PASO 2 RECOLECTAR INFORMACIÓN INTRODUCTORIA AL CURSO DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
WILMAR IVAN GONZALEZ MACIAS COD: 1073506530 GRUPO_19
MAURICIO ALBERTO GARCIA TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES OCTUBRE 2017
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de este trabajo recolectaremos información introductoria al curso de procesamiento digital de señales. Para esto se realizarán y explicarán ejercicios prácticos de convolución discreta, transformada discreta de Fourier. Además del diseño de un algoritmo de la transformada discreta de Fourier (DFT).
Lo anterior desarrollando las temáticas de: Operaciones Básicas con señales, descomposición de una señal en impulsos, Convolución, Transformada Discreta de Fourier.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
Cada estudiante realizará dos ejercicios de convolución discreta, para ello el estudiante escogerá las dos señales de entrada x(n) y las dos respuestas al impulso h(n), las señales x(n) y h(n) tendrán tres (3) muestras de longitud, por lo cual la longitud de las salidas y(n), será de cinco muestras. Por ejemplo: x(n) = [1 2 3] h(n) = [5 6 8] Entonces la salida a esta convolución sería: y(n) = [5 16 35 34 24]
EJERCICIO 1: 𝒙 = [𝟐, 𝟓, 𝟔] 𝒉 = [𝟏, 𝟑, 𝟓] Ecuación convolución discreta: FIR ∞
𝑦(𝑛) =
∑ 𝑥(𝑘) ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘 = −∞
x(t)
h(t)
y(t)
Reemplazamos: 𝑦(𝑛) = 𝑥(1)ℎ(𝑛 − 1) + 𝑥(2)ℎ(𝑛 − 2) + 𝑥(3)ℎ(𝑛 − 3) 𝑥 = [2, 5, 6] 𝑥 = [𝑥(1), 𝑥(2), 𝑥(3)] 𝑦(𝑛) = 𝑥(1)ℎ(𝑛 − 1) + 𝑥(2)ℎ(𝑛 − 2) + 𝑥(3)ℎ(𝑛 − 3) 𝑦(𝑛) = 2 ℎ(𝑛 − 1) + 5 ℎ(𝑛 − 2) + 6 ℎ(𝑛 − 3)
Teniendo en cuenta: 𝑥 = [2, 5, 6] ℎ = [1,3,5] Calculamos: 2
∑
6
10
5
15
25
6
18
30
11
31
43
30
2
5
6
1
3
5
2
5
6
6
15
18
10
25
30
31
43
30
2
Utilizando otro método:
∑
2
11
Entonces, la salida a esta convolución sería: 𝒚(𝒏) = [𝟐 𝟏𝟏 𝟑𝟏 𝟒𝟑 𝟑𝟎] Comprobando con el programa Octave Online:
EJERCICIO 2: 𝒙 = [𝟏, 𝟑, 𝟓] 𝒉 = [𝟐, 𝟒, 𝟔] Ecuación convolución discreta: FIR ∞
∑ 𝑥(𝑘) ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘 = −∞
x(t)
h(t)
y(t)
Reemplazamos: 𝑦(𝑛) = 𝑥(1)ℎ(𝑛 − 1) + 𝑥(2)ℎ(𝑛 − 2) + 𝑥(3)ℎ(𝑛 − 3) 𝑥 = [1, 3, 5] 𝑥 = [𝑥(1), 𝑥(2), 𝑥(3)] 𝑦(𝑛) = 𝑥(1)ℎ(𝑛 − 1) + 𝑥(2)ℎ(𝑛 − 2) + 𝑥(3)ℎ(𝑛 − 3) 𝑦(𝑛) = 1 ℎ(𝑛 − 1) + 3 ℎ(𝑛 − 2) + 5 ℎ(𝑛 − 3) Teniendo en cuenta: 𝑥 = [1, 3, 5] ℎ = [2,4,6] Calculamos: 2
∑
2
4
6
6
12
18
10
20
30
28
38
30
10
Utilizando otro método:
∑
1
3
5
2
4
6
2
6
10
4
12
20
6
18
30
28
38
30
2
10
Entonces, la salida a esta convolución sería: 𝒚(𝒏) = [𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟖 𝟑𝟖 𝟑𝟎] Comprobando con el programa Octave Online:
Cada estudiante realizará un ejercicio de transformada Discreta de Fourier, en la cual la señal x(n) también debe tener una longitud de tres (3) Muestras. Este también debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word, sin omitir procedimientos, también se debe calcular la magnitud de la transformada y la respuesta en fase. 𝒙 = [𝟐, 𝟓, 𝟔]
Transformada discreta de Fourier: ∞
𝑥(𝑘) =
∑ 𝑥(𝑛) 𝑒
−𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁
𝑛 = −∞
Ecuación de sumatoria 𝑁 = Longitud de señal en el tiempo. Para este caso 3 muestras. 𝑥 = [2, 5, 6] 𝑥 = [𝑥(0), 𝑥(1), 𝑥(2)] Para K = 0 𝑥(0) = 𝑥(0) 𝑒
−𝑗2𝜋(0)(0) 3
+ 𝑥(1) 𝑒
−𝑗2𝜋(0)(1) 3
+ 𝑥(2) 𝑒
−𝑗2𝜋(0)(2) 3
Reemplazamos: Todo número elevado a la 0 es igual a 1. 𝑥(0) = 2 (1) + 5(1) + 6(1) 𝑥(0) = 2 + 5 + 6 𝑥(0) = 13 𝑥(0) = 13 + 𝑜𝑗 Para K = 1 𝑥(1) = 𝑥(0) 𝑒
−𝑗2𝜋(1)(0) 3
+ 𝑥(1) 𝑒
−𝑗2𝜋(1)(1) 3
+ 𝑥(2) 𝑒
Reemplazamos: 𝑥(1) = 2 (1) + (5) 𝑒
−𝑗2𝜋 3
+(6) 𝑒
−𝑗4𝜋 3
Teniendo en cuenta la identidad de Euler: 𝑒 𝑗𝑤 = cos(𝑤) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) 𝑒 −𝑗𝑤 = cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤)
−𝑗2𝜋(1)(2) 3
Reemplazamos: 𝑥(1) = 2 + 5 (cos
2𝜋 2𝜋 4𝜋 4𝜋 − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ) + 6 (cos − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ) 3 3 3 3
Teniendo en cuenta que: cos
2𝜋 1 = − 3 2
sen
2𝜋 √3 = 3 2
cos
4𝜋 1 = − 3 2
sen
4𝜋 √3 = − 3 2
1 1 √3 √3 𝑥(1) = 2 + 5 (− − 𝑗 ) + 6 (− + 𝑗 ) 2 2 2 2 𝑥(1) = 2 −
5 5√3 6 6√3 −𝑗 − +𝑗 2 2 2 2
Separamos reales e imaginarios: 𝑥(1) = 2 −
5 6 5√3 6√3 − −𝑗 +𝑗 2 2 2 2
7 5√3 6√3 𝑥(1) = − − 𝑗 +𝑗 2 2 2 Factorizamos 𝑗√3: 5 6 𝑥(1) = −3.5 − 𝑗√3 ( − ) 2 2 1 𝑥(1) = −3.5 − 𝑗√3 (− ) 2 𝑥(1) = −3.5 + 𝑗
√3 2
Para K = 2 𝑥(2) = 𝑥(0) 𝑒
−𝑗2𝜋(2)(0) 3
+ 𝑥(1) 𝑒
−𝑗2𝜋(2)(1) 3
+ 𝑥(2) 𝑒
−𝑗2𝜋(2)(2) 3
Reemplazamos: 𝑥(2) = 2 (1) + (5) 𝑒
−𝑗4𝜋 3
+(6) 𝑒
−𝑗8𝜋 3
Teniendo en cuenta la identidad de Euler: 𝑒 𝑗𝑤 = cos(𝑤) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) 𝑒 −𝑗𝑤 = cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) Reemplazamos: 𝑥(2) = 2 + 5 (cos
4𝜋 4𝜋 8𝜋 8𝜋 − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ) + 6 (cos − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ) 3 3 3 3
Teniendo en cuenta que: cos
sen
4𝜋 1 = − 3 2
4𝜋 √3 = − 3 2
cos
8𝜋 1 = − 3 2
sen
8𝜋 √3 = 3 2
1 1 √3 √3 𝑥(2) = 2 + 5 (− + 𝑗 ) + 6 (− − 𝑗 ) 2 2 2 2 𝑥(2) = 2 −
5 5√3 6 6√3 +𝑗 − −𝑗 2 2 2 2
Separamos reales e imaginarios: 𝑥(2) = 2 −
5 6 5√3 6√3 − +𝑗 −𝑗 2 2 2 2
7 5√3 6√3 𝑥(2) = − + 𝑗 −𝑗 2 2 2 Factorizamos 𝑗√3: 5 6 𝑥(2) = −3.5 + 𝑗√3 ( − ) 2 2 1 𝑥(2) = −3.5 + 𝑗√3 (− ) 2 𝑥(2) = −3.5 − 𝑗
√3 2
La respuesta final sería: 𝑥(0) = 13 + 𝑜𝑗 𝑥(1) = −3.5 + 𝑗
√3 2
𝑥(2) = −3.5 − 𝑗
√3 2
Comprobando con el programa Octave Online:
Cada estudiante realizará la búsqueda o diseño de un algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF), en el cual se utilice ciclos for para la implementación de la sumatoria que describe la (TDF). Este algoritmo tendrá la sintaxis del software de programación de matrices “MATLAB” o pueden utilizar la aplicación en línea “OCTAVE ON LINE”
NOTA: No se aceptan códigos que involucren la función FFT de Matlab.
Una vez que cada estudiante verifique el funcionamiento correcto de su algoritmo, este procederá a describir de manera escrita, lo que se sucede en cada línea del algoritmo.
Finalmente, cada estudiante realizará un video en el cual explicará y demostrará el funcionamiento del algoritmo en Matlab. En el video el estudiante debe presentarse con nombre y número de grupo y debe subirse a You Tube.
CONCLUSIONES
La convolución discreta nos demuestra que la respuesta del sistema LTI y(n) a una entrada x(n) es igual a la convolución de x(n) con la respuesta al impulso h(n), lo que quiere decir que en un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puede determinarse solo con conocer dicha entrada y la respuesta al impulso h(n). La transformada discreta de Fourier o DFT transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo. La transformada discreta de Fourier o DFT representa un mecanismo para el estudio frecuencial por medios digitales para las señales discretas.
BIBLIOGRAFIA
García Martínez, M. (05,07,2017). Procesamiento Digital de Señales - Análisis de un sistema discreto mediante ecuaciones de diferencia. [Archivo de video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/12520
Alvarado, J. (2011). Procesamiento Digital de Señales. Notas de Clase. (pp. 46 102) Tecnológico de Costa Rica: Escuela de Ingeniería Electrónica. Recuperado de http://www.ie.itcr.ac.cr/palvarado/PDS/pds.pdf
https://goo.gl/RxYpGm
