e que los péndulos ten*an la misma lon*itud para determinar que en efecto los péndulos son is'cronos (tiempos i*uales)# bastar% erificar que pasan simult%neamente por la posici'n de equilibrio. Se lle*ara notar que las amplitudes de al*unos de ellos disminuyen m%s que las de otros# pero obseraremos que aquella situaci'n el isocronismo subsiste.
Le" de las l!n,itudes# Suspendamos ahora tres péndulos cuyas lon*itudes sean+ $éndulo & / (25cm) 2 dm. $éndulo , / (45 cm) 4 dm.
$éndulo 3 / (=5 cm) / = dm.
$rocedamos a sacarlos del reposo en el si*uiente orden+ 2) El de 2 dm. y el de 4dm. 9) 9) El de 2 dm. y el de =dm. -bseraremos entonces que+ a) El de menor lon*itud a m%s li*ero que el otro# o sea+ 7a menor lon*itud menor tiempo de oscilaci'n y a mayor lon*itud mayor tiempo de oscilaci'n8. b) >ientras el de 4 dm. cumple una oscilaci'n# el de 2 dm. cumple dos oscilaciones. c) >ientras el de = dm. cumple una oscilaci'n# el de 2 dm. cumple tres oscilaciones. Esta circunstancia ha permitido establecer la si*uiente ley de las lon*itudes+ Los tiempos de oscilación (! de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la !ierra, son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes.
En símbolos
12 y 19+ tiempos de oscilaci'n! l2 y l9 + lon*itudes.
$ara nuestro caso es+ 12/ 2 oscilaci'n y l2/ 2dm 19 / 9 oscilaciones y l9 /4 dm.
Lue*o+
Ent!nces# )*-()*&hora para+ 12/2 oscilaci'n y l2/2 1:/: oscilaciones y l:/= lue*o+
Ent!nces# )*.()*.
Le" de las aceleraci!nes de las ,ra/edades# &l estudiar el fen'meno de la oscilaci'n dejamos aclarado que la acci'n *raitatoria tiende a hacer parar el péndulo# pues esa es la posici'n m%s cercana a la 1ierra. Si*nifica esto# en principio# que la aceleraci'n de la *raedad ejerce una acci'n primordial que eidentemente debe modificar el tiempo de oscilaci'n del péndulo.
Si tenemos presente que la aceleraci'n de la *raedad aría con la latitud del lu*ar# resultar% que los tiempos de oscilaci'n han de sufrir ariaciones se*n el lu*ar de la 1ierra. En efecto# al experimentar con un mismo péndulo en distintos lu*ares de la 1ierra (*raedad distinta) se puede comprobar que la acci'n de la aceleraci'n de la *raedad modifica el tiempo de oscilaci'n del péndulo. $or ejemplo+ si en ,uenos &ires el tiempo de oscilaci'n es 12# y la *raedad *2# en ío de ?aneiro el tiempo de oscilaci'n es 19 y la *raedad *9# se erifica la si*uiente proporcionalidad+
epitiendo los experimentos para lu*ares de distinta latitud (por tanto# distinta *raedad) se puede erificar proporcionalidad semejante. e lo cual sur*e el si*uiente enunciado de la Ley de las aceleraciones de la *raedad+ Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la !ierra son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.
Fórmula del tiemp! de !scilación del p+ndul!# $ara poder obtener el tiempo de oscilaci'n de un péndulo se aplica la si*uiente expresi'n+
t+ tiempo de oscilaci'n! l+ lon*itud de péndulo! *+ aceleraci'n de la *raedad. @ue equiale al período o tiempo de oscilaci'n completa.
Si fuera el correspondiente para una oscilaci'n simple# aplicamos+
Esta f'rmula condensa en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto# obseramos+ 2) En esa expresi'n no fi*ura la masa m del péndulo# por lo que 7el tiempo de oscilaci'n es independiente de la masa8. 9) 3omo tampoco fi*ura el %n*ulo de amplitud# 7el tiempo de oscilaci'n es independiente de la amplitud8. :) La :ra. y 4ta. Leyes est%n incluidas en el factor+
Es decir+ 7los tiempos de oscilaci'n son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las lon*itudes e inersamente proporcionales a la de las aceleraciones de las *raedades8.
Caractersticas del m!/imient! del p+ndul! – Fuer0as 1ue act2an# Supon*amos el péndulo en la posici'n de equilibrio &>. El peso $ es anulado por la reacci'n del hilo y no hay oscilaci'n. 3onsideremos la posici'n -&# procedamos a descomponer la fuer"a peso $# se*n las direcciones m y n. -btendremos las fuer"as A2 y AB. La fuer"a AB queda anulada por la reacci'n del hilo. (Ai*. abajo) En consecuencia# en el punto & acta solamente la fuer"a A2# tan*ente al arco &>, y que prooca el moimiento del péndulo hacia >. Si en el punto &B efectuamos el mismo proceso de descomposici'n de la fuer"a ($) peso# obseraremos que A9 es menor que A2 obtenida anteriormente.
esulta entonces que# a medida que a medida que# el péndulo se acerca a su posición de equili"rio #$ la fuerza que provoca el movimiento disminuye %asta %acerse cero en el punto $ (peso y reacción se anulan.
& pesar de ello# el péndulo contina oscilando. Ello se debe a la inercia que posee. Si durante este moimiento acta una fuer"a A2# A9# etc.# el moimiento es acelerado (no uniformemente acelerado). 3uando el péndulo pasa al punto ># el peso del cuerpo acta como fuer"a ne*atia# es decir# el moimiento es retardado. &sí lle*ar% a un punto , en que su elocidad se anula# y no sube m%s (caso an%lo*o al del cuerpo lan"ado hacia arriba al alcan"ar su altura m%xima). En ese momento el proceso se inierte# repitiéndose en sentido contrario# es decir# de , hacia ># continuando hasta &.
En sntesis# 2) En &# la fuer"a A2 hace despla"ar al péndulo hasta > (moimiento acelerado). 9) En > péndulo debiera quedar en reposo# pero por inercia contina con moimiento retardado pues a en contra de la fuer"a *raitatoria. :) En ,# la elocidad del péndulo se ha anulado (y / 5). En ese instante se inierte el moimiento y se despla"a hacia >. El péndulo contina oscilando y cumpliendo el mismo proceso.
En c!nsecuencia# a) La fuerza que %ace mover al péndulo no es constante. b) La direcci'n y sentido de esas fuer"as son tales# que tienden a que el pendulo adquiera la posici'n de equilibrio c) 3omo la fuer"a A2 no es constan te# la aceleraci'n tan*encial no es constante. Su direcci'n y sentido cambian instante por instante.
d) La elocidad tan*encial se anula en los puntos extremos y no es constante. Es m%xima al pasar por la posici'n de reposo.
P!r l! tant!# El movimiento del péndulo es variado. esulta alternatiamente acelerado y retardado una e" cumplida cada oscilaci'n simple y como la aceleraci'n no es constante no es uniformemente ariado.
PÉNDULO DE 'O$SI3N Llamamos péndulo de torsi'n al dispositio formado por un alambro >C# sujeto por uno de sus extremos D>D a un punto fijo y el otro extremo C unido a una barra &, que a su e" termina en dos esferas.
'!rsión# Aen'meno que se produce al aplicar al extremo de un cuerpo una cupla# mientras el otro extremo est% fijo. 1ambién puede producirse torsi'n al aplicar simult%neamente un par de cuplas en cada uno de sus extremos. El péndulo de torsi'n permite calcular el momento de una fuer"a A perpendicular al eje de torsi'n (alambre >C).
Fact!res 1ue determinan su per!d! ! %recuencia# &pliquemos a los extremos de la barra &, la cupla A2/A9. La barra &, pasaría a la posici'n &B,B *irando un %n*ulo a y el alambre sufre una determinada torsi'n. Liberada la barra &, de esa cupla# el alambre tiende a oler a su posici'n primitia debido a la existencia de fuer"as el%sticas recuperadoras. En estas condiciones la barra &, comien"a a oscilar como un erdadero péndulo físico. Si deseamos detener al péndulo en el momento que forma el %n*ulo a ser% necesario aplicar una fuer"a que anule la torsi'n del alambre. Esta fuer"a ser% mayor o menor se*n sea el punto de aplicaci'n respecto del centro de *iro (respecto del alambre). $uede erificarse que la intensidad de esta fuer"a es la misma que hubiéramos necesitado para que desde la posici'n de reposo la barra &, formara el %n*ulo de torsi'n alfa.
e lo expuesto sur*e que todo depende del momento de la fuer"a aplicada (fuer"a por distancia). Se puede comprobar que entre el momento de la fuer"a aplicada y el %n*ulo de torsi'n a determinado# se cumple la si*uiente relaci'n+
En el péndulo de torsi'n# se cumple+ El tiempo de oscilaci'n es independiente del %n*ulo de amplitud. El tiempo de oscilaci'n se calcula mediante la expresi'n+()
()+ $ara el péndulo físico es+
($ara %n*ulos pequeños+ $.d/F) Similar a la del péndulo físico en la cual es G+ momento de inercia respecto al eje (hilo)! F+ constante que resulta del cociente entre > y alfa.
