Universida d Andr´ es Bello. Departamento de Matem´ aticas. aticas. Facultad de Ingenier´ ıa. C´ alculo alculo I fmm-030. Coord: Pablo Gonz´ alez alez Lever.
Primer Control Solemne er
1
1.
a )
Semestre 2010
l g p s a c i t ´ a m e t a M
Encu Encuen entr tree en el el plan planoo xy , la curva y = f (x) que que pasa por el punto punto (9, 4) y cuya pendiente en cada punto es 3 x.
√
Soluci´ on. on. Del enunciado podemos deducir que:
√
1
f (x) = 3 x = 3x 2
ed
De lo antetrios se tiene que: f (x) =
o t e n ⇒ m a t − √ r a e p D 1
f (x)dx + c =
3
3x 2 dx + c = 2x 2 + c
Por otro lado la curva y = f (x) pasa por el punto (9,4), por lo tanto: 3
f (9) = 2(9) 2 + c = 54 + c = 4
c=
−50.
3
De lo anterior anterior podemos deducir deducir que y = 2 x 2 50 es la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto on (9, 4) y cuya pendiente en cada punto es 3 x. x
b)
et dt. Encuentre F (1) Sea F (x) = √ x t
Soluci´ on. on. Observe que si aplicamos el teorema fundamental del c´alculo alculo obtenemos:
o l l e B
d F (x) = dx
d a d i s r e v i n U
s e ´ r d n A
ex = x
=
x
et √x t dt
√x
− √x 2√1 x
2ex
e
√x
−e
2x
De lo anterior podemos deducir que: 2e F (1) =
e
Por lo tanto F (1) = . 2
1
1
√
−e 2
1
e
= . 2
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2.
a )
l g ≤ p s a c i t ´ a m e − a t √ − e M√ √ √d − − − o t n √ √ e − m √ √ a t r a p e √ √ √ − - ∧D o l l e − B s e ´ r√ − d n A − d a d − i s r √ √ e − v i n U
Si h(x) =
x+2 3 x2 x
− √
si x 0 2 si 0 < x 1 . Encuentre : h(x) dx −3 1
≤
1 + x2
Soluci´ on. observe que: 2
0
1
h(x) dx =
h(x) dx +
−3
2
h(x) dx +
−3
0
0
=
1
(x + 2) dx +
x2
2
=6 =
b)
Utilice la sustituci´ on t =
3
1+
2
x2 ) dx +
(3
−3
=
h(x) dx
1
0
1
0
+ 2x
9 +3 2
25 + 6
+ 3x
−3
1 + 3
5
1
x3
5
1 + x2 2
1 + x2
+
3
xdx
0
1
2
2
3
x, para calcular :
1+
x dx
Soluci´ on. Observe que ql realizar el cambio de variable indicado obtenemos: x = t3
1
1 dt = (1 + 3
2 1 x) 3 dx
−
x
De lo anterior obtenemos que:
dx = 6(t3
1)t2 dt
As´ı de lo anterior se tiene que: 3
1+
x dx
=
=6
=6
=6
6t3 (t3 (t6
1)dt
t3 )dt
t7
t4
7
4
( 3 1+ 7
2
+c
x)7
( 3 1+ 4
x)4
+c
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l g − p s a c i − t ´ a m − − e t a − M ed − − − t o − n e m a − − − t − − − r a p e − − − D o ⇒ l l e ⇒ B s − ⇒ e ´ r d n − A − − 1
3.
a )
Verifique la igualdad
2 x
x e dx = e
2
0
Soluci´ on. Primero observemos que:
x2ex dx = x2ex
2xex dx
2ex dx)
= x2ex
(2xex
= x2ex
2xex + 2ex + c
As´ı de lo anterior se tiene que: 1
x2 ex dx = [x2 ex
2xex + 2ex + c]10 = e
2
0
3
b)
Encuentre los valores de a y b, tales que :
3x2
x+1 dx = a ln2 + b. x2
3
x
2
Soluci´ on. Primero observemos que: 3x2
2
− x + 1 = 3x x + 1 = A + B + C = Ax(1 1 x x −x x (1 x) x x 3
2
2
2
x) + B (1 x) + Cx 2 x2 (1 x)
De lo anterior se tiene que
3x2
Por otro lado si:
x + 1 = Ax(1
x =0
B=1
x =1
C = 3
x=
x) + Cx 2
x) + B (1
1
A=0
De lo anterior se tiene que:
d a d i s r e v i n U
3
2
3x2
x3
x+1 dx = x2
=
3
3
1
x2
2
−
+
3
1
x
1
dx
− 3 ln |1 − x| + c x
3
2
=
− 13 − 3 ln(2) + 12
=
− ln(2) + 16 = a ln2 + b
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Por lo tanto se tiene que a = 4.
a )
l g p s a c i t ´ a m e t a M
1 3 y b = satisfacen la igualdad 6
−
3
3x2
− x + 1 dx = a ln2 + b x −x 3
2
2
Hallar el a´rea de la regi´on comprendida por las curvas: y = x ; y = 1 ; y = Soluci´ on. Primero realicemos un bosquejo de la situaci´ on.
ed − t o − n e − a m − t r a e p D - − − o l l e B
Por lo tanto el a´rea a determinar est´ a dada por: 1
A =
x
x2
4
0
=
=
x2
x3
2
12
2
dx +
1
1
1
+ x
0
x3
12
dx
2
1
x y g (x) = x
Soluci´ on. Primero realicemos un bosquejo de la situaci´ on.
d a d i s r e v i n U
4
5 6
5 Es deccir A = . 6 ´rea limitada por las curvas f (x) = x3 b ) Hallar el a
s e ´ r d n A
x2
Por lo tanto el a´rea a determinar est´ a dada por:
4
x2 .
x2
4
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0
A =
− − − − 3
x
2
x+x
x
1
dx +
−2 0
=
3
2
2x + x
x
dx +
−2
=
=
x4
4
2
x +
x3
37 12
3
0
dx +
−2
l − − p g s − − c a i t ´ a − − m x2 + x
x
0
1
x2
2x
d a d i s r e v i n U
s e ´ r d n A
2
x
x3
3
ed o t e n m a t r a e p D -
5
x3 dx
0
INSTRUCCIONES 1.- De cada problema debe responder A o B, no ambas 2.- No se aceptan consultas 3.- Dispone de 90 minutos 4.- Se permite el uso de calculadora cient´ıfica, 5.- (no usar calculadora l´ ogica y simb´ olica) texas , hp, etc 6.- Todos los problemas deben tener desarrollo
