Departamento Departamento de Obras Civiles Estática de Estructuras CIV 131b Profesor: Carlos Aguirre Ahumada Ayudantes: Andrés Repetto Bustamante Juan Pablo Alarcón Kuschel
CERTAMEN 1 Problema 1
Para el trozo de esfera limitado por los planos coordenados de la figura, determinar las reacciones en los apoyos inferiores y la tensión en el cable, siguiendo las disposiciones geométricas de la figura. Datos: Peso específico
ρ =
Radio
r
1 3 π r g
Considere en el desarrollo los siguientes procedimientos:
Centro de gravedad Plantear las reacciones de equilibrio Despeje las reacciones
Problema 2
Determinar las reacciones en las paredes y entre cada elemento para la configuración de tres cilindros que se muestra en la figura.
Haga los diagramas de cuerpo libre previo al cálculo de las reacciones. Determine la configuración geométrica del sistema Suponga que el coeficiente de roce entre los cilindros y las paredes es el mismo µ =0.15
ρ =
1 2000π
, R1= 10 P,
R2= 10 2 P
Recomendación: encuentre las reacciones en base a los parámetros (algebraicamente), luego evalúe.
NO se permite el uso de calculadoras programables. Dispone de 3 horas para realizar el c ertamen. 09.05.2009
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Solución Pregunta 1: Volumen de la figura:
14
Vol =
83 π
Primer momento con respecto a ‘z’: M1
2
π
=
=
1 6
r
Centro de gravedad de la figura: Peso del objeto:
=
2
sin φ·d ρ d φ d θ
0 0
4
π
2
π
2
∫ ∫ cos φ sin φ· dφ dθ
4
0
0 π
r 1
4 2
2
∫ dθ 0
4
M1
π r3
2 r
4
M1
=
∫ ∫ ∫ ρ cos φ·ρ
=
0
M1
π r3
r 1π
=
π r
4
4 2 2 16 4 3r M1 π r 6 · 3 = = C.G. = 8 Vol 16 π r 1 3 1 1 W = Vol· ρ ·g = π r · 3 ·g = 6 6 π r g
Por simetría, el centro de gravedad en los planos ‘xy’, ‘xz’ e ‘yz’ es el mismo. De la figura se observa que el movimiento será con respecto a un solo eje, al que llamaremos e2 y que cruza por ambos apoyos como se observa en la figura siguiente. Además, por la simetría del problema, ambas reacciones verticales (en los apoyos A y B) tienen el mismo valor y se puede resolver en un solo plano, que se denominará ‘AA’ y está en la dirección de e 1.
Ecuaciones:
∑
Me2
=
0
3r 2 8
r 2
2
r 2 3r 2 r 2 · − = T cos π + T sin π ·r 2 4 4 8 2 r 2 r 2 2 3 W ·1 − = T · + 1 2 4 2 2 2 W = T 2 + 1 4 W·
2W
T=
4 T=
(
(2
2+2 −
2
24
T ≈ 0.0244
)
)
2 ( · (2
− −
) 2) 2
3r 2 8
r 2
2
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∑ Fe
1 =
∑ Mxy
∑F
Z =
T sin π
0
A =
0
0
4
r 2·HB
=
T
HA
=
T
HA
=
HB
T cos π =
HA
≈
4
HB r 2
4 2
2 2
+
T sin π ·
=
2 1 · 2 2
HB
2VA
=
=
.T
2
T
4
2
=
4
T
=
(2
−
2
)
24 2
4
=
(2
2
·
4 2
−
)
24
VA
W − T·
+
VB
=
W;
VA
=
2 2
1 (2 − 2 ) 2 1 VA = VB = · · (z ) − 6 24 2 2 VA
=
VB
≈
·
0.0747
48 2
4
0.00863 +
2 −1
=
VB
=
(e1 )
2 −1 48
(e1 )
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Solución Pregunta 2
Condiciones Geométricas:
α 12
=
arccos
α 12
=
80º
α 23
=
arccos
α 23
=
30º
R 2 − R1 R 2 + R1
45 − R 2 − R1 R 2 + R1
Diagramas de Cuerpo Libre y Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio:
∑ (2)∑ (1)
∑ (4)∑ (3)
∑ (6)∑ (5)
F0
x =
Ccos (α12 ) =
C 12
C sin (α12 ) +
C 12
12
F0
12
F= 0x
23
F= 0y
23
y =
Frsin(α 12 ) + Frcos(α 12 ) +
1
H
Fr P 2
1 =
Ccos (α2 3 ) +
sin( Fr C α12 ) = 12
sin( Fr C α23 ) + 23
Csin (α 23 ) +
Fr cos( C α 23 ) + 23
2 =
F=x0
H 3 +
α 23 ) = Fr23 sin( C
F=y0
Fr cos(α 23 ) + 3 H
V
3 =
Fr
Fr cos( C α12 ) + 12
Fr cos(α 23 ) + 23 C
Csin (α 23 ) + P 2
23
∑ (2)∑
F 0
x =
F 0
y =
C cos (α12 ) = 12 Cµ sin(α 12 ) + H 1
12
C sin (α12 ) + 12 Cµ cos(α12 ) + H 1µ
12
=
P 2
Csin (α12 ) +
12
+V 23 Fr C cos (α 23 ) 3
Reemplazando la Fuerza de Roce:
(1)
Ccos (α12 ) + 2H
12
P
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C12 ( cos (α12 ) − µ sin (α12 ) ) =
1
C 12 2cos (α12 ) + sin (α12 )
µ
C 12
=
P
2 µ −
−
P
2µ
µ =
P
1
2 µ 2cos ( α12 ) + sin ( α12 )
µ
C12
=
H 1
=
∑ (4)∑
µ
P ( cos (α12 ) − µ sin (α 12 ) )
1 µ
(3)
−
0.4927 P
2 µ 2cos ( α12 ) + sin ( α12 ) H1
C 12 ( sin (α12 ) + µ cos (α12 ) )
−
µ
0.0127 P
=
0 F x =
C23 cos (α 23 ) + C 12 µ sin(α12 ) = C 23 µ sin(α23 ) + C 12 cos (α12
F y = 0
C23 sin (α 23 ) + C23 µ cos(α23 ) + H2 µ
=
C12 µ cos(α12 )
+
) + H2
α P C 12 sin ( 12 ) +
C23 ( cos (α 23 ) − µ sin(α 23 ) ) + C 12 ( µ sin(α12 ) − cos (α12 ) ) = K
K= −
C23 ( sin (α 23 ) − µ cos(α 23 ) )
µ
1
C23 2cos (α 23 ) + sin (α 23 )
−
+
C 12 ( µ cos(α12 ) − sin (α12 ) )
µ
1
µ = C 12 2 cos (α12 ) + sin (α12 ) µ
+
P
P µ + µ µ
−
P P 1 C 23 = + 2 µ µ 1 2 cos (α 23 ) + sin (α 23 ) − µ µ
µ sin (α12 ) − cos (α12 ) cos (α 23 ) − µ sin (α 23 ) P 3 P H 2 = + 2 µ 1 2µ 1 2cos (α 23 ) + sin (α 23 ) − µ 2 cos (α12 ) + sin (α12 ) − µ µ µ H 2
=
1.572 P
µ
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