PECs de Física Computacional II Grado en Física, UNED Curso 2017/18 PEC del Tema 1
Importante: Esta prueba pertenece a la modalidad de evaluación continua. Al presentar esta prueba el estudiante acepta participar en la modalidad de evaluación continua con todas las consecuencias que ello implica. Para más detalles sobre las modalidades de evaluación, consulte la guía del curso.
Recomendaciones para la realización y la entrega de las Pruebas de Evaluación Continua (PECs)
D E N U , I I l a n o o i c a t u p m o C a c c i s í F
Consulte en las preguntas frecuentes del curso virtual las indicaciones dadas sobre las Pruebas de la Evaluación Continua. Forma de entrega de la memoria: Redacte un escrito usando (en la medida de lo posible) algún procesador de texto. Entregue en el curso virtual el documento en formato PDF, dentro de la herramienta ‘Entrega de trabajos”, nombrando al fichero como Apellido1-Apellido2-InicialdelNombre.pdf ‘
Contenido de la memoria: Dé respuesta a las cuestiones planteadas incluyendo explicaciones detalladas, razonamientos y desarrollos. En la resolución de las PECs se deberán utilizar los métodos numéricos estudiados en la asignatura. Los cálc cálculos ulos pued pueden en sim simplifi plificars carse e real realizan izando do pequeñ pequeños os progr programa amass info informát rmátiicos.. En ese sen cos sentid tido, o, se rec recomi omiend enda a apr aprov ovec echar har los con conocim ocimie ient ntos os de Fí Físi sica ca Computacional I y ejercitarse con la programación. En el caso de que así sea, los listados listados de los códigos códigos de deberá berán n ad adjun juntar tarse se al fina finall de la me memo moria ria com como o apéndices. No se admitirán como válidas soluciones obtenidas con programas de lenguaje simbólico o similares en los que el alumno haya utilizado funciones propias del programa. Por ejemplo, si se debe resolver un sistema de ecuaciones, una integral, una derivada, etc., debe plantearse un método de solución del problema concreto basado en alguna de las técnicas estudiadas en el curso y no calcularse la solución usando alguna función propia o comando de dichos programas. No obstante, se puede hacer uso de programas de cálculo simbólico como comprobación de la resolución personal y adjuntarse también en la memoria como anexos.
Enunciado de la PEC1, Curso 2017/18 Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza central. La fuerza es tal que su magnitud sólo depende de la distancia r de la partícula al centro de fuerza y está dirigida a lo largo de la línea que une la posición de la partícula con dicho centro F(r) = F(r )ur siendo r el vector de posición con respecto al centro y ur = el vector unitario. El hecho de que el partícula se encuentre sometido a una fuerza central confiere dos características fundamentales a su movimiento. En primer lugar, la energía se conserva, esto es, la fuerza es conservativa. En segundo lugar, el momento de la fuerza (o torque) respecto al centro es nulo ya que en todo momento la fuerza y el vector de posición son paralelos. La segunda de las condiciones implica que el vector momento angular de la partícula L es constante. Esto hace que el movimiento de la partícula quede confinado a un plano perpendicular al momento angular, gracias a lo que se puede describir el movimiento de forma sencilla en términos de las coordenadas polares planas (r y θ). Usando estas coordenadas la energía total E de la partícula es 1 2 2 2 + V (r) E = m r˙ + r ˙ θ 2 donde V (r) representa la energía potencial de la partícula, cuya forma dependerá de la fuerza central concreta que se haya aplicado. Por otra parte, 12 m r˙ 2 + r2 ˙θ2 son las contribuciones radial y angular de la energía cinética. Dado que el módulo del momento angular es constante L = mr2 ˙θ, podemos reescribir la energía total en términos de L 1 2 1 2 L2 + E = mr˙ + V (r ) = mr˙ + V ef (r) (1) 2 2mr2 2 donde hemos definido el potencial efectivo r r
D E N U , I I l a n o i c a t u p m o C a c i s í F
2
V ef (r )
=
L
2mr2
+ V (r)
Para resolver esta Tarea supondremos que la partícula se mueve en un campo atractivo de potencial α con (2) V (r ) = − α > 0 r
y fijaremos los valores de las constantes a Sistema Internacional.
m
= 1,
α
=5 y
L
= 1 en unidades del
a) Calcule el valor de r que hace que el potencial efectivo V ef (r) sea mínimo mediante el método de Newton y partiendo de varias semillas. Analice sobre este ejemplo el llamado teorema (o criterio) de convergencia. b) Sea rmin el valor calculado en el apartado anterior. En el caso de que la partícula tuviese una energía tal que E = V ef (rmin), ¿qué peculiaridad tendría el movimiento de la partícula? c) Supongamos que, además de las constantes fijadas anteriormente, exigimos que E = −1 (valor dado también en unidades del Sistema Internacional). Podremos ahora calcular los valores de r para los que la partícula tiene una velocidad radial
nula (r˙ = 0) resolviendo la ecuación 2
E =
L
2mr2
α
−
(3)
r
Utilizando el método numérico de la bisección, obtenga el (o los) valores de r que satisfacen la ecuación (3). Analice el número de iteraciones necesarias para garantizar una aproximación a la solución con un error absoluto menor que 10−5 . En el caso de que encuentre más de una solución, razone por qué sucede esto para este valor de E , indicando la forma que tiene la trayectoria descrita por la partícula. Teniendo en cuenta el número de soluciones encontradas en este apartado y en el apartado a), discuta las similitudes y las diferencias entre los movimientos descritos por la partícula en cada una de las situaciones. d) Finalmente, suponga que se fija el valor E = +1 (en unidades del Sistema Internacional). Calcule el (o los) valores de r que son solución de la ecuación (3) usando el método de punto fijo. Repita la búsqueda incorporando la aceleración de Aitken.
D E N U , I I l a n o i c a t u p m o C a c i s í F
e) Razone cuántas soluciones a la ecuación (3) existen para la energía discuta el significado de las mismas.
E =
+1 y
f) Utilizando los resultados obtenidos en los apartados a), c) y d) y mediante una representación logarítmica de los errores cometidos, estime el orden de convergencia de cada método numérico implementado y compárelos. (Para estimar el orden de convergencia y discutir esta cuestión no es necesario realizar ajustes por mínimos cuadrados).
