AD 01 – 2014-1 – GABARITO
Pré-Cálculo
CEDERJ Gabarito da Avaliação a Distância 1 Pré-Cálculo
______________________________________________ _______________________ _________________________________________ ________________________________ ______________ 1ª. Questão [3,5 pontos]: Considere o polinômio
(a)
=
.
[0,4] Diga quais são as possíveis raízes desse polinômio. Justifique!
(b)
[0,4] Encontre uma raiz racional, não inteira (justifique) e determine o polinômio de grau 3 que é o resultado da divisão de por , onde é a raiz r aiz encontrada nesse mesmo item.
(c)
[0,5] Fatore , isto é, escreva como produto de fatores lineares (tipo quadráticos irredutíveis (tipo , que não possui raízes reais).
(d)
[0,4] Analise o sinal do polinômio
) e/ou
.
Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).
Lembre que analisar o sinal de um polinômio significa responder para quais valores de
se anula, para quais
Considere a função
(e)
é positiva e para quais
é negativa.
∈ℝ
,
=
, cujo gráfico é dado a seguir:
= − = +−−−
[0,8] Agora, considere a função
.
Encontre o domínio da função . Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).
(f)
[1,0] Analise o sinal da função
.
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Resolução:
(a)
As possíveis raízes inteiras de um polinômio são os divisores do termo independente, que no caso de
= 1 é
. Portanto as possíveis raízes inteiras são:
racionais não inteiras são os divisores do termo independente (nesse caso é do coeficiente do termo de maior grau (nesse caso é Logo, são os quocientes dos números:
±1
) diferentes de
±3,
pelos números:
±
Portanto, as possíveis raízes racionais são :
e
±
. As possíveis raízes
) divididos pelos divisores .
.
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(b)
Para saber se uma possível raiz racional é de fato uma raiz, basta calcular o valor de possível raiz. Se , então é uma raiz.
nessa
= 0 1 1 1 1 3=33 3 331= 33 31 33 1 = 31 31 11= = 2 ≠0 1 1 1 3=3 3 3 3 131= 33 31 33 1 = 31 31 11=0 3 1 0 3 1 11 00 03 11 3 =0 =0 =3 =0 = 3 3=3 1 . Logo,
Logo,
é raiz de
Para achar
não é raiz de
.
.
, resultado da divisão de
Portanto
por
, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini:
.
Portanto,
= = 3 1 =31 1
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(c)
= 1 = 1 1 ,1 1 = 1 1=11=0 =1 1 1
Procurando as raízes de
As possíveis raízes inteiras de Vemos que
:
são:
. Logo
Vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir
.
é raiz de
por
.
:
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Logo,
= .3. = 31 1 = 311 1 1 = −±.−.. = −±√ − = −±√ − 1 = 13.3.1 1 = 311 1 .
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau
:
.
Logo, esse trinômio não possui raízes reais, isto é, Portanto, a fatoração do polinômio
é irredutível nos reais.
é:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(d)
Pela fatoração de
∞, 13
31 1 1
, 1 1 0 0 0 0 21 1
, podemos construir a tabela de sinais de
Observação: O trinômio do segundo grau,
real, porque o coeficiente do termo de grau
:
1,∞
, irredutível, é positivo para todo , é positivo, igual a .
Portanto,
= 0 > 0 < 0
{ ,1} ∞, ∪1,∞ , 1
em em em
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=
Seja a função esboçado ao lado:
, cujo gráfico está
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= +−− . = − − 3 31≥0 1 ≠0 3 31≥0 ∈∞, ∪[1,∞ = 1=0, ou seja, = 1 = , =0 , =2 e =3 (e)
Agora, considere a função
Para encontrar o domínio da função
precisamos encontrar os valores reais de
, tais que:
e
Do item anterior sabemos que,
Observando o gráfico da função
para
para
.
, vemos que
,
.
Portanto,
1 11 [1, ∈∞, ∞, tal que, ≠ ]∪ = 3 7 , ≠0 , ≠2 ≠3 = = ∞, 117 ∪ 117 , 13] ∪ [1 ,2 ∪ 2 ,3 ∪ 3,∞ . -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(f)
= +−− = − − ≥ 0
Analise o sinal da função
O sinal da função numerador
.
depende apenas do sinal do denominador, já que o
para todos os pontos do seu domínio.
Temos que:
=0 ⟺ = 0 ⟺ =0 ⟺ = ou =1 >0 ⟺ ∈ , ≠ , ≠1 > 1
.
.
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Logo,
Pré-Cálculo
<0 ⟺ ∈ , ≠ , ≠1 < 1
.
<0 ⟺ ∈ , ∪ 2 ,3
.
______________________________________________ __________________________________ 2ª. Questão: [3,5 pontos]: Dado o gráfico das funções
=
(em azul),
=
(em verde) e
= ℎ
(em vermelho) no
mesmo par de eixos, faça o que se pede:
(a)
[0,45]
Resolução:
Obtenha o domínio e imagem de cada função. Responda na forma de intervalo.
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= [0 ,3 ℎ = [1 ,1
Pré-Cálculo
= [0 ,2 ℎ = [0 ,1
e e
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(b)
[0,4] Para quais valores de
(1)
temos:
= = ℎ = = ℎ ⟺ = 0
Resolução:
Do gráfico, concluímos que único ponto comum aos três gráficos.
(2)
. Observe que o ponto
0 ,1
éo
=
Resolução:
= ⟺ =0 e =3
Do gráfico, concluímos que . Observe que os pontos são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções .
0 ,1 3 ,2 = ℎ
e
(3)
Resolução:
= ℎ ⟺ =1 e =0 1 ,0 0 ,1 = ℎ = ℎ ⟺ =0 e =1 0 ,1 1 ,0
Do gráfico, concluímos que . Observe que os pontos são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções .
e ℎ
(4)
Resolução:
Do gráfico, concluímos que . Observe que os pontos são os únicos pontos comuns aos gráficos das funções .
eℎ 0 , 0 , ℎ0 , ℎ1, 1, 2 , 3 , 3 0 = 1 , 0 = 1 , ℎ0 = 1 , ℎ1 = 0 , 1 = 0, 2 = 1 , 3 = 2 , 3 = 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(c)
[0,4] Obtenha os valores de:
Resolução:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(d)
[0,5] Para quais valores de
(1)
x
temos:
< ℎ <
Resolução:
Do gráfico, concluímos que
(2)
<
Resolução:
< ℎ < ⟺ ∈ 0 ,1
.
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Do gráfico, concluímos que
(4)
.
<ℎ
Resolução:
Do gráfico, concluímos que
(5)
ℎ < ⟺ ∈ 0 ,1
< ℎ ⟺ ∈ ,
.
≤ℎ
Resolução:
Do gráfico, concluímos que
≤ ℎ ⟺ ∈ [0 ,1
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(e) [0,2]
Sabendo-se que o gráfico da função (em verde) é uma translação horizontal da função elementar , escreva a lei de formação da função e descreva em palavras essa translação.
= ||
Resolução:
= ||
çã
= | 1 |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(f)
[0,6] Sabendo que o gráfico da função (em azul) é uma translação horizontal da função elementar , escreva a lei de formação da função .
= √
1 e 2
Agora calcule:
.
Podemos também olhar o gráfico da função como ramo de uma parábola. Dê a equação dessa parábola, diga qual é o seu vértice e qual é o seu eixo de simetria.
Resolução:
çã
Calculando:
= √ = √ 1 1 = √ 1 1 = √ 2 e 2 = √ 2 1 = √ 3
.
Vamos fazer algumas contas para encontrar a parábola pedida:
= √ 1 ⟹ = (√ 1 ) ⟹ = 1 ⟹ 1 = = , = 1 = =1>0
Da observação da Atividade de Leitura, temos que: Na equação
positivo então a parábola possui concavidade voltada para a direita. Se o coeficiente
, se o coeficiente
é negativo então a
parábola possui concavidade voltada para a esquerda . O vértice dessa parábola é o ponto eixo de simetria é a reta Assim, a equação
é
e o seu
.
é a equação de uma parábola voltada para direita, pois
, com
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= √ 1 = [0 ,2 =0
Como a função e
tem
= [1 ,3
, então o gráfico da função
é
parte do ramo dessa parábola que está acima do eixo de simetria, que é a reta
, que é o eixo
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(g)
ℎ
[0,3] Sabendo que o gráfico da função (em vermelho) é parte do gráfico de um círculo centrado na origem, dê a lei de formação da função e a equação do círculo em questão.
Resolução: O gráfico da função
= ℎ
contém os pontos
ℎ 1 ,0 , 0 ,1 , 1 ,0 1
centrado na origem, portanto esse círculo tem raio
= 1
e é parte de um círculo
e sua equação é:
.
= 1 =1 ⟹ =1 ⟹ = 1 = 1 0 ,1 = ℎ ℎ=√1 ℎ0 =√10 = 1
Da equação
, segue que:
Como o gráfico da função
, já que
contém o ponto .
, então a lei de formação da função
ℎ
é
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(h)
Pré-Cálculo
=
[0,65] Agora que já conhece as leis de formação das funções (em azul), (em verde) e (em vermelho), encontre as soluções das equações:
= ℎ
(1) (2) (3)
= = ℎ =
Ou seja, dê as coordenadas dos pontos
, , , ,
=
do gráfico abaixo.
Resolução: (1)
= ⟹ √ 1 = ⟹ (√ 1 ) = ⟹ 1 = ⟹ = 1= , . Logo, o ponto
é o ponto,
.
= ⟹ | 1 | = ⟹ 1= ou 1= ⟹ = 1 ou = 1 ⟹ = ou = e , e , (2)
.
Logo, os pontos
são:
ℎ = ⟹ √1 = ⟹ (√1 ) = ⟹ 1 = ⟹ =1 ⟹ = ⟹ = √ ou = √ e √ , e √ , (3)
.
Logo, os pontos
são:
_______________________________________________________________________________________
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3ª. Questão: [3,0 pontos]: Faça o que se pede em cada item:
(a) [0,5]
Esboce o gráfico de
no eixo
=|| > 7
e dê o seu domínio. Esboce a reta de equação
os pontos do domínio que satisfazem a equação
domínio que satisfazem a inequação
(b) [0,5]
.
= 7
=7
e encontre os intervalos do
=|3| =7
Use uma transformação em gráfico para esboçar o gráfico de
palavras a transformação usada. Esboce a reta de equação domínio que satisfazem a equação
> 7
inequação g
(c) [0,5]
.
= 7
Sabemos a definição de módulo,
<0 || = {, , ≥0 .
Se substituirmos
3 por
nessa
e uma nova função:
para
e
para
para obter
Naturalmente esse gráfico tem que ser igual ao gráfico encontrado no item anterior.
Dê o domínio e a imagem da função
(d) [0,5]
os pontos do
e encontre os intervalos do domínio que satisfazem a
Use os gráficos das retas de equações o gráfico de
, marque no eixo
. Descreva em
|3| 3 <3 3<0 = |3| = {3 = { 3 ≥3 3 3≥0 =3 <3 =3 ≥3 . = || =||
definição, obtemos a definição de
, marque
.
Esboce o gráfico da função
gráfico da função
usando transformações em gráfico, a partir do
. Descreva todas as transformações ocorridas ou deixe esboçados os
gráficos transformados usados até encontrar o gráfico final.
(e) [0,5]
||
Substitua
4 por
na definição de
||
, dada no item (c) e escreva a função
=
como uma função partida nos intervalos apropriados. Esboce o gráfico dessa função usando as
equações de duas retas nos intervalos apropriados. Naturalmente esse gráfico tem que ser igual ao
ℎ
gráfico encontrado no item anterior. Dê a imagem da função .
(f) [0,5]
= |2|2 2 |2| |2| = |2|2 =
Observando a função
, não é possível esboçar o gráfico dessa função
usando-se transformações em gráficos. Substituindo (c), você encontra uma definição para Use essa definição de
por
na definição de
.
e escreva a função
intervalos apropriados. Esboce o gráfico da função
RESOLUÇÃO:
(a)
quando o gráfico de está acima da reta
dada no item
como uma função partida nos
usando as equações de duas retas nos
intervalos apropriados. Dê o domínio e a imagem da função
= ℝ =7 ⟺ || =7 ⇔ =7 ou =7 > 7 =7 >7 ∞,7 ou ∈7,∞
||,
, logo
.
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(b)
çã → ,,
=7⟺ |3| =7 ⇔ 3=7 ou 3=7 ⇔ =73=4 ou =73=10 > 7 =7 >7 ⟺ ∈ ∞,4 ou ∈10,∞ .
quando o gráfico de está acima da reta
,
logo,
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(c)
=3 < 3 < 3 = =3 =6 ⇒ = 63=9 =0 ⇒ = 03= 3 Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores
, para e calculamos os .
Por exemplo,
e
.
=3 ≥3 ≥3 = =3 =3 ⇒ =33 =0 =9 ⇒ =93=6 Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores
para , e calculamos os
Por exemplo,
e
.
Juntando as duas partes que compõem o gráfico de , obtemos o gráfico completo ao lado,
=∞,∞
.
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(d)
çã → ,,
çã , , →
ã, →
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4<0 = {34 <4 ℎ = 3|4| = 3(4) 34 4 ≥ 0 34 ≥4 7 ≥4 <4 ℎ = { 1 =7 <4 <4 = ℎ =7 = 10 ⇒ = 10 7 = 3 =5 ⇒ =57=2 =1 ≥4 ≥4 = ℎ =1 =4 ⇒ = 41=41=3 =0 ⇒ =01=1 (e)
Logo,
Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores
para , e calculamos os .
Por exemplo,
e
.
Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores Por exemplo,
para e calculamos os .
e
.
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Juntando as duas partes que , obtemos compõem o gráfico de o gráfico completo ao lado.
ℎ
ℎ = ∞ ,3 (
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22 <2 2<0 = |2|2= {22 = { 2 2 2 ≥ 0 2 2 ≥ 2 < 2 = {32 2 ≥ 2 =32 <2 < 2 = =32 =2⇒ =3∙22=62=8 =0 ⇒ =02=2 (f)
Logo
Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores
para e calculamos os .
Por exemplo,
e
.
=2 ≥ 2 = =2 =2 ⇒ =22 = 4 =6 ⇒ =62=8 Para esboçar o gráfico da reta usamos valores arbitrários de correspondentes valores Por exemplo,
e
.
Juntando as duas partes que compõem o , obtemos o gráfico completo gráfico de ao lado.
ℎ = ℝ = ℝ
≥2
para e calculamos os .
