Pembahasan-Soal-Matematika-SMA-UTS-Kelas-12.doc

UJI KOMPETENSI KOMPETENSI TENGAH SEMESTER  A. Pili Piliha han nG Gan anda da 1. Jawaban: c Pembahasan 2

[

∫ ( x2 ) dx =

L=

0

2.

] [

2 +1 2 1 = x 2 +1 0

1 3

]

2

x 3 0  =

1 (2)3 3

−

1 (0)3 3

 =

8 3

Jawaban: a Pembahasan:

1

∫ cos( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + C ∫ cos( 2x + 1) dx = 3.

Jawaban: c.

117

1 sin( 2x + 1) + C 2

π  

5

Pembahasan:

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari : y = x2  1 y=x! "ubstitusikan nilai y# didapat : x2  1 = x  ! x2  1 $ x $ ! = % x2 $ x $ 2 = % &x$2'& x1'=% x = 2 atau x = $ 1 b

∫   f   & x' −  g  & x'

(=

2

π  

2

dx

a

2

 =

π  

∫ & x + !'

2

− & x 2 + 1' 2

dx

−1 2

=

∫ − & x

π  

+ + x + *' − & x + 2x + 1'

2

)

2

dx

1

2

=

π  

∫  x

+ + x + * −  x ) − 2 x 2 − 1'

2

dx

−1 2

= π  

∫ −  x

−  x 2 + + x + ,

)

dx

−1

&−

1

&−

1

=

π  

=

π  

=

π  

&−

5

−

1

& 2' 5

−

 x

5 !2 5

5

!

 x

1 !

!

+ ! x 2 + , x'

&2' !

2

−1

+ !&2' 2 + ,&2' − &−

,

1

1

!

5

!

− + 12 + 1+' − & + + ! − ,'

1 5

& −1' 5

−

1 !

& −1' !

+ !&−1' 2 + ,&−1''

=

!!

&−

5 !!

− * + !!' !

+ !%' 5 ! = π  &−+ + !%' 5 117 2 π   = 2! π   = 5 5 Jawaban: c Pembahasan: =

4.

&−

π  

π  

π

π

3

∫ ( 3 cos x − 5 sin x ) dx = ( 3 sin x + 5 cos x ) π

3

π

6

6

π π     π π   =    sin + 5 cos  −  3 sin + 5 cos   3     6 6     3 = 3⋅ 3

= 5.

1

3

2 3

2

−

1

1

1

1

2

2

2

2

+ 5⋅ −3⋅ −5⋅ = 5⋅ 5

3

2

5

3

2

2

+ − = 1−

3

3

Jawaban: a Pembahasan: Inga! sin 2x = 2 sin x -os x π

π

2

2

∫ (cos x sin x ) dx = ∫ sin x ( cos x ) dx 2

0

2

0

 isalkan u = sin x dan du = -os x dx π

π

2

2

∫ sin

2

x ( cos x ) dx

0

6.

π

= ∫ u du = 2

0

1

u

3

3

2

0

  π    1 =  sin   − 0 = 3   2    3 

Jawaban: d Pembhasan: Inga! sin 2x = 2 sin x -os x π

π

2

2

∫ 

sin 2x cos x dx

π  

= ∫ 2 sin x cos x cos x dx π  

π 2

= ∫ 2 cos2

x sin x dx

π  

isalkan u = -os x dan du = / sin x dx -os

π 2

 = %

-os π = /1 π 2

0

sin 2x cos x dx =

∫ 

π  

∫ -2u

−1

2

du

1

3

=−

2

u

3

2 2 2 =  − ( 0 ) ÷ − − ( −1) ÷   = 0 − 3  3   3    3

−1

3

2

= − 7.

0 3

3

Jawaban: a Pembahasan: Inga! sin 2x = 2 sin x -os x π 

π 

2 

2 

∫ 

∫ 

sin 2x cos  x dx  =

0 

π  2 

2 sin x cos x cos x dx 

= ∫ 2 cos

2 

 x sin x dx 

0 

0 

isalkan u = -os x dan du = / sin x dx -os

π  

2

 = %

-os % = 1 π 

0 

2 

∫ sin 2x cos x dx  =

0 

∫ - 2u

8.

du

1

=− =

2 

01

2 3 u 3

1

2     2   =    − ( 0 ) 3  −  − (1) 3     3     3  

2 3

Jawaban: c Pembahasan: 1

∫ ( ! x 2 -! x + 7) dx =

 x 

%

9.

!

−

! 2

1  x 

2

+ 7 x  %

! 1+ − ! 1!  ! ! 2  = (1) − (1) + 7.1 − % = 1 − + 7 = = 2 2 2 2  

Jawaban: d Pembahasan: 1 2

π

1

∫ ( 2x + sin x ) dx = x + cos 2

0

2

π

0

(

)

   π    π    − 0 + cos 0 = 1 π − 1 = π − 1 =    ( ) ( )    + cos     4 4  2        2     2

10.

2

2

2

Jawaban: c Pembahasan: π 2

∫  ( sin

2

2

)

x - cos x dx

= 0/ π . -os x  sin x π%

0

= & $ π . -os =& 11.

Jawaban: d Pembahasan:

π  sin π

' $ & $ % . -os %  sin % '

π  % ' $ & %  % ' = π

b

(=

∫   f   & x' −  g  & x' 2

π  

2

dx

a

1

(=

∫ &2 x

π  

2

+ 1' 2 − &%' 2 dx

% 1

(=

∫ ) x

π  

)

+ ) x 2 + 1 dx

%

 )  x 5 + )  x ! + x  1    !  5  %  ) 5 ) !   = π   &1' + &1' + 1  !  5    ) )    12 + 2% + 15  = )7 π     = π   + + 1 = π    5 !     15   15 =

12.

π  

Jawaban: e Pembahasan:

13.

∫ 8 sin6x cos8x dx

 = 4 ∫ sin 14 x − sin 2xdx

Jawaban: a Pembahasan:

Dengan mensubtitusikan u = x ) $ 12x ⇒ du = )x! $ 12 dx

1

"ubtitusikan nilai dx =

∫ ( x 3 − 3 )( x 4 − 12x ) 14.

10

4( x dx

=

− 3)

3

1

du

( x − 3) + C 8

3

16

Jawaban: c Pembahasan: isal u = 2x!  ,# maka du = +x 2 1,x2 = ! du

∫ 

18 x 2x

3

2

dx

+8

= ∫  =

3

du

u

3 1

1

u

2

= ∫ 3u

−

1 2

du 1

+ C = 6( 2 x + 8 ) + C = 6 3

2x

2

2 15.

Jawaban: a Pembahasan:

+

-1

0

1

3

+8 +C

=−

2 cos 14 x + 12 cos 2x + C 7

0

L1

 1 1 1 1 1 = − ∫ − ( x − x ) dx = −  x − x    = − 0 −  − ÷ = −− ÷  = 4  − 2   2 4    4  1 1 1 1 1 = ∫ − ( x − x ) dx =  x − x    =  − ÷  − 0 = 4   2 4   4 2 0

3

2

4

1

1

1 4

1

0

L2

2

2

4

1

0

Jadi, luas oal ! " 16.

17.

1 4

1

1

4

2

+ =

Jawaban: -. &)# 2' embahasan: 3  perpotongan x  2y 4 , dan %4y42 x  2y = , x  2.2 = , x=) adi# 3 &)# 2' Jawaban: d Pembahasan: 6itik potong dengan sumbu x dan y adalah &%# /2' dan &!# %'.  x −  x1 −  y1 =  y2 −  y1  x2 −  x1  y + 2  x − % = %+2 !−% ! y + + = 2 x ! y − 2 x = −+ 2 x − ! y = +  y

karena graik ke atas maka 2 x − ! y ≥ + 18.

Jawaban: b Pembahasan: 8impunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x 9 %# y 9 % dan 2x  y 4 )

19.

Jawaban:d.

&

6 7

#

25 7

'

embahasan: D perpotongan x2y4, dan 5x!y915 x 2y = , × 5 5x  1%y = )% 5x!y =15 × 1 5x  !y = 15 / 7y = 25 25

y=

7

x  2y = , 6

25

x  2.

7

= ,  x =

6

adi# D& 20.

7

7

25

#

'

7

Jawaban: b Pembahasan: 8impunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau

irisan # dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan x 9 %# % 4 y 4 )# !x  2y 4 12# dan !x $ y 9 /!# &x# y 3'. erhatikan gambar berikut 6 4

%$-1

%

$$$

3 $$

0

$

4

x

∈

21.

22.

23.

Jawaban: d Pen"elesaian: roti asin sebanyak x kaleng roti manis y kaleng odel matematika# yaitu: R#i asin R#i Manis J$mlah !% 5% 12% roti asin diproduksi paling sedikit !% kaleng# maka x 9 !% roti manis diproduksi paling sedikit 5% kaleng# maka y 9 5%  pabrik roti memproduksi 12% kaleng setiap hari# maka x  y = 12% Jawaban: d. %& Pen"elesaian: 6itik koordinat x  y 4 )# yaitu: &%#)' dan &)#%' 6itik koordinat 2x  y 4 + yaitu: &%#+' dan &!#%' 6itik koordinat x 9 % dan y 9 % xy =) 2y=) 2x  y = + y =2 x =2 &x#y' = 2x  !y ;. &%#%' %.%%=% <. &%#)' 2.%)=) 3. &2#2' 2 . 2  ! . 2 = 1% . &!#%' 2 . !  !. % = + adi# nilai maksimumnya adalah 1% Jawaban: d Pen"elesaian: 6itik koordinat 2x  y 4 )# yaitu: &%#)' dan &2#%' 6itik koordinat x  2y 4 +# yaitu: &%#!' dan &+#%' 6itik koordinat !x  2y 9 +# yaitu: &%#!' dan &2#%' adi daerah penyelesaian system linier tersebut adalah >(.

24.

Jawaban: a Pen"elesaian:  banyaknya ke-ap kualitas > adalah x  banyaknya ke-ap >> adalah y odel matematika# yaitu: Keca' K I x J$mlah Ha(ga ?p ).%%%#%% x  y @ 5% A )x  !y @ 2%% A x B % A y B %

25.

Keca' K II y ?p !.%%%#%%

Pe(sediaan 5% botol ?p 2%%.%%%#%%

Jawaban: a. Pembahasan: isalkan mobil = x 3us = y

obil 3us 3atasan

3us &m2' + 2) +%%

isal x y 5,

x  y ≤ 5, +x  2)y ≤ +%% # maka x  )y ≤ 1%% &x#y' ∈ bilangan -a-ah dan x 9 % dan y 9 %. "ehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah x  y 4 5, x  )y 4 1%% x9% y9% &x#y' ∈ bilangan -a-ah ). U(aian enyelesaian: 1. 1  1   a. ∫  cos 5x − sin 3 x  dx 3  2  

2.

1 1 1 1 sin 5 x + ⋅ cos 3 x + C 2 5 3 3

= ⋅

1 1 sin 4 x − cos 3 x + C 4 3

 b.

∫ ( cos 4x + sin 3x ) dx =

-.

∫ ( 4 cos 4x + 3 sin 3x ) dx = sin4x - cos3x + C

d.

∫ ( cos 4 x − 3 cos 3 x ) dx =

1 sin 4 x − sin 3 x + C 4

enyelesaian: a.

∫ (3x5 + sin 2x − 6)dx =

1 6 x 2

−

1 sin 2x − 6 x + C 2

=

1 1 sin 5 x + cos 3 x + C 10 9

 b.

1

1

∫ (2 x + cos 2 x − sin 4 x )dx 6

6 ∫ 2x + cos

=

2 7

x7

1 2

x − sin

+ 2 sin

1 2

1 4

x

=

2 7

1

x + 4 cos

4

x7

+

1 1 1 1 sin x + cos x + C 1 1 2 4 2 4

x +C

3 3 4 1 cos x − 5x + C = ∫  x − cos 2x − 5x + C 5 2 20 2 1 1 7 1 1 1 8 ∫ (− x − cos 3x − sin x )dx = − 4 x − sin 3 x + 5 cos x + C d. 4 5 8 3 5 1 1 1 = − x 8 − sin 3x + 5 cos x + C 32 3 5 enyelesaian: -.

3.

∫ (

3

x

3

1

∫  ( 2 x  + 5 )

a.

5 x4 4

+ sin 2x − 5)dx =

7

0

1

7

8

0

0

8

1

∫  ( 3 x  − 6 )

b.

0

9

9

0

=

1 30

8

= 

1 1 1      ( 2.1+ 5)  − ( 2.0 + 5 ) = ( 7) −  ( 5) 16 16 16   16   

=

1

1

16

8

8

[ 5.764.801 − 390.625] =

1 16

8

8

( 5.374.176) = 335.886

dx

 ( 3 x  − 6 )  − = 3 6 dx  x  ( ) ∫   30 1

1

dx

1  ∫  ( 2 x + 5) dx = 16 ( 2x  + 5 )  1 = ( 7 ) − ( 5 )    16 1

−

1

  = 1 ( 3.1 − 6 ) − ( 3.0 − 6 )  = 1 ( − 3 ) − ( − 6) 30 30 

10

10

10

10

10

0

( 59.049 − 60.466.176 ) =

1 30

( −60.407.127 ) = − 2.013.570,9

∫  cos 3 x  dx π  

c.

0

π  

1 1  ∫  cos 3 x dx =  3 sin3x  = 3 ( sin3 ( π  ) − sin3 ( 0) ) = 0 π  

0

0

π  

∫  sin x cos x  dx

d.

2

0

π   π  

∫  sin x cos x 2

0

4.

 1  dx =  − cos 2x   4 

2

0

 1 1 1 π   = −  cos2  ÷ −  cos 2( 0) = − [ − 1− 1] = − [ − 2] = 4 4 4  2   

enyelesaian: odel matematika# yaitu: Saw# x

Manggis y

Ma*sim$m +%

)an"a*n"a b$ah +*g, Pembelian 2.5%% 2.%%% 1)%.%%% 1.5%% 1.25% / Ke$$ngan Keuntungan yang diharapkan# dipenuhi oleh ungsi C = &x# y' = 1.5%%x  1.25%y

1 2

5.

3anyaknya buah sao dan manggis yang dapat ditampung di tempat pedagang tersebut memenuhi  pertidaksamaan x  y 4 +% 3anyaknya buah sao dan manggis yang dapat dibeli oleh pedagang memenuhi pertidaksamaan 2.5%%x  2.%%%y 4 1)%.%%% ;leh karena x dan y berturut/turut menyatakan banyaknya buah sao dan manggis maka x 9 % dan y 9 %. adi# model matematika dari permasalahan tersebut adalah ungsi tuEuan C = &x# y' = 1.5%%x  1.25%y dengan ungsi kendala x  y 4 +% 2.5%%x  2.%%%y 4 1)%.%%% x9% y9% enyelesaian: isalkan roti < = x dan roti 3 = y# maka: Jenis R#i Te'$ng Menega Ha(ga < 2%% gr 25 gr !.+%% 3 1%% gr 5% gr 2.)%% ersediaan ! kg = !.%%% gr 1#1 = 1.1%% gr   a. odel matematika ?oti < = 2%%x  1%%y ≤ !.%%% ?oti 3 = 25x  5%y ≤ 1.1%% 3anyaknya roti < adalah x 9 % 3anyaknya roti 3 adalah y 9 %  b. Fungs tuEuan C berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat# yaitu C = !.+%% x  2.)%%y.