PD_Riccati_dan_PD_Clairaut.docx

TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA 

Oleh:

SILVIA ALVINI 1201272/2012

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2014

PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI Bentuk umum

Kecuali untuk Bernoulli.

 =  + +   = 0  karena akan menjadi Persamaan

Diferensial

Cara mencari solusi Persamaan Diferensial Riccati : Pandang bentuk umum Persamaan Diferensial Riccati

 =  +  +      ℎ  Misalkan

 =  + 1 Maka

 =   1     

Subsitusikan bentuk terakhir kedalam Persamaan Diferensial

  1  =  ( + 1) +  ( + 1)+         1  =    +  2 +  1 +   +  1 +           1  =    +  +  + ( 2 +  1 + 1)  1   2       =   +  1 +  1  =2     Sehingga diperoleh Persamaan Diferensial Linear Orde-1

 + 2 +=  Cari nilai z, kemudian subsitusikan ke pemisalan awal sehingga didapatlah solusi yang dicari.

2

Contoh Soal :

Selesaikan Persamaan Diferensial Riccati berikut :

 = 2 1   = 1 

Jawab : Misalkan

 =  + 1   ℎ =1+ 1

Maka

 =  1   Subsitusikan bentuk terakhir kedalam Persamaan Diferensial

 1  1    =2(1+ ) (1+ 1)  1  1  = 2 + 4 + 2  1  1  1  1  = 3 + 2  + 3 = 2 .    1  Faktor Integrasi :

 = ∫ = 

  +3 =2    =2  +3 [] =2   =  23   =  23 +  − Kalikan  ke P.D Linear Orde-1

3

Subsitusikan nilai

 ke pemisalan awal

 1 3  = 1 + 2 − =≫  = 1 + 2 + 3  3 +  Jadi, solusi P.D Riccati

adalah

Jika diketahui

 = 2 1   = 1     =  +  +   =  maka solusinya :

 3 2 = 1 + 2 + 3 2 +3=3  = 53

Subsitusikan nilai c ke solusi, sehingga didapat :

 3  = 1 + 2 + 5 Jadi, solusi P.D Riccati

adalah

 = 2 1   = 1  0 = 2     =  +  + 

4

PERSAMAAN DIFERENSIAL CLAIRAUT Bentuk Umum

)     =   + (   =+  =   Cara mencari solusi Persamaan Diferensial Clairaut :

Pandang bentuk umum Persamaan Diferensial Clairaut

=+ Maka

 =  +      + ( )  =   +        =  +   +′   0=+   Sehingga diperoleh solusi umum :

 =0 =≫ =  Dan diperoleh Solusi Singular :

 +  = 0 =≫  = 

5

Contoh soal :

Selesaikan Persamaan Diferensial Clairaut berikut :

=+2+ Jawab :

Turunkan persamaan terhadap x

 =   +   + 2  + 2        + 2   =  +   + 2    0=+2+2   Solusi umum

 = 0 =≫  =   Didapatlah solusi umum

=+2+  Solusi Singular

+2+2=0 =≫ = 2  1 Subsitusikan nilai p ke Persamaan Diferensial Clairaut

    = 2 1+2 2 1+ 2  1     = 2 2+ 4 ++1   = 2 1 Didapatlah solusi singular

 =  14  +4+4

=≫  =  14  + 2 6

Jadi, solusi P.D Clairaut

=+2+ adalah Solusi umum

=++

Solusi Singular

Jika diketahui

 =    +   =  maka solusinya :

Hanya bisa dilakukan pada solusi umum.

Solusi umum

2 = 0 +2+ =≫  =2   = 0 Subsitusikan nilai c ke solusi umum

 =2 =≫ =2+8  = 0 =≫  ℎ    Jadi, solusi P.D Clairaut

=+2+   0 = 2 adalah

=+

7