´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´ISIMA CONCEPCION FACULT ACULTAD DE INGENIER´ IA
´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y F´ISICA APLICADAS
Pauta Certamen N o 2 (Forma A) ´ Algebra Lineal (IN1004C) - Segundo Semestre 2015
P.1 (10 puntos) Para puntos) Para cada proposici´on on siguiente, decida si es verdadera o falsa. Justifique s´olo las falsas. (a)
F Los vectores vectores a y a
× b son paralelos.
Considerando Considerando a = ˆ ı y b = , ˆ, se tiene que que a
× b = ˆk, el cual no es paralelo al vector vector a.
(b)
V Se puede obtene obtenerr la ecuaci´ ecuaci´on on de un plano conociendo tres puntos distintos de ´este. este.
(c)
F El plano plano de ecuaci´ ecuaci´ on Π on Π : 2x
− 3y + z + z = 6 contiene completamente a la recta de ecuaci´on x = 3 − 4t L : 2t , t ∈ R . y = 2 + 2t z = 6 − 10t 10t
2(3
2t) + 6 − 10t 10t = 6 − 4t) − 3(2 + 2t
= = =
⇒ ⇒ ⇒
6
10t = 6 − 8t − 6 − 6t + 6 − 10t −24t 24t = 0 t = 0
Por lo que la recta y el plano tienen s´olo olo un punto en com´un. un.
P.2 (20 puntos) Considere puntos) Considere los puntos P puntos P (3 (3,, 2, 1) y 1) y Q(1 Q (1,,
−3, 5) y 5) y los vectores vectores a =
(a) Encuentr Encuentree el vector vector x de norma 3, paralelo a b, pero con sentido opuesto. x = con
b =
As´ı,
x =
− − − √ 3
3 2
−
1 4 2
y b =
3 b, b
( 3)2 + 0 2 + 3 2 =
3 0 3
−
√
√
18 = 3 2. 3
=
− √ − √ − √ 1
2
3 0 3
=
2 0 3 2
.
− 3 0 3
.
(b) Encuentre un vector paralelo a 2 a
− 3 b. 2 a
Un vector paralelo a a
− 3 b = 2
− 3 b es
− − − − − − ∈ − − − 1 4 2
3
11α 8α 5α
Por ejemplo,
3 0 3
,α
22 16 10
=
11 8 5
.
R.
.
−→
(c) Encuentre un vector ortogonal a P Q y b.
−→ b = x = P Q × −→
− −
ˆ ı 2 3
ˆ k 5 4 0 3
−
− − − 15 6 15
=
.
(d) Encuentre la proyecci´ on de a sobre P Q.
−→ −→ · proy a = −→ P Q P Q −2 1 −4 · −5 = −2 + 20 + 8 = 26. a PQ
− →
PQ
· −→
a P Q =
2
2
4
−→ P Q
2
= 4 + 25 + 16 = 45 .
As´ı, 26 proyP Q a = 45 − →
− − − − 2 5 4
=
52/45 130/45 104/45
− − =
52/45 26/9 104/45
.
−→
(e) Encuentre el coseno del ´angulo entre los vectores b y P Q.
−→
Si α es el ´angulo entre los vectores b y P Q, entonces
· −→ −→ −2 · −5 = 6 + 12 = 18.
b PQ cos(α) = . b PQ
· −→
b P Q =
− 3 0 3
b = 3
4
√
√ −→ P Q = 3 5.
2 ,
As´ı, cos(α) =
18 2 = √ . √ √ (3 2)(3 5) 10
P.3 (30 puntos) (a) Determine la ecuaci´on de la recta L 1 que pasa por P (2, x 3 y 3 z 4 L2 : = = . 4 3 2
−
−
− −
L1
−1, 4) y es paralela a la recta de ecuaci´on
→ → − ⇒ − d d − → − → =⇒ d = d =
L
=
2
1
2
1
− 4 3 2
2
As´ı, L1 :
x = 2 + 4t y = 1 + 3t , t z = 4 2t
− −
∈ R .
(b) Determine la ecuaci´on del plano Π 1 que contiene al origen y a la recta de ecuaci´on L 3 :
Si P, Q
∈ L , entonces un vector normal para Π 3
P = (2, 4, 2) ,
1
−→ × −→ OQ.
es n = OP
Q = (3, 1, 4) =
Luego, n = La ecuaci´on del plano es
⇒ −→ − −
ˆ ˆ ı ˆ k 2 4 2 3 1 4
Π1 : 14x
OP =
=
2 4 2
14 2 10
− 2y − 10z = 0,
o bien, Π1 : 7x
− y − 5z = 0.
.
,
−→ OQ =
x = 2 + t y = 4 3t , t z = 2 + 2t
−
3 1 4
.
∈ R.
(c) Calcule la distancia desde el punto A(2, 5, 2x 4y + 3z 6 = 0.
−
−
−3) al plano Π que contiene al origen y es paralelo al plano de ecuaci´on Π
2
Π
Π
2
n
=
⇒
n
2
n =
=
⇒
La ecuaci´on del plano es Π : 2x
:
− 2 4 3
− 4y + 3z = 0.
Luego,
|2(2)√ − 4(5) + 3(−3)|
d(A, Π) =
4 + 16 + 9
25
=
√ 29
(d) Encuentre la intersecci´ on entre los planos de ecuaciones Π 3 : x Π4 : 4x 3y + 2z 1 = 0.
−
−
− 2y + 3z − 4 = 0 y
Se debe resolver el sistema de ecuaciones x 4x
1 4
−2 −3
3 2
| |
4 1
f 2 ←f 2 −4f 1
∼
1 0
− 2y + 3z − 3y + 2z −2
5
−
= 4 = 1
3 10
4 15
−
f 2 ← 1 f 2 5
∼
1 0
−2
1
3 2
− −
4 3
Como r(A) = r(A b) < 3 = n´ umero inc´ognitas, el sistema tiene infinitas soluciones.
|
x
Siendo z = t
y 2z = 3 = 2y + 3z = 4 = =
−
−
−
⇒ ⇒ ⇒
y = 3 + 2z x = 4 + 2( 3 + 2z) x = 2 + z
−
−
−
− 3z
∈ R, se tiene que la intersecci´on entre los planos es la recta de ecuaci´on x = −2 + t L : y = −3 + 2t , t ∈ R .
HCCH/DCHM/AMM/UMM/MNY/EOP/RSMB/MTG
z = t
Segundo Semestre - 2015.
