Statique et dynamique CTN-258 Cours 4 Treillis et charpentes
Département de génie de la construction
Chapitre 4 Équilibre des structures 4.1 Introduction 4.2 Treillis articulés 4.3 Treillis simples 4.4 Analyse des treillis articulés par la méthode des nœuds 4.5 Analyse des treillis par la méthode des sections 4.6 Structures et mécanismes
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4.1 Introduction Ce chapitre portera sur l’analyse des structures simples qui seront vues dans le cadre du cours CTN-258, soit les treillis et les charpentes. Une structure est un système composé d’éléments simples agencés de manière à: • Supporter ou transférer des charges • Résister aux charges appliquées L’analyse de ce type de structure se fera en deux étapes, soit: • La détermination des forces extérieures (appliquées et réactions) • La détermination des forces internes qui maintiennent entre elles les différentes parties de la structure globale. Pour déterminer les forces internes, il faudra couper la structure de manière à isoler un DCL partiel, et déterminer à l’aide de nos équations d’équilibre de base l’intensité et la direction des efforts inconnus.
4.1 Introduction Tour Eiffel (121 ans): -
7 300 tonnes d’acier 2 500 000 rivets 165 000 éléments et 148 000 nœuds 60 tonnes de peinture aux 7 ans ! 2 000 tonnes d’extras pour touristes (restaurants et escaliers) 72 instruments de mesure en place 14 mois de modélisation en 2008 990 000 mouvements possibles sur les pièce (300 Mo) En 2011 décapage des 19 couches de peinture
5.2 Principes de base applicables aux treillis Un treillis est une structure formée par des barres articulées entre elles à leurs extrémités de manière à former un ensemble rigide. On retrouve principalement des treillis comme structures supportant des ponts et formant des fermes de toit. Les charges réparties sont ramenées sur les nœuds pour ensuite être reprises par l’ensemble de la structure Les éléments qui sont couramment utilisés pour composer les treillis sont les poutrelles en I, les cornières, les éléments de charpente de bois et d’autres éléments spéciaux.
4.2 Treillis articulés Dans la plupart des cas les membrures qui composent les treillis sont élancées et elles supportent mal les charges latérales. Le premier principe de base est donc le suivant: Les charges doivent être appliquées aux nœuds Lorsque les charges ne sont pas appliquées aux nœuds, il faut donc prévoir une structure intermédiaire qui servira à transférer ces charges vers les différents nœuds du treillis.
4.2 Treillis articulés Voici quelques exemples de treillis de ponts courants:
4.2 Treillis articulés Voici quelques exemples de fermes de toit:
4.2 Treillis articulés La conception d’un treillis nécessite de: • Calculer les efforts internes qui agissent dans les barres • Sélectionner des sections qui seront capable de résister à ces efforts selon les matériaux utilisés Les barres d’un treillis ne sont soumises qu'à deux forces égales et opposées agissant aux extrémités. Efforts internes: TRACTION (+) ou
F F
F COMPRESSION (-)
F
4.3 Treillis simple Treillis isostatique et hyperstatique Une structure est: • Isostatique si le nombre de forces inconnues est égal au nombre d’équations d’équilibre de la statique • Hyperstatique si le nombre de forces inconnues est supérieur au nombre d’équations d’équilibre de la statique • Instable si le nombre de forces inconnues est inférieur au nombre d’équations d’équilibre de la statique Les forces inconnues peuvent être: • Des réactions aux appuis • Des efforts internes
4.3 Treillis simple Pour les treillis, on distingue deux types de degrés d’hyperstaticité (d) a)
Degré d’hyperstaticité externe (dext)
associé aux réactions
dext = r - 3 b)
Degré d’hyperstaticité interne (dint)
dint = (m+3) – 2*n m = nombre de membrures n = nombre de nœuds (joints)
associé aux efforts internes
Exercice 1 Déterminez si la structure est isostatique, hyperstatique ou instable:
Réponse: voir en classe
4.4 Méthode des nœuds Théorie des treillis (Culmann) Comme le treillis est en équilibre, chaque nœud doit aussi se trouver en équilibre. Si on isole un seul nœud en coupant toutes les barres articulées qui s’y regroupent on obtient un système de forces concourantes et, par conséquent, on ne dispose que de deux équations d’équilibre indépendantes.
Chaque membrure est alors soumise à une force à chaque extrémité. Ces deux forces sont: – De même intensité – Sur la même ligne d’action – De sens opposé
4.4 Méthode des nœuds Étapes de calcul 1.
Isoler un nœud où il n’y a que deux inconnues
2.
Déterminer les forces dans les barres se joignant au nœud en question en utilisant les deux équations d’équilibre (ΣFx=0, ΣFy=0)
3.
Passez au nœud suivant n’ayant que deux inconnues au maximum en appliquant le principe d’action-réaction
4.
L’équilibre de l’avant-dernier nœud permet d’obtenir les forces internes dans toutes les barres se rencontrant au dernier nœud
5.
L’équilibre du dernier nœud permet de vérifier si le calcul a été fait correctement
Exercice 2 Déterminez les efforts dans chacune des barres à l’aide de la méthode des nœuds
Réponse: AB = 577,35 N (C), AC = 288,68 N (T), BC = 115,47 N (T), BD = 346,41 N (C), CD = 115,47 N (C), CE = 404,15 N (T), DE = 808,29 N (C)
Exercice 3 Déterminez les efforts dans chacune des barres à l’aide de la méthode des nœuds
Réponses: AE = 1,41 kN (C), AB = 1 kN (T), DE = 1 kN (C), BE = 1 kN (T), CD = 1 kN (t), BC = 2 kN (t), BD = 1,41 kN (c)
Exercice 4 Déterminez les efforts dans chacune des barres à l’aide de la méthode des nœuds
Réponse: AB = 34,64 (T), AC = 17,32 (C), BC = 34,64 (C), BD = 34,64 (T), CD = 57,74 (T), CE = 63,51 (C), DE = 11,55 (C)
Exercice 5 Déterminez les efforts dans chacune des barres à l’aide de la méthode des nœuds
Réponse: AD=141.421N (c), AB=100N (t), BD=141.421N (t), DE=200N (c), BE=141.421N (c), BC=300N (t) et CE=424.264N (c)
4.5 Méthode des sections (Ritter) La méthode des moments de Ritter consiste à étudier l’équilibre rotationnel d’une partie du treillis isolée au moyen d’un section menée imaginairement à travers le treillis de manière à mettre en évidence les efforts dans les barres sectionnées.
4.5 Méthode des sections (Ritter)
• Cette méthode permet de déterminer l’effort dans une barre d’un treillis sans avoir à déterminer les efforts dans toutes les barres • La technique consiste à isoler une partie du treillis sous la forme d’un DCL en coupant le treillis à l’endroit où l’on souhaite connaître l’effort dans les barres. • En général, la coupe du treillis ne doit pas passer par plus de 3 barres inconnues.
5.4 Méthode des sections Étapes de calcul 1.
Déterminer si nécessaire les réactions à partir du DCL global du treillis
2.
Faire une coupe à travers trois membrures de manière à sectionner la membrure dont l’effort interne est recherché
3.
Tracer le DCL partiel de la fraction de treillis d’un côté ou de l’autre de la coupe
4.
Écrire et résoudre les trois équations d’équilibre pour la partie isolée du treillis
OU
Exercice 6 Déterminez les efforts dans les barres DE, DJ, CJ et KJ du treillis suivant:
Réponse: FDE = 18,6 kN (c), FDJ = 16,7 kN (t), FCJ = 14,1 kN (c) et FKJ = 26,7 kN (t)
Exercice 7 Déterminez l’efforts dans la barre EJ du treillis suivant:
Réponse: FEJ = 2,5 kN (c)
Exercice 8 En reprenant l’exercice 5, on aurait pu évaluer les efforts dans les barres BC, BE et DE sans calculer les efforts dans les autres barres.
Réponse: DE=200N (c), BE=141.421N (c), BC=300N (t)
Exercice 9 Déterminez les efforts dans les barres CE, CF et DF du treillis suivant:
Réponse: FCE = 680 kN (t), FCF = 374 kN (c) et FDF = 375 kN (c)
Aide mémoire
Je vous enverrai des problèmes supplémentaires sur les treillis pour vous pratiquer en plus de ceux qui seront vus au TP. N’oubliez pas de faire le devoir 1, vous avez maintenant toute la matière pour y arriver !
